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Chapitre 1
Courbes paramétrées en coordonnées
cartésiennes
On considère R2 muni d'un repère orthonormé (O,~i,~j). L'objectif est d'étudier des courbes dans le planqui ne sont pas la courbe représentative d'une fonction ... (trajectoire d'un mobile, description de �guregéométrique ...)
1.1 Dé�nition et exemples
Soient A une partie de R et ~f :
{I → R2
t→ (x(t), y(t)).
On dit que ~f est une fonction vectorielle à valeurs dans R2.x et y qui sont des fonctions s'appellent les composantes de ~f .
Dé�nition 1
Soit ~f une fonction vectorielle dé�nie sur un intervalle I de R à valeur dans R2, de composantex et y. On dit que :
i limt→t0
~f(t) = (a, b) lorsque limt→t0
x(t) = a limt→t0
y(t) = b.
ii ~f est continue sur I lorsque x et y sont continue sur I .
iii ~f est k fois dérivable (k ∈ N) lorsque x et y sont k fois dérivable sur I.
Lorsque ~f est k fois dérivable sur I, on note ~f (k)(t) = (x(k)(t), y(k)(t)).
Dé�nition 2
Soient I un intervalle (ou une réunion d'intervalles) de R,
~f :
{I → R2
t→ (x(t), y(t)).et C =
{M(t)/ ~OM(t) = x(t)~i+ y(t)~j
}.
Le triplet (I, ~f, C) est appelé arc paramétré plan.
Le couple (I, ~f) est le paramétrage de l'arc ; C est la courbe ou le support de l'arc.
Dé�nition 3
1
L'étude d'un arc paramétré peut correspondre à l'étude, sur un intervalle de temps I, dumouvement d'un point mobile M(t) dont la position à l'instant t est (x(t), y()).Dans ce cas :
� le support de l'arc s'appelle la trajectoire du mouvement ;
� les vecteurs ~f ′(t) et ~f ′′(t) s'appellent respectivement vitesse et accélération au pointM(t) à l'instant t.
Interprétation cinématique
La courbe dé�nie par
C :{
x(t) = x0 + aty(t) = y0 + bt
représente la droite passant par le point (x0, y0) et de coe�cient directeur (a, b).
Exemple 1
La courbe dé�nie par
C :{
x(t) = x0 +R cos(t)y(t) = y0 +R sin(t)
représente le cercle de centre (x0, y0) et de rayon R.
Exemple 2
exemples internet
Exemple 3
Soit (I, ~f, C) un arc paramétré.
On dit que (I, ~f, C) est un arc simple lorsque :
∀M ∈ C,∃!t ∈M/ M est le point de coordonnées de ~f(t).
Lorsque (I, ~f, C) n n'est pas un arc simple, les points de C ayant plusieurs antécédents sontdits des points multiples (double, triple...).
Dé�nition 4
Soit (I, ~f, C) un arc paramétré tel que ~f esr k fois dérivable.
� Le point M(t) est dit régulier lorsque ~f ′(t) 6= (0, 0) et il est dit stationnaire sinon.
� Le point M(t) est dit birégulier lorsque ~f ′(t) et ~f ′′(t) ne sont pas colinéaire.� On dit qu'un arc paramétré est régulier (resp. birégulier) si tous les points de l'arc sont
réguliers (resp. biréguliers).
Dé�nition 5
1.2 Domaine d'étude
Il faut que les deux fonctions x et y admettent toutes les deux la même période T . Dans cecas on se restreint à l'intervalle [0, T ].
Périodicité
2
Il faut que les deux fonctions x et y soient toutes les deux paires et/ou impaires. Dans ce cas onse restreint systématiquement à l'intervalle des t positifs ([0,+∞[ au max), on trace la courbeet on fait une symétrie par rapport à :
x y symétriepaire paire l'axe y=xpaire impaire à l'axe des abscissesimpaire paire à l'axe des ordonnéesimpaire impaire à l'origine
Parité
1.3 Tangente en un point
Soit (I, ~f, C) un arc paramétré tel que ~f esr k fois dérivable et soit t0 ∈ I.
