Considérations sur la représentation et l’analyse harmonique des signaux déterministes ou aléatoires

CONSID]~RATIONS SUR LA REPR]~SENTATION ET L'ANALYSE HARMONIQUE DES SIGNAUX D]~TERMINISTES OU AL]~ATOIRES

par

Georges BONNET

Professeur/t la Facult6 des Sciences *

SOMM*mm ~ On adopte le formallsme de Dirac pour dtudier le ~ signal ~ dldment d'un espace vectoriel abstrait, et ses ~ reprgsentations ~, formes llngaires attachges au choix d'uns base. Sont traitJes comme des opdrateurs les transformations lingaires subies par le signal, ce qui conduit d mettre en relief, lots de leur Jtude, la dualit~ des repr~- sentatlons darts le temps et en frdquence. Une attention particuli~re est portJe sur les signaux aldatoires abstraits et leur statistique de second ordre, qul fait appel d la notion de signal moyen et d'opgrateur de covarianee ; leur traitement lingaire par filtrage se traduit par des relations entre ~,ecteurs et opdrateurs (Formule de la moyenns et Formule des interfdrenees). L'Jtude de la rdpartition spectrale de grandeurs gnergdtlques permet de faire entrer dans un cadre unique l'analyse harmonique des signaux ddterministes et al~atoires, tout en mettant en dvidence le sens physique des relations entre leurs representations. On d~,oque enfin l'intdr~t qu'il y auralt h consid~rer des fonetions de corrdlation (cdz daerministe) et des co~,ariances (eas al~atoire) r~duites sans dimension, les deux notions venant alors se eonfondre pour tous les types de signaux intdressants du point de rue physique.

PLAN. �9 Introduction. �9 1. E s p a c e 81 des stgnaux norn tds . �9 2. R e p r e s e n t a t i o n - t e m p s . �9 3. S t g n a u ~ ~ ' p d ~ l m e n t a u x e t m e d d l e s m a t h d n u t t t q u e s - 3.1) Caract~res des slgnau~ expdrimen- taux; - - 3.2) Mod~les mathdmatiques. �9 4. L ' e s p a c e - s i g n a | ~ - - 4.1) Espace G o des signaux fondamentaux ; 4.2) Espace-slgnal ~ ; - 4.3) Remarque 1 ; - 4.4) Remarque 2. �9 5. R e p r d s e n t a t i o n - t e m p s des opdra- t e u r s lingai~'es - - 5.1) Opgrateurs de translation-temps ; ~ 5.2) Opdrateur de rdflexion ; - - 5.3) Filtres lln~aires. �9 6. l~eprdser t ta t ton - [ r~ luenee - - 6.1) Reprg.sentatlon-,~ du signal; - - 6.2) Reprdsentation-v des opdrateurs et des filtres llndaires. �9 7. 8 i g n a u x a idato ires e t o p d r a t e u r s de c a t , f i a n c e - - 7.1) ReprJ- sentatlon-t des signaux aldatoires stationnaires, covarlance et signal moyen ; - - 7.2) Repr~sentation-v et analyse harmonique ; - 7.3) R~sumd. �9 8. F i l t rage lingaire d'un p r o c e s s u s aldatoire e t iocal isa t ion de let puissance m o y e n n e - 8.1) Relations statistlques de filtrage entre grandeurs abstraltes ; - 8.2) Relations de filtrage entre repr~sentatlons ; - - 8.3) Localisation de la puissance moyenne sur l' axe des frgquences ; - - 8.4) Filtres de d~rivation-temps et d~rivdes de processus al~atolres ; ~ 8.5) Une interpretation des op~rateurs de eovariance ; - - 8.6) R~sumd. �9 9. S i g n a u x d d t e r m i n i s t e s e t o p g r a t e u r s de c o r r d l a t i o n - 9.1) R~partitlon spectrale de la puissance moyenne d'un signal d~terministe ; - 9.2) Fonction de corrdlation ; - 9.3) Opgrateur de correlation. �9 t0. Formalisme unitaire : [onc t ion de corre la t ion e t covar iance r~du i t e s . �9 Biblio-

graphic (t2 r~f.).

LISTE

E C

V | (X* Y) < - .

IXI IIXI] [a, b] IX > < xI < X I Y >

< t l X > =

DES SYMBOLES ET NOTATIONS

tend vers, appartient ~, est inclus dans, implique, quel que soit, produit tensoriel, produit de convolution de X et Y, transform6e de Fourier, 1 module de X, Dt

norme de X, E I X } intervalle rerm~ (a, b), 8 0 ket ou vecteur contravariant, 8 bra ou veeteur eovariant, l~ bracket ou produit scalaire entre vecteurs. H(t) X(t) representation-temps du signal IX > , h(v)

< ~IX > = x(v) repr6sentation-fr~quence du signal IX >,

X* (t) fonction complexe conjugu6e de X(t),

X# (t) = X* (-- t) fonction adjointe,

< X, Y > forme lin6aire (ou produit scalaire fonctionnel),

A op~rateur lin~aire, At op6rateur adjoint, [A, B] = A B - BA eommutateur,

op~rateur identit6 (ou neutre), op~rateur de d6rivation-temps, esp~rance math6matique de X, espaee des slgnaux fondamentaux, espace-signal, filtre lln~aire, r6ponse pereussionnelle, gain complexe,

* Centre d'l~tude des Ph6nom~nes Al6atoires (CEPHAG) (associ6 au C. N. R. S.) t~6, avenue F61ix Viallet, 38-- Grenoble.

- - 6 2 - -

t. 23 n ~ 3-4, 1968]

r op~rateur de covariance, F(z) covariance stationnairc, u distribution spectrale, L 2 espace des fonctions de carr6 sommable, PT op6rateur de projection (ou projecteur), II~ (t) fonction proiectrice, 7~T (v) = 2T.sin 27v~T/27~vT ~ IIT, R $

T~

TrA ~ 2

m.q. stoch. resp.

ReZ 8

i . e .

ensemble des nombres r6els, espace des fonctions h ddcroissance rapide, op6rateur de translation-temps, trace de l'op6rateur A, espace fonctionnel de Besicovitch, op6rateur de corr61ation, en moyenne quadratique, stochastique, respectivement, partie rdelle de Z, distribution de Dirac, c'est-~-dire.

I N T R O D U f i T I O N

A bien des 6gards et avant tout du point de rue du physicien, dans lequel nous nous placerons syst6matiquement, il peu~ gtre int6ressant de s6parer la notion de signal, en tant quo concept abstrait, de cello de sos representations qui en constituent l'image accessible h l'exp6rionce ; cola est vrai qu'il s'agisse de repr6sentations dans l'espace- temps (correspondant h l'aspect commun6ment assign6 h u n signal) ou encore de ropr6sentations en fr6quence (qui touchent h son analyse harmonique).

Cetto attitude r6sulte d'un postulat de superposition lin6aire entre signaux - - que l'on admetLra comme raisonnablo - - compl6t6 par l'introduction d'un signal nul et d'un signal oppos6 : le signal abstrait apparalt alors comme un 616ment ]X > d'un espace 8 vectoriel qu'il n'y a pas d'incon- v6nient h d6finir sur le corps des complexes.

Los repr6sentations apparaissent par suite comme des formes lin6aires r6sultant du choix particulier d'une base et il semble que l'on puisse gagner beaucoup en envisageant d'6tudier dans l'espace signal, donc ind6pendammcnt de route base de repr6sentation, los transformations portant sur los signaux, auxquelles on fera jouer le rSle d'op6ra- teurs.

C'est dans cet esprit que nous nous proposons do mettre en relief los particularit6s de la dualit6 entre repr6sentations; nous mettrons l'accent sur la parent6 intime qui relic signaux d6terministes et signaux al6atoires, en essayant de d6gager l'aspoct logique que pout prendre alors le probl6me d'analyse harmonique. Une telle 6rude, d~s le d6part, ne pout pas pr6tendre apporter des r6sultats nouveaux, mais se donne pour but d'unifier dans la mesure du possible des doctrines apparemment disjointes, ce qui est l'un des soucis majeurs du physicien.

SIGNAUX D]~TERMINISTES O15 ALI~ATOIRES 2 /25

L'emploi du formalisme de Dirac de la m6canique quantique auquel los physiciens sent accoutum~s de longue date, semble apporter le langage lo plus commode pour aborder simplement un tel point de vuo. I1 a 6t6 introduit par W. H. Huggins ot son 6cole [1, 2] qui ont su apporter la preuve de son grand int6rgt dans l'6tude du signal et ont, los premiers, song6 h sdparer los caract6ristiques intrin- s~ques d'un signal de cellos de sos repr6sentations. Nous nous bornerons, pour commencer, h r6sumer dans les paragraphes I et 2 le formalisme adopt6, dans la mesure oh notre d6marche logique diff6rera de cello dos autours pr6cit6s et nous renvoyons pour plus de d6tails h l'article fondamental de D. C. Lai [2], ainsi qu'aux ouvrages sp6eialis6s de la m6canique quantique [3, 4]. Nous ferons appel 6galement h l'outil puissant que constituent los distributions de Laurent Schwartz, un de louts m6rites principaux 6rant do s'accorder parfaitement avee l'intuition physique tout on simplifiant bien des probl~mes de repr6sentation des signaux. Enfin, d'une part parce que le cadre de cette 6rude est forc6ment limit6, d'autre part parce qu'une telle attitude est consid6r6e comme traditionnelle en physique, nous n'insisterons pas sur los probl~mes de rigueur, si difficiles, relatifs aux conditions d'existence des grandeurs que nous aurons h envisager.

L'auteur se plait /~ exprimer sa gratitude envers le professeur A. Blanc-Lapierre (Sorbonne), ainsi qu'au professour A. Naylor (University of Michigan) pour les fructueuses discussions dent ils Font fair b6n6ficier. I1 remercie 6galement los professeurs W. H. Huggins (John Hopkins University) et D. C. Lai (University of Vermont) de l'~change de correspondance qu'ils lui ont pormis d'6tablir sur le sujet trait6.

I . E S P A G E 81 D E S S I G N A U X N O R M ~ . S .

L'int6rgt fondamontal do la notion d'6nergie pousse tout d'abord h envisager pour 8 un espace vectoriel muni d'une norme, ~ laquelle sera li6e directement l'6nergie du signal. Des raisons topo- logiques rendent 6galement n6cessaire la consi- d6ration d'un espaco complet. En nous appuyant sur le formalisme de la m6canique quantique, notre premiere d6marche consiste donc ~ consid6rer un espace de Hilbert 81 form6 par los signaux IX > dot6s d'une 6nergie finie. Dans l'6criture de Dirac [3] lo (c ket 7) IX > est un vecteur contravariant.

On introduit ell outre des vectenrs covariants, los ~ bra >) < Y[ de la mani~re suivante : soit 8* l'espace dual dos formos lin6aires continues Y I IX > ) auxquelles l'isomorphisme canonique permet de faire correspondre un 616ment ]Y > ~ 81 dent le produit scalaire avec [X > air la mgme valour Y I Ix >1 I53. Los formes, 616ments du

- - 63 m

3/25

dual, sent los bra < YI et le produit scalaire entre IX > et I Y > s'6crit cc bracket )~ :

< Y I X > = Y { I X > }. (2)

Co dernier est, suivant la convention habituelle en m6canique quantique, une forme continue lin6aire on IX > et semilin6aire on [Y > et l'on a los relations d'hermiticit6 :

< r l x > = < x l r > *

L'6nergie du signal IX > se confond alors simplement avec le cart4 de la norme et s'6crit

< X I X > = !f iX:> I] 2. (3) �9

On a par ailleurs routes los notions de distance, in6galit6 de Schwartz, etc.., propres h un espace de Hilbert.

2. R E P R ~ . S E N T A T I O N - T E M P S .

Le signal - - ou vecteur - - IX > e 81 est suscep- tible de donner lieu h plusieurs <c repr6sentations ~ suivant la base adopt6e, et la premiere qu'il convient de consid6rer est cello relative h notre univers espace-temps : c'est en fair la repr6sentation qui nous est accessible par l 'exp6rimentation directe. Par lui-mgme, un point d 'univers M(x 1, x 9", x a, t) repr6sente un signal 616mentaire et l 'on pout songer

utiliser l 'onsemble des vecteurs IM > pour former une base do la <~ repr6sentation d'Univers ~*, le produit scalaire < M I X > 6rant la fonction de point associ6e ~ un signal quelconque IX > e 81.

Limitons-nous pour simplifier aux signaux mono- dimensionnels, ccux qui 6voluent par exemple suivant le temps t. La base de lacc repr6sentation- temps ~ est form6e par los signaux 616mentaires It > rep6r6s par l'indice continu t e t la repr6sen- tat ion-temps d 'un signal IX > est par hypoth~se la fonction

( t ) �9 x ( t ) = < t lx >,

avee < glt > = x*(t). Faisons une premi6re remarquo, impor t an te :

l 'onsemble des It > consti tue manifostement un espace vectoriel, ce qui assure, comme cola est n6cossairo, la conservation des propri6t6s de superposition lin6aire des signaux dans lent repr6sen- tat ion ; aut rement dit h ),IX1 > + ~[X2 > correspond la repr6sentat ion-temps

), < tlXx > + ~ < t]X 2 > = LX~ (t) + ~X 2 (t).

Deux autres conditions do coh6ronce impliquent los n6cessit6s suivantes :

a) il ost n6cossairo quo le produit scalaire entre vecteurs signaux do 8 x air la mgmo valour que le produit scalaire entre repr6sontations, co dernier d6fini conventionnollement par la forme continue

�9 Cc signe typographique indique les formules eneadr6es sur lo m a n u s o r i t .

G. B O N N E T [ANNALES DES T~L~COMMUNICATIONS

< X1, X~ > lin6aire on X 2 et semilin6aire on X 1 :

< X x , X 2 > = ~ X l ( t ) X~(t)dt.

Done, d'apr~s (1), il faut que

< XxIXm > ~ < X1, X2 > --

j ~ < Xllt > < tlX2 > dt,

ce qui implique la neutralit6 de l 'op6rateur symbolique

f i t > dt < tl = 1,

qui apparat t comme 6tant un projecteur. C'est lacc relation de fermeture )) qui montre que

la base It > est complhte (ou topologiquement g6n6- ratrice). Par suite, pour tout IX > e ~1 nous avons, avec une distance nulle, la d6composition (analyse temporelle)

L S IX > = It > dt < tlX > = , X(t)lt > dt, m.q.,

et l 'op6rateur

(3a) Pr = f ; T It > dt < t[,

proud la signification d'un projecteur dans le sous- espace des repr6sentations-temps h support born6 par [ - - T , - b T] (signaux h dur6e limit6e). D'autre part, h des signaux de 61 normables correspondent, comme on le volt imm6diatement, des repr6sen- tat ions sous forme de fonetions de L~;

b) la seconde n6cessit6 est que, compto tenu de (3), nous ayons

X(t) = < tlX > =

ce tIui montre que signal 616mentaire Dirac

~ < t i t '> d r ' < t'lX >

< < t'lt > , X(t') > ,

<t i t ' > , qui repr6sente le It' > , est la distribution de

(4) �9 < ti t '> = 3r = 3(t--t ') .

La base It > de la repr6sentation-temps est done une base continue orthonormde au sons habituel de la m6canique quantique.

II apparat t ici une grave difficult6 : los signaux It > utilis6s pour former la base de repr6sentation des signaux IX > de l 'espace de Hilbert 81 ne sent pas normalisables ( < tit > n'a aucun sons) et par suite n'appartiennent pas h cet espace. Pour lever un tel paradoxe, il s'av~re done n6eessaire d'introduire un espace-signal plus vas te que l 'espace de Hilbert. Une autre raison de prolonger cot espace r6side dans l '6tude des caraet6ristiques des signaux rencontr6s en physique, que nous allons esquisser ; co prolongement fera l 'objet du paragraphe 4.

- - 6 4 - -

t. 23, n ~ 3-4, 1968]

3. S I G N A U X E X P ~ . R I M E N T A U X E T M O D I ~ L E S M A T H I ~ M A T I Q U E S .

I1 convient de pr~ciser maintenant si los propridt6s adopt6es pour los fonctions de repr6sentation s 'adaptent bien aux caract~res des signaux tels qu'on a h los consid6rer.

