Cottet-Emard Probabilités et tests d’hypothèse · rapidement une présentation complète mais simple des lois classiques et sophistiquées permettant d’effectuer les tests sur

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François Cottet-Emard

Probabilités et tests d’hypothèseUn cours écrit comme il a été donné, simple et clair, partant toujours des exemples concrets pour arriver à une formulation rigoureuse.Cet ouvrage regroupe les probabilités et les tests d’hypothèse enseignés dans les trois premières années universitaires, aussi bien dans les filières mathématiques que biologiques ou appliquées.

Les notions sont présentées de façon simple et claire, pour pouvoir être accessibles à tous les publics, tout en restant rigoureuses. Certaines notions, comme les germes de probabilité et les notions fines sur les lois continues, réservées au public de mathématiciens, sont clairement indiquées.

L’ouvrage fait la liaison avec la classe terminale et peut même être abordé par les élèves de TS un peu curieux. Les chapitres de niveau supérieur sont regroupés en fin d’ouvrage, pour être abordés uniquement si nécessaire. La loi normale, par contre, est introduite assez tôt, car elle est vite indispensable. Le lecteur biologiste ou médecin a ainsi rapidement une présentation complète mais simple des lois classiques et sophistiquées permettant d’effectuer les tests sur les moyennes, les variances et l’homogénéité des échantillons.

Chaque notion est illustrée par des exemples dans le cours et de nombreux exercices corrigés en fin de chapitre. Les chapitres s’adressant au niveau L3 restent aussi parfaitement accessibles, car aucune connaissance fine de la théorie de la mesure n’est requise.

ISBN 978-2-8041-8466-7

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Les « plus » De nombreux exemples viennent éclairer la théorie

De nombreux exercices corrigés en fin de chapitre

Calculs numériques présentés avec les logiciels commerciaux actuels

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François Cottet-Emard Directeur d’Études pour la Licence en mathématiques à l’Université de Paris-Sud, jusqu’en 2011, Maître de Conférences Hors-Classe.

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Dans le cadre du nouveau Système Européen de Transfert des Crédits (ECTS), ce manuel couvre les niveaux :en France : Licence 2, 3 et Master 1.en Belgique : Baccalauréat 2, 3 et Master 1.en Suisse : Baccalauréat 2, 3 et Master 1.au Canada : Baccalauréat 2, 3 et Master 1.

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Probabilités et tests d’hypothèse

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cours et exercices corrigés

Licence de mathématiques et de biologieu

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PROHYP-PG TITRE.indd 1 19/02/14 08:15

Licence Maîtrise Doctorat

MathématiquesAslAngul C., Des mathématiques pour les sciences. Concepts, méthodes et techniques pour la modélisationAslAngul C., Des mathématiques pour les sciences 2. Corrigés détaillés et commentés des exercices et problèmesBogAert P., Probabilités pour scientifiques et ingénieurs. Introduction au calcul des probabilitésCottet-emArd F., AnalyseCottet-emArd F., Analyse 2. Calcul différentiel, intégrales multiples, séries de FourierCottet-emArd F., Calcul différentiel et intégral. Exercices et problèmes corrigésCottet-emArd F., Algèbre linéaire et bilinéaireduPont P., Exercices corrigés de mathématiques. Tome 1. Algèbre et géométrie. 3e éd.duPont P., Exercices corrigés de mathématiques. Tome 2. 3e éd.etienne d., Exercices corrigés d’algèbre linéaire. Tome 1etienne d., Exercices corrigés d’algèbre linéaire. Tome 2mArChAnd m., Outils mathématiques pour l’informaticien. Mathématiques discrètes. 2e éd.

PhysiqueAslAngul C., Mécanique quantique 1. Fondements et premières applicationsAslAngul C., Mécanique quantique 2. Développements et applications à basse énergie. 2e éd.AslAngul C., Mécanique quantique 3. Corrigés détaillés et commentés des exercices et des problèmesBéCherrAwy t., Optique géométriqueBiémont é., Spectroscopie atomique. Instrumentation et structures atomiquesBiémont é., Spectroscopie moléculaire. Structures moléculaires et analyse spectraleChAmPeAu r.-J., CArPentier r., lorgeré i., Ondes lumineuses. Propagation, optique de Fourier, cohérencetAillet r., Optique physique. Propagation de la lumièrewAtsky A., Thermodynamique macroscopique






© De Boeck Supérieur s.a., 2014 1re édition Fond Jean Pâques, 4 – 1348 Louvain-la-Neuve

Tous droits réservés pour tous pays. Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par

photocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.

Imprimé en Belgique

Dépôt légal : Bibliothèque nationale, Paris : mars 2014 Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2014/0074/042 ISBN 978-2-8041-8466-7

Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboeck.com


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mathsAvant-propos

Ce cours de probabilité s’adresse à un public très varié, aussi bien aux débutantsqu’aux étudiants des classes préparatoires, dans le cadre des nouveaux programmes, etjusqu’aux étudiants des L3 de mathématiques. Il débute par le formalisme des univers etdes germes de probabilités, ce qui est souhaitable, mais peut paraître un peu rébarbatifaux étudiants non mathématiciens, par exemple biologistes, qui vont vite s’abstrairede ce formalisme dans le cadre courant de l’équiprobabilité. J’ai bien pensé à eux, etplusieurs paragraphes sont répétés, une fois avec le formalisme « mathématique » etune seconde fois avec une terminologie plus courante. Je n’ai pas oublié, en écrivant,que j’ai débuté ma carrière à la Faculté des Sciences d’Orsay en enseignant justementles probabilités et les tests d’hypothèse aux étudiants de la filière biologie.L’ouvrage commence bien sûr par les probabilités discrètes, sur un univers fini ou infini.Mais il introduit relativement vite l’incontournable loi normale et le théorème de lalimite centrée. L’approximation par la loi normale est omniprésente, facile à maîtriseret à utiliser. Elle est d’ailleurs largement présente dans les programmes des lycées. Ellene nécessite aucune connaissance générale sur les lois à densité, qui seront introduitesplus tard, après les tests d’hypothèse. Ceux-ci utilisent majoritairement la loi binomiale,la loi de Poisson, la loi normale et ses ramifications que sont la loi de Student et laloi du chi-deux. Ces deux dernières lois sont utilisées couramment en biologie ou enmédecine, sans qu’il soit besoin de bien maîtriser le fondement mathématique sous-jacent. Je les introduis donc juste après la loi normale, et elles sont utilisées dans lestests d’hypothèse classiques. Je fais de même avec la loi de Fisher, bien utile en biologieet même en médecine.La pratique des lois à densité demande assez rapidement une certaine aisance dans lesintégrales doubles, et je suis obligé de supposer, pour le chapitre sur les couples devariables aléatoires, que le lecteur a cette maîtrise du calcul intégral, et en particulierdes changements de variables dans les intégrales doubles.L’ouvrage se termine enfin par les chaînes de Markov, que je limite aux cas simples,

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mathsProbabilités et tests d’hypothèses

sans entrer dans la classification complète. Ce chapitre est même accessible dès la finde la Terminale ES, je pense. Les exemples sont tous en dimension 2 et 3. Certainsthéorèmes admis font appel à des résultats poussés d’algèbre linéaire, mais sont bienpratiques à utiliser !Les deux tiers de l’ouvrage sont consacrés à des exercices résolus. Ils permettent debien comprendre, du moins je l’espère, le contenu de chaque chapitre. Certains fontpreuve d’un peu d’humour, et cela détendra l’aspect mathématique des probabilités !J’ai écrit cet ouvrage de la même façon que ceux d’algèbre et d’analyse que j’ai déjàpublié aux éditions De Boeck Supérieur : c’est un cours écrit comme je l’ai parlé etenseigné, en essayant de rester clair, simple et accessible, en rejetant tout dogmatismeinutile et trop théorique. J’évoque là où il faut les difficultés théoriques venant de lathéorie de la mesure, mais je glisse très rapidement dessus.J’ai créé ce livre au fur et à mesure des années 2005-13 lorsque, en plus de mes coursofficiels, j’ai fait travailler en petit groupe certains de mes étudiants souhaitant devenirtrès performants en probabilités, et en particulier ceux, et surtout celles, se destinantaux métiers de l’enseignement. Je les ai suivies du L2 jusqu’au M2 et au CAPES.Plusieurs ont aussi bifurqué vers la finance, et font tout autant ma fierté, en Belgiqueou au Royaume-Uni.Je remercie plus particulièrement Alice, Audrey, Beverly, Emilie, Florence, Jennifer,Julie, Oriane et Sophie qui m’ont, sans s’en rendre compte, obligé à peaufiner et àremettre en cause au fil du temps le contenu de cet ouvrage, jusqu’à notre satisfactioncommune. Avec leur aide, à défaut de réaliser un ouvrage parfait, j’ai écrit un livreagréable à lire et bien complet. Merci en particulier à Alice, qui a relu ligne par ligneplusieurs chapitres, qui n’a pas hésité à remettre en cause certaines parties de l’ouvrage,et qui m’a poussé à augmenter le nombre de figures et la clarté du texte.J’ai écrit certaines pages de cet ouvrage dans ce grandiose Château de l’Aisne, oùj’aime séjourner entre champagne et gastronomie, dans la grandeur et le calme de sesappartements, dans cette Picardie qui me tient à cœur depuis toujours. J’y remercieen particulier Solène, qui s’est courageusement amusée à relire une grande partie del’ouvrage, et à y trouver au moins une faute d’orthographe. Elle saura se reconnaître,comme toutes celles que j’ai déjà remerciées ici.

Courcelles-sur-Vesles, août 2013

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mathsTable des matières

Chapitre 1 Dénombrements dans un ensemble fini1 Ensembles et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Réunion de deux parties de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Intersection de deux parties de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Parties disjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Complémentaire d’une partie de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Partition de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Produit d'ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Cardinal d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3 Nombre de permutations d’un ensemble à n éléments . . . . . . . . . . . . . . . 84.4 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Arrangements de n objets p à p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.3 Calcul du nombre d’arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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6 Combinaisons de n objets p à p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.3 Calcul du nombre de combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.4 Expression de(np

)avec les factorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Les formules classiques avec les combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.1 Valeurs aux bornes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.2 Une forme de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.3 Le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.4 La formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7.5 La somme(n0

)+

(n1

)+ · · ·+

(nn

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7.6 D’autres sommes du même style . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Dérangements de n éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chapitre 2 Probabilités sur un ensemble fini1 Univers mathématique fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.1 Description de la situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.2 Poids d’une partie de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.3 Propriétés du poids d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.4 Un peu de sophistication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Le lancer d'un dé : modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1 Un seul lancer du dé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2 Un lancer de deux dés simultanés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Univers associé à une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1 Définition d’un univers de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Evènement dans cet univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3 Probabilité sur Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Seconde définition d’une probabilité sur un univers fini Ω . . . . . . . . . . 46

4 Premiers exemples de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 Le cas fondamental de l'équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 Résolution plus élémentaire des exemples précédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 Probabilités conditionnelles et évènements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1 Idée courante de la probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2 Définition de la probabilité conditionnelle P (A/B) . . . . . . . . . . . . . . . . 58

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Avant-propos

8 Evènements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 Exemple fondamental de modélisation dans le cas de

non-équiprobabilité : lancers successifs d'une pièce truquée . . . . . . . . . . . . 60

Chapitre 3 Probabilités conditionnelles1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782 Définition et calcul de la probabilité conditionnelle P (A/B) . . . . . . . . . . . . 793 Formule élémentaire de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804 Formule élémentaire des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3 Application fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5 Formule générale des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846 Représentation avec un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867 Probabilité conditionnelle sachant plusieurs évènements . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Chapitre 4 Évenements indépendants - Répétitions indépen-dantes d'une expérience1 Deux évènements indépendants. Intuition courante et

caractérisation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061.1 Intuition courante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061.2 Caractérisation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061.3 Indépendance et évènements contraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2 Indépendance de N ≥ 3 évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.1 Indépendance de trois évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.2 Un nombre quelconque d’évènements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.3 Dans la pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3 Répétition n fois de suite et de façons indépendantesd'une même expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.1 Le cadre et le but . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.2 Probabilité d’avoir k succès parmi les n expériences . . . . . . . . . . . . . . 1103.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4 Temps d'attente du premier succès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.1 Le cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.2 Calcul de la probabilité du temps d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.3 Le temps d’attente peut-il être infini ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

