Cours Actions Mecaniques

8/18/2019 Cours Actions Mecaniques

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Première STI Modélisation des actions mécaniques. Page 1

Niveau : Première STI.Objectifs : 1.2. Modélisation des actions mécaniques

1.2.1 Actions mécaniques sur un solide.1.2.2. Actions mécaniques dans les liaisons entre solides.1.2.3. Principe des actions mutuelles.

Documents : Documents de cours page 1/10 à 10/10 .

1 ACTIONS MECANIQUES.

Une action mécanique peut avoir plusieurs effets:

• Modifier le mouvement d'un système matériel (ou le générer).• Déformer un solide.• Maintenir l'équilibre d'un système matériel.

Classification:• Actions de contacts.(Ex: pied d'une armoire sur le sol).• Actions à distances: Magnétisme. (L'aiguille de la boussole est

dirigée par un champ magnétique).• Pesanteur.

2 NOTION DE FORCE, VECTEUR FORCE.

Coup de poing dans un ballon de fête foraine.

Une force est modélisée par un vecteur (d'ou la notion de vecteur-forces).Elle est définie par:

• _______________________________________________________

• _______________________________________________________

• _______________________________________________________

• _______________________________________________________

L'unité de l'intensité est le newton (N), on utilise aussi le daN = 10N.

MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES.

Cours


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2.1. Composante d'une force.

Soit une forcer

F 2/1 modélisée par un vecteur.Nous pouvons exprimer le vecteur dans une base R(O, i, j) de la façon suivante:

Ainsi on noter

F 2/1 = Fx .r

i + Fy . r

j où encorer

F F

F R

x

y2 1 /

Norme du vecteur (Intensité): F F F x y2 12 2

/ = +

Composantes der

F 2 1 / : cos( ) /

θ =F

F

xr

2 1

⇒ =F F xr

2 1 / .cos( )θ

1 / 2)sin( F

F yr =θ ⇒ =F F y

r

2 1 / .sin( )θ

2.2. Somme de plusieurs forces - Résultantes.

Somme de 2 forces. Graphiquement:

Analytiquement: r

F F

F

x

y1

1

1

;r

F F

F

x

y2

2

2

r

RF F

F F

x x

y y

1 2

1 2

+

+

Définition: Une résultante de plusieurs forces est une force unique équivalente (qui a le même effet) auxautres.

1

F1

F2/1

F2

F1

F2/1

F2

R

θθθθ

Fx

Fy

O


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3. MOMENT D'UNE FORCE.

C'est l'effet en un point, en général n'appartenant pas à la droite d'action, d'une forcer

F

Considérons une force F, appliquée au point A, et soit O un point quelconque:

3.1 Vecteur Moment d'une force par rapport à un point.

Définition: On définit le Vecteur-Moment par la formule mathématique suivante:

Le Vecteur-Moment est définit par:

• Son point d'application.• Sa direction (perpendiculaire aux deux autres vecteurs.• Son sens (Règle du tire-bouchon).• Sa norme.

Rappel Écriture du produit vectoriel dans le cas général.

Écriture général d'un produit vectoriel entre un vecteur A Br

et une force F r

.

BA

X

Y

Z

et F

F

F

F

BA

BA

BA

x

y

z

r r

, d'ou le produit vectoriel ( ) xF BAY Y F BA X

zF BA X xF BA Z

yF BA Z zF BAY

zF

yF

xF

BA Z

BAY

BA X

F B M

..

..

..

−

−

−

=∧=r r

F

A

d

O

On définit la norme du moment de la forcer

F en O par:

d: distance du point O à la droite d'action der

F (en m).F : norme de

r

F (en N).

l'unité du moment sera donc le Newton Mètre (N.m).


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3.2 Calcul du vecteur-Moment.

Exemple: Déterminons le couple de serrage exercé par une clé plate sur un écrou.

Le couple de serrage est égal au moment en A de l'action

r

B3 2

Résolution analytique:

3.3 Transport du Moment.

Soitr

F une force appliquée en un point A et deux points quelconques O et C.

Connaissant )(F M Or r

on obtient l'équation suivante:

4. NOTION DE TORSEUR.

Un torseur est un ensemble de deux vecteurs:• ___________________________________

• ___________________________________.

Notation: Soit une forcer

F 2 1 / appliquée en A du solide 2 sur un solide 1 et son Moment en B notér r

M F B

( ) .

Notation mettant en avant les deux vecteurs composants le torseur.


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Notation Faisant apparaître les composantes du torseur.

Vocabulaire associé au torseur:

•

•

•

La résultante et le moment sont des éléments de réduction au point B du torseur de 2 sur 1.

5. CHANGEMENT DE CENTRE DE REDUCTION.

On connaît le torseur { }T B2 1 /

au point B

{ }T F

M F B

B B

R

2 1

2 1

/

/

( )=

r

r r

On souhaite écrire le torseur en un point C.

