CISTEMA’2003

1

Une commande robuste par mode glissant flou Appliquée à la poursuite de trajectoire d’un robot mobile non holonome

R.Ouiguini*, R.Bouzid**, Y.Sellami*

* Laboratoire de Robotique et d’intelligence artificielle, CDTA.

Haouch Oukil BP N°17, BABA HASSEN , Alger, Algérie Tél.: 213 21 35 10 54; Fax: 213 21 35 10 39

** Institut d’électronique, Université Saad Dahleb de Blida, Algérie E-MAIL: Ouiguini@cdta.dz ; Rafika.bouzid@caramail.com ; yaminesellami@yahoo.fr

RESUME :

Ce papier présente une commande par mode glissant flou. Le contrôleur établit garde la partie dynamique de la commande par mode glissant et remplacera la partie discontinue par un contrôleur flou de type (TISO) à

deux entrées ps et d qui sont respectivement la

distance du vecteur d’état d’erreur par rapport à la surface de glissement et la distance Euclidienne entre ce vecteur et le vecteur normale à cette surface et une sortie de commande. La commande conçue a été appliquée à un robot mobile non holonome pour résoudre le problème de poursuite de trajectoire. Les résultats obtenus en simulation montrent l’efficacité de cette commande. Mots clés : Mode glissant, mode glissant flou, robot mobile non holonome, poursuite de trajectoires. 1. INTRODUCTION

La commande par mode glissant a largement prouvé son efficacité à travers les études théoriques rapportées, ces principaux domaines d’application sont la robotique [1], [2], [3] et les moteurs électriques [4]. L’avantage que procure une telle commande et qui la rend aussi importante est sa robustesse vis -à-vis des perturbations et des incertitudes du modèle. Cependant, ces performances sont obtenues au prix de certains inconvénients : – un phénomène de chattering ou broutement provoqué par la partie discontinue de cette commande et qui peut avoir un effet néfaste sur les actionneurs, – le système est soumis à chaque instant à une commande élevée afin d’assurer sa convergence vers l’état désiré et ceci n’est pas souhaitable. Parmi les solutions proposées à ces problèmes on peut citer la commande par mode glissant à bande limite qui consiste à remplacer la fonction de commutation dans la commande par une fonction de saturation, celle ci sera détaillée dans le paragraphe suivant. A vraie dire, cette solution n’est qu’un cas particulier de la commande par mode glissant flou, d’où l’intérêt à utiliser une commande qui combine la logique floue et le mode glissant afin d’obtenir une commande robuste et lisse. La commande proposée dans cet article est nommée commande par mode glissant flou à deux entrées et une

sortie (TISO: two input - single output). Afin de tester son efficacité et sa robustesse, cette dernière est appliquée au contrôle de la poursuite de trajectoire d’un robot mobile non holonome, en tenant compte de sa contrainte cinématique et de son modèle dynamique. 2. SYNTHESE DE LA COMMANDE ROBUSTE PAR MODE GLISSANT

Considérant un système non linéaire décrit par :

utxgtxfx (n) ⋅+= ),(),( (1) avec : Tnxxxtx ),...,,()( )1( −= & le vecteur d’état.

),( txf et ),( txg des fonctions non linéaires du vecteur d’état décrivant le système. Le but du contrôle de la poursuite est de trouver une loi de commande tel que, étant donné une trajectoire désirée )(txd , l’erreur de poursuite )()( txtx d− tend vers zéro malgré la présence des perturbations. L’erreur de poursuite est définie par :

Tnd eeetxtxte ),...,,()()()( )1( −=−= & (2) La mise en œuvre d’une commande par mode glissant passe par trois étapes : • Le choix de la surface de glissement Slotine [8] a proposé une forme générale qui consiste à définir une fonction scalaire des surfaces de glissement dans le plan de phase dans le but d’assurer la convergence d'une variable d'état x vers sa valeur de

consigne dx cette fonction est donnée par l'équation:

etxs nt ⋅+= −

∂∂ )1()(),( λ (3)

où : λ : est un scalaire qui représente la pente de la surface de glissement, cette dernière est obtenue pour un système du deuxième ordre lorsque : 0),( =txs (4)

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2

Une fois la fonction de commutation est établie le problème de la poursuite nécessite la conception d’une loi de commande tel que le vecteur d’état )t(e reste

sur la surface de glissement 0),( =txs pour tout 0≥t . • La condition d’existence d’une surface de glissement Elle peut être déduite de la fonction énergétique de Liapunov donnée par la relation suivante :

221 sV ⋅= (5)

Une condition suffisante pour que le système 1 soit stable est : ssV t ⋅−≤= ∂

∂ η)( 221& (6)

Où : 0>η • L’établissement de la loi de commande : La loi de commande par mode glissant est donnée par la formule suivante : uussignkuu ee ∆+=⋅+= )( (7) sachant que :

eu : est la commande équivalente.