3.1. Caract6re des s i g n a u x e x p d r i m e n t a u x .

Tout d 'abord, l'observation exp~rimentale de la repr6sontation-temps < t lX > = X(t) d 'un signal (ou signal-temps) montre que

a) X(t) est h valeurs r6elles sur R 1, b) X(t) est born6e et h support bornd. Doric, X(t) est sommable et de carT6 sommable,

ce qui est en conformit6 avec le paragraphe pr6c6- dent. La quantit6 X2(t) a presque toujours une signification dnergdtique et on l 'appelle volontiers ((puissance instantande ,) du signal. Par ailleurs, l 'int6grale sur R i de X2(t) porte le hem d'cc dnergie ~ et elle est bien 6gale, d'apr6s ce qui prdc~de, h l'6nergie du signal IX > d6finie h partir du carr6 de la norme dans ~i. Enfin, du fair que

I1 X1 "-~ X2 ]l 2 = 11 X~ ]l s § I] X2 I] 2 -b 2 < X1, X 2 > ,

le produit scalaire prend le sons d 'une dnergie d'interaction. Done l'espace de Hilbert, memo limitd h un espace rdel, est parfai tcment suffisant pour rendre compte des signaux expgrimentaux.

3.2. Mod61es m a t h d m a t i q u e s .

Bien souvont, uric 6tude th6orique fait appel h des modhles iddalisds qui ne respectent pas los contraintes exp6rimentales : ainsi des sinus, des constantes sur tout R i, des impulsions non born6es, etc .... Nous averts vu aussi que los vecteurs de base adopt6s pour la reprdsentation-temps sent des distributions de Dirac et non des fonctions ; donc < t0lt 0 > n'a pas de sens, alors que ~t, correspond bien h l 'un de cos signaux id6alis6s.

C'est pourquoi il est n6cessaire d'61argir le cadre pr6c6dent en 6tendant los reprdsentations-temps X(t) au-delh des fonctions de L 2 poss6dant une norme. I1 semble bien pour ce faire que l'on puisse d6finir des mod~les s '6tendant h tontes los reprdsentations possibles des signaux de la physique en adoptant , dans un esprit pragmatique, los hypotheses ci-apr~s :

a) on pout tout d 'abord (( ignorer )) que X(t) est r6elle, ce qui permot entre autres d'utiliser la notion particuli~rement fdconde de signal analytique ;

b) si X(t) est une fonction, celle-ci sera born6e sur ( - - 0 % -b c~) : elle est donc localement sommable mais pout avoir une 6nergie infinie. Dans c e c a s , il demeure cependant tout h fair n6cessaire de conserver des concepts 6nerg6tiques eL l 'exemple prdcitd du sinus, celui des r6alisations de fonctions al6atoires stationnaires, etc.., nous conduisent h adopter l 'hypoth~se qu'il s'agira toujours de fonc-

SIGNAUX DI~TERMINISTES OU ALEATOIRES 4/25

tions possddant une puissance moyenne finle. I1 s'agit doric d'61dments de l'espace fonctionnel ~ 2 de Besicovitch, formd par los fonctions non normalisables qui sent mesurables. Cette puissance moyenne est ddfinie ainsi :

- - �9 ,. l f + T W = l i m 2 ~ ( I I T X * X # ) c 0 , = ,lm ~ / IX(t)l 2 dt,

r~.r T J - T

off * symbolise le produit de convolution od IIr(t) est la projectrice (ou porto)

(5) 1-Ir (t) l = I t z [-- T, + T], t 0 si non,

(qui reprdsente donc le spectre des valeurs propres de l 'opdrateur projecteur sur [ - - T , -b T)]) et off l ' involution X---> X# d6finit ce que nous appelle- Tons la (~ fonction adjointe ~.

(6) * X# (t) = X* (-- t).

D'apr~s N. Wiener, W a une valour unique indd- pendante de toute translation sur la projectrice et la valeur moyenne (ou composante continue) de x(t)

�9 = l im t [ - + T < X > = rli_m>~m~-T(YIT,X)(0) T-~c2T. ) ' -T X(t) dt,

est toujours time pour la famille ~ 2 de fonctions envisag6e. Bien entendu, une fonction X(t) de L 2, d'6nergie time, appart ient h ~ 2 mais sa puissance moyenne et sa valour moyenne sent alors nulles. Los fonctions de 't02 h puissance moyenno finie font pat t ie de l 'ensemble des fonctions localement sommables h croissance lento et poss6dent h ce titro une transform6e de Fourier qui est une distribution temp6r6e [7]. Or, toujours d'apr~s N. Wiener,

x(t) toute fonction X de r e s t telle que V / ~ E L g

et sa distribution transformde de Fourier est la d6riv6e pr6mi~re d 'une fonction, olle-mgme de '11) 2 ;

c) il reste h compl6ter la famille des mod~les utilisds en introduisant los distributions de Dirac dent on connalt l 'abondante utilisation qui en est faite en thdorio des signaux.

%. L ' E S P A C E - S I G N A L G.

Des r6flexions du paragraphe pr6c6dent ressort raisonnablement la possibilit6 d'englober l 'onsemble des signaux r6els ou id6alis6s de la physique en consid6rant des signaux IX > qui sent repr6sent6s dans la base temps, non seulement par des fonctions de L 2 (cas des signaux du Hilbert Gi), mais par des fonctions de l 'espace de Besicovitch ~ 2 ou encore des mesures de Dirac, ou une superposition des trois : routes sent donc des distributions tempdrdes particuli~res (plus pr6cis6ment d6riv6es premieres de fonctions h croissance lento, h variations borndes et h d6termination unique en chaque point de R) et c'est cot aspect qui va nous permettro de d6finir l 'espace-signal abstrait le mieux adapt6. I1 semble par ailleurs qu'il ne soit vraiment pas n6cessaire

- - 65 - -

5/25 d'aller plus loin dans la voie de la complication, si nous nous limitons aux seuls besoins de la physique. Pour b~tir l'espace-signal dans le cadre des distributions temp~r6es, il nous faut alors nous appuyer au pr6alable sur un sous-espaceparticulier, celui des signaux fondamentaux.

4.1. Espace g0 des signaux fondamentaux.

Nous d6nommerons ~ s ignM fondametr ta l ~ un signal abstrait I~ > dent la repr6sentation- temps est une fonction ~(t) ind6finiment d6rivable et ~ d6croissance rapide (lim lt"~(t)[ = 0, Vn

It[--~ positif). Ainsi l'espace 8 o des signaux fondamentaux apparalt-il comme un sous-espace du Hilbert 8~ ; de leur c5t6, les repr6sentations q~(t) appartiennent

l'espace fonctionnel $ de L. Schwartz [7]. Un signal fondamental est considdr6 comme

associ6 de mani6re biunivoflue h sa repr6sentation.

4.2. Espace-signal 8.

Get espace vectoriel sur le corps des complexes est constitu6, outre des signaux fondamentaux, de tous les 616ments abstraits IX > soumis aux trois hypotheses suivantes :

l ~ un signal abstrait IX > est ddtermin6 lorsflue, pour tout signal fondamental [q~ > E 8 o c g, le produit scalaire < XI~ > , forme lindaire, continue dans 8o, est donnd ;

2 ~ la reprdsentation-temps X(t) de tout 61dment IX > e 8 est telle que l'on air l'identit6

(7) < q~lX > = < r X(t) > , Vie > ~ 8o = g,

entre le produit scalaire darts 80 et la forme lin6aire < r X > sur la repr6sentation-temps r du signal fondamental ]r > , forme continue par rapport h la topologie darts 8. Les repr6sentations- temps des signaux de 8 d6finissent done des distributions temp~r~es ;

3 o) la base de repr6sentation-temps est form6e d'un ensemble non d6nombrable d'616ments patti- cullers It > de 8 tels flue

(ta) < t]~ > ~_ ~(t). 11 en r6sulte les cons6quences ei-apr~s : a) l~tant donn6 deux signaux fondamentaux

flueleonflues, un raisonnement similaire h celui des paragraphes 2a et 2b indiflue des conditions de coh6rence pour flue l'hypoth~se (7) soit respect6e, flui sent :

- - l'op6rateur identit6 se d6compose (symboliflue- ment) suivant la relation de fermeturo (3),

- - la repr6sentation-t d'un vecteur de base ]to > est, cf (4), la mesure de Dirac < tit o > = $to.

Dans un autre langago, la base [ [t > I so comporte comme uno base continue orthonorm6e et complete.

b) De plus, l'application de la relation de fermeture (3) h l'identit6 (7) pour un signal fluelconflue IX > de 8 impliflue flue la repr6sentation-t de ce dornier se confonde avec la fluantit6

(t) X(t) = < t in > .

G. B O N N E T [ANNALES DES T~L~COMMIrNICATIONS

c) L'espace des repr6sentations-temps est, dans son ensemble, l'espace $* des distributions temp6- r6es de L. Schwartz .I1 inclut comme sous-espaces particuliers celui ~3z de Besicovitch aussi bien flue L ~ eL, bien entendu l'espace $ lui-mgme.

4.3. Remarque 1.

L'espace 8 o a 6t6 associ6 M'espace $ des fonctions c ~ - d6rivables h d6croissance rapide de fa~on

consid6rer des repr6sentations de signaux qui soient des distributions temp6r6es, doric fondamen- talement des distributions poss6dant une transformde de Fourier. On pourrait 6ventuellement faire appel

une classe plus large de signaux fondamentaux, associ~s h des fonctions continues et ~ d6croissance rapide, mais non n6cessairement d6rivables: on aurait ainsi h traiter des repr6sentations prenant la forme de distributions d'ordre z6ro, ce qui semble bien s'accorder encore avec l'inventaire du paragraphe 3 ; mais cette extension de la notion de signaux fondamentaux obligerait h renoncer l'existence a priori des transform6es de Fourier et par suite, comme nous le verrons, h la notion de repr6sentation-fr6quence. Nous ne ferons doric appel h cette possibilit6 de prolongement flue dans un cas particulier, celui des signaux fihr6s, lorsflu'il sera certain pour d'autres raisons flue la transform6e de Fourier de la repr6sentation-temps existe (paragraphe 8).

4.4. Remarque 2.

Nous ferons darts ce qui suit un usage fr6quent de relations de [ermeture du type (3). I1 importe alors de bien prdciser flue l'dcriture intfgrale qui les traduit dans l'esprit traditionnel de la m6caniflue fluantiflue va s'avdrer impropre, en particulier lorsqu'elle traitera des distributions. I1 convient done de la consid6rer par convention comme une ~criture p u r e m e n t s ymbo l ique reli6o en r6alit6

une forme lindaire. C'est dans cet esprit que nous d6crirons l'analyse temporeUe d'un signal I X > ~ 8 par :

X > =- f It > dt < t[X > =- [_ X (t) dtlt >. r J 1 r

5. BEPR~.SENTATION-TEMPS DES Ola~IRATEURS LIN~IAIRES.

Un tel op6rateur, A, est une application lin6aire et continue de l'espace signal 8 dans lui-mgme, transformation flue l'on 6crit

A I X > = I Y > ~ 8

On peut lui associer une application simultan~e darts l'espaee dual 8*.

< X I A * - < YI~8*,

ce qui d6finit l'op~rateur adjoint At. Le fair flue A soit lin6aire et l'emploi de la relation do fermeture (3)

t. 23 n ~ 3-4 , 1968]

permettent d'6crire la repr6sentation-t de la trans- form6e sous la forme (symbolique) :

(8) Y(t) = < t lY > = < tlAIX > =

./R, < tlAl( > < f i X > dr.

Ainsi l 'op6rateur lin6aire agit sur la repr6senta- tion-t d 'un signal par l ' interm6diaire d 'une grandeur d6pendant de deux param~tres continus t et t ' : son ~c ~lgment de matrice ~ (continue)

A(t, t') = < tlA[t' > ,

et c'esL cette quantit6 qui tienL lieu de repr6senta- tion-t de l 'op6rateur A. Pour l 'op6rateur adjoint, nous avons < tlA*]t' > = < t ' lAIt >*, d'o~ 1'616- ment de matrice

A* (t', t) = < tlA*lt' > .

l~tant donn6 qu 'un vecteur de base I t ' > est repr6sent6 par < tit' > = 3(t - - t'), alors l'616ment de matrico < t]A]t' > = A (t, t') apparalt comme la repr6sentation h la date t de l 'action de A sur une percussion-unit6 situ6e ~ la date t' : A(t, t') est une fonction de Green ou ~c r6ponse percussionnelle ~.

On pourrait ainsi symboliser l 'action de l'op6ra- teur lin6aire sur la repr6sentation-t du signal par la relation de transformation :

(9a) Y(t) = A[X(t)] = ~R, A(t, t') X(t') dt'.

Dans la torminologie technique on parle, pour l 'op6rateur repr6sent6 par le noyau int6gral A(t, t'), d 'un fihre lin~aire ?t param~tres ~,arlables.

Cependant X(t) est dans le cas le plus g~n6ral une distribution temp6r6e ; il est possible 6galement que A(t, t') soit une distribution dans l'espace produit tensoriel t | t'. Dans ces conditions la relation (9a) s'av6rera tout h fait impropre; pour exprimer correctement la repr6sentation-t de la transform6e [Y > = AIX > , il est alors n6cessaire de passer par l ' interm6diaire de son produit scalaire < q>[ Y > avec un signal fondamental [~ > du sous-espace 80.

Introduisons pour co faire la transform6e [`F > = A~lq) > de ce dernier signal par l'opdrateur adjoint At : cc qui s'6crit 6galement

< ` F I = < r

=~ < ~ I Y > = < ~ I A I X > = < ` F I X > .

I I e n r6sulte l ' identit6 entre produits scalaires portant sur les repr6sentations-temps

< ~, Y > - - - - < ` F , X > .

Or, la relation de fermeture (3) conduit h :

`F* (t') = < 'Fit ' > = < ~lAIt' > ~ < ~(t), A(t, t') > ,

et cette expression a un sens en rant quo forme lin6aire portant sur la repr6sentation

r = < t l r > ,

laquelle, par hypoth6se, est une fonction ind6fi- n iment d6rivable h d6croissance rapide. En portant

SIGNAUX DETEHMINISTES OU ALEATOIlqlVS 6 / 2 5

dans l 'identit6 pr6c6dente et en utilisant la r6gle de Fubini pour une forme dans l'espaee produit tensoriel, nous obtenons ainsi :

(9b) < r Y > = << r A(t, t') > , X(t') > =

<< ~(t), A(t, t') | X(t') >>, Vr e 8.

Ce qui montre que la repr6sentation-t de la trans- form6e Y(t) est, dans le cadre le plus g6n6ral, un produit tensoriel contract~ entre ropr6sentations-t de l 'op6rateur lin6airo et du signal.

Comme cas particuliers d'op6rateurs lin6aires, nous 6voquerons successivement : translation, r6fle- xion et fihres lin6aires stationnaires.

5.1. Opfirateur de translation-temps.

Par extension de la relation (3) on consid~re l 'op6rateur

T, = / , It +. �9 > dt < tl, pour x R 1 .

a) On volt imm6diatement quo To = 1 et que T~ = T....~.

D'autre part, la relation de fermoture et la pro- pri6t6 (4) donnent

= / , It + "c > dt < tit" + 0 > dr" < t'l = T, To

, I t + .c > < t 'lB(t-- O) dt dt', t t _ _

soit

T ~ T e = T~,e,

ce qui est la propri6t6 d'uno (c repr6sentation unitaire )) au sens de [5]. En prenant 0 = - x, on a T ; - I = T_~ = T~: il s'agit donc d 'un op6rateur r6gulier et unitaire, qui conserve ainsi produit scalaire et norme.

b) L'action de T, sur un vecteur de base ost

(i0a) T, lt > = / , It' + z > dt' < t'lt > = It + x > .

C'est une translation de puissance 7. On trouvo de mgme

(10b) < tits = < t --zl .

L'61dment de matricc do repr6sentation-t est alors

< tiTbit' > = < tit' + �9 > = 8(t-- t ' - - "r),

et Faction sur un signal, en repr6sentation-t , s'6crit, compte-tenu de (t0b)

< tlT~IX > = < t - - ' c lX > ,

OH e n c o r e

T~ [X(t)] = X(t-- -r).

c) I1 est int6ressant de rechercher les r s lgnaux propres ~ [~ > do oct op6ratcur on consid6rant l '6quation aux valeurs propres

. . . . (J7 - -

7/25

laquelle se t radui t pour les reprdsentations-t, 6tant donn6 (i0b), par

< tlT~[~ > ~ < t - - "r > = X < tl~ > ,

ce qui permet de d6finir la fonction propre < > =

par la relation

D6rivant par rapport ~ t st divisant membre h membre, on obtient donc la condition :

( t )= s,

off s est une constante complexe ind~pendante de x, servant h rep6rer par eet indice continu les solutions propres, qui sent ainsi des exponentielles du temps

(1t) < t[~ > = ~(t) = e ~.

