Mesure de l’inégalitéCOURS 13

1

Plan des derniers cours

▪ Une fois que les ensembles de données ont été finalisés, il est temps de produire des résultats, dans le but de représenter les tendances qui se dégagent des données.

▪ En pratique ?

▪ Inégalité

▪ Pauvreté

▪ Statistiques descriptives sommaires sur la démographie des ménages, l’éducation, l’accès aux services, etc.

▪ Dépenses et revenus moyens

2

Ce cours

Prochain cours

Cours final

Mesure de l’inégalité et de la pauvreté

1) une mesure du niveau de vie

2) des données de qualité sur le niveau de vie des ménages

3) une distribution du niveau de vie (inégalité)

4) un niveau critique (un seuil de pauvreté) en dessous duquel les individus sont classés comme "pauvres"

5) une ou plusieurs mesures de la pauvreté

Niveau de vie

individus

3

Cowell (2011)

99,9% de ce cours est expliquée avec de meilleurs mots dans le travail de Cowell : ce livre et d'autres (innombrables) articles de revue

Avertissement

▪ Durant ce séminaire, nous avons souligné la distinction entre les concepts de niveau de vie, de revenu, de dépenses, de consommation, etc.

▪ Dans ce cours, nous faisons une exception et utilisons ces termes de manière interchangeable

▪ De même, je ne ferai pas de distinction entre le revenu par ménage, par têteou par équivalent adulte

▪ Pour une fois, et pour aujourd'hui seulement, nous serons (parfois) incohérents

5

Focus sur le terme "inégalité".

▪ "Lorsque nous parlons d'inégalité de revenus, nous entendons simplement les différences de revenus, sans tenir compte de leur caractère souhaitable comme système de récompense ou indésirable comme système allant à l'encontre d'un quelconque idéal d'égalité" (Kuznets 1953 : xxvii)

▪ En pratique, comment évaluer l'inégalité d'une distribution de revenus donnée ? Trois options principales :

① Tableaux

② Graphiques

③ Statistiques sommaires

Tableaux: une évaluation

▪ En général, les tableaux ne sont pas recommandés lorsque l'accent est mis sur l'inégalité

▪ Difficile d'avoir une idée de l'ampleur des inégalités dans la répartition en regardant un tableau.

▪ Pour illustrer notre propos, examinons la répartition des revenus et des revenus imposables en Afrique du Sud.

9

Source: 2018 Tax statistics, National Treasury and the South African Revenue Service

Pouvez-vous dire à quel point l'inégalité est élevée ou faible ?

Autre candidat : les graphiques

Les graphiques (diagrammes) aident-ils à représenter et à comprendre l'inégalité ?

11

Histogrammes

▪ Soit l’intervalle [𝑥−, 𝑥+] indiquant l’amplitude des données.

▪ On partitionne [𝑥−, 𝑥+] en 𝑚∗ bacs (intervalles) non chevauchant de largeur égale h =(𝑥+ − 𝑥−)/𝑚∗.

▪ Une estimation par histogramme de la densité 𝑓(𝑥) est la fraction des observations tombant dans la case contenant 𝑥, divisée par la largeur de la case h:

መ𝑓 𝑥 =(part de l′échant. obs. dans le même intervalle que x)

ℎ

▪ L'aire de chaque barre (= ℎ × መ𝑓 𝑥 ) est interprétée comme la fraction des observations de l'échantillon dans l’intervalle. La somme de toutes les aires des barres est égale à l'unité.

12

Histogrammes?Note : les valeurs extrêmes (1% supérieur) ont été supprimées

10 intervalles

80 intervalles

240 intervalles

Histogrammes: une évaluation

▪ La position et le nombre d’intervalles sont arbitraires

▪ Fondamentalement irrégulier: discontinuités aux bornes de chaque intervalle

▪ Peut fournir des images très différentes de la même distribution

▪ L'aspect des graphiques dépend fortement du traitement des valeurs extrêmes

▪ Lisez Cowell, Jenkins et Litchfield (1996) pour en savoir plus.

Au-delà des histogrammes

▪ Une fonction de densité de probabilité (FDP) est la "version continue" d'un histogramme

▪ Une façon pratique d'introduire le FDP est de partir de la fonction de distribution cumulative ou fonction de répartition (FDC)

15

La fonction de distribution cumulative (FDC)

▪ La fonction de distribution cumulative (FDC) d’une variable aléatoire 𝑋 est définie comme suit:

𝐹 𝑥∗ = න

0

𝑥∗

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

▪ 𝐹 𝑥∗ est la proportion d’individus ayant 𝑋 inférieur ou égal à 𝑥∗.

