CONCOURS GENERAL DES LYCEES

SESSION 2007

COMPOSITION DE SCIENCES PHYSIQUES (Classe de terminale S)

DUREE : 5 heures

Calculatrice autorise

QQUUAANNDD VVOOIITTUURREE RRIIMMEE AAVVEECC NNAATTUURREE PPOOUURR UUNNEE MMEEIILLLLEEUURREE GGEESSTTIIOONN DDEE LLEENNEERRGGIIEE EENN VVOOIITTUURREE

Ce problme est compos de trois parties indpendantes. Une lecture attentive est ncessaire afin deffectuer une bonne synthse des donnes fournies dans lnonc.

La longueur de lpreuve ne doit pas drouter le candidat. La diversit des questions poses doit lui permettre, au contraire, de tirer le meilleur profit de ses connaissances et de sa capacit danalyse.

Si un rsultat donn par lnonc est non dmontr, il peut nanmoins tre admis pour les questions suivantes.

Si, au cours de lpreuve, le candidat repre ce qui lui semble tre une erreur dnonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives quil est amen prendre.

La plus grande importance sera donne la qualit de la rdaction et de la prsentation des rsultats obtenus. Il est rappel en particulier quune application numrique sans unit est sans valeur et que le nombre de chiffres significatifs doit tre cohrent avec les donnes de lnonc.

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QQUUAANNDD VVOOIITTUURREE RRIIMMEE AAVVEECC NNAATTUURREE PPOOUURR UUNNEE MMEEIILLLLEEUURREE GGEESSTTIIOONN DDEE LLEENNEERRGGIIEE EENN VVOOIITTUURREE

La voiture est le moyen de transport le plus utilis dans les pays industrialiss. Afin de protger lenvironnement et dutiliser au mieux lnergie propulsive en vitant toute mission polluante, il convient de repenser le mode de fonctionnement dune voiture. Comment sera faite la voiture de demain ?

Les chercheurs, les ingnieurs et les constructeurs automobiles travaillent ensemble dans cette voie et testent des prototypes avec de nouvelles motorisations, de nouveaux carburants et mme de nouvelles sources dnergie qui permettront bientt de voyager plus proprement et avec des rendements meilleurs quaujourdhui.

Ce problme propose une tude de quelques innovations technologiques qui quiperont les futures voitures dans un avenir plus ou moins proche. Le sujet se compose de trois parties indpendantes :

PPAARRTTIIEE AA :: LLEESS EENNEERRGGIIEESS DDEE LLAA PPRROOPPUULLSSIIOONN Les biocarburants sont des carburants issus de cultures vgtales (colza, tournesol, canne sucre)

et sont une alternative aux nergies fossiles actuellement utilises (ptrole essentiellement). Leurs pouvoirs calorifiques importants en font des candidats potentiels pour remplacer efficacement lessence traditionnelle. Nous traiterons dans cette partie lexemple de lthanol.

La pile combustible est une source dnergie qui intresse particulirement les constructeurs puisquelle ne rejette que de leau ! Base sur le principe inverse de llectrolyse de leau, la pile combustible promet dtre riche en phnomnes physico-chimiques et ncessitera des infrastructures bien spcifiques pour tre utilise grande chelle dans les voitures de demain.

PPAARRTTIIEE BB :: UUNN MMOOTTEEUURR EELLEECCTTRRIIQQUUEE PPOOUURR SSEE MMEETTTTRREE AAUU CCOOUURRAANNTT Les constructeurs automobiles quipent de plus en plus leurs modles avec un moteur lectrique, selon des technologies hybrides par exemple (moteur thermique coupl un moteur lectrique). Comment fonctionne un moteur lectrique ? Nous verrons en particulier que le moteur lectrique permet de rcuprer de lnergie habituellement perdue sous forme thermique ! La mesure du rendement dun moteur lectrique exprimental sera galement une part essentielle de notre tude.

PPAARRTTIIEE CC :: UUNNEE VVOOIITTUURREE EENN FFOORRMMEE La forme arodynamique dun vhicule dtermine considrablement la force de frottement de lair qui soppose au dplacement. Afin de minimiser cette force de frottement et donc la consommation dnergie, il faut concevoir, comme pour les avions, des vhicules aux formes adaptes pour une meilleure pntration dans lair. Quel est donc le profil idal ? Lexpression de la force de frottement dpend-t-elle du rgime dcoulement de lair autour de la voiture et quelle est linfluence du coefficient de trane sur la consommation en carburant ? Nous verrons sur un exemple que les constructeurs ne sont pas en manque dides pour concevoir des vhicules aux formes surprenantes et aux capacits ingales.

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PPAARRTTIIEE AA LLEESS EENNEERRGGIIEESS DDEE LLAA PPRROOPPUULLSSIIOONN

Le dioxyde de carbone (CO2) est un gaz effet de serre : sa prsence dans latmosphre terrestre est ncessaire pour maintenir une temprature propice la vie sur Terre, mais, en trop grande quantit, le CO2 risque de provoquer une rapide augmentation de la temprature sur notre plante. Quelques degrs en plus causeraient en effet la fonte des glaciers, la monte du niveau des eaux ocaniques, un drglement important du climat La rduction des missions de CO2 dans latmosphre est donc aujourdhui devenue une ncessit.

Une voiture actuelle libre pas moins de 100 g de CO2 par kilomtre parcouru (ce chiffre passe 500 g/km pour les voitures gourmandes , voiture de sport ou 44) ! Parmi les solutions les plus avances aujourdhui pour rduire les missions de CO2 lors de lutilisation de lautomobile on trouve ainsi :

les biocarburants, qui permettent dutiliser le cycle naturel du carbone sans brler les nergies fossiles stockes depuis des millions dannes dans les profondeurs de la Terre ;

les piles combustibles ou piles hydrogne, sources dnergie lectrique non polluantes puisquelles ne librent dans latmosphre que de leau !

Nous allons nous intresser dans la suite ces nouvelles nergies et leur utilisation pratique dans le cadre de lindustrie automobile.

I. Les biocarburants : exemple de lthanol C2H6O 1.1 Prsentation

Lthanol est un alcool primaire directement issu par exemple des cultures de betteraves ou de bl, aprs fermentation des sucres.

1.1.1 Donner la formule semi-dveloppe de lthanol. Identifier la fonction alcool.

1.1.2 Calculer la masse molaire molculaire de lthanol Mthanol. On donne : MH = 1,0 g.mol1, MC = 12 g.mol1 et MO = 16 g.mol1.

1.1.3 Pourquoi dit-on que lthanol est un alcool primaire ? Donner un exemple dalcool secondaire et dalcool tertiaire. On nommera chaque compos.

1.1.4 Que devient lthanol aprs une raction doxydation mnage par le dioxygne ? Que devient lthanol aprs une oxydation forte par le dioxygne ? On donnera le nom et la formule semi-dveloppe des produits obtenus dans chaque cas. Identifier et nommer les fonctions organiques correspondantes. Les quations chimiques ne sont pas demandes.

1.1.5 Citer un ou des produits usuels dans lesquels on trouve couramment la forme la plus oxyde de lthanol.

1.2 Combustion de lthanol On veut utiliser lnergie libre par la combustion complte de lthanol dans le dioxygne de lair pour alimenter le moteur thermique dune automobile.

1.2.1 Sachant que la combustion complte de lthanol ne produit que de leau et du dioxyde de carbone, crire lquation bilan modlisant la combustion.