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5 Probabilité produit. Univers associé à des évènementsindépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.1 L’univers Ω2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2 L’univers Ωp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Chapitre 5 Univers infinis - Le cas dénombrable1 Ensemble dénombrable. Notion de série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

1.1 Ensemble dénombrable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1241.2 Notion de série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1251.3 La série géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1251.4 La série exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261.5 Série absolument convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261.6 Importance de l’ordre des termes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2 Univers dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283 L'univers associé au temps d'attente du premier succès . . . . . . . . . . . . . . . . 1304 Les enfants d'une famille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315 Une première idée du cas non dénombrable. Notion de tribu . . . . . . . . . . . 132

Chapitre 6 Variables aléatoires discrètes1 Comment ça se passe en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

1.1 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361.2 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371.3 En pratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2 Cas d'un univers fini. Définition d'une variable aléatoire.Loi d'une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382.1 Variable aléatoire sur Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382.2 Loi de probabilité de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1392.3 Histogramme en bâton d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3 Cas d'un univers dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.1 Variable aléatoire sur Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.2 Loi de la variable aléatoire X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4 Les variables aléatoires incontournables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.1 Variable aléatoire suivant une loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.2 Variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p . . . . . . 1464.3 Variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . . . 1464.4 Variable aléatoire suivant une loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . 1494.5 Variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p . . . . 1504.6 Variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ . . . . . 150

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Avant-propos

5 Fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . 1516 Somme de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.1 Deux variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.2 Indépendance de n variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8 Deux exemples fondamentaux de sommes de variablesaléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.1 Somme de n variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de

Bernoulli de paramètre p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.2 Somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de

Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1599 Utilisation des logiciels commerciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

9.1 Loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.2 Loi de Poisson P (λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.3 Loi hypergéométrique H(N,M,n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Chapitre 7 Espérance et variance d'une variable aléatoire dis-crète1 Espérance d'une variable aléatoire prenant un nombre fini

de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1641.1 Définition de l’espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1641.2 Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme. . . . . . . 1661.3 Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli . . . 1661.4 Espérance d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, p) 1661.5 Remarque : théorème de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

2 Propriétés de l'espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673 Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale

ou une loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683.1 Espérance d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, p) 1683.2 Espérance d’une variable aléatoire suivant la loi hypergéométrique

H(N,M,n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694 Espérance d'une variable aléatoire prenant une infinité

de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695 Quelques formules mathématiques utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716 Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi

géométrique ou une loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.1 Loi géométrique de paramètre p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.2 Loi de Poisson de paramètre λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

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7 Espérance du produit de deux variables aléatoiresindépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8 Variance et écart-type d'une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1748.1 Définition de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.2 Autre écriture de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9 Variances des grandes lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.3 Loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.4 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.5 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

10 Variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . 17810.1 Expression de la variance d’une somme X + Y quelconque . . . . . . . 17910.2 Variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes . 17910.3 Variance de la somme de n variables aléatoires indépendantes . . . . 18010.4 Variance de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

11 Covariance de deux variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18111.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18111.2 Coefficient de corrélation de X et Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18111.3 Variance de la loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18211.4 Un peu d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

12 Récapitulatif des grandes lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18413 Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs

dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18613.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18613.2 Les exemples fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18613.3 Calcul de l’espérance et de la variance de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18713.4 Autre expression de la fonction génératice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18813.5 Fonction génératrice et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Chapitre 8 Majorations et convergences1 Approximation de la loi hypergéométrique par la loi

binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262 Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 2293 Autres approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

4.1 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.2 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

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Avant-propos

5 Bienaymé-Tchebychev, Bernoulli et Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.1 Enoncé de la loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2366.2 Cas particulier des variables de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2366.3 Généralisation à p caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Chapitre 9 La loi normale - Approximation par la loi normale- Lois du χ2 et de Student1 Préambule mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2482 Variable aléatoire à valeurs dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2493 Variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite

N (0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2503.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2503.2 Table de valeurs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2513.3 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

4 Variables aléatoires suivant la loi normale d'espérance m

et de variance σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2534.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2534.2 Calculs numériques avec N (m,σ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

5 Utilisation des logiciels commerciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556 Combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes

suivant des lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2557 Théorème de la limite centrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2578 Approximation de la loi binomiale par la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2589 Comment appliquer cette approximation binomiale-normale . . . . . . . . . . . . 25910 Loi du χ2 à n degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

10.1 La définition qui nous sera utile dans la suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26110.2 La définition comme loi continue, mais que nous n’utiliserons pas 26210.3 Espérance et variance du χ2(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26210.4 Un théorème de Cochran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.5 Calculs numériques par table et logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26410.6 Asymétrie de la distribution du χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

10.7 Approximation du χ2(n) pour n grand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

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11 Loi de Student à n degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26511.1 La définition que nous utiliserons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26511.2 Autre définition que nous n’utiliserons pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26611.3 Symétrie de la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26611.4 Valeurs numériques et logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26611.5 Approximation de la loi de Student pour n grand . . . . . . . . . . . . . . . . 267

12 Loi de Fischer-Snedecor Fn,m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Chapitre 10 Intervalle de fluctuation - Intervalle de confianced'une proportion1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2842 Seuil de risque et niveau de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2853 Intervalle de fluctuation d'une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2864 Intervalle de confiance d'une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

4.1 Modélisation théorique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2894.2 Obtenir numériquement l’intervalle de confiance de p . . . . . . . . . . . . . 2914.3 Commentaire sur la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

5 Première approche de la notion d'estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Chapitre 11 Estimateurs - Espérance ou variance1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3022 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3023 Estimateur biaisé ou non biaisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3034 Estimateur consistant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3044.2 Une condition suffisante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

5 Estimateur de l'espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3056 Estimateurs de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

6.1 Cas particulier où l’espérance m est connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3066.2 Cas général où l’espérance m est inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Chapitre 12 Intervalle de confiance de l'espérance et de la va-riance1 Intervalle de confiance de l'espérance lorsque la variance est

connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

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Avant-propos

2 Intervalle de confiance de l'espérance lorsque la variance estinconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

3 Intervalle de confiance de la variance lorsque l'espérance estconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

4 Intervalle de confiance de la variance lorsque l'espérance estinconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Chapitre 13 Tests d'hypothèses - Principes généraux1 Un exemple simple complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

1.1 Résolution du dilemne ń la pièce est-elle correcte ż ? . . . . . . . . . . . . . 3281.2 Analyse détaillée de la démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

2 Exemples de tests d'hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3303 Hypothèse nulle et hypothèse alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314 Fixer un risque maximal d'erreur de la conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3325 Fixer un paramètre à tester et une variable de test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3336 Fixer la règle de décision. Zone de rejet et zone

d'acceptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3346.1 Le principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3346.2 Zone de rejet bilatère de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3356.3 Zone de rejet unilatère à gauche de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3376.4 Zone de rejet unilatère à droite de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

7 Les risques de se tromper. La puissance du test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3407.1 Erreur (ou risque) de première espèce d’un test . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3407.2 Erreur (ou risque) de deuxième espèce d’un test . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3417.3 Comment retenir ces définitions sans se tromper . . . . . . . . . . . . . . . . . 3417.4 Puissance d’un test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

Chapitre 14 Tests d'hypothèses - La pratique1 Tests d'hypothèse sur une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

1.1 Test p = p0 contre p = p0 avec la loi binomiale proprement dite . . 3441.2 Test p = p0 contre p = p0 avec l’approximation par la loi normale 3461.3 Test p = p0 contre p < p0 avec la loi binomiale proprement dite . . 3471.4 Test p = p0 contre p < p0 avec l’approximation par la loi normale 3481.5 Test p = p0 contre p > p0 avec la loi binomiale proprement dite . . 3491.6 Test p = p0 contre p > p0 avec l’approximation par la loi normale 3501.7 Utilisation de la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3521.8 Exemple de test p = p0 contre p = p1 et calcul de la puissance. . . . 354

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2 Tests d'hypothèse sur une espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3552.1 Test m = m0 contre m = m0 lorsque la variance est connue . . . . . . 3562.2 Test de m = m0 contre m = m0 lorsque la variance est inconnue . 3582.3 Test m = m0 contre m < m0 lorsque la variance est connue . . . . . . 3602.4 Test de m = m0 contre m < m0 lorsque la variance est inconnue . 3612.5 Test m = m0 contre m > m0 lorsque la variance est connue . . . . . . 3632.6 Test de m = m0 contre m > m0 lorsque la variance est inconnue . 3652.7 Le test « m < m0 » contre « m > m0 » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3672.8 Comparaison des espérances de deux échantillons indépendants de

même variance connue ou inconnue. Principe général . . . . . . . . . . . . . 3672.9 Comparaison des espérances de deux échantillons indépendants de

même variance connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3682.10 Comparaison des espérances de deux échantillons indépendants de

même variance inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713 Tests d'hypothèse sur une variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

3.1 Test σ = σ0 contre σ = σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3753.2 Test σ = σ0 contre σ < σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3783.3 Test σ = σ0 contre σ > σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3813.4 Test σ ≤ σ0 contre σ > σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

4 Comparaison de deux variances - Test de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3844.1 Le cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3844.2 Le test H0 : σx = σy contre H1 : σx > σy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3854.3 Le test H0 : σx = σy contre H1 : σx = σy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

5 Test d'hypothèse ou intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3885.1 Cas de l’espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3885.2 Cas de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Chapitre 15 Variables aléatoires continues - Densité de proba-bilité1 Univers infini quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4242 Probabilité sur R ayant une densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4253 Variable aléatoire à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4263.2 Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue . . . . . . . . . 4273.3 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4283.4 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4283.5 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

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Avant-propos

4 Comment montrer qu'une variable aléatoire a une densité,et la calculer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

5 Variable aléatoire suivant une loi normale N (m,σ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4315.1 Loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4315.2 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4325.3 Variables aléatoires suivant la loi normale N (m,σ2) d’espérance m et

de variance σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4326 Variable aléatoire suivant une loi exponentielle

de paramètre λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4336.1 Définition mathématique et paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4336.2 Variable aléatoire sans mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

7 Variable aléatoire suivant la loi uniformesur un intervalle [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

8 Loi du χ2 à n degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4378.1 La définition qui nous sera la plus utile dans la suite . . . . . . . . . . . . . 4378.2 La densité de la loi du χ2(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4388.3 Espérance et variance du χ2(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

9 Loi de Student à n degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4399.1 La définition que nous utiliserons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4399.2 La densité de la loi de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

10 Loi de Fischer-Snedecor Fn,m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44011 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

11.1 Définition et propriétés immédiates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44111.2 Densité de la somme X + Y de deux variables indépendantes. . . . . 44211.3 Deux exemples typiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

12 Loi faible des grands nombres et théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . 443

Chapitre 16 Couples de variables aléatoires discrètes ou conti-nues1 Couple de variables aléatoires sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4682 Le cas d'un univers dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4703 Couple de variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4724 Fonction de répartition. Calcul de la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4754.2 Calcul de la densité à partir de la fonction de répartition . . . . . . . . . 476

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5 Lois marginales d'un couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4785.1 L’idée de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4785.2 Le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4795.3 Le cas des variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4815.4 Remarque fondamentale de non-unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

6 Lois conditionnelles dans un couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . 4847 Couple de variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

7.1 Variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4867.2 Cas des variables continues à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

8 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4909 Densité de la somme de deux variables aléatoires

indépendantes continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49110 Somme de deux variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49311 Le théorème de transfert pour les variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

11.1 Théorème pour une variable discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49511.2 Théorème pour un couple de variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

12 Le théorème de transfert et sa grande applicationpour les variables à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49612.1 Enoncé du théorème de transfert dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49712.2 Utilisation de ce théorème pour calculer la densité de h(X) . . . . . . 49712.3 Théorème de transfert pour un couple de variables à densité . . . . . 49812.4 Calcul de la densité de Z = h(X,Y ) connaissant la loi

du couple (X,Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49913 Espérance du produit de deux variables aléatoires

indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50114 Retour sur la covariance de deux variables quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . 502

