cours l11 2021santczak.free.fr/ensal/cours_l11_2021.pdf · 2020. 11. 2. · 0. Grandeurs physiques Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021 Dimensions et unités de base Une

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Stanislas Antczak

PHYSIQUE

Préparation au double cursus Architecte-Ingénieur

2020-2021

L1PREMIÈRE PARTIE

MÉCANIQUE 1

Version complète

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czakIntroduction

Présentation du cours

Le cours de physique qui suit a été écrit par moi, Stanislas Antczak, pour la première année de la préparationau double-cursus Architecte-Ingénieur à l’École nationale supérieure d’architecture de Lyon. Il a bénéficié desrelectures et suggestions de Clarisse Guichardant, qui assure les TD.

Ce cours est conforme au programme que j’ai élaboré depuis 2016 en concertation avec les écoles partenaires :— École nationale supérieure d’architecture de Lyon ;— École centrale de Lyon ;— École nationale des travaux publics d’État ;— Institut national des sciences appliquées de Lyon.La durée totale de l’enseignement, temps d’examen compris, est de cinquante heures, réparties en deux

semestres. Ce document n’est qu’une première partie pour la L1.

Chaque enseignement, à tout niveau, contient toujours plus ou moins trois aspects : un aspect administratif,car il vise à préparer un examen ou un concours ; un aspect formatif, car il s’inscrit dans un cursus conduisantà une profession ; et un aspect culturel car il vise aussi à enrichir un savoir indépendamment de son caractèreutilitaire.

Mon ambition est de réunir les trois aspects. Il faut bien respecter les règles de sélection (aspect administratif)donc il y aura des évaluations chiffrées. Il faut aussi et surtout préparer à une poursuite exigeante lors du double-cursus Architecte-Ingénieur (aspect formatif) : compte tenu du faible volume horaire dédié à cette préparationen physique, j’ai axé l’enseignement sur ce qui apparaît le plus utile à la fois en contenu et en méthodes. Jemettrai l’accent sur l’autonomie en calcul, en particulier.

Enfin, je me suis efforcé de faire, autant qu’il m’est possible dans ce cadre contraint, référence à l’architectureet au centre du métier de l’architecte-ingénieur. Cet aspect culturel me tient à cœur, même si je suis conscientdes difficultés qu’il y a à amener à un niveau accessible des questions d’ingénierie architecturale.

Mode d’emploi

Ce document est un cours à trous. La version complète, destinée à s’assurer que l’on a bien pris le cours ouà le remplir en cas d’absence, est disponible en ligne sur

http://santczak.free.fr/ensal/cours_l11_2021.pdf

Ce document ne suffit pas seul ; le discours que je tiens en classe est indispensable, pas seulement pourremplir les trous laissés dans le cours. L’étudiant devra aussi, en classe, prendre les notes qu’il jugera utiles etinteragir avec moi et le reste de la promotion.

La préparation des exercices pour les TD est indispensable. L’interaction, en TD, avec Clarisse Guichardantet le reste de la promotion, sera précieuse pour régler certains problèmes.

En revanche, il n’est pas utile, je pense, d’acquérir un manuel en dehors de celui-ci. D’ailleurs il n’existepas, à ma connaissance, de manuel adapté à la préparation au double-cursus Architecte-Ingénieur telle qu’onl’envisage ici. En cas de besoin, nous répondrons aux questions.

À toutes fins utiles, les corrigés de tous les exercices se trouvent également en ligne sur

http://santczak.free.fr/ensal/corriges_l11.pdf

Ce document n’est pas parfait et j’espère l’améliorer au fil du temps. Les éventuelles erreurs pourront m’êtresignalées ; je suis également preneur de remarques et suggestions. Nous nous tenons à la disposition des étudiantspour toute question ou demande d’aide.

[email protected] [email protected]

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La mécanique

La mécanique (du grec µηχανη signifiant « machine ») est la branche de la physique qui s’intéresse auxmouvements des objets (ou à l’absence de mouvement) et aux causes de ces mouvements.

Les écoles de philosophes de l’Antiquité étudient déjà les mouvements, notamment astronomiques. La mé-canique d’Aristote joue un grand rôle jusqu’à la Renaissance.

Aux XVIe et XVIIe siècles, les travaux de Nicolas Copernic, poursuivis par Johann Kepler et GalileoGalilei, conduisent à une révision du modèle géocentrique de l’Univers et à l’adoption progressive du modèlehéliocentrique.

La mécanique terrestre est unifiée à la mécanique céleste par Isaac Newton, qui formule des lois encoreutilisées aujourd’hui. La mécanique est mathématisée sous sa forme actuelle aux environs de 1800. Les conceptsénergétiques se précisent dans le courant du XIXe siècle.

Seule la vision relativiste introduite par Albert Einstein au début du XXe siècle supplante la mécaniquenewtonienne. Mais les lois de cette mécanique « classique » restent valables dans les cas courants.

C’est surtout l’absence de mouvement (l’équilibre) qui intéresse l’architecte et l’ingénieur. Les lois de lastatique lui sont donc nécessaires. Mais chaque structure est souple : la prise en compte des son mouvement,notamment de ses oscillations, est également indispensable.

Dans ce cours du premier semestre

Cette première partie de mécanique reviendra largement sur des choses déjà connues :— un chapitre transversal sur les grandeurs physiques ;— la cinématique du point (notions de vitesse, accélération...) où l’on ajoutera tout de même le système

de coordonnées cylindriques ;— la dynamique newtonienne et les forces, amplement vues au lycée, complétées de quelques éléments ;— comme en terminale S, les projectiles dans le champ de pesanteur uniforme seront étudiés, avec

en plus l’étude de ce qui se passe lorsqu’il y a des frottements de modèle simple ;— le chapitre d’énergie mécanique reviendra largement sur ce qui a été fait au lycée, avec une approche

un peu plus technique cependant ;— enfin, un chapitre entièrement nouveau de statique du solide où sera introduite la notion de moment

d’une force.L’objectif de ce premier semestre est de revenir sur des choses normalement déjà acquises pour s’assurer

qu’elles le sont bien et que les réflexes de base de la physique sont intégrés. On s’appuiera sur ces connaissancespour en ajouter quelques autres, pas trop mais quand même un peu, qui font intervenir de nouveaux outilsmathématiques.

Et après ?

La suite de l’année sera consacrée à la thermodynamique, ou devrait-on dire la thermostatique :— un chapitre de généralités présentant des rappels et introduisant le premier principe de la thermo-

dynamique, qui n’est autre que la conservation de l’énergie déjà connue ;— une introduction aux aspects thermiques des gaz, limités à un modèle particulier, les gaz parfaits ;— l’aboutissement de ces chapitres de thermo sera l’étude de machines thermiques (moteurs, réfrigéra-

teurs...).— enfin, un chapitre à mi-chemin entre thermodynamique et mécanique, la statique des fluides.

Toute reproduction totale ou partielle de ce document n’est pas autorisée à moins d’un accord de l’auteur.J’ai composé ce document en LATEX sous Linux Ubuntu, logiciels libres.

