Modélisation Déterministe :Compléments

Outils indispensablesEDO, suites récurrentes et résolutions numériques

EDO d’ordre 1 à variables séparéesQuantités conservées : systèmes du premier ordre

Modélisation Déterministe :Compléments

28 novembre 2017




Courbes paramétrées.Fonctions de plusieurs variables réelles.

Listing 1 – python0/essai-courbe-vecteurs.pyimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltt=np.linspace(-np.pi,np.pi,1000)x=np.exp(-t)*np.cos(t)y=np.exp(-t)*np.sin(t)xp = -x-y #la dérivée de x s’exprime en fonction de x et yyp = x-y #la dérivée de y s’exprime en fonction de x et yplt.figure()plt.plot(x,y)#Pour tracer des flèches, basées en (x,y), dirigées par (x’,y’)#Une tous les 50 pointsplt.quiver(x[::50],y[::50],xp[::50],yp[::50], \

units="dots",angles="xy",scale_units="xy",scale=10)plt.show()

Le code Python précédent (à essayer)Modélisation Déterministe :Compléments




trace une représentation graphique de la courbeγ : t ∈ [−π, π]→ R2 définie par

γ(t) = (x(t), y(t)) = (e−t cos(t),e−t sin(t))

avec représentation de la vitesse par des flèches. (La fonctionquiver n’est pas à connnaitre). La vitesse (vectorielle estdonnée par

v(t) = (x ′(t), y ′(t))





Exercice 1.—(Paramétrage par la longueur d’arc, utilisationsystématique en cinématique). Soit γ : I → R2, γ = (x , y), unecourbe C1, régulière, t0 ∈ I. On définit la longueur d’arcparcouru de t0 à t ∈ I par

s = ψ(t) =∫ t

t0

√x ′2(τ) + y ′2(τ) dτ

1. Montrer que ψ ainsi définie est une fonction de classe C1

strictement croissante sur l’intervalle I, dont la dérivée nes’annule pas sur I.2. Justifier que J = ψ(I) est un intervalle, que ψ définit unebijection I → J et que la bijection réciproque φ : J → I est declasse C1 et donner une formule pour sa dérivée en s = ψ(t).





3. On définit γ : J → R2, γ = (x , y), par

∀s ∈ J, γ(s) = γ(φ(s))

Démontrer que

∀s ∈ J, x ′2(s) + y ′2(s) = 1

4. Interprétation cinématique ?





Listing 2 – python0/essai-lignes-niveau.py#Pour tracer des lignes de niveauimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef f(x,y):

return y**3-x*(x-1)x=np.linspace(-1,2,50)y=np.linspace(-2,2,50)X,Y=np.meshgrid(x,y)Z=f(X,Y)lambada=[-1,0,0.25,1] #les niveaux voulus. 0.25 niveau du point critiqueplt.figure()CS=plt.contour(X,Y,Z,lambada)plt.clabel(CS, inline=1, fontsize=10)#pour placer niveaux sur lignesplt.show()

Le code Python précédent (à essayer)Modélisation Déterministe :Compléments




trace des lignes de niveau choisies pour la fonction f définiepar

f (x , y) = y2 − x .(x − 1)

dont le seul point critique est (12 ,0).





Cette représentation en lignes de niveau est bien entenduréminiscente des lignes de niveau d’altitude sur une carte derandonnée.

FIGURE – Carte IGN, lignes de niveau





ThéorèmeHypothèses :

Soit I × J un pavé ouvert dans R2, f : I × J → R unefonction de classe C1 sur I × J.Soit γ : t ∈ L 7→ γ(t) = (X (t),Y (t)) une courbe paramétréeC1 sur l’intervalle (non trivial) L, dont la trajectoire estcontenue dans I × J

Conclusion :La fonction F = f ◦ γ : L→ R2, définie par

∀t ∈ L, F (t) = f (X (t),Y (t))

est de classe C1 sur Let sa dérivée est donnée par la formule

∀t ∈ L, F ′(t) =∂f∂x

(X (t),Y (t)).X ′(t) +∂f∂y

(X (t),Y (t)).Y ′(t)Modélisation Déterministe :Compléments




Exercice 2.—Indiquer en quelques points de la figure 1, ladirection du gradient de l’altitude.