1.2.2 Quelle diffrence essentielle y-a-t-il entre une raction doxydation par O2 et la raction de combustion par O2 ?

1.2.3 On prcise que la raction est complte. Quest-ce alors quune combustion incomplte ? En quoi une combustion incomplte est-elle dangereuse pour la sant ? Proposer une

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quation bilan modlisant la combustion incomplte de lthanol. Comment peut-on exprimentalement viter une telle situation ?

1.3 Energie libre par la raction de combustion Soit une molcule contenant la liaison AB entre les atomes A et B. Par dfinition, lnergie de liaison DAB est lnergie quil faut apporter pour dissocier 1 mole de liaisons AB et ainsi sparer les atomes A et B ltat gazeux. En outre, DAB est galement lnergie libre lors de la formation dune mole de liaisons AB partir des atomes A et B pris sparment ltat gazeux.

On considre la raction de combustion complte de lthanol dans le dioxygne de lair. On donne dans le tableau 1 ci-dessous les nergies de liaisons DAB des liaisons AB intervenant dans la raction.

LLiiaaiissoonn DDAABB ((kkJJ..mmooll11 )) LLiiaaiissoonn DDAABB ((kkJJ..mmooll11 ))

CH 410 OH 460

CC 348 C=O (dans CO2) 795

CO 356 O=O (dans O2) 494

tableau 1 : quelques nergies de liaisons donnes 25C pour des composs ltat gazeux.

1.3.1 Calculer numriquement lnergie q1 fournir pour dissocier tous les atomes dune mole dthanol ltat gazeux ( 25C).

1.3.2 En utilisant lquation bilan obtenue en 1.2.1, calculer le pouvoir calorifique molaire q de lthanol, cest dire lnergie libre par la combustion complte dune mole dthanol. En quoi cette nergie est-elle diffrente de lnergie calcule en 1.3.1 ?

1.3.3 La raction de combustion est-elle exothermique ou endothermique ? Justifier.

1.4 Mesure exprimentale du pouvoir calorifique de lthanol On considre lexprience suivante (figure 1) qui consiste brler une masse m = 5,0 g dthanol. Lnergie libre par la combustion permet de chauffer une masse Mi = 50 g deau place dans un bcher, de la temprature ambiante 0 = 20C la temprature dbullition de leau eb = 100C sous la pression atmosphrique. Leau bout et schappe en partie sous forme de vapeur. Une fois que tout lthanol a brl, on mesure la masse Mf deau qui reste dans le bcher. On ralise lexprience dans un calorimtre, cest dire que lon nglige dans un premier temps toute perte dnergie thermique vers lextrieur.

On donne la capacit thermique massique de leau ceau = 4,18 kJ.K1.kg1, la capacit thermique du calorimtre C = 1,20 kJ.K1 et la chaleur latente massique de vaporisation de leau lv = 2,25.103 kJ.kg1 ( 100C).

On mesure exprimentalement la masse deau restant dans le bcher aprs la combustion : Mf = 42 g.

1.4.1 Leau bout-elle toujours 100C ? Donner un exemple. Quel est le paramtre qui dtermine la temprature dbullition de leau ?

1.4.2 Calculer lnergie Q1 quil faut apporter sous forme thermique pour augmenter la fois la temprature de leau et celle du calorimtre de 0 eb.

1.4.3 Calculer lnergie thermique Q2 ncessaire pour vaporiser leau 100C.

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1.4.4 Dduire des rsultats prcdents le pouvoir calorifique molaire q de lthanol. Comparer la valeur obtenue en 1.3.

1.4.5 Il existe en ralit des fuites thermiques, mme faibles (le calorimtre nest pas parfait, lair lintrieur du calorimtre est lui aussi chauff). A-t-on alors plutt sur-estim ou sous-estim le pouvoir calorifique de lthanol ? Justifier.

figure 1 : dispositif de mesure du pouvoir calorifique de lthanol

1.5 Les biocarburants face aux carburants traditionnels Le tableau suivant rassemble le pouvoir calorifique massique moyen de combustibles courants (tableau 2).

CCoommbbuussttiibbllee PPoouuvvooiirr ccaalloorriiffiiqquuee mmaassssiiqquuee

((kkJJ..kkgg11 ))

Mthane 55,6.103

Butane 47,6.103

Essence 42,5.103

Charbon 28,0.103

Bois 17,5.103

tableau 2 : pouvoir calorifique massique de quelques combustibles

1.5.1 Calculer le pouvoir calorifique massique qm de lthanol partir de la valeur obtenue prcdemment (en 1.3.2 ou en 1.4.4).

1.5.2 Comparer alors le pouvoir calorifique de lthanol celui des autres combustibles. Conclure.

1.5.3 Citer un avantage utiliser lthanol dans les voitures la place de lessence.

Le Brsil a choisi depuis plus de trente ans de dvelopper son conomie autour de lthanol, grce la culture dimmenses champs de canne sucre ; les voitures peuvent ainsi tre en majorit propulses directement lthanol, que lon trouve la pompe au mme titre que les autres carburants. En Europe, lthanol est utilis comme additif lessence pour amliorer lindice doctane du carburant et le rendement

eau porte bullition

thermomtre

calorimtre

la combustion de lthanol libre de lnergie thermique

creuset avec lthanol

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du moteur. Les carburants classiques deviennent ainsi un peu plus propres, avec une proportion en biocarburant qui, dun point de vue uniquement technique, pourrait encore tre augmente.

Pour limiter leffet de serre, le mieux serait bien sr de ne plus librer de CO2 dans latmosphre. A moyen terme, on envisage de piger le CO2 mis par les voitures et les centrales thermiques dans des veines souterraines trs profondes et ainsi refaire le stock de combustible fossile. A long terme, lnergie lectrique du futur pourrait bien tre obtenue partir de piles combustible.

II. La pile combustible : pour une voiture hydrogne (du grec hudr et gennn : qui gnre de leau )

2.1 Principe de fonctionnement Il sagit de raliser la raction de synthse de leau :

H2 + 21

O2 H2O

On donne dans le tableau 3 ci-dessous les nergies de liaison (voir I.1.3) des liaisons HH, O=O et OH.

LLiiaaiissoonn DDAABB ((kkJJ..mmooll11 ))

HH 432

O=O 494

OH 460

tableau 3 : nergies de liaison 25C pour des composs ltat gazeux.

2.1.1 A partir des valeurs des nergies de liaisons, calculer lnergie libre q lors de la synthse dune mole deau. Montrer que la raction de synthse de leau est exothermique.

2.1.2 Expliquer en quoi cette raction est une source non polluante dnergie.

Lorsque lon mlange directement les gaz H2 et O2 dans les proportions stchiomtriques et que lon initie la raction avec une tincelle, on observe une violente explosion qui libre dun coup toute lnergie de la raction sous forme thermique.

Dans la pile combustible (ou pile hydrogne) de laboratoire, on vite le contact direct entre les ractifs en utilisant des lectrodes de platine et un pont lectrolytique (figure 2).

Les lectrodes sont plonges dans deux bchers diffrents remplis dune solution de potasse (K+, HO), fortement basique. Les deux solutions sont relies par un pont salin (ou pont lectrolytique). Le dihydrogne H2, dune part, et le dioxygne O2, dautre part, sont apports sous forme gazeuse et mis en contact avec les lectrodes de platine (bulles dans la solution de potasse). Le circuit est enfin ferm lectriquement sur une rsistance.

On mesure exprimentalement lintensit du courant lectrique qui circule dans la rsistance, ainsi que la tension aux bornes de la pile.

