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Présenté par :
RAVELOSON Onjalalaina Judicaël Marcia
Promotion : 2014
UNIVERSITE D’ANTANANARIVO
ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE
DEPARTEMENT MINES
MEMOIRE DE FIN D’ETUDES
EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE
MASTER EN INGENIERIE MINIERE
TITRE : INGENIORAT DES MINES
CONCEPTION D’UN PROGRAMME DE
Modélisation Géostatistique Basé SUR DES
CODES SOURCES OUVERTS
UNIVERSITE D’ANTANANARIVO
ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE
DEPARTEMENT MINES
MEMOIRE DE FIN D’ETUDES
EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE
MASTER EN INGENIERIE MINIERE
TITRE : INGENIORAT DES MINES
Présenté et soutenu publiquement le 19 Novembre 2015 par :
RAVELOSON Onjalalaina Judicaël Marcia
Devant le Jury composé de :
Président : Monsieur RANAIVOSON Léon Félix, Chef de Département Mines
Rapporteur : Monsieur ANDRIATSITOMANARIVOMANJAKA Rasamoelina Naina
Examinateurs : Monsieur DAMY Joachin Clotaire
Monsieur FABIEN Remi Roger
Monsieur RAZAFINDRAKOTO Boni Gauthier
CONCEPTION D’UN PROGRAMME DE
Modélisation Géostatistique Basé SUR DES
CODES SOURCES OUVERTS
«Ny fatahorana an’i Jehovah no
fiandoham-pahendrena ;
Ary ny fahafantarana ny Iray Masina no
fahazavan-tsaina. »
Ohabolana 9 :10
i
REMERCIEMENTS
Ces années d’études au sein de l’ESPA m’ont été d’une extrême importance. D’abord,
scientifiquement et techniquement, elles m’ont permis d’aborder des thématiques variées, et
aussi humainement, j’ai pu rencontrer des personnes venant de divers horizons passionnées par
leur désir et leur soif d’apprendre.
Aussi, je rends grâce à Dieu puisqu’Il m’a donné la santé et la force qui m’ont permis
de mener à terme mes études et de terminer jusqu’au bout les travaux relatifs à ce mémoire.
Je tiens à adresser mes vifs remerciements en particulier à :
Monsieur ANDRIANARY Philippe Antoine, Directeur de l'ESPA pour m'avoir
accueilli dans l’établissement durant ces cinq dernières années.
Monsieur RANAIVOSON Léon Félix, Chef de Département Mines, qui a fait en sorte
que ces années dans la filière Mines nous ont vraiment formés et instruits.
Mon encadreur pédagogique monsieur ANDRIATSITOMANARIVOMANJAKA
Rasamoelina Naina, enseignant à l’ESPA, pour ses précieux conseils, sa disponibilité,
sa patience ainsi que sa relecture attentive et constructive de ce rapport. Je le remercie
pour l'honneur qu'il m'a donné en acceptant de m'encadrer tout en me prodiguant des
conseils dans l’orientation et l’élaboration du présent mémoire.
Mes examinateurs, monsieur DAMY Joachin Clotaire, monsieur FABIEN Remi
Roger, et monsieur RAZAFINDRAKOTO Boni Gauthier, pour m'avoir fait
l'honneur d'examiner ce mémoire. Je suis très sensible à la bienveillante spontanéité
avec laquelle ils ont accepté de faire partie des membres du Jury de soutenance.
Je salue le dévouement et les sacrifices prodigués par ma famille, durant ces longues
années d'études, sans oublier leurs soutiens tant affectifs et moraux ainsi que matériels qui
m’ont toujours encouragé à entreprendre mes études universitaires.
Enfin, sans qu'il soit possible de les énumérer tous, j’exprime mes plus sincères
reconnaissances à tous ceux qui ont contribué de près ou de loin à la réalisation de ce présent
mémoire.
Merci infiniment !!!
ii
SOMMAIRE
LISTE DES ABREVIATIONS ET DES ACRONYMES
LISTE DES ANNEXES
LISTE DES TABLEAUX
LISTE DES FIGURES
GLOSSAIRE
INTRODUCTION
PARTIE I : GENERALITES SUR LA GEOSTATISTIQUE
Chapitre 1. Introduction à la géostatistique
1.1. Introduction générale
1.2. Histoire de la géostatistique
1.3. Langage de la géostatistique
Chapitre 2. Utilisation de la géostatistique
2.1. Définition de la géostatistique
2.2. Objet de la géostatistique
2.3. Application de la géostatistique à la recherche minière
PARTIE II : METHODOLOGIE DE L’ESTIMATION DES RESERVES
Chapitre 3. Nuance entre ressources minérales et réserves minérales
3.1. Ressources minérales
3.2. Réserves minérales
iii
Chapitre 4. Théorie des variables régionalisées
4.1. Variables régionalisées
4.2. Fonctions aléatoires
4.3. Variogrammes et modèles de variogrammes
4.4. Régression
4.5. Variance de dispersion - Variance d’estimation
Chapitre 5. Analyse structurale
5.1. Objet de l’analyse structurale
5.2. Acquisition et vérification des données
5.3. Calcul du variogramme expérimental
5.4. Ajustement du variogramme expérimental à un modèle mathématique
Chapitre 6. Modélisations géostatistiques
6.1. Krigeage
6.2. Simulations
Chapitre 7. Estimation des réserves
7.1. Généralités
7.2. Calcul d’estimation de réserve
7.3. Estimation globale – Estimation locale
PARTIE III : ELABORATION DU PROGRAMME "SoftORE"
Chapitre 8. A propos du programme
8.1. Présentation de "SoftORE"
8.2. Langages de programmation : Fortran et Visual Basic
8.3. Spécificité
8.4. Structure du programme
iv
Chapitre 9. Les fonctionnalités disponibles utilisées par "SoftORE"
9.1. Options
9.2. Exécution des programmes individuels
9.3. Affichage des résultats
9.4. Interface graphique
Chapitre 10. Application de SoftORE : cas des réserves de nickel d’Ambatovy
10.1. Informations sur le gisement de nickel d’Ambatovy
10.2. Analyse variographique
10.3. Krigeage - Simulation - Estimation globale
CONCLUSION GENERALE
ANNEXES
BIBLIOGRAPHIE
WEBOGRAPHIE
TABLE DES MATIERES
v
LISTE DES ABREVIATIONS ET DES ACRONYMES
1D : Une dimension (ou unidimensionnel)
2D : Deux dimensions (ou bidimensionnel)
3D : Trois dimensions (ou tridimensionnel)
ASCII : American Standard Code for Information Interchange
BASIC : Beginner's All-purpose Symbolic Instruction Code
BMP : BitMaP
CD-ROM : Compact Disc/Read-Only Memory
CNRS : Centre National de la Recherche Scientifique
DOS : Disk Operating System
ERE : Erreur Relative d'Estimation
ESPA : Ecole Supérieure Polytechnique d'Antananarivo
Fortran : Formula Translation
Geo-EAS : Geostatistical Environmental Assessment Software
GNU : GNU’s Not UNIX
GPL : General Public License
Gzip : GNU Zip
IBM : International Business Machines
Ltd. : Limited Company
MS-DOS : Microsoft Disk Operating System
MyLib : My Library
N.B : Nota Bene
Ni : Nickel
OS/2 : Operating System/2
vi
PDF : Portable Document Format
Q-Q : Quantile-Quantile
SoftORE : Software for Ore Reserve Estimation
TIFF : Tagged Image File Format
UNIX : UNiplexed Information and Computing Service
USB : Universal Serial Bus
VA : Variable Aléatoire
VB : Visual Basic
VBA : Visual Basic for Applications
VR : Variable Régionalisée
Win32 : Windows 32 bits
vii
LISTE DES ANNEXES
Annexe 1 : Classification des ressources et des réserves…………………..xiii
Annexe 2 : Abaques pour le modèle sphérique …………………..………………………xiv
Annexe 3 : Présentation des modules disponibles dans SoftORE……………………….xvi
Annexe 4 : Extrait des codes sources de quelques programmes de MyLib……………xviii
Annexe 5 : A propos de GSview/Ghostscript…………………………………………..…xxi
viii
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1 : Raccordement d‘un variogramme expérimental à un modèle théorique…..50
Tableau 2 : Valeurs du variogramme de la teneur en nickel..............................................99
Tableau 3 : Valeurs du variogramme de l’accumulation …….........................................101
Tableau 4 : Valeurs du variogramme modélisé de la teneur en nickel............................105
Tableau 5 : Valeurs du variogramme modélisé de l’accumulation …….........................108
Tableau 6 : Résultats de la teneur en nickel estimée par krigeage...................................112
Tableau 7 : Résultats de l’accumulation estimée par krigeage.........................................114
Tableau 8 : Résultats caractéristiques du gisement d’Ambatovy.....................................121
ix
LISTE DES FIGURES
Figure 1 : Nuage de corrélation, teneur estimée et teneur vraie. Les quatre zones de la
justesse de la décision minerai/stérile à partir d’un seuil de teneur………………………9
Figure 2 : Variable régionalisée dans l’espace…………………………………………….18
Figure 3 : Exemple de minéralisation……………………………………...………………18
Figure 4 : Portée et palier de variogramme……………………………...…………...……22
Figure 5 : Anisotropie elliptique ou géométrique……...………………………………….23
Figure 6 : Anisotropie zonale……………...………………………………………………..23
Figure 7 : Variogramme à effet de pépite ou nugget effect……………………………….25
Figure 8 : Variogramme à palier…………………………………………………...………25
Figure 9a : Modèle exponentiel…………………………………………………………...27
Figure 9a : Modèle exponentiel…………………………………………………………...27
Figure 10 : Variogramme sphérique…………………………………………………….…28
Figure 11 : Variogramme linéaire avec a=1……………………………………………….29
Figure 12 : Variogramme de Wisjeen………………………………………………...……29
Figure 13a : Modèle à effet de trou…………………...……………………………………30
Figure 13b : Modèle à effet de trou……………………………...…………………………31
Figure 14 : Variogramme composé…………………………...……………………………32
Figure 15 : Illustration du variogramme composé…………...………………………...…32
Figure 16 : Cas de la dispersion multiplicative………………................................………33
Figure 17 : Cas de la dispersion additive……………......................................................…34
Figure 18 : Droite des moindres…………….....................................................................…34
Figure 19a : Estimation d’une teneur……………...........................................................…37
Figure 19b : Estimation d’une teneur……………................................………………...…38
x
Figure 20 : Variance d’estimation à 5% de précision……………..................................…42
Figure 21 : Fonction auxiliaire L ……………................................…….……………...42
Figure 22 : Fonction auxiliaire F L ……………................................................................43
Figure 23 : Fonction auxiliaire ,L l ……………………………………..………...…44
Figure 24 : Fonction auxiliaire ,H L l ……………………………………...…………..….45
Figure 25 : Fonction auxiliaire ,F L l ……………………………………..….………….…45
Figure 26a : Détermination de la portée a……………………………………...……….…49
Figure 26b : Raccordement d‘un variogramme expérimental à un modèle théorique…50
Figure 27 : Krigeage et simulation conditionnelle à partir des mêmes données………...56
Figure 28 : Simulation 1D (ici alternance de valeurs +1 et -1) et son épandage dans
l’espace……………………………………..……………………………………………...…58
Figure 29 : Schéma principe de la compilation…………………………………..…..……72
Figure 30 : Schéma principe d’un interprète……………………………………..…….…72
Figure 31 : Fenêtre d’accueil du programme SoftORE……………..……………………74
Figure 32 : Interface graphique de SoftORE……………………………………..….……74
Figure 33 : Fenêtre de l’option "Files"……………………………………..……………...76
Figure 34 : Fenêtre de l’option "Parameters"……………………………………….……77
Figure 35 : Fenêtre du répertoire de projet………………………………………..………78
Figure 36 : Barre des menus du programme SoftORE………………………………...…78
Figure 37 : Interface "Histplt"……………………………………..………………………80
Figure 38 : Affichage des résultats de données sous l’invite de commande DOS….……81
Figure 39 : Affichage des résultats de données sous GsView……………………..………82
xi
Figure 40 : Menu "Variogram" élargi avec un fichier GV_twowell.par…………...……83
Figure 41 : Clic droit du fichier GV_twowell.par……………………………..………..…83
Figure 42 : Fenêtre batch de SoftORE……………………………………..………………84
Figure 43 : Exemple de trois programmes au Batch script de SoftORE…………...……85
Figure 44 : Aperçu des premières lignes du fichier de données Ambatovy.dat…………..87
Figure 45a : Echantillons……………………………………………………………………88
Figure 45b : Echantillons……………………………………………………….…..………89
Figure 46 : Points d’échantillonnage……………………………………………….………91
Figure 47 : Carte de localisation……………………………………..…………………..…92
Figure 48 : Histogramme de la teneur en nickel ……………………………...…..………94
Figure 49 : Histogramme de l’accumulation ……...……………………………………....95
Figure 50 : Classe d’angle et de distance……………………………………..……………97
Figure 51a : Variogramme de la teneur en nickel……………………………………..…100
Figure 51b : Variogramme de la teneur en nickel (avec ligne) …………………………100
Figure 52a : Variogramme de l’accumulation ……..……………………………………102
Figure 52b : Variogramme de l’accumulation (avec ligne) …………...………...………102
Figure 53 : Paramètre vmodel de SoftORE de la teneur en nickel …...………..………104
Figure 54 : Modélisation du variogramme de la teneur en nickel …………………...…106
Figure 55 : Paramètre vmodel de SoftORE de l’accumulation ……...………………....107
Figure 56 : Modélisation du variogramme de l’accumulation ………………………….109
Figure 57a : Teneur en nickel estimée par krigeage………………..…..………………..113
Figure 57b : Teneur en nickel estimée par simulation……………………...……….…..113
Figure 58a : Accumulation du nickel estimée par krigeage……………...………….…..115
Figure 58b : Accumulation du nickel estimée par simulation…………………...……...115
xii
GLOSSAIRE
Analyse structurale (ou variographie, ou analyse variographique) : estimation et étude d'un
variogramme sur une variable aléatoire.
Anisotropie (contraire d'isotropie) : c’est la propriété d'être dépendant de la direction. Quelque
chose d'anisotrope pourra présenter différentes caractéristiques selon son orientation.
Cokrigeage : en géostatistique, c’est une extension du krigeage au cas multivarié. Dans le cas
simple, l'on souhaite interpoler une variable régionalisée Z en s'appuyant sur une variable
régionaliséeY .
Corrélation : en probabilités et en statistiques, étudier la corrélation entre deux ou plusieurs
variables aléatoires ou statistiques numériques, c’est étudier l'intensité de la liaison qui peut
exister entre ces variables.
Corrélogramme : en analyse des données, c’est une représentation graphique mettant en
évidence une ou plusieurs corrélations entre des séries de données.
Covariance : en théorie des probabilités et en statistique, la covariance entre deux variables
aléatoires est un nombre permettant de quantifier leurs écarts conjoints par rapport à leurs
espérances respectives. Elle s’utilise également pour deux séries de données numériques (écarts
par rapport aux moyennes). La covariance de deux variables aléatoires indépendantes est
nulle, bien que la réciproque ne soit pas toujours vraie. En bref, c’est une extension de la notion
de variance.
Dispersion : décrit dans quelle mesure, les observations sont divergentes autour de la tendance
centrale.
Ecart-type : une notion mathématique définie en probabilités et appliquée à la statistique. En
probabilité, l'écart type est une mesure de la dispersion d'une variable aléatoire ; en statistique,
il est une mesure de dispersion de données.
Espérance mathématique : valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un
grand nombre de fois la même expérience aléatoire. Elle se note ( )E X et se lit "espérance de
X ".
Estimation : en géostatistique, c’est la recherche d'une valeur globale ou locale d'une variable
régionalisée ; c'est l'équivalent d'une prédiction en statistique.
xiii
Géostatistique : étude des variables régionalisées, à la frontière entre les mathématiques et les
sciences de la Terre. Son principal domaine d'utilisation a historiquement été l'estimation des
gisements miniers, mais son domaine d'application actuel est beaucoup plus large et tout
phénomène spatialisé peut être étudié en utilisant la géostatistique.
Géostatistique intrinsèque : branche de la géostatistique qui étudie une variable régionalisée
en le considérant comme une réalisation d'une fonction aléatoire.
Géostatistique transitive : branche de la géostatistique qui étudie la variable régionalisée
sans hypothèse supplémentaire.
Histogramme : diagramme formé d'une suite de colonnes avec un intervalle de classe en
abscisse et une courbe de fréquences en ordonnée.
Indépendance : notion probabiliste qualifiant de manière intuitive des événements aléatoires
n'ayant aucune influence l'un sur l'autre. Il s'agit d'une notion très importante en statistique et
en théorie des probabilités.
Indice (pour une substance) : traces observées en un point permettant d’envisager que cette
substance existe non loin en plus grande abondance.
Interpolation spatiale : en géostatistique, elle consiste à reconstruire les valeurs d'une variable
régionalisée sur un domaine à partir d'échantillons connus en un nombre limité de points.
Isotropie : caractérise l’invariance des propriétés physiques d’un milieu en fonction de la
direction.
Krigeage : terme provenant du nom de famille de l'ingénieur minier sud-africain "Danie G.
Krige". Il a été formalisé pour la prospection minière par Georges Matheron.
En géostatistique, c’est la méthode d’estimation linéaire garantissant le minimum de
variance. Il réalise aussi l'interpolation spatiale d'une variable régionalisée par calcul de
l'espérance mathématique d'une variable aléatoire, utilisant l'interprétation et la
modélisation du variogramme expérimental.
Krigeage universel : c’est un krigeage des résidus d'une variable après avoir modélisé les
variations systématiques de cette variable par une tendance générale.
Palier : en géostatistique, il représente la valeur de la semi-variance à partir de laquelle un
variogramme ne croît plus.
xiv
Pépite : en géostatistique, elle indique la valeur de la semi-variance vers laquelle on tend
quand la distance entre les observations tend vers 0. Elle représente les variations spatiales liées
aux erreurs de mesure ou à des variations à des distances inférieures au pas d'échantillonnage.
Portée : en géostatistique, distance à partir de laquelle un variogramme ne croît plus ; elle est
interprétée comme la distance à partir de laquelle des observations ne sont plus corrélées entre
elles.
Simulation : en géostatistique, c’est une méthode qui vise à proposer une variable
régionalisée reproduisant un phénomène (ou processus) désiré. On parle de simulation
conditionnelle lorsque les valeurs de la variable régionalisée en certains points sont définies.
Sondage : action de creuser pour prélever un échantillon dans le sous-sol, pour effectuer des
mesures.
Variable aléatoire : en théorie des probabilités, c’est une application définie sur l'ensemble
des éventualités, c'est-à-dire l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire.
Variable régionalisée (VR) : dans le domaine de la géostatistique, c’est toute fonction
mathématique déterministe qui est destinée à modéliser un phénomène présentant une structure
plus ou moins prononcée dans l'espace et/ou le temps : phénomène physique ou abstrait.
Variance : en statistique et en théorie des probabilités, c’est une mesure servant à caractériser
la dispersion d'un échantillon ou d'une distribution. Elle indique de quelle manière la série
statistique ou la variable aléatoire se disperse autour de sa moyenne ou son espérance. Une
variance de zéro signale que toutes les valeurs sont identiques. Une petite variance est signe
que les valeurs sont proches les unes des autres alors qu'une variance élevée est signe que celles-
ci sont très écartées.
Variation d'échantillonnage : variation qu'accusent des échantillons d'une même population
qui sont différents, mais d'une même taille.
Variogramme : une fonction mathématique utilisée en géostatistique, en particulier pour le
krigeage. On parle également de semivariogramme, de par le facteur 12
de sa définition.
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
M
INES
2014
1
INTRODUCTION
Actuellement, les sciences et techniques se développent à une vitesse impressionnante,
et plus particulièrement dans le domaine de l’informatique qui recouvre la quasi-totalité de
toutes nos activités quotidiennes et/ou professionnelles.
Pour cette raison, ce mémoire a donc pour objectif principal à concevoir un programme
pour l’estimation des réserves, dénommé "SoftORE", afin de faciliter la tâche humaine dans
l’application de la géostatistique en traitant les données minières d’un gisement par le biais d’un
ordinateur.
Pour ce faire, cet ouvrage qui s’intitule "Conception d’un programme de modélisation
géostatistique basé sur des codes sources ouverts" se structure en trois parties distinctes. La
première partie parlera de la géostatistique en générale tout en abordant son origine et
l’importance de son utilisation dans l’industrie minière. Ensuite, la seconde partie sera
consacrée à la méthodologie de l’estimation des réserves, où l’on peut voir en détail sur les
outils mathématiques de la géostatistique dans la théorie des variables régionalisées, l’analyse
structurale, les modélisations par krigeage et par simulations, et ainsi que les différentes
méthodes de calcul pour estimer les réserves. Et enfin, dans la troisième partie, on présentera
l’élaboration du programme "SoftORE" tout en mentionnant les modules disponibles pour
traiter les fichiers de données minières, et son application dans le cas des réserves du gisement
de nickel d’Ambatovy jusqu’à l’affichage des résultats.
L’intérêt de ce mémoire est donc de faire connaître la nécessité de la programmation
informatique dans le domaine minier, puis la réalisation et la démonstration de l’efficacité de
ce programme.
