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Cours 8: Cosmologie 1
Cours 8 : Éveil Cosmologie
Cours 8: Cosmologie 2
Résumé du cours d’aujourd’hui
— Introduction à la cosmologie
— L’expansion de l’Univers et la loi de Hubble
— La principe de cosmologie
— La métrique de Robertson-Walker
Cours 8: Cosmologie 3
Qu’est-ce que la cosmologie ?
— La cosmologie est l’étude de l’Univers entier : son histoire,
son évolution, sa composition, et ses dynamiques.
— Une question principale est de comprendre la structure de
l’Univers à les plus grandes échelles.
— La relativité générale est essentiel pour la cosmologie.
— Autre resources : (Schutz , 2009, Chapitre 12), (Hobson
et al., 2010, Chapitres 14, 15, 16), (Liddle, 2003)
Cours 8: Cosmologie 4
Unité naturelle
— Dans la relativité générale, c’est commode d’utiliser les unité
avec lequel c = 1 et G = 1. Ça implique que
1 =G
c2= 7, 425× 10−28m kg−1
— Et la masse est exprimé avec les unités de [m]. Par exemple,
le soleil a une masse de :
M� ≈ 2× 1030 kg = 1500 m
Cours 8: Cosmologie 5
Quand sont les effets de relativité
générale importants ?
— En gros, la théorie de gravité de Newton marche à une
bonne approximation quand
M
R� 1
— Pour le soleil,
M�R
=1, 5× 103m7× 108m
≈ 2× 10−6 � 1
— Pour la voie lactée,
M
R≈ M� × 10
11
15kpc=
1, 5× 103m× 1011
15× 103 × 3× 1016m≈ 3× 10−7
— Même pour les amas de galaxies (une association de plus
Cours 8: Cosmologie 6
d’une centaine de galaxies liées entre elles par la gravitation)
avec R ∼Mpc,M
R≈ 10−4
— Sur les plus grandes échelles, superieurs de 10 Mpc, la
densité est presque constante, ρ ≈ 10−26kg m−3, et doncpour R = 6 Gpc,
M
R=
43πR
3ρ
R=
(ρ4π
3
)R2 ≈ 1
Cours 8: Cosmologie 7
L’Univers est simple !
— Pour les échelles superieurs d’environ 10 Mpc :
— L’Univers est homogene. Par exemple, le nombre de
galaxies par unité de volume, les types de galaxies, leurs
chimie.
— L’Univers est isotrope. Par exemple, la température du
rayonnement de fond cosmologique (CMB) dépend très
faiblement de la direction d’observation dans le ciel :
2, 725. . . K ± 10−5 K. Le CMB est le nom donné aurayonnement électromagnétique issu de l’époque dense et
chaude à peu près 400.000 ans après le Big Bang.
— L’expansion de l’Univers est uniforme. On voit les
galaxies s’éloigner les unes des autres. Mais cet
écartement mutuel, que l’on pourrait prendre pour un
Cours 8: Cosmologie 8
mouvement des galaxies dans l’espace, s’interprète en
réalité par un gonflement de l’espace lui-même.
— Cet observation nous mène au principe cosmologique. Nous
extrapolons que l’Univers est, à une très bonne
approximation, homogène et isotrope partout.
Cours 8: Cosmologie 9
L’expansion de l’Univers
— C’était prévu en 1927 à partir de la relativité générale par
Georges Lemâıtre (prêtre belge).
— C’était observé en 1929 par Edwin Hubble. Il a remarqué
que toutes les galaxies s’éloigner de nous et que la vitesse de
recul v est linéaire par rapport de distance d’écartement r̃ :
v = H0r̃ H0 ≈ 70 km s−1/Mpc.
— Maintenent nous comprenons cette vitesse apparant comme
un gonflement de l’espace lui-même. C’est l’espace entre les
galaxies, pas la taille des galaxies elles-même, qui gonfle.
