Cours d'algèbre linéaireducoulombier-math.esy.es/AL Cours.pdf · 4 CHAPITRE 1. L'ESPACE VECTORIEL RN Exercice 2 : Parmi les parties suivantes de R3, lesquelles sont des sous-espaces

Cours d'algèbre linéaire

Yannick Henrio

5 mars 2013

2

Table des matières

1 L'espace vectoriel Rn 1

1.1 Rn est un espace vectoriel sur R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Sous-espaces vectoriels de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 La méthode du pivot de Gauss 5

2.1 Dé�nition d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Matrices échelonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Echelonnement d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.1 Enoncé du théorème d'existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4.2 Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.3 Rang d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Réduction d'une matrice échelonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5.1 Existence et unicité d'un échelonnement réduit . . . . . . . . . . . . . . . 82.5.2 Méthode de réduction d'une matrice échelonnée . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Résolution des systèmes linéaires 11

3.1 Généralités sur les systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.1 Matrices associées à un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.2 Ensemble des solutions d'un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Description de l'ensemble des solutions d'un système linéaire . . . . . . . . . . . 123.3 Structure de l'ensemble des solutions d'un système . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3.1 Le cas particulier d'un système homogène : Noyau d'une matrice . . . . . 143.3.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4 Quelques conséquences de la structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Familles de vecteurs de Rn 17

4.1 Généralités sur les familles de vecteurs de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Matrice d'une famille de vecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Dimension d'un sous-espace vectoriel de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4 Calcul d'une base de l'image d'une matrice et interprétation du rang . . . . . . . 194.5 Compléter une famille libre en une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.6 Le théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.7 Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3

4 TABLE DES MATIÈRES

5 Matrices 23

5.1 Mn,p est un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3.2 Matrice d'une opération élémentaire sur les lignes . . . . . . . . . . . . . . 255.3.3 Critères d'inversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3.4 Calcul de l'inverse : Méthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.4 Calcul de l'image d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.5 Exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6 Espaces vectoriels de dimension �nie et applications linéaires 29

6.1 Dimension �nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.1.2 Matrice d'une famille de vecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . . . 316.1.3 Matrices de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2.2 Cas des dimensions �nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Chapitre 1

L'espace vectoriel Rn

Soit n ≥ 1 un entier. On rappelle que Rn est l'ensemble des suites de réels ~u = (x1, . . . , xn).Les éléments de Rn seront appelés vecteurs de longueur n. Le réel xi est appelé i-ième coordonnéecanonique du vecteur ~u. On notera ~0n = (0, . . . , 0) le vecteur nul de longueur n.

1.1 Rn est un espace vectoriel sur R.Soient ~u = (x1, . . . , xn) et ~v = (y1, . . . , yn) des vecteurs de Rn, et α un réel. On note

~u+ ~v = (x1 + y1, . . . , xn + yn) et α.~u = (α.x1, . . . , α.xn)

On dé�nit ainsi une additionRn × Rn → Rn

(~u,~v) 7→ ~u+ ~vet une action des scalaires sur les vecteurs

R× Rn → Rn

(α, ~u) 7→ α.~u. Ces opérations satisfont les

Propriétés 1. (Rn,+, .) est un espace vectoriel sur R. Autrement dit, si ~u, ~v et ~w sont desvecteurs de Rn, et si α et β sont des scalaires, alors les assertions suivantes sont satisfaites :

[EV1] (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)[EV2] ~u+ ~v = ~v + ~u

[EV3] ~u+~0p = ~0p + ~u = ~u

[EV4] ~u+ (−1).~u = ~0p[EV5] α.(~u+ ~v) = α.~u+ α.~v[EV6] (α+ β).~u = α.~u+ β.~u[EV7] (αβ).~u = α.(β.~u)[EV8] 1.~u = ~u

1.2 Combinaisons linéaires

Dé�nition 1. Soit p ≥ 1 un entier. Considérons une famille �nie F = (~u1, . . . , ~up) de vecteursde Rn. Une combinaison linéaire de la famille F est un vecteur de la forme

p∑k=1

αk.~uk = α1.~u1 + · · ·+ αp.~up, avec (α1, . . . , αp) ∈ Rp

1

2 CHAPITRE 1. L'ESPACE VECTORIEL RN

On note vect (F) l'ensemble des combinaisons linéaires de la famille F . Par convention, on poseégalement vect (∅) = {~0n}.

vect (F) = { ~v ∈ Rn : ∃(α1, . . . , αp) ∈ Rp ~v =

p∑k=1

αk.~uk }

Exemple 1. Si 1 ≤ i ≤ n, notons ~ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) le vecteur de Rn dont toutes lescoordonnées canoniques sont nulles, sauf la i-ième qui vaut 1. Si x1, . . . , xn sont des réels, alors

(x1, . . . , xn) =

n∑i=1

xi.~ei. On en déduit que tout vecteur de Rn est de manière unique combinaison

linéaire de la famille (~e1, . . . , ~en). On appelle cette famille la base canonique de Rn.

Exemple 2. Notons (~e1, . . . , ~en) la base canonique de Rn. Si 1 ≤ k ≤ n, alors

vect (~e1, . . . , ~ek) = { (x1, . . . , xn) ∈ Rn : xk+1 = · · · = xn = 0 }

En e�et, si (α1, . . . , αk) ∈ Rk, alors

k∑i=1

αi.~ei = (α1, . . . , αk, 0, . . . , 0), donc

k∑i=1

αi.~ei ∈ { (x1, . . . , xn) ∈ Rn : xk+1 = · · · = xn = 0 }

Réciproquement, si ~u = (x1, . . . , xn) ∈ Rn satisfait xk+1 = · · · = xn = 0, alors

~u = (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0) =

k∑i=1

xi.~ei ∈ vect (~e1, . . . , ~ek)

1.3 Sous-espaces vectoriels de Rn

Un sous-espace vectoriel (parfois noté sev) de Rn est une partie V de Rn satisfaisant lestrois conditions :

[SEV1] ~0n ∈ V .[SEV2] ∀~u ∈ V ∀~v ∈ V (~u+ ~v) ∈ V[SEV3] ∀α ∈ R ∀~u ∈ V (α.~u) ∈ V

Exemple 3. Rn est clairement un sous-espace vectoriel de Rn. L'ensemble {~0n} est lui aussi unsous-espace vectoriel de Rn.

Proposition 1. Soit V un sous-espace vectoriel de Rn. Soit (~u1, . . . , ~up) une famille de vecteursde V . Toute combinaison linéaire de la famille (~u1, . . . , ~up) appartient à V .

Proposition 2. Soit (~u1, . . . , ~up) une famille de vecteurs de Rn. L'ensemble vect (~u1, . . . , ~up)est le plus petit sous-espace vectoriel contenant tous les ~uj. Précisément,

[1] ∀j ∈ {1, . . . , p} ~uj ∈ vect (~u1, . . . , ~up).

[2] vect (~u1, . . . , ~up) est un sous-espace vectoriel de Rn.

[3] Si V est un sev de Rn contenant les vecteurs ~uj, alors vect (~u1, . . . , ~up) ⊂ V .

1.4. EXERCICES DU CHAPITRE 1 3

Dé�nition 2. Soit V un sous-espace vectoriel de Rn. Une famille génératrice de V est unefamille (~u1, . . . , ~up) de vecteurs de Rn telle que V = vect (~u1, . . . , ~up). Cela revient à dire que lesvecteurs ~ui sont tous dans V et que tout vecteur de V peut s'écrire comme combinaison linéairede la famille (~u1, . . . , ~up).

Exemple 4. Posons F = { (x, y, z) ∈ R3 : x+ 2y − 3z = 0 }. Alors F est un s.e.v. de R3. Ene�et,SEV1 : 0 + 2.0− 3.0 = 0 donc ~0 ∈ F .SEV2 : Supposons ~u = (x, y, z) ∈ F et ~v = (x′, y′, z′) ∈ F . Autrement dit, on a x + 2y − 3z = 0et x′ + 2y′ − 3z′ = 0. En additionnant ces deux équations, on obtient

(x+ x′) + 2(y + y′)− 3(z + z′) = (x+ 2y − 3z) + (x′ + 2y′ − 3z′) = 0 + 0 = 0

Ainsi, ~u+ ~v = (x+ x′, y + y′, z + z′) ∈ F . F est donc stable par addition.SEV3 : Supposons ~u = (x, y, z) ∈ F et α ∈ R. On a donc x + 2y − 3z = 0. En multipliant cetteéquation par le scalaire α, on obtient

(αx) + 2(αy)− 3(αz) = α.(x+ 2y − 3z) = α.0 = 0

Ainsi, α.~u = (αx, αy, αz) ∈ F . F est donc stable par multiplication par un scalaire.Remarquons qu'un vecteur de F s'écrit (−2y + 3z, y, z) = y.(−2, 1, 0) + z.(3, 0, 1). Ainsi toutvecteur de F est combinaison de la famille (~u1 = (−2, 1, 0), ~u2 = (3, 0, 1)). Par ailleurs, ~u1 ∈ F( car (−2) + 2.1 − 3.0 = 0 ) et ~u2 ∈ F ( car 3 + 2.0 − 3.1 = 0 ). Ainsi la famille (~u1, ~u2) estgénératrice de F .

Proposition 3. Soient V etW des sous-espaces vectoriels de Rn. Alors V ∩W est un sous-espacevectoriel de Rn.

Dé�nition 3. Soient V et W des sous-espaces vectoriels de Rn. On dit qu'ils sont en sommedirecte, et on note V ⊕W , lorsque V ∩W = {~0n}.