On dit que l'arc (I, ~f, C) admet une tangente au point M(t0) lorsque l'on peut trouver au
voisinage de t0 un vecteur directeur ~u(t) de la droite (M(t)M(t0)) possédant une limite nonnulle en t0 : ~ut0 .La droite passant par M(t0) et dirigé par ce vecteur ~ut0 est alors appelée tangente à l'arcparamétré en M(t0). Si elle existe, on notera TM0
cette tangente.
Dé�nition 1
Soit (I, ~f, C) un arc paramétré tel que ~f esr k fois dérivable et soit Mt0 un point régulier de
l'arc. Alors l'arc admet en M(t0) une tangente TM0 dirigé par ~f ′(t0).
Proposition 1
Soit (I, ~f, C) un arc paramétré tel que ~f esr k fois dérivable et soit Mt0 un point régulier del'arc. Alors :
� si x′(t0) 6= 0, alors la pente de la tangente TM0et m(t0) =
y′(t0)x′(t0)
.
� si y′(t0) = 0, alors la tangente est horizontale.� si x′(t0) = 0, alors la tangente est verticale.
Proposition 2
Soit (I, ~f, C) un arc paramétré tel que ~f esr k fois dérivable et soit Mt0 un point stationnairede l'arc.On suppose qu'il existe j ∈ N∗ tel que ~f (j)(t0) 6= ((0, 0).
Soit p = min{j/ ~f (j)(t0) 6= ((0, 0)}.Alors l'arc admet en M(t0) une tangente TM0
dirigé par ~f (p)(t0) qui est un vecteur non nul.
Proposition 3
La courbe dé�nie par
C :{
x(t) = x0 + aty(t) = y0 + bt
représente la droite passant par le point (x0, y0) et de coe�cient directeur (a, b). En e�etx′(t) = a et y′(t) = b)
Exemple 1
3
1.4 Étude locale
Soit (I, ~f, C) un arc paramétré tel que ~f est 2 fois dérivable et soit Mt0 unpoint birégulier de l'arc. Alors au voisinage de M(t0), C a l'allure ci-dessous :
Proposition 1
4
Soit (I, ~f, C) un arc paramétré tel que ~f soit k fois dérivable et soit Mt0 un point stationnairede l'arc. Soit p le plus petit entier tel que :
~Vp = ~f (p)(t0) 6= (0, 0) p ≥ 2;
et q le plus petit entier tel que : ~Vp == ~f (p)(t0) et ~Vq = ~f (q)(t0) ne sont pas colinéaires.Suivant la parité de p et q, C a l'allure suivante au voisinage de M(t0) :
Proposition 2
La courbe dé�nie par
C :{
x(t) = et−1 − ty(t) = t3 − 3t
Alors x′(t) = et−1−1 et y′(t) = 3t2−3 et x′(t) = y′(t) = 0 si et seulement si t = 1. Donc M(1)est l'unique point stationnaire. De plus x′′(t) = et−1 et y′′(t) = 6t donc x′′(1) = 1 et y′′(1) = 6
la tangente à la courbe C au point M(1) est dirigée par le vecteur ~V2 de coordonnées (1, 6).
Exemple 1
1.5 Branche in�nies
Proposition 1
Soit (I, ~f, C) un arc paramétré avec ∀t ∈ I, ~f(t) = (x(t), y(t)). Ou t0 désigne une borne de I (�nie ouin�nie).
� si limt→t0
x(t) = x0 et limt→t0
y(t) = ±∞ alors la courbe C admet une asymptote verticale d'équation
x = x0
5
� si limt→t0
x(t) = ±∞ et limt→t0
y(t) = y0 alors la courbe C admet une asymptote horizontale d'équation
y = y0
� si limt→t0
x(t) = x0 et limt→t0
y(t) = y0 alors la courbe C admet un point asymptote de coordonnées :
(x0, y0)
� si limt→t0
x(t) = ±∞ et limt→t0
y(t) = ±∞ alors :
� si limt→t0
y(t)x(t) = ±∞ alors la courbe C admet une branche parabolique dans la direction des y
positifs si limt→t0
y(t) =∞ ; négatif sinon.
� si limt→t0
y(t)x(t) = 0 alors la courbe C admet une branche parabolique dans la direction des x positifs
si limt→t0
x(t) =∞ ; négatif sinon.
