Embed Size (px)
Citation preview
Cours de mathématiquesNiveau de Terminale S
Author: Rachid Guejdad
Institute: Institution Sainte Geneviève
Date: October 16, 2019
Version: 1.00
www.rguejdad.com | [email protected] | 2019-2020
Contents
1 Bases de logique et raisonnement 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Vocabulaire mathématique de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Quantificateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Les grands types de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Suites numériques 12
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Généralités (Rappels de première) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Comportement asymptotique des suites et limites . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Étude des fonctions: Continuité et limites 23
Chapter Bases de logique et raisonnement
Prérequis
h Arithmétique de base.
h Résolution des équations.
h Calcul littéral.
h Quelques résultats de géométrie vus
au collège.
1.1 Introduction
Qui dit mathématiques, dit aussi logique et raisonnement. Mais il faut savoir que ces deux
notions n’ont pas, en mathématiques, la même définition lexicale que vous avez l’habitude de
leur associer. Ils veulent dire des choses bien plus précises que de simples synonymes de bon
sens ou encore de réflexion.Commençons par en donner les définitions:
1. La logique mathématique: est une discipline des mathématiques qui a pour objet son
étude en tant que langage.Ses fondamentaux les plus importants ont été posé à la fin
du 19ème siècle. Elle est né suite à la crise des fondements qui c’est déclenchée suite
à l’apparition de paradoxes mathématiques à cause de la complexification des notions
abordées. Pour faire simple, c’est la partie des mathématiques qui s’occupe de définir
ce que c’est qu’une vérité mathématique et qui s’occupe de poser les définitions et
interactions basiques: axiome, théorème, implication...(C’est pour les mathématiques ce
que la grammaire est pour le français)
2. Raisonnement mathématique: C’est tout processus d’étapes claires et liées entre des
idées qui permet de faire la démonstration d’une vérité (d’un résultat) à partir d’une autre
prédéfinie en avance et qui remonte un lien continue jusqu’à un axiome. On dit dans ce
cas que nous avons établi une preuve ou une démonstration de ce résultat.
Il faut savoir que ce qui précède n’a pas toujours été prédéfini comme ça.C’est grâce aux
travaux d’une succession de mathématiciens que nous en sommes arrivé là aujourd’hui. Ces
définitions sont dites faisant partie des mathématiques modernes.
Ce chapitre à pour but de vous initier au langage mathématique et à sa symbolique qui
remplacera au fur et à mesure le langage "courant" dans vos rédaction. C’est aussi une petite
introduction à ce qu’on appelle le formalisme mathématique.
1.2 Vocabulaire mathématique de base –2/23–
1.2 Vocabulaire mathématique de base
Avant d’introduire de nouvelles notions, commençons par rappeler un peu de vocabulaire
que vous ne connaissez peut être pas !
Définition 1.1
♣
1. Une démonstration: En mathématiques, une démonstration d’un résultat est un
agencement rigoureux des étapes d’un raisonnement qui mène à la conclusion du
résultat à partir de conditions préalables( appelées hypothèses), selon des principes
logiques.
2. Un théorème: est un résultat mathématique qui admet une démonstration.
3. Une proposition: est est considéré comme synonyme de théorème, mais souvent
utiliser pour désigner des résultats moins importants.
4. Une propriété: est un résultat mathématique qui découle en général de la façon
dont est définit une notion et qui en décrit les spécificités.
5. Un axiome: Un résultat qui est universellement reconnu comme étant vrai, mais
sans admettre de démonstration.
�Note la notion mathématique que vous connaissez le moins parmi les cinq ci-dessus est proba-
blement l’axiome. En voici donc quelques exemples célèbres:
L’axiome de l’existence d’un ensemble vide: qui permet de poser l’existence de l’ensem-
ble vide dans la théorie des ensembles (de Zermelo-Fraenkel 20ème siècle)
Les postulats d’Euclide(300 Av. J-C): Dans son célèbre traité les éléments, Euclide fait
la liste de cinq axiomes grâce auxquels il démontre tous ses résultats de géométrie plane
que vous avez fait au collège:
Il existe toujours une droite qui passe par deux points du plan.
Tout segment peut être étendu suivant sa direction en une droite (infinie).
à partir d’un segment, il existe un cercle dont le centre est un des points du segment
et dont le rayon est la longueur du segment.
Tous les angles droits sont égaux entre eux.
étant donné un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe une seule
droite passant par ce point et parallèle à la première.
Définition 1.2. Assertion logique
♣
On appelle assertion logique (ou mathématique) est une proposition qui n’admet qu’une
seule valeur logique (vraie ou fausse) dans le cadre d’une théorie précise. Une assertion
est souvent noté par une lettre majuscule entre parenthèses ( On utilise souvent (P) ou
(Q) ).
�Note Une assertion peut être vraie dans une théorie mais pas dans une autre. Il faut donc
toujours se référer au contexte ! En voici quelques exemples:
1.3 Connecteurs logiques –3/23–
Au primaire, on vous a appris que (P): "3 − 5" est une assertion fausse ( c’est impossible
de soustraire 5 de 3 puisque le premier est plus grand !!). Aujourd’hui, vous savez tous
que le résultat de cette opération est −2. Mais on ne vous a pas menti pour autant ! (P)
est effectivement une assertion fausse en théorie des entiers, mais elle est vraie dans celle
des relatifs.
L’assertion (Q) : 1 + 1 = 0 est fausse dans la théorie des entiers mais vraie en théorie
modulaire sur (Z/2Z).
Exemple 1.1
"Il pleuvra demain" n’est pas une assertion.
"Il y a 24 heures dans une journée" est une assertion.
1.3 Connecteurs logiques
Définition 1.3. Connecteur logique
♣
Un connecteur logique (ou opérateur logique) est un symbole ou un mot établissant une
liaison précise entre deux propositions (ou assertions au sens définit précédemment). Il
permet de construire une assertion composée.