Proposition 4. Soient V et W des sous-espaces vectoriels de Rn. Alors l'ensemble

V +W = { ~u ∈ Rn : ∃~v ∈ V ∃~w ∈W ~u = ~v + ~w }

est un sous-espace vectoriel de Rn.

Dé�nition 4. Soient V et W des sous-espaces vectoriels de Rn. On dit que W est un supplé-mentaire de V si V ∩W = {~0n} et V +W = Rn.

Proposition 5. Soit V un sous-espace vectoriel de Rn. Si W est un supplémentaire de V , alors

∀~u ∈ Rn ∃!(~v, ~w) ∈ V ×W ~u = ~v + ~w

1.4 Exercices du chapitre 1

Exercice 1 : Considérons les vecteurs de R2 : ~u1 = (1,−1), ~u2 = (2, 3), ~u3 = (4, 5).

1. Calculer les combinaisons linéaires suivantes : 3~u1+2~u2−~u3,−~u1+5~u2−4~u3, 2~u1+9~u2−5~u3,et ~u1 + ~u2 + 6~u3.

2. Déduire d'un calcul précédent que ~u3 est combinaison linéaire de ~u1 et ~u2.

3. En déduire que vect (~u1, ~u2, ~u3) = vect (~u1, ~u2).

4 CHAPITRE 1. L'ESPACE VECTORIEL RN

Exercice 2 : Parmi les parties suivantes de R3, lesquelles sont des sous-espaces vectoriels deR3 ? Pour chacun de ces sous-espaces vectoriels, trouver une famille génératrice.

1. A = { (x, y, z) ∈ R3 : xyz = 0 }.2. B = { (x, y, z) ∈ R3 : 3x+ 2y + 5z = 0 }.3. C = { (x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 4 }.4. D = { (x, y, z) ∈ R3 : x+ 2z = 0 et y − 3z = 0 }.

Exercice 3 : Posons V = { (x, y, z) ∈ R3 : 8x− 18y + 7z = 0 }, ~u = (1, 2, 4) et ~v = (−3, 1, 6).

1. Véri�er que V est un sous-espace vectoriel de R3.

2. Véri�er que ~u ∈ V et ~v ∈ V .3. Montrer que (~u,~v) est une famille génératrice de V .

Exercice 4 : Notons V = { (x, y) ∈ R2 : y = 0 } et W = { x, y) ∈ R2 : x = 0 }.1. Représenter V et W dans le plan R2.

2. Véri�er que V et W sont des sous-espaces vectoriels de R2.

3. La partie V ∪W est-elle un sous-espace vectoriel de R2 ?

Exercice 5 : Soient V et W deux sous-espaces vectoriels de Rn. On dé�nit un ensemble

V +W = { ~u ∈ Rn : ∃~v ∈ V ∃~w ∈W ~u = ~v + ~w }

1. Montrer que V +W est un sous-espace vectoriel de Rn.

2. Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille génératrice de V et (~w1, . . . , ~wq) une famille génératrice de W .Montrer qu'alors (~v1, . . . , ~vp, ~w1, . . . , ~wq) est une famille génératrice de V +W .

Exercice 6 : Notons V l'ensemble des solutions du système à 5 inconnues : x1 − 2x3 − 8x5 = 0x2 − 5x3 + 3x5 = 0

x4 − x5 = 0

1. Montrer que V est un sous-espace vectoriel de R5.

2. Véri�er que si ~v ∈ V , alors toutes les coordonnées canoniques de ~v ∈ V peuvent s'écrire enfonction des seules coordonnées x3 et x5. En déduire la forme générale d'un vecteur de V .

3. Construire une famille génératrice à deux vecteurs de V .

4. Existe-t'il un vecteur ~u de V satisfaisant V = vect (~u) ?

Chapitre 2

La méthode du pivot de Gauss

2.1 Dé�nition d'une matrice

Dé�nition 5. Soient n > 0 et p > 0 des entiers. Une matrice A de taille (n, p) est un tableau

A =

A[1, 1] . . . A[1, p]...

...A[n, 1] . . . A[n, p]

de nombres réels à n lignes et p colonnes. On note aussi souvent

ai,j = A[i, j]. Si n = 1, on dira que A est un vecteur ligne. Si p = 1, on dira que A est un vecteurcolonne.Si 1 ≤ i ≤ n, on note Li(A) = ( A[i, 1] . . . A[i, p] ) la i-ième ligne de la matrice A.

Si 1 ≤ j ≤ p, on note Cj(A) =

A[1, j]...

A[n, j]

la j-ième colonne de la matrice A.

Exemple 5. La matrice nulle 0n,p est la matrice de taille (n, p) dont tous les coe�cients sontnuls.

Exemple 6. La matrice unité In de taille n est la matrice carrée de taille n dont tous lescoe�cients non diagonaux sont nuls, et dont tous les coe�cients diagonaux sont égaux à 1 :

In =

1 0. . .

0 1

On appelle symbole de Kronecker le réel δi,j dé�ni par δi,j = 1 si i = j et δi,j = 0 sinon. Ona alors

∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 In[i, j] = δi,j

2.2 Opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice

Il existe 3 types d'opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice : Transvection, dilata-tion et permutation.

Dé�nition 6. On se donne deux numéros de lignes i 6= k, et un scalaire λ quelconque. L'opé-ration de transvection de rapport λ sur la ligne Li le long de la ligne Lk est l'opération notéeLi ← Li + λLk consistant à remplacer la ligne Li par la ligne Li + λLk.

5

6 CHAPITRE 2. LA MÉTHODE DU PIVOT DE GAUSS

Exemple 7.

(1 4 −22 3 7

)L2 ← L2 − 2L1

produit la matrice

(1 4 −20 −5 11

).

Dé�nition 7. On se donne un numéro de ligne i, et un scalaire non nul λ. L'opération dedilatation de rapport λ sur la ligne i, notée Li ← λ.Li, consiste à multiplier la ligne Li par lescalaire λ.

Exemple 8.

(1 52 6

)L2 ← 1

2L2produit la matrice

(1 51 3

)Dé�nition 8. On se donne deux numéros de lignes i 6= k. L'opération de permutation deslignes Li et Lk, notée Li ↔ Lk, consiste à échanger les lignes Li et Lk.

Exemple 9.

(0 81 9

)L1 ↔ L2

produit la matrice

(1 90 8

)

2.3 Matrices échelonnées

Dé�nition 9. Soient A une matrice de taille (n, p), et k un entier satisfaisant 1 ≤ k ≤ n. Sila ligne Lk de A est nulle, on pose jk(A) = p. Sinon, on appelle pivot de la ligne Lk(A) sonpremier coe�cient non nul en partant de la gauche. On note alors jk(A) le nombre de zéros dela ligne situés à gauche du pivot. L'entier jk(A) sera nommé la profondeur de la ligne Lk(A).Remarquons tout de suite que la ligne Lk(A) est nulle si et seulement si jk(A) = p.

Exemple 10. Nous avons entouré les pivots de la matrice

0 1 5 0

1 3 7 4

0 0 6 80 0 0 0

j1 = 1j2 = 0j3 = 2j4 = 4

.

Dé�nition 10. Soit M une matrice de taille (n, p). Nous dirons que la matrice M est échelon-née si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

Ech1 La suite (j1(M), . . . , jn(M)) est croissante.

Ech2 Si k est un entier tel que 1 ≤ k < n et jk(M) < p, alors jk(M) < jk+1(M).

Les pivots sont donc rangés par ordre strictement croissant dans la matrice. En particulier,chaque colonne contient au plus un pivot. Une colonne d'une matrice échelonnée est dite princi-pale si elle contient un pivot. Sinon, on dit que la colonne est auxiliaire. Nous noterons PM ={ j ∈ {1, . . . , p} : Cj(M) est principale } et AM = { j ∈ {1, . . . , p} : Cj(M) est auxiliaire }.Exemple 11. La matrice de l'exemple précédent n'était pas échelonnée, car j2 < j1. Si on échange

les deux premières lignes, on obtient en revanche une matrice échelonnée :

1 3 7 4

0 1 5 0

0 0 6 80 0 0 0

.

Les 3 premières colonnes sont principales, la dernière est auxiliaire.

2.4 Echelonnement d'une matrice

2.4.1 Enoncé du théorème d'existence

Dé�nition 11. Soit A une matrice. Un échelonnement de A est une matrice échelonnée Bdéduite de A par une suite d'opérations élémentaires sur les lignes.

Théorème 1. Soit A une matrice de taille (n, p). Il existe au moins un échelonnement de A.

2.4. ECHELONNEMENT D'UNE MATRICE 7

2.4.2 Méthode du pivot de Gauss

Soit A une matrice non échelonnée de taille (n, p). En particulier, A est non nulle et possèdedonc des pivots.La notation M désignera une matrice variable. Au départ, M = A. En aboutissement de laméthode du pivot de Gauss, la variable M devient un échelonnement de A.Nous utilisons deux curseurs, l'un L pour les lignes de M et l'autre C pour ses colonnes. Audépart, L = L1 et C est le colonne la plus à gauche qui contient un pivot (autrement dit lapremière colonne non nulle). Notons a le coe�cient à l'intersection de la ligne L et de la colonneC. Si a = 0, soit i le numéro d'une ligne d'un pivot de la colonne C. En permutant les lignes Li

et L, on se ramène au cas où a 6= 0. Soit b un autre pivot de la colonne C. Si i désigne le numéro

de ligne du pivot b, la transvection Li ← Li−b

a.L nous ramène au cas où b = 0. En faisant cette

opération pour chaque pivot de la colonne C autre que a, on se ramène au cas où C ne contientque ce seul pivot. Si M n'est toujours pas échelonnée, on déplace le curseur de ligne d'un cranvers le bas, et le curseur de colonne vers la droite jusqu'à la colonne suivante contenant un pivot,et on recommence le processus jusqu'à obtenir l'échelonnement cherché.