▪ Si 𝑋 est le revenu, disons, 𝑥∗ = $2000, alors 𝐹 𝑥∗ = Pr(𝑋 < 2000), qui est la part de la population ayant moins de $2000.

La fonction de distribution cumulative empirique (FDCE)Iraq IHSES 2007/2012., Cumulative distribution of welfare aggregate (p.21)

▪ Choisissez n'importe quel niveau de revenu sur l'axe 𝑥, et la courbe 𝐹(𝑥) vous indiquera le pourcentage de personnes dans la population ayant un niveau de revenu inférieur à 𝑥.

▪ La CDF est plus efficace pour vous renseigner sur l'incidence de la pauvreté que sur les inégalités.

17

IRAQ, The Unfulfilled Promise of Oil and Growth

Poverty, Inclusion and Welfare in Iraq, 2007-2012

Volume 1: Main Report

La fonction de densité de probabilité (FDP)

▪ La fonction de densité de probabilité (FDP) est la dérivée de la FDC:

𝑓 𝑥 =𝑑𝐹(𝑥)

𝑑𝑥

▪ La FDP décrit simplement la probabilité qu'une variable aléatoire 𝑋 prenne une valeur donnée.

▪ Note : pour les variables aléatoires continues, la probabilité que 𝑋 prenne une valeur particulière 𝑥 est de 0, la probabilité étant définie uniquement sur les intervalles (a,b).

Iraq, 2007/12PDF de l'agrégat du bien-être (p.21)

▪ La FDP fonctionne-t-il mieux que la FDC pour décrire l'inégalité ?

▪ Probablement, oui. Qu'en pensez-vous ?

IRAQ, The Unfulfilled Promise of Oil and Growth

Poverty, Inclusion and Welfare in Iraq, 2007-2012

Volume 1: Main Report

FDPs: une évaluation

▪ Des inconvénients similaires à ceux des histogrammes

▪ La largeur des bandes (le degré de "lissage" du graphique) est arbitraire

▪ Dans la plupart des cas, les FDP nécessitent un certain découpage des valeurs supérieures pour éviter d'avoir l'air "écrasé" et d'être illisible

▪ En général, la FDP n'est pas très efficace pour montrer ce qui se passe dans la partie supérieure de la queue, mais c'est une information importante lorsqu'on se concentre sur l'inégalité

La fonction quantile

▪ Soit p = F(x) la proportion d’individus de la

population dont le revenu est inférieur à x.

▪ La fonction quantile Q(p) est définie par:

▪ Q(p) est le niveau de revenu en dessous

duquel se trouve la proportion p de la

population.

F Q p( )éë ùû= p or Q p( ) = F-1 p( )inverse du cdfcdf

Source: Haughton and Khandker (2009).Pen’s Parade (Quantile Function) for Expenditure per Capita, Vietnam, 1998

La courbe de Lorenz (1905)Photo et intuition

▪ Axe horizontal : % cumulé de la population(individus classés du plus pauvre au plus riche)

▪ Axe vertical : % cumulé des revenus perçus par chaque % cumulé de la population.

▪ Ligne à 45 degrés : courbe de Lorenz en cas d'égalité parfaite.

▪ La distance globale entre la ligne des 45 degrés et la courbe de Lorenz est indicative du degré d'inégalité présent dans la population.

La courbe de Lorenz (1905)Mathématiquement

▪ La courbe de Lorenz L(p) est définie comme suit:

𝐿 𝑝 =0𝑝𝑄 𝑝 𝑑𝑞

01𝑄 𝑝 𝑑𝑞

▪ Le numérateur additionne les revenus des p% les plus pauvres de la population ;

▪ Le dénominateur additionne les revenus de tous.

▪ Le rapport L(p) indique le % cumulé du revenu total détenu par une proportion cumulée p de la population.

▪ Exemple : si L(0,5) = 0,3, alors nous savons que les 50 % individus les plus pauvres de la population détiennent 30 % du revenu total de la population.

