Cours Mathématiques - Semestre 1

8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1

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MATHÉMATIQUES

ECO GESTIONL1 Premier Semestre

Armand Taranco


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BIBLIOGRAPHIE

Boissonnade et !redon " Ana#$se mat%&mati'(e) tomes1 et *) !#as% U) A+ Co#in+

,(-ont " A#./0re -o(r #es sciences &conomi'(es) !#as%U) A+ Co#in+

Bernard G(errien) Isa0e##e T%is " Les mat%&mati'(es de#a micro&conomie) Economica) &dition de -oc%e+

Leco(tre " Mat%&mati'(es -o(r sciences &conomi'(es+Eercices corri.&s a2ec ra--e#s de co(rs) Masson+

Car#) P+ Simon et La3rence B#(me) mat%&mati'(es -o(r&conomistes) trad(it c%e4 ,eBoec5 6+ C+ ,ameron " Mat%&mati'(es sc%&matis&es)

Economica+


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PLAN ,U COURS

La droite n(m&ri'(e Pro-ri&t&s m&tri'(es de Rn

Les 7onctions n(m&ri'(es d8(ne 2aria0#e r&e##e

Les 7onctions n(m&ri'(es de -#(sie(rs 2aria0#esr&e##es

Con2eit&) conca2it&

O-timisation " sans contraintes) a2ec contraintes


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LA ,ROITE NUMÉRIQUE

Notations

R est #8ensem0#e des nom0res r&e#s+

R∗ est #8ensem0#e des r&e#s non n(#s+

R9 est #8ensem0#e des r&e#s -ositi7s o( n(#s+

Inter2a##es de R

a et 0 de( r&e#s) a : 0Inter2a##e ouvert " ;a) 0< = >∈R ? a @ @ 0Inter2a##e fermé " ∈R ? a : : 0


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a#e(r a0so#(e d8(n r&e# = si D

= F si @

Propriétés

Po(r to(t r&e# " D

= = ⇔

Po(r to(t r&e# " = F

Po(r to(s #es r&e#s et $ " +$ = + $

Po(r to(s #es r&e#s et $ " F $ : 9 $ : 9 $


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,istance

d " R R R9

) $ J $

d)$ = J $

Propriétés

d)$ = = $⇔ ∀∈R ∀$∈R d ) $ = d$) ∀∈R ∀$∈R ∀4∈R d)$ : d)4 9 d4)$


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Inter2a##e o(2ert de centre a et de ra$on r

Ia)r = ; a F r) a 9 r <

O(2ert de R

U R est (n⊂ ouvert si et se(#ement si "∀a∈U ∃r K te# '(e Ia)r ⊂ UExemple

;F*) < est (n o(2ert+

a<a9r

;aFr


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!erm& de R

! ⊂ R est (n fermé si et se(#ement si soncom-#&mentaire est (n o(2ert+

Exemple! =


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PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES ,E Rn

Notation

Un -oint de Rn est (n 2ecte(r caract&ris& -ar sescoordonn&es 1)+++) n+ On &crit " = 1)+++) n+

Norme s(r RnUne norme de Rn est (ne a--#ication N " Rn R9 2&ri7iant "

F N = = ⇔

F ∀∈Rn ∀λ∈R Nλ+ = λ+NF ∀∈Rn ∀$∈Rn N 9 $ : N 9 N$


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Exemples

Po(r = 1)+++) n)

F norme e(c#idienne

F

F ∑==n

1ii* N )(

)MaN n11 ,)( =

*

n

*

1 ++=


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Remarque

La norme e(c#idienne dans Rn -ro2ient d( -rod(itsca#aire de de( 2ecte(rs et $ "

= 1)+++) n) $ = $1)+++) $n

∑=

=•n

1iii$$

∑==•n

1i

*i

•=


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,istances s(r Rn

On -e(t associer c%a'(e norme N s(r Rn (nedistance d "

d " Rn Rn R9 ) $ d)$

d)$ = N F $

Exemple

distance e(c#idienne "

*

nn

*

11 I$HI$H$F −++−=


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Bo(#es dans Rn

Rn m(ni de #a norme e(c#idienne se note Rn ) +

Boule ouverte de centre a et de rayon r, notée B(a,r)

Ba)r = >∈Rn ? J a @ rExemple

,ans R* ) ) Ba)r est (n dis'(e o(2ert de centre a etde ra$on r+

a1

a*

1

*

a=a1)a*r


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Boule fermée de centre a et de rayon r, notée Ba)rBa)r = >∈Rn ? J a : r

RemarqueTo(tes #es 0o(#es ne sont -as rondes

Exemple

,ans R*

)N*) BO)1 est (n carr& de centre O+BO)1 =>1)*∈ R* ? 1 9 *@1


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Bo(#e BO)1 dans R*)N*

1

*

1)F1)

)F1

)1

O

*1* N +=


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O(2erts dans Rn

U⊂Rn est (n ouvert si et se(#ement si "

∀∈ U ∃rK te# '(e B)r ⊂U

U

B)r


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Exemple

Une 0o(#e o(2erte est (n o(2ert+

r a

d1

d*B)ρ a2ec

*

Id)MinHdQ *1≤


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!erm&s dans Rn

! R⊂ n est (n 7erm& si et se(#ement si #e com-#&mentairede ! dans Rn dans est (n o(2ert+

Exemple

! =


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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE

,&7inition d8(ne 7onction n(m&ri'(e d8(ne2aria0#eOn a--e##e fonction numérique d8(ne 2aria0#e r&e##e

(ne a--#ication d8(ne -artie E R 2a#e(rs dans R+⊂

On note7 " E R 7

Remarque Une 7onction n(m&ri'(e n8est -as n&cessairementd&7inie -o(r to(s #es r&e#s+ Ainsi) #a 7onction n8est d&7inie '(e -o(r ∈ R9+


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,omaine de d&7inition d8(ne 7onctionL8ensem0#e des r&e#s -o(r #es'(e#s #a 7onction 7 estd&7inie s8a--e##e #e domaine de d&7inition de #a 7onction 7+Les r/.#es s(i2antes sont so(2ent (ti#is&es -o(rd&terminer #8ensem0#e de d&7inition d8(ne 7onction+F On ne -e(t -as di2iser -ar +F On ne -e(t -as ca#c(#er #a racine et -#(s .&n&ra#ement)#a -(issance non enti/re d8(n nom0re strictement

n&.ati7+F On ne -e(t -as ca#c(#er #e #o.arit%me d8(n nom0ren&.ati7+


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Notion de #imiteLa notion de #imite re-ose s(r #a notion de proximité+

On dit '(e #a 7onction 7 tend 2ers # #ors'(e tend 2ers a

et #8on &crit "

-o(r e-rimer #e 7ait '(e 7 est a(ssi -roc%e '(e #8on

so(%aite d( r&e# # -o(r2( '(e soit s(77isamment -roc%ed( r&e# a+

#7HI#imaa

=≠→


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Po(r 7orma#iser #a notion de #imite) on a reco(rs #anotion de distance) c8estFFdire dans R) #a 2a#e(ra0so#(e de #a di77&rence entre de( nom0res+

Définition 1On dit '(e #a 7onction 7 a -o(r #imite # #ors'(e tend 2ersa si et se(#ement si "