1.3.1 L’implication
Définition 1.4
♣
Une implication est une connexion logique entre deux propositions (P) et (Q) que l’on
note par (P) ⇒ (Q). Elle exprime que la proposition (Q) (conclusion) est vraie si (P)(l’hypothèse est vraie).
�Note L’implication (P) ⇒ (Q) est équivalente alors à l’une des tournures de phrases suivantes:
1. Si (P) alors (Q).
2. (P) entraine/implique (Q)
Exemple 1.2 La plupart des résultats mathématiques que vous avez fait jusqu’ici peuvent
s’exprimer en une implication. En voici quelques exemples:
x ∈ N⇒ x ∈ R.
x = 2 ⇒ x + 3 = 5
Propriété 1.1. transitivité de l’implication
♥
L’implication est une connexion logique transitive. C’est à dire que si on a (P) ⇒ (Q) et
(Q) ⇒ (T) alors (P) ⇒ (T).
�Note
(Utilisation pratique en démonstrations)
1.3 Connecteurs logiques –4/23–
Puisque l’implication est une connexion logique qui assure la validité d’un résultat du
moment que les hypothèses sont valides et qui est en plus transitif, alors on l’utilise souvent
pour démontrer un résultat en partant d’hypothèse déjà posée comme vrai. En voici quelques
exemples:
1. Montrer que tout entier positif n vérifie l’inéquation n2 + 1 ≥ 2n.Nous allons démontrer cette proposition en utilisant des implications successives en par-
tant d’une vérité prédéfinie.
Soit n un entier positif. On sait déjà qu’il est vrai que pour tout entier positif n nous avons
(n − 1)2 ≥ 0. Ainsi par processus d’implications successives on peut écrire:
〈(n − 1)2 ≥ 0〉Hypothèse dedépart vraie
⇒ n2 − 2n + 1 ≥ 0
⇒ n2 + 1 ≥ 2n
Une fois arrivé à la fin, on dit alors que nous avons démontré le résultat par implications
successives. Attention: Il faut bien évidement que vos transitions par implication soienttoutes vraies !
2. Montrer que la somme de deux nombres entier successifs est toujours impaire. (Je vous
laisse le soin de faire cette démonstration pour vous entrainer)
1.3.2 Équivalence
Définition 1.5
♣
On dit que deux propositions (P) et (Q) sont équivalentes si les deux implications (P) ⇒
(Q) et (Q) ⇒ (P) sont vérifiées. On note alors (P) ⇔ (Q). On dit que (P) est vraie si etseulement si (Q) est vraie.
L’équivalence traduit une égalité logique. C’est à dire que les deux propositions sont
vraie (ou fausse) simultanément.
�Note La différence entre une équivalence et une simple implication est que la deuxième ne donne
aucune information sur l’état de (P) lorsque (Q) est vraie.
On considère l’implication suivante à titre d’exemple:
(P) : x > 0 et y > 0 ⇒ (Q) : xy > 0
Cette implication peut être interprétée de la façon suivante: Si (P) est vraie alors forcement (Q)
l’est aussi. Sauf que si (Q) est vraie, 〈on ne peut rien dire sur la valeur logique de (P)〉Q: Pouvez-vous me direpourquoi ?
Exemple 1.3 Beaucoup de théorèmes et de résultats que vous connaissez déjà sont des équiva-
lences. Je vais en citer quelques-uns ici et je laisse à votre charge la formulation mathématique
sous forme d’équivalences.
Le théorème de Pythagore.
Le théorème de Thalès ( dit "de Thalès").
1.4 Quantificateurs logiques –5/23–
Propriété 1.2. Transitivité et commutativité de l’équivalence
♥
1. Comme c’est le cas pour l’implication, l’équivalence est transitive. C’est à dire
que si on se donne trois propositions (P), (Q) et (T), alors nous avons le résultat
suivant:
Si (P) ⇔ (Q) et (Q) ⇔ (T) alors nous avons aussi (P) ⇔ (T)
2. L’équivalence est aussi commutative. C’est à dire que (P) ⇔ (Q) et (Q) ⇔ (P)
veulent dire la même chose.
�Note
(Utilisation pratique en démonstrations)
L’équivalence est utilisée dans plusieurs procédés de démonstration que vous connaissez déjà.
Nous allons en énumérer quelques uns:
1. La résolution d’équations. Par exemple: 5x + 3 = 0.Jusqu’ici, vous avez utilisé des mots tels que implique, alors, donc... pour faire le lien
entre vos différente étapes du raisonnement. Maintenant, vous pouvez tout simplement
écrire:5x + 3 = 0 ⇔ 5x = −3
⇔ x =−35
Et n’oubliez pas de rajouter à la fin une phrase de conclusion du type:
L’ensemble des solutions de l’équation est S = {−35 }
2. La preuve par équivalence successives ou par double sens d’implications.Essayer de montre le résultat suivant pour y réfléchir en autonomie: Pour tout n ∈
N, n pair ⇔ n2 pair
1.4 Quantificateurs logiques
Les quantificateurs logiques sont des symboles mathématiques qui ont un sens très précis
et qui aident à mieux formaliser les propositions et assertions mathématiques.
Définition 1.6
♣
Le quantificateur existentiel∃: Il est utilisé pour symboliser l’existence d’au moinsun élément dans un ensemble qui vérifie une proposition.
Le quantificateur existentiel unitaire ∃! : Il est utilisé pour symboliser l’exis-
tence d’exactement un seul et unique élément dans un ensemble qui vérifie une
proposition.
Le quantificateur universel ∀: Il sert à indiquer qu’une tous les éléments d’unensemble vérifient une proposition.
Exemple 1.4 Voici quelques exemples et contre-exemples de l’utilisation de quantificateurs.