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figure 2 : principe de fonctionnement dune pile combustible

Chaque lectrode (anode et cathode) est en fait le sige dune raction doxydorduction :

lanode : H2 + 2 HO 2H2O + 2e

la cathode : 21

O2 + H2O +2e 2 HO

Le montage constitue alors une pile et lnergie de la raction sera cette fois libre sous forme lectrique grce la circulation dun courant lectrique dans le circuit.

2.1.3 Montrer que, globalement, les ractions se produisant aux lectrodes sont quivalentes la raction de synthse de leau.

2.1.4 En supposant que le circuit est ferm lectriquement par un conducteur ohmique, prciser sur un schma le sens de parcours du courant dans le montage. On justifiera soigneusement la rponse.

2.1.5 Quel est, votre avis, le rle du pont lectrolytique, sachant quil est form dun gel dune solution ionique de (NH4+, NO3) (gel dAgar-Agar) ?

2.2 Etude exprimentale dune pile de laboratoire On ralise le montage prcdent de la pile combustible. Le dioxygne provient directement dune bouteille de stockage. Le dihydrogne est quant lui fabriqu in situ laide dune raction doxydorduction de lacide chlorhydrique concentr HCl sur le zinc Zn (de masse molaire MZn = 65,4 g.mol1).

2.2.1 Etage de production de H2

On considre ltage de production de dihydrogne reprsent sur la figure 3.

Lacide chlorhydrique HCl est ajout goutte goutte dans un erlenmeyer contenant du zinc en poudre. La raction qui sy produit est exothermique et libre du dihydrogne H2. Le gaz passe alors par un flacon laveur et un flacon de garde avant darriver lanode de la pile combustible. Le dbit en H2 peut tre valu en comptant le nombre de bulles par seconde qui apparaissent lanode.

H2 O2

rsistance

lectrode de platine

Anode Cathode

pont salin lectrode de

platine

solution de potasse (K+,HO)

bulles de H2 bulles de O2

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figure 3 : montage exprimental de production in situ de dihydrogne

a) Ecrire les demi-quations lectroniques correspondants chaque couple redox.

b) Ecrire lquation bilan de la raction.

On rgle le dispositif pour obtenir un dbit en dihydrogne H2 correspondant 2HD = 10 bulles par seconde. On souhaite prvoir la quantit de zinc en poudre utiliser pour un fonctionnement correct de la pile pendant la dure de lexprience. On donne la constante des gaz parfaits R = 8,31 J.K1.mol1.

c) Sachant quune bulle de H2 mesure d = 2,0 mm de diamtre au moment o elle clate la pression atmosphrique P0 = 1,0.105 Pa, calculer la quantit 2 ,1H bullen de dihydrogne contenue dans une bulle. On assimilera le dihydrogne un gaz parfait la temprature ambiante T = 293 K.

d) En dduire la quantit 2H

n de H2 libre par seconde. Quelle sera alors la quantit 2 ,H totn de H2 libre pendant les 10 minutes que dure lexprience ?

e) Calculer la quantit nZn de zinc ncessaire pour produire la quantit de H2 requise pour lexprience. En dduire la masse de zinc mZn correspondante.

f) Conclusion : est-il possible de maintenir un tel dbit de H2 pendant toute lexprience ? Pourquoi est-il prfrable dutiliser du zinc en poudre plutt quen copeaux ou en grenaille ?

2.2.2 Apport de dioxygne O2

Sachant que le dihydrogne et le dioxygne doivent tre apports dans les proportions stchiomtriques de la raction de synthse de leau, dterminer le dbit

2OD de O2 (exprim en bulles par seconde) quil faut

imposer la cathode pour que la pile fonctionne correctement. On supposera que les bulles de H2 et de O2 ont la mme taille.

2.2.3 Intensit du courant lectrique dlivr par la pile

La pile dbite un courant lectrique dintensit I dans un rcepteur (un conducteur ohmique par exemple). On se propose ici de dterminer lintensit lectrique maximale que pourrait dlivrer la pile combustible de laboratoire. On suppose en particulier que tout le dihydrogne libr est utilis par la pile.

On donne le nombre dAvogadro NA = 6,02.1023 mol1 et la charge lmentaire e = 1,6.1019 C.

O2

HCl concentr

Zn en poudre

H2 H2 H2

flacon laveur (neutralise les vapeurs

de HCl)

flacon de garde (protection en cas de

dpression)

pile combustible de laboratoire

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a) Dterminer le nombre de moles dlectrons ne qui apparaissent lanode pendant 1,0 seconde.

b) Calculer alors lintensit I du courant lectrique correspondant. I est en fait lintensit maximale pouvant circuler dans le circuit.

c) Cette intensit est-elle mesurable facilement au laboratoire ? Quel appareil faut-il utiliser ? Faire le schma lectrique de branchement.

2.2.4 Bilan nergtique de la pile combustible

Nous allons dterminer la puissance lectrique thorique de notre prototype de pile. La tension aux bornes de la pile combustible fait intervenir les proprits chimiques des couples O2/HO et H2O/H2 et vaut en thorie U = 1,23 V.

a) Proposer un schma lectrique permettant la mesure de la tension U aux bornes de la pile.

b) Sachant que la pile dbite le courant dintensit maximale I dtermine en 0 b), calculer la puissance lectrique P du gnrateur.

c) En dduire lnergie lectrique dlivre par la pile pendant 1,0 s.

d) A partir de lquation bilan de la synthse de leau, calculer la quantit 2H O

n deau forme par la pile pendant la mme dure.

e) En dduire la valeur de lnergie lectrique w que peut dlivrer la pile par mole deau forme. Comparer ces rsultats ceux obtenus la question 2.1.1. Conclure : do provient lnergie lectrique de la pile combustible ?

2.2.5 Rendement exprimental de la pile de laboratoire

En ralit on mesure vide (le circuit lectrique tant ouvert) une tension lectrique aux bornes de la pile de lordre de 0,74 V. Lorsque la pile est en charge (circuit lectrique ferm), cette tension diminue dautant plus que lintensit I du courant est importante dans le circuit. On mesure ainsi U = 0,20 V lorsque I = 20 A.

a) Calculer la puissance lectrique exprimentale Pexp de la pile en charge. En dduire lnergie lectrique rellement dlivre pendant 1,0 s.

b) Evaluer enfin le rendement exprimental exp de la pile, dfini comme tant le rapport de lnergie lectrique dlivre par la pile sur lnergie totale libre par la raction pendant la mme dure. Conclure.

Deux phnomnes permettent dexpliquer ces rsultats. Dune part, le pont lectrolytique a une grande rsistance lectrique qui empche la circulation dun courant important dans le circuit. Dautre part, tout le dihydrogne H2 libr la cathode nest pas utilis par la pile cause dune trop grande inefficacit dadsorption sur llectrode de platine.

Pour tre utilisable en pratique, la pile combustible devra avoir des caractristiques amliores.

2.3 Des solutions technologiques adaptes pour un rendement amlior Les prototypes automobiles tests depuis quelques annes (clich 1) utilisent des gomtries de piles combustible adaptes pour un faible encombrement et une meilleure efficacit de fonctionnement. Les constructeurs ont en particulier remplac le pont lectrolytique par des membranes changeuses de protons, constitues de polymres organiques et de catalyseurs. Leur grande conductivit lectrique facilite en effet le passage des porteurs de charge et permet daugmenter lintensit du courant lectrique dlivr par la pile. Le dioxygne ncessaire la raction de synthse de leau provient directement de lair, tandis que le dihydrogne doit tre stock dans un rservoir embarqu bord du vhicule. Lnergie lectrique libre par la pile est directement utilise par le moteur lectrique de la voiture et par le circuit dalimentation des systmes lectroniques de conduite.