On tire par ident i fca t ion la valeur propre ), = e ' ' ~ qui appart ient done h u n ensemble continu :

5.2. Opfirateur de rfiflexlon.

Par d6finition et toujours par extension de (3) :

R~ = ~ , I x - - t > d t < t[,

d'oh imm6diatement R~ = 1 ou R~ -1 = 1 ~ ; c'est un op6rateur r~gnlier dent les valeurs propres valent ainsi • 1.

On volt facilement que R , est h la fois unitaire et hermitique et il suffit d'ailleurs de consid6rer R o car

T~ R 0 = ~ , It + 'v > dt < t] - - t' > d t t < tq =

f a i~'-- t ' > d r ' < ttt

L'action de Re sur un vecteur de base e s t une r6flexion autour de l'origine

Rolt > = I- - t > .

L'616ment de matrice est

< tlRolt'> : < t ] - t ' > = 8(t + t'),

et l 'action sur un signal se t radui t en repr6sentation-t par

< tiRolX > = < - - tlX > ,

OU

no IX(t)] : x ( - t).

Los fonetions propres pour les valeurs propres -4- t et ~ 1 sent donc respectivement les fonetions paires et impaires.

On peut encore 6tudier darts cet esprit l'op~rateur d'~chantillonnage introduit par D. C. Lai [2] qui fait passer de la base continue It > h une base discrete Itl, > . D'autre part, l 'op6rateur de projection d6fini en (3a) sera ~tudi6 au paragrapho 9.3.

G. B O N N E T [ANNALES DES T~LI~COMMUNICATIONS

5.3. Filtres linfiaires.

Nous d~signons sous ce terme les op6rateurs lin6- aires F invariants par translation dans le temps, qui commutent doric avee tousles op6rateurs T, (op6ra- teurs stationnaires) :

[ F , T , ] = O ou F T , = T ~ F , VT.

Par suite, un filtre lin~aire a l e s mdmes vecteurs propres ]~s > que l'opdrateur de translation et les fonctions propres associ6es sent los exponentielles complexes e st ; il en est de mgme pour l 'op6rateur adjoint, le (c filtre adjoint ~) F ~.

a) Les propri6t6s de commutat ion conduisont h une structure particuli~re de l'616ment de matrice de F ; nous avons par hypoth6so :

< tlFT~I0 > = < tIT~FI0 > ,

soit, d'apr~s (i0a) et (t0b),

< tlF[0 + ~ > : < t - - ~:lFI0 > , V~,

et cet 616merit de matrice ne d@end que de la dif]d- rence t - - 0 ; nous l'6crivons

(t2a) * < t/Fl0 > = < t - - 01FI0 > = H(t-- 0),

ce qui donne h H(t) = < t[FIO > la signification d ' u n e rSponse percussionnelle, repr6sentation h la date t de l 'action du filtre F sur une percussion- unit6 situ6e h la date origine, 3 ( t ) = < tlO > .

La r6ponse percussionnelle du filtre adjoint Ft est alors

(t2b) < tIFT[0 > ~: < 0JFlt > * = H* (-- t) = H# (t),

ce que t radui t l 'appelation de ~c fonetion adjointe ~ que nous avons adopt6e pour r involut ion H -->/t#.

Soit [Y > = FIX > le signal transform6 et Y(t) sa repr6sentation-t. Si H ( t - t') est substitu6e

A(t, t') dans la relation g6n6rale (9b) dc transformation des repr6sentations, nous obtenons

< ~ , Y > = << ~(t), H(t-- t') @ X(t') >>

<< ~P(t + t'), n(t) @ X(t') >>,

ce qui donne, conform6ment h la d6finition d 'un produit de convolution entre distributions [7]:

< ~ , Y > = < ~ , H . X > , V@~$,

(t3) ::- Y(t) = FIX(t)] = ( H , X)(t).

Nous retrouvons la c61~bre (~ f o rmu le de Vas- r ~ d6crivant en repr6sentation-temps les relations entr6e-sortie d 'un filtre lin6aire. Mais la relation (t3) g6n6ralise la formule de Yaschy pour le cas le plus g6n6ral oh, simultan6ment, signal- temps X(t) et r6ponse percussionnelle H(t) sent des distributions temp~r~es (dans la mesure oh le produit de convolution entre ces distributions a un sens, cf [7] et paragraphe 6.2.2).

68 - -

t. 23, n ~ 3-4, 1968]

6. R E P R ~ . S E N T A T I O N F R ~ . Q U E N C E .

Le fair flue les signaux I~, > du paragraphe 5.1. soient signaux propres d 'un opdrateur filtre lin6aire, incite h rechercher une ddcomposition (au moins formelle), d 'un signal arbitraire IX > en une somme de ees signaux propres, de fa~on h simplifier l 'expression des relations entrde-sortie darts un filtrage lindaire. I1 apparalt alors prdfdrable de constituer avec ces ]~, > une base orthogonale, ce flue nous obtiendrons en choisissant le hombre s imaginaire pur, soit s = 2~iv: la relation (11) montre flue les fonctions propres deviennent alors e 2"l~t et sent bien orthogonales.

Pour all6ger l'4criture, repdrons simplement les vecteurs propres de F par cet indicev r~el et continu, ce flui conduit

Iv > = 1~2=,~ > ,

et pour les fonctions propres, 6tant donnd ( l i ) , -h

(14) * < tlv > = e ~lvt ~ < vlt > = e -2~l~t.

La base continue des Iv > , qui va nous permettre d 'obtenir une nouvelle repr6sentation du signal, sera nomm6e reprgsentation-fr~quence (ou repr6sen- tation-v ).

La fluantit6 < t l v > peut aussi s ' interpr4ter comme l'616ment de matrice d6crivant le passage de la base I > 1 la nou elle base I lv > I. D'apr6s (14), eette transformation est unitaire, et il en r6sulte flue produit sealaire et 6ventuellement norme sent, eomme il est ndcessaire du point de rue physique, des invariants de representation.

Les relations (14) jointes h la relation de fermeture (3) conduisent, darts cette 6eriture symbolique,

< vlv" > = f R , e--~tlv--'~')t dt, &

autrement dit :

(t5) �9 < vlv' > = ~(v-- v'),

ce qui montre flue la base I I v > ! de repr6sentation- fr6quence est une base continue orthonormde. Utilisons d 'autre part la propri6t6 (4) de la base I[ t > l conjointement avee (14); ce flui donne

< tit' > = 3(t-- t') = s e s=l*~t-tl" dv =

j ~ , < > < >, t[v dv v]t /

d'oh rdsulte, en identifiant les deux membres extrgmes, la relation de fermeture

(16) ~/f~ Iv > dv < v[ = 1.

La base de repr6sentation-v est donc complbte.

6.1. Repr&entation v du signal.

Consid6rons pour commencer la classe des signaux [ondamentaux, les I~ > e 8o, dent la repr6senta- tion-t r = < t[~ > est une fonction a d6crois-

SIGNAUX D~.TERMINISTES OU AL~ATOIBES 8 / 2 5

sance rapide (espace fonctionnel 8). Comme on le salt, @(t) poss6de une transform6e de Fourier, elle- m4me fonction de 8.

Par d6finition, la reprdsentation-v du signal Ir > sera la forme lin6aire, ou produit scalaire, < v[q) > = q~(v), flue la relation de fermeture (3) et l 'expression (14) permet tent d'6crire :

q)(v) = < v[r ) > = _ s < v]t > dt < tl~ > =

~ e -2~zvt ~(t) dt.

Ceci montre que la repr6sentation-v du signal I~p > est la transform4e de Fourier (au sens strict) de sa repr6sentation-t

< v l q ) > ~ < t l ~ > , on q~(v)~q)(t).

S'agissant maintenant d 'un signal IX > fluelconflue dans 8, repr4sent6 par une distribution temp6r6e X(t), nous allons utiliser le r6sultat pr6c6dent en consid6rant le produit scalaire < q)]X > . D'une part, l ' identit6 flui associe produit sealaire entre vecteurs et produit sealaire entre repr6sentations-t donne

< r < r

D'autre part , la relation de fermeture (16) fournit

< ~ I X > = [~ < q ) l v > d v < v l X > = < % x > ,

oh x(v) est l '6criture de la repr4sentation-v du signal IX > ,

(17) �9 = < v l x >, (par convention, nous adopterons pour la reprdsentation-t d 'un signal la mgme lettre majuscule flue celle flui apparatt dans le ~c ket ~ et, pour sa repr6- sentation-v, la lettre minuscule correspondante). En identifiant les deux expressions du produit sealaire, nous obtenons

(18) < r > = < ~ , x > = < ~p, x >,

Vl~ > e 80. L'identit6 entre les formes

< ~ , X > = < % X >, est alors celle de Parseval, puisflue q~ ~ ~ . On salt [7] flue c'est eette derni6re qui sert de ddfinition h la transformation de Fourier entre distributions : par suite X(t) et x(v) sent des distributions images de Fourier :

�9 x(v) ~_ X(t),

relation pour laquelle il peut s'av6rer utile de conserver l 'dcriture impropre d'une ~r analyse harmonique ,~

X(t = f , e ~''t x(v) dr.

Ce qui, 6tant donn6e (16) et (17), correspond for- mellement i~ l'analyse [rgquentieUe du signal :

] x > = x > .

69

9/25

Ainsi, darts un cadre g6n6ral, un signal IX > poss6de deux reprdsentations fondamentales, distributions temp6r6es, et l 'on a :

a) X(t) = < tlX >, sa reprdsentation-t ou signal temps,

b) x(v) = < vlX > , sa reprdsentation-v on signal /rdquence,

c) x(v) ~ X(t) : los deux repr6sentations sent trans[ormges de Fourier,

d) le produit scalaire entre deux vecteurs signaux a la mgme valour que le produit scalaire entre leurs repr6sentations, que celles-ci soient en temps ou en frdquence (ceci r6sulte d 'une extension immddiate de (iS)).

6.2. Reprdsentat ion-v des opfirateurs et des flltres l indaires.

La relation qui, pour l 'op6rateur lin6aire A, correspond en repr6sentation-v i~ la relation (8) e s t

(19) y ( v ) = < v t Y > = < ' c l A [ X > =

~ n < v lh lv '> vqX dr'. < >

Elle permet d' introduire l'616ment de matrice de sa reprdsentation-v, soit

a('v, t ) = < vlAIv' > .

Ce qui conduit ~ la relation suivante entre repr6- sentations-v, laquelle correspond h (9b) dans l 'espace tensoriel v | v' :

(20) < (I)IY > = ~ q~(v), a(v, v') (~ x(v') >>.

6.2.1. Pour 6tablir la liaison entre los 616ments de matrice < tlAIt' > et < viA v' > , utilisons deux signaux fondamentaux (b > et I~F > choisis arbi- trairement dans 8 o et formons < (I)IAI~F > . CeLte quantit6, consid6r6e comme le produit scalaire de AItF > par I(I)>, s'identifie aux produits scalaires associ6s dans chaque reprdsentation. Ainsi, d'apr~s (9b) et puisque ~F(t') est une fonction de 8 :

< @IAIW" > = << @(t), A(t, t') ~'(t/) >> = << (I)(t) iF* (t'), A(t, t') >>,

avec une relation similaire en reprdsentation-v. D'ofi il r6sulte

< (I)IAI'F > = << (I)(t) ~F* (t'), A(t, t') >> = << q)('~) 4" (~'), a(v, '~t) >>.

Or, nous avons los relations de transformation de Fourier

re(t) +*(r = ",'*(-- c).

Ce qui pr6c~de montre donc que l'616ment de matrice a(v, ,/) en repr6sentation-,~ est la transformde de Fourier bidimensionnelle de l'616ment de matrice A ( t , - t') en repr6sentation-t. Dans une 6criture impropre, nous exprimons cette liaison par

a(v, v') -- f _ . e - ~ ' ( v t - v ' t ' ) A(t, t t ) dtdt', . . / 1 r

C. B O N N E T [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATTONS

ce que nous aurions pu obtenir directcment en usant de la relation de fermeture (3) et de (14) pour passer de < [AIr > a < tlAIt' > .

6.2.2. Le cas le plus int6ressant est celui des fihres lin~aires. En effet, 6tant donn6 que los vec- tours de base Iv > sent los vecteurs propres de F, cf. paragraphe 5.3 et 6, nous avons

(21) �9 Fly > = h(v)lv > , ainsi que

�9 < vlF = h(v) < vi.

a) Nous en ddduisons immddiatement l 'expression de la reprdsentation-v de la transformde [Y > = FIX > en fonction de la valour propre h(v):

y(v) = < vIFIX > = h(v) < v]X > ,

(22) ~ y(v) = r [ x ( , ) ] = h(v) x(v) .

La valour propre h(v) s'identifie ainsi au gsin complexe du filtre. Cette expression (22) n'a de sons que si l 'une au moins des quantit6s du second membre est une fonction. Ainsi, si l 'on d6sire garder la possibilit6 de traitor des signaux dent la repr6- sentation-v est une distribution temp6r6e, il convient que le gain complexe h(v) soit une fonction de crois- sauce lento: cette caract6ristique est cello des r162 ftltres stsbles ~.

b) En prenant pour signal [X > un signal de base I v' > , nous obtenons, compte tenu de (15), l 'expression de l'616ment de matrice

(lUb) �9 < vlF[v ' > = h(v) 3(v-- v'),

ce qui montre que la matrice de repr6sentation-v d'un filtre lin~aire est diagonale.

c) La transform4e I Y > = t i e > de tout signal I(I) > e 80 est, par la d6finition-mgme du filtre F, un 616ment de l 'espace signal 8. En tau t que telle et conform6ment a l '6tude du paragraphe 6.1. pr6c6dent, sos repr6sentations y(v) et Y(t) ferment une paire de Fourier. La comparaison entre (13) et (22) donne alors la relation (qui a un sons marne si h ou H sent des distributions)

h(v) q~(v) ~ ( H . (I))(t), VI(I ) > e 80.

Comme ]es reprdsentations q~(v) et (I)(t) ferment 6galement une paire de Fourier, cette derni6re expression est une relation de Plancherel ; elle ddmontre que le gain complexe (ou valour propre) h(v) est la transformde de Fourier de la rdponse percussionnelle (ou 616ment de matrice-t) H(t), ceci au sons large des distributions :

h(v) ~ H(t)

d) En vertu de ce qui pr6c~de , le filtre ~,joint F? a pour gain complexe h*(v) ~-. H#(t) et 1 on a bien Ft]v > = h*(v)lv > .

e) Suivant leur d4finition mgme, deux filtres F1 et F~ commutent ensemble. La composition F1F~ = -F2F 1 est 6quivalente h un filtre unique F dent la valour propre (gain complexe) vaut

h(v) = h & ) h&) ,

- - 70 - -

t . 23 n ~ 3.-4, 1968]

(qui n'a de sons que si Fun au moins des filtres est un filtre stable). La r6ponse percussionnelle de F = FIF 2 est donc H(t) = (H z * H2)(t ).

6.2.3. Pour l 'op6rateur de translat ion (qui est un filtre lin6aire particulier) le gain complexe est e-2=iv~__ ~ ( t - - x ) et l'616ment de matrice-v ost

< vlTdv' > = e -2m'~ ~(~ -- ~').

Pour l 'op6rateur de r6flexion, on obtient l'616ment de matrice par transformation de Fourier bidimensionnelle de < t lR0lt ' > = + t') ce qni d o n n e

< lnol '> = + ,/) .

Donc Re effectue 6galement une rdflexion des signaux-fr6quence autour de l'origine :

< ~lltolX > = x ( - v).

S I G N A U X D ~ T E R M I N I S T E S O U A L ~ A T O I R E S t0/25

Donnons deux d6finitions de la stationnarit6, la seconde 6rant suffisante si l'on se limite ~ une statistique d'ordre deux.