1.4 Quantificateurs logiques –6/23–
1. Bonne utilisation de quantificateurs:
〈∃x ∈ R, x + 1 = 0〉Il y a effic-tivement aumoins unnombre réelqui vérifiel’égalité (−1)
.
∀x ∈ R, x2 > 0.
∀x ∈ R,∃y ∈ R, x + y = 0.
2. Mauvaises utilisations:
∀x ∈ R, x + 1 = 0.
∃!x ∈ R, x2 > 0.
∃x ∈ R,∀y ∈ R, x + y = 0.�
Note
1. Dans une expression du type ∀x ∈ E,P(x), la proposition ne dépends pas d’un x en
particulier. C’est ce qu’on appelle une proposition avec une variable muette.
2. Les quantificateurs sont toujours placés avant l’assertion mathématique qu’ils quantifient.
3. L’emploi des quantificateurs en guise d’abréviation au milieu d’une phrase en français est
totalement exclu et refusé. Ils doivent figurer seulement dans une phrase mathématique
formalisée.
4. L’ordre des quantificateurs est très important lorsqu’ils sont de natures différentes.
Changer l’ordre change automatiquement le sens !
Kþ Exercices kþ
1. Démontrer chacun des résultats suivants:
∀x ∈ R∗+, x +1x≥ 2
∀(x, y, z) ∈ (R∗+)3, (x + y + z)(
1x+
1y+
1z) ≥ 9
√2x + 2 −
√x = 1 ⇔ x + 1.
a3 + a = b3 + b ⇔ a = b
2. Donner des contre-exemples pour réfuter les propositions suivantes:
∀x ∈ N,∃x ∈ N; x < n
Monter que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 − 5x + 4 n’est ni paire ni
impaire.
1.5 Les grands types de raisonnement –7/23–
1.5 Les grands types de raisonnement
Ce paragraphe a pour objet d’énumérer les différents types de procédés de raisonnements
que nous allons utiliser tout au long de l’année. On considère dans toute la suite du chapitre que
(P) et (Q) désignent deux propositions quelconques.
1.5.1 Le raisonnement déductif
Définition 1.7
♣
Le procédé d’un raisonnement déductif est le suivant:
Quand (P) est une proposition vraie et que (P) ⇒ (Q) alors (Q) est vraie.
�Note Je ne m’attarde pas trop sur celui-ci puisqu’on en a déjà parlé auparavant. Voir le
paragraphe sur l’implication (1.3.1).
1.5.2 Raisonnement par l’absurde
Définition 1.8. Négation d’une proposition
♣
On définit la négation de (P) notée (P) comme étant la proposition qui "contient l’infor-
mation contraire à celle de (P)". Elle a toujours une valeur logique opposée à celle de
(P).
Exemple 1.5
La négation de (P) : x = 0 est (P) : x , 0.
La négation de (P) : x ≥ 0 est (P) : x < 0.
Propriété 1.3
♥
Pour toute proposition (P) on a:
(P) = (P)
Théorème 1.1. Lois de Morgan (Admis)
♥
Les lois de Morgan s’expriment formellement de la façon suivante:
1. (P)ou(Q) ⇔ (P)et(Q)
2. (P)et(Q) ⇔ (P)ou(Q)
Pour faire plus simple, on peut se permettre de dire que: le contraire de "ou" est "et" et
vice-versa.
Exemple 1.6 Essayez, à titre d’exercice de déterminer la négation de (P) dans chacun des cas
suivants:
(P) : x = 5 ou x = 7
(P) : x > 7 ou x < 5
1.5 Les grands types de raisonnement –8/23–
(P) : x ∈] − ∞; 4[∪]10; 13[
Proposition 1.1. Négation d’une proposition à quantificateurs
♠
Soit E un ensemble quelconque et P(x) une proposition sur cet ensemble.
Nous avons alors :
1. ∀x ∈ E; P(x) ⇔ ∃x ∈ E; P(x)
2. ∃x ∈ E; P(x) ⇔ ∀x ∈ E; P(x)
On peut dire plus simplement que la négation de ∀ et ∃ et vice-versa.
Exemple 1.7
1. La négation de (P) : ∀x ∈ R; f (x) = 0 est (P) : ∃x ∈ R; f (x) , 0.
2. Nous écrirons plus tard la définition d’une fonction f continue en un point x0 de son
ensemble de définition comme étant:
f continue en x0 ⇔ ∀ε > 0,∃α > 0;∀x ∈ D f ; (|x − x0 | < α⇒ | f (x) − f (x0)| < ε)
La définition, présentée comme ça, nous donne mécaniquement ce que veux dire : " f n’est
pas continue en x0". Il suffit de procéder à la négation du membre à droite de l’équivalence.
Je vous laisse le faire à titre d’exercice.
Définition 1.9
♣
Le procédé du raisonnement par absurde est le suivant:
1. On suppose que la négation de (P) est vraie.
2. On montre qu’elle implique une proposition (Q) qui est fausse.
Ce processus est équivalent à:
Quand (P) ⇒ (Q) est une proposition vraie et que (Q) est une assertion fausse, alors on
peut affirmer que (P) est vraie.
Exemple 1.8
CLASSIQUE: Montrons que (P) :√
2 < Q.
Supposons par absurde que (P) :√
2 ∈ Q est vraie. On a donc:
√2 ∈ Q ⇒ ∃(a, b) ∈ (N∗)2;
√2 =
ab
et pgcd(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ 2b2 = a2
On arrive donc à la conclusion que a2 est un nombre pair.
Lemme: (Démonstration à faire en exercice)
a2 pair ⇒ a pair
En utilisant le lemme ci-dessus, on en déduit que a est pair, donc il peut s’écrire sous la forme
1.5 Les grands types de raisonnement –9/23–
a = 2p avec p un entier naturel positif. Ainsi nous avons:
2b2 = (2p)2 ⇒ 2b2 = 4p2
⇒ b2 = 2p2
Cela veut dire que b2 est pair et par conséquent b l’est aussi.
