COMPLEMENTS SUR LA

CONSOMMATION DES MENAGES

.....

I - Optimisation sous contrainte

II - Le problème du consommateur

III - La fonction d'utilité indirecte

IV - La dépense du consommateur

V - Statique comparative (Roy et Slutsky)

P L A N

I

....

L’OPTIMISATION SOUS CONTRAINTE

A Le problème Considéré

B Le théorème de Kuhn et Tucker

C Exemple

Plusieurs variables influencent l’objectif à optimiser.I - 1Définition : Optimiser c'es atteindre l'objectif le meilleur possible. Ce verbe désigne une action, et par extension, le calcul qui formalise cette action.

Méthode : Un problème d'optimisation suppose claire-ment définis : - l'objectif à atteindre, f - les variables qui conditionnent cet objectif, x1, x2,---xn

Exemple : Quand l'espace des biens est formé de n biens, l'utilité des ménages dépend de la quantité de chacun desbiens consommés, l'objectif est de recher-cher le panier de biens qui procure le maximum d'utilité possible à l'agent.

Ÿ Formellement, on écrit le problème :max

x1,x2,...,xnf(x1, x2, . . . , xn) (1)

Les mêmes variables subissent des contraintesI - 2Les problèmes que nous considérons en économie (la maximisation de l'utilité, la minimisation des dépenses) seraient triviaux s'il n'y avait pas de contrainte sur les variables considérées.

Définition : Un problème d'optimisation sous contrainte définit un objectif à atteindre tout en imposant des conditions sur les variables.

Méthode : Les variables, la fonction, objectif f (x1, x2,...,xn) et la contrainte g(x1, x2,...,xn) ≤ 0 doivent être clairement défini.

FormellementŸ

Ÿ Par exemple, dans le problème du consommateur, le prin-cipe de monotonie nous indique que plus le panier contient de biens, plus la satisfaction de l'agent augmente.

maxx1,x2,...,xn

f(x1, x2, . . . , xn) (2)

s.c. g(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0 (3)

Résolution d'un problème d'optimisation sans contrainte (cas une variable)

I - 3

Soit le problème :

Proposition : Si x est une solution du problème, alors f'(x) = 0.

Méthode : On recherche l'ensemble des points station-naires et en vérifiant le sens de variation de la fonction, on vérifie s'il s'en trouve un qui est le maximum global

Graphiquement : La fonction que l'on maximise a une tangente horizontale à son maximum.

maxx∈R

f(x) (4)

�

����

��

I - 4Résolution d'un problème d'optimisation sans contrainte (cas plusieurs variables) Soit le problème :

Définition : Un point x*= (x1*, x2*,...,xn*) est un point station-naire de la fonction f s'il vérifie les n conditions suivantes :

Proposition : Si x* permet d'atteindre le maximum de la fonction f, alors x* est un point stationnaire de f.

Graphiquement:

Dans le cas de

deux biens, on

est à un sommet,

quelque soit la di-

rection d'où l'on

provient.

maxx1,x2,...,xn∈R

f(x1, x2, . . . , xn) (5)

∂f

∂x1

= 0∂f

∂x2

= 0 . . .∂f

∂xn= 0

(6)

��

��������

��

��

Les contraintes saturées d'un problème de maximisation sous contrainte.

I - 5

Soit le problème :

Définition : Si x* est une solution du problème, on dit que la contrainte est saturée en x* si la contrainte est vérifiée avec égalité, c'est-à-dire g(x1,x2,…,xn)=0Proposition : Si x* est une solution du problème de maximi-sation qui ne sature pas la contrainte, alors x* est la solution du problème analogue, sans cette contrainte.

Remarque : Si la solution du problème (5) vérifie la contrain-te (3), alors c'est la solution du problème (3) contraint.

maxx1,x2,...,xn

f(x1, x2, . . . , xn) (2)

s.c. g(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0 (3)

maxx1,x2,...,xn∈R

f(x1, x2, . . . , xn) (5)

I - 6Résolution d'un problème d'optimisation contrainte avec plusieurs variables quand la contrainte est saturée.Théorème (Kuhn - Tucker) : Si x* est un maximum local du problème (2), alors il existe un multiplicateur positif ou nul, λ , vérifiant les conditions premières suivantes:

Remarquez bien la logique du théorème: les conditions (K1) à (Kn) sont vérifiées quand on sait que x* est un maximum local. Ces conditions sont nécessaires, pas suffisantes

∂f

∂x1

= λ∂g

∂x1

(KT1)

∂f

∂x2

= λ∂g

∂x2

(KT2)

...∂f

∂xn= λ

∂g

∂xn(KTn)

I - 7Résolution lorsqu'il y a plusieurs contraintes saturées.