D~iinition 1. Un processus al6atoiro IX > est dit ~ st, , t ionn,,ire ,,u sens s tr ic t ~ si la fonction de r6partition do < dolX > est la mgme que cello de < (I)[T,[X > , quelle que soit la puissance x do l 'op6rateur de translation T, et ind6pendamment du choix de I(I)> dans g0.

D~finition 2. Ix > est dit (( s ta t ionnaire de second ordre )) si, pour le moins, les deux premiers moments de < doIx > ont los mgmos valeurs que ceux de < d o l T , tX > , quel que soil x eL ind6pen- damment du choix de [do > .

7. SIGNAUX AL~.ATOII:tES ET OP]~BATEUBS DE COVAI:tlANCE.

ll semble naturel de conserver le point de rue pr6c6dent qui consiste h consid6rer un signal abstrait IX > , cette fois-ci aldatoire, et des formes lin6aires pour sos repr6sentations : ce qui est valable pour chaque r6alisation p a r t i c u l i ~ r e - donc d6ter- ministe - - de IX > s '6tendant alors h la distribution statistique de l'ensemble des r6alisations possibles. On rejoint ainsi la m6thode propos6e par I~dith Mourier [8] dans sa th6orie des 616ments al6atoires d 'un espace de Banach et son extension par I. M. Gelfand [9] aux processus-distributions.

Nous dirons que le processus al~atoire [X > , d e n t los r6alisations particuli~res sent des 616ments de 8, est connu lorsqu'est donn6e la loi de la ~,ariable alOatoire constitu6e par le produit scalaire

< dolX > ,

oh [do > est un (( signal fondamental )) ddterministe de l'espace go, i.e. un signal dent les repr6sentations (t ou v) sent des fonctions de $ (oo - - d6rivables h d6croissance rapide). Ce produit scalaire est une forme lindaire que nous astreindrons par hypoth~se h gtre continue. Cette d6finition d 'un processus al6atoire met en 6vidence la possibilit6 de se d6gager de la loi temporelle, ot en fait de route repr6sentation, pour concentrer l 'aspect stochastique, en rant que caractgre intrins~que, sur le vecteur IX > lui- mgme.

Cependant, si nous nous limitons, comme ce sera souvent le cas dans ce qui suit, au cadre dos signaux al6atoires stadonnaires dans le temps, il est bien 6vident que nons faisons appel implicitement h une intervention indirecte de la loi temporelle.

7.1. Repr&entation-t des signaux al~atoires stationnaires. Covariance et signal moyen.

Nous eontinuons d 'adopter pour les repr6senta- tions-t une dcriture du type q~(t) -- < t[(I) _'> ou X(t) = < t lX > eL nous consid6rons X(t) comme une fonction al6atoire ggn6ralis6e (distribution temp6r6e).

a) Statistique du premier ordre.

D6finissons le (( s ignal m o y e n )) IM > , muni de l'6eriture formelle

(23) IM > = E t IX > ],

par le faiL que, quel que soil Ido > ~ go, il y air identit6 entre < elM> et l'esp6rance math6- matique de < r > :

(24 ) < (I)IM > = E I < doIX > I,

OU e n c o r e

<*IE t Ix > I= E[ < dolx > I.

Cetto d6finition respecte l 'obligation de faire appel h l ' interm6diaire du produit scalaire < doIX > dent la loi est connue a priori et permet doric d'attein- dre son esp6rance mathgmatique. I1 ne faut voir en offer dans l'6criture E l IX > t qu'une forme pure- ment symbolique, 6tant donn6 que nous ne savons pas d6finir une fonction de rgpartition pour le vecteur IX > ; cependant il nous sera donng de constater que la quantit6 IM > joue en pratique un r61e 6quivalent h celui d 'une esp6rance math& matique.

Adoptons en outre pour la repr6sentation-temps du signal moyen l'6criture, 6galement symbolique :

E [ X(t) t =- M(t) = < tiM > ,

ce qui revient h introduire la convention

< tiE I I X > }-- E I < t I X > }.

Le postulat (7), paragraphe 4.2, d'identit6 entre produits scalaires vectoriels et produits scalairos do repr6sentations donne alors l'exprossion de (24) on repr6sentation-t :

< do, E l X } > : E I <do, X > I' Vdo~$.

- - Dans le cas off ]X > est un processus stationnaire, nous doyens avoir

E { < doIX > } --= E I < dolTdX > I,

soit, d'apr~s (24):

< doIM > ~ < doITdM > , Vx ~ R, I M > = T , I M > ,

ou encore

< do(t), M(t) > = < do(t), M(t-- x) > , Vx et Vdo e $.

7 t - - -

i i / 25

II on r6sulte que M(t) se comporte alors comme une mesure de Lebesgue, ce qu'on ~crira

(25) E I X(t) } = tx (constante).

- - N o u s dirons enfin qu 'un processus al6atoire est centr~ si IM > est le signal nul :

< e l M > = 0, Vl �9 > e 80 ~ M(t) = 0, Vt.

b) S ta t i s t ique de sevond ordre.

Cette statist ique nous conduit h faire appel au moment d'ordre deux du produit scalaire < q)lX > . Pour y parvenir, nous introduisons un op6rateur lin6aire rx , que nous nommerons opdra teur de covariance propre , en le d6finissant par la pro- pri6t6 suivante, por tant sur l 'esp6rance math6- mat ique de la forme quadrat ique positive I < * l x

(26) < r162 > = E l i < (I)lX >l ~ }, vI �9 > z g 0.

Ceci nous conduit h adopter pour cet op6rateur le graphisme symbolique

r x = E t l X > < X l },

en convenant, pour satisfaire (26), que

< OIE t I X > < X I } I O > - E[ < O I X > < X l q ) > },

VIe > E go,

et en appliquant la propri6t6 d'hermiticit6

< x l r > = < r >*. D'6vidence, r x est un op~rateur hermhique;

d'autre part, le second membre de (26) rejoint, en repr6sentation-t, la ~( forme corr61ative ~ de I. M. Gelfand [9]. Adoptons en outre pour l'616ment de matrice < t l r x i t ' > en repr6sentation-t de cet op6rateur, l '6eriture suivante, 6galement symbolique :

(27a) < tTxlt" > - E I X(t) | X* (t') I"

Nous nommerons cet 616ment de matrice la covariance propre de IX > : il s'agit d 'une distribution certaine darts l 'espace produit tensoriel t | t'. Notons que l '6criture (27a) 6quivaut h la convention

< tiE t IX > < XI I It' > = E t < tlX > < X l t ' > t"

- - S i maintenant iX > est un processus stationnaire, nous averts

E [1< OIX >1 ~ } = E I I< OI'I'.~IX >1 ~ I, Vr e R, ce qui 6quivaut, d'apr~s la relation de d~finition (26), h

< olr [o

d'ofi r x =-- T, r x op6rateur unitaire

> ~ < ~IT~ r x T~[O > ,

T~ et enfin, puisque T~ (cf paragraphe 5.1) :

e s t u n

r x T ~ = T ~ r x , V z E R .

Ainsi, pour un processus al6atoire stationnaire, r x commute avec tout op6rateur de translation ;

G. B O N N E T [ANNALES DES TELl'COMMUNICATIONS

doric l'opdrateur stationnaire de covariance propre poss~de toutes les propri6tds des filtres lindaires (cf paragraphe 5.3 et 6.2) avec lesquels il commute 6galement. Cette similitude entre F et r X r6sulte dans les deux cas de l 'aspect stationnaire de ces op6rateurs.

Nous tirerons d 'un tel comportement de r x d ' importantes cons6quences ; ell premier lieu, l'dldment de matrice < t[rxlt ' > ne d@end plus que de la dif[drence "z =- t - - t'. Nous avons ddjh nomm6 ce dernier (c covariance propre ), et, 6rant donn6 (27a), nous le repr6sentons par l '6eriture symbolique:

(27b) Px(~) = < t lrxlt-- �9 > = E I X(t) | X* (t-- 7) }.

CeLte quantit6 joue ainsi un r610 similaire h celui d 'une r6ponse percussionnelle.

- - U s o n s maintenant dans (26) du postulat d'identit6 entre produits scalaires vectoriel et fonctionnel, ce qui donne darts l '6criture (27a)

<< (I)(t) O*(t'), E I X(t) | X*(t') } >> =

E [ << r O*(t'), X(t) | X*(t') >> }.

D'ofi, pour le cas stationnaire off intervient l'6cri- ture (27b)

E I I< (I)[x > F I = << O(t) O*(t'), r x ( t - - t') >>.

En utilisant la relation de d6finition d 'un produit de convolution [7], nous obtenons alors l 'expression suivante du second moment dans le cas stationnaire (forme corr61ative) :

(28) E i t < O I X > I 2 i = < O , O # , F x > , V O e $ ,

[avec O # ( t ) = O* ( - - t ) ] . La covariance propre apparalt ainsi comme dgfinie positive.

c) Statistique conjolnte.

Cette 6tude de second ordre s'6tend imm6diate- ment h la statist ique conjointe de deux processus al6atoires [X > et I Y > . On utilise I 'op6rateur de covariance mutue l l e dans l'6criture symbolique

r ~ = E { t X > < Yi},

en ]e d6finissant par la propri6t6 suivante, portant cette fois-ci sur un coefficient de corr6lation, donc sur l'esp6rance matMmat ique d'une forme bili- n~aire :

(29) < O l r x Y I T > = E i < O I X > < ~ F I Y > . I ,

V[q) > et ItF > ~ go"

Nous notons que r r x = r*xr. On nomme alors r mutuelle de Ix > et I Y > l'616ment de matrice de r x r en repr6sentation-t, en affectant h c e dernier l '6criture symbolique

< tTxr t t ' > = E { X(t) | Y*(t') I"

- - I1 convient maintenant d '6tendre la notion de stationnarit6 h la stat ist ique conjointe de deux proeessus ; introduisons pour ce faire la d6finition suivante.

D6flnition 3 : Deux processus al6atoires iX >

m 7 2 - -

t. 23 no* 3-4, 1968]

et [Y > sent dits station~airement vorrgl6s lorsque les moments des deux premiers ordres du couple I < >, < "flY >} ont los mgmes valeurs que ceux du couple [ < e l f , IX > , < W[T,I Y > }, eeci quel que soit ~ et ind6pendam- ment du choix de [r > et IW > dans 8 o .

Dans cos conditions, d'une part IX > et ]Y > sent stationnaires de second ordre, d'autre part [rxr, T,] = 0, 'v',, et r x r a los propridt~s d'un filtre.

Par suite, pour deux processus stationnairement corr616s, l'616ment de matrice de r x r on repr6sen- tation-t est invariant par translation : on affectera h cette covariance mutuelle stationnaire l'6criture formelle :

= E t X(t) | Y* t - - r ]. - - I1 est utile de remarquer que la propri6t6 de

d6finition (29) ainsi que l'6criture adopt6e pour l'616ment de matrice 6quivalent aux conventions

< OIE[ IX> < YI } I~F > = E l < O1X> < Y I ~ > },

< t i E I I X > < Y l } f > = E l < f i x > < Ylt" > } .

Ceci, associ6 h la relation de fermeture des bases de repr6sentation, pr6sente l 'avantage de rendre particuli~rement ais6e la manipulation de l'op6ra- tour de covariance.

SIGNAUX D~TERMII~ISTES OU ALEATOIRES t2/25

propri6t6 (24) si M(t) se confond avec l'esp~rance matMmatique E l X(t)}: l'6criture symbolique de M(t) = < tiM > rejoint alors la r6alit6.

On retrouve de mgme h partir de la covariance de deux fonctions al6atoires X(t) et Y(t) l'expression en repr6sentation-t de la propri6t6 ( 2 9 ) - et par suite cello de (26) - - si l'616ment de matrice F~(t, t ' ) = < t[rz~]t' > s'identifie au moment E I X(t) Y*(t')}, d6nomm6 covariance mutuelle : ici 6galement l'6criture symbolique adopt6e pour P~(t, t') rejoint la r6alit6, co qui suiIit h assurer la compatibilit6 des deux formalismes.

7 . 2 . R e p r 6 s e n t a t i o n - v e t a n a l y s e h a r m o n i q u e .

Comme pr6c6demment an paragraphe 6.1, la repr6sentation-fr6quence du signal fondamental [O > est exprim6e par q~(v)= < v i e > e S, transform6e de Fourier de < t ic > . t~crivons

x(v) = < vlX > ,

la repr6sentation-v du processus al6atoire [X > ; d'apr~s ce que nous avons vu au paragraphe 6.1, chaque r6alisation particuli~re de x(v) est trans- transform6e de Fourier au sons des distributions de la r6alisation correspondante du signal-temps X(t) = < t lX > . I1 convicnt maintenant d'6tudier la statistique des deux premiers ordres de x(v).

d) Cas particulier des fonctions al~atoires.

I1 convient h c e stade de v6rifier la compatibilit6 de notre nouveau formalisme avec le formalisme traditionnel des fonctions al6atoires tel qu'il a 6t6 bSti par A. Blanc-Lapierre et R. Fortet [10]. Pour ce faire, nous nous platens dans le cas particulier off la repr6sentation-t, X(t), du processus IX > est une fonction al~atoire de second ordre, au sons de [10], qu'il n'est pas n6cessaire de supposer stationnaire. I1 est alors possible d'utiliser uno fonction de r6par- tition relative h X(t) pour b~tir a priori lo premier

moment E [ X(t)} IE X(t)ainSix*(t') I ; q u e la covariance

cos deux quantit6s, d6finies ici commos des esp6- rances math6matic[ues, ont donc un sons corres- pendant ~t leur 6criture. Dans cos conditions, le produit scalaire < O [ X > = < O , X > est uno forme lin6aire de la fonction al6atoire X(t), laquelle pout s'exprimer par une int4grale convergente en moyenne quadratique :

< O, X > = / . O* (t) X(t) dt, stoch, m.q..

Cette convergence assurant la permutabilit6 de l'int6gration et d'une esp6rance math6matique, nous trouvons

E I < O , x > l = L O * ( t ) E I X ( t ) } d t =

<r ce qui est l'expression en repr6sentation-t de la

a) Statist ique de premier ordre.

Utilisons pour la repr6sentation-fr6quence du signal moyen [M > l'6criture symbolique

E [ x(v) I ~ m(v) = < viM > ,

ce qui 6quivaut h la convention

< v [ E [ i X > } = E t < v I X > I .

De ce fait, l'expression de (24) en repr6sentation-v, qui d6coule de la r~gle d'identit6 entre produits scalaires vectoriel et fonctionnel est :

E l < % x >

- - Pla~ons-nous naire. Du fait que Fourier (cf. w 6.1,)

(30) E[ x(v) I =

vv s. darts le cas off IX > est station- m(v) et M(t) sent transform~es de , on d6duit de (25) que

~8(v) avec ~z= E ixl.

- - R e m a r q u o n s enfin que la transformation de Fourier qui relie les repr6sentations

m ( v ) = E tx(v) l et M ( t ) = E I X(t) l, s'6crit symboliquement sous la forme

9 ~ E I X t = E ~ - t X I oubien ~ - - l E I x I = E ~ - l l x l ,

et cola, que le signal soit stationnaire ou non. Autre- ment dit, consid6r6es routes deux comme des symboles d'op6rateurs agissant sur los repr6sentations espdrance mathdmatique et transformation de Fourier commutent.

- - 7 3 q

t3/25

b) Statistique conjointe de second ordre.

Soit IX > et I Y > deux processus al~atoires, de repr~sentations-~ :

x ( v ) = < v l X > et y(v)---- < v IY > . Adoptons pour l'616ment de matrice en repr6sen-

tation-v de leur op6rateur de covariance mutuelle r x r l'6eriture symbolique

< vlr~rl~' > = S { x(v) @ y* (v') I"

I1 s'agit d'une distribution certaine darts l'espace produit tensoriel v | v'. Compte tenu du graphisme de r x r , cette 6criture de son 616ment de matrice revient h adopter la convention

< vie [ IX > < Y[ }Iv' > ~ E [ < vlX > < Ylv' > }

La propri6t6 de d6finition (29)prend ainsi en repr6- sentation-v rexpression :

E [ < O I X > < Y [ W > } =

E[ << T(v) +* (v'), x(v) | y* (v') >> },

= << ~(v) +* (r E { x(v) | y* (r } >>.