-o(r to(t εK) i# eiste dK te# '(e -o(r to(t 2&ri7iant

@ J a@don ait 7 J #@ε+


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Définition

On dit '(e 7 tend 2ers # '(and tend 2ers 9 et on#8on note "

#ors'(e 7 est a(ssi -roc%e '(e #8on 2e(t d( r&e# # si est s(77isamment .rand) ce '(e #8on trad(itmat%&mati'(ement -ar "

-o(r to(t εK) i# eiste MK te# '(e -o(r to(t 2&ri7iantDM on ait 7 J #@ε.Exemples

#7HI#im =∞→

Ee#im

=−

∞→

x

E

1#im

=∞→


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Q(and #a #imite d8(ne 7onction n8eisteFtFe##e -asdans RV

F Lors'(e #a #imite est infinie!Exemple

F Lors'(e #es #imites .a(c%e et droite eistent maisne sont -as &.a#es+

Exemple

+∞=→ *

1#im

0

1

#im

=>→

1

#im

−=


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F Lors'(e #es #imites .a(c%e o( droite n8eistent -as

Exemple

≠→

1sin#im


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Unicit& de #a #imite

Si (ne 7onction 7 admet (ne #imite # #ors'(e tend 2ers a)a#ors cette #imite est unique+


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O-&rations s(r #es #imites7 et . sont de( 7onctions te##es '(e "

a#ors

#7HI#ima

=→

%.HI#ima

=→

%#.IHIH7 #ima

+=+→

%#.IHIH7 #ima ×=×→

E%si%

#IHI.

7 H#ima

≠=→


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Passa.e #a #imite dans #es in&.a#it&sF 7 et . sont de( 7onctions te##es '(e 7 : . -o(rto(t ∈U) (n inter2a##e o(2ert contenant a+Si et eistent) a#ors "

F t%&or/me des .endarmesSi -o(r to(t ∈U on a . : 7 : %et

a#ors

7HI#ima→

.HI#ima→

.HI#im7HI#imaa →→

≤

R#%HI#im.HI#imaa

∈==→→

#7HI#imaa

=≠→


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Notion de contin(it&Soit 7 (ne 7onction n(m&ri'(e d&7inie en a+ On dit '(e 7est continue en a si se(#ement si "

7 est contin(e s(r (n inter2a##e o(2ert U si e##e estcontin(e en to(t -oint de U+

"ntuitivement) (ne 7onction est contin(e si et se(#ementsi on -e(t #a re-r&senter .ra-%i'(ement en (n se(# trait)sans a2oir #e2er #e cra$on de sa 7e(i##e+

7HaI7HI#imaa =

≠→


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Exemples de fonctions continues

F #es 7onctions a77ines

F #es 7onctions -o#$nWmes

F #es 7onctions sin(s et cosin(s

Exemple de fonction discontinue en un point

si X

7 =

17 =


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Si D) a#ors 7 = 1

Si @) a#ors 7 = F1

,8oY

7 n8est -as contin(e en +

7HEI17HI ==>→00lim x x

717 ≠−=<→00

lim

x

x

F1

1

O

7


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Pro#on.ement -ar contin(it&

Soit 7 (ne 7onction contin(e s(r (n inter2a##e U sa(7 en a+

On s(--ose '(e eiste+ Soit # cette #imite+

Soit . d&7inie -ar ". = 7 si X a

. est (ne 7onction contin(e en a+ C8est #e prolon#ementpar continuité de 7 en a+

7#im

a

a

≠

→

#7#im.aaa

==≠→


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Exemple

La 7onction d&7inie -ar n8est -as

d&7inie en = 1+ E##e n8est donc -as contin(e en = 1+Ce-endant) +

On -e(t donc d&7inir #e -ro#on.ement -ar contin(it& de 7en 1 "

1

*7

*

−−+

=

4=≠→7HI#im

11

Z.H1I

1si1M*7HI.HI

*

=

≠− −+==


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Racine de 7

Les so#(tions d8(ne &'(ation de #a 7orme 7 = sonta--e#&es #es racines de 7+

Point 7ie de 7 Les so#(tions d8(ne &'(ation de #a 7orme 7 = sonta--e#&es des -oints 7ies de 7+

Remarque

Les racines de 7 sont #es -oints 7ies de . d&7inie -ar

7 [ . \ +


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T%&or/me des 2a#e(rs interm&diaires

Soit U (n inter2a##e non 2ide de R et 7 (ne 7onctionn(m&ri'(e d&7inie et contin(e s(r U+

Soient a et 0 dans U) a : 0+Si 7a : 70) a#ors -o(r to(t $∈


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I##(stration d( coro##aire

$

a 0c


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Si 7 n8est -as contin(e #e t%&or/me et #e coro##aire sontmis en d&7a(t+

$

a 0


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Eem-#e oY (ne racine eiste) 0ien '(e #8(ne des%$-ot%/ses d( coro##aire ne soit -as 2&ri7i&e+

$

a 0


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Un t%&or/me de -oint 7ie

Si 7 est contin(e s(r


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La 7onction . 2&ri7ie donc "

.a D et .0 :

,8oY .a+.0 :

Le coro##aire a77irme a#ors #8eistence d8(n r&e# c te# '(e#8on ait .c = ) c8estFFdire 7c = c+


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,&ri2&e d8(ne 7onction n(m&ri'(eLa notion mat%&mati'(e de d&ri2&e est 7ondamenta#e en&conomie oY e##e corres-ond a( .rande(rs dites

mar.ina#es+Définition " Soit 7 (ne 7onction n(m&ri'(e d&7inie s(r (ninter2a##e o(2ert contenant U+ 7 est d&ri2a0#e en a∈U sison ta( de 2ariation "

admet (ne #imite '(and tend 2ers a+

aF

7HaIF7HI#im

aa

≠→


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On a--e##e a#ors cette #imite) #ors'(8e##e eiste)#a dérivée de 7 en a et on #a note "

Remarques U doit ^tre o(2ert La #imite -r&c&dente est a(ssi &.a#e

aF

7HaIF7HI#imHaI7

a

a

≠

→=′

%

7HaIF%I7Ha#im

%%

+≠→


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Si on se #imite %K) on o0tient #a d&ri2&e droite en a+

,e #a m^me 7a_on) si %@) on o0tient #a d&ri2&e .a(c%e de a) not&e +

7 est d&ri2a0#e si et se(#ement si +

Définition 7 est d&ri2a0#e s(r (n o(2ert U si et se(#ement si 7 estd&ri2a0#e en c%a'(e -oint de U+

a7 .′a7 a7 d. ′=′

%

7HaIF%I7Ha#imHaI7

E% E%

d

+=′>→


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7 est dériva%le en "

Comme

i# en r&s(#te "

1sin#im

EF

7HEIF7HI#im

≠→

≠→

=

1sin ≤

0==≠→

≠→

1sin#im

EF

7HEIF7HI#im


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F Po(r #e ca#c(# de #a dérivée sur un intervalle ouvert "(ti#iser #es d&ri2&es de 7onctions conn(es et #es r/.#es deca#c(# des d&ri2&es+


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Eem-#e &conomi'(e " cot de -rod(ction