On arrive finalement à un résultat qui affirme que a et b sont tous les deux pairs, ce qui contredit
pgcd(a, b) = 1.
Puisqu’on conclut par une contradiction, on en déduit donc que (P) est fausse, et donc que
(P) :√
2 < Q est vraie.
1.5.3 Raisonnement par contraposition
Définition 1.10
♣
Le raisonnement par contraposition est une alternative au raisonnement déductif lorsque
ce dernier s’avère trop compliqué. Il permet donc de démontrer les assertions du type:
(P) ⇒ (Q).
Le procédé de la contraposition est basé sur le fait que (P) ⇒ (Q) est équivalent à
(Q) ⇒ (P)
Exemple 1.9
1. Montrons que n2 pair implique n pair.
Il n’y a pas, à ma connaissance, aucun moyen de démontrer ce résultat par raisonnement
déductif ( Merci de m’informer par email, si vous connaissez une démonstration directe
!). On le démontre donc par contraposée.
On donc que:
n2 pair ⇒ n pair ⇔ n impair ⇒ n2 impair.
Ainsi, il suffit de démontrer que n impair ⇒ n2 impair. Ce qui est beaucoup plus facile.
Je vous laisse finir cet exemple et le suivant à titre d’exercice.
2. Montrer que si x et y sont deux réels distincts et différents de 1, alors on a:1
x − 1,
1y − 1
.
1.5.4 Raisonnement par disjonction de cas
Définition 1.11
♣
On considère une proposition du type, ∀x ∈ E,P(x). Avec E un ensemble sur lequel on
veut montrer que P(x) est vraie.
Un raisonnement par disjonction de cas, consiste à démontrer la propriété sur une partie
A de E puis de le faire pour le reste des éléments qui n’appartiennent pas à A.
1.5 Les grands types de raisonnement –10/23–
Exemple 1.10
Montrons que pour tout n ∈ N,n2 + 3n est un nombre pair.
Un nombre entier n peut être soit pair ou impair. On procède donc à démontrer que dans les
deux cas, n2 + 3n est toujours pair:
Si n est un nombre pair:
∃k ∈ Z,n = 2k ⇒ n2 = 4k2 et 3n = 6k
⇒ n2 + 3n = 4k2 + 6k
⇒ n2 + 3n = 2(2k2 + 3k)
Puisqu’on a réussi à écrire n2 + 3n sous la forme 2K avec K = 2k2 + 3k alors on a bien
démontré que c’était un nombre pair.
Si n est un nombre impair:
∃k ∈ Z,n = 2k + 1 ⇒ n2 = 4k2 + 4k + 1 et 3n = 6k + 3
⇒ n2 + 3n = 4k2 + 10k + 4
⇒ n2 + 3n = 2(2k2 + 5k + 2)
Puisqu’on a réussi à écrire n2 + 3n sous la forme 2K ′ avec K ′ = 2k2 + 5k + 2 alors on a
bien démontré que c’était un nombre pair.
On en conclut alors que n2+3n est toujours pair indépendamment des différents cas de figures.
1.5.5 Raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence est un cas très particulier dans les procédés de raisonnement
logique. Il est le seul qui n’est pas applicable hors des ensemble des entiers (N et plus générale-
ment Z).
La première utilisation connue et pertinente de type de raisonnement figure dans le traité du
triangle arithmétique (1665) publié par Blaise Pascal et qui a pour objet d’étude (entre autre)
son célèbre triangle (de Pascal).
Figure 1.1: Le triangle de Pascal extrait de son manuscrit de 1665
1.5 Les grands types de raisonnement –11/23–
En ce qui nous concerne, nous allons utiliser la récurrence pour démontrer des résultat sous
la forme suivante:
∀n ∈ N,P(n)
Autrement dit, La récurrence sera seulement utilisée pour démontrer des résultats dans
l’ensemble des entiers naturels.
Définition 1.12. Procédé du raisonnement par récurrence
♣
Afin de démontrer qu’une proposition P(n) est vraie pour tout entier naturel, on procède
comme suit:
1. Initialisation: On montre que la propriété est vraie pour n = 0.
2. Hérédité: On suppose que P(n) est vraie, puis on démontre que l’assertion P(n+1)
est aussi vraie.
�Note Concernant le rang de début d’une récurrence:L’initialisation d’une récurrence se fait à n = 0 seulement si la propriété à démontrer est valable
pour l’intégralité de N. Si ce n’est pas le cas, l’initialisation se fait à partir du premier rang
auquel elle est vérifiée qu’on note souvent n0.
Exemple 1.11
Montrons par récurrence que: ∀n ≥ 6, 2n ≥ 6n + 7.
Notons P(n), la propriété 2n ≥ 6n + 7.
Initialisation:
Pour n = 6, nous avons: 26 = 64 et 6 × 6 + 7 = 43. Ainsi P(6) est bien vérifiée.
Hérédité:
On considère que P(n) est vraie. Montrons que P(n + 1) : 2n+1 ≥ 6(n + 1)+ 7 l’est aussi.
On a:2n+1 = 2.2n ⇒ 〈2n+1 ≥ 2(6n + 7)〉
D’aprèsl’hypothèsed’héridité
⇒ 2n+1 ≥ 12n + 14
⇒ 2n+1 ≥ [6(n + 1) + 7] + (6n + 1)
⇒ 2n+1 ≥ 6(n + 1) + 7
Ainsi, P(n + 1) est aussi vraie.
On peut donc conclure par principe de récurrence que pour tout n ≥ 6, 2n ≥ 6n + 7.
Chapter Suites numériques
Prérequis
h Arithmétique de N
h Notions de base sur les fonctions.
h Raisonnement par récurrence.
h Identités remarquables.