Chapitre 17 Chaînes de Markov élémentaires - Le cas irréduc-tible en détail1 Un premier exemple qui converge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5382 Un deuxième exemple qui ne converge pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5413 Définition d'une chaîne de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5414 Graphe associé à une chaîne de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5435 La matrice de transition de la chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5456 Utilisation de la matrice de transition P pour passer

du temps n au temps n+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5476.1 Ecriture avec des vecteurs lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5476.2 Ecriture avec des vecteurs colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

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Avant-propos

7 Transition de l'état n à l'état n+m. La matrice Pm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5498 A propos des matrices stochastiques. Une remarque obscure

pour le moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5508.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5508.2 Une remarque obscure pour le moment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

9 Chaîne de Markov irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55210 Chaîne de Markov régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55311 Loi invariante d'une chaîne irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55412 Convergence d'une chaîne irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

12.1 Quelle est la limite éventuelle ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55712.2 En terme de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

13 Les conditions nécessaires et suffisantes de convergenced'une chaîne irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55813.1 Enoncés et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55813.2 Indications de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

14 Calcul explicite de l'état au temps général n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56115 Chaînes de Markov irréductibles périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

15.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56315.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56415.3 Plus généralement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

16 Chaînes de Markov réductibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

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mathsChapitre 1

Dénombrements dans unensemble fini

1 Ensembles et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Produit d'ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Cardinal d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Arrangements de n objets p à p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Combinaisons de n objets p à p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Les formules classiques avec les combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . 148 Dérangements de n éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Calculer des probabilités consiste majoritairement à savoir dénombrer des« cas possibles » et des « cas favorables ». Nous allons donc commencerpar un premier chapitre sur les dénombrements dans un ensemble fini.Le premier paragraphe est formé de rappels sur la théorie des ensembles.Cette théorie débouche vite sur des questions à la fois compliquées etpresque philosophiques. Pour simplifier les choses, à notre niveau, nousparlons des opérations ensemblistes à l’intérieur d’un certain ensembledonné et connu E.

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1. Ensembles et opérations

Rappelons qu’un ensemble E est constitué d’éléments, et que ces éléments sont tousdistincts. Une partie, ou sous-ensemble, de E contient quelques éléments de E.N’oublions pas l’ensemble vide, noté ∅, qui ne contient aucun élément, mais qui est trèsutile.

1.1 Inclusion

Un ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsque chaque élément de A appartientaussi à B. On note A ⊂ B.A est donc un sous-ensemble de B.

1.2 Réunion de deux parties de E

Etant donnés deux parties A et B de E, la réunion A∪B est la partie de E formé deséléments de E appartenant soit à A soit à B.Les ensembles A et B peuvent avoir des éléments en commun :

ou bien ne pas en avoir

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Chapitre 1 Dénombrements dans un ensemble fini

On a évidemment A ∪ ∅ = A.La réunion est associée au mot OU :

x ∈ A ∪B ⇐⇒ (x ∈ A) ou (x ∈ B)

Il s’agit du « ou » que l’on appelle « inclusif » : un élément de A ∪ B appartient à Aou à B, et il peut très bien appartenir aux deux ensembles.

La réunion se généralise évidemment à un nombre quelconque de sous-ensembles de E.

1.3 Intersection de deux parties de EEtant donnés deux sous-ensembles A et B de E, l’intersection A ∩ B est la partie deE formée des éléments appartenant à la fois à A et à B.

On a évidemment A ∩ ∅ = ∅.L’intersection est associée au mot ET :

x ∈ A ∩B ⇐⇒ (x ∈ A) et (x ∈ B)

L’intersection se généralise aussi à un nombre quelconques de sous-ensembles de E.

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1.4 Parties disjointesOn dit que deux parties A et B de E sont disjointes lorsque leur intersection est vide :il n’existe aucun élément de E qui soit à la fois dans A et dans B.Plus généralement, on dit que les n parties A1, · · · , An de E sont disjointes lorsqueAi ∩Aj = ∅ pour tout i = j. Cette notion se généralise à une infinité de parties de E,évidemment.

1.5 Complémentaire d'une partie de ESi A est une partie de E, l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à As’appelle complémentaire de A dans E, et se note A.

On a évidemment

• E = ∅.• ∅ = E.• A et A sont disjoints.• E = A ∪A.

En français, la négation de « OU » est « ET » et réciproquement. Il est facile de voirque

A ∪B = A ∩B A ∩B = A ∪B

Ceci s’exprime en français sous la forme suivante :

• Le contraire de « l’une des deux propriétés est vraie » est « les deux sont fausses ».• Le contraire de « les deux propriétés sont vraies » est « l’une ou l’autre est

fausse ».

Ces deux relations avec le complémentaire se généralisent à un nombre quelconque departies de E.

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1.6 Partition de EVoici une notion sans doute nouvelle, et très importante en probabillités.

Définition. Une famille A1, A2, · · · , An de parties non vides de E forme unepartition de E lorsque :

Elles sont disjointes : Ai ∩Aj = ∅ pour tout i = j.

Leur réunion est égale à E :n∪

i=1

Ai = E.

Voici quelques exemples.

1. Si A est une partie non vide et est différente de E tout entier, alors A et soncomplémentaire A forment une partition de E.

2. Dans un jeu de cartes, les quatre couleurs forment une partition.3. Dans un jeu de cartes, on obtient une partition en mettant dans A1 les as, dans

A2 les rois, dans A3 les dames et ainsi de suite. On obtient une partition en 13parties ayant chacune 4 éléments.

4. Soit E l’ensemble des Français. Appelons A1 l’ensemble des gens nés au mois dejanvier, A2 l’ensemble de ceux nés en février et ainsi de suite. A1, A2, · · · , A12

forment une partition de E.5. Soit E l’ensemble des familles de France. Notons A0 l’ensemble de celles sans

enfant, A1 l’ensemble de celles ayant un enfant, et ainsi de suite. Dans l’hypothèsepurement théorique où une famille peut avoir un nombre quelconque d’enfants(!!!), la famille infinie A0, A1, A2, · · · forme une partition de E.

6. Plus mathématique : soit An = [n, n+1[. La famille infinie des An, lorsque n ∈ Z,forme une partition de R.

Evidemment, les différentes parties formant une partition de E n’ont aucune raisond’avoir toutes le même nombre d’éléments ! Cela est vrai dans les exemples 2 et 3, maisfaux dans les autres.

Notation. On utilise l’opérateur⊔

, bien « rectangulaire » au lieu du∪

plusarrondi pour indiquer qu’une réunion se fait avec des ensembles disjoints. Pour

une partition de E, on notera donc E =n⊔

i=1

An. Mais ceci n’a aucun caractère

obligatoire.

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2. Produit d'ensembles

Dans ce paragraphe, E et F sont deux ensembles quelconques.

Définition. Le produit E × F est l’ensemble des couples (x, y) lorsque x décritE et y décrit F .

Exemples

– Si E = a, b, c et F = 1, 2,alors E × F = (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) .

– Le produit R× R est l’ensemble des couples (x, y) de réels. C’est le plan.– Z × Z est l’ensemble des couples (n,m) d’entiers relatifs, à savoir les points

du plan dont les deux coordonnées sont des entiers.

Cette définition se généralise au produit de n ensembles E1, E2, · · · , En : c’est l’ensembledes n−uplets (e1, e2, · · · , en) où ei est un élément quelconque de Ei.Souvent, on fait le produit n fois de suite du même ensemble. On le note En au lieude E × E × · · · × E.Par exemple, si E = 0, 1, alors

E3 = (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)

3. Cardinal d'un ensemble

Le cardinal d’un ensemble désigne le nombre de ses éléments. . .Ceci pose un problèmelorsque l’ensemble est infini. Nous n’entrerons pas dans ce cas de figure.Dans la suite du chapitre, E désigne un ensemble fini : cela veut dire que l’on peutnuméroter ses éléments sous la forme e1, e2, · · · , em où m est un entier naturel.Le cardinal de E, à savoir cet entier m, se note |E|.

Voici les quelques propriétés importantes sur les cardinaux. Nous travaillons toujoursavec des parties d’un certain ensemble E donné.

1. Si A et B sont disjointes, alors |A ∪B| = |A|+ |B|.

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2. Plus généralement, si A1, A2, · · ·An sont disjoints, alors le cardinal de la réuniondes Ai est égal à la somme des cardinaux des Ai.

3. En particulier, si A1, A2, · · · , An est une partition de E, alors |E| =n∑

i=1

|Ai|.

4. |A×B| = |A|× |B|. En effet, si A = a1, · · · , an et B = b1, · · · , bm, l’ensembleproduit A×B = (ai, bj) compte n×m éléments.

5. En particulier, si |E| = n, alors le cardinal de Ep est np. En effet, dans une suite(e1, e2, · · · , ep) de p éléments de E, on a n choix pour e1, n choix pour e2 et ainside suite. Il y a donc np choix au total.

6. La dernière propriété est plus délicate et fondamentale. Elle mérite un encadréspécial

Pour A et B quelconques |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|

En effet, quand on fait la somme |A| + |B|, on compte une fois chaque élémentde A ne se trouvant pas dans B, une fois chaque élément de B ne se trouvant pasdans A, mais deux fois chaque élément se trouvant à la fois dans A et dans B. Ilfaut donc enlever une fois ces éléments communs comptés en double.

Il existe une généralisation de cette formule à la réunion de n ensembles. Mais elle estvite pénible. Pour trois ensembles, on a

|A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |B ∩ C| − |C ∩A|+ |A ∩B ∩ C|

Exemple

Combien a-t-on d’entiers compris entre 1 et 300 inclus, qui sont divisibles par 5mais qui ne sont ni divisibles par 4, ni divisibles par 7 ?

• On se place dans l’ensemble E des entiers de 1 à 300 qui sont divisibles par5 : ils sont de la forme 5k avec 1 ≤ k ≤ 60, ce qui en fait |E| = 60.

• Soit A (respectivement B) le sous-ensemble de E formé des entiers divisiblespar 4 (respectivement 7). On cherche A ∪B. On calcule le cardinal de A∪B.

• A est l’ensemble des entiers de 1 à 300 divisibles par 5 et 4, i.e. par 20. Ilssont de la forme 20k avec 1 ≤ k ≤ 15, et |A| = 15.

• B est l’ensemble des entiers de 1 à 300 divisibles par 5 et 7, i.e. par 35. Ilssont de la forme 35k avec 1 ≤ k ≤ 8, et |B| = 8.

• A ∩B est l’ensemble des entiers de 1 à 300 divisibles par 5 et 4 et 7, i.e. par140. Il y en a deux (140 et 280), et |A ∩B| = 2.

• On a donc |A ∪ B| = 15 + 8 − 2 = 21. Dans E, il reste 60 − 21 = 39 entierscomme on le souhaite.

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4. Permutations

On se donne un ensemble E = e1, e2, · · · , en à n éléments. Pour simplifier les nota-tions, on va travailler sur E = 1, 2, · · · , n.

4.1 Exemple

Dans un ensemble, il n’y a pas d’ordre, et l’ensemble E = 1, 2, 3 est identique àl’ensemble 2, 1, 3. Par contre, on peut s’intéresser aux suites de trois éléments distinctsformées avec les éléments de E. Dans le mot suite, il y a un ordre sous- entendu, c’est-à-dire qu’il y a un premier terme, un deuxième terme et un troisième terme. Les suitespossibles de 3 termes construites à partir de E sont au nombre de six, et elles sonttoutes distinctes :

(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

Chacune de ces suites s’appelle une permutation des éléments de E.

4.2 Définition

On appelle permutation des éléments d’un ensemble E toute suite ordonnée deséléments de E, chaque élément de E intervenant une et une seule fois.

Si E possède n éléments, une permutation de E est donc une suite contenant aussi néléments.L’exemple ci-dessus nous donne toutes les permutations de E = 1, 2, 3.

4.3 Nombre de permutations d'un ensembleà n éléments

Théorème et définition. Un ensemble à n éléments compte n! permutations,avec

n! = n× (n− 1)× · · · × 1

Le nombre n! est le produit de tous les entiers compris entre 1 inclus et n inclus.Ce nombre se lit « factorielle n ».