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On propose ici dtudier une possibilit de stockage et de production du dihydrogne. On valuera ensuite lautonomie dune voiture munie dune pile combustible .

clich 1 : voiture fonctionnant avec une pile combustible (prototype GM Hy-Wire) ;

le moteur lectrique, dune puissance de 60 kW, est aliment par une pile combustible de puissance 100 kW ; le moteur lectrique, la pile combustible, le rservoir de dihydrogne et les accumulateurs sont de faible

encombrement et laissent un large volume disponible dans lhabitacle.

2.3.1 Stockage du dihydrogne

Le dihydrogne peut tre stock bord des vhicules sous forme liquide la temprature de 20 K (soit 253C !) ou pig dans un matriau solide ( base dhydrures mtalliques). On envisage ici la possibilit de le stocker sous forme gazeuse haute pression dans un rservoir en composite. Dans toute cette partie, le dihydrogne sera assimil un gaz parfait. On donne R = 8,31 J.K1.mol1 constante des gaz parfaits.

a) On souhaite stocker une masse m = 5,0 kg de dihydrogne gazeux. Quel serait le volume V0 du rservoir si le gaz tait stock sous la pression atmosphrique P0 = 1,0.105 Pa la temprature ambiante T0 = 293 K ? Que pensez-vous de ce volume ? On saidera de comparaisons simples.

b) Le dihydrogne gazeux est en fait plac dans un rservoir de volume V = 150 L la temprature ambiante. Calculer la pression P qui rgne alors dans lenceinte. Comparer cette pression la pression atmosphrique. Que pensez-vous du modle du gaz parfait dans ce cas ?

c) Le constructeur prcise que le rservoir a une pression de rupture gale 2,35 fois la pression de service. Calculer la pression de rupture Prup du rservoir. Dterminer alors la temprature Trup partir de laquelle la pression du gaz deviendrait comparable la pression de rupture du rservoir. Dans quels cas cela pourrait-il devenir dangereux ?

d) En ralit des soupapes de scurit librent rapidement le gaz dans latmosphre en cas de surpression accidentelle. En quoi lutilisation du dihydrogne est-il finalement un gage de scurit dans ce cas ?

2.3.2 Attention aux fuites !

Malgr toutes les prcautions sur la structure du rservoir, les fuites restent invitables, la molcule H2 tant la plus petite qui existe ! Dans leur cahier des charges, les constructeurs imposent un taux de fuite de dihydrogne maximal de 1,0 g de H2 par kg de H2 stock et par heure.

a) Exprimer le taux de fuite maximal en s1.

b) Soit m(t) la masse de dihydrogne prsente dans le rservoir linstant t. Exprimer la variation dm de masse de H2 contenue dans le rservoir entre les instants t et t + dt. Justifier le signe de dm.

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En dduire lquation diffrentielle du premier ordre vrifie par m(t), sachant que dtdtdmdm= .

c) Montrer que m(t) = m0 t

e

est solution du problme. Exprimer en fonction de et prciser la valeur et la signification de m0.

d) Tracer lallure de la courbe m(t). Quelle est la signification physique de ? Proposer une valeur numrique de , que lon exprimera en jours. Conclure sur la possibilit dutiliser un tel rservoir.

2.3.3 Le plein de dihydrogne, sil vous plat !

Parmi les mthodes de production de dihydrogne (reformage du ptrole ou du gaz naturel, transformation de la biomasse, lectrolyse haute temprature), la plus vidente consiste effectuer une simple lectrolyse de leau, selon la raction bien connue :

H2O H2 + 21

O2

De lnergie apporte sous forme lectrique permet ainsi la dissociation de la molcule deau et la production de dihydrogne dune grande puret, compatible avec lutilisation dune pile combustible.

a) Quelle est la masse deau meau ncessaire la production de m = 5,0 kg de dihydrogne ? Quel est le volume deau correspondant Veau ? On rappelle la masse volumique de leau : eau = 1,0.103 kg.m3.

b) En utilisant la question 2.1.1, dterminer directement lnergie lectrique wm fournir pour raliser llectrolyse dune mole deau. En dduire lnergie lectrique totale w ncessaire pour la production de 5,0 kg de dihydrogne.

Un particulier souhaiterait produire la maison la quantit de dihydrogne requise pour le plein de sa voiture. Il dispose pour cela dune installation lectrique de puissance P = 10 kW. Daprs son abonnement, le kilowatt-heure (kW.h) lui est factur au tarif de 0,054 (TTC, en heures creuses).

c) Un kilowatt-heure correspond lnergie consomme pendant une heure la puissance de 1 kW. Convertir en kW.h lnergie lectrique w ncessaire pour la production de 5,0 kg de H2. En dduire le prix du plein de dihydrogne. Conclure.

Il faudrait en fait rajouter ce tarif le prix de la compression du gaz dans un rcipient de taille raisonnable.

d) Quelle serait la dure minimale de la production de la quantit requise de dihydrogne ? Conclure en sachant que pour bnficier du tarif heures creuses il faut utiliser lnergie lectrique entre 0h et 8h du matin.

Lnergie lectrique fournie au particulier est produite au niveau national dans des centrales nuclaires ou thermiques. Afin dviter les problmes lis lenvironnement lors de cette production dnergie lectrique, on se propose ici dutiliser des panneaux solaires, constitus de cellules photovoltaques. On considre en fait des panneaux solaires dont le rendement avoisine 20 %, cest dire que 20 % de lnergie lumineuse reue est convertie en nergie lectrique.

e) Sachant que lintensit lumineuse reue sur Terre est de lordre de 1,0 kW.m2, dterminer la surface S quil faudrait donner un ensemble de cellules photovoltaques pour obtenir la mme puissance lectrique que prcdemment P = 10 kW.

f) Combien de jours faut-il alors pour produire 5,0 kg de dihydrogne par lectrolyse de leau en utilisant le dispositif photovoltaque, en supposant que la dure densoleillement sous nos latitudes nexcde pas 2 heures par jour. Proposer une solution pour rduire le temps de production de dihydrogne.

g) Serait-il envisageable de considrer une production continue de H2 laide dun panneau solaire de surface S = 1,0 m2 plac sur le toit dune voiture ? On saidera dapplications numriques pertinentes.

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2.3.4 Autonomie du vhicule

Afin de ne pas trop modifier les habitudes des automobilistes, lautonomie dun vhicule muni dune pile combustible doit tre comparable celle des voitures traditionnelles. Celle -ci dpend bien sr du rendement de la pile, du rendement du moteur utilis, de la forme de la voiture, de la vitesse moyenne du vhicule, mais aussi de la quantit de carburant embarqu. On considre toujours notre vhicule dot dun rservoir de m = 5,0 kg de dihydrogne.

a) En utilisant la question 2.3.3, dterminer lnergie totale susceptible dtre libre par la pile aprs utilisation de tout le dihydrogne contenu dans le rservoir.

b) En fait, les prototypes actuels de piles combustible ont un rendement de 50 % : la moiti de lnergie libre par la raction de synthse de leau est convertie en nergie lectrique, le reste tant dissip sous forme thermique. Calculer lnergie lectrique rellement libre par la pile.

c) Un moteur lectrique convertit alors lnergie lectrique libre par la pile en nergie mcanique, avec un rendement de lordre de 65 % (voir PPAARRTT IIEE BB). En dduire lnergie mcanique utile Wu dont on peut disposer avec ce vhicule.