2.1 Introduction
La suite numérique est l’un des outils les plus puissants et les plus utilisés en mathématiques.
On retrouve des traces de son utilisation très tôt dans l’histoire de l’humanité. Presque toute
les premières civilisations ont eu recours à une suite à un moment ou un autre: Les grecs, les
égyptiens, babyloniens...Bien évidement, aucune de celles-ci n’avais recours à cette notion avec
le formalisme précis et très rigoureux que nous utilisions aujourd’hui. Mais cela n’a pas empêché
des mathématiciens comme Acharia Pingala (Inde, 450-200 Av.J.C), Archimède(Grèce, vers
220 Av.J.C) ou encore Héron d’Alexandrie (Égypte, premier siècle Apr.J.C) d’établir des
résultats très intéressants ! Toutefois, celui qui va le plus s’illustrer dans la littérature mathéma-
tique des suites numériques modernes ne verra le jour que des siècles plus tard.
Leonardo Bonacci aussi connu sous les noms de Leonarod de Pise ou encore Fibonacci est
né à la république de Pisa en l’an 1170. L’Europe lui doit l’introduction de la numérisation
Indo-arabe (aussi connue de nos jours par les chiffres arabes) et par conséquent la popularisation
du système décimale qu’on utilise encore de nos jours. Mais son fait d’armes pour lequel il est
le plus connu est l’introduction de la suite qui porte depuis, le nom de Suite de Fibonacci. Il la
donna comme exemple dans son livre "Liber Abaci"(Livre du calcul) qu’il a publié en 1202.
Fibonacci introduit sa suite pour étudier la dynamique de population des lapins (Faisant de son
exemple le premier modèle mathématique en dynamique des populations !) sous des conditions
très simplifiées. A savoir:
"Chaque couple de lapins, dès son troisième mois d’existence, engendre chaque
mois un nouveau couple de lapins, et ce indéfiniment." Fibonacci, Liber Abaci.
Cette suite est maintenant modélisée par l’écriture formelle suivante:
(Fn) : F0 = 1; F1 = 1;
∀n ≥ 2; Fn+2 = Fn+1 + Fn
2.2 Généralités (Rappels de première) –13/23–
2.2 Généralités (Rappels de première)
2.2.1 Définitions basiques
Définition 2.1. Suite numérique
♣
On appelle Une suite numérique à valeurs réelles ou plus simplement une suite, toute
fonction U définie de N dans R.
�Note
Afin de simplifier la manipulation des suites numériques ( que nous allons appeler dorénavant
"suite" pour faire court ) voici quelques notations à prendre en compte :
1. Pour différencier les suites des fonctions plus générales, elles seront notées de la manière
suivante : (Un)n∈N ou simplement (Un), U désigne le nom de la suite, n la variable, et la
notation n ∈ N indique que la variable peut prendre n’importe quelle valeur de N. On
peut substituer cette dernière par n ≥ 0 qui veut dire la même chose.
2. Comme une fonction, l’image d’un entier n par la suite (Un) peut être notée U(n). Mais
puisque cela veut aussi dire "le nombre qui se trouve dans l’emplacement n", on préfère
utiliser la notation simplifiée Un (sans les parenthèses).
3. Il y a des suites qui ne peuvent pas être totalement définies sur N, Elles ne le sont qu’à
partir d’un nombre entier n0 qu’on appelle "rang de définition". On note alors la suite
de la manière suivante: (Un)n≥n0
Exemple 2.1
La suite dont le terme général est donné par: un =1n
est une suite qui n’est pas définie pour
n = 0. On la note alors par: (un)n≥1
Définition 2.2. Suite définie par récurrence
♣
Soit (un) une suite numérique.
La suite (un) est dite définie par récurrence lorsqu’elle est identifiée par: son premierterme et Une relation de récurrence liant deux termes successifs.Autrement dit, lorsqu’elle est présentée sous la forme:
(un) : u0 = α
un+1 = f (un) ∀n > 0Avec: α ∈ R et f : R −→ R une fonction réelle.
Exemple 2.2
La suite (un) de terme général un = 2n peut être définie par récurrence de la façon suivante:
(un) : u0 = 2
un+1 = 2 × un ∀n > 0
2.2 Généralités (Rappels de première) –14/23–
2.2.2 Suites arithmétiques
Définition 2.3. suite arithmétique
♣
Une suite est dite arithmétique, si et seulement si, il existe un nombre réel r tel que:
∀n ∈ N, un+1 = un + r
Le nombre r s’appelle la raison de la suite (un). c’est une constante de la suite arithmé-
tique.
Exemple 2.3
1. La suite (un) définie par: ∀n ∈ N; un = 5n − 3 est une suite arithmétique de raison 5.
2. La suite (vn) définie par: ∀n ∈ N; vn =n + 15
3est une suite arithmétique de raison
13
.
Propriété 2.1
♥
Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Nous avons les
propriétés suivantes:
1. ∀(p; m) ∈ N2; um = up + r(m − p)
2. ∀(p; m) ∈ N2;m∑
k=p
uk = (up + um) ×m − p + 1
2
�Note
Il est intéressant de noter le cas particulier lorsque p = 0(Puisqu’il est le plus utilisé). Dans ce
cas, les deux propriétés listées ci-dessus deviennent:
1. ∀m ∈ N; um = u0 + rm
2. ∀m ∈ N;m∑k=0
uk = (u0 + um) ×m + 1
2
2.2.3 Suites géométriques
Définition 2.4. suite géométrique
♣
Une suite est dite géométrique, si et seulement si, il existe un nombre réel q tel que:
∀n ∈ N, un+1 = q × un
Le nombre q s’appelle la raison de la suite (un). c’est une constante de la suite
géométrique.
