Cours 3: Noether - univ-brest.frstockage.univ-brest.fr/~scott/Maths_Rennes_2017/...Noether 7 Historique |Ce travail a commenc e avec Emmy Noether (1882{1935), en particulier l’article

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Cours 3: Noether 1

Cours 3. Invariance des fonctionnelles

— Resume du dernier cours.

— Exercices du dernier cours : (i) demontrer que la droite est la

trajectoire la plus courte entre deux points donnes dans le

plan euclidien E2.

— Historique et motivation physique.

— Le probleme d’extremum [rappel des hypotheses de cours 1].

— Les transformations de variables, notion

d’invariance, le theoreme de Noether

Cours 3: Noether 2

Remarques sur notation

— J’ai change C a C pour indique les fonctions de classe C2 afin

deviter confusion avec les nombres complexes.

— Comme toujours, le « L » fait reference a (Logan, 1977)

p.ex. « L2.1 Theoreme » est le theoreme 2.1 du livre (Logan,

1977), etc.

— En general x ∈ Rm p.ex. t ∈ R1 sont les variables

independantes (jusqu’a ici m = 1), r,X, Y, Z, φ ∈ Rn sont les

« variables dynamiques » , et (x, φ) constituent notre espace

de configuration qui decrit l’etat de notre systeme.

Cours 3: Noether 3

Resume du dernier cours

— Les 3 lois de Newton, sur tout la deuxieme loi :

F = mr, r :=d2r

dt2. (1)

(le principe fondamental de la dynamique).

— Force conservative

Definition : Force conservative Une force est dite

conservative (ou le systeme est dite conservatif) si :∮F · dr = 0 (2)

pour toutes orbites fermees dans D ⊆ E3 un domaine ouvert

dans espace euclidien. Les orbites considerees admettent un

Cours 3: Noether 4

parametrage r : I ⊂ R1 → D tel qu’elles sont continues avec

premiere derivee continue par morceaux.

— Les lois de conservation :

Le theoreme de conservation de quantite du

mouvement d’une particule :

Si la force totale F est nul, alors p = 0, et le quantite

du mouvement p est conservee.

Theoreme : conservation pour le moment cinetique

d’une particule :

Si le moment de la force totale N est nul, alors L = 0,

et le moment cinetique L est conservee.

Theoreme : conservation de l’energie pour une

particule

Cours 3: Noether 5

Si les forces agissant sur une particule sont

conservatives, l’energie totale de la particule, T + V ,

est conservee.

— Principe de Hamilton : Parmi toutes les trajectoires

possibles r : [a, b]→ Rn le long desquelles le systeme

pourrait se deplacer de sa position au temps t = a a sa

position au temps t = b, il se deplacera reellement le long de

la trajectoire pour laquelle l’action (3) est stationnaire.

J(r) :=

∫ b

a

L(t, r(t), r(t)) dt (3)

— Le lagrangien pour un systeme mecanique classique,

non-relativiste et conservatif est toujours

L(t,X, Y, Z, X, Y , Z) = T − V, (4)

ou T est l’energie cinetique totale du systeme. Pour un

Cours 3: Noether 6

systeme de N particules,

T =1

2mkr

2k, k = 1, . . . N. (5)

L’energie potentiel totale du systeme est V , qui est la

somme du potentiel pour les forces externes et internes.

— Coordonnees generalisees

Noether 7

Historique

— Ce travail a commence avec Emmy Noether (1882–1935), en

particulier l’article en 1918 [version anglais (Noether , 2005)].

— Ce travail s’appuie sur le travail de C.F. Klein et M.S. Lie

sur les proprietes d’equations differentielles par les

transformations de groupes continues [les groupes de Lie].

— En 1918 Noether a trouve deux resultats tres importants

(i) Si l’integrale J est invariante par un groupe de

transformations continues de r-parametres des variables x et

φ, alors il y a r relations entres les expressions

d’Euler-Lagrange Ek et les quantites qui s’ecrivent comme

les divergences.

(ii) Si l’integrale J est invariante par un groupe de

transformations qui dependent sur τ fonctions arbitraires et

Noether 8

leur derivees jusqu’au ordre σ alors il existe les relations

entres Ek et leur derivees jusqu’au ordre σ.

— Implications physiques : Si l’integrale J est l’integrale

d’action pour un systeme physique donc l’invariance par un

groupe de transformations continues de r-parametres des

variables x et φ mene directement aux lois de conservation

pour ce systeme. Dans le cas d’une integrale d’action simple,

ca implique les quantites invariants le long des SEEL,

autrement dit les premieres integrales. Dans le cas d’une

integrale d’action de plusieurs variables, ca implique les

quantites pour laquel la divergence s’annule ; il s’agit de la

conservation d’un flux.

— Le seconde resultat est moins connu que le premier. Quand

on impose un tel invariance sur la fonctionnelle d’un systeme

physique, ca impose des contraints sur le forme permet pour

le lagrangien. Nous nous concentrons sur le premier resultat.

