SIAM J . CONTROL AND OPTIMIZATION

© 1984 Society for Industrial and Applied MathematicsVol . 22, No. 5, September 1984

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CONTROLLABILITE DE SYSTEME SMECANIQUES SUR LES GROUPES DE LIE *

BERNARD BONNARDt

Abstract . In the attitude control problem of a rigid satellite governed by reaction jets, the motion ofthe free system can be interpreted as the motion on a geodesic of a left invariant Riemannian structure onthe group of rotations in W . We set in this article the general problem of the control of the dynamic systemdescribing the motion on a geodesic of a left invariant Riemannian structure on a Lie group G . When Gis compact, we give an algebraic necessary and sufficient controllability condition . Moreover we describecontrol laws using the property that on a complete Riemannian manifold two points can be joined by ageodesic .

Résumé . Dans le problème de contrôle de l ' attitude d'un satellite rigide gouverné par des rétrofusée sle déplacement du système libre peut s ' interpréter comme le mouvement sur une géodésique d ' une structur eriemannienne invariante à gauche sur le groupe de rotations de W . On pose dans cet article le problèm eplus général de contrôle d ' un système dynamique décrivant le mouvement sur une géodésique d 'une structur eriemannienne invariante à gauche sur un groupe de Lie G. On donne une condition algébrique nécessair eet suffisante de controlabilité dans le cas où G est compact . On décrit des politiques de commande exploitan tle fait que sur une variété riemannienne complète deux points peuvent être joints par une géodésique .

1 . Introduction. Cet article fait suite à un travail, proposé par l'Agence Spatial eEuropéenne, sur le problème de contrôle de l'attitude d'une satellite réalisé par P . E .Crouch et moi-même et dans lequel j'ai assuré l'étude du problème de contrôlabilité ,le rapport final rédigé par P . E . Crouch [28] contenant par ailleurs de nombreuxrésultats complémentaires obtenus par ce dernier principalement dans le problème destabilisation .

L 'objet de cet article est de présenter et de généraliser à toute un classe d esystèmes non linéaires les résultats de contrôlabilité que j 'ai obtenus dans le problèm ede contrôle de l'attitude d'un satellite rigide gouverné par des rétrofusées, en utilisan td 'une part les propriétés du système libre et d 'autre part les techniques développéesces dernières années pour l'étude de la contrôlabilité des systèmes non linéaires [3] ,[15], [19], [24] .

Dans cet article on étudie donc la contrôlabilité des systèmes décrits par le séquations :

n

(C)dg( t= E wi(t)Xi(g(t)) ,

dt

i-1

p

(D)

dw t=

Q(w (t)) +

u k t)b k .dt

(k= 1

g(t) E G groupe de Lie connexe de dimension n et représente la position (ou attitude )du système à l ' instant t, {Xi , i = 1, • • • , nl est une famille de champs de vecteursinvariants à gauche sur G et linéairement indépendants en tout point, w(t) =

(w 1 (t), • • • , w n(t)) E Rn et s'appelle la vitesse angulaire du système à l'instant t . Lechamp de vecteurs Q est un champ quadratique qui s'écrit (Q 1 , • • • , On ) où

n Ikk

Qi

_,

C ji wj w k ,j,k=1 Ii

* Received by the editors September 15, 1982, and in revised form April 25, 1983 .t Laboratoire d ' Automatique de Grenoble, Ecole Nationale Supérieure d ' Ingénieurs Electriciens d e

Grenoble, Saint Martin D ' Hères, France .

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ci(i désignant les constantes de structure de l'algèbre de Lie de G et Il sont des constantesréelles non nulles . Les contrôles u k sont des applications constantes par morceau xdéfinies sur [0 + oo[, b k désigne un vecteur constant de li n .

Si on posen

n

L

wiXi(g) --

Ii(,Zi=1

2 i= 1

la partie libre du système (C), (D) est l'équation différentielle du second ordre sur Gdécrivant la loi d'évolution d'une géodésique g(t) de la structure pseudo-riemannienn einvariante à gauche définie par L [2] .

Trois résultats de contrôlabilité sont présentés dans cet article sous forme de troi sthéorèmes .

Le premier résultat démontré en utilisant une approche non constructive est unecaractérisation algébrique de la contrôlabilité dans le cas où G est compact et u k (t) E

[-1, + 1 ]V k = 1, . • • , n. Il s'énonce ainsi : si on note DA .L. l ' algèbre de Lie engendré epar la famille de champs de vecteurs de [fi n , D = {Q, b ' , • • • , b k }, le système (C), (D )est contrôlable si et seulement si le système (D) satisfait la condition suivante appelé econdition du rang : la dimension de DA,L . (x) est n Vx E n .