Le théorème précédent s'applique avec plusieurs contraintes.

1) On fait la liste des contraintes saturées du problème. Par exemple:

g1(x1, x2,...,xn) = 0

g2(x1, x2,...,xn) = 0

g3(x1, x2,...,xn) = 02) Il y a alors autant de multiplicateurs que de contraintes. On les note λ1, λ2, λ3

Le théorème de Kuhn et Tucker dit alors que si x* est un maxi-mum local, c'est un maximum local du lagrangien suivant

L = f(x1, . . . , xn)− λ1 g1(x1, . . . , xn)

− λ2 g2(x1, . . . , xn)− λ3 g3(x1, . . . , xn)

I - 8Marche à suivre pour résoudre un problème d'optimisation

La résolution d'un problème d'optimisation con-siste à transformer ce dernier en la résolution d'un système d'équations. Ainsi

1) On écrit toutes les contraintes qui sont saturées ;

2) On écrit les conditions premières ;

3) On résout le système d'équations ainsi formé.

Soit le probleme d’optimisation suivant :

maxx1≥0,x2≥0

√x1 + ln x2 (1)

s.c. x1 + x2 ≤ 1 (2)

- La contrainte est manifestement saturee : en effet, leprobleme non contraint permet d’atteindre l’infini, ce quin’est pas compatible avec la contrainte.

- Si (x1, x2) est une solution, il existe Λ ≥ 0 tel que(x1, x2) maximise

L = √x1 + ln x2 − λ (x1 + x2 − 1) (3)

- Ecriture des conditions premieres

Lx1=

1

2√x1− λ (4)

Lx2=

1

2x2− λ (5)

- Ecriture de la contrainte saturee

x2 = 1− x1 (6)

1

I - 9

- Resolution

(1) devient : px x =1

λ(1’)

(2) devient : y =1

λ py

(2’)

(3) devient : z =

1

2λ pz

(3’)

(1’)+(2’)+(3’)+(4) :1

λ+

py

λ+

1

4λ2 pz= R (5)

- L’equation (5) a pour solution evidente λ = 1 quandpz =

14 (R−2). On en deduit alors les demandes opti-

males :

x∗ =1

px

y∗ =1√py

z∗ =1

4p2z

2

I - 9'

II LE PROBLEME DU CONSOMMATEUR

AVEC n BIENS DE CONSOMMATION

A - La demande du consommateur :

un problème d'optimisation standard.

B - Exemples résolus.

II - 1Le ménage maximise son utilité sous contrainte

1) L'indice de satisfaction du consommateur est son utilité. Il désire consommer un panier (x1, x2,..., xn) qui lui apporte une grande utilité. On définit en premier lieu: Ÿ Sa fonction objectif U( x1, x2,..., xn) Ÿ Les variables qu'il choisit x1,x2 et... xn

2) Son choix est contraint par son budget. Typiquement, son choix satisfait la contrainte " dépense ≤ revenu "; For-mellement:

Ÿ La contrainte p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn ≤ R

3) Les variables de consommations sont positives. On écrit donc les contraintes de bord:

Ÿ x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, ... , xn ≥0

II - 2 Le programme du consommateur

Le consommateur choisit le panier de consomma-tion (x1

*, x2*,..., xn

*) qui est la solution du programme

Remarque : On sait que la contrainte budgétaire est saturée quand les préférences de l'agent satisfont le principe de monotonie: la contrainte peut être écrite avec égalité.

maxx1≥0,...,xn≥0

U(x1, x2, . . . , xn)

s.c. p1 x1 + p2 x2 + · · ·+ pn xn ≤ R

IIIII - 3 Conditions standard pour l'existence d'une solution unique

Proposition : Quand les préférences de l'agent sont convexes, le problème du consommateur a une solution unique. Deux cas sont alors à consi-

Exercice: Prouvez cette proposition. Vous supposerez que x* et y* sont deux solutions du problème du con-sommateur et vous démontrerez que le panier moyen fait mieux.