)(⋅sign : est la fonction signe k : est une constante positive qui représente le gain de la commande discontinue. La figure 1 représente le plan de phase d’un système du 2ème ordre ainsi que la commande discontinue u∆ de l’équation (7).

Figure 1 : Plan de phase et la fonction de commutation de la commande par régime glissant.

Une méthode qui permet de réduire l’effet du broutement est de remplacer la fonction discontinue par une fonction de saturation, qui consiste à déterminer une bande limite autour de la surface de glissement ainsi assurant le lissage de la commande et le maintient de l’état du système dans cette bande. La loi de commande devient alors :

)( Φ⋅+= se satkuu =

Φ⋅+⋅+

)/s(ku)ssgn(ku

e

e

Φ<=Φ>=

ssi

ssi (8)

où la largeur de la bande limite est égale à Φ2 , et peut être définie selon la précision (ε ) désirée, sachant que : 1/ −Φ= nλε (9) La figure 2 représente le mode glissant avec bande limite.

Figure 2 : Plan de phase et la fonction de commutation

de la commande par régime glissant à bande limite

3. LA CONCEPTION DU CONTROLEUR PAR MODE

GLISSANT FLOU

Pour une large classe de systèmes non linéaires du deuxième ordre les contrôleurs flous sont conçus en utilisant le plan de phase déterminé par l’erreur e et le

changement de cette erreur e& [7]. L’approche heuristique la plus utilisée dans l’établissement des règles est de diviser le plan de phase en deux demi plan par une ligne de commutation, tel que chaque demi plan est utilisé pour définir seulement les valeurs positives ou négatives de la commande. Le contrôleur ainsi défini est appelé contrôleur flou de forme diagonale. Ceci reflète le principe de la commande par mode glissant, plus particulièrement sa fonction de commutation. Par conséquence, le contrôleur flou remplacera la partie discontinue de la commande représentée par les équations (7) ou (8). Son expression est donnée par : floue uuu += (9)

Dont la forme analytique de la commande floue n’est que l’équation suivante : )sgn(sku flouflou ⋅−= (10)

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3

Dans ce qui suit on présentera en détail : • Le contrôleur par mode glissant flou à deux entrées

et une sortie (TISO).

3.1. Description du contrôleur (TISO)

Ce contrôleur admet deux entrées s et d et une

sortie de commande u . La conception du contrôleur doit respecter les deux règles générales suivantes [7] :

R1 : u doit augmenter quand la distance s

entre l’état actuel et la surface de glissement 0=s augmente.

R2 : u doit augmenter quand la distance d

entre l’état actuel et la surface de glissement 0=s augmente.

Le plan de phase du contrôleur TISO représenté sur la figure 3 montre les deux distances s

et d

Figure 3 : Les distances ps et d du contrôleur flou

(TISO).

• Détermination de la distance d : Soit une surface de glissement de dimension( )1−n , on définit le vecteur normal n par la formule suivante :

T

T

nnn

nnn

n

−⋅−

⋅−

−⋅−

⋅−

=1....,,.........2

2

2,

1

1,1

1....,,.........22

2,

1

1,1

λλλ

λλλ

avec : n : est le vecteur normal à une surface de glissement de dimension ( )1−n dans l’espace d’état de dimension n. Et soit ps la projection du vecteur d’états d’erreur e

sur la surface de glissement selon la direction du vecteur normal n. cette distance est donnée par :

ns Tp ⋅= e (11)

La distance d est définie comme étant la plus courte distance Euclidienne entre le vecteur d’état e et le vecteur normaln , elle est donnée par l’équation suivante :

22psd −= e (12)

L’exploitation de la distance ps entre le vecteur

d’état d’erreur et la surface de glissement, ainsi que la distance entre le vecteur normal et la surface de glissement, permettent d’établir la base de règles de ce contrôleur. En affectant un ensemble flou pour chacune des variables on obtient le diagramme ps - d

correspondant. Le tableau suivant représente le diagramme pour un système du deuxième degré (n = 2).