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En effet, nous avons n choix possibles du premier terme de la permutation. Pour lesecond terme, il reste seulement n− 1 choix possibles. Pour le troisième, il reste n− 2choix possibles, et ainsi de suite. Pour le dernier terme, il y a un unique choix possible.Au total, nous faisons le produit n× (n− 1)× (n− 2) · · · × 2× 1 de tous ces nombresde choix.

On a 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120 · · ·. Cette suite tend vers l’infini trèsvite.

• Par convention, on pose 0! = 1, ce qui sera très pratique.

• la suite des factorielles vérifie la relation de récurrence n! = n × (n − 1)!, avecl’initialisation 0! = 1.

4.4 Quelques exemples

Exemple 1

Cherchons le nombre d’anagrammes du prénom ALICE. Un anagramme est unepermutation quelconque des lettres d’un mot, que cela ait un sens en français ounon. Ici, nous avons 5 lettres différentes, et les 5! permutations des cinq lettresnous donnent 5! = 120 anagrammes distincts.

Exemple 2

Cherchons le nombre d’anagrammes du prénom EMILE. Il y a aussi cinq lettres,mais on a deux fois la lettre E. Il est donc faux de dire qu’il y a 5! anagrammes.Si les deux lettres E étaient distinctes (une en bleu, l’autre en rouge), on auraitbien 5! anagrammes, mais MEILE avec le premier E rouge et le second en bleu,est le même anagramme que MEILE avec le premier E en bleu et le second enrouge. Chaque anagramme est trouvé deux fois, et la vraie réponse est donc5!

2= 60.

Exemple 3

Cherchons le nombre d’anagrammes de « constitutionnel ». Si les 15 lettresétaient distinctes, il y aurait 15! anagrammes (permutations possibles). Maison rencontre trois fois la lettre « t », par exemple. En les considérant commedistincts, nous avons compté 3! fois chaque anagramme : si l’on peint les trois« t » de couleurs différentes, il y a 3! façons de les permuter entre elles, mais celadonne le même anagramme. Il faut donc diviser notre 15! par 3! pour le « t ». Ilfaut aussi le diviser par 3! (pour le « n »), par 2! (pour le « i ») et par 2! encore

pour le « o ». On obtient 15!

2!23!2anagrammes.

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Exemple 4

Cinq garçons et quatre filles vont au cinéma, et s’assoient sur la même rangée.

• Ils ont 9! façons possibles de s’asseoir.• S’ils veulent que chaque fille soit à côté d’un garçon, les cinq places des garçons

sont imposées (les numéros 1, 3, 5, 7, 9) et celles des filles le sont aussi. Lesfilles ont donc 4! façons de se répartir sur les places qui leur sont réservées, etles garçons en ont 5!. Il y a donc 4!× 5! possibilités d’avoir cette alternancefille-garçon.

5. Arrangements de n objets p à p

5.1 Exemple

Soit E = 1, 2, 3, 4. Regardons les suites ordonnées de deux éléments distincts prisdans E : ce sont donc les suites (a, b), avec a et b distincts dans E, et la suite (b, a) estdifférente de la suite (a, b). On obtient

(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3)

Une telle petite suite s’appelle arrangement des quatre éléments de E deux à deux.

5.2 Définition

Un arrangement de n éléments p à p est une suite ordonnée de p éléments choisisparmi ces n éléments de départ.

On fera très attention à la notion d’ordre qui existe ici.

Exemple 1

Soit E = a, b, c, d, e un ensemble à cinq éléments. a, b, d , a, d, b ou c, e, asont des arrangements de ces cinq éléments trois à trois. On fera attention quea, b, d est différent de a, d, b.

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Exemple 2

Prenons une course hippique avec 20 partants. Un quinté est un arrangement deces 20 chevaux 5 à 5. La notion d’ordre est fondamentale, un seul est gagnant !Dans le langage courant, on parle de quinté dans le désordre pour désigner unepermutation du quinté gagnant.

5.3 Calcul du nombre d'arrangements

Théorème. Il y a Apn = n(n− 1) · · · (n− p+ 1) arrangements de n objets p à p.

En effet, il y a n choix possibles pour le premier terme de la suite. Pour le deuxième, ily en a seulement n− 1. Pour le dernier, comme p− 1 éléments ont été utilisés, il restele choix parmi les n− (p− 1) = n− p+ 1 éléments restants. On fait ensuite le produitde tous ces nombres de choix.

Exemple 1

Il y a A35 = 5× 4× 3 = 60 arrangements possibles de cinq objets trois à trois.

Exemple 2

Pour n = p, on on obtient les suites ordonnées de tous les n éléments de l’en-semble, à savoir les permutations de l’ensemble. On a An

n = n!, ce que la formulede calcul redonne bien.

Exemple 3

Soient n lecteurs et m ≥ n livres. Le nombre de façons de distribuer des livrespour que chaque personne est exactement un livre est le nombre An

m d’arrange-ments de ces m livres n à n.

L’expression de Apn est relativement facile à retenir : on fait le produit des p entiers

décroissants à partir de n.

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 12 — #27 ii

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6. Combinaisons de n objets p à p

6.1 Exemple

Soit E = 1, 2, 3, 4 ensemble à 4 éléments. Intéressons-nous aux « paquets » de 2objets pris dans cet ensemble, paquets sans ordre. Il s’agit donc, autre formulation, detrouver les sous-ensembles de E à 2 éléments. On obtient

(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)

et c’est tout. Le paquet (4, 2) est identique au paquet (2, 4) et est bien dans la liste.

Un tel paquet s’appelle une combinaison des quatre éléments de E deux à deux.

6.2 Définition

Une combinaison de n objets p à p est un ensemble de p objets pris parmi les n enquestion.

En termes ensemblistes, c’est un sous-ensemble à p éléments d’un ensemble à néléments

Dans la notion de combinaison, l’ordre disparaît. C’est différent de l’arrangement, oùnous avons un ordre.

6.3 Calcul du nombre de combinaisons

Chaque combinaison de n objets p à p donne naissance à p! arrangements : on permutede toutes les façons possibles les p éléments de la combinaison. On a donc une relation

simple entre le nombre d’arrangements et le nombre(np

)de combinaisons :

Apn = p!

(np

)

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 13 — #28 ii

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Théorème. Le nombre de combinaisons de n objets p à p est donné par(np

)=

n(n− 1) · · · (n− p+ 1)

p!

♠ Il existe une autre notation plus ancienne :(np

)se note aussi Cp

n. Cette an-

cienne notation sera très utilisée dans ce cours, surtout dans les formules un peu« lourdes », car elle prend moins de place sur la page.

Pour le calcul numérique, l’expression encadrée ci-dessus est la plus rapide et la plussimple à retenir :

(np

)=

le produit des p entiers décroissants à partir de n

p!

Exemple 1(53

)=

5× 4× 3

3!= 10.

Exemple 2

On se donne un sac avec n boules rouges et n blanches. On tire sans remise troisboules.

• Un tirage est une combinaison de 2n éléments 3 à 3 : il y a(2n3

)tirages

possibles.• On ne confondra pas ce nombre de tirages possibles avec la nature du tirage :

on obtient B,B,B ou B,B,R ou B,R,R ou R,R,R. Il y a quatre naturesde tirages possibles.

• Le nombre de tirages où l’on obtient uniquement du rouge est le nombre de

combinaisons des n boules rouges 3 à 3, i.e.(n3

).

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 14 — #29 ii

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6.4 Expression de(n

p

)avec les factorielles

Sachant que n(n− 1) · · · (n− p+ 1) =n!

(n− p)!, on a aussi la formule classique

(np

)=

n!

p!(n− p)!

qui n’est pas très rapide pour le calcul numérique, mais très utile dans les exercicesthéoriques.Cette expression permet par exemple de voir facilement que l’on a(

np

)=

n

p

(n− 1p− 1

)pour 1 ≤ p ≤ n

7. Les formules classiques avec lescombinaisons

Les(np

)jouent un tel rôle dans la vie qu’elles méritent un paragraphe particulier.

Voici, sans ordre spécial d’importance relative, un certain nombre de formules intéres-santes.

7.1 Valeurs aux bornesOn a clairement

(n0

)=

(nn

)= 1,

(n1

)= n,

(n2

)=

n(n− 1)

2

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 15 — #30 ii

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7.2 Une forme de symétrie

Quand on fait un paquet de p objets parmi n, il en reste exactement n− p. Le nombrede combinaisons de n objets p à p est donc égal au nombre de combinaisons de ces nobjets n− p à n− p :

(np

)=

(n

n− p

)

Cette égalité est d’ailleurs évidente sur la formule(np

)=

n!

p!(n− p)!.

7.3 Le triangle de Pascal

Prenons un élément dans nos n éléments, et mettons-lui un noeud rouge. Il y a deuxsortes de paquets de p objets pris parmi ces n :

• Ceux qui ne contiennent pas le noeud rouge : on doit prendre p éléments parmi

les n− 1 restants, ce qui donne(n− 1p

)possibilités.

• Ceux qui contiennent ce noeud rouge : on doit lui ajouter p − 1 éléments pris

parmi les n− 1 restants. Cela fait(n− 1p− 1

)possibilités.

Le nombre total de combinaisons p à p est la somme de ces deux éventualités. Onobtient la formule immensément importante

Pour 1 ≤ p ≤ n− 1,

(np

)=

(n− 1p

)+

(n− 1p− 1

)

On peut donc calculer les combinaisons suivant le procédé suivant, appelé triangle dePascal :

n = 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1n = 6 1 6 15 20 15 6 1

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 16 — #31 ii

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Dans chaque ligne, un élément est égal à la somme des deux qui sont au-dessus de lui

(un à gauche et un à droite) dans la ligne du dessus. Pour ajouter la ligne des(7p

)dans le triangle amorcé ici, on ajoute la ligne composée de

1 1 + 6 = 7 6 + 15 = 21 15 + 20 = 35 20 + 15 = 35 15 + 6 = 21 6 + 1 = 7 1

7.4 La formule du binôme de NewtonIl est vital de la connaître par coeur !

(a+ b)n =n∑

p=0

(np

)apbn−p

Les premières formules sont importantes à savoir directement

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2, (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

Les coefficients de (a+ b)n se lisent directement sur la ligne numéro n du trianglede Pascal.

Cette formule peut se démontrer par récurrence. On peut aussi la montrer directementde façon combinatoire :Pour obtenir apbn−p, on doit, parmi les n termes a + b, en choisir p où l’on prend le

terme a et l’on prend ensuite b dans les n − p termes qui restent. Il y a donc(np

)façons de le faire.

7.5 La somme(n

0

)+

(n

1

)+ · · · +

(n

n

)Quand on fait a = b = 1 dans le binôme de newton, on obtient la célèbre somme

(n0

)+

(n1

)+ · · ·+

(nn

)= 2n

Cette relation donne une démonstration du résultat suivant :

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 17 — #32 ii

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Un ensemble à n éléments contient 2n sous-ensembles, y compris lui-même etl’ensemble vide.

En effet, un tel ensemble E admet(n0

)partie à zéro élément (le vide),

(n1

)parties

à un élément,(n2

)parties à deux éléments, . . .,

(np

)parties à p éléments, jusqu’à(

nn

)partie à n éléments (lui-même). En faisant la somme, on obtient le nombre total

de sous-ensembles de E.

7.6 D'autres sommes du même styleEn faisant a = −b, on obtient la relation

(n0

)−(n1

)+

(n2

)−(n3

)+ · · ·+ (−1)p

(np

)+ · · ·+ (−1)n

(nn

)= 0

un peu plus délicate à manipuler, car la parité de n intervient.En cherchant le coefficient de apbn+m−p dans (a+ b)n+m = (a+b)n× (a+ b)m, on peutobtenir d’autres relations, comme par exemple(

n+mp

)=∑

i+j=p

(ni

)(mj

)

8. Dérangements de n éléments

Ce paragraphe est donné à titre de culture générale seulement.

Exemple

Pour Noël, n personnes viennent chacune avec un cadeau. Les cadeaux sontrépartis de façon que personne ne reparte avec le cadeau qu’il a amené. On faitdonc une permutation des cadeaux, mais de telle sorte que personne ne gardeson cadeau.