2
PARTIE I : GENERALITES SUR LA GEOSTATISTIQUE
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
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Chapitre 1. Introduction à la géostatistique
1.1. Introduction générale [10]
Dans les années 50, des ingénieurs des mines sud-africains faisaient des calculs pour
évaluer les ressources en minerai d’un gisement à partir d’un petit nombre de sondages prélevés
en des sites irrégulièrement répartis dans le domaine d’étude. Dans ce contexte, la quantité
d’intérêt (la réserve totale disponible) était inconnue et traitée comme une variable aléatoire.
Mais il était impossible d’assimiler les teneurs mesurées aux différents sites sondés à des
réalisations de variables aléatoires indépendantes. En effet, si on suppose une indépendance
statistique entre les mesures réalisées entre différents points de l’espace, la meilleur prédiction
que l’on peut faire de la teneur en un site non informé (i.e où l’on n’a pas réalisé de sondage)
est d’attribuer la moyenne de l’échantillon. On sent bien que cette “solution” a quelque chose
de sous-optimal, en particulier il semble souhaitable d’utiliser une méthode qui donne plus de
poids aux sites proches qu’aux autres points de mesure.
On rencontre dans cette situation :
un formalisme probabiliste pour représenter des quantités inconnues,
l’impossibilité de supposer une indépendance entre les données,
l’existence d’une structuration de la variable étudiée par rapport aux coordonnées
d’espace est caractéristique de la statistique spatiale.
Quand les mesures sont réalisées en des sites irrégulièrement espacés choisis par
l’expérimentateur (on dit alors que la position des sites est non informative), on se trouve
exactement dans la situation du problème d’évaluation d’un gisement, qui a donné lieu à de
nombreux développements méthodologiques : la Géostatistique.
Il arrive que les sites de mesures soient régulièrement espacés sur une grille par exemple
lorsque la mesure est réalisée par un satellite. Cette régularité géométrique apporte de
nombreuses simplifications mais elle s’accompagne d’une complication : les données régulières
sont en général fournies en très grand nombre (typiquement 128×128 pixels) et il faut se limiter
à des modèles pour lesquels les calculs ne sont pas trop complexes. C’est précisément l’objet
des techniques statistiques d’analyse d’image.
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
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INES
2014
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Il existe enfin des situations où la position des sites de mesure est une des variables du
problème à modéliser. On peut penser par exemple au problème de l’évaluation de la quantité
de bois d’une parcelle forestière à partir d’un relevé de la position et du volume de quelques
arbres de la parcelle. L’évaluation du volume total passe nécessairement par une évaluation de
la position (inconnue) des arbres non mesurés. Ce type de situation est abordé à l’aide de modèle
spécifique : les processus aléatoires ponctuels.
1.2. Histoire de la géostatistique [25]
La géostatistique est connue depuis près de 40 ans. Tout a commencé dans les mines
d’or du Witwatersrand où Daniel G. KRIGE proposa une correction statistique à la manière
traditionnelle d’estimer la teneur d’un bloc de minerai à partir d’un nombre limité
d’échantillons pris autour du bloc à exploiter. La théorie était formulée 10 ans plus tard par
Georges MATHERON qui introduisit un outil pour analyser la continuité spatiale des teneurs
appelé "le variogramme" et une méthode d’estimation basée sur le variogramme appelée "le
krigeage".
Durant les 20 années suivantes, ces outils ont été employés sur une vaste variété de
gisements du simple minerai de fer sédimentaire à de l'uranium hautement variable ou des cas
de métaux précieux. Ils ont été aussi raffinés. Les dix dernières années ont vu l'apparition de
plusieurs façons efficaces d'analyser la continuité spatiale de minéralisations avec un
variogramme clair. Des variantes de la méthode de krigeage ont été proposées. L'emphase a été
mise sur l'estimation des blocs récupérés (tonnage et teneurs au-dessus des coupures) plutôt
qu'une moyenne d'un simple bloc de teneurs. La simulation conditionnelle a été proposée
comme une alternative à "kriger" pour la production de multiples "images stochastiques" d'un
gisement.
Finalement, dans les gisements où l'exploitation est hautement sélective et le contact
minerai/stérile peu visible, la géostatistique a démontré sa puissance de traitement des données
de contrôle des teneurs. L'avenir de la géostatistique semble brillant. Avec toutes les
expériences et les développements des trente dernières années, la géostatistique est devenue
une alternative possible aux méthodes géométriques traditionnelles de l'estimation des
gisements. D'autres disciplines qui utilisent des données distribuées spatialement (pétrole,
environnement, hydrologie, océanographie, foresterie) ont commencé à l'adopter.
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
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1.3. Langage de la géostatistique [12]
La géostatistique s'intéresse à des grandeurs telles que teneurs, puissances,
accumulations, surfaces et volumes minéralisés, etc., qui sont considérées comme des variables
régionalisées caractérisées par un support (échantillon, coupe) dans un champ (le gisement). Le
rapport dimensionnel support/champ varie dans de larges dimensions suivant le phénomène
étudié, on observe expérimentalement que la dispersion de la variable régionalisée est fonction
inverse du rapport support/champ. Les variables régionalisées sont le reflet des effets
superposés de multiples phénomènes physico-chimiques et de ce fait ont des variations parfois
très brutales qui leur donnent un caractère apparemment aléatoire, alors qu'elles ne sont pourtant
pas indépendantes : deux points proches ont des valeurs "corrélées", la corrélation diminue
lorsque la distance augmente et s’annule au-delà d'une certaine portée. Les variables
régionalisées peuvent être représentées par des "fonctions aléatoires" c’est-à-dire une famille
de fonctions telles qu’une probabilité de réalisation soit associée à chaque membre de la famille.
L'hypothèse de départ est que la distribution de la grandeur étudiée dans le gisement est
une réalisation particulière z x , résultant d'un tirage au sort, d'une fonction aléatoire Z x . La
valeur de la variable en un point 0x est la fonction aléatoire 0Z x dont la réalisation
particulière est 0z x .
Une deuxième hypothèse permet de raisonner à partir de la réalisation particulière
observée : on admet que le phénomène observé est homogène dans l'espace étudié, ce qui
s’exprime en disant que la dispersion du phénomène obéit dans tout le champ à une même loi
de dispersion intrinsèque ou absolue, ou encore que la fonction aléatoire Z x est stationnaire.
En géostatistique d’estimation, on ne considère que les deux premiers moments de cette
fonction, qui doivent être invariables par translation dans tout l'espace de définition. On est
généralement réduit à accepter une "quasi-stationnarité" : stationnarité locale et faible dérive.
Le moment d'ordre 1 est la moyenne (espérance mathématique) :
E Z x E Z x h m ou m h cte
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
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Le moment d'ordre 2 peut être exprimé de plusieurs façons :
2 ,E Z x Z x h m C x h , fonction unique dans tout le domaine (le
gisement), exprimant la covariance qui peut se définir:
,C x h E Z x h m x h Z X m x
On définit également le (semi)-variogramme (fonction liée à la fonction covariance) :
220,5 0,5h h E Z x h Z x
Remarque :
Les massifs rocheux et en particulier les gisements sont très souvent anisotropes. La
stationnarité est relative à une direction de translation (n est un vecteur). Si la covariance et le
variogramme correspondant aux directions principales sont respectivement peu différents, on
adopte généralement une valeur moyenne en considérant l’espace comme isotrope.
1.3.1. Support des observations
Dans la pratique, Z x ne sera jamais mesuré sur un support ponctuel mais sur un
support physique relativement très petit par rapport à la taille du gisement (disons v avec v G
). Il est de toute première importance de s'assurer que toutes les observations proviennent de
supports identiques.
En effet, les statistiques habituelles calculées sur des supports différents n'ont aucun
sens physique précis.
1.3.2. Deux problèmes complexes
L'exemple précédent illustre l'importance de tenir compte du support sur lequel s'opère
la sélection lors de l'exploitation. On reconnaît donc un premier problème : l'information dont
on dispose est définie sur de petites unités échantillonnées (carottes, échantillons en vrac,
cannelures).
Comment, à partir de cette information, prédire ce que sera la distribution d'unités de
sélection d'un volume très supérieur ?
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Supposons que l'on connaisse la loi de distribution des teneurs des blocs. On peut
calculer, comme on l'a fait à l'exemple précédent, les réserves récupérables en fonction des
différentes teneurs de coupure.
Ces réserves calculées correspondent à ce que nous obtiendrions si l’on connaissait
effectivement la vraie teneur de tous les blocs du gisement. En pratique, ces vraies valeurs ne
sont jamais connues et doivent être estimées à partir de l'information disponible. Quel
estimateur choisir ? Quelle quantité d'échantillonnage effectuer ? Peut-on prédire maintenant
ce qui sera effectivement récupéré plus tard à partir d'une quantité d'information supérieure ?
Ces deux problèmes sont fondamentaux en géostatistique, on leur a donné un nom:
l'effet de support et l'effet d'information.
1.3.2.1. Effet de support
En géostatistique, le terme de "support" désigne la taille et le volume d'un échantillon
ou d'un bloc. Ici, les échantillons ont un support de1 1 , tandis que les blocs possèdent un
support de 2 2 . En général, le support des échantillons est plus petit que celui des blocs.
L'effet support indique que la distribution des teneurs dépend de la taille des blocs que
l'on considère. Ainsi pour un même tonnage extrait et supposant que l'on connaisse les vraies
valeurs des blocs, on retire toujours plus de métal si la sélection s'effectue sur de petits blocs
plutôt que sur des gros blocs (l'opération sur de petits blocs est plus sélective). L'effet
information indique que l'on ne dispose pas des vraies teneurs des blocs qui nous intéressent
mais seulement d'une estimation de celles-ci. Pour un même tonnage extrait, la sélection
s'effectuant sur des blocs d'une taille donnée, on récupérera toujours moins de métal avec un
estimateur qu'avec les vraies valeurs. Normalement plus on améliore l'estimateur, soit en
recourant à de meilleures méthodes d'estimation, soit en augmentant le nombre de données,
plus on retire de métal pour un même tonnage.
La méthode polygonale, en prenant pour teneur d'un bloc la teneur d'un échantillon,
substitue à 1'histogramme des blocs celui des échantillons - même s'ils sont très différents. Ceci
explique la mauvaise performance de cet estimateur dès qu'on s'intéresse à la sélectivité, c'est-
à-dire lorsque l'on veut savoir si la variable régionalisée dépasse un certain seuil. Tout bon
estimateur se doit de prendre en compte la différence entre le support des échantillons et celui
des blocs à estimer, c'est-à-dire l'effet de support.
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1.3.2.2. Effet d’information
L'effet d'information est relatif à notre manque d'information au moment précis où nous
devons faire un choix entre les blocs de minerai et les blocs "stériles". Nous disposons
seulement d'estimations des teneurs des blocs, et non des teneurs réelles. On peut faire un
graphique représentant les teneurs réelles (axe des ordonnées) en fonction des teneurs estimées
(axe des abscisses) pour les trois différentes méthodes d'estimation. Pour l'estimateur idéal, les
teneurs estimées seraient égales aux teneurs réelles, si bien que tous les points seraient situés
sur la première diagonale. Malheureusement ce n'est pas le cas.
Lorsqu'on choisit des blocs à exploiter, tous les blocs dont la valeur estimée est
supérieure au seuil fixé sont considérés comme du minerai. Pour représenter ceci
graphiquement, on a dessiné une droite verticale d'équation 30X . Les blocs situés à droite
de cette ligne sont sélectionnés pour être exploités.
Ce que nous voulions en fait, ce sont les blocs dont la teneur réelle est supérieure à 30,
c'est-à-dire les blocs situés au-dessus de la droite horizontale d’équation 30Y . On a ainsi
séparé le plan en quatre zones :
Estimée
Vra
ie
Figure 1 : Nuage de corrélation, teneur estimée et teneur vraie. Les quatre
zones de la justesse de la décision minerai/stérile à partir d’un seuil de teneur.
Source : Caractérisation, estimation et valorisation de gisements d'argiles
kaoliniques du bassin des Charentes
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Teneur réelle > 30 et teneur estimée > 30 : ces blocs de minerai ont été à raison
considérés comme du minerai (Figure 1, zone 1).
Teneur réelle < 30 et teneur estimée < 30 : ces blocs stériles ont été à raison considérés
comme stériles (Figure 1, zone 2).
Teneur réelle > 30 et teneur estimée < 30 : ces blocs de minerai ont été à tort considérés
comme stériles. Cette erreur d'estimation représente un manque à gagner pour la mine
(Figure 1, zone 3).
Teneur réelle < 30 et teneur estimée > 30 : ces blocs stériles ont été considérés à tort
comme du minerai (Figure 1, zone 4).
Cette erreur d'estimation n'empêche en rien le type d'erreur précédent et constitue aussi
un manque à gagner pour la mine.
Nous avons donc vu que l'effet d'information et l'effet de support étaient deux causes
d'erreur importante lors de la prévision des réserves. Nous en savons maintenant plus sur les
propriétés à exiger d'un estimateur. On peut voir que la pondération des données dans le
voisinage des blocs à estimer est importante. La première partie de ce cours traitera du
variogramme. Il s'agit d'un outil statistique permettant d'évaluer la similarité des teneurs de
deux échantillons en fonction de la distance séparant ces échantillons. Dans la seconde partie
du cours, le variogramme permettra de calculer les pondérations optimales à considérer pour
estimer un bloc ou un point (krigeage).
N.B :
Un problème très important relié à l'effet information et à l'effet support est le
problème de biais conditionnel. Très souvent, pour un tonnage extrait donné, on aura retiré
beaucoup moins de métal que ne le prévoyait l'estimation, ce qui risque d'être ruineux pour la
compagnie minière. Pour minimiser ce biais conditionnel, il faut utiliser des estimateurs qui
tiennent compte à la fois de l'effet support et de l'effet information. C'est ce qui fait le krigeage.
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Chapitre 2. Utilisation de la géostatistique
2.1. Définition de la géostatistique [1]
Une première définition consiste à classer la géostatistique comme une science qui sert
à déterminer la précision sur l’évaluation d’un gisement. Dans la phase de prospection, on
utilise la reconnaissance systématique pour estimer les tonnages du minerai T contenu dans le
gisement, les tonnages du métal Q , et les teneurs " x " liées par la relation :
Q T x
On peut aussi définir la géostatistique comme une application du formalisme de
fonctions aléatoires à la reconnaissance et à l’estimation des phénomènes naturels comme
l’évaluation du gisement pour l’industrie minière, l’estimation des quantités des espèces
végétales pour l’environnement, etc.
2.2. Objet de la géostatistique [22]
Le terme géostatistique, employé par Georges MATHERON, désigne l’emploi de la
statistique dans l’étude des phénomènes géologiques.
Lors de l’évaluation d’un gisement, on doit avoir les résultats suivants :
le volume du minerai ou cubage ;
le tonnage du minerai ;
la quantité du métal contenu dans le gisement ;
la définition d’un mode d’exploitation ;
la définition du type de traitement.
2.3. Application de la géostatistique à la recherche minière [1]
La géostatistique est appliquée à la recherche minière en utilisant essentiellement
différentes informations qui sont disponibles concernant le gisement. Ces informations doivent
être de qualité et de quantité suffisantes, telles que les informations sur les structures
géologiques, sur les valeurs des teneurs obtenues lors des campagnes de sondage.
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Voici quelques opérations utilisant l'approche géostatistique :
2.3.1. Estimation globale d’un gisement
Une fois que la première campagne systématique est achevée, on procède généralement
à l’estimation globale des ressources in situ, aux estimations du tonnage du minerai, de la
quantité du métal et de la teneur moyenne par krigeage.
La détermination de l'erreur d'estimation sous forme de variance de krigeage est aussi
obtenue à l'aide de la géostatistique. Elle constitue l'un des principaux avantages de la
géostatistique par rapport aux méthodes traditionnelles d'estimation.
Au stade de l’évaluation globale des ressources, il n’y a pas de méthode spécifique de
la géostatistique pour la détermination de cette estimation. Par exemple, une minéralisation en
surface peut-être estimée par interpolation entre les trous de forage négatifs et positifs.
2.3.2. Estimation locale
Une fois la minéralisation jugée exploitable, la phase suivante est l'estimation bloc par
bloc. Cette estimation locale donne non seulement des renseignements sur la distribution
spatiale in situ des ressources, mais aussi le tonnage et la teneur moyenne des blocs à exploiter.
Elle peut aussi fournir des valeurs estimées à l’aide des variables de qualité comme la teneur en
cendre, en sulfure, la capacité calorifique, etc.
2.3.3. Espacement des trous de sondage
On peut à l’aide de la géostatistique évaluer la variance d'estimation pour plusieurs
variétés de schéma de sondage. Ainsi, sans avoir à exécuter de sondages, on peut calculer la
variance d'estimation dépendant à la fois du modèle de variogramme et de la localisation des
trous de sondage. On peut donc réaliser une économie sur le budget alloué au sondage ou à
l'échantillonnage.
On remarque aussi que la géostatistique est utilisée généralement pour le cas de
l'estimation des valeurs dans les mailles régulières.
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2.3.4. Estimation de la récupération
L’ingénieur responsable doit prévoir le taux de récupération et les teneurs récupérées
des blocs de taille spécifiées pour le traitement. La teneur moyenne des blocs doit être
supérieure à la teneur de coupure économique.
2.3.5. Analyse structurale
C’est une étude qui consiste à élaborer un modèle optionnel de variogramme
caractéristique de la région. On y étudie la nature physique du phénomène. L’objectif était de
parvenir à estimer les caractéristiques du gisement.
Un variogramme représente l’espérance mathématique du carré de l’écart, les
accroissements de la valeur de la variable étudiée lorsqu’on passe d’un point x à un autre point
x’ distant de h du premier.
Soit 2
2 h E Z x h Z x
Z x étant la variable étudiée (teneur), h ainsi définie s’appelle le
"variogramme".
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PARTIE II : METHODOLOGIE DE L’ESTIMATION DES
RESERVES
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Chapitre 3. Nuance entre les ressources minérales et les
réserves minérales
3.1. Ressources minérales [3]
Les ressources minérales sont des concentrations ou indices minéralisés d'une substance
naturelle solide organique ou inorganique présente au sein ou sur la croûte terrestre, dont la
forme, la quantité et la teneur ou qualité sont telles qu'elles présentent des perspectives
raisonnables d'extraction rentable.
Suivant l'ordre croissant de confiance géologique, elles sont subdivisées en :
Ressources présumées,
Ressources indiquées,
Ressources mesurées.
3.1.1. Les ressources minérales présumées
Une "ressource minérale présumée" constitue la partie de la ressource minérale dont
on peut estimer la quantité et la teneur ou qualité sur la base de preuves géologiques et d'un
échantillonnage restreint et dont on peut raisonnablement présumer, sans toutefois la vérifier,
de la continuité de la géologie et des teneurs. L'estimation est fondée sur des renseignements et
un échantillonnage restreints, recueillis à l'aide de techniques appropriées à partir
d'emplacements tels des affleurements, des tranchées, des puits, des chantiers et des sondages.
En raison de l'incertitude liée à cette catégorie, on ne peut émettre l'hypothèse que des
ressources minérales présumées passeront, en tout ou en partie, à une catégorie supérieure, les
ressources minérales indiquées ou mesurées, par suite de travaux d'exploration. Le degré de
confiance de l'estimation est insuffisant pour permettre la mise en application significative de
paramètres techniques et économiques ou pour permettre une évaluation de la viabilité
économique qu'il serait justifié de rendre publique. Les ressources minérales présumées doivent
être exclues des estimations formant la base des études de faisabilité ou autres études
économiques.
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3.1.2. Les ressources minérales indiquées
Une "ressource minérale indiquée" constitue la partie de la ressource minérale dont on
peut estimer la quantité et la teneur ou qualité, la densité, la forme et les caractéristiques
physiques avec un niveau de confiance suffisant pour permettre la mise en place appropriée de
paramètres techniques et économiques en vue de justifier la planification minière et l'évaluation
de la viabilité économique du gisement. L'estimation est fondée sur des renseignements
détaillés et fiables relativement à l'exploration et aux essais, recueillis à l'aide de techniques
appropriées à partir d'emplacements tels des affleurements, des tranchées, des puits, des
chantiers et des sondages dont l'espacement est assez serré pour émettre une hypothèse
raisonnable sur la continuité de la géologie et des teneurs.
Une minéralisation peut être classée dans la catégorie des ressources minérales
indiquées par la personne qualifiée lorsque la nature, la qualité, la quantité et la distribution
des données sont telles qu'elles permettent d'interpréter avec confiance le contexte géologique
et d'émettre une hypothèse raisonnable sur la continuité de la minéralisation. La personne
qualifiée doit reconnaître l'importance de la catégorie des ressources minérales indiquées pour
l'avancement de la faisabilité du projet. La qualité d'une estimation de ressource minérale
indiquée est suffisante pour justifier une étude préliminaire de faisabilité pouvant servir de base
à la prise de décisions majeures d'aménagement.
3.1.3. Les ressources minérales mesurées
Une "ressource minérale mesurée" constitue la partie des ressources minérales dont la
quantité et la teneur ou qualité, la densité, la forme et les caractéristiques physiques sont si bien
établies que l'on peut les estimer avec suffisamment de confiance pour permettre une
considération adéquate de paramètres techniques et économiques en vue de justifier la
planification de la production et l'évaluation de la viabilité économique du gisement.
L'estimation est fondée sur des renseignements détaillés et fiables relativement à l'exploration
et aux essais, recueillis à l'aide de techniques appropriées à partir d'emplacements tels des
affleurements, des tranchées, des puits, des chantiers et des sondages dont l'espacement est
assez serré pour confirmer à la fois la continuité de la géologie et des teneurs.