Exercice 3.—Démontrer que f : R2 → R, définie par

∀(x , y) ∈ R2, f (x , y) = ln(x2 + 2.y2 + 1)

est définie, continue, de classe C2 sur R2 et déterminer sesdérivées partielles et dérivées partielles secondes.





Exercice 4.—Démontrer que f : R2 → R, définie par

∀(x , t) ∈ R2, f (x , t) = e−4t cos(2x)

est définie, continue, de classe C1 sur R2 et déterminer sesdérivées partielles. Calculer ∂f

∂t −∂2f∂x2





Exercice 5.—On considère la fonction f (x , t) = 1√te−

12

x2t .

Justifier rapidement le caractère C1 de f sur R× ]0,+∞[,calculer

∂f∂x

(x , t),∂2f∂x2 (x , t),

∂f∂t

(x , t),

et trouver la constante c telle que ∂2f∂x2 = c.∂f

∂t .





Exercice 6.—Déterminer les points critiques sur R2 def : (x , y) 7→ x2 + y2 ou g : (x , y) 7→ x2.y − x .y2 .Est-ce que ce sont des extrema locaux ?Indication:Dans chaque cas, si (x0, y0) est critique, tracer la ligne deniveau contenant le points critique et marquer les zones délimitéssuivant le signe de g(x , y)− g(x0, y0). Faire une justificationgraphique claire.





Exercice 7.—Déterminer les fonctions f de classe C1 surR2 \ {(0,0)} et vérifiant :

∀(x , y) ∈ R2, (x , y) 6= (0,0),

∂f∂x (x , y) = x√

x2+y2

∂f∂y (x , y) = y√

x2+y2





Exercice 8.—Déterminer les fonctions f de classe C2 surR2 \ {(0,0)} et vérifiant :

∀(x , y) ∈ R2, (x , y) 6= (0,0),

∂f∂x (x , y) = y√

x2+y2

∂f∂y (x , y) = x√

x2+y2

Indication:Y a t’il des solutions ? Penser au théorème de SCHWARZ.




IntroductionLe schéma d’EULER explicite- cas autonomeExemplesVariantes, cas non autonomes

On va s’intéresser dans ce chapitre à des mécanismesd’évolution déterministes. Supposons que l’on connaisse lasituation d’un système (biologique, chimique, physique,mathématique, informatique,..) à un instant donné et la loi depassage d’un instant à l’instant suivant. Un peu de réflexionnous amène à penser que si l’on connait le système à l’instantinitial alors nous sommes en mesure de déterminer ou calculerson évolution sur la période temporelle suivant cet instant initial.





La notion d’instant suivant dépend de la conception du tempsque nous adoptons.

Si nous adoptons une conception du temps discrète, lesinstants se succèdent les uns les autres à la manière desnombres entiers et nous pouvons donc numéroter instantset configurations du système par les entiers naturels ourelatifs.Si nous adoptons une conception du temps continue, il n’ya pas d’instant suivant un instant donné, plutôt unintervalle de temps. Dans ce cas, les instants sontdisposés à la façon des nombres réels sur la droite réelleet nous pouvons nous servir de ceux-ci pour numéroterinstants et configurations du système.





Les suites récurrentes permettent de décrire le premiercas : partant d’une configuration du système u, on notef (u) la configuration à l’instant suivant et le système estdécrit par la suite (un)n∈N définie par u0, la configurationinitiale et la récurrence

∀n ∈ N, un+1 = f (un)

Les équations différentielles permettent de décrire lesecond cas. Partant d’une configuration (numérique) u, letaux d’accroissement instantané de u à l’instant t estdonné par φ(u), une fonction de u i.e. la fonction u vérifiesur un certain intervalle 1 I, u(0) = u0 la configurationinitiale, et l’EDO 2

∀t ∈ I, u′(t) =dudt

(t) = φ(u(t))

1. non trivial et contenant 02. Equation Différentielle Ordinaire





Ces deux conceptions sont reliées par l’idée (très XVIIIe siècle)de durée infinitésimale. On considère le temps sous sa formediscrète mais en supposant que deux instants successifs sontséparés par une durée δt infiniment petite. On a, on posantun = u(n.δt) que « un+1 − un ' u′(n.δt).δt »et donc

u0 = u(0) et ∀n, un+1 ' un + δt .φ(un) = f (un)

Tel quel, ce qui est écrit n’a pas vraiment de sens. La façonmoderne d’écrire cela est d’introduire le schéma d’EULER

associé à une EDO.





