Cours de Mathématiques - Boss en Maths€¦ · 1ère STI-2D CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES Table 1.1: Suite des décimales de p 2 p 2 ’1;4142135623730950488 Rang Chiﬀre décimal

Cours de Mathématiques

Classe de 1ère STI-2D

http://bossenmaths.fr

2018


1ère STI-2D

2

Table des matières

Notations i

I Analyse Numérique 1

1 Suites Numériques 31.1 Modes de génération d’une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Définitions, vocabulaire et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Limite d’une suite et notion de seuil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Le Second degré 92.1 Rappels : Inéquations-produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Étude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Équations et inéquations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.3 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.4 Étude du discriminant et recherche des racines d’un trinôme . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Interprétation graphique des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.3 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Étude de fonctions 153.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Fonction de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Les fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 La fonction carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.3 La fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.4 Fonction cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.5 La fonction racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.6 La fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3

1ère STI-2D TABLE DES MATIÈRES

3.3 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.1 Fonctions t 7−→ f (t) + k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2 Fonctions t 7−→ f (t +λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.3 Fonctions t 7−→ |f (t)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Fonctions Circulaires 274.1 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.1 Les angles en radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.2 Construction des fonctions circulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Notions de parité et périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.1 Parité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.2 Périodicité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Sens de variation et représentation graphique des fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . 304.4 Formules de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4.1 Tableau des valeurs particulières des sinus et des cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4.2 A l’aide du cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5 Résolution d’équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5.1 Résolution des équations du type cos(t) = cos(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5.2 Résolution des équations du type sin(t) = sin(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Dérivation de fonctions numériques 355.1 A quoi sert la dérivation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1.1 Approcher localement une courbe à l’aide d’une tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.2 Connaître la variation d’une fonction à l’aide de la fonction dérivée . . . . . . . . . . 38

5.2 Compléments sur le calcul des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2.1 Dérivées d’un fonction de la forme (u(x))n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2.2 Dérivées d’un fonction de la forme g[f (x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II Géométrie dans le plan 47

6 Produit Scalaire 496.1 Géométrie vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.1.1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.2 Orientation de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.3 Repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.1.4 Géométrie dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Produit scalaire du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2.3 Aspects géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.3 Applications du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3.1 Théorème d’Al-Kashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3.2 Aire d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3.3 Calcul du cosinus d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4


7 Nombres Complexes 617.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.2 Deux formes d’écritures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.2.1 La forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.2.2 Calculer le module et l’argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 627.2.3 La forme polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.2.4 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2.5 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2.6 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

III Statistiques et Probabilités 69

8 Calculs de probabilités 718.1 Vocabulaire et définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.1.1 Vocabulaire des ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.1.2 Expériences aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.2 Calcul des probabilités sur un univers Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2.1 Convergence des fréquences et loi des grands nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.2.3 Équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.3 Variables Aléatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.3.1 Loi de probabilité et fonction de répartition d’une variable aléatoire. . . . . . . . . . 788.3.2 Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire X. . . . . . . . . . . . . . . . 80

9 Statistiques Descriptives 839.1 Qu’est-ce qu’une série statistique? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839.1.2 Premier bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

9.2 Statistiques à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859.2.1 Méthode de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859.2.2 Comment caractériser une série statistique? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

10 Loi Binomiale 9910.1 Loi de Bernoulli et loi Binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.1.1 Utilisation d’un arbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9910.1.2 Épreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10010.1.3 Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10110.1.4 Triangle de Pascal et coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10310.1.5 Espérance, variance et écart-type d’une loi de Bernoulli et d’une loi binomiale. . . . . 105

11 Échantillonnage 10711.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10711.2 Intervalle de fluctuation à 95% d’une fréquence avec la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . 107

11.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10711.2.2 Lien avec la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

11.3 Prise de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11011.3.1 Règle de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

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6

Notations

• =⇒ : Implique.

• ⇐⇒ : Équivaut.

• N : Ensemble des entiers naturels.

• Nn : Ensemble des entiers naturels allant de 0 jusqu’à n.

• N∗ : Ensemble des entiers naturels excepté 0.

• Z : Ensemble des entiers relatifs.

• Q : Ensemble des nombres rationnels.

• R : Ensemble des nombres réels.

• R∗ : Ensemble des nombres réels excepté 0.

• R+ : Ensemble des nombres réels positifs.

• R− : Ensemble des nombres réels négatifs.

• ∅ : Ensemble vide.

• ∞ : Infini.

• ∀ : Quelque soit / Pour tout.

• ∃ : Il existe.

• ∃! : Il existe un unique.

• ∪ : Ou / réunion.

• ∩ : Et / intersection.

• ∈ : Appartient à.

• ⊂ : inclus dans.

• \ : privé de.

• {a,b,c} : L’ensemble constitué des éléments a, b et c.

• {ai}i∈I : Ensemble des éléments ai indexé par l’ensemble I .

i

1ère STI-2D CHAPITRE 0. NOTATIONS

ii

Première partie

Analyse Numérique

1

Chapitre 1

Suites Numériques

1.1 Modes de génération d’une suite.

1.1.1 Définitions, vocabulaire et exemples.

Définition 1.1.1: Suites numériques

Une suite de réels est une liste ordonnée de nombres réels indexés par les entiers naturels. Onnote :

u = (un)n∈N = (u0;u1,u2, ....,uk−1,uk ,uk+1, ....)

On peut également faire le lien avec les fonctions avec cette notation :

u : N 7−→ Rn 7−→ un

Exemple 1.1.1. Continuer les suites de nombres suivantes :

• 1,2,4,8,16,32, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 1,4,9,16,25,36, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• −3,1,5,9,13,17,21, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• −1,3,−5,11,−21,43, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 1,1,2,3,5,8,13,21,34, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemple 1.1.2. On construit une suite qui donne successivement toutes les décimales de√

2.

3

1ère STI-2D CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES

Table 1.1: Suite des décimales de√

2√

2 ' 1,4142135623730950488Rang Chiffre décimal Terme de la suite

0 1 u0 = 11 4 u1 = 42 1 u2 = 13 4 u3 = 44 2 u4 = 25 1 u5 = 16 3 u6 = 37 5 u7 = 58 6 u8 = 69 2 u9 = 2... ... ...

Exemple 1.1.3. On considère une suite dans laquelle on multiplie les termes successifs toujours par lemême nombre.

Table 1.2: Valeurs des termes de la suite générées

Rang Chiffre décimal Terme de la suite0 0,1 u0 = 0,1

1 0,1 u1 = 0,2

2 0,2 u2 = 0,4

3 0,4 u3 = 0,8

4 0,8 u4 = 1,6

5 1,6 u5 = 3,2

6 3,2 u6 = 6,4

... ... ...

Voici en langage Python l’algorithme qui affiche les 100 premiers termes de la suite :

1 from math import *23 # Calcule e t a f f i c h e l e s N premiers termes d ’ une s u i t e e x p l i c i t e d e f i n i e par :4 # u_n=2^n ; u_0=0 ,156 # @ param : N ( e n t i e r nature l )7 def E x p l i c i t e A f f i c h a g e (N) :8 " " " Fonction qui a f f i c h e l e s N premiers termes de l a s u i t e9 des puissances de 2 demarrant a 0.1 " " "

10 L = [ 0 . 1 ]11 for i in range ( 0 ,N) :12 L . append ( 0 . 1 *2 * * i )

4

1ère STI-2D 1.1. MODES DE GÉNÉRATION D’UNE SUITE.

13 i=i +114 return L

Suite explicites ou directes.

Définition 1.1.2: Suites explicites

Une suite (un)n∈N est définie de manière explicite lorsque chaque terme un est défini en fonc-tion de son rang n et indépendamment des autres termes de la suite.

un = f (n) où f désigne une fonction numérique.

Exemple 1.1.4. Soit (un)n∈N la suite définie par un = 7n− 5. Calculer les termes :

• u0 =. . . . . . . . . . . . . . . • u2 =. . . . . . . . . . . . . . . • u200 = . . . . . . . . . . . . . • u2018 = . . . . . . . . . . . .

Suites récurrentes.

Définition 1.1.3: Suites récurrentes

Une suite (un)n∈N est définie de manière récurrente lorsque l’on connaît son premier terme u0et une relation de la forme :

un+1 = f (un) où f désigne une fonction.

Remarque 1.1.1. La fonction f introduite dans chaque définition possède un rôle tout à fait différent.Observer bien quel terme est « transformé » par f .

• Pour la définition explicite, un nombre entier n prend pour image un.

• Pour la définition récurrente, un nombre réel un prend pour image le terme un+1 de rang suivant.

Exemple 1.1.5. Soit (un)n∈N la suite définie par :{u0 = 3

un+1 = −2un + 1

Calculer les termes :

• u1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • u2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • u3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Remarque 1.1.2. Une suite définie par récurrence ne permet pas de calculer directement le terme voulu.On doit calculer les termes consécutifs les uns après les autres pour pouvoir le calculer. On peut imaginercette construction comme celle qui permet la chute des dominos.