Stanislas Antczak

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czakTable des matières

0 Grandeurs physiques 5

1 Cinématique du point 7I Contexte d’une étude mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II Éléments d’étude d’un mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8III Cinématique du point en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9IV Cinématique du point en coordonnées cylindriques ou polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Dynamique newtonienne 17I Les lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II Forces à distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19III Forces de rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20IV Forces de contact entre solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21V Forces exercées par un fluide sur un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Projectiles dans le champ de pesanteur uniforme 29I Mouvements sans frottements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30II Chute verticale avec frottements fluides laminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32III Mouvement avec frottements avec vitesse initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Énergie mécanique 41I Énergie cinétique ; travail et puissance d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42II Énergies potentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45III Énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47IV Mouvement conservatif à un degré de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48V Complément : mécanique céleste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Statique du solide 57I Moment d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58II Équilibre d’un solide indéformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

A Analyse – généralités 67

B Trigonométrie 71

C Équations différentielles 73

D Vecteurs 77

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czakChapitre 0

Grandeurs physiques

Faire de la physique, ce n’est pas manipuler des grandeurs abstraites. Une grandeur physique, qu’ellesoit issue d’une mesure, d’un calcul ou d’une estimation, est une manière de quantifier un aspect de la réa-lité. L’architecte-ingénieur, en faisant des mesures de longueurs, manipule des grandeurs physiques. Mais leslongueurs ne sont pas les seules : durées, énergies, puissances, masses...

Ci-dessus, la Maison blanche, ou Villa Jeanneret-Perret, à La Chaux-de-Fonds, en Suisse (photo C. Ursini

2017). C’est la première réalisation indépendante de l’architecte Le Corbusier, en 1912. Cette villa, destinée àses parents, fait apparaître des bandes de fenêtres qui feront partie du vocabulaire architectural de Le Corbusier.

Quel rapport avec les grandeurs physiques ? C’est à peine tiré par les cheveux...Pour avoir cette idée de bandes de fenêtres intégrée à un bâtiment d’habitation, Le Corbusier n’a eu qu’à

recopier ce qu’il avait sous les yeux. En effet, La Chaux-de-Fonds était (et est toujours) un gros centre defabrication horlogère. À l’époque, de nombreux bâtiments du centre ville abritaient des habitations ET desateliers d’horlogerie. Ces ateliers avaient, comme tous les ateliers, de larges fenêtres s’enchaînant pour faireentrer le plus de lumière possible pour la manipulation des petites pièces d’horlogerie.

Quand la mesure du temps influence l’architecture...

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0. Grandeurs physiques Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021

Dimensions et unités de base

Une grandeur physique est la quantification d’un aspect d’un objet ou d’un phénomène. Elle a unedimension et une valeur, qui est un nombre associé d’une unité. On lui associe parfois une incertitude.

La dimension d’une grandeur est son type.Il existe sept dimensions de base dans le système international. Chaque grandeur peut être exprimée en

plusieurs unités, qui sont simplement des étalons de référence pour la dimension donnée. Ainsi, on peut mesurerdes longueurs en mètres, inches, yards, années de lumière, distance Paris-Moscou, angströms... Chaque unité ades multiples ou sous-multiples.

Ci-dessous, les dimensions de base du système international.

Dimension Notation Nom de l’unité internationale Symbole de l’unité

Longueur L mètre m

Masse M kilogramme kg

Durée T seconde s

Intensité de courant électrique I ampère A

Température Θ kelvin K

Quantité de matière n mole mol

Intensité lumineuse candela cd

Les préfixes à connaître pour les multiples et sous-multiples :

Nom déca hecto kilo méga giga téra déci centi milli micro nano pico

Symbole da h k M G T d c m µ n p

Valeur 101 102 103 106 109 1012 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12

Grandeurs dérivées

Une grandeur dérivée est obtenue par produit ou quotient de grandeurs de base. La dimension d’unegrandeur dérivée s’obtient à l’aide de l’expression de la grandeur elle-même. Ainsi,

une vitesse a pour dimension L.T−1, une accélération L.T−2

Quelques dimensions non triviales à connaître ou savoir retrouver :

Grandeur Force Énergie Puissance

Dimension M.L.T−2 M.L2.T−2 M.L2.T−3

Unité S. I. newton : 1 N = 1 kg.m.s−2 joule : 1 J = 1 kg.m2.s−2 watt : 1 W = 1 kg.m2.s−3

Mnémonique−→F = m−→a Ec = mv2/2 P = E/t

La relation [F] = M.L.T−2 se lit « une force a pour dimension une masse multipliée par une distance diviséepar une durée au carré ».

Analyse dimensionnelle

Faire l’analyse dimensionnelle d’une relation entre grandeurs physiques consiste à vérifier que la dimensiondu membre de gauche de l’égalité est la même que la dimension du membre de droite de l’égalité.

Exemple : vérification par analyse dimensionnelle de l’expression de la célérité v des ondes sur une corde

de masse linéique µ tendue avec une force de tension F : v =√

Fµ

.

Une masse linéique est une masse divisée par une longueur, donc [µ] = M.L−1.Comme on l’a vu, [F] = M.L.T−2.

Donc[√

Fµ

]

=

√

M.L.T−2

M.L−1=

√L2.T−2 = L.T−1

C’est bien la dimension d’une vitesse. La relation est homogène du point de vue des dimensions.Note : il n’y a pas de notation universelle, mais l’usage sera de mettre entre crochets les dimensions en

général, sauf quand il s’agit d’une des dimensions de base du système international.

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czakChapitre 1

Cinématique du point

Du grec κινηµα signifiant « mouvement », la cinématique est la partie de la mécanique qui s’intéresse auxmouvements des objets sans se préoccuper des forces qui les créent. Elle est à opposer à la dynamique, du grecδυναµικoς signifiant « fort », qui étudie les mouvements en rapport avec les forces qui les créent.

On ne fera donc dans ce chapitre que décrire des mouvements.La théorisation du caractère relatif du mouvement, qui dépend de l’observateur, est associée à Galileo Galilei

(1564–1642), physicien et mathématicien italien. On parle donc de relativité galiléenne, en opposition avecles théories d’Einstein élaborées au début du XXe siècle, qui ont pris le nom de relativité restreinte ou relativitégénérale, et qui remettent notamment en question le caractère absolu du temps.

Ci-dessous, le tombeau de Galilée à Florence, en style baroque. (Photo C. Ursini)

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1. Cinématique du point Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021

I Contexte d’une étude mécanique

1 Système et centre d’inertie

On appelle système le ou les objets dont on fait l’étude mécanique.Le centre d’inertie du système mécanique étudié est un point particulier du système. Il coïncide avec le

centre de gravité (ou centre de masse) du système, qui est le point d’application du poids.L’étude du mouvement d’un solide en translation (c’est-à-dire sans rotation sur lui-même) peut se ramener

à celle de son centre d’inertie. Voilà pourquoi on peut dans un premier temps se contenter de faire de lamécanique du point en étudiant un point matériel muni d’une masse.

On ne fera pas dans ce chapitre de mécanique du solide en général, tenant compte des rotations du solide,ni de mécanique des fluides, ni de mécanique des systèmes.

2 Relativité du mouvement

Les caractéristiques du mouvement dépendent de l’observateur. Voilà pourquoi il faut préciser, dans uneétude mécanique, le référentiel d’étude

Un référentiel est un solide de référence par rapport auquel on étudie le mouvement d’autres objets.Il en existe une infinité et on doit choisir celui qui est adapté à l’étude que l’on veut faire.Dans le cadre de la mécanique classique, le temps est absolu, c’est-à-dire qu’il ne dépend pas du référentiel

d’étude choisi. Ce n’est pas vrai dans le cadre de la mécanique relativiste.En revanche, toutes les caractéristiques du mouvement dépendent a priori du référentiel choisi.

3 Exemples de référentiels

Source : S. Antczak et J.-F. Le Maréchal, Micromega Terminale S, Hatier, 2012

— le référentiel terrestre est un référentiel lié à la Terre ;— le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre et des axes fixes par rapport aux étoiles ;

dans ce référentiel, la Terre tourne sur elle-même en un jour environ ;— le référentiel héliocentrique a pour origine le centre du Soleil et des axes fixes par rapport aux étoiles ;

dans ce référentiel, la Terre fait une révolution autour du Soleil en un an.