Exemple 12. Nous allons échelonner la matrice suivante :2 3 6 −74 11 18 −182 3 6 0−2 −13 −4 10

L2 ← L2 − 2L1

L3 ← L3 − L1

L4 ← L4 + L1

.

2 3 6 −70 5 6 −40 0 0 70 −10 2 3

L4 ← L4 + 2L2

2 3 6 −70 5 6 −40 0 0 70 0 14 −5

L3 ↔ L42 3 6 −7

0 5 6 −4

0 0 14 −5

0 0 0 7

Cette matrice est échelonnée.

2.4.3 Rang d'une matrice

Proposition 6. Soit A une matrice de taille (n, p). Soient B et B′ sont deux échelonnement deA. Alors PB = PB′ .

Dé�nition 12. Soit A une matrice de taille (n, p). Le nombre de pivots d'un échelonnement Bde A est égal à cardPB, donc ne dépend pas du choix de cet échelonnement : On l'appelle le rangde la matrice A, noté rg(A).

Exemple 13. Soit A =

1 1 1 11 3 −5 25 11 −13 8

. Pour calculer le rang de A, nous échelonnons la

matrice :

8 CHAPITRE 2. LA MÉTHODE DU PIVOT DE GAUSS 1 1 1 11 3 −5 25 11 −13 8

L2 ← L2 − L1

L3 ← L3 − 5.L1 1 1 1 10 2 −6 10 6 −18 3

L3 ← L3 − 3.L2 1 1 1 1

0 2 −6 10 0 0 0

. Cette matrice échelonnée contient 2 pivots, donc rg(A) = 2.

Proposition 7. Soit A une matrice de taille (n, p). Alors, rg(A) ≤ min(n, p).

Cela résulte du fait qu'il y a au plus un pivot par ligne et un pivot par colonne dans unematrice échelonnée.

2.5 Réduction d'une matrice échelonnée

2.5.1 Existence et unicité d'un échelonnement réduit

Dé�nition 13. Soit A une matrice de taille (n, p). On dira que A est échelonnée réduite si Aest échelonnée, si les pivots sont tous égaux à 1, et si chaque colonne principale de A ne possèdequ'un seul coe�cient non nul : le pivot de cette colonne. Autrement dit, A est échelonnée etchaque colonne principale de A est un vecteur de la base canonique de Rn.

Théorème 2. Soit A une matrice. Il existe un unique échelonnement réduit de A.

2.5.2 Méthode de réduction d'une matrice échelonnée

Soit A une matrice échelonnée de taille (n, p). On commence avecM = A. SiM est nulle, elleest échelonnée réduite. Sinon, on place les curseurs de ligne L sur la dernière ligne non nulle deA et le curseur de colonne C sur la colonne portant le pivot de L. Soit a la valeur de ce pivot. On

e�ectue la dilatation Li ←1

aLi pour se ramener au cas où a = 1. Puis, à l'aide de transvections

de la forme Li ← Li + λ.L, on annule tous les coe�cients dans la colonne C au-dessus du pivot.Si M n'est toujours pas réduite, on déplace le curseur de ligne L d'un cran vers le haut et lecurseur de colonne C sur la colonne portant le pivot de L. On recommence alors le processusjusqu'à ce que la matrice soit réduite.

Exemple 14. On part de la matrice échelonnée suivante. Remarquons qu'on peut mettre tousles pivots à la valeur 1 dès le départ. Nous n'indiquons que le curseur de colonne pour le pas

surcharger

1 2 3 40 −11 −13 −200 0 16 39

L2 ← −1/11 L2

L3 ← 1/16 L3 1 2 3 40 1 13/11 20/110 0 1 39/16

L1 ← L1 − 3.L3

L2 ← L2 − 13/11.L3 1 2 0 −53/160 1 0 −17/160 0 1 39/16

L1 ← L1 − 2.L2

1 0 0 −19/160 1 0 −17/160 0 1 39/16

. Cette matrice est échelonnée réduite.



Exercice 1 : Pour chacune des matrices Ai ci-dessous,

A1 =

0 1 3 4 8 −50 0 0 1 2 30 0 0 4 5 60 0 2 0 −8 9

, A2 =

0 7 −2 4 8 −51 0 0 5 2 32 0 0 3 5 40 0 2 0 −8 9

A3 =

1 0 0 5 5 70 0 1 0 2 30 0 0 0 2 30 0 0 0 0 0

, A4 =

1 2 3 4 5 60 0 0 5 2 34 0 0 5 0 70 0 −8 0 4 3

A5 =

1 2 −7 3 7 1513 27 −93 32 54 15123 48 −165 56 92 263

, A6 =

1 2 5 12 7 4 5−1 1 7 7−3 4 3 5

1) Donner les profondeurs des lignes de Ai. La matrice Ai est-elle échelonnée ?

2) Calculer un échelonnement Mi de Ai.

3) Déterminer les colonnes principales et les colonnes auxiliaires de Mi.

4) Donner le rang de Ai.

5) Calculer l'échelonnement réduit Bi de Ai.

Exercice 2 : Soit M une matrice de taille (n, p). Si 1 ≤ q ≤ p, on note Mq la matrice forméedes q premières colonnes de M .

1) Véri�er que si 1 ≤ k ≤ n, alors jk(Mq) = min(jk(M), q).

2) En déduire que si M est échelonnée, alors Mq est échelonnée.

Exercice 3 : Expliquer comment calculer un échelonnement d'une matrice quelconque seulementavec des transvections.Exercice 4 : Pour toute matrice A de taille (n, p) et pour tout q ∈ {1, . . . , p}, on note Vq(A) lesous-espace vectoriel engendré par les q premières colonnes de A. On note par ailleurs (~e1, . . . , ~en)la base canonique de Rn.

1. Véri�er que ∀A ∈Mn,p ∀q ∈ {1, . . . , p− 1} Vq(A) ⊂ Vq+1(A).

2. Véri�er que ∀A ∈Mn,p ∀q ∈ {1, . . . , p− 1} Vq(A) = Vq+1(A) ⇐⇒ Cq+1(A) ∈ Vq(A).

3. On suppose ici que A est une matrice échelonnée réduite de taille (n, p). On note j0(A) = 0.Véri�er que si 0 ≤ k ≤ n− 1 et si jk(A) < q ≤ jk+1(A), alors Vq(A) = vect (~e1, . . . , ~ek)

4. Soit A une matrice de taille (n, p) et B une matrice déduite de A par une opérationélémentaire sur les lignes. Véri�er que ∀q ∈ {1, . . . , p − 1} Vq(A) = Vq+1(A) ⇐⇒Vq(B) = Vq+1(B).

5. En déduire une preuve de la proposition 6 du chapitre 2.

10 CHAPITRE 2. LA MÉTHODE DU PIVOT DE GAUSS

Chapitre 3

Résolution des systèmes linéaires

Soit p ≥ 1 un entier. Une équation linéaire d'inconnues (x1, . . . , xp) est une équation de laforme

a1.x1 + · · ·+ ap.xp = b

Les ai et le coe�cient b sont des constantes réelles. Un système linéaire d'inconnues (x1, . . . , xp)est une suite �nie d'équations linéaires en ces inconnues. Une solution du système est un vecteurde Rp solution de chacune des équations formant le système. On présente traditionnellement untel système linéaire S à n équations comme suit :

S :

a1,1x1 + . . . + a1,pxp = b1

...an,1x1 + . . . + an,pxp = bn

Exemple 15. Le système d'équations à deux équations et trois inconnues x, y et z ci-dessousest linéaire : {

2x + y + 3z = 213x + 2y + 5z = 32

3.1 Généralités sur les systèmes linéaires

3.1.1 Matrices associées à un système

On reprend les notations précédentes. Notons A la matrice de taille (n, p) dont les coe�cientssont les ai,j , où 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p. On dit que A est la matrice du système S.On appelle matrice augmentée du système S la matrice de taille (n, p+ 1) :

(A|b) =

a1,1 . . . a1,p b1...

......

an,1 . . . an,p bn

Exemple 16. On reprend le système de l'exemple 15. Sa matrice est A =

(2 1 33 2 5

). Sa

matrice augmentée est (A|b) =

(2 1 3 213 2 5 32

).

11

12 CHAPITRE 3. RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES

3.1.2 Ensemble des solutions d'un système

L'ensemble des solutions du système S est la partie de Rp ci-dessous :

Sol(S) = Sol(A|b) = { (t1, . . . , tp) ∈ Rp : ∀i ∈ {1, . . . , n} ai,1t1 + · · ·+ ai,ptp = bi }

Nous dirons d'un système S qu'il est compatible si Sol(S) 6= ∅.

Proposition 8. Soient S et S′ deux systèmes linéaires, de matrices augmentées (A|b) et (A′|b′)respectivement. Si la matrice (A′|b′) peut de déduire de (A|b) par une suite d'opérations élémen-taires sur les lignes, alors Sol(S′) = Sol(S).

Exemple 17. Calculons l'ensemble des solutions du système de l'exemple 15 : On applique laméthode du pivot de Gauss pour obtenir une matrice échelonnée réduite. La proposition précédenteassure que l'ensemble des solutions n'est pas modi�é par les opérations sur les lignes e�ectuées.(

2 1 3 213 2 5 32

)L2 ← L2 − 3

2L1(2 1 3 210 1/2 1/2 1/2

)L1 ← 1/2.L1

L2 ← 2.L2(1 1/2 3/2 21/20 1 1 1

)L1 ← L1 − 1/2.L2(

1 0 1 100 1 1 1

)Ainsi, l'ensemble des solutions cherché est aussi l'ensemble des solutions du système{

x + z = 10y + z = 1

⇐⇒{x = 10− zy = 1− z

Donc Sol(S) = {(10− z, 1− z, z) : z ∈ R}.