1.2 Suites géométriques.

1.2.1 Définitions.

Définition 1.2.1: Suites géométriques

Une suite (un)n∈N est dite géométrique si il existe un réel q non nul appelé raison de la suitetel que pour tout entier n :

un+1 = q ×un

Autrement dit, on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q.

Exemple 1.2.1. Soit (un)n∈N, la suite géométrique de premier terme u0 = 5 et de raison q = −2. On écrit :{u0 = 5un+1 = −2un

Calculer les termes :

• u1 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • u2 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • u3 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Propriétés 1.2.1: Formule explicite

Soit (un)n∈N une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q :

• Pour tout n ∈ N, un = u0 × qn. • Pour tout n,p ∈ N, on a un = up × qn−p.

Exemple 1.2.2. La suite (un)n∈N de l’exemple précédent s’écrit explicitement un = 5× (−2)n.

1.2.2 Sens de variation.

La variation d’un suite géométrique dépend uniquement de sa raison et de son terme initial. Le tableausuivant permet de synthétiser toutes les situations possibles :

Table 1.3: Tableau récapitulatif

u0q q < 0 0 < q < 1 q > 1 q = 1

u0 > 0 (un)n∈N estalternée, c’est àdire positive,négative, positive,etc..

(un)n∈N eststrictementdécroissante

(un)n∈N eststrictementcroissante

(un)n∈N estconstante telle queun = u0 pour toutn défini.u0 < 0

(un)n∈N eststrictementcroissante

(un)n∈N eststrictementdécroissante

6

1ère STI-2D 1.3. LIMITE D’UNE SUITE ET NOTION DE SEUIL.

1.3 Limite d’une suite et notion de seuil.

Quel est la valeur de un lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes?

1.3.1 Limite infinie

Définition 1.3.1: Limite infinie

On dit qu’une suite (un)n∈N a pour limite +∞ quand n tend vers +∞ si un prend des valeurs deplus en plus grandes lorsque n dépasse n’importe quelle valeur entière. On écrit :

limn−→+∞

un = +∞

Exemple 1.3.1. Seuil d’une limite infinieSoit (un)n∈N la suite définie par : un = 0,5n

2 − n+ 1. On admet que cette suite admet une limite infinie+∞. Mettre en œuvre un algorithme 1 permettant de déterminer un seuil à partir duquel un > 10 000.

Voici le résultat sur Python :

1 from math import *23 # @parametre :45 def s e u i l I n f i n i ( ) :6 " " " Fonction qui renvoie l e s e u i l d ’ une s u i t e7 d e f i n i e dans l a boucle tant que " " "8 n=09 u=1

10 while u 143 alors un > 10000.

1.3.2 Limite finie

Définition 1.3.2: Limite finie

On dit qu’une suite (un)n∈N a pour limite l quand n tend vers +∞ si un se rapproche de plusen plus d’une valeur limite l lorsque n devient de plus en plus grand. On écrit :

limn−→+∞

un = l

1. Un algorithme est une suite finie d’instructions permettant de résoudre un problème. Le mot algorithme vient du nomdu mathématicien perse Al-Khawarizmi (années 800) considéré comme le père de l’algèbre.




Exemple 1.3.2. Seuil d’une limite finie

Soit (un)n61 définie pour tout n 6 1 par un = 3 +(−1)n

n2. On admet que cette suite admet 3 pour limite

en +∞.Mettre en œuvre un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir duquel |un−3|6 0,00001 =

10−5.Voici le résultat sur Python :

1 from math import *23 # @parametre :45 def s e u i l F i n i ( ) :6 " " " Fonction qui renvoie l e s e u i l d ’ une s u i t e7 d e f i n i e dans l a boucle while " " "8 n=19 u=2

10 while abs ( u−3) >0.0001:11 n=n+112 u=3+pow( −1 ,n ) / n**213 return n

L’algorithme nous donne un seuil de 317, c’est à dire que pour toute valeur de n supérieur ou égale à317, la différence entre un et 3 sera inférieure à 0,00001.

Remarque 1.3.1. Une suite peut ne pas admettre de limite. Par exemple, la suite de terme général (−1)nprend alternativement les valeurs 1 et -1. Elle n’admet donc pas de limite.

8

Chapitre 2

Le Second degré2.1 Rappels : Inéquations-produits

2.1.1 Étude d’un exemple

Résoudre dans R l’inéquation (x − 2)(x+ 3)> 0.

x

x − 2

x + 3

(x−2)(x+3)

−∞ −3 2 +∞− − 0 +

− 0 + 0 +

+ 0 − 0 +

S =]−∞;−3]∪ [2;+∞[

2.2 Équations et inéquations du second degré

2.2.1 Définition

Définition 2.2.1: Équation du second degré

On appelle équation du second degré toute équation qui peut s’écrire sous la forme :

ax2 + bx+ c = 0 , (a , 0) et a,b,c ∈ R

2.2.2 Trinôme du second degré

Définition 2.2.2: Fonction trinôme

On appelle trinôme du second degré toute fonction de degré 2 définie sur I ⊂ R telle que :

f (x) = ax2 + bx+ c, avec a,b,c ∈ R

9

1ère STI-2D CHAPITRE 2. LE SECOND DEGRÉ

Définition 2.2.3: Racine d’un trinôme

Si f (u) = 0 alors u est une racine du trinôme ou u est un antécédent de 0 par f .

2.2.3 Forme canonique

Étude d’un exemple

T (x) = x2 − 2x − 3 = x2 − 2x+ 1− 4 = (x − 1)2 − 4Q(x) = x2 − 4x+ 5 = x2 − 4x+ 4 + 1 = (x − 2)2 + 1R(x) = 2x2 − 20x+ 50 = 2(x2 − 10x+ 25) = 2(x − 5)2

Cas général

T (x) = ax2 + bx+ c (a , 0)

T (x) = a(x2 +

ba

+ca

)T (x) = a

(x+ b2a)2− b

2

4a2+ca

T (x) = a

(x+ b2a)2− b

2 − 4ac4a2

Nous obtenons ainsi la forme canonique suivante :

T (x) = a

(x+ b2a)2− b

2 − 4ac4a2

2.2.4 Étude du discriminant et recherche des racines d’un trinôme

Discriminant et étude de cas

Définition 2.2.4: Discriminant d’un trinôme

On appelle discriminant du trinôme T (x) = ax2 + bx+ c, la quantité suivante :

∆ = b2 − 4ac

C’est à partir de cette expression et en utilisant la "différence de deux carrés", on remarque que le termeb2 − 4ac permettra de distinguer plusieurs cas possibles :

• 1er Cas :

Si ∆ < 0 alors la quantité entre crochets est positive, donc T (x) n’est pas factorisable. Pour tout x ∈ R,le signe de T (x) est celui de a et donc l’équation T (x) = 0 n’a pas de solution.

10

1ère STI-2D 2.2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

• 2ème Cas :

Si ∆ = 0 alors T (x) = a(x+

b2a

)2, donc T (x) = 0 admet une seule solution.

x0 =−b2a

• 3ème Cas :

Si ∆ > 0, on a :

T (x) = a

(x+ b2a)2−(√

∆

2a

)2T (x) = a

[(x+

b −√∆

2a

)(x+

b+√∆

2a

)]Or,

T (x) = 0 ssi x1 =−b −

√∆

2aou x2 =

−b+√∆

2a

Théorème 2.2.1: Solution d’une équation du second degré

• Si ∆ < 0, l’équation T (x) = 0 n’a pas de solution et pour x ∈ R, le signe de T (x) est celui de”a”.

• Si ∆ = 0, l’équation T (x) = 0 possède une seule solution−b2a

et pour x ∈ R, le signe de T (x)est celui de ”a” car :

T (x) = a (x − x0)2

• Si ∆ > 0, l’équation T (x) = 0 a deux solutions qui sont données par les formules ci-dessus.Le trinôme T (x) est factorisable sous la forme de :

a(x − x1)(x − x2)

Résolution d’équations dans R

• Soit x2 − 3x+ 4 = 0.∆ = (−3)2 − 4× 4× 1 = −7 < 0, alors l’équation donnée ne possède aucune solution.

S = ∅

• Soit 3x2 − 4− x = 0.∆ = (−1)2 − 4× (−4)× 3 = 49 = 72 > 0, alors l’équation possède deux solutions :




x1 =−b −

√∆

2a=−(−1)− 7

2× 3ou x2 =

−b+√∆

2a=−(−1) + 7

2× 3

x1 =1− 7

6= −1 ou x2 =

86

=43

Donc, 3x2 − 4− x = 3(x+ 1)(3x − 4) et

S ={−1; 4

3

}• Soit −7

2x+ 3x2 +

4948

= 0

∆ =(−7

2

)2− 4× 3× 49

48=

494− 49

4= 0, alors l’équation possède une seule racine x =

−b2a

=7

12

S ={ 7

12

}Résolution d’inéquations dans R

• Soit x2 + x+ 3> 0.

