CTN504 – Mécanique des sols

Cours CTN 504 Mécanique des sols

Li Li , ing., Ph.DProfesseur en géotechnique

Département de génie de la constructionBureau: A-1484

Courriel: li.li@etsmtl.ca

CTN504 – Mécanique des sols

Éteindre vos cellulaires, SVP!

CTN504 – Mécanique des sols

Séances d'exercice dirigé: A-2332

CTN504 – Mécanique des sols

Consolidation et tassement des sols(Séance 2e/3)

CTN504 – Mécanique des sols

Contenu• Estimation de la distribution des contraintes– Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)– Solutions de Boussinesq– Solution de Newmark (1935)– Théorie de Westeraard

• Vitesse de consolidation– Introduction– Théorie de Terzaghi– Détermination du coefficient de consolidation

• Méthode Casagrande• Méthode de Taylor

– Détermination du coefficient de perméabilité– Évaluation de la compression secondaire

CTN504 – Mécanique des sols

Contenu• Estimation de la distribution des contraintes– Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)– Solutions de Boussinesq– Solution de Newmark (1935)– Théorie de Westgaard

• Vitesse de consolidation– Introduction– Théorie de Terzaghi– Détermination du coefficient de consolidation

• Méthode Casagrande• Méthode de Taylor

– Détermination du coefficient de perméabilité– Évaluation de la compression secondaire

CTN504 – Mécanique des sols

Charge totale sur unité de longueur

Pour les semelles filantes, on utilise souvent le terme "Charge linéaire ou linéique".

Comment la déterminer?

CTN504 – Mécanique des sols

Exemple 8.17 (page 377 du livre)

sol naturel: d = 1680 kg/m3

P = 1400 kN

remblai compacté à d = 2040 kg/m3

2 m

semelle 3m4m de = 2040 kg/m3

pas d'eau

1 m

CTN504 – Mécanique des sols

Exemple 8.17: solution

sol naturel

P = 1400 kN

pas d'eau

v = 16.8h

1

v = 16.8h1 + 40.8

remblai compacté 2 m

1 mx3

h3 = z

z

zzP

z

43

h2

x2

x1

h1

v = 20.4h

2

CTN504 – Mécanique des sols

Contenu• Estimation de la distribution des contraintes– Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)– Solutions de Boussinesq– Solution de Newmark (1935)– Théorie de Westgaard

• Vitesse de consolidation– Introduction– Théorie de Terzaghi– Détermination du coefficient de consolidation

• Méthode Casagrande• Méthode de Taylor

– Détermination du coefficient de perméabilité– Évaluation de la compression secondaire

CTN504 – Mécanique des sols

2/5222/5

2

22

2/5

2

2252

3

2/5

2

22

3

12

3

12

3

12

3

12

3

zrz

Q

zrz

Q

zrz

zQ

zrz

zQz

2/522

1

2/3

zrz

Qz

Bz N

zQ2

NB

À une charge ponctuelle

CTN504 – Mécanique des sols

2/522

1

2/3

zrz

Qz

Bz N

zQ2

NB

À une charge ponctuelle

Solution de Westergaard

CTN504 – Mécanique des sols

2

2

22

2

222

3

2

2

22

3

222

3

1

2

1

2

1

22

zrz

P

zrz

Pz

zrz

Pzzr

Pzz

22

1

/2

zrz

Pz

Bz N

zQ2

NB

À une charge linéaire ou linéique

Poù P = charge linéaire, force/longueur , kN/m

CTN504 – Mécanique des sols

Contenu• Estimation de la distribution des contraintes– Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)– Solutions de Boussinesq– Solution de Newmark (1935)– Théorie de Westgaard

• Vitesse de consolidation– Introduction– Théorie de Terzaghi– Détermination du coefficient de consolidation

• Méthode Casagrande• Méthode de Taylor

– Détermination du coefficient de perméabilité– Évaluation de la compression secondaire

CTN504 – Mécanique des solsContrainte sous le coin d'une surface rectangulaire chargée uniformément

où I = facteur d'influence fact

eur d

'influ

ence

, I

CTN504 – Mécanique des sols

Contrainte sous une surface circulaire chargée uniformément

CTN504 – Mécanique des solsContrainte sous un remblai de grande longueur

CTN504 – Mécanique des solsContrainte sous les coins d'une charge triangulaire longueur limitée

CTN504 – Mécanique des sols

Contenu• Estimation de la distribution des contraintes– Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)– Solutions de Boussinesq– Solution de Newmark (1935)– Théorie de Westgaard