Ce résultat est prouvé 'en remarquant d'une part que la partie libre du système(C), (D) est une système hamiltonien sur G x ib n [13], d'autre part que la partie libr edu système (D) est un système hamiltonien sur chaque orbite d'une représentatio néquivalente à la représentation coadjointe de G [2] . On utilise alors un résultat d eHopf [13] : si un champ de vecteurs X complet laisse invariant une forme volume alorspresque tous les états sont soit fuyants soit stables au sens de Poisson . Le résultat decontrôlabilité est alors une conséquence de [7] : un système asservi dont la partie libr eadmet un ensemble de points stables au sens de Poisson est contrôlable si et seulemen tsi il satisfait la condition du rang .

Les deux autres résultats de contrôlabilité concernent le cas où G est semi-simpl eet Ii > 0 c'est-à-dire que L définit une structure riemannienne sur G. Le problème decontrôlabilité étant abordé de façon constructive en ce sens que l'on indique de spolitiques de commande .

Les lois de commande sont fondées sur un résultat classique de géométrie rieman-nienne [14] : Vg, g ' E G il existe une géodésique joignant g à g ' . En d'autres terme sdg, g ' C G 3 cw E R n de sorte que la géodésique g(t) issue en t = 0 de g avec la vitess eangulaire initiale cv passe par la position g ' avec une vitesse ci . D'où l'idée pou rtransférer le système de g à g ' de chercher à atteindre cette géodésique joignant g àg ' puis ensuite d'appliquer simplement le contrôle nul .

On montre que, avec l'hypothèse u k (t) E [-1, +1], il est possible de placer l esystème à partir de l 'état (g, 0) sur une géodésique joignant g à n'importe quelleposition g ' si le système (D) est localement contrôlable en 0, c'est à dire que en u ntemps arbitrairement petit on peut toujours transférer 0 sur toutes les vitesses suffisam-ment voisines de 0 . D'où le théorème 2 que l'on peut résumer ainsi : le système (C) ,(D) est contrôlable si le système (D) est localement contrôlable en 0 .

Si u k (t) E R tout entier la politique de commande proposée pour transférer l'éta t(g, w) en (g ' , w ' ) est la suivante . On transfère l'état (g, w) sur (g, (v ), puis on appliquele contrôle nul le temps nécessaire pour arriver en (g ' , CO, ensuite on transfère l'état(g ' , (w) en l'état final désiré (g ' , w' ) . Dans le théorème 3 on donne des conditionssuffisante sur le système (D), ceci en utilisant un résultat de Kunita [19] qui permetten tde décrire une loi de commande assurant le transfert de (g, w) en (g, 3) et (g ' , (w) en(g ' , w' ) . Par ailleurs avec ces conditions le système est aussi fortement contrôlable

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c 'est-à-dire que l 'état (g ' , w ' ) est accessible à partir de l'état (g, w) en un tempsarbitrairement petit.

L 'organisation de l 'article est la suivante : Dans la section 2 on rappelle certaine sdéfinitions et résultats, concernant les géodésiques, d 'une structure pseudo-rieman-nienne invariante à gauche sur un group de Lie, ceci dans le but de faciliter la lecturede cet article, les références utilisées étant [2], [13] . Dans la section 3 on présente le srésultats de contrôlabilité . Dans la section 4 ces résultats sont discutés dans le problèm ede contrôle d'attitude d'un satellite rigide .

2 . Géodésiques d'une structure pseudo-riemannienne invariante à gauche sur ungroupe de Lie.

DEFINITIONS 2 .1 . Soit G un groupe de Lie connexe de dimension n, d'élémen tneutre e. On note TG et T * G respectivement le fibré tangent et cotangent . SoitX1 , • • • , Xi une famille de champs de vecteurs invariants à gauche sur G et linéairemen tindépendants en e. On note [ • , • ] le crochet de Lie et c lic; les constantes de structur ede G définies par

n

[Xi, Xj] = E ctjXk •k= 1

Une structure pseudo-riemannienne invariante à gauche sur G est définie en posan t

n

1 n

w iXi (g )

E Ii w ?,

Ii ~ 0 .ï=1

2 i= 1

Si Ii > 0, L définit une structure riemannienne .Soit go, g 1 E G et soit I, l 'ensemble des courbes y de G définies sur [to, t1 ] et

vérifiant y ( to) = go, y ( t 1) = g1 . Considérons la fonctionnelle cl) définie sur F pa r

LI dy(t)/I dt.

~ dt

Une géodésique joignant go à g1 est par définition une courbe g(t) E F telle que

~(g ) = inf,,Er 0 (y) .PROPOSITION 2 .2 [13, p . 171] . Une géodésique g(t) satisfait l'équation différentiell e

du second ordre sur G appellée équation de Lagrange dont l'expression en termes d ecoordonnées locales (q, 4) de TG est :

d aL aL---= O .

dt 04 aq

PROPOSITION 2.3 [13, p . 170] . L'équation de lagrange est un système hamiltonie nsur TG, de hamiltonien L, muni de la forme symplectique A . = d dz ,L où d t, désigne ladérivation verticale.