Si 1'on se rapporte alors h l'expression de la mgme quantit6 en repr6sentation-t

E 1< r > < YI~F > } ~ << O(t) W* (t'),

E [ X(t) | Y* (t') >>,

on voit que la distribution E [ x(v) | y*(v') I est la transformde de Fourier bidimensionnelle de E [ X(t) | Y*(-- t') }; ceciestenti~rementconforme h la relation entre los 616ments de matrice d'un op6rateur (( v6ritable ), en repr6sentations temps et fr6quence (cf. w 6.2), ici < tlr I - c > et < lrlr >. On pout donc oublier la nature symbolique de l'op6rateur de covariance.

- - L a statistique en repr6sentation-v devient particuli~roment int6ressante lorsque IX > et [Y > sent stationnairement corrdlds (w 7Ae). Alors r x r se comporto comme un filtre lin6aire, co qui signifie qu'il commute avec tout op6ration de translation. Partant, los vecteurs de base Iv > de la repr6- sentation-v sent vecteurs propres de r x r :

(3ia) * rxr lv > = ~'xr (v)lv > .

De plus, en nous reportant h l'6tude g~n6rale des filtres effectu6e au paragTaphe 6, nous savons que la distribution valeur propre yxr(v), laquelle j ouo le rgle d'un gain complexe, est transform6e de Fourier de l'616ment de matrice < tJrxrl t --~: >, i.e. de la covariance mutuelle ; ce que nous exprimons par

(32a) yx r (v) ~ Pxr (v).

Du fait que r r x = r ~ r , cette valour propro est hermitique par rapport h ses indices, soit yrx(v) = y*xr(V). Nous lui donnerons le hem de distribution spectrale d'intdraction.

G. BONNET [ANNALES DES T~L]~COMMUNICATIONS

Enfin, l'616ment de matrice < v [ r x r [ v ' > e s t

diagonal ,co qui s'6crit

(33a) E t x(~) | y* (v') } = yxr (v) 8(v-- v').

Alors l'expression en repr6sentation-v de la pro- pri6t6 de d6finition (29) d6g6n~re et se r6duit

E[ < ~ ] X > < YIW> 1= < ~+*, yxr > .

c) Statistlque de second ordre d'un signal unique,

C e c a s se ram~ne au pr6c6dent en prenant [Y > _---- [X > , et en utilisant l'op6rateur de covariance propre r x. Nous avons ainsi

U [ x(v) ~ x* (v') I = < v[rx[v' > ,

et lorsque IX > est stationnaire de second ordre, r x devient diagonal en repr6sentation-v, ce qui donne :

(31b) rxl~ > = vx (~)t~ > .

La distribution valeur propre yx(v) est transfor- m6e de Fourier de la covariance propro

(32b) yx (v) ~ Fx (x),

et sort h d6terminer lar162 eovariance on fr6quence ))

33b) E [ x ( v ) ~ x * ( v ' ) } = Yx(v) 8(v--v').

Enfin, la forme quadratique E I [ < (I)]X >]21 s'exprime dans les deux repr6sentations temps et fr6quonce par

E{ I< r >l~ } = < r O#, r x > - < I~l~,u > .

Du fair que r x est hermitique, sa valour propre yx(v) est rgelle; mais il y a plus : la forme < @ * O#, r x > est d6finie positive pour tout r e $ aussi bien que continue pour la topologie darts 8. Donc, solon le th6or~me de Bochner- Schwartz [7], la transform6e de Fourier yx(v) de rx(x ) est la d6riv6e premiere d'une fonction r6elle monotone F(v) : la valour propre Tx(V) est une distribution positi~,e.

Terminologie. La fonction monotone F(v) s'identifie h la fonetion

de r@artition spectrale dans la terminologie de A. Blanc-Lapierre [10] ; ceci incite h d6nommer sa d6riv6e, la valour propre yx(v), distribution spectrale dnergdtique. II nous reste h mettre on 6vidence la signification physique de cette quantit6 et h constater qu'elle prolonge la notion de ~( densit6 spectralo 6nerg6tique )). Ainsi la relation (32b) de transformation de Fourier entre y et 17 apparaltra comme une extension du thdorhme de Wiener-Khint- chine.

d) Analyse harmonique.

Nous avons vu quo los representations temps et fr~quence d'un m~me signal sent li~es par une transformation de Fourier, propri6t~ qui demeure valable pour un processus al6atoire. Cette liaison, portant sur des distributions, ne pout ~tre traduite que par

m 7 4

sa c o v a r i a n c e pr6cis6es dans r6alisable ; elle sous la forme

t . 23, n ~ 3-4, 1968]

une 6galit6 de Parseval entre formes lin6aires: < r X > = < % x > . Si nous l 'exprimons cependant darts une 6criture int6grale, ce qui esr incorrect mais pout ~rre admis h titre symbolique, cette liaison entre repr6sentations proud la forme

(34a) X(t) = J~R, e~=l~t x(v) dv (6criture impropre).

Elle 6voque alors une id6e d'analyse harmonique de la fonction al6atoire - - g6n6ralis6e - - X(t). Cette pr6sentation, qui fair entrer darts un cadre unique les processus al6atoires aussi bien que d6terministes, est certes tr~s discutable du point de rue math6- matiquo, mais elle offre par sa simplification et son d6pouillement un avantage, nous pensons certain, pour le physicien. Nous nous attacherons d'ailleurs au paragraphe 8 h en d6Lerminor la signification physique concr6te en 6tudiant la r6parridon de la puissance moyenne de X(t) sur l 'axe des fr6quences et le sons profond de l'6criture (34a).

- -P lagons-nous maintenant darts le cas o6 la repr6sentation-t X(t) = < t ] X > du processus ]X > est une fonction al~atoire de second ordre. Si

est soumise h certaines conditions [10], son analyse harmonique est

fait appel h une int6grale de Stiehjes

' ' 1 4 / 2 5 S i G N A U X D E T E R M I N I S T E S OU A L E A T O I R E S

born6s. Or, nous averts vu quo la transform6e de Fourier de la covariance Px(v) est la valour propre Yx(v) et que cette derni6re est d6riv6e premi6re d'une fonction monotone : la relation pr6c6dente est en accord avec co fair si l 'on identifie cette primi- tive ~ F(v), la fonction de r6partition spectrale.

On montre 6galement [i0] que los accroissements de ~(v) poss6dent darts lo cas stationnaire los pro- pri6t6s statistiques suivantes :

E Id~(v) l = 0,

sauf 6ventuellement pour v = 0,

I = dF(v) pour v = v', E I d~(v) d~* (v')} 0 pour v 5& v',

ce qui est en accord avec les relations g6n6rales(30) er (33b), si nous tenons compte de ce que, iei :

d d x(v) = dvv~(v) et y(v) = ~ F(v),

La concordance entre les deux formalismes so trouve ainsi assur6e

(34b) X(t) ~ J w e"~i~t d~(v), stock m.q.,

off ~(v) est une fonction, 6galement al6atoire. Ainsi, si l 'on compare (34a) et (34b), la repr6sentation- fr6quence x ( v ) = < v ] X > apparalt dans ce cas comme la distribution d6riv6e premi6re de la fonction al6atoire ~(v).

Si, de plus, X(t) est stationnaire, sa covariance propre se d6compose en

Px (v) = J~w e==lv* dF(v),

o6 F(v) est la (~ fonction de r6partition spectrale )~, fonction certaine monotone et h accroissements

7 . 3 . R 4 s u m 4 .

Nous pouvons conclure de l '6tude pr6c6donte qu'il est possible et mgme fructueux de consid6rer un processus al~atoire comme un gtre abstrai t IX > pourvu des deux repr6sentations X(t) et x(v) formant une paire de Fourier. Ce processus se d6finit par la loi de l 'ensemble des variables al6atoires < r > construites sur les 616ments d6terministes [~ > du sous-espace abstraiL 80, los (c signauxfondamentaux)).

La statistique d'ordre deux fair appel ~ deux grandeurs symboliques.

a) Au premier ordre, le vecteur (c signal moyen )) 1M > = E llX > I" Son comportement et celui de sos repr6sentations s 'obtiennent facilement si l 'on admet, h t i tre formel, la convention d'6criture

< SlEI1X> }=E t < six>}, pour tout 616merit IS > ~ 8 d6terministe, y compris

TABLEAU I

GRANDEURS REPRESENTATION s-t REPRI~ SENTATION S-V AB STRAITE S

IX >

IM > = E { I X >} (signal moyen}

rxr, = E { IX > <. rl }. (operateur de covanance)

Cas stationnalre :

T~ [M > ---- ]M >

I [ rxr , T,] = o

rxrl`" > = vxr(~)l~ >

x(t) = < tlx > . - x(,,)= < ,,IX >

E { xc,) } = E {xC`')}

E { X(,) Y*(,') } E {xC`')Y'C`")}

E (X(t) Y*(t -- v) }= 1~xy(X ) ~ E {x(`'} y*{C)} = YxY(`') ~(`'-- ̀")

- - 7 5 - -

~5p5

los signaux de base des reprdsentations temps ou frdquence.

b) A u second ordre, l 'opdrateur de covariance r ~ = E t l X > < Y I I

L'dtude de ses propridtds et de celles de ses reprdsentations conduit aux mgmes r6sultats qu'une 6criture directe basde sur la convention

< SIE[ iX > < Y[} IT > ---- E } < six > < YIT > },

pour tout [S > et IT > e g, y compris les vecteurs de base It > et Iv > . Cette 6tude conjointe admet comme cas particulier celui o f i lY > = IX > .

c) La stationnarit~ correspond h l ' identit6 des propri6t6s de IX > et de TzlX > , soit au sens strict, soit limit6e aux deux premiers ordres. Xlors E IIX > ) correspond a u n signal-temps constant et r x r se comporte comme un filtrelindaire, i.e. est diagonal en repr6sentation-v, avec une valeur propre transform6e de Fourier de l'dl6ment de matrice-t. Les r6suitats principaux sent group6s darts le tableau I.

8. F I L T R A G E L I N I ~ A I R E D ' U N P R O C E S S U S A L I ~ A T O I B E

E T L O C A L I S A T I O N D E L A P U I S S A N C E M O Y E N N E .

A. Blanc-Lapierre a eu le m6rite de respecter la rigueur math6maticfue, tout en conservant un sens physique prdcieux, darts sa thdorie de ranalyse harmonique bas6e sur le filtrage des fonctions aldatoires et en particulier sur l 'utilisation de la (( formule des interf6rences )~ [10]. I1 serait regret- table qu'une prdsentation nouvelle de ce probl~me abandonn~t ce souci fondamental d 'un support physique et nous allons nous at tacher h le retrouver en consid6rant le probl~me du filtrage lin6aire des processus al6atoires abstraits, ainsi que ses impli- cations dans la dualit6 des repr6sentations temps et frdquence.

8.1 . R e l a t i o n s s ta t i s t iques de f l l trage e n t r e g r a n - deurs abstrai tes .

Soit ]X > le processus aldatoire, de signal moyen [M x > et d'opdrateur de covariance r x, transform6 dans un filtre lindaire F :

IY > = FIX > . Nous nous limiterons au cas des filtres stables, dent

la valeur propre (gain complexe) est une fonction b(v) continue presque partout , ddfinie de mani~re unique en chaque point de R, et tout au plus de croissance lente h l 'infini ; de ce fait, la transform6e [Y > existe toujours, (cf w 6.2.2.). La probl6me est alors de d6terminer le signal moyen et l 'op6rateur de covariance associ6s h [Y > .

8.~.~. A . m'e.,~er orUre, si lM~ > = E t lY >1 ddcrit le signal moyen associd ~ la transform~e, nous averts, en nous basant sur la d6finition (24)

< ~IM~ > = E I < e l Y > } = E I < r > I, VIq) > e~o-

Go BONNET [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONa

F a i s o n s i n t e r v e n i r la t r a n s f o r m d r d u (cbra) )

< (I) I dans F, autrement dit, eelle du (( ket >) [~ > dans le filtre Ft, soit

F*]r > = Iq ~ > .

On peut alors appliquer h [~F > la d6finition (24), ce qui donne (*)

< OIM r > = E I < ~ I X > I -~ < ~ lMX >

< ~IFIM x > , VI(I> > ~ 6;0.

(35) �9 ~ [M r > = F I M x > ,

o u e n c o r e

F E L I X > I = E I F I X > I-

Nous nommerons cette relatmu ~ t o r m u l e de la m o y e n n e )).

8 .1 .2 . A u s e c o n d o r d r e , c o n s i d 6 r o n s d e u x p r o -

cessus aldatoires [X 1 > et IX s > soumis respectivement aux filtres F 1 et F 2 ; faisons 6galement appel aux transform6es dans les fihres adjoints aux pr6c6- dents de deux signaux fondamentaux Ir > et

[Yk > = FklXk > et lq~k > = P~l(I>k > , (k = 1 ou 2).

Introduisons enfin les op6rateurs de covariance mutuelle des processus c( entr6e )) et (( sortie )~:

r x = E I IX1 > < X~[t et r ~ = E I IY1 > < Y2[ I"

En nous appuyant sur la ddfinition (29), nous a v e r t s

< r > = E I < (I>xlF~lXx > < X~IF~[~ > },

= E I < tF, IX1 > < X~I~F2 > }"

On peut faire jouer aux I~F~ > le rble de signaux fondamentaux (voir remarque prdc6dente) et appliquer h r ~ , en sens oppos6, la relation (29) ; ce qui donne

< r > = < w~lr~la', > --

< (I)IIF l r ~,~ F~*1% >, v [% > , )% > e So.

D'oh r6sulte l'expression de l 'opdrateur de covariance mutuelle des transformdes de deux proeessus aldatoires dans deux filtres lindaires :

(36) * r r ~" * x~ = F1 F1~ F2.

Cette relation fondamentale entre opdrateurs gdndralise en l '6tendant au domaine abstrait la

(*) En vertu de (22}, h un signal fondamental [ (I) > E 6;0 ayant pour repr6sentation-v une fonction h d6croissance rapide de respace $ correspond, par tranformation dans un filtre stable, un signal I iF > dent la repr6sentation-, est encore une fonction h ddcroissance rapide, d6finie de rnani6re unique en chaque point de R, mais dventucllement non d6rivable h tous ordres. Or, l 'analyse du paragraphe 3 indique que les repr6sentations-v des signaux de la physique ou de leurs mod~les thdoriques sent des distributions tem- p6r6es d'ordre z6ro dent les partieularit6s font que < ~F[X > a un sens. Alors les transformdes ltF > des signaux fondamentaux I~ > dans des filtres stables peuvent ~ leur tour jouer le rSle de signaux fondamentaux pour tousles proeessus al6atoires de la physique {el. remarque I du w 4.3.).

- - 76 - -

t. 23. no, 3-4,.1968] ,qIGNAU'X D E T E R M I N I S T E S O U A L I ~ A T O I R R ~

tormule des ln ter f6rences de A. Blanc-Lapiorro Ainsi, [10] 6tablie entre repr6sentations-t ; nous lui censer- (37a) cereus cette appellation. Insistons sur sa validit6 tout h fait g6n6rale qui, en particulier, n ' implique soit e n r i e n la stationnarit6 des processus (il en est d'aillours de mgme pour la formule (35) de la moyenne).

De plus, il importe de remarquer que la [ormule de la moyenne (35), ainsi que la [ormule des inter- f~rences (36) s 'appliquent h la statistique entr6e- sortie d'op6r,,teurs lin6Mres quelconques (non stationnaires) : il suffit d 'y substituer l 'op6rateur A au filtre F (sous r6serve que les 616ments de matrice de A assurent aux transform6es Aid) > des signaux fondamentaux l 'existence de fonctions de repr6sentation-v h d6croissance rapide, d6riva- bles ou non). Les deux formules pr6cit6es correspondent alors aux propri6t6s :

AEI I X > }= El A ] X > } et,

A~ E[ [X~ > < X~[} A~ = E I AI[XI > < X2]A ~ }.

a) La formule des interfdrences (36) s'applique comme cas particulier lorsque les deux fihres F~ et F~ t ransforment le m~me processus al6atoire IX > : l 'on a alors, s i r X est l 'op6rateur de covariance propre de IX >

=

b) De plus, on peut at teindre l 'op6rateur de cor mutuelle entree-sortie r x r en prenant pour Fle filtre identitd 1 (valeur propre h(v) ----- 1, Vv). Alors

(36b) r x r = r x Fr et r r x = r*xr = Frx.

c) Enfin, on d6termine la co~,ariance propre r y d'une sortie en prenant F~ ~_ F2 = F, soit :

(36c) r r = Frx Ft.