La solution est intérieure au domaine de consommation, c-a-d l'agent consomme de tous les biens (x1

*>0, x2*>0,..., xn

*>0) : le théorème de Kuhn et Tucker s'applique

La solution est au bord du domaine (au moins l'une des coordonnée est nulle) : la résolution est au cas par cas.

Ÿ

Ÿ

II - 4 Application du théorème de Kuhn-Tucker

Proposition: Si la demande x* est intérieure, alors c'est la solution du problème de Lagrange;

Remarque : Cette demande satisfait les conditions premières.

maxx1≥0,...,xn≥0

U(x1, x2, . . . , xn)−λ(p1 x1+p2 x2+· · ·+pn xn−R)

∂U

∂x1− λ p1 = 0 (C1)

∂U

∂x2− λ p2 = 0 (C2)

...∂U

∂xn− λ pn = 0 (Cn)

II - 5 Interprétations des conditions premières

Les conditions premières dans le problème du consom-mateur sont:

Ce que l'on peut retenir sous la forme les utilités mar-ginales sont proportionnelles au prix

Plus le prix d'un bien est élevé

Plus l'utilité marginale atteinte par le consommateur est élevée

ŸŸ

ce n'est pas surprenant: on ne consomme un bien cher que si l'utilité (marginale) qu'il procure est élevée.

∂U

∂x1

= λ p1

∂U

∂x2

= λp2 . . .∂U

∂xn= λpn

II-6 Résolution du problème

- Combien d'inconnues ?

x1, x2, ... , xn et λ

soit n+1 inconnues

- Combien d'équations ?

n conditions premières et la contrainte budgétaire

soit n+1 équations

Quand les équations sont linéaires, la résolution du sys-tème est standard.

Quand les équations ne sont pas linéaires, la résolution est au cas par cas.

II -7 Marche à suivre pour calculer la demande optimale à partir du théorème de Kuhn et Tucker

1) Vérifier que la fonction d'utilité est définie, que les préférences sont convexes et faire la liste des variables que le consommateur choisit x1, x2, ..., xn et du multipli-cateur λ

2) Calculer les utilités marginales

3) Ecrire les conditions premières

4) Ecrire la contrainte budgétaire saturée

5) Résoudre ce système de n+1 équations à n+1 incon-nues

6) Présenter proprement le résultat et commenter.

Consommateur Cobb-DouglasProblème : Calculer la demande optimale d'un consom-mateur dont l'utilité est (On supposera les préférences convexes):

maxx1,x2,...,xn

f(x1, x2, . . . , xn) (1)

II -8

- Calcul des utilites marginales

∂ U

∂ x1

= α1 xα11 xα22 xαnn

= α1

xα11 xα22 xαnnx1

= α1 U(x1, x2, . . . , xn) / x1

∂ U

∂ x2

= α2 U(x∗) / x2

...∂ U

∂ xn= αn U(x∗) / xn

1

- Ecriture des conditions premieres

α1

x1

U(x∗) = λ p1 (1)

α2

x2

U(x∗) = λ p2 (2)

...αn

xnU(x∗) = λ pn (n)

- Ecriture de la contrainte budgetaire

p1 x1 + p2 x2 + · · ·+ pn xn = R (n+1)

2

II -8'

- Resolution1) Re-ecriture des conditions premieres

p1 x1 = α1

U(x∗)

λ(1’)

p2 x2 = α2

U(x∗)

λ(2’)

...

pn xn = αnU(x∗)

λ(n’)

2) On remplace p1 x1, p2 x2, . . ., pn xn par leurvaleur dans la contrainte budgetaire :

U(x∗)

λ(α1 + α2 + · · ·+ αn) = R (n+2)

soit, puisque α1 + α2 + · · ·+ αn = 1

U(x∗)

λ= R (n+3)

3

II -8''

3) On en deduit les demandes optimales :

x∗1 = α1

R

p1

x∗2 = α2

R

p2...