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Une minéralisation ou une autre substance naturelle présentant un intérêt économique
peut être classée dans la catégorie des ressources minérales mesurées par la personne qualifiée
lorsque la nature, la qualité, la quantité et la distribution des données sont telles que l'on puisse
estimer le tonnage et la teneur de la minéralisation à l'intérieur de limites concises et lorsqu'une
variation de l'estimation n'aurait pas d'incidence notable sur le potentiel de viabilité
économique. Cette catégorie nécessite un niveau élevé de confiance et de compréhension de la
géologie et des contrôles du gîte minéral.
3.2. Réserves minérales [3]
Les réserves minérales sont une portion des ressources minières qui peuvent être
exploitées légalement et à profit. Les recettes dégagées doivent couvrir la totalité des coûts
opératoires y compris les amortissements des investissements à venir en équipements et en
infrastructures liées à leur exploitation.
De même que les ressources minérales, suivant l'ordre croissant de confiance
géologique, les réserves minérales sont subdivisées en
Réserves probables,
Réserves prouvées.
3.2.1 Les réserves minérales probables
Les "réserves minérales probables" constituent la partie économiquement exploitable
des ressources minérales indiquées et, dans certains cas, des ressources minérales mesurées,
démontrée par au moins une étude préliminaire de faisabilité. L'étude doit inclure les
renseignements adéquats sur l'exploitation minière, le traitement, la métallurgie, les aspects
économiques et autres facteurs pertinents démontrant qu'il est possible, au moment de la
rédaction du rapport, de justifier l'extraction rentable.
3.2.2. Les réserves minérales prouvées
Les "réserves minérales prouvées" constituent la partie économiquement exploitable des
ressources minérales mesurées, démontrée par au moins une étude préliminaire de faisabilité.
L'étude doit inclure les renseignements adéquats sur l'exploitation minière, le traitement, la
métallurgie, les aspects économiques et autres facteurs pertinents justifiant l'extraction rentable
au moment de la rédaction du rapport.
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Chapitre 4. Théorie des variables régionalisées
4.1. Variables régionalisées [1][15][17]
On désigne par variable régionalisée une fonction d’espace dont la valeur varie d’un
point à un autre avec une certaine apparence de continuité, sans qu’il soit possible d’en
représenter la variation par une loi mathématique exploitable.
D’après Georges MATHERON, la donnée d’une variable régionalisée suppose la
connaissance de deux critères géométriques :
4.1.1. Un champ géométrique
C’est le domaine dans lequel la variable est susceptible de prendre des valeurs
définies et à l’intérieur duquel on étudiera sa variation.
4.1.2. Un support géometrique
C’est le volume pour lequel la valeur de la variable régionalisée est définie ou
calculée. Par exemple, le volume de l’échantillon prélevé sert de support géométrique pour
la teneur. Dans certains cas, le support géométrique pourra être réduit à un point, par
exemple, le pendage ou la puissance d’une formation est, en principe, des variables à
support ponctuel.
Un grand nombre de phénomène peuvent être représenté par des répartitions
spatiales de variables caractéristiques appelées "variables régionalisées".
On peut citer par exemple le cours du métal, la répartition de l’espace à 3
dimensions (3D) des teneurs, de la densité, etc.
Mathématiquement, on peut représenter une variable régionalisée par une fonction
f(x) du point x(u,v,w) dans l’espace à 3 dimensions avec une variabilité très irrégulière.
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w
Au point x, z prend la valeur z(x) qui est appelée "variable régionalisée".
Soit une minéralisation quelconque, on peut définir :
( )p x est la puissance de la minéralisation ;
( )a x est l'accumulation, i.e. la quantité de métal relative à la puissance ( )p x ;
( )z x est la teneur, avec ( ) ( ) ( )z x a x p x ;
Et l'accumulation ( ) ( ) ( )a x p x z x
( )a x , ( )p x et ( )z x sont des variables régionalisées.
v
u
x(u,v,w)
0 x Surface
Bed-rock
( ), ( )a x p x
Figure 2 : Variable régionalisée dans l’espace
3D
Figure 3 : Exemple de minéralisation
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4.1.3. Observations sur la mise en œuvre de la géostatistique
a) Pour la définition d'une V.R. (variable régionalisée), on doit spécifier:
sa signification : teneur de minerai, épaisseur ou puissance,...;
son support : le volume où la variable est définie ;
son champ d'application ou domaine où on étudie la répartition spatiale de la
variable. Ce champ peut être tout le gisement ou une partie seulement.
b) On choisit généralement le support de la V.R. comme constante afin de faciliter
l'expression de l’estimation avec des échantillonnages de types différents. On
sépare ainsi les informations selon leur origine.
4.2. Fonctions aléatoires [15]
Etant donné que la teneur ( )z x n'est connue qu'en certains points 0x , on désire
connaître ( )z x sur tous les points x . La teneur ( )z x en un point précis x d'un gisement est
considérée comme une réalisation particulière d'une certaine variable aléatoire ( )z x au point
x .
L'ensemble des teneurs ( )z x pour toutes les implantations x du gisement peut être
considéré comme une réalisation particulière de l'ensemble des variables aléatoires (VA ).
( ), gisementVA z x x
On définit la fonction aléatoire ( )z x comme l'ensemble des variables aléatoires.
4.2.1. Hypothèse de stationnarité
On connaît peu de données sur ( )z x , il est donc presque impossible de prévoir les
valeurs de :
la moyenne m x ,
l’écart-type x , et
la covariance ( ), ( ) ( , )Cov z x z y C x y .
Pour faciliter le problème, on pose la condition de stationnarité pour ( )z x c'est-à-dire
que la loi ( )z x est la même sur tous les points x .
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La distribution est donc invariante par translation :
1 2, , , nz x z x z x et 1 2, , , nz x h z x h z x h ont la même loi de
distribution.
4.2.2. Stationnarité d'ordre 2
En géostatistique, on ne s'intéresse qu'aux deux premiers moments c'est à dire la
moyenne et la covariance qui devront être constantes. Ce phénomène est nommé stationnarité
du second ordre si :
l'espérance mathématique E z x existe et ne dépend pas du point
d’implantation x.
,E z x m x
la covariance entre deux points x et x h est indépendante du point x , elle
dépend seulement de l'interdistance h .
2
2
0 0
C h E z x z x h m
si h E z x m C Var z x
4.2.3. Hypothèse intrinsèque
L'hypothèse par laquelle la variable aléatoire ( )z x est stationnaire est trop rigoureuse
; plutôt, on dira que les accroissements de ( )z x sont stationnaires c'est-à-dire que:
z x h z x est une fonction aléatoire stationnaire. C'est l'hypothèse
intrinsèque.
Les propriétés de cette fonction aléatoire sont les suivantes :
2
0
2
E z x h z x
Var z x h z x E z x h z x h
(h) est le variogramme.
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4.3. Variogrammes et modèles de variogramme [4][5]
4.3.1. Définition
Par définition, un variogramme représente l'espérance mathématique du carré de
l'écart des accroissements de la valeur de la variable étudiée lorsqu'on passe d'un point x à un
autre point x’ distant de h du premier.
Soit 2
2 h E z x h z x
z x étant la variable étudiée (teneur,...)
(h) ainsi défini est le "variogramme".
4.3.2. Propriétés du variogramme
4.3.2.1. Relation avec la covariance
2 2
2
2
2
2
2 2 2
0
Var z x h z x Var z x h Var z x Cov z x h z x
C h
h C h
h C h
h C C h
4.3.2.2. Symétrie
1 1' '
2 2h Var z x h z x Var z x z x h h
h h
4.3.2.3. Signe du variogramme
0h , car c'est une variance.
4.3.2.4. Isotropie
En considérant le vecteur h, h est une fonction de vecteur (longueur, direction).
Dans le cas où ne dépend que de la longueur du vecteur h , on dit qu’il y a "isotropie".
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0 a
C h
h
4.3.3. Stationnarité du variogramme
Considérons une variable stationnaire z x .
E z x m est une constante.
Par définition, ,Cov z x h z x E z x h m z x m C h
En prenant 0h , , 0Cov z x z x C Var z x
4.3.4. Portée et palier du variogramme
La portée " a " constitue le début de la stabilité de la valeur du variogramme.
Pour une distance h > a , la valeur limite atteinte est appelée "palier". Le palier n'est
autre que la variance de la fonction aléatoire.
0Var z x C
Une zone d’influence de l'information ( )z x est ainsi délimitée par la portée a, car pour
les distances h > a , il n'y a plus de corrélation entre z x et z x h .
0C h pour h > a
h
C
(h)
0C
0C
Figure 4 : Portée et palier de variogramme
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0
vertical
0C
1
2
Figure 6 : Anisotropie zonale
h
h
L'existence d'une portée a permet de limiter l'étude du gisement à un champ égal au
panneau a . Elle renseigne aussi sur les caractéristiques géologiques de la formation.
4.3.5. Anisotropie
En calculant le variogramme pour toute paire de points dans plusieurs directions, on
constate que les variogrammes ne sont pas les mêmes. Ce phénomène démontre que dans les
cas miniers, l'isotropie est très rare.
1- Direction Nord-Sud
2- Direction Est-Ouest
C
(0)
2a 1a
h
h
0
a
horizontal
Figure 5 : Anisotropie elliptique ou géométrique
0
h
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4.3.6. Le variogramme expérimental
Les données utilisées sont les variables régionalisées réparties dans le plan ou dans
l'espace ou sur une ligne.
4.3.6.1. Le variogramme dans le plan
Le variogramme dans ce cas doit être calculé suivant au moins quatre (4) directions
différentes afin de mettre en évidence l'anisotropie. Pour les données arbitrairement espacées,
le variogramme sera calculé suivant des classes d'angles.
4.3.6.2. Le variogramme dans l’espace
On peut utiliser le procédé de calcul précédent pour évaluer le variogramme dans le
plan en considérant des classes d'angle solide.
L'importance pratique de la troisième (3e) dimension réside dans le fait qu'il n’y a plus
de variabilité dans la direction verticale que celle de l'horizontale. Ce phénomène s'explique par
la présence de stratification suivant la direction de la profondeur.
4.3.6.3. Construction et méthode de calcul
Expérimentalement, on sait qu'à partir des données brutes, on peut tracer un
variogramme sur un maillage régulier suivant des directions appropriées.
On utilise généralement la formule suivante:
2
1
1
2
N h
i i
i
h z x h z xN h
avec iz x : les valeurs des données
ix : les points ou échantillons localisés.
N h : nombre de couples ,i ix x h . C'est le nombre de points séparés par la
distance h qui sont tenues en compte pour le calcul du variogramme.
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h
h
0 h a
4.3.7. Les modèles de variogramme
4.3.7.1. Modèle de variogramme à effet de pépite : "Nugget effect"
Deux cas limites se présentent :
0h si 0h
h C si h > 0
Il y a indépendance, ce phénomène n'a aucune régularité, c'est l'aléatoire pur.
4.3.7.2. Modèle de variogramme à palier
0 h
0C
Figure 7 : Variogramme à effet de pépite ou nugget effect
0 h
Figure 8 : Variogramme à palier
C
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Ce cas de variogramme est très fréquent,
a : portée
2a >0 0h C = constante
Dans ce modèle, on peut rencontrer deux types de variogramme :
Le modèle exponentiel ;
Le modèle sphérique.
i. Le modèle exponentiel (Figure 9a et 9b)
La distribution est Poissonnienne de la forme te .
Soit à l'instant t un événement C .
P C = probabilité par rapport à l'origine de l'événement à l'instant t .
tP C e
Soit B un événement à l’instant t T .
t TP B e
t T
T
t
P B C eP B C e
P C e
PosonsT h , d’où hP B C e
Soit A l'événement ayant pour probabilité hP A e
1 hP A e
22 2 1 hh e
D’où 1h
ah C e
, avec 1
a
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0
On peut aussi rencontrer le cas où 0 1h
ah C C e
Ce modèle se rencontre très rarement dans le cas minier.
h
0
a
h
Figure 9a : Modèle exponentiel
C
0
h
0C
C
h
Figure 9b : Modèle exponentiel
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
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28
0 0C
ii. Modèle sphérique (Figure 10)
3
0 1,5 0,5h h
h C Ca a
, pour h < a
h C , pour h > a
0h , pour h = 0
Soit V le volume de la sphère,
r
3 34
3V r Cr
Calculons le volume hachuré
3
1 3
3 1
2 2
h hV C
D D
2D r
C'est cette relation qu'on utilise pour obtenir l'expression du variogramme dans le
modèle sphérique.
h a
2
h
0C
C
h
h
Figure 10 : Variogramme sphérique
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0
0
4.3.7.3. Modèle de variogramme sans palier
Ce modèle a comme équation générale de la forme : h C h
On a deux modèles pratiques sans palier.
i. Le modèle linéaire avec a=1 (Figure 11)
0h Ch C si 0 0C , il y a effet de pépite
Le variogramme n'a pas de palier. Tout l'espace connu est organisé mais la dispersion
est très grande entre sondages éloignés.
ii. Le modèle de Wisjeen (Figure 12)
h
0 h
h
h Figure 11 : Variogramme linéaire avec a=1
0C
h
h
0C
Figure 12 : Variogramme de Wisjeen
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30
0
L'équation est de la forme : 3 ( )h aLog h B
3a étant le coefficient de dispersion absolue (pente droite en abscisses logarithmiques).
Effet de pépite : 0
33
2C B a Loge
4.3.7.4. Modèle à effet de trou : "Hole effect" (Figure 13a et 13b)
Ce modèle a pour équation : sin( )
1ah
hh
Ce type de modèle est un phénomène très particulier.
On va l'expliquer à l'aide d'un exemple de gisement sédimentaire. Les sédiments
minéralisés se succèdent avec des unités non minéralisées. (Figure 13b)
h
h Figure 13a : Modèle à effet de trou
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31
0
On peut encore rencontrer d’autres modèles comme :
Le modèle à fonction puissance
a
h h avec 0 2a
Le modèle parabolique
2
0h Ch C pour h petit
Le modèle gaussien
2
2
1
h
ah C e
Teneur
h
h Figure 13b : Modèle à effet de trou
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h
0
2a
1a
h
Figure 14 : Variogramme composé
0C
1C
2C
1a
0C
C
Figure 15 : Illustration du variogramme composé
4.3.7.5. Composition de variogramme (Figure 14)
Un variogramme peut aussi se présenter suivant la figure ci-dessus.
C'est une composition de deux variogrammes :
1 2h h h
1 h correspond à 1 1,a C
2 h correspond à 2 2,a C
On peut illustrer cette composition de variogramme par l'exemple simple suivant :
h est ici la composition d'un modèle à effet de pépite 0C et d'un modèle sphérique
de portée a et de palier C.
h
C
2
0
h
C
01
h
0
h
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33
X
Y 0
4.4. Régression [22]
4.4.1. La liaison entre deux variables
Le problème consiste à étudier la relation existant entre deux variables aléatoires X
et Y . Connaissant donc une valeur x de X , comment déterminer y de Y ?
On peut classer la variable aléatoire X comme la variable explicative et la variable
aléatoire Y comme l'expliquée.
Deux types de liaison peuvent se présenter :
La liaison fonctionnelle;
La liaison statistique.
Pour la liaison fonctionnelle, avec la valeur x de X , on connaît immédiatement y
de Y car les variables sont liées fonctionnellement par la relation Y f X .
Pour le cas d'une liaison statistique, il n'y a pas de relation ferme et exacte liant ces
deux variables.
La liaison statistique se présente graphiquement sous forme de nuage de points. Ces points sont
dispersés. Lorsque x est donné, y n'est pas complètement déterminé. La liaison statistique n'est
pas une liaison fonctionnelle. Les valeurs se dispersent autour des valeurs moyennes.
L'ensemble des valeurs moyennes décrit une courbe appelée "ligne de régression".
Remarque :
Une dispersion est dite multiplicative dans le cas où le nuage a une tendance comme
celle qui se présente sur la figure ci-dessus.
On n'est donc pas dans l'hypothèse du modèle de la régression linéaire.
0
Figure 16 : Cas de la dispersion multiplicative
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34
Pour résoudre ce problème, on fait un changement de variables tels que :
U LogX
V LogY
On obtient ainsi un nuage de points représenté par le schéma suivant :
4.4.2. La régression linéaire
On parle de régression linéaire lorsque la tendance du nuage de points a une forme
linéaire.
L'objectif est de déterminer l'équation de la droite D qui exprime le mieux la
tendance de la régression ou la tendance de l'ensemble des points.
D a comme équation de la forme : :D y ax b
Y
0
V LogY
U LogX
0
Figure 17 : Cas de la dispersion additive
Figure 18 : Droite des moindres
carrés
ie
D ,i ii x y
y
0 x
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35
Le point i est caractérisé par le résidu ie défini par la distance séparant le point i à la
droite D :
,ie dist i D
i ie y y
( )i ie y ax b
Au point i , on a : ( )i i ie y ax b
( )i i iy e ax b
On définit la moyenne e des résidus
1
1 n
i
i
e en
Pour que ( )i D , on doit satisfaire à deux conditions :
1
10
n
i
i
e en
La variance des ie est minimale : 2
1
1 min
n
i i
i
Vare en
La droite D ainsi obtenue s'appelle "droite des moindres carrés".
D passe par le centre de gravité du nuage de points.
e y ax b , or 0e
0e y ax b
Le point ,ci x y D , a étant la pente de la droite D
y y a x x
1 1 1 1
( )n n n n
i i i i i i
i i i i
e y ax b e y a x b
1 1 1 1
1 1 1n n n n
i i i
i i i i
ae y x b
n n n n
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2 2
X Y Y
X X X
Cov XYa
Détermination de la pente a
iVare minimum
( )i i ie y ax b
i i iy y a x x e
2 2 ( ) ( )iVare VarY a VarX aCov XY f a
2 2iVare VarY a VarX aCov XY f a
22 2 ( ) 0 2 2XaVarX aCov XY a Cov XY
D’où
Notons yy m et xx m
*: y xD y ax b ax m am
*
y x xy m ax am a x m
or on note ( )
X Y
Cov XY
le coefficient de corrélation entre X et Y avec 1 1
En tirant ( )Cov XY on a :
( ) X YCov XY
D'où la valeur de a devient :
2
1
1 min
n
i
i
en
2
1
1min min
n
i i i i i i
i
e y y a x x Vare y y a x xn
2 22
1 1 1
1 1 12
n n n
i i i i
i i i
y y a x x a y y x xn n n
min 0
i
i
d VareVare
da
2
X
Cov XYa
b y ax
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D'où l'équation se met sous la forme :
4.5. Variance de dispersion – Variance d'estimation [15][16]
4.5.1. Estimation d'une teneur
Considérons un volume V et n petits volumes iv .
Les iv peuvent être des carottes de sondage ou des rainurages de puits ou de saignées
de galerie. L'objectif est de reconnaître le volume V à partir des petits volumes iv , c'est-à-
dire d'estimer la teneur de V à partir des teneurs de iv .
Notons par :
z v : la teneur du volume V ;
iz v : la teneur partielle due au sondage numéro i ou d'un petit bloc i .
Les iz v sont donc connues.
1 2 3, , ,..., nv v v v v
Déterminons d'abord l'expression de la teneur moyenne z V .
On sait que :
( )
1
v
z v z x dxv
et 1 2 3, , ,..., nv v v v v
* Yy x
X
y m x m
V
nv
1v
3v
V
2v
Figure 19a : Estimation d’une teneur
kv
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
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V
D’où
Notons par *z v la moyenne pondérée des teneurs des iv
L'erreur commise est donc :
*
Ve z V z v z z
4.5.2. Erreur d'estimation
On constate que cette méthode d'estimation est très grossière car si un des iv est très
loin de V , on tient encore compte de son influence alors que cela ne doit pas être le cas.
Ainsi, en estimant z V par z v , on commet une erreur e .
e z V z v
Il faut donc caractériser cette erreur. Pour cela, on considérera z V z v comme une
réalisation de la variable aléatoire z V z v .
x
1 2 31 2 3( ) ( ) ( )
1 1 1 1...
v v v
z v z x dx z x dx z x dxv v v v
( ) ( )
1.
i i
i i i
i v v
z v z x dx z v v z x dxv
1 1 2 2
1. . ... .n nz v z v v z v v z v v
v
1
1.
n
i i
i
z v z v vv
*
1
1.
n
i i
i
z v z v z v vv
Figure 19b : Estimation d’une teneur
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On doit donc calculer E z V z v et Var z V z v .
Calcul de : E z V z v
1 1
( ) ( )V v
E z V z v E z x dx z x dxV v
1 1
( ) ( )V v
E z x dx E z x dxV v
1 1
V v
E z x dx E z x dxV v
or z étant une variable aléatoire stationnaire
,E z m x d’où
1 1
0E z V z v mdx mdxV v
0E z V z v
On dit alors que "l'estimation de z V est sans biais".
4.5.3. Variance d’estimation – Variance d’extension
Pour connaître un gisement, on définit les caractéristiques comme le volume, les
dimensions, la production journalière d'un chantier, d'un bloc ou d’un panneau d'exploitation.
Pour évaluer ce gisement, on étend à une zone d'influence les caractéristiques d'un
échantillon. D'une façon générale on est amené à étendre les caractéristiques d'un volume v à
un volume V .
On remarque que les notions de "variance d’estimation" et de "variance
d'extension" sont semblables.
On parle d'extension à partir d'un échantillon (point, volume) et d'estimation à partir
de plusieurs échantillons dispersés.
Notons par Vz la variable aléatoire à estimer et par *z l'estimateur.
