Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Herve Gurgey

5 octobre 2007

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Definition 1

On considere une serie statistique double definie par la donnee de p valeursxi et de p valeurs yi .On considere un repere R du plan .On appelle nuage de points de la serie statistique l’ensemble des pointsMi de coordonnees (xi , yi ) .

x

y

M1

M2

M4

M3

M5

M6

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Definition 2

On considere une serie statistique double definie par la donnee de p valeursxi et de p valeurs yi .On considere un repere R du plan .On appelle nuage de points de la serie statistique l’ensemble des pointsMi de coordonnees (xi , yi ) .

x

y

M1

M2

M4

M3

M5

M6

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

x

y

M1

M2

M4

M3

M5

M6

G

Definition 3

On note x la moyenne de la serie statistiquedes valeurs xi . On note y la moyenne dela serie statistique des valeurs yi . Le pointG (x ; y) est appele point moyen du nuagede points

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

x

y

M1

M2

M4

M3

M5

M6

G

Definition 4

On note x la moyenne de la serie statistiquedes valeurs xi . On note y la moyenne dela serie statistique des valeurs yi . Le pointG (x ; y) est appele point moyen du nuagede points

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

x

y

M1

M2

M4

M3

M5 M6

(D)

P1

P2

P4

P3

P5

P6

G

Definition 5

On appelle droite de regression de y en x parla methode des moindres carres toute droited’equation y = ax + b qui rend minimale lasomme suivante :

i=n∑i=1

MiP2i

c’est a dire ;

i=p∑i=1

(yi − (axi + b))2

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

x

y

M1

M2

M4

M3

M5 M6

(D)

P1

P2

P4

P3

P5

P6

G

Definition 6

On appelle droite de regression de y en x parla methode des moindres carres toute droited’equation y = ax + b qui rend minimale lasomme suivante :

i=n∑i=1

MiP2i

c’est a dire ;

i=p∑i=1

(yi − (axi + b))2

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Propriete 1

Il existe une et une seule droite de regression de y en x par la methode desmoindres carres ( ADMISE) )

Propriete 2

Le point moyen est un point de la droite de regression ( ADMISE) )

Remarque 1

Les calculatrices et les tableurs possedent des programmes integres donnantl’equation de la droite de regression.C’est d’ailleurs le plus souvent avec ces outils que l’on determinera les equationde droite de regression(voir travaux diriges)

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Propriete 3

Il existe une et une seule droite de regression de y en x par la methode desmoindres carres ( ADMISE) )

Propriete 4

Le point moyen est un point de la droite de regression ( ADMISE) )

Remarque 2

Les calculatrices et les tableurs possedent des programmes integres donnantl’equation de la droite de regression.C’est d’ailleurs le plus souvent avec ces outils que l’on determinera les equationde droite de regression(voir travaux diriges)

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Propriete 5

Il existe une et une seule droite de regression de y en x par la methode desmoindres carres ( ADMISE) )

Propriete 6

Le point moyen est un point de la droite de regression ( ADMISE) )

Remarque 3

Les calculatrices et les tableurs possedent des programmes integres donnantl’equation de la droite de regression.C’est d’ailleurs le plus souvent avec ces outils que l’on determinera les equationde droite de regression(voir travaux diriges)

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Propriete 7

La droite de regression de y en x a pour equation y = a× x + b ou :

a =cov(x , y)

[σx ]2

avec :

cov(x , y) =1

n

i=p∑i=1

(xi − x) (yi − y)

Remarque 4

Le nombre cov(x , y) est appele covariance de x , y

Remarque 5

Pour determiner b il suffit d’utiliser le fait que la droite de regression passe parle point moyen

Exemple 1

Voir exercices

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Propriete 8

La droite de regression de y en x a pour equation y = a× x + b ou :

a =cov(x , y)

[σx ]2

avec :

cov(x , y) =1

n

i=p∑i=1

(xi − x) (yi − y)

Remarque 6

Le nombre cov(x , y) est appele covariance de x , y

Remarque 7

Pour determiner b il suffit d’utiliser le fait que la droite de regression passe parle point moyen

Exemple 2

Voir exercices

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Propriete 9

La droite de regression de y en x a pour equation y = a× x + b ou :

a =cov(x , y)

[σx ]2

avec :

cov(x , y) =1

n

i=p∑i=1

(xi − x) (yi − y)

Remarque 8

Le nombre cov(x , y) est appele covariance de x , y

Remarque 9

Pour determiner b il suffit d’utiliser le fait que la droite de regression passe parle point moyen

Exemple 3

Voir exercices

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Propriete 10

La droite de regression de y en x a pour equation y = a× x + b ou :

a =cov(x , y)

[σx ]2

avec :

cov(x , y) =1

n

i=p∑i=1

(xi − x) (yi − y)

Remarque 10

Le nombre cov(x , y) est appele covariance de x , y

Remarque 11

Pour determiner b il suffit d’utiliser le fait que la droite de regression passe parle point moyen

Exemple 4

Voir exercices

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Propriete 11

La droite de regression de y en x a pour equation y = a× x + b ou :

a =cov(x , y)

[σx ]2

avec :

cov(x , y) =1

n

i=p∑i=1

(xi − x) (yi − y)

Remarque 12

Le nombre cov(x , y) est appele covariance de x , y

Remarque 13

Pour determiner b il suffit d’utiliser le fait que la droite de regression passe parle point moyen

Exemple 5

Voir exercices

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

x

y

M1

M2

M4

M3

M5 M6

(D)

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

G

Definition 7

On appelle droite de regression de x en y parla methode des moindres carres toute droited’equation x = a′y +b′ qui rend minimale lasomme suivante :

i=n∑i=1

MiQ2i

c’est a dire ;

i=p∑i=1

(xi −

(a′yi + b′))2

Remarque 14

Pour etablir les calculs il suffit d’echanger le role de x et y dans les formulesci-dessus

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

x

y

M1

M2

M4

M3

M5 M6

(D)

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

G

Definition 8

On appelle droite de regression de x en y parla methode des moindres carres toute droited’equation x = a′y +b′ qui rend minimale lasomme suivante :

i=n∑i=1

MiQ2i

c’est a dire ;

i=p∑i=1

(xi −

(a′yi + b′))2

Remarque 15

Pour etablir les calculs il suffit d’echanger le role de x et y dans les formulesci-dessus

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Definition 9

On appelle coefficient de correlation de la serie statistique double le nombredefini par :

r =cov(x , y)

σx × σy

Remarque 16

On a : a× a′ =cov(x , y)

σ2x

× cov(y , x)

σy2Donc : a× a′ =

cov(x , y)2

σ2x × σ2

y= r 2

Propriete 12

−1 6 r 6 1 ADMISE

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Definition 10

On appelle coefficient de correlation de la serie statistique double le nombredefini par :

r =cov(x , y)

σx × σy

Remarque 17

On a : a× a′ =cov(x , y)

σ2x

× cov(y , x)

σy2

Donc : a× a′ =cov(x , y)2

σ2x × σ2

y= r 2

Propriete 13

−1 6 r 6 1 ADMISE

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Definition 11

On appelle coefficient de correlation de la serie statistique double le nombredefini par :

r =cov(x , y)

σx × σy

Remarque 18

On a : a× a′ =cov(x , y)

σ2x

× cov(y , x)

σy2Donc : a× a′ =

cov(x , y)2

σ2x × σ2

y= r 2

Propriete 14

−1 6 r 6 1 ADMISE

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Definition 12

On appelle coefficient de correlation de la serie statistique double le nombredefini par :

r =cov(x , y)

σx × σy

Remarque 19

On a : a× a′ =cov(x , y)

σ2x

× cov(y , x)

σy2Donc : a× a′ =

cov(x , y)2

σ2x × σ2

y= r 2

Propriete 15

−1 6 r 6 1 ADMISE

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Definition 13

On appelle coefficient de correlation de la serie statistique double le nombredefini par :

r =cov(x , y)

σx × σy

Remarque 20

On a : a× a′ =cov(x , y)

σ2x

× cov(y , x)

σy2Donc : a× a′ =

cov(x , y)2

σ2x × σ2

y= r 2

Propriete 16

−1 6 r 6 1 ADMISE

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

I si r 2 = 1 alors a× a′ = 1.Les droites D et D’ sont alors confondues ; on dit que l’ajustement affineest parfait.

I si 0.7 < |x | < 1alors les deux droites D et D’ sont proches l’une de l’autre (en fait l’angleentre les deux est inferieur a 45 ) ; on dit que l’ajustement affine estjustifie.

I si |r | < 0, 7 alors l’angle entre les deux droites est superieur a 45 .L’ajustement affine ne se justifie pas.

I Pour davantage d’informations voir livre page 163

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

I si r 2 = 1 alors a× a′ = 1.Les droites D et D’ sont alors confondues ; on dit que l’ajustement affineest parfait.

I si 0.7 < |x | < 1alors les deux droites D et D’ sont proches l’une de l’autre (en fait l’angleentre les deux est inferieur a 45 ) ; on dit que l’ajustement affine estjustifie.

I si |r | < 0, 7 alors l’angle entre les deux droites est superieur a 45 .L’ajustement affine ne se justifie pas.

I Pour davantage d’informations voir livre page 163

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

I si r 2 = 1 alors a× a′ = 1.Les droites D et D’ sont alors confondues ; on dit que l’ajustement affineest parfait.

I si 0.7 < |x | < 1alors les deux droites D et D’ sont proches l’une de l’autre (en fait l’angleentre les deux est inferieur a 45 ) ; on dit que l’ajustement affine estjustifie.

I si |r | < 0, 7 alors l’angle entre les deux droites est superieur a 45 .L’ajustement affine ne se justifie pas.

I Pour davantage d’informations voir livre page 163

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

I si r 2 = 1 alors a× a′ = 1.Les droites D et D’ sont alors confondues ; on dit que l’ajustement affineest parfait.

I si 0.7 < |x | < 1alors les deux droites D et D’ sont proches l’une de l’autre (en fait l’angleentre les deux est inferieur a 45 ) ; on dit que l’ajustement affine estjustifie.

I si |r | < 0, 7 alors l’angle entre les deux droites est superieur a 45 .L’ajustement affine ne se justifie pas.

I Pour davantage d’informations voir livre page 163

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres

Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation

Herve Gurgey

Cours : droite de regression par la methode des moindres carres