Ces conditions d'application sent rassembl6es aur la figure I.

8 . 2 . R e l a t i o n s d e f l l t r a g e e n t r e r e p r & e n t a t i o n s .

8.2.1. An premier ordre, la formule de la moyenne (35) donne :

a) en repr6sentation-fr6quence, off F est diagonal, cf (2i),

E [ y(v) I = < v ln r > = h(~) < ~IM x > .

a) r' I Ir y

l• o I• I I ly>

a) eas g6n6ral (36).

16/25

E I y(~) I = h(v) E I x(v)I,

E I h(v) x(v) I = h(v) E I x(v) I;

b) en repr6sentation-temps, en appliquant h c e

qui pr6c6de le th6or6me de Plancherel :

(37b) E I Y(t) l = ( H . E t X })m,

E I (H , X)(t) } = (H * E [ X I)m.

On obtient donc dans cette 6criture symbolique de processus la mgme formulation que pour les fonctions al6atoires.

8.2.2. Au second ordre, la formule des inter- f6rences (36) conduit aux 616ments de matrice de covariance :

- - en repr6sentation-fr4quence, 6taut donn6 l'4cri- ture symbolique de < v[rlv' > et l '6quation aux valeurs propres (21), nous aeons

(38) E l y l ( v ) @ y ~ ( v ' ) l =

h 1 (v) h~* (v') El x(v) @ x* (v') I ;

- - en repr6sentation-temps, on obtiendra la covariance E l Y(t) | Y*(t') } par t ransformation de Fourier bidimensionnelle de la distribution pr6c6dente, cf paragraphe 6.2.

8.2.3. Processus s ta t ionnMres .

Nous avons vu h propos de la statistique de second ordre des processus stationnaires Tie

]M x > = T,IMX > et r ~ = T, r ~ T~.

Sachant que l 'op6rateur de translation est un filtre lin6aire particulier et que, pour deux processus stat ionnairement corr616s, le couple I T , IX1 > , T,]X 2 > } ales m~mes propri6t6s statistiques que le couple I lX1 > , Ix~ > }, lo ait pr6c6dent est parfaitement en accord avec la formule de la moyenne et la formule des interf6rences.

Tirons maintenant de la formule des interf4rences deux importantes propri6t6s.

a) D6signons par fihres disjoints deux filtres F z et F2 tels clue F1F 2 ~ O (done de valeurs p r o p r e s

telles que hl(~ ) h2(,~ ) = 0, V~). Sachant que, pour deux processus IX1 > et IX2 > stat ionnairement corr616s, l 'op6rateur de covariance r l z commute

6) ix> r ~ IY,> I f-r

l y> r

�88

FIG. J. - - Cas d'appl icat ion de la formule des interf6rences (abstraite}. b) Entr4e commune (36 a}. c) Covariance entr6e-sortie (36b),

- - 77 - -

d- Covariance propre sortie (36c}.

6

t7/25

avec tout filtre, la formule dos interf6rences (36) donne alors dans le cas de deux filtres disjoints

(39) r , = 0 = = r l = 0 .

Done les transform6es de processus al4atoires stationnaires dans deux fihres quelconques disjoints sent non corr616es et par suite sans interaction.

b) Si IX~ > et ]X~ > sent s tat ionnairement corr616s, il r6sulte de la "d6finition 3" du paragraphe 7.1.c que tout op6rateur de translation T, commute avec r x de mgme qu'il commute avec tout filtre F. ~, En util isant cette propri6t6 dens la [ormule des interf3rences (36), nous voyons que T, r r - - 1 " r T,, Vx. Par suite les transform6es I Y1 > et ]Y~ > sent stationnairement corr616es (donc stationnaires de second ordre).

Nous pouvons doric envisager l '&ude de second ordre des repr6sentations des processus stationnaires filtr&.

a) Au premier ordre, on t ient compte de ce que E I X ( t ) } = ~, cf (25), d'ofi d'apr~s (37):

(40a) E I Y(t) } = ~z(H * l) = ~zh(0),

(40b) E J y(v) } = ~h(0) ~(v).

b) Au secotld ordre, il convient de porter l 'expression (33a) dans (38):

E { Yl (v) | y~ (v') } = h 1 (v) h~ (v') y ~ (v) ~(v-- v') --

D'ofi r6sulte la distribution spectrale d'interaction des transform6es :

(4:la) �9 "~'~ (v) h I (v) h* =

et par t ransformation de Fourier (cf (32a)) leur co~,ariance mutuelle

(4tb) �9 F ~ @ ) = ( n l , H ~ , F ~ ) ( , ) .

Lorsque les processus sent des fonctions aldatoires stationnaires de second ordre et les r4ponses percussionnelles des fonctions sommables, cette derni6re relation se r6duit bien sous forme int6grale h la formule des interf6rences de A. Blanc-Lapierre [t0] Tous les cas particuliers de la figure I peuvent 4videmment entrer dans le cadre des formules (41) pr4c4dentes.

8.3. Local i sat ion de la puissance m o y e n n e sur l 'axe des fr4quences .

Appliquons les r6sultats pr4c6dents au cas particulier de filtres passe-ban& iddaux (bande passante 2B, fr6eluence centrale re) dent le gain complexe est d6crit par

h(v) = l ib (v-- re),

avec liB(v) = i si v e [ - - B , + B ] ; = 0 si non. Pour deux processus al6atoires IX1 > et [X~ > stationnairement corr~lds, la formule des interf4rences

G. B O N N E T [ANNALES DI~$ T~LI~COMM~NI[CA11ONS

en repr6sentation-v (41a) donne l 'expression suivante de la distribution spectrale d ' interaction des trans- form4es [Y1 > et [Y2 > d a n s le mgme filtre passe- bande,

(42 ) = I I B

(ceci parce qua II~ = liB).

8.3.1. Puissance moyenBe d'ua processus.

La formule (42) s 'applique 6videmment h un processus IX > stationnaire de second ordre et fournit alors la distribution spcctrale 6nerg6tique do sa transform6e dans un filtre passe-bande id6al,

~'r (~) = IIB (~-- ~0) "& (v).

Cette quantit6 est donc une distribution h support born6 et par suite sa transform6e de Fourier, la covariance propre Fr(~), est une fonction ind~finiment d&ivable (done continue et born6e h l'origine) qu'on peut exprimer, d 'apr& L. Schwartz [7] par :

p r (~) = < e - ~ l ~ , Yr (~) > =

< e - ~ i ~ r l ib (V-- re), yX (v) > .

Par suite, quel que soit le processus stationnaire de second ordre iX > , sa transform4e I Y > d a n s un passe-bande id6al a pour repr6sentation-t une fonction aldatoire stationnaire de second ordre au sens de [10]. On sait que la puissance moyenne de cette derni6re grandeur est donn6e par Fr(0), qui a ici un sens. D'apr6s les conclusions du paragraphe 7.1d, nous pouvons donc 6crire la puissance moyenne du signal-temps < t I Y > :

WB (re) = P r (0) ~ E I IY(t)l 2 I

= < IIB (v - - v0), y x (v) > ,

soit encore :

(43a) �9 WB (re) = (HB * yx)(v.~,

f vo+B (= ./~o-B ~'x (v) dr, en &riture impropre).

a) Ce r&ul ta t correspond 6galement h Texpres- sion de la fraction W,(vo) de puissance moyenne du processus [X > affectdc h la bande de frdquences [re - - B, Vo + B]. Ce qui est remarquable, c'est que WB(vo) a un sens m~me si la puissance moyenne globale n'est pas d6finic.

b) - - Si 7x(v) est une fonction continue en vo :

lim WB (re) = 2B.Tx (v0), B----~0

propridt6 d'une densit6 spectrale. - - S i 7x(V) contient une distribution de Dirac

~.o~(V - - v0) centrde sur v o (avec en plus, 6ventuelle- merit, une contribution continue en v0) :

lira WB (re) = Y0- B---~0

- -Tx(v) ne saurait prendre un autre aspect, puisque nous sevens (cf. w 7.2C) qu'elle est la ddrivde premiere de la fonction de rdpartit ion spectrale.

- - 78 m

t. 23, no, 3-4, 1968]

Se trouve ainsi justifi6o physiquement la d6no- ruination de distribution spectrale ~ n e r ~ - tique pour la valour propre %(v) de l 'op6rateur stationnaire de covariance.

c) Nous avons vu h propos de (39) que los trans- form6es de IX > dans deux filtres disjoints sent de covarianco hullo. On exprime ici ce fair on disant (cf [10] p. 380) que la puissance moyenne d'un processus aldatoire stationnaire est localisable sur l'axe des [rdquenees (mgme si sa valour globale n'ost pas d6finie).

8.3.2. Puissance rnoyenne d'interaction de deux processus.

La puissance moyonne d ' interaction de deux fonotions al6atoires s tat ionnairement corr616es ct de covarianco mutuelle uniform6ment continue est donn6e par 2 R e * r r ( 0 ) = 2 R e E I Y ~ ( t ) Y.~(t)]. Ce cas est colui des transform6es de deux procossus stationnaires do second ordre quelconquos dans le mgmo filtro passe-bande id6al : leur covariance mutuelle est en effet une fonction ind6finiment d6rivablo (la transform6e de Fourier de Tr(v), cf (42), qui est une distribution h support born6) que nous 6crivons

r ~ (z) = < e -2~tw H~ (v - - %), T~ (v) > .

Co qui donne la fraction de puissance moyenno d ' interaction de deux processus IXx > ot IX2 > affect6e h la bande de fr6quence [v 0 - - B, v 0 + B] :

(43b) W~ ~ (v0) = 2Re r ~ (0) = 2 R e ( I I ~ . T~)(~o).X

Cette quanti t6 poss~do los mgmes caract6ristiques clue W~(v0) lorsque B --> 0. Elle a toujours un sons, m~me si la puissance d' interaction globale n'est pas d6finie ; de plus d'aprbs (39), elle est localisable sur l 'axe des fr6quences. La d6nomination distribution spectrale d'interaction pour la valour propre ~,~(v) de l 'op6rateur de covariance mutuelle se trouve ainsi justifi6e.

8.3.3. Analyse harmonique. Toutes los pro- pri6t6s physiques de d6composition spectralo qui pr6c6dent sent issues du caract6ro de la repr6sen- tation-fr6quenco x(v) d 'un procossus al6atoire stationnaire, puisque bas6os sur la relation

E [ x~ (v) x[ (v') } = ~f~ (v) ~(v-- v').

Nous avons d6jh 6voqu6 l'intdrgt qu'il y aurait h conse rve r - -mgmo dans un sons a b u s i f - la terminologie (r d 'analyse harmonique >, pour 6voquer la transformation de Fourier qui relic los deux repr6- sontations t ot v. II nous rosto a apporter uno certaine justification h cette at t i tude.

D6composons l 'axe des fr6quences en intervalles disjoints et adjacents de m~me largeur Av. L'emploi d 'un filtre passo-bando id6al modifi6 de gain H~v ( v - v~) (off II~(v) a maintenant pour support l ' intervalle [ - - Av, -~ Av[ semi-fermd) permet d'isolor chaque transform6e IAY~ > de IX > correspon-

,qIGNA.UX DI~TERMINISTES OU ALI~ATOIRES 18/25

dant h l ' intervalle de rang k. Du fait que los repr6- sentations-v de cos transform6es sent dos distributions h support born6, nous pouvons los exprimer en repr6sentation-temps par des fonctions, qui sent

(44) AYk (t) = (1-[~v (v) * e 2mvt x(v))cv;tb

et la repr6sentation-temps X(t) du processus [X > apparalt comme 6tant la somme de telles contribu- tions spectrales, X ( t ) = ~ AYe(t), que l 'on pout

k rendre aussi proches quo l 'on veut du monochro- matisme. C'ost bien cotte d6composition qu '6voque l'6criture impropre de l 'analyse harmonique

X(t) = ~ , e 21:ivt x(v) dr,

(laquello 6quivaut ~ supprimor la n6eessaire rdgula- risation de la distr ibution x(v) par 1-I~ et h passer

la limite Av--+ 0). La formulation (44) ost valablo sans modification

pour un signal certain, co qui pormet de faire entrer darts un cadre unique 1'<< analyse harmonique ~ des processus alfatoires aussi bien que d6terministos.

8.4. Filtres de d6rivation=temps et d6riv6es de processus al6atoires.

8.4.i. Filtre de d6rivation=temps. I1 s 'agit d 'un filtro lin6airo D t dent r616mont do matrice- temps (r6ponso percussionnolle) sera par d6finition la d6riv6e premi6re de la distribution do Dirac :

< tlDtl0 > = 8' (t).

Sa valour propre (gain complexe) est la transfor- m6e de Fourier de 8', soit 2=iv :

Dtlv > = 2Tziv Lv > .

Le filtre it&g D~' a done une valour propro (27dr)" et un gain complexe 8(~)(t) : c'ost un (r filtre stable >~. On obtient imm6diatement la relation de composition D~ D~' = D~ '+" et la propri6t6 D~' F = FD~' pour tout filtre F :

Le filtre adjoint D~" a de son c6t6 la valour propre ( - -2~iv)" et done une r6ponse percussionnelle (--)~ ~(n)(t) ; par suite

Dr*" = (--)" Dr, (n entier positif).

De ce qui pr6c6de, r6sulte que Faction do D~' sur un signal d6terministo IX > ~ 8 donne, d'apr6s la formule de Vaschy (13), un signal ayant pour repr6sentation-t

< tID~]X > = (~r ~k X)ct) = X (t).

C'est la <c d6riv6e d'ordro n )~ de X(t), qui oxiste toujours au sons des distributions. Enfin, en repr6- sontation-~

< vlDpIX > = (2=b)" x(~).

8.4.2. D6rivdes des processus al6atoires.

Soit I q~ % ~ 8 o un signal fondamental d6ter- ministe et I~Fn > = D~'I(I) > sa transform6e par le filtre D r ; I~F~ > est doric h son tour un signal

- - 79 - -

19/25

fondamental de ~0. Nous d6finirons lacc ddrivde d'ordre n, ~ [Y. > , d'un processus aldatoire ]X > par le fait que la fonction de rdpartition de la varia- ble aldatoire < (I)[ Yn > est identique h celle de (--)" < ~F, IX > , quel que soit le choix de [q) > dans 80.

0r, nous avons

< ~Fd = < q)lDt r = (--)~ < (I)lDr.

I1 en rdsulte que

< ' I ' . l x > = < r X >

peut gtre consid6rde dgalement comme le produit scalaire de [ r et de D ~ [ X > : c'est dire que la ddriv~e I Yn > s'assimile encore, dans le cas al6atoire, h Faction du filtre D~' sur le proeessus I X > :

IY. > = D~'IX > .

a) La formule de la moyenne (35) donne alors la statistique de premier ordre

E I I Y n > } = D ? I M > ,

et la formule des interfdrences (36) fournit l'opdrateur de covariance mutuelle des ddrivdes I Y~ > et IY~ > de deux processus ]X' > et IX 2 > , soit

r}~ = D~ r ~ Dr" = (--)- Di" r ~ D?.

b) Si IX1 > et ]XS > sont stationnairement corrdl&, les formules prdc6dents conduisent :

en repr6sentation-v, en vertu de (30) et de (33a), h

E [ y . ( v ) ] - - O , n~>l , (puisquev"~(v)~O),

E I Y h (v) @ y~* (v t) } = (_)n (2=iv)-+. y~ (u) 8(~-- v') ;

- - e n reprdsentation-t, en dcrivant

(d). Yn(t) = ~ X(t),

l ) " E ~T X(r. - -0 , n / > l ,

E l ( d ) ' n X l ( t ) @ ( d ) " x ~ * ( t - - r

/ d~ "+" (-)"

ce qui rejoint, en les 6tendant, les propridtds de eorr61ation des ddrivdes stochastiques de fonetions alfiatoires [t0].

