Introduction à la géostatistique et variogrammes

GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 1

Introduction à la géostatistique et variogrammes

Automne 2006


Plan

Rappels statistiques1 v.a.2 v.a.

Point de vue géostatGisement vs modèle stat

HistoriqueEffet supportEffet informationGéostatistique linéaire

Hypothèse de stationnaritéVariogramme expérimentalModèles Problèmes et stratégie de modélisation


Une v.a. (continue) est entièrement caractérisée par sa fonction de densité

-10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

Loi normale, m=5, σ=3

-10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

Loi lognormale, m=5, σ=3

Intégrale: probabilité


Résumer une distribution par certaines statistiques

Tendance centrale (moyenne)

-10 -5 0 5 10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2Loi normale, σ=3

m=5m=10m=15


Dispersion autour de la moyenne (écart-type)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 300

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Loi normale, m=5

s=1s=3s=6


Asymétrie

-10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

Loi normale, m=5, σ=3

-10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

Loi lognormale, m=5, σ=3

-10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3Loi lognormale, m=5, σ=9

= 3.84

= 0

= 0.44


Le type de loi peut avoir une grande influence sur les ressources et la valeur d’un gisement.

Exemple : gisement m=2, σ=2, t.coupure = 1

1.131.40Profit conv

2.703.02Teneur

0.660.69Tonnage/T0

LognormaleNormale


Deux v.a.

Loi binormale, σ1=2 σ2=5 ρ=0.8 Loi binormale, σ1=2 σ2=5 ρ=0.2

Un couple de v.a. X et Y (continues) est entièrement caractérisé par la loi de densité conjointe f(x,y)


On peut résumer une distribution bivariable par différentes statistiques dont :

- moyennes des 2 variables- écart-types (ou variances) des 2 variables- corrélation (ou covariance) entre les 2 variables

La covariance mesure le degré d’association entre 2 v.a.

La corrélation est la covariance entre 2 v.a. normalisées pour présenter un écart-type de 1

YXXY

)Y,X(Covσσ

=ρ


-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

r=0.3

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

r=0.7

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

r=0.96

-4 -2 0 2 40

2

4

6

8

r=0


0 5 10 15 200

5

10

15

20

r=0.4

0 5 10 15 200

10

20

30

40

r=0.68

0 5 10 15 200

10

20

30

r=0.92


Espérance mathématique

Notion fondamentale

Si g(X)=(X-m)2 => E[g(X)] = Var(X)

Si g(X,Y)= (X-mx) (Y-my) => E[g(X,Y)]= Cov(X,Y)

∫ ∫∫

∫

=

=

=

dxdy)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E

dx)x(f)x(g)]X(g[E

dx)x(xf]X[E

Y,X

X

X


Propriétés de l’espérance mathématique

E est un opérateur linéaire =>E[c g(X)]= c E[g(X)]E[g(X) + h(X)] = E[g(X)] + E[h(X)]E[g(X,Y) + h(X,Y)] = E[g(X,Y)] + E[h(X,Y)]

En particulier

)X,X(Cov*2)X(Var)X(Var)XX(Var 212121 ++=+

)X,X(Cov*ab2)X(Varb)X(Vara)bXaX(Var 2122

12

21 ++=+

∑∑∑= ==

=n

1i

n

1jjiji

n

1iii )X,X(Covaa)Xa(Var

Une des expressions qui revient le plus souvent en géostat


( ) ∫ ∫∫ = Z(y))dxdyCov(Z(x),cZ(x)dxcVar 2 Une autre expression qui revient souvent en géostat

( ) ∫ ∫∫∫ = dxdy))y(Z),x(Z(Covabdy)y(Zb ,dx)x(ZaCov


Point de vue de la géostat

Z(x2)

Z(x3)

Z(x1)

Gisement

Gisement => infinité de points ou très grand nombre de « quasi-points » x : emplacement géographiquechaque point -> teneur -> Z(x)chaque teneur -> v. a. (ensemble forme une fonction aléatoire (de x))


Impossible d’estimer à partir des données la loi de densité conjointe

Impossible d’estimer à partir des données la loi de densité bivariable

Impossible d’estimer à partir des données la loi de densité d’une variable

Cul de sac ? Oui -> zut, cours terminé !