3.2 Description de l'ensemble des solutions d'un système

linéaire

Lemme 1. Soit M une matrice échelonnée réduite de taille (n, p), et S = (M |b) un système dematrice M . Notons r le nombre de pivots de la matrice M . Si 1 ≤ k ≤ r, la k-ième équation du

système S s'écrit xjk+1 +∑

q∈AM

M [k, q]xq = bk. Si r + 1 ≤ k ≤ n, la k-ième équation du système

s'écrit 0 = bk.

Théorème 3. Soit M une matrice échelonnée réduite de taille (n, p). Si q ∈ PM , la colonne Cq

possède un seul pivot, et on note iq le numéro de ligne de ce pivot. Soit b un vecteur de Rn. Onnote S le système de matrice augmentée (M |b).

[1] Le système S est compatible si et seulement si, pour chaque ligne nulle Li de la matrice A,le coe�cient bi est nul.

[2] Supposons S compatible. Si (tj)j∈AM∈ RAM , il existe une unique solution du système

satisfaisant xj = tj pour tout j ∈ AM . Ses coordonnées principales sont données par laformule

∀q ∈ P xq = biq −∑

j∈AM

M [iq, j].tj (3.1)

3.2. DESCRIPTION DE L'ENSEMBLE DES SOLUTIONS D'UN SYSTÈME LINÉAIRE 13

Exemple 18. Nous allons résoudre le système linéaire d'inconnues x, y, z et t donné par x + y + z − 5t = 163x + 3y + z − 9t = 362x + 2y − z − t = 14

Nous commençons par mettre sa matrice sous forme échelonnée réduite : 1 1 1 −5 163 3 1 −9 362 2 −1 −1 14

L2 ← L2 − 3L1

L3 ← L3 − 2L1 1 1 1 −5 160 0 −2 6 −120 0 −3 9 −18

L3 ← L3 − 3

2L2 1 1 1 −5 160 0 −2 6 −120 0 0 0 0

L2 ← − 12L2

Ce dernier système est sous forme échelonnée. Les variables auxiliaires sont y et t. Les variablesprincipales sont x et z. 1 1 1 −5 16

0 0 1 −3 60 0 0 0 0

L1 ← L1 − L2

1 1 0 −2 100 0 1 −3 60 0 0 0 0

: On obtient

x + y − 2t = 10z − 3t = 6

0 = 0

Ainsi (x, y, z, t) est solution du système si et seulement si

{x = 10− y + 2tz = 6 + 3t

.

L'ensemble des solutions est donc { (10− y + 2t, y, 6 + 3t, t) : (y, t) ∈ R2 }.

Corollaire 1. Critère de compatibilité pour un système échelonné

Soit S un système échelonné de matrice augmentée (A|b). Alors S est compatible si et seulementsi, pour toute ligne nulle Li de la matrice A, le coe�cient bi correspondant au second membreest nul.

Exemple 19. Nous allons véri�er que le système

x + y + z = 23x + 2y + z = −4−x + z = 7

est incom-

patible : 1 1 1 23 2 1 −4−1 0 1 7

L2 ← L2 − 3L1

L3 ← L3 + L1 1 1 1 20 −1 −2 −100 1 2 9

L3 ← L3 + L2 1 1 1 2

0 −1 −2 −100 0 0 −1

En regardant la dernière ligne, on obtient l'équation 0 = −1 qui n'a clairement pas de solution :Le système est bien incompatible.


3.3 Structure de l'ensemble des solutions d'un système

3.3.1 Le cas particulier d'un système homogène : Noyau d'une matrice

Dé�nition 14. Un système linéaire est homogène lorsque tous ses seconds membres sont nuls.

Théorème 4. Soit S un système linéaire homogène à p inconnues. Alors son ensemble dessolutions est un sous-espace vectoriel de Rp. En particulier, S est compatible : Il admet la solutionnulle.

Dé�nition 15. Soit A une matrice de taille (n, p). On appelle noyau de A le sous-espace vectorielde Rp formé des solutions du système (A|~0n). On note

ker(A) = Sol(A|~0n)

Théorème 5. Soit M une matrice échelonnée réduite de taille (n, p). Si j ∈ AM , notons ~sjl'unique vecteur de ker(M) satisfaisant xj = 1 et xl = 0 si l ∈ AM et l 6= j.

∀~s ∈ ker(M) ∃!(tj)j∈AM∈ RAM ~s =

∑j∈AM

tj .~sj

Nous dirons que la famille (~sj)j∈AMest une base de ker(M).

Exemple 20. Considérons le système linéaire homogène de matrice échelonnée réduite : 1 0 −8 2 0 −90 1 −3 −5 0 40 0 0 0 1 −1

Les variables auxiliaires sont x3, x4 et x6. Construisons la base de solutions (~s3, ~s4, ~s6) donnéepar le théorème précédent :Le vecteur ~s3 s'obtient en résolvant le système avec les conditions supplémentaires x3 = 1, x4 = 0et x6 = 0. On trouve ~s3 = (8, 3, 1, 0, 0, 0).Le vecteur ~s4 s'obtient en résolvant le système avec les conditions supplémentaires x3 = 0, x4 = 1et x6 = 0. On trouve ~s4 = (−2, 5, 0, 1, 0, 0).Le vecteur ~s6 s'obtient en résolvant le système avec les conditions supplémentaires x3 = 0, x4 = 0et x6 = 1. On trouve ~s6 = (9,−4, 0, 0, 1, 1).

3.3.2 Cas général

Dé�nition 16. Une partie D de Rp est un sous-espace a�ne de Rp s'il existe un vecteur ~u0et un sous-espace vectoriel V de Rp tels que

∀~u ∈ Rp ~u ∈ D ⇐⇒ (~u− ~u0) ∈ V

Nous dirons que D est le sous-espace a�ne de direction V passant par ~u0.

Théorème 6. Soit S un système linéaire, de matrice augmentée (A|b). Si ~s0 est une solutionparticulière de S, Sol(S) est le sous-espace a�ne de direction ker(A) passant par ~s0.

Compte tenu de la description des solutions d'un système homogène, on obtient �nalement le

3.4. QUELQUES CONSÉQUENCES DE LA STRUCTURE DES SOLUTIONS 15

Théorème 7. Soit S un système linéaire compatible, de matrice augmentée (A|b) échelonnéeréduite, de taille (n, p). Soit ~s0 = (x0, . . . , xn) l'unique solution du système S telle que xj = 0 sij ∈ A. Notons (~sj)j∈A la base de solutions de ker(A) construite au théorème 5. Alors

Sol(S) = { ~s0 +∑j∈A

tj .~sj : (tj)j∈A ∈ RA }

Ainsi, pour résoudre un système linéaire quelconque, il su�t de le mettre sous forme éche-lonnée réduite. On lit directement sous cette forme une solution particulière s'il est compatible,et une base de solutions du système homogène associé.

Exemple 21. Nous allons résoudre le système linéaire : x1 + 4x2 − 22x3 + x4 + 9x5 = 335x1 + x2 − 15x3 − 16x5 = 172x1 + x2 − 9x3 + x4 − 7x5 = 14

On commence par mettre le système sous forme échelonnée réduite : 1 4 −22 1 9 335 1 −15 0 −16 172 1 −9 1 −7 14

L2 ← L2 − 5.L1

L3 ← L3 − 2.L1 1 4 −22 1 9 330 −19 95 −5 −61 −1480 −7 35 −1 −25 −52

L3 ← L3 − 7

19 .L2 1 4 −22 1 9 330 −19 95 −5 −61 −148

0 0 016

19−48

19

48

19

L2 ← − 119 .L2

L3 ← 1916 .L3 1 4 −22 1 9 33

0 1 −55

19

61

19

148

190 0 0 1 −3 3

L1 ← L1 − L3

L2 ← L2 − 519 .L3

1 4 −22 0 12 300 1 −5 0 4 70 0 0 1 −3 3

L1 ← L1 − 4L2

1 0 −2 0 −4 20 1 −5 0 4 70 0 0 1 −3 3

Ce système échelonné n'a aucune ligne nulle, donc il est compatible. Une solution particulièreest donnée en résolvant le système avec les conditions supplémentaires x3 = x5 = 0. On trouve~s0 = (2, 7, 0, 3, 0). Par ailleurs, une base de solutions du système homogène associé est donnéepar les vecteurs ~s3 = (2, 5, 1, 0, 0) et ~s5 = (4,−4, 0, 3, 1)). Les solutions du système sont donc lesvecteurs de la forme :

~s0 + α.~s3 + β.~s5 = (2 + 2α+ 4β, 7 + 5α− 4β, α, 3 + 3β, β)

où α et β sont des scalaires quelconques.

3.4 Quelques conséquences de la structure des solutions

Proposition 9. Soit S = (A|b) un système compatible à p inconnues. Alors S possède une seulesolution si et seulement si rg(A) = p.


Proposition 10. Soit A une matrice de taille (n, p). Tout système de matrice A est compatiblesi et seulement si rg(A) = n.


Exercice 1 : Pour chacun des systèmes ci-dessous,

a) Déterminer s'il est compatible

b) S'il est compatible, donner l'ensemble de ses solutions.

c) S'il est compatible, donner une solution particulière et une base de solutions du systèmehomogène associé

1.

x + 2y + 3z = 102x + y − z = 3−x + 3y + 2z = 5

2.

3x − 4y + 5z = 17x − 2y − 4z = 3−x − 6y + 14z = 8

3.