F Cot tota#

La 7onction de cot e-rime #e cot tota# C$ -ermettant

(ne entre-rise de -rod(ire (ne '(antit& $ de 0iens+F Cot mo$en

On d&7init a#ors #e cot mo$en -ar "

b

CbCMb =


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F Cot mar.ina# Le cot mar.ina# Cmar.ina# de -rod(ction est d&7initcomme "

#e cot s(--#&mentaire de -rod(ction -ermettant #a-rod(ction d8(ne (nit& s(--#&mentaire+

Une a(.mentation de #a -rod(ction de $) corres-ond (ne a(.mentation d( cot de C= $ + Cmar.ina#+

c8est dire "

$

C$F$C$Cmar.ina#

+≈


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I# s8a.it en 7ait d8(n $ in7init&sima#) et #a notion de cotmar.ina# est re-r&sent&e mat%&mati'(ement -ar #ad&ri2&e de #a 7onction de cot "

H$IC $

CH$IF $ICH$#imCE $

mar.ina# ′=+=

→


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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLEQ(e#'(es d&ri2&es de 7onctions (s(e##es

7 78 7 78αx

1α-αx αu(x) (x)uαu(x)α ′

x1

2x

1−u(x)1

( ) 2u(x)

(x)u′−

v(x)u(x) (x)vu(x)v(x)(x)u ′+′ v(x)u(x)

( ) 2v(x)

(x)vu(x)v(x)(x)u ′−′

lnx x1

lnu(x)u(x)

(x)u′

x

e

x

e

u(x)

e

u(x)

e(x)u′sinx cosx sinH(HII cos((′

cosx sinx− cos( sin((F ′

tanx

( )2

cosx

1


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Le t%&or/me des accroissements 7inis

Si 7 est contin(e s(r


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I##(stration d( t%&or/me des accroissements 7inis

$

a 0c1 c*


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!onctions de c#asse Cn

Soit 7 " , ⊂ R R (ne 7onction -oss&dant desd&ri2&es contin(es (s'(8 #8ordre n s(r ,+ On dit a#ors

'(e 7 est de c#asse Cn

s(r ,+Proposition

Soit 7 (ne 7onction de c#asse C1 s(r


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&ormule de 'aylor a#ran#e

Soit 7 "


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&ormule de 'aylor oun#

Soit I (n inter2a##e r&e# o(2ert et 7 " I R (ne 7onction n

7ois d&ri2a0#e en E∈I+

A#ors i# eiste (ne 7onction ε " I R te##e '(e "

et -o(r to(t % te# '(e E9%∈I

fH%I%nP

%

IH7 +++I%H7 I7H%I7H

nn

n

+++′+=+

f%#im%

=→


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&ormule de 'aylor *ac aurin

Soit I (n inter2a##e r&e# o(2ert contenant #e r&e#

et 7 " I R (ne 7onction n 7ois d&ri2a0#e en +

A#ors i# eiste (ne 7onction ε " I R te##e '(e "

et -o(r to(t ∈I

On dit '(e #8on a e77ect(& (n développement de 'aylor en = #8ordre n+

f#imE

=→

fHInP

HEI7 +++HEI7 7HEI7HI

nn

n

+++′+=


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Exemples

F E77ect(er (n d&2e#o--ement de Ta$#or de #a 7onctione) en =) #8ordre +

F E77ect(er (n d&2e#o--ement de Ta$#or de #a 7onction

#n19) en =) #8ordre *+

fHIMP

*P

1e M

M*

++++=

fHI*

I#nH1 *

*

+−=+


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Position d8(ne co(r0e -ar ra--ort sa tan.ente

A a)7a

$

T

a

7a

M

P

a9%

On s(--ose #a 7onction 7 g s(77isamment d&ri2a0#e h -o(r -o(2oir a--#i'(er

#a 7orm(#e de Ta$#or #8ordre n+


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É'(ation de #a tan.ente en =a

La -osition de #a co(r0e -ar ra--ort sa tan.ente en a

est d&termin&e -ar #e si.ne de "

A On s(--ose et #8eistence d8(n entier n te# '(e#8on ait "

et '(e 7 HnI soit contin(e en a+Une a--#ication de #a 7orm(#e de Ta$#or montre '(e "

F si n est im-air) i# $ a (n -oint d8in7#eion

F si n est -air) i# n8$ a -as de -oint d8in7#eion+

aIHHaI7 7HaI$ −×′=−

a7 %7a%7aPHPMHMd% ′+−+=−==

EHaI7 et EHaI7 +++HaI7 n1Fn ≠===′′EHaI7 ≠′


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B On s(--ose et #8eistence d8(n entier n te# '(e #8onait "

et '(e 7 HnI soit contin(e en a+

Une a--#ication de #a 7orm(#e de Ta$#or montre '(e "

EHaI7 et EHaI7 +++HaI7 n1Fn ≠===′′EHaI7 =′

n -air

7 na@ 7 naK

maim(m #oca# minim(m #oca#

n im-air

7 na@ 7 naK

!ONCTIONS ,E PLUSIEURS


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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES

,&7inition d8(ne 7onction n(m&ri'(e de -#(sie(rs2aria0#es

Une 7onction numérique de n 2aria0#es est (ne

a--#ication d8(ne -artie , de Rn

2a#e(rs dans R+On #a note "

7 " , R

1) +++) n 7 1) +++) n

Le domaine de d&7inition de 7 est #8ensem0#e des -oints1) +++) n te#s '(e $ = 7 1) +++) n eiste dans R+ On #enote ,7 +



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Exemple

Soit 7 d&7inie -ar "

)$∈ ,7 >Z J ⇔ * J $* K )$∈ ,7 >⇔ * 9 $* @Z

** $Z

$I7H)

−−=

1


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C%eminUn c%emin c de Rn est (ne a--#ication d8(n inter2a##e I deR 2a#e(rs dans Rn "

c: I → Rn

t c1 t ) +++) cn t

Exemple

La -osition t) $t) 4t d8(n o0et (n instant donn& tdans #8es-ace d&7init (n c%emin de R "

t t) $t) 4t



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Limite d8(ne 7onctionSoit 7 (ne 7onction de n 2aria0#es d&7inie s(r , R⊂ n+ Ondit '(e 7 tend 2ers # '(and ∈ Rn tend 2ers a∈ Rn si et se(#ement si "

∀ε K ∃αK te# '(e -o(r to(t ∈ , 2&ri7iant Fa@α on ait 7F#@ε.