Non -> youppi cours pas terminé !


sortie

-Hypothèses

-Questions auxquelles le modèle permet de répondre

Gamme de questions Hypothèse Généralité

-Simulations

-Méthodes non-linéaires

-Méthodes linéairesHypothèse


Historique de la géostatistique

1930-1950 Théorie des fonctions aléatoires (Kolmogorov, Wiener)1955 Daniel Krige : approche empirique (régression) pour corriger pour corriger problèmes de biais conditionnel observé dans les mines

Pourquoi moins que prévu ?Comment prévoir et tenir compte de l’effet support ?

1960-1970 Matheron (mines), Matern (foresterie), Gandin (météorologie) développent ensemble d’outils => naissance de la géostat linéaire stationnaire. Réponse aux questions de Krige. Matheron donne le nom de « krigeage » à la méthode d’estimation qu’il développe.


Historique (suite)

1973 géostat linéaire non-stationnaire *1975 géostat non-linéaire1977 1er livre en anglais de géostat (M. David)1980 géostat linéaire multivariable *1985 simulations *

* Domaines encore actifs de recherche

Aujourd’hui, la géostat est appliquée dans une foule de domaines(mines, pétrole, foresterie, agriculture, environnement, hydrogéologie, géotechnique, pêches, biologie, biomédical,…)


Effet supportGisement A Gisement B

Comment prévoir ces comportements différents ?Quel est l’impact $$ ?

0 5 10

0 5 10

0 5 10

0 5 10

0 5 10

0 5 10


Effet information

VraiMinerai rejeté

Stérile traité

Estimé

Prévoir l’étendue des plages d’erreur et pertes en $ ?Évaluer $ en information pour réduire les pertes ?

On mine à partir d’estimés mais on récolte des valeurs vraies !


À tonnage extrait égal

⇒on récupère toujours moins de métal avec des gros blocs qu’avec des petits blocs (effet support)

=> on récupère toujours moins de métal avec des estimés qu’avec les vraies valeurs (effet information)

La géostatistique permet théoriquement

- Prévoir l’ampleur de ces effets- Minimiser ces effets- Prendre des décisions éclairées au vu de ces effets


Géostatistique linéaire

QuestionsEstimation de teneurs ponctuelles ou blocsPrécision associée à ces estimations

HypothèseStationnarité du second ordre

Les caractéristiques sont moyenne, variance et covariance

Deux paires de points espacés d’un même vecteur « h » ont des caractéristiques

semblables


Gisement

Z(x1)

Z(x2)

Z(x1)

Z(x2)

Diagramme binaire

Moyenne ? Variance ? Covariance?

+ hypothèse stationnarité« h scattergram »

Z(x)

Z(x+h)

Gisement

hhh

h h


« h1 scattergram »

Z(x)

Z(x+h)Faire varier « h »

Gisement

h1h1h1

h1 h1

« h2 scattergram »

Z(x)

Z(x+h)

Gisement

h2

h2


« h » peut varier en direction et en module.

|h| =1

Z(x)

Z(x+h)

|h| =2

Z(x)

Z(x+h)

|h| =3

Z(x)

Z(x+h)

|h| Cov

On cherche si possible avoir au moins 30 points sur chaque diagramme

-Tolérance sur la direction

-Tolérance sur le module


Exemple


Avec tolérance de 0.5 sur |h| et 15o sur direction


En pratique, on ne s’intéresse qu’à la covariance (corrélation)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1h=3 dir=0-180, Cov = 0.17

Z(x+

h)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1h=8 dir=0-180, Cov = 0.085

Z(x+

h)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1h=15 dir=0-180, Cov = -0.029

Z(x)

Z(x+

h)

2 4 6 8 10 12 14 16-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Fonction de covariance

h ±0.5 θ=0 ou 180 ±15o

Cov

aria

nce


Le variogramme

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1h=3 dir=0-180, Cov = 0.16

Z(x+

h)

Mesure la dispersion sur cette droite


[ ] ( )[ ]2h)+Z(x-Z(x)E 21h)+Z(x-Z(x)Var

21 = (h) =γ

Si E[Z(x)]=m

Variogramme : définition

DécroîtCroîth

Doit exister = Cov(h=0)Si existe = palier Var

Constante connueConstantem

CovarianceVariogramme


Lien entre variogramme et covariance

)h(Cov)h( 2 −σ=γ

Covariance

Variogramme

h


Variogramme expérimentalChoisir une direction + tolérance angulaireDiscrétiser |h| en classes distinctesRépartir les paires dans les classes