II Éléments d’étude d’un mouvement

1 Trajectoire, vecteur position

La trajectoire d’un point M dans un référentiel est l’ensemble des positions successives – vues de ceréférentiel – qu’occupe ce point au cours du temps. La trajectoire dépend du référentiel choisi.

Le vecteur position pour un référentiel muni d’un point fixe O est le vecteur−−→OM(t).

On peut classer les mouvements plans en fonction de la nature de la trajectoire :— si la trajectoire est un point, il n’y a pas de mouvement (on dit que le système est au repos) ;— si la trajectoire est une droite, on parle de mouvement rectiligne ;— si la trajectoire est un cercle, on parle de mouvement circulaire.

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Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021 1. Cinématique du point

2 Vitesse

La vitesse instantanée (ou vitesse tout court) −→v du point M à une date t donnée est un vecteur tangentà la trajectoire au point M et de même sens que le mouvement. Elle dépend du référentiel choisi.

Définition : −→v =d−−→OMdt

Note : comme pour la position, on peut trouver plusieurs notations. On peut écrire −→vM pour signifier quec’est la vitesse du point M, −→v (t) pour préciser qu’elle dépend du temps, voire −→vM(t).

Norme de la vitesse

La norme (ou valeur) de la vitesse, notée v (ou ||−→v ||) et exprimée en mètres par seconde, peut s’écrire, en

désignant par ∆ℓ la distance parcourue par le point M pendant le temps ∆t petit, v = lim∆t→0

∆ℓ∆t

.

Quantité de mouvement

La quantité de mouvement −→p d’un point M de masse m et de vitesse −→v est −→p = m−→v .

Norme de la vitesse et type de mouvement

Sa norme s’exprime en kg.m.s−1. La quantité de mouvement dépend du référentiel choisi.Suivant la norme v de la vitesse, on distingue différents mouvements :— si v est nulle, il n’y a pas de mouvement (on dit que le système est au repos) ;— si v est une constante non nulle, on parle de mouvement uniforme ;— si v croît linéairement avec le temps, le mouvement est uniformément accéléré, si elle décroît linéai-

rement avec le temps, le mouvement est uniformément décéléré.

3 Accélération

L’accélération instantanée (ou accélération tout court) −→a du point M à une date t donnée est lavariation temporelle du vecteur vitesse autour de cette date. Elle dépend du référentiel choisi.

Définition : −→a =d−→vdt

Unité d’accélération : le mètre par seconde carrée m.s−2 (une vitesse divisée par une durée).

4 Remarque importante

Les relations −→v =d−−→OMdt

et −→a =d−→vdt

sont bien des relations vectorielles. Les relations correspondantes

sur les normes, c’est-à-dire les mêmes sans les flèches, sont fausses et ne doivent surtout pas être retenues !La norme de la vitesse n’est pas la dérivée par rapport au temps de la norme du vecteur

position ; la norme de l’accélération n’est pas la dérivée par rapport au temps de la norme duvecteur vitesse.

III Cinématique du point en coordonnées cartésiennes

1 Repère cartésien et coordonnées cartésiennes

On peut munir un référentiel d’un repère (une base de trois vecteurs pas forcément orthonormés) avecun point origine, une échelle de longueurs et une origine de temps.

On utilisera souvent le repère cartésien : une origine O et une base de vecteurs orthonormée (−→i ,

−→j ,

−→k ).

Les coordonnées cartésiennes d’un point M dans ce repère seront notées (x, y, z).Note : en physique, la plupart du temps, on confond dans une même notation la variable d’espace x (ou y,

ou z), qui est simplement le nom donné à la mesure d’une position sur un axe, et la fonction du temps x qu’estla coordonnée d’un point M. Parfois, on note xM pour désigner « la coordonnée du point M sur l’axe (Ox) »,voire on note xM(t) pour préciser que c’est une fonction du temps. Mais souvent on écrit x(t), voire x.

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2 Trajectoire, vecteur position

Équation horaire de la position

En coordonnées cartésiennes, le vecteur position s’écrit−−→OM(t) = x(t)

−→i + y(t)

−→j + z(t)

−→k ou

−−→OM(t) =

x(t)y(t)z(t)

Le système d’équations

x = f(t)

y = g(t)

z = h(t)

est appelé équation horaire de la position de M.

Si le mouvement est plan, deux coordonnées suffisent :−−→OM(t) =

(

x(t)

y(t)

)

.

L’équation cartésienne de la trajectoire d’un mouvement plan est de la forme y = f(x). Elle donne le lieudes points de l’espace occupés par M au cours du temps, mais sans qu’on sache à quel instant ils sont occupés :le temps n’y apparaît pas.

3 Vitesse

Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes

Les coordonnées du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes s’écrivent −→v (t) =

vx(t)vy(t)vz(t)

.

Le système donnant vx(t), vy(t) et vz(t) est l’équation horaire de la vitesse du point M.

On a

vx =dxdt

vy =dydt

vz =dzdt

aussi noté

vx = xvy = yvz = z

Lecture graphique d’une coordonnée de vitesse

Si on dispose de la courbe de la position sur un axe(par exemple (Ox)) en fonction du temps, la vitesse vx

sur cet axe se lit comme le coefficient directeur de latangente à la courbe à une date donnée.

Exemple ci-contre : vx(t1) =xB − xA

tB − tA

Source : S. Antczak et J.-F. Le Maréchal,

Micromega Terminale S, Hatier, 2012

Norme en coordonnées cartésiennes : v =√vx

2 + vy2 + vz

2

4 Accélération

Les coordonnées du vecteur accélération en coordonnées cartésiennes sont −→a (t) =

ax(t)ay(t)az(t)

.

On a

ax =dvx

dt=

d2x

dt2

ay =dvy

dt=

d2y

dt2

az =dvz

dt=

d2z

dt2

aussi noté

ax = vx = xay = vy = yaz = vz = z

Exercices 1 à 5

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Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021 1. Cinématique du point

IV Cinématique du point en coordonnées cylindriques ou polaires

Le repère cartésien et les coordonnées cartésiennes ne sont pas toujours adaptées. Dès qu’il y a mouvementde rotation autour d’un point, par exemple, il peut être intéressant d’utiliser les coordonnées cylindriques

1 Coordonnées cylindriques

Les coordonnées cylindriques du point M sont(r, θ, z) avec r > 0.

x = r cos θ

y = r sin θ

Et réciproquement

r =√

x2 + y2

θ = Arctany

xsi x 6= 0

= Arcsiny√

x2 + y2si r 6= 0

= Arccosx√

x2 + y2si r 6= 0

x

y

z

−→j

−→i

−→k

O

M

Hx

y

z

θ

r

2 Dans le plan : coordonnées et vecteurs polaires

Dans le plan, on peut utiliser les coordonnées cartésiennes(x, y) ou les coordonnées polaires (r, θ).

On leur associe une base mobile de vecteurs polaires(−→ur,

−→uθ). Le vecteur −→ur est appelé vecteur radial et le vecteur−→uθ est le vecteur orthoradial.

x

y

O

M

x

yr

θ

−→i

−→j

−→ur

−→uθ

Coordonnées des vecteurs polaires dans la base cartésienne :

−→ur =

cos θ

sin θ

−→uθ =

− sin θ

cos θ

Dérivée par rapport au temps de la base mobile de vecteurs polaires

d−→ur

dt=

d

dt

cos θ

sin θ

= θ

− sin θ

cos θ

= θ−→uθ

d−→uθ

dt=

d

dt

− sin θ

cos θ

= θ

− cos θ

− sin θ

= −θ−→ur

3 Dans le plan : position en coordonnées polaires

En coordonnées polaires, le vecteur position s’écrit−−→OM = r−→ur et l’équation horaire de la position de

M est un système de la forme

r = f(t)

θ = g(t)L’équation polaire de la trajectoire d’un mouvement plan est de la forme r = h(θ). C’est l’analogue de

l’équation cartésienne, mais pour des coordonnées polaires.