On &crit "

Si #a 7onction 7 -oss/de (ne #imite -o(r tendant 2ers a)a#ors cette #imite est unique+

#7HI#ima

=→



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Remarque

La #imite d8(ne 7onction 7 " Rn R en (n -oint a)#ors'(8e##e eiste) ne doit -as d&-endre de #a 7a_on donton tend 2ers a+

Exemple

Soit 7 " R* R d&7inie -ar "

E7HE)EI

HE)EI$IH)si

$

$$I7H)

**

=

≠

+

=



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Le #on. de #a droite d8&'(ation $ = t) on a "

Esit

ttI7H)

***

*

≠

+

= x

Esit1

ttI7H)

* ≠

+=

*E t1

ttI7H)#im

+=

→



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On en conc#(t '(e #a #imite de #a 7onction 7 #ors'(e

)$ ) ne -e(t eister -(is'(8e##e d&-end d(c%emin '(e #8on em-r(nte -o(r se ra--roc%er d( -oint

)+Ce -roc&d& -e(t ^tre (ti#is& -o(r montrer '(e #a #imited8(ne 7onction en (n -oint donn& n8eiste -as+



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Contin(it& d8(ne 7onction 7 en (n -oint aUne 7onction de n 2aria0#es d&7inie s(r , R⊂ n estcontin(e en a ∈, si et se(#ement si "

Remarque

Une 7onction de -#(sie(rs 2aria0#es -e(t ^tre contin(e

-ar ra--ort c%ac(ne des 2aria0#es sans ^tre contin(ea( sens -r&c&dent -ar ra--ort #8ensem0#e des2aria0#es+

7HaI7HI#ima =→



70/153


ExempleSoit 7 " R* R d&7inie -ar "

Les 7onctions d8(ne 2aria0#e d&7inies -ar " et sont contin(es en +

Mais cette 7onction de de( 2aria0#es 7 n8est -ascontin(e en ) car e##e n8a -as de #imite en )+

E7HE)EI

HE)EI$IH)si$

$$I7H)

**

=

≠+

=

7H)EI"% → $I7HE)$". →



71/153


,&ri2&es -artie##es Soit 7 " R* R) a∈ R*) a = a1)a*

Si eiste)

On note ce nom0re et on dit '(e c8est #a

d&ri2&e -artie##e de 7 -ar ra--ort 1 en a = a1)a*+

%

Ia)7HaIa%)7Ha

#im

*1*1 −+→0h

Ia)Ha

7 *1

1∂∂



72/153


,e m^me si eiste) on note ce

nom0re et on dit '(e c8est #a d&ri2&e

-artie##e de 7 -ar ra--ort * en a = a1)a*+

%

Ia)7Ha%Ia)7Ha#im *1*1

−+→0h

Ia)Ha

7

*1*∂

∂



73/153


P#(s .&n&ra#ement) soit 7 " Rn R et a = a1))an+

Si eiste) on note ce

nom0re et on #8a--e##e #a i&me d&ri2&e -artie##e de 7en a+

Remarque

C8est en 7ait #a d&ri2&e de #a 7onction n(m&ri'(e d8(ne2aria0#e " en =a i+

%

a)+++)7aa%)+++)a)+++)7a#im n1ni1

%

−+→

(a)xf

i∂∂

Ia)+++))+++)7Ha n1→



74/153


Exemple

19(1,3)y

f 74yy)(x,

y

f

16(1,3)x

f

115xy)(x,x

f

7yx2y5xy)f(x,

2

23

−=∂∂

−−=∂∂

=∂∂

+=∂∂

−+−=



75/153


Exercice

Ca#c(#e4 #es d&ri2&es -artie##es) -o(r to(t )$ de R*) de#ja--#ication 7 "

E7HE)EI

HE)EI$IH)si$

$$I7H)

**

=

≠+

=


76/153



77/153


Par s$m&trie entre et $ on en d&d(it "

,&ri2&es -artie##es en )$ X )

0(0,0)y

f =

∂∂

***

**

***

**

I$H

$$IH)$

7

I$H

$$$IH)

7

+−−=

∂∂

+−

=∂∂



78/153


,&ri2&es -artie##es s(ccessi2esSoit 7 (ne 7onction de n 2aria0#es admettant (ne d&ri2&e-artie##e -ar ra--ort i -o(r to(t = 1))n+

Lors'(e #a 7onction

admet e##e m^me (ne d&ri2&e -artie##e -ar ra--ort )on a--e##e cette derni/re (ne d&ri2&e -artie##e seconde

o( d8ordre * et on #a note "

)+++)7 )+++) n1in1 ∂∂→

∂∂

∂∂

=∂∂

∂)x,...,(x

x

f

x)x,...,(x

xx

f n1

i j

n1

ji

2



79/153


Exemple

$)$ 7 $)$ 7

F$)$

7 Z$$)

$

7

$)

7 11k$)

7

$*$k$7)

**

*

*

*

**

*

=∂∂∂=∂∂∂

=∂∂

−−=∂∂

=∂

∂

+=∂

∂

−+−=

4



80/153


T%&or/me de Sc%3art4Soit 7 " Rn R

Si #es d&ri2&es -artie##es secondes sont contin(es dans

(n o(2ert contenant a∈Rn) a#ors "

Le t%&or/me de Sc%3art4 s8a--#i'(e -ar eem-#e -o(r#es 7onctions -o#$nWmes)#es 7ractions rationne##es+

(a)xx

f (a)

xx

f

i j

2

ji

2

∂∂∂

=∂∂

∂



81/153


Remarque d+ordre pratique Po(r -o(2oir a--#i'(er 7aci#ement #e t%&or/me deSc%3art4) i# 7a(t ^tre ca-a0#e de reconna`tre si #a7onction &t(di&e a des d&ri2&es -artie##es secondes

contin(es sinon son a--#ication n&cessite #e ca#c(#e-#icite des d&ri2&es -artie##es secondes+

Eem-#es de 7onctions d&ri2&es -artie##es secondescontin(es " #es 7onctions -o#$nWmes de -#(sie(rs

2aria0#es) #es 7ractions rationne##es en (n -ointn8ann(#ant -as #e d&nominate(r)


82/153



83/153


En to(t -oint di77&rent de #8ori.ine) #e t%&or/me deSc%3art4 est 2&ri7i& "

$IH)$

7

I$H

I$$1EIH$H$IH)

$

7 *

**

Z**Z***

∂∂

∂=

+

++−=

∂∂

∂



84/153


!onctions de c#asse Cr

Soit 7 " Rn R+

7 est dite de c#asse Cr si 7 -oss/de des d&ri2&es

-artie##es contin(es (s'(8 #8ordre r s(r Rn

+



85/153


Matrice %essienneSoit 7 " R* R) a∈ R*) a = a1)a*+ On s(--ose '(e 7admet des d&ri2&es -artie##es en a (s'(8 #8ordre de(+

La matrice %essienne de 7) ca#c(#&e en a) est "

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

a)a$

7 a)a$

7

a)a$

7 a)a

7

*1*

*

*1

*

*1

*

*1*

*



86/153


Exemple

Ca#c(#er #a matrice %essienne de 7 en a=*)1+

1

12

=∂∂

∂=

∂∂∂

=∂∂

+−=∂∂

=∂∂+=

∂∂

+−=

$)$

7 1$)

$

7

F$)$

7 $$)

$

7

$)

7 $1k$)7

$*$k$7)

**

*

**

*

*

*

y



87/153


Exemple s(iteMatrice %essienne de 7 ca#c(#&e en a=*)1

−= 121160

essf(2,1)



88/153


Gradient d8(ne 7onction 7 " Rn RLe .radient d8(ne 7onction 7 " Rn R en a∈Rn est #e2ecte(r "

∂

∂

∂∂

=→

(a)x

f

(a)x

f

f(a)!"a#

n

1



89/153

O C O S US U SARIABLES

Co(r0es) s(r7aces de ni2ea(Soit 7 " , -artie de R* R+ Une co(r0e de ni2ea( de 7est #e so(sFensem0#e de R* d&7ini -ar 7) $ = 5 oY 5 est(n nom0re r&e#+