x∗n = αnR

pn

4

II -8'''

Consommateur avec utilité additiveProblème : Calculer la demande optimale de Julien en les trois biens x, y et z dont les prix respectifs sont px, py et pz. On supposera 4 pz (R-2) = 1. L'utilité de Julien est:

U(x, y, z) = lnx−1

y+√z

- Calcul des utilites marginales

∂ U

∂ x=

1

x∂ U

∂ y=

1

y2

∂ U

∂ z=

1

2√z

1

II - 9

- Ecriture des conditions premieres

1

x= λ px (1)

1

y2= λ py (2)

1

2√z

= λ pz (3)

- Ecriture de la contrainte budgetaire

px x+ py y + pz z = R (4)

2

II - 9'

- Resolution

(1) devient : px x =1

λ(1’)

(2) devient : y =1

λ py

(2’)

(3) devient : z =

1

2λ pz

(3’)

(1’)+(2’)+(3’)+(4) :1

λ+

py

λ+

1

4λ2 pz= R (5)

- L’equation (5) a pour solution evidente λ = 1 quandpz = 1

4 (R−2). On en deduit alors les demandes opti-

males :

x∗ =1

px

y∗ =1√py

z∗ =1

4p2z

3

II - 9''

Consommateur avec utilité à deux biens

Problème : Calculer la demande optimale d'un consom-mateur dont l'utilité est:

II - 10

U(Q1, Q2) = (Q1 +Q2) (Q1 + 4)

- Calcul des utilites marginales

∂ U

∂ Q1

= Q2 + 2Q1 + 4

∂ U

∂ Q2

= Q1 + 4

(1)

- Ecriture des conditions premieres

4 +Q2 + 2Q1 = λ p1 (1)

Q1 + 4 = λ p2 (2)

- Ecriture de la contrainte budgetaire

p1 Q1 + p2 Q2 = R (3)

II - 10' - Resolution

(2) donne : Q1 = λ p2 − 4 (2)

(1)+(2’) : Q2 = λ p1 − 2λ p2 + 4 (1)

(3), (2’) et (1’) donne alors :

(λ p1 p2 − 4p1) + (λ p1 p2 − 2λ p22 + 4p2) = R (4)

ce qui permet de calculer λ :

λ =R+ 4p1 − 4p2

2p2 (p1 − p2)(4)

- On en deduit alors les demandes optimales :

Q∗1 =R− 4(p1 − p2)

2(p1 − p2)

Q∗2 =R+ 4p1(p1 − p2)

2p2 (p1 − p2)

FONCTION D'UTILITE INDIRECTE

A - Définition et construction de l'utilité indirecte.

B - Propriétés attendues de la fonction d'utilité indirecte.

C - Applications.

III

III - 1 Utilité d'un agent en fonction du prix et du revenuLa demande et le bien être de l'agent varient avec prix et revenus. La théorie du consommateur permet de comparer, en terme de bien être, différents systèmes de prix et de revenu.

Ÿ On construit un ordre sur les systèmes prix-revenu (p1, p2 , --, pn, R). Cet ordre se représente à travers une fonction . L'utilité dite fonction d'utilite indirecte.

Ÿ Notez par ailleurs que cette fonction n'a pas de sens que lorsque les variables sont la liste des prix et le revenu (comparer les revenus sans les prix ne serait

Exemple : Choisir entre aller aux Etats-Unis en contre-partie d'un salaire deux fois plus élevé: cela dépend du système de prix et des préférences de l'agent.

III - 2 Utilité indirecte construite à partir de la fonction d'utilité et de la demande walrasienne.

Ÿ A partir d'une fonction d'utilité u (x1, x2,---, xn), on peut calculer la demande optimale x1*, x2*, --, xn* qui est fonction du prix et du revenu.

Ÿ On en déduit alors la fonction d'utilité indirecte:

V (p,R) = U (x1(p,R), x2(p,R), . . . , xn(p,R))

Exemple : Deux biens - Fraction légale du revenu con-sacrée à l'achat de chaque bien (Cobb-Douglas).