∆ = 12 − 4× 3 = −11 < 0, alors le trinôme ne possède pas de racines et on a x2 + x+ 3 > 0, ∀x ∈ R.

S = R

• x2 − 6x+ 9 < 0.On a grâce à une identité remarquable, (x − 3)2 < 0. Or, ∀x ∈ R, (x − 3)2 > 0. Donc,

S = ∅

• x2 + 4x+ 46 0.

On a donc (x+ 2)2 6 0. Sachant que pour tout x ∈ R, (x+ 2)2 > 0 alors,

S = {−2}

• 2x2 − 5x − 3> 0.∆ = (−5)2 − 4× 4× 1 = 25− 16 = 9 = 32 > 0. Le trinôme possède deux racines :

x1 =−b −

√∆

2a=−5− 32× 2

ou x2 =−b+ 4ac

2a=−5 + 32× 2

x1 =−84

= −2 ou x2 = −24

= −12

Donc, on peut factoriser le trinôme pour étudier son signe.

2x2 − 5x − 3 = 2(x+ 2)(x − 1/2) = (x+ 2)(2x − 1)

12

1ère STI-2D 2.3. INTERPRÉTATION GRAPHIQUE DES RÉSULTATS

x

x + 2

2x − 1

2x2 −5x−3

−∞ −2 1/2 +∞

− 0 + +

− − +

+ 0 − 0 +

S =]−∞;−2]∪ [1/2;+∞[

2.3 Interprétation graphique des résultats

2.3.1 Rappel

Soit f : x 7−→ f (x) = x2 la fonction carré dans (O−→i ,−→j ) repère du plan.

On note Cf est la courbe représentative de f dans (O−→i ,−→j ) qui est une parabole.

Pour une fonction g : x 7−→ g(x) = ax2.

• Si a > 0, Cg tracé dans le demi-plan positif. • Si a < 0, Cg tracé dans le demi-plan négatif.

2.3.2 Cas général

La forme canonique d’un trinôme nous donne les coordonnées du sommet de la parabole.

T (x) = ax2 + bx+ c = a

(x+ b2a)2− ∆

4a2

= a(x+ b2a)2− ∆

4a

En effet, si on annule le terme au carré, on obtient les coordonnées de l’extremum :

ST =(−b2a

;−∆4a

)




2.3.3 Tableau récapitulatif

Table 2.1: Tableau à double entrée sur ∆ et a indiquant toutes les situations possibles

∆ = b2 − 4ac a > 0 a < 0

∆ < 0

1

1

0

f (x) > 0

1

1

0

f (x) < 0

∆ = 0

1

1

0

− b2a

10

− b2a

∆ > 0

1

1

0−b −

√∆

2a−b+

√∆

2a

10

−b −√∆

2a−b+

√∆

2a

14

Chapitre 3

Étude de fonctions

3.1 IntroductionUne fonction numérique permet de transformer des valeurs d’entrée appelées antécédents en valeurs

de sortie appelées images. Elles se représentent sur un graphique à deux axes, l’abscisse pour les antécé-dents et l’ordonnée pour les images.

L’intérêt de l’étude d’une fonction réside en plusieurs domaines :

• La résolution d’équation / inéquations, ce qui correspond à une recherche d’antécédent.

• La recherche d’un maximum ou d’un minimum d’une fonction numérique qui répond à des pro-blèmes d’optimisation en général.

On utilisera pour répondre à ces différentes problématiques l’étude des variations, l’étude graphique,l’ interpolation d’une fonction ou le calcul de limites.

3.2 Fonction de référence3.2.1 Les fonctions affines

Définition 3.2.1: Fonctions affines

Une fonction affine est une fonction f définie sur R par : x 7−→ f (x) = ax+b où a et b sont deuxréels.

La courbe représentative d’un fonction affine est une droite de coefficient directeur a etd’ordonnée à l’origine b.

Notion de limites : Signification et notation.

On appelle limite d’une fonction la valeur particulière que prendrait l’image de cette fonction lorsquel’antécédent s’approche d’une certaine valeur. On note :

limx−→x0

f (x) = l

Remarque 3.2.1. La formule précédente se lit : « La limite de f (x) lorsque x tend vers x0 est égale à l ». Lesvaleurs x0 et l peuvent être des nombres réels mais également −∞ et +∞.

15

1ère STI-2D CHAPITRE 3. ÉTUDE DE FONCTIONS

Table 3.1: Tableau synthétique sur les fonctions affines

a > 0 a > 0 a = 0

Représentationgraphique

0-b/a

b

0 -b/a

b b

Tableau designes et devariations

x

f (x)

f (x)

−∞ −b/a +∞

−∞−∞

+∞+∞0

− 0 +

x

f (x)

f (x)

−∞ −b/a +∞

+∞+∞

−∞−∞0

+ 0 −

La variation est constantecar a = 0 et le signe de lafonction dépend du signe

de b.

Limites d’une fonction affine.

Exemple 3.2.1. A la vue des tableaux du paragraphe précédent, on peut affirmer les limites suivantes :

� Lorsque a > 0 :lim

x−→−∞f (x) = −∞

limx−→+∞

f (x) = +∞

� Lorsque a < 0 :lim

x−→−∞f (x) = +∞

limx−→+∞

f (x) = −∞

� Lorsque a = 0 :lim

x−→−∞f (x) = b

limx−→+∞

f (x) = b

3.2.2 La fonction carré

Définition 3.2.2: Fonction carré

La fonction carré est donné par x 7−→ x2 définie sur R. Cette fonction est décroissante sur]−∞;0] et est croissante sur [0;+∞[.

On en déduit le tableau de variation suivant :

x

f (x) = x2

−∞ 0 +∞

+∞+∞

00

+∞+∞

limx−→−∞

x2 = +∞ et limx−→+∞

x2 = +∞

Dans un repère orthogonal, la fonction carré est représentée par une courbe appelée parabole.Ici, l’origine (0;0) est le sommet de la parabole. On remarque que c’est un minimum.

16

1ère STI-2D 3.2. FONCTION DE RÉFÉRENCE

Figure 3.1: Courbe représentative de la fonction carré

1

1

0

f (x) = x2

Propriétés 3.2.1: Symétrie et parité

Dans un repère orthogonal, la parabole représentant la fonction carré est symétrique par rap-port à l’axe des ordonnées. On dit que la fonction carré est paire.

Remarque 3.2.2. On remarque que pour tout x ∈ R, la fonction est positive f (x) = x2 > 0.

x

f (x) = x2

−∞ 0 +∞

+ 0 +

3.2.3 La fonction inverse

Définition 3.2.3: Fonction inverse

La fonction inverse est donnée par x 7−→ 1x

et est définie sur R∗ = R \ {0} =]−∞;0[∪]0;+∞[. Lafonction est décroissante sur chacune de ses branches.

x

f (x) =1x

−∞ 0 +∞

00

−∞

+∞

00




Le tableau de variation permet d’écrire les limites suivantes :

� limx−→−∞

1x

= 0

� limx−→0−

1x

= −∞

� limx−→+∞

1x

= 0

� limx−→0+

1x

= +∞

Figure 3.2: Courbe représentative de la fonction inverse

1

1

0

f (x) =1x

Dans un repère orthogonal, la fonction inverse est représentée par une courbe appelée hyperbole.Ici, l’origine (0;0) est le centre de l’hyperbole.

Propriétés 3.2.2: Symétrie et parité

Dans un repère orthogonal, l’hyperbole représentant la fonction inverse est symétrique parrapport à l’origine du repère. On dit que la fonction inverse est impaire.

Remarque 3.2.3. Asymptote

• L’axe des abscisses est appelée asymptote horizontale de l’hyperbole en −∞ et +∞.

• L’axe des ordonnées est appelée asymptote verticale de l’hyperbole en 0.

18


x

f (x) =1x

−∞ 0 +∞

− +

Remarque 3.2.4. La fonction inverse sert de base à l’étude de toutes les fonctions que l’on appelle fonc-tions homographiques définies ainsi :

f : R \{−dc

}7−→ R

x 7−→ ax+ bcx+ d

Les fonctions homographiques possèdent les mêmes propriétés de variations et de limites que la fonctioninverse. Elles varient néanmoins selon les paramètres a, b, c et d.

3.2.4 Fonction cube

Définition 3.2.4: Fonction cube

La fonction cube est donnée par x 7−→ x3 et est définie sur R tout entier. La fonction est crois-sante sur R avec un « palier » à l’origine.

Remarque 3.2.5. ParitéLa fonction cube étant impaire sur son ensemble de définition, elle est symétrique par rapport à l’ori-

gine du repère.L’origine O = (0;0) est donc le centre de symétrie de la courbe associée à la fonction cube.

Tableau de variation

x

x3

−∞ 0 +∞

−∞−∞

+∞+∞

0

� limx−→−∞

x3 = −∞. � limx−→+∞

x3 = +∞.