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4 Dans le plan : vitesse en coordonnées polaires

Le vecteur position est−−→OM = r

−→ur en coordonnées polaires. Le vecteur vitesse est donc

−→v =

d−−→OM

dt=

d(r −→ur)

dt=

dr

dt

−→ur + r

d−→uθ

dt

soit −→v = r

−→ur + r θ

−→uθ

On nomme parfois r la vitesse radiale, notée vr et r θ la vitesse orthoradiale, notée vθ.La grandeur θ, en radians par seconde, est appelée vitesse angulaire et parfois notée ω

(lettre grecque omega).

La norme de la vitesse est v =√

r2 + (r θ)2.

5 Dans le plan : accélération en coordonnées polaires

On dérive le vecteur vitesse :

−→a =

d−→v

dt=

d

dt

(

r−→ur + r θ

−→uθ

)

= r−→ur + r

d−→ur

dt+ r θ

−→uθ + r θ

−→uθ + r θ

d−→uθ

dt−→a = (r − r θ2) −→

ur + (2 r θ + r θ) −→uθ

6 Dans le plan : cas particulier du mouvement circulaire

Si le mouvement est circulaire, alors r est constant. Les expressions ci-dessus deviennent−→v = r θ

−→uθ et −→

a = −r θ2 −→ur + r θ

−→uθ

On le voit, la vitesse est parfaitement orthoradiale, c’est-à-dire tangente au cercle.

7 Dans le plan : cas particulier du mouvement circulaire et uniforme

Si de plus le mouvement est uniforme, alors v est constante, donc θ est constante. Appelons-la ω. On obtient

−→v = r ω

−→uθ et −→

a = −r ω2 −→ur

L’accélération est radiale et centripète.On retrouve au passage une expression connue de la Terminale S pour la norme de l’accélé-

ration radiale :

a = r ω2 = r

(v

r

)2

=v2

r

8 Hors du plan

S’il y a en plus une coordonnée z non constante, les coordonnées polaires ne suffisent pas et il faut la totalitédes coordonnées cylindriques. Il suffit d’ajouter aux expressions ci-dessus la vitesse et l’accélération sur l’axe z :

vz = z et az = z

Exercices 6 à 11, exercice résolu

12

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. Ant

czakExercice résolu

Énoncé

La boucle de Claveisolles

Entre les gares de Saint Nizier d’Azergues et de Poule-Les Écharmeaux, la voie ferrée de Givors à Paray-le-Monial monte de h = 43 m en faisant une boucle complète. On considérera cette boucle comme tracée sur uncylindre à base circulaire de rayon R = 680 m. On considérera que la pente de la voie est constante.

Ci-contre, la boucle ferroviaire vuede la gare de Saint-Nizier, source Wi-

kimedia Commons.

Ci-dessous, la carte IGN.

a. Expliquer pourquoi l’équation polaire de la boucle peut être mise, en coordonnées cylindriques, sous la forme

r = R z =h

2πθ

b. Un train parcourt la boucle à vitesse constante de norme v0.Déterminer les équations horaires de sa vitesse, de sa position et de son accélération en coordonnées cylindriques.

c. Faire de même si le train accélère uniformément, sa vitesse ayant pour norme v = a t+ v0.Exprimer la vitesse atteinte à la sortie de la boucle si le départ est arrêté.

13

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czak


Corrigé

a. La voie est à distance R constante de l’axe, donc r = R.Puisque la pente est constante, z augmente linéairement avec θ, donc z = k θ, avec k constante.

Comme l’augmentation d’altitude est h pour un tour (donc pour θ = 2π), on a h = k 2π, d’où k =h

2π.

b. Puisque le mouvement est uniforme, alors les trois coordonnées de −→v sont constantes.On sait déjà que vr = r = 0.

Par ailleurs, comme z =h

2πθ, en dérivant par rapport au temps on a aussi z =

h

2πθ.

Donc vz = z vérifie vz =h

2πθ.

Comme par ailleurs v0 =√vr

2 + vθ2 + vz

2, on obtient

v0 =

√

0 + (R θ)2 +(h

2π

)2

θ2 = R θ

√

1 +(

h

2πR

)2

d’où θ = ηv0

Ren posant η =

1√

1 +(

h

2πR

)2

On en déduit les équations horaires de la vitesse en coordonnées polaires :

vr = 0 vθ = R θ = η v0 vz =h

2πθ = η v0

h

2π

Les équations horaires de la position s’obtiennent en intégrant θ, considérant que θ = 0 à t = 0. On obtient

θ = ηv0 t

Rpuis z = η

v0 h t

2πRet toujours r = R

Et, comme θ = 0, les équations horaires de l’accélération sont

ar = −R θ2 = −η2 v02

Raθ = 0 et az = 0

c. On procède de même, mais avec v = a t+ v0. On obtient

θ =η

R(a t+ v0) puis θ =

η

R

(12a t2 + v0 t

)

ce qui donne les équations horaires suivantes :

vitesse vr = 0 vθ = η (a t+ v0) vz = ηh

2πR(a t+ v0)

position r = R θ =η

R

(12a t2 + v0 t

)

z =η h

2πR

(12a t2 + v0 t

)

accélération ar = −η2

R(a t+ v0)2

aθ = R θ = η a az =η h a

2πR

Si le départ est arrêté, v0 = 0. La fin de la boucle est atteinte à la date t1 telle que θ(t1) = 2π, soit

2π =η

2 Ra t1

2 d’où t1 =√

4πRη a

Comme v = a t, à cette date-là la vitesse est

v1 = a t1 =√

4πR a

η

14

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czakExercices

Coordonnées cartésiennes

1 Des vitesses astronomiques

Déterminer, en mètres par seconde, la vitesse moyenne

a. du centre de la Terre dans le référentiel héliocentrique ;

b. de la Lune dans le référentiel géocentrique ;

c. d’une personne à l’équateur dans le référentiel géocentrique ;

d. d’une personne en France dans le référentiel géocentrique.

Rayon de la Terre : RT = 6,38×103 km ; distances moyennes Terre-Soleil : rT = 149,6×106 km ; Terre-Lune :rL = 3,80 × 105 km ; période de révolution lunaire : TL = 27 j 7 h 43 min 11 s.

2 Mouvements rectilignes

Un point est astreint à se déplacer sur une droite.

a. Déterminer les équations horaires du mouvement (vitesse et position) s’il est uniforme.

b. Déterminer les équations horaires du mouvement s’il est uniformément accéléré.

3 Équations horaires

Un point bouge dans un plan. En coordonnées cartésiennes, l’équation horaire de sa vitesse est :

vx(t) = c et vy(t) = a t+ b

a. Déterminer son accélération.

b. Déterminer l’équation horaire de sa position sachant que le point est en A(d, 0) à l’instant t = 0.

c. Déterminer l’équation cartésienne de la trajectoire.

4 Équations horaires et unités

Soit un point matériel se déplaçant dans un plan. L’équation horaire de sa position en cartésiennes est :

x(t) = 3,5 t et y(t) = −4,9 t2 + 6,4 t+ 1,0

avec x et y en mètres et t en seconde.

a. Donner les unités de chaque paramètre numérique.

b. Déterminer l’équation horaire de la vitesse du point. Donner ses position et vitesse initiales.

c. Déterminer son accélération.