6x + 10y + 4z − 7t = −337x + 9y + 10z + 12t = 574x + 5y + 6z + 8t = 38

4.

6x1 + 6x2 + 2x3 − 58x4 + x5 = 533x1 + 3x2 + x3 − 29x4 + x5 = 315x1 + 5x2 + 2x3 − 50x4 + x5 = 483x1 + 3x2 − 24x4 + x5 = 24

5.

4x + 5y + 3z + 21y = 183x + 3y + 4z + 27t = 102x + 2y + 3z + 20t = 1018x + 22y + 15z + 104t = 85

Exercice 2 : Trouver tous les polynômes f(x) = ax3 + bx2 + cx + d satisfaisant f(−1) = 0,f(0) = 5, f(1) = 4 et f ′(1) = 0.

Exercice 3 : On considère un rectangle satisfaisant les conditions suivantes : Si on augmente de5 m la largeur d'un rectangle et de 4 m sa longueur, son aire augmente de 180 m2. Si on diminuesa largeur de 2 m et sa longueur de 3 m, l'aire diminue de 72 m2. Calculez les dimensions durectangle.Exercice 4 : Soit D un sous-espace a�ne de Rn de direction V . Véri�er qu'alors

∀~v ∈ Rn ~v ∈ V ⇐⇒ ( ∃~u1 ∈ D ∃~u2 ∈ D ~v = ~u2 − ~u1 )

En déduire que la direction de D est entièrement déterminée par V .Exercice 5 : On note E l'ensemble des applications de f : R→ R satisfaisant

∃(α, β) ∈ R2 ∀x ∈ R f(x) = α cosx+ β sinx

1. Montrer que les scalaires α et β sont uniquement déterminés par f .

2. Véri�er que toutes les fonctions f de E sont dérivables.

3. Montrer qu'il existe une unique fonction f de E telle que f(π

4) = 1 et f ′(

π

6) = 3.

Chapitre 4

Familles de vecteurs de Rn

4.1 Généralités sur les familles de vecteurs de Rn

Fixons une famille F = (~u1, . . . , ~up) de vecteurs de Rn.

Dé�nition 17. On dit que F est libre, ou encore linéairement indépendante, si

∀(α1, . . . , αp) ∈ Rp α1.u1 + · · ·+ αp.up = ~0n ⇒ α1 = · · · = αp = 0

Autrement dit, la seule combinaison linéaire de la famille F donnant le vecteur nul est celle donttous les coe�cients sont nuls. Par convention, la famille vide est libre.Dans le cas contraire, on dit que F est liée ou linéairement dépendante.

Exemple 22. Notons ~u = (1, 1), ~v = (1, 2), et ~w = (1, 3). Nous allons véri�er que la famille(~u,~v) est libre et que la famille (~u,~v, ~w) est liée :Pour voir le premier point, soient α et β des scalaires. Alors α.~u+ β.~v = (α+ β, α+ 2β). Donc,si α.~u+β.~v = ~0, on a α+β = 0 et α+ 2β = 0. On a alors β = (α+ 2β)− (α+β) = 0− 0 = 0 etensuite α = α+ 0 = α+ β = 0. La famille (~u,~v) est libre. Pour voir le second point, soient α, βet γ des scalaires. Alors α.~u+ β.~v + γ.~w = (α+ β + γ, α+ 2β + 3γ). Donc α.~u+ β.~v + γ.~w = ~0si et seulement si (α, β, γ) est solution du système homogène de matrice :(

1 1 11 2 3

)L2 ← L2 − L1(

1 1 10 1 2

)L1 ← L1 − L2 .(

1 0 −10 1 2

).

La colonne C3 est l'unique colonne auxiliaire. Une base de solutions du système est donné par levecteur (1,−2, 1). En particulier, ~u− 2~v + ~w = ~0. La famille (~u,~v, ~w) est donc liée.

Dé�nition 18. Soit V un sous-espace vectoriel de Rn contenant les vecteurs de la famille F .On rappelle que F est génératrice de V si de plus tout vecteur de V est combinaison linéaire dela famille F . On dit que F est une base de V si c'est une famille libre et génératrice de V . Parconvention, pour V = {~0}, son unique base est la famille vide.

Exemple 23. La base canonique de Rn est une base de Rn.

17

18 CHAPITRE 4. FAMILLES DE VECTEURS DE RN

Théorème et dé�nition 1. Soit B = (~e1, . . . , ~ed) une base d'un sous-espace vectoriel V de Rn.Alors tout vecteur de V s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire de la famille B :

∀~v ∈ V ∃!(α1, . . . , αd) ∈ Rd ~v = α1.~e1 + · · ·+ αd.~ed

Le scalaire αi est la i-ième coordonnée de ~v dans la base B.

Exemple 24. Reprenons les notations de l'exemple 22. On a déjà vu que la famille (~u,~v) estlibre. Montrons qu'elle est également génératrice, autrement dit une base de R2. Soit (x, y) ∈ R2.Le vecteur (x, y) est combinaison linéaire de la famille (~u,~v) si et seulement si il existe desscalaires α et β tels que (x, y) = α.~u+ β.~v = (α+ β, α+ 2β). Cela revient à dire que le système

de matrice augmentée

(1 1 x1 2 y

)est compatible. Véri�ons le :(

1 1 x1 2 y

)L2 ← L2 − L1(

1 1 x0 1 y − x

)L1 ← L1 − L2(

1 0 2x− y0 1 y − x

)Ce système possède donc une unique solution : α = 2x−y et β = y−x. En particulier, on obtient

∀(x, y) ∈ R2 (x, y) = (2x− y).~u+ (y − x).~v ∈ vect (~u,~v)

Ainsi, la famille (~u,~v) engendre R2 : C'est une base de R2. Les coordonnées du vecteur (x, y)dans la base B = (~u,~v) sont (2x− y) et (y − x) d'après l'équation ci-dessus.

4.2 Matrice d'une famille de vecteurs dans une base

Fixons un sous-espace vectoriel V de Rn, et soit B = (~e1, . . . , ~ed) une base de V . Si F =(~v1, . . . , ~vp) est une famille de vecteurs de V , nous noterons ai,j la i-ième coordonnée du vecteur~vj dans la base B, pour 1 ≤ i ≤ d et 1 ≤ j ≤ p. Autrement dit,

∀j ∈ {1, . . . , p} ~vj =

d∑i=1

ai,j .~ei

On obtient ainsi une matrice de taille (d, p) notée MatB(~v1, . . . , ~vp) = (ai,j)1≤i≤d,1≤j≤p. Sa j-ièmecolonne donne les coordonnées du vecteur ~vj dans la base B. On dira que c'est la matrice de

la famille F dans la base B de V .

Exemple 25. On reprend la base B = (~u,~v) de l'exemple 24. Posons ~w1 = (4, 7) et ~w2 = (5, 6).

Comme ~w1 = 1.~u+ 3.~v et ~w1 = 4.~u+ 1.~v, on obtient MatB(~w1, ~w2) =

(1 43 1

).

Proposition 11. Caractérisation matricielle des familles libres

Soit V un sous-espace vectoriel de Rn, et soit B = (~e1, . . . , ~ed) une base de V . Si (~v1, . . . , ~vp) estune famille de vecteurs de V , soit A = MatB(~v1, . . . , ~vp). Les assertions suivantes sont équiva-lentes :

[1] La famille (~v1, . . . , ~vp) est libre.

[2] Le système homogène de matrice A possède une unique solution (la solution nulle).

[3] rg(A) = p

4.3. DIMENSION D'UN SOUS-ESPACE VECTORIEL DE RN 19

Proposition 12. Caractérisation matricielle des familles génératrices

Soit V un sous-espace vectoriel de Rn, et soit B = (~e1, . . . , ~ed) une base de V . Si (~v1, . . . , ~vp) estune famille de vecteurs de V , soit A = MatB(~v1, . . . , ~vp). Les assertions suivantes sont équiva-lentes :

[1] La famille (~v1, . . . , ~vp) est génératrice de V .

[2] Tout système de matrice A est compatible.

[3] rg(A) = d

Corollaire 2. Soit V un sous-espace vectoriel de Rn possédant une base à d vecteurs. Soit(~v1, . . . , ~vp) ∈ V p. Alors,

[1] Si (~v1, . . . , ~vp) est une famille libre, alors p ≤ d.[2] Si (~v1, . . . , ~vp) est une famille génératrice de V , alors p ≥ d.

4.3 Dimension d'un sous-espace vectoriel de Rn

Théorème 8. Soit V un sous-espace vectoriel de Rn. Il existe au moins une base de V .

Théorème et dé�nition 2. Soit V un sev de Rn. Toutes les bases de V ont le même nombred de vecteurs. On appelle ce nombre la dimension de V , et on note dim(V ) = d.

Cela résulte immédiatement du corollaire 2.

Exemple 26. dim(Rn) = n car la base canonique de Rn contient n vecteurs.

Proposition 13. Soient V et W des sev de Rn satisfaisant V ⊂W . Alors :

[1] dim(V ) ≤ dim(W ).

[2] Si dim(V ) = dim(W ), alors V = W .

4.4 Calcul d'une base de l'image d'une matrice et interpré-

tation du rang

Dé�nition 19. Soit A une matrice de taille (n, p). On appelle image de la matrice A le sous-espace vectoriel de Rn engendré par les vecteurs colonnes de A. On note

im(A) = vect ( C1(A), . . . , Cp(A) )

Proposition 14. Soit A une matrice de taille (n, p) et ~v un vecteur colonne de Rn. Alors

~v ∈ im(A) ⇐⇒ le systeme (A|~v) est compatible.

En e�et, (x1, . . . , xp) est une solution de (A|~v) si et seulement si

p∑j=1

xj .Cj(A) = ~v.

