Cours - Comparaison Des Fonctions

c Christophe Bertault - MPSI

Comparaison des fonctions

Dans tout ce chapitre, I, J . . . sont des intervalles de R. Nous allons adapter au cas des fonctions les notions tudies dansle chapitre Comparaison des suites .

1 Ngligeabilit

1.1 Dfinition

Dfinition (Ngligeabilit)

Soient f : I R et g : I R deux applications et a I. On dit que f est ngligeable devant g au voisinage de asil existe une fonction : I R de limite nulle en a et un voisinage Va de a tels que f(x) = (x)g(x) pour tout x Va I .Cette relation se note f =

ao(g) et se lit f est un petit o de g au voisinage de a , ou bien f(x) =

xao

g(x)

et f(x)

est un petit o de g(x) au voisinage de a .

Cette dfinition se gnralise au cas o f et g ne sont pas dfinies en a : il suffit dans ce cas de remplacer tous les I par des I r

a

.

Dire que f =ao(g) revient dire que lim

xa

f(x)

g(x)= 0 lorsque g ne sannule pas au voisinage de a (sauf ventuellement en

a, et lorsque dans ce cas galement f(a) = 0).

En pratique Dans les exercices, on travaillera presque toujours avec des fonctions qui ne sannulent pas au

voisinage de a, sauf ventuellement en a. Cest donc la dfinition particulire limxa

f(x)

g(x)= 0 que nous utiliserons.

Exemple Vous noterez bien quavec les puissances, les comparaisons au voisinage de 0 et au voisinage de sont inverses. On a x2 =

xo(x4) car lim

x

x2

x4= 0. Par contre x4 =

x0o(x2) car lim

x0

x4

x2= 0.

On a 1x2

=x

o

1

x

car

1

x2

1

x

=1

xx

0. Par contre1

x=x0

o

1

x2

car

1

x1

x2

= x x0

0.

$ $ $ Attention ! f =ao(0) f est nulle au voisinage de a.

Or on ne travaille jamais avec la fonction nulle quel intrt ? Cest pourquoi vous ne rencontrerez certainement jamaislexpression f =

ao(0) en mathmatiques. Banissez-la de vos copies !

1.2 Oprations sur les petits o

Thorme (Oprations sur la ngligeabilit) Soient f, g, h, ef, eg des applications de I dans R, a I et R.(i) La multiplication par un rel non nul ne compte pas :

si f =ao(g) et si 6= 0, alors f =

ao(g) et f =

ao(g).

(ii) La somme de deux fonctions ngligeables devant une mme fonction est ngligeable :

si f =ao(g) et si ef =

ao(g), alors f + ef =

ao(g).

(iii) La relation tre ngligeable est transitive : si f =ao(g) et si g =

ao(h), alors f =

ao(h).

(iv) Avec le produit, tout va bien :

(

si f =ao(g) et si ef =

ao(eg), alors f ef =

ao(geg).

si f =ao(g), alors fh =

ao(gh).

(v) La composition droite est autorise : si b R et si est une fonction dfinie au voisinage de b valeurs dans Itelle que lim

b = a, alors la relation f =

ao(g) implique la relation f =

bo(g ).

1


$ $ $ Attention ! Avec les petits o deux oprations sont formellement interdites.

1) Somme des deux cts : si f =ao(g) et si ef =

ao(eg), on na pas forcment f + ef =

ao(g + eg).

Par exemple, on a x 1 =x

o(x2) et 1 =x

o(1 x2), mais pourtant x =x

o(1).

2) Composition gauche : si f =ao(g), on na pas forcment f =

ao( g).

Par exemple, on a x =x

o(x2), mais pourtant, si on compose gauche par x 7 1x,1

x=

xo

1

x2

.

Dmonstration

(i) Montrons que f =ao(g). Par hypothse, il existe une fonction : I R de limite nulle en a et un

voisinage Va de a tels que f(x) = (x)g(x) pour tout x Va I . Alors f(x) = (x)

g(x)

pour tout

x Va I et lima

= 0. Do le rsultat.

Montrons que f =ao(g). Reprenons les notations prcdentes. On a f(x) =

(x)

g(x) pour tout x VaIet lim

a = 0. Do le rsultat.