Tableau 2 : Diagramme Sp-d

avec : (Z :Zéro, P :Petit, M :Moyen, G :Grand) sont les ensembles flou de l’univers de discours de la distance d . et (NG :négative grand, NM : négative moyen, NP : négative petit, NZ : négative zéro, PZ :positive zéro,PP :positive petit, PM :positive moyen, PG :positive grand) sont les ensembles flous de l’univers de discours de ps et u .

La ieme régle de ce contrôleur peut être formulée comme le montre l’exemple suivant : Ri : Si ps est NG et d est Z alors u est PM.

La fonction analytique d’un tel contrôleur est définie par :

( ) ( )ssigndsku pflouflou ⋅−= ,

4. APPLICATION DE LA COMMANDE PAR MODE GLISSANT FLOUE (TISO) POUR LA POURSUITE DE TRAJECTOIRE D’UN ROBOT MOBILE NON HOLONOME

Généralement, deux points de vue sont adoptés afin de modéliser le robot, le premier est de considérer l’hypothèse de roulement sans glissement se qui conduit à un modèle cinématique, l’autre point de vue est plus opérationnel, car il prend en considération les commande effective qui doivent être appliquée aux actionneurs du robot, ainsi le modèle cinématique est

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4

dérivé du modèle dynamique. Pour cela, nous avons opté pour la seconde approche.

4.1. Modélisation cinématique et dynamique du robot mobile

Le robot mobile utilisé est une plate forme parallélépipédique à roues, qui peut se mouvoir grâce au deux roues motrices directrices placées à l’arrière (voir figue 4). Les deux roues avant sont des roues folles, leur rôle est de maintenir l’équilibre de la plate forme.

Figure 4: Coordonnées du robot mobile

Les équations cinématiques qui expriment le mouvement d’un robot mobile se déplaçant avec une

vitesse linéaire cv et une vitesse angulaire

cω est donnée par :

( )( )

( )

−==

Φ⋅+=Φ⋅=

Φ⋅+=Φ⋅=

gdcc

gdcc

gdcc

br

rvy

rvx

θθωθ

θθ

θθ

&&&

&&&

&&&

2

sin2

sin

cos2

cos

(13)

où : r : le rayon de la roue b : la demi -longueur de l’axe des roues arrières. d : la distance entre le point de localisation du robot et son centre de masse G.

gd ,θθ : les positions angulaires de chaque roue par

rapport à son axe de rotation. Φ = cθ : l’angle de rotation du robot par rapport à l’axe ox. Notons respectivement :

( )Tcccc yxp θ,, , ( )T

rrrr yxp θ,, la configuration courante du robot et celle de référence à atteindre.

( )Tccc vq ω, , ( )T

rrr vq ω, les vitesses courantes du robot et les vitesses de référence désirées. L’erreur entre les deux configurations par rapport au repère de la configuration de référence est donnée par l’expression suivante [1] :

( )cprprrrr

ececyecx

ecp −−==

.1000cossin0sincos

θθθθ

θ (14)

La dérivée par rapport au temps de cette expression, qui sera utilisée dans le calcul de la commande équivalente, est déduit par :

−+−

+−==

rcecvexr

ecvrvrey

ececyecx

ecpωω

θωθω

θsin..

cos..

&&&

& (15)

4.2. Modélisation dynamique

Le robot mobile est soumis à des contraintes [2] qui sont :

– -L’impossibilité de se mouvoir dans la direction latérale . 0sin.cos. =Φ−Φ cc xy && – la contrainte de roulement sans glissement pour chaque roue. On obtient alors la matrice des contraintes suivante :

( )

Φ−Φ−ΦΦ−

=22sincos

00cossinrr

qA

avec : ( )Tgdyxq θθ ,,, 00=

Le modèle dynamique est déduit en utilisant le formalisme de Lagrange, les équations dynamiques du robot peuvent être représentées sous la forme matricielle suivante [1], [3]: λ−τ=+ .B.E)q(cq.M cc& (16) où : M, la matrice d’inertie, )( cqc , le vecteur de force

de centrifuge et de Coriolis, B, matrice des contraintes cinématiques, λ le vecteur des multiplicateurs de Lagrange, sont définies par :

Φ−

Φ−=

Jdmdmm

Mc

c

sin..sin..