Pour que l'estimation soit sans biais, il faut que :
* 0VE z z
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40
La variance d'estimation s'écrit :
22 22 * * * *est V V V VVar z z E z z E z z E z z
Si la variable est stationnaire, on peut écrire :
2 2 22 * * 2 *est V V VE z m z m E z m z m z m z m
2 22 * 2 *est V VE z m E z m E z m z m
2 , , 2 ,est C V V C v v C V v
En passant au variogramme, l'expression de la variance d'estimation devient :
,v v = valeur moyenne pour le domaine v
,V V = valeur moyenne pour le domaine x
,V v = valeur moyenne pour deux points associés.
Ces valeurs moyennes sont calculables après modélisation du variogramme du
gisement si les volumes v et V sont définis géométriquement.
4.5.4. Variance de dispersion
Les variances d'estimation permettaient de situer une valeur moyenne par rapport à
son estimation. Par contre, la variance de dispersion compare entre elles des caractéristiques
vraies mais inconnues d'un volume V comme, l'abattage journalier par rapport à un panneau,
ou panneau par rapport à un gisement.
En considérant un champ ou une zone de prospection V , divisé en blocs iV , qui à
son tour, est divisé en petits blocs iv avec des échantillons ijw .
On a donc l'expression : V N M échantillons ijw
avec iV : N blocs iv
iv : M blocs ijw
2 2 , , ,est V v V V v v
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Notons par z V la moyenne des blocs
1 1 1
1 1N N M
i ij
i i j
z V z v z wN NM
2
1
1 N
i i
i
Var z v z v z VN
La variance d'un échantillon par rapport au champ est de la forme :
2
2
1 1 1 1
1 1N M N M
ij i ij i i
i j i j
z w z v z w z v z v z VNM NM
2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 12
N M N M N M
ij i i ij i i
i j i j i j
z w z v z v z V z w z v z v z VN M N M N M
2 2
1 1 1 1
1 1 1 10
N M N M
ij i i
i j i j
z w z v z v z VN M N M
D’où on peut écrire :
2 w v étant la variance de l’échantillon w se rapportant au bloc v .
2 v V étant la variance du bloc v se rapportant au champ V .
4.5.5. Utilisation pratique de la variance d'estimation
Par définition, la variance d'estimation est notée :
2 ,E v V Var z V z v
C'est l'erreur commise en remplaçant V par v . Connaissant 2 ,E v V , on peut définir
l'intervalle de confiance de l'estimation comme suit :
2 Ez v < z V < 2 Ez v
Si par exemple la précision est de 5%, on peut tracer la figure suivante :
2 2 2w V w v v V
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42
4.5.6. Utilisation des fonctions auxiliaires pour le calcul des variances
d'estimation
4.5.6.1. Définition d'une fonction auxiliaire
Une fonction auxiliaire est une valeur moyenne , 'V V
précalculée. Elle correspond à des géométries v et 'v particulièrement
simple que l'on retrouve fréquemment dans les études.
4.5.6.2. Fonction auxiliaire à une dimension
a) Fonction auxiliaire L :
Longueur de AB L
2,5% 2,5%
2 2
A B
x
y L
Figure 20 : Variance d’estimation à 5% de précision
Figure 21 : Fonction auxiliaire L
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
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43
La fonction L est définie par les points x et y . Le point est fixe en A tandis
que y parcourt le segment AB . La valeur L est une valeur moyenne de x y lorsque
x reste en A et y se déplace sur la longueur L .
Exemple d'application pour un modèle sphérique
Pour le modèle sphérique, le variogramme s'écrit :
3
3 1
2 2
h hh C
a a
pour h < a
h C pour h a
En calculant par intégration, on a :
b) Fonction auxiliaire F L :
F L est une fonction auxiliaire définie comme la valeur moyenne de x y quand
les points x et y parcourent le segment AB indépendamment.
1
0
1L y dy
L
3
3
3 1
4 8
31
8
L LC
a aL
LC
a
pour L < a
pour L a
A B x
y
1 1
2
0 0
1F L dx x y dy
L
Figure 22 : Fonction auxiliaire F L
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
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A B L
Exemple d'application pour un modèle sphérique
En procédant de la même manière que précédemment, c'est à dire par intégration de
h , on obtient :
4.5.6.3. Fonction auxiliaire à deux dimensions
a) Fonction auxiliaire ,L l :
C'est la valeur moyenne de x y quand x décrit un des côtés AC ou BD de
longueur l et y tout le rectangle ABDC .
En notant S la surface du rectangle :
b) Fonction auxiliaire ,H L l :
C'est la valeur moyenne de x y quand le point x reste en A et le point y décrit
le rectangle ABDC .
3
3
2
2
1
2 20
3 11
4 5
L LC
a aF L
a aC
L L
pour L < a
pour L a
B
D
x
L
1
0
1,
y S
L l dx x y dylS
1
,S
H L l y dyS
D
C
y
Figure 23 : Fonction auxiliaire ,L l
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
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45
B
D
A B
D
On montre que ,H L l est également la valeur moyenne de x y quand x
parcourt AB ou CD et y se déplace sur le côté AC ou BD .
c) Fonction auxiliaire ,F L l :
La fonction auxiliaire ,F L l est la moyenne de x y quand le point x et le
point y décrivent indépendamment le rectangle ABDC .
Pour le cas du modèle sphérique, on peut trouver les expressions exactes des fonctions
auxiliaires ,L l , ,H L l , ,F L l mais, en pratique, on préfère utiliser les abaques gradués
en La
et la
avec a comme portée du variogramme.
A
C
x
2
1,
S S
F L l dx x y dyS
A
C C
x
y
x
y
Figure 24 : Fonction auxiliaire ,H L l
x
y
C D
A B
Figure 25 : Fonction auxiliaire ,F L l
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
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46
Chapitre 5. Analyse structurale
5.1. Objet de l’analyse structurale [7]
Une étude géostatistique doit commencer généralement par l'analyse structurale. C'est
l'étude qui consiste à élaborer un modèle opérationnel de variogramme caractéristique de la
région. On y étudie la nature physique du phénomène étudié. Dans le domaine minier, l'objectif
étant de parvenir à estimer les caractéristiques du gisement.
Pour estimer convenablement ces caractéristiques, trois étapes principales devraient
être considérées :
la collecte et la vérification des données et des informations concernant la position du
problème.
le calcul du variogramme expérimental.
l'ajustement du variogramme expérimental à un modèle mathématique.
5.2. Acquisition et vérification des données [7]
La phase d'acquisition et de vérification des données est très importante en
géostatistique car ces données constituent les matières premières que le géostatisticien va
utiliser ultérieurement. En d’autres termes, elles représentent les informations de base
conduisant à l'identification du gisement étudié.
La collecte devra être faite suivant une procédure d'échantillonnage bien définie. Il se
peut qu’au cours de la campagne de prospection, on change de procédure. Ce changement devra
être pris en compte ultérieurement lors de la vérification, en utilisant les méthodes de calcul de
la statistique.
On vérifie aussi l'homogénéité sur le plan géologique de la région où on a effectué la
collecte d'informations.
Enfin, on contrôle si l'échantillonnage a été réalisé sur des zones à haute teneur ou
non.
C'est dans cette phase d'acquisition et de vérification des données que le
géostatisticien effectue le test statistique. Il calcule la moyenne, la variance et la corrélation afin
de pouvoir affirmer si la population étudiée est homogène. Le responsable de l'étude doit définir
si les variables étudiées sont stationnaires ou non. Il choisit aussi le support qui se réfère à la
dimension et à la forme d'un volume. Il vérifie aussi si les variables sont additives.
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
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47
On peut ainsi avancer que la teneur moyenne d'une zone est la moyenne arithmétique
des teneurs pour les cas ponctuels et la moyenne pondérée pour les cas des teneurs
correspondants à différentes épaisseurs de couche.
Illustrons le calcul par l’exemple suivant :
Ces résultats nous incitent à utiliser le produit : Puissance Teneur , appelé
"accumulation".
5.3. Calcul du variogramme expérimental [12]
On a déjà explicité dans les paragraphes précédents que la construction et la méthode
de calcul du variogramme peuvent se calculer sur un maillage régulier suivant des directions
appropriées.
Le variogramme expérimental est donc calculé suivant des pas différents, des classes
d'angle et des classes de distance.
La représentation graphique est choisie suivant le cas où on observe le plus de couple
au voisinage de l'origine. On essaie aussi de mettre en évidence l'existence de l'anisotropie
suivant les directions différentes.
2 m 3 m
:5Teneur cmg t
:10Teneur cmg t
2 3
2,52
m
5 10
7,5 /2
cmg t
(5 2) (10 3)
8 /2 3
cmg t
Puissance
Teneur moyenne arithmetique
Teneur moyenne pondérée
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48
5.4. Ajustement du variogramme expérimental à un modèle
théorique [7][10]
Afin de pouvoir mener à bien le calcul du krigeage, on assimile le variogramme
expérimental à un modèle mathématique.
On peut associer deux ou trois modèles pour pouvoir représenter le plus fidèlement
possible l'allure du variogramme expérimental.
On doit donc mettre en évidence lors de cet ajustement les points suivants :
l'effet de pépite ;
le comportement à l'origine ;
la portée ;
le palier ;
les anisotropies.
5.4.1. Le comportement à l'origine et la détermination de C0 : Effet de
pépite
On admet généralement que le variogramme a un comportement linéaire à l'origine.
Ce qui est très fréquent dans le domaine minier. On obtient 0C par l’intersection de l'axe des y
avec la droite D passant par les deux premiers points du variogramme expérimental ou par
extrapolation jusqu’à l'origine des premières valeurs du variogramme.
On peut améliorer l'estimation de la valeur de 0C en effectuant des sondages
additionnels à courte distance.
On essaie de déterminer également la tangente à l'origine car l'allure du variogramme
pour les faibles distances h a une importante influence sur le krigeage. On trace la tangente
à partir des trois ou quatre premières valeurs de .
5.4.2. Détermination du palier C
La stabilisation des valeurs du variogramme à partir d'une certaine distance permet de
fixer la valeur du palier C . Cette valeur coïncide généralement avec la variance dans le cas des
variables stationnaires.
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
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49
5.4.3. Détermination de la portée a
a étant la portée.
La droite D coupe le palier au point d'abscisse 2
3a car on sait que :
3
0
3 1
2 2
h hh C C
a a
pour le modèle spherique
2
3
0
3 3
2 2h
d h hC
dh a a
I a comme abscisse
2
3a
On peut également déterminer visuellement la valeur de cette portée. On peut
rencontrer des cas où on observe l'existence de deux portées car les variogrammes représentent
aussi l'anisotropie suivant la géométrie.
Exemple de raccordement d'un variogramme expérimental à un modèle
théorique :
h pouce 200 282 400 488 564 600 800 1000 1200 1400 1800
0,43 0,57 0,63 0,75 0,85 0,85 0,87 0,88 0,87 0,85 0,80
0
h
a
0C
C
𝑎 2
3𝑎
I
D
Figure 26a : Détermination de la portée a
Tableau 1 : Raccordement d‘un variogramme expérimental à un modèle théorique
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22 1
0,81i
i
s z x zn
0 0,10C
0,81 0,1 0,71C
2400 600
3a a
On peut donc écrire :
h
0 h
0 0,1C
200 400 600 800 1000
0,40
0,81
33 1
0,1 0,712 600 2 600
0,81
0
h h
h
pour ℎ < 𝑎 = 600
pour ℎ ≥ 600
pour ℎ = 0
Figure 26b : Raccordement d‘un variogramme expérimental à un modèle théorique
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Chapitre 6. Modélisations géostatistiques
6.1. Le krigeage [6][10][11]
6.1.1. Définition du krigeage
Le krigeage est une technique qui consiste à trouver la meilleure estimation possible
de la teneur d'un panneau, compte tenu des informations disponibles au voisinage, c'est-à-dire
des teneurs des différents échantillons qui ont été prélevés, soit à l'intérieur, soit à l'extérieur du
panneau que l'on veut estimer.
6.1.2. Principe du krigeage
Le krigeage consiste à réaliser une pondération en attribuant un poids à la teneur de
chaque échantillon. On calcule ensuite ces poids de façon à rendre minimale la variance
d'estimation résultante, correspondant aux caractéristiques géométriques du gisement comme
les formes, les dimensions et implantation relative du panneau et des échantillons.
Généralement, le krigeage attribuera des poids faibles aux échantillons éloignés, et
inversement. Il est nécessaire de faire certaines hypothèses sur les caractéristiques
géostatistiques du gisement étudié pour pouvoir résoudre le problème de krigeage.
On suppose que le gisement est géostatistiquement homogène c'est-à-dire que les
teneurs, à l'intérieur de ce gisement, considérées comme une variable régionalisée z x ,
peuvent être interprétées comme une réalisation d'un schéma intrinsèque. Cette hypothèse
d'homogénéité est fondamentale car aucun krigeage rigoureux n'est possible entre des portions
hétérogènes d'un même gisement. La seconde hypothèse, qui est moins fondamentale, concerne
l'isotropie. On la considère ainsi car certains types d'anisotropie, comme l'anisotropie zonale et
l'anisotropie géométrique, fréquents en pratique, peuvent être ramenés à un modèle isotrope.
6.1.3. Les équations générales du krigeage
L'intérêt du krigeage découle de sa définition car en minimisant la variance
d'estimation, on est sûr de tirer profit au maximum des informations dont on dispose, autrement
dit, obtenir l'estimation la plus précise possible du gisement.
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Dans les problèmes de krigeage, le terme du meilleur estimateur signifie que :
l'estimation est sans biais ;
la variance d'estimation est minimale ;
Pour établir les équations générales du krigeage, désignons par iz les valeurs données
disponibles et par *
kz l'estimateur en question.
*
kz étant la combinaison linéaire des iz . Elle s'exprime suivant la relation suivante :
*
k i i
i
z z
La première condition signifie que l'erreur *
i kz z doit avoir une espérance nulle.
*
i k i i i i
i i
E z z E z E z E z E z
En admettant l’hypothèse de stationnarité, on a : iE z m E z
Ce qui entraîne que :
* 0 1 0i k i i
i i
E z z m m m
La condition de l’estimation sans biais se traduit donc par :
La deuxième condition exprimant la variance minimale se traduit par l’expression :
2* *
v k v kVar z z E z z minimum
En introduisant la formule de Lagrange, on peut écrire :
𝑉𝑎𝑟(𝑧 − 𝑧𝑘∗) 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚
1i
i
}
{
𝑉𝑎𝑟(𝑧 − 𝑧𝑘
∗) + 𝑢 ( 1i
i
)𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚
1i
i
u étant le paramètre de Lagrange.
1i
i
(1)
(2)
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En calculant les dérivées partielles de l'expression (1) par rapport à i , et en égalisant
à zéro, on obtient la condition de "minimum". Il s'agit donc d’optimiser la variance sous
contrainte : 1i
i
On montre que ce problème peut se présenter sous la forme d’un système d’équations
linéaires dit : "système de krigeage".
où iv et jv sont les supports des informations ;
V étant l’étendue du volume inconnu (volume du panneau à estimer) ;
u : le paramètre de Lagrange ;
: la valeur moyenne du variogramme quand les extrémités du vecteur h décrivent
indépendamment iv et jv ou iv et V .
On peut écrire le système de krigeage sous la forme matricielle suivante :
1 1 1 2 1 3 1 1
2 1 2 2 2 3 2 2
1 2
, , , , , 1
, , , , , 1
, ,
i n
i n
i i
v v v v v v v v v v
v v v v v v v v v v
v v v v
3
1 2 3
, , , 1
, , , , , 1
1 1 1
i i i i n
n n n n i n n
v v v v v v
v v v v v v v v v v
11
22
,
,
,
,
u 1 1 1 1 0 1
i i
n n
v V
v V
v V
v V
G est une matrice symétrique calculable par la position et la valeur des échantillons.
( effet de pépite éventuelii )
est le vecteur des inconnues i et u ;
M est le vecteur dont les composantes sont les variogrammes moyens entre le bloc
à estimer et les échantillons utilisés pour l'estimation.
1
1
, ,
1
n
j i j i
i
j
j
v v u v V
I
𝑖 ∈ 1,… , 𝑛 (3)
(4)
G
M
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L'inversion de G nous donne la résolution du système de krigeage en donnant les
valeurs de .
En pratique, ces calculs nécessitent l'utilisation d'un ordinateur. La variance de
krigeage ou la variance de l'erreur *( )i kz z est donnée par la relation :
6.2. Les simulations [6][11][23]
6.2.1. Qu’est-ce-qu’une simulation? Pourquoi des simulations?
La cartographie d’une variable régionalisée, telle qu’on peut la faire par exemple par
krigeage à partir de points de données, n’est pas la réalité. La recherche d’une précision
optimale conduit inévitablement à un lissage: quantité de détails présents en réalité ne peuvent
être reproduits à partir des seuls points de données et sont gommés de la cartographie.
Paradoxalement même, d’une certaine façon, plus la variabilité spatiale de la réalité est
prononcée, moins les détails sont accessibles à la cartographie, et plus le lissage est important
(dans le cas pépitique pur d’une variabilité extrême, l’estimation hors des points de données est
constante et égale à la moyenne des données).
Parfois il importe, non d’obtenir la meilleure précision, mais de reproduire la
variabilité spatiale: ainsi pour tester des scénarios d’exploitation minière, ou plus généralement
pour évaluer une quantité complexe et sinon inaccessible. On a alors recours aux simulations.
De même que la réalité était considérée comme une réalisation du modèle de fonctions
aléatoires (FA en abrégé), de même chaque simulation est une réalisation, sur un certain
domaine, de ce même modèle. En outre nous appellerons simulation conditionnelle une
simulation restituant, aux points de données, les valeurs qui y sont connues.
Il existe nombre de méthodes et variantes pour simuler des FA. Certaines nécessitent
un maillage, une discrétisation régulière de l’espace. Nous préférons présenter ici des méthodes
s’en affranchissant.
1
G M
(5)
2 2 , ,k i iv V V V u (6)
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6.2.2. Jetons aléatoires - dilution de points poissonniens
La méthode des jetons consiste en ceci. On génère, à 2 ou 3D , des points poissonniens
selon une densité (nombre moyen de points par unité de surface/volume) donnée. Entendons
par là, pour simplifier, des points aléatoires, indépendants, et uniformes sur le domaine. En
chacun de ces points, on implante un jeton, par exemple, un disque à 2D ou une sphère à 3D
, de covariogramme géométrique K h . La valeur en un point quelconque est alors le nombre
(aléatoire) de jetons recouvrant ce point. Hors des bordures, ce nombre a pour moyenne 0K
et obéit à la covariance K h . En prenant des sphères à 3D , on peut ainsi simuler une FA
stationnaire de covariance sphérique (d’où ce nom).
Figure 27 : Krigeage (au milieu) et une simulation conditionnelle (en bas),
à partir des mêmes données (en haut).
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Les variantes sont multiples. La taille ou la forme des jetons peut être par exemple
aléatoire. Par ailleurs, compter le nombre de jetons recouvrant chaque point revient à implanter,
en chaque point poissonnien, un jeton valué à 1 et à faire la somme de ces valuations. Plutôt
que d’implanter, en chaque point poissonnien, une fonction égale à 1 sur le jeton, et à 0 sinon,
on peut implanter une fonction f x , s’annulant de préférence au-delà d’une certaine distance.
Cette variante, connue sous le vocable de dilution de points poissonniens, revient en effet à
diluer par la fonction f x une masse ponctuelle qui serait implantée en chaque point
poissonnien. La FA obtenue par sommation a une covariance proportionnelle au
covariogramme transitif de la fonction f x :
g h f x f x h dx
6.2.3. Les méthodes spectrales
Ces méthodes sont basées sur la décomposition d’un processus stationnaire en
processus sinusoïdaux, et de sa covariance en somme de cosinus. Considérons par exemple à
1D le processus sinusoïdal de fréquence u :
cos 2A ux
Si A est une variable aléatoire de variance 2 , et une phase uniforme entre 0 et 2 , ce
processus a une covariance stationnaire égale à:
2 cos 2C h uh
La somme de tels processus indépendants:
cos 2i i iA u x
a alors comme covariance:
2 cos 2i iC h u h ,
et l’ensemble des fréquences iu , et de leurs "énergies" 2
i en constitue le "spectre".
Plus généralement :
0
( )cos 2 ( )dA u ux u
aura comme covariance: 2
0
( )cos 2C h d u uh
avec 2
0
( ) 0d u C
supposé fini.
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Il s’agit là en fait d’un résultat général (théorème de Bochner). Toute covariance
stationnaire en effet, et pas seulement à 1D , étant de type positif, se décompose en somme de
cosinus:
cos2 ( )C h uh du
où est une mesure positive sommable ( ( ) 0du C fini), et inversement.
(Dans cette expression, si C h est défini à 3D par exemple, u est un vecteur fréquence à 3
composantes, et uh représente le produit scalaire habituel : 1 1 2 2 3 3u h u h u h .)
Ceci permet théoriquement de simuler la FA correspondante comme une somme de
processus sinusoïdaux indépendants. Il s’agit cependant d’une somme, en général infinie, sur
l’espace des fréquences, et les hautes fréquences sont d’autant plus sollicitées que le
comportement aux petites distances de la variable et de sa covariance est irrégulier. Il devient
alors problématique de simuler, en pratique par une somme finie, une FA non dérivable (cas
courant des covariances linéaires à l’origine), ce qui réduit l’intérêt de cette méthode directe.