Noether 9

Les transformations continues de

r-parametres des variables x et X = φ(x)

Les transformations continues de r-parametres 10

Le probleme d’extremum

— Soit N = C2n[a, b] l’espace lineaire des fonctions vectorielles φ

avec composantes φi : [a, b]→ R1, pour i = 1, 2, . . . , n.

Chaque composante φi ∈ C2[a, b].

— Pour les fonctions admissibles φ ∈ A2n[a, b], on precise les

conditions aux bornes a et b

A2n[a, b] = {φ ∈ N | φ(a) = α, φ(b) = β et α, β ∈ Rn}, (6)

ou φ(a) = α est une notation concise pour φi(a) = αi pour

i = 1, 2, . . . , n.

— Considerons le lagrangien L : I × Rn × Rn → R1, ou I est

l’intervalle ouvert sur R1, [a, b] ⊆ I et L est continue avec

toutes derivees partielles jusqu’a l’ordre deux dans tous les

2n+ 1 arguments continues.


— L’integrale fondamentale, l’action integrale, est la

fonctionelle J : A2n[a, b]→ R1 definie par

J(φ) :=

∫ b

a

L(x, φ(x), φ(x)) dx (7)

ou [a, b] ⊂ I.

— Le probleme d’extremum est de trouver φ ∈ A2n[a, b] tel que

J(φ) soit stationnaire.


Les transformations : definies

— Nous nous interessons a l’invariance de J par une

transformation du x et des X = φ(x) qui depend sur r

parametres εs ∈ R1, s = 1, 2, . . . r ; il s’agit d’une

transformation de l’espace de configuration de r parametres.

[Une transformation des coordonnees.]

— Noether en 1918 a restricte la consideration aux

transformations de Lie locale. En effet les applications les

plus importantes dans la physique (la transformation de

Lorentz, de Galilee, les transformations conformes) sont

transformations de Lie locales. Mais nous pouvons

considerer les transformations plus generales, la famille de


transformations de r parametres :

χ : I × Rn × U → I,

ψk : I × Rn × U → R1, (8)

qui sont de classe C2 pour tous leurs (1 + n+ r) arguments.

Les applications χ et ψ transforment les anciennes

coordonnees (x,X) de notre espace de configuration aux

nouveaux coordonnees (x, X) :

x = χ(x,X, ε), (9)

Xk = ψk(x,X, ε), k = 1, . . . n. (10)

ou ε = εs, s = 1, 2, . . . r et X = Xi, i = 1, . . . n. Nous

supposons que ε ∈ U ⊆ Rr et que U contient l’origine

(0, 0, . . . , 0) comme point interieur.

De plus nous demandons que l’on obtient l’identite pour


ε = (0, 0, . . . , 0) :

x = χ(x,X, 0) = x, (11)

Xk = ψk(x,X, 0) = Xk, k = 1, . . . n. (12)

— Les transformations (9) et (10) n’ont pas forcement de

transformations reciproques globales. On va voir qu’ils ont

forcement de transformations reciproques pour ε assez

proche a l’origine.


Les transformations : leur generateurs

— Les conditions de regularite des transformations (9) et (10)

nous permettent d’ecrire leur developpement limite.

Utilisant (11) et (12)

x = x+ τs(x,X)εs + o(ε), (13)

Xk = Xk + ξks (x,Xk)εs + o(ε), k = 1, . . . n. (14)

[Convention d’Einstein.] Les τs et les ξs, evidement donnes

par

τs(x,X) =∂

∂εsχ(x,X, ε)

∣∣∣∣ε=0

, ξks (x,X) =∂

∂εsψk(x,X, ε)

∣∣∣∣ε=0

,

(15)


s’appellent les generateurs des transformations χ (9) et ψk

(10) et les transformations (13) et (14) sont des

transformations « infinitesimales » des transformations (9)

et (10).

— Ici les termes indiques par o(ε) sont tel que

lim‖ε‖→0

o(ε)

‖ε‖= 0, ‖ε‖ :=

√εsεs. (16)

— Exemple L2.1 : une rotation des axes des x et des X.

Supposons que n = 1 [l’espace de configuration a dimension

2] et r = 1 [un seul parametre]. Si l’axe des x est l’abscisse et

l’axe des X est l’ordonnee, nous effectuons une rotation des

axes autour de l’origine par un angle ε. Trouver les

transformations pour un angle arbitraire et pour un angle

infinitesimale.


Exemple L2.1 : une rotation des axes des

x et des X. Solution

— La rotation des axes autour de l’origine par un angle ε est

representee par

x = x cos ε+X sin ε,

X = −x sin ε+X cos ε. (17)

Les transformations infinitesimales sont evidement

x = x+Xε+ o(ε),

X = −xε+X + o(ε), (18)

et les generateurs sont τ(x,X) = X et ξ(x,X) = −x.


La transformation d’une courbe φ

— Soit φ : [a, b]→ Rn une courbe arbitraire de classe C2n[a, b]

parametree par X = φ(x) dans l’espace de configuration

(x,X).

— Affirmation : Pour ε assez petit la famille de transformations

de r-parametres (9) et (10) transforment la courbe X = φ(x)

a une famille des courbes X = φ(x, ε) dans l’espace de

configuration (x, X) avec r parametres ε.

