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Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Construction decourbes de fragilité sismique
par la représentation de Karhunen-Loève
Fabien GiraudeauThèse dirigée par le Professeur Michel Fogli
CNRS-EDF-CEA-AREVAUniversité Blaise Pascal de Clermont-FerrandChristian Cremona (CEREMA) - Rapporteur
Jean-Marc Martinez (CEA) - RapporteurPr. Frédéric Ragueneau (ENS Cachan) - Examinateur
Cyril Feau (CEA) - EncadrantIrmela Zentner (EDF) - Encadrante
8 janvier 2015
1/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Contexte et objectif
Méthode proposée
Enrichissement
Tri par classes
Incertitudes
Application à un cas réel
Conclusion
1/43
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Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
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Modèle K-L
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Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Contexte et objectif
Méthode proposée
Enrichissement
Tri par classes
Incertitudes
Application à un cas réel
Conclusion
1/43
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Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
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Tri par classesPrincipe
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IncertitudesEnr. réponses
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Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Contexte et objectif
Méthode proposée
Enrichissement
Tri par classes
Incertitudes
Application à un cas réel
Conclusion
1/43
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Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
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Taille des classes
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Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Contexte et objectif
Méthode proposée
Enrichissement
Tri par classes
Incertitudes
Application à un cas réel
Conclusion
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Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
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Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Contexte et objectif
Méthode proposée
Enrichissement
Tri par classes
Incertitudes
Application à un cas réel
Conclusion
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Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
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Taille des classes
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Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Contexte et objectif
Méthode proposée
Enrichissement
Tri par classes
Incertitudes
Application à un cas réel
Conclusion
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Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
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Taille des classes
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Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Contexte et objectif
Méthode proposée
Enrichissement
Tri par classes
Incertitudes
Application à un cas réel
Conclusion
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Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
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Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
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Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Contexte et objectifContexteMéthodes d’estimation des courbes de fragilitéObjectif
Méthode proposée
Enrichissement
Tri par classes
Incertitudes
Application à un cas réel
Conclusion
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Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
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Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
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Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Contexte
Études Probabilistes de Sûreté Sismiquemenées sur les installationsÉvaluation de la probabilité de défaillance P d’une structure (bâtiment ouéquipement) vis-à-vis d’un critère donné (étanchéité, intégrité, stabilité,ruine, etc.) sous séisme
P = −∫ +∞
0
(dH(α)dα
)Pf (α)dα
Courbe de fragilité sismiqueÉvaluation de la probabilité de défaillance conditionnelle Pf (α) en fonctionde l’intensité de la sollicitation α
Courbe d’aléa sismiqueFréquence annuelle H(α) de dépassement de l’intensité sismique α
3/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Méthodes d’estimation des courbes de fragilité
Mouvement du sol → {Γ(t)}t∈[0,T] Réalisation → γ(t)
Plusieurs indicateurs de nocivité Ex : PGA : PGA = maxt∈[0,T]
|γ(t)|
4/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
DéfaillanceDépassement par la réponse {Y (t)}t∈[0,T] d’une structure d’un seuil b
Pf (α) = P(
maxt∈[0,T]
|Y (t)| > b| intensité α)
5/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Méthode paramétrique « log-normale »
Φ : fonction de répartition de la loi log-normale réduite
Pf (α) = Φ( ln(α/Am)
β
)
Méthodes d’estimation des paramètres Am et β :
• Régression• Maximum de vraisemblance• Méthode EPRI avec facteurs de marge• etc.
ObjectifAffranchissement → Monte-Carlo
6/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Estimation de la courbe point par point par Monte-Carlo et scaling
• Ns signaux disponibles : réels ou artificiels
• Multiplication par le facteur de scaling pour obtenir le niveau moyensouhaité αm
• Estimation de Pf (αm) = P(
maxt∈[0,T]
|Y (t)| > b| intensité αm
)en fonction du niveau αm
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Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Problématique du scalingLes caractéristiques des signaux réels peuvent dépendre de leur intensité
Ex : famille de 97 signaux réels regroupés selon 10 classes d’intensitésismique croissante
Augmentation non homothétique
8/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Objectifs de la thèse
• Développer des méthodes d’estimation des courbes de fragilité :
• par calculs dynamiques
• « cohérentes » d’un point de vue sismologique i.e. au plus près desdonnées
• numériquement efficaces dans un contexte industriel⇔ nombre réduit de calculs de réponses dynamiques
• Évaluer l’effet des hypothèses simplificatrices sur les estimations
9/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Contexte et objectif
Méthode proposée
Enrichissement
Tri par classes
Incertitudes
Application à un cas réel
Conclusion
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Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Méthode proposée
11/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Méthode proposée
12/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Contexte et objectif
Méthode proposée
EnrichissementReprésentation de Karhunen-LoèveModèle K-LSimulation de variables dépendantesResimulation de signaux d’entrée
Tri par classes
Incertitudes
Application à un cas réel
Conclusion
13/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
{Xt}t∈[0,T] : processus stochastique réel, du second ordre, centré, continuen m.o.d., à trajectoires continues.