6.2.4. Les bandes tournantes
Pour contourner la difficulté, Georges MATHERON a proposé de considérer les
fréquences u rs , d’abord selon leur direction s u u , puis selon leur module r u . On a
alors:
0
( ) cos 2 ( )sC h F ds r sh G dr
où ( )F ds est la loi du vecteur direction s sur la sphère unité, et ( )sG dr celle du
module r le long de cette direction s .
Mais (toujours le théorème de Bochner) 0
cos 2 ( )sr sh G dr
est elle-même une covariance
stationnaire à 1D , disons sC sh , d’où la décomposition générale:
( ) sC h F ds C sh
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Ainsi, en simulant le long d’une droite de direction s , et pour des directions s suivant
la loi ( )F ds , une FA unidimensionnelle sY de covariance sC , puis en effectuant un épandage
sY sh de chacune de ces simulations dans l’espace, on obtient par :
( ) sZ x F ds Y sh
une simulation de covariance stationnaire C h .
Dans le cas isotrope et à 3D , s décrit uniformément la sphère unité, et sC ne dépend
plus de s , soit 1C . On montre alors le résultat :
1
0
1( )
h
C h C u duh
Inversement :
1
d h C hC h
dh
donne la covariance qu’il convient de simuler sur chaque droite pour en déduire C h
à 3D (les formules sont plus compliquées pour passer de 1 à 2D ).
s s
Figure 28 : Simulation 1D (ici alternance de valeurs +1 et -1) et
son épandage dans l’espace
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Pratiquement on utilise un grand nombre N (couramment quelques centaines) de
directions js de droites tirées uniformément, et le long de ces droites, on construit des
simulations jsY de covariance 1C . La FA définie par:
1
js jZ x Y s xN
obéit alors à la covariance C h .
Exemples :
1) La covariance exponentielle :
expC h h a
à 3D sera obtenue par simulations 1D de la covariance :
1 1 expC h h a h a
Christian Lantuéjoul a montré qu’on pouvait obtenir une telle simulation 1D en
valuant respectivement à +1 et -1 la première et la seconde moitié de chacun des
intervalles formés par les points consécutifs d’un processus de Poisson sur la droite.
2) Simuler à 3D la covariance sphérique de portée a :
3
1 3 2 1 2C h h a h a pour h < a ,
s’obtiendra en simulant pour chaque (direction de) droite la covariance:
3
1 3 2C h h a h a pour h < a ,
Celle-ci peut être obtenue en diluant des points poissonniens sur la droite par la fonction
f x égale à x pour x < 2a et à 0 sinon.
3) On remarque que tout monôme h
de la covariance de départ donne, dans la covariance
1D associée, un monôme de même degré , résultat qui demeure valable en non
stationnaire pour des variogrammes ou des covariances généralisées.
Simuler un variogramme linéaire revient alors à simuler un variogramme linéaire sur
chaque droite. Ceci peut s’obtenir en considérant, pour chacune des droites, une
valuation s’incrémentant aléatoirement de +1 ou -1 au passage de chacun des points
d’un processus de Poisson.
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6.2.5. Fonction aléatoire gaussienne et conditionnement d’une
simulation
Lorsqu’on fait une simulation, on veut, dans le cas stationnaire, non seulement
reproduire une covariance donnée, mais également une distribution, un histogramme. Or les
techniques de simulations obtenues par sommation à partir d’un grand nombre de droites ou de
jetons génèrent des distributions (asymptotiquement) gaussiennes. C’est pourquoi on simule le
plus souvent, non pas directement la variable brute, mais sa transformée gaussienne (avec sa
propre structure), avant de repasser en brut.
Par ailleurs les FA multi-gaussiennes (où théoriquement toutes les combinaisons
linéaires sont gaussiennes) se prêtent bien au conditionnement. En effet, on a en tout point x :
K K
Y x Y x Y x Y x
où K
Y x représente le krigeage de Y x à partir des données (de la transformée gaussienne).
Dans le cas d’une FA multi-gaussienne, le résidu en tout point K
Y x Y x
est indépendant
des valeurs aux points de données. L’idée est alors de substituer à ce résidu indépendant mais
inconnu un résidu simulé ayant exactement la même structure.
Pour ce faire, on fabrique une simulation non conditionnelle de la variable, soit ( )sY x
, sur le domaine considéré. Puis on calcule en tout point x , le résidu de son krigeage à partir
des valeurs prises par sY aux points de données:
K
s sY x Y x
La recombinaison:
K K
sc s sY x Y x Y x Y x
donne alors une autre simulation de la FA, mais qui est maintenant conditionnelle: en un point
de donnée on retrouve bien la valeur connue:
sc i i s i s i iY x Y x Y x Y x Y x
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6.2.6. Autres modèles
Il existe une immense variété de modèles qu’il est possible de simuler, qu’il s’agisse
de fonctions, d’ensembles ou de partitions aléatoires. Souvent il sera nécessaire de construire
un modèle ad hoc qui pourra représenter une réalité donnée. Voici deux modèles élémentaires,
effectivement utilisés dans la modélisation des ressources naturelles.
6.2.6.1. Le seuillage d’une FA
Il s’agit simplement de seuiller une simulation d’une FA, à loi stationnaire gaussienne
par exemple.
L’application d’un seuil unique conduit à simuler un ensemble aléatoire et son complémentaire,
autrement dit à partitionner l’espace en deux faciès.
L’application de seuils multiples donne une partition en plusieurs faciès séquentiels (pour
passer d’un faciès à un autre, on passe par les faciès intermédiaires).
Les seuils dont déterminés de façon à respecter les proportions des différents faciès.
Très souvent cependant, celles-ci montrent des variations systématiques en vertical, que l’on
peut bien mettre en évidence expérimentalement en traçant les courbes de proportions des faciès
selon la verticale. Pour respecter cette donnée, le seuillage devra lui aussi varier en vertical.
6.2.6.2. Le schéma booléen
Dans la technique des jetons aléatoires, on implantait en des points poissonniens des
objets, les jetons, et on faisait la somme des valuations. Le schéma booléen lui, est l’ensemble
aléatoire obtenu par réunion de tels objets. Il existe quantité de variantes (dépendance entre
objet et point d’implantation, non-stationnarité du processus de points poissonniens, contraintes
exercées de façon à ce que les objets ne puissent se recouvrir...).
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Chapitre 7. Estimation des réserves
7.1. Généralités [4][5]
Les reconnaissances géologiques réalisées sur un gîte, permettent de collecter des
informations et des données à caractère généralement qualitatif, rarement quantitatif pour une
maille non systématique. Elles constituent les informations introductives ou en amont,
nécessaires à l'étude par approche géostatistique.
Elles seront utilisées ultérieurement lors de l'analyse structurale faite à partir des
données de la première campagne à caractère systématique.
Pour construire et interpréter les variogrammes expérimentaux, on a besoin des
réalités géologiques.
7.2. Calcul d’estimation de réserve [19]
L’estimation de réserve est effectuée d’habitude pour donner une idée de l’importance
du gisement.
7.2.1. Les différentes méthodes d’estimation des réserves
Plusieurs méthodes sont utilisées pour le calcul de réserve. Et le choix dépend des
données disponibles.
Dans la suite, nous allons présenter brièvement six méthodes de calcul de réserve qui sont :
la méthode des blocs géologiques
la méthode des blocs d’exploitation
la méthode du polygone
la méthode du triangle
la méthode des sections géologiques
la méthode des isolignes
7.2.1.1. Méthode des blocs géologiques
La méthode des blocs géologiques consiste à diviser le gisement en des blocs avec la
condition qu’un bloc ne doit pas être affecté par un accident tectonique et doit être suffisamment
large.
Pour chaque bloc, on détermine l’aire, l’épaisseur moyenne, le volume. Et en se
servant de la masse volumique du minerai, on peut calculer la réserve d’un bloc.
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La réserve totale sera égale à la somme des réserves calculées dans chacun des blocs.
Cette méthode est universelle, donc la plus utilisée.
7.2.1.2. Méthode des blocs d’exploitation
Pour cette méthode, l’unité de base du calcul est représentée par un schéma bloc
d’exploitation, ceci étant une partie du gisement qui est délimitée par deux sections.
Le processus de calcul est analogue à celui des blocs géologiques.
7.2.1.3. Méthodes du polygone
Cette méthode est utilisée dans le cas des gisements de morphologie simple, comme
ceux de charbon ou de minerai de manganèse.
Elle consiste à diviser le gisement en des polygones dont on calcule les réserves.
7.2.1.4. Méthode du triangle
La procédure est la même que la précédente, à la seule différence que le gisement est
divisé en des prismes triangulaires.
7.2.1.5. Méthode des sections géologiques
Pour cette méthode, le calcul peut se faire suivant deux possibilités, soit par sections
géologiques parallèles horizontales ou verticales, soit par des sections géologiques non
parallèles.
Pour la première variante, on procède comme suit :
On prend deux sections parallèles verticales ou horizontales passant par le
gisement ;
On détermine ensuite les surfaces du gisement projeté sur ces coupes ;
On multiplie la somme de deux surfaces par la distance entre elles, pour trouver,
le volume délimité par les deux sections.
Pour la seconde variante, si les deux sections font un angle entre eux :
Lorsque cet angle est inférieur à 10 , le volume délimité par les deux sections
est calculé avec la formule ci-après :
1,2 1,2V e l L
où 1,2V : Volume du bloc délimité entre les coupes 1 et 2
e : épaisseur de la couche
l : largeur du gisement
1,2L : distance entre les deux coupes 1 et 2
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Dans le cas contraire ( >10 )
1 2 1 21,2
sin 2 2
P P H HV
où 1,2V : Volume du bloc délimité par les sections 1 et 2
1P et 2P : Aires respectives des sections géologiques 1 et 2
1H et 2H : Longueur du perpendiculaire allant du centre de gravité de la section
1P (respectivement 2P ) vers 2P (respectivement 1P )
: Angle entre les deux sections (en radian)
7.2.1.6. Méthodes des isolignes
Pour cette méthode, le gisement est transformé en une figure limitée d’une part par
des plans horizontaux et d’autre part par la surface topographique de ceux-ci.
Le volume est ensuite calculé avec la formule suivante :
01 1
2 2
nx n
P PV h P P
où iP : aire du gisement délimité par l’isoligne
h : Distance entre deux isolignes (le signe + est adopté si le gisement présente
un pic et le signe - si le gisement présente une dépression)
xh : égale à 12
h , au-dessus ou au-dessous de la dernière isoligne.
7.2.2. Les paramètres et formules de base du calcul des réserves
En general, les parametres du calcul de reserve sont les suivants :
l’épaisseur moyenne
la teneur moyenne en minerais utiles
le poids de l’unité de volume
la surface
7.2.2.1. Epaisseur
La formule de calcul de l’épaisseur varie selon la forme du gisement.
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7.2.2.2. Teneur moyenne en minerai utile
La teneur en minerai utile est donnée :
en % de masse des éléments chimiques (ex : Pb, Zn) ou,
en % de masse des composantes du minerai utile (ex : LiO2, Cr2O3) ou,
en g
t pour un gisement primaire d’or, d’argent ou de platine ou pour
les gisements d’ilménite, de wolframite, de cassitérite,
en kg de minerai utile par 3m de gisement (ex : mica),
en mg ou 3carat
m pour le gisement de diamant,
en % de masse de minerai utile en relation avec la masse du minerai de
matière première.
La formule générale est :
n
i
ip
C
Cn
où n : nombre d’échantillons
pC : teneur en minerai utile de l’échantillon i
7.2.2.3. Poids de l’unité de volume
C’est le rapport de poids du minerai avec son volume (densité).
Il est obtenu par une mesure de laboratoire :
peser un échantillon,
mesurer le volume par l’immersion de l’échantillon dans l’eau,
lire le volume d’eau déplacée dans une vaisselle calibrée.
7.2.2.4. Surface
La surface peut être calculée avec l’une des méthodes ci-dessous :
Soit à l’aide d’un planimètre (pointer le planimètre le long du périmètre à
mesurer après ajustement de l’appareil) ;
Soit en utilisant une grille de papier transparent : la surface est égale au
nombre de points sur la surface délimitée plus la moitié du périmètre ;
Soit en projetant la section longitudinale sur l’horizontale.
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7.3. Estimation globale – Estimation locale [1]
7.3.1. Estimation globale
Après une première reconnaissance systématique, où les sondages ont été implantés
suivant une maille plus ou moins régulière, sans privilégier des zones particulières, il est
nécessaire de faire des estimations globales des ressources disponibles. Des intervalles de
confiance doivent être établis pour permettre de prendre une décision concernant la suite du
projet de recherche vers le projet d'exploitation proprement dit.
L'étape suivante étant celle de l'évaluation des réserves récupérables. Lors de la phase
d'estimation globale, on essaie d'estimer :
la teneur moyenne du gisement : *m ;
le volume : *V ;
et la quantité de métal contenue : * * *Q m V
Il se peut que les informations dont on dispose proviennent de supports différents
comme par exemple les saignées et les sondages. Il faudra donc dans ce cas pondérer ces
différentes informations.
A ce stade d’évaluation globale des réserves, l'outil d'évaluation comme la
géostatistique ne propose pas de méthodes strictes afin de fournir les estimateurs. On estime,
par exemple, une surface minéralisée par interpolation des sondages positifs et négatifs. On
utilise aussi la technique de la moyenne arithmétique des données positives, correspondant à
une maille pseudo-régulière, pour estimer une puissance moyenne ou une teneur moyenne.
D'autres méthodes comme les études de coupe et de profil sont aussi utilisées pour réaliser cette
phase.
La géostatistique est capable de définir une fiabilité pour toutes ces méthodes.
L’estimation globale utilise le concept de la variance d'estimation pour:
établir une classification objective des ressources en utilisant une échelle de variance
d'estimation ;
prévoir les caractéristiques des informations supplémentaires comme le nombre, la
disposition et la répartition, ceci afin de rendre plus fiable l'estimation.
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7.3.2. Estimation locale
Une fois que la décision de classer le gisement globalement exploitable est prise, on
procède à la phase de l'estimation locale.
Cette estimation décrit la répartition spatiale des ressources du gisement. Elle est
nécessaire afin d'établir l'évaluation des réserves dites récupérables.
La maille de reconnaissance est évidemment resserrée lors de la réalisation de
l'estimation locale.
On utilise alors le calcul de la variance d'estimation :
2 , , ,V vE z z V v V V v v
On estimera donc, à la fin de la reconnaissance à maille fine, la teneur moyenne des
blocs individuels, aussi proche que possible de l'unité à exploiter afin d'établir le plan
d'exploitation prévisionnel. Il s'agit donc d'élaborer le meilleur estimateur possible de chaque
panneau ou bloc. Ainsi, on effectue le calcul des moyennes pondérées sur les données
disponibles et on détermine la pondération adéquate de chaque donnée en se référant à sa nature
(sondage, puits, saignée, ...), à sa position par rapport aux autres données, à sa position par
rapport au bloc ou panneau à estimer, à ses caractères structuraux (zone d'influence,
anisotropie,...), au degré de continuité spatiale de la variable étudiée. Le variogramme est
exprimé dans ce cas par 2 , h . Pour effectuer cette résolution, on utilise le krigeage.
7.3.3. Les erreurs dans une estimation globale
Lors de cette phase d'estimation globale, on peut généralement distinguer deux types
d'erreur :
7.3.3.1. L'erreur géométrique
Elle est liée au fait que l'on ignore exactement les limites exactes de la minéralisation
ou du gisement.
7.3.3.2. L'erreur de qualité
Elle est liée à l'estimation des teneurs et des autres caractéristiques moyennes du
minerai.
En résumé, on parle d'estimation locale quand on évalue les caractéristiques d'un point
à partir d'un ou de plusieurs échantillons. Dans ce cas, la variance est directement donnée par :
2 h .
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L'estimation locale conduit au tracé des isolignes. Par contre, l'évaluation des
caractéristiques moyennes s'étend pour un volume important dans le cas d'une estimation
globale.
En resserrant la maille d'échantillonnage, le résultat obtenu est que la variance
d'estimation diminue. Le résultat est donc beaucoup plus précis et plus fiable. C'est ce que nous
obtenons en passant de l'estimation globale vers l’estimation locale.
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Conclusion partielle
Nous avons pu constater, dans la progression des chapitres, que la méthodologie de
l’estimation des réserves procure le maniement des modèles probabilistes pour représenter les
phénomènes réels étudiés. Nous avons remarqué que très souvent, en géostatistique, on travaille
sur un phénomène (par exemple un gisement minier) considéré comme une réalisation unique
d’une fonction aléatoire.
Par l’usage qu’elle fait des modèles probabilistes de fonctions aléatoires, la
géostatistique peut être vue comme une partie intégrante des probabilités. Mais à côté de ses
développements propres, l’originalité de la géostatistique réside dans la mise à disposition de
tels outils probabilistes à l’ingénieur, au praticien de la mine, du pétrole, ou d’un autre domaine,
et ceci en particulier grâce à des concepts clés (par exemple: la variance d’estimation, la
variance de dispersion, le support et les lois de changement de support), adaptés à la
compréhension physique du phénomène. Appliqué à l’information très fragmentaire que
constituent les données, ceci se traduit par un savoir-faire, avec tours de main et approximations
adéquates.
La géostatistique ne se résume pas à un ensemble de méthodes et de modèles
répertoriés. Dans tel gisement minier, le géostatisticien devra manier habilement différents
ingrédients pour rendre compte d’une relation particulière entre teneur et géologie. La
géostatistique apparait donc comme une discipline toujours en évolution, tant sur le plan
pratique, que sur le plan méthodologique, comme le montre l’intérêt croissant pour les
ensembles aléatoires et pour les modèles physiques.
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PARTIE III : ELABORATION DU PROGRAMME "SoftORE"
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Chapitre 8. A propos du programme
8.1. Présentation de "SoftORE"
Tout d’abord, SoftORE est l’acronyme récursif de l’anglicisme "Software for Ore
Reserve Estimation" qui se traduit par "Logiciel pour l’estimation des réserves de minerai".
C’est une interface graphique codée en langage de programmation Visual Basic dépendant de
40 programmes basés sur des codes sources ouverts en langage Fortran nommés MyLib (My
Library), et ce n’est que par ces programmes que SoftORE pouvant être exécuté.
En résumé, SoftORE fournit une interface utilisateur à chacun des 40 programmes de
MyLib en toutes les options permises.
8.2. Langages de programmation : Fortran et Visual Basic [8][9][13]
8.2.1. Définition du langage
8.2.1.1. Composition d’un ordinateur :
1 microprocesseur pour calculer
de la mémoire pour ranger des données
En fait, le microprocesseur ne sait effectuer que des opérations simples sur des
nombres codés en binaire (1 et 0) :
additionner
soustraire
multiplier
diviser
lire dans la mémoire
écrire dans la mémoire
etc.
C'est le code machine, très éloigné de la logique humaine.
8.2.1.2. Langage
On voit donc qu'il manque un chaînon entre l'homme et la machine, un langage
commun. C'est le langage informatique.
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Un langage est constitué par :
un ensemble de mots-clés
un ensemble d'objets manipulables, éventuellement extensible
des règles de syntaxe
de structures logiques
Programmer, c'est écrire un texte respectant les règles du langage, susceptible de
résoudre un problème donné.
8.2.1.3. Compilation
Ce texte est ensuite vérifié et traduit en une suite de codes machines par l'intermédiaire
d'un compilateur. Si le texte est incorrect, le compilateur indique les erreurs de compilation,
qu'on pourrait comparer à des fautes d'orthographe et de grammaire dans un langage courant.
Exécuter le programme, c'est faire dérouler par la machine cette séquence de codes
machines ainsi créée.
8.2.1.4. Interprète
Pour les langages interprétés, chaque instruction est traduite en langage machine et
exécutée immédiatement lorsqu’elle est reconnue comme étant correcte.
Homme Compilateur Machine
Homme
Instruction
Source
Interprète Exécution
Instruction
Machine
Programme
Source
Programme
Objet
Figure 29 : Schéma principe de la compilation
Figure 30 : Schéma principe d’un interprète
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8.2.2. Choix du langage Fortran
Ce langage est né en 1954 dans les laboratoires d’IBM. C’est le premier langage
évolué de programmation. L’objectif est de remplacer les langages trop proches de la machine
et de concevoir des programmes portables d’une machine à une autre.
Le FORTRAN est le langage par excellence de programmation numérique. Son nom
provient de "FORMULA TRANSLATION". Opérationnel depuis près d’un quart de siècle,
c’est évident qu’il soit très répandu dans les domaines de recherche et de l’industrie.
Ce langage compilé suit les évolutions des matériels informatiques de plus en plus
puissants. Afin de rendre le langage plus performant, un consortium entre constructeurs de
matériels et développeurs de logiciels a été créé pour définir une nouvelle norme : FORTRAN
90. Cette norme prend en compte des instructions supplémentaires spécifiques à la
programmation objet.
8.2.3. Adoption du langage Visual Basic
Visual Basic 6.0 est un langage de programmation développé par Microsoft en 1998,
et qui permet de programmer des applications indépendantes sous l’environnement Windows.
Il est intégré dans tous les logiciels de Bureautique de Microsoft (Word, Excel,
Access) sous le nom de VBA (Visual Basic Application). Visual Basic est un langage interprété,
c'est-à-dire que chaque instruction est traduite en langage machine et exécutée immédiatement
lorsqu’elle est reconnue comme étant correcte.
Le processus de développement d’une application est assimilé certains concepts sur
lesquels est fondé Visual Basic. Comme il s’agit d’un langage de développement Windows, il
convient également de s’être familiarisé avec l’environnement Windows.