5 Mouvement et accélération

Proposer un mouvement possible pour le centre d’inertie d’une balle si :

a. son vecteur accélération est nul ;

b. les coordonnées de son vecteur accélération dans un repère cartésien sont constantes ;

c. son vecteur vitesse a une norme constante.

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Coordonnées polaires et cylindriques

6 Droites et cercles

Donner la forme de l’équation polaire et de l’équation cartésienne :

a. d’une droite passant par le centre du repère ;

b. d’un cercle centré sur le centre du repère.

7 Mouvements circulaires

Un point est astreint à se déplacer sur un cercle de rayon R.

a. Si le mouvement est uniforme, donner les équations horaires de son mouvement (vitesse et position) encoordonnées polaires, puis en coordonnées cartésiennes.

b. Faire de même si le mouvement est uniformément accéléré à partir d’une vitesse nulle.

8 Une hélice

Un point a pour équations horaires en coordonnées cylindriques (avec R, ω et v0 constantes) :

r(t) = Rθ(t) = ω tz(t) = v0 t

a. Représenter l’allure de la courbe suivie par ce point.

b. Déterminer l’expression du pas de cette hélice.

c. Exprimer les équations horaires de la vitesse, puis celles de l’accélération de ce point.

9 Troisième loi de Kepler

En Terminale S on a appris à montrer (en utilisant la base de Frenet) que le mouvement circulaire d’unsatellite était nécessairement uniforme, et que la période T du satellite d’un astre et le rayon R de sa trajectoire

circulaire étaient liés par la relationT2

R3=

4π2

G M, où M est la masse de l’astre attracteur.

Retrouver ces résultats en utilisant les coordonnées polaires.

10 Pendule cônique

Un point matériel M de masse m est suspendu à une ficelle de longueur L. À l’autre extrémité, la ficelle estattachée à un axe vertical qui tourne à la vitesse angulaire constante ω. On supposera que la ficelle reste enpermanence tendue.

Pour certaines valeurs de ω, il est possible que la ficelle s’écarte de la verticale d’un angle α et que M tourneà ω, constituant ainsi un pendule cônique.

a. En utilisant la deuxième loi de Newton en coordonnées cylindriques, déterminer un lien entre α et lesparamètres du problème lorsque le pendule est écarté de la verticale.

b. Pour quelles valeurs de ω est-il possible que le pendule s’écarte de la verticale ?

11 Enroulement d’un fil

Un point M de masse m glisse sans frottement sur un plan horizontal. L’objet est retenu par un fil quis’enroule autour d’une bobine cylindrique de rayon R d’axe vertical. À l’instant initial, une longueur ℓ0 de filtendu est déroulée et on communique une vitesse −→v0 au point matériel, orthogonale au fil.

a. Faire un schéma représentant la situation vue de dessus lorsqu’un angle θ de fil s’est enroulé. On nommeraI le point de tangence du fil sur la bobine et O le centre de la bobine. On utilisera une base polaire attachée aupoint I.

b. Exprimer−−→OM(t) puis −→v (t). On notera ℓ(t) la longueur de fil déroulé.

c. À l’aide d’un argument énergétique de lycée, montrer que v est constante, puis déterminer ℓ(t).

d. Déterminer au bout de combien de temps le fil s’est entièrement enroulé et la tension du fil à cet instant.

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czakChapitre 2

Dynamique newtonienne

En publiant en 1687 les Philosophiæ naturalis principia mathema-

tica ou Principes mathématiques de la philosophie naturelle, Newtonénonce les trois lois qui fondent encore la dynamique classique au-jourd’hui.

Son projet était au départ la compréhension des lois de la dy-namique céleste, dans la lignée des lois de Kepler. Mais le résultatréalise en fait l’unification des lois de la mécanique céleste et de lamécanique terrestre. Après rénovation et mathématisation aux alen-tours de 1800, le règne des ingénieurs mécaniciens pouvait advenir.

Ce chapitre énonce les lois, déjà connues depuis la Terminale S,de la dynamique, et détaille les différentes forces qu’on utilisera enparticulier dans des exercices de statique (mais pas seulement).

Isaac Newton (1643−1727) (source Wikimedia commons)

Fac simile de l’édition française des Principia, de Newton, traduits par Émilie du Châtelet

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2. Dynamique newtonienne Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021

I Les lois de Newton

1 Notion de force

Les actions mécaniques que subissent les objets sont modélisées par des forces. Une force a une direction,un sens, une norme (en newtons) et s’applique en un point d’application de l’objet.

Pour simplifier l’étude, si on réduit l’objet à un point (par exemple le centre d’inertie), on considère quetoutes les forces s’appliquent en ce point. Représenter une force par un vecteur nécessite une échelle, parexemple « 1 cm sur le dessin représente une norme de 10 N ».

Une force extérieure exercée sur un système est la modélisation des actions de l’environnement sur lesystème. On la représente par un vecteur. On appelle résultante des forces extérieures la somme vectorielle

des forces exercées sur le système∑−→

F ext.

On qualifie d’isolé un système qui n’est soumis à aucune force extérieure. On qualifie de pseudo-isolé un

système qui est soumis à plusieurs forces extérieures de résultante nulle :∑−→

F ext =−→0 .

Quatre interactions fondamentales suffisent à décrire les causes des mouvements des objets :— l’interaction gravitationnelle, s’exerçant entre tous les corps ayant une masse ;— l’interaction électromagnétique, s’exerçant entre les corps ayant une charge électrique ;— l’interaction nucléaire forte, s’exerçant entre les nucléons ;— l’interaction nucléaire faible, s’exerçant entre les fermions.Pour des édifices complexes, on modélise les manifestations de l’interaction électromagnétique par les forces

de contact, dont l’action cesse dès que le contact est rompu. Les forces à distance s’exercent même lorsquel’objet qui les subit n’est pas en contact avec l’objet qui les crée.

2 Le principe de l’inertie (première loi de Newton)

Dans un référentiel galiléen, le vecteur vitesse du centre d’inertie d’un système est constantsi et seulement si la somme vectorielle des forces qu’il subit est nulle.

Autrement dit, un système est isolé ou pseudo-isolé si et seulement si son centre d’inertie est immobile ou aun mouvement rectiligne et uniforme par rapport à certains référentiels, appelés référentiels galiléens, Alors,la vitesse du centre d’inertie −→v du système est un vecteur constant dans un référentiel galiléen.

Ce principe s’applique dans les deux sens :— si la somme des forces subies par le système est nulle, alors −→v est constante dans un référentiel galiléen ;— si le centre d’inertie d’un système est au repos ou en mouvement rectiligne et uniforme dans un référentiel

galiléen, alors∑−→

F ext =−→0 ;

— si la résultante des forces subies n’est pas nulle, alors −→v varie dans un référentiel galiléen ;— si le centre d’inertie d’un système n’est ni au repos ni en mouvement rectiligne et uniforme dans un

référentiel galiléen, alors la somme des forces qu’il subit n’est pas nulle.

Autre énoncé parfois utile : dans un référentiel galiléen, la quantité de mouvement d’un systèmeisolé ou pseudo-isolé est constante.

3 Les référentiels galiléens

On appelle référentiels galiléens les référentiels où le principe de l’inertie s’applique. En fait, la première loide Newton set à définir une classe de référentiels, appelés référentiels galiléens, qui ont un statut particulierpour la mécanique.