H = L2R ([0,T ],dt)
QX :
H → H
f → QX f :{
[0,T ] → Rt →
∫ T0 RX (t, t′)f (t′)dt′
• {λα}α≥0 et {φα}α≥0 éléments propres• {ξα}α≥0 v.a. réduites, décorrélées et dépendantes
ξα =1√λα
∫ T
0X(t)φα(t)dt
Représentation de Karhunen-Loève
X(t) =+∞∑α=0
√λαξαφα(t)
14/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Modèle empirique K-L
Γ(t) = E [Γ(t)] +M∑α=1
√λαξαφα(t)
Choix de M → proportion d’énergie
Echantillonnage : [0,T ] → 0 = t1 < ... < tN = T
Processus centré : XΓ(t) = Γ(t)− E [Γ(t)]Base de signaux disponibles :{{γ(l)(t)}t∈[0,T]}16l6L → {{x(l)
Γ (t)}t∈[0,T]}16l6L
•[RXΓ
]ij
=1
L − 1
L∑l=1
x(l)Γ (ti)x(l)
Γ (tj)
• {(λα, {φα(tj)}16j6N )}16α6M
15/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
ξ̃(l)α =
1√λα
N∑j=1
x(l)Γ (tj)φα(tj)∆t
Resimulation des ξα → resimulation de Γ(t)
Modèlle empirique « au plus près des données »
16/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Estimation d’une densité conjointe
ξ̃(l)α =
1√λα
N∑j=1
x(l)Γ (tj)φα(tj)∆t Γ(t) = E [X(t)]+
M∑α=0
√λαξαφα(t)
Dépendance de variables {ξα}α∈J1;MK→ densité conjointe pξ du v.a. ξ = (ξ1, ..., ξM )
∀B ∈ BM : P(ξ ∈ B) =∫
Bpξ(x)dx
Estimation de pξ grâce à un échantillon {ξ̃(l)α }16l6L ⇔ {ξ̃
(l)}16l6L :
• développement sur une base hilbertienne
• estimateur à noyaux
17/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Développement sur une base hilbertienne
pξ(x) =1
(2π)M/2 e−||x||22
2
+∞∑|α|=0
1α!
E [Hα(ξ)]Hα(x)
• E[Hα(ξ)] → Hα(ξ) =1L
L∑l=1
Hα(
ξ̃(l))
• pξ(x) =1
(2π)M/2 e−||x||22
2
r∑|α|=0
1α!
Hα(ξ)Hα(x)
Estimateur à noyaux
pξ(x) =L∑
l=1
1Le−||x−ξ̃(l)||22
2h2
√2πMhM
h → minimise l’erreur quadratique moyenne
Approximation de Silverman : h =(
4σ̂5
3L
)1/5
' 1, 06 σ̂L−1/5
18/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Exemple de deux variables pathologiques :
Méthode retenueEstimateur à noyaux
19/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Simulation de variables dépendantes
Simulation directe :• U ↪→ U(1,L)
• ∀l ∈ J1;LK, Yl ↪→ N(
ξ̃(l), h2IM)
→ ξL= YU
P (YU ∈ B) =L∑
l=1
P (U = l) P (YU ∈ B|U = l)
=∫
B
L∑l=1
1Le−||x−ξ̃(l)||22
2h2
√2πMhM
dx
=∫
Bpξ(x)dx
= P(
ξ ∈ B)
Echantillonneur de Gibbs modifié
20/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Méthode retenueSimulation directe
21/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Resimulation de signaux d’entrée• E0 : 97 signaux issue de l’European StrongMotion Database• E1 : 10 000 signaux resimulés• E2 : 10 000 signaux re-resimulés
22/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
23/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Modes propres de Karhunen-Loève
24/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Contexte et objectif
Méthode proposée
Enrichissement
Tri par classesPrincipeTaille des classes
Incertitudes
Application à un cas réel
Conclusion
25/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
26/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Tri par classes• Tri naïf : classes de tailles ou d’effectifs homogènes → pas robuste
• k-meansMinimise les distances intra-classes Converge lentement à temps fini
S(k+1)i =
{αj : |αj − µ(k)
i | ≤ |αj − µ(k)l |pour tout l ∈ J1;nK
}µ
(k+1)i =
1|S(k+1)
i |
∑αj∈S(k+1)
i
αj
27/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
28/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Corrélation intra-classes des signaux d’entrée
29/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Détermination de la taille des classes
Structure non-linéaire
30/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Courbe-cible
[p̂ − 1, 96
√p̂(1− p̂)