Tableau de signe

x

f (x) = x3

−∞ 0 +∞

− 0 +




Figure 3.3: Courbe représentative de la fonction cube

1

1

0

f (x) = x3

3.2.5 La fonction racine carrée

Définition 3.2.5: Fonction racine carrée

La fonction racine carrée est donnée par x 7−→√x et est définie sur R+ = [0;+∞[. La fonction

est strictement croissante sur R+.

Remarque 3.2.6. La fonction racine carrée est une demi-parabole couchée qui a pour sommet l’origine durepère.

Remarque 3.2.7. La fonction racine carrée peut également s’écrire sous la forme d’une puissance fraction-naire,

√x = x1/2.

Cette écriture découle du fait que la fonction racine carrée est la fonction réciproque de la fonctioncarrée. Les deux courbes seront symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

Tableau de variation

x

√x

0 +∞

00

+∞+∞

20


Figure 3.4: Courbe représentative de la fonction racine carrée

1

1

0

f (x) =√x

On a donc la limite suivante :lim

x−→+∞

√x = +∞

Tableau de signe

x

√x

0 +∞

0 +

3.2.6 La fonction valeur absolue

Définition 3.2.6: Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est donnée par x 7−→ |x| et est définie sur R. La fonction est décrois-sante sur ]−∞;0] et croissante sur [0;+∞[. On exprime cette fonction ainsi :

f : R 7−→ R

x 7−→ |x| ={−x si x 6 0x si x > 0

Remarque 3.2.8. ParitéLa fonction valeur absolue étant paire sur son ensemble de définition, elle est symétrique par rapport

à l’axe des ordonnées.

Démonstration.




• R est bien symétrique par rapport à l’origine.

• Sur R, f (−x) = | − x| = |x| = f (x).

2

Figure 3.5: Courbe représentative de la fonction valeur absolue

1

1

0

f (x) = |x|

Tableau de variations.

x

f (x) = |x|

−∞ 0 +∞+∞+∞

00

+∞+∞

• limx−→−∞

|x| = +∞ • limx−→+∞

|x| = +∞

Tableau de signe.

x

f (x) = |x|−∞ 0 +∞

+ 0 +

Étude d’un exemple.

Exemple 3.2.2. Étudier le signe et l’expression de f (x) =|5− 3x||x − 1|

sur R \ {1}.

22

1ère STI-2D 3.3. REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES

x

|5 − 3x|

|x − 1|

f (x)

−∞ 1 5/3 +∞

−5 + 3x −5 + 3x 0 5− 3x

−x+ 1 0 x − 1 x − 1−5 + 3x−x+ 1

−5 + 3xx − 1 0

5− 3xx − 1

On a donc, f (x) =

−5 + 3x−x+ 1

si x < 1

−5 + 3xx − 1

si 1 < x 653

5− 3xx − 1

si x >53

3.3 Représentations graphiques

3.3.1 Fonctions t 7−→ f (t) + k

Propriétés 3.3.1: Courbes décalées selon l’axe des ordonnées

Soit f une fonction définie sur un intervalle I , Cf sa représentation graphique et k un nombreréel.

La représentation graphique de la fonction t 7−→ f (t)+k s’obtient à partir de Cf en déplaçantverticalement tous les points de Cf :

• De k unités vers le haut lorsque k > 0.

• De k unités vers le bas lorsque k 6 0.

Illustration

Exemple 3.3.1. On considère les fonctions :

• f1(x) =1x

. • f2(x) =1x

+ 3. • f3(x) =1x− 1.




Figure 3.6: Courbes décalées selon la verticale.

1

1

0

f1(x) =1x

f2(x) =1x

+ 3

f3(x) =1x− 1

3.3.2 Fonctions t 7−→ f (t +λ)

Propriétés 3.3.2: Courbes décalées selon l’axe des abscisses

Soit f une fonction définie sur un intervalle I , Cf sa représentation graphique et λ un nombreréel.

La représentation graphique de la fonction t 7−→ f (t+λ) s’obtient à partir de Cf en déplaçanthorizontalement tous les points de Cf :

• De λ unités vers la droite lorsque λ6 0.

• De λ unités vers la gauche lorsque λ> 0.

Illustration


• f1(x) =√x. • f2(x) =

√x+ 3. • f3(x) =

√x − 1.

24

1ère STI-2D 3.3. REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES

Figure 3.7: Courbes décalées selon l’horizontale.

1

1

0

f1(x) =√x

f2(x) =√x+ 3

f3(x) =√x − 1

3.3.3 Fonctions t 7−→ |f (t)|

Propriétés 3.3.3: Représentation graphique de la valeur absolue d’une fonction f

Soit f une fonction définie sur un intervalle I , Cf sa représentation graphique.La représentation graphique de la fonction t 7−→ |f (t)| s’obtient à partir de Cf :

• En conservant la partie de Cf situé au-dessus de l’axe des abscisses.

• En prenant le symétrique de Cf par rapport à l’axe des abscisses lorsque la courbe estsituée dans la partie négative des ordonnées.

Illustration


• f1(x) = (x+ 2)3 − 4. • f2(x) = |(x+ 2)3 − 4|.

La courbe Cf1 est la courbe de la fonction cube décalée de 2 unités vers la gauche et de 4 unités vers lebas comme l’indique son expression.

Ainsi, la courbe Cf2 , en pointillés, est identique pour à Cf2 pour les ordonnées positives et prend lessymétriques par rapport à l’axe des abscisses des points de la courbes possédant des ordonnées négatives.




Figure 3.8: Courbes représentatives de f et de |f |

1

1

0

f1(x) = (x+ 2)3 − 4

f2(x) = |(x+ 2)3 − 4|

26

Chapitre 4

Fonctions Circulaires4.1 Le cercle trigonométrique

4.1.1 Les angles en radian

Figure 4.1: Angles en radian dans le cercle trigonométrique

−1 1

−1

1

0

O

π6

π4

π3

π22π

33π4

5π6

π

7π6

5π4

4π3 3π

2

5π3

7π4

11π6

2π

Remarque 4.1.1. CalculatriceEn fonction de l’exercice, vous devez savoir basculer du réglage degré au réglage radian.

27

1ère STI-2D CHAPITRE 4. FONCTIONS CIRCULAIRES

• Sur Ti :

MODE

• Sur Casio :

SET UP

4.1.2 Construction des fonctions circulaires.

Figure 4.2: Calcul des valeurs des fonctions circulaires à l’aide du cercle trigonométrique

−1 1

−1

1

0

+

sin(x)

cos(x)

A

M

x

Q

P

Soit M un point mobile sur le cercle trigonométrique.

On note l’angle étudié x = (−−−→OA ,

−−−→OM ). On a :

� cos(x) =OP . � sin(x) =OQ.

On rappelle les propriétés suivantes :

• ∀x ∈ R, −16 cos(x)6 1.

• ∀x ∈ R, −16 sin(x)6 1.

• ∀x ∈ R, (cos(x))2 + (sin(x))2 = 1.

Sur le cercle trigonométrique, on définit :

• La composante horizontale comme le cosinus de l’angle x.

• La composante verticale comme le sinus de l’angle x.

28

1ère STI-2D 4.2. NOTIONS DE PARITÉ ET PÉRIODICITÉ

Définition 4.1.1: Fonctions circulaires

On définit les fonctions trigonométriques :

• La fonction cosinus.

cos : R 7−→ [−1;1]x 7−→ cos(x)

• La fonction sinus.

sin : R 7−→ [−1;1]x 7−→ sin(x)

4.2 Notions de parité et périodicité

4.2.1 Parité d’une fonction

Définition 4.2.1: Fonction paire

Soit f définie Df . f est paire si :

• ∀x ∈Df , −x ∈Df . • ∀x ∈Df , f (−x) = f (x).

Remarque 4.2.1. Symétrie Axiale

L’axe des ordonnées c’est à dire la droite portée par le vecteur directeur−→j et passant par l’origine O

est l’axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction paire f notée Cf .

Définition 4.2.2: Fonction impaire

Soit f définie Df . f est impaire si :

• ∀x ∈Df , −x ∈Df . • ∀x ∈Df , f (−x) = −f (x).

Remarque 4.2.2. Symétrie CentraleL’origine O est le centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction impaire f notée Cf .

Exemple 4.2.1. Parité des fonctions trigonométriquesA l’aide du cercle trigonométrique, on remarque que :

• Pour tout x ∈ R, on a cos(−x) = cos(x). Donc la fonction cosinus est paire. La courbe sera bien symé-trique par rapport à l’axe des ordonnées.

• Pour tout x ∈ R, on a sin(−x) = −sin(x). Donc la fonction sinus est impaire. La courbe sera biensymétrique par rapport à l’origine.




• Pour tout x ∈ [0;+∞[, la fonction carré, x 7−→ x2 n’est pas paire car [0;+∞[ n’est pas symétrique parrapport à zéro. Pourtant, −x 7−→ (−x)2 = x2.

• De même, la fonction inverse sur ]0;+∞[ ne peut être impaire car l’ensemble sur lequel la fonctionest définie n’est pas symétrique par rapport à zéro.