8.5. U ne interprdtat ion des op6rateurs de c o v a - riance.

Nous avons vu au paragraphe 7.1b que l'opdrateur de covariance poss6de dans le cas stationnaire toutes les propridtds d'un filtre lindaire. Ce comportement d'uno grandeur essentiellement statistique

G. B O N N E T [ANNALES DES TI~L~COMMUNICATIONS

qui, intrins~quement, est lide h la nature d'un signal, apparalt done comme assez insolite. C'est ce qui nous incite h rechercher la nature profonde du filtre auquel semble se rattacher cet op6rateur.

a) Nous obtiendrons l'interpr6tation physique recherchde en consid6rant le cas du filtrage d'un proeessus aldatoire particulier : nommons p r o c e s s u s it corrdlatton mtcroscop lque (ou bruit blanc) un processus ]X o > stationnaire et centr6 dont l'opdrateur de covariance propre r0 est propor- tionnel h l'opdrateur identitd. Pour simplifier, rdduisons la proportionnalit6 h l'unitd en posant

(45) r 0= E I Ix 0 > < X 0 [ }=1.

Par suite, la valeur propre ~,o(V) (distribution spectrale dnerg6tique) vaut I pour tout v. Si maintenant IX o > est transformd dans un filtre lin6aire F (de valeur p r o p r e - ou gain c o m p l e x e - h(v)), la formule des interfdrences (36) donne pour l'op6- rateur de covariance propro de [Z > = FIX 0 > l'expression

r z = F F t .

Cet opdrateur s'assimile h un filtre, celui qui rdsulte de la composition de F et de son adjoint ; il apparait comme hermiticfue et ayant comme valeur propre une distribution positive et done un 61dment de matrice-temps ddfini positif, ce qui correspond aux propridt6s mises en dvidence au paragraphe 7.i.

b) Si ]X > est un processus stationnaire quelconque (suppos6 centr6 pour simplifier) d'opdrateur de covariance r x et de distribution spectrale dnergdtique (valeur propre) ,fx(v), ce proeessus aura les mgmes propridtds statistiques de second ordre que la transformde [Z > = FIX o > du processus i~ corrdlation microscopique IX0 > dans un filtre lindaire F, sous rdserve que ce dernier soit tel que

(46a) r x = leFt.

C'est en quoi un opdrateur stationnaire de covariance propre s'assimile d u n filtre hermitique positif

c) Soit deux processus centr6s IX1 > et IX 2 > stationnairement corrdlds, ayant pour op6rateurs de covariance propre r~ , r X et pour op6rateur de 22 covariance mutuelle r~ . Ces processus ont dans leur ensemble mgme statistique de second ordre que les transformdes du processus IX 0 > h corrdlation microscopique dans deux filtres lindaires F 1 et F~ tels que r~-- FI F~ et PXs2: FsFsr et de plus

(46b) r X r : . 12 ~ F1

Ce qui est bien conforme h la propridtd :

et fournit une interprdtation de l'opdrateur de covariance stationnaire mutuclle dans le cadre d'une assimilation ~ un filtre. Si 7x(v) est la distribution spectrale d'interaction (valeur propre) et Fx(x) la covariance mutuelle, les gains complexes

- - 80 N

t. 23, n ~ 3-4, 1968]

et r6ponses percussionnelles doivent satisfaire aux conditions suivantes, d6duites de (46b) :

= h* 2

r~2 (~)= (H1 * H#)m.

Sans nous attacher aux conditions m~me d'existence des solutions de ce probl~me de synth~se de r6seaux, remarquons que y~(v) n'a un sens que si au moins l'une des deux quantit6s hl(v ) ou h2(v ) est une fonction.

d) La condition (46a) n'implique aucune liaison statistique particuli~re entre le processus donn6

I X > et le processus h corr61ation microscopique X 0 > . Autrement dit, la covariance mutuelle

entre IX > et [X o > est ind6termin6e. On peut mettre h profit cette libert6 pour chercher h r6aliser uno distance nulle entre [X > et son 6quivalent au second ordre [Z > : FIX o > .

Pour introduire la notion de distance nulle, utilisons le vecteur diff6rence

I A > = I X > - - I z > = I x > - - F I X o > ,

et 61aborons avec un signal fondamental [(I)> quelconque la forme quadratique

E [ I < O I A > 2 1 .

Nous dirons que la distance quadratique entre IX > et [Z > est nulle si la forme guadratique pr~- e6dente s'annule pour tout choix de IO > dans ~o. Or, en vertu de (46a) et du fait flue rxz : rxx ~ F t (of (36b)) nous averts

E [ I< ,vIA > 1 ' : < 2 v F , - rx . r , - Frx, I Io > .

Par suite, la distance quadratique entre IX > et FIX o > sera nulle si nous adoptons pour Fop@a- teur de covariance mutuelle entre [X o > et IX > la contrainte

(47) rxx , = F,

ce qui, d'apr6s le cas particulier (36b) de la formule des interf6rences, 6quivaut h rxx ' = rzx o.

Ainsi (46a) et (47) donnent-elles les conditions pour qu'un processus stationnaire IX > quelconque et la transformde FIX 0 > d'un processus IX 0 > h corr61ation microscopique dans un fiitre lin6aire aient m6me op6rateur de covariance propre et aient entre eux une distance quadratique nulle.

8.6. R6sum~.

Le traitement lin6aire d'un processus al6atoire IX > par un (ou plusieurs) fihre F conduit h des transform6es I Y > = FIX > dont la statistique des deux premiers ordres d6coule uniquement de la statistique correspondante du processus d'entr~e IX > : c'est la propridt~ d'autonomie de l'~tude de second ordre.

La formule de la moyenne (35) donne le signal moyen apr~s filtrage, alors que la formule des inter- f6rences (36) fournit l'op6rateur de covariance des

S I G N A U X D I ~ T E R M I N I S T E $ OU ALI~ATOIBES 20/25 transform6es. Elles correspondent aux conventions d'6criture

El FIX > I = FE [IX > I,

et

E [ FIIX1 > < X IF * t = vl E [ IX, > < X2[ I F2 r

Si nous leur adjoignons les propri6t6s 6voqu6es dans le r6sum6 paragraphe 7.3, nous en tirons une r6gle pratique particuli6rement simple: le faR, exprim6 dans un langage imag6, que e E [ I e s t permeable tant aux signaux certatns de 8 qu'aux op6rateurs lin6alres ~.

a) La formule des interferences (36) est fondamentale en ce sens qu'ellc r6soud tousles probl6mes de second ordre associ6s h u n traitement lin6aire (Fig. I). Elle montre en particulier que deux processus stationnairement corr616s conduisent h des processus filtr6s conservant la mgme propri6t6 et que l'op6rateur de covariance mutuelle des trans- form6es est l'op6rateur nul lorsque les filtres sent disjoints.

b) L'op6ratour antihermitique D t de dgrivation- temps est un filtre lin6aire particulier qui conduit, par it6ration, aux d6riv6es stochastiques de tous ordres d'un processus. Une simple application de la formule des interf6rences d6termir/e directement l'op6rateur de covariance des d6riv6es, d'ofi r6sulte en particulier sa reprdsentation-temps

E[ X ''~ (t)X('* (t')I"

c) L'6tude, darts le cas stationnaire, de la r~partition spectrale de la puissance moyenne d'interaction (resp. puissance moyenne propre) montre que cette grandeur est localisable sur l'axe des fr6quen- ces. La puissance moyenne Ws(%) affect6e h une bande 2B autour d'une fr6quence v0 est directement li6e, voir (43), h la valeur propre y(v) de rop6rateur de covariance, laquelle justifie ainsi l'appelation propos6e de , distribution spectrale d'interaction )~ (resp. distribution spectrale 6nerg6tique). I1 s'av~re qu'on peut toujours exprimer la puissance moyenne relative h une bande de frdquences 17nie alors m6me que la notion de puissance moyenne relative h l'ensemble de deux (resp. h u n seul) processus peut ne pas avoir de sens.

d) l Ja notion de processus h correlation microscopique IX o > , dent l'op6rateur de covariance est neutre, permet de mieux comprendre pour quelle raison un op6rateur de covariance quelconque se comporte, dans le cas stationnaire, comme un fihre lin6aire :

Si F est le filtre transformant IX 0 > en un processus de m6me op6rateur de covariance r x qu'un processus donn6 IX > , on dolt avoir F x = FF~, quantit6 qui repr6sente bien un filtre hermitique positif. De plus, la distance quadratique entre le processus IX > donn6 et son 6quivalent de second ordre FIX 0 > est rendue nulle si l'on choisit Fxx ~ -- F pour opdrateur de covariance mutuelle de [X > et ]X 0 > . Une telle assimilation s'6tend

~I __

2t/25 G. B O N N E T

TABLEAU I]

[ANNALES DES TI~L~COMMUNICATIONS

GRANDEURS REPRI~ SENTATION-t REPIt~SENTATION-V AR STRAITE S

F (opdrateur filtre)

[Y > = FIX > [ M r > = F [ M X >

{Moyenne) = F;

(Interferences)

Cas stationnaire : IM r > = FIMX >

r1~ = F~ rls Fs W~(vo)

V~ = (--)~ Dt" (op. d~rivation-temps)

~ r i x >

< tiF[0 > = H(t) ~ - < v FIV > = h(v) 8(v - - v'} F v >----h('~)[,J >

u = (H * X)(t) ~ - Yiv) = h(v} x(v)

E {Y(t)}---- (H * E {X})(,)~- E {y(v) } = h(v} E {x(v) }

E { Yl(t) Y~(t'} } ~ E { y,(v) y*(C) )= h1('~) hl(v'} E { x~(v) x~*(v') }

puissance moyenne :

E { Y(t} } = ~zh(0) ~- E { y(v} } = [zh(0) ~(v)

Y~(z) = (H 1 * H~ * I'lX~)(z ) = y~ (v )= h,(v)h;(v) T~(v)

WB(Vo) = (1-IB * ,tX)(~.l

~(m(t) ~ (2giv)"

X t*~ ( t)= (d)'~ X(t).~-(27riv) A x(v)

/dl'+" E { X~ ~ (t) X~ "~* (t - - ~) } = (--)" ~ / r(,~ (~) ~_ ( - - ) - (2~i~) ~ + . ~ ( ~ )

h la statistique d'ensemble de deux processus stationnairement corrdl6s.

Les rdsultats principaux de ce paragraphe 8 sent rassembl6s dam le tableau II.

9. S I G N A U X D ~ . T E B M I N I S T E S E T O P ~ R A T E U B D E C O R B ] ~ L A T I O N .

L'6tude de la rdpartition spectrale de l'dnergie ou de la puissance moyenne des signaux ddterministes a 6td faite par N. Wiener [6] h qui l'on doit la notion de [onction de corrdlation. Sa thdorie dtait basde sur l'emploi de l'intdgrale de Stieltjes e t a 6td reprise par J. Arsac Il l] an moyen de la thdorie des distributions. Ce qui ne peut manquer de frapper dans ce domaine est l'analogie considdrable qui existe entre, d'une part fonction de corrdlation et rdpartition spectrale de l'dnergie d'un signal d6ter- ministe et, d'autre part, covariance et distribution spectrale 6nergdtique d'un signal aldatoire stationnaire. I1 est vrai qu'un signal d6terministe IX > peut bien ~tre consid6r6 comme une rdalisation particuli~re [X, e 0 > d'un signal aldatoire IX, e > associd h une certaine cat6gorie d'dpreuves C ; mais il n 'y a aucune raison a priori, bien au contraire d'attribuer un caract6re stationnaire h la covariance de X(t) et par suite il sera en gdndral impossible d'invoquer le thdor~me ergodique pour relier des grandeurs de second ordre (dnergdtiques), ddter- mindes par une moyenne temporelle sur la rdalisation IX, Co > , h des grandeurs analogues de carac- t6re statistique assocides au processus aldatoire sous-jacent (ou consid6r6 comme tel).

On est done conduit, malgr4 tout, h considdrer

deux doctrines diffdrentes pour d6finir des grandeurs qui finalement sent de m~me esphce, suivant qu'on se trouve en prdsence de signaux al6atoires stationnaires, ou bien de signaux certains. Cependant, il est de toute dvidence ndcessaire, par souei de cohd- rence, de s'efforcer d'adopter dans l'un et l 'autre cas des ddfinitions que l'ergodisme rende 6quiva- lentes, lorscIue la mdthode destinde aux signaux ddterministes est appliqude h une rdalisation particuli~re d'un signal aldatoire stationnaire d'ordre deux. I1 faut donc, pour traduire le concept de fonction de corr61ation, laquelle joue un rSle analogue h celui d'une covariance, adopter la ddfinition la plus convenable. Un tel souci correspond h uric obligation absolue pour l'expdrimentateur, amend h utiliser des a p p a r e i l s - corrglateurs ou a n a l y s e u r s - qui rdalisent bien entendu le mgme traitement, inddpendamment du fait que les signaux d'entrde sent (c vraiment )~ ddterministes ou pro- viennent d'un phdnom~ne aldatoire.

Nous allons nous pencher rapidement sur ce problgme, en mettant l'accent sur les considdrations dnergdtiques, h notre point de vue primordiales.

9 A . R ~ p a r t i t i o n s p e c t r a l e de la p u i s s a n c e m o y e n n e d ' u n s i g n a l d ~ t e r m i n i s t e ,

a) Si deux s ignaux cer ta ins IX 1 > et ]X~ > de l'espace 8 (ou le mgme signal) sent transformds dans les filtres lindaires F 1 et F~, le produit scalaire des signaux de sortie Iu > et I Y~ > s'exprime par

< Yx[Y~ > = < X~IF~ lt21X2 > .

- - 82 - -

t . 23, n* ' 3-4, 1968]

Par suite, si los filtres sent disjoints, au sons du paragraphe 8.2.2, on a

(48) F 1F 2 = 0 ~ < YIIY2>=O.

Los signaux de sortie sent alors orthogonaux et ne poss~dent pas d'~nergie d'interaction ; de plus, louts repr6sentations sent des fonctions (g6n6ra- lis6es) orthogonales.

b) Consid6rons un filtre passe-bande id6al, du type 6tudi6 au paragraphe 8.3, avec une bande passanto 2B at une fr6quence centrale %. Soit x Y > la transform6e duns ce filtre d'un signal

> e 8 d6terministe ; sa repr6sentation-fr6fluence y(v) s'exprime en fonction de cello, x(v), de IX > sous la forme

(49) y(v) = II~ (v-- Vo) x(v).

C'est une distribution h support born6 et par suite la repr6sentation-temps Y(t) est une fonction inddfiniment &iriqable, continue et born6e, sur laquelle nous pouvons d~finir une puissance moyenne WB(V0).

C) On a 6voqu6 au paragraphet le fait que l'6ner- gie d'un signal normalisable I Z > e 8~ c ~ est donn6e par le carr6 de sa norme < Z]Z > = HZ]I ~. Le mgme signal, tronqu6 dans l'intervalle de temps [-- T, + T], est exprim6 par la projection PT[Z >, oh Pr est le projecteur ddcrit par (3a) au paragraphe 2, dont la valeur propre en reprdsentation-temps est la fonction projectrice IIr(t ) d4finie par (5): Prlt > = HT!t > . Comme P ; Pa' -= P~. = PT (voir plus loin paragraphe 9.3), il en r6sulte flue l'6nergie de P , l z > v a u t < ZlP IZ > ; par suite la puissance moyenne de [Z > dans l'intervalle de temps [-- T, q- T] est 6gale h (1/2T) < zlp lg >.

Los propri6t6s 6voqu6es de la repr6sentation- temps Y(t) de la transform6e de tout signal certain IX > e G dans un filtre passc-bande id6al permettent d'exprimer la puissance moyenne de I Y > dans l'intervalle de temps [ - - T , - ~ T] par une expression similaire. En passant h la limite T---> oo, nous obtenons la puissance moyenne le I Y > s o u s la forme :

t ( 5 0 a ) W/~(v0) = J i m ~ < YIPriY > =

T-->oo ~'1'

lim ~ < l-IF Y, Y > ~ lim ~-7~ ]Y(t)[ 2dt. T.-->oo T ~ o o

En utilisant la relation de Parseval sur la forme lin6airo, jointe au th6or~me de Plancherel, nous obtenons pour cette puissance moyenne Ws(%) l'expression 6fluivalente

1 (50b) WB(v0)= lim ~ < ( 7 : r * y ) , y > ,

T-->oo 2 1

off rq,(v) est la transform6e de Fourier de la projectrice IIr(t) soit:

sin 2root (5t) 7~r(v) = 2T 2nw~ ~ II~,(t),

a r e a

lira 7z~(v) = ~(v)~ T--->~

S I G N A U X D E T E R M I N I S T E S OU ALI~ATOIRES 22/25 laquelle est ~galement l'~l~ment de matrice-v, . ,(~) = < vIP~[O > , du projecteur.