(ii) Par hypothse, il existe une fonction : I R de limite nulle en a et un voisinage Va de a tels quef(x) = (x)g(x) pour tout x Va I , ainsi quune fonction e : I R de limite nulle en a et un voisinageeVa de a tels que ef(x) = e(x)g(x) pour tout x eVa I .Posons V0a = Va eVa. Alors f(x) + ef(x) =

(x)+ e(x)

g(x) pour tout x V0a I et de plus lima

+ e

= 0.

Do le rsultat.

(iii) Par hypothse, il existe une fonction : I R de limite nulle en a et un voisinage Va de a tels quef(x) = (x)g(x) pour tout x Va I , ainsi quune fonction e : I R de limite nulle en a et un voisinageeVa de a tels que g(x) = e(x)h(x) pour tout x eVa I .Posons V0a = Va eVa. Alors f(x) =

(x)e(x)

h(x) pour tout x V0a I et de plus lima

+ e

= 0. Do le

rsultat.

(iv) et (v) Dbrouillez-vous.

En pratique

Souvent, quand a R, lassertion (v) est utilise pour faire des translations : x 7 xa. Cest comme quand on passe dela limite lim

xaf(x) = ` la limite lim

h0f(a+h) = ` . Par exemple, les relations x2 =

x0o(x4) et (x1)2 =

x1o

(x1)4

disent en substance la mme chose.Cette technique nous permet de transformer toute relation de ngligeabilit a voisinage de a R en une relation dengligeabilit au voisinage de 0.

On peut aussi vouloir transformer une relation de ngligeabilit au voisinage de en une relation de ngligeabilit auvoisinage de 0. Pour cela on travaillera le plus souvent avec la fonction : x 7 1

x.

Nous avons jusquici introduit la notation petit o sous sa forme la plus lmentaire (mise en relation de deux fonctions).Cette notation existe en ralit sous des formes assez diverses en mathmatiques. Par exemple, vous rencontrerez souvent desexpressions du genre f =

ag + o(h) . En loccurrence, cette expression signifie simplement que f g =

ao(h).

En pratique Comme avec les suites, vous devez vous habituer nettoyer les formules que vous crivez avec

des petits o. Ainsi, au lieu dcrire ln(1 + x) =x0

x x2

2+ o(x), vous crirez ln(1 + x) =

x0x+ o(x) car la prcision o(x) ne fait

quune bouche du x2

2. Autre exemple : la relation ln(1 + x) =

x0x+ 5x2 8x7 + o(x) est tout aussi juste que les prcdentes,

mais elle est inutilement complique.

Thorme (Limites et petits o) Soient f : I R une application, a I et ` R. Alors : lima

f = ` f =a`+o(1).

En particulier : lima

f = 0 f =ao(1).

En pratique Il est trs important davoir en tte le fait quun o(1) au voisinage de a nest rien dautre quunefonction de limite nulle au voisinage de a.

2


Dmonstration

lima

f = ` lima

(f `) = 0 lima

f `1

= 0 f ` =ao(1) f =

a`+ o(1).

1.3 Exemples fondamentaux

Thorme (Exemples fondamentaux de petits o au voisinage de )

(i) Soient , R tels que < . Alors x =x

o(x). (ii) Soient a, b R tels que 0 < a < b. Alors ax =x

o(bx).

(iii) Soient , R avec > 0. Alors ln x =x

o(x). (iv) Soient a, R avec a > 1. Alors x =x

o(ax).

Explication Ce thorme explique, dans la langue des petits o, que les exponentielles sont plus infinies que lespuissances, qui le sont elles-mmes plus que les puissances de logarithmes, tout ceci au voisinage de .

Dmonstration

(i) Puisque < , alors < 0, donc limx

x = 0 (rsultat sur les fonctions puissances), i.e. lim

x

x

x= 0,

i.e. enfin x =x

o(x).

(ii) Puisque 0 < a < b, alors b 6= 0 et ln ab< 1, donc lim

xex ln a

b = 0, i.e. limx

a

b

x

= 0, et donc ax =x

o(bx).

(iii) et (iv) Au travail !