� si limt→t0
y(t)x(t) = a ∈ R∗ alors :
� si limt→t0
yax = ±∞ alors la courbe C admet une branche parabolique dans la direction des
y = ax� si lim
t→t0yax = b alors la droite d'équation y = ax est une asymptote à la courbe C reste à
étudier le signe de la di�érence.
6
1.6 Étude d'une courbe paramétrée
Démarche illustrée avec la courbe paramétrée dé�nie par :{x(t) = 2t+ 2
t
y(t) = t2 − t4
2
1. Domaine de dé�nition
2. Réduction du domaine
3. Tableau de variations
4. Etude des points particuliers
5. Etude des branches in�nies
6. Dessin de la courbe
1.6.1 Domaine de dé�nition
On aDx = R\{0}, Dy = R
doncD = R\{0}.
D = Dx ∩Dy
1.6.2 Réduction du domaine
Ici x(−t) = −x(t) et y(−t) = y(t) pour tout t ∈ D. On se restreint donc à l'intervalle ]0,+∞[ et one�ectuera une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
1.6.3 Tableau de variations
Calcul des dérivées :
x′(t) = 2− 2
t2=
2t2 − 2
t2, y′(t) = 2t− 2t3.
On regarde où ces dérivées s'annulent puis on étudie le signe des dérivées, pour obtenir le tableau devariations.
7
t 0 1 +∞x′(t) − 0 +
+∞ +∞x ↘ ↗
4y′(t) 0 + 0 −
1/2↗ ↘
0 −∞
Le tableau est complété par le calcul des limites éventuelles.
1.6.4 Etude des points particuliers
∗ Tangentes verticales
Si x′(t0) = 0 et y′(t0) 6= 0 alors la courbe admet une tangente verticale en (x(t0), y(t0)) (au temps t0) :
(0, y′(t0)).
∗ Tangentes horizontales
Si x′(t0) 6= 0 et y′(t0) = 0 alors la courbe admet une tangente horizontale en (x(t0), y(t0)) (au temps t0) :
(x′(t0), 0).
∗ Points stationnaires (ou singuliers)
Si x′(t0) = 0 et y′(t0) = 0 alors le point (x(t0), y(t0)) est dit singulier. On e�ectue alors un DL3(t0) (oud'ordre supérieur) des fonctions x et y : Ici on pose t = h+ 1 ...
x(t) = 4 + 2(t− 1)2 − 2(t− 1)3 + (t− 1)3ε1(t)
y(t) = 12 − 2(t− 1)2 − 2(t− 1)3 − (t−1)4
2
On détermine le vecteur tangent Vp = (2,−2) ainsi que Vq = (−2,−2) le premier vecteur non colinéaireà Vp.
On peut aussi calculer les vecteurs ~f (k) = (x(k), y(k)) par dérivations successives.
1.6.5 Etude des branches in�nies
∗ On a limt→0 x(t) = +∞ et y(0) = 0 donc la courbe C admet une asymptote horizontale d'ordonnée 0.
∗ On a limt→+∞ x(t) = +∞ et limt→+∞ y(t) = −∞. On calcule donc la limite
limt→+∞
y(t)
x(t)= lim
t→+∞
t2 − t4/2
2t− 2/t= −∞.
Donc la courbe C admet une parabole verticale en l'in�ni.
1.6.6 Dessin de la courbe
Traceur
8
Chapitre 2
Courbes paramétrées en coordonnées
polaires
On considère R2 muni d'un repère orthonormé (O,~i,~j).
Dé�nition et exemples
Soit M un point de coordonnées cartésiennes (x, y) dans R2. On considère un système de
coordonnées polaires (SCP) de M(x, y) lorsque :
{x = ρcos(θ)
y = ρsin(θ).
Dé�nition 1
� Le point O admet comme coordonnées polaires (0, θ) avecθ ∈ R.� SoitM un point du plan. Si (ρ, θ) est un SCP deM , alors (ρ, θ+2kπ) et (−ρ, θ+(2k+1)π)
où k ∈ Z sont des SCP de M .
� Soient M(ρ, θ) et M ′(ρ′, θ′) ; alors : M =M ′ ⇔ ∃k ∈ Z/
{ρ′ = (−1)kρθ′ = θ + kπ
Proposition 1
On dit qu'une courbe C du plan a pour équation polaire : ρ = f(θ) lorsque l'on a équivalencesuivante : (M de SCP (ρ, θ) appartient à C )⇔ ρ = f(θ).