• Vitesse de consolidation– Introduction– Théorie de Terzaghi– Détermination du coefficient de consolidation

• Méthode Casagrande• Méthode de Taylor

– Détermination du coefficient de perméabilité– Évaluation de la compression secondaire

CTN504 – Mécanique des sols

Solution de Westergaard

Solution de Boussineq

Hypothèse de la théorie de Westergaard:• sol varvé (entremêlé de couches très minces)• sol parfaitement rigide et déformation unidimensionnelle dans la direction

vertical ( = 0)

À une charge ponctuelle

CTN504 – Mécanique des solsSous le coin d'une surface rectangulaire chargée uniformément

CTN504 – Mécanique des solsSous le centre d'une surface carrée chargée uniformément

CTN504 – Mécanique des solsSous le coin d'une surface rectangulaire chargée uniformément

I

CTN504 – Mécanique des solsSous le coin d'une surface rectangulaire chargée uniformément

CTN504 – Mécanique des sols

Contenu• Estimation de la distribution des contraintes– Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)– Solutions de Boussinesq– Solution de Newmark (1935)– Théorie de Westgaard

• Vitesse de consolidation– Introduction– Théorie de Terzaghi– Détermination du coefficient de consolidation

• Méthode Casagrande• Méthode de Taylor

– Détermination du coefficient de perméabilité– Évaluation de la compression secondaire

CTN504 – Mécanique des sols

Tassement total des sols argileux, st:

où si = tassement immédiate (déformation élastique des fondations structurales, fûts de pieu par exemple);

sc = tassement de consolidation (variation de teneur en eau); ss = tassement secondaire (fluage).

scit SSSS

dépendent du temps, t

sc = composante majeure du tassement pour les argiles inorganiques;ss = composante plus importante pour les tassements des sols

comme les tourbes et les sols fortement organiques.

CTN504 – Mécanique des sols

Analogie de la consolidation d'une couche très mince

CTN504 – Mécanique des sols

Analogie de la consolidation d'une couche épaisse ou multiple couches

CTN504 – Mécanique des sols

Contenu• Estimation de la distribution des contraintes– Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)– Solutions de Boussinesq– Solution de Newmark (1935)– Théorie de Westgaard

• Vitesse de consolidation– Introduction– Théorie de Terzaghi– Détermination du coefficient de consolidation

• Méthode Casagrande• Méthode de Taylor

– Détermination du coefficient de perméabilité– Évaluation de la compression secondaire

CTN504 – Mécanique des sols

Terzaghi (1925) a analysé la consolidation avec les hypothèses suivantes:• La couche de sol compressible est homogène et saturée

complètement;• L'eau et les grains de sol sont incompressibles;• La loi de Darcy s'applique;• Drainage dans une seule direction;• Déplacements faibles;• Le coefficient de compression av et le coefficient de

perméabilité k sont constants pendant la consolidation.

CTN504 – Mécanique des sols

représentée par u dans le développement des équations.

sortieentrée

Loi de Darcy:

q = k i

À un moment donné t = t, on vérifie la variation du volume du sol à cause de variation de la teneur en eau.

À la sortie z = z où la pression interstitielle excessive est u. Le gradient hydraulique, iz est:

zuu

dzd

dzdhi

ww

zz

1

Consolidation de Terzaghi (1925)

À l'entrée z = z+dz, la pression interstitielle excessive devient u + du. Le gradient hydraulique, iz+dz est:

dzzu

zuduu

zduu

dzd

dzdhi

www

dzzdzz 2

211

CTN504 – Mécanique des sols

Pendant une période très courte de temps dt, le volume sortant de l'élément dxdydz est:

et le volume entrant dans l'élément dxdydz est:

Le variation du volume est alors:

dxdydtzukdxdydtkidQ

wzsor

1

Consolidation de Terzaghi (1925)

Le tassement s causé par la variation de l'élément dxdydz est alors:

dzdtzuk

dxdydQdQs

w

entsor2

2

(Attention: une petite erreur s'est glissée dans l'Équation B.2.3 du livre)

dxdydtdzzu

zukdxdydtkidQ

wdzzent

2

21

(Attention: une 2ème erreur s'est glissée dans l'Équation B.2.4 du livre)

dxdydzdtzukdQdQ

wentsor 2

2

CTN504 – Mécanique des sols

Pendant la séance dernière, on a montré que le tassement peut être aussi estimé par l'équation suivante:

Pour notre cas, H0 = dz, e = de. On a donc:

Comparer les deux équations de tassement, on obtient:

Notons la définition du coefficient de compressibilité, av:

dzedes01

ajout d'un signe "-" pour que le

tassement soit positif.