Thorme (Exemples fondamentaux de petits o au voisinage de 0)

(i) Soient , R tels que < . Alors x =x0

o(x). (ii) Soient , R avec > 0. Alors x =x0

o

ln x

.

$ $ $ Attention ! Lassertion (i) ressemble sy mprendre celle quon vient de voir au voisinage de , ceci prsjustement quils sont crits au voisinage de 0. Malheur ceux qui les confondront ! Pour retenir les relations entre les puissancesx et x, il suffit davoir en tte la position relative des deux fonctions asocies ; si < , nous savons que le graphe de x 7 xest sous le graphe de x 7 x sur ]1,[, et que linverse est vrai sur ]0, 1[.

2 Equivalence

2.1 Dfinition

Dfinition (Equivalence)

Soient f : I R et g : I R deux applications et a I. On dit que f est quivalente g au voisinage de a silexiste une fonction : I R de limite 1 en a et un voisinage Va de a tels que f(x) = (x)g(x) pour tout x Va I . Cetterelation se note f

ag ou f(x)

xag(x).


a

.

Dire que f ag revient dire que lim

xa

f(x)

g(x)= 1 lorsque g ne sannule pas au voisinage de a (sauf ventuellement en a,

et lorsque dans ce cas galement f(a) = 0).

En pratique Dans les exercices, on travaillera presque toujours avec des fonctions qui ne sannulent pas au

voisinage de a. Cest donc la dfinition particulire limxa

f(x)

g(x)= 1 que nous utiliserons.

3


Exemple x2 + x+ 5 x

x2 car limx

x2 + x+ 5

x2= 1.

1

x+

1

x2

x

1

xcar

1

x+

1

x2

1

x

= 1 +1

xx

1.

$ $ $ Attention ! f a0 f est nulle au voisinage de a.

Or on ne travaille jamais avec la fonction nulle quel intrt ? Cest pourquoi vous ne rencontrerez certainement jamaislexpression f

a0 en mathmatiques. Banissez-la de vos copies !

Thorme Soient f : I R et g : I R deux applications et a I. f ag f =

ag + o(g).

Dmonstration Par dfinition, dire que f ag, cest dire quil existe une fonction : I R de limite 1 en a

et un voisinage Va de a tels que f(x) = (x)g(x) pour tout x Va I . Cest donc dire quil existe une fonction : I R de limite nulle en a et un voisinage Va de a tels que f(x) =

1+ (x)

g(x), i.e. f(x) g(x) = (x)g(x).Cest, enfin, exactement dire que f g =

ao(g).

$ $ $ Attention ! Les propositions limxa

f(x)

g(x)= 1 et lim

xa

f(x) g(x) = 0 ne sont en aucun cas quivalentes ;cest mme pire : aucune de ces deux propositions nimplique lautre. Le thorme prcdent nous explique pourquoi : dire quelimxa

f(x) g(x) = 0, cest dire que f g =ao(1), et non pas f g =

ao(g).

Par exemple x+ 1 x

x, mais pourtant (x+ 1) x x

0 ; inversement limx

1

x 1

x2

= 0, mais pourtant1

x

x

1

x2.

2.2 Oprations sur les quivalents

Thorme (Oprations sur les quivalents) Soient f, g, h, ef, eg des applications de I dans R et a I .(i) La relation tre quivalentes est rflexive : f

af .

(ii) La relation tre quivalentes est symtrique : si f ag, alors g

af .

(iii) La relation tre quivalentes est transitive : si f ag et si g

ah, alors f

ah.

(iv) Dans les petits o, on peut remplacer toute fonction par une fonction quivalente :

si f =ao(g) et si ef

af et eg

ag, alors ef =

ao(eg).

(v) Deux fonctions quivalentes ont le mme signe sur un voisinage :

si f ag et si f > 0 au voisinage de a, alors g > 0 au voisinage de a.

(vi) Avec le produit, tout va bien : si f a

ef et si g aeg, alors fg

a

efeg.

(vii) Avec linverse, tout va bien : si f ag et si f ne sannule pas au voisinage de a, alors

1

fa

1

g.

(viii) Avec les puissances, tout va bien :

si f ag et si f > 0 au voisinage de a, alors f

ag pour tout R.