PROPOSITION 2.4 [25] . L'équation de Lagrange peut s'écrire :

dt

i= 1

dcvi (t)

n(E)

Ii

= E Ik C;wj( t ) w k( t ),

i=l, . .,n.dt

j,k = 1

L'équation (E) s 'appelle l'équation d'Euler et le vecteur w (t) _(co l (t), • • • , w n (t)) E R n le vecteur vitesse angulaire (par rapport au solide généralisé) .

I tl

to

dg( t ) _~ L~

n(C)

—

Wi(t)Xi(g(t)),

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Remarque 2 .5 . Si on note e i la base canonique de Ili n, on identifie R n avec Te Gen identifiant e' avec Xi (e) . L'équation (C) peut s 'écrire

co(t) = dL -1

dg(t)E TeG = R n

g (t)

dt

~

Lg désignant la translation à gauche . L'équation (E) généralise l'équation d'Euler dan sle mouvement d 'un solide libre autour d 'un point fixe et exprime la conservation aucours du mouvement d'une quantité qui s'interprète comme le moment cinétique d usolide généralisé .

On peut définir une représentation de G dans Té G appellée représentationcoadjointe (cf . [2, p . 320]) . Soit V une orbite de cette représentation . Kirillov a montréque l'on peut munir V d 'une structure symplectique naturelle notée A [2, p . 322] .Considérons l ' isomorphisme A de TeC dans TeG représenté dans la base Xi (e) et sabase duale par la matrice diagonale

(1 1 ,

0 )

.

0

L'équation d'Euler (E) sur Te G peut être transportée à l'aide de A en une équationégalement dite d'Euler sur TeG. Définissons par ailleurs la fonction H: Te G -> R parH = L0A-1 . On rappelle le résultat suivant (cf . [2, p. 328]) .

PROPOSITION 2.6 . L'orbite V est invariante par le flot défini par l'équation d'Eule rsur T'eG. Sur V l'équation d'Euler est un système hamiltonien pour la structure symplec-tique A, de fonction de Hamilton H.

3. Contrôlabilité . Rappelons un certain nombre de définitions .On considère sur une variété M, analytique réelle, paracompacte et connexe u n

système asservi :

dx t

P

(S)

= X x t +

u k t Yk x tk= 1

où X, Y1, • • • , YP désignent des champs de vecteurs analytiques réels sur M et u kune application constante par morceaux définie sur [0, +oo[ et à valeurs dans u nsous-ensemble d ' intérieur non vide de R .

Soit u = (u 1,• • • , uP ) un contrôle, on note x u (t, xo) la solution du système asservi

(S) associée à u et issue en t = 0 de xo E M. On dit que l'état x i est accessible (en untemps T) à partir de l 'état xo s ' il existe un contrôle u et T 0 non fixé tel quexu (T, xo) = x 1 . On note A+(xo, T) l 'ensemble des états accessibles à xo en un temps Tet A+(xo) = U T,O A+ (xo, T) l'ensemble des états accessibles à xo .

Le système (S) est dit contrôlable si Vxo E M, A +(xo) = M. Le système est ditfortement contrôlable si V T > 0, Vxo E M, A+ (xo, T) = M. Let système est dit locale -ment contrôlable en xo si VT> 0, A+(xo, T) est un voisinage de xo .

Le crochet de Lie de deux champs de vecteurs analytiques réels est le champ d evecteurs noté [X, Y] et défini en coordonnées locales par [X, Y] (x) _8X (x)/axY(x) — a Y(x)/axX(x) . On note DA .L l'algèbre de Lie engendrée par un efamille D de champs de vecteurs. On dit que la famille D satisfait la conditions durang en x E M si la dimension du sous-espace vectoriel de TMM, DA .L. (x) ={ V(x) ; V E DA .L. } est égale à la dimension de M. On dit que D satisfait la conditiondu rang si elle est satisfaite V x E M.

Soit X un champ de vecteurs analytique réel sur M et suppose que X est completc 'est-à-dire que ses courbes intégrables sont définies V t E R. On note (exp tX) (x) la

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courbe intégrable de X issue en t = 0 de x E M. Le point x est dit stable dans le sen sde Poisson si VU voisinage de x et d T 0 3 4, t2 T tels que (exp t 1 X) (x) E U et(exp —t2X)(x) E U.

On rappelle le résultat suivant qui est une conséquence directe d'un théorème d eHopf [13, p . 143] .

PROPOSITION 3 .1 . Soit X un champ de vecteurs hamiltonien sur une variété symplec-tique M non forcément compacte. Si toutes les trajectoires de X sont bornées, alorsl'ensemble des points stables dans le sens de Poisson de X est dense dans M.