En rgime de croisire, la voiture roulant vitesse constante, lnergie dpense pour faire avancer le vhicule vient simplement compenser lnergie perdue par frottements : frottement entre les pices mcaniques et frottement de lair sur la voiture. A 110 km.h1, la puissance fournir pour compenser les forces de frottement de lair sur le vhicule est de lordre de 12 kW (voir PPAARRTT IIEE CC).

d) Dterminer la dure maximale dun trajet effectu 110 km.h1.

e) Evaluer alors la distance maximale parcourue par le vhicule. Conclure.

La pile combustible permet finalement dobtenir une source dnergie lectrique, dont le principe de fonctionnement respecte lenvironnement. Les caractristiques des vhicules qui en sont munis deviennent alors comparables celles des vhicules actuels. Des piles combustible quipent mme dj certains bus dans plusieurs pays (en Islande par exemple) et des systmes portatifs de secours fonctionnant avec une pile combustible sont utiliss aujourdhui par les sapeurs pompiers de Paris.

Cependant, mme si de nombreux prototypes ont dj parcouru des milliers de kilomtres grce une pile combustible, le prix du dispositif reste pour le moment lev. En outre, il faudra rsoudre les problmes lis la production de dihydrogne, son stockage bord des vhicules et enfin concevoir une infrastructure de ravitaillement (stations service lhydrogne) lchelle europenne, voire internationale. Les voitures lhydrogne sont une solution prometteuse, mais leur commercialisation devra attendre quelques annes encore

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PPAARRTTIIEE BB UUNN MMOOTTEEUURR EELLEECCTTRRIIQQUUEE PPOOUURR SSEE MMEETTTTRREE AAUU CCOOUURRAANNTT

Les voitures actuelles fonctionnent pour la plupart avec un moteur thermique, dans lequel lnergie propulsive provient de lexplosion dun mlange chimique (carburant et dioxygne de lair). Cependant les constructeurs envisagent de plus en plus aujourdhui dutiliser des modles avec un moteur lectrique.

Si le moteur lectrique est ncessaire pour utiliser lnergie lectrique dlivre par une pile combustible (voir PPAARRTT IIEE AA), celui-ci peut venir en complment dun moteur thermique, ralisant ainsi une technologie hybride . Dans ce cas le moteur lectrique prend le pas sur le moteur thermique lorsque ce dernier a un rendement faible : au dmarrage lorsque le moteur est froid ou pendant les phases dacclration ou de dclration.

On se propose ici dtudier le principe de fonctionnement dun moteur lectrique et de comprendre lune de ses caractristiques les plus attrayantes : la rversibilit. La mesure exprimentale du rendement dun moteur lectrique permettra en outre de mettre en vidence lefficacit du couplage lectromcanique.

1. Un modle de moteur linaire Afin de simplifier au mieux la gomtrie dun moteur lectrique courant continu, on considre le dispositif reprsent ci-dessous (figure 4), constituant un modle simple de moteur linaire (cest dire un moteur dans lequel le mouvement habituel de rotation est remplac par un mouvement de translation).

figure 4 : schma de principe du moteur linaire ;

la barre AB plonge dans le champ magntique Bur

est mise en mouvement la vitesse vr

par la circulation du courant dintensit i dans le circuit

Le circuit lectrique du montage est constitu de deux rails conducteurs parallles et horizontaux relis entre eux par une source de tension de force lectromotrice (f.e.m.) E0. Le circuit est ferm lectriquement par une barre AB conductrice, de masse m et de longueur L, pouvant se dplacer sans frottements le long des rails. La rsistance totale du circuit vaut R et le courant qui circule a pour intensit i. Lensemble est plong dans un champ magntique B

ur vertical uniforme et indpendant du temps. La position de la barre AB est repre par

son abscisse x et sa vitesse vaut ( )v tr

.

1.1 Le phnomne dinduction lectromagntique

Le dplacement de la barre AB dans le champ magntique Bur

stationnaire cre dans le circuit une force lectromotrice (f.e.m.) induite e : cest le phnomne dinduction lectromagntique. Dun point de vue

E0 vr

i R

x

L

xerer

yer

zerr

A

B

Bur

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purement lectrique, tout se passe comme sil apparaissait dans le circuit un gnrateur supplmentaire de force lectromotrice e. On en dduit alors le schma lectrique quivalent (figure 5).

figure 5 : schma lectrique quivalent en tenant compte du phnomne dinduction

La f.e.m. induite e est donne par la loi de Faraday :

e = ddt

o = B S est le flux du champ magntique Bur

travers le circuit de surface S.

a) Exprimer la surface S du circuit en fonction de labscisse x de la barre et de sa longueur L.

b) En dduire lexpression de la f.e.m. induite e en fonction de B, L et v = dtdx

la vitesse de la barre.

c) En utilisant le schma lectrique quivalent, dterminer alors lexpression de lintensit i du courant lectrique qui circule dans le montage.

1.2 Mouvement de la barre

Parcourue par un courant lectrique dintensit i et plonge dans le champ magntique Bur

, la barre AB est en

fait soumise une force dorigine lectromagntique Fur

= i B L xer

, qui provoque son dplacement.

a) Quel nom porte cette force dorigine lectromagntique ?

b) Faire un bilan prcis des forces appliques la barre AB. Appliquer la deuxime loi de Newton la barre AB (principe fondamental de la dynamique) et projeter la relation obtenue sur laxe Ox.

c) Montrer alors que la vitesse v(t) de la barre vrifie lquation diffrentielle du premier ordre suivante :

v

dtdv

+ = limv

On donnera les expressions de et vlim en fonction de m, R, B, L et E0. Quelle est la dimension de ?

La solution de cette quation diffrentielle scrit :

v(t) = vlim 1t

e

d) Vrifier la condition initiale sur la vitesse de la barre. Que vaut la vitesse de la barre lorsque t + ?

e) Tracer lallure du graphe de v(t). Donner linterprtation physique de la constante .

E0 e

i

R

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1.3 Bilan nergtique

On se propose deffectuer un bilan dnergie afin de dterminer le rendement thorique de notre moteur lectrique.

a) Dterminer le travail utile Wu reue par la barre AB de la part de la force lectromagntique Fur

au

cours du dplacement vr

dt effectu par la barre pendant dt. En dduire la puissance mcanique utile

Pu = dtWu reue par la barre en fonction de B, L, v et i.

b) Dterminer la puissance totale dlivre par le gnrateur Pgnrateur = E0 i. Interprter cette relation en termes de bilan dnergie : de quelles faons lnergie dlivre par le gnrateur est-elle convertie dans notre modle de moteur ?

c) Le rendement du moteur est le rapport de la puissance mcanique utile Pu sur la puissance totale dpense, dlivre par le gnrateur Pgnrateur. Calculer le rendement du moteur en fonction de B, L, v et E0.

d) Que vaut le rendement en rgime stationnaire, lorsque le moteur a atteint sa vitesse limite ? Ce rsultat vous parat-il surprenant ? Interprter en calculant la valeur de i et de F

ur en rgime

stationnaire. Quel est alors le mouvement de la barre ?