Définition

Soit φ : Rd → Rd , T ∈ ]0,+∞[, I = [0,T [ et u0 ∈ Rd ,Soit h ∈ ]0,+∞[. Le schéma d’EULER, de pas h, associé auproblème de CAUCHY

u(0) = u0 et ∀t ∈ I,u′(t) = φ(u(t))

est la suite uh (partiellement) définie par

uh,0 = u0, ∀n ∈ N,uh,n+1 = uh,n + h.φ(uh,n)





Le schéma d’EULER associé à une EDO réalise une connexionfondamentale entre suites récurrentes et EDO :

La modélisation en physique raisonne souvent au niveaudiscret et "passe" à la limite pour obtenir une équationdifférentielle (dt ,dx etc. ).Etant donnée une ODE, pour la résoudre numériquement,on la tranforme en suite récurrente avec l’introduction d’unpas (de temps, souvent) h = δt > 0, suffisamment petit.





Un problème de CAUCHY très simple apparait lorsque lafonction φ : R→ C est linéaire. Soit a ∈ C. Il n’y a qu’unesolution u ∈ C∞(I,C) où I = [0,+∞[ au problème

u(0) = 1 et ∀t ∈ I, u′(t) = a.u(t)

qui est donnée par la formule

∀t ∈ I,u(t) = ea.t

Remarquons que si a 6= 0, le seul point d’équilibre de l’EDO estu∗ = 0. La fonction nulle est solution de l’EDO.





Soit h > 0 et considérons le schéma d’EULER associé. Il s’agitde la suite uh = (uh,n)n∈N définie par

uh,0 = 1 et ∀n ∈ N, uh,n+1 = (1 + h.a).uh,n

On reconnait en uh une suite géométrique de raison (1 + a.h),de premier terme 1, on a donc

∀n ∈ N, uh,n = (1 + a.h)n

On doit comparer u(n.h) = ea.n.h et uh,n = (1 + a.h)n. Il est clairque pour n fixé, lorsque h→ 0, ces deux termes sont proches(et proches de 1). Ce n’est pas très intéressant.Il est beaucoup plus intéressant de comparer ces deux termeslorsque les points n.h couvrent un intervalle fixé à l’avance. Parexemple I′ = [0,1].Voir la figure 2.





0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

u

Euler

Théorique

FIGURE – Exponentielle et suite géométrique. dt = 0.1., u(0) = 0.5,a = 2





0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

u

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

u

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

u

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

u

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

u

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

u

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

u

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

u

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

u

Euler

Théorique






L’équation du pendule pesant est un exemple abordable etimportant d’EDO d’ordre 2 non linéaire. Nous en faisons unesimple présentation sans tenter de la résoudre.On repère la position d’un pendule pesant (masse m, longueur`) par l’angle θ que celui-ci fait avec la verticale. Une fois toutécrit, le principe fondamental de la dynamique donne que, surl’intervalle temporel I pendant lequel se déroule le mouvement,

θ′′ +g`

sin θ = 0 (EDO,Pend)





Nous ne suivons pas la route de l’approximation aux petitsangles qui mène à l’équation linéaire θ′′ + g

` θ = 0 et permet deretrouver 3 la valeur approximative de la fréquence du pendule√

g` et sa période 2π

√`g .

On peut choisir l’unité de temps de sorte que g` = 1.

3. le raisonnement fait via cette approximation est plus que douteuxmême s’il donne le résultat correct, c.f. http://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_pesant


http://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_pesant

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_pesant




Transformons cette EDO du second ordre en un systèmed’EDO du premier ordre par la méthode usuelle en définissantla vitesse angulaire ω = θ′. θ est solution de (EDO,Pend) si etseulement si le couple (θ, ω) satisfait, sur I.