Fonction quantile et courbe de Lorenz : une évaluation

▪ Ces outils graphiques mettent l'accent sur le classement des parts de la population en fonction du revenu

▪ La courbe de Lorenz montre clairement à quel point la répartition est éloignée d'une égalité parfaite

▪ Pourtant, aucun graphique n'est aussi simple et facilement comparable qu'une mesure scalaire de l'inégalité

28

Résumé et prochaines étapes

▪ Tous les graphiques ne peuvent pas représenter l'inégalité

▪ La courbe de Lorenz est la plus populaire

▪ Une meilleure compréhension conceptuelle vient de la construction de mesures de l'inégalité à partir des principes de base.

▪ L'approche la plus simple : les mesures de l'inégalité en tant que mesures statistiques pures de la dispersion.

Indicateurs d’inégalité

30

Mesures de dispersion

▪ Amplitude R = xmax − xmin

▪ Qu’en pensez-vous ?

▪ Variance σ2 =1

nσi=1n (xi − μ)2

▪ Coefficient de Variation 𝐶𝑉 =σ2

μ

▪ …

Quantiles, Quintiles, Quartiles, …

▪ Prenez un ensemble d'observations pour la variable 𝑥 (par exemple 𝑥 = dépenses)

▪ Ordonner les observations du plus petit 𝑥 au plus grand 𝑥 (de pauvre à riche)

▪ Diviser l'ensemble des observations en 𝑛 sous-ensembles de taille égale

▪ 𝑄1, 𝑄2, … , 𝑄𝑛−1 sont des valeurs de 𝑥 qui identifient les points de coupure entre

les 𝑛 sous-échantillons, et sont appelés quantiles.

▪ Some quantiles have special names

Exemple avec n = 4

25% des données

25% des données

25% des données

25% des données

Plus petit x Plus grand x

𝑄1 𝑄2 𝑄3

Aussi appelépremier quartile

ou p25

Aussi appelé deuxième quartile

ou p50ou médiane

Aussi appelé troisième quartile

ou p75

Notez que p indique les percentiles, c'est-à-dire les quantiles lorsque n = 100

Rapports interquantiles

▪ Un rapport interquantile mesure l'écart entre les riches et les pauvres.

▪ Il est défini comme le rapport de deux quantiles, Q(p2)=Q(p1) utilisant les

percentiles p1 et p2.

▪ Trois indicateurs populaires :

▪ le rapport interquintile (p2 = 80 et p1=20):

QR = Q(p80)/Q(p20)

▪ le rapport interdécile (p2 = 90 et p1=10):

DR = Q(p90)/Q(p10)

Le rapport interdécileper adult equivalent income (OECD def.)

2.9

25.6

6.34.9

4.2

Ratios des Parts de Quantiles

▪ Soit S20 la part du revenu (équivalent disponible) reçue par les 20% les plus pauvres, et S80 la part du revenu reçue par les 20% les plus riches.

▪ Le ratio des parts de quantiles est défini comme suit :S80-20 = S80/S20

▪ Le ratio des parts de quintiles est l'indicateur de Laeken de niveau 1, choisi par l'UE pour surveiller la répartition des revenus.

RPQ dans le monde

37Source: (WDI) Income share held by highest 20% over Income share held by lowest 20%, last available 2010-2017

S80/S20 en Afrique Sub-Saharienne

38

010

20

30

Burkina

Fas

o

Mau

ritan

ia

Sierra

Leo

neNiger

Guine

a

Gam

bia,

The

Libe

ria

Tanza

nia

Burun

di

Ethiopia

Gab

on

Kenya

Seneg

al

Malaw

i

Uga

nda

Cote

d'Ivoire

Rwan

da

Zimba

bwe

Con

go, D

em. R

ep.

Togo

Cha

d

Gha

na

Cam

eroo

n

Guine

a-Bis

sau

Con

go, R

ep.

Moz

ambiqu

e

Botsw

ana

Benin

Leso

tho

Zambia

Nam

ibia

South A

frica

28

5

Source: (WDI) Income share held by highest 20% over Income share held by lowest 20%, last available 2010-2017

Le Coefficient de Giniune définition

▪ Yitzhaki (1997) compte plus d'une douzaine de formules disponibles pour l'indice de Gini.

▪ Une définition Classique du coefficient de Gini :

▪ Le coefficient de Gini va de 0 (tous les bénéficiaires ont le même revenu : égalité parfaite), à 100 (tous les revenus sont perçus par un seul bénéficiaire : inégalité parfaite).