1.4 Bilan nergtique en prsence de frottement fluide

On suppose prsent que la barre AB est en plus soumise une force de frottement fluide, de la forme

fur

= vr

, modlisant par exemple laction de lair sur un objet en dplacement (voir PPAARRTT IIEE CC).

a) Reprendre la question 1.2 b) et montrer que la vitesse v de la barre vrifie cette fois lquation diffrentielle suivante :

'v

dtdv

+ = limv

o sera donn en fonction de , m et .

b) Dterminer la nouvelle vitesse limite vlim de la barre en fonction de vlim, et . Comparer vlim et vlim et interprter physiquement ce rsultat.

c) Exprimer le rendement du moteur (voir 1.3 c)) en fonction de B, L, v et E0. Que vaut cette fois le rendement en rgime stationnaire en fonction de et ?

d) Que dire de lintensit i du courant dans le circuit en rgime stationnaire ? A quoi sert la force lectromagntique F

ur dans ce cas ? Sous quelle forme exclusive est donc dissipe lnergie dlivre

par le gnrateur en rgime stationnaire ?

2. Le freinage par induction : une source dnergie ! On considre le modle de moteur linaire prcdent o le gnrateur a simplement t remplac par un interrupteur K, dans un premier temps ouvert (figure 6). On souhaite tudier la phase de freinage de la barre AB, de sa vitesse initiale v0 larrt. On nglige ici tout phnomne de frottement.

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figure 6 : principe du freinage par induction ; linterrupteur K peut tre ouvert ou ferm.

2.1 Le circuit est ouvert

On suppose dans un premier temps que linterrupteur K est ouvert.

a) Que vaut lintensit i du courant lectrique dans le circuit ? Justifier.

b) Dterminer lexpression de la force lectromagntique Fur

qui sexerce sur la barre dans ce cas.

c) Quel sera alors le mouvement de la barre ? Le freinage de la barre est-il possible ?

2.2 Le circuit est ferm : rversibilit du moteur lectrique

On ferme linterrupteur K linstant t = 0. On souhaite tudier la consquence du phnomne dinduction lectromagntique dans le circuit.

a) En procdant comme la question 1.1, montrer que la f.e.m. induite par le dplacement de la barre dans le champ magntique vaut :

e = B L v

b) En dduire lexpression de lintensit i du courant lectrique dans le circuit. Quel est le signe de i ?

c) Montrer alors quil sexerce sur la barre AB une force de freinage que lon exprimera en fonction de B, L, v et R. On parle dans ce cas de freinage par induction.

d) Expliquer en quoi ce phnomne montre la rversibilit du moteur lectrique, cest--dire le fait quil puisse fonctionner du point de vue lectrique en rcepteur comme en gnrateur.

2.3 Bilan nergtique du freinage de la barre

Partant de sa vitesse initiale v0, la barre est freine et finit donc par sarrter. On va effectuer un bilan dnergie dans le circuit pour comprendre la nature du transfert nergtique qui permet le freinage.

a) Exprimer le travail W de la force lectromagntique Fur

au cours du dplacement vr

dt de la barre

pendant dt. En dduire la puissance mcanique correspondante Pm = dtW

en fonction de B, L, v et R,

puis en fonction de R et i. Interprter physiquement ce rsultat : sous quelle forme lnergie mcanique de la barre est-elle finalement dissipe ?

b) Quel dispositif pourrait-on placer dans le circuit pour stocker cette nergie afin de la rutiliser dans les phases dacclration du moteur ?

c) Dterminer la variation Em de lnergie mcanique Em de la barre entre linstant initial t = 0 et linstant final o la barre est au repos. En dduire lexpression de la valeur maximale de lnergie lectrique que lon pourrait rcuprer lors du freinage de la barre par induction.

Bur

vr

i R

x

L

xerr

yer

zerr

A

B K

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2.4 Application : freinage moteur en descente

Une voiture (de masse m = 1 000 kg) propulse par un moteur lectrique se dplace sur une route en pente descendante (figure 7). Un panneau de signalisation prcise que la pente est de 10 % et quil faut utiliser le frein moteur de la voiture. Le conducteur, qui connat bien le fonctionnement du moteur lectrique de sa voiture, remplace alors le systme dalimentation du moteur par un dispositif de stockage dnergie lectrique. Grce au freinage par induction, la voiture garde ainsi une vitesse constante v0 = 110 km.h1 tout le long de la descente. Lacclration de la pesanteur vaut g = 9,81 m.s2. On rappelle que sin pour

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figure 8 : montage exprimental pour la mesure du rendement du moteur courant continu

3.1 Expression du rendement du moteur

a) Donner lexpression de la puissance lectrique P1 fournie au moteur, en fonction de U1 et I1. En dduire le rendement du moteur, dfini comme tant le rapport de la puissance mcanique Pm fournie par le moteur sur la puissance lectrique apporte par le gnrateur.

b) Donner de mme lexpression de la puissance lectrique P2 fournie par la gnratrice, en fonction de U2 et I2. En dduire le rendement de la gnratrice, dfini cette fois comme le rapport de la puissance lectrique fournie par la gnratrice sur la puissance mcanique Pm apporte par le moteur.

c) Le moteur et la gnratrice tant parfaitement identiques, les rendements et sont en fait gaux. En dduire lexpression du rendement du moteur en fonction de U1, I1, U2 et I2.

3.2 Mesure exprimentale du rendement

Des mesures pour diverses valeurs de la rsistance de charge Ru ont permis dobtenir le tableau suivant (tableau 4), rassemblant les valeurs de I1, U2, I2 et dans chaque cas.

II11 ((AA)) UU22 ((VV)) II22 ((AA)) ((ttrr..mmiinn11 ))

2,35 21,3 0,64 3,47.103

2,60 20,7 0,88 3,42.103

2,95 20,0 1,19 3,37.103

3,24 19,4 1,50 3,33.103

3,67 18,5 1,95 3.28.103

3,99 17,8 2,31 3,23.103

4,36 17,0 2,65 3,18.103

4,77 16,1 3,06 3,13.103

5,12 15,4 3,43 3,08.103

tableau 4 : valeurs exprimentales de I1, U2, I2 et permettant la mesure du rendement du moteur (U1 = 24 V)

moteur gnratrice

I1

U1

I2

U2

alimentation rsistance de charge Ru

larbre du moteur entrane larbre de la gnratrice

la vitesse angulaire

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a) Quelle relation simple lie Ru, U2 et I2 ? Quel nom porte cette relation ?

b) Calculer le rendement du moteur pour chaque vitesse de rotation et tracer le graphe = f().

c) Dterminer graphiquement le rendement maximal max du moteur et la vitesse de rotation max correspondante.

d) En dduire la valeur de la puissance mcanique Pm fournie par le moteur lorsquil tourne son rendement optimal.

Le constructeur donne sur le moteur les renseignements suivants (clich 2) :

clich 2 : donnes constructeur relatives au fonctionnement du moteur ; UN, IN et N sont les caractristiques du moteur en fonctionnement nominal ;

Pu est la puissance utile nominale.

e) Comparer ces valeurs aux mesures exprimentales faites. Quel est lintrt dutiliser le moteur en rgime de fonctionnement nominal ?

3.3 Origine des pertes dans le moteur

On suppose que le moteur tourne son rendement optimal max.

a) Calculer numriquement la puissance perdue dans le moteur Pdiss, cest dire la puissance dlivre par lalimentation qui ne sert pas faire tourner le moteur.

b) Sachant que la rsistance lectrique du moteur vaut R = 0,84 , dterminer lorigine essentielle des pertes dnergie dans le moteur. A votre avis, quelle est lorigine des autres pertes ?

Lutilisation du moteur lectrique dans les voitures semble finalement une excellente solution pour tirer partie des phnomnes dinduction lectromagntique et des rendements levs afin dconomiser de lnergie habituellement dissipe sous forme thermique (clich 3).

clich 3 : prototype de moteur lectrique directement coupl une roue motrice ;

un tel moteur, compact, robuste et puissant, pourra quiper les quatre roues du vhicule.