Théorème 9. Soit A une matrice de taille (n, p). Soit P l'ensemble des colonnes principalesd'un échelonnement B de A. Alors ( Cj(A) )j∈P est une base de im(A). En particulier,

dim im(A) = rg(A)


Exemple 27. Pour trouver une base de l'image de A =

1 3 5 21 2 4 11 −4 −2 −5

, on commence

par échelonner : 1 3 5 21 2 4 11 −4 −2 −5

L2 ← L2 − L1

L3 ← L3 − L1 1 3 5 20 −1 −1 −10 −7 −7 −7

L3 ← L3 − 7.L2 1 3 5 2

0 -1 −1 −10 0 0 0

On a P = {1, 2}, donc ((1, 1, 1), (3, 2,−4)) est une base de im(A).

4.5 Compléter une famille libre en une base

Théorème 10. Théorème de la base incomplète

Soit V un sous-espace vectoriel de Rn. Soit B une base de V . Soit L une famille libre de V .Alors, on peut compléter L avec des vecteurs de la base B pour obtenir une base de V contenantcette famille libre.

Exemple 28. La famille ( ~u = (1, 2, 3, 4) , ~v = (1, 1, 2, 5) ) est libre. On échelonne la matricesuivante dont l'image est égale à R4 : Ces 4 dernières colonnes forment la base canonique.

1 1 1 0 0 02 1 0 1 0 03 2 0 0 1 04 5 0 0 0 1

L2 ← L2 − 2.L1

L3 ← L3 − 3.L1

L4 ← L4 − 4.L11 1 1 0 0 00 −1 −2 1 0 00 −1 −3 0 1 00 1 −4 0 0 1

L3 ← L3 − L2

L4 ← L4 + L21 1 1 0 0 00 −1 −2 1 0 00 0 −1 −1 1 00 0 −6 1 0 1

L4 ← L4 − 6.L3

1 1 1 0 0 0

0 -1 −2 1 0 0

0 0 -1 −1 1 0

0 0 0 7 −6 1

. On a P = {1, 2, 3, 4}. Donc, en notant ~e1 = (1, 0, 0, 0) et

~e2 = (0, 1, 0, 0), la famille (~u,~v,~e1, ~e2) est une base de R4 qui complète la famille libre (~u,~v).

4.6 Le théorème du rang

Théorème 11. Théorème du rang.Soit A une matrice de taille (n, p). Alors dim ker(A) + rg(A) = p



Exercice 1 : Pour chacune des familles de vecteur Fk de Rnk ci-dessous,

� F1 = ( (1, 2, 3) , (2,−3, 4) ), n1 = 3.� F2 = ( (1,−5) , (3, 8), (7,−4) ), n2 = 2.� F3 = ( (4,−5, 6) , (6, 2, 1), (0,−11, 16) ), n3 = 3.� F4 = ( (1, 1, 1, 1) , (1, 2, 5,−9), (3, 2, 1, 4) ), n4 = 4.

1) Donner la matrice de la famille Fk dans la base canonique de Rnk .

2) Déterminer si la famille Fk est libre ou liée.

3) Si Fk est liée, donner une relation de dépendance linéaire entre ses vecteurs.

4) Déterminer si la famille Fk est génératrice de Rnk .

5) Si Fk n'est pas génératrice de Rnk , donner une condition nécessaire et su�sante pour qu'unvecteur de Rnk soit combinaison linéaire de la famille Fk.

Exercice 2 : Soit F = (~u1, ~u2, ~u2, ~u4, ~u5), où

~u1 = (1, 2, 3, 4), ~u2 = (−1, 5, 0, 7), ~u3 = (1, 9, 6, 15), ~u4 = (4, 7, 3, 1), ~u5 = (4, 21, 9, 23)

1) Donner la matrice de la famille F dans la base canonique de R4.

2) Donner une base de vect F . Quelle est sa dimension ?

Exercice 3 : A =

1 3 5 2 −3 5 710 −7 13 0 2 1 −8−5 4 −6 5 3 −2 6

1) Donner une base et la dimension de ker(A).

2) Compléter cette base de ker(A) en une base de R7.

Exercice 4 : Soit V un sous espace vectoriel de Rn et (e1, . . . , ed) une base de V . Soient(ed+1, . . . , en) une famille de vecteurs de Rn telle que la famille (e1, . . . , en) soit une base deRn. Montrer que W = vect (ed+1, . . . , en) est un supplémentaire de V .

Exercice 5 : Soit A =

1 2 3 4 5−2 1 0 6 71 8 −5 4 6−3 −19 21 2 −1

. En utilisant le résultat précédent, trouver

un supplémentaire W de im(A) dans R4 et un supplémentaire V de ker(A) dans R5.


Chapitre 5

Matrices

On note Mn,p l'ensemble des matrices de taille (n, p). Si n = p, on notera plus simplementMn =Mn,n.

5.1 Mn,p est un espace vectoriel

On dé�nit une addition surMn,p par : a1,1 . . . a1,p...

...an,1 . . . an,p

+

b1,1 . . . b1,p...

...bn,1 . . . bn,p

=

a1,1 + b1,1 . . . a1,p + b1,p...

...an,1 + bn,1 . . . an,p + bn,p

On dé�nit une multiplication externe par un scalaire λ par :

λ.

a1,1 . . . a1,p...

...an,1 . . . an,p

=

λa1,1 . . . λa1,p...

...λan,1 . . . λan,p

Propriétés 2. Soient A, B et C des matrices de taille (n, p). Soient λ ∈ R et µ ∈ R. Alors,

[1] (A+B) + C = A+ (B + C).

[2] A+B = B +A

[3] A+ 0n,p = 0n,p +A = A

[4] A+ (−1).A = 0n,p

[5] λ.(A+B) = λ.A+ λ.B

[6] (λ+ µ).A = λ.A+ µ.A

[7] (λµ).A = λ.(µ.A)

[8] 1.A = A

5.2 Produit de deux matrices

On va dé�nir un produit A.B de deux matrices A et B seulement si la condition suivante estsatisfaite : Le nombre de colonnes de A coïncide avec le nombre de lignes de B. Oncommence par dé�nir le cas particulier où B est un vecteur colonne.

23

24 CHAPITRE 5. MATRICES

Dé�nition 20. Soient n ≥ 1 et p ≥ 1 des entiers, on dé�nit une applicationMn,p × Mp,1 −→ Mn,1

( A , X ) 7−→ A.Xen posant

A.

x1...xp

=

p∑j=1

xjCj(A) =

p∑j=1

xj

A[1, j]...

A[n, j]

=

p∑j=1

A[1, j]xj

...p∑

j=1

A[n, j]xj

On dit que A.X est le produit de la matrice A par la matrice colonne X.

Exemple 29.

(1 7 22 −3 6

).

−112

= (−1).

(12

)+ 1.

(7−3

)+ 2.

(26

)=

(107

)Propriétés 3. On considère deux matrices A et B de taille (n, p), deux vecteurs colonnes X etY de hauteur p, et un scalaire λ ∈ R. Alors,

[1] A.(X + Y ) = A.X +A.Y

[2] (A+B).X = A.X +B.X

[3] A.(λ.X) = λ.(A.X) = (λ.A).X

Dé�nition 21. Soient n, p et q des entiers strictement positifs. Soient A une matrice de taille(n, p) et B une matrice de taille (p, q). Si 1 ≤ k ≤ q, la colonne Ck(B) est de hauteur p, doncon peut former le vecteur colonne A.Ck(B)de hauteur n. Il existe une unique matrice notée A.Bde taille (n, q) dont la k-ième colonne est A.Ck(B) pour 1 ≤ k ≤ q. On a ainsi construit uneapplication

Mn,p × Mp,q −→ Mn,q

( A , B ) 7−→ A.B

Proposition 15. Calcul d'un produit de matrices.

Soient n, p et q des entiers strictement positifs. Alors, si A ∈Mn,p et ∀B ∈Mp,q,

∀i ∈ {1, . . . , n} ∀j ∈ {1, . . . , q} (A.B)[i, j] =

p∑k=1

A[i, k].B[k, j]

Exemple 30. Prenons A =

1 25 −23 7

et B =

(4 −1 5 8−2 6 8 −5

). Le nombre de colonnes

de A est 2. Le nombre de lignes de B est 2. On peut donc calculer la matrice produit A.B : Onpeut présenter les calculs comme suit :(

4−2

−16

58

8−5

)= B

A =

1 25 −23 7

024−2

11−1739

21971

−250−11

= A.B

Par exemple, A.B[1, 1] = 1.4 + 2.(−2) = 4− 4 = 0 et A.B[2, 3] = 5.5 + (−2).8 = 25− 16 = 9.

5.3. MATRICES CARRÉES INVERSIBLES 25

Propriétés 4. Soient n, p, q et r des entiers strictement positifs. Alors

[1] ∀A ∈Mn,p ∀(B,C) ∈Mp,q2 A.(B + C) = A.B +A.C.

[2] ∀(A,B) ∈Mn,p2∀C ∈Mp,q (A+B).C = A.C +B.C

[3] ∀λ ∈ R ∀A ∈Mn,p ∀B ∈Mp,q A.(λ.B) = λ.(A.B) = (λ.A).B

[4] ∀A ∈Mn,p ∀B ∈Mp,q ∀C ∈Mq,r (A.B).C = A.(B.C)

[5] ∀A ∈Mn,p In.A = A

[6] ∀A ∈Mn,p A.Ip = A

5.3 Matrices carrées inversibles

5.3.1 Généralités

Proposition et dé�nition 1. Soit U une matrice carrée de taille n. On dit que U est inversibles'il existe une matrice V telle que UV = V U = In. La matrice V est alors unique et s'appellel'inverse de U . On notera V = U−1.