Dé�nition 2
Soit θ ∈ R, on note : ~uθ = cos(θ)~i + sin(θ)~j et ~vθ = −sin(θ)~i + cos(θ)~j. Rθ = (O, ~uθ, ~vθ) estun repère orthonormé direct du plan (repère de Frenet).
Proposition 2
La courbe dé�nie par ρ = R représente le cercle de centre O et de rayon R.
Exemple 1
1
Une équation polaire d'une droite passant par O est θ = α et réciproquement.
Exemple 2
exemples internet
Exemple 3
Domaine d'étude
1. Si ρ(θ + 2π) = ρ(θ) on travaille sur un intervalle de longueur 2π et on a alors l'ensemblede la courbe.
2. Si ρ(θ + π) = ρ(θ) on travaille sur un intervalle de longueur π puis en e�ectuant lasymétrie par rapport à l'origine on a alors l'ensemble de la courbe.
3. Si ρ(θ + π/2) = ρ(θ) on travaille sur un intervalle de longueur π/2 puis en e�ectuant larotation de centre l'origine et d'angle π
2 puis la rotation de centre l'origine et d'angle πon a alors l'ensemble de la courbe.
4. Si ρ(θ + 4π) = ρ(θ) on travaille sur un intervalle de longueur 4π et on a alors l'ensemblede la courbe.
5. Si ρ(θ + 3π) = ρ(θ) on travaille sur un intervalle de longueur 3π puis on e�ectue lasymétrie par rapport à l'origine on a alors l'ensemble de la courbe.
Périodicité
On étudie ρ(−θ) :� Si ρ(−θ) = ρ(θ) (fonction paire), on étudie pour les valeurs de θ ≥ 0 puis on complète
la courbe obtenue par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.� Si ρ(−θ) = −ρ(θ) (fonction impaire), on étudie pour les valeurs de θ ≥ 0 puis on
complète la courbe obtenue par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.Plus généralement on peut regarder si ρ(α − θ) = ρ(θ), on étudie pour les valeurs de θ ≥ α
2puis on complète la courbe par symétrie par rapport à la droite passant par l'origine et d'angleα2 .
Parité
On considère la courbe C dé�nie en coordonnées polaires par ρ(θ) = 1 + sin(2θ)� ∀θ ∈ R, ρ(θ + π) = ρ(θ) donc la fonction est π-périodique. On étudie donc sur un
intervalle de longueur π puis on construit le symétrique de la courbe obtenue par rapportà l'origine.
� ∀θ ∈ R, ρ(π2 − θ) = 1 + sin(π − 2θ) = 1 + sin(2θ) = ρ(θ), ce qui prouve que les pointsM(ρ, π2 − θ) et M(ρ, θ) sont symétrique par rapport à la droite passant par O d'anglepolaire π
4 .Conclusion : on étudie la courbe sur [π4 ,
3π4 ] puis on obtient la courbe par deux symétries
successives. Plus généralement on peut regarder si ρ(α− θ) = ρ(θ), on étudie pour les valeursde θ ≥ α
2 puis on complète la courbe par symétrie par rapport à la droite passant par l'origineet d'angle α
2 .
Exemple 1
2
Étude locale
Soient C la courbe du plan d'équation polaire ρ = f(θ) et M(ρ, θ) ∈ C.1. Si ρ(θ) 6= 0 ( ce qui équivaut à M 6= O) alors la tangente à C au point M est dirigée par
le vecteur ρ′(θ) ~uθ + ρ(θ)~vθ. De plus :
(a) si ρ′(θ) = 0 alors la tangente est perpendiculaire à la droite (OM).
(b) si ρ′(θ) 6= 0 alors en notant V l'angle ( ~uθ, ρ′(θ) ~uθ + ρ(θ)~vθ) on a tan(V ) = ρ(θ)
ρ′(θ) .
2. Si ρ(θ) = ρ(θ0) = 0 et ρ est continue en θ0, alors C admet pour tangente en O la droitepassant par O et d'angle polaire θ0. De plus :
(a) si ρ change de signe en θ0 alors on a un point ordinaire.
(b) si ρ ne change pas de signe en θ0, alors on a un point de rebroussement de premièreespèce.
Proposition
3
Branches in�nies
Soit C la courbe d'équation polaire ρ = f(θ).