— On a besoin du lemme L2.1 ci-dessous afin de trouver

x = T (x, ε).

L2.1 Lemme : Soit φ : [a, b]→ Rn une courbe arbitraire

de classe C2n[a, b]. Il existe un d > 0 tel que pour tout ε ∈ U


avec chaque ‖εs‖ < d la transformation

x = χ(x, φ(x), ε), (19)

a une transformation reciproque unique. [La transformation

est une bijection. Et donc on peut trouver x = T (x, ε).]

Demonstration :

On definit la famille de fonctions de r parametres

γ : [a, b]× U → I (20)

par

γ(x, ε) = χ(x, φ(x), ε), (21)

qui est de classe C2 par heritage de χ. Parce que l’on a (11),

on obtient

γ(x, 0) = x. (22)


Et donc

∂

∂xγ(x0, 0) = 1, ∀x0 ∈ [a, b]. (23)

Par la continuite de ∂γ∂x , il y a un couple (d(x0), D(x0)) > 0

pour chaque valeur de x0 ∈ [a, b] tel que

‖εs‖ < d(x0) et x ∈ [a, b] ∩ (x0 −D(x0), x0 +D(x0))

=⇒ ∂

∂xγ(x, ε) > 0. (24)

On constate que l’ensemble des intervalles

[a, b] ∩ (x0 −D(x0), x0 +D(x0)) recouvrent l’intervalle [a, b].

Mais [a, b] est un ensemble compact, alors il y a un

recouvrement de [a, b] avec un nombre fini M de tel

intervalles

∪Mj=1 (xj −D(xj), xj +D(xj)), xj ∈ [a, b]. (25)


On choisit le plus petit d = minj=1...M (d(xj)) d’un tel

recouvrement de [a, b]. Alors la transformation (21) est

croissante pour ε ∈ U et ‖εs‖ < d et alors elle a une

reciproque. �.

— Nous voulons ecrire X = φ(x, ε) pour X = φ(x) donne et la

famille de transformations de r-parametres (9) et (10)

donnees.

— Par le lemme L2.1, pour ε assez petit on peut trouver

x = T (x, ε).

— Et donc on definit

Xk = ψk(T (x, ε), φ(T (x, ε)), ε),

:= φk(x, ε). (26)

Ici les ensembles de departs des applications φk sonts des


intervalles [a, b] qui dependent sur les composantes k :

a = χ(a, φk(a), ε), b = χ(b, φk(b), ε). (27)

— Pour le cas n = 1 et r = 1 on a les courbes dans le plan

x−X qui sont transformees en des courbes dans le plan

x− X pour ε assez petit. [Tracer L Fig. 3.] (Show an

artifical case where ε is too large and the transformation

x = χ(x, φ(x), ε) is not invertible.)


L2.2 Exemple

— Considerons les courbes φ(x) = mx dans le plan-xX, ou

m ∈ R1 est une constante, la pente.

— Trouver les courbes transformees par la rotation

infinitesimale des axes (18).

— Est-ce qu’il y a un d tel que |ε| ≥ d la transformation ne

marche pas ?


L2.2 Exemple

— Solution :

X =m− ε1 +mε

x. (28)

— Oui, il y a un d tel que |ε| ≥ d la transformation ne marche

pas. Quand d = −1/m la transformation donne les valeurs

qui ne sont pas reels.


Definition de l’invariance d’une

fonctionnelle

Definition de l’invariance 26

Notion intuitive

— Considerons L Fig. 3. Nous pouvons calculer l’integrale

fondamentale dans le plan-xX

J(φ) =

∫ b

a

L(x, φ(x), φ(x))dx (29)

pour les courbes X = φ(x) donnees.

— Nous voulons calculer l’integrale dans le plan-xX

J(φ) =

∫ b

a

L

(x, φ(x, ε),

dφ

dx(x, ε)

)dx (30)

pour les courbes X = φ(x) transformees par les

transformation infinitesimales (14) pour ε assez petit.

— De plus, nous voulons dire que J(φ) soit invariante par les

transformations si J(φ) ' J(φ) (d’un sens que nous allons


preciser).


Definition precise d’invariance absolue

— L2.1 Definition : L’integrale fondamentale (7) est

invariante absolue par la famille de transformations de

r-parametres (9) et (10) si et seulement si pour chaque

courbe φ : [a, b]→ Rn de classe C2[a, b] et a ≤ x1 et x2 ≤ bon a∣∣∣∣∫ x2

x1

L(x, φ(x), φ(x))dx−∫ x2

x1

L

(x, φ(x, ε),

dφ

dx(x, ε)

)dx

∣∣∣∣= o(‖ε‖) (31)

pour tout ε ∈ U avec |εs| < d, φ donne par (26) et

x1 = T (x1) = χ(x1, φ(x1), ε) et x2 = T (x2) = χ(x2, φ(x2), ε).

Remarques :

— Le d depend, en general, de φ. Les φ ne sont pas forcement

les SEEL, ils s’agissent des fonctions admissibles.