8.3. Spécificité du programme
SoftORE est un programme, flexible et portable, qui :
fournit des forfaits complets les plus disponibles en géostatistique ;
possède un fichier de données générique de MyLib pour les tests ;
peut travailler sur des données minières polymétalliques ;
traite aussi un fichier de données de pétrole avec la porosité et la perméabilité.
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8.4. Structure de "SoftORE"
8.4.1. Fenêtre d’accueil
SoftORE est lancé à partir de son fichier exécutable se trouvant dans la partition
système Windows du disque dur de l’ordinateur ou à travers son raccourci copié sur le bureau.
8.4.2. Fenêtre principale
Figure 31 : Fenêtre d’accueil du programme SoftORE
Figure 32 : Interface graphique de SoftORE
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Une fois, le chargement de la fenêtre d’accueil prit fin, cette fenêtre principale s’ouvre
ensuite, et on remarque que la plupart des options sur la barre des menus sont grisées jusqu'à ce
qu'un projet soit défini.
A propos de l’interface graphique :
La première zone (étiqueté 1 sur la fenêtre principale) est une structure arborescente qui
stocke une copie de tous les fichiers de paramètres exécutés dans le projet actuel sous
le titre approprié. Chaque rubrique concerne un élément de menu au début. Et il est
également possible qu’on peut également lancer un programme directement depuis cette
arborescence, mais plus sur ces détails dans le second chapitre.
Le deuxième domaine (marqué 2 dans la fenêtre principale) est de préparer un fichier
de commandes; c'est une fonctionnalité avancée qui sera discuté aussi dans le chapitre
suivant.
La troisième zone noire dans la fenêtre principale est une fenêtre d'information où les
sorties standard de tous les programmes seront présentés, qui est, toute la production
qui serait vu à l'invite de commande DOS ou Shell Unix, est montré ici pour la
vérification des erreurs.
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Chapitre 9. Les fonctionnalités disponibles utilisées par
"SoftORE"
9.1. Options
9.1.1. Fichiers
Au premier lancement, l'utilisateur doit aller à l'option de menu "Tools" sur le côté droit
de la barre de menu et choisit la sélection "Options". La fenêtre suivante apparaît.
L'éditeur et les options "Save parameters files" peuvent être par défaut; toutefois, le
"PostScript viewer executable" et le "Directory containing the MyLib executables"
doivent être définis afin de fonctionner SoftORE. Les emplacements corrects peuvent être
spécifiés si tous les paramètres par défaut sont choisis pendant le chargement.
Le premier paramètre est "External editor". En appuyant sur le bouton en forme de
dossier, ceci permet de parcourir l’éditeur de texte favori. Mais si on clique sur le point
d'interrogation en rouge, l'éditeur de texte par défaut de Windows va être recherché
automatiquement. Si cela est laissé en blanc, alors l'éditeur de bloc-notes de Windows sera
utilisé.
Figure 33 : Fenêtre de l’option "Files"
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Le second paramètre est le programme "PostScript viewer" ; on pointe sur
l'emplacement enregistré lors du chargement GhostScript / GsView. Si on suit les valeurs par
défaut, le programme peut avoir l'emplacement correct déjà spécifié. L’emplacement des
exécutables de MyLib doit être également spécifié.
9.1.2. Paramètres
Si "Default parameter files" est activé et un répertoire validé est spécifié, SoftORE va
regarder dans ce répertoire pour les fichiers de paramètres lors de l'ouverture de nouveaux
modèles. Si le fichier de paramètre correspondant au modèle (par exemple, hisplt.par pour le
modèle de traçage d’histogramme) se trouve dans le répertoire, les paramètres dans ce fichier
seront utilisés comme paramètres par défaut. Sinon, les paramètres par défaut seront utilisés.
Chaque modèle défini dans SoftORE peut contenir un bref commentaire. Si l'option
"Show comment" est cochée, le commentaire sera affiché dans la fenêtre des paramètres.
Lors de l'enregistrement d'un nouveau fichier de paramètres, SoftORE peut utiliser l'une
des deux méthodes suivantes pour suggérer un nom de fichier:
Figure 34 : Fenêtre de l’option "Parameters"
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Soit en utilisant le type de modèle et incrémenter un numéro (par exemple,
histplt001.par, histplt002.par, ...).
Soit en prenant le fichier de données d'entrée pour en construisant un nom de
celle-ci (par exemple, HP_data.par si data.par est le nom du fichier de données
d'entrée).
On coche "Get parameter file name from output file name" pour choisir la deuxième
option.
9.1.3. Mise en place d'un nouveau projet
Un projet doit être défini avant que SoftORE pourrait être utilisé avec des données.
On choisit le menu "Files", puis on clique sur "New project" pour ouvrir la fenêtre suivante.
Par défaut, SoftORE fonctionne avec trois répertoires:
Les fichiers de données ou "Data files"
Les fichiers de sortie ou "Output files"
Les fichiers de paramètres ou "Parameter files"
Cependant, il est parfaitement acceptable d'utiliser un seul répertoire pour stocker tous
les fichiers appartenant à donner projet.
9.2. Exécution des programmes individuels
Il y a un certain nombre de menus déroulants à partir de laquelle l'interface entre les
différents programmes peut être lancée :
Figure 36 : Barre des menus du programme SoftORE
Figure 35 : Fenêtre du répertoire de projet
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La plupart des menus sont explicites :
Le menu "Files" contrôle les paramètres du projet, permet des nouveaux projets
qui seront ouverts et ainsi de suite.
Le menu "PostScript" est pour les programmes qui créent des diagrammes de
postscript.
Les menus "Variogram", "Kriging", "Simulation" et "Help" sont évidents.
Le menu "Postprocess" est pour les programmes qui affichent des réalisations
de processus multiples ou les résultats d’indicateur de krigeage.
Le menu "Tools " est de définir les options de SoftORE et de combiner plusieurs
diagrammes de "PostScript" sur une page de la sortie imprimée.
Un nouveau fichier de paramètres "blanc" est ouvert lorsque l'interface à un programme
est sélectionnée à partir des menus principaux.
Pour cette raison, dans la pratique, ce menu en haut ne doit être utilisé que pour la
première fois lorsqu’un programme est ouvert; après, il est plus commode d'ouvrir le fichier de
paramètres directement à partir de la structure arborescente (coin supérieur gauche de la fenêtre
principale). On peut importer un fichier de paramètre quand une fois l'interface est lancée.
Par exemple, en choisissant l'option "Histplt" dans le menu, "PostScript" lancera
l’interface histplt dans la page suivante:
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L'interface dispose de toutes les options disponibles dans le programme de "histplt" de
MyLib; à ne pas oublier que SoftORE est une interface pour les programmes de MyLib. Ces
paramètres de l'interface sont enregistrés dans un fichier paramètre, puis exécuté. Les options
(ou boutons) en bas de la fenêtre sont essentiellement auto-explicatives.
Il y a quelques notes:
"Import" va tenter de lire dans les paramètres d'un fichier de paramètres
existants. Ce sera écraser tous les paramètres actuels.
"Save" permettra de sauvegarder sur le même nom de fichier (si c’est déjà
spécifié).
"Save as" fera une sauvegarde d’un nouveau nom de fichier qu’on peut
spécifier.
Figure 37 : Interface "Histplt"
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"Run" va déclencher une sauvegarde (si cette option est spécifiée dans les
options), puis exécute le programme. Les options principales sont inactives et
grisés alors que le programme est lancé; les options sont à nouveau disponibles
lorsque le contrôle est renvoyé à l'interface. La sortie standard des programmes
MyLib est présentée dans la fenêtre inférieure en noir sur l’affichage principal
de SoftORE.
"View" tentera d'ouvrir les fichiers de sortie. Si la sortie est "PostScript",
donc "GhostView" sera utilisé. Si la sortie est un fichier ASCII, alors l’éditeur
choisi sera utilisé. Il est à noter que le bouton "View" peut être pressé avant
d'exécuter les programmes, on peut voir les anciens résultats ou obtenir un
message d'avertissement.
"Comment" permet d'associer un bref commentaire avec le fichier de
paramètres.
"Close" quittera l'interface du programme en cours sans sauvegarder quoi
que ce soit, l’interface ne demande pas de sauver, même si des modifications
sont apportées aux paramètres.
9.3. Affichage des résultats
Lorsqu’on clique sur l’option "Run" de la fenêtre histplt, le programme sera exécuté et
l'information sera imprimée à la fenêtre du bas de SoftORE, comme l’exemple ci-dessous :
Figure 38 : Affichage des résultats de données sous l’invite de commande DOS
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On verra ensuite si le programme exécuté serait avec succès ou non. Les deux icônes en
bas au coin à gauche permettent d'effacer la fenêtre ou de sauvegarder les résultats dans un
fichier.
Et enfin, en appuyant sur le bouton "View" de l’interface histplt lancera le programme
"GsView" avec la sortie suivante:
N.B : L’exécution de tous les programmes procède de manière similaire, mais dans certains cas,
la sortie peut être un fichier de données ASCII.
9.4. Interface graphique
9.4.1. Structure arborescente
La structure arborescente dans le coin supérieur gauche de la fenêtre principale peut être
particulièrement utile pour garder les fichiers de paramètres organisés et permettant un contrôle
rapide et réexécution des programmes.
Voici un exemple de structure de l'arbre élargi avec un fichier gamv.par. Il y aurait plus
fichiers de paramètres en vertu de ce programme si nous avions créées et exécutées davantage.
Figure 39 : Affichage des résultats de données sous GsView
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Lorsqu’on fait un clic droit sur les principaux éléments de menu, par exemple,
"Variogram", on obtiendra la même liste de programmes disponibles que sous ce point de
menu en haut de la fenêtre SoftORE. Lorsqu’on clique droit sur un nom de programme, par
exemple, gamv, on a la possibilité de créer un nouveau fichier de paramètres. D’un air plus
important, lorsqu’on clique droit sur le nom d'un fichier de paramètres, par exemple,
GV_twowell, on aura au moins les choix suivants :
Figure 40 : Menu "Variogram" élargi avec un fichier GV_twowell.par
«
Figure 41 : Clic droit du fichier GV_twowell.par
«
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A propos de ces 9 choix :
1) "New" va lancer l'interface de ce programme avec un nouveau fichier de
paramètres.
2) "Information" affiche des informations sur le fichier de paramètre.
3) "Edit" lancera l'interface avec ce fichier de paramètres en permettant de
modifier certains des paramètres et les ré-exécuteront.
4) "Run" va exécuter le programme sans lancer l'interface. La sortie MyLib sera
écrite à la fenêtre du journal inférieure.
5) "View result" déclenchera "GsView" ou l’éditeur pour montrer le fichier de
sortie associé avec le fichier de paramètres.
6) "Run & view result" exécutera le programme sans lancer l'interface. La sortie
MyLib est écrite dans la fenêtre du journal inférieure. Ensuite, "GsView" ou
l’éditeur sera lancé avec le fichier de sortie.
7) "Add run to batch" va ajouter l'exécution du programme correct de MyLib
avec ce fichier de paramètres à la fenêtre batch vers la droite (voir dans le
paragraphe suivant).
8) "Add view to batch" ajoute la visualisation du résultat à la fenêtre batch.
9) "Delete" permet de supprimer le fichier de paramètres à partir de la structure
de l'arbre et/ou du disque dur; c’est utile aussi pour nettoyer les fichiers.
9.4.2. Fenêtre Batch script
Cette fenêtre, dans le coin supérieur droit de la fenêtre principale, peut être utile pour
effectuer rapidement des calculs répétitifs.
Figure 42 : Fenêtre batch de SoftORE
«
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Les six options au-dessus de la fenêtre de fichier batch:
ajoute le fichier programme / paramètre choisi au batch script. Un fichier de
paramètre est "choisi" à partir de la structure d'arbre à gauche.
ajoute la commande de la vue à partir du fichier de paramètre choisi au batch
script. Une fois de plus, un fichier de paramètre est choisi à partir de la structure
d'arbre à gauche.
ajoute une commande DOS à la séquence batch.
exécute le batch script. La sortie qui serait normalement écrit à l'écran (invite
de commande DOS) est écrit dans la fenêtre du journal en bas de la fenêtre de
SoftORE.
lance une fenêtre de sélection de fichier de sorte qu’on peut charger un
fichier batch qui existe déjà.
enregistre le fichier batch, on sera interrogé pour le nom d'un fichier de
paramètres si cela est un nouveau fichier batch.
efface la fenêtre de fichier batch.
Voici un exemple avec trois programmes ajoutés au fichier batch :
9.4.3. un calcul du modèle de variogramme
9.4.4. la création d'un tracé de variogramme
9.4.5. la visualisation de la sortie du tracé de variogramme
Figure 43 : Exemple de trois programmes au Batch script de SoftORE
«
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La procédure serait ainsi :
1) ouvrir l'interface de vmodel
2) faire quelques changements
3) enregistrer le fichier de paramètres
4) exécuter le script batch
5) regarder au tracé résultant
6) retourner à l'étape ii. jusqu'à ce que le résultat final soit satisfaisant.
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Chapitre 10. Application de "SoftORE" : cas des données
de résultats d’analyse chimique du nickel d’Ambatovy
Annotation :
Avant de commencer, on effectue avec ce programme les étapes de base à une
analyse géostatistique des propriétés des réserves. Le fichier Ambatovy.dat est fourni avec
les 5 variables suivantes : ( )X m , ( )Y m , (%)Nickel , ( )Puissance m , et
( %)Accumulation m .
10.1. Informations sur le gisement de nickel d’Ambatovy [22]
10.1.1. Disposition de fichiers de données
Les données d’Ambatovy.dat sont contenues dans un fichier de données de Mylib.
Les premières lignes du fichier de données pour Ambatovy, nommé Ambatovy.dat, sont
comme suit:
Figure 44a : Aperçu des premières lignes du fichier de données Ambatovy.dat
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10.1.2. Reconstitution et régulation des échantillons
On reconstitue les teneurs des échantillons en adoptant le principe ci-après :
Pour le cas des gisements d'Antampombato, d'après J. Conraux (1963), les échantillons
analysés étaient des carottes de longueur Im (passe métrique). Chaque échantillon a été analysé
au laboratoire de Moramanga (examen des cuttings à la binoculaire).
Les teneurs des échantillons ont été obtenues suivant ce principe de calcul :
1e
3e
4e
5e
6e
7e
1 1,l t
2 2,l t
3 3,l t
4 4,l t
1 1 1 1 2 2 1 2,l t e t e t e e
2 2 3 2 3 2,l t e t e t
3 3 4 2 5 3 6 4 4 5 6,l t e t e t e t e e e
4 4 4,l t t
Figure 45a : Echantillons
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A chaque point de sondage correspond donc une teneur t reconstituée de la façon
précédente. L'épaisseur totale considérée pour chaque sondage était celle qui correspondait à la
teneur passant 1% de nickel.
10.1.3. Analyse exploratoire des données
On peut générer un affichage de données pour l'épaisseur, soit en choisissant l'option
"Locmap" dans le menu "PostScript", soit en double-cliquant sur l'entrée de fichier de
paramètres pour la porosité sous locmap dans la liste de l'histoire et de modifier les informations
de manière appropriée (changement les valeurs de variable, le fichier Postscript, titre de la carte,
et les légendes).
1 1 k ne t e t e t e tt
n e
Figure 45b : Echantillons
1 m
1t
1 m
1 m
2t
1t
1 e m
1 1 k nt t t tt
n
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10.1.4. Choix des variables régionalisées
Les données (teneur) utilisées dans cette étude proviennent d'une reconnaissance
effectuée pendant une durée précise. La représentativité de ces données est donc constante dans
le temps. Elles ont été obtenues par le même procédé (sondage tarière) pour le gisement tout
entier donc la représentativité des données est constante dans l'espace.
10.1.4.1. Définition des variables étudiées
Nous allons commencer par le recueil des points d’échantillonnage dont les valeurs ont
été obtenues par des variables étudiées représentées par la figure 46 (Scattergram).
a. Variable régionalisée "teneur"
On sait déjà qu’une variable régionalisée est une fonction d'espace dont la valeur varie
d’un point à un autre de l’espace avec une certaine apparence de continuité.
Pour notre cas, la première variable a les caractéristiques suivantes :
Nature : teneur moyenne pondérée ;
Support : tronçon de carotte de diamètre d (diamètre de sondage) de longueur
constante 1 l m .
Champ géométrique : la concession minière d’Ambatovy.
On peut dire que les conditions pour qu’une variable soit régionalisée sont toutes
satisfaites.
b. Variable régionalisée "accumulation"
Pour étudier l'estimation globale d'un gisement, la variable "accumulation" doit être
considérée dans l’étude car l'objectif est de déterminer le tonnage total du minerai et la quantité
de métal utile.
Par définition, l'accumulation ( )A x est obtenue par la relation :
( ) ( ) ( )A x t x p x .
Pour notre cas,
( )t x étant la teneur moyenne pondérée;
( )p x la puissance moyenne des teneurs supérieures à 1% Ni.
Le support pour notre cas sera considéré comme ponctuel car on a ramené à la surface
libre les valeurs obtenues sur chaque point de sondage.
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Le champ géométrique est toujours la concession minière d'Ambatovy. En effet, les
conditions nécessaires pour que l'accumulation soit une variable régionalisée sont toutes
vérifiées.
Un autre terrain d'exploration de base est un affichage des valeurs de données dans les
emplacements de puits, qu’on peut produire en sélectionnant Location map (locmap) dans le
menu PostScript puis en modifiant les valeurs de paramètres dans la boîte de dialogue locmap.
Cette carte de localisation ci-dessous affiche les valeurs de la teneur en nickel
représentées par une gamme de couleurs affiché à l'emplacement des points d’échantillonnage.
Figure 46 : Points d’échantillonnage
Source : Scattergramm (scatplt) de SoftORE
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Figure 47 : Carte de localisation
Source : Location map (locmap) de SoftORE
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10.1.4.2. Vérifications des règles correspondant au choix des variables
a. Additivité des variables
Les teneurs sont des valeurs obtenues en faisant la moyenne pondérée des teneurs par
passe métrique tout le long d'un trou de sondage. L'accumulation est une variable issue de la
variable teneur. La règle de l'additivité est vérifiée pour les deux variables.
b. Homogénéité des variables
La nature du minerai sur ce gisement est la même selon les observations géologiques
déjà effectuées. La nature et le support de la variable "teneur" varient peu car les tronçons
étudiés sont tous de même taille 1 m . On est en présence des données homogènes.
10.1.5. Construction des histogrammes des variables régionalisées
10.1.5.1. Histogramme de la teneur en nickel
On va maintenant regarder un histogramme de la teneur en nickel et on a besoin de
connaître les limites de données pour une analyse ultérieure.
Les échantillons ont été regroupés par 20 nombres de classes. Selon les résultats
statistiques, on a ici trouvée une valeur qui varie de 1 à 2,120%Ni, dont la moyenne est de
1,363%Ni, et un coefficient de variance de 0,219.
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Figure 48 : Histogramme de la teneur en nickel
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10.1.5.2. Histogramme de l’accumulation
Les accumulations ont été regroupées par 4 nombres de classes. La valeur moyenne de
ces accumulations est de 25.748 ( m% ) avec un coefficient de variance de 0,865. Les résultats
statistiques nous montrent que les valeurs varient de 1,060 à 99,360(m%), dont la moyenne est
de 25,748(m%).
Figure 49 : Histogramme de l’accumulation
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10.2. Analyse variographique [7]
10.2.1. Principe de l’organisation informatique du calcul du
gisement
L'ensemble du gisement est rapporté à un système d'axes orthonormés direct. Les
données de base disponibles stockées dans le fichier nommé "Ambatovy.dat" sont :
les coordonnées X et Y de l'ouverture des sondages (tête de sondage) ;
les teneurs moyennes pondérées des passes de sondage ;
la puissance du minerai à chaque sondage ;
l'accumulation correspondante ( , ) ( , ) ( , )A x y t x y p x y .
A chaque point d'implantation correspond une teneur moyenne. [Figure 48]
Remarque :
On doit signaler que pour notre cas, l'étude se réduit au calcul à deux dimensions avec
0z (3ème dimension) étant donné qu'on ait ramené à la surface libre les teneurs moyennes
pondérées relatives à chaque ouverture de sondage. Dans la suite de l'exposé, nous devons donc
tenir compte de la présente remarque.
10.2.2. Variogrammes horizontaux
10.2.2.1. Description qualitative de l'approche informatique du calcul
de variogramme
Pour le calcul du variogramme horizontal, on admet que les points marqués x
représentent la projection orthogonale des centres de gravité des échantillons (par passe
métrique) dans le plan de la surface libre. On a effectué cette projection pour faciliter la
visualisation pratique de la méthode.
Par exemple, si on calcule le variogramme suivant la direction X , on procède de la
manière suivante :
une tolérance d'angle est prise autour de l'axe et une tolérance d pour les
distances h du pas du variogramme ;
pour un pas h , le programme procède comme suit :
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0
d d d d
d
en se plaçant au point de départ, point "1" par exemple, il cherche
dans un voisinage h d les informations disponibles.
Si une information "2" se trouve dans ce voisinage, il calcule le carré
de la différence des teneurs 2
1 2z z et augmente d'une unité le
nombre de couples ayant vérifié la condition.
si le point ne peut plus former d'autres couples avec d’autres points
vérifiant la condition de voisinage précédente, le pointeur va se mettre
au point "2" et recommence les opérations précédentes dans un
voisinage identique à . On admet que est déduit de par
similitude directe.
Ce cycle recommence et se répète jusqu'au dernier point de sondage. En somme,
l'important dans cette étape était le choix des classes d'angle et de distance d .