D'ou le torseur en C qui devient { }T F

M F C C

C R

2 1

2 1

/

/

( )=

r

r r

6 TORSEURS PARTICULIERS

6.1 Torseur glisseur

0n appelle torseur glisseur, un torseur associé à une action mécanique particulière dont lemoment est nul.

Ex { } R

ext

A

Aext

R

≠

= →

→

0

0)1()1( r

r r

τ


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6.2 Torseur couple

0n appelle torseur couple, un torseur associé à une action mécanique particulière dont larésultante est nulle.

Ex : { } R

ext A A

Aext M

≠=

→

→

0

0

)1(

)1( r r

r

τ

Remarque :

7 SOMME DE DEUX TORSEURS.

Considérons deux torseurs :

{ } R

A A

A M

R

=

→

→

→

)21(

)21(

)21( r

r

τ et

{ } R

A A

A M

R

=

→

→

→

)23(

)23(

)23( r

r

τ

{ } { } R

A A A R

A A R

A A

A A M M

R R

M

R

M

R

+

+

=

+

=+

→→

→→

→

→

→

→

→→

)23()21(

)23()21(

)23(

)23(

)21(

)21(

)23()21( r r

r r

r

r

r

r

τ τ

REMARQUE IMPORTANTE

8 PRINCIPE DES ACTIONS MUTUELLES.

Énoncé du principe des actions mutuelles: si il existe une force d'un système matériel 1 sur unsystème matériel 2 alors il existe une force dirigée de 2 vers 1 telle que :

Il en est de même pour les torseurs :

9 MODELISATION DES ACTIONS A DISTANCE

9.1 Définition

L'action mécanique de 1sur 2 est dite à distance si elle ne résulte pas d'une liaison mécaniqueentre1 et 2.


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9.2. Cas du champ de pesanteur

Si nous choisissons le centre de réduction du torseur { }τ ( ) pes S → au centre de gravité G, nousobtenons :

- Pr

est le vecteur poids dont l’intensité s’exprime en Newton. gmP .=r

.

- g est l’accélération de la pesanteur (g =9,81 m/s2 )- G est le centre de gravité de S.

- m est la masse de S, en Kg.

10. Modélisation de l’action mécanique due à la pression d’un fluide sur une

surface plane.

Les actions mécaniques de contact d'un fluide sur une surface plane (S) de faibles dimensionsse modélisent par un torseur d'action mécanique tel qu'au centre de surface G de (S) :

{ }τ ( )(

(

fluide S

G

R

M →

→

→

=

r

r

r r

f S)

f S)

= -pSx

= 0

avec : p : pression sur (S), cette pression est supposéuniforme ( MPa ),

S : aire de ('S) (mm2)r

x : normale extérieure à la paroi

11 ACTION TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON PARFAITE

11.1. Définition d'une liaison parfaite

Une liaison parfaite est une liaison telle que : les possibilités de mouvement relatif sont obtenues à partir des surfaces de

contact géométriquement parfaites, qui ont entre elles un jeu defonctionnement supposé nul.

le contact de ces surfaces est supposé sans adhérence.

r

R( f S)→ G

(S)

r

x

P

Fluide


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11.2. Compatibilité entre les mobilités d’une liaison parfaite et l’action mécanique

transmissible par celle-ci

On notera les composantes dans R (lorsqu’elles ne sont pas nulles) du torseur { }τ

( )S S A0 1→

{ }τ ( )S S A

R

S S

S S

S S

S S

S S

S S A

X

Y

Z

L

M

N

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

→

→

→

→

→

→

→

=

Pour chaque liaison que nous allons étudier, nous constaterons que, dans le repère R :

11.3. Tableau récapitulatif des liaisons parfaites

Désignation Illustration Mouvements relatifs Torseur transmissible

OS S )1 / 0(τ

présentation graphique deséléments de réduction

Liaison sphère planponctuelle) de centre

O etde normale(O,

r

z )O

x= Rx=

y= Ry=

z= Rz=

O

Liaison linéairerectiligne

de normale(O, r

z ) O

x= Rx=

y= Ry=

z= Rz=

O

Liaison linéaire

annulaire ou sphèrecylindre

centre O et d’axe (O,r

x )

x= Rx=

y= Ry=

z= Rz=

iaison appui plan decentre O et

de normale(O, r

z )

x= Rx=

y= Ry=z= Rz=

Avec L


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Désignation Illustration Mouvements relatifs Torseur transmissible

OS S )1 / 0(τ

présentation graphique deséléments de réduction

ison rotule à doigt decentre O

x= Rx=

y= Ry=

z= Rz=

Liaison pivot decentre O et

d’axe (O,r

x )

x= Rx=

y= Ry=

z= Rz=

ison pivot glissant decentre O et

d’axe (O,r

x )

x= Rx=

y= Ry=

z= Rz=

Liaison glissièrede centre O etd’axe (O,

r

x )

x= Rx=

y= Ry=

z= Rz=

Liaison hélicoïdalecentre O et d’axe (O,

r

x )

x= Rx=

y= Ry=

z= Rz=

iaison encastrement

x= Rx=

y= Ry=

z= Rz=

Avec L>1.5 D