— Le lagrangien lui-meme, i.e. l’application, n’est pas

transforme ou modifie, seulement les arguments

(x, φ(x), φ(x)).

— Nous pouvons changer les limites d’integration de la seconde

integrale afin d’avoir les memes limites d’integrations. Puis

la condition l’invariance de l’integrale fondamentale (31)

s’ecrit comme∣∣∣∣L(x, φ, φ)dx− L(x, φ,

dφ

dx

)dx

dx

∣∣∣∣ = o(‖ε‖) (32)


L2.3 Exemple

— Considerons la fonctionnelle que donne la longueur d’une

courbe φ(x) de x = a a x = b :

J(φ) =

∫ b

a

√1 + φ dx, (33)

et la famille des rotations infinitesimale des axes (18). On

attend que J(φ) soit invariante par cette famille des

rotations. Montrer que notre definition L2.1 confirm cette

intuition.


Definition precise d’invariance a une

divergence pres

— L’integrale fondamentale (7) est invariante a une divergence

pres par la famille de transformations de r-parametres (9) et

(10) si il existe r fonctions Φs : I × Rn → R1, s = 1 . . . r de

classe C1 tel que

L(x, φ,dφ

dx)dx

dx− L(x, φ, φ) = εs

dΦs(x, φ(x))

dx+ o(‖ε‖) (34)

avec les autres conditions de Definition L2.1 aussi.

— Nous allons bientot voir que dans le cas d’invariance a une

divergence pres, il y aura une quantite conservee dans le

systeme sans transformation, meme si la quantite peut

changer lors d’une transformation.


Identites lies a l’invariance d’une

fonctionnelle : Identites de

Rund-Trautman

Identites de Rund-Trautman 33

L2.1 theoreme

Une condition necessaire pour que l’integrale fondamentale (7) est

invariante (soit absolue soit a une divergence pres) par la famille de

transformations de r-parametres (9) et (10) est que le lagranien

L(x, φ, φ) et ses derivees verifient les r identites :

∂L

∂xτs +

∂L

∂φkξks +

∂L

∂φk

(dξksdx− φk dτs

dx

)+ L

dτsdx

=dΦsdx

+ o(ε),

(35)

pour s = 1, . . . , r, ou τs et ξks sont les generateurs de la famille de

transformations (9) et (10).


Demonstration :

Nous allons deriver la definition d’invariance (34) par rapport a εs

evalue a ε = 0. On a besoin des resultats :

dx

dx

∣∣∣∣ε=0

=d

dxχ(x, φ, 0) =

dx

dx= 1,

∂x

∂x

∣∣∣∣ε=0

=∂

∂xχ(x, φ, 0) =

∂x

∂x= 1,

∂x

∂φk

∣∣∣∣ε=0

=∂

∂φkχ(x, φ, 0) =

∂x

∂φk= 0,

∂φk

∂x

∣∣∣∣ε=0

=∂

∂xψk(x, φ, 0) =

∂φk

∂x= 0,

∂φk

∂φh

∣∣∣∣ε=0

=∂

∂φhψk(x, φ, 0) =

∂φk

∂φh= δkh, (36)


∂2x

∂εs∂x

∣∣∣∣ε=0

=∂

∂xτs(x, φ),

∂2x

∂εs∂φh

∣∣∣∣ε=0

=∂

∂φhτs(x, φ),

∂2φk

∂εs∂x

∣∣∣∣ε=0

=∂

∂xξk(x, φ),

∂2φk

∂εs∂φh

∣∣∣∣ε=0

=∂

∂φhξk(x, φ),

(37)


Demonstration :

— Nous travaillons de droit a gauche.

— Nous faisons l’hypothese que la derivee du seconde terme du

membre droit (34) reste negligeable :

o(‖ε‖) (38)

— La derivee du premier terme du membre droit (34) est

triviale

∂

∂εs

∣∣∣∣ε=0

εhdΦh(x, φ(x))

dx= δhs

dΦh(x, φ(x))

dx=dΦs(x, φ(x))

dx.

(39)

— La derivee du second terme du membre gauche de (34) est


nulle :

∂

∂εs

∣∣∣∣ε=0

L(x, φ, φ) = 0. (40)

— La derivee du premier terme du membre gauche de (34) a

deux parties :

∂

∂εs

(L(x, φ,

dφ

dx)dx

dx

)∣∣∣∣ε=0

=∂

∂εs

(L(x, φ,

dφ

dx)

)∣∣∣∣ε=0

dx

dx

∣∣∣∣ε=0

+L(x, φ,dφ

dx)

∣∣∣∣ε=0

∂

∂εsdx

dx

∣∣∣∣ε=0

=∂

∂εs

(L(x, φ,

dφ

dx)

)∣∣∣∣ε=0

+ L∂

∂εsdx

dx

∣∣∣∣ε=0

. (41)

— Le second terme de (41) donne :

L∂

∂εsdx

dx

∣∣∣∣ε=0

= Ld

dx

∂x

∂εs

∣∣∣∣ε=0

= Ld

dxτs(x, φ) (42)