(ix) La composition droite est autorise : si b R et si est une fonction dfinie au voisinage de b valeurs dans Itelle que lim

b = a, alors la relation f

ag implique la relation f

bg .

$ $ $ Attention ! Avec les quivalents deux oprations sont formellement interdites.

1) Somme : si f ag et si ef

aeg, on na pas forcment f + ef

ag + eg.

Par exemple, x+ 1 x

x et 3 x x

x+ 1, mais 4 x

1.

2) Composition gauche : si f ag, on na pas forcment f =

a g.

Par exemple, x x

x+ ln x, mais si on compose gauche par x 7 ex, ex x

xex.

4


Dmonstration Dmontrons ici seulement (ii) et (iii). Vous ferez les autres dmonstrations seuls, elles ne sontpas difficiles.

(ii) Par hypothse, il existe une fonction : I R de limite 1 en a et un voisinage Va de a tels quef(x) = (a)g(x) pour tout x Va I . Quitte rtrcir Va, nous pouvons supposer strictement positivesur Va I . Alors g(x) = 1

(x)f(x) pour tout x Va I et lim

a

1

= 1. Do le rsultat.

(iii) Par hypothse, il existe une fonction : I R de limite 1 en a et un voisinage Va de a tels quef(x) = (a)g(x) pour tout x Va I , ainsi quune fonction e : I R de limite 1 et un voisinage eVa de atels que g(x) = e(x)h(x) pour tout x eVa I .Posons V0a = Va eVa. Alors f(x) =

(x)e(x)

h(x) pour tout x V0a I et de plus limae = 1. Do le

rsultat.

Thorme (Limites et quivalents) Soient f : I R et g : I R deux applications et a I.(i) Si f

ag, alors soit f et g ont toutes les deux une limite en a et lim

af = lim

ag, soit aucune de ces deux applications

ne possde de limite en a.

(ii) Si lima

f = ` o ` est un rel non nul, alors f a`.

$ $ $ Attention ! La rciproque de lassertion (i) est fausse : on peut avoir lima

f = lima

g sans avoir f ag. Ne pas

comprendre ceci, cest ne rien comprendre ce chapitre, car justement les quivalents permettent de distinguer des fonctions quipourtant ont la mme limite.

Par exemple, limx

ex = lim

xx = mais ex

xx ; de mme lim

x

1

x= lim

x

1

x2= 0 mais

1

x

x

1

x2.

Dmonstration

(i) Par hypothse, il existe une fonction : I R de limite 1 et un voisinage Va de a tels que f(x) = (x)g(x)pour tout x Va I . Du coup, si f possde une limite en a, alors g en possde une aussi et ces limites sontgales ; et si f ne possde pas de limite en a, alors g ne peut pas en possder non plus.

(ii) Si lima

f = ` R, alors comme ` 6= 0, lima

f

`= 1, et donc on a bien f

a`.

2.3 Exemples fondamentaux

Thorme (Exemples fondamentaux dquivalents) Soit R.

1) Logarithme, exponentielle, puissances :

ln(1 + x) x0

x, i.e. ln(1 + x) =x0

x+ o(x).

ex 1

x0x, i.e. ex =

x01 + x+ o(x).

(1 + x) 1 x0

x, i.e. (1 + x) =x0

1 + x+ o(x).

2) Fonctions trigonomtriques circulaires :

sin x x0

x, i.e. sin x =x0

x+ o(x).

cosx x0

1, i.e. cosx =x0

1 + o(1) et cos x 1 x0

x2

2, i.e. cosx =

x01 x

2

2+ o(x2).

tanx x0

x, i.e. tan x =x0

x+ o(x).

5


3) Fonctions trigonomtriques circulaires inverses :

Arcsin x x0

x, i.e. Arcsin x =x0

x+ o(x).

Arccos x x0

pi

2, i.e. Arccos x =

x0

pi

2+ o(1) et Arccos x pi

2x0

x, i.e. Arccos x =x0

pi

2 x+ o(x).

Arctan x x0

x, i.e. Arctan x =x0

x+ o(x).

4) Fonctions trigonomtriques hyperboliques :

sh x x0

x, i.e. sh x =x0

x+ o(x).

ch x x0

1, i.e. ch x =x0

1 + o(1) et ch x 1 x0

x2

2, i.e. ch x =

x01 +

x2

2+ o(x2).

th x x0

x, i.e. th x =x0

x+ o(x).