θ′ = ω et ω′ = − sin θ

Les points d’équilibre de ce système différentiel sont lescouples (θ∗, ω∗) tels que sin θ∗ = 0 et ω∗ = 0. Cela correspondaux deux positions verticales du pendule (avec vitesse nulle).La position basse est stable, la haute est instable 4.

4. On ne détaillera pas la signification mathématique de ces deux termesModélisation Déterministe :Compléments




Ecrivons maintenant le schéma d’EULER de pas h > 0 associéà cette équation. Supposons les valeurs θ0 et ω0 à l’instantt = 0 données, on construit les suites θh et ωh par θh,0 = θ0,ωh,0 = ω0

∀n ∈ N,{θh,n+1 = θh,n + h.ωh,nωh,n+1 = ωh,n − h. sin θh,n





3 2 1 0 1 2θ

1.5

1.0

0.5

0.0

ω

0.5

00

1.0

00

1.500

2.000

2.00

0

2.500 2.50

0

3.000

3.00

03.500

Euler

Théorique

FIGURE – Pendule. dt = 0.1, θ(0) = 3π4 , ω(0) = 0.





3 2 1 0 1 2θ

1.5

1.0

0.5

0.0

ω

0.5

00

1.0

00

1.500

2.000

2.00

0

2.500 2.50

0

3.000

3.00

03.500

Euler

Théorique






3 2 1 0 1 2θ

1.5

1.0

0.5

0.0

ω

0.5

00

1.0

00

1.500

2.000

2.00

0

2.500 2.50

0

3.000

3.00

03.500

Euler

Théorique






3 2 1 0 1 2θ

1.5

1.0

0.5

0.0

ω

0.5

00

1.0

00

1.500

2.000

2.00

0

2.500 2.50

0

3.000

3.00

03.500

Euler

Théorique






3 2 1 0 1 2θ

1.5

1.0

0.5

0.0

ω

0.5

00

1.0

00

1.500

2.000

2.00

0

2.500 2.50

0

3.000

3.00

03.500

Euler

Théorique






3 2 1 0 1 2θ

1.5

1.0

0.5

0.0

ω

0.5

00

1.0

00

1.500

2.000

2.00

0

2.500 2.50

0

3.000

3.00

03.500

Euler

Théorique






3 2 1 0 1 2θ

1.5

1.0

0.5

0.0

ω

0.5

00

1.0

00

1.500

2.000

2.00

0

2.500 2.50

0

3.000

3.00

03.500

Euler

Théorique






3 2 1 0 1 2θ

1.5

1.0

0.5

0.0

ω

0.5

00

1.0

00

1.500

2.000

2.00

0

2.500 2.50

0

3.000

3.00

03.500

Euler

Théorique






3 2 1 0 1 2θ

1.5

1.0

0.5

0.0

ω

0.5

00

1.0

00

1.500

2.000

2.00

0

2.500 2.50

0

3.000

3.00

03.500

Euler

Théorique






3 2 1 0 1 2θ

1.5

1.0

0.5

0.0

ω

0.5

00

1.0

00

1.500

2.000

2.00

0

2.500 2.50

0

3.000

3.00

03.500

Euler

Théorique






−π −π2

−π4

0 +π4

+π2 +π

θ

0ω t=0.0

t=1.0

t=6.28

t=12.56

t=18.84

t=25.12

θ,ω E=cste

FIGURE – Schéma d’EULER pour le pendule pesant. Portrait dephase. h = 0.01, n ∈ {0, . . . ,6300}, θ0 = 3π

4 , ω0 = 0

0.01.0 6.28 12.5618.8425.12t

−π

−π2

−π4

0

+π4

+π2

+π

θ/ω

θ ω

FIGURE – Schéma d’EULER pour le pendule pesant. Graphes.h = 0.01, n ∈ {0, . . . ,6300}, θ0 = 3π

4 , ω0 = 0





Ce qui ne va pas dans ce calcul, c’est que l’on ne respecte pasla physique ! En effet, plus que l’équation différentielle issue duprincipe fondamental de la dynamique, il s’agit de respecter lesprincipes énergétiques. Dans le système du pendule pesant,l’énergie mécanique E , proportionnelle à

12ω2 + (1− cos θ)

doit être conservée. Autrement dit, sur la figure 4, la courbebleue devrait parcourir la courbe rouge sans dévier.La simulation suivant le schéma d’EULER ne respecte pas ceprincipe, pire, elle fait gagner de l’énergie au système. Au lieud’osciller entre deux positions extrémales, il va finir par tournerautour du point d’attache.