D'après la proposition 2 .6 l 'équation d 'Euler définie un système hamiltonien dehamiltonien L(w) = 1Z:2=i IiW4 sur chaque orbite V d'une représentation équivalent eà la représentation coadjointe de G. Si une orbite V est ouverte toutes les trajectoire sde l'équation d'Euler peuvent être non bornées au sens de la topologie de V . D'oùl ' intérêt des deux lemmes suivants .

LEMME 3 .2 [26, p . 81] . Si G est compact, toutes les orbites de la représentatio ncoadjointe de G sont des sous-variétés compactes régulières de T*e G.

LEMME 3 .3 . Si G est semi-simple, alors pour un sous-ensemble dense de TeG lesorbites de la représentation coadjointe de G sont des sous-variétés fermées régulières .

Preuve. Si G est semi-simple alors la représentation adjointe et coadjointe sontéquivalentes . L'orbite d ' un élément semi-simple de Te G sous l'action de la représenta -tion adjointe est fermée [27, p. 106] et donc régulière . Les éléments semi-simple sforment un sous-ensemble dense de Te G.

On va maintenant donner des conditions de contrôlabilité pour les systèmes (D )et (C), (D), mais rappelons le résultat suivant .

PROPOSITION 3 .4 [7] . On considère sur M le système :

dx(t)_

p — X(x(t )) +

uk ( t ) Yk(x(t)) ,dt

k= 1

ku est une application constante par morceaux définie sur [0, +ao[ et à valeur dan sl 'ensemble {-1, 11 . On suppose que l'ensemble des points stables dans le sens de Poisso nde X est dense dans M. Alors le système est contrôlable si et seulement si la famill e{X, Y 1 , • • • , Yp } satisfait la condition du rang.

PROPOSITION 3.5 . Si G est compact alors le systèm e

p(D)

dw(t) = W t +

u k t b k

u 1dt

k= 1

est contrôlable si et seulement si la famille de champ de vecteurs de ll n { Q, b 1 , • • • , b k}

satisfait la condition du rang.Preuve. Puisque G est compact, d 'après le lemme 3 .2 chaque orbite de la rep-

résentation coadjointe est compacte. D'après la proposition 3 .1 l'ensemble des point sstables dans le sens de Poisson de l'équation d'Euler dw(t)/dt = Q(W (t)) est dense surchaque orbite et donc dans fi n . Le résultat est donc une conséquence de la proposition3.4 .

PROPOSITION 3 .6 . On suppose que G est semi-simple et que L définit une structur eriemannienne sur G. Alors le système :

dW ( t) _

p(D)

— Q( W(t)) +

uk ( t ) bk ,

I

ç 1dt

k= 1

est contrôlable si et seulement si la famille de champs de vecteurs de R n { Q, h. % • • • , b' }satisfait la condition du rang.

(S)

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Preuve. Soit V une orbite fermée invariante par le flot défini par l 'équationd'Euler (cf . la proposition 2 .6) . Soit co E V, la trajectoire de l'équation d'Euler issueen t = 0 de w est donc contenue dans l'ensemble compact de V, V (1 L(w), oùL(w) =117_, Iiw puisque L est une intégrale première de l'équation d'Euler .L 'ensemble des points stables au sens de Poisson de l'équation d'Euler est donc densedans V d'après la proposition 3 .1 . Puisque l'ensemble des orbites fermées V est densedans Rn d'après le lemme 3.3, l'ensemble des points stables au sens de Poisson d el'équation d'Euler est donc aussi dense dans Or . L'assertion est une conséquence dela proposition 3 .4 .

Avant d'énoncer le théorème 1 on va présenter deux résultats concernant l acondition du rang. Le premier est un algorithme pour calculer la condition du ran gdans le cas du système (D) exploitant la nature quadratique du champ de vecteurs Qet a été démontré dans un cadre plus général par Baillieul [6], cf . aussi [10] pour uneinterprétation géométrique de cette condition . Le second résultat est la remarque qu ela condition du rang du système (C), (D) équivaut à la condition du rang du systèm e(D) et généralise [8, 3 .5] .

LEMME 3 .7 . Soit E le plus petit sous-espace vectorial de R n tel que :1) {b', . . .,bP}EE ,2) si v 1 , v 2 E E alors [[Q, v l ], v 2 ] E E.Alors la famile de champs de vecteurs de R n {Q, b ' , • • • , b P} satisfait la conditio n

du rang si et seulement si E est tout R n.LEMME 3 .8 . La famille de champs de vecteurs G x Rn,

n

H = 1( E wiXi, Q), (0, b 1),. . .

,(0, b P )

i= 1

satisfait la condition du rang si et seulement si la famille de champs de vecteurs d eR n {Q, b l , . . . , hi)} satisfait la condition du rang.

