Cours - Institut Optique

Cours

Optique PhysiqueInterférence et diraction

Partie II : DIFFRACTION

Chapitres 7, 8, 9 et 10

Cycle Ingénieur - 1ère année - PalaiseauAnnée 2017-2018

Version du 6 novembre 2017

Henri Benisty

ii

Table des matières

7 Diraction : De Huygens-Fresnel à Fresnel paraxial 1

1 L'onde sphérique, une fausse candide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Ondes et rayons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ondes sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Onde divergente et onde convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Développement en ondes planes transverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Principe de Huygens-Fresnel et réponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1 Principe de Huygens-Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Principe de Huygens-Fresnel paraxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Réponse impulsionelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Calcul de la constante K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Formulation de Fourier-Fresnel du cas paraxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Notion de Zone de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Diraction de Fresnel à une dimension : spirale de Cornu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Complément : l'eet Talbot pour des objets périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

8 Diraction de Fraunhofer ou à l'inni, réseaux 12

1 Formulation de la diraction à l'inni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1 Termes linéaires et Transformée de Fourier spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Termes linéaires et Transformée de Fourier spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Utilisation du plan focal d'une lentille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Obstacle à variables séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1 Règle de dilatation et de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Application à un obstacle rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Autres obstacles séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 L'apodisation : bref aperçu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 L'ouverture circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1 Non séparabilité en cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Figure de diraction radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Obstacles composites, obstacles de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.1 Obstacles de forme composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Obstacles de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Les réseaux de diraction périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.1 Transformée de Fourier d'une fonction périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Formulation en vecteur d'onde sans approximation paraxiale . . . . . . . . . . . . . . 206.3 La coupure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.4 L'ecacité de diraction dans un ordre donné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.5 Le réseau ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.6 Le réseau blazé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9 Diraction de Fraunhofer et conjugaisons optiques 26

1 Amplitude d'une onde convergente tronquée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.1 Onde convergente sur l'axe d'un S.O., cas paraxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2 Onde convergente paraxiale tronquée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3 Amplitude dans le plan de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Résolution limitée par la diraction pour un S.O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1 Tache d'Airy dans le plan image : critère de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Résolution image et résolution objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Au-delà du critère de Rayleigh optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1

0 TABLE DES MATIÈRES

3 L'analyse d'un S.O comme problème de diraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1 S.O. comme transformateur d'amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 la lentille comme objet de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10 Imagerie Cohérente 33

1 Détermination de l'amplitude image comme convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.1 Réponse impulsionnelle (PSF : Point Spread Function) . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2 Champ isoplanétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3 Grandissement transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4 Image comme convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Double diraction : amplitude de l'image par Fourier-Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1 Le plan de Fourier et la phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 La chaine des deux lentilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3 Accord avec l'approche par réponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Filtrage des fréquences spatiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1 Notion de fréquence spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 La fonction de transfert de modulation Cohérente (FTMC) . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 FTMC d'un S.O. sans aberration : ltre abrupt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Cas simple d'une mire de fréquence unique, détramage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5 Les relations de TF symétriques entre pupille et PSF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Applications importantes du ltrage de l'amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1 La Strioscopie, les montages Schlieren (pour les uides...) . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Le contraste de phase (DIC), Zernike encore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Les autres contrastes de phase (Nomarski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Chapitre 9

Diraction de Fraunhofer et

conjugaisons optiques

Objectifs du chapitreItems Savoir-faire

Onde sphérique porteuse d'information Amplitude complexe dans un S.O.Utilisation de la TF sur une onde sphérique Choix des bonnes coordonnées où prendre la TFRésolution et ouverture numérique d'un S.O. Utilisation de la fonction de BesselLentille comme objet de phase Courbure de front d'onde et passage de lentille

Ce chapitre s'intéresse à la diraction dans des systèmes optiques. L'idée essentielle est que ce qu'on apu voir pour un faisceau collimaté à l'inni est transposable, modulo certains changements, pour un faisceauconvergent vers un point de conjugaison. C'est un pas important vers le traitement de l'imagerie cohérenteau prochain chapitre. Au lieu d'obtenir une transformée de Fourier dans un plan à l'inni, on va l'obtenirdans un plan image conjugué à un plan objet. Du coup, on obtient une transformée de Fourier manipulabledans le plan conjugué en question. Il est tentant de repartir de ce plan et de revenir à l'objet de départ, parune deuxième TF qui joue presque le rôle d'une TF inverse. L'imagerie cohérente s'appuiera sur le montagedit de double diraction correspondant (l'un des montages à vrai dire). Une des clés de l'analyse est lacompréhension de ce que fait une lentille à un front d'onde sphérique. Cela qui revient à parler de la lentillecomme d'un objet de phase au lieu de la voir suivant les lois de l'optique géométrique.

1 Amplitude d'une onde convergente tronquée

1.1 Onde convergente sur l'axe d'un S.O., cas paraxial

On se place dans le cadre de la Fig.9.1(a). Un S.O. possède une pupille de sortie, et on suppose qu'à partir decette pupille, l'onde se propage en convergeant vers un point O′ sur l'axe optique du S.O. Notons r = O′Mla distance d'un point M(x, y, zM ) où passe l'onde au point O′ (0, 0, zO′). L'amplitude d'une onde sphériqueloin du point central est de la forme

A(M) ∝ 1

rexp(±jkr) (9.1)

Le cas exp(+jkr) s'applique à une onde s'éloignant en divergeant de r = 0. Mais ici nous avons une ondeconvergeant en r = 0, il faut donc utiliser exp(−jkr) (dans [−kr−ωt], on doit retrouver le fait que, à phasedonnée, r diminue quand t augmente).

Par ailleurs le facteur 1/r permet de conserver l'intensité : le ux dans un angle solide donné est l'intégralede |A|2 r2 dΩ où dΩ = sin(θ)dθdϕ avec les notations usuelles en coordonnées sphériques. Si nous sommessusamment paraxial, et si d = zO′ − zM est la distance entre le plan de M et O′, nous pouvons faire lemême D.L. paraxial que pour le principe de H.F. :

r ' d+x2 + y2

2d(9.2)

De sorte que l'onde plane que nous avions utilisée pour le cas de Fraunhofer à l'inni est remplacée en bonneapproximation par une onde d'expression :

A(M) ∝ 1

de−jkd e−jk

x2+y2

2d (9.3)

Attardons nous sur la signication d'une phase relative négative pour tout x, y 6= 0 : cela veut dire que pourles bords du diaphragme, par exemple, l'onde est en avance de phase. Le terme exp(−|ϕ|) correspond à un

26

1. AMPLITUDE D'UNE ONDE CONVERGENTE TRONQUÉE 27

Figure 9.1 (a) Onde convergente tronquée en sortie d'un système optique, dans un cas général ;(b) Phase négative du point M en arrière du front de phase par rapport à O.

lieu en amont de celui de phase nulle, où ϕ = 0 et exp(−|ϕ|) = 1, comme l'illustre le diagramme de Fresnelde la Fig.9.1(b). A l'inverse, un champ qui serait sur les bords à une phase en retard par rapport à celle surl'axe conduirait à une onde divergente, ce serait le cas d'une conjugaison de type image virtuelle (la loupe).Si cela vous semble encore casse-tête, pensez (i) que dans une onde plane usuelle vers les z > 0, les pointsà droite d'un point donné ont une phase plus positive, mais n'en sont pas moins en retard sur le pointconsidéré, puisqu'ils n'exhiberont la même phase que plus tard dans le temps ; et (ii) que si vous raisonnezsur le diagramme de Fresnel, on tourne dans le sens anti-trigo en un point donné, le terme de temps étantconventionnellement −ωt, cf. Fig.9.1(b).

1.2 Onde convergente paraxiale tronquée

Pour reproduire l'eet d'une pupille ou d'un diaphragme, on va simplement supposer que l'onde estmultipliée dans le plan zdiaphragme par une fonction t(x, y). Dans un premier temps, on peut imaginer quec'est en tout ou rien : une onde sphérique moins tronquée existait aux z < zdiaphragme, la partie tombant surle diaphragme devient nulle à z = z+

diaphragme.Ainsi l'amplitude en sortie de la pupille du S.O. s'écrit, avec un préfacteur explicite :

A(M) = A01

de−jkd e−jk

x2+y2

2d t(x, y). (9.4)

Concrètement, t(x, y) = Heaviside(x2 +y2−R2) vaut 1 dans une pupille de rayon R et zéro au-delà. On peutbien sûr imaginer diverses fonctions de troncature : en tout ou rien avec une pupille de forme quelconque,en dégradé au lieu d'Heaviside, etc. C'est une autre façon de dire, en anticipant un peu, qu'il y aura unecertaine quantité d'information optique liée à l'imagerie dans A(M).

1.3 Amplitude dans le plan de conjugaison

Nous allons utiliser l'expression ci-dessus en étant bien conscient qu'elle n'est valide que si le plan d'ar-rivée, celui de O′, est le plan de conjugaison, où converge l'onde avant de se charger d'information par leterme t(x, y).

Nous pouvons réutiliser Fourier-Fresnel du Chapitre 8, avec l'amplitude A(M) ci-dessus pour trouverl'amplitude en tout point P du plan de conjugaison modulo l'approximation paraxiale. L'intégrale porteformellement sur tout le plan de la pupille, même si nous imaginons à l'instant que l'amplitude est nulle horsdu diaphragme. On a d'emblée une élimination du terme e−jkd avec celui en e+jkd qui permet d'avancerd'une distance d entre les deux plans, ce qui donne :

A(P ) ' A0

jλd2e+jk x

′2+y′22d

∫∫plan Oxy

e−jkx2+y2

2d︸︷︷︸ t(x, y) e+jk x2+y2

2d︸︷︷︸ e−j 2π(ux+vy) dx dy. (9.5)

La bonne surprise est l'élimination des termes e±x2+y2

2d (ceux soulignés d'accolades) ! L'aspect convergent del'onde a permis d'éliminer le terme divergent présent dans Fourier-Fresnel, qui reète la divergence desondelettes du principe de H-F.

Le résultat est que l'amplitude dans le plan de l'écran (celui de O′) est exactement la TF de t(x, y). Ilimporte tout de suite de rappeler que les u et v sont comme dans le chapitre précédent des vecteurs d'onde

28 CHAPITRE 9. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER ET CONJUGAISONS OPTIQUES

transverses liés à x′ et y′, ce qui donne le résultat global :

A(P ) ' A0

jλd2e+jk x

′2+y′22d

∫∫plan Oxy

t(x, y) e−j 2π(ux+vy) dx dy

=A0

jλd2e+jk x

′2+y′22d TF[t(x, y)]u,v

u =x′

λdv =

y′

λd(9.6)

On peut en premier lieu retenir que la répartition spatiale d'intensité est proportionnelle au carré de la TF :

|A(u, v)|2 ∝ |TF[t(x, y)]u,v|2 (9.7)

Cette répartition est couramment appelée la gure de diraction dans le plan image. On voit que pourla connaitre, il sut de connaitre ce qu'on appelle la fonction pupillaire t(x, y), en phase et en amplitude(de façon à avoir sa TF correcte). Il faut bien sûr connaitre aussi la distance d, mais c'est une quantité bienplus évidente, cela va sans dire : il faut prendre la TF de t(x, y) aux points (x′/λd, y′/λd).

→ Nous revenons un moment sur l'Eq.9.6 donnant l'amplitude. Après tout, pour la conjugaison innifoyer, par exemple, nous avons déjà dit qu'on observait la gure de diraction non pas à l'inni vraiment loin,mais au foyer d'une lentille, puisque chaque direction y est associée à un point. Oui mais cette associationdans une théorie de rayon ne garantissait que le module du champ ou si on préfère son intensité Eq.9.7.Ce qu'on a gagné dans la nouvelle formulation est le fait que les amplitudes complexes elles-mêmes sontcorrectes. Cela sera crucial quand il s'agira de cascader des lentilles et de faire des montages, notammentceux de double diraction. Nous n'allons pas jusque-là dans ce chapitre, nous constatons d'abord diversesconséquences pour l'imagerie et la résolution, nous ne faisons de lien avec une description plus complète desS.O. comme transformateur d'amplitude que dans la dernière section, portant sur la transmittance d'unelentille.

→ Voici une première conséquence simple du résultat générique Eq.9.7, si l'on suppose un S.O. délivranten amont du diaphragme pupillaire un front d'onde de courbure indépendante de la longueur d'onde etidéale : Si l'on passe du rouge (λ ∼ 640 nm) au bleu (λ ∼ 440 nm), la gure de diraction doit simplement serétrécir dans les proportions de λ sans changer de forme (anneaux, par exemple, avec les intensités relativesassociées).

2 Résolution limitée par la diraction pour un S.O.

2.1 Tache d'Airy dans le plan image : critère de Rayleigh

Quels sont les rayons les plus inclinés qu'il faut traiter dans un S.O,. si l'on cherche à maximiser sarésolution ? Pour répondre à cette question d'un grand intérêt pratique (elle inue énormément sur la tailleet le poids des optiques !), il faut se mettre d'accord sur ce qu'on appelle résolution. Dans l'esprit du chapitreprécédent, nous avons étudié une ouverture ronde et nous avons vu que sa TF était à symétrie circulaireet donnée essentiellement par une fonction de Bessel J1 qui joue grosso modo le rôle du sinus dans le sinc.Maintenant que cette gure n'est plus à l'inni, on va l'appeler de son nom usuel : c'est la tache d'Airy.Le résultat à l'inni se transpose ici directement : soit D le diamètre de la pupille. Si le S.O. fournit biendans le disque de diamètre D du plan de la pupille un front d'onde sphérique parfait, sans aberration, alors|A(u, v)|2 a la forme de cette tache d'Airy.

Il est confortable de passer en coordonnées polaires dans le plan (x′, y′) : on introduit le rayon ρ′ =(x′2 + y′2)1/2. Ainsi, on exprimera |A(u, v)|2 à l'aide de l'unique quantité ρ′/λd qui a les dimensions d'unnombre d'onde transverse.

En utilisant les règles de dilatation, la TF d'un disque de rayon D/2 est dilatée de celle d'un disque derayon unité d'un facteur D/2, et on utilise la règle correspondante : il faut introduire le facteur D dans l'ar-gument de la fonction de Bessel qui est pour le cercle unité mathématique (2π× nombre d'onde transverse).Cet argument est alors 2π×D/2× (ρ′/λd) (vériez par analogie avec l'ouverture rectangulaire de taille c oùl'argument du sinus est c× u).

On admettra alors que si deux points proches sont imagés, et que chacun donne une tache d'Airy, onne peut plus les résoudre au niveau du ressenti visuel (on ne parle pas d'une analyse poussée d'un signalnumérisé par exemple) lorsque leur distance est égale au rayon de la tache d'Airy, ce qui désigne la positiondu premier zéro de la répartition en amplitude (Fig.9.2).

2. RÉSOLUTION LIMITÉE PAR LA DIFFRACTION POUR UN S.O. 29

Figure 9.2 Deux tachesd'Airy telles que le maximumde l'une soit sur le premierzéro de l'autre : c'est le cri-tère de Rayleigh sur la réso-lution d'un S.O., qui corres-pond à une limite pratique(mais non théorique) pourdistinguer deux points, à dis-tance 1, 22 λ

2 (ON)′ .

Ce premier zéro survient lorsque l'argument de la fonction de Bessel vaut 1, 220π (au lieu de π pour lesinus). On a donc, en notant ρ′0 le rayon qui mesure cette résolution, l'égalité qui donne le résultat.

π ×D × ρ′0λd

= 1, 220π −→ ρ′0 = 1, 220λd

D. (9.8)

Ce résultat est appelé le CRITERE DE RAYLEIGH. Il donne la résolution, limitée par la diraction, d'unS.O. d'ouverture circulaire, parfait et sans aberration.

Le résultat est plus simple encore si on considère l'ouverture numérique de sortie du S.O., qu'on va noter(ON)′, et qui vaut dans la limite des petits angles (cf. notre approximation paraxiale) (ON)′ ≡ sinα′ ' D/2

d :

ρ′0 ' 1, 220λ

2(ON)′. (9.9)

Il ne dépend donc que de l'ON image !

En réalité, ce résultat est valable à toute ouverture, même aux grands angles et même aux ouverturesON > 1 permises par un indice n′ > 1 dans le milieu considéré (cas des objectifs de microscopie à immersion,côté objet, mais c'est réciproque). La raison sous-jacente la plus convaincante est le traitement de Fourier duchamp avec le spectre d'onde plane qui vous sera expliqué dans un cours qui fait le pont entre le cours dediraction (où le principe de Huygens-Fresnel n'est pas démontré réellement) et le cours d'électromagnétisme,où le champ reste traité en entier, rigoureusement, au prix d'outils un peu moins intuitifs.

2.2 Résolution image et résolution objet

C'est évidemment un point clé, pour un microscope par exemple.

La résolution côté objet se trouve tout simplement par retour inverse (Fig.9.3) : pour un point source enO′, la tache de diraction côté objet aura logiquement une taille 1, 220 λ

2(ON) où (ON) est l'ouverture côtéobjet cette fois-ci. On conçoit donc sans trop de mathématique que deux points qui se trouvent à moins quele critère de Rayleigh pour cette taille ne seront pas distinguables, dès l'entrée de la lumière de l'objet dansl'appareil. Des objets aussi proches ne donnent pas des des fronts d'onde qui se diérencient susammentdans l'appareil. Aucun traitement de sortie ne pourra défaire entièrement la troncature faite par la pupilled'entrée. Au total, les résolutions côté objet et côté image sont donc dans le rapport inverse des (ON)respectives, et cela correspond en optique instrumentale au grandissement transverse gy.

• Pour un microscope, c'est l'ouverture objet qui est maximisée (couramment > 0,50), l'ouverture imageest faible, il s'agit d'illuminer à quelque dizaines de cm de distance un plan focal de caméra ou unplan de reprise par un oculaire. Le grandissement mentionné sur l'objectif tient compte de l'oculaire,donc ne pas l'utiliser tel que, d'autant que les objectifs modernes font l'image à l'inni, pour pouvoirchanger les longueurs de tubes avec davantage de souplesse.

• Pour un télescope ou une longue-vue, c'est tout le contraire : l'ouverture objet est inme (la moustachedu capitaine du vaisseau pirate vue à 1 lieue), l'ouverture objet étant adaptée pour l'oculaire. Unelongue-vue avec une grosse lentille capte davantage de lumière et dispose en principe de davantage derésolution (quand l'atmosphère turbulente ne s'en mêle pas trop).

• Pour un télescope encore, la distance est souvent mal connue, on est donc purement en résolutionangulaire, ce qui revient à mettre en exergue ρ0

d dans la formule ci-dessus (côté objet) : ρ0

d = 1, 220 λD .

Un télescope a une résolution angulaire proportionnelle à son diamètre, et plus précisément donnée par


.

Figure 9.3 Résolutions objet et image dans un S.O, chacune associée à l'ouverturenumérique (ON) ou (ON)′ correspondante

le nombre de longueur d'onde qu'on peut caser dans le diamètre, d'où la course aux grands diamètres.Comme vous le savez sans doute, même en montagne (4000 m) la turbulence atmosphérique faitvibrer l'image de façon appréciable même pour des diamètres de moins d'un mètre. C'est là que peutintervenir l'optique adaptative, qui va tenter de remédier aux ondulations parasites du front d'ondeavant que celui-ci ne soit focalisé en sortie, et en se basant sur une source forte annexe pour devinerla correction à faire (une étoile articielle, consulter Caroline Kulcsar pour davantage de détails,elle perfectionne notamment les algorithmes de correction compte tenu des fonctions de réponse dessystèmes correctifs).

2.3 Au-delà du critère de Rayleigh optique

• Tout d'abord étendons le mot optique. Ce qui a été dit découle de l'existence d'une équationd'onde pour des ondes scalaires, donnant par exemple à une onde sphérique la forme asympto-tique 1

r exp[kr − ωt]. En principe, l'électromagnétisme est vectoriel ; mais la version scalaire est unebonne approximation de tout l'électromagnétisme sur tout le spectre, des ondes radio en passant parle visible jusqu'aux rayons gamma (hν & 10 keV). Il est certes plus dicile de diaphragmer une ondede longueur d'onde 0,1 nm, mais les autres conséquences de la diraction s'y appliquent bien. Côtéonde radio, parler de pupille de sortie est encore imaginable pour un radio télescope d'une centaine demètres de diamètre, voire pour les systèmes multi-antennes étendus sur des dizaines de km qui vonttransmettre par câble ou bre un champ électrique local à un point de traitement ultérieur.

• On peut aussi penser à toutes les autres ondes scalaires : les ondes sonores (mécaniques) par exemple,les ondes des uides, dont les tsunamis ont des échelles considérables, et dont la diraction sur latopologie des zones côtière est déterminante pour les dommages causés. Vous trouverez sur internetles études faites à partir du Tsunami de 1883 lié à l'éruption du Krakatoa (Indonésie), mettant àprot les enregistrements des marégraphes en service dans de nombreux ports autour du monde (lesmarégraphes servent à préciser au cm près le niveau de la mer, ils sont encore fort utiles pour connaitrela préoccupante montée des niveaux marins). On peut aussi penser à des ondes de matière au sens de

la mécanique quantique : l'électron se diracte tout à fait bien, et le critère de Rayleigh est pertinenten imagerie électronique. La longueur d'onde en jeu est alors la longueur d'onde de de Broglie de lamécanique quantique (obtenue via p = ~ × 2π/λdeBroglie), très petite si vous injectez la quantité demouvement p d'un électron accéléré à quelques keV. En gros, un électron qui va à la vitesse qu'il adans un atome, vitesse associée à une énergie d'ionisation de ∼ 10 eV, a une longueur d'onde de 0,1nm.Un atome luimême, tout entier, peut être vu comme une onde de matière, c'est plus facile à voirsi l'atome à peu de degrés de libertés internes et que ceux-qui restent ne sont pas indisciplinés cequi revient à dire chimiquement réactifs. L'hélium représente ce type de cas. Les contrôles atomiques,très subtils, permettent des états remarquables, renseignez vous au labo d'ici !

3. L'ANALYSE D'UN S.O COMME PROBLÈME DE DIFFRACTION 31

• Non-linéarité/Superrésolution Il est intéressant de voir a contrario comment faire sauter le critère deRayleigh, et cela met en lumière les ingrédients qui ont été quelque peu implicites dans sa formulation.Les éléments en jeu sont ici la linéarité des équations et le type de causalité cherchée. Si on utilisedes interactions non-linéaires (certains champs diractés sont produits par exemple en proportion ducarré d'autres champs), dus à l'excitation d'électrons hors du régime harmonique propre aux champsusuels, on peut battre le critère de Rayleigh. Ainsi la microscopie dite à deux photons parvient àdoubler grosso modo la résolution, plus un certain nombre d'autres avantages liés à la localisationdans l'espace des zones de forts champs, qui seules atteignent le régime non-linéaire. D'autres eetsconsistent à peupler ou dépeupler carrément des niveaux sur des atomes, puis à étudier les quelquessurvivants biens choisis. Si on ne survit qu'au voisinage d'un noeud du champ par exemple, c'est bienplus localisé que le critère de Rayleigh. Le prix Nobel de Chimie a été attribué à ces découvertes il ya peu d'années (Googlisez microscopie STED par exemple).

• L'information a priori. Une dernière subtilité consiste à utiliser de l'information a priori. Si parexemple vous savez qu'il n'y a qu'une seule molécule dans le champ d'observation, vous allez l'imagercomme l'image d'un point, soit une tache d'Airy. En attendant d'avoir assez de photons (la moléculene vous les émet qu'un à un par exemple, toutes les 10µs, il faut attendre quelques secondes pouren capter les 100 000 nécessaires à faire une image décente), vous avez une tache d'Airy associée àcette molécule. Or le centre d'une tache ronde est connu avec bien plus de précision que la taille de latache ! Seul le bruit empêche une détermination inniment précise. Dans la pratique, la connaissanceà 5 ou 10 nm près de la position d'une molécule sur fond noir est faisable en routine. A-t-on battule critère de Rayleigh ? Non car on a utilisé l'information a priori il y a une seule molécule ! Dansune situation où par exemple 5 ou 6 molécules se trouveraient être présentes avec des distances avecentre elles de 510 nm, vous auriez bien du mal à le dire d'après l'image, qui aurait juste l'air d'unetache d'Airy à peine dégradée.

3 L'analyse d'un S.O comme problème de diraction

3.1 S.O. comme transformateur d'amplitude

Nous avions commencé la diraction par le cas d'une onde plane limitée par un masque carré, certes canoniquemais assez peu recontré dans les vrais instruments. Nous avons continué par les obstacles ronds, déjà plusréalistes, au prix de la fonction de Bessel et de la tache d'Airy. Et nous venons de voir ce qu'il se passe quandon parle d'une onde convergente tronquée : On peut encore utiliser la TF, comme à l'inni, du moment quel'on se base sur une onde ayant exactement la courbure qui l'amène au plan étudié. Si c'est l'arrière d'unS.O dont on parle, ce plan est un plan de conjugaison (plan image) associé à l'image d'on objet quelque partà l'avant d'un S.O.

Et au fond, dans cette idée générale, nous pouvons dire qu'on est passé d'une onde sphérique divergenteémise par l'objet à une onde sphérique convergente reçue (l'onde de l'objet est émise au sens mathématique,elle peut elle-même venir d'une première onde d'éclairement qui vient se faire moduler ou se faire diusersur l'objet [mot anglais pour cette diusion générique de physicien : scattering] ).

Et du coup, tous les éléments d'un S.O qui forment des images à partir d'objets, peuvent être vus commetransformateurs d'onde sphériques. On peut les cascader à cause de la remarque faite ci-dessus : dans lebon plan, nous obtenons les bonnes TF complexes, avec les phases correctes, ce qui n'est pas le cas de lalumière recueillie par exemple en conjugaison innifoyer avec lentille juste après l'obstacle : dans ce casseule le module |TF(...)| est correct, pas la phase.

Les relations de conjugaison (comme celle de la lentille convergente qu'on va expliciter ci-dessous) peuventalors être vues comme des relations entre les rayons de courbures des faisceaux entrant et sortant. Il fautbien sûr dénir ces rayons à un point précis de l'axe optique puisqu'ils ne cessent d'évoluer. Dans la limitedes lentilles minces, ces points précis peuvent être par exemple juste avant et juste après la lentille, et parhypothèse quasiment confondus.

C'est ce que nous allons faire dans la suite. Il m'a semblé opportun de montrer qu'on avait là de quoirevisiter l'optique géométrique traditionnelle, et qu'il était bon de le raconter. Une raison de le faire est queles termes qui sont naturellement apparus dans la phase dans le développement paraxial, en (x2 + y2)/2d,etc. sont naturellement associés à des fronts d'onde sphériques, justement (front d'onde = lieu de phasedonnée !). Nous avons donc le doigt sur le fait que le développement paraxial nous fait émerger des termesde sphéricité qui sont vraiment de même nature que ceux associés aux changements de sphéricité des frontsd'onde induits par les lentilles. Cet aspect est illustré ci-dessous et revient à considérer la lentille convergentecomme un objet de phase lui-même de structure sphérique au même sens du développement paraxial qu'onvient d'évoquer.


Figure 9.4 Schéma de la lentille comme transformateur d'amplitude entre deuxplans. en traits pointillés épais, une conjugaison quelconque ; en traits pointillés mince,le cas de la conjugaison innifoyer image.

3.2 la lentille comme objet de phase

Suivant le dessin de la Fig.9.4, nous prenons deux plans de références de part et d'autre d'une lentillemince convergente. Nous nous intéressons au cas d'une onde sphérique émise à une distance d1 = AS1 et donton sait que l'optique géométrique la fait converger à une distance d2 = S2A

′ du côté objet. Nous appelonsA−(M) l'amplitude en amont de la lentille (z = z−) et A+(M) l'amplitude en aval (z = z+).

L'idée est que la traversée de la lentille entre les deux plans est essentiellement la traversée d'une épaisseurplus ou moins grande de verre suivant la distance à l'axe. On dénit donc la transmission par la lentille commeune multiplication par une transmission de module unité (pas de lumière rééchie) et de phase t(M) liéeà cette épaisseur de verre, et éventuellement de module nul hors de la lentille (eet de diaphragme ou depupille), mais c'est ici un point secondaire. On écrit donc tout simplement :

A+(M) = t(M) A−(M) (9.10)

On pourrait (essayez !) mettre les paramètres d'une vraie lentille et voir ce qui en sort. Nous allons utiliserune astuce plus simple : si il existe bien une telle fonction t(M), alors on peut la déduire à partir d'un casconnu, en utilisant le seul paramètre pertinent de cette lentille, sa distance focale f ′. Nous n'aurons ainsipas besoin du détail de son épaisseur et son indice. Cela est conforme à l'idée générale de transformationd'onde sphérique, qui doit être indépendante des détails de la lentille. On va le voir de plus près.

Ainsi, nous savons que si une onde plane est incidente sur la lentille, soit A+ = constante à une phase près(de type exp(jkz) donc indépendante de x, y), il en résulte côté objet une onde convergente tronquée dontle point de convergence est le foyer image de la lentille. Or nous savons grâce à l'Eq.9.3 que, à un facteurcomplexe constant près, une telle onde sortante s'écrit dans le plan sous la forme suivante :

A+(M) ∝ f(M) e−jk x

2+y2

2f′ (9.11)

où f(M) est la fonction pupillaire, valant typiquement 1 dans la zone de la lentille et zéro ailleurs, pour unepremière description simple. En égalisant les deux expressions de A+(M) dans le plan z = z+ juste après lalentille, il vient que :

t(M) = f(M) e−jk x

2+y2

2f′ (9.12)

Physiquement, le front sortant est courbé vers la droite, du fait qu'il y a un retard du centre qui est dû àla traversée du verre où l'onde ralentit à la vitesse v = c/n. Avec notre convention d'onde basée sur desondes planes en exp(jkz − ωt) vers les z > 0, la phase (à t donné), à δz au-delà d'un point z de référenceest positive de +δφ = kδz, et elle est négative à l'arrière de ce point. Si on élargit cette interprétation àl'onde non plane, on voit que, du fait du signe négatif dans la phase de t(M), les points du plan de sortiez = z+ sont donc bien en arrière du front de phase courbe passant par z+ en x, y = 0 (et à des z > 0 pourx2 + y2 > 0). Revoyez la Fig.9.1(b) par exemple.

−→ On pourra aisément se faire la main en traitant la conjugaison foyer objetimage à l'inni, avect(M) donné ou bien à deviner, c'est assez facile vu le cas traité ci-dessus.

−→ Un exercice plus intéressant est d'écrire le cas d'une conjugaison quelconque, où les deux fronts

sont courbés, l'un ayant une amplitude en e+jk x2+y2

2d1 et l'autre en e−jkx2+y2

2d2 : Vériez que l'application del'équation 9.10 donne un lien entre d1, d2 et f ′ qui n'est autre que la relation de conjugaison d'une lentilleconvergente. On pourra enn étendre sans grande peine aux cas de sources ou images virtuelles.

Chapitre 10

Imagerie Cohérente

Objectifs du chapitre

Items Savoir-faire

Double diraction Fraunhofer comme réponse impulsionnelleFiltrage spatial Rôle des fréquences spatialesImagerie cohérente Fréquence spatiale et pupilleStrioscopie Bords et fonds comme objets d'amplitudeContraste de phase transformation phase amplitude

Qu'y a-t-il de spécique à l'imagerie avec lumière cohérente ? Le fait d'imager par un système optique n'estpas du tout une surprise, c'est le sujet de l'optique géométrique. Nous avons ajouté la connaissance de cequi arrive à l'image d'un point, en parlant de la tache d'Airy. Est-ce à dire que pour l'image d'un objetformé d'une multitude de points, imagés en des points [x′,y

′m] disons, il sut d'ajouter les petites taches,

ce qui donnerait Itot =∑m IAiry, SO(x′ − x′m, y′ − y′m) avec IAiry, SO(x, y) la tache d'Airy adaptée à notre

SO ? Non ! Cet ajout des intensités (dans les zones où les points sont proches et les taches se recouvrenteectivement) ne vaudrait que pour un cas incohérent.

Dans le cas cohérent tout est possible, chaque tache a sa phase (centrale) déterminée par le S.O., et lacombinaison de deux taches se recouvrant se fait d'abord en amplitude complexe, avec possibilité d'annulation(destruction) par exemple. Le traitement d'une image doit donc être pensé un peu comme un traitement designal électronique. L'outil de la TF va notamment être un outil de choix. De même, les concepts du ltrages'appliqueront avec des petites adaptations.

Au fond, la nouveauté est qu'un front d'onde bien formé (de cohérence spatiale meilleure que la taillede l'objet à imager, Fig.10.1) existe en entrée du système, et que la relation de phase bien dénie entretous les points dus système dans cette zone d'entrée a pour conséquence une relation de phase bien déniede toutes les ondes partielles qui contribuent à l'image (ondes partielles formées au niveau de l'objet). Onverra d'abord comment traiter cela, ensuite comment accéder aux fréquences spatiales dans un montage ditde double diraction, en enn les applications permettant notamment de mieux lire la phase d'un objetde phase (contraste de phase, technique[s] d'une grande importance en microscopie) ou de distinguer lescontours (strioscopie).

1 Détermination de l'amplitude image comme convolution

1.1 Réponse impulsionnelle (PSF : Point Spread Function)

Soit un objet O(x, y), illuminé par une onde plane monochromatique. L'objet est un modulateur quitransforme l'amplitude constante de l'onde plane incidente en une onde complexe O(x, y) : on confond

Figure 10.1 Eclairage par une onde ayant une cohérence spatiale à l'échelle de l'objet éclairé.

33

34 CHAPITRE 10. IMAGERIE COHÉRENTE

Figure 10.2 Imagerie en amplitude : chaque point du plan de gauche donne une réponseimpulsionnelle dans le champ de droite, centrée sur son image géométrique, et caractériséepar une réponse impulsionnelle indépendante du point considérée dans la zone du champappelée isoplanétique.

l'objet et sa transmission en amplitude. Un cas particulier d'objet est une source ponctuelle. On peut laconsidérer comme un objet noir partout sauf sur un petit endroit au point (x0, y0), et confondre O(x, y)avec δ(x − x0, y − y0). Il faut formellement raisonner à amplitude tendant vers l'inni pour que le conceptde fonction δ soit rigoureux, mais on peut faire de cette question pour traiter notre aaire d'image. Onappelle réponse impulsionnelle (ou percussionnelle) (ou en anglais PSF : Point Spread Function) l'amplitudeformée dans le système image autour du point (x′0, y

′0) image géométrique du point (x0, y0), notée ainsi :

δ(x− x0, y − y0)Système optique−→ −→ −→ D(x′ − x′0, y′ − y′0)

Ceci est illustré à la Fig.10.2. Ce que nous avons discuté dans le chapitre précédent, c'est que la fonctiond'Airy est la PSF d'un système parfait sans aberration, et pour le seul cas d'un point au centre [δ(x, y) −→D(x′, y′)]. Précisons encore : la fonction D introduite ci-dessus est alors la version en amplitude de la PSF,donc la fonction de la forme J1(2πσR)/(2πσR) analogue au sinc et σ un vecteur d'onde qui contient lacoordonnée transverse, σ = ρ/(λd). La question qui se pose et qui justie de parler de PSF est de savoirsi c'est toujours la même fonction D qui marche pour un point hors de l'axe optique, ou pas. Après tout,l'onde est un peu tronquée diéremment, il faut faire attention.

1.2 Champ isoplanétique

la PSF d'un S.O. ayant des défauts raisonnables ne peut pas changer trop brutalement, en réalité : Si leSO a réussi à former tout un front optique courbé comme il faut pour une courbure d'entrée donnée, unpetit changement du front doit être possible en entrée, les points de passage dans les lentilles ou miroirs sontproches des précédents, peut-être l'angle d'abordage augmente-t-il un peu, mais on sait que aux alentoursde l'incidence normale, les variations de phase sont typiquement du second ordre (les premiers termes nonnuls dans l'ordre p(θ) = 2ne cos(θ′) des lames minces sont en θ2 par exemple).

De ce fait, on s'attend à ce que dans un certain voisinage de l'axe optique pour (x0, y0) ou bien demême pour les images (x′0, y

′0), la fonction D reste quasi identique à ce qu'elle est pour le point central

(x0 = 0, y0 = 0). Ce voisinage dénit ce qu'on appelle un champ isoplanétique. Iso veut dire même et engrec planeta se réfère à une planète en tant qu'objet qui bouge. Cela signie qu'on dit que ce champ est lemême quand on y bouge, ce qui donnerait pour ce qui nous concerne, la dénition Champ ou chaque PSFest la même qu'en O.

Nous n'allons pas plus loin, il faudrait une étude cas par cas. Il nous sut de savoir qu'il existe un telchamp, et que, tant que les objets sont imagés à l'intérieur de ce champ isoplanétique, on pourra mettre àprot la propriété de D identique pour donner une forme mathématique intéressante à l'image (vous pensezà la convolution ? oui, bravo !).

1.3 Grandissement transverse

Le lien entre objet et image est donné, comme dans tout S.O. traité en optique géométrique, par un gran-dissement transverse γ = x′0/x0 = y′0/y0. Il n'y a pas d'ambiguïté même si d'un côté on a un point et del'autre on a une tache dans la mesure où, dans le champ isoplanétique où cette tache se trouve toujours, onpeut dénir sa position avec une précision arbitraire (on repérera naturellement son centre par exemple).

2. DOUBLE DIFFRACTION : AMPLITUDE DE L'IMAGE PAR FOURIER-FRESNEL 35

1.4 Image comme convolution

Nous sommes maintenant armés pour atteindre le résultat essentiel. Pour cela, nous disons que l'objet O(x, y)est décomposable comme un ensemble de points P0 du champ isoplanétique, en aectant l'élément d'am-plitude O(x0, y0) dx0dy0 à ce point. Ce point P0 s'image sur un point P ′0(x′0 = γx0, y

′0 = γy0). L'amplitude

élémentaire dans le plan image due à ce seul point est (à un facteur constant près) :

dA(x′, y′) = O(x0, y0) D(x′ − x′0, y′ − y′0) dx0dy0

= O(x0, y0) D(x′ − γx0, y′ − γy0) dx0dy0 (10.1)

Et si nous faisons un changement de variable [(x0, y0) → (x′0 = γx0, y′0 = γy0)], et que nous ignorons le

facteur γ2 induit (on ne normalise pas les amplitudes a priori, on verra ce qu'on peut faire a posteriori), onpeut alors écrire :

dA(x′, y′) = O

(x′0γ,y′0γ

)D(x′ − x′0, y′ − y′0) dx′0dy

′0 (10.2)

Que reconnaissons nous ?

• O(x′

0

γ ,y′0γ

)est le résultat de la dilatation d'un facteur γ appliquée à l'objet. C'est tout bonnement

l'image au sens de l'optique géométrique mais en amplitude. Il est simple et logique de la nommer O′(x′0, y′0)..

La suite logique est de sommer ces amplitudes sur les points x′0, y′0, du fait que cette image géométrique en

amplitude, O′, joue le même rôle dans le plan image, que le rôle que joue O dans le plan objet. Nous avonsdonc :

A(x′, y′) =

∫∫R×R

O′(x′0, y′0) D(x′ − x′0, y′ − y′0) dx′0 dy

′0 (10.3)

Nous reconnaissons dans cette expression la convolution de l'image géométrique O′ avec la réponseimpulsionelle D, ce qui s'écrit au sens des fonctions comme :

A(x′, y′) = O′(x′, y′0) ∗ D(x′, y′) (10.4)

Amplitude image = Image géom. en amplitude * Rép. impuls. en amplitude

L'outil de la convolution est donc rendu possible ici par l'isoplanétisme (identité de D dans le champ).C'est un résultat qui ouvre la voie à de nombreux traitements mathématiques. On peut ainsi prévoir l'eetde nombreux éléments interposés grâce aux règles de la convolution. On pourra aussi jongler avec Fourierpuisqu'une convolution dans l'espace (x, y) correspond à une multiplication dans l'espace des fréquencesspatiales (espace de Fourier), suivant le théorème de convolution.

2 Double diraction : amplitude de l'image par Fourier-Fresnel

2.1 Le plan de Fourier et la phase

Nous allons retrouver cette relation en suivant étape par étape une onde dans un S.O réel, qui est le systèmedit de Double Diraction. Il y en a deux populaires, l'un avec deux lentilles identiques à distance f , l'autre,que nous étudions ici, avec deux lentilles à distance 2f . Ces montages sont faits pour dénir un plan deFourier où est formée la TF (en amplitude) de l'objet en amplitude. L'accès à la TF permet ensuite untraitement de l'image.

Deux remarques :• On pourrait croire qu'il est trivial de disposer de la TF d'un objet, puisqu'on a dit que la diractionà l'inni la réalisait, puis qu'on pouvait, avec une simple lentille placée n'importe où en aval obtenirdans son plan focal la bonne répartition, les rayons à l'inni arrivant là où il faut. Certes, ils yarrivent et ils ont la bonne amplitude. Mais sans autre précaution, leur phase n'est pas celle de la TFen amplitude, et donc on ne peut poursuivre le traitement de Fourier si, au beau milieu, on a unephase sans rapport avec celle de la TF. Les montages de Double Diraction, eux, forment la TF à lafois en amplitude et en phase dans un plan intermédiaire, et c'est là qu'on peut ltrer le signal dansun espace de fréquence spatiale en ayant en tête les analogies de l'électronique : passe-bas, passe-haut,passe-bande...

• Les ingrédients de ce type de calcul (un peu lourd...) sont toujours au nombre de trois (quatre ?) :D'une part, on a la transmission des lentilles, étudiées en n de chapitre précédént, d'autre part, ona Fourier-Fresnel, c'est-à-dire Huygens-Fresnel dans un cas paraxial, et enn on a le théorème deconvolution qui permet de trouver un résultat qui fait sens. La notion de réponse impulsionnelle, vuedès le principe de Huygens-Fresnel au Chap.7, fait aussi partie des protagonistes.


Figure 10.3 Montage de Double Diraction (version 2f + 2f ). Noter les notations pour lesplanes utiles, de gauche à droite : P (x, y) ;M(X,Y ) ;P ′(x′, y′).

2.2 La chaine des deux lentilles

On se réfère ici à la Fig.10.3. Une première lentille L1 sert éclairer l'objet par une onde convergente (et nonplane), issue d'une source ponctuelle située à 2f côté gauche. A distance 2f se forme le plan de Fourier. Ony met une deuxième lentille, et l'on va donner la structure de l'image dans le plan à 2f à droite, avec laréponse impulsionnelle entre plan objet et plan nal à droite.

les étapes à prévoir sont : (i) rappeler le champ juste à gauche de L2 ; (ii) utiliser la transmittance d'unelentille pour L2 et (iii) propager de la droite de L2 à l'écran. (iV) Puis traiter le tout.

Notations des points : P (x, y) : objet −→M(X,Y ) plan de la lentille L2 −→ P ′(x′, y′) plan image.

Et des amplitudes/transmissions : O(x, y) : objet ; t(X,Y ) : transmittance L2 ; f(X,Y ) : pupille/ltreen L2 ;

• Amplitude en amont de L2 : Avec les notations usuelles du Chapitre précédent nous écrivons que dansle plan de L2, repéré par les points M(X,Y ), le champ A− est déterminé par Fraunhofer avec conjugaisonquelconque, Eq.9.6 :

A−(M) =1

jλde+jkX

2+Y 2

2d TF[O(P )]u= Xλd ,v= Y

λd(10.5)

où d = 2f ′. On voit que c'est en réalité le module de l'amplitude qui est ici relié à la TF de 0 mais ce n'estpas vrai pour la phase (nous disions dans le chapitre précédent que l'intensité était l'essentiel, on ne le ditplus ici).

• Amplitude en aval de L2 : Nous franchissons maintenant la lentille, transformatrice d'amplitude suivant

la règle maintenant connue de l'Eq. 9.11, tL2 = f(X,Y ) e−jkX

2+Y 2

2f′ , où f(X,Y ) est le ltre/diaph éventuel :

A+(M) = tL2A−(M) =1

jλde−jkX

2+Y 2

2f′ e+jkX2+Y 2

2d f(X,Y ) TF[O(P )]U= Xλd ,V= Y

λd(10.6)

=1

jλde−jk

X2+Y 2

2d f(X,Y ) TF[O(P )]U= Xλd ,V= Y

λd(10.7)

où l'on a utilisé − 12f ′ + 1

2d = − 12d puisque 1

2d = 14f ′

• Amplitude dans le plan nal. C'est le plat de résistance. Il nous faut injecter cet A+(X,Y ) pour lepropager jusqu'en x′, y′, le plan écran et y trouver l'amplitude complexe A′(P ′). On va donc être amené àprendre la TF de termes incluant A+(X,Y ), qui contient lui-même une TF. Heureusement, une simplicationse fait dans la TF à la troisième ligne ci-dessous. Elle ne doit rien au hasard, c'est cette simplication qui

2. DOUBLE DIFFRACTION : AMPLITUDE DE L'IMAGE PAR FOURIER-FRESNEL 37

dit que nous sommes sur un montage de diraction de Fourier, qui réalise la TF avec les bonnes phases.

A′(P ′) =1

jλdejkd ejk

x′2+y′22d TF

[A+(X,Y ) e+jkX

2+Y 2

2d

]u′,v′

(10.8)

A′(P ′) =1

jλdejkd ejk

x′2+y′22d TF

[1

jλde−jk

X2+Y 2

2d f(X,Y ) TF[O(P )]U,V e+jkX2+Y 2

2d

]u′,v′

(10.9)

A′(P ′) =

(1

jλd

)2

ejkd ejkx′2+y′2

2d TF [ TF[O(P )]U,V f(X,Y ) ]u′,v′ (10.10)

On se trouve donc face, dans le dernier [. . .], à presque la TF d'une TF, il y a en réalité un produit avec f ,la fonction de ltrage (pupille etc.) située dans le plan de Fourier au niveau de L2. Mais on connait la TFd'un produit avec le théorème . . . de convolution ! On réécrit donc TF[TF×f ] comme TF[TF]∗TF[f ]. Celas'écrit :

A′(P ′) =

(1

jλd

)2

ejkd ejkx′2+y′2

2d TF [ f(X,Y ) ]u′,v′ ∗ TF [ TF[O(P )]U,V ]u′,v′ (10.11)

A′(P ′) =

(1

jλd

) (1

jλd

)ejkd ejk

x′2+y′22d TF [ f(X,Y ) ]u′,v′︸︷︷︸terme A

∗ TF [ TF[O(P )]U,V ]u′,v′︸︷︷︸terme B

(10.12)

Et l'on essaye de regrouper les termes pour reconnaitre si possible des choses connues. Le terme A peutêtre compris de deux façons : (i) Soit vous calculez l'image d'un point par une lentille ayant une pupille defonction f(X,Y ), vous appliquez la version complète de Fraunhofer avec conjugaison quelconque, et vousreconnaissez notre terme A. (ii) Soit vous vous dites que l'élément neutre de la convolution étant la fonctionδ de Dirac, si le terme B en prend la forme dans un certain cas, cela dira de quoi il s'agit. Or s'agissant d'uneTF de TF, si O(x, y) est lui même une fonction δ(x, y), il s'ensuit qu'à des coecients près TF(TF(O))estaussi une fonction du même type, mais dans l'espace d'arrivée δ(x′, y′). Dans un tel cas, A′(P ′) se réduitessentiellement au terme A (à un terme constant près).

2.3 Accord avec l'approche par réponse impulsionnelle

Nous voyons donc que le terme A est l'expression de l'amplitude due à un point source dans le plan deO : c'est donc la réponse impulsionnelle du système ! (la PSF en amplitude). Donc on peut rebaptiser à desconstantes multiplicatives près ce terme A comme étant D(x′, y′) !

Quant au terme B, ce ne sont pas deux TF avec les mêmes variables, il faut faire attention pour exprimerce terme comme une (double) TF mathématique. Pour repasser à des TF mathématiquement sur les mêmesvariables, il faut utiliser les règles de dilatation de la TF. En notant O les TF, c'est sans doute un peu plusclair et compact. Comme on le voit ci-dessous, l'on parvient à TF[TF[g]]. On voit facilement à une dimensionpar exemple, que c'est presque TF−1[TF[g]]=g sauf qu'entre TF−1 et TF, un signe s'introduit, signe qu'on

peut reporter de l'exponentielle à la fonction. Donc TF[TF[g(x)]] = −g(x) tout simplement et ici Õ estsimplement O(−x′,−y′) :

TF

[O

(X

λd,Y

λd

)]u′,v′

= λ2d2 Õ [λd× (Xλd,Y

λd

)](10.13)

TF

[O

(X

λd,Y

λd

)]u′,v′

= λ2d2 Õ(x′, y′) (10.14)

terme B ∝ O(−x′,−y′) (10.15)

Autrement dit, le terme B est l'objet inversé et non l'objet. Or dans notre montage, l'optique géométriquenous dit que l'objet est bien inversé par L2 (montage 4f ou 2f 2f classique) ; ou si l'on préfère utiliserles notations de l'approche précédente, le grandissement transverse est γ = −1. On reconnait donc dans leterme B la mêê quantité que précédemment, l'image en amplitude O′(x′, y′) ≡ O(x = −x′, y = −y′), pure etdénie sans limite de résolution.

Le résultat de l'Eq.10.12 est donc la convolution de la réponse impulsionnelle avec l'image en amplitude,comme déjà trouvé précédemment :

A(x′, y′)︸︷︷︸Amplitude en sortie

= D′(x′, y′0)︸︷︷︸Réponse impulsionnelle

∗ O′(x′, y′)︸︷︷︸Image en amplitude.

(10.16)

Ce qu'on a gagné dans cette approche, c'est une connaissance meilleure des préfacteurs (même si on acollé un ∝ . . . à la n), ce qui serait utile notamment si l'on rajoutait des éléments ultérieurs à la chaîne detraitement de l'objet.


Figure 10.4 Mire de fréquence spatiale 1/p : (a) Prol de l'amplitude (et non de l'in-tensité !) suivant y, à x quelconque ; (b) Répartition d'amplitude visualisée sous forme deniveaux de gris ; (c) Spectre de Fourier spatial de cette répartition d'amplitude, avec le piccentral à fréquence nulle δ(u, v) et les deux pics latéraux, d'amplitude moitié, associés auxfréquences spatiales symétriques ± 1

p de la mire δ(u, v ± 1p ).

3 Filtrage des fréquences spatiales

3.1 Notion de fréquence spatiale

Cette notion est en réalité déjà incluse dans votre connaissance de la Transformée de Fourier à 2D. Si l'onécrit en eet qu'on objet O(x, y) admet une transformée de Fourier, soit :

O(x, y) =

∫∫R×R

H(u, v) ej 2π (ux+yv) du dv, (10.17)

alors il est naturel de voir H(u, v) comme le poids de l'onde plane élémentaire ej 2π (ux+yv) dans l'objet.On peut donc parler du spectre spatial de l'objet, que l'on trouve par la TF inverse :

H(u, v) = (2π)−2

∫∫R×R

O(x, y) e−j 2π (ux+yv) dx dy, (10.18)

On peut se faire une idée de ce que sont des basses et des hautes fréquences spatiales en commençant par unsimple objet d'amplitude périodique suivant y, de période p, Fig.10.4(a,b)(dans la notation fréquente pourla théorie des réseaux, ce serait Λ), ce qu'on appelle souvent une mire :

O(x, y) = 1 + cos

(2πy

p

), (10.19)

(On omet un préfacteur du type 12 qu'on devrait mettre s'il s'agissait bien d'une transmission, qui ne doit

pas dépasser 1.) En décomposant cos(2π yp ) comme 12 exp(j 2π yp ) + 1

2 exp(−j 2π yp ), on obtient à trois termes,un terme constant et deux exponentielles. Chacun admet comme TF une unique fréquence au sens ci-dessus :l'intégrale inverse donne un δ de Dirac dans chaque cas de la façon suivante :

H(u, v) = TF

[1 + cos

(2πy

p

)]= TF[1] +

1

2TF

[exp

(j 2π

y

p

)]+

1

2TF

[exp

(−j 2π

y

p

)](10.20)

H(u, v) = δ(u, v) +1

2δ

(u, v − 1

p

)+

1

2δ

(u, v +

1

p

). (10.21)

Cette décomposition peut s'illustrer, Fig.10.4(c), par un spectre formé de trois pics de Dirac, celui du centredeux fois plus haut que les deux autres. Il s'agit bien sûr d'une convention, δ(u − u0) étant la distribution(limite d'une fonction de plus en plus étroite et haute) que vous connaissez.

Un petit caveat (attention en latin/anglais, cf. cave canem dans Asterix) : La mire de la Fig.10.4(a,b) n'est pas d'intensité variant cosinusoïdalement mais d'amplitude variant cosinusoïdalement. L'intensiténormalisée passant en un point M(x, y) est donc une fonction de la forme (1/2)2 [1 + cos(2πy/p)]2 qui varie

3. FILTRAGE DES FRÉQUENCES SPATIALES 39

certes entre 0 et 1, mais se caractérise par des variations plus raides que celles d'un cosinus de périodeadaptée.

Il est aisé de généraliser : les composantes de hautes fréquence spatiales sont celles qui sont nécessairespour reproduire les détails ns de l'image, tandis que les basses fréquences représentent les variations plusgrossières, à grande échelle (un peu comme quand une image jpeg se télécharge lentement, votre interfacehtml vous la fait d'abord voir oue puis ensuite nette : les basses fréquences sont passées en premier dansune image jpeg).

3.2 La fonction de transfert de modulation Cohérente (FTMC)

Nous pouvons maintenant raisonner entièrement dans l'espace des fréquences, en prenant la TF de la convo-lution qui dénit l'image : On obtient un produit, comme dans le ltrage de signaux temporels électriques.

A′(x′, y′) ∝ O′(x′, y′) ∗ D′(x′, y′) −→ A′(u′, v′) ∝ H ′(u′, v′) × D′(u′, v′) (10.22)

où l'on a déni comme D(u, v) la TF de la réponse impulsionnelle, génériquement D(x, y). Pour un S.O.,compte tenu des dicultés de traitement du signal optique en 2D comparé à ce qui se fait en électroniqueen 1D (le temps), on préfère rendre les comparaisons un peu plus robustes en se normalisant à la valeurde la réponse impulsionnelle en continu, c'est-à-dire à fréquence nulle (u = 0, v = 0). En pratique, on senormalise avec des instruments photométriques au ux lumineux total (puis on doit remonter à l'amplitude,cette mesure de ux étant une puissance ...). On dénit alors une fonction de transfert de modulation

cohérente, FTMC en posant :

M(u′, v′) =D(u′, v′)

D(0, 0)(10.23)

Ceci étant posé, nous réexprimons le résultat de l'Eq.10.22 sous la forme :

A′(u′, v′)︸︷︷︸Spectre de l'image réel

∝ H ′(u′, v′)︸︷︷︸Spectre de l'image idéal

× M(u′, v′)︸︷︷︸Fonct. de transf. de modul. cohérente

(10.24)

A partir de là, on peut imaginer toutes sortes de ltres : ils peuvent être isotropes et n'agir qu'en fonctionde σ = (u2 + v2)1/2, le module du vecteur de fréquence spatiale transverse. Ils peuvent être anisotropes,agir diéremment suivant x et y, ou encore privilégier certaines directions avec un angle au choix ; agiren phase ou en amplitude ou dans une combinaison à volonté, etc. En électronique, par exemple, en lienavec la question de l'apodisation notamment, il existe une vaste bibliothèque de ltres ayant telle ou tellecaractéristique optimisée (raideur, réjection, ripples minimaux dans la BP,...), dont les noms sont Chebyshev(volontairement en translittération anglo-saxonne ici, pour vos éventuelles recherches internet ce peut être utile),Butterworth, Hamming, etc.

3.3 FTMC d'un S.O. sans aberration : ltre abrupt

Nous nous référons ici à un S.O avec une pupille de sortie ronde [schéma en coupe Fig.10.5(a)] représentéepar une certaine fonction f(X,Y ) ≡ f(

√X2 + Y 2) valant 1 dans un disque de rayon R et 0 ailleurs. La PSF

d'un tel système sans aberration est du type tache d'Airy, limitée par la diraction. On s'attend à ce quenotre formalisme dise quelque chose de simple et de physique dans ce cas. Du point de vue du montage dedouble diraction, on a vu dans l'Eq.10.5 que l'amplitude dans le plan de L2 est proportionnelle à la TFde O. Dès lors qu'une fréquence présente dans O(x, y) est trop grande, la position de la tache lumineuseassociée dans le plan de TF passe au-delà de la limite

√X2 + Y 2 = R dans ce plan et cela empêche cette

fréquence de se manifester dans le plan nal, dans le plan de A′ autrement dit.Ainsi, il apparait que le ltrage a une coupure en fréquence très nette, parfaitement abrupte idéalement.

Pour le montrer dans le cas que nous avons détaillé du montage de double diraction, nous allons omettrele préfacteur de courbure ejk...

2

de l'Eq.10.5.En eet, vous reverrez en deuxième année que dans ce type de montage, la notion de TF s'entend pour les

champs au terme de courbure près. Autrement dit, la référence de signal est prise sur un champ à l'inni,où ce terme de courbure devient uniforme. Si le long d'une chaine de traitement, on vient d'une pupille avecun faisceau convergent, il faut garder le terme de courbure correspondant. Autrement dit on ramène tout casde type Fraunhofer avec conjugaison quelconque à un cas Fraunhofer à l'inni, la lentille idéale qui seraitinterposée pour faire la transformation annulant le terme de courbure (du moment qu'on s'est repris pile àla bonne mise au point, sinon il apparait une erreur de phase qui reprise en aval de la chaine conduirait àdes aberrations ...). Muni de cette précaution mais sans expliciter une notation diérente pour l'amplitudeainsi scindée, nous reprenons la relation de TF de l'Eq.10.5 :

D′(x′, y′) = TF[f(X,Y )]u′,v′ (10.25)


Figure 10.5 (a) Système optique d'ouverture limitée par un diaphragme de rayon R etayant un foyer à distance d, associé à un angle α′ ; (b) allure de la Fonction de Transfert deModulation Cohérente (FTMC) sur le plan 2D u, v ; un cylindre d'amplitude normalisée à 1et ayant une coupure nette associée au diaphragme.

Nous obtenons alors D(u, v) par la TF inverse (puisque D =TF[D] s'obtient par la TF directe). Mais commeavant, il faut rétablir par des dilatations des TF qui nous permettent d'utiliser TF−1 [TF[g(. . .)]] ≡ g(. . .)(avec le bon signe d'emblée ici). Cela s'écrit donc :

D(u′, v′) = TF−1[TF[f(X,Y )] x′

λd ,y′λd

]u′,v′

= λ2d2 f(λdu′, λdv′) (10.26)

On peut donc conclure que la FTMC (telle que dénie sans terme de courbure) est donnée par la valeur def en un point précis, f(λdu′, λdv′) :

M(u′, v′) =f(λdu′, λdv′)

f(0, 0)(10.27)

la normalisation permettant d'ôter le préfacteur λ2d2. C'est un peu comme si un point de la pupille savaitque l'onde qu'il transmet forme une fréquence spatiale précise dans le plan image. Eh bien ce n'est pas faux !même si cette onde issue d'un point est sphérique, la pente locale du front d'onde à la traversée du planimage en O′ dit bien que la phase évolue avec une vitesse dépendant de l'abcisse du point source. Et quidit évolution de phase dit fréquence spatiale. On peut donc ce souvenir de ce résultat important pourl'imagerie cohérente en disant que la FTMC d'un système limité par la diraction a la forme d'une boite decamembert, Fig.10.5(b), avec un côté raide et une forme ronde, la limite étant au fond celle de l'ouverturemais transposée en en terme de nombre d'onde.

C'est au fond une généralisation de la fonction rect, et on avait déjà dit que la PSF formant la tache d'Airy,à base de fonction de Bessel, était à rapprocher du sinc. La boucle est donc bouclée. On voit qu'on disposeen optique d'un ltre à discrimination spectrale très raide. C'est au contraire inhabituel en électronique, ilfaut des ltres d'ordre très élevé pour avoir des coupures raides (voir en 2A les ltres numériques, d'ordre&50 sont possibles). [[Voir (**) à la n du Chapitre pour des commentaires sur le rôle de la PSF]]

3.4 Cas simple d'une mire de fréquence unique, détramage

On peut maintenant comprendre, dans cette limite d'une coupure raide, ce qui se passe si on dispose un objetprésentant une unique fréquence spatiale, comme la mire cosinusoïdale précédemment évoquée (et donc ausigne près, certes). Si la fréquence en question est plus petite que celle xée par le diamètre de la pupilleR, l'information passe entièrement : l'image reproduit l'objet dèlement. Mais dès que la fréquence passe leseuil u′c associé au diamètre de la pupille, soit u′c = R/λd, la tache de Fourier dans le plan de L2 sort dudiaphragme, et aucun signal n'est transmis. Bien sûr on suppose que L1 est très largement ouvert de façonà ne pas limiter du tout la résolution en amont du diaphragme qui est lui, chargé volontairement de ce rôlede passe-bas fréquentiel.

Une application populaire de ceci, qu'on pourra examiner plus en détail, est le détramage de photos dejournal. Si on dispose d'un ltre tel que les fréquences spatiales de la trame, très bien dénies, sont justes au-dessus de la limite, utrame > u′c = R/λd, alors l'image ne contient que le reste de l'information, et redevientune image lisse, contenant juste l'information visuelle souhaitée Alisse (information que le ou à distanceimportante du papier sut à reconstituer dans le cas de la lecture ordinaire du journal par un humain nonandroïde). Pour être plus précis, il faudrait donner une forme mathématique à une image tramée explicitantce qui découle de la périodicité dans son spectre de fréquences spatiales. On peut proposer par exemple leproduit suivant :

Atrame(x, y) = (Alisse(x, y) × Xa(x, y)) ∗ dotr(x, y) (10.28)

4. APPLICATIONS IMPORTANTES DU FILTRAGE DE L'AMPLITUDE 41

Dessinez les diérentes étapes mathématiques pour une seule variable (x) et dites ce que représente dotr.Regardez enn si cela correspond vraiment à l'impression des journaux, faites de points (dots) de taillevariable et de noirceur constante.

3.5 Les relations de TF symétriques entre pupille et PSF

Un premier bilan sur ces études de diraction indique que nous avons fait surgir deux TF :• La première TF est celle de Fraunhofer, qui dit que c'est la TF de l'objet qui xe la répartition del'image (en intensité assurément, restons prudent pour la phase).

• La seconde TF est celle surgissant dans l'expression de D(u′, v′) venant du diaphragme/ltre f(X =λdu′, Y = λdv′) : c'est alors l'objet de sortie et non d'entrée qui xe la TF de la réponse impulsion-nelle.

Nous les agencerons (ensemble...) dans un graphe en carré ayant des èches de TF sur les arêtes horizon-tales, et les règles d'utilisation en vertical (c'est-à-dire les endroits où prendre les TF avec les facteurs λdadéquatement placés).

4 Applications importantes du ltrage de l'amplitude

4.1 La Strioscopie, les montages Schlieren (pour les uides...)

Maintenant que nous avons vu qu'un diaphragme est un ltre passe-bas, et que sa réponse impulsionnelle(la tache d'Airy pour un objectif sans aberration) est la TF de ce diaphragme, nous pouvons étendre lestraitements et procéder à une ingénierie de Fourier d'une image en amplitude.

Un premier but est d'inverser le comportement fréquentiel, en faisant un ltre passe-haut. Il ne s'agitévidemment pas de faire passer les très hautes fréquences qui ne passaient même pas la pupille, mais d'éliminerles plus basses fréquences, Fig.10.6(a). Cela se fait en mettant dans le plan de Fourier une pastille opaquede rayon Rp, avec le rayon choisi pour couper toutes les fréquences depuis le continu (point sur l'axe optiquedans le plan de Fourier) jusqu'à une assez basse fréquence spatiale, σ′ = Rp/λ. C'est la technique ditede strioscopie qu'on doit à Zernike. Elle permet, dans un objet présentant des plages d'amplitude assezcontrastées de créer une image où ce ne sont plus les formes de ces plages qui sont les plus visibles, maisseulement les contours ayant des transitions abruptes (les stries). Cela correspond assez bien à ce qui seproduit dans un oscilloscope en mode AC (et non DC) pour un signal carré lent en entrée : seuls subsistentdeux pics aux transitions vers le haut et vers le bas.

Cette idée a été notamment utilisée dans des grands interféromètres destinés à visualiser l'écoulementaérodynamique des uides. On pourra chercher le mot clé `montage Schlieren pour avoir des exemplesd'utilisation avec des optiques à miroir et des caches. Le fait que l'on puisse visualiser des objets de phase,transparents, découle de la suppression de l'ordre central.

En eet, si l'on décrit une objet de phase en terme d'amplitude, on écrit qu'il multiplie le signal parune amplitude de type Auide ∝ exp(jϕ(x, y)). On peut donner une variation spatiale cosinusoïdale à cettephase, par exemple ϕ(x, y) = ϕ0 cos(2π[xU + yV ]), pour gurer un objet type ayant une seule fréquencespatiale (au signe près). Si la phase (l'ordre) reste petite devant π, (avec ϕ0 1) on peut écrire le D.L. eten déduire la TF :

Auide(x, y) ' A0 [1 + jϕ0 cos(2π[xU + yV ])] (10.29)

→ Auide(u, v) = A0δ(u, v) +j

2A0ϕ0 [δ(u− U) + δ(u+ U) + δ(v − V ) + δ(v + V )] (10.30)

L'astuce de la strioscopie, c'est que la composante continue A0δ(u, v) disparait mais pas les autres (si lapastille de blocage du continu a un rayon Rp pas trop grand). La modulation relative dans le signal ltré estdonc celle de |j A0 ϕ0 cos(2π[xU + yV ])|2, qui varie de 0 à A2

0ϕ20. Vous pourrez vérier que c'est beaucoup

plus fort comme modulation relative que celle du signal de départ passé en intensité, dont les extrema sontA2

0(1± ϕ20), donc de faible contraste (C ' ϕ2

0... à vrai dire, en revenant à l'expression A = A0 exp[jϕ(x, y)],on voit que |A(x, y)|2 est une constante, c'est le DL qui a tronqué, a donc éloigné l'exponentielle du cercleunité et fait apparaitre une modulation). Il y a une pénalité en terme de valeur absolue du signal, et c'estglobalement logique du fait d'un ltrage qui supprime de la lumière. On va toutefois voir que le contraste dephase, dû au même Zernike, donne une plus grande variation absolue du signal que cette technique.

4.2 Le contraste de phase (DIC), Zernike encore

Pour cette technique, qui est largement plébiscitée par les biologistes et leur`s fournisseurs d'outils de mi-croscopie (Zeiss, Nikon, Olympus, ...Nikon par exemple fournit une bonne documentation sur le DIC, en


Figure 10.6 (a) Système optique d'ouverture limitée par un diaphragme de rayon R et ayantun foyer à distance d, associé à un angle α′ ; (b) allure de la Fonction de Transfert de ModulationCohérente (FTMC) sur le plan 2D u, v ; un cylindre d'amplitude normalisée à 1 et ayant unecoupure nette associée au diaphragme.

ligne), on rééchit à garder l'information du pic central, pour en proter. Le nom de DIC vient de Die-rential Interferential Contrast. L'idée est que le principal inconvénient d'un objet de phase est de ne pasavoir de traduction en amplitude de cette phase, mais qu'on n'est pas obligé de couper tout le continu pourdonner une traduction très honorable. Si on regarde la version en D.L., A ∝ [1 + jϕ0 cos(2 ∗ π ∗ [xU + yV ])],il reste la possibilité de jouer sur la phase relative de ces deux contributions, Fig.10.6(b). Si notamment onsupprime la quadrature de phase entre les deux contributions (le j), on aura une modulation appréciablede l'intensité, puisque cette fois ci, il s'agira de |A|2 ≡ A2

0([1± ϕ0]2) ' A20([1± 2ϕ0]).

Le contraste est maintenant assez grand, linéaire en ϕ0 : c'est C ' 2ϕ0 au lieu de C ' ϕ20. C'est cette

très grosse amélioration du contraste, obtenue sans perdre la partie continue de l'image, qui est le pointtrès apprécié de cette technique de contraste de phase, les biologistes voient une image renforcée. Vouspourrez calculer l'ordre de grandeur typique du déphasage apportée par une cellule biologique en culture, ensupposant que son épaisseur est entre 1 et 4µm, et que son indice dière de celui du uide environnant (soncytoplasme est plus concentré en nutriments, organites, chloroplastes, protéines cytoplasmiques,...) d'unevaleur entre δn ∼ 0, 01 et δn ∼ 0, 1 : l'indice de l'eau est 1,33, et l'indice d'un peu tout ce qu'il y a commeliquide biologique est de l'ordre de 1,4 ou 1,45 au plus. Les concrétions des crustacées (nacre) font usaged'autres choses que des molécules organiques pour obtenir des eets interférentiels (les papillons et autresscarabées joliment irisés utilisent, eux, la chitine, c'est une protéine séchée, dont l'indice peut monterau-dessus de 1,5 ...)

4.3 Les autres contrastes de phase (Nomarski)

Un autre type de contraste de phase plébiscité par l'usage est le Contraste interférentiel diérentiel surtoutaprès que Georges Nomarski l'ait perfectionné. Un décalage de front d'onde est fait, transformant unediérence de phase en diérence d'amplitude comme on l'a vu dans le cas d'un Mach-Zehnder. Dans lerégime où les gradients de phase (lié aux gradients d'indice) se transforment en palette de niveaux de gris(d'intensité en général), l'image est très parlante. Mais la façon de faire le décalage et de traiter les rayonsdans le système optique est basée sur la succession de deux prismes de matériaux biréfringents, où le rayon estdédoublé en deux polarisations et recomposé (cf. cours de polarisation !). Le prisme de base permettant celaest le prisme de Wollaston. L'amélioration apportée par Nomarski (vers 1955) a permis de bien s'aranchirdes défauts du Wollaston.

________________________________

(**) Pour les curieux qui voudraient prendre la TF inverse du champ complet de l'Eq.10.5, avec terme de courbure,donc, un petit mot. Ce calcul dévoile un aspect récurrent du traitement de ce type de montage : on fait au fond la TF dela PSF d'un point (Huygens Fresnel est la PSF en amplitude d'un point source !). Cette PSF ressemble à une gaussiennegénérique exp(αX2/2), même si le facteur α est imaginaire pur au lieu d'être un bon vieux réel. Prendre la TF inversedu produit, c'est convoluer le résultat précédemment obtenu par la TF inverse de cette gaussienne. Cette TF inverseest une autre gaussienne de paramètre essentiellement inverse (k → λ) :TF

[exp+jk(X2 + Y 2)/2d

]∝ exp(−jπλdσ′2),

où σ′) est le module du vecteur d'onde transverse (u′, v′). Une étude de l'endroit où ce terme de convolution commenceà osciller fait apparaitre la taille typique de la zone de Fresnel pour les distances et longueurs d'onde du problème. Adéfaut de donner une interprétation physique directe, disons que cette idée est rassurante, elle fournit la possibilitéde se focaliser sur des régimes plus ciblés, suivant que cette zone de Fresnel est plus grande que la pupille ou de taillecomparable, par exemple.

Documents

Cours - Institut Optique