U(x1, x2) = x1 x2

x1 = R/2p1 x2 = R/2p2

V (p1, p2, R) =R

2p1

×R

2p2

=R2

4p1 p2

Ÿ

III - 3Utilité indirecte, solution du programme du consommateur

maxx1≥0,...,xn≥0

U(x1, x2, . . . , xn)

s.c. p1 x1 + p2 x2 + · · ·+ pn xn ≤ R

on trouve non seulement x1*, x2*, --, xn*, mais aussi la valeur maximale possible de l'utilité.

Ÿ Lorsqu'on résoud le programme

Ÿ Les paramètres de ce programme sont :

p1, p2, --, pn et R (la contrainte budgétaire).

La valeur maximale de l'utilité est une

fonction de p1, p2, --, pn.

III - 4Utilité indirecte avec le prix, croissant avec le revenu.Proposition: Soit V (p1, p2 , --, pn, R) l'utilité indirecte

∂ V

∂R≥ 0 (1)

- Le bien être d'un consommateur décroît avec plus de revenu.

- Le bien être d'un consommateur décroît avec une augmentation de prix.

∂ V

∂p1

≤ 0 ;∂ V

∂p2

≤ 0 . . .∂ V

∂pn≤ 0

- Exemple précédent

V (p1, p2, R) =R2

4p1 p2

(2)

Ces propriétés de monotonie sont vérifiées.

III - 5Utilité indirecte homogène de degré zéro.

Proposition: Si je multiplie tous les prix ainsi quele re-venu par un certain coefficient (par exemple par 0,152). Je ne modifie pas l'utilité indirecte de l'agent.

Formellement ∀ α > 0 : V (α p1, α p2, . . . , α pn) = V (p1, p2, . . . , pn)

C'est l'illusion monétaire : pas de gain à une augmen-tation de revenu si les prix augmentent d'autant

Exemple précédent

V (p1, p2, R) =R2

4p1 p2

(2)

vérifie cette propriété. Cela restreint beaucoup la forme de la fonction d'utilité indirecte (Ses propriétés sont beaucoup plus restrictives que les propriétés de la fonc-tion d'utilité).

III - 6Utilité indirecte quasi convexe en les variables prix-revenu.Proposition: Si deux systèmes de prix-revenu (p1, p2, --, pn, R) et (p1', p2', --, pn', R') procurent le même niveau de bien être, alors une combinaison linéaire des deux diminue le bien être. Formellement, soit (PM,RM) une combinaison linéaire de (P,R) et (P',R')

Si pM1 = α p1 + (1− α) p1 ; pM2 = α p2 + (1− α) p2 . . .

pMn = α pn + (1− α) pn ; RM = αR+ (1− α)R

V (p1, p2, . . . , pn, R) = V (p1, p2, . . . , p

n, R

) = V0

=⇒ V (pM1 , pM2 , . . . , p

Mn ,R

M) > V0

Démonstration: graphique

III - 7 Quelle utilité pour l'utilité indirecte ?

Exemple: le salaire à Londres d'un jeune cadre est souvent quatre fois plus élevé que le salaire que ce même cadre obtien-drait à Paris pour des fonctions identiques.

L'utilité indirecte permet de comparer différents systèmes de prix et de revenu.

- La comparaison est plus juste que celle qui consisterait à évaluer un panier de bien iden-tique dans différents systèmes de prix. En effet, à système de prix différens, les habi-tudes de consommation changent.

- Elle rend compte des arbitrages entre la zone géographique où un travail est proposé et le revenu qui lui est associé.

III - 8Lien entre demande et utilité indirecteOn démontre qu'on peut déduire la demande walrasienne de la fonction d'utilité indirecte.

On a un moyen direct pour calculer la demande à partir de l'utilité indirecte.

V(P,R) est un instrument très puissant.

En économie appliquée on part d'hypothèses sur l'utilité indirecte.

xi = −

∂ V

∂ pi

∂ V

∂ xi

(3)Proposition :

ŸŸ

FONCTION DEPENSE ET DEMANDE HICKSIENNE

A - Définition et construction de la fonction dépense

B - Propriétés attendues de la fonction dépense

C - Applications.

IV

IV - 1 Relations entre revenu et niveau de vie

Jusqu'à présent nous avons étudié le choix du consommateur étant donné ses contraintes repré-sentées par la contrainte budgétaire. Le choix du consommateur est analysé en dépendance des prix et des revenus.