Nous parlons de la vitesse de Hubble d’une galaxie pour la
vitesse apparant d’une galaxie en cause de l’expansion de
l’Univers.
Cours 8: Cosmologie 10
— La relation ne marche pas parfaitement parce que les
galaxies ont une vitesse particulière typiquement au
maximum 100 km/s. Donc il faut avoir les observations des
galaxies plus loin que plusieurs Mpc (r̃ � 1 Mpc) tel que lavitesse de Hubble est superieur à la vitesse particulière.
Cours 8: Cosmologie 11
La métrique de l’Univers homogène et
isotrope partout : feuilletage de
l’espace-temps
— Nous allons jusifier la métrique de
Friedmann-Robertson-Walker
ds2 = c2dt2 − a2(t)(
1
1− kr2dr2 + r2dθ2 + r2 sin2θdφ2
).
(1)
dans les coordonnées standards où t est le temps
cosmologique, et {r, θ, φ} sont les coordonnées spatials avecr ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ π ≤ 2π. Le paramètre k est lacourbure et prend une valeur discret : k = {0,+1,−1}. Nousallons faire un argument physique que les coordonnées sont
Cours 8: Cosmologie 12
« comobile ».— Rappelez-vous que la notion de simultanéité n’est pas
indépendent de référentiel. De plus, il n’y a pas un
référentiel inertiel global dans le RG. Donc c’est subtile de
définer un instant de temps.
— Nous faisons un feuilletage de l’espace-temps, en définissant
des hypersurfaces du genre espace tridimensionnelle. Nous
faisons l’approximation que c’est possible de faire le
feuilletage tel que chaque hypersurface ou tranche est
isotrope et homogene.
— Avec cet approximation, le moyen des positions de tous les
galaxies dans un volume de 10 Mpc× 10 Mpc× 10 Mpc a lescoordinées stationaires, xi =constant.
— Nous choisissons la coordonée temporelle, t = τ , le temps
propre d’une horloge qui se déplace avec les positions
stationaires : dτ = dt.
Cours 8: Cosmologie 13
— La partie spatiale de la métrique donne la distance propre
(ou la « distance physique ») carré entre deux points séparépar dxi à un instant de temps t0 :
dl2(t0) = gij(t0)dxidxj
— L’expantion de l’Univers exige que dl2 augmente avec le
temps.
dl2(t0) < dl2(t1) = gij(t1)dx
idxj , t1 > t0
= a2(t1)gij(t0)dxidxj (2)
où a(t) est le facteur d’échelle.
— Et pour la métrique quadridimensionelle, en générale on
aurait
ds2(t) = c2dt2 + g0i dtdxi + a2(t)gij(t0)dx
idxj
Remarquez-vous que g00 = c2 parce que ds2 = c2dτ2 quand
Cours 8: Cosmologie 14
dxi = 0. Supposons que g02 > 0. Ça veux dire que la
direction dy c’est differente que celle de −dy. Donc nousdevrions choisir les ~et · ~ey = g02 = 0 et le même pour x et z.C’est à dire ~et · ~ei = 0, et g0i = 0 et :
ds2(t) = c2dt2 + a2(t)gij(t0)dxidxj (3)
— Les hypersurfaces du genre espace tridimensionnelle
devraient être isotrope. Ça veut dire que chaque point a la
géometrie d’un point sur la surface d’une sphère avec le
centre à l’origine de notre système de coordonnées. Ce
critère exige que :
dl2(t0) = gij(t0)dxidxj = grr(r, t0)dr
2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2
Mais n’importe quel point peut être l’origine de notre
système de coordonnées. Et notre condition d’isotropie ici
est beaucoup plus restrictive que dans le cas d’un trou noir
Cours 8: Cosmologie 15
(le cas pour lequel il y a un seul centre de symétrie.)
