COURS DE STRUCTURE DE LA MATIÈREjam.bouguechal.free.fr/upload/file/cours numéro 3 97-2003.pdf · 16/10/2010 Cours de structure de la matière Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011

COURS DESTRUCTURE DE LA

MATIÈRE(Module Ph 13)

16/10/2010 Cours de structure de la matière Ph 13

M. Bouguechal IPSA 2010-2011

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2

2) Les bases de la mécanique quantique

a) La relation de De Broglie

b) Le principe d’incertitude de Heisenberg

c) L’équation de Schrödinger

d) Les solutions de l’équation de Schrödinger

pour l’atome d’hydrogène.

16/10/2010 3Cours de structure de la matière Ph 13


a) La relation de De Broglie

Louis de Broglie (1892-1987):

Prix Nobel de physique 1929

Mathématicien et physicien français



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La relation de De Broglie:

A toute particule de masse m, animée d’une vitesse v, on

associe une longueur d’onde donné par la relation :

mv

h

h = 6.62 10 -34 J.s est la constante de Planck

est la longueur d’onde ( en m )

m et v étant la masse ( kg ) et la vitesse ( m/s) respectivement.

On dit qu’il y a dualité onde corpuscule



5

En 1927 Davisson et Germer ont montré expérimentalement que

des électrons se comportaient comme des ondes lors d’expérience

de diffraction.

Davisson ( à gauche ) Prix Nobel de

Physique en 1937 et Germer



6



7

Interférences

d’électrons

Cours SDM trois\quantique.htm

Cours SDM trois\quantique.htmCours SDM trois\quantique.htmCours SDM trois\quantique.htm



8

Chaque particule, se comporte comme une onde, dualité

onde corpuscule, elle est donc caractérisée, comme toute

onde, par une fonction d’onde mathématique (r ; t) qui

dépend de la position de la particule r et du temps t, cette

fonction décrit un système quantique et dont le carré de la

norme est égal à la probabilité de présence de la particule par

unité de volume.

dp = ( r ; t) ² dv

dp élément de probabilité de présence de la particule dans

un élément de volume dv



9

L’intégrale dans tout l’espace de ( r ; t) ² donne 1 car on

est sur de trouver la particule dans le volume considéré.

On dit que la fonction ( r ; t) est normalisé.



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b ) Le principe d’incertitude de Heisenberg :

Werner Heisenberg (1901-1976):

Physicien allemand

Prix Nobel de physique 19 32

On ne peut pas connaître à la fois la position et la vitesse

d’une particule avec une précision infinie.



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Le principe d'incertitude est souvent appelé principe

d'indétermination. L'emploi de ces deux expressions pour

désigner le même phénomène physique proviendrait de la

traduction en anglais de l'article de Heisenberg. En effet, lors

de la première rédaction de son article, Heisenberg emploie

les termes Unsicherheit (incertitude) et Ungenauigkeit

(imprécision), puis, comprenant que ces termes peuvent

prêter à confusion, il décide d'utiliser finalement le terme

Unbestimmtheit (indétermination). Mais l'article est déjà

traduit et c'est le terme "principe d'incertitude" qui sera

utilisé.[

http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_d'incertitude



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4.

hpx

p =mv est appelé quantité de mouvement.

p = (mv) = m v

m x . v h

4

On ne peut pas connaître à la fois la position et la

vitesse d’une particule avec une précision infinie.

Cela signifie que l'incertitude sur la position multipliée par

l'incertitude sur la quantité de mouvement est supérieure ou

égale à une constante ( h divisé par 4 π ).



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les variables x et p sont dites des variables conjuguées, deux

autres variables conjuguées sont l’ énergie E et le temps t.

4.

hpx

4.

htE



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c) L’ équation de Schrödinger :

Erwin Schrödinger (1887-1961):

Prix Nobel de physique 1933

Physicien Autrichien



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dt

dhiH

2

i : imaginaire pur, défini par i² = -1

H : Hamiltonien : c’est un opérateur mathématique

( r ; t) est la fonction d’onde de la particule

),(),( trEtrH

E est l'énergie de la particule



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Opérateur d’Hamilton ou hamiltonien

Le développement mathématique complet pour l'atome

d'hydrogène, un système à trois dimensions, la particule étudié

étant l’électron, est donné par:

Laplacienappelé

avecr

H

zyxe

me2

2

2

2

2

2

0

2

2

42

me : masse de l'électron

e : charge de l'électron

εo : constante diélectrique du vide

h : constante de Planck

r : distance électron-noyau



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Les nombres quantiques :

La résolution de l'équation de Schrödinger pour l’atome

d’hydrogène conduit à l'introduction de 4 nombres

quantiques qui interviennent comme paramètres dans les

fonctions d'onde. Ces nombres quantiques n, l, m et s

caractérisent les mouvements microscopiques de l'électron

autour du noyau.

Une orbitale atomique O.A est définie par les nombres

quantiques n, l et m.



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Nombre quantique principal: n

n peut prendre toutes les valeurs entières positives (n = 1, 2,

3,..., ∞)

n est le seul nombre quantique qui influence l'énergie de

l'électron dans un atome d'hydrogène car E ne dépend que de

n; il intervient aussi dans la fonction radiale Rn, l(r) qui décrit

l'expansion spatiale de l'orbitale.

n définit une couche électronique



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Solutions de l'équation de Schrödinger pour l’atome

d’hydrogène H:

La résolution de l'équation de Schrödinger en coordonnées

sphériques (r,θ,φ) permet de déterminer :les niveaux d'énergie quantifiés En de l'électron qui

dépendent du nombre quantique principal n.

