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CORRIGE TD n°7 Interférences à N ondes :

Les réseaux EXERCICE 1 : Réseau par réflexion

1. Quelle est la direction correspondant à l’ordre 0, pour un réseau par réflexion ? 2. Que devient la formule fondamentale donnant l’ordre p pour un réseau par réflexion ?

CORRECTION

1. Les chemins optiques JOn+1 et OnI nous donnent la différence de marche 1n nJO O Iδ +=− + entre deux motifs voisins. En surveillant les signes (pour cette

figure, nous avons 0 et 0iθ θ> < , nous obtenons : ( )sin sin iaδ θ θ= +

A l’ordre zéro, 0δ= , JOn+1 et OnI se compensent et iθ θ=− , « comme » pour la lumière réfléchie par un miroir plan.

2. Plus généralement, la formule donnant l’ordre p est : ( ) 0sin sin .i paλθ θ+ =

EXERCICE 2 : Minimum de déviation A l’ordre p, la lumière incidente est déviée par le réseau de l’angle p p iD θ θ= − . L’angle de déviation D est fonction du pas a du réseau, de la longueur d’onde λ, de l’ordre p d’observation et de l’angle d’observation θi. Etudions l’influence d’une variation de l’angle d’incidence : le réseau pivote autour d’un axe parallèle aux traits. La tache d’ordre 0 reste bien entendu immobile. Et lorsque iθ varie dans un sens constant, l’ordre p, se rapproche puis s’éloigne de l’ordre 0 : la déviation passe par un minimum. La valeur de iθ au minimum de déviation dépend de l’ordre p.

1. Montrer que le minimum de déviation à l’ordre p est donné par : 02arcsin

2mpD

aλ⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

On considère un réseau à 500 traits par mm, éclairé par un laser He-Ne de longueur d’onde 633 nm.

2. Calculer, pour l’ensemble des ordres possibles, les diverses valeurs de pθ possible pour 0.iθ =

3. Calculer pour l’ensemble des ordres possibles, les déviations minimales. CORRECTION

1. Les relations utiles sont : p p iD θ θ= − et 0sin sinp ipaλθ θ= + . Pour un ordre p et une

longueur d’onde λ0 donnés, différencions celles-ci :

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et cos cosp p i p p i idD d d d dθ θ θ θ θ θ= − = .

Soit encore : cos 1cos

ip i

p

dD dθ θθ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠. La déviation est donc stationnaire si :

cos cosp iθ θ= . La solution p iθ θ= , correspond à l’ordre 0, pour lequel la déviation est bien stationnaire : elle est constante et nulle. Le cas intéressant est donc p iθ θ=− . Nous avons alors :

0, ,2 , et 2arcsin

2m p p m ppD D

aλθ

⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

A l’ordre p, la déviation passe par un extremum lorsque p iθ =-θ : le plan du réseau est bissecteur des rayons incidents et déviés. A l’ordre p, la déviation

minimale est : ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

0m,p

pλD =2arcsin

2a.

2. Déterminons la valeur de : 5 600 5 10 0,633 10 0,317.n

aλ λ −= = × × × = Les valeurs de pθ

possibles sont telles que : sin 0,317 ; 0,633 ; 0,950pθ =± ± ± . Ce qui nous donne : 0 1 2 30 ; 18 27 ' ; 39 16 ' ; 71 48'.θ θ θ θ± ± ±= =± ° =± ° =± °

3. La valeur de 0 0 0,158 ;2 2

naλ λ= = les valeurs de Dm possibles sont telles que :

sin 0,158 ; 0,317 ; 0,474 ; 0,633 ; 0,790 et 0,950.2

mD =

Ce qui donne : 1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

18, 2 avec 9,136,9 avec 18,556,7 avec 28,378,5 avec 39,3104,6 avec 52,3143, 4 avec 71, 2

m i

m i

m i

m i

m i

m i

DDDDDD

θθθθθθ

= ° =− °= ° =− °= ° =− °= ° =− °= ° =− °= ° =− °

EXERCICE 3 : Détermination du pas d’un réseau, mesure d’une longueur d’onde. Un réseau de pas a est éclairé par un faisceau parallèle provenant d’une lampe au mercure. On isole tout d’abord la raie verte de longueur d’onde λ0 = 0,5461 µm. Le réseau est placé perpendiculairement au faisceau incident et l’on pointe, pour les différentes valeurs de l’ordre k du spectre. Le résultat des mesures est indiqué dans le tableau suivant :

k=1 k=2 k=3 θ θ’

17°22’ 17°24’

36°41’ 36°40’

63°37’ 63°40’

1. Ces mesures permettent-elles de vérifier que le réseau est bien perpendiculaire au faisceau incident ? Calculer le pas a du réseau puis le nombre de traits par millimètre.

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2. On éclaire maintenant le réseau avec une raie bleue assez intense du spectre du mercure, de longueur d’onde inconnue λ1. Pour cette raie, dans le spectre du second ordre,

θ = 32°31’ et θ’=-32°34’. Calculer λ1. CORRECTION

1. On remarque que les valeurs de θ et θ’ sont symétriques aux erreurs de mesure près ; ceci montre que i = 0. On vérifie sans peine que, conformément à la théorie :

( )sin sin ' / 2 /k aθ θ λ− = Est indépendant de l’ordre k aux erreurs de mesure près. La valeur moyenne de ce rapport est 0,2987. On en déduit :

/ 0, 2987 1,8283 µma λ= = Le nombre de traits par millimètre est :

1/ 547 traits/mmN a= = 2. La relation rappelée ci-dessus donne :

( )( )1 1 1/ 4 sin sin ' 0, 4917 µmaλ θ θ= − = C’est la raie bleue du mercure ; la valeur habituellement tabulée est 0,4916 µm.