1 Nous voyons flue ~ ~T(v) n'est sensible flue dans

un intervalle de l'ordre de quelques multiples de l I T ; ce flui fait flue, lorsflue T---> oo,, le produit

t de convolution 2-~ (=r * Y)(,I tend ~ avoir 1r

mgme support flue celui de y(v), soit d'apr~s (49) le mgme flue celui de I I B ( v - %). Cette remarflue permet de simplifier l'expression du produit scalaire (50b) lorsqu'on y remplace y(v) par sa valour (49), en l'6crivant

l WB(v0) = lim ~ < (~r * x)cv), IIB(v-- v0) x(v) > ,

t = lira ~ < IIB(~-- v0), (rc~, * x*)(v~ x(v) > .

T-->oo

Alors, la comparaison avec l'expression (43a) relative aux processus al6atoires incite ~ 6trite cette puissance moyenne sous la mgme forme :

(43a) Wa(v0) = (HB * 7x)(v,),

ce que hens obtenons on posant

l (52) * 7x(V) = llm q~ (nr * x*)r x(v).

T-->oo

Cette distribution 7x(v) joue ainsi, darts ce cadre d6terministe, exactement le mgme rble flu'uric distribution spectrale 6nergdtlque, et il est ais6 do voir qu'elle poss~de la mgme propri6t6 d'gtre une distribution positi~,e. De plus, los propri6- t6s d'orthogonalit6 flue nous avons rencontr6es h la sortie de deux fihres disjoints, voir (48), montrent flue, darts cecas encore, la puissance moyenne esL localisable sur l'axe des frdquences. Remarquons enfin flue la fluantit6 W,(%), flui repr6sente la fraction de puissance moyenne du signal certain IX > affect6e h la bande de fr6fluences [% ~ B, v0 q-B], existe toujours quol flue soit IX > e 8, m~me si la puissance moyenne globale de IX > n'a pas do sons.

d) I1 est ais6 d'introduire une fluantit6 jouant un rble similaire h celui d'une distribution spectrale d'interaction relativement h deux signaux d6ter- ministes IX1 > et IX2 > . On a 6voqu6 au paragraphe 3.1 le fair flue l'6nergie d'interaction est li6e au produit scalaire et l'on prendra pour puissance moyenne d' interaction la fluantit6

i W~'(v0) = 2Re lim ~ < YllPrlY ~ > =

T ~

i 2Re lim ~ < 1-ITYI, Y2>,

T--)-oo

relative aux transform6es I Y1 > et I Y~ > des signaux dans deux fihres. En utilisant alors los propri6t6s des filtres passe-bande id6aux, un raisonnement similaire au pr6c~dent nous conduit h une formulation identiquo h cello ayant trait aux processus al6atoires, h savoir

(43b) W]~(%) = 2Re(II~. ~'~)~,.),

- - 8 3 - -

23/25

pour la puissance moyenne d'interaction W~(v0) affect6e h la bande [ % - - B , v o + B], grandeur localisable sur l'axe des frdquences. Pour cola on prend comme distribution spectrnle d'internc- t/on la quantit6

1 = ~;)~,~ (53) �9 V~(v) lim ~-~ (r~f * xx (v),

qui poss~de bien la propri6t6 ~1 = Y~*-

9.2. Fonction de correlation.

Par analogie avec le th~or~me de Wiener-Khint- chine et son prolongement aux processus-distributions (of paragraphe 7.2c), nous sommes conduits tout naturellement h rechercher la transform6e de Fourier de la distribution speetrale ~x(V), telle qu'elle est exprim6e par (52). Ce qni donne, en utilisant le thgor~me de Plancherel et le fait que

1 (54) �9 Fx(x)= lim ~(1-IfX~*X)~,~_~

lim @ (Fir X . X'#h,~,

relation dans laquelle, rappelons-le,

X# (t) = X* (-- t) = < X { - t > ,

est le signal-temps adjoint de X(t). Exprim6e dans l'6criture (en g6n6ral impropre) d'une int6grale, cette expression devient cello de N. Wiener [6] :

(54a) Fx (x) = lim ~ X(t) X* (t-- ~) dt. f.---><~

a) Du fait clue sa transform6e de Fourier est une distribution positive, Fx(V ) est d3finie positive et poss~de les mgmes propri6t6s qu'une covariancc. Par convention, nous nommerons la distribution Ix(x ) d~crite par (54) fonction de corr61ntlon (g~n~ralis6e) du signal certain {X > : il semblerait pr6f6rable de r6server cette d6nomination aux signaux d6terministes, la notion analogue de covariance appartenant aux signaux al6atoires stationnaires.

Remarquons bien que la mani6re dont la fonction de corr61ation a 6t6 introd~ite ici d&oule logique- ment de consid6rations 6nerg6tiques et gvite ainsi tout a priori.

b) Lorsqu'il s'agit de traduire l'interaction de deux signaux dgterministes [Xx > et IX2 > la transformation inverse de Fourier de la distribution spectrale (53) conduit h la fotwtton d'hrtercorrg- lation (ggn6ralis6e)

(55) Px r (x) = lim 2~ ([If X z , X~)(,). f ~

9.3. Op&ateur de correlation.

a) Op~rateur de projection.

Reprenons la d6finition de l'op6rateur de projection ou projecteur :

(3a) P r = [ t > d t < : t [ =~ lira P r = l .

G. B O N N E T [ANNAI[,I~S DES TI~LI~COMMUNIC-~TIONS

I1 en r6sulte imm~diatement, compte tenu de la relation (4), l'61~ment de matrice-t

(56) < ttPr[t' > = Hr (t) 8(t-- t'),

qui montre que le projecteur est diagonal en repr~- sentatlon-temps, ayant pour valeur propre la projectrice Hr(t) ; par suite Pf = P~, est hermitique et l'on a P~, = Pr pour tout entier n positif. On d6duit de (56) la repr6sentation-t de Faction de P f sur un signal IX > ce qui donne

(57) < tlPflX > = II~ (t) X(t),

[=X(t) si t ~ [ - - T , + T ] ; = 0 s i n o n ] .

De son c5t6, l'616ment de matrice-,J se d~duit de la d6finition (3a), en tenant compte de la propri6t6 (14), soit

(58) < ~IPrI~' > = ~r (~-- v'),

o5 =f(v) est d~crit par (51). I1 ell r6sulte la repr6- sentation-v de PflX > , transform6e de Fourier de (5%

(59) < ~lPflX > = (=r �9 x),~,.

b) Op6rateur de corrdlation.

60) �9

d'un certain op$rateur de

(61) �9 ~ =

Nous avons

I1 r6suhe de (59) que la distribution spectrale d'interaction (53) de deux signaux certains {XI> et {X2 > pout &re consid6r6e comme l'616ment diagonal de la matrice de repr6sentation-v,

~ (~) = < ~1~1~ > ,

op~rateur ~'~f~ que nous nommerons corrdlation et qui est decrit par :

lim 2~ PTIXI > < X~[Pr. f ~

en effet :

1 lira 2-T (~r * xx)(vl (= f * x,)c~) -~

T--->~

t lim 2-T xl (v) (~f * x,)(v~,

si nous tenons compte de ce que lira ~T(,~) = ~(.~). T ~

L'616ment do matrice en repr6sentation4 de cot opgrateur de corr61ation s'exprime alors, compte tenu de (57), par

[If (t) Xl (t) | x l (t'),

si l'on tient compte de ceque lira HT(t ) = t, Vt. T ~

Par suite, la e fonetion d'intercorr61ation ~ (55) apparalt comme &ant la trace

(62) �9 r x l'r) = T,-tP-,x~, Tr162

de l'op6rateur compos6 ~ T ~ dent l'616ment diagonal de matrice est, suivant (t0a)

lim I lIT (t) X 1 (t) @ X~ (t--x). T---><~

84

t. 23, n ~ 3-4, 1968]

On obtient par le mgme raisonnement des formu- lations similaires pour la fonction d'autocorr61ation et la distribution spectrale 6nerg6tique d'un signal d6terministe unique.

c) Forra.le des interfdrences.

Si I Y1 > et I Y2 > sent los transform6es dans deux fihres lin6aires stables F 1 et F 2 de deux signaux certains IX 1 > et IX 2 > d 'op6rateur de corr61a- tion ~ x , nous avons

(63) IY 1 > = FIIX 1 > et < Y2, = < X2IF~.

Or, du fait que lira PT = 1 en ver tu de la rela- T ~

tion de fermeture (3), nous avons la relation de commutat ion lim [F, PT] = O. I1 en r6suhe flue

T-->oo l 'opdratenr de corr61ation des transform6es s'exprime, 6taut donn6 la d6finition (61) et l '6criture (63), sous la forme :

~ = lim ~_t P T F I I X I > < X ~ I F ~ P 2 = T--+oo A /

lira l T-->cc 9~ FI PT[X1 > < X21 PT F* 2'

(64) �9 = n ,%

ce qui, en comparant avec (36), est l 'expression exacte de la Iormtde des interIdrences pro- long6e dans le domaine d6terministe. L'int6rgt fondamental de ce r6sultat est qu'il permet de faire entrer dans un cadre unique la doctrine du traitement lin6aire des signaux, que ceux-ci soient d6ter- nfinistes ou al6atoires stationnaires. Ainsi, on d6duit de (64), pour la distribution spectrale d'interaction, eompte tenu de (21) et de (60):

(65a) yY (~) = h 1 (v) h~ (~) "~1~ (~r

et pour la fonetion d'intercorr61ation, par transfor- nmtion de Four ie r :

(65b) r ~ (~-) = ( H 1 * H~ * px)(~,

r6sultats enti~rement identiques h l eu r s correspon- dants (4ta) et (6tb) relatifs aux processus al6atoires stationnaires. Bien entendu, cos formules rocouvrent tons los cas repr6sent6s par la figure I d u paragraphe 8.

i 0 . F O B M A L I S M E U N I T A I R E : F O N C T I O N D E C O R B i ~ , L A T I O N E T C O V A R I A N C E R ~ D U I T E S .

Los calculs du paragraphe 9 pr6c6dent ont 6t6 conduits h partir de la notion de puissance moyenne et tombent en d6faut lorsqu'on trai te des signaux normalisables qui poss~dent une dnergie finie et par suite une puissance moyenne nulle : c'est le cas de tous los 616ments de l'espace-sigmal de Hilbert ~1 c repr6sent6s par des fonctions de L 9" et en particulier des signaux fondamentaux de ~0 c ~1.

SIGNAUX D E T E R M I N I S T E S OU ALI~.ATOIRES 24/25

I1 convient donc de reprendre toute l '6tude du paragraphe 9 en consid6rant la r6partition spectrale de l'6nergie < X[X > des signaux de ~1, d o n c e n supprimant l ' intervention du projecteur PT; ce qui conduit h

- - u n op6rateur de corr61ation

~ 2 = I X > < Xt ,

- - u n e distribution spectrale

u = < vl~21u > = x(v) x * 0 ) ,

- - u n e fonction de corr61ation

P(x) = ( x , x#)(,,.

I1 est cependant possible d'6viter que cette dualit6 6nergie/puissance apporte un d6doublement aussi dommageable dans nos d6finitions. Nous y parvien- drons en nous tournant vers des grandeurs sans dimension, donc en consid6rant des fonctions de corr61ation ou des covariances r6duites. Cette 6tude sera conduite dans un but pratique en nous l imitant h une classe r6duite de signaux, ceux qui sent repr6- sent6s par des fonct ions: fonctions localement sommables h croissance lento pour le cas d6ter- ministe (co qui inclut los fonctions de q])2, L~ ou 8), fonc~ions de second ordre pour le cas al6atoire.

a) Ainsi, nous pouvons, d'apr~s (54), introduire une fonction de corrdlation rdduite au moyen de

]hn i T ([iT X * X#)(,~ (66) C ( z ) : T--->~

lim 1 (liT X , X#)r

Dans cette expression l[2T va disparaltre du num6rateur et du d6nominateur, co qui donne

(67a) C(z) = lira ( [ [ T X , X#)t~) T--x~ (l-IT X . X#)(0)' ~ C(0) = t,

(remarquons que le d6nominateur a un sons pour los fonctions de croissance lento) ou encore, exprim6 dans une 6criture int@rale, valable ici,

f ; T x(t) X* (t--'v) dt (67b) C(v) = lim -

r---->oo f ;T lx(t)12d t

L'usage de (67) supprime alors toute difficult6 de formulation pour la grandeur de sortie d 'un corr61ateur.

b) La distribution C(v) poss~de une transform6e de Fourier c(v) qui est proportionnelle h la distribution spectrale 6nerg6tique y(v) d6crite en (53):

(68) e(v)= lim x (v ) (= rx .x* ) (~ l = ~ < e , t > = t . T--~oo (1-IT X . X#)(0)

C'est une grandeur normalis6e qu'on pourrait appeler simplement distribution spectrale puisque, 6tant sans dimension, elle correspond suivant los eash la r6partition d'une 6nergie ou d'une puissance moyenne.

25/25

Dans le cas off < vlX > = x(v) est une fonction de L 2, la distribution spectrale c(v) devient

(69) c('~) = Ix(v)12 IIXI12 ;

(on a utilis6 le fait que lim ~(~) = ~(~), T--)<~

et la distribution spectrale de l'dnergie

< NiX > = IIXII ~

est donn6e par Ix(v)[2 : ce qui rejoint les consid6ra- tions d6velopp6es dans un article antdrieur [t2].

c) Si le signal [X > est al6atoire stationnaire de second ordre, le th6or~me ergodique montre que, sur une r6alisation particuli6re (qui est une fonction de ~2) , la fonction de corr61ation

lim I (IIr X , X#)(,),

vient se confondre avec la covariance

E I X(t) X * ( t - z)I"

Le fait que la puissance moyenne soit born6e rend possible la consid6ration d'une co~,ariance rdduite, que nous 6crirons :

r(~) E i X(t) X* ( t - -~) I . (70) C(x) - r ( 0 ) - E I Ixl~ I

Cette grandeur stat is t ique vient alors se confondre a v e c l a fonction de corr61ation r6duite d 'une r6ali- sation particuli~re, grandeur de nature d6terministe.

d) I1 reste enfin h v6rifier l 'homog6n6it6 des notions de fonction de corrdlation r6duite et de covariance r6duite, lorsque < tIX > = X(t) est une fonction de L 2, de mgme alors la repr6senta- tion-v < v[X > = x(v). Nous pouvons pour ce faire consid6rer X(t) comme la r6alisation particuli~re d'une fonction al6atoire st, ,tlonnaire au moyen de l'artifice suivant : nous eonstruisons la fonction stationnaire

(71) 3:(t) = Z x ( t - t~),

fonction de couverture associ6e h la suite dos ins- tants t~ d 'un processus de Poisson stationnaire de densit6 p. I1 est toujours possible de faire en sorte quo la r6alisation particuli6re observ6e soit tolle que Fun des points, disons tk, coincide avoc la date choisie arbi trairement pour origine. Le th6or6me de Carson donne alors la distribution spectrale 6nerg6tique (au seas statistique) :

~,(x) = 01x(~)l ~,

et la puissance moyenne vaut

t~ Ix(v)l ~ dv = p!lXII ~.

G. B O N N E T [ A N N - - S DES TI~LI~COMMUNICATIONS

D'oh r~sulte par division la distribution spectrale norm6e

(72) e(~) = Ix(v)la" I1X!e

S i p .-2" 0, le point try__ t est repouss6 vers h o o et t~+ 1 vers -~ oo. Par suite la r6alisation observ6e s'identifie, d'aprbs (71), avec la fonction d6termi- niste X(t). Or, la grandeur statistique c(v) ne d6pend pas de p at conserve la valeur (72) lors du passage h la limite : c'est exactement la valeur donn6e par la d6finition ddterministe (69).

I1 est bien 6vident que, par t ransformation de Fourier, nous verrions venir so confondro covarianco r6duite et fonction de corr61ation r6duite pour co signal normalisable. Le fait remarquable est quo cette identification se produise en dehors de touto intervention de propri6t6s ergodiques.

Manuscrit, re~u le 9 octobre t967, du texte correspondant h la com- munication pr6sent~e h u n eolloque sur le traitement du signal tenu Nice du 17 au 20 avril.

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Considérations sur la représentation et l’analyse harmonique des signaux déterministes ou aléatoires