On dit que l’on a fait un dérangement des cadeaux.

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Un dérangement de n éléments est une permutation où aucun élément ne garde saplace.

Cette définition est simple, mais elle sous-entend que l’on impose au départ un ordredans l’ensemble, pour que l’on puisse parler de la « place de chaque élément ».

Exemple

(2, 3, 5, 6, 4, 1) est un dérangement de (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Il est peut-être plus rigoureux de donner la définition suivante :Un dérangement d’un ensemble E est une application f de E dans lui-même possédantles deux propriétés :

• Si x = y, alors f(x) = f(y).• f(x) = x, pour tout x ∈ E.

Il existe une formule explicite donnant le nombre de dérangements de [1..N ] :

Le nombre de dérangements de [1..n] est donné par

dn = n!×(1− 1

1!+

1

2!− · · ·+ (−1)n

1

n!

)

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Exercices

Nous utilisons soit la notation(np

)soit la notation ancienne Cp

n pour représenter le

nombre de combinaisons de n objets p à p. L’ancienne notation a l’unique avantagetypographique de prendre moins de place !

Exercice 1 On se donne une urne contenant 10 boules rouges et 10 boules noires.On tire deux boules sans remise.

1. Quel est le nombre de tirages possibles ?2. Quel est le nombre de tirages possibles où les boules sont de couleurs différentes ?3. Quel est le nombre de tirages où les deux boules sont rouges ? Où les deux boulessont de même couleur ?4. A partir des questions 2 et 3, retrouver le résultat de la question 1.5. On tire ces deux boules de la façon suivante : on tire une première boule (que l’onne remet pas dans l’urne) et dont on note la couleur, puis une seconde boule dont onnote aussi la couleur.

a) Quel est le nombre de tirages où la première boule est rouge et la seconde estnoire ? Où la première boule est noire et la seconde est rouge ?

b) Comment peut-on retrouver ainsi le résultat de la question 2 ?

6. Hormis le petit souci apparent de la question 5, que faut-il garder en mémoire danscet exercice, et plus généralement dans tout tirage où il y a plusieurs boules de mêmecouleur ?

Corrigé

1. C’est le nombre de combinaisons des 20 boules deux à deux, soit C220 = 20×19

2 = 190.2. Nous avons 10 choix possibles pour la boule rouge, et de même pour la noire. Celafait 102 = 100 tirages possibles.3. Nous tirons deux boules parmi les dix boules rouges, sans ordre, ce qui donne unecombinaison. Nous avons donc C2

10 = 10×92 = 45 tirages possibles. On a le même

résultat pour deux boules noires. Le nombre de tirages où les deux boules sont demême couleur est donc la somme 45 + 45 = 90.4. Un tirage donne soit deux boules de couleurs différentes (question 2), soit deuxboules de même couleur (question 3). Le nombre total de tirages est donc la sommedu nombre de tirages avec deux boules différentes et du nombre de tirages avec deuxboules de même couleur. On obtient ainsi 100 + 90 = 190, et l’on retrouve le résultatde la question 1.

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 20 — #35 ii

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5. a) Nous avons 10 choix pour la première boule rouge et aussi 10 pour la secondeboule, noire. Cela donne 102 = 100 tirages possibles. Il en va de même pourl’ordre inverse des couleurs.

b) La première idée est la suivante : tirer deux boules de couleur différentes revient àtirer d’abord une rouge puis une noire, ou bien tirer d’abord une noire et ensuiteune rouge. Ces deux situations sont disjointes, et il faut donc faire la somme100 + 100 = 200 possibilités. On ne retrouve pas le résultat de la question 2.Cette méthode est donc fausse ! L’erreur est la suivante : tirer d’abord rouge puisnoire ou bien d’abord noire puis rouge donne le même résultat, i.e. deux boulesde couleur différentes. Chaque tirage bicolore est donc compté deux fois avec leraisonnement que nous venons de faire ! Il faut donc diviser ce total de 200 par 2,pour retrouver la vraie valeur de 100.

6. Nous considérons l’urne comme un ensemble à 20 éléments, ce qui sous-entend queces éléments sont distincts. Moralement, nous avons donc numéroté les boules rougespour les rendre distinctes (par exemple de 1 à 10) et de même pour les boules noires(par exemple de 11 à 20).

Exercice 2 Combien d'anagrammes des mots suivants peut-on former :(a) CHIEN(b) POISON(c) POISSONS(d) ASSASSINATS

Corrigé

(a) Les cinq lettres sont différentes, et il y a donc 5! façons de les permuter.(b) Si l’on distinguait les deux « O », il y aurait 6! anagrammes possibles. Mais il y a

2! façon de permuter ces deux « O » entre eux. Cela donne donc 6!

2!anagrammes.

(c) Comme il y a huit lettres, mais deux fois le « O » et le trois fois le « S », cela donne8!

2!× 3!anagrammes.

(d) Comme le « A » intervient trois fois et le « S » cinq fois dans ce mot de 11 lettres,

on aura 11!

3!× 5!anagrammes.

Exercice 3 Trouver le nombre de mots de deux voyelles et trois consonnes que l'onpeut former avec six voyelles et vingt consonnes, sachant que les mots ne peuvent pascontenir trois consonnes consécutives.

20

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 21 — #36 ii

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Corrigé

• Déterminons les configurations possibles, i.e. la place des voyelles et des consonnes.A priori, il faut fixer les deux places de voyelles parmi cinq places, ce qui donneC2

5 = 10 configurations possibles. Mais comme trois consonnes ne peuvent pasêtre consécutives, il faut éliminer les trois configurations vvccc, vcccv et cccvv. Ilreste sept configurations possibles.

• Pour chaque configuration possible, il y a 62 possibilités pour les deux voyelles et203 pour les trois consonnes.

On obtient 7× 62 × 203 mots possibles.

Exercice 4 Une course hippique compte 20 partants. Les chevaux sont identifiéspar leur numéro entre 1 et 20 bien sûr. On appelle tiercé la liste ordonnée des troispremiers chevaux arrivant. On s'intéresse particulièrement au numéro Huit.1. Combien a-t-on de tiercés possibles ?2. Combien a-t-on de tiercés où le 8 est gagnant ? Où le 8 est second ? Où le 8 esttroisième ?3. Combien a-t-on de tiercés où figure le 8 ?4. Combien a-t-on de tiercés où le 8 ne figure pas ? On donnera deux démonstrationsdifférentes.

Corrigé

1. Un tiercé est un arrangement des 20 chevaux 3 à 3, puisqu’il y a un ordre à l’arrivée.On en a donc A3

2 = 20× 19× 18.2. Avec le 8 en tête du tiercé, il reste 19 choix possibles pour le second et 18 pourle troisième. Cela donne 19 × 18 possibilités. On a le même raisonnement et le mêmerésultat pour les deux autres cas.3. C’est la réunion des trois ensembles disjoints « le 8 est premier », « le 8 est second »,« le 8 est troisième ». On fait donc la somme des trois cardinaux, ce qui donne 3×19×18.4. Comme il y a 20× 19× 18 tiercés possibles et 3× 19× 18 tiercés contenant le 8, ilreste 20× 19× 18− 3× 19× 18 = 17× 19× 18 tiercés où le 8 ne figure pas. On peutaussi dire la chose suivante : les tiercés sans le 8 sont les arrangements des 19 chevauxautres que le 8, pris 3 à 3. Cela fait A3

19 = 19× 18× 17.

Exercice 5 On utilise un dé non truqué. On lance quatre fois de suite le dé, et onnote le numéro sorti à chaque fois. On appelle jeu la suite de ces quatre lancers. Pour0 ≤ k ≤ 4, on note Ak le nombre de jeux où le 6 est sorti exactement k fois.1. Combien a-t-on de jeux possibles ? Combien en a-t-on où le 6 ne sort jamais ? Oùseul le 6 est sorti ?

21

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 22 — #37 ii

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2. Plus généralement, combien a-t-on de jeux possibles avec :(a) le 6 sort exactement une fois.(b) le 6 sort exactement deux fois.(c) le 6 sort exactement trois fois.3. Quelle relation a-t-on entre tous ces nombre de jeux calculés ? Donner une formulegénérale pour Ak.4. Combien a-t-on de jeux où le 6 est sorti au moins deux fois ?

Corrigé

1. Il y a 6 possibilités pour chacun des quatre lancers, ce qui donne 64 = 1296 jeuxpossibles.Le 6 ne sort jamais si et seulement si c’est l’une des faces de 1 à 5 qui sort à chaquefois. Il y a 5 faces possibles à chaque fois, ce qui donne A0 = 54 = 625.Il y a une seule possibilité pour que le 6 sorte à chaque fois. On a A4 = 1.2. (a) Pour avoir exactement une fois le 6, on doit avoir exactement trois fois l’unedes cinq autres faces. Si, par exemple, le 6 sort en premier, cela donne 1 × 53 jeuxpossibles. Mais le 6 peut sortir aussi bien au lancer 2 ou 3 ou 4, ce qui fait au totalA1 = 4× 53 = 500 jeux possibles.(b) Fixons les deux positions de sortie du 6 : il reste cinq possibilités pour chacun desdeux autres lancers, ce qui fait 52 jeux possibles. Comptons combien il y a de façonsde choisir les deux sorties du 6 : c’est le nombre de façon de combiner 4 objets deux à

deux, soit(42

). On a finalement A2 =

(42

)× 52 = 6× 52 = 150.

(c) Le même principe nous donne A3 =

(43

)× 5 = 4× 5 = 20.

3. La somme4∑

k=0

Ak est évidemment égale à 64, le nombre total de jeux.

Montrons que l’on a Ak =

(4k

)× 54−k :

• Il y a(4k

)façons de placer les k sorties du 6 parmi les 4 lancers.

• Pour chaque position des 6, il y a 54−k sorties possibles pour les 4 − k autreslancers.

4. C’est A2 +A3 +A4 =

(42

)52 +

(43

)5 +

(44

)50 = 171.

Exercice 6 On a un conseil municipal formé de 56 conseillers dont 20 vont voterpour le candidat A et 36 pour le candidat B lors de l'élection du maire.On prend un échantillon de 15 conseillers.

22

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 23 — #38 ii

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1. Combien a-t-on d’échantillons possibles ?2. Combien a-t-on d’échantillons où tout le monde va voter A ?3. Soit 0 ≤ k ≤ 15. Combien a-t-on d’échantillons où k personnes vont voter A et lesautres B ?

Corrigé

1. Un échantillon est une combinaison des 56 personnes 15 à 15 : il y en a(5615

).

2. Les 15 personnes sont à prendre parmi les 20 partisans de A. Il y a(2015

)tels

échantillons.

3. Il faut choisir k personnes parmi les 20 partisans de A, ce qui fait(20k

)possibilités,

et 15− k personnes parmi les 36 partisans de B, ce qui fait(

3615− k

)possibilités. Au

total, cela nous donne(20k

)×(

3615− k

)échantillons possibles.

Exercice 7 Une urne contient 10 boules rouges, 5 noires, 3 jaunes et 2 vertes. Ontire quatre boules sans remise.

1. Combien a-t-on de tirages possibles ?2. Combien a-t-on de tirages avec une boule de chaque couleur ?3. Combien a-t-on de tirages avec exactement 2 boules rouges ?4. Combien a-t-on de tirages sans aucune boule rouge ?5. Combien a-t-on de tirages avec au moins une boule rouge ?

Corrigé

1. Un tirage est un paquet sans ordre de 4 boules parmi 20 : il y en a(204

).

2. Il y a 10 choix possibles pour la boule rouge, et ainsi de suite pour les autres couleurs.Cela donne donc 10× 5× 3× 2 tirages possibles.3. Il y a 10 boules rouges et 10 boules non rouges. Il faut tirer 2 boules parmi les

rouges, ce qui donne(102

)possibilités, et 2 boules parmi les 10 non rouges, ce qui

donne aussi(102

)possibilités. Le nombre total de choix est le produit des deux, soit(

102

)2

.

23

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 24 — #39 ii

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4. Toutes les boules sont à tirer parmi les 10 non rouges, soit(104

)possibilités.