1. Si ρ(θ) →θ→±∞
0, alors O est un point asymptote de C.
2. Si ρ(θ) →θ→±∞
a 6= 0, alors le cercle de centre O et de rayon |a| est un cercle asymptote à
C.
3. Si ρ(θ) →θ→±∞
+∞, alors C présente une branche-spirale.
4. S'il existe θ0 tel que (θ) →θ→θ0
+∞ alors : soit M(ρ, θ) ∈ C ; dans le repère Rθ0 =
(O, ~uθ0 , ~vθ0), les coordonnées cartésiennes de M sont Xet Y avec X = ρ(θ0)cos(θ − θ0)et Y = ρ(θ0)sin(θ − θ0).(a) Si Y (θ) →
θ→θ0L, alors C admet pour asymptote la droite d'équation cartésienne
Y = L dans le repère Rθ0 .
(b) Si Y (θ) →θ→θ0
±∞, alors C admet une branche parabolique dans la direction de l'axe
des abscisses dans Rθ0 .
Proposition 1
Étude d'une courbe paramétrée en coordonnées polaires
Démarche illustrée avec la courbe paramétrée dé�nie par :
ρ = ln(θ)
1. Domaine de dé�nitionLe domaine de dé�nition est Dρ = R∗+.
2. Réduction du domainePas de périodicité ni de parité.
3. Recherche des valeurs de θ pour lesquelles ρ(θ) = 0Soit θ ∈ Dρ et ρ(θ) = 0 alors θ = 1, donc la courbe passe une seul fois par l'origine et la courbe esttangente en ce point à la droite d'équation polaire : θ = 1 (car ρ′(1) = 1).
4. Étude du signe de ρ
θ 0 1 +∞ρ − 0 +
5. Étude des variations de ρρ′(θ) = 1
θ > 0 ; ∀θ ∈ Dρ
4
6. Étude des branches in�niesρ(θ) →
θ→∞+∞ donc la courbe admet une spirale asymptote lorsque θ tend vers +∞.
ρ(θ) →θ→0+
−∞, on travaille alors dans le repère R0 = R = (O,~i,~j)
on a X(θ) →θ→0+
−∞et Y (θ) →
θ→0+0−.
Ceci donne l'axe des abscisses comme asymptote à C quand θ tend vers 0.
7. Dessin de la courbeTraceur
5
Chapitre 3
Étude métrique des courbesparamétrées
3.1 Longueur de courbe
3.1.1 Coordonnées cartésiennes
Dans cette section on considère une courbe paramétrée C dont le paramétrage est dé�ni et dérivable(C1) sur un intervalle I = [a, b] :
t 7−→ x(t) et t 7−→ y(t)
sont dérivables sur I.
La longueur de la courbe C est le nombre positif :
LC =∫ ba‖ ~OM
′(t)‖ dt =
∫ ba
√x′(t)2 + y′(t)2 dt.
Dé�nition 1
Calculer une longueur c'est donc calculer une intégrale.
Remarque 1
Soit C le cercle trigonométrique. Il est paramétré par t 7−→ (cos(t), sin(t)) sur [0, 2π]. Le para-
métrage est dérivable et on a :
LC =
∫ 2π
0
√(− sin(t))2 + cos(t)2 dt =
∫ 2π
0
1 dt = 2π.
Exemple 1
Soit C le cercle de centre A(1, 0) et de rayon R > 0. Il est paramétré par t 7−→ (1 +R cos(t), R sin(t)) sur [0, 2π]. Le paramétrage est dérivable et on a :
LC =
∫ 2π
0
√(−R sin(t))2 + (R cos(t))2 dt =
∫ 2π
0
Rdt = 2πR.
Exemple 2
1
Soit C la courbe paramétrée par :
x(t) = cos3(t), y(t) = sin3(t).
Le paramétrage est dérivable et a des propriétés de symétrie sur [0, π/2], on a donc :
LC = 4
∫ π/2
0
√(−3 sin(t) cos2(t))2 + (3 cos(t) sin2(t))2 dt = 12
∫ π/2
0
sin(t) cos(t) dt = 6.
Exemple 3
Si l'on souhaite déterminer la longueur d'un arc de courbe paramétrée sur [t0, t1] ⊂ [a, b], alorson calcule ∫ t1
t0
√x′(t)2 + y′(t)2 dt.