Preuve. Notons X le champs de vecteurs (E7_ 1 w 1X1, Q) et soit v l , v 2 e R n . Onremarque que [[X, (0, v i )], (0, v 2 )] = (0, [[Q, v l ], v 2 ]) .

L'algèbre de Lie HA,I_ . contient donc (0, E) où E est défini dans le lemme 3 .7 .Si la famille {Q, b 1,

• . . , b P } satisfait la condition du rang il résulte du lemme 3 . 7que HA .L. contient (0, R n ) . Notons e' la base canonique de R n , HA .L . contient donc[X, (0, e l )] = (X1 , 0) V i = 1, . • • , n . Donc la famille H satisfait la condition du rang sila famille {Q, b', . . • , bP} satisfait la condition du rang . La réciproque est claire .

THÉORÈME 1 . On suppose que G est un groupe de Lie compact. Alors le système :

dg(t)

n= E wi(t)Xi(g(t)) ,

dt

i= 1

do(t)

P_

— Q( w ( t))+ E u k (t)bk ,

uk ( t ) ~dt

k= 1

est contrôlable si et seulement si la famille de champs de vecteurs de ll n { Q, b 1, • • • , b" }satisfait la condition du rang .

Preuve. Puisque G est compact, toutes les orbites de la représentation coad joint esont donc compactes d'apres le lemme 3 .2 . La partie libre de (C), (D) est donc unsystème hamiltonien (cf . la proposition 2 .3) dont toutes les trajectoires sont bornées .Le système est donc contrôlable d'après les propositions 3 .1 et 3 .4 si et seulement siH satisfait la condition du rang . Cette condition du rang équivaut d'après le lemm e3.8 à la condition du rang de la famille {Q, b 1 ,

. • • , b P } .

(C )

(D)

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Des conditions nécessaires et suffisantes de contrôlabilité ont été obtenues dan sle cas où G est compact . Le problème de contrôlabilité va maintenant être abordé ,de façon plus constructive, dans le cas où G est semi-simple, mais en faisant l'hypothèseque L définit une structure riemannienne .

THÉORÈME 2 . On suppose que G est un groupe de Lie semi-simple et que L défini tune structure riemannienne sur G. On considère le système :

dg (t)

n_ E wi(t)Xi(g(t)) ,

dt

i= 1

dw t=

P

Q((o( t )) + E uk(t)bk,

I

1 .dt

k= 1

Si le système (D) est localement contrôlable en 0, alors le système (C), (D) est contrôlable .Preuve. Notons gu(t, go, wo), wu (t, wo), la solution de (C), (D) associée au contrôl e

u = (u 1 , • • • , up ) issue en t = 0 de go, wo et g(t, go, w 0 ), w(t, wo) la solution associée aucontrôle u = 0, g(t, (0o, go) est donc la géodésique issue en t = 0 de go avec la vitess eangulaire initiale wo .

LEMME 1 . VA E R, bi t E R, w(t, Aw0) = Aw(At, w0 ) et g(t, g0 , 'Iwo) = g(At, go, w 0 ) .Preuve. C'est un résultat classique qui exprime le fait que la géodésique parcouru e

ne dépend que de la direction du vecteur vitesse initiale et non de son intensité . C 'estclairement une conséquence immédiate de la nature homogène de l 'équation différen-tielle géodésique.

LEMME 2 . Vg1 , g2 E G il existe w 1 ERn tel que g(1, g1, w1) = g2 .

Preuve. Les géodésiques de la structure riemannienne sont définies Vt E R. Onapplique alors un autre résultat classique de géométrie riemannienne Vg 1 , g2 E G i lexiste une géodésique joignant g 1 à g2 [14, p . 56] . En d'autres terms Vg 1 , g2 E G 3w 1 ER n, T E R tel que g (T, g 1, (51) = g2 . Posons w 1 = Tc5 1 , alors d'après le lemme 1g( 1 , g1, w1) = g2 •

LEMME 3 . Vg 1 , g 2 e G il existe une suite de contrôles v n définis sur [0, T] tels quela suite g, n (T n , g 1 , 0) converge vers g 2 et w v n (T

n,0) converge vers O .

Preuve. Soit g 1 , g2 E G d'après le lemme 2 il existe w 1 ERn tel que g(1, g1, w1) = g2 ,

posons par ailleurs w 2 = w (l, co l ) .

Puisque (D) est localement contrôlable en 0, Vn E N il existe, par définition, A n > 0et un contrôle u n défini sur [0, 1/n] tel que w u n (1 / n, 0) = A nw 1 .