Notation" On note #a co(r0e de ni2ea( 5 -ar C5 = >) $ ∈ R*l 7) $ = 5+Soit 7 " ,-artie de R R+ Une s(r7ace de ni2ea( de 7est #e so(sFensem0#e de R d&7ini -ar 7) $)4 = 5 oY 5

est (n nom0re r&e#+ Notation" On note #a s(r7ace de ni2ea( 5 -ar S5 = >) $)4 ∈ Rl 7) $)4 = 5+


90/153



91/153

ARIABLES

,i77&rentie##e d8(ne 7onction 7 " Rn RLa di77&rentie##e de 7 en a = a1))an) est #8a--#ication)not&e d7a " Rn R

Remarque

Si #es d&ri2&es -artie##es de 7 en a eistent a#ors #adi77&rentie##e de 7 en a eiste+

H%Id7HaIHaI7 %I%)+++)H%

n

1i iin1 ∑

=

=∂∂→



92/153

ARIABLESExemple

Ca#c(#er #a di77&rentie##e de 7 d&7inie -ar "

2121

2

2

2

33

23$17$)$,#f(1,2)($

% % f(1,2)

-23(1,2)y

f x6yy)(x,

y

f

17(1,2)x

f y15xy)(x,

x

f (1,2).aen

xy2y5xy)f(x,

−=→

=∂

∂

+−=∂

∂

=∂∂

+=∂∂ =

+−=



93/153

ARIABLES

Lien entre #a di77&rentie##e de 7 en a et #e .radientde 7 en a "La di77&rentie##e de 7 en a ca#c(#&e en % est &.a# a(-rod(it sca#aire d( .radient de 7 en a a2ec #e 2ecte(r "

nR%to(t-o(r %7a.radd7a% ∈•= →→→

$



94/153

ARIABLES

,i77&rentia0i#it& d8(ne 7onction 7 " Rn R 7 est di77&rentia0#e en a∈Rn s8i# eiste (ne 7onctionε " Rn R te# '(e #8on ait "

Remarques

Cette re#ation si.ni7ie '(e 7) a( 2oisina.e de a) c8estFF

dire en a9%) est a--roimati2ement &.a#e 7 -e(t -oss&der des d&ri2&es -artie##es en a sans -o(ra(tant ^tre di77&rentia0#e en a+

fH%I%d7HaIH%I7HaI%I7Ha ++=+ 0($)limavec 0$ =→

d7a%+7a +



95/153

ARIABLES

P#an tan.ent Soit 7 " R* R) #8&'(ation d( -#an tan.ent #a s(r7aced8&'(ation 4=7)$ a( -oint ME E)$E s8&crit "

Remarque

"ntuitivement) (ne 7onction de de( 2aria0#es estdi77&rentia0#e en E)$E si et se(#ement si son .ra-%e est0ien a--roc%& -ar son -#an tan.ent+

$+$$)$7 +$)

7 $)74 −∂

∂+−∂∂=−



96/153

ARIABLES

,&2e#o--ement de Ta$#or d8(ne 7onction 7 " U o(2ert de R* ROn s(--ose '(e 7 -oss/de des d&ri2&es -artie##es

contin(es (s'(8 #8ordre * s(r (n o(2ert U 7 est dite dec#asse C* s(r U contenant E)$E+

Si %=%1)%*∈ R* est te# '(e E9%1)$E9%* ∈U) a#ors on a "

0($)limavec

($)$)y,(xy

f

2

$)y,(x

yx

f $$)y,(x

x

f

2

$

)y,(x

y

f $)y,(x

x

f $)y,f(x)$y,$f(x

0,0)()$,($

2

002

22

200

2

21002

22

1

002001002010

21 =

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

+

∂

∂+

∂

∂+=++

→



97/153

ARIABLESExemple

Écrire #e d&2e#o--ement de Ta$#or #8ordre *) a(to(r d(-oint ) -o(r #a 7onction d&7inie -ar "

1(0,0)

yx

f 1(0,0)

y

f 1(0,0)

x

f

ey)(x,x

f ey)(x,

y

f e-2y)(x,

x

f

-1(0,0)y

f 1(0,0)

x

f

ey)(x,y

f e2xy)(x,

x

f

ex1y)f(x,

2

2

2

2

2

yx2

yx

2

2yx

2

2

yxyx

yx2

−=

∂∂

∂−=

∂

∂=

∂

∂

−=∂∂

∂−=

∂∂

=∂∂

=∂∂

−=∂∂

−=∂∂−=

∂∂

−+=

+++

++

+

y



98/153

ARIABLESExemple s(ite

%)f%#ima2ec

%)f%%%*

%%%

*

%%%%)7%

*1)%)%

*1*

**

1

**

*1

*1

*1*1

*1=

++−−+−−=

→



99/153

ARIABLES

A--#ication #a rec%erc%e des etrema d8(ne7onctionSoit 7 " Uo(2ert de Rn R (ne 7onction di77&rentia0#es(r U+

Si #e maim(m res-ecti2ement #e minim(m de 7 estatteint en (n -oint a de U) a#ors d7a=) c8estFFdire "

-o(r to(t 1:i:n

Remarque

La r&ci-ro'(e est en .&n&ra# 7a(sse+

0(a)x

f

i

=

∂

∂



100/153

ARIABLESDéfinition Soit 7 " U o(2ert de Rn R (ne 7onction di77&rentia0#es(r U+ a∈Rn est (n -oint criti'(e de 7 si d7a=+$onditions du 1er ordre

Ce sont des conditions n&cessaires d8o-tima#it&+ E##es-ermettent de tro(2er #es -oints criti'(es de 7+

0)x,...,(xxf

0)x,...,(xxf

n1

n

n1

1

=∂∂

=∂∂



101/153

ARIABLESExemple

43).-*(-13, c"iti+ue ointseulun#oncayl

3-4y3,-1xsolution ou"asystme/e

03y2xy

f

02yx2xf

o"#"e "emie"#u/on#itions

y3x2yyxxy)(x,f 22

==

=++=∂∂

=++=∂∂

++++=



102/153

ARIABLES

Conditions d( second ordreSoit 7 " U o(2ert de R* R) a∈ R*) a = a1)a*+S(--osons '(e a soit (n -oint criti'(e de 7) a#ors on a "

Si %=%1)%*∈ R* est te# '(e a19%1)a*9%* ∈U) #a 7orm(#ede Ta$#or s8&crit "

a)a$

7

a)a

7 *1*1 =∂

∂=∂

∂

( )

0($)limet

)a,(ay

f /)a,(a

yx

f )a,(a

x

f avec

($)$/$$2$$2

1)a,f(a)$a,$f(a

0$

212

2

21

2

212

2

22

221

2

1212211

=

∂∂

=∂∂

∂=

∂∂

=

++++=++

→



103/153

ARIABLES

Le si.ne de est donc ce#(i de#8e-ression "