$ $ $ Attention ! Ne mlangez jamais les petits o et les quivalents ! Par exemple, (1 + x) x0

1 + x + o(x) est

une erreur classique. Soucieux de lviter, certains dentre vous criront du coup (1 + x) x0

1 + x. L, cest correct mais

idiot, car 1+x x0

1. En dautres termes, crire (1+x) x0

1+x revient crire (1+x) x0

1. On a donc crit

(1 + x) =x0

1 + o(1) (prcision o(1)) alors quon voulait crire (1 + x) =x0

1 + x+ o(x) (prcision o(x) bien meilleure).

Bref : apprenez bien et distinguez bien les formules du thorme prcdent, autant leur version quivalents que leur version petits o .

Dmonstration

Sauf cas particulier, la technique gnrale est la suivante. On part dune fonction f dfinie au voisinage de0 et drivable en 0 ici x 7 ln(1 + x), x 7 ex, x 7 (1 + x), sin, cos, tan, Arcsin, Arccos, Arctan, sh,ch ou th. Par dfinition du nombre driv, on sait quon a lim

x0

f(x) f(0)x 0 = f

(0), ce qui scrit aussi

f(x) =x0

f(0) + f (0)x+ o(x). Cette formule est notre rsultat.

Pour cos et ch, une formule lordre 2 est nonce, i.e. dont la prcision nest pas seulement en o(x),mais carrment en o(x2), ce qui est plus fin.

Pour cos, il faut se souvenir que : t R, cos(2t) = 1 2 sin2 t.Pour t =

x

2, cela donne : cosx = 1 2 sin2 x

2=x0

1 2

x2

4+ o

x2

4

=x0

1 x2

2+ o(x2).

En effet, on a sinx

2x0

x

2car lim

x0

x

2= 0 via le point prcdent relatif au sinus. Passant au carr on obtient :

sin2x

2x0

x2

4, i.e. sin2

x

2=x0

x2

4+ o

x2

4

comme annonc.

On raisonne de la mme faon avec ch, aprs avoir montr la formule : t R, ch (2t) = 1 + 2sh2t.

En pratique Pour = 1 et = 12dans le thorme prcdent, on obtient les formules :

1

1 + x=x0

1x+ o(x)et

1 + x =

x01 +

x

2+ o(x). Il est utile de connatre bien ces deux cas particuliers.

Exemplex2 + ln x x

x

ln x

2x.

En effet On remarque que : x ]1,[, x2 + ln x x = x

r

1 +ln x

x2 1!

.

Or dj, puisque limx

ln x

x2= 0, on peut effectuer une composition droite :

r

1 +ln x

x2 1

x

lnx

2x2.

On conclut en multipliant par x :x2 + ln x x = x

r

1 +ln x

x2 1!

x

x ln x2x2

x

lnx

2x.

6


Exemple etanx cos x x0

x.

En effet Puisquil est interdit dadditionner les quivalents, nous allons devoir travailler avec des petits o. Nousallons montrer que etan x cos x =

x0x+ o(x). La prcision voulue est un o(x).

Puisque limx0

tan x = 0, alors etanx 1 x0

tan x x0

x, et donc etanx 1 =x0

x+ o(x).

Et le cosinus alors ? Nous avons deux formules pour lui : cosx =x0

1 + o(1) et cos x =x0

1 x2

2+ o(x2).

Laquelle utiliser ? Nous ne pouvons pas utiliser la premire, car sa prcision nest quun o(1) trs grossier, alorsque nous recherchons un o(x). Voyons donc ce que nous donne la deuxime :

etanxcosx = etan x1 cosx1 =

x0

x+o(x)

x2

2+ o(x2)

= x+o(x) car le o(x) mange le o(x2).

Les concepts dvelopps dans ce chapitre sont trs utiles pour calculer des limites.

Exemple Soient a, b R+. limx

a1

x + b1

x

2

!x

=ab.

En effet Tout dabord : a1

x = eln a

x =x

1 +ln a

x+ o

1

x

. Mme chose pour b1

x .