— Le premier terme donne trois contributions :

∂

∂εsL

(x, φ,

dφ

dx

)∣∣∣∣ε=0

=

[∂L

∂x

∂x

∂εs+

∂L

∂φk∂φk

∂εs+

∂L

∂(dφk

dx )

∂(dφk

dx )

∂εs

]ε=0

=∂L

∂xτs +

∂L

∂φkξks +

∂L

∂φk

[∂(dφ

k

dx )

∂εs

]ε=0

(43)

— Ca vaut la peine de discuter ce dernier terme :

∂

∂εsdφk

dx

∣∣∣∣ε=0

=∂

∂εs

(dφk

dx/dx

dx

)∣∣∣∣ε=0

. (44)

— Une partie est

∂

∂εsdφk

dx

∣∣∣∣ε=0

=d

dx

∂φk

∂εs

∣∣∣∣ε=0

=d

dxξks (45)


— L’autre partie nous avons deja vu

∂

∂εsdx

dx

∣∣∣∣ε=0

=d

dx

∂x

∂εs

∣∣∣∣ε=0

=d

dxτs(x, φ). (46)

— Et donc on obtient

∂

∂εs

(dφk

dx/dx

dx

)∣∣∣∣ε=0

=ddxξ

ks

dxdx

−dφk

dx

(dxdx )2

d

dxτs

∣∣∣∣∣ε=0

=dξksdx− φk dτs

dx. (47)

— Mettons les resultats dans (43) et combinons avec (42) nous

trouvons le membre gauche devient

∂L

∂xτs +

∂L

∂φkξks +

∂L

∂φk

[dξksdx− φk dτs

dx

]+ L

dτsdx

(48)

— On a verifie les deux membres de l’identite de

Rund-Trautman (35), c’est le theoreme L2.1. �.


Remarques

— L’identite de Rund-Trautman (35) est une relation avec le

lagrangien est les generateurs des transformations. Le facteur

φ est pour une courbe arbitraire [pas forcement un SEEL].

— Si l’on sait le lagrangien L du systeme et les

transformations, puis on peut verifier si ces r conditions

necessaires pour l’invariance sont verifiees. On va voir

l’interpretation physique bientot.

— Par contre, si l’on sait les transformations d’interet [le

groupe de Lorentz par exemple], puis les identites de

Rund-Trautman (35) fournissent les equations differentielles

[quasi-lineaires, premier ordre] pour obtenir les lagrangiens

qui sont invariants.


L2.2 Le theoreme de Noether

Le theoreme de Noether 42

L2.2 Le theoreme de Noether

— Rappelez-vous de cours 1 les expressions d’Euler-Lagrange :

Ek :=∂L

∂φk− d

dx

∂L

∂φk, k = 1, . . . , n. (49)

Les Ek doivent s’annule pour que cette courbe soit un SEEL.

— On fait l’hypothese que l’integrale fondamentale (7) est

invariante a une divergence pres. Et donc, les identites de

Rund-Troutman sont valables. Alors, il existe r identites

−Ek(ξks − φkτs) =d

dx

[(L− φk ∂L

∂φk

)τs +

∂L

∂φkξks − Φs

].

(50)

— On peut dire : si l’integrale fondamentale (7) est invariante a

une divergence pres alors il existe r combinations des Ek qui


sont differentielles exactes [differentielles totales].

— Les relations (50) sont appelees les identites de Noether.


Le theoreme de Noether : demonstration

— Exercice pour l’etudiant. Ils decoulent directement des

identites de Rund-Trautman eq(35). [Demonstration

disponible dans les notes ecrites a la main.]


Le theoreme de Noether : importance

— L2.3 theoreme. Si l’integrale fondamentale (7) est

(i) invariante a une divergence pres par les transformations

(9) et (10) de r parametres,

et

(ii) stationnaire [et donc les Ek = 0 pour k = 1, . . . , n]

alors il y a les r quantites conservees

Ψs :=

[(L− φk ∂L

∂φk

)τs +

∂L

∂φkξks − Φs

]= constante(s),

(51)

pour s = 1, . . . , r.


Remarques

— Le theoreme decoule immediatement des identites de

Noether (50) et la condition necessaire Ek = 0 pour un

SEEL.

— Les r quantites Ψs sont les premieres integrales des EEL ;

elles ne changent pas le long des SEEL φ(x).

— En termes physiques, on dit que Ψs sont les quantites

conservees.

— Rappelez-vous de cours 1 le cas lorsque le lagrangien ne

depend pas explicitement de x ; L = L(φ, φ). Dans ce cas

d

dx

(L− φk ∂L

∂φk

)= φk

(∂L

∂φk− d

dx

∂L

∂φk

),

= 0. utilise les EEL

(52)


Et donc nous avons une premiere integrale, i.e. une fonction

f tel que,

f(φ, φ) :=

(L− φk ∂L

∂φk

)= constante par rapport au x.

(53)

Nous pouvons comprendre ce resultat avec le theoreme L2.3.