[ ]∑=

γ)h(N

iiie h)+x Z(- )xZ(

N(h) 21 = (h)

1

2

N(h) : nombre de paires dans la direction considérée et dans la classe de distance h


Exemple

1234321

h=1

4213231

1.3334

2.543

1.652

0.561

γ(h)N(h)h

0.8334

1.12543

1.252

1.2561

γ(h)N(h)h

0 1 2 3 4 50

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3

0 1 2 3 4 50

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3


Le variogramme décrit la continuité spatiale du phénomène

5 10 15 20 25 30

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

0o

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

45o

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

90o

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

135o


10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

N

0 5 10 15 20 250

1000

2000

30000o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

300045o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

300090o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000135o


0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

40000o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

400045o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

400090o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

4000135o

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

+

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

=

Effet pépite causé par le bruit ajoutéNotez comme la structure sous-jacentedemeure très visible


50 100 150 200

-2

0

2

Z

donnees

0 50 1000

0.5

1

1.5

2

g(h)

Variogramme

50 100 150 200

-2

0

2

Z

donnees

0 50 1000

0.5

1

1.5

2

g(h)

Variogramme

50 100 150 200

-2

0

2

x

Z

donnees

0 50 1000

0.5

1

1.5

2

h

g(h)

Variogramme

3 exemples en 1D


Le variogramme est une statistique d’ordre 2

Ce n’est pas suffisant pour caractériser tous les aspects d’une image ou d’un processus

e.g. on peut créer plusieurs images ayant même « m », même variogramme et présentant pourtant des textures très différentes


Variogramme expérimental

γ(h)

|h|h moyen dans

la classe

?

?

?

Dans les calculs géostat, on doit connaître Cov ou γ pour tout « h »

Modèle


γ(h)

|h|

?Non, le modèle doit être admissible

Modèle admissible : modèle assurant que toute variance calculée à partir de celui-ci est positive

Modèles démontrés admissibles


Généralement,

γ(h)

+ +

+ + ++

+Palier : σ2 = C0 + C

Effet de pépite : C0

Portée : a|h|


0 50 100 150 2000

0.5

1

Gaussien

0 50 100 150 2000

1

2

Linéaire

0 50 100 150 2000

0.5

1

Linéaire avec palier

0 50 100 150 2000

1

2

3

Fractal avec b=1.5

0 50 100 150 2000

0.5

1

1.5

Fractal avec b=0.5

0 50 100 150 2000

2

4

6

DeWijsien

0 50 100 150 2000

1

2

Effet de trou cosinus

0 50 100 150 2000

0.5

1

1.5

Effet de trou sinus

0 50 100 150 2000

0.5

1

Pépite

0 50 100 150 2000

0.5

1

Exponentiel

0 50 100 150 2000

0.5

1

Sphérique

0 50 100 150 2000

0.5

1

Circulaire

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Gravimétrique

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Magnétique

0 50 100 150 2000

0.5

1

Cubique

0 50 100 150 2000

0.5

1

Penta-sphérique (Christakos, 1984 p.264)

Exemples de modèle


0 50 100 150 2000

0.5

1

Quadratique (Alfaro, 1984)

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Stable (Lantuéjoul,1994)

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Hyperbolique (Lantuéjoul, 1994)

0 500 1000 15000

0.5

1

BK Matern, p.30, 4e, s=2

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Christakos,1984, p.261

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Christakos, 1984, p.262

0 50 100 150 2000

0.5

1

Christakos, 1984, p.262 (74)

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Cosinus hyperbolique

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Stein

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Whittle

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Matern p.30, 2e, n=1

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Matern p.30, 2e, n=3

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

1.5

BJ Matern p.30, 3e, k=0

0 500 1000 15000

0.5

1


0 500 1000 15000

0.5

1


0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Bessel 2: Mantoglou et Wilson


Toute somme (coefficients positifs) de modèles de variogramme est admissible

Toute somme (coefficients positifs) de modèles de covariance est admissible

Tout produit (coefficients positifs) de modèles de covariance est admissible

Chaque modèle peut être isotrope ou anisotrope, les directions d’anisotropie peuvent varier d’un modèle à l’autre

Un modèle peut être admissible en 1D et non-admissible en 2D, 3D,….Par contre, s’il est admissible en 3D il l’est aussi en 2D et 1D.