On a alors ∫ t1
t0
√x′(t)2 + y′(t)2 dt ≤
∫ b
a
√x′(t)2 + y′(t)2 dt
Remarque 2
La longueur de l'arc de cercle sur [0, 2π/3] du cercle trigonométrique est donnée par :
L =
∫ 2π/3
0
1 dt =2π
3.
Exemple 4
3.1.2 Coordonnées polaires
Dans cette section on considère une courbe paramétrée C dont le paramétrage est dé�ni et dérivable(C1) sur un intervalle I = [θ0, θ1] par r = f(θ).
La longueur de la courbe C est le nombre positif :
LC =∫ θ1θ0
√f(θ)2 + f ′(θ)2 dθ.
Dé�nition 1
Soit C le cercle trigonométrique. Il est paramétré par r = 1. Le paramétrage est dérivable et
on a :
LC =
∫ 2π
0
√1 + 0 dt =
∫ 2π
0
1 dt = 2π.
Exemple 1
2
Le cardioïde C paramétré par r = 1 + cos(θ) est symétrique par rapport à l'axe des abscisses
et on a :
LC = 2
∫ π
0
√(1 + cos(θ))2 + (− sin(θ))2 dθ = 2
√2
∫ π
0
√1 + cos(θ) dθ.
Or cos(θ) = 2 cos2(θ/2)− 1 donc :
LC = 4
∫ π
0
cos(θ/2) dθ = 8.
Exemple 2
3.2 Courbure
Soit C une courbe paramétrée par un paramétrage dé�ni et 2 fois dérivable sur un intervalle I = [a, b] :M(t) = (x(t), y(t)).
3.2.1 Rayon de courbure
Le rayon de courbure de C en t est donné par
R(t) = ‖ ~OM′(t)‖3
|det( ~OM′(t), ~OM
′′(t))|
.
Dé�nition 1
Soit C le cercle de centre O et de rayon R. On a R(t) = R3
R2 = R.
Exemple 1
Soit C dé�nie par {x(t) = 3t− t3y(t) = 3t2
On a x′(t) = 3− 3t2, x′′(t) = −6t et y′(t) = 6t, y′′(t) = 6. On a :
‖ ~OM′(t)‖3 =
√(3− 3t2)2 + (6t)2
3= 27(1 + t2)3,
et ∣∣∣∣3− 3t2 −6t6t 6
∣∣∣∣ = 18(1 + t2).
On en déduit que
R(t) =27(1 + t2)3
18(1 + t2)=
3
2(1 + t2)2.
Exemple 2
3
3.2.2 Courbure
La courbure de C en t existe si R(t) 6= 0 et est donnée par
k(t) = 1R(t)
Dé�nition 1
Soit C le cercle de centre O et de rayon R. On a k(t) = 1R .
Exemple 1
Dans l'exemple précédent, la courbure de C en t est
k(t) =2
3(1 + t2)2.
La courbure en 0 vaut k(0) = 23 .
Exemple 2
3.2.3 Cercle osculateur
Le cercle osculateur de C en t est le cercle qui approche au mieux la courbe C au temps t.
Remarque 1
Ce cercle a pour rayon R(t) et pour centre :
(x(t)− y′(t) ‖ ~OM
′(t)‖2
det( ~OM′(t), ~OM
′′(t))
, y(t) + x′(t) ‖ ~OM′(t)‖2
det( ~OM′(t), ~OM
′′(t))
).
Dé�nition 1
Le centre des cercles osculateurs de l'exemple précédent a pour coordonnées :(3t− t3 − 6t
(3− 3t2)2 + (6t)2
18(1 + t2), 3t2 + (3− 3t2)
(3− 3t2)2 + (6t)2
18(1 + t2)
).
Le cercle osculateur en t = 0 a pour rayon R(0) = 32 et pour centre
(0, 3/2).
Le cercle osculateur en t = 1 a pour rayon R(1) = 6 et pour centre
(−4, 3)
Exemples 1
4
On considère la courbe paramétrée astroïde dé�nie par
M(t) = (cos3(t), sin3(t)).
Exemple 2
5
On considère la courbe paramétrée cardioïde dé�nie par
ρ(θ) = 1 + cos(θ).
Exemple 3
6