4.2.2 Périodicité d’une fonction

Définition 4.2.3: Fonction périodique

Soit f définie Df . f est périodique si :

• ∀x ∈Df , −x ∈Df .

• ∀x ∈Df , f (x+ P ) = f (x) où P désigne la période.

Remarque 4.2.3. Courbe identique selon une translation donnéeLa courbe représentative de la fonction périodique f notée Cf sera obtenue par des translations suc-

cessives de vecteur P−→i où

−→i désigne le vecteur unité de l’axe des abscisses.

Exemple 4.2.2. Périodicité des fonctions trigonométriquesA l’aide du cercle trigonométrique, on remarque que :

• Pour tout x ∈ R, on a cos(x+ 2π) = cos(x). Donc la fonction cosinus est 2π-périodique.

• Pour tout x ∈ R, on a sin(x+ 2π) = sin(x). Donc la fonction sinus est 2π-périodique.

• Attention, pour tout x ∈ [−2π;2π], la fonction x 7−→ sin(x) n’est pas 2π-périodique car l’intervalle dedéfinition n’est pas 2π-périodique.

Remarque 4.2.4. L’étude de la parité et de la périodicité des fonctions trigonométriques permet limiterl’intervalle d’étude de ces fonctions :

• Comme x 7−→ cos(x) est 2π-périodique, on étudie cette fonction sur un intervalle de longueur 2π, parexemple [−π : π]. De plus, la fonction est paire donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées,nous pouvons donc l’étudier sur [0;π].

• Comme x 7−→ sin(x) est 2π-périodique, on étudie cette fonction sur un intervalle de longueur 2π,par exemple [−π : π]. De plus, la fonction est impaire donc symétrique par rapport à l’origine, nouspouvons donc l’étudier sur [0;π].

4.3 Sens de variation et représentation graphique des fonctions sinuset cosinus

On rappelle que les fonctions x 7−→ sin(x) et x 7−→ cos(x) sont des fonctions 2π-périodiques. Ainsi, ilest suffisant de les étudier sur un intervalle de longueurs 2π. On prend l’intervalle centré en 0, [−π;π].

30

1ère STI-2D 4.4. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

De plus, la fonction sinus est impaires tandis que la fonction cosinus est paire. Ce qui permet deprofiter de leur symétrie et ainsi de réduire leur intervalle d’étude une nouvelle fois sur [0;π].

Lorsque le point M parcourt le cercle trigonométrique, les cosinus et sinus possèdent les caractéris-tiques observées dans les tableaux suivants :

x

cos(x)

cos(x)

0π2

π

+ 0 −

11

−1−1

x

sin(x)

sin(x)

0π2

π

0 + 0

00

11

00

Graphique d’une fonction cosinus

−4 −3 −2 −1 1 2 3

−1

1

0

f1(x) = cos(x)

π2−π π

−π2

Graphique d’une fonction Sinus

−4 −3 −2 −1 1 2 3

−1

1

0

f2(x) = sin(x)

−π π−π2

π2

4.4 Formules de trigonométrie

4.4.1 Tableau des valeurs particulières des sinus et des cosinus

Table 4.1: Valeurs remarquables des fonctions circulaires

θ en degré 0 30 45 60 90 180 360

θ en radian 0π6

π4

π3

π2

π 2π

cos(θ) 1

√3

2

√2

212

0 −1 1

sin(θ) 012

√2

2

√3

21 0 0

4.4.2 A l’aide du cercle trigonométrique

Il existe une très grande quantité de formules trigonométriques. L’essentiel est de savoir toutes lesretrouver à partir du cercle trigonométrique. Pour tout x ∈ R :




� cos(−x) = cos(x).

� cos(π+ x) = −cos(x).

� cos(π − x) = −cos(x).

� cos(π

2+ x

)= −sin(x)

� cos(π

2− x

)= sin(x).

� sin(−x) = −sin(x).

� sin(π+ x) = −sin(x).

� sin(π − x) = sin(x).

� sin(π

2+ x

)= cos(x).

� sin(π

2− x

)= cos(x).

4.5 Résolution d’équations trigonométriques

4.5.1 Résolution des équations du type cos(t) = cos(a)

Proposition 4.5.1: Équation en cosinus

L’équation cos(t) = cos(a) admet deux types de solutions :

• t = a+ 2kπ où (k ∈ Z).

• t = −a+ 2kπ où (k ∈ Z).

Exemple 4.5.1. Résoudre dans R l’équation suivante :

cos(t) =12

Ici, on remarque à l’aide du tableau des valeurs particulières que cos(π

3

)=

12

. L’équation peut donc s’écrire

cos(t) = cos(π

3

)et les solutions sont :

t =π3

+ 2kπ

t = −π3

+ 2kπoù k ∈ Z

32

1ère STI-2D 4.5. RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Figure 4.3: Résolution d’une équation cosinus

−1 1

−1

1

0

M

a

M′

−a

cos(a)

4.5.2 Résolution des équations du type sin(t) = sin(a)

Proposition 4.5.2: Équation en cosinus

L’équation sin(t) = cos(a) admet deux types de solutions :

• t = a+ 2kπ où (k ∈ Z).

• t = π − a+ 2kπ où (k ∈ Z).

Exemple 4.5.2. Résoudre dans ]− 2π;−π] l’équation suivante :

sin(t) =

√2

2

Ici, on remarque à l’aide du tableau des valeurs particulières que sin(π

4

)=

√2

2. L’équation peut donc

s’écrire sin(t) = sin(π

4

)et les solutions sont :

t =π4

+ 2kπ

t = π − π4

+ 2kπoù k ∈ Z⇐⇒

t =

π4

+ 2kπ

t =3π4

+ 2kπoù k ∈ Z




Figure 4.4: Résolution d’une équation sinus

−1 1

−1

1

0

M

a

M′

π − a

sin(a)

Or, pour se situer dans l’intervalle voulu, les solutions seront :

S ={−5π

4;−7π

4

}

34

Chapitre 5

Dérivation de fonctions numériques

5.1 A quoi sert la dérivation?

5.1.1 Approcher localement une courbe à l’aide d’une tangente

Rappel : Coefficients directeurs d’un droite

Figure 5.1: Coefficient directeur

0 xA xB

yA

yB

A

B

Le coefficient directeur d’une droite permet d’indiquer la « pente » d’une droite par le quotient entrela variation des ordonnées et celle des abscisses.

Ce nombre réel est constant car ces accroissements sont toujours proportionnels pour une fonctionaffine.

m =∆y

∆x=yB − yAxB − xA

Coefficient directeur d’une tangente à une courbe

Soit f la fonction qui a x associe f (x). On note Cf la courbe représentative de la fonction f . Si on écritxA = a et xB = xA + h = a+ h, on donne alors le coefficient directeur de la droite sécante à Cf aux points Aet B :

m =yB − yAxA − xB

=f (xB)− f (xA)xB − xA

=f (a+ h)− f (a)a+ h− a

=f (a+ h)− f (a)

h

35

1ère STI-2D CHAPITRE 5. DÉRIVATION DE FONCTIONS NUMÉRIQUES

Figure 5.2: Tangente à une courbe

0

Cf

xA = a xB = a+ h

f (a)

f (a+ h)

A

B

Lorsque B se rapproche de plus en plus de A alors h se rapproche de 0 et la droite devient tangente à lacourbe représentative de f au point A.

Ainsi, le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A est donné par la formule suivante :

m = limh−→0

f (a+ h)− f (a)h

Exemple 5.1.1. En physique, si l’on considère que la courbe représente les valeurs successives de la vitessed’un mobile entre le point A et le point B, on peut conclure que m représente la vitesse moyenne entre cesdeux points. Lorsque h −→ 0, on détermine la vitesse instantanée au point A.

Équation d’une tangente

Définition 5.1.1: Formule de l’équation d’une tangente

Si f est dérivable au point A, la droite de coefficient directeur f ′(a) qui passe par A(a;f (a)) estdite tangente à la courbe C au point A.

L’équation de cette tangente est donnée par la formule :

y = f ′(a)(x − a) + f (a)

Remarque 5.1.1. La formule donnée précédemment peut être évidemment écrite comme un coefficientdirecteur :

f ′(a) =y − f (a)x − a

Exercice 5.1.1. Retrouver la formule de la définition 5.1.1 à l’aide de l’expression de la remarque 5.1.1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1ère STI-2D 5.1. A QUOI SERT LA DÉRIVATION?