Exemple 2.4
1. La suite (un) définie par: ∀n ∈ N; un = 5n est une suite géométrique de raison 5.
2. La suite (vn) définie par: ∀n ∈ N; vn =173n
est une suite géométrique de raison13
.
2.2 Généralités (Rappels de première) –15/23–
Propriété 2.2
♥
Soit (un) une suite géométrique de raison q , 1 et de premier terme u0. Nous avons les
propriétés suivantes:
1. ∀(p; m) ∈ N2; um = up × qm−p
2. ∀(p; m) ∈ N2;m∑
k=p
uk = up ×1 − qm−p+1
1 − q
�Note
Il est intéressant de noter le cas particulier lorsque p = 0(Puisqu’il est le plus utilisé). Dans ce
cas, les deux propriétés listées ci-dessus deviennent:
1. ∀m ∈ N; um = u0 × qm
2. ∀m ∈ N;m∑k=0
uk = u0 ×1 − qm+1
1 − q
2.2.4 Variations d’une suite
Lorsqu’on parle de sens de variation d’une suite (ou d’une fonction de manière plus générale)
sur un ensemble donné, on veut entendre par là le comportement global de la totalité des termes
de celle-ci. Cette propriété est très utile quand on essaye de schématiser une suite (ou fonction)
dans un graphique. Pour une suite, elle indique aussi la présence ou l’absence d’un ordre global
entre les termes de celle-ci. Une suite peut être soit croissante, décroissante ou constante sur
une partie de N.
Définition 2.5. Variations d’une suite
♣
Soit (un) une suite numérique. On dit que:
1. La suite (un) est croissante sur N si et seulement si:
∀n ∈ N, un+1 ≥ un.
2. La suite (un) est décroissante sur N si et seulement si:
∀n ∈ N, un+1 ≤ un.
3. La suite (un) est constante sur N si et seulement si:
∀n ∈ N, un+1 = un.
�Note
1. Une suite (un) peut changer de sens de variation soit de manière ordonnée soit d’unemanière chaotique !
Un exemple classique d’une telle suite est la suite définie par :
∀ ∈ N, un = (−1)n
Les termes de cette suite sont 1 et −1 de manière alternée suivant la parité de n. Elle n’est
ni croissante, ni décroissante ni constante sur N
2.2 Généralités (Rappels de première) –16/23–
2. Méthodes de démonstration: Afin d’étudier les variations d’une suite (un), on peut
utiliser plusieurs méthodes:
En utilisant les variations d’une fonction : Lorsqu’une suite est définie par son
terme général un = f (n), on peut étudier la variation de la fonction f sur l’intervalle
D f ∩ [0;+∞[
Calcul algébrique : En étudiant le signe d’une des deux différences suivantes:
un+1 − un.un+1un
− 1 avec, un , 0
A l’aide d’un raisonnement par récurrence.
Proposition 2.1. Variations d’une suite arithmétique
♠
Soit (un) une suite arithmétique de raison r . La suite (un) est :
1. croissante si et seulement si r > 0.
2. décroissante si et seulement si r < 0.
3. constante si et seulement si r = 0.
Proposition 2.2. Variations d’une suite géométrique
♠
Soit (un) une suite géométrique de raison q. La suite (un) est :
1. monotone si et seulement si q ≥ 0.
2. constante si et seulement si q = 0 ou q = 1.
Kþ Exercices kþ
1. Soit (un) la suite réelle définie par: u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = 1 −14n
.
(a). Calculer u1.
(b). Montrer, par récurrence, que: ∀n ∈ n; un >12
.
(c). Etudier la monotonie de la suite (un).
2. Soit (an) une suite arithmétique de raison r ∈ R telle que:a1 − a5 = 2
2a1 + a5 = −12
(a). Calculer a1 et a5.
(b). Calculer la raison r .
(c). En déduire an en fonction de n.
3. Soit (un) la suite réelle définie par: u0 = 3 et ∀n ∈ N; un+1 =2un
un + 5.
(a). Montrer que ∀n ∈ N; un , 0.
(b). Pour tout n ∈ N, on pose: vn = 1 +3un
.
I. Montrer que la suite (vn) est géométrique et déterminer sa raison.
II. Écrire vn puis un en fonction de n.
2.3 Comportement asymptotique des suites et limites –17/23–
2.3 Comportement asymptotique des suites et limites
2.3.1 Introduction historique
Avant d’expliquer ce qu’est le comportement asymptotique ou encore ce qu’est la limite
d’une suite, il est très important de prendre le temps de réfléchir aux notions du fini et de l’infini.
La dernière en particulier n’est pas du tout simple à cerner et a donné beaucoup de mal aux
mathématiciens avant les travaux de G.Cantor (1845-1918)þ sur la théorie des ensembles. Pour
faire simple, je dirais que l’infini à une sorte de double statut :
1. Un statut abstrait et philosophique de l’abondance qui incarne la négation du calcul par
saturation et non par manque.
2. Un statut plus pratique et fonctionnel qui ressemble (et non exactement le même) à celui
des nombres. Les infinis ( Oui, au pluriel !) ne sont pas tous égaux de la même manière
que les nombres ne le sont pas par exemple.
Puisque c’est un sujet qui risque de nous égarer de notre affaire principale, je vais m’arrêter ici
tout en vous encourageant à explorer plus cette question.
2.3.2 Généralités
On vient d’aborder la notion de variation sur un ensemble dans le paragraphe précédent et
nous avons vu qu’une suite peut être -par exemple- croissante sur N. Croissante veut dire que
chaque terme de la suite est plus grand que le précédent. Mais, que se passe-t-il lorsqu’on arrive
à des termes dont le rang est très grand ( quand on avance assez loin dans N ) ? Certes, la valeur
numérique des termes continuera à accroitre, mais de quelle manière ? Est-ce la même chose
qu’au début de la suite ?