G =1

2n2mxi - x j

j=1

n

åi=1

n

å

Le Coefficient de GiniInterprétation – Farris 2010: 857

▪ Considérons l'expérience suivante.

▪ Choisissez deux ménages au hasard et enregistrez le plus faible de leurs deux revenus : appelez le résultat 𝑦 . soit 𝜇 le revenu moyen. Il s'avère que:

▪𝑦

μ= 1 − 𝐺

▪ En supposant que l'indice de Gini est de 40%, nous pouvons conclure que le plus faible des deux revenus familiaux, choisi au hasard, représente environ 60% (=100-40%) de la moyenne nationale : en moyenne, la plus pauvre des deux familles ne gagne qu'environ 60% de la moyenne nationale.

Le Coefficient de GiniInterprétation graphique

▪ L'indice de Gini est égal à deux fois l'aire A entre la courbe de Lorenz et la diagonale d'égalité:

𝐺𝑖𝑛𝑖 =𝐴

(𝐴 + 𝐵)

= 2𝐴

= 21

2− 𝐵 = 1 − 2𝐵

Gini dans le monde

42Source: (WDI), GINI index (World Bank estimate) last available year 2010-2017

Gini en Afrique Sub-Saharienne

43

020

40

60

Mau

ritan

ia

Guine

a

Sierra

Leo

neNiger

Libe

ria

Burkina

Fas

o

Gam

bia,

The

Tanza

nia

Gab

on

Burun

di

Ethiopia

Seneg

al

Kenya

Cote

d'Ivoire

Con

go, D

em. R

ep.

Uga

nda

Togo

Zimba

bwe

Cha

d

Gha

na

Rwan

da

Malaw

i

Cam

eroo

n

Benin

Con

go, R

ep.

Guine

a-Bis

sau

Botsw

ana

Moz

ambiqu

e

Leso

tho

Zambia

Nam

ibia

South A

frica

63%

33%

Source: (WDI), GINI index (World Bank estimate) last available year 2010-2017

Gini dans le mondeUn ensemble de pays sélectionnés

44Source: (WDI), GINI index (World Bank estimate) last available year 2010-2017

Min

Max

Résumé

▪ Les rapports interquantiles, les ratios de parts de quantiles, Gini, sont tous des mesures populaires de l'inégalité

▪ Ils font un excellent travail en représentant l'inégalité par un nombre

▪ Problème : ils n'ont pas toujours toutes les propriétés que nous souhaiterions pour une mesure d'inégalité

▪ Solutions : résoudre le problème à l'envers. Définissez d'abord quelques propriétés souhaitables, puis construisez une mesure qui les respecte

46

Déterminer les mesures d'inégalité à partir d'axiomes

▪ Axiome: une déclaration acceptée comme vraie comme base d'argumentation ou de déduction.

▪ L'approche axiomatique nous permet de "construire sur mesure" des mesures d'inégalité qui répondent à nos besoins:

1. Nous définissons un ensemble de propriétés élémentaires (axiomes) que nous pensons que les mesures d'inégalité devraient avoir

2. On obtient une formule mathématique qui fournit une classe de mesures de l'inégalité satisfaisant aux axiomes

Cinq axiomes des mesures d'inégalité

A. Anonymat (ou Symétrie)La personne qui gagne le revenu n'a pas d'importance

B. Le Principe de PopulationLa taille de la population n'a pas d'importance

C. Invariance des mesures (ou Principe du Revenu Relatif)Le niveau de revenu n'a pas d'importance

D. Le principe des transferts (de Pigou-Dalton)Les transferts entre riches et pauvres qui préservent les rangs réduisent les inégalités

E. Décomposabilité (ou cohérence des sous-groupes)La mesure est décomposable de manière additive

48

Indices d’Entropie Généralisée (IEG)Shorrocks (1980)

▪ Les mesures d'inégalité qui satisfont tous les axiomes (A à E), doivent avoir la forme suivante :

▪𝐺𝐸 𝜃 =1

𝜃2−𝜃

1

𝑛σ𝑖=1𝑛 𝑥𝑖

ҧ𝑥

𝜃− 1

▪ où 𝜃 est un paramètre auquel on peut donner n'importe quelle valeur (positive, nulle ou négative).