Ia)7HaI%a)%7Ha *1**11 −++

−+

+=

−+

+=

++

=≠

++=

*

**

*

1*

**1

*

**

*

1*

**1

*

1

*

*

1*

**1*

*

**1

*

1*1

A

B AC

A

B

%

% A%I%)'H%

A

B

A

C

A

B

%

% A%I%)'H%

AC

%%

AB*

%% A%I%)'H%E%Si

C%%*B% A%I%)'H%



104/153

ARIABLES

Si %*X et '%1)%* sera -ositi7 -o(r -o(r AKet n&.ati7 -o(r A@+

Si %*= et %1X sera -ositi7 -o(r AK

et n&.ati7 -o(r A@+

Si ) on ne -e(t rien dire d( si.ne de '%1)%* i#d&-end des 2a#e(rs de %1 et %*+

0>*BF AC

*

1*1 A%I%)'H% =

0


105/153

ARIABLES$onditions du second ordreSoit 7 " U o(2ert de R* R de c#asse C* et a∈R*+La matrice %essienne de 7 en a eiste et s8&crit "

1 Si AK et ) a est (n minim(m+* Si A@ et ) a est (n maim(m+

Si ) a n8est ni (n maim(m ni (n minim(m)a est (n -oint co# o( se##e+Z Si ) cette m&t%ode ne -ermet -as deconc#(re+ I# 7a(t 7aire (ne &t(de directe+

= CB

B AHess7a

0>*BF AC0>*BF AC

0<*

BF AC

0=*BF AC



106/153

ARIABLESRemarquesLes conditions d( second ordre sont des conditionss(77isantes d8o-tima#it&+

E##es se .&n&ra#isent -o(r nK*+

E##es concernent des etrem(ms #oca(+



107/153

ARIABLESExempleSoit 7 " R* R d&7inie -ar "

Le -oint ) est (n -oint criti'(e de 7+

Cas EK) GK " #8ori.ine est (n minim(m+

22 yxy)f(x, +=



108/153

ARIABLES

Cas E@) G@ " #8ori.ine est (n maim(m+



109/153

ARIABLES

Cas EK) G@ " i# n8$ a -as d8etrem(m) #8ori.ine est (n-oint co#+



110/153

ARIABLESExerciceSoit 7 " R* R d&7inie -ar "

1 Rec%erc%er #es -onts criti'(es de 7+

* Ét(dier #e(r nat(re+

So#(tion

1

) est donc #e se(# -ont criti'(e+

42 yxy)f(x, +=

EZ$

E* =

=



111/153

ARIABLESExercice s(ite* Nat(re d( -oint criti'(e )

On ne -e(t conc#(re+ On eamine #e si.ne de "

) est donc (n minim(m+

0/00

020)ess(f)(0,

0y)(x,yx

f y12y)(x,

y

f y4y)(x,

y

f

2y)(x,x

f x2y)(x,

x

f

2

22

2

23

2

2

=−

=

=∂∂

∂=

∂∂

=∂∂

=

∂

∂=

∂

∂

0$$f(0,0))$,0$f(0 4

2

2

121 ≥+=−++

CONEITÉ


112/153

CONEITÉ

Ensem0#e con2eeUne so(sFensem0#e A de Rn est con2ee s8i# contient to(tse.ment oi.nant de( '(e#con'(es de ses -oints+

∀M1)M*∈ A*) t∀ ∈


113/153

CONEITÉ

!onctions con2ees) conca2esSoit 7 " A -artie con2ee de Rn R+ 7 est con2ee s(r A si "

∀M1)M*∈ A*) ∀t∈


114/153

CONEITÉ

Remarques J Une 7onction 7 est con2ee si et se(#ement si #e

se.ment re#iant to(t co(-#e de -oints sit(&s s(r #as(r7ace d&7inie -ar 7 est sit(& a(Fdess(s de cette

s(r7ace+ J Une 7onction 7 est conca2e si et se(#ement si #e

se.ment re#iant to(t co(-#e de -oints sit(&s s(r #as(r7ace d&7inie -ar 7 est sit(& a(Fdesso(s de cette

s(r7ace+ J Ne -as con7ondre ensem0#e con2ee et 7onctioncon2ee+

CONEITÉ


115/153

CONEITÉ

Exemples * est con2ee s(r R*+

#n est conca2e s(r >∈ R K +

1? est con2ee s(r >∈R K +

α

est con2ee s(r R9 -o(r

α ≥

1 o( α ≤

l conca2e-o(r ≤ α ≤ 1+

CONEITÉ


116/153

CONEITÉ

7

e-i7

É-i.ra-%e de 7 e-i7 = >)t ∈,7) 7 : t,7 " domaine de d&7inition de 7

7 con2ee e-i 7 con2ee⇔

t) t

CONEITÉ


117/153

CONEITÉ

Pro-ri&t&s1 Soit 7 1 " Rn R)) 7 5 " Rn R) 5 7onctions con2eess(r Rn) a#ors #a somme est con2ee s(r Rn+

* Si 7 est (ne 7onction con2ee s(r Rn et aK a#ors a+7

est (ne 7onction con2ee s(r Rn+ Soit 7 1 " R R)) 7 5 " R R) 5 7onctions con2eess(r R) a#ors #a 7onction 7 d&7inie -ar "

71))5 = 7 11 99 7 55

est (ne 7onction con2ee s(r R5+

CONEITÉ


118/153

Z Si 7 " Rn R est (ne 7onction con2ee s(r Rn

et . " RR (ne 7onction croissante con2ee s(r R) a#ors. 7 est (ne 7onction con2ee s(r∘ Rn+

Exemples

Soit 7 " R R d&7inie -ar " 7)$)4 = *9$*94*+

7 est con2ee R s(r d8a-r/s #a -ro-ri&t& +

Soit % " R R d&7inie -ar " %)$)4 = e-7)$)4+

% est con2ee s(r R d8a-r/s #a -ro-ri&t& Z) a2ec

.(=e-(+

CONEITÉ


119/153

CONEITÉ

!onctions d&ri2a0#es con2eesProposition 1 " soit 7 " I inter2a##e de R R (ne7onction d&ri2a0#e s(r I+ A#ors 7 est con2ee res-+conca2e s(r I si et se(#ement si est croissante res-+

d&croissante+Proposition " (ne 7onction d&ri2a0#e s(r (n inter2a##e Iest con2ee si et se(#ement si -o(r to(t co(-#e a) de-oints de I "

E##e est strictement con2ee si #8in&.a#it& est stricte -o(rto(t Xa+

aIHaIH7 7HaI7HI −′≥−

7 ′

CONEITÉ


120/153

CONEITÉ

Remarque

La -ro-osition * si.ni7ie '(e -o(r (ne 7onction d&ri2a0#e)7 est con2ee si et se(#ement si #e .ra-%e de 7 est sit(&a( dess(s de to(tes #es tan.entes+

7

a

CONEITÉ


121/153

CONEITÉ

Proposition Soit 7 " I inter2a##e de R R (ne 7onction de( 7oisd&ri2a0#e s(r I) a#ors 7 est con2ee res-+ conca2e si etse(#ement si res-+ s(r I+

Exemples 7 est con2ee s(rR+

. est donc conca2e s(r ;)<

xxx e(x)f e(x)f ef(x) =′′=′=

*

1HI.