Figure 50 : Classe d’angle et de distance
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10.2.2.2. Description quantitative de la méthode de calcul
Le variogramme représente la variabilité d'un phénomène étudié suivant une direction
considérée. Il constitue un outil précieux pour les études et l'analyse des structures.
La définition mathématique du variogramme est l'espérance mathématique du carré de
l'accroissement de la valeur de la variable étudiée lorsqu'on passe d'un point x à un autre point
x distant de h du premier, suivant la direction considérée :
soit : 2
2 ( ) ( ) ( )h E z x h z x
( )z x étant la variable régionalisée étudiée (teneur moyenne pondérée ou accumulation
pour notre cas).
Lorsque le nombre de points considérés augmente et devient suffisant, on a l'expression
:
2( )
1
12 ( ) ( ) ( )
( )
N h
i
h z x h z xN h
, qui constitue un bon estimateur du variogramme.
( )N h étant le nombre de couples distant de h suivant la direction considérée et vérifiant
la condition de voisinage décrite au paragraphe précédent.
Pour notre étude, la côte z étant nulle et on considère qu'on calcule le variograinme
uniquement au niveau 1 (à la surface libre).
Le variogramme horizontal moyen suivant les deux directions X et Y s'obtient par la
formule :
avec 1 2N N N
*
1( )h : valeur du variogramme dans le plan horizontal suivant la direction X pour h
donnée.
*
2 ( )h : valeur du variogramme dans le plan horizontal suivant la direction Y pour h
donnée.
* *
1 1 2 2( ) ( )( )
N h N hh
N
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99
Les calculs ainsi que les tracés des variogrammes expérimentaux déduits des
expressions précédentes ont été faits par le programme après le regroupement par classes
d'angle et de distance.
10.2.2.3. Résultats
a. Variogramme de la teneur en nickel
Le variogramme est présenté sur les figures 51a et 51b avec :
D’après ce tableau, les colonnes, de gauche à droite, représentent:
nombre de décalage (lag number),
distance de décalage (lag distance),
valeur de variogramme (ou semivariogramme),
nombre de paires de données (number of data pairs for this lag)
moyennes de tête et de queue (head and tail means).
Le nombre de paires de données est important, car nous avons besoin d'un nombre
raisonnable de paires pour obtenir une estimation fiable.
Autres paramètres :
nombre de décalage : 5 ;
séparation de distance de décalage : 35 ;
tolérance de décalage : 60.
Tableau 2 : Valeurs du variogramme de la teneur en nickel
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Figure 51a : Variogramme de la teneur en nickel
Figure 51b : Variogramme de la teneur en nickel
(avec ligne)
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b. Variogramme de l'accumulation
Le variogramme est présenté sur les figures 52a et 52b :
Autres paramètres :
nombre de décalage : 05 ;
séparation de distance de décalage : 30 ;
tolérance de décalage : 50.
Tableau 3 : Valeurs du variogramme de l’accumulation
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Figure 52a : Variogramme de l’accumulation
Figure 52b : Variogramme de l’accumulation
(avec ligne)
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103
10.2.3. Modélisation des variogrammes
10.2.3.1. Modélisation du variogramme de la teneur en nickel
(Voir figure 54)
Par souci de krigeage, on doit remplacer le variogramme empirique (calculé à partir des
données) par un variogramme modélisé.
La modélisation de variogramme dans SoftORE est un processus fastidieux, impliquant
l'utilisation du programme de vmodel pour générer un fichier de variogramme modèle qui peut
ensuite être tracée avec le variogramme empirique pour la comparaison.
Après plusieurs essais, on a pu déterminer les paramètres de la structure modélisant au
mieux les valeurs expérimentales du variogramme.
L'expression de est la suivante :
3
0 1 3
3 1( )
2 2
h hh C C
a a
Pour notre cas :
0 0,049C ; 1 0,07C ; 220a
Finalement, on a comme modèle pour la variable régionalisée de la teneur en nickel :
3
3
1,5 0,5( ) 0,049 0,07
220 220
h hh
Le palier total 0 1 0,119C C autour duquel on a une courbe stable, n'est pas loin de la
variance de dispersion expérimentale qui est égale à 0,089. On peut assimiler cette variance de
dispersion expérimentale à la variance de dispersion théorique car les informations sont
uniformément reparties autour de la valeur modale.
On peut donc admettre que les paramètres ont été estimés avec une précision suffisante.
Voici une confrontation des valeurs expérimentales aux valeurs données par le modèle
d'ajustement après avoir exécuté le programme vmodel. Puis on remarque sur le fichier de sortie
que les données de modèle commence en fait avec deux entrées pour décalage de 0, à la fois
avec une valeur de variogramme de 0. (Il paraît qu’avec une pépite non nulle, un de ces entrées
aurait une valeur nulle de variogramme et l'autre aurait la valeur de pépite).
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Figure 53 : Paramètre vmodel de SoftORE de la teneur en nickel
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Tableau 4 : Valeurs du variogramme modélisé de la teneur en nickel
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Figure 54 : Modélisation du variogramme de la teneur en nickel
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10.2.3.2. Modélisation du variogramme de l’accumulation
Par prolongement de la droite joignant les deux premiers points expérimentaux jusqu'à
l'axe du variogramme, on obtient la valeur de l'effet de pépite 0 440C . Plusieurs essais ont été
ensuite réalisés pour essayer de modéliser le variogramme. L'expression du meilleur modèle
caractérisant la structure est la suivante :
3
3
1,5 0,5( ) 440 90
220 220
h hh
Dans ce cas :
0 440C ; 1 90C ; 220a
Le palier total vaut donc 0 1 530C C C .
Nous allons essayer de voir à l’aide du tableau ci-dessous une confrontation des valeurs
expérimentales aux valeurs données par le modèle d'ajustement après avoir exécuté le
programme vmodel (Figure 55). Et de même que précédemment, sur le fichier de sortie, les
données de modèle commencent avec deux entrées pour décalage de 0, avec une valeur de
variogramme de 0.
Figure 55 : Paramètre vmodel de SoftORE de l’accumulation
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Tableau 5 : Valeurs du variogramme modélisé de l’accumulation
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Figure 56 : Modélisation du variogramme de l’accumulation
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Les variogrammes de la teneur en nickel et l’accumulation du nickel ont la même portée
de 220 m. En considérant deux points du gisement avec des teneurs quasi-ponctuelles, distants
de h , on peut écrire que la variabilité existant entre deux teneurs, étudiée à l'aide du
variogramme, peut avoir comme origine :
échelle ponctuelle ( 0)h : une première variabilité qui peut être due à des
erreurs de mesure ;
échelle pétrographique (1 10 )cm h cm : la variabilité dans cette partie est due
aux transitions d'un élément riche (filon ou couche) à une couche stérile.
L'épaisseur est de l'ordre du décimètre ;
échelle d'un panneau de tir (20 1 )cm h m : la variabilité traduit le passage
d'un filon composé d'éléments riches et stériles à une bande franchement stérile
que l'on doit rejeter en cours d'exploitation ;
échelle du gisement : à cette échelle, on peut envisager que ce soit le phénomène
tectonique qui est à l'origine de la variabilité.
Les variabilités citées précédemment peuvent agir ensemble et en même temps. Pour
notre cas, le support des échantillons était une carotte de1m . On peut dire que les variabilités à
l'échelle ponctuelle, à l'échelle pétrographique et à l’échelle d'un panneau de tir ont été
masquées. Ces variabilités se comportent donc comme une seule variabilité et se matérialise
sous l'effet de pépite. Il ne nous reste que la variabilité à l'échelle du gisement, ce qui n'est pas
étonnant du fait que la valeur de la portée pour les deux variables est assez importante
( 220 )a m .
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10.3. Krigeage - Simulation - Estimation globale [1][6][10][11][16][23]
On rappelle que le "krigeage" est une technique qui essaie de trouver une meilleure
estimation possible de la teneur d'un panneau à partir des informations disponibles au voisinage.
Avant d'entamer cette méthode, nous tenons à faire quelques remarques:
le programme SoftORE crée des mailles régulières fictives pour effectuer le
calcul par krigeage. Les paramètres de ces mailles à savoir la longueur suivant
la direction X et la largeur suivant la direction Y peuvent être remplacés par
l’opérateur selon les besoins. Pendant le calcul, le programme affectera à chaque
maille les valeurs correspondantes (teneur, variance, écart-type,...). Ce sont ces
résultats que l'on exploitera plus tard :
le voisinage dans lequel on se permet de chercher des informations pour
l'estimation devrait être fait par une étude spécifique. Etant donné que nous
sommes dans le cas de l'estimation globale d'un gisement, on a pris l'initiative
de choisir les paramètres des variogrammes étudiés dans la partie précédente
pour choisir les limites du voisinage de recherche.
Les simulations sont nécessaires dès que l’on a pour objectif d’obtenir un modèle de
gisement qui a les mêmes caractéristiques de variabilité que le phénomène réel. Et ce sont par
ces méthodes qu’on cherche à reproduire la variabilité réelle du phénomène étudié en générant
d’autres réalisations de la même fonction aléatoire : c’est ce qu’on connait sous le nom de
"simulations conditionnelles". Elles permettent :
d’estimer les tonnages et teneurs récupérées lorsque le critère est un peu
compliqué, comme par exemple : coupure sur une combinaison de plusieurs
éléments d’un gisement polymétallique, contraintes d’exploitation
(accessibilité des infrastructures …).
de quantifier la confiance dans les estimateurs.
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10.3.1. Teneur en nickel estimée par krigeage (Voir figure 57a)
Le calcul du krigeage est entièrement effectué par l'ordinateur à l'aide du programme
SoftORE. Nous allons présenter les résultats sous forme de tableau :
Teneur estimée % Variance 2
k
variance cr k
Voisinage N
1.35 0.0416 8 -0.016
1.35 0.0276 12 -0.010
1.48 0.0205 14 -0.007
1.39 0.0243 13 -0.008
1.41 0.0243 10 -0.009
1.19 0.0323 10 -0.013
1.32 0.0340 14 -0.010
1.39 0.0170 16 -0.005
1.57 0.0145 16 -0.004
1.51 0.0192 16 -0.006
1.31 0.0211 12 -0.008
1.50 0.0228 15 -0.007
1.43 0.0233 14 -0 008
1.49 0.0412 9 -0.017
1.45 0.0303 9 -0.014
1.24 0.0265 10 -0.011
1.36 0.0249 8 -0.013
1.42 0.0265 9 -0.012
Paramètres du variogramme de la teneur en nickel :
Type : sphérique
0 0,049C
1 0,07C
220a m
Moyenne des teneurs krigées : % 1,398%Ni
Tableau 6 : Résultats du teneur en nickel estimée par krigeage
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Figure 57a : Teneur en nickel estimée par krigeage
Figure 57b : Teneur en nickel estimée par simulation
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10.3.2. Accumulation du nickel estimée par krigeage
(Voir figure 58a)
Voici le tableau montrant les résultats de krigeage :
Accumulation estimée
(m%)
Variance 2
k
Voisinage N M
30.3 101 8 -68.091
27.1 73.5 12 -45.860
29.3 60.1 14 -36.047
33.1 67.1 13 -40.473
31.9 74.6 10 -49.576
21.7 84 10 -55.388
25.1 71.8 14 -40.549
26.7 53.5 16 -30.481
24.7 48.2 16 -28.604
29.2 54.2 16 -30.987
23.5 62.8 12 -41.333
23.5 58.9 15 -34.348
27 63.3 14 -38.047
26.7 96 9 -64.359
29.8 85.9 9 -61.532
28.1 78.7 10 -54.085
38.9 82 8 -63.597
37.6 80.9 9 -58.168
Paramètres du variogramme de l’accumulation du nickel utilisé :
Type : spherique :
0 440C
1 90C
220a m
Moyenne des accumulations du "nickel" krigées : 28,56 %m
Tableau 7 : Résultats de l’accumulation du nickel estimée par krigeage
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Figure 58a : Accumulation du nickel estimée par krigeage
Figure 58b : Accumulation du nickel estimée par simulation
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10.3.3. Estimation de la surface minéralisée
(Voir figure 57a ou 58a)
On a déjà signalé auparavant que le programme a créé une maille fictive. La dimension
de cette maille est la suivante :
1
2
242,222
279
a m
a m
La surface totale étudiée a donc été divisée en 10 unités 1a et 10 unités 2a .
Après krigeage, on constate que le nombre de maille que l’ordinateur estime contenir
plus de 1% de nickel est de 18 :
18n
On a 18 teneurs et 18 accumulations estimées par krigeage. L'estimation de surface à
partir d’une maille régulière rectangulaire 1 2( , )a a des problèmes à deux dimensions est donnée
par la formule de la variance relative d’estimation de surface :
2 2
122 2
2
1 10,06
6
S NN
S n N
avec 10n , n étant le nombre de sondages positifs.
L'estimateur de surface devient donc : *
1 2S n a a
2 1N N , 12N et 22N sont les nombres d'éléments parallèles aux côtés de la maille
1 2( , )a a constituant ainsi le périmètre de la surface *S des sondages positifs.
Pour Ambatovy, on a donc :
n = 18 sondages positifs
Sur le périmètre de la surface estimée*S , on observe les caractéristiques suivantes :
12N = 16 éléments de longueur 1a parallèles au côté 1a de la maille ;
22N = 12 éléments de longueur 2a parallèles au côté 2a de la maille.
La variance d'estimation relative de la surface S a donc comme valeur :
2 2
2 2 2
1 1 8 1 646 0,06 1 0,06 0,005062
18 6 6 18 6
S
S
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Soit un écart-type relatif de 0,071146 7%S
S
La formule de la distribution normale des erreurs d'estimation, pour un intervalle de
confiance à 95%, s'exprime de la façon suivante :
1,96 0,139446 14%S
S
Application numérique :
* 2
1 2 18 279 242,222 1216438,884 121,64S n a a m ha
10.3.4. Estimation de la quantité de métal
10.3.4.1. Estimation de l'accumulation moyenne
Par définition,
( ) ( ) ( )A x p x t x
La variance d'estimation globale à champ connu peut se calculer par composition directe
:
1 2
2 * 21EA S Ea aE A A
n
avec 1 2
2
1 2 1 22 2; 2 ,Ea a H a a F a a
1 22; 2 121,111;139,5 121,111 220;139,5 220H a a H H
0,550;0,634 0,600H , d’après l’abaque n°3 pour un modèle sphérique.
242,222 220;279 220 1,101;1,268 0,700F F , d'après l’abaque n°4.
1 2
2 2 0,600 0,700 0,500Ea a
1 2
2 21 0,5000,028
18EA Ea a
n
2 0,028EA (2,8%)
Application numérique :
21 216 438,884 169 627S m
25,758 % 0,715 %A m m
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Remarque sur l'unité de l'accumulation :
L'unité %m de l'accumulation est bien courante en géostatistique mais elle peut gêner
certains lecteurs. C'est pourquoi, nous estimons utile de le signaler.
On peut mettre aussi l'accumulation sous une autre forme. Par exemple, pour notre cas :
25,758 % 0,25758A m m
On voit que l'accumulation se comporte ici comme la longueur d'un élément, ce qui est
vrai car des objets qui s'accumulent possèdent une certaine longueur.
10.3.4.2. Estimation de la quantité de métal
Par définition, la quantité de métal Q a pour expression :
Q S A d
S : Surface minéralisée en 2m ;
A : Accumulation du métal en %m ;
d : Densité.
En utilisant l'hypothèse de l'indépendance interne, les erreurs d'estimation sont
supposées indépendantes. Ainsi, on peut écrire :
2 2 22
2 2 2 2
Q S dA
Q A S d
Etant donné que les informations sur la densité ne sont pas suffisantes, on peut supposer
que le terme 2
2
d
d
est assez insignifiant pour être négligé.
2 22
2 2 2
Q SA
Q A S
2
20,005062 0,028 0,032840
Q
Q
0,181217 18,12%Q
Q
On doit remarquer que l'erreur sur l'accumulation 2
2
A
A
l'emporte sensiblement sur
l'erreur de surface
2
2
S
S
.
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Remarque sur la densité (J. Conraux, 1963)
La densité moyenne d'un minerai tout-venant humide est de 1,5. Plusieurs
déterminations de la teneur en eau par séchage du tout-venant à 100°C ont donné une moyenne
de 30% d'eau en poids. On a ainsi ramené la densité du minerai sec à 1,05.
Application numérique :
1216438,884 0,25758 1,05 364785,6925 Q S A d tonnes
avec 18,12%Q
Q
10.3.5. Estimation du tonnage du minerai
La variance d'estimation relative pour le tonnage total est donnée par :
2 2 22
2 2 2 2
t S dP
t S P d
or on a pris
2
20d
d
2 2 2
2 2 2
t S P
t S P
1 2
2 * 21EP S Ea aE P P
n
avec 1 2
2
1 2 1 22 2; 2 ,Ea a H a a F a a
0,550;0,634 0,600H
1,101;1,268 0,860F
1 2
2 2 0,6 0,860 0,340Ea a
1 2
2 21 0,340,019
18EP Ea a
n
2 2 2
2 2 20,005062 0,019 0,023951t S P
t S P
0,154760t
t
(15,4%)
328 894,663 59 601,218 Q tonnes tonnes
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Application numérique :
L'estimation du tonnage du minerai est donnée par la relation :
t S p d
S : Surface minéralisée ;
p : Puissance moyenne du minerai ;
d : Densité moyenne du minerai.
*
*
AP
Ni
1216438,884 18,596327 1,05 26093397,18 tonnest
10.3.6. Estimation de la teneur moyenne en nickel
Par définition, la teneur s'exprime par la relation :
A
P
A : accumulation ;
P : puissance.
La variance d'estimation relative à un quotient s'écrit de la façon suivante :
2 2 2
2 2 22A P A P
APA P A P
AP existe car l'accumulation et la puissance ne sont pas des variables indépendantes.
On peut aussi constater que les deux fonctions structurales ( )A h et ( )P h sont
proportionnelles, les deux configurations de leurs valeurs moyennes sont analogues, on peut
calculer le coefficient de corrélation classique AP entre les variables ( )A x et ( )p x .
Après le calcul effectué par l’ordinateur, pour les variables ( )A x et ( )p x ,
on a : 0,970AP
D'où la variance relative d'estimation de la teneur peut s'écrire :
2 2 2
2 2 22A P A P
APA P A P
23 752 359,426 3 675 912,051 t tonnes tonnes
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avec 2
20,028A
A
; 0,164A
A
;
2
20,0188P
P
; 0,137P
P
2
20,028 0,019 2 0,970 0,167 0,138 0,002229
0,047210
(4,7%)
Application numérique :
10.3.7. Récapitulation des résultats
Le tableau suivant résume les résultats des caractéristiques de l’estimation des réserves
de nickel d'Ambatovy :
Estimation Valeur estimée Limites
Surface minéralisée 1 216 438,884 2m 169 627
2m
Accumulation moyenne 25,748 %m 0,715 %m
Quantité de métal 328 894,663 tonnes 59 601,218 tonnes
Tonnage du minerai 23 752 359,426 tonnes 3 675 912,051 tonnes
Teneur moyenne 1,385 %Ni 0,065 %Ni
1,385% 0,065%
Tableau 8 : Résultats caractéristiques du gisement d’Ambatovy
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
M
INES
2014
122
Conclusion partielle
Le programme SoftORE a été conçu pour fonctionner avec des études géostatistiques
comme ci-dessus. Cet exemple de cas de gisement de nickel d’Ambatovy a montré une étude
de cas simple pour illustrer les concepts de base d'un modèle géostatistique.
Les résultats de l'estimation globale du gisement d'Ambatovy, acquis lors de cette
étude, nous permettent de montrer le modèle mathématique correspondant à la minéralisation
de ce gisement. La fluctuation des variables régionalisées étudiées est représentée par le modèle
sphérique. C'est le modèle classique et le plus fréquent aux problèmes miniers.
Les données numériques sur la réserve en nickel du gîte d'Ambatovy ont pu être
obtenues grâce au calcul par la méthode du krigeage. Des intervalles de confiance par paramètre
d'évaluation (teneur, accumulation métal, tonnage minerai, surface minéralisée) accompagnent
ces résultats numériques.
Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes sources ouverts
M
INES
2014
123
CONCLUSION GENERALE
Le programme de modélisation géostatistique "SoftORE" a joué un rôle important
dans l’estimation des réserves de minerai, comme celui du cas de nickel d’Ambatovy dans ce
présent ouvrage. Le principal défi était de mettre en œuvre le programme pour qu’il soit
opérationnel pour traiter toutes sortes de fichiers de données minières et pétrolières. La
conception de ce programme a été une longue période pour aboutir finalement à la réalisation
réussie des résultats appropriés et cohérents.
SoftORE a été prouvé être un outil clé dans le processus d'estimation des réserves de
minerai. Le programme tel que "PostScript" qui s’avère très utile pour le traçage des
histogrammes et des diagrammes de probabilité. Les mesures de continuités spatiales comme
le variogramme fournissent de nombreuses mesures différentes (semi-variogramme
traditionnelle, covariance / corrélogramme, etc.). Le module "kriging" a été necessaire pour la
grille de krigeage en 1,2 ou 3D, l’indicateur de krigeage et le co-krigeage. Et enfin, le module
"Simulation" qui permet l’application des méthodes Gaussien, indicateurs (cosimulation,
Markov-Bayes), et la simulation booléenne.