Le fait que le lagrangien ne depend pas explicitement de x

s’exprime de l’invariance de L par une 1-parametre

transformation

x = x+ ε, φk = φk. (54)

Donc, les generateurs sont τ = 1 et ξ = 0. Le lagrangien est

invariant absolu et donc Φ = 0. Le theoreme L2.3 nous

donne la quantite conservee

Ψ =

(L− φk ∂L

∂φk

)= constante, (55)


comme nous avons trouve en cours 1.

— Pour un systeme dynamique comme une particule massive

en mecanique classique non-relativiste, la variable x

represente le temps et les transformations (54) representent

une translations de temps t. Le theoreme L2.3 implique

qu’un systeme dont le lagrangien est invariant par une

translation de temps conserve la quantite (68). Dans la

mecanique hamiltonienne on apprend que cette quantite

H = −(L− φk ∂L

∂φk

)(56)

est l’hamiltonien qui est egale a l’energie totale du systeme.

Alors dans ce cas le theoreme L2.3 implique la conservation

d’energie.

— Nous considerons un autre exemple de la mecanique

classique non-relativiste. Supposons que L est invariant


absolu des transformations avec n = r parametres

x = x, φk = φk + εk. (57)

Les generateurs sont

τs = 0, ξks = δks . (58)

Dans ce cas le theoreme L2.3 nous donne via (51) les n

quantite conserves :

Ψk =∂L

∂φk= constante, k = 1, . . . , n. (59)

Dans la mecanique hamiltonienne on apprend que cette

quantite pk

pk :=∂L

∂φk(60)

est l’impulsion ou quantite de mouvement conjugue a la


coordonnee φk. Il s’agit de conservation de quantite de

mouvement dans les n directions de l’espace, φk = (X,Y, Z).


Groupe de Galilee : definition precise

— Le groupe de Galilee est un groupe de Lie locale de r = 10

parametres εs.

— Notation : Soit t le temps, notre variable independante, la

variable jusqu’a ici x. Les variables dependantes φk seront

{Xk, Y k, Zk}, avec k = 1, . . . , N , ou N le nombre des

particules.

— Translations de temps :

t = t+ ε1,

Xk = Xk, Y k = Y k, Zk = Zk, k = 1, . . . , N. (61)


— Translations d’espace (trois directions),

t = t,

Xk = Xk + ε2, Y k = Y k + ε3, Zk = Zk + ε4, k = 1, . . . , N.

(62)

— Rotations d’espace

t = t,

Xk = Xk + ε5Y k + ε6Zk,

Y k = Y k − ε5Xk + ε7Zk,

Zk = Zk − ε6Xk − ε7Y k, (63)

[show diagram : rotation about Z by angle ε5, rotation

about Y by angle −ε6, rotation about X by angle ε7, ]


— Changement de RI (trois composante de vitesse) galileen :

t = t,

Xk = Xk − ε8t,

Y k = Y k − ε9t,

Zk = Zk − ε10t. (64)

— Ici U = R4 × I × I × I × R3 ou I = [−1,+1].


Translation de temps

— Maintenant nous faisons l’hypothese que l’energie potentielle

du systeme ne depend pas explicitement du temps.

— Par contraste, l’eau des oceans est subi a une potentielle qui

depend explicitement de temps. Il s’agit aux marees dues a

la lune et au soleil. Le potentiel gravitationnel du a la terre

est statique ; il ne depend pas explicitement de temps.

— Remarquez que le lagrangien n’a pas de dependance

explicite de temps :

L = T − V =1

2mk[(Xk)2 + (Y k)2 + (Xk)2]− V (X,Y, Z),

= L(X,Y, Z, X, Y , Z). (65)

— Theoreme L2.3 nous donne la quantite conservee,


l’hamiltonien

−H =

(L− Xk ∂L

∂Xk− Y k ∂L

∂Y k− Zk ∂L

∂Zk

)= constante.

(66)

[Somme implicite sur k.]

— Ici, on voit que

∂L

∂Xk= mkX

k,∂L

∂Y k= mkY

k,∂L

∂Zk= mkZ

k, (67)

[il s’agit des quantite de mouvement dans les directions x, y

et z respectivement] et donc l’hamiltonien ici est

H =1

2mk[(Xk)2 + (Y k)2 + (Xk)2] + V = T + V, (68)

que l’on interprete immediatement comme energie totale du

systeme. Il s’agit alor de la conservation de lenergie totale.


Translations d’espace


du systeme ne depend que des positions relatives entres les

particules. C’est clair dans ce cas que le potentiel est

invariant par les translations d’espace. En effet, le potentiel

devient une fonction de 3N(N − 1)/2 arguments

V = V (. . . , (Xk −Xh), (Y k − Y h), (Zk − Zh), . . .) (69)

[3 composants, N particules, N − 1 autres particules, divise

par 2 car l’ordre n’est pas important.]