Exemple 5.1.2. Soit f (x) = −x2 + 4x+ 3 une fonction du second degré définie sur R. Calculer l’équation dela tangente à Cf au point d’abscisse a = 1. Calculons f

′(x), la fonction dérivée de f à l’aide des formules

Figure 5.3: Tangente à une parabole

1

1

0

T

Cf

utilisées en 1ère, puis calculer f ′(1).f ′(x) = −2x+ 4

Et donc, f ′(1) = −2× 1 + 4 = −2 + 4 = 2.Or, f (1) = −12 + 4× 1 + 3 = −1 + 4 + 3 = 6.Donc, la tangente a pour équation :

y = 2(x − 1) + 6⇐⇒ y = 2x+ 4

Approximation affine locale

Exemple 5.1.3. Soit f (x) = −x2 + 4x + 3 où a = 1. On a vu que la tangente en A à la courbe est donnépar y = 2x + 4. Au voisinage du point A, on peut calculer une approximation de la courbe en utilisantl’équation de la tangente. Il est nécessaire cependant que l’abscisse soit très proche de celle de a :

f (1,02) ' 2× 1,02 + 4' 6,04

La véritable image de 1,02 par f est égale à 6,0396.

Définition 5.1.2: Approximation affine locale

Considérons une fonction f dérivable au point a. On note g : x 7−→ f ′(a)(x−a)+f (a). La fonctiong est appelée l’approximation affine locale de la fonction f pour x voisin de a.




5.1.2 Connaître la variation d’une fonction à l’aide de la fonction dérivée

Généralisons le résultat précédent avec un exemple

En utilisant la limite en 0 du taux d’accroissement de f en un certain point a, nous avons déterminéle nombre dérivée f ′(a).

En généralisant cette méthode, c’est à dire en rendant a variable, nous pouvons donc déterminer lafonction dérivée de f pour toutes les valeurs de a définies, a que l’on notera désormais x.

Exemple 5.1.4. Méthode pour calculer une formule de dérivation de la fonction x 7−→ x2

Figure 5.4: Le point A = (x;f (x)) devient mobile

0

a2

(a+ h)2

a a+ h

A

B

Soit la fonction f : x 7−→ x2 avec les points A = (a;a2) et B = (a+ h; (a+ h)2) appartenant à Cf .Le point B joue le rôle du point définissant avec A une tangente grâce au paramètre h. Cela permet un

rapprochement des deux points afin de calculer le coefficient directeur de cette tangente en A à la courbede f . On a :

m =f (a+ h)− f (a)

h=

(a+ h)2 − a2

h=

2ah+ h2

h= 2a+ h

Ainsi, m = 2a+ h et si h −→ 0, le coefficient directeur de la droite (AB) tend vers 2a pour n’importe quellevaleur de a, c’est à dire n’importe quelle position du point A sur la parabole.

Autrement dit, nous venons de prouver que pour toute valeur de x ∈ R, la dérivée de la fonction x 7−→ x2est la fonction x 7−→ 2x.

Cette méthode permet de généraliser le calcul de la dérivée d’une fonction sur tout un intervalle.

Tableaux récapitulatifs de formules de dérivées.

Voici les tableaux qui résument toutes les formules de fonctions dérivées vues cette année.

Opérations sur les dérivées.

Somme de fonctions dérivables.Soit f et g deux fonctions dérivables sur I ⊂ R.

38


Table 5.1: Dérivées de fonctions usuelle

f (x) c ∈ R mx+ p x2 x3 1x

√x xn cos(x) sin(x)

f ′(x) 0 m 2x 3x2−1x2

12√x

nxn−1 −sin(x) cos(x)

Propriétés 5.1.1: Somme de fonctions dérivables

Soit f et g deux fonctions dérivables sur I :

(f + g)′ = f ′ + g ′

Remarque 5.1.2. On peut généraliser immédiatement à la somme de plusieurs fonctions.

Exemple 5.1.5. Soit f (x) = x2 − 4x+ 3 définie sur R. Donc,

f ′(x) = 2x − 4

Produit de fonctions dérivables.On considère f et g deux fonctions dérivables sur I ⊂ R.

Propriétés 5.1.2: Produit de fonctions dérivables

Soit f et g deux fonctions dérivables sur I

(f g)′ = f ′g + g ′f

Cas particuliers.

• Soit f = g donc P = f 2 et ainsi,

(f 2)′ = 2f f ′

• Une des deux fonctions est constante, g = k ∈ R donc P = kf et ainsi :

(kf )′ = kf ′

• Pour un produit de n fois la fonction f avec n> 1 :

(f n)′ = nf n−1 × f ′




Exemples

• Soit Q(x) =13x6 − 2x5 + 3x4 − 6x3 + 8x définie sur I ⊂ R. Dériver Q sur I .

Q′(x) =13× 6x5 − 2× 5x4 + 3× 4x3 − 6× 3x2 + 8 = 2x5 − 10x4 + 12x3 − 18x2 + 8

• Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

1. f1(x) = (x3 + 2x2 + 1)(2x+ 3)

2. f2(x) = (−2x2 + 3x+ 4)3

3. f3(x) = (x+ 1)2√x

Correction :

1. On écrit f1 sous la forme d’un produit de fonctions u et v. Ce qui donne :

u(x) = x3 + 2x2 + 1, v(x) = 2x+ 3u′(x) = 3x2 + 4x, v′(x) = 2

D’où :f ′1(x) = (3x

2 + 4x)(2x+ 3) + 2(x3 + 2x2 + 1) = 8x3 + 21x2 + 12x+ 3

2. On pose u(x) = −2x2 + 3x+ 4 et on applique (un)′ = nun−1u′. Ainsi,

f ′2(x) = 3(−2x2 + 3x+ 4)2(−4x+ 3)

3. On écrit f3 sous la forme d’un produit de fonctions u et v. Ce qui donne :

u(x) = (x+ 1)2, v(x) =√x

u′(x) = 2(x+ 1), v′(x) =1

2√x

D’où :

f3(x) = 2(x+ 1)√x+

(x+ 1)2

2√x

=4x(x+ 1) + (x+ 1)2

2√x

=(x+ 1)(5x+ 1)

2√x

Inverse de fonctions dérivables.On suppose que f est dérivable sur I et non nulle sur I . On pose g(x) =

1f (x)

et a ∈ I .

On calcule le taux d’accroissement :

t(h) =g(a+ h)− g(a)

h=

1h×(

1f (a+ h)

− 1f (a)

)=

1h×(f (a)− f (a+ h)f (a+ h)f (a)

)

t(h) = −f (a+ h)− f (a)

h× 1

f (a+ h)f (a)

Lorsque l’on calcule la limite de t(h) si h −→ 0, on obtient :

limh−→0

t(h) =−f ′(a)(f (a))2

=(

1f (a)

)′Ainsi, on a la propriété suivante :

40


Propriétés 5.1.3: Inverse de fonctions dérivables

Soit f et g deux fonctions dérivables sur I , on a :(1f

)′=−f ′

f 2

Remarque 5.1.3. Toute fonction dérivable en un point a admet une limite au point qui est f (a). La réci-proque est fausse.

Comme contre-exemple, on peut citer la fonction racine en 0 qui possède une limite mais qui n’est pasdérivable en 0.

Quotient de fonctions dérivables.Dans ce paragraphe, on note g une fonction dérivable et non nulle sur I . On pose :

Q =f

g= f × 1

g

Alors,

Q′ =(f × 1

g

)′= f ′ × 1

g+ f ×

−g ′

g2

Q′ =f ′

g+−f g ′

g2=

f ′g − f g ′

g2

Propriétés 5.1.4: Quotient de fonctions dérivables

Soit f et g deux fonctions dérivables sur I où g ne s’annule pas sur I , on a :(f

g

)′=f ′g − f g ′

g2

Exemples.

• Soit f (x) =2x+ 3x − 2

définie sur R \ {2}. On écrit f sous la forme d’un produit de fonctions u et v. Cequi donne :

u(x) = 2x+ 3, v(x) = x − 2u′(x) = 2, v′(x) = 1

D’où :

f ′(x) =2(x − 2)− (2x+ 3)

(x − 2)2=−7

(x − 2)2




• Soit g(x) =√x

2x+ 3définie sur R+ et dérivable sur R+∗ du fait de la fonction racine. On pose :

u(x) =√x, v(x) = 2x+ 3

u′(x) =1

2√x, v′(x) = 2

On calcule,

g ′(x) =1

2√x(2x+ 3)− 2

√x

(2x+ 3)2=

2x+3−4x2√x

(2x+ 3)2

g ′(x) =3− 2x

2√x(2x+ 3)2

Table 5.2: Dérivées d’opérations usuelles

f (x) u + v ku1u

uvuv u(ax+ b)

cos(ωx+ϕ) sin(ωx+ϕ)

f ′(x) u′ + v′ ku′−u′

u2u′v + v′u

u′v − v′uv2 au

′(ax+b) −ω sin(ωx+ϕ) ωcos(ωx+ϕ)

Théorème fondamental

Théorème 5.1.5

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I où est définie f :

• Si f ′ est positive sur I sauf en un ou plusieurs points alors f est croissante sur I .

• Si f ′ est négative sur I sauf en un ou plusieurs points alors f est décroissante sur I .

• Si f ′ est nulle sur I alors f est constante sur I .

Étude d’un exemple

Le bénéfice d’une entreprise de pièces détachées électroniques est donné par la fonction

B : q 7−→ B(q) = −5q3 + 13q2 − 7q − 1

où le prix unitaire d’une pièce q est un réel positif et le bénéfice B(q) est donné en millier d’euros.Déterminer pour une pièce le prix qui permet un bénéfice maximal et déterminer ensuite le montant

de ce bénéfice.