Nous devons véri�er l'unicité d'une matrice V satisfaisant UV = V U = In. Supposons queW soit une autre matrice carrée de taille n satisfaisant UW = WU = In. Alors W = W.In =W.(U.V ) = (W.U).V = In.V = V

Exemple 31. La matrice unité In est inversible, et est son propre inverse, car I2n = In.

Exemple 32. Soit D une matrice diagonale. Autrement dit, D[i, j] = 0 si i 6= j. Alors D estinversible si et seulement si ∀i ∈ {1, . . . , n} D[i, i] 6= 0. De plus, dans ce cas,

D−1 =

D[1, 1]−1 0. . .

0 D[n, n]−1

Proposition 16. Soient P et Q deux matrices inversibles de taille n. Alors PQ est inversible,d'inverse (PQ)−1 = Q−1P−1.

En e�et, (Q−1P−1)(PQ) = Q−1(P−1P )Q = Q−1InQ = Q−1Q = In et PQ(Q−1P−1) =P (QQ−1)P−1 = PInP

−1 = PP−1 = In. La matrice Q−1P−1 est donc l'inverse de la matricePQ.

Proposition 17. Soient U et V des matrices carrées de taille n. Alors U.V = In ⇔ V.U = In.

5.3.2 Matrice d'une opération élémentaire sur les lignes

Dé�nition 22. La matrice d'une opération élémentaire sur les lignes est la matrice obtenue enappliquant cette opération à la matrice identité In.

Proposition 18. Soit U la matrice d'une opération élémentaire sur les lignes.

[1] La matrice U est inversible.

[2] Soit A une matrice de taille (n, p). Le produit UA s'identi�e à la matrice déduite de A ene�ectuant cette opération élémentaire.

Corollaire 3. Soit A une matrice de taille (n, p) et B un échelonnement de A. Il existe unematrice inversible U telle que B = U.A.


5.3.3 Critères d'inversibilité

Théorème 12. Soit U une matrice carrée de taille n. Les assertions suivantes sont équivalentes :

[1] La matrice U est inversible.

[2] Il existe une matrice carrée V telle que V.U = In.

[3] ker(U) = {~0n}.[4] rg(U) = n.

[5] im(U) = Rn.

[6] Il existe une matrice carrée V telle que U.V = In.

[7] L'échelonnement réduit de U est la matrice In.

En particulier, toute matrice inversible peut de décomposer en un produit de matrices d'opérationsélémentaires sur les lignes.

Corollaire 4. Soient A et B deux matrices de taille (n, p). On peut déduire la matrice B dela matrice A par une suite d'opérations élémentaires sur les matrices si et seulement si il existeune matrice inversible U telle que B = UA.

Corollaire 5. Soit A une matrice de taille (n, p). Il existe une matrice inversible U de taillen telle que U.A soit échelonnée. Pour calculer une telle matrice, on peut employer la méthodesuivante : On forme la matrice (A|In) et on opère sur les lignes jusqu'à obtenir une matrice(A′|P ), où A′ est un échelonnement de A. La matrice P est inversible et satisfait P.A = A′.

5.3.4 Calcul de l'inverse : Méthode de Gauss-Jordan

Théorème 13. Soit U une matrice carrée inversible de taille n. On forme la matrice A = (U |In)de taille (n, 2n). On applique à A la méthode du pivot de Gauss pour mettre la matrice U sousforme échelonnée réduite. On obtient alors la matrice A′ = (In|U−1).

Exemple 33. Soit U =

1 2 32 7 63 1 5

. Nous allons appliquer la méthode de Gauss-Jordan pour

véri�er que U est inversible, et calculer son inverse : 1 2 3 1 0 02 7 6 0 1 03 1 5 0 0 1

L2 ← L2 − 2L1

L3 ← L3 − 3L1 1 2 3 1 0 00 3 0 −2 1 00 −5 −4 −3 0 1

L3 ← L3 + 5

3L2 1 2 3 1 0 00 3 0 −2 1 00 0 −4 −19/3 5/3 1

L2 ← 1/3.L2

L3 ← −1/4.L3

Cette dernière matrice est échelonnée avec 3 pivots, donc de rang 3. Ainsi U est de rang 3, etdonc inversible. On poursuit le pivot de Gauss pour obtenir une matrice échelonnée réduite : 1 2 3 1 0 0

0 1 0 −2/3 1/3 00 0 1 19/12 −5/12 −1/4

L1 ← L1 − 3L3

5.4. CALCUL DE L'IMAGE D'UNE MATRICE 27 1 2 0 −15/4 5/4 3/40 1 0 −2/3 1/3 00 0 1 19/12 −5/12 −1/4

L1 ← L1 − 2L2

1 0 0 −29/12 7/12 3/40 1 0 −2/3 1/3 00 0 1 19/12 −5/12 −1/4

. Ainsi, U−1 =

−29/12 7/12 3/4−2/3 1/3 019/12 −5/12 −1/4

5.4 Calcul de l'image d'une matrice

Théorème 14. Soit A une matrice de taille (n, p) de rang r. Soit U une matrice inversible detaille n telle que UA soit échelonnée. Alors

im(A) = ker

U [r + 1, 1] . . . U [r + 1, p]...

...U [n, 1] . . . U [n, n]

Exemple 34. A =

1 51 −61 51 7

. On commence par calculer U :

1 5 1 0 0 01 −6 0 1 0 01 5 0 0 1 01 7 0 0 0 1

L2 ← L2 − L1

L3 ← L3 − L1

L4 ← L4 − L11 5 1 0 0 00 −11 −1 1 0 00 0 −1 0 1 00 2 −1 0 0 1

L4 ← 11.L4 + 2.L2

1 5 1 0 0 00 −11 −1 1 0 00 0 −1 0 1 00 0 −13 2 0 11

Ainsi, l'image de A est égale à ker

(−1 0 1 0−13 2 0 11

). Autrement dit,

x1x2x3x4

∈ im(A) ⇐⇒ −x1 + x3 = 0 et − 13x1 + 2x2 + 11x4 = 0


Exercice 1 : On considère les matrices suivantes :

A =

2 5 43 1 −57 0 31 2 0

, B =

1 72 −93 1

, C =

0 5 6 12 5 8 4−2 0 4 0


Calculer tous les produits de matrices possibles avec ces 3 matrices.


(2 3−5 6

)et B =

(7 12 4

). Calculer AB et BA. Le produit de

matrices dansM2 est-il commutatif ?


0 1 20 0 50 0 0

. Calculer A2 et A3. Que remarquez vous ?

Exercice 4 : Soient A et B des matrices tels que le produit AB ait un sens. Véri�er queker(B) ⊂ ker(AB) et que im(AB) ⊂ im(A).

Exercice 5 : Considérons la matrice A =

17 −240 9618 −269 10842 −630 253

.

1) Véri�er que A2 = I3.

2) On pose V = ker(A − I3). Véri�er que V est de dimension 2 et donner une base (~u1, ~u2)de V .

3) On pose W = ker(A+ I3). Véri�er que W est de dimension 1 et donner une base ~u3 de W .

4) Véri�er que B = (~u1, ~u2, ~u3) est une base de R3.

5) Soit P de la base B dans la base canonique de R3. Justi�er sans calcul que P est inversible,puis calculer P−1.

6) Calculer D = P−1AP . Que remarquez-vous ?

Exercice 6 : Soit M une matrice carrée de taille d. On rappelle que M0 = Id.

1) Véri�er que, pour tout entier n ≥ 1, (Id +M)

n∑k=0

(−1)kMk = Id + (−1)k+1Mk+1.

2) On suppose que M est nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe un entier q ≥ 1 tel que Mq = 0.Déduire de la question précédente qu'alors Id +M est inversible, et donner son inverse.

3) Soit A =

3 21 30−13 −98 −137

9 68 95

. Calculer A2 et A3. En déduire que A est nilpotente.

4) Calculer (I3 +A)−1 sans utiliser la méthode de Gauss-Jordan.

5) Soit X =

100

. Véri�er que B = (X,A.X,A2.X) est une base de R3.

6) Soit P la matrice de la base B dans la base canonique de R3. Calculer P−1 avec la méthodede Gauss-Jordan, puis calculer B = P−1AP .

Chapitre 6

Espaces vectoriels de dimension �nie

et applications linéaires

Dé�nition 23. Un espace vectoriel sur R est un ensemble E, muni d'une additionE × E → E(u, v) 7→ u+ v

et d'une multiplication par un scalaireR× E → E(λ, v) 7→ λ.v

qui satisfait les axiomes suivants :

(EV1) L'addition est associative :

∀(u, v, w) ∈ E3 (u+ v) + w = u+ (v + w)

(EV2) L'addition est commutative :

∀(u, v) ∈ E2 v + u = u+ v

(EV3). L'addition possède un élément neutre noté 0E :

∃0E ∈ E ∀u ∈ E u+ 0E = 0E + u = u

(EV4). Tout vecteur possède un opposé :

∀u ∈ E ∃v ∈ E u+ v = v + u = 0E

(EV5). Distributivité par rapport à l'addition dans E

∀λ ∈ R ∀(u, v) ∈ E2 λ.(u+ v) = λ.u+ λ.v

(EV6). Distributivité par rapport à l'addition des scalaires :

∀(λ, µ) ∈ R2 ∀u ∈ E (λ+ µ).u = λ.u+ µ.u

(EV7). Associativité externe :

∀(λ, µ) ∈ R2 ∀u ∈ E (λ.µ).u = λ.(µ.u)

(EV8). Action de l'unité :∀u ∈ E 1.u = u

29

30CHAPITRE 6. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE ET APPLICATIONS LINÉAIRES

Exemple 35. Un sous-espace vectoriel de Rn est un espace vectoriel sur R.Mn,p est un espacevectoriel sur R.