— Par les transformations d’espace on a

V = V (. . . , (Xk − Xh), (Y k − Y h), (Zk − Zh), . . .),

= V (. . . , (Xk + ε2 −Xh − ε2), (Y k + ε3 − Y h − ε3),

(Zk + ε4 − Zh − ε4), . . .),

= V (. . . , (Xk −Xh), (Y k − Y h), (Zk − Zh), . . .). (70)

— L’energie cinetique est aussi invariant par les translations

d’espace. T est une forme quadratique des composantes de

vitesse et donc il suffit de remarquer que les composantes de

vitesse des particules sont invariantes :

dXk

dt=dXk

dt=

d

dt(Xk + ε2) =

dXk

dt. (71)

— Et donc le lagrangien est, dans ce cas, invariant absolu.

Alors le theoreme L2.3 implique la conservation de trois

quantites. On peut les trouver avec les generateurs. Nous


introduisons les nouveaux symboles pour les generateurs de

translation dans 3 directions differentes :

τs =∂t

∂εs

∣∣∣∣ε=0

= 0, s = 2, 3, 4

ξks :=∂Xk

∂εs

∣∣∣∣ε=0

=

1, s = 2

0, s = 3, 4

ηks :=∂Y k

∂εs

∣∣∣∣ε=0

=

1, s = 3

0, s = 2, 4

ζks :=∂Zk

∂εs

∣∣∣∣ε=0

=

1, s = 4

0, s = 2, 3(72)


— Et donc les lois de conservation s’expriment

Ψs :=

[(L− φk ∂L

∂φk

)τs +

∂L

∂φkξks − Φs

]= constante(s),

(73)

pour s = 1, . . . , r.

∂L

∂Xkξks +

∂L

∂Y kηks +

∂L

∂Zkζks = constante, s = 2, 3, 4. (74)

[somme sur k]

— s = 2 donne

∂L

∂Xkξks = mkX

k = constante. (75)

[similaire pour s = 3 et s = 4.]

— Il s’agit de la conservation de la quantite de mouvement

totale (somme sur toutes les particules) dans chaque


direction de l’espace.


Rotations d’espace

— Rappelez les rotations d’espace (63) :

t = t,

Xk = Xk + ε5Yk + ε6Zk,

Yk = Yk − ε5Xk + ε7Zk,

Zk = Zk − ε6Xk − ε7Yk, (76)


du systeme ne depend que des distance entres les particules.

C’est clair dans ce cas que le potentiel est invariant par les

rotations d’espace. En effet, le potentiel devient une fonction

de N(N − 1)/2 arguments

V = V (. . . , rij , . . .),


ou rij =√

(Xi −Xj)2 + (Yi − Yj)2 + (Zi − Zj)2. Parce que

chaque rij est invariant par une rotation des axes, V est

invariant aussi.

— Pour verifier l’invariance de l’energie cinetique il faut subir

les vitesses aux rotations :

dXk

dt=dXk

dt=

d

dt(Xk + ε5Yk + ε6Zk) = Xk + ε5Yk + ε6Zk,

dYkdt

= Yk − ε5Xk + ε7Zk,

dZkdt

= Zk − ε6Xk − ε7Yk,


— L’energie cinetique T est la forme quadratique

T =1

2mk

[(dXk

dt)2 + (

dYkdt

)2 + (dZkdt

)2

],

=1

2mk

[(Xk + ε5Yk + ε6Zk)2 + (Yk − ε5Xk + ε7Zk)2

+ (Zk − ε6Xk − ε7Yk)2]

=1

2mk(X2

k + Y 2k + X2

k) + o(ε). (77)

[les termes croisees, comme XkYk, s’annulent et les autres

termes supplementaires, comme (ε5Yk)2, ont les produit des

parametres]

— Et donc L = T − V est invariant absolu par les rotations.

Alors le theoreme L2.3 implique la conservation de trois

quantites. On peut les trouver avec les generateurs.


— Exercice pour la maison :

τs =∂t

∂εs

∣∣∣∣ε=0

=?, s = 5, 6, 7

ξks :=∂Xk

∂εs

∣∣∣∣ε=0

=

?, s = 5

?, s = 6

?, s = 7

ηks :=∂Y k

∂εs

∣∣∣∣ε=0

=

?, s = 5

?, s = 6

?, s = 7

ζks :=∂Zk

∂εs

∣∣∣∣ε=0

=

?, s = 5

?, s = 6

?, s = 7

(78)


— Et donc les lois de conservation s’expriment

Ψs :=

[(L− φk ∂L

∂φk

)τs +

∂L

∂φkξks − Φs

]= constante(s),

(79)

pour s = 1, . . . , r.


Changement du RI

— Rappelez les changement du RI d’espace (64) :

t = t,

Xk = Xk − ε8t,

Y k = Y k − ε9t,

Zk = Zk − ε10t. (80)

— Notation : Soit

V := V (. . . , Xk, Y k, Zk, . . .) et V := V (. . . , Xk, Y k, Zk, . . .),

T := T (. . . ,dXk

dt,dY k

dt,dZk

dt, . . .) et T := T (. . . , Xk, Y k, Zk, . . .).

