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ASSERVISSEMENTS DIGITAUX Corrigés d’exercices pour section 11.5 1 010529 Enoncé 11.4.2 Un système est excité à travers un échantillonneur-bloqueur (modèle du convertisseur D/A) de période 500ms, il est réglé par un régulateur digital de fonction de transfert k 0 : G z z z z z z '() ( , )( .) ( , )( , )( ,) s = + 01 09 06 04 03 A Calculer et tracer la réponse harmonique échantillonnée en boucle ouverte pour k 0 =1. B Faire tracer la réponse harmonique échantillonnée en boucle ouverte par MATLAB. C Calculer la valeur maximale de k 0 pour que le système asservi soit stable. Corrigé 11.4.2 A La fonction de transfert en boucle ouverte est simplement le produit des deux fonctions de transfert, chaque bloc ayant son propre échantillonneur. Pour k 0 =1, on a: G j j j j j j 0 01 09 06 04 03 ( ) (cos , sin )(cos . sin ) (cos , sin )(cos , sin )(cos , sin ) = + + + + + + On calcule module et argument de chaque terme pour des valeurs particulières de Ω,puis on somme les arguments et multiplie les modules pour obtenir module et argument de la réponse harmonique, pour 0° et 180°, le calcule de la phase est trivial et celui du module très simple : G 0 (j0°) =10,2 e j0° G 0 (j180°) = 0,04 e -j180° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 75° 90° 120° cos–0,1+jsin11.1° 22,1° 33,1° 44° 54,7° 65,2° 80,7° 95,7° 124,7° 0,9 0,91 0,91 0,93 0,94 0,95 0,98 1 1,05 cos+0.9+jsin5,3° 10,5° 15,8° 21,1° 26,4° 31,7° 39,8° 48° 65,2° 1,89 1,87 1,84 1,79 1,72 1,64 1,51 1,34 0,95 (cos–0,6+jsinΩ) −1 -24,3° -45,2° -62° -75,5° -86,9° -96,6° -109,5 -111,8 -141,8° 2,37 2,07 1,77 1,51 1,3 1,15 0,97 0,93 0,71 (cos–0,4+jsinΩ) −1 -16,5° -32,4 -47° -60,3° -72,4° -83,4° -98,3° -121° -136,1° 1,64 1,57 1,46 1,35 1,24 1,15 1,02 0,86 0,8 (cos–0,3+jsinΩ) −1 -14,2° -28,1° -41,5° -54,1° -65,9° -77° -92,4°-125° -132,7° 1,42 1,38 1,32 1,26 1,19 1,13 1,03 0,82 0,8 G 0 (j) Σ -38,6° -73,1° -101,6 -124,8 -144,1 -160,1 -179,7 -214,1 -220° Π 9,37 7,63 5,7 4,28 3,09 2,33 1,51 0,88 0,48 Voir tracé au verso B On fait appel à la fonction dnyquist à laquelle on fournit les polynômes sous forme de vecteurs de coefficients du polynôme développé. Attention: dnyquist n'est pas disponible dans The Student Edition of MATLAB. Voir tracé au verso

Cor 11402

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ASSERVISSEMENTS DIGITAUX

Corrigés d’exercices pour section 11.5 1 010529

Enoncé 11.4.2Un système est excité à travers un échantillonneur-bloqueur (modèle du convertisseur

D/A) de période 500ms, il est réglé par un régulateur digital de fonction de transfert k0:

G z z zz z z

' ( ) ( , )( . )( , )( , )( , )s = − +

− − −0 1 0 9

0 6 0 4 0 3 A Calculer et tracer la réponse harmonique échantillonnée en boucle ouverte pour k0=1.B Faire tracer la réponse harmonique échantillonnée en boucle ouverte par MATLAB.C Calculer la valeur maximale de k0 pour que le système asservi soit stable.

Corrigé 11.4.2 A La fonction de transfert en boucle ouverte est simplement le produit desdeux fonctions de transfert, chaque bloc ayant son propre échantillonneur. Pour k0=1, on a:

G j j jj j j0

0 1 0 90 6 0 4 0 3

( ) (cos , sin )(cos . sin )(cos , sin )(cos , sin )(cos , sin )

Ω Ω Ω Ω ΩΩ Ω Ω Ω Ω Ω

= − + + +− + − + − +

On calcule module et argument de chaque terme pour des valeurs particulières de Ω,puis onsomme les arguments et multiplie les modules pour obtenir module et argument de la réponseharmonique, pour 0° et 180°, le calcule de la phase est trivial et celui du module très simple :

G0(j0°) =10,2 ej0° G0(j180°) = 0,04 e-j180°

Ω 10° 20° 30° 40° 50° 60° 75° 90° 120°

cosΩ–0,1+jsinΩ 11.1° 22,1° 33,1° 44° 54,7° 65,2° 80,7° 95,7° 124,7°0,9 0,91 0,91 0,93 0,94 0,95 0,98 1 1,05

cosΩ+0.9+jsinΩ 5,3° 10,5° 15,8° 21,1° 26,4° 31,7° 39,8° 48° 65,2°1,89 1,87 1,84 1,79 1,72 1,64 1,51 1,34 0,95

(cosΩ–0,6+jsinΩ)−1 -24,3° -45,2° -62° -75,5° -86,9° -96,6° -109,5 -111,8 -141,8°2,37 2,07 1,77 1,51 1,3 1,15 0,97 0,93 0,71

(cosΩ–0,4+jsinΩ)−1 -16,5° -32,4 -47° -60,3° -72,4° -83,4° -98,3° -121° -136,1°1,64 1,57 1,46 1,35 1,24 1,15 1,02 0,86 0,8

(cosΩ–0,3+jsinΩ)−1 -14,2° -28,1° -41,5° -54,1° -65,9° -77° -92,4°-125° -132,7°1,42 1,38 1,32 1,26 1,19 1,13 1,03 0,82 0,8

G0(jΩ) Σ -38,6° -73,1° -101,6 -124,8 -144,1 -160,1 -179,7 -214,1 -220° Π 9,37 7,63 5,7 4,28 3,09 2,33 1,51 0,88 0,48

Voir tracé au verso

B On fait appel à la fonction dnyquist à laquelle on fournit les polynômes sous forme devecteurs de coefficients du polynôme développé. Attention: dnyquist n'est pas disponibledans The Student Edition of MATLAB. Voir tracé au verso

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Corrigés d’exercices pour section 11.5 2 010529

Corrigé 11.4.2 C A l'intersection avec l'axe réel, on lit un module de 1,51 , donc on nepourra pas ajuster un gain k0 supérieur à 1/1.51 = 0,66 sous peine de déstabiliser le systèmeasservi.

Tracé manuel

Tracé MATLAB.