Ensuite : a1

x + b1

x =x

2 +ln a

x+

ln b

x+ o

1

x

=x

2 +ln(ab)

x+ o

1

x

.

On divise par 2 :a

1

x + b1

x

2=

x1 +

ln(ab)

2x+ o

1

x

=x

1 +lnab

x+ o

1

x

,

puis on compose par la fonction logarithme : lna

1

x + b1

x

2=

xln

"

1 +lnab

x+ o

1

x

#

=x

lnab

x+ o

1

x

,

et enfin on multiplie par x : x lna

1

x + b1

x

2=

xlnab+o(1). Bref : lim

xx ln

a1

x + b1

x

2= ln

ab. Finalement,

composons cette limite gauche par la fonction exponentielle avec les limites, on peut composer gauche on obtient le rsultat annonc.

3 Domination

La notion de domination introduite ci-aprs est trs utile en mathmatiques, mais il faut bien avouer que vous lutiliserezmoins que les notions de ngligeabilit et dquivalence en MPSI. En deuxime anne, elle vous rendra de prcieux services quandvous tudierez la notion de srie.

3.1 Dfinition

Dfinition (Domination)

Soient f : I R et g : I R deux applications et a I. On dit que f est domine par g au voisinage de a silexiste K R+ et un voisinage Va de a tels que

f(x)

6 K

g(x)

pour tout x Va I .Cette relation se note f =

aO(g) et se lit f est un grand O de g au voisinage de a , ou bien f(x) =

xaO

g(x)

et

f(x) est un grand O de g(x) au voisinage de a .


a

.

Dire que f =aO(g) revient dire que la fonction

f

gest borne lorsque g ne sannule pas au voisinage de a (sauf

ventuellement en a, et lorsque dans ce cas galement f(a) = 0).

Exemple f =aO(0) f est nulle au voisinage de a.

Or on ne travaille jamais avec la fonction nulle quel intrt ? Cest pourquoi vous ne rencontrerez certainement jamaislexpression f =

aO(0) en mathmatiques. Banissez-la de vos copies !

7


Le rsultat suivant est un cas particulier de la dfinition de la domination, trs important.

Thorme (Fonction borne et O(1)) Soient f : I R une application et a I . Alors :f =

aO(1) f est borne au voisinage de a.

3.2 Oprations sur les grands O

Thorme (Oprations sur la domination) Soient f, g, h, ef,eg des applications de I dans R, a I et R.(i) La ngligeabilit (resp. lquivalence) implique la domination : si f =

ao(g) (resp. f

ag), alors f =

aO(g).

(ii) La multiplication par un rel non nul ne compte pas : si f =aO(g) et si 6= 0, alors f =

aO(g) et f =

aO(g).

(iii) La somme de deux fonctions domines par une mme fonction est domine :

si f =aO(g) et si ef =

aO(g), alors f + ef =

aO(g).

(iv) La relation tre domine est transitive : si f =aO(g) et si g =

aO(h), alors f =

aO(h).

(v) Avec le produit, tout va bien :

(

si f =aO(g) et si ef =

aO(eg), alors f ef =

aO(geg).

si f =aO(g), alors fh =

aO(gh).

(vi) La composition droite est autorise : si b R et si est une fonction dfinie au voisinage de b valeurs dans Itelle que lim

b = a, alors la relation f =

aO(g) implique la relation f =

bO(g ).

Dmonstration Dbrouillez-vous.

$ $ $ Attention ! Avec les grands O deux oprations sont formellement interdites.

1) Somme des deux cts : si f =aO(g) et si ef =

aO(eg), on na pas forcment f + ef =

aO(g + eg).

Par exemple, on a x 1 =x

O(x2) et 1 =x

O(1 x2), mais pourtant x =x

O(1).

2) Composition gauche : si f =aO(g), on na pas forcment f =

aO( g).

Par exemple, on a x =x

O(x2), mais pourtant, si on compose gauche par x 7 1x,1

x=

xO

1

x2

.

$ $ $ Attention ! La domination nimplique ni la ngligeabilit, ni lquivalence. Cest le contraire qui est vrai. Parexemple, 2x2 =

x0O(x2), mais 2x2 =

x0o(x2) et 2x2

x0x2.

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