Une bonne simulation doit respecter les principes fondamentaux !Modélisation Déterministe :Compléments




On peut avoir affaire à des EDO du type

∀t ∈ I,u′(t) = φ(t ,u(t))

où φ est une fonction sur I ×Cd et l’inconnue u est une fonctionC1, u : I → Cd .Ici, à chaque instant t , u′(t) dépend à la fois de u(t) mais aussi,possiblement, directement de t . Si u′(t) ne dépend que desu(t) et pas « directement », on dit que l’EDO est autonome,c’est le cas traité précédemment.Le schéma d’EULER de pas h > 0 associé au problème deCAUCHY

u(0) = u0 et ∀t ∈ I,u′(t) = φ(t ,u(t))

est la suite uh = uh,n, à valeurs dans Cd , vérifiant la récurrence

uh,0 = u0 et ∀n ∈ N, uh,n+1 = uh,n + hφ(n.h,uh,n

)Modélisation Déterministe :Compléments




2.0 2.5 3.0 3.5x

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

Euler

FIGURE – Calcul avec champ dépendant du temps, dt = 0.1.Modélisation Déterministe :Compléments




2.0 2.5 3.0 3.5x

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

Euler





2.0 2.5 3.0 3.5x

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

Euler





2.0 2.5 3.0 3.5x

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

Euler





2.0 2.5 3.0 3.5x

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

Euler





2.0 2.5 3.0 3.5x

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

Euler





2.0 2.5 3.0 3.5x

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

Euler





2.0 2.5 3.0 3.5x

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

Euler





2.0 2.5 3.0 3.5x

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

Euler





2.0 2.5 3.0 3.5x

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

Euler





Illustrons ceci sur le problème de CAUCHY non autonome en unsens le plus simple, celui de la primitivation.Soit I = [0,1] et f : I → C une fonction continue. Trouver laprimitive de f sur I qui s’annule en 0, c’est résoudre leproblème de CAUCHY d’inconnue F

F (0) = 0 et ∀t ∈ I, F ′(t) = f (t)

L’équation différentielle est d’un type particulier au sens où lemembre de droite n’est pas fonction de la fonction inconnue.Le schéma d’EULER de pas h > 0 associé à ce problème est lasuite Fh définie (partiellement) par

Fh(0) = 0 et ∀n ∈ N, Fh,n+1 = Fh,n + h.f (n.h)





Cette récurrence se résout en

∀n ∈ N ∩ {n, n.h ∈ I},Fh,n =n−1∑k=0

h.f (k .h)

Limitons nous au cas où h = 1N , N destiné à tendre vers +∞.

On doit pouvoir comparer F (n.h) avec Fh,n pour tout 0 ≤ n ≤ N( de sorte que h.n = n

N ). On a donc à comparer∫ nN

0f (t) dt et

n−1∑k=0

f (kN)

1N

Une variante du théorème des sommes de RIEMANN donneque la différence de ces deux quantités, en module, se majore,indépendamment de n ∈ {0, . . . ,N} par une quantité tendantvers 0 lorsque N → +∞. On illustre ceci dans la figure 10.





0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6t

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

F

Euler

Théorique

FIGURE – Primitivation de f : t 7→ 11+t2 , F (0) = 0.5, dt = 0.1.