Une analyse complète de toutes les informations disponibles implique une expérience
pour valider indépendamment que les réserves déclarées sont disponibles pour l'exploitation
minière. Les résultats de l'estimation par krigeage doivent être examinés et vérifiés pour la
cohérence. La procédure doit ainsi être bien documentée pour que la méthode d’estimation soit
reproductible et les paramètres utilisés se trouveraient raisonnables.
ANNEXES
Annexe 1 : Classification des ressources et des réserves
RESSOURCES
GEOLOGIQUES ET
MINIERES
RESERVES MINIERES
MARGE
D’ERREUR
FIN
E
Mesurées I :
Délimitation par deux traçages
amont et aval et des sondages à
maille régulière serrée (+/-
16×16)
Prouvées I :
Mêmes informations que la
ressource Mesurée I.
Requise pour la
planification finale des
chantiers.
10%
DE
LIM
ITA
TIO
N Mesurées II :
Délimitation par deux traçages
avec des sondages à maille plus
ou moins régulière et large
(15×25). - Délimitation par un
traçage et des sondages à maille
régulière et large.
EC
ON
OM
IQU
E Prouvées II :
Mêmes informations que
la ressource Mesurée II.
Prouvées I et II sont
requises pour le plan
d’exploitation d’une zone.
20%
LA
RG
E
Indiquées I :
Délimitation par deux traçages
amont et aval et quelques
sondages à maille irrégulière
avec une projection de 15m en
extension latérale par rapport au
dernier impact.
Délimitation par des sondages à
maille régulière et large avec une
projection de 15m en extension
latérale et 25m en verticale par
rapport au dernier impact. ET
UD
E T
EC
HN
ICO
Probables I :
Mêmes informations que la
ressource Indiquée I.
Ne permet qu’une étude de
préfaisabilité.
30%
DE
LIM
ITA
TIO
N
Indiquées II : -
Délimitation par un traçage
amont et quelques sondages à
maille irrégulière large avec une
projection de 15m en extension
latérale et 25m en verticale par
rapport au dernier impact. -
Délimitation par des sondages à
maille irrégulière et large avec
une projection de 15m en
extension latérale et 25m en
verticale par rapport au dernier
impact.
Probables II :
Mêmes informations que la
ressource Indiquée II. Ne
permet qu’une étude
prospective.
40%
xiv
Annexe 2 : Abaques pour le modèle sphérique
Abaque n°3 : Pour la fonction de ( , )H L l
xv
Abaque n°4 : Pour la fonction de ( , )F L l
xvi
Annexe 3 : Présentation des modules disponibles dans SoftORE
Data manipulation
o Change Coordinates System
o Cell Declustering
o Normal Score Transform
o Normal Score Back-Transformation
o General Transformation
o Markov-Bayes Calibration
o Histogram Smoothing
o Scattergram Smoothing
Postscript plots
o Histograms (frequency or cumulative)
o Scattergram
o Q-Q and P-P Plots
o Location Map & Cross Validation
o 2-D Map and Cross-section
o Bivariate Probability Density Map
o Variogram Plot
Variograms
o Regularly Spaced Data
o Irregularly Spaced Data
o Variogram Map
o Indicator Variogram Computation
o Variogram file from model
Kriging
o 2-D Kriging
o 3-D Kriging
o 3-D Cokriging
o Indicator Kriging
Simulation
o Monte Carlo Drawing
o LU Simulation
o Sequential Gaussian Simulation
xvii
o Gaussian Truncated Simulation
o Probability Field Simulation
o Boolean Simulation
o Sequential Indicator Simulation
o Simulated Annealing
Postprocessing
o Add Coordinates
o Indicator Kriging Postprocessing
o Processing of Multiple Realizations
xviii
Annexe 4 : Extrait des codes sources de quelques programmes de
MyLib
Histograms (histplt.for) : Un programme pour visualiser un histogramme et
des statistiques sommaires des données.
c
c Note VERSION number:
c
write(*,9999) VERSION
9999 format(/' HISTPLT Version: ',f5.3/)
c
c Get the name of the parameter file - try the default name if no input:
…
write(*,*) 'Which parameter file do you want to use?'
read (*,'(a)') str
end if
if(str(1:1).eq.' ') str(1:20) = 'histplt.par '
…
write(*,*) 'ERROR - the parameter file does not exist,'
write(*,*) ' check for the file and try again '
write(*,*)
if(str(1:20).eq.'histplt.par ') then
write(*,*) ' creating a blank parameter file'
call makepar
write(*,*)
end if
stop
endif
xix
Variogram plot (vargplt.for) : trace les points expérimentalement calculés de
variogramme (résultat de gam ou de gamv) et/ou le modèle de variogramme
(résultat de vmodel).
program main
…
use msflib
parameter (MAXLAG=5001,BIGNUM=1.0e21,EPSLON=1.0e-5,MAXCAT=24,
+ VERSION=3.000)
integer redint(MAXCAT),grnint(MAXCAT),bluint(MAXCAT),test
character outfl*512,textfl*512,title*40,lotext(16)*80,str*512
real xx(MAXLAG),yy(MAXLAG)
…
eq.' ') str(1:20) = 'vargplt.par '
inquire(file=str,exist=testfl)
if(.not.testfl) then
write(*,*) 'ERROR - the parameter file does not exist,'
write(*,*) ' check for the file and try again '
write(*,*)
if(str(1:20).eq.'vargplt.par ') then
write(*,*) ' creating a blank parameter file'
call makepar
write(*,*)
end if
…
endif
xx
The 2D Kriging (kb2d.for) : un petit programme conçu pour des personnes qui
se renseignent sur le krigeage et ont besoin d'un programme simple pour voir
comment cela fonctionne.
c Module to declare dynamic arrays in multiple subroutines:
c
module geostat
…
use geostat
MAXNST = 4
UNEST = -999.
EPSLON = 1.0e-10
VERSION = 3.000
…
c Note VERSION number:
c
write(*,9999) VERSION
9999 format(/' KB2D Version: ',f5.3/)
…
end if
if(str(1:1).eq.' ') str(1:20) = 'kb2d.par '
inquire(file=str,exist=testfl)
if(.not.testfl) then
write(*,*) 'ERROR - the parameter file does not exist,'
…
xxi
Annexe 5 : A propos de GSview/Ghostscript
GSview est une interface graphique pour Ghostscript sous MS-Windows, OS/2 et Unix.
Ghostscript est une suite logicielle permettant le traitement des formats de fichiers PostScript
et PDF. C'est un logiciel libre distribué sous licence GNU GPL. Pour des documents après les
conventions structurantes de document de l'Adobe PostScript, GSview permet aux pages
choisies d'être regardées ou imprimées.
Les dispositifs incluent:
Affichage et copie de PostScript et des dossiers PDF.
Visualisation des pages dans l'ordre arbitraire (Next, Previous, Go to).
Choix automatique de la taille et l'orientation des pages choisies ou choix en utilisant le
menu.
Impression des pages choisies en utilisant Ghostscript.
Conversion des pages en bitmap, PDF ou PostScript.
Résolution sélectionnable d'affichage, profondeur, alpha.
Bouton de simple zoom.
Extraction des pages choisies à un autre dossier.
Copie de bitmap.
Sauvegarde en fichier BMP.
Ajout de bitmap ou prévision d’utilisateur au fichier EPS (Interchange, TIFF or
Windows Metafile)
Sélection graphique et affichage de la boîte de bondissement pour le fichier EPS.
Extrait de la prévision de bitmap ou le PostScript à partir du fichier EPS de DOS.
Extrait de texte ou recherche de texte.
Lecture des fichiers de PostScript compressés gzip et des fichiers PDF.
Aide en ligne.
Exécutable sur Win32, OS/2 et GNU/Linux.
Possibilité d’être lancé directement sur un CD-ROM ou par un mémoire USB
(application portative).
Langues : Français, Anglais, Catalan, Néerlandais, Allemand, Grec, Italien, Russe,
Slovaque, Espagnol et Suédois.
Fichiers d'initialisation pour l’utilisateur Windows.
xxii
Inclusion du programme d'installation.
Libre (Aladdin Free Public Licence).
Travail avec Ghostscript 7.04 – 9.19 (GSview vérifie le nombre de version de
Ghostscript). Une version plus ancienne de GSview fonctionnera avec Ghostscript 4.03
– 6.99.
Changement de la version 4.9 :
Difficulté mineur de bug.
Emploi de la dernière version des bibliothèques gzip.
Possibilité d’être lancé comme application portative du flash USB.
GSview a été écrit par Russell Lang à Ghostgum Software Pty Ltd.
xxiii
BIBLIOGRAPHIE
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domaine minier. Ecole des mines de Paris. Ed. Durand. 1997
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[11] JEANNEE, N. La Géostatistique: Besoins mathématiques et Applications aux
géosciences. Geovariances.
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Ecole des Mines d'Albi, Ed. Carmaux. 1997-2000.
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ECOLE DES MINES DE PARIS. 27 Mars 1967.
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[19] RAJAONARISOA, V. H. Etude d’implantation et d’établissement d'un programme de
forage pour la prospection du gisement de charbon de Sakoa. Mémoire de fin d’études en vue
de l’obtention du diplôme d’ingénieur des Mines. ESPA. 2005.
[20] RAMANAKOTO T. N. Modélisation numérique. Cours 5ème Année Mines. ESPA.
2013-2014
[21] RAMBININTSOATIANIAVO, R. H. Contribution à l’étude d’exploitation des
gisements de nickel-cobalt : cas du projet d’Ambatovy-Analamay. Mémoire de fin d’études en
vue de l’obtention du diplôme d’ingénieur des Mines. ESPA. 04 avril 2005.
[22] RASOLOMANANA E. Géostatistique. Cours 4ème Année MINES. ESPA. 2012-2013.
[23] RIVOIRARD, J. Concept et méthode de la géostatistique. Ecole des mines de Paris.
Centre de géostatistique, 35 Rue Saint-Honoré, 77305 Fontainebleau (France). Octobre1995.
xxv
WEBOGRAPHIE
[24] http://mirror.cs.wisc.edu/pub/mirrors/ghost/ghostgum (consultée le 10 Juillet 2015).
[25] http://theses.ulaval.ca/archimede/fichiers/23419/ch07.htm (consultée le 20 Juillet 2015).
[26] http://www.geostat.com/geostat.pdf (consultée le 12 Juin 2015).
[27] http://www.memoireonline.com/a/fr/cart/add/4813 (consultée le 09 Mai 2015).
xxvi
TABLE DES MATIERES
REMERCIEMENTS ................................................................................................. i
SOMMAIRE .............................................................................................................. ii
LISTE DES ABREVIATIONS ET DES ACRONYMES ...................................... v
LISTE DES ANNEXES .......................................................................................... vii
LISTE DES TABLEAUX ...................................................................................... viii
LISTE DES FIGURES ............................................................................................ ix
GLOSSAIRE ........................................................................................................... xii
INTRODUCTION ..................................................................................................... 1
PARTIE I : GENERALITES SUR LA GEOSTATISTIQUE .............................. 2
Chapitre 1. Introduction à la géostatistique ........................................................... 3
1.1. Introduction générale [10] ............................................................................ 3
1.2. Histoire de la géostatistique [25] .................................................................. 4
1.3. Langage de la géostatistique [12] ................................................................. 5
1.3.1. Support des observations ..................................................................... 6
1.3.2. Deux problèmes complexes .................................................................. 6
Chapitre 2. Utilisation de la géostatistique ........................................................... 10
2.1. Définition de la géostatistique [1] .............................................................. 10
2.2. Objet de la géostatistique [22] .................................................................... 10
2.3. Application de la géostatistique à la recherche minière [1] .................... 10
2.3.1. Estimation globale d’un gisement ..................................................... 11
2.3.2. Estimation locale ................................................................................ 11
2.3.3. Espacement des trous de sondage ..................................................... 11
2.3.4. Estimation de la récupération ........................................................... 12
2.3.5. Analyse structurale ............................................................................ 12
PARTIE II : METHODOLOGIE DE L’ESTIMATION DES RESERVES ..... 13
xxvii
Chapitre 3. Nuance entre les ressources minérales et les réserves minérales .. 14
3.1. Ressources minérales [3] ............................................................................ 14
3.1.1. Les ressources minérales présumées ................................................ 14
3.1.2. Les ressources minérales indiquées .................................................. 15
3.1.3. Les ressources minérales mesurées ................................................... 15
3.2. Réserves minérales [3] ................................................................................ 16
3.2.1. Les réserves minérales probables ..................................................... 16
3.2.2. Les réserves minérales prouvées ....................................................... 16
Chapitre 4. Théorie des variables régionalisées ................................................... 17
4.1. Variables régionalisées [1][15][17] ............................................................... 17
4.1.1. Un champ géométrique ...................................................................... 17
4.1.2. Un support géometrique .................................................................... 17
4.1.3. Observations sur la mise en œuvre de la géostatistique .................. 19
4.2. Fonctions aléatoires [15] ............................................................................. 19
4.2.1. Hypothèse de stationnarité ................................................................ 19
4.2.2. Stationnarité d'ordre 2 ....................................................................... 20
4.2.3. Hypothèse intrinsèque ........................................................................ 20
4.3. Variogrammes et modèles de variogramme [4][5] .................................... 21
4.3.1. Définition ............................................................................................. 21
4.3.2. Propriétés du variogramme ............................................................... 21
4.3.3. Stationnarité du variogramme .......................................................... 22
4.3.4. Portée et Palier du variogramme ...................................................... 22
4.3.5. Anisotropie .......................................................................................... 23
4.3.6. Le variogramme expérimental .......................................................... 24
4.3.7. Les modèles de variogramme ............................................................ 25
4.4. Régression [22] ............................................................................................ 33
4.4.1. La liaison entre deux variables ......................................................... 33
xxviii
4.4.2. La régression linéaire ......................................................................... 34
4.5. Variance de dispersion – Variance d'estimation [15][16] .......................... 37
4.5.1. Estimation d'une teneur ..................................................................... 37
4.5.2. Erreur d'estimation ............................................................................ 38
4.5.3. Variance d’estimation – Variance d’extension ................................ 39
4.5.4. Variance de dispersion ....................................................................... 40
4.5.5. Utilisation pratique de la variance d'estimation .............................. 41
4.5.6. Utilisation des fonctions auxiliaires pour le calcul des variances
d'estimation 42
Chapitre 5. Analyse structurale .......................................................................... 46
5.1. Objet de l’analyse structurale [7] .............................................................. 46
5.2. Acquisition et vérification des données [7] ............................................... 46
5.3. Calcul du variogramme expérimental [12] ............................................... 47
5.4. Ajustement du variogramme expérimental à un modèle théorique [7][10]
48
5.4.1. Le comportement à l'origine et la détermination de C0 : Effet de
pépite 48
5.4.2. Détermination du palier C ................................................................. 48
5.4.3. Détermination de la portée a ............................................................ 49
Chapitre 6. Modélisations géostatistiques .......................................................... 51
6.1. Le krigeage [6][10][11] ................................................................................... 51
6.1.1. Définition du krigeage ........................................................................ 51
6.1.2. Principe du krigeage .......................................................................... 51
6.1.3. Les équations générales du krigeage ................................................ 51
6.2. Les simulations [6][11][23] ............................................................................. 54
6.2.1. Qu’est-ce-qu’une simulation? Pourquoi des simulations? ............. 54
6.2.2. Jetons aléatoires - dilution de points poissonniens .......................... 55
6.2.3. Les méthodes spectrales ..................................................................... 56
xxix
6.2.4. Les bandes tournantes ....................................................................... 57
6.2.5. Fonction aléatoire gaussienne et conditionnement d’une simulation
60
6.2.6. Autres modèles .................................................................................... 61
Chapitre 7. Estimation des réserves ................................................................... 62
7.1. Généralités [4][5] .......................................................................................... 62
7.2. Calcul d’estimation de réserve [19] ........................................................... 62
7.2.1. Les différentes méthodes d’estimation de réserve ........................... 62
7.2.2. Les paramètres et formules de base du calcul de réserve ............... 64
7.3. Estimation globale – Estimation locale [1] ............................................... 66
7.3.1. Estimation globale .............................................................................. 66
7.3.2. Estimation locale ................................................................................ 67
7.3.3. Les erreurs dans une estimation globale .......................................... 67
Conclusion partielle ................................................................................................ 69
PARTIE III : ELABORATION DU PROGRAMME "SoftORE" .................... 70
Chapitre 8. A propos du programme ................................................................. 71
8.1. Présentation de "SoftORE" ..................................................................... 71
8.2. Langages de programmation : Fortran et Visual Basic [8][9][13] ............. 71
8.2.1. Définition du langage ......................................................................... 71
8.2.2. Choix du langage Fortran .................................................................. 73
8.2.3. Adoption du langage Visual Basic .................................................... 73
8.3. Spécificité du programme ........................................................................ 73
8.4. Structure de "SoftORE" .......................................................................... 74
8.4.1. Fenêtre d’accueil ................................................................................ 74
8.4.2. Fenêtre principale .............................................................................. 74
Chapitre 9. Les fonctionnalités disponibles utilisées par "SoftORE" ............. 76
9.1. Options ....................................................................................................... 76
xxx
9.1.1. Fichiers ................................................................................................ 76
9.1.2. Paramètres .......................................................................................... 77
9.1.3. Mise en place d'un nouveau projet ................................................... 78
9.2. Exécution des programmes individuels .................................................. 78
9.3. Affichage des résultats .............................................................................. 81
9.4. Interface graphique .................................................................................. 82
9.4.1. Structure arborescente ...................................................................... 82
9.4.2. Fenêtre Batch script ........................................................................... 84
Chapitre 10. Application de "SoftORE" : cas des données de résultats d’analyse
chimique du nickel d’Ambatovy ........................................................................................... 87
10.1. Informations sur le gisement de nickel d’Ambatovy [22] ........................ 87
10.1.1. Disposition de fichiers de données .................................................... 87
10.1.2. Reconstitution et régulation des échantillons .................................. 88
10.1.3. Analyse exploratoire des données ..................................................... 89
10.1.4. Choix des variables régionalisées ...................................................... 90
10.1.5. Construction des histogrammes des variables régionalisées .......... 93
10.2. Analyse variographique [7] ....................................................................... 96
10.2.1. Principe de l’organisation informatique du calcul du gisement .... 96
10.2.2. Variogrammes horizontaux ............................................................... 96
10.2.3. Modélisation des variogrammes ..................................................... 103
10.3. Krigeage - Simulation - Estimation globale [1][6][10][11][16][23] ................. 111
10.3.1. Teneur en nickel estimée par krigeage ........................................... 112
10.3.2. Accumulation du nickel estimée par krigeage ............................... 114
10.3.3. Estimation de la surface minéralisée .............................................. 116
10.3.4. Estimation de la quantité de métal ................................................. 117
10.3.5. Estimation du tonnage du minerai ................................................. 119
10.3.6. Estimation de la teneur moyenne en nickel ................................... 120
xxxi
10.3.7. Récapitulation des résultats ............................................................. 121
Conclusion partielle .............................................................................................. 122
CONCLUSION GENERALE .............................................................................. 123
ANNEXES .............................................................................................................. xiii
Annexe 1 : Méthode de classification des Ressources et des Réserves .......... xiii
Annexe 2 : Abaques pour le modèle sphérique ............................................... xiv
Annexe 3 : Présentation des modules disponibles dans SoftORE ................. xvi
Annexe 4 : Extrait des codes sources de quelques programmes de MyLib xviii
Annexe 5 : A propos de GSview/Ghostscript .................................................. xxi
BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................... xxiii
WEBOGRAPHIE ................................................................................................. xxv
Auteur : RAVELOSON Onjalalaina Judicaël Marcia
Contact tel : +261 34 79 719 91
E-mail : [email protected]
Adresse : Lot 07D parcelle 12/12 Tanamakoa - TOAMASINA I
Titre: "Conception d’un programme de modélisation géostatistique basé sur des codes
sources ouverts"
Nombre de pages : 123
Nombre de tableaux : 8
Nombre de figures : 67
Résumé
L'objectif principal de cette étude est de développer un programme dont le but est l'estimation
des réserves de minerai. Plusieurs facteurs ont été pris en considération lors de l'élaboration de
ce programme. Il a été développé sur la base des codes sources ouverts écrits en langage Fortran
90 et peut ainsi être lancé sur Windows XP, Windows 7 et les autres versions ultérieures.
Compte tenu des coordonnées X et Y avec une ou plusieurs variables, pour un certain nombre
de points d'échantillonnage dans la zone d'essai, ce programme peut être utilisé pour déterminer
une superficie, un volume, mais le tonnage des réserves de minerai sont calculés sous Excel.
Les résultats sont présentés sous forme de tableaux et de cartes de contour. Ce programme a été
développé et appliqué en utilisant des données de la mine de nickel d’Ambatovy, Moramanga.
Il est dénommé "SoftORE", et sa mise en œuvre est rapide et facile. Ses résultats obtenus sont
précis.
Mots-clés : softore, géostatistique, estimation, variogramme, krigeage.
Abstract
The main objective of this study is to develop a computer program for the purpose of ore reserve
estimation. Several factors were taken into account in developing this program. It was
developed based on open source code written in Fortran 90 and can be run on Windows XP,
Windows 7 and other future releases. Given X and Y coordinates with one or more variables
for a number of sampling points in the test area, this program can be used to determine an area,
a volume, but the tonnage of ore reserves are calculated in Excel. The results are presented in
tables and contour maps. This program has been developed and applied using data from the
Ambatovy nickel mine, in Moramanga. It is called "SoftORE" and its implementation is quick
and easy. Its results are accurate.
Keywords : softore, geostatistic, estimation, variogram, kriging.