(81)

— Comme pour les translation d’espace, nous faisons ici


l’hypothese que l’energie potentielle du systeme ne depend

que des positions relatives entres les particules. C’est clair

dans ce cas que le potentiel est invariant par les translations

d’espace. En effet, le potentiel devient une fonction de

3N(N − 1)/2 arguments

V = V (. . . , (Xk −Xh), (Y k − Y h), (Zk − Zh), . . .) (82)

On trouve que V est identique par les changement du

referentiel :

V = V (. . . , (Xk − Xh), (Y k − Y h), (Zk − Zh), . . .)

= V (. . . , (Xk −Xh), (Y k − Y h), (Zk − Zh), . . .) = V.

(83)

— Comment l’energie cinetique change par les changements du

referentiels ? Considerons les composantes de vitesse d’une


particule :

dXk

dt=dXk

dt=

d

dt(Xk − ε8t) = Xk − ε8,

dY k

dt= Y k − ε9,

dZk

dt= Zk − ε10. (84)

Alors l’energie cinetique devient

T =1

2mk[(Xk − ε8)2 + (Y k − ε9)2 + (Zk − ε10)2],

=1

2mk[(Xk)2 + (Y k)2 + (Zk)2) + ((ε8)2 + (ε9)2 + (ε10)2)+

− 2Xkε8 − 2Y kε9 − 2Zkε10]

= T + o(ε)− ε8 d

dt(mkX

k)− ε9 d

dt(mkY

k)− ε10 d

dt(mkZ

k)

— Revenons au lagrangien, comment il change par le


changement de RI galileen ? On a t = t et donc dt/dt = 1

Ldt

dt− L = T − V − (T − V ) = T − T,

= +o(ε)− ε8 d

dt(mkX

k)− ε9 d

dt(mkY

k)− ε10 d

dt(mkZ

k).

(85)

— Comparons ceci avec la definition de l’invariance (34)

L(t, X,dX

dt)dt

dt− L(t, x, X) = εs

dΦs(t, x(t))

dt+ o(‖ε‖) (86)

nous arrivons a la conclusion : L’action est invariante a une

divergence pres avec

Φ8 = −mkXk, Φ9 = −mkY

k, Φ10 = −mkZk. (87)

Alors, le theoreme L2.3 s’applique au ce lagrangien, au ce

systeme.


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Application de theoreme L2.3 pour

changement de RI galileen : generateurs

— A partir de (80) on trouve τs = 0, s = 8, 9, 10 et

ξks :=∂Xk

∂εs

∣∣∣∣ε=0

=

−t, s = 8

0, s = 9

0, s = 10,

ηks :=∂Y k

∂εs

∣∣∣∣ε=0

=

0, s = 8

−t, s = 9

0, s = 10,

ζks :=∂Zk

∂εs

∣∣∣∣ε=0

=

0, s = 8

0, s = 9

−t, s = 10.

(88)


— Et donc les lois de conservation s’expriment (s = 8, 9, 10)[−H��>

0τs +

∂L

∂Xkξks +

∂L

∂Y kηks +

∂L

∂Zkζks − Φs

]= Ψs = constante(s)

(89)

avec les Φs definit en (87).

— s = 8 : ∑k

∂L

∂Xk(−t) +mkXk = Ψ8,

−tmkXk +mkXk = Ψ8,

(90)

— Interpretation physique : Divisons par la masse totale du

systeme

M =N∑k=1

mk. (91)


On a

−tmkXk

M+mkXk

M=

Ψ8

M,

(92)

On voir Ψ8/M = mkXk/M est la moyenne ponderee de x. Il

s’agit de la composante x du barycentre de barus (poids) du

systeme, Bx = mkXk/M .

— Nous venons de trouver que ce systeme converve la quantite

de mouvement dans chaque direction, par exemple

mkXk = Px =constante. Est-ce que l’on a le droit d’utiliser

ce resultat, trouve avec une autre transformation, ici pour le

changement de RI galileen ?

— Oui ! Les quantites conservees sont les proprietes du systeme

(du lagrangien et l’integrale de l’action).


— Donc on a

Bx =Ψ8

M+ t

PxM. (93)

et pour les autres directions

By =Ψ9

M+ t

PyM, Bz =

Ψ10

M+ t

PzM. (94)

Le barycentre se deplace avec vitesse uniforme mais

arbitraire.


Resume de l’idee centrale

— The transformation is a tool we apply to the L to discover

the conserved quantities. The conserved quantities are NOT

properties of the transformation. They are properties of the

system as characterized by the Lagrangian. So the

momentum is conserved as the system evolves in time in a

given frame. Under any given transformation in the Galilean

group the momentum may or may not change ! Under a

rotation it changes direction. Under a change of IF it

changes by a constant depending upon the parameters – the

relative velocities of the two IFs.


References

Logan, J. D. (1977), Invariant Variational Principles, 172+xv pp.,

Academic Press, New York, N.Y.

Noether, E. (2005), Invariant variant problems, arXiv,

hist-ph/0406023, 14 pp.

Documents

Cours 3: Noether - univ-brest.frstockage.univ-brest.fr/~scott/Maths_Rennes_2017/...Noether 7 Historique |Ce travail a commenc e avec Emmy Noether (1882{1935), en particulier l’article