Cependant, en étudiant les arbitrages du consom-mateur, la théorie met en lumière le lien entre re-venu et niveau de vie. Elle développe un instrument d'analyse indispensable à l'étude des choix sociaux et en particulier des redistributions de revenu.

IV - 2 Revenu minimum nécessaire pour atteindre un niveau de vie donnéDéfinition: la fonction de dépense e(P,U) est le re-venu minimum nécessaire pour qu'un consommateur obtienne un niveau d'utilité fixé.

- e(P,U) dépend du niveau minimum d'utilité requisLe calcul de la fonction dépense se fait pour n'im-porte quel niveau d'utilité —notons le U— qu'il soit faible ou élevé.

- e(P,U) dépend du niveau des prixPour un même consommateur, un niveau de vie stan-dard est atteint avec des revenus différent. Au dé-but du XXIe siècle, on paye un cadre en déplacement à Londres jusqu'à trois ou quatre fois son salaire parisien pour lui garantir le même niveau de vie.

IV - 3 La demande la plus économique pour atteindre un niveau de vie donnéDéfinition: la fonction de demande hicksienne h(P,U) est le panier de bien le moins couteux sa-tisfaisant un niveau minimum d'utilité donné.

h1(P,U), h2(P,U),... , hn(P,U) sont les variable qui sont solution du problème suivant:

Exemple : Calculer la dépense minimum pour atteindre le niveau d'utilité 1, sachant : U(x1,x2)= x1 x2 ; p1=1 ; p2= 4 .

min p1 x1 + p2 x2 + · · ·+ pn xn (4)s.c. U(x1, x2, . . . , xn) ≥ U (5)

IV - 4 Calcul de la demande hicksienneLe problème à résoudre est un problème d'op-timisation qui peut s'écrire

- Ce problème satisfait les hypothèses de con-vexité quand les préférences sont convexes. La contrainte est par ailleurs saturée.

- Le théorème de Kuhn et Tucker donne les conditions premières:

min p1 x1 + p2 x2 + · · ·+ pn xn (4)s.c. U(x1, x2, . . . , xn) ≥ U (5)

U(x1, x2, . . . , xn) = U (8)

−p1 = −λ∂ U

∂x1

−p2 = −λ∂ U

∂x2...

−pn = −λ∂ U

∂xn

IV - 5 Exemple - préférences homothétiquesCalculer la fonction dépense de Lucia, sachant que les préférences de Lucia sont définies par:

U(x1, x2, . . . , xn) = x1n1 x

1n2 . . . x

1nn

- Calcul des utilites marginales : on a deja fait un cal-cul analogue ; On trouve

∂ U

∂ x1

=1

nU / x1

∂ U

∂ x2

=1

nU / x2

...∂ U

∂ xn=

1

nU / xn

- Ecriture des conditions premieres

p1 =λ

n

U(x)

x1

(C1)

p2 =λ

n

U(x)

x2

(C2)

...

pn =λ

n

U(x)

x1

(Cn)

- Ecriture de la contrainte de niveau de vie

[ x1 x2 . . . xn ]1n = U (CU)

- Resolution

1) Des conditions premieres, on deduit la depense

p1 x1 + p2 x2 + · · · + pn xn = nλ

nU = λ U (1)

2) Pour calculer λ, on remplace x1, x2, . . ., xnpar leur valeur dans la contrainte de niveau de vie :

λ U

n p1

λ U

n p2

. . .λ U

n pn

1n

= U

ce qui donne

λ U

n (p1 p2 . . . pn)1n

= U (2)

soit enfin

λ = n (p1 p2 . . . pn)1n (3)

3) la fonction de cout est donc :

C(P,U) = n U (p1 p2 . . . pn)1n

4) les fonctions de demande hicksienne sont donc :

h1(P,U) = n (p1 p2 . . . pn)1nU

p1

h2(P,U) = n (p1 p2 . . . pn)1nU

p2...

hn(P,U) = n (p1 p2 . . . pn)1nU

pn

IV - 6 Fonction dépense et demande hicksienne fonctions des prix et de l'utilité

La fonction dépense est une combinaison linéaire des fonctions de demande hicksienne : les pro-priétés de ces deux fonctions sont souvent paral-lèles.