5. Le contraire de « au moins une rouge » est « aucune rouge ». Notre ensemble estdonc le complémentaire (dans l’ensemble de tous les tirages possibles de la question 1)

de l’ensemble défini en question 4. Son cardinal est donc(204

)−(104

).

Exercice 8 Une urne contient 10 boules rouges, 5 noires, 3 jaunes et 2 vertes. Ontire quatre boules les unes après les autres, et on les range les unes derrière les autresdans leur ordre de sortie. On appellera tirage la liste ordonnée des couleurs obtenues.

1. Combien a-t-on de tirages possibles ?2. Combien a-t-on de tirages avec une boule de chaque couleur ?3. Combien a-t-on de tirages avec exactement 2 boules rouges et deux noires ?4. Combien a-t-on de tirages avec exactement 2 boules rouges, une jaune et une verte ?

Corrigé

1. Un tirage est maintenant un arrangement des 20 boules 4 à 4, puisque l’ordre desortie intervient. On en a donc A4

20 = 20× 19× 18× 17.2. Pour un ordre bien précis de sortie (par exemple R,N,J,V dans cet ordre), il y aévidemment 10 choix possibles de la boule rouge, 5 de la noire et ainsi de suite. Celadonne donc 10× 5× 3× 2 choix possibles. Mais il faut tenir compte de tous les ordrespossibles de sortie : leur nombre correspond aux permutations des quatre couleurs, etil y en a donc 4!. Finalement, on a 4!× 10× 5× 3× 2 tirages possibles.3. Le tirage sera parfaitement défini lorsque :

• Nous aurons fixé les deux positions des boules rouges. Les deux boules noiresoccuperont les deux places restantes. Il s’agit de choisir 2 places, sans ordre puisqueles deux boules à mettre sont de même couleur, parmi 4 : cela donne C2

4 = 6possibilités.

• Nous aurons tiré les deux boules rouges. Comme elles sont de même couleur, ils’agit de choisir un paquet sans ordre de 2 boules parmi 10, ce qui donne C2

10

possibilités.• Nous aurons tiré les deux boules noires. Comme elles sont de même couleur, il

s’agit de choisir un paquet sans ordre de 2 boules parmi 5, ce qui donne C25

possibilités.

Au final, cela fait C24 × C2

10 × C25 tirages possibles.

4. Le tirage sera parfaitement défini lorsque :

• Nous aurons fixé les deux positions des boules rouges. Il s’agit de choisir 2 places,sans ordre puisque les deux boules à mettre sont de même couleur, parmi 4 : celadonne C2

4 = 6 possibilités.

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 25 — #40 ii

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• Nous aurons fixé la place de la boule jaune. Il reste deux places possibles, une foisplacées les rouges.

• Nous aurons tiré les deux boules rouges. Comme elles sont de même couleur, ils’agit de choisir un paquet sans ordre de 2 boules parmi 10, ce qui donne C2

10

possibilités.• Nous aurons tiré la boule jaune : 3 choix possibles.• Nous aurons tiré la boule verte : 2 choix possibles.

Au total, cela donne C24 × 2× C2

10 × 3× 2 tirages.

Exercice 9 On dispose d'un jeu de 52 cartes (♠, , ♣, ) non truqué. On appellejeu le tirage au hasard de quatre cartes sans remise. Cet exercice reprend en partie unexemple donné dans le cours, mais il est tellement important qu'il faut savoir le faireet le refaire.

1. Combien a-t-on de jeux possibles ?2. Combien a-t-on de jeux possibles pour chacun des cas suivant :

(a) contenant une carte de chaque couleur (b) contenant exactement un as(c) ne contenant aucun as (d) contenant au moins un as(e) contenant exactement deux piques (f) formés de 2 piques et 2 coeur(g) 2 cartes d’une couleur et 2 d’une autre (h) un jeu bicolore

Corrigé

1. Il y a C452 paquets de quatre cartes dans le jeu. Paquet signifie « sans ordre » parmi

ces quatre cartes.2. (a) Il y a C1

13 = 13 choix possibles de la carte trèfle et ainsi de suite. On veut un trèfleet un carreau et un coeur et un pique : ces « et » se traduisent par des multiplications.On obtient (C4

13)4 jeux possibles.

(b) L’as est à prendre parmi quatre cartes, soit C14 choix possibles, et les trois cartes

restantes sont à prendre parmi les 48 cartes autres que les as, ce qui fait C348. Finalement,

on obtient C14 × C3

48 jeux possibles.(c) Les quatre cartes sont à prendre parmi les 48 « non as », ce qui donne C4

48 jeux.(d) Les deux possibilités (c) et (d) sont complémentaires l’une de l’autre. La sommedes deux nombres de jeux donne donc le C4

52 initial. On obtient ainsi C452 − C4

48 jeuxayant au moins un as.(e) C2

13 choix possibles des deux piques et C239 choix possibles des deux atres cartes à

prendre parmi les 52− 13 = 39 « non pique ». Cela donne C213 × C2

39 jeux.(f) On obtient C2

13 × C213.

(g) Quand les deux couleurs sont fixées, on obtient (C213)

2 jeux. Il faut ensuite fixer cesdeux couleurs, deux à choisir parmi quatre, soit C2

4 = 6 choix possibles. On a finalementC2

4 × (C213)

2 jeux.

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 26 — #41 ii

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(h) On a soit une carte d’une couleur et trois d’une autre, soit deux cartes d’unecouleur et deux d’une autre. Le second cas vient d’être calculé. Pour le premier, on fixela couleur à une carte (soit C1

4 ), on fixe la couleur à trois (soit C13 ), on fixe la carte

unique (soit C113) et les trois cartes de même couleur (soit C3

13). Le premier cas nousdonne le produit C1

4C13C

113C

313. Finalement, on obtient C1

4C13C

113C

313+C2

4×(C213)

2 jeux.

Exercice 10 On a une table rectangulaire permettant d'asseoir quatre personnessur chacun des grands côtés. Quatre hommes et quatre femmes s'y assoient. Il n'y apersonne sur les petits côtés.1. Combien ont-ils de façons possibles de s’asseoir ?2. Combien ont-ils de façons de s’asseoir pour que chaque homme soit en face d’unefemme ?3. Combien ont-ils de façons de s’asseoir pour que chaque personne soit en face et àcôté d’une personne du sexe opposé ?

Corrigé

1. Il y a huit personnes discernables et huit places discernables. Il y a donc 8! façonsde faire.2. a) Voici une solution privilégiant les personnes. Les femmes s’assoient en premier.

• La première femme a 8 places possibles. La deuxième en a seulement 6, la troisième2 et la dernière une seule. Cela fait 8× 6× 4× 2 façons.

• Il reste quatre places imposées pour les quatre hommes, qui se permutent entreces places. Il y a 4! façons de faire.

Au total, cela fait 8× 6× 4× 2× 4! = 9216 façons de faire.b) Voici une solution privilégiant les places à table, que je numérote

1 3 5 72 4 6 8

• Je remplis les places 1 et 2. J’ai 4 femmes possibles, 4 hommes possibles et 2façons de les asseoir.



• Je remplis les places 7 et 8. J’ai 1 femme, 1 homme et 2 façons de les asseoir.

On fait le produit de tout cela, qui nous donne 4!× 4!× 24, et redonne la même valeurque précédemment.3. Reprenons la méthode avec les places. Mais attention, une fois que les places 1 et 2sont occupées, les places des femmes et celles des hommes sont fixées. Dans le calculprécédent, il faut donc enlever le « 2 façons de les asseoir » à partir des places 3 et 4.

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 27 — #42 ii

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• Je remplis les places 3 et 4. J’ai 3 femmes possibles, 3 hommes possibles et 1 façonde les asseoir.

• Je remplis les places 5 et 5. J’ai 2 femmes possibles, 2 hommes possibles et 1 façonde les asseoir.

• Je remplis les places 7 et 8. J’ai 1 femme, 1 homme et 1 façon de les asseoir.

On fait le produit de tout cela, qui nous donne 4!× 4!× 2 façons de faire.

Exercice 11 On se promène sur la grille du plan formée par les points à coordon-nées entières. On reste avec abscisse et ordonnées positives ou nulles. On peut passerdu point (n,m) au point (n+1,m) (avance horizontale) ou au point (n,m+1) (avanceverticale). On ne peut pas reculer, ni aller en oblique.

1. Combien a-t-on de chemins possibles pour aller du point (0, 0) au point (p, q) ? Oncommencera par regarder le nombre de trajets horizontaux et le nombre de trajetsverticaux dans un tel chemin.2. Au point (n,m) (avec 0 ≤ n ≤ p et 0 ≤ m ≤ q) il y a un gâteau. Combien a-t-on dechemins pour arriver en (p, q) en ayant mangé le gâteau ?

2 bis. Reprendre la question 4 en remplaçant le gâteau par une bouteille de champagneà vider !

Corrigé

1. On effectue au total p + q petites avances, dont obligatoirement p horizontales etq verticales. Le chemin est complètement déterminé par la donnée des p avances hori-zontales parmi les p + q. Il s’agit, parmi les p + q petits trajets, de fixer les p trajets

horizontaux : il y a(p+ qp

)façons de le faire.

2. Il s’agit de compter le nombre de chemins allant de (0, 0) à (p, q) en passant par

(n,m). C’est le produit du nombre de chemin allant de (0, 0) à (n,m), soit(n+m

n

)(d’après la question 1) et du nombre de chemins allant de (n,m) à (p, q).A une translation près, le deuxième nombre de chemins est égal au nombre de chemin

allant de (0, 0) à (p − n, q − m), soit(p+ q − n−m

p− n

). Notre nombre de chemins

gourmands est donc de(n+m

n

)×(p+ q − n−m

p− n

).

2 bis. Pas loin de zéro, il y a des chances, vu que l’on a perdu le sens des réalités !

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 28 — #43 ii

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Exercice 12 On cherche le nombre wn de suites de longueur n formée de la lettreF ou de la lettre P , et telles que l'on ait au moins trois F ou trois P consécutifs. Onnotera An l'ensemble de toutes les suites de longueur n formées de F ou P , sans aucunecondition, et En la partie de An formée de celles vérifiant la condition donnée. Onnotera enfin En le complémentaire de En dans An, i.e. l'ensemble des suites n'ayantjamais trois F ou trois P consécutifs. On note un le cardinal de En.

1. Que vaut un + wn ?2. Calculer u2, u3, u4.3. Justifier que le nombre de listes appartenant à En+2 et commençant par PF ou parFP est égal à un+1.4. Justifier que le nombre de listes appartenant à En+2 et commençant par PP ou FFest égal à un.5. En déduire l’expression de un+2 en fonction de un et un+1.

6. Montrer que, pour n ≥ 1, on a un =2√5

[(1 +√5

2

)n+1

−(1−√

5

2

)n+1].

Corrigé

1. On a un+wn = |An|. Chaque élément de An a 2 choix possibles pour chacun de sesn termes, ce qui fait 2n éléments dans An. On a donc un + wn = 2n.2. Pour n = 1, les deux listes [F ] et [P ] conviennent, et u1 = 2. Pour n = 2, les quatrelistes possibles [FF ], [FP ], [PP ], [PF ] conviennent, et u2 = 4. Pour n = 3, on a 23 = 8listes possibles, mais il faut enlever [FFF ] et [PPP ], et il en reste u3 = 6 seulement.Pour n = 4, il y a 24 = 16 listes possibles. Il faut enlever :

• Les deux listes monochromes.• Les deux listes comportant FFF , à savoir [FFFP ] et [PFFF ]. Et les deux ana-

logues avec P au lieu de F .

Cela en fait 6 à enlever, et il en reste u4 = 10.3. Toute liste de En+1 donne naissance à une seule liste de En+2 commençant parPF ou FP . Si elle commence par F , on ajoute P en tête, et si elle commence par P ,on ajoute F en tête. Aucun risque d’avoir ainsi FFF ou PPP dans la liste agrandie.Réciproquement, en enlevant le premier élément d’une liste de En+2 commençant parPF ou FP , on obtient une liste de En+1 commençant soit par F soit par P , à savoir uneliste quelconque dans En+1. Les deux ensembles comptent le même nombre d’éléments.4. Toute liste de En commençant par PP ou par FF donne naissance à une seuleliste de En+2 : si elle commence par FF , on ajoute P en tête, et si elle commence parFF , on ajoute P en tête. Réciproquement, si on enlève les deux premiers termes d’uneliste de En+2 commençant par PP ou FF , on obtient une liste quelconque de En :elle commence par F si la grande liste commençait par PP et inversement. Les deuxensembles ont exactement le même nombre d’éléments.