0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6t

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

F

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6t

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

F

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6t

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

F

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6t

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

F

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6t

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

F

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6t

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

F

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6t

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

F

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6t

0.6

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F

Euler

Théorique






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6t

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

F

Euler

Théorique






Soit I un intervalle, t0 ∈ I et deux fonctions r , s : I → C. Soitu0 ∈ C. Considérons le problème de CAUCHY

u(t0) = u0, ∀t ∈ I, u′(t) = r(t).u(t) + s(t) (EDO,1L)

Il admet une unique solution et le schéma d’EULER de pash > 0 associé à ce problème est la suite uh = (uh,n)n∈N définiepar

uh,0 = u0 et ∀n ∈ N, uh,n+1 = (1 + h.r(h.n)).uh,n + h.s(h.n)

Exercice 9.—1. Résoudre le problème de CAUCHY sur I =

]−π

2 ,+π2

[.

u(0) = 1 et ∀t ∈ I,u′(t) + tan(t).u(t) = cos(t)

2. Résoudre ce problème numériquement en Python, obtenir legraphique 11 et comparer les résultats.





0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7t

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

u

Euler

Théorique

FIGURE – Résolution de u′(t) + tan(t).u(t) = cos(t), u(0) = 1,dt = 0.1.





0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7t

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

u

Euler

Théorique






0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7t

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

u

Euler

Théorique






0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7t

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

u

Euler

Théorique






0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7t

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

u

Euler

Théorique






0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7t

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

u

Euler

Théorique






0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7t

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

u

Euler

Théorique





Méthode abstraite de résolutionExercices.

Dyn. pop. :Equation logistique ou modèle deVERHULST (1838)

On suppose que le taux de croissance est fonction affine de lapopulation, négative lorsque N est grand, positive lorsque N estproche de 0 i.e. r = −aN + b = b.(1− N

K ) avec a, b > 0,K = b

a . l’EDO correspondante s’écrit alors

dNdt

= b.(1− NK).N

Il s’agit d’une équation à variables séparées qui se réécrit et serésout, en posant u = N

K sous la forme,

1(u − 1).u

dudt

= −b et ∀t ≥ 0, u(t) =u(0)(

u(0)(1− e−bt) + e−bt)





Il y a deux cas qui se distinguent :1 Si u(0) > 1, i.e. N(0) > K , alors u(0)−1

u(0) > 0 et u décroitstrictement vers 1.

2 Si 0 < u(0) < 1, i.e. 0 < N(0) < K , alors u(0)−1u(0) < 0 et u

croit strictement vers 1.La figure 9 montre ces différents cas ainsi que l’allure généraledu graphe de u.





0 1b

2b

t

0

K3

K

2K

N

N(0) =13K N(0) =2K N(0) =K

FIGURE – Equation logistique : graphes théoriques, b = 1Modélisation Déterministe :Compléments




Le modèle de GOMPERTZ suppose que le taux de croissance rest de la forme

r = −a lnNK

où a,K sont deux constantes > 0. K s’appelle là encore lacapacité du milieu et a et, comme b précédemment uneconstante de vitesse. Lorsque N < K , r > 0 et la population atendance à croitre alors que lorsque N > K , r < 0 et lapopulation aura tendance à décroitre. L’idée est la même quedans le modèle de VERHULST.





Exercice 10.-?- Résoudre les problèmes de CAUCHY

suivants. A chaque fois donner la formulation mathématiqueet/ou la formulation physique. Donner le domaine de validité devotre solution.1. dy

dx = y . ln x , yx=1 = 1. (Formulation physique)2. dy

dx = y . ln x + 1, yx=1 = 1. (Formulation physique)3. y ′(x) = − x2

y(x) , y(0) = 1 (Formulation mathématique)

4. dydx = x2+y2

x .y avec yx=1 = 1. (Formulation physique).(Onposera u = y

x pour tomber sur une équation à variablesséparées.)





Exercice 11.—On cherche à résoudre l’équation différentielle

∀x ∈ I, y ′(x) = x2.(y2(x) + 1) (ED)

avec y(0) = 0. (Il s’agit de trouver aussi un intervalle Icontenant 0 adapté...)1. Mettre (ED) sous la forme g(y(x)).y ′(x) = f (x).2. On considère G une primitive de g (sur un intervalle àpréciser), F une primitive de f sur I, montrer que si y estsolution de notre problème alors

∀x ∈ I, G(y(x))−G(0) = F (x)− F (0)

3. Conclure sur l’intervalle I le plus grand possible et la valeurde y sur cet intervalle.




Equation du ressort et énergie mécaniqueEquation du pendule et énergie mécaniqueDyn. pop. :Modèle de LOTKA–VOLTERRA (1928)

Rappelons l’équation différentielle régissant l’élongation x d’unressort en fonction du temps t dans la situation décrite dans laFig. 10

d2xdt2 + ω2.x = 0 (EDO2,Ressort)

où ω =√

km , la raideur du ressort est k , la masse au bout du

ressort est de m.