22

0

4

28

1

h

em

nE en

me: masse de l'électron ( kg )

e : charge de l'électron ( C )

εo : constante diélectrique ( ou permittivité ) du vide

h : la constante de Planck ( J.S )

n : nombre quantique principal



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N : la norme, car la fonction est normalisée.

Rn,l(r) : la fonction radiale

Yl,m(θ,φ) : la fonction angulaire.

les fonctions d'ondes associées à chaque niveau d'énergie

En qui dépendent des quatre nombres quantiques n, l, m, s.

),().(.),,(,, YRN mllne rr

L'atome d'hydrogène étant sphérique, on utilise les

coordonnées sphériques r, θ et φ pour décrire la position de

l'électron autour du noyau, pris comme origine.



21

Yl,m(θ,φ) : la fonction angulaire n'a pas d'interprétationphysique, mais le carré de la fonction d'onde intégrée sur un

élément de volume nous donne la probabilité de trouver

l'électron de l'orbitale n, l, m dans le volume dV.



22

Les coordonnées sphériques r, θ,φ



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Fonction radiale Rn,l(r)

Elle dépend des nombres quantiques n et l et de la distance

électron-noyau r. La fonction

faisant appel au carré de la fonction radiale, mesure la

probabilité de trouver l'électron à la surface d'une sphère à

la distance r du noyau.

drrRrP ln22

, 4)( .



24



25



26

Plus n augmente, plus la probabilité de rencontrer l'électron

loin du noyau est grande. Ceci correspond à une situation

moins stable et à une expansion de l'orbitale atomique.

Pour n = 2, il existe des distances r où Rn,l(r) = 0. Ce sont les

nœuds.

La résolution de l’équation de Schrödinger fait apparaître 3

nombres entiers : n ,l, m



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n : nombre quantique principal : il détermine l’énergie

de la couche de rang n (n = 1, 2, 3,..., ∞)

l : nombre quantique secondaire ou orbital ou azimutal :

il sert à quantifier le moment cinétique

)(6.13

2eV

nEn

0 l n- 1



28

l définit la forme et la symétrie des orbitales qui sont

nommées par des lettres minuscules.

Nombre quantique orbital Nom des orbitales

l = 0 orbitale s

l = 1 orbitale p

l = 2 orbitale d

l = 3 orbitale f

l = 4 orbitale g



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n = 3, l = 0 sous-couche 3s

n = 3, l = 1 sous-couche 3p

n = 3, l = 2 sous-couche 3d

0 l n- 1

l définit une sous-couche électronique

Remarque: Les sous-couches 3s, 3p et 3d d'un atome

d'hydrogène ont la même énergie puisque n = 3 dans tous les

cas.



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m : nombre quantique magnétique

– l m + l

m peut prendre (2 l+1) valeurs entières comprises entre -l

et +l ( m=-l, -l+1, …, -1, 0, l, …, l-1, l ).

m détermine l'orientation des orbitales dans l'espace.

Exemple :

Les trois orbitales d’une sous-couche p (l=1) sont dirigées suivant les 3

directions perpendiculaires d'un trièdre trirectangle px, py et pzcorrespondant aux trois valeurs de m différentes: m = -1, 0, +1.



31

s : nombre quantique de spin

s détermine le sens de rotation intrinsèque de l'électron sur

lui-même.

Seuls deux sens sont possibles pour l'électron et s = 1/2.

s ne dépend pas des coordonnées spatiales des électrons.



32

principal

n

orbital l magnétiqueatomique

n = 1, 2,

3, 4,

……..

0 l

n- 1

– l m

+ ln m l (r,t) s, p, d,

…..

n = 1 l = 0 m = 0 1.0.0(r , t) 1 s

n = 2 l = 0

l = 1

m = 0

m = -1, 0,

+1

2.0.0(r , t)

2.1-1(r , t) 2.1

0(r , t) 2.1 1(r ,

t)

2 s

2 px, 2 py,

2 pz

n = 3 l = 0

l = 1

l = 2

m = 0

m = -1, 0,

+1

m = -2, -1,

0, 1, 2

3.0.0(r , t)

3.1-1(r , t) 3.1

0(r , t)

3.1 1(r , t)

3.2-2(r , t) 3.2-

1(r , t)

320(r , t)…..

3s

3 px, 3py,

3pz

n = 4 l =0

l = 1

l = 2

l = 3

m = 0

m = -1, 0,

+1

m = -2, -1,

0, 1, 2

m = -3, -2, -

1, 0, +1, +2,

+3



33



34

Les orbitales atomiques 1: orbitales s

1s (n = 1) 2s (n = 2) 3s (n = 3)



35

Les orbitales atomiques 2: orbitales p



36

Les orbitales atomiques 3: orbitales d

Les nombres quantiques : modèle de l’hydrogène

n l Orbitale m s Nombre de

combinaison

1 0 1s 0 +1/2, -1/2 2

2 0 2s 0 +1/2, -1/2 2

2 1 2p -1, 0, +1 +1/2, -1/2 6

3 0 3s 0 +1/2, -1/2 2

3 1 3p -1, 0, +1 +1/2, -1/2 6

3 2 3d -2, -1, 0, +1, +2 +1/2, -1/2 10

4 0 4s 0 +1/2, -1/2 2

4 1 4p -1, 0, +1 +1/2, -1/2 6

4 2 4d -2, -1, 0, +1, +2 +1/2, -1/2 10

4 3 4f -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 +1/2, -1/2 14

n : nombre quantique principal

m : nombre quantique magnétique

l : nombre quantique du moment angulaire

s : nombre quantique de spin

37Structure de la matière



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