42


Correction :On dérive B afin de connaître sa variation.

B′(q) = −15x2 + 26q − 7

Comme B′ est un polynôme du second degré, on calcule son discriminant pour connaître le signe de ladérivée.

∆ = b2 − 4ac = 262 − 4× (−15)× (−7) = 676− 60× 7 = 676− 420 = 256 = 162 > 0

Ainsi :

x1 =−b −

√∆

2aou x2 =

−b+√∆

2a

x1 =−26− 162×−15

ou x2 =−26 + 162×−15

x1 =−42−30

ou x2 =−10−30

x1 =75

ou x2 =13

Sachant que a < 0, la parabole possède un maximum et donc se trouve être positive entre les racines etnégatives à l’extérieur de celles-ci. Ainsi, nous pouvons construire le tableau de signe suivant :

x

B ′(q)

B(q)

013

75

+∞

− 0 + 0 −

−7−7

−5627−56

27

24252425

−∞−∞

• B(13

)= −56

27' −2,07 et B

(75

)=

2425

= 0,96.

Le prix à fixer pour obtenir le bénéfice maximal est de75

= 1,20AC et ce bénéfice atteindra 960 AC.




5.2 Compléments sur le calcul des dérivées

5.2.1 Dérivées d’un fonction de la forme (u(x))n

Théorème 5.2.1: Dérivée d’une fonction élevée à la puissance n

Soit n un nombre entier relatif non nul et soit u une fonction dérivable sur l’intervalle I de R.La fonction [u(x)]n est dérivable sur I et pour tout x ∈ I :

([u(x)]n)′ = n[u(x)]n−1 ×u′(x)

Exercice 5.2.1. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes et donner leurs variations sur l’in-tervalle donné :

• f (x) = (2x2 − 3)3 sur I = R.

Réponse : f ′(x) = 12x(2x2 − 3)2.

x

f (x)

−∞ −√

32

0

√32

+∞

+∞+∞

−27−27

+∞+∞0 0

• g(x) =1

(4x − 5)2sur I =

]54

;+∞[.

Réponse : g ′(x) =−8

(4x − 5)3.

x

g(x)

5/4 +∞+∞

00

44

1ère STI-2D 5.2. COMPLÉMENTS SUR LE CALCUL DES DÉRIVÉES

5.2.2 Dérivées d’un fonction de la forme g[f (x)]

Théorème 5.2.2: Dérivée d’une fonction composée

Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle I de R et g une fonction dérivable sur un intervalleJ de R.

La fonction g[f (x)] est dérivable sur I et pour tout x ∈ I :

(g[f (x)])′ = g ′[f (x)]× f ′(x)

Exercice 5.2.2. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes et donner leurs variations sur l’in-tervalle donné :

• f (t) = sin(3t +

π6

)sur I = R+ =

[0;

2π3

[.

Réponse : f ′(t) = 3cos(3t +

π6

).

t

f (t)

0π9

4π9

2π3

1212

11

−1−1

1212

• g(x) =√x2 − 4 sur I = ]2;+∞[.

Réponse : g ′(x) =x

√x2 − 4

.

x

g(x)

2 +∞

00+∞+∞




46

Deuxième partie

Géométrie dans le plan

47

Chapitre 6

Produit Scalaire

6.1 Géométrie vectorielle

6.1.1 Vecteurs

Définition 6.1.1: Vecteurs

• On appelle vecteur (ou bipoint) un segment orienté du plan ou de l’espace.

Ce sont deux points distincts ou non dont l’un sera désigné comme l’origine et l’autrecomme extrémité du segment considéré.

• Un vecteur d’origine A et d’extrémité B sera noté−−→AB .

• On dit également que B est l’image de A par la translation de vecteur−−→AB .

• Sa norme notée ||−−→AB || est égale à la distance entre A et B.

Remarque 6.1.1. On peut définir de manière équivalente :Soit deux points A et B distincts du plan. On définit le vecteur

−−→AB qui possède :

• Une direction (celle de (AB)).

• Un sens (de A vers B).

• Une norme (la distance AB = ||−−→AB ||).

Remarque 6.1.2. Si A = B alors−−→AB =

−→0 où la norme du vecteur est nulle.

6.1.2 Orientation de l’espace

Soit O un point de l’espace et A, B et C trois points tels que−−−→OA =

−→i ,−−→OB =

−→j et

−−−→OC =

−→k avec(−→

i ,−→j ,−→k)

non coplanaires, c’est à dire qui ne sont pas dans le même plan. On définit ainsi une base pour

l’espace afin de pouvoir utiliser des coordonnées et ainsi de se repérer.

49

1ère STI-2D CHAPITRE 6. PRODUIT SCALAIRE

Il existe plusieurs règles pour orienter un espace, vous choisirez celle que vous préférerez, elles sonttoutes équivalentes :

• La règle du bonhomme d’Ampère situé sur le vecteur−−−→OC ses pieds posés sur le point O. Il regarde

−−−→OA et

−−→OB .

–−−−→OA est à droite donc

(−→i ,−→j ,−→k)

est une base

directe.

Gauche

Droite

OA −→

iB

−→j

C

−→k

–−−−→OA est à droite donc

(−→i ,−→j ,−→k)

est une base

indirecte.

Gauche

Droite

OB −→

jA

−→i

C

−→k

• La règle de la main droite permet avec le pouce, l’index et le majeur de cette main de construireune base directe où le pouce joue le rôle de

−−−→OA , l’index joue le rôle de

−−→OB et le majeur

−−−→OC .

Figure 6.1: Règle de la main droite

Ces deux méthodes sont équivalentes et permettent d’orienter l’espace dans le sens direct ou indirect.Lorsque l’on ne précise pas l’orientation de l’espace, il est considéré par défaut comme étant direct et la

base(−→i ,−→j ,−→k)

l’est également.

On fixe maintenant la base(−→i ,−→j ,−→k)

en un point O de l’espace pour construire le repère(0;−→i ,−→j ,−→k).

50

1ère STI-2D 6.1. GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

Définition 6.1.2: Repère orthogonal

Soit(−→i ,−→j ,−→k)

une base directe et si de plus(−→i ,−→j ,−→k)

sont orthogonaux deux à deux (−→i ⊥−→j ,

−→j ⊥−→k et

−→k ⊥

−→i ) alors le repère

(0;−→i ,−→j ,−→k)

est dit orthogonal direct.

6.1.3 Repérage dans l’espace

Définition 6.1.3: Coordonnées d’un point

Soit l’espace rapporté au repère(0;−→i ,−→j ,−→k).

A chaque point M de l’espace correspond untriplet unique de nombre (x;y;z) tel que :

−−−→OM = x

−→i + y

−→j + z

−→k

Le triplet (x;y;z) s’appelle coordonnées de M

O y

z

−→j

−→k

x

−→i

M

m

Théorème 6.1.1: Norme d’un vecteur

Soit le repère(0;−→i ,−→j ,−→k), pour tout point M(x;y;z) de l’espace, on appelle norme du vecteur

−−−→OM la distance OM que l’on calcule à l’aide de la formule :

||−−−→OM || =

√x2 + y2 + z2

Remarque 6.1.3. Repère orthonormal

Lorsque les trois vecteurs de la base(−→i ,−→j ,−→k)

ont la même norme alors(0;−→i ,−→j ,−→k)

est appelé repère

orthonormal direct. Dans la suite de ce cours, on considérera toujours un repère orthonormal direct. Cerepère peut également être appelé repère orthonormé direct.




Théorème 6.1.2: Coordonnées d’un vecteur

SoitA et B les points de coordonnées respectives (xA;yA;zA) et (xB;yB;zB). Le vecteur−−→AB a pour

composantes :

−−→AB =

xB − xAyB − yAzB − zA

Remarque 6.1.4. Convention d’écriture

Les coordonnées des points s’écrivent en ligne et celles des vecteurs en colonnes.

Exercice 6.1.1. Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct(0;−→i ,−→j ,−→k), on considère les points

A(2;5;−1), B(3;5;2) et C(3;7;2).

1. Déterminer les composantes des vecteurs−−→AB et

−−→AC .

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2. Calculer la distance AB = ||−−→AB ||.

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52

1ère STI-2D 6.2. PRODUIT SCALAIRE DU PLAN

6.1.4 Géométrie dans le plan

On retrouve toutes ces conventions d’écriture dans le plan, il suffit de ne considérer que les deuxpremières coordonnées appelées abscisse et ordonnée.

6.2 Produit scalaire du plan

6.2.1 Définitions

Définition 6.2.1: Produit scalaire

Soit −→u et −→v deux vecteurs non nuls et un point A del’espace.

• On définit B et C les points tels que−−→AB = −→u et

−−→AC = −→v .

• On désigne par H le projeté orthogonal de C sur(AB) et K le projeté orthogonal de B sur (AC).