La statique comparative qui nous intéresse est l'effet de la variation du prix. En effet, même si il est immédiat de voir l'effet général d'une augmentation d'utilité, les nombres dérivés n'ont pas d'interprétation économique. [En effet, cela ne signifie rien d'augmenter l'utilité d'une unité]

IV - 7 Quand tous les prix sont multipliés par le même facteur

Proposition: C(P,U) est homogène de degré un par rapport aux prix. Quand tous les prix sont multi-pliés par le même facteur, la fonction dépense est elle aussi multipliée par ce même facteur.

On s'intéresse à une situation dans laquelle tous les prix sont multipliés par le même facteur quand on a changé de numéraire. Les prix relatifs sont identiques ainsi que le comportement du consommateur.

Ce résultat est sans surprise.

Proposition: h(P,U) est homogène de degré zéro par rapport aux prix. Quand tous les prix sont multipliés par le même facteur, la demande hick-sienne n'est pas modifiée.

IV - 8 Monotonie de la demande hicksienne

La principale différence entre les fonctions de demande hicksienne et les fonctions de demande walrasienne ré-side dans la proposition suivante

Ce résultat est l'origine de la dénomination "demande compensée": une augmentation d'un prix a des effets sur les demandes de tous les autres biens..

Proposition : la demande hicksienne est sans am-biguïté monotone par rapport au prix. A niveau d'utilité fixe, quand le prix d'un bien augmente, la demande hicksienne de ce bien diminue tandis que la demande hicksienne de tous les autres biens augmente.

IV - 9 Concavité de la fonction de dépense

Proposition : la fonction de dépense est concave par rapport aux prix. Lorsqu'un prix augmente, les coûts augmentent moins que linéairement.

������

��

��

��

��� � �

IV - 10 Fonction dépense et demande hicksienne

Proposition : la demande hicksienne se déduit de la fonction de dépense par l'opération de dériva-tion suivante :

hi =∂ c(P,U)

∂ pi(9)

IV - 11Fonction dépense et utilité indirecteConsidérons (P0, R0) un système de prix revenu particulier.

Proposition : L'inverse de la fonction du coût est la fonction d'utilité indirecte.

Ÿ Notons V0 l'utilité maximum atteinte par le consomma-teur . On sait V0 = V (P0, R0)V0 est obtenu par le programme de maximisation de l'utilité ; on note x0

* la demande particulière.

Notons la C (P0, V0) C (P0, V0) ≤ R0, puisque x0

* (qui coûte R0) permet d'at-teindre l'utilité V0 .Proposition : C (P0, V0) = R0

Cherchons alors pour le système de prix-utilité (P0, V0) la dé-pense minimum.

Ÿ

ŸŸ

Ÿ

∀ P,U ∈ Rn × R : V (P,C(P,U))= U

∀ P,U ∈ Rn × R : C(P, V (P,R))= R

IV - 12Demande Walrasienne et demande HicksienneLe lien que l'on vient d'établir entre l'utilité maximum qu'un consommateur peut atteindre étant donné prix et revenu et la dépense minimale qu'il doit subir pour atteindre un niveau d'utilité donné, provient d'un lien entre les paniers de biens qui sont la solution de ces deux programmes.

Proposition : La demande walrasienne x (P, R) et Hicksienne h (P, U) sont duales. Elles vérifient les deux identités suivantes :

∀ P,U ∈ Rn × R : h(P,U)= x(P,C(P,U))

∀ P,U ∈ Rn × R : x(P,R)= h(P, V (P,R))

STATIQUE COMPARATIVE

A - Utilité indirecte, fonction dépense, demande Hicksienne.

B - Effet prix, effet revenu.

V

V- 1Variation de l'utilité indirecte et Lagrangien

On a vu précédemment (cf.III.4) que l'utilité indirecte croît avec le revenu. Un théorème classique de la théorie du consommateur démontre que c'est le Lagrangien qui mesure cette variation.

Proposition :

Interprétation : La valeur du Lagrangien égale l'augmen-tation de l'utilité maximale atteinte quand on relâche d'une unité la contrainte. Cet accroissement de l'utilité pour 1 euro supplémentaire de revenu est étroitement lié au choix de la fonction d'utilité.