1HI.#n.HI −=′′=′=

0f ≥′′ 0f ≥′′

CONEITÉ


122/153

CONEITÉ

Proposition -Soit 7 " I inter2a##e de R R (ne 7onction de( 7oisd&ri2a0#e s(r I+ Si s(r I) a#ors 7 est strictementcon2ee s(r I+

RemarqueLa r&ci-ro'(e de #a -ro-osition Z est 7a(sse en .&n&ra#+

Ainsi) Z est strictement con2ee s(r R et ce-endant#a d&ri2&e seconde de cette 7onction n8est -as

strictement -ositi2e en +

0f >′′

CONEITÉ CONCAITÉ


123/153

CONEITÉ CONCAITÉ

!onctions 7 " A⊂ R* R de c#asse C* con2eesProposition 1

Soit A (ne -artie con2ee de R* et 7 " A R (ne 7onctionde c#asse C*+

7 est con2ee s(r A si et se(#ement si "

7 est conca2e s(r A si et se(#ement si "

0y)(x,yx

f -y)(x,

y

f y)(x,

x

f 0,y)(x,

x

f y)(x,

22

2

2

2

2

2

2

≥

∂∂

∂∂∂

×∂∂

≥∂∂

∈∀

0y)(x,yx

f -y)(x,

y

f y)(x,

x

f 0,y)(x,

x

f y)(x,

22

2

2

2

2

2

2

≥

∂∂

∂∂∂

×∂∂

≤∂∂

∈∀

CONEITÉ


124/153

CO

Proposition

Soit A (ne -artie con2ee de R* et 7 " A R (ne 7onctionde c#asse C*+ Si

a#ors 7 est strictement con2ee s(r A+ Si

a#ors 7 est strictement conca2e s(r A+

0y)(x,yx

f

-y)(x,y

f

y)(x,x

f

0,y)(x,x

f

y)(x,

22

2

2

2

2

2

2

>

∂∂

∂

∂

∂

×∂

∂

>∂

∂

∈∀

0y)(x,

yx

f -y)(x,

y

f y)(x,

x

f 0,y)(x,

x

f y)(x,

22

2

2

2

2

2

2

>

∂∂

∂

∂

∂×

∂

∂<

∂

∂∈∀

CONEITÉ


125/153

Exemple

7 est (ne 7onction strictement con2ee s(r R*

+

Remarque

La r&ci-ro'(e de #a -ro-osition * est 7a(sse en .&n&ra#+

040y)(x,yx

f -y)(x,

y

f y)(x,

x

f

0y)(x,

yx

f 4y)(x,

y

f 010y)(x,

x

f

2y5xy)f(x,

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

>=

∂∂

∂∂∂

×∂∂

=

∂∂

∂=

∂

∂>=

∂

∂

+=

CONEITÉ


126/153

Remarque Les -ro-ositions -r&c&dentes se .&n&ra#isent endimension n+ La notion de d&terminant d8ordre n estce-endant n&cessaire #e(r 7orm(#ation+ La -ro-osition

s(i2ante consid/re #e cas n=+

CONEITÉ


127/153

Proposition Soit A (ne -artie con2ee de R et 7 " A R (ne 7onction dec#asse C*+ 7 est con2ee s(r A si et se(#ement si "

-o(r to(t )$)4∈ A "

0)y,(x,x

f 2

2

≥∂∂

0≥

∂∂

∂∂∂ ∂∂

∂

∂

∂

4I$)H)$

7 4I$)H)

$

7

4I$)H)

$

7 4I$)H)

7

*

**

*

*

*

0

)y,(x,

f )y,(x,

y

f )y,(x,

x

f

)y,(x,yf )y,(x,

yf )y,(x,

yxf

)y,(x,x

f )y,(x,

yx

f )y,(x,

x

f

2

222

2

2

22

22

2

2

≥

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

CONEITÉ


128/153

Exemple

0423

326

01220

06

06

3

2

1

>===∆

>==∆

>=∆

=

+++=

*

*

4$)Hess7)

$4Z4$4$)7) ***

7 est con2ee s(r R

CONEITÉ


129/153

Etrem(ms de 7onctions con2ees o( conca2es'.éor/me

Soit A (ne -artie con2ee res-+ conca2e de Rn

et 7 " A R (ne 7onction de c#asse C1 con2ee res-+conca2e s(r A+ A#ors to(t -oint criti'(e de 7 s(r A est (nminim(m res-+ maim(m a0so#(+

Si 7 est strictement con2ee res-+ conca2e) ceminim(m res-+ maim(m a0so#( est (ni'(e+

O-timisation a2ec (ne contrainte


130/153

-

!orm(#ation #a.ran.ienneSoit #e -ro0#/me d8o-timisation " so(s #acontrainte7 est #a 7onction g o0ecti7 h

La.ran.ien associ& "

Remarque Le #a.ran.ien -ermet de trans7ormer #e -ro0#/me initia#de maimisation so(s contrainte en (n -ro0#/me demaimisation sans contrainte -ortant non -#(s s(r #a7onction o0ecti7 mais s(r #e #a.ran.ien+

)x,...,f(xmax n10)x,...,!(x n1 =

)x,...,6!(x)x,...,f(x6),x,...,7(x n1n1n1 +=



131/153

-

,e '(e##es m&t%odes dis-oseFtFon -o(r &t(dier#a nat(re des -oints criti'(es d( #a.ran.ien V J Et(dier #a con2eit& o( #a conca2it& d( La.ran.ien

Si L est con2ee) (n -oint criti'(e est (n minim(m so(s

contrainte o( minim(m #i&+ Si L est conca2e) (n -oint criti'(e est (n maim(m so(s

contrainte o( maim(m #i&+

J Et(dier #a matrice %essienne d( #a.ran.ien

J Et(dier directement #e si.ne de 79%F7) et9% satis7aisant #8&'(ation de #a contrainte "

.= et .9%=+



132/153

-

Et(de de #a con2eit& o( de #a conca2it& d(#a.ran.ien J Si 7 est con2ee res-+ conca2e et #a contrainte est #in&aire a#ors

#e #a.ran.ien est con2ee res-+ conca2e+

J Si 7 est con2ee res-+ conca2e) #a contrainte con2ee res-+conca2e et #e m(#ti-#icate(r de La.ran.e a( -oint criti'(e-ositi7) a#ors #e #a.ran.ien est con2ee res-+ conca2e+

J Si 7 est con2ee res-+ conca2e) #a contrainte conca2e res-+con2ee et #e m(#ti-#icate(r de La.ran.e a( -oint criti'(e

n&.ati7) a#ors #e #a.ran.ien est con2ee res-+ conca2e+



133/153

-

Exemple 1 0 optimiser le cot sous contrainteSoit de( 0iens et $ de -ri res-ecti7 1 et k+

Cot des 0iens "

Soit % (ne 7onction de -rod(ction des de( 0iens et $ "

de2ant satis7aire "

La.ran.ien "

22 y-15yx-20xy)$(x, +=

)55y-15yx-20x(510)y,(x, 22 −+++= λ λ y x

y x 510y)f(x, +=

55y)$(x,

=



134/153

-

Exemple 1 0 optimiser le cot sous contrainteConditions d( -remier ordre

02x)-20(10

x

=+=

∂

∂λ

02y)-(155y

=+=

∂∂

λ

055-y-15yx-20x

22 =+=∂

∂



135/153

-

Exemple 1 0 optimiser le cot sous contrainteRec%erc%e des -oints criti'(es

λ

λ 105 x+

=λ

λ

2

155 y+

=

055-2

155 -

2

15515

105 -

10520

22

=

+++

++

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

9

5,9

5

1

25

0125405

21

2

2

=−=

=

=−

λ λ

λ

λ


136/153



137/153

Matrice %essienne d( #a.ran.ien

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

2

222

2

2

22

22

2

2

)y,(x,ess

)y,(x,

y

)y,(x,

x

)y,(x,

y

)y,(x,

y

)y,(x,

xy

)y,(x, x

)y,(x,

yx

)y,(x,

x

)y,(x,


138/153



139/153

Nat(re des -oints criti'(esPo(r &t(dier #a nat(re des -oints criti'(es) no(s a##onsa--#i'(er #a m&t%ode dite d( %essien 0ord&+