N, p̂ + 1, 96
√p̂(1− p̂)
N
]Ajustement log-normal
31/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Contexte et objectif
Méthode proposée
Enrichissement
Tri par classes
IncertitudesEnrichissement des réponsesMatrice RBootstrap
Application à un cas réel
Conclusion
32/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Incertitude sur le modèle K-L
Resimulation successive des signaux de réponse
33/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Resimulation de la matrice d’autocorrélationR̂i,j =
1n − 1
n∑k=1
Y k(ti)Y k(tj) Zk = (Y k)>Y k
Méthode
Z i,j =1n
n∑k=1
Y k(ti)Y k(tj) zi,j =1n
n∑k=1
yk(ti)yk(tj)
U = (Z1,1, ...,Z1,N ,Z2,1, ...,Z2,N ,Z3,1, ...,Z3,N , ..., ..., ...,ZN,N )
U k = (Zk1,1, ...,Zk
1,N ,Zk2,1, ...,Zk
2,N ,Zk3,1, ...,Zk
3,N , ..., ..., ...ZkN,N )
uk = (zk1,1, ..., zk
1,N , zk2,1, ..., zk
2,N , zk3,1, ..., zk
3,N , ..., ..., ...zkN,N )
• m = (z1,1, ..., z1,N , z2,1, ..., z2,N , z3,1, ..., z3,N , ..., ..., ...zN,N )
• Γ =1
n − 1
n∑k=1
(uk −m
)T (uk −m)
U −m1/√n
L−−−−−→n→+∞
N (0,Γ)
34/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
R̂ =1
n − 1
n∑k=1
Zk = P DP> Zk = (Y k)>Y k
Méthode « simplifiée » : P supposée déterministe
D = P>R̂P = nn−1 ×
1n
n∑k=1
P>ZkP =n
n − 1×
1n
n∑k=1
(Y kP
)>Y kP
Dii = nn−1 ×
1n
n∑k=1
[Y kP
]2i
V =
(1n
n∑k=1
[Y kP
]21, ...,
1n
n∑k=1
[Y kP
]2N
)
V k =([
Y kP]2
1, ...,[Y kP
]2N
)vk =
([ykP]2
1, ...,[ykP]2
N
)• m =
(1n
n∑k=1
[ykP]2
1, ...,
1n
n∑k=1
[ykP]2
N
)• Γ =
1n − 1
n∑k=1
(vk −m
)T (vk −m)
V −m1/√n
L−−−−−→n→+∞
N (0,Γ)
35/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Intégralité des signaux
30 signaux
36/43
Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Tirage successif des signaux d’entrée
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Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Contexte et objectif
Méthode proposée
Enrichissement
Tri par classes
Incertitudes
Application à un cas réelPrésentation de la ligneCalcul des courbes de fragilité
Conclusion
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Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Ligne de tuyauterie ASG :• lyre inclinée dans le plan XOY• trois points 12, 19 et 35
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Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Courbe de fragilité au nœud 12
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Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
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Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Resimulation de la matrice d’autocorrélationIntégralité des signaux
30 signaux
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Contexte etobjectifContexte
Méthodesd’estimation
Objectif
Méthodeproposée
EnrichissementRep. de K-L
Modèle K-L
Dépendance
Sim. entrée
Tri par classesPrincipe
Taille des classes
IncertitudesEnr. réponses
Matrice R
Bootstrap
Cas réelPrésentation
Calcul des courbesde fragilité
Conclusion
Conclusion
Modèle probabiliste non gaussien et non stationnaire• meilleure prise en compte des caractéristiques des signaux réels (trèspeu d’hypothèses par rapport aux modèles classiques de la littérature)• permet l’enrichissement des réponses à un coût numérique réduit
Tri par classes « optimisé »Enrichissement des signaux de réponsePrise en compte de l’incertitude sur la matrice R
Pour la suite :• Représentation hilbertienne de la densité conjointe• Corrélation intra-classes• Courbes obtenues situées au-dessus de la courbe-cible
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