Φ⋅ω−

Φω−=

cosc

.cv.d.cm

cos.c.d.cm)cq(c

2

−

=rbrb

rrE

11

=

0010

B ,

=

2

1

ττ

τ

( )T21, λλλ =

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5

avec :

rc mmm ⋅+= 2 2dmIJ cG ⋅+=

sachant que : m est la masse totale du robot. mc est la masse de la plate forme. Mr est la masse de chaque roue motrice directrice. J, IG : sont respectivement les moments d’inertie au point Pc et G (centre de masse du robot). De l’équation (16) on peut déduire une expression des couples de la forme suivante :

( ) λτ .. PqgqH cc ++= & 4.3. Etablissement de la commande par mode

glissant flou (TISO)

Soit la surface de glissement donnée par : ece pCqs .−= (17)

avec :

=

654

321

cccccc

C

En utilisant le principe du retour d’état linéarisant on a : ( ) uHPqgqH cr ⋅+++= λτ .. & (18)

avec : 22×ℜ∈H , 12×ℜ∈g et 22×ℜ∈P

uuu e ∆+=

ece pCu &.−=

( ) ( )ssigndsKu pflou .,−=∆ .

La figure suivante montre l’évolution de u∆ en fonction de ps et d , ainsi que les ensembles flous

affectés pour chaque variable d’entrée et de sortie.

-0.01 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

0

0.5

1

sp1

NGS1ZS1

PGS1

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

0

0.5

1

d1

PD1 GD1

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

0

0.5

1

ufloue1

NG1ZS1

PG1

(a)

(b) Figure 6 : (a) les ensembles flous des variables d’entrées et de sortie, (b) l’évolution de la sortie floue en fonctions des variables d’entrées. RESULTATS DE SIMULATION

Les résultats de simulation montrent l’application de la commande TISO pour la résolution du problème de la poursuite de trajectoire pour un robot mobile non

holonome dont les paramètres sont données dans le tableau ci-dessous :

Tableau 3 : les paramètres du robot utilisé en

simulation Le système dynamique converge vers la référence désirée en choisissant la matrice C qui permet d’obtenir la surface de glissement :

−−=

100100100100100100

C

Les figures(7 et 8-(a)) montrent l’efficacité de la commande TISO dans la résolution du problème de la poursuite de trajectoire et sa robustesse vis -à-vis des erreurs initiales de position et aussi par rapport au coefficient de Lagrange 2λ , ce dernier représente physiquement le coefficient des liaisons non holonomes. On remarque que le robot arrive à suivre la

LES PARAMETRES NOTATION LES VALEURS

- La masse totale. -La masse des roues motrices directrices. - La longueur du robot. - la largeur du robot. -La distance entre une roue motrice et l'axe de symétrie. -La distance entre le centre de masse et l'axe des roues arrière. -Le rayon de chaque roue motrice.

mc

mr

L l b

d r

20kg 0.5kg

0.80m 0.5m 0.25m

0.30m

0.07m

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trajectoire désirée après un bref délai et les erreurs de poursuites tendent tous vers zéro (figure7et 8 -(b)) ainsi que les deux surfaces de glissement (figure7et 8-(c)) correspondant chacune au couple de commande de la roue gauche et droite respectivement. Du point de vue commande,nous remarquons clairement la différence entre la commande obtenue par mode glissant seule (figure 7 -(d)) et celle obtenue par mode glissant flou TISO (figure 7 et 8-(c)). Cette dernière a réduit le chattering sans diminuer la robustesse du système. Le régime permanent du

système est atteint lorsque la distance ps et la distance

Euclidienne d deviennent nulles, dans ce cas le robot a atteint la trajectoire désirée et l’application d’une faible commande est suffisante pour que le robot suit cette dernière. Les différents teste effectués sur plusieurs trajectoires à partir de différentes positions initiales ont tous donnés une erreur de position inférieur à 5 mm ainsi qu’une erreur d’orientation négligeable.