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 29 — #44 ii

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5. En+2 est la réunion disjointe de l’ensemble de ses éléments commençant par PF ouFP , et de l’ensemble de ses éléments commençants par PP ou FF . On fait donc lasomme des deux cardinaux. On a donc un+2 = un + un+1. On reconnaît une suite ditede Fibonacci.6. On procède par récurrence. La formule est vraie pour n = 1 et n = 2, même si c’estun peu lourd à vérifier pour n = 2. L’hypothèse Hn de récurrence est

« pour tout entier 1 ≤ k ≤ n, on a uk =2√5

[(1 +√5

2

)k+1

−(1−√

5

2

)k+1]».

On est obligé de prendre cette hypothèse lourde, car on a besoin de savoir l’expressionde un−1 et celle de un pour calculer un+1.Supposons que Hn est vraie, et montrons que Hn+1 est encore vraie. On sait que

un =2√5

[(1 +√5

2

)n+1

−(1−√

5

2

)n+1],

un−1 =2√5

[(1 +√5

2

)n−(1−√

5

2

)n]On en déduit la somme

un + un−1 =2√5

[(1 +√5

2

)n(1 +√5

2+ 1)−(1−√

5

2

)n(1−√5

2+ 1)]

et on remarque que 1 +√5

2+ 1 =

(1 +√5

2

)2et 1−

√5

2+ 1 =

(1−√5

2

)2.

La propriété est vraie pour n = 2, et héréditaire à partir de n = 2. Elle est donc vraiepour tout n ≥ 2, ce qui signifie que l’expression de un est vraie pour tout n ≥ 1.

Exercice 13 On se promène sur les points à coordonnées entières du quart de planx ≥ 0. Au départ, on est en un point qui sera précisé dans chaque question. On passed'un point à un autre uniquement en diagonale, et en allant vers la droite : on peutpasser uniquement de (a, b) à (a+1, b+1) ou bien à (a+1, b− 1). L'abscisse augmentdonc strictement à chaque étape, mais l'ordonnée peut augmenter ou diminuer. Tousles chemins considérés arrivent au point F (p+q, p−q) où p et q sont des entiers naturelsfixés tels que p > q.

1. On part de (0, 0). Que représentent les entiers p et q vis à vis du nombre de fois oùl’on « monte » et du nombre de fois où l’on « descend » ?

2. En déduire que le nombre de chemins possibles est égal à(p+ qp

).

3. a) En déduire, sans nouveau calcul, le nombre de chemins partant du point (1, 1).On pourra considérer que ce point est la nouvelle origine du repère.b) En déduire, sans nouveau calcul, le nombre de chemins partant du point (1,−1).

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 30 — #45 ii

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4. Montrer que le nombre de chemins partant de (1, 1) et franchissant ou touchantl’axe horizontal est égal au nombre de chemins partant de (1,−1). On considérera lepremier point où un chemin partant de (1, 1) touche l’axe horizontal, et on effectueraune symétrie de ce début de chemin par rapport à cet axe.

5. En déduire le nombre de chemins partant de (1, 1) et ne touchant jamais l’axe. Quelest le nombre de chemins partant de (0, 0) et ne touchant jamais de nouveau l’axe ?

Corrigé

1. Soient m et d les nombres de fois où l’on monte et on descend. La somme p + qreprésente le nombre de trajets élémentaires effectués, et on a donc m+ d = p+ q. Enmontant m fois et en descendant d fois, on passe du niveau 0 au niveau p − q, ce quidonne m− d = p− q. On en déduit que m = p et d = q.

2. Parmi les p + q petits trajets élémentaires, le chemin est complètement déterminé

par la position des p fois où l’on monte. Il y a(p+ qp

)façons de choisir ces p positions.

Cette combinaison est donc le nombre de trajets de (0, 0) à (p+ q, p− q).

3. a) Effectuons une translation de l’origine au point (1, 1). Un chemin arrivant toujoursen F est maintenant constitué seulement de p + q − 1 trajets élémentaires. Mais on« monte » seulement p− 1 fois : dans le nouveau repère, l’ordonnée du point d’arrivéeF est seulement p+q−1. On est donc ramené à la question précédente, mais en partantde (0, 0) et en arrivant en (p + q − 1, p − 1 − q) dans ce nouveau repère. On a donc(p+ q − 1p− 1

)chemins possibles.

b) Effectuons une translation de l’origine au point (1,−1). Les coordonnées du pointF dans ce repère sont (p + q − 1, p − q + 1), que l’on écrit

(p + (q − 1), p − (q − 1)

).

On monte donc p fois et on descend q − 1 seulement (ce qui est logique, puisque l’on

est déjà desendu une fois pour arriver en (1,−1)). Il y a donc(p+ q − 1

p

)chemins

possibles.

4. Soit H(h, 0) le premier point où un chemin partant de (1, 1) touche l’axe horizontal.Prenons les symétriques par rapport à cet axe de chaque point d’abscisse 1, · · ·h − 1du chemin, et gardons les autres points. On obtient ainsi un chemin partant de (1,−1)et arrivant toujours en F . Réciproquement, prenons un chemin partant de (1,−1) etarrivant en F . Comme il passe d’une ordonnée négative à une ordonnée positive, ilfranchit l’axe horizontal au moins une fois. Soit H(h, 0) le premier point où il franchitcet axe : en effectuant de même une symétrie des points du chemin dont l’abscisse estcomprise entre 1 et h − 1, et en gardant les autres, on obtient un chemin partant de(1,−1) et arrivant en F .Il y a donc une bijection entre l’ensemble des chemins partant de (1, 1) et touchant (oufranchissant) l’axe horizontal, et l’ensembles des chemins partant de (1,−1).

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 31 — #46 ii

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Le chemin partant de (1, 1) touche une première fois l’axe en H. En trait plus gras, onvoit le symétrique du début de ce chemin, qui nous donne un chemin allant de (1,−1)vers F . A partir de H, il reprend le chemin initial issu de A.5. Le nombre de chemins partant de (1, 1) et ne touchant jamais l’axe est égal aunombre total de chemins partant de (1, 1) moins le nombre de ceux qui touchent oufranchissent l’axe. D’après les questions précédentes, il vient donc(

p+ q − 1p− 1

)−(p+ q − 1

p

)=

p− q

p+ q

(p+ qp

)Un chemin partant de (0, 0) et ne touchant jamais de nouveau l’axe horizontal estun chemin partant de (1, 1) et ne touchant jamais cet axe. Il y en a donc toujoursp− q

p+ q

(p+ qp

).

Exercice 14 Soit p ≥ n deux entiers naturels. On appelle En,p l'ensemble desn-uplets y = (y1, y2, · · · , yn) formés d'entiers strictement croissants et compris entre1 inclus et p inclus : on a 1 ≤ y1 < y2 < · · · < yn−1 < yn ≤ p.

1. Montrer qu’un élément y de En,p est défini de façon unique par la donnée d’unepartie à n éléments de 1..p.2. En déduire le nombre d’éléments de En,p.

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 32 — #47 ii

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On appelle Fn,p l’ensemble des n-uplets (x1, x2, · · · , xn) composées d’entiers comprisau sens large entre 0 et p tels que x1 + x2 + · · ·+ xn ≤ p.A partir d’une telle suite (x1, · · · , xn), on construit la suite

y1 = 1 + x1, y2 = 2 + x1 + x2, · · · , yn = n+ x1 + x2 + · · ·+ xn

3. a) Montrer que l’on définit ainsi un élément (y1, · · · , yn) de En,n+p.b) Exprimer les entiers x1, x2, · · · , xn en fonction de y1, y2, · · · , yn.c) En déduire qu’il existe une bijection de Fn,p sur En,n+p. En déduire le nombred’éléments de Fn,p.4. En déduire que le nombre de suites (x1, x2, · · · , xn) composées d’entiers compris

entre 0 et p tel que x1 + x2 + · · ·+ xn = p est égal à(n+ p− 1

p

). On comparera Fn,p

et Fn,p−1.

Corrigé

1. Les entiers y1, · · · , yn sont deux à deux distincts et forment donc une partie à néléments de 1..p. Réciproquement, soit A un ensemble quelconque de n entiers comprisentre 1 et p. On ordonne les éléments de A dans l’ordre croissant a1 < a2 < · · · < an,et on définit y par yk = ak pour tout 1 ≤ k ≤ n.2. Il y a donc une bijection entre l’ensemble des parties à n éléments de 1..p et l’en-

semble En,p. Ces deux ensembles ont le même nombre d’éléments, à savoir(pn

).

3. a) Comme on ajoute 1 puis 2. . .à chaque fois, on a clairement 1 ≤ y1 < y2 < · · · <yn ≤ n+p. On définit ainsi un n-uplet d’entiers compris entre 1 et n+p, et strictementcroissant.b) On a aisément

x1 = y1 − 1, x2 = y2 − y1 − 2, x3 = y3 − y2 − 1 · · · , xn = yn − yn−1 − 1

On a des entiers xi tous compris entre 0 et n+ p− n = p, puisque n+ p ≥ yi > yi−1.On a

x1 + x2 + · · ·+ xn = (y1 − 1) + (y2 − y1 − 1) + (y3 − y2 − 1) + · · ·+ (yn − yn−1 − 1)

= yn − n ≤ n+ p− n ≤ p

c) L’application qui à chaque suite (x1, x2, · · · , xn) associe la suite (y1, y2, · · · , yn) estdonc une bijection de l’ensemble Fn,p sur l’ensemble En,n+p, puisque chaque suite(y1, y2, · · · , yn) strictement croissante est l’image d’une et d’une seule suite (x1, x2, · · · , xn).Cette bijection implique que le nombre d’éléments de Fn,p est égal au nombre d’élé-

ments de En,n+p, à savoir(n+ pn

).

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 33 — #48 ii

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4. L’ensemble Fn,p est la réunion disjointe de l’ensemble Fn,p−1 et de l’ensemble dessuites (x1, x2, · · · , xn) vérifiant exactement la relation x1+x2+ · · ·+xn = p. Le nombrede suites vérifiant cette égalité est donc donné par

CardFn,p − cardFn,p−1 =

(n+ pn

)−(n+ p− 1

n

)Un remplacement par l’expression d’une combinaison en fonction des factorielles nousdonne (

n+ pn

)−(n+ p− 1

n

)=

(n+ p− 1)

n!

(n+ p

p!− 1

(p− 1)!

)=

(n+ p− 1)!

p!(n− 1)!=

(n+ p− 1

p

)

Exercice 15 Un mot de Catalan de longueur m + 1 est une suite a0, a1, · · · amd'entiers naturels tels que a0 = am = 0, et |ai+1 − ai| = 1, pour tout 0 ≤ i ≤ m− 1.

1. Montrer que m est un entier pair : un mot de Catalan contient donc nécessairementun nombre impair de nombres.On notera cn le nombre de mots de Catalan de longueur 2n + 1, et sn le nombre demots de Catalan de longueur 2n+ 1 qui ne contiennent aucun zéro (hormis le premieret le dernier). On posera c0 = 1.2. Ecrire tous les mots de Catalan de longueur 3, 5, puis 7. Calculer c1, c2, c3.3. Montrer que sn = cn−1 : on établira une bijection entre l’ensemble des mots deCatalan « sans zéro » de longueur 2n+1 et l’ensemble des mots de Catalan de longueur2n− 1.

4. Montrer que cn =

n−1∑k=0

ckcn−1−k : on fera une partition de l’ensembles des mots de

longueur 2n + 1 suivant la position du premier 0 (à partir de a2, bien sûr). La suite

de l’exercice demande la connaissance des séries entières. On rappelle que, lorsque lesréels an et bn sont tous positifs ou nuls, on a, pour tout x > 0 :( ∞∑

n=0

anxn)( ∞∑

n=0

bnxn)=

∞∑n=0

( n∑k=0

akbn−k

)xn

On considère la série entière+∞∑n=0

cnxn.