Ce sont ces questionnements là qui ont poussé les mathématiciens à parler de Comportement
asymptotique d’une suite. Cette notion vient tout simplement qualifier le comportement d’une
suite lorsqu’on pousse le rang des termes (la variable) à l’extrême. Pour une suite, la seule façon
de le faire est en l’agrandissant vers des nombres entiers de plus en plus grands ( ce n’est pas la
seule façon de faire pour une fonction ). On dit alors qu’on fait tendre la variable vers plus
l’infini (c’est à dire à l’extrême droite de la demi-droite qui représente les nombres réels positifs)
et on le note n −→ +∞.
Le comportement asymptotique à l’infini ( quand n −→ +∞) peut se résumer en trois catégories
principales:
1. Les termes de la suite vont se rapprocher de plus en plus vers un nombre fixe l, mais sans
jamais l’atteindre. Et là, on dit que la suite à une limite finie ( qui est le nombre l). On dit
de cette suite qu’elle est une suite convergente.
2. Les termes de la suite vont continuer à croitre ou à décroitre sans cesse et ne semblent pas
s’arrêter. Dans se cas on ne dit pas que la suite n’a pas de limite, mais plutôt qu’elle a une
2.3 Comportement asymptotique des suites et limites –18/23–
limite infinie.
3. La suite a un comportement chaotique ou alterné, qui fait qu’elle ne respecte aucun des
deux profils précédents. Ce type de suites n’a pas de limite.
Les deux derniers types de suites ( limite infinie ou pas de limite ) s’appellent les suites
divergentes.
Exemple 2.5
1. On considère la suite définie par ∀n , 0, un = 1n . Calculer, u1; u10; u100; ...etc. Que
remarquez vous ?
2. On considère la suite définie par ∀n ∈ N, un = 2n. Refaites la même chose que pour la
première suite et regardez ce qui se passe.
3. On considère la suite définie par ∀n ∈ N, un = (−1)n. Refaites la même chose que pour
la première suite et regardez ce qui se passe.
Définition 2.6. Limite finie d’une suite
♣
Soient (un) une suite numérique et l un nombre réel.
On dit que la suite (un) tends vers l quand n −→ +∞ si tout intervalle ouvert J contenant
l, contient tous les termes de la suite (un) à partir d’un certain rang n0. On note alors :
limn→+∞
un = l.
Une suite qui admet une limite finie est dite: convergente. (On dit aussi que (un) converge
vers l).
Théorème 2.1. Unicité de la limite finie♥Si (un) est une suite convergente vers une limite finie l ∈ R. Alors, la limite l est unique.
�Note
(Indication de preuve)
Afin de démontrer le théorème 2.1, il faut procéder de la façon suivante: On considère que la
suite (un) converge vers deux réels l et l ′. Et il faut montrer que l = l ′.
Définition 2.7. Suite divergente vers +∞
♣
Soient (un) une suite numérique et a ∈ R.
On dit que la suite (un) tends vers +∞ quand n −→ +∞ ( ou encore qu’elle diverge vers+∞) si tout intervalle de la forme ]a;+∞[, contient tous les termes de la suite (un) à partir
d’un certain rang n0. On note alors : limn→+∞
un = +∞.
Proposition 2.3. Suite divergente vers −∞On dit que la suite (un) tends vers −∞ quand n tends vers l’infini ( ou encore qu’ellediverge vers −∞) si et seulement si la suite (−un) diverge vers +∞.
2.3 Comportement asymptotique des suites et limites –19/23–
♠Autrement dit: un −→ −∞ ⇔ un −→ +∞
Exemple 2.6
On considère la suite (un) définie par: ∀n ∈ N; un = n2 + 1.
Il est facile de voir que un −→ +∞. On peut donc directement en déduire que la suite (vn) définie
par: vn = −n2 − 1 diverge vers −∞.
2.3.3 Limites des suites usuelles
Lorsqu’on parle de suites usuelles, on veut dire par cela les suites qui viennent de manière
naturelle et que nous avons l’habitude de manipuler. Elles servent de "brique de construction"
pour fabriquer toutes les autres suites.
Le théorème suivant regroupe les limites de ces dernières.
Théorème 2.2. Limites des fonctions de référence
♥
Soit k un entier strictement positif (k ≥ 1).
1. limn→+∞
k = k
2. limn→+∞
nk = +∞.
3. limn→+∞
1nk= 0
4. limn→+∞
√n = +∞
5. limn→+∞
1√n= 0
2.3.4 Opérations sur les limites de suites
Je viens de faire remarquer dans le paragraphe précédent que les suites usuelles permettent
de construire les autres suites. Il est donc naturel de penser qu’on peut déduire la limite de
n’importe quelle suite à partir de celles qu’on connait déjà ! C’est beaucoup plus simple de s’y
prendre de cette façon que revenir à la définition à chaque fois.
On peut construire de nouvelles suites à partir des usuelles en utilisant les opérations de base
tout simplement ( somme, produit, quotient). Donc il suffit de comprendre ce qui se passe aux
limites dans chacun de ces cas.
Le tableau suivant liste toutes les limites des combinaisons possibles entre deux suites avec les
opérations de bases: addition, multiplication par un scalaire (k ∈ R), multiplication et division
entre deux suite...
2.3 Comportement asymptotique des suites et limites –20/23–
Exemple 2.7
1. On considère la suite (un) définie par: ∀n ∈ N; un = n3 + 2n2 − 1.
Pour calculer la limite limn→+∞
un, il faut décomposer un en tant que combinaison de suites
de références, déterminer les limites de celles-ci, puis utiliser le tableau afin de décider de
la limite globale de (un).
Dans cet exemple, on constate que un s’écrit comme combinaison linéaire des suites:
n 7−→ n3 et n 7−→ n2. Les deux divergent vers +∞ quand n −→ +∞. Et ainsi d’après le
tableau, on en déduit que: limn→+∞
un = +∞.
