IUT GEII Brest2ieme année

Année 2012-2013

Correction du TD 2 : Modélisation et Fonctions de Transfert

Exercice 1: Moteur électrique à ux inducteur constant

Nous considèrons un moteur électrique à ux inducteur constant (soit à courant inducteurconstant, soit à aimant permanent) dont l'induit est alimenté par une tension U et parcourupar un courant i(t).

Question 1.1. L'énoncé permet d'établir les équations suivantes :

Equation électrique :

U(t) = E′(t) + ri(t) + Ldi(t)

dt(1)

Equations électromécaniques : la force contre-électromotrice (fcem) est proportionnelleà la vitesse de rotation et le couple moteur exercé est proportionnel au courant dansl'induit

E′(t) = kΩ(t) (2)

Cm(t) = ki(t) (3)

Equation mécanique (principe fondamental de la dynamique) : le couple moteur équilibreles couples resistants

Cm(t) = JdΩ(t)

dt(4)

Sous l'hypothèse que les conditions initiales sont nulles, le passage dans le domaine de Laplacedonne :

U(p) = E′(p) + rI(p) + LpI(p) (5a)

E′(p) = kΩ(p) (5b)

Cm(p) = kI(p) (5c)

Cm(p) = JpΩ(p) (5d)

1.1 Calcul direct de la fonction de transfert

Question 1.2. En manipulant les équations précédentes, nous trouvons

U(p) = Ω(p)

(k +

Jp(r + Lp)

k

)(6)

La fonction de transfert T (p) = Ω(p)U(p) s'exprime alors sous la forme :

T (p) =1k

1 + Jrk2p+ JL

k2p2

(7)

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Question 1.3. La vitesse est la dérivée de la position, c-a-d :

Ω(t) =dθ(t)

dt(8)

Ce qui équivaut dans le domaine de Laplace à :

Ω(p) = pθ(p)⇒ θ(p)

Ω(p)=

1

p(9)

On en déduit alors la fonction de transfert qui lie l'entrée U(p) à la sortie θ(p) :

H(p) =θ(p)

U(p)=θ(p)

Ω(p)× Ω(p)

U(p)=T (p)

p(10)

Question 1.4. Nous voulons mettre T (p) sous la forme :

T (p) =A

1 + a1p+ a2p2(11)

En identiant cette expression avec l'equation (7) nous obtenons :

A =1

k(12a)

a1 =Jr

k2(12b)

a2 =JL

k2(12c)

Les valeurs numériques données sont :

J = 36kg.cm2(36.10−4kg.m2)r = 0.28ΩL = 80µHE ′ = 44V à 1000tr/mn(k = 0.423V/(rad.s−1))

⇒A = 2.36a1 = 0.0056a2 = 1.609× 10−6

(13)

Question 1.5. Nous voulons mettre T (p) sous la forme :

T (p) =A

(p− p2)(p− p1)(14)

Les pôles sont donnés par les valeurs de p annulant le dénominateur. Dans (11), les valeursannulant le dénominateur s'obtiennent en recherchant les racines du polynome

a2p2 + a1p+ 1

Le discriminant est égal à ∆ = a21 − 4a2. Les deux racines sont donc égales à

p1 =−a1 −

√∆

2a2≈ −3291 (15)

p2 =−a1 +

√∆

2a2≈ −188 (16)

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Question 1.6. En utilisant les équations de l'équations 1.1, nous obtenons les relations :

I(p)

U(p)− E′(p)=

1

r + Lp(17)

Cm(p)

I(p)= k (18)

Ω(p)

Cm(p)=

1

Jp(19)

E′(p)

Ω(p)= k (20)

Nous obtenons alors le schéma bloc suivant :

−+U(p)

1r+Lp

ε(p)k

1Jp

1p

I(p) Cm(p) Ω(p)

k

θ(p)

E′(p)

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