02

2

1 ededt

zuk

w

'ddeav

Notons aussi que l'augmentation de la contrainte effective est égale à la diminution de la pression interstitielle excessive, on a:

et

et finalement:

dttudud

'

dttuadt

tuadade vvv

'

tu

zu

aek

vw

2

201

CTN504 – Mécanique des sols

L'équation de la consolidation unidimensionnelle de Terzaghi:

où cv = coefficient de consolidation:

Le reste du travail est de résoudre cette équation différentielle de l'ordre de 2. Une solution est sous la forme de l'expansion des séries de Fourier

où Z un paramètre géométrique. T est un facteur de temps sans dimension.

et

où t = temps Hdr = longueur du chemin de drainage.

tu

zucv

2

2

vwv a

ekc 01

drHzZ 2

02

1

drvwdrv H

taek

HtcT

CTN504 – Mécanique des sols

Rapport de consolidation:

où e = indice de vide intermédiaire à un moment donné t et à une profondeur donnée z;

e1 = indice de vide au début de la consolidation à la profondeur donnée z;

e2 = indice de vide à la fin de consolidation à la profondeur donnée z.

La considération de la géométrie (principe de similarité trigonométrique):

où ' et u sont les valeurs correspondant à e.

21

1

eeeeU z

CTN504 – Mécanique des sols

Remplacer u par l'Équation (9.4), on obtient:

La figure 9.3 présente la solution graphique de cette équation.

Cette graphique permet de déterminer le rapport de consolidation pour un temps quelconque et à n'importe quel point.

CTN504 – Mécanique des sols

Pourcentage de consolidation moyen, U ou Umoy

CTN504 – Mécanique des sols

CTN504 – Mécanique des sols

Casagrande (1938) et Taylor (1948) donnent les relations suivantes:

Le pourcentage de consolidation peut être défini comme suit:

où s(t) = tassement pour un temps t; sc = tassement final de la consolidation à t = .

CTN504 – Mécanique des sols

Contenu• Estimation de la distribution des contraintes– Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)– Solutions de Boussinesq– Solution de Newmark (1935)– Théorie de Westgaard

• Vitesse de consolidation– Introduction– Théorie de Terzaghi– Détermination du coefficient de consolidation– Détermination du coefficient de perméabilité– Évaluation de la compression secondaire

CTN504 – Mécanique des sols

Détermination du coefficient de consolidation cv

• Méthode de Casagrande• Méthode de Taylor

CTN504 – Mécanique des sols

Méthode de Casagrande pour déterminer le coefficient de consolidation cv

CTN504 – Mécanique des sols

CTN504 – Mécanique des sols

Méthode de Taylor pour déterminer le coefficient de consolidation cv

CTN504 – Mécanique des sols

Méthode de Taylor pour déterminer le coefficient de consolidation cv

CTN504 – Mécanique des sols

À consulter le Tableau 9.3 pour des valeurs typiques du coefficient de consolidation cv

CTN504 – Mécanique des sols

Contenu• Estimation de la distribution des contraintes– Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)– Solutions de Boussinesq– Solution de Newmark (1935)– Théorie de Westgaard

• Vitesse de consolidation– Introduction– Théorie de Terzaghi– Détermination du coefficient de consolidation– Détermination du coefficient de perméabilité– Évaluation de la compression secondaire

CTN504 – Mécanique des sols

Une fois que le coefficient de consolidation cv est déterminé, la coefficient de perméabilité peut être estimée par l'équation suivante:

01 eack vwv

CTN504 – Mécanique des sols

Contenu• Estimation de la distribution des contraintes– Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)– Solutions de Boussinesq– Solution de Newmark (1935)– Théorie de Westgaard

• Vitesse de consolidation– Introduction– Théorie de Terzaghi– Détermination du coefficient de consolidation– Détermination du coefficient de perméabilité– Évaluation de la compression secondaire

CTN504 – Mécanique des sols

Indice de compression secondaire c

Indice de compression secondaire modifié c

En moyenne, c/cc 0.05; en aucun cas, il n'excède pas 0.1;c/cc = 0.025 ~ 0.06 pour les sols inorganiques; c/cc est plus élevé pour les sols organiques et les tourbes.

CTN504 – Mécanique des sols

CTN504 – Mécanique des sols