5. Montrer que cn ≤ 4n, et en déduire que le rayon de convergence de cette série entièreest supérieur ou égal à 1/4. On note f(x) la somme de cette série.6. En utilisant le rappel, vérifier que xf(x)2 = f(x)− 1.

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 34 — #49 ii

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7. En déduire que f(x) =1−

√1− 4x

2x.

8. Sachant que+∞∑n=0

(2nn

)xn =

1√1− 4x

, montrer que f(x) =1

x

∫ x

0

dt√1− 4t

. En

déduire que cn =1

n+ 1

(2nn

).

Corrigé

1. On am−1∑i=0

(ai+1 − ai) = am − a0 = 0. On a une suite de m nombres valant tous 1 ou

−1, et dont la somme est nulle : il y a obligatoirement autant de nombres 1 et de −1,ce qui implique qu’il y a un nombre pair de nombres. L’entier m = 2n est pair.2. Les mots de Catalan de longueur 3 sont (0, 1, 0) uniquement, et c1 = 1. Ceux delongueur 5 sont (0, 1, 2, 1, 0) et (0, 1, 0, 1, 0), ce qui donne c2 = 2. Ceux de longueur 7sont

(0, 1, 2, 3, 2, 1, 0), (0, 1, 2, 1, 2, 1, 0), (0, 1, 2, 1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1, 2, 1, 0), (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0)

et c3 = 5.3. A tout mot de Catalan de longueur 2n − 1, on peut associer un mot de Catalande longueur 2n + 1 sans zéro en ajoutant 1 partout, et en mettant un 0 en tête et enqueue :

(0, a1, a2, · · · , a2n−3, 0) 7→ (0, 1, a1 + 1, a2 + 1, · · · , a2n−3 + 1, 1, 0)

Cette application est bijective, l’application réciproque consistant à enlever le 0 de têteet de queue, et à soustraire 1 à tous les autres :

(0, b1, b2, · · · , b2n−2, b2n−1, 0) 7→ (0, b2 − 1, · · · , b2n−2 − 1, 0)

On a donc autant de mots de longueur 2n− 1 et de mots sans zéro de longueur 2n+1,soit sn = cn−1.4. On effectue une partition de Cn suivant la position p du premier zéro (autre quecelui de tête). Comme il faut avoir, avant, autant de 1 que de −1 dans les différencesa1 − a0, a2 − a1, · · · , ap − ap−1, il faut que k soit un nombre pair. On le prend de laforme p = 2k avec 1 ≤ k ≤ n − 1, en ajoutant k = 0 quand le mot ne comporte pasde 0 :

• k = 0 : le nombre de mots est sn, soit cn−1.• k = 1 : la suite (a0, a1, a2) est un mot de Catalan sans 0 de longueur 3 (ce qui

fait s1 possibilités), et la suite (a2, a3, · · · , a2n) est un mot de Catalan de longueur2n− 1 (ce qui fait cn−1 possibilités). Il y a s1cn−1 = c0cn−1 choix possibles.

• Pour un indice k quelconque, la suite (a0, a1, · · · , a2k) est un mot sans 0 de lon-gueur 2k + 1 (ce qui fait sk = ck−1 possibilités), et la suite (a2k, · · · , a2n) est unmot de Catalan quelconque de longueur 2n − 2k + 1 (ce qui en fait cn−k). Il y adonc ck−1cn−k tels mots.

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 35 — #50 ii

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En faisant la somme de toutes ces possibilités, on obtient

cn = cn−1 +n−1∑k=1

ck−1cn−k

En changeant k en k + 1 et en utilisant c0 = 1, on obtient

cn = cn−1 +

n−2∑k=0

ckcn−k−1 = cn−1cn−(n−1)−1 +

n−2∑k=0

ckcn−k−1 =

n−1∑k=0

ckcn−k−1

5. Les 2n − 1 entiers ai+1 − ai (pour 1 ≤ i ≤ 2n − 1) valent ±1. Cela donne donc22n−1 < 4n choix possibles, au maximum. Il y a donc au maximum 4n mots de Catalande longueur 2n + 1. En pratique, il y en a beaucoup moins. La majoration cn < 4n

montre que la série∑

cnxn converge au moins lorsque |x| < 1/4.

6. Quand on effectue le produit de la série entière∞∑i=0

cixi par elle-même, le coefficient

de xn est égal àn∑

k=0

ckcn−k, à savoir à cn+1 : on a f(x)2 =∞∑

n=0

cn+1xn =

∞∑n=1

cnxn−1.

Cela s’écrit xf(x)2 =∞∑

n=1

cnxn = f(x)− 1.

7. La résolution de l’équation du second degré donne f(x) =1±

√1− 4x

2x, l’unique

possibilité étant en fait f(x) =1−

√1− 4x

2xcompte tenu de l’existence de f(0).

8. Un calcul formel de primitive donne f(x) =1

x

∫ x

0

dt√1− 4t

. On a donc

f(x) =1

x

∞∑n=0

(2nn

)xn+1

n+ 1=

∞∑n=0

(2nn

)xn

n+ 1

L’identification des coefficients donne cn =1

n+ 1

(2nn

).

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mathsChapitre 2

Probabilitéssur un ensemble fini

1 Univers mathématique fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 Le lancer d'un dé : modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 Univers associé à une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 Premiers exemples de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 Le cas fondamental de l'équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 Résolution plus élémentaire des exemples précédents . . . . . . . . 537 Probabilités conditionnelles et évènements indépendants . . . . 578 Evènements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 Exemple fondamental de modélisation dans le cas de

non-équiprobabilité : lancers successifs d'une pièce truquée . 60

Nous définissons ici la notion de probabilité sur un ensemble fini. Nouscommençons par une description purement mathématique (et même phy-sique, puisque nous employons provisoirement le terme de « poids »),puis nous regarderons comment chaque situation probabiliste conduit àconstruire un modèle mathématique possédant les propriétés décrites dansce premier paragraphe.

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1. Univers mathématique fini

1.1 Description de la situation

Considérons un ensemble E = e1, e2, · · · , en contenant n éléments. Rappelons qu’iln’y a aucun ordre dans un ensemble, et que les éléments sont deux à deux distincts.A chaque élément ek, nous associons ce que nous appelons provisoirement un « poidsélémentaire », à savoir un nombre réel p(ek) strictement compris entre 0 et 1, et dontla somme totale est égale à 1 :

p(e1) + p(e2) + · · ·+ p(en) = 1

Il n’y a aucun intérêt à donner un poids élémentaire nul à un élément : cet élément neservirait à rien, et autant ne pas le mettre dans l’ensemble E. Donner à un élémentun poids élémentaire égal à 1 impliquerait que tous les autres éléments sont de poidsélémentaires nul, et notre ensemble n’aurait aucun intérêt non plus.

1.2 Poids d'une partie de E

Une partie A de E est formée de certains des éléments de E. Il est naturel d’associerà cette partie la somme des poids élémentaires des éléments qu’elle contient.

Définition. soit A une partie de E. Le poids de A, noté P (A), est la somme despoids élémentaires des éléments constituant A : on a toujours 0 ≤ P (A) ≤ 1.

La partie vide a un poids nul : P (∅) = 0. L’ensemble tout entier a un poids égalà 1.

Exemple

Soit E = e1, e2, e3, et p1, p2, p3 les poids élémentaires des trois éléments. Cetensemble admet 23 = 8 parties. Voici la liste de ces parties, et les poids quiseront attibuées à chacune. La partie vide a un poids nul : autant il est inutilede mettre dans E un élément de poids nul, autant l’ensemble vide est utilemaintenant, même si son poids est nul. Le poids d’une partie sera notée avec un« P majuscule ».

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Chapitre 2 Probabilités sur un ensemble fini

∅ P (∅) = 0A = e1 P (A) = p1B = e2 P (B) = p2C = e3 P (C) = p3D = e1, e2 P (D) = p1 + p2F = e2, e3 P (F ) = p2 + p3G = e1, e3 P (G) = p1 + p3E = e1, e2, e3 P (E) = p1 + p2 + p3 = 1

1.3 Propriétés du poids d'une partieL’interprétation physique a l’avantage d’être facile à comprendre.

♠ Si deux parties A et B de E sont disjointes, à savoir n’ont aucun élément encommun, le poids de la réunion A ∪B est évidemment la somme des poids de Aet de B.

♠ Prenons deux parties non nécessairement disjointes, et contenant donc des élé-ments en commun : si l’on fait la somme P (A) + P (B), on compte une fois leséléments de A qui ne sont pas dans B, une fois les éléments de B qui ne sont pasdans A, mais on compte deux fois les éléments de A ∩ B. Pour avoir le poids deA ∪ B, on fait donc la somme des poids de A et de B, et on enlève une fois lepoids de A ∩B.

Pour deux parties A et B disjointes, on a P (A ∪B) = P (A) + P (B).

Le poids total est la somme des deux poids. On peut aussi dire que l’aire totale est lasomme des deux aires.

Plus généralement, on a P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).

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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 40 — #55 ii

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Maintenant, il faut enlever une fois le poids de l’intersection, car il a été compté deuxfois dans P (A) + P (B).

La première formule se généralise sans problème à un nombre quelconque de partiesdisjointes :

Si A1, · · · , Ak sont deux à deux disjointes, alors P (A1 ∪ · · · ∪Ak) = P (A1) + · · ·+P (Ak).

Il existe une généralisation de la seconde formule à k parties quelconques de E, maiselle est compliquée et ne présente pas une utilité phénoménale.

On peut visualiser cette notion de poids d’une partie d’une autre façon : c’est (d’unecertaine façon) la surface de la partie A, à l’intérieur de l’ensemble E dont la surfaceest égale à 1.La surface d’une réunion disjointe de parties est évidemment égale à la somme dessurfaces des parties.Quand on fait la somme des surfaces de deux parties quelconques A et B, on comptedeux fois la surface commune, à savoir la surface de A ∩B. Pour avoir la surface de laréunion A ∪ B, on prend donc la somme des surfaces, et on enlève une fois la surfacede l’intersection.

Cette interprétation en terme de surface est claire quand on représente les ensemblespar des diagrammes de Venn, couramment appelés « pommes de terre ». . ., et dontdeux exemples sont dessinés ci-dessus.

1.4 Un peu de sophisticationPeut-être sauté en première lectureLa formule générale P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) se déduit de la premièreformule concernant deux parties disjointes :

– A∪B est la réunion disjointe de A et de B \A, à savoir les éléments de B qui nesont pas dans A.

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u LMD


Probabilités et tests d’hypothèseUn cours écrit comme il a été donné, simple et clair, partant toujours des exemples concrets pour arriver à une formulation rigoureuse.Cet ouvrage regroupe les probabilités et les tests d’hypothèse enseignés dans les trois premières années universitaires, aussi bien dans les filières mathématiques que biologiques ou appliquées.

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L’ouvrage fait la liaison avec la classe terminale et peut même être abordé par les élèves de TS un peu curieux. Les chapitres de niveau supérieur sont regroupés en fin d’ouvrage, pour être abordés uniquement si nécessaire. La loi normale, par contre, est introduite assez tôt, car elle est vite indispensable. Le lecteur biologiste ou médecin a ainsi rapidement une présentation complète mais simple des lois classiques et sophistiquées permettant d’effectuer les tests sur les moyennes, les variances et l’homogénéité des échantillons.

Chaque notion est illustrée par des exemples dans le cours et de nombreux exercices corrigés en fin de chapitre. Les chapitres s’adressant au niveau L3 restent aussi parfaitement accessibles, car aucune connaissance fine de la théorie de la mesure n’est requise.

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François Cottet-Emard Directeur d’Études pour la Licence en mathématiques à l’Université de Paris-Sud, jusqu’en 2011, Maître de Conférences Hors-Classe.

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Dans le cadre du nouveau Système Européen de Transfert des Crédits (ECTS), ce manuel couvre les niveaux :en France : Licence 2, 3 et Master 1.en Belgique : Baccalauréat 2, 3 et Master 1.en Suisse : Baccalauréat 2, 3 et Master 1.au Canada : Baccalauréat 2, 3 et Master 1.

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Cottet-Emard Probabilités et tests d’hypothèse · rapidement une présentation complète mais simple des lois classiques et sophistiquées permettant d’effectuer les tests sur