RÉGLAGE D’ÉTAT

Corrigés d’exercices pour section 10.4 1 010314

E 10.4.10 Un système à régler est donné par son modèle d'état:

[ ]A b b cs s sv sT=

− −−

�

�

���

�

�

���

=�

�

���

�

�

���

= −�

�

���

�

�

���

=1000 47 07 3 6 00 0 08 0

48400

05450

0 0 0 314,,

,

Il est excité à travers un amplificateur modélisé par une fonction du premier ordre:K Tcm cm= = −2 2 10 2

A On veut y implanter un réglage d'état pour obtenir un comportement dynamique avec écartstatique nul, dépassement maximal de 5 %. Calculer temps de réponse minimal?B Introduire les valeurs dans regetat. Choisir les pôles selon A, pour un temps de réponsemaximal de 30 [ms]. Imprimer les valeurs choisies.C Calculer le régulateur d'état habituel obtenu. Imprimer les valeurs des paramètres.D Vérifier le comportement dynamique. Imprimer le graphique temporel. Commenter lerésultat obtenu.E Modifier le choix des pôles pour réduire le temps de réponse de 50 %, en utilisant unrégulateur d'état avec composante dérivée. Imprimer chaque étape comme B à D.F Si le cahier des charges n'est pas respecté, adapter le choix des pôles en conséquence. Dansle cas contraire, adapter le choix des pôles pour augmenter le dépassement à 7 %.

C 10.4.10 A On peut facilement le calculer par la trace de la matrice fondamentale dusystème global:

tr( ) tr( ) ,

tr( )[ ]

:,

[ ]

A A

A

G scm

systG

rminsyst

rminsyst

ms

on peut etre plus précis avec le tableau 6A ms

= − = −

= − = � = =

= =

11053 6

5211

314

2 110

T

t

t

ρρ

ρ

(4 pts)

B − = − = −ρclientrmax

3100

tOn choisit 3 pôles alignés sur –ρclient, les autres situés

loin sur la gauche pour être négligeables:Résumé

Pôles du système :

pôle (1) = -100-100i

pôle (2) = -100+100ipôle (3) = -100

pôle (4) = -390pôle (5) = -363.6

rho système = 210.72

rho client = 200

(6 pts)

RÉGLAGE D’ÉTAT

Corrigés d’exercices pour section 10.4 2 010314

C 10.4.10 (suite) C Le calcul est exécuté par le logiciel auquel on a indiqué de compenser lepôle –100.

Coefficients du régulateur

Composantes du vecteur ligne Kgt :

Kgt (1) = 1.776e-015Kgt (2) = 7.309e+000Kgt (3) = 2.161e+002Kgt (4) = 2.649e+005Kgt (5) = -3.332e+007

Kr / Ti = 3.332e+007

Kw = 3.332e+005

Kv = -6.495e+002

(2 pts)

D On obtient une réponse indicielle conforme au cahier des charges:

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Temps [s]

Réponse indicielle

Tmontée = 1.745e-002 [s]

Tr± 5% = 2.700e-002 [s]Tr± 2% = 4.740e-002 [s]D1% = 3.5 %T(D1) = 3.840e-002 [s]

Ess = 0.000e+000

(2 pts)

RÉGLAGE D’ÉTAT

Corrigés d’exercices pour section 10.4 3 010314

C 10.4.10 (suite) E On doit aligner les pôles sur –200 (double de la valeur en B) pour lenouveau temps de réponse (moitié de la valeur donnée en B). Sachant qu'avec composantedérivée, on en aligne 4:

Résumé

Pôles du système :

pôle (1) = -200-200ipôle (2) = -200+200ipôle (3) = -200pôle (4) = -200pôle (5) = -253.6

rho système = 210.72

rho client = 100

On obtient la réponse indicielle insatisfaisante.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Temps [s]

Réponse indicielle

Tmontée = 1.103e-002 [s]Tr± 5% = 1.640e-002 [s]Tr± 2% = 1.817e-002 [s]D1% = 0.9 %T(D1) = 2.372e-002 [s]Ess = 0.000e+000

On se rend compte que le 5e pôle, non compensé, n'est pas négligeable. Le temps de réponsen'est juste pas respecté. (5 pts)

RÉGLAGE D’ÉTAT

Corrigés d’exercices pour section 10.4 4 010314

C 10.4.10 (suite) F Pour compenser l'effet ralentisseur du 5e pôle, on va légèrementaugmenter (25 %) la partie imaginaire des pôles dominants, car on a de la réserve sur le plandépassement.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Temps [s]

Réponse indicielle

Tmontée = 9.331e-003 [s]Tr± 5% = 1.388e-002 [s]Tr± 2% = 1.514e-002 [s]D1% = 1.3 %T(D1) = 1.943e-002 [s]Ess = 0.000e+000

C'est gagné, on pourrait même encore augmenter la partie imaginaire pour réduire encore letemps de réponse car on n'a que 1,3 % de dépassement. On peut indiquer les paramètres durégulateur.

Coefficients du régulateur

Composantes du vecteur ligne Kgt :

Kgt (1) = 1.776e-015

Kgt (2) = 9.324e+000Kgt (3) = 3.126e+002

Kgt (4) = 6.846e+005Kgt (5) = -1.222e+008

Kr / Ti = 1.222e+008

Kw = 1.222e+006

Kv = -8.064e+002

Td = 3.054e+003

[ ]ksT = 9 3 31310 6 85 102 5, , , (8 pts)

Temps étudiant 50' Total: 27 pts

Remarque: On relèvera un coefficient d'intégration très élevé, ce qui peut conduire à lasaturation de la sortie du régulateur pendant les transitoires.