140/153

Matrice %essienne 0ord&e d( La.ran.ien

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

0x

!

x

!

x

!

x

!

x

xx

xx

x

!

xx

x

xx

x

!

xx

xx

x

n21

n2n

2

n2

2

n1

2

2n2

2

2

2

2

21

2

1n1

2

21

2

2

1

2

O-timisation a2ec - contraintes


141/153

$onditions du premier ordre

i10)x,...,(x!6

6),x,...,7(x

0x

)x,...,(x!6 x

)x,...,f(xx

6),x,...,7(x

0x

)x,...,(x!6 x

)x,...,f(xx

6),x,...,7(x

0x

)x,...,(x!6

x

)x,...,f(x

x

6),x,...,7(x

n1i

i

n1

1 n

n1ii

n

n1

n

n1

1 2

n1ii

2

n1

2

n1

1 1

n1ii

1

n1

1

n1

≤≤==∂

∂

=∂∂+∂∂=∂∂

=∂

∂+∂

∂=∂

∂

=∂

∂+

∂∂

=∂

∂

∑

∑

∑

=

=

=

p

i

p

i

p

i



142/153

Matrice %essienne 0ord&e d( La.ran.ien

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

000x

!

x

!

x

!

000x

!

x

!

x

!

000x

!

x

!

x

!

x

!

x

!

x

!

x

7

xx

7

xx

7

x

!

x

!

x

!

xx

7

x

7

xx

7

x

!

x

!

x

!

xx

7

xx

7

x

7

n

2

1

n

2

2

2

1

2

n

1

2

1

1

1

n

n

2

n

1

2

n

2

n2

2

n1

2

2

2

2

2

1

n2

2

2

2

2

21

21

1

2

1

1

n1

2

21

2

2

1

2



143/153

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

Mine(rs -rinci-a( dia.ona( d8ordre 5 d8(nematrice carr&e

Ordre 1

Ordre *

Ordre

Ordre Z



144/153

Matrice %essienne d( #a.ran.ien ca#c(#&e en)λ Cas de 2aria0#es et 1 contrainte

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂∂∂ ∂∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

08)(x8,x

!8)(x8,

x

!8)(x8,

x

!

8)(x8,x!8)(x8,

x8)(x8,

xx8)(x8,

xx

8)(x8,x

!8)(x8,

xx

8)(x8,

x

8)(x8,

xx

8)(x8,x!8)(x8,

xx8)(x8,

xx8)(x8,

x

3

1

2

1

1

1

3

12

3

2

32

2

31

22

1

32

2

2

2

2

21

21

1

31

2

21

2

2

1

2



145/153

,&terminants em0o`t&s ∆iB -91:i:nCas de 2aria0#es et 1 contrainte

068)(x8,x!68)(x8,

x!

68)(x8,x

!68)(x8,

x

768)(x8,

xx

7

68)(x8,x

!68)(x8,

xx

768)(x8,

x

7

2

1

1

1

2

1

2

2

2

21

21

1

21

2

2

1

2

2

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

=∆

1 * (ne contrainteMine(r -rinci-a#

dia.ona# d8ordre *



146/153

,&terminants em0o`t&s ∆iB -91:i:nCas de 2aria0#es et 1 contrainte

08)(x8,x

!8)(x8,

x

!8)(x8,

x

!

8)(x8,x

!8)(x8,

x

8)(x8,

xx

8)(x8,

xx

8)(x8,x

!8)(x8,

xx

8)(x8,

x

8)(x8,

xx

8)(x8,x

!8)(x8,

xx

8)(x8,

xx

8)(x8,

x

3

1

2

1

1

1

3

1

23

2

32

2

31

22

1

32

2

2

2

2

21

21

1

31

2

21

2

21

2

3

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=∆

1 * (ne contrainte

Mine(r -rinci-a#

dia.ona# d8ordre



147/153

Conditions s(77isantes d( second ordre -o(r (no-tim(m #oca#'.éor/me

Soit )λ (n -oint criti'(e d( La.ran.ien )λ 2&ri7ie

#es CPO+ J Si #es nF- d&terminants ∆iB -91 : i :n sont de si.ne

a#tern&) #e -remier a$ant #e si.ne de F1-91) a#ors est (n maximum local so(s contrainte o( lié de 7+

J Si #es nF- d&terminants ∆iB -91 : i :n ont #e si.nede F1-) a#ors est (n minimum local so(scontrainte o( lié de 7+



148/153

Exemple 1 0 optimiser le cot sous contrainte (suite)Po(r #e -oint criti'(e

Le -oint criti'(e est (n minim(m

#oca#+

= 09199100

10910

) ,y,(xess 111

( ) ( )95,3,1,y,x 111 −=λ

45009199100

10910

2 −==

( ) ( )95,3,1,y,x 111 −=λ



149/153

Exemple 1 0 optimiser le cot sous contrainte (suite)Po(r #e -oint criti'(e

Le -oint criti'(e est (n maim(m#oca#+

( ) ( )95,12,19,y,x 222 =λ

−−

−−−−

=

0915

99100

150910

7 ) ,y,(xess 222

450

091

99100

10910

2 =

−−

−−−−

=∆

( ) ( )95,12,19,y,x 222 =λ



150/153

Exemple 0 o-timiser "so(s #es contraintes "

La.ran.ien "

y2xyyx)y,f(x, 2

+−−+=

03-x

01y2x

=+=−−

3)-y(x1)-y-(2xy2xyyx),,y,7(x, 2 +++++−−+= µ λ µ λ



151/153

Exemple (suite) Conditions d( -remier ordre

03x:

01y2x

0:y1

0 2x1y

0:2 2y2xx

=−+=∂∂

=−−=∂∂

=++−=∂∂

=−+−=∂∂

=++−=∂∂

S$st/me S



152/153

Exemple (suite)R&so#(tion d( s$st/me S

Princi-e " ca#c(#er ) $ et 4 en 7onction de λ et µ #8aidedes -remi/res &'(ations+ P(is rem-#acer dans #es

&'(ations des contraintes ) $ et 4 -ar #es e-ressionso0ten(es+ On r&so(t a#ors #e s$st/me o0ten( -ar ra--ort λ et µ+ I# reste ca#c(#er ) $ et 4 -o(r #es 2a#e(rstro(2&es de λ et µ+

On tro(2e "( )-25:825,895,875,y865,x8 =====



153/153

Exemple (suite)Matrice %essienne d( La.ran.ien "

I# $a 2aria0#es et * contraintes) donc (n se(#d&terminant ca#c(#er ∆B=detHB=F@

−

−−−

=

00101

00012

10010

01102

12022

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Cours Mathématiques - Semestre 1