FIGURE – Les forces agissant sur une masse m située au bout d’unressort placé horizontalement. L’abscisse 0 correspond à la longueurà vide. Modélisation Déterministe :Compléments




Il s’agit d’une EDO linéaire d’ordre 2 à coefficients constant quenous avons déjà résolue, théoriquement p.15t numériquementp.19 Nous suivons ici une autre voie, basée sur la conservationde l’énergie.Cette EDO linéaire du second ordre se transforme en unsystème de deux EDO du premier ordre en posant y = x ′.L’équation (EDO2,Ressort), devient alors{ dx

dt = ydydt = −ω2x

(EDO1,Ressort)





La quantité E(x , y) = ω2.x2 + y2 est conservée le long d’unesolution de ce système d’EDO. Et effet, soient x , y : I → R uncouple de solutions de EDO1,Ressort et posons, pour t ∈ I,

e(t) = E(x(t), y(t))

On a alors, par dérivation de fonctions composées,

∀t ∈ I, e′(t) = 2.ω2.x(t).x ′(t) + 2y(t).y ′(t)





Sachant que

∀t ∈ I, x ′(t) = y(t) et y ′(t) = −ω2.x(t)

En substituant x ′(t) et y ′(t) dans l’équation précédente, onobtient

∀t ∈ I, e′(t) = 2.ω2.x(t).y(t)− 2y(t).ω2.x(t) = 0

La fonction e est donc de dérivée nulle sur l’intervalle I, elle yest donc constante.





La constance de cette fonction e, qui est construite à partir deE et de la solution (x , y) de (EDO1,Ressort) est ce que nousentendons par la locution « La quantité E(x , y) = ω2.x2 + y2

est conservée le long d’une solution de ce système d’EDO »Les physiciens auront reconnu le principe de la conservation del’énérgie mécanique totale. La quantité E est proportionnelle àl’énergie mécanique totale.La conséquence géométrique est que si l’on trace une solutionde (EDO1,Ressort) dans le plan muni des coordonnées (x , y),le plan de phases, cette solution est contrainte à rester dansune ligne de niveau de E . c.f. Fig. 19.





−2 −1 −12

0 12

1 2

x

−2ω

−ω

−12ω

0

12ω

ω

2ω

y

E=ω2

E= 4ω2

E= 14ω2

FIGURE – Quelques lignes de niveau de EModélisation Déterministe :Compléments




En résumé, on a obtenu, par la constance de l’énergie, pourune solution (x , y) du système (EDO1,Ressort) une équationcartésienne de la trajectoire. Il s’agit d’une informationdifférente (et complémentaire) de celle obtenue par la méthodede l’équation caractéristique qui donne un système d’équationsparamétriques de la trajectoire, i.e. x et y en fonction de t .





Reprenons l’équation du pendule pesant que nous avonsrésolue numériquement p.16On repère la position d’un pendule pesant (masse m, longueur`) par l’angle θ que celui-ci fait avec la verticale.

θ′′ +g`

sin θ = 0 (EDO2,Pendule)





FIGURE – Les forces agissant sur une masse M située au bout d’unpendule. L’angle θ = 0 correspond à la verticale.





On peut choisir l’unité de temps de sorte que g` = 1 et on

transformons cette EDO du second ordre en un systèmed’EDO du premier ordre par la méthode usuelle en définissantla vitesse angulaire ω = θ′. θ est solution de (EDO,Pend) si etseulement si le couple (θ, ω) satisfait, sur I.

θ′ = ω et ω′ = − sin θ (EDO1,Pendule)

La quantité E(θ, ω) = (1− cos θ) + 12ω

2 est conservée le longd’une solution de ce système d’EDO.