λ =∂ V

∂ R(10)

Exemple : Dans le cas étudié en III. 2 (consommateur d'utilité U(x1,x2) = x1 x2 ) on avait V(P,R) = R2 / 4 p1 p2 . On en déduit :

∂ V

∂ R=

2R

4p1p2

=R

2p1p2

λ =R

2p1p2

ce qui est consistant avec les conditions premières que l'on avait obtenu lors du calcul des demandes walrasien-nes de ce consommateur

x1 = λ p1

x2 = λ p2

V- 1'

V- 2 Variation de la demande Hicksienne avec les prixContrairement aux résultats obtenus pour la de-mande walrasienne, la demande Hicksienne varie de façon non ambigüe avec les prix.

Proposition : Un niveau de vie de référence étant fixé, la demande Hicksienne de bien i décroît avec pi et croît avec pj

Remarque : C'est la grande nouveauté de cette approche duale de la consommation.

∂ hi

∂ pi< 0

∂ hi

∂ pj> 0 (11)

V- 2' Variation de la demande hicksienne

avec les prixReprésentons graphiquement ce résultat dans le cas de deux biens

La demande hicksienne est déterminée par le prix relatif p1/p2 puis p'1/p'2 quand (p1,p2) passe à (p'1,p2) (avec p'1>p1) qui déter-minent la pente de la contrainte budgétaire qui satisfera le con-sommateur, et qui est tangente à la courbe d'indifférence U: La demande hicksienne se déplace vers la gauche : h1'<h1 ; h2'>h2 .

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��

�

�

��

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��

��� ��

�

V- 3 Variation de la fonction dépense avec les prix

On a énoncé précédemment que la fonction dépense croît sans ambiguïté avec les prix. Démontrons-le gra-phiquement

Quand p1 augmente, la consommation passe de H à H'. Or, clairement, dans le nouveau système de prix, H' est plus cher que A. Il en résulte qu'il est plus cher que H

��

��

�

�

��

��

� �

V- 4 Décomposition de la variation de la demande walrasienne / prixSuite à une variation d'un prix, la demande walrasienne varie de manière ambigüe. On distingue classiquement l'effet prix (de H à H') de l'effet revenu (de H' à H'').

Proposition : L’effet de substitution implique toujours une baisse de la demande du bien dont le prix a varié.

Proposition : L’effet revenu, ambigü peut accentuer ou modérer l’effet de substitution, voire l’altérer jusqu’à le rendre inverse.

- H' est trop cher, mais

c'est le contrat "effica-

ce" pour le prix relatif

p'1/p2.

- H'' se déduit de H' par

un effet revenu pur.

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��

��

��

�� �

����

V- 6 Equations de Slutsky

La décomposition des effets prix et revenus se traduit formellement par les équations de Slutsky, qui établis-sent une relation entre les variations de la demande walrasienne et de la demande hicksienne.

∂ xi

∂ pj=∂ hi

∂ pj− xj

∂ xi

∂ R

Variation de la demande de bien i par rapport à une unité de prix pj.

Variation non am-bigüe de la de-mande hicksienne par rapport à une unité de prix pj.

Variation de la deman-de de bien i par rapport à une unité de revenu… tout se passe comme si l'agent avait perdu

le revenu xj Δpj.Effet SUBSTITUTION Effet REVENU

V- 7 Démonstration des équations de SlutskySouvenez-vous qu'on a démontré déjà que la dérivée partielle de la fonction de coût par rapport à pi est la demande hicksienne hi. Par ailleurs, on a la relation de dualité h(P,U)=x(P,c(P,U)).

∂ hi

∂ pj=∂ xi

∂ pj+∂ xi

∂ R

∂ C

∂ pj

⇐⇒∂ hi

∂ pj=∂ xi

∂ pj+∂ xi

∂ Rhj

⇐⇒∂ hi

∂ pj=∂ xi

∂ pj+ xj

∂ xi

∂ R

⇐⇒∂ xi

∂ pj=∂ hi

∂ pj− xj

∂ xi

∂ R

En dérivant la ième équations par rapport à pj, on re-trouve les équations de Slutsky.