Modèles de base en mineEffet de pépite

h

γ (h)

0h si C 0h si 0)h(

0 >==γ

-Erreurs de mesure

-Erreurs de localisation

-Erreurs d’analyse (Gy)

-Microstructure non-identifiable dû au manque de données

Presque toujours présent mais rarement seulEffet de pépite pur => estimation impossible


Sphérique

h

γ (h)

≥

<<

−

=

=γ

ah si C

ah0 si ah5.0

ah1.5C

0h si 0

)h( 3

Modèle le + fréquent

e.g. teneur, épaisseur, …

Combiné avec effet pépite


Exponentiel

h

γ (h)

Assez commun

Semblable au sphérique

a: portée effective γ(h)=0.95*C

a’=a/3

−−

−−=γ

a|h|3exp1Cou

'a|h|exp1C)h(


Gaussien

h

γ (h)

-Peu fréquent en mine-Variables très continues :e.g. topographie, gravimétrie, magnétisme,épaisseur,…- Problèmes numériques si absence d’effet de pépite

a: portée effective γ(h)=0.95*C

a’=a/30.5

−−

−−=γ

22

a|h|3exp1Cou

'a|h|exp1C)h(


-Modèles sans palier

-Moyenne, variance et covariance non définies

2b0 0,|h| a

|h|C)h(b

<≤>

=γ


Problèmes Problèmes Problèmes…

Données extrêmes influencent beaucoup le variogramme

10 0 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5 60

10

20

30

40

50

60

70


Distance

gam

ma(

h)

0 0 10 0 0 0

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

35


Distance

gam

ma(

h)


Zone A: (pas de 2m)

4 4 5 6 6 7 6 5 4

Zone B: (pas de 1m), zone +variable

8 6 8 10 12 8 10 12 14 10 8 6 12 8 10 10 8 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

8

7

6 5

Variogram m e expérim ental

Dis tance

gam

ma(

h)

Zone A

17

16

15

14

13

12

11

10

9

Zone B

17 24

15

21

13

18

11

15 9

Zone A+B

-Étudier les zones séparément ?

-Sous-échantillonner la zone B


Pratique de « confirmer » préférentiellement les teneurs riches

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50Variogrammes

h

γ(h)

Grille regulière Grille+10 doublonsGrille+doublons

A pour effet de fournir beaucoup de paires à petite distance et montrant de très fortes variations

Si on rééchantillonne chaque point, pas de problème


Erreurs de localisation

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Variogrammes

h

γ(h)

Localisations vraies Localisations erronnées


La géologie ne collabore pas toujours

-5 0 5 10 15 20-5

0

5

10

15

20Positions observées

x

y

-5 0 5 10 15 20-5

0

5

10

15

20Positions "dépliées"

x

y

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Variogrammes initiaux

h

γ(h)

Dir. xDir. y

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Variogrammes après "dépliage"

h

γ(h) // strates

Perpendiculaire

Certains logiciels permettent de passer à un système de coordonnées géologiques


Anisotropies1- Géométrique : les portées décrivent une ellipse

agapθ

{ }

aa a

a ag p

p g

θθ θ

=+2 2 2 2 1 2

cos sin/

θ = 0

θ = 30

θ = 45θ = 60θ = 90


2- zonale : toute anisotropie qui n’est pas géométrique

=> somme de composantes isotropes et avec anisotropies géométriques

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)

h

γ(h)

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2


h

γ(h)

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2


h

γ(h)

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2


h

γ(h)

M o d . a n i s o . 2 D : t y p e , a x a y , r o t ( t r i g o ) , c

3 7 7 0 0 . 5

3 1 7 1 . 0 4 9 e + 0 0 9 4 5 1 . 5

3 - g a u s s i e n

3 - g a u s s i e n

Gaussien isotrope a=7, C=0.5+

Gaussien aniso géom.a45=17a135=∞

5 10 15 20 25 30

5

10

15

20

25

30

Ajustement assez bon pour 0-5 pixels dans toutes les directions


0 5 10 15 200

1000

2000

3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)

h

γ(h)

0 5 10 15 200

1000

2000


h

γ(h)

0 5 10 15 200

1000

2000


h

γ(h)

0 5 10 15 200

1000

2000


h

γ(h)

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

N

Modèle sphérique avec anisotropie géométriquea(45)=20.4, a(135)=13.8

90o 135o 0o

450

Oh non, je ne vais pas encore

me faire variographer!