— La courbure d’espace-temps est décrit par un teneur qui
s’appele le tenseur de Ricci. Il est une fonction des symboles
de Christoffel. Le scalaire de Ricci R est la contraction du
tenseur de Ricci :
R = Rii (4)
— Et donc, de plus, nous exigeons que le scalaire de Ricci,
Ri i = constant. Pour la métrique
dl2(t0) = B(r)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2
Cours 8: Cosmologie 16
nous trouvons le tenseur de Ricci (spatial) :
R11 = −B′
rB
R22 =1
B− 1− rB
′
2B2
R33 = sin2 θR22 (5)
— Le scalaire de Ricci (spatial), Ri i nous donne
R = gijRji = B−1R11 + r
−2R22 + r−2 sin−2 θR33
= −B−1 B′
rB+ 2r−2
(1
B− 1− rB
′
2B2
)=
2
r2B− 2r2− 2 B
′
rB2
=2
r2
(d
dr
( rB
)− 1)
(6)
Cours 8: Cosmologie 17
— Pour que l’espace-temps est homogene, nous devons résoudre
R = κ =2
r2
(d
dr
( rB
)− 1)
où κ est une constante.
— C’est très facile d’intégrer∫(1 +
r2κ
2)dr =
∫d( rB
)⇒
B =1
1 + r2κ/6 + C/r(7)
où C est une constante d’integration.
— On obtient
R11 =2κr − 6C/r2
κr3 + 6r + 6C(8)
— Mais proche d’origine, r → 0, nous voulons quel’espace-temps reste non singulaire (Rij reste finie). Ça
Cours 8: Cosmologie 18
donne C = 0 et
B =1
1 + r2κ/6=
1
1− r2koù k est la courbure de l’espace et
dl2(t0) =
(1
1− r2k
)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2
— Nous le remplaçons dans (3). Donc nous avons la métrique
de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) :
ds2(t) = c2dt2 − a2(t)gij(t0)dxidxj
= c2dt2 − a2(t)[(
1
1− r2k
)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2
](9)
— Il reste de démontrer que l’espace-temps de FRW est
homogene et isotrope partout. Plus tard nous considérons les
trois cas k = 0, k > 0, k < 0.
Cours 8: Cosmologie 19
Equations dynamique de l’Univers
— Pour décrire expansion de l’Univers nous avons besoin des
équations d’Einstein. La partie droite est le tenseur
d’énergie-impulsion d’un fluid parfait :
8πTαβ = 8π[(ρ+ p/c2)UαUβ + gαβp
]où p est la pression et ρ est la densité de masse est énergie
relativiste, et Uα est la quadrivitesse du fluide.
— La partie gauche des équations d’Einstein, Gαβ , est la même
sort de calcul que nous avons fait pour obtenir Rαβ pour la
métrique de Schwarzschild mais ici nous devons, bien sûr,
utiliser la métrique de FRW.
— Vous avez trois possibilité pour trouver les symbole de
Christoffel : (1) la méthode nous avons utilisé pour la
Cours 8: Cosmologie 20
métrique de Schwarzschild (2) une logiciel comme Maple
avec le package tensor, (3) la méthode suivant.
— On fait la correspondance entre les équations des géodesique
à partir de les symboles de Christoffel,
0 =d2
dτ2xα + Γαµν
∂xµ
∂τ
∂xν
∂τ= ẍα + Γαµν ẋ
µẋν (10)
et les équations des géodesique à partir des équations
d’Euler-Lagrange :
d
dτ
(∂L
∂ẋα
)− ∂L∂xα
= 0 (11)
où
L = gαβ ẋαẋβ
Cours 8: Cosmologie 21
— Le tenseur d’Einstein devient simplement :
G00 =3
a2(t)
(a′2 + k
)g00
Gij =
[2
a(t)a′′ +
1
a2(t)
(a′2 + k
)]gij (12)
Cours 8: Cosmologie 22
Références
Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativité
Générale, de boeck, Bruxelles.
Liddle, A. (2003), An introduction to modern cosmology, 172 pp.,
Wiley & Company, Chichester, UK and Hoboken, NJ.
Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge
University Press, Cambridge UK.