EXERCICE 4 : Résolution à l’ordre k d’un réseau. Soit un réseau de pas a dont N traits sont éclairé à l’incidence i par une lumière monochromatique de longueur d’onde λ.

1. Déterminer l’angle d’émergence à l’ordre k. La source est en faite bi-modale, c'est-à-dire qu’elle émet à 2 longueurs d’onde très proche λ et λ+∆λ

2. A l’ordre k, et sous incidence i, quelle est la séparation angulaire ∆θ, correspondant à cette séparation en longueur d’onde.

On rappelle que l’éclairement diffracté par un réseau est donné par :

( ) ( )( ) ( )

2

2 sin / 2 2. avec sin sinsin / 2 i

N as s Aϕ πθ ϕ θ θ

ϕ λ∗ ⎡ ⎤

= = = −⎢ ⎥⎣ ⎦

E

3. Calculer la déviation angulaire δθ, qui correspond à un déphasage δϕ, tel que l’on passe du pic d’ordre k pour la longueur d’onde λ à son premier minimum nul.

On rappelle que deux raies sont discernables si leur écart angulaire ∆θ est supérieur à l’écart les séparant de leur premier 0 adjacent, soit ∆θ> δθ.

4. En déduire le pouvoir de résolution théorique du réseau et conclure. CORRECTION

1. L’angle d’émergence à l’ordre k est : ( )sin sin /i k aθ θ λ− =

2. A l’ordre k, et sous incidence i, la séparation angulaire ∆θ, correspondant à cette la séparation ∆λ en longueur d’onde est :

cos /k k aθ θ λ∆ = ∆ 3. Au voisinage du pic, les zéros adjacents de la fonction d’interférence vérifient :

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2 22 2 soit k kN Nπ πϕ π δϕ π δϕ= ± = ± = .

Pour un bon réseau, le nombre de traits éclairés est usuellement élevé, de sorte que δϕ est très petit. Sachant que le déphasage entre deux traits voisins est :

( )2 sin sin iaπϕ θ θ

λ= −

Nous en déduisons : 2 cosaπδϕ θδθ

λ=

Ainsi, le pic d’ordre k et le premier zéro adjacent sont séparés angulairement de δθk, avec :

0cos k Naλθδθ =

4. Il faut que :

soit : k ka Naλ λθ δθ ∆

∆ > >

Et donc :

Nk λλ

>∆

.

Le pouvoir de résolution du réseau est donc : R Nk=

EXERCICE 5 : Résolution et luminosité. La fente d’entrée, de largeur e, d’un spectromètre à réseau de pas a est placée dans le plan focal image d’une lentille de distance focale '

1f . Le spectre d’ordre k est observé dans le plan focal image d’une lentille convergente de distance focale '

2f . On supposera que e est très petit par rapport à '

1f . Faisons aussi l’hypothèse que l’image, sur l’écran d’une fente source infiniment fine est, elle aussi, de largeur négligeable (Rthéorique= infini).

1. On suppose la source monochromatique. Déterminer la largeur e’ de l’image de la fente dans l’ordre k en fonction de l’onde d’incidence moyen θi0 et de l’angle d’émergence moyen θ0.

2. Les deux composantes d’un doublet ont pour longueur d’onde λ et λ+∆λ. A quelle condition les images de la fente d’entrée sont elles séparées ? En déduire le pouvoir de résolution Rspectro du spectromètre lorsque le réseau est utilisé au voisinage du minimum de déviation.

3. Calculer Rspectro pour des réseaux de 100 traits par mm et de 1000 traits par mm. Justifier l’approximation proposée au début de l’énoncé. Données : e = 0,1 mm ; '

1 10 cmf = ; p =1 ; λ = 0,5 µm. 4. Vérifier que si Φ est le flux lumineux correspondant à une raie, le produit ΦR est

constant lorsqu’on élargit la fente d’entrée. CORRECTION

1. A l’ordre k, utilisons la relation du réseau :

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( )sin sin /i k aθ θ λ− =

Le faisceau incident a une faible ouverture angulaire '1

ief

δθ = . A k et λ donnés, le

faisceau émergent aura l’ouverture '2

ef

δθ = . En différenciant la relation fondamentale

à k et λ donnés, il vient : 0 0cos cos 0,i iθ δθ θ δθ− =

ce qui donne :

2. A 0i iθ θ= et k donnés, déterminons l’écart angulaire δθ des faisceaux de longueur d’onde λ et λ + ∆λ émergents :

0cos /k aθ θ λ∆ = ∆ Le doublet est résolu si les fentes images sont séparées, soit ,θ δθ∆ > ce qui nous donne :

0'1

cos ie pf a

λθ ∆<

A la limite de résolution, il vient donc : '

1

0cos i

fR ke a

λ λλ θ

= =∆

Au minimum de déviation : '

10 2

0

22sin , soit 2 1

ifk R

a aep

λθ

λ

=− =⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

3. Pour 100 traits par mm, R = 50 et pour 1000 traits par mm R = 515. Cette valeur est très faible comparée à la résolution intrinsèque, qui est de l’ordre de 10000 pour un réseau de 1000 traits par mm éclairé sur une largeur de 1 cm. L’élargissement des raies est donc essentiellement dû à la largeur de la fente d’entrée.

4. Pour un montage donné, le flux lumineux entrant est proportionnel à la largeur e de la

fente d’entrée. R étant proportionnel à 1/e, on en déduit que le produit ΦR est constant.

'02

'1 0

cos' .cos

ife ef

θθ

=