• Le produit scalaire −→u · −→u s’écrit :

−→u · −→v =−−→AB ·

−−→AC =

−−→AB ·

−−−→AH =

−−→AC ·

−−−→AK

AB

C

H

K

−→v

−→u

Théorème 6.2.1: Formule algébrique

Le produit scalaire des vecteurs −→u et −→v est défini par :

−→u · −→v = ||−→u ||.||−→v || × cos B̂AC = ||−→u ||.||−→v || × cos(−→u , −→v )




Exercice 6.2.1. Déterminer le produit scalaire −→u · −→v sur le quadrillage ci-dessous.

Figure 6.2: Calcul d’un produit scalaire à l’aide d’un quadrillage

−→u

−→v

Théorème 6.2.2: Formule analytique

• Dans un repère orthonormal du plan(0;−→i ,−→j)

avec −→u(xy

)et −→v

(x′

y′

), on a :

−→u · −→v = xx′ + yy′

• Dans un repère orthonormal de l’espace(0;−→i ,−→j ,−→k)

avec −→u

xyz

et −→v x′

y′

z′

, on a :−→u · −→v = xx′ + yy′ + zz′

Exercice 6.2.2. Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct(0;−→i ,−→j). On pose A(2;5), B(−3;5) et

C(3;7).

1. Calculer le produit scalaire−−→AB ·

−−→AC .

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54

1ère STI-2D 6.2. PRODUIT SCALAIRE DU PLAN

2. Calculer les normes des vecteurs−−→AB et

−−→AC .

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3. En déduire la valeur de l’angle formé entre ces deux vecteurs.

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6.2.2 Propriétés.

Propriétés 6.2.3: Propriétés algébriques

Pour tous vecteurs −→u , −→v et tout nombre réel k, on a :

1. −→u · −→v = −→v · −→u .

2. −→u .(−→v + −→w ) = −→u · −→v + −→u · −→w .

3. k(−→u · −→v ) = (k−→u ) .−→v = −→u .(k−→v ).

Remarque 6.2.1. On observe que les propriétés de distributivité du calcul numériques fonctionnent. Il enest de même pour les identités remarquables.

Propriétés 6.2.4: Identités remarquables

• ||−→u + −→v ||2 = ||−→u ||2 + ||−→v ||2 + 2−→u · −→v .

• ||−→u − −→v ||2 = ||−→u ||2 + ||−→v ||2 − 2−→u · −→v .

A l’aide de cette propriété, on retourne la formule afin d’obtenir une autre expression du produit scalaire.




Propriétés 6.2.5: Autre expression du produit scalaire

Pour tous vecteurs −→u , −→v du plan, on a :

−→u · −→v = 12

(||−→u + −→v ||2 − ||−→u ||2 − ||−→v ||2

).

Démonstration.

||−→u + −→v ||2 = ||−→u ||2 + ||−→v ||2 + 2−→u · −→v ⇐⇒ ||−→u + −→v ||2 − ||−→u ||2 − ||−→v ||2 = 2−→u · −→v

Ainsi, en divisant par deux on retrouve le résultat. 2

6.2.3 Aspects géométriques.

Projection orthogonale et signe d’un produit scalaire.

Il s’agit ici de projeter 1 orthogonalement un des vecteurs sur l’autre plus facile à lire (c’est-à-dire celuiqui a une direction horizontale dans l’exemple qui suit).

• Les deux vecteurs sontorientés dans le même sens.

A B

C

H

Les vecteurs forment unangle aigu et le projeté de

C sur−−→AB donne le point H ,

cela donne :

−−→AB ·

−−→AC =

−−→AB ·

−−−→AH

En utilisant la formule de ladéfinition, on a

−−→AB ·

−−→AC > 0

car cos(−−→AB ;−−→AC

)> 0.

• Les deux vecteurs formentun angle droit.

A B

C

Après projection, le produitscalaire donne :

−−→AB ·

−−→AC =

−−→AB ·

−−→AA = 0

En utilisant la formule de ladéfinition, on prouve que leproduit scalaire est nul car :

cos(−−→AB ;−−→AC

)= cos

(π2

)= 0

• Les vecteurs sont orientésdans un sens opposé.

A B

C

H

Les vecteurs forment unangle obtus et le projeté de

C sur−−→AB donne le point H ,

cela donne :

−−→AB ·

−−→AC =

−−→AB ·

−−−→AH

En utilisant la formule de ladéfinition, on a

−−→AB ·

−−→AC < 0

car cos(−−→AB ;−−→AC

)< 0.

1. Une projection orthogonale permet de construire la plus courte distance entre l’objet d’origine et l’objet sur lequel onprojette.

56

1ère STI-2D 6.3. APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE

Orthogonalité.

Définition 6.2.2: Vecteurs orthogonaux

Deux vecteur sont orthogonaux si leurs directions sont orthogonales ou si l’un d’eux est nul.

Propriétés 6.2.6: Produit scalaire nul

Deux vecteurs −→u et −→v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :−→u ⊥ −→v si et seulement si−→u · −→v = 0

Remarque 6.2.2. Pour aller plus loinCette propriété est fondamentale, elle permet de passer de la géométrie (orthogonalité de deux vec-

teurs) à l’algèbre (un nombre nul).De plus, un produit scalaire permet de créer une géométrie sur un espace composé de vecteurs.

6.3 Applications du produit scalaire

6.3.1 Théorème d’Al-Kashi

On considère le triangle ABC et on note a = BC, b = AC, c = AB, Â = B̂AC, B̂ = ÂBC et Ĉ = ÂCB.On a :

BC2 =−−→BC 2 =

−−→BC ·

−−→BC =

(−−→BA +

−−→AC

)2= ||−−→BA +

−−→AC ||2

= ||−−→BA ||2 + ||

−−→AC ||2 + 2

−−→BA ·

−−→AC = ||

−−→BA ||2 + ||

−−→AC ||2 − 2

−−→AB ·

−−→AC

BC2 = BA2 +AC2 − 2×AB×AC × cos(Â)

Ce qui donne :a2 = c2 + b2 − 2bccos

(Â)

Par permutation circulaire, on peut conclure que :a2 = c2 + b2 − 2bc cos

(Â)

b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B̂)

c2 = b2 + a2 − 2ab cos(Ĉ)

6.3.2 Aire d’un triangle

Dans un triangle quelconque, on note h = AA′ la hauteur relative au côté (BC). Si on note S l’aire dutriangle ABC, on a :

SABC =h× a

2




Figure 6.3: Triangle quelconque avec notations appropriées

A

B

C

c

a

b

Ĉ

B̂

Â

Or, dans le triangle AA′B rectangle en A′, on a : h = c sin(B̂)

= b sin(Ĉ).

Ce qui nous permet de conclure que :

SABC =12ac sin

(B̂)

=12ab sin

(Ĉ)

=12bc sin

(Â)

On peut écrire ce résultat sous cette forme :

2SABCabc

=sin

(Â)

a=

sin(B̂)

b=

sin(Ĉ)

c

Dans tous les triangles, la valeur des sinus est proportionnelle à la valeur des côtés correspondants.

Exemple 6.3.1. On sait que b = 8, c = 5 et Â =π3

. Calculer BC ainsi que les angles B̂ et Ĉ. Enfin, calculer

l’aire du triangle ABC.On a :

BC = a =√c2 + b2 − 2bc cos

(Â)

=

√64 + 25− 2× 8× 5× 1

2=√

49 = 7

Ainsi, a = 7 et donc,

S =12× 8× 5× sin

(π3

)= 10√

3

Or,2Sabc

=sin

(Â)

a=

sin(B̂)

b=

sin(Ĉ)

c. Ce qui permet d’établir la valeurs des sinus des angles cherchés.sin

(Ĉ)

=c × sin

(Â)

a=

5√

314

sin(B̂)

=b × sin

(Â)

a=

4√

37

Donc,B̂ = 82◦ Ĉ = 38◦

58

1ère STI-2D 6.3. APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE

6.3.3 Calcul du cosinus d’un angle

A partir de la formule analytique du produit scalaire, on peut déterminer une formule qui permet decalculer le cosinus d’un angle formé par deux vecteurs :

Propriétés 6.3.1: Cosinus d’un angle formé par deux vecteurs : Formule algébrique

Soit θ une mesure d’un angle(−→u ; −→v ), on a :

cos() =−→u · −→u||−→u || · ||−→v ||

On peut ainsi en déduire une formule directe du cosinus lorsque dans un repère, les coordonnées des deuxvecteurs sont connues.

Propriétés 6.3.2: Cosinus d’un angle formé par deux vecteurs : Formule analytique

Soit θ une mesure d’un angle(−→u ; −→v ) où on a −→u ( x

y

)et −→v

(x′

y′

), alors :

cos() =xx′ + yy′√

x2 + y2�

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Cours de Mathématiques - Boss en Maths€¦ · 1ère STI-2D CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES Table 1.1: Suite des décimales de p 2 p 2 ’1;4142135623730950488 Rang Chiﬀre décimal