0 10 20 30

-5

0

5

m

sec

graphes des trajectoires

xcxr

0 10 20 30-6

-4

-2

0

2

4

6

m

sec

ycyr

0 10 20 30

-100

0

100

deg

sec

tetactetar

-5 0 5

-5

0

5

m

m

xc/ycxr/yr

(a)

0 10 20 30 400

2

4erreur sur x

m

sec

xc-xr

0 10 20 30 40-1

0

1

2erreur sur y

m

sec

yc-yr

0 10 20 30 40-100

-50

0

50erreur sur θ

deg

sectetac-tetar

0 10 20 30 40-5

0

5erreur sur v

m/s

ec

secvc-vr

0 10 20 30 40-5

0

5

10erreur sur ω

rad/

sec

secwc-wr

(b)

0 10 20 30 400

100

200

300

400graphes des surfaces de glissement

sec

surface1

0 10 20 30 40-400

-300

-200

-100

0

100

sec

surface2

0 10 20 30 40-100

-50

0

50

100graphes des commandes

sec

Nm

U1

0 10 20 30 40-100

-50

0

50

100

sec

Nm

U2

(c)

(d)

Figure 7 : (a) les trajectoires désirées et les trajectoires parcourues par le robot mobile. La position initiale du robot est (7, 0, 0°), 2λ =10, 1λ =0.

(b) les graphes des erreurs (c) les surfaces de glissement et les couples de

Commande des deux roues en appliquant la commande par mode glissant flou (TISO)

(d) les couples de commande en appliquant la commande par mode glissant

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7

0 5 100

2

4

6

8m

sec

Graphes des trajectoires

xcxr

0 5 10

-2

0

2

4

6

8

m

sec

ycyr

0 5 10

-200

-100

0

100

200

deg

sec

tetactetar

0 2 4 6 80

2

4

6

m

m

xc/ycxr/yr

(a)

0 5 10-2

-1

0

1erreur sur x

m

secxc-xr

0 5 10-2

0

2erreur sur y

m

secyc-yr

0 5 10-50

0

50erreur sur θ

deg

sectetac-tetar

0 5 10-1

0

1

2 erreur sur v

m/s

ec

secvc-vr

0 5 10-4

-2

0

2 erreur sur ω

rad/

sec

secwc-wr

(b)

BIBLIOGRAPHIE

[1] H.S.Shim, J.H.Kim, K.Koh " Variable structure control of nonholonomic mobile robots". IEEE conf. Robot. Automat, May 1995. pp 1694-1699 [2] P.Ruaux, G.Bourdon, S.Delaplace "Dynamic control of wheeled mobile robot using sliding mode" Romancy1996 Udine, Italie, pp 205-112, 1996. [3] J.M.Yang, I.H.Choi, J.H.Kim " Sliding mode motion control of non holonomic mobile robots", IEEE control system, vol.19, N°19. April 1999. pp 15-23

0 5 10-300

-200

-100

0Graphes des surfaces de glissement

sec

surface1

0 5 10-200

-150

-100

-50

0

sec

surface2

0 5 10-50

0

50

100 Graphes des commandes

sec

Nm

U1

0 5 10-100

-50

0

50

sec

Nm

U2

(C)

Figure 8 : (a) les trajectoires désirées et les trajectoires parcourues par le robot mobile. La position initiale du robot est (1, 1, 90°), 2λ =10, 1λ =0.

(b) les graphes des erreurs (c) les surfaces de glissement et les couples de

Commande des deux roues en appliquant la commande par mode glissant flou (TISO)

CONCLUSION

Dans ce papier nous avons proposé un contrôleur qui peut être appliqué pour une large classe de systèmes non linéaire, il combine les avantages de deux techniques considérés robustes et qui sont la commande par mode glissant et la commande floue. L’application de cette commande sur un robot mobile non holonome afin de lui faire suivre une trajectoire désirée a permis de mettre en évidence cette caractéris tique. En plus, les résultats de simulation montrent le rôle important que la logique floue à jouer pour réduire le phénomène de chattering et permettre de bien contrôler le gain de la commande nécessaire pour forcer le robot à suivre la trajectoire spécifiée. [4]A.Ishigame, T.Furukawa "Sliding mode controller design based on fuzzy inference for nonlinear systems". IEEE transactions on industrial Electronics, vol. 40, N°1, February 1993. [5]H.X.Li, H.B Gatland, A.W.Green "fuzzy variable structure control ".IEEE transaction on systems, Man, and cybernetics- Part B: cybernetics, vol.27 N°2, April 1997. [6]Y.C.Hsu, Heidar A.Malki "Fuzzy variable structure control for MIMO systems ". IEEE Int. conf. fuzzy syst. Proc, vol1.1, 1998.pp 280-285 [7]R.Palm, D.Driankov, H.Hellendoo "Model based fuzzy control". Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1997. pp 75-100 [8]J.J.Slotine, W.Li "Applied nonlinear control", Englewood Cliffs, NJ: prentice Hall, 1991