Stratégie de modélisationDéfinition minutieuse du domaine Examen des données, données extrêmes ?Au besoin sous-échantillonnage des données pour éviter de sur-représenter des zones particulièresVariogramme omnidirectionnel => modèle isotrope candidatDéterminer directions géologiques principalesCalculer variogrammes directionnels (au moins 4 directions) attention aux paramètres de calculs (classes de distance et tolérance)Comparer variogrammes directionnels au modèle isotrope candidat

acceptable => terminéInacceptable => ajuster un modèle anisotrope (géométrique)

anisotrope (géométrique) acceptable => terminéInacceptable => anisotropie zonale ?

Dans tous les cas, il importe surtout d’ajuster les premiers points du variogrammeÉviter de « surajuster » les données


Remarques concernant le calcul des variogrammes

Objectifs:

au moins 30 paires pour la plupart des points du variogramme

4-6 points avant le palier pour pouvoir ajuster modèleh < hmax/2

• Doit avoir un minimum de données

>30 pour variogramme omnidirectionnel>60 pour variogrammes directionnels

• Influence le choix de largeur des classes


0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1


h

γ (h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ (h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ (h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ (h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ (h)

Variog. Directionnels

Modèle sphérique a45=20, a135=35

Variog. omni

50 100 150 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Exemple


N=30 N=60 N=200

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

14

38

52 78

64 76

46


h

γ(h)

-100 -50 0 50 100-100

-50

0

50

100

0 20 40 600

0.5

1

1.5

16

38 59

70 89 105

137


hγ(

h)

-100 -50 0 50 100-100

-50

0

50

100

Effet de pépite apparent

0 20 40 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

51

164 273

341 459 522 593 615 721

769


h

γ(h)

-100 -50 0 50 100-100

-50

0

50

100

M o d . i s o . :

1 1 0 .

4 2 5 . 5 0 .

1 - p é p i t e

4 - s p h é r i q u e


N=40000 N=200

0 20 40 600

0.5

1

15 39

66

89 126

159 156 154

161 212

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,22.5)

h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1

14

46

62 79

121 113 149 147

181 174


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1

5

39 72

82

96 139 152

171

172

200


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1

17

40 73

91

116

111 136

143 207 183


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ(h)

Ajustement ± bon; ne peut être amélioré sans altérer les autres ajustements


Pour détecter une anisotropie, il faut pouvoir calculer le variogramme dans la direction de meilleure continuité. Celle-ci n’est pas toujours connue.

θ = 0

θ = 30

θ = 45θ = 60θ = 90

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0

10

20

30

θ

Rapport apparent en fonction de la direction (θ: angle avec ag) et du rapport d'anisotropie

Rapport vrai: ag / ap

Rap

port

app

aren

t: a θ /

aθ +

90

Tout écart => sous-estimation de l’anisotropie

Faible anisotropie peut passer inaperçue


Tolérance angulaire doit être maintenue faible <22.5, idéalement 0-10.Tolérance trop grande

=> variogrammes peu directionnels=> sous-estimation de l’anisotropie

1 1.5 2 2.5 3 3.5 41

1.5

2

2.5

3

3.5

4

10

20

30

40

0tolérance

Rapport apparent en fonction de la tolérance et du rapport d'anisotropie

Rapport vrai: ag / ap

Rap

port

app

aren

t


En 3D

Meilleures directions pour le calcul => directions des forages

- Permet de bien estimer le variogramme à petite distance- Erreurs de localisation et de direction ont moins d’impacts surle variogramme car les distances inter-carottes demeurent inchangées

Hic: - Nécessite des forages ayant différentes directions pour pouvoir modéliser l’anisotropie


Autres outils utiles-Validation croisée de modèles candidats (krigeage); e.g. Tester un modèle

isotrope vs anisotrope; tester un effet de pépite de 10% vs 30%;…

-Modèle permet de prédire les variances des composites de tailles différentes ?

-Modèle permet de prédire les variances des valeurs krigées ?

-Variogramme des log(teneurs) pour identifier les anisotropies possibles, la

(les) portée, l’importance approximative de l’effet de pépite

-Variogramme d’une transformation des teneurs (e.g. rang), même chose que

les log

Documents

Introduction à la géostatistique et variogrammes