−2π −π −π2 0 π

2π 2π

θ

2

1

0

1

2

ω 1.0

00

1.0

00

1.0

00

2.0

00

3.000

3.000

FIGURE – Quelques lignes de niveau de EModélisation Déterministe :Compléments




En résumé, on a obtenu, par la constance de l’énergie, pourune solution (θ, ω) du système (EDO1,Pendule) une équationcartésienne de la trajectoire. Pour résoudre complètement cesystème d’EDO, il faudrait maintenant obtenir un systèmed’équations paramétriques, i.e. l’expression de θ et ω enfonction de t . C’est un niveau de difficulté nettement au-dessus.





Le modèle de LOTKA–VOLTERRA ou modèle proie-prédateurest un modèle où deux populations coexistent, une populationde proies qui tend à augmenter d’autant plus qu’il y a moins deprédateurs et une population de prédateurs qui tendent à sedécroitre lorsque qu’il y a peu de proies 5.Appelons D le nombre de proies à l’instant t , G le nombre deprédateurs 6, rD et rG leurs taux de croissance respectifs. Onfait l’hypothèse que

rG = −rg + kG.D et rD = rd − kD.G

où rg , kG, rd et kD sont des constantes positives.

5. et inversement !6. D comme délicieux et G comme gourmet. P et P ça ne pouvait pas aller





On a donc le système d’EDO.

dGdt

= (−rg + kG.D).G etdDdt

= (rd − kD.G).D

Ces EDO sont non linéaires et couplées. Les points d’équilibrejouent, comme toujours, un rôle crucial : ici le point d’équilibrede coordonnées strictement positives est

(Gc ,Dc) = (rd

kD,

rg

kG)

En posant u = GGc

et v = DDc

, le système devient

dudt

= −rg(1− v).u etdvdt

= +rd(1− u).v





Ce système se « résout »avec le même type de méthode quepour le pendule pesant. On remarque qu’en posant

E = rd(ln u − u) + rg(ln v − v) = ln(urd e−rd .uv rg e−rg .v

)On a

dEdt

= rd1− u

ududt

+ rg1− v

vdvdt

= 0

et donc E est constante dans l’évolution. Les lignes de niveaude E jouent un rôle important dans la résolution.Les figures 12 et 13 montrent les résultats de simulations(portrait de phase et graphes) obtenues par l’application d’unschéma d’EULER





Gc

G

Dc

D

t=0.0t=5.0

t=10.0

t=30.0

Euler: G,D

FIGURE – LOTKA–VOLTERRA, EULER standard : portrait de phaseModélisation Déterministe :Compléments




0.0 5.0 10.0 30.0t

Gc

Dc

G/D

G D

FIGURE – LOTKA–VOLTERRA, EULER standard : graphesModélisation Déterministe :Compléments




Nous sommes confrontés au problème que la méthoded’EULER simple ne conserve pas l’énergie E . Les graphessuivants sont issus d’une méthode avec correction où, àchaque pas de la méthode d’EULER, on corrige les valeurscalculées pour que l’énergie reste conservée.Les figures 14 et 15 montrent les résultats de simulations(portrait de phase et graphes) obtenues par l’application d’unschéma d’EULER corrigé.





Gc

G

Dc

D

t=0.0

t=5.0

t=10.0

t=30.0

Euler: G,D

FIGURE – LOTKA–VOLTERRA, EULER corrigé : portrait de phaseModélisation Déterministe :Compléments




0.0 5.0 10.0 30.0t

Gc

Dc

G/D

G D

FIGURE – LOTKA–VOLTERRA, EULER corrigé : graphesModélisation Déterministe :Compléments




Il faut parfois se confronter au réel !Je n’ai pas pu retrouver les graphes originaux de VOLTERRA

(1928) qui traitait de poissons dans l’Adriatique. On trouve surle web quelques graphes issus de données réelles. La figure16 montre les évolutions de la population de lièvres et de lynxau nord du canada.





FIGURE – Populations de Lièvres et Lynx au Canada-(PURVES et al.,1992)





FIGURE – Simulation proies/prédateurs avec comportement individuelprobabiliste, G. ROBERT, 2017


Documents

Modélisation Déterministe :Compléments