▪ En fonction de la valeur attribuée à 𝜃, différents indices sont obtenus.

La famille des indices d'entropie généralisée

▪ Si 𝜃 = 0

Déviation Logarithmique Moyenne : 𝐺𝐸 0 = 𝑀𝐿𝐷 =1

𝑛σ𝑖=1𝑛 log

ҧ𝑥

𝑥𝑖

▪ Si 𝜃 = 1Indice de Theil : 𝐺𝐸 1 = 𝑇𝐻𝐸𝐼𝐿 =

1

𝑛σ𝑖=1𝑛 𝑥𝑖

ҧ𝑥log

𝑥𝑖

ҧ𝑥

▪ Si 𝜃 = 2Demi-coeff. de variation au carré : 𝐺𝐸 2 =

𝒦2

2

▪ Le cas de l'Ouganda illustre

OugandaEnquête nationale auprès des ménages 2012/2013

55

▪ Les décompositions des inégalités sont généralement utilisées pour estimer dans quelle mesure l'hétérogénéité de la population affecte l'inégalité globale. Deux techniques populaires sont:

1. Décomposition par sous-groupe de population

2. Décomposition par source de revenu

▪ Nous nous concentrons sur le premier :

▪ Les sociétés peuvent souvent être divisées en groupes (par exemple, Nord-Sud). Nous aimerions pouvoir décomposer l'inégalité totale en deux composantes, à savoir l'inégalité au sein des groupes constitutifs, et l'inégalité entre les groupes :

𝐼𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝐼𝐼𝑁𝑇𝑅𝐴 + 𝐼𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅

Décomposition de l’inégalité

Rwanda 2016/175e Enquête Integrée pour la Mesure des Conditions de Vie des Ménages, EICV5 (2016/17)

58

Leçons apprises

61

▪ De nombreuses façons de décrire l'inégalité, certaines plus efficaces que d'autres

▪ Graphiques : les plus remarquables sont les fonctions quantile et les courbes de Lorenz

▪ Mesures : des mesures différentes de l'inégalité conduisent à des résultats différents

▪ L'indice de Gini est une mesure extrêmement populaire - nous recommandons son utilisation.

▪ Les IEG (indices d'entropie généralisée), et en particulier l’ ELM (écart logarithmique moyen), sont recommandés en raison de leurs propriétés théoriques.

Références

Bibliographie obligatoire

Cowell, F. (2011). Measuring inequality. Oxford

University Press. (Chapter 1 & 2)

Bibliographie suggérée

Atkinson, A. B. (1970). On the measurement of inequality.

Journal of economic theory, 2(3), 244-263.

Cowell, F., Jenkins, S. P., and Litchfield, J. A. (1996). The

changing shape of the UK income distribution: kernel density

estimates (pp. 49-75). Cambridge University Press.

Farris, F. A. (2010). The Gini index and measures of

inequality. The American Mathematical Monthly, 117(10),

851-864.

Haughton and Khandker (2009). Handbook on Poverty

and Inequality, Chapter 6.

Pen, J. (1971). Income Distribution: facts, theories, policies.

Praeger.

Pyatt, G. (1976). On the interpretation and disaggregation of

Gini coefficients. The Economic Journal, 86(342), 243-255.

Shorrocks, A. F. (1980). The class of additively decomposable

inequality measures. Econometrica: Journal of the

Econometric Society, 613-625.

Merci de votre attention

63

Devoir de maison

64

Exercice 1 – S’engager avec la littérature

Les équations (10) à (12) de Farris (2010) donnent une brève interprétation d'un indice de Gini de 63% pour l'Afrique du Sud

Exercice 2 – Inégalité en Asie du Sud

▪ Passez à la page 2 de ce rapport (voir diapositive suivante)

▪ Quelles critiques feriez-vous à cette figure?

Note: Les barres orange et marron clair indiquent les pays où l'inégalité est estimée sur la base de la consommation par habitant. Les barres bleu clair indiquent les pays dont les estimations sont basées sur le revenu par habitant.

Exercice 3 – Distribution Fonctionnelle vs Personnelle du revenu

▪ La nature de la relation qui lie l'évolution des parts de revenus à l'inégalité des revenus est complexe et encore largement débattue parmi les chercheurs.

▪ Dans ce contexte, commenter la figure 19 du Rapport mondial sur les salaires 2016/2017 de l'OIT.

69