Exemple 36. Soit X un ensemble quelconque. On rappelle que RX est l'ensemble des applica-tions de X dans R. On dé�nit une addition sur RX par :

∀f ∈ RX ∀g ∈ RX ∀x ∈ X (f + g)(x) = f(x) + g(x)

On dé�nit une multiplication externe sur RX par :

∀λ ∈ R ∀f ∈ RX ∀x ∈ X (λ.f)(x) = λf(x)

Muni de ces opérations, RX est un espace vectoriel sur R.

Proposition 19. Soit E un espace vectoriel sur R. Alors :[1] L'élément neutre pour l'addition dans E est unique. On l'appelle le vecteur nul de E.

[2] ∀u ∈ E 0.u = 0E

[3] Si u ∈ E, son opposé est égal à (−1).u. On le note −u.

Dé�nition 24. Soit E un espace vectoriel sur R. Un sous-espace vectoriel de E est une partieV de E satis�aisant les conditions :

[SEV1] 0E ∈ V .[SEV2] ∀~u ∈ V ∀~v ∈ V (~u+ ~v) ∈ V[SEV3] ∀α ∈ R ∀~u ∈ V (α.~u) ∈ V

6.1 Dimension �nie


Dé�nition 25. Soit E un espace vectoriel sur R. Pour tout entier p ≥ 1 et pour toute famille(u1, . . . , up) ∈ Ep, on notera

vect (u1, . . . , up) = { u ∈ E : ∃(α1, . . . , αp) ∈ Rp u =

p∑j=1

αj .uj }

l'ensemble des combinaisons linéaires de cette famille.

Dé�nition 26. Soit E un espace vectoriel sur R et F = (u1, . . . , up) ∈ Ep une famille �nie devecteurs de E.

[1] On dira que F est libre si

∀(α1, . . . , αp) ∈ Rp

p∑j=1

αj .uj = 0E =⇒ α1 = · · · = αp = 0

[2] On dira que F est génératrice de E si vect (u1, . . . , up) = E.

[3] On dira que F est une base de E si c'est une famille libre et génératrice de E.

Dé�nition 27. Soit E un espace vectoriel sur R. On dit qu'il est de dimension �nie lorsqu'ilexiste un entier p ≥ 1 et une famille (u1, . . . , up) ∈ Ep génératrice de E.

6.1. DIMENSION FINIE 31

Théorème 15. Soit E un espace vectoriel sur R de dimension �nie. Alors E admet une base�nie.

Démonstration. Soit d le nombre minimum de vecteurs d'une famille génératrice de E. Soit F =(v1, . . . , vd) une famille génératrice de E. Supposons que F soit linéairement dépendante. Soient

(λ1, . . . , λd) ∈ Rd une famille non nulle de scalaires telle que

d∑j=1

λjvj = 0E . Soit m ∈ {1, . . . , d}

tel que λm 6= 0. Alors

vm = −∑j 6=m

λjλm

vj

et donc vm ∈ vect (vj)j 6=m. Mais alors (vj)j 6=m est une famille génératrice de E à (d−1) vecteurs,ce qui contredit la dé�nition de d. Ainsi, F est libre. C'est donc une base �nie de E.

6.1.2 Matrice d'une famille de vecteurs dans une base

Dé�nition 28. Soit E un espace vectoriel sur R de dimension �nie et B = (e1, . . . , ed) une basede E. Si F = (u1, . . . , up) ∈ Ep est une famille de vecteurs de E, on appelle matrice de F dansla base B l'unique matrice M = MatB(F) de taille (d, p) telle que

∀j ∈ {1, . . . , p} uj =

d∑i=1

M [i, j].ei

Autrement dit, la colonne Cj de M donne les coordonnées de uj dans la base B.

Proposition 20. Soit E un espace vectoriel sur R de dimension �nie et B = (e1, . . . , ed) unebase de E. Si F = (u1, . . . , up) ∈ Ep est une famille de vecteurs de E et si A = MatB(F), alors

[1] La famille F est libre si et seulement si rg(A) = p.

[2] La famille F est génératrice de E si et seulement si rg(A) = d.

[3] La famille F est une base de E si et seulement si rg(A) = p = d.

Corollaire 6. Soit E un espace vectoriel de dimension �nie sur R.[1] Toutes les bases de E ont même nombre de vecteurs. Ce nombre est la dimension de E,

notée dimE.

[2] Soit V un sous-espace vectoriel de E. Alors V est de dimension �nie et dim(V ) ≤ dim(E).De plus, si dim(V ) = dim(E), alors V = E.

6.1.3 Matrices de passage

Dé�nition 29. Soit E un espace vectoriel de dimension �nie sur R. Soient B et B′ deux basesde E. On appelle matrice de passage de B à B′ la matrice

PB′

B = MatB(B′)

Proposition 21. Soit E un espace vectoriel de dimension �nie d sur R. Soient B, B′ et B” troisbases de E.

[1] PBB = Id

[2] PB”B = PB′

B PB”B′

[3] PB′

B est inversible et (PB′

B )−1 = PBB′ .

32CHAPITRE 6. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE ET APPLICATIONS LINÉAIRES

6.2 Applications linéaires


Dé�nition 30. Soient E et F deux espaces vectoriels sur R. Une application linéaire de E versF est une application f : E → F satisfaisant

∀(α, β) ∈ R2 ∀(u, v) ∈ E2 f(α.u+ β.v) = α.f(u) + β.f(v)

En particulier, une application linéaire f : E → F satisfait toujours f(0E) = 0F .

Exemple 37. Soit V un sous-espace vectoriel de Rn. L'application d'inclusionV → Rn

~u 7→ ~uest clairement linéaire.

Exemple 38. Soit E un espace vectoriel. Si λ ∈ R, l'homothétie de rapport λE → Eu 7→ λ.u

est

linéaire.

Exemple 39. Dans le plan muni d'une base orthonormée, la symétrie orthogonale par rapport àl'axe des abscisses envoie le vecteur de coordonnées (x, y) sur celui de coordonnées (x,−y). Cettesymétrie est donc linéaire.

Exemple 40. Soit A une matrice de taille (n, p). Considérons l'application fA :Mp,1 −→ Mn,1

X 7−→ A.X.

C'est une application linéaire. En e�et, si X et Y sont deux vecteurs colonne de hauteur p et siα et β sont des scalaires, on a

fA(α.X+β.Y ) = A.(α.X+β.Y ) = A.(α.X)+A.(β.Y ) = α.(A.X)+β.(A.Y ) = α.fA(X)+β.fA(Y )

Proposition 22. Soient E, E′ et E” trois espaces vectoriels sur R, f : E → E′ une applicationlinéaire et g : E′ → E” une application linéaire. Alors g◦f : E → E” est une application linéaire.

Dé�nition 31. Soient E et F deux espaces vectoriels sur R et f une application linéaire de Evers F . On appelle noyau de f le sous-espace vectoriel de E :

ker(f) = { u ∈ E : f(u) = 0F }

Proposition 23. Soient E et F deux espaces vectoriels sur R et f une application linéaire deE vers F . Alors, f est injective si et seulement si ker(f) = {0E}.

Dé�nition 32. Soient E et F deux espaces vectoriels sur R et f une application linéaire de Evers F . On appelle image de f le sous-espace vectoriel de F :

im(f) = { v ∈ F : ∃u ∈ E f(u) = v }

Si F est de dimension �nie, on appelle rang de f l'entier rg(f) = dim im(f).

Proposition 24. Soient E et F deux espaces vectoriels sur R et f une application linéaire deE vers F . Alors, f est surjective si et seulement si im(f) = F .

6.2. APPLICATIONS LINÉAIRES 33

6.2.2 Cas des dimensions �nies

Dé�nition 33. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension �nie sur R et f : E → Fune application linéaire. Si BE = (e1, . . . , ep) est une base de E et si BF = (f1, . . . , fn) est unebase de F , on notera

MatBE

BF(f) = MatBF

f(BE) = MatBF(f(e1), . . . , f(ep))

Proposition 25. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension �nie sur R, BE =(e1, . . . , ep) une base de E et BF = (f1, . . . , fn) une base de F . Soit f : E → F une appli-

cation linéaire et A = MatBE

BF(f). Alors, si (x1, . . . , xp) ∈ Rp et (y1, . . . , yn) ∈ Rn

n∑i=1

yi.fi = f(

p∑j=1

xj .ej) ⇐⇒

y1...yn

= A.

x1...xp

Théorème 16. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension �nie sur R, BE une base deE et BF une base de F . Soit f : E → F une application linéaire et A = MatBE

BF(f). Alors,

[1] rg(f) = rg(A).

[2] dim ker(f) + rg(f) = dimF

Proposition 26. Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimension �nie sur R, f : E → Fune application linéaire et g : F → G une application linéaire. Soient BE, BF et BG des basesrespectives de E, F et G. Alors,

MatBE

BG(g ◦ f) = MatBF

BG(g).MatBE

BF(f)

Corollaire 7. Formule de changement de base

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension �nie sur R. Soient BE et B′E deux bases deE et P la matrice de passage de BE à B′E. Soient BF et B′F deux bases de F et Q la matrice de

passage de BF à B′F . Alors, si A = MatBE

BF(f) et A′ = Mat

B′E

B′F

(f), on a l'égalité matricielle

A′ = Q−1AP

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Cours d'algèbre linéaireducoulombier-math.esy.es/AL Cours.pdf · 4 CHAPITRE 1. L'ESPACE VECTORIEL RN Exercice 2 : Parmi les parties suivantes de R3, lesquelles sont des sous-espaces