Caractristiques du moteur

UN = 24 V IN = 5 A

N = 3 100 tr/min Pu = 80 W

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PPAARRTTIIEE CC UUNNEE VVOOIITTUURREE EENN FFOORRMMEE

Lorsquune voiture roule vitesse constante, lnergie consomme sert essentiellement compenser les pertes par frottements, en particulier les frottements engendrs par lcoulement de lair autour du vhicule. Pour minimiser cette dissipation dnergie, les constructeurs proposent aujourdhui des vhicules profils, avec une forme arodynamique adapte.

On se propose dans cette partie de caractriser lcoulement dun fluide autour dun obstacle et de dfinir ce que lon appelle le coefficient de trane. Lapplication de ces notions lautomobile sera alors loccasion de prciser linfluence de la vitesse de la voiture sur la consommation de carburant dune part et sur la quantit de dioxyde de carbone rejet dans latmosphre dautre part.

1. Modlisation dun coulement autour dune sphre On tudie la chute dune bille dacier (de diamtre d = 7,8 mm et de masse volumique acier = 7 800 kg.m3) dans un liquide donn (de masse volumique et de viscosit ). Lobjectif est de comparer la chute de la bille dans de la glycrine et dans de leau. Lacclration de la pesanteur sera prise gale g = 9,81 m.s2.

1.1 Chute de la bille dans la glycrine (exprience 1)

Le dispositif suivant (figure 9 a) permet dtudier la chute de la bille dacier dans une prouvette remplie de glycrine de masse volumique = 1,26.103 kg.m3 et de viscosit = 1,49 Pa.s (pascals-secondes, unit encore appele le Poiseuille Pl) et de mesurer la vitesse de la bille au cours du temps. La bille est lche sans vitesse initiale. Lvolution v(t) de la vitesse de la bille au cours de la chute est reporte sur la figure 9 b).

figure 9 : a) chute de la bille dacier dans la glycrine ; un systme informatique dacquisition vido permet de suivre le mouvement de la bille et de mesurer sa vitesse ;

b) graphe exprimental de la vitesse v(t) de la bille dans la glycrine au cours du temps ; chaque point exprimental est entour dune barre derreur prcisant les incertitudes de mesure ;

la courbe en trait plein correspond au modle thorique de v(t) prsent en 1.1.

a) A partir du graphe exprimental, dcrire le mouvement de chute et mesurer la vitesse limite vlim atteinte par la bille. A laide des barres derreur, valuer graphiquement lincertitude vlim sur cette mesure.

prouvette remplie de glycrine

z

( )v tr

bille dacier

a) b) point

exprimental

barre derreur v v

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On souhaite modliser la force de frottement exerce par le fluide sur la bille par la formule de Stokes :

Fur

= 6r vr

o r est le rayon de la bille sphrique, vr

sa vitesse et la viscosit du fluide

b) Dterminer lquation diffrentielle du mouvement de la bille dont la vitesse v(t) est solution.

c) Donner lexpression de la vitesse limite vlim de la bille en fonction de r, g, , acier et .

d) Calculer numriquement vlim partir des donnes et comparer la mesure exprimentale. Conclure.

La rsolution de lquation diffrentielle prcdente permet dobtenir la courbe thorique v(t) reprsente titre indicatif sur la figure 9.

1.2 Chute de la bille dans leau (exprience 2)

On reprend lexprience prcdente pour tudier cette fois la chute de la bille dans une prouvette remplie deau, de masse volumique = 1,0.103 kg.m3 et de viscosit = 1,0.103 Pa.s. La bille est toujours lche sans vitesse initiale. Lvolution v(t) de la vitesse de la bille au cours de la chute est reporte sur la figure 10.

figure 10 : a) chute de la bille dacier dans de leau ; b) graphe exprimental de la vitesse v(t) de la bille dans leau au cours du temps, avec barres derreur.

a) Dcrire le mouvement de chute et mesurer la vitesse limite vlim atteinte par la bille. Evaluer galement lincertitude vlim sur cette vitesse.

b) Calculer la vitesse limite thorique que lon obtiendrait avec le modle vu en 1.1. Conclure quant la validit de ce modle dans ce cas.

c) Quelles sont finalement les diffrences essentielles entre les 2 expriences ?

1.3 Ecoulement laminaire et coulement turbulent

La forme de lcoulement dun fluide autour de la bille dpend de la vitesse v et de la taille d de lobstacle (ici le diamtre de la bille), mais aussi de la masse volumique et de la viscosit du fluide considr. Pour caractriser le rgime dcoulement on utilise le nombre sans dimension RRee, appel nombre de Reynolds, dfini par :

RRee =

vd

Parmi les diffrents rgimes dcoulement que lon peut observer, on distingue en particulier :

prouvette remplie deau

z

( )v tr

bille dacier

a) b)

point exprimental

barre derreur v v

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lcoulement laminaire :

lorsque RRee < 1, lcoulement autour de lobstacle est symtrique et rgulier. Lcoulement est dit laminaire (clich 4 a)). La force de frottement qui sexerce sur la sphre de rayon r est alors donne par la formule de Stokes :

Fur

= 6r vr

lcoulement turbulent :

lorsque 103 < RRee < 105, lcoulement est caractris par des variations spatio-temporelles importantes et alatoires de la vitesse du fluide. On parle alors dcoulement turbulent (clich 4 b)). La force de frottement sexerant sur la bille scrit dans ce cas :

Fur

= 21

Cx S v2 ur

o ur

est un vecteur unitaire de mme direction et de mme sens que la vitesse vr

;

Cx est le coefficient de trane de lobstacle dans le fluide ; pour un obstacle sphrique Cx = 0,43.

S est la surface frontale de lobstacle vue par le fluide ; pour la bille tudie S = r2 = 4

2d.

clich 4 : a) coulement laminaire autour dune sphre ; b) coulement turbulent autour dune sphre ;

lcoulement du fluide se fait de la gauche vers la droite.

a) Calculer le nombre de Reynolds RRee correspondant aux expriences vues en 1.1 et 1.2, lorsque la bille a atteint sa vitesse limite. Caractriser alors le rgime dcoulement du fluide autour de la bille dans chaque cas.

b) Que dire du modle utilis en 1.1 pour lexprience 1 ?

c) Exprimer la force de frottement Fur

qui sexerce sur la bille plonge dans leau (exprience 2), lorsque celle-ci a atteint sa vitesse limite. Justifie r la validit de cette expression. Dterminer alors lexpression de la vitesse limite vlim de la bille. Calculer numriquement cette vitesse et comparer la mesure exprimentale faite en 1.2 a). Conclure.

2. Mesure du coefficient de trane Cx de diffrents obstacles Le coefficient de trane Cx dpend uniquement du profil arodynamique de lobstacle plong dans lcoulement et caractrise ainsi limportance de la force de frottement qui sexerce sur celui-ci.

Le dispositif exprimental prsent ci-dessous (figure 11) permet une mesure directe de ce coefficient de trane : un objet de forme donne est plac dans un coulement dair uniforme (de vitesse v = 7,0 m.s1) cr

a) b)

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par une soufflerie de laboratoire ; la force de trane Fur

est alors directement compense par laction dun ressort de torsion, dform par lexprimentateur dun angle par rapport la situation sans coulement.

figure 11 : dispositif de mesure du coefficient de trane a) en labsence dcoulement la balance est quilibre laide de masses marques

b) il faut dformer le ressort dun angle pour compenser la force de trane exerce par lcoulement dair autour de lobstacle

Un talonnage pralable de lappareil permet de prciser la relation exprimentale entre F et :

F = avec = 1,0.103 N pour exprim en degrs.