Posons T" = 1/ n + 1/ A n , le contrôle v n est défini par

vn= u n sur [o,

v n 0 sur 1 > T n .>n

n

(C )

(D)

Posons

n = n 1

0g l

gu

~ g1>

>

n

n

1

n

ng 2 =g

~ '

g 1

'

w 1

A n

w n= w n (—, 0u

>

n

un =w1

w n .2

A n , 1

Puisque la structure riemannienne est invariante à gauche et puisque w = A nw 1on peut en utilisant le lemme 1 écrire g2 = g ig (1, e, w 1 ) où e désigne l 'élément neutr ede G. Lorsque n -~ +oo, g7 converge vers g1 et donc g'2' converge vers g2 = g1 g (1, e, co l ) .

Par ailleurs w7 = A nw1 et donc co = A nw 2 d'après le lemme 1 . Lorsque n -> +oo ,w 7 converge vers 0 et donc co i; converge également vers 0 .

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On a donc montré que lorsque n -> +oo, gv n ( T n , g1, 0) = g2 g2 et wvn (T n , 0) -4 0 ,

d'où l 'assertion du lemme .LEMME 4 . La famille de champs de vecteurs H = {(E

n i (oX, Q), (0, b 1 ) ,• • • , (0, b")} satisfait la condition du rang.

Preuve. D 'après le lemme 3 .8 il suffit de montrer que la famille {Q, b i , • • • , b" }satisfait la condition du rang. Or (D) est localement contrôlable en 0, donc la conditio ndu rang est satisfaite en 0 d'après [24] . Puisque Q est homogène, il résulte de [10 ]qu 'elle est satisfaite partout .

Démontrons maintenant le théoréme .Soit (g' , w I ), (gF, (.oF) E G x ll n , montrons que (gF, cW F ) est accessible à (g' , wI) .

D'après le lemme 4 et [24] il suffit de montrer qu'il existe une suite u n de contrôle sdéfinis sur [0, Tn ] tels que gu n (Tn , gI, wl) converge vers gF et cou n (Tn ,, col) vers (OF.

D'après la proposition 3 .6 et le lemme 4 le système (D) est contrôlable . Donc

ag i, g2 E G et des contrôles u 1 , u2 définis respectivement sur [0, Ti ], [0, T2] tels quegui ( ,

1 co l ) = gi, w u 1 ( TI, WI) = 0 et g u2 ( T2, g2, 0) = gF, w u2 ( T2, 0) = wF.

D'après le lemme 3 il existe une suite v n de contrôles définis sur [0, T] tels quegv n (Tn, g i , 0) converge vers g2 et w v n (T n , 0) vers O .

La suite de contrôles u n recherchée est définie en posant u n = u 1 sur [0, T1 ] ,N

Tin = v n sur [ T1 , Ti + Ta], u n = u 2 sur [ T1 + Tn, Tn ] avec n = Ti + T2 + L.

On va rappeller une condition pour que le système (D) soit localement contrôlableen O. Il faut remarquer que puisque est quadratique le comportement local du systèm ene peut, à moins que p = n, être analysé en utilisant la linéarisation classique de [20] .

La condition de locale contrôlabilité présentée est extraite de [15] et est obtenu een utilisant les techniques de linéarisation d'ordre supérieur de l'ensemble des état saccessibles le long d 'une trajectoire, ici un point .

LEMME 3 .9 . On note B l'espace vectoriel engendré par lb' , • • • , b"} . Le système(D) est localement contrôlable en 0 si le cône convexe engendré par la famille de vecteur s{b, [b, [b, Q]] ; b E B} est tout R n.

Remarques 3 .10 . Si on note (C-), (D-) le système décrit par les équations (C) ,(D) mais avec t 0 on peut remarquer que sous les hypothèses sur (D) du lemme 3 . 9non seulement (D) est localement contrôlable en 0 mais aussi (D -). Par ailleurs ilrésulte de [15] que Vg E G les systèmes (C), (D) et (C-), (D-) sont localement:ontrôlables en (g, 0) . Cela permet, par une application de [16], de construire un esynthèse locale et une loi de stabilisation locale autour de n'importe quel état d'équilibr edu système (C), (D) .

Si la condition de locale contrôlabilité du système (D) en 0 est bien plus fort eque la condition de contrôlabilité, à moins que la structure riemannienne soit auss iinvariante à droite, d 'un point de vue pratique la possibilité de stabiliser localemen tun système autour de l'état final désiré apparaît indispensable .

Le problème de décrire une loi de commande pour mettre le vecteur vitess eangulaire à 0 peut être résolu, sous les hypothèses du lemme 3 .9, en s'inspirant de latechnique de stabilisation de [17] ou en réalisant une synthèse de l 'équation (D), leproblème d 'atteindre à partir de 0 une vitesse quelconque se résolvant par les même stechniques appliquées au système (D-) .