2. Calculer, en utilisant la même méthode qu’au point précédent, la limite de la suite (un)
définie par: ∀n ∈ N; un = n2 + 3√
n − 7.
3. (IMPORTANT): Cas avec une forme indéterminée:
Certaines opérations ne permettent pas d’aboutir à un résultat (Les ? dans le tableau).
C’est notamment le cas lorsqu’on additionne deux suites divergentes respectivement vers
+∞ et −∞. Dans ce cas là, il faut penser à transformer l’écriture algébrique de la
résultante. Il y a principalement trois moyens de le faire:
En factorisant.
En multipliant par une quantité conjuguée.
Les deux à la fois.
On se propose de calculer limn→+∞
n2 −√
n comme exemple. Un rapide coup d’il au tableau
nous indique que c’est une forme indéterminée. On procède donc de la façon suivante:
limn→+∞
n2 −√
n = limn→+∞
√n(n
√n − 1)
Or, puisque: limn→+∞
√n = +∞ et lim
n→+∞n√
n − 1 = +∞, alors on peut en déduire que
limn→+∞
n2 −√
n = +∞.
Kþ Exercices kþ
1. Calculer, dans chacun des cas suivants, la limite de la suite (un).
∀n ∈ N; un =1
3n + 5.
∀n ∈ N; un = n2 +1n− n.
∀n ∈ N; un =5n2 − 3
n2 + n + 1.
2.3 Comportement asymptotique des suites et limites –21/23–
2.3.5 Limites de suites et comparaison
Jusqu’ici, nous avons vu comment calculer directement la limite d’une suite (un) du moment
qu’on connait son terme général et que celui-ci est écrit en fonction de suites usuelles.
Il se trouve qu’il y a beaucoup de suites dont nous ne pouvons pas calculer la limite par ce
calcul direct d’opération sur les limites et ceux pour deux raisons principalement:
Lorsqu’on n’arrive pas à déterminer le terme général d’une suite. Qui est souvent définie
par récurrence dans ce cas.
Lorsque le terme général de la suite contient un élément qui n’admet pas de limite. On
peut prendre comme exemple la suite (un) définit par: ∀n ∈ N; un = 1 +(−1)n
nAfin, de contourner ces problèmes, on utilise ce qu’on appelle : Les théorèmes de comparaison.
la technique consiste à transférer l’étude de la limite à une suite comparable à celle qu’on doit
calculer la limite.
Théorème 2.3. Suite minorée/majorée par une autre suite
♥
On considère deux suites (un) et (vn) et un m un nombre entier naturel tels que :
∀n ≥ m, un ≤ vn
1. Si limn→+∞
un = +∞, alors limn→+∞
vn = +∞.
2. Si limn→+∞
vn = −∞, alors limn→+∞
un = −∞.
3. Si limn→+∞
un = l et limn→+∞
vn = l ′, alors l ≤ l ′.
Théorème 2.4. Théorème d’encadrement
♥
Soit l ∈ R. On considère trois suites (un), (vn) et (wn) telles qu’il existe m ∈ N vérifiant:
∀n ≥ m, un ≤ vn ≤ wn
Si limn→+∞
un = limn→+∞
wn = l, alors : limn→+∞
vn = l
�Note
Pour démontrer ces deux résultats, il faut utiliser définitions canoniques des limites des suitesconcernées. Par exemple, afin de démontrer le point 1. du théorème 2.3., il faut commencer par
dire que :
limn→+∞
un = +∞ ⇔ ∀A ∈ R+;∃p > 0;∀n ≥ p; un > A
L’objectif étant de trouver un entier N à partir duquel nous avons: ∀n ≥ N; vn > A
Exemple 2.8
Revenons à la suite énoncée au début de ce paragraphe définie par:
∀n ∈ N; un = 1 +(−1)n
nOn a : ∀n ∈ N; −1 ≤ (−1)n ≤ 1.
Ainsi, on peut facilement encadrer un de la façon suivante:
∀n ∈ N; 1 −1n≤ un ≤ 1 +
1n
2.3 Comportement asymptotique des suites et limites –22/23–
Or on a : limn→+∞
1 −1n= lim
n→+∞1 +
1n= 1
Ainsi, on peut en déduire par théorème d’encadrement, que : limn→+
un = 1
2.3.6 Suites monotones et minorées/majorées
Définition 2.8
♣
Soit (un) une suite numérique. On dit que:
1. (un) est majorée, s’il existe un nombre réel M tel que ∀n ∈ N, un ≤ M
2. (un) est minorée, s’il existe un nombre réel m tel que ∀n ∈ N, un ≥ m
3. (un) est bornée, si elle est à la fois majorée et minorée.
Exemple 2.9
1. La suite (un) définie par ∀n ∈ N; un =1n
est minorée par 0 et majorée par 1.
2. La suite (vn) définie par ∀n ∈ N; vn = sin(n) est minorée par −1 et majorée par 1.
Théorème 2.5
♥
Soit (un) une suite numérique telle que limn→+∞
un = l avec l ∈ R.
1. Si la suite (un) est croissante, alors elle est majorée par l.
2. Si la suite (un) est décroissante, alors elle est minorée par l.
Théorème 2.6
♥
Soit (un) une suite numérique.
1. Si la suite (un) est croissante et majorée, alors elle est convergente.
2. Si la suite (un) est décroissante et minorée, alors elle est convergente.
�Note
Attention:
Lorsqu’une suite (un) est croissante et majorée par un réel M , on en déduit qu’elle est conver-
gente. Mais: elle ne converge pas forcement vers M .
Chapter Étude des fonctions: Continuité et limites
Prérequis
h Manipulation des fonctions usuelles.
h Calcul des dérivées des fonctions.
h Variations, asymptotes et tangentes
des représentations graphiques de
fonctions.