On procde ainsi la mesure de langle dont il faut dformer le ressort pour compenser la force de trane exerce sur des profils varis, ayant tous la mme surface frontale S = 1,2.103 m2 et une symtrie de rvolution. Les rsultats exprimentaux sont rassembls dans le tableau ci-dessous (tableau 5) :

Obstacle Profil 1 Profil 2 Profil 3 Profil 4

Forme

() 38 17 19 20

tableau 5 : mesure de langle pour diffrents obstacles

On souhaite en dduire le coefficient de trane Cx pour chaque profil.

ressort de torsion

obstacle tudier

masses marques assurant

lquilibre

bras mobile de la balance

Fur

soufflerie

force de trane

le ressort est dform pour

compenser la force Fur

a) b)

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2.1 Rgime dcoulement de lair autour de lobstacle

La premire tape consiste caractriser lcoulement pour connatre lexpression de la force de trane. Lair est assimil un gaz parfait la temprature ambiante T0 = 300 K sous la pression atmosphrique P0 = 1,0.105 Pa. On donne la masse molaire de lair M = 29.103 kg.mol1 et la constante des gaz parfaits R = 8,31 J.K1.mol1.

a) En considrant la masse m dair contenue dans un volume V, montrer que la masse volumique de lair scrit :

= 0

0

RTMP

Calculer numriquement .

b) Calculer le diamtre d des obstacles.

c) Evaluer alors le nombre de Reynolds RRee (voir 1.3) correspondant lcoulement dair autour de lobstacle. Quel est le rgime dcoulement correspondant ? On donne la viscosit de lair = 1,8.105 Pa.s. En dduire lexpression de la force de trane qui sexerce sur les obstacles de la part de lair en coulement.

2.2 Classement des obstacles suivant leur coefficient de trane

a) A partir des rsultats prcdents et des donnes de lnonc, exprimer le coefficient de trane Cx dun obstacle en fonction de , , , S et v.

b) Calculer numriquement le coefficient de trane pour les obstacles proposs. On prsentera les rsultats sous forme dun tableau.

c) Classer les obstacles par coefficient de trane croissant. Que pensez-vous de ce classement ?

d) Quelle est la forme qui offre le moins de rsistance lair ? Proposer une application courante de ce type de profil.

3. Sur la consommation en carburant dune voiture On souhaite prsent appliquer les rsultats prcdents ltude nergtique dune voiture afin dvaluer en particulier sa consommation en carburant et la quantit de CO2 rejet dans latmosphre.

On considre une voiture se dplaant vitesse constante v sur une route horizontale. Pour une voiture moyenne, un constructeur automobile donne la surface frontale du vhicule S = 1,8 m2 et son coefficient de trane Cx = 0,40.

On suppose que la seule force de frottement qui sexerce sur la voiture est due lcoulement de lair autour du vhicule. La masse volumique de lair a t dtermine en 2.1 a).

3.1 Puissance dissipe par les frottements

a) Evaluer le nombre de Reynolds correspondant lcoulement de lair autour dune voiture roulant v = 110 km.h1. On supposera que lcoulement reste turbulent, mme pour de tels nombres de Reynolds.

b) Exprimer la force de frottement F exerce par lair sur la voiture dans ces conditions. En dduire lexpression de la puissance dissipe par frottements Pdiss = F v en fonction de , Cx, S et v.

c) Calculer numriquement la puissance dissipe par frottements lorsque la voiture roule la vitesse v = 110 km.h1.

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3.2 Rendement thermodynamique du moteur de la voiture

La voiture tudie est propulse par un moteur thermique essence. Le constructeur prcise dans sa brochure que le vhicule consomme 6,0 L de carburant aux 100 km la vitesse de 90 km.h1. On se propose den dduire le rendement thermodynamique du moteur de notre voiture.

a) Dterminer tout dabord la dure t dun trajet de longueur L0 parcouru en voiture la vitesse constante v. En dduire lnergie dissipe Ediss par les frottements de lair au cours de ce trajet en fonction de Pdiss et t, puis en fonction de , Cx, S, v et L0.

Lessence utilise dans la voiture admet un pouvoir calorifique massique qm = 42,5.103 kJ.kg1 et une masse volumique ess = 734 kg.m3.

b) Dterminer lnergie thermique Q libre par la combustion dun volume Vess dessence dans le moteur en fonction de ess, Vess et qm.

Le moteur admet un rendement thermodynamique rmoteur, rapport de lnergie mcanique utile Wu sur lnergie thermique Q libre par la combustion du carburant.

c) Dterminer lnergie mcanique utile Wu fournie par le moteur lors de la combustion dun volume Vess dessence en fonction de rmoteur, ess, Vess et qm.

d) En supposant que toute lnergie mcanique fournie par le moteur sert compenser lnergie dissipe par frottements afin de maintenir constante la vitesse de la voiture tout le long du trajet de longueur L0, exprimer le rendement rmoteur du moteur en fonction de , Cx, S, v, L0, ess, Vess et qm.

e) Calculer numriquement rmoteur en utilisant les donnes fournies par le constructeur.

3.3 Influence de la vitesse sur la consommation en carburant

On suppose pour simplifier que le rendement du moteur rmoteur dtermin prcdemment est indpendant de

la vitesse de la voiture et du rgime moteur. On pose = 0L

Vess la consommation en carburant de notre

voiture.

a) En utilisant les rsultats prcdents, exprimer en fonction de , Cx, S, v, ess, qm et rmoteur.

b) Calculer numriquement pour v = 50 km.h1, 90 km.h1, 110 km.h1 et 130 km.h1. On exprimera en litres dessence pour 100 km parcourus (L/100 km). En dduire lallure du graphe = f(v). Conclure.

3.4 Quantit de CO2 rejet dans latmosphre

La combustion complte de 1,0 kg dessence (constitue dun mlange dalcanes C6H14, C7H16, ) rejette en moyenne 3,1 kg de CO2 dans latmosphre.

a) En dduire la quantit de CO2 rejet lors de la combustion de 1,0 L dessence.

b) Evaluer alors en grammes la quantit de CO2 rejet par kilomtre parcouru la vitesse v = 90 km.h1 puis la vitesse v = 130 km.h1.

c) Conclusion : quel moyen simple permettrait de rduire la production de CO2 par les voitures ?

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3.5 Une voiture en forme de poisson !

Un constructeur automobile allemand propose une voiture dont la forme est directement inspire de celle dun poisson, appel le poisson-coffre (ostracion cubicus) (clich 5).

clich 5 : (en haut) le poisson coffre ; (en bas) le prototype bionics de Mercedes

Des essais en soufflerie ont permis dvaluer son coefficient de trane hors norme Cx = 0,20 et sa surface frontale S = 1,8 m2.

a) En supposant que le rendement thermodynamique du moteur rmoteur de la bionics est le mme que celui qui a t dtermin en 3.2 et en utilisant les rsultats prcdents, valuer la consommation en carburant de la bionics (exprime en L/100 km) la vitesse de 90 km.h1.

Les prototypes tests sur la route annoncent une consommation moyenne 90 km.h1 de 2,8 L de carburant aux 100 km !

b) Comparer le rsultat obtenu en a) ceux obtenus sur la route par les prototypes du constructeur.

c) Evaluer enfin la quantit de CO2 (en grammes) rejet par kilomtre parcouru 90 km.h1.

d) Conclusion : quel est lintrt doptimiser la forme arodynamique dune voiture ?

FFIINN DDEE LLEENNOONNCCEE

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