La loi de commande décrite dans le théorème 2 nécessite la détermination d'unegéodésique. En fait ce n'est pas nécessaire, on peut remplacer cette géodésique parune trajectoire sur G qui est par exemple la concaténation de géodésiques qui son taussi des trajectoires de champs de vecteurs invariants à gauche cf [28, p. 162] . D 'unpoint de vue pratique d'ailleurs il n'est pas recommandé d'utiliser les géodésique sinstables, cette instabilité étant liée à la courbure sectionnelle de G [2, p . 300] .

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On va présenter maintenant un résultat de contrôlabilité forte . C 'est la notion d econtrôlabilité adaptée au problème de contrôle en temps fixé avec minimisation de laconsommation d 'énergie .

THÉORÈME 3 . On suppose que G est une groupe de Lie semi-simple et que L défini tune structure riemannienne sur G. On considère le systèm e

dg(t)_E wi(t)Xi(g(t)) ,dt

i= 1

dw(t)

pQ( w ( t)) + E u k (t)bk ,

u k (t) E D .dt --

k= 1

On note B le sous espace vectoriel de Rn engendré par lb ' , • • • , b"} et on supposeque le cône convexe engendré par {b, [b, [b, Q]] ; b B} est tout R n. Alors le système es tfortement contrôlable.

Preuve. On rappelle que l 'on note A+ (x, T) l'ensemble des états accessibles àx E G x Rn en un temps T. Démontrons le lemme préliminaire :

LEMME . Soit (g, w) E G x ll n , alors VT > 0 l'adhérence de A +((g, w), T) contien t( g , Rn ) .

Preuve. Soit b E B, on remarque que le champ de vecteurs (adk (0, b))( =E n

1 wiXi , Q) est nul si k 3 et égal au champ de vecteurs constant (0, [b, [b, Q]]) s ik = 2. L 'assertion du lemme est alors une simple application de [19, 2 .2 et 3 .3] .

Soit (gl, wl), (gF, WF) E G x :n et T > 0 montrons que (gF, (F) appartient à

A+((gl, wl), T).Il suffit d'après [24] de montrer que (gF, wF) appartient à l'adhérence d e

A+((gl, col ), T), en effet d ' après les lemmes 3.7 et 3 .8 (H étant défini en 3 .8) l'idéa lengendré par (0, B) dans HA .L . coincide avec HA .L. .

D'après le lemme 2 du théorème 2 il existe w E ll n tel que g(l, gl, w) = gF, poson spar ailleurs w = w (l, w) .

D' après le lemme préliminaire il existe deux suites u n , a n de contrôles définis sur[0, T/3] tels que lorsque n -* +oo

3wp û n

3'gF, n,

gF,

co û "_3 ' TT

Définissons la suite de contrôles v n sur [0, T] par v n = un sur [0, T/3], v n = 0 sur[T/3, 2T/3], v n = un sur [2T/3, T] .

Clairement gv n (T, gl , w l ) converge vers gF et w v n (T, wl ) vers wF lorsque n --* +oc ,d'où l 'assertion du théorème .

Remarques 3.11 . La politique de commande utilisant [19] pour à partir d'un éta tobtenir une vitesse angulaire quelconque sans changer la position est constructive e tle vecteur [b, [b, Q]] est colinéaire au champ Q évalué le long de la droite engendrépar b [10] .

La loi de commande proposée dans le théorème 3 nécessite pour être mise enoeuvre la détermination d'une géodésique soit l ' intégration d'une équation différentiell esur G x R n avec condition initiale et finale . D'un point de vue de consommationd'énergie elle est en un sens satisfaisante puisque l'on utilise au maximum le contrôl enul . Cette remarque est importante si l'on considère le fait que la commande optimal edonnée par le principle du maximum de Pontriaguine nécessite l'intégration d'un e

(C )

(D)

g u n (T

T

3 w3 ~ ô~l, wl

,gl~

w u " 3'

wl

j '

T

3 cv"

-~ wF

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équation différentielle avec condition initiale et finale sur T* (G x ff n ) soit avec deu xfois plus de paramètres ce qui interdit par exemple dans le problème de contrôl ed 'attitude toute mise en oeuvre numérique, les calculs devant être conduits en temp sréel [11] .

On peut comme dans le théorème 2 ne pas suivre la géodésique mais emprunterun chemin dans G constitué de portions de géodésique qui sont aussi des trajectoiresde champs de vecteurs invariants à gauche, ceci notamment pour éviter le calcul d ela géodésique et le problème posé par son instabilité . Cependant il est alors nécessairede fournir plus d'énergie au système car il faut lui donner de l'énergie pour saute rd'une géodésique du chemin choisi à la suivante .

4. Application au problème de contrôle d'attitude . Dans le cas particulier ducontrôle de l'attitude d 'un satellite rigide gouverné par des rétrofusées l'équation (D )s 'écrit :

d( )

p _W1

t– a 1 W 2( t) W 3( t ) + E uk(t)bl ,

dt

k= 1

p"2(0= a W t

t+

u k t b kdt

2 1( ) W 3( )

~

() 2 ~k-1

dû) 3 ( t)

p= a

t) W t)+ E l.tk ( t ) 3 ~b kdt

3 W 1(

2(k- 1

avec

I2 —I3

I3 —I1

I1 —I2a 1 =

, a2

, a3 =I l

I2

13

I 1 > 12 > 12 > 0 désignent les moments d'inertie principaux du satellite supposés tousdistincts. Le groupe G est SO(3) bien que pour les calculs numériques il est judicieu xde représenter le système sur le groupe des quaternions Sp(1), en effet le plongemen tnaturel de SO(3) est dans le et celui de son revêtement universel dans R4 puisqueSp(1) — S 3 , d'où une économie sensible sur le nombre des paramètres à conserver e nmémoire .

Le dispositif de commande est constitué par p couples de rétrofusées, les rétro -fusées étant couplées pour émettre du gaz dans deux directions opposées .

Le système libre possède 4 intégrales premières qui expriment la conservation d el 'énergie cinétique et du vecteur moment cinétique au cours du mouvement . Les orbitesinvariantes par le flot défini par les équations d 'Euler (cf . le remarque 2.5) sont le ssurfaces 11(4: + IZW 2 + licol = constante qui expriment la conservation au cours dumouvement de la norme du moment cinétique .

L 'équation est complètement intégrable, toutes les trajectoires sont périodiquesde période non nulle excepté les trois axes de Be notés e 1 . e 2 , e 3 qui sont des ensemblesde positions d'équilibre et une famille de trajectoires constituées de demi-ellipses e tqui sont toutes situées dans deux plans notés H1 et H2 définis par l'équation a 3 Wi —

a 1 W 3 = 0 (cf. [2] et [8]) .Les trois axes et ces deux plans sont les seuls sous-espaces vectoriels de le invariants

par le flot défini par les équations d 'Euler et l'on peut en utilisant le théorème 1 e t[10] carâctériser géométriquement la contrôlabilité du système . Si on note B l 'espacevectoriel engendré par les vecteurs f b k k = 1, • • • , p}, le système est contrôlable àmoins que B soit contenu dans un des sous-espaces invariants de l'équations d 'Euler .En particulier le système est contrôlable avec un seul couple de rétrofusées à moins

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que le vecteur b = (b 1 , b2 , b 3 ) soit orienté le long d'un axe de R 3 ou appartienne à l 'undes plans invariants, H1 , H2 c 'est-à-dire a 3 b— a l b3 = 0 . Si l'on dispose non pas d'uncouple de rétrofusées mais d 'une seule rétrofusée et même en supposant que la poussé ede celle-ci est aussi grande que l 'on veut, i .e ., u(t) R + , le système (D) n 'est pluscontrôlable, en effet on met en évidence l'existence d 'une région invariante limité epar un des dièdres formées par les plans H1 et H2 .

Si l'on dispose de deux couples de rétrofusées ou plus la condition de local econtrôlabilité de l'équation (D) en 0 du lemme 3 .9, qui implique aussi que le système(C), (D) est fortement contrôlable si uk(t) E B tout entier d'après le théorème 3 ,équivaut à la condition du rang, c 'est-à-dire que l'espace vectoriel B doit être distinc t

de H1 et 112 . Cela résulte directement du fait que le champ de vecteurs [b, [b, Q]] estcolinéaire à Q évalué le long de la droite engendrée par b [10] . Par ailleurs comm eil est noté dans la remarque 3 .10 cela permet de construire pour le système un esynthèse locale et une loi de stabilisation locale autour de chaque état d'équilibre, c equi d 'un point pratique est fondamental . Il faut remarquer que d 'un point de vuephysique cette locale contrôlabilité avec seulement deux couples de rétrofusées n ' estpas évidente . En effet considérons le dispositif de commande suivant : p = 2, b 1 = e 1 ,

b 2 = e 2 , c 'est-à-dire que l'on peut opérer à l'aide de ce dispositif des rotations dusystème autour des deux axes d'inertie principaux e 1 et e 2 du satellite . Supposons quel'on veuille faire tourner le satellite dont la vitesse initiale est nulle autour de e 3 d'unangle E petit . La loi de commande en termes d'angles d 'Euler consiste à réaliser l echangement d'attitude en trois rotations successives, une rotation de 1r/2 par rapportà e l , une rotation de E par rapport à e 2 , une rotation de 7r/2 par rapport à e 1 (cf .[9], [11]) . La loi de commande donnée par [16] permet de réaliser le même changemen td 'attitude mais sans imposer de faire deux fois basculer le satellite d'un angle de 7r/2 .

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