En toute rigueur, les référentiels galiléens n’existent pas. Toutefois, suivant l’expérience que l’on effectue, onpeut considérer comme galiléens certains référentiels avec une approximation assez bonne :

— pour la chute d’une bille d’un bureau, on considère le référentiel terrestre comme galiléen ;— pour étudier le mouvement d’un satellite terrestre, on peut travailler dans le référentiel géocentrique et

le considérer comme galiléen ;— s’il s’agit du mouvement d’une planète autour du Soleil, on travaille dans le référentiel héliocentrique et

le considérer comme galiléen.D’une manière générale, pour étudier les mouvements des corps sur Terre, on utilisera le référentiel du

laboratoire (référentiel terrestre) que l’on considérera comme galiléen.

Les référentiels galiléens sont en translation rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres.

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czak

Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021 2. Dynamique newtonienne

4 Théorème du centre d’inertie (deuxième loi de Newton)

La somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale à la dérivée parrapport au temps de sa quantité de mouvement −→p dans un référentiel galiléen.

∑−→Fext =

d−→pdt

Dans la plupart des cas, la masse m du solide est constante et doncd−→pdt

=d(m−→v )

dt= m

d−→vdt

= m−→a .

La deuxième loi de Newton s’énonce alors ainsi : la somme vectorielle des forces extérieures appliquéesà un système est égale au produit de la masse m du système par le vecteur accélération −→a de soncentre d’inertie dans un référentiel galiléen.

∑−→F ext = m−→a

Cette loi est aussi appelée relation fondamentale ou principe fondamental de la dynamique.

La deuxième loi de Newton relie entre elles trois grandeurs :— les forces extérieures, qui sont la cause de la modification du mouvement ;— la masse du système, qui est l’inertie avec laquelle il réagit aux forces en modifiant son mouvement ;— l’accélération du centre d’inertie, qui est la grandeur traduisant la modification du mouvement : c’est

l’effet des forces.À forces identiques, un système avec une grande masse réagit moins qu’un système avec une petite masse.

Plus un système est inerte (plus sa masse est grande), moins il est sensible aux forces subies.

Si la première loi de Newton définit les référentiels galiléen, la deuxième loi de Newton, elle, vient définir cequ’est une force en disant que l’action de l’extérieur sert à modifier le mouvement. En fait, la seule définition

de la notion de force qui soit satisfaisante et utile est donnée par la deuxième loi de Newton :−→F = m−→a .

5 Le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton)

Deux systèmes en interaction exercent l’un sur l’autre des forces opposées.

Autrement dit, un système (A) exerçant sur un système (B) une force−→F A/B subit, de la part du système

(B), une force−→F B/A telle que

−→F B/A = −−→

F A/B.Remarque : nous exerçons sur la Terre une force exactement opposée à notre poids, donc de même norme.

La loi ne préjuge pas des effets des forces sur les systèmes sur lesquels elle s’applique...

II Forces à distance

1 Force gravitationnelle et poids

Tous les objets qui ont une masse interagissent par la force d’attraction gravitationnelle.Une point matériel A de masse mA et un point matériel B de masse mB, distants l’un de l’autre de r,

exercent l’un sur l’autre des forces gravitationnelle attractives opposées Leur norme est

F = G mA mB

r2

G est appelée constante de la gravitation universelle et vaut G = 6,67 × 10−11 m3.kg−1.s−2.Cette formule n’est exacte que pour les objets A et B sphériques ou à répartition sphérique de masse, ou

suffisamment éloignés ou petits pour être considérés comme des points.

r

A B

−→F B/A

−→F A/B

Le poids d’un corps situé au voisinage de la Terre n’est autre que la force gravitationnelle exercée par laTerre sur ce corps. En notant mT la masse de la Terre et m celle du corps considéré, la norme du poids est

P = G mT m

r2ou encore P = mg avec g = G mT

r2

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Vectoriellement, on introduit le vecteur champ de pesanteur −→g par sa relation avec le poids :−→P = m−→g .

Considérer −→g comme uniforme revient à mettre de côté les variations de sa direction en fonction de laposition sur Terre, et les variations de sa norme en fonction, non seulement de la position sur Terre, mais ausside l’altitude par rapport au sol.

T−→g non uniforme ⇒ −→g uniforme

2 Force électrique et champ électrique

Deux points matériels A (de charge électrique qA) et B (de charge électrique qB), distants de d, exercent l’unsur l’autre une force électrique attractive (si qA et qB sont de signes contraires) ou répulsive (si qA et qB sontde même signe).

La norme de ces forces est F =1

4π ε0

|qA qB|d2

où1

4π ε0= 9,0 × 109 F.m−1

Un point matériel de charge électrique q plongé dans un champ électrique−→E créé par un ensemble d’autres

charges subit une force électrique−→F = q

−→E .

Exercices 1 à 4

III Forces de rappel

1 Forces de rappel en général

Un objet attaché à un fil (ou à un élastique, uneperche, un ressort, etc.) subit de la part du fil uneforce de rappel, parallèle au fil et dirigée vers lepoint d’attache de celui-ci.

On l’appelle aussi tension du fil−→T .

Sa norme est a priori inconnue.

Exemple ci-contre : forces de rappel−→T1 et

−→T2 des

deux câbles tenant un feu rouge suspendu.

−→T1

−→T2

2 Force de rappel d’un ressort idéal (loi de Hooke)

Un ressort idéal vérifie la loi de Hooke : la force qu’on lui applique pour l’allonger ou le comprimer estproportionnelle à la variation de longueur qui en résulte. La constante de proportionnalité est appelée constantede raideur (ou raideur tout court) du ressort, notée k, en N.m−1.

On a alors T = k |∆ℓ|, où ∆ℓ est l’élongation du ressort, pouvant être positive (ressort étiré) ou négative(ressort comprimé). L’élongation est la différence entre la longueur ℓ du ressort pour une position donnée et salongueur à vide ℓ0, caractéristique du ressort : ∆ℓ = ℓ− ℓ0.

ressortcomprimé

−→i

−→T

ressortétiré

−→i

−→T

ressortau repos

k, ℓ0

−→T = −k (ℓ − ℓ0)

−→i

Exercices 5 à 7, exercice résolu 1

20

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IV Forces de contact entre solides

1 Réaction du support

La réaction du support est la somme de la réac-

tion normale et la réaction tangentielle :−→R =

−→N +

−→F .

La réaction normale−→N modélise la résistance

à la pénétration. Elle est perpendiculaire à la sur-face de contact entre les objets (d’où le qualificatifde normale). Sa norme est inconnue a priori.

−→N

−→F

−→R

2 Frottements solides : lois de frottements de Coulomb

La réaction tangentielle−→F est aussi appelée force de frottement solide.

Les lois de Coulomb permettent d’avoir des indications sur la norme de cette force.

Loi de Coulomb de frottement de glissement

Lorsqu’il y a glissement entre les deux solides, alors la force de frottement solide est opposée au mouvementrelatif et les normes de ces deux forces sont liées par la loi de frottement de glissement de Coulomb, quidécoule de l’expérience :

F = µN

où µ est le coefficient de frottement de glissement entre les deux objets en contact, grandeur sans unité.Ce coefficient de frottement ne dépend que de la nature des deux objets en contact et pas, en particulier, del’aire de la surface de contact, ni de N, ni parfois de la vitesse de glissement.

Par exemple, pour un contact acier-acier (roue de train sur un rail), µ = 0,3 ; pour un contact acier-glace(patin à glace sur glace), µ = 0,1.

Loi de Coulomb de frottement statique

Lorsqu’il n’y a pas de glissement, la force de frottements n’est plus définie en direction et norme par lemouvement : elle est déterminée par les autres forces appliquées au solide étudié. Tout ce que nous savons, c’estque si la composante tangentielle de ces autres forces était égale ou supérieure à µ0 N, alors le glissement seproduirait. On peut donc écrire

F 6 µ0 N

Le coefficient de frottement statique µ0 est supérieur à µ : cela traduit le fait que la mise en mouvement deglissement est plus difficile que le maintien du mouvement une fois que celui-ci est amorcé.

V Forces exercées par un fluide sur un solide

1 Poussée d’Archimède

Un objet plongé dans un fluide (liquide ou gaz) subit de la part du fluide une poussée verticale vers le haut :

c’est la poussée d’Archimède−→Π . Elle est souvent négligeable pour les objets lourds dans l’air.

Sa norme est égale à celle du poids du fluide déplacé : Π = ρV g, où ρ est la masse volumique du fluidedéplacé, V le volume de fluide déplacé et g la norme du champ de pesanteur.

Vectoriellement, on peut écrire−→Π = −ρV −→g

2 Frottements fluides

La résistance d’un fluide au déplacement d’un objet en mouvement dans le référentiel du fluide est modélisée

par une force de frottements fluides−→f , opposée au mouvement.

La norme de−→f est une fonction croissante de la norme v de la vitesse de l’objet dans le référentiel du fluide.

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czak


a. Deux modèles limites

On peut introduire deux modèles limites, mais il y en a d’autres :— pour des faibles vitesses, ou des objets petits ou bien profilés, f = λ v (on parle parfois de modèle de

frottements fluides laminaires ou de modèle de frottements de Stokes) ; on a alors−→f = −λ−→v ;

— pour des vitesses élevées, ou des objets gros ou mal profilés, f = h v2 (on parle parfois de modèle de

frottements fluides turbulents ou de modèle de frottements de Venturi) ; on a alors−→f = −h v−→v .

Les coefficients de frottements fluides λ et h sont en général issus de l’expérience.

Dimension des coefficientsUne force est en newtons, donc en kg.m.s−2, une vitesse en m.s−1.Donc λ est en kg.s−1. Et h est en kg.m−1.

b. Cas de la sphère : loi de Stokes

Dans le cas d’une sphère en mouvement dans un fluide et suivant le modèle de frottements de Stokes, onconnaît l’expression du coefficient de frottement λ :

λ = 6π η r

où r est le rayon de la sphère et η la viscosité du fluide. Pour l’eau, η = 1,00 × 10−3 Pa.s, pour l’air secη = 1,8 × 10−5 Pa.s.

c. Cas général : la traînée

Ces deux modèles ne sont que deux modèles limites. En réalité, f est une fonction de v, mais peut être unefonction plus compliquée que dans ces deux modèles. En général, on appelle force de traînée la partie de laforce exercée par un fluide sur un objet en mouvement et qui est parallèle à la vitesse relative de l’objet. Paranalyse dimensionnelle, on introduit pour la norme f de la force de traînée l’expression suivante :

f =12ρS Cx v

2

où ρ est la masse volumique du fluide, S une superficie de référence de l’objet (celle de la surface de « prise auvent », aussi appelée maître-couple) et v la norme de la vitesse relative de l’objet.

Le coefficient Cx, appelé coefficient de traînée, est un nombre sans dimension dépendant de la forme del’objet et pouvant dépendre de la vitesse (donc cette formule ne dit pas que f est proportionnelle à v2).

Par exemple, pour une aile d’avion en vol, Cx varie entre 0,005 et 0,01, pour une voiture courante il estcompris entre 0,2 et 0,4, pour une homme qui court vite il est voisin de 1.

Exemple : poussée d’Archimède−→Π et frottements fluides

−→f subis par une torpille.

Source : S. Antczak et J.-F. Le Maréchal,


Exercices 8 à 14, exercice résolu 2

Exercices 15 à 22

22

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. Ant

czakExercices résolus

Point méthode : résoudre un problème de mécanique

Résoudre un problème de mécanique complet consiste la plupart du temps soit à déterminer un mouvement,connaissant les forces, soit à déterminer une force, connaissant le mouvement. La méthode est toujours la mêmeet devra être appliquée dans les exercices ci-après pour les exercices à partir de la partie Statique. Il faut :

① définir le système étudié ;

② préciser le référentiel d’étude (et mentionner qu’on le suppose galiléen) ;

③ faire le bilan des forces extérieures appliquées au système, c’est-à-dire :— nommer ces forces, identifier leur type et le système qui les crée, leur attribuer une notation,— les caractériser en direction, sens, norme si possible ;

④ les représenter éventuellement sur un schéma (soit en situation, soit partant d’un point), où l’on définitégalement le repère utilisé et toutes les grandeurs utiles ;

⑤ appliquer une loi de la mécanique :— la première loi de Newton dans le cas des systèmes immobiles ou en mouvement rectiligne et

uniforme dans le référentiel d’étude ;— la deuxième loi de Newton dans les autres cas ;— les théorèmes énergétiques dans certains cas, notamment lorsqu’on ne cherche pas à connaître

l’évolution temporelle mais une évolution globale ;— le théorème du moment cinétique dans le cas d’objet en rotation (non vu au lycée).

⑥ dérouler les calculs pour obtenir la relation demandée dans l’énoncé. Cela débouche parfois sur uneéquation différentielle à résoudre (ce sera vu plus tard).

Énoncés

1 Au feu (statique)

Un feu tricolore de masse M est suspendu pardeux câbles par l’intermédiaire d’un anneau. Lesdeux câbles sont fixés en deux points A et B situés àla même hauteur et font chacun un angle α avec laverticale.

Déterminer complètement toutes les forces subiespar le feu.

2 Ça glisse (dynamique)

Une boîte parallélépipédique de masse m peut glisser sur un plan horizontal. Le coefficient de frottemententre la boîte et le plan est µ. La boîte est lancée à un instant initial avec la vitesse v0. Toute action de l’airsera négligée. Le champ de pesanteur −→g sera considéré comme uniforme.

Déterminer la distance parcourue avant arrêt.

23

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. Ant

czak


Corrigés

1 Au feu

On étudie le feu ramené au centre de l’anneau O dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni d’un

repère orthonormé (O,−→i ,

−→j ), où

−→j est vertical et dirigé vers le bas et

−→i est horizontal, dans le plan contenant

les deux câbles et dirigé vers la droite. Sur le feu s’exercent :

— son poids−→P = M −→g vertical vers le bas ;

— la tension du câble de gauche−→T1, parallèle au câble de gauche et partant de l’anneau, de norme T1 ;

— la tension du câble de droite−→T2, parallèle au câble de droite et partant de l’anneau, de norme T2.

α α

−→P

−→T1

−→T2

−→j

−→i

Les coordonnées des vecteurs sont :

−→P =

(0

−M g

)

−→T1 =

(−T1 sinαT1 cosα

) −→T2 =

(T2 sinαT2 cosα

)

Le feu étant immobile dans un référentiel galiléen,on peut appliquer la première loi de Newton :

−→P +

−→T1 +

−→T2 =

−→0

Sur (O,−→i ), cela donne −T1 cosα+ T2 cosα = 0 d’où T1 = T2

Appelons T la norme de ces deux forces. En projection sur (O,−→j ), la deuxième loi de Newton donne

−M g + T cosα+ T cosα = 0 soit finalement T =M g

2 cosα

2 Ça glisse

On étudie la boîte ramenée à son centre d’inertie G dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Elle subit :

— son poids−→P = m−→g , vertical et vers le bas ;

— la réaction normale du support−→N , verticale et vers le haut ;

— les frottements solides−→F , opposés au mouvement.

D’après la loi de Coulomb de glissement, on sait déjà que F = µN.

Deuxième loi de Newton : m−→a =−→F +

−→P +

−→N

−→F

−→P

−→N

x

En projection verticale, cela donne −mg + N = 0 d’où N = mg

On en déduit que F = µmg

En projection horizontale, la deuxième loi de Newton donne

max = −F = −µmg d’où ax = −µ g

Par intégration, on en déduit vx(t) = −µ g t+ k

À l’instant initial, vx(0) = v0, d’où v0 = −µ g × 0 + k d’où k = v0

d’où l’équation horaire de la vitesse vx(t) = −µ g t+ v0

Par intégration, il vient x(t) = −12µ g t2 + v0 t+ k′

En choisissant l’origine de l’axe x à la position initiale de G, on impose que x(0) = 0, d’où k′ = 0. D’où

x(t) =12µ g t2 + v0 t équation horaire de la position

Le mobile s’arrête à la date tf telle que vx(tf) = 0, d’où tf =v0

µ g. À cette date-là, la distance parcourue est

x(tf) =12µ g tf

2 + v0 tf =12mug

(v0

µ g

)2

+ v0v0

µ gsoit x(tf) =

v02

2µ g

24

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. Ant

czakExercices

Forces à distance

1 Des forces

a. Déterminer la norme de la force d’interaction gravitationnelle exercée par le Soleil sur la Terre, puis par laTerre sur le Soleil. Représenter ces deux forces sur un schéma

b. Déterminer la norme de la force d’interaction gravitationnelle subie par une personne de la part de la Terre,puis de la part du Soleil. Conclure.

c. En supposant que ce soit possible d’aller à la surface du Soleil (et en supposant que le Soleil ait une surface),déterminer de quel facteur une personne serait plus lourde sur le Soleil que sur la Terre.

d. Déterminer à quel(s) endroit(s) précis de l’espace la personne devrait se placer pour subir des forces gravi-tationnelles colinéaires et de même norme de la part du Soleil et de la part de la Terre.

Objet Soleil Terre Personne

Masse mS = 2,0 × 1030 kg mT = 5,98 × 1024 kg mP = 60 kg

Rayon moyen RS = 6,96 × 105 km RT = 6 380 km

Distance moyenne Terre-Soleil : rT = 149,6 × 106 km.

2 Chargez !

a. « Chargé » peut signifier « chargé électriquement ».

Soit un point matériel portant la charge électrique q1 = 1,0 C. Déterminer la force électrique qu’exerce sur luiun autre point portant la charge q2 = −3,0 C et placé à une distance D = 1,0 km.

b. « Chargé » peut signifier « ayant une masse à porter » dans le langage courant.

Soit un point matériel de masse m1 = 100 kg. Déterminer la force gravitationnelle qu’exerce sur lui un autrepointe masse m2 = 3,0 kg et placé à une distance D = 1,0 km.

3 Deux sphères

Deux petites sphères métalliques identiques et distantes de d = 3 cm s’attirent l’une l’autre avec une forcede F1 = 150 N. On les relie provisoirement par un petit fil conducteur, faisant en sorte que la charge électriquetotale se répartit équitablement sur les deux boules. Elles se repoussent maintenant avec une force F2 = 10 N.

Déterminer la charge initiale sur chacune des sphères.

Ressorts, fils

4 Balance électrostatique

On imagine une balance électrostatique composée de deux charges ponctuelles A et B immobiles, de mêmevaleur q, fixées sur un plan horizontal à une distance d l’une de l’autre. Un objet M de masse m et de charge qest placé sur la médiatrice de [AB] à une distance a au-dessus du plan contenant A et B.

Déterminer m en fonction du reste pour que M soit immobile dans le référentiel terrestre.

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5 Tac-tac électrisé

Un tac-tac est un ensemble de deux boules identiques, de masses m, reliées entre elles par un fil. Le filétant accroché à un support fixe en son milieu, on charge les deux boules de manière identique, leur donnant àchacune une charge Q. On notera ℓ la distance entre le centre de chaque boule et le point d’attache du fil. Onconstate que les deux boules s’écartent de la verticale d’un angle α.

Déterminer Q en fonction des paramètres du problème.

6 On s’accroche

Suite à une fausse manip en explorant une charpente, un étudiant en architecture est resté accroché par sesbretelles à une poutre. Revenu sur terre, il étudie une situation similaire.

Deux ressorts identiques de longueur à vide ℓ0 et de raideur k sont accrochés à deux points distants de dsitués sur une même horizontale. On relie leurs extrémités libres et on y accroche un objet de masse m. Lesressorts font alors un angle θ par rapport à la verticale.

Déterminer une expression reliant θ, d, ℓ0, k, m et l’intensité de la pesanteur g.Application numérique : calculer θ avec k = 10 N.m−1, d = 20 cm, ℓ0 = 10 cm, m = 200 g et g = 9,8 N.kg−1.

7 Une balance

Après avoir regardé McGyver à la télé, une étudiante en architecture réalise une balance constituée d’unressort horizontal de raideur k et de longueur à vide ℓ0, ainsi que d’une ficelle. Elle leur accroche un objet demasse m inconnue. Elle mesure ensuite l’angle α entre la ficelle et la verticale et la longueur ℓ du ressort.

a. À l’aide d’une étude mécanique, exprimer m en fonction des données du problème.

b. On a k = 10 N.m−1, ℓ0 = 8,0 cm, g = 10 N.kg−1 et la mesure donne ℓ = 14 cmet α = 45. Calculer m.

c. Faire un schéma, à une échelle qu’on précisera, de toutes les forces.

α

Frottements, contacts

8 La boîte

Déterminer les forces exercées sur une boîte de masse m posée sur une table, dans les cas suivants.

a. La table est horizontale et la boîte est immobile.

b. La table est un peu inclinée et fait un angle α par rapport à l’horizontale, mais la boîte est toujours immobile.

c. La table est un peu plus inclinée et la boîte glisse à vitesse constante v0.

9 Ski nautique

Un skieur nautique de masse m = 80 kg glisse sur la mer à vitesse constante v0. La force de traction exercéepar le bateau qui le tire a une valeur de 700 N.

Déterminer entièrement chacune des forces subies par le skieur.

10 Au ski

Un skieur de masse m remonte une pente à vitesse constante et sans frottements.L’angle entre le sol et l’horizontale est α et l’angle entre le sol et la perche que

tient le skieur est β.Déterminer entièrement toutes les forces exercées sur le skieur.

α

β

11 Poussée d’Archimède dans l’eau et dans l’air

On considère un cylindre de section S et de hauteur h, fait en bois de hêtre de masse volumique ρ =8,0 × 102 kg.m−3. On notera ρeau = 1,00 × 103 kg.m−3 la masse volumique de l’eau.

a. Exprimer le poids P de ce cylindre et la poussée d’Archimède Πair qu’il subit lorsqu’il est dans l’air. Déter-miner le rapport des deux et conclure.

b. Déterminer le rapport entre la poussée d’Archimède dans l’eau et dans l’air. Conclure.

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c. Montrer que le cylindre flotte sur l’eau s’il est moins dense que l’eau.

d. Le cylindre flotte sur l’eau, son axe étant vertical. On notera x la hauteur immergée, la hauteur totale étanth. Déterminer l’expression du rapport x/h. Faire l’application numérique.

e. Vérifier, en reprenant le calcul sans négliger la poussée d’Archimède de l’air, qu’elle est négligeable.

12 Le parachutiste

Un parachutiste de masse m1 = 70 kg et son parachute de masse m2 = 8,0 kg tombent à vitesse constante(dans le référentiel terrestre). On négligera la force exercée par l’air sur le parachutiste et le volume du parachute.

Déterminer la force exercée par le parachute sur le parachutiste, puis la force exercée par l’air sur le parachute.

13 Ressort et poussée d’Archimède

Un cylindre de masse m et de volume V est suspendu à un ressort de raideur k et de longueur à vide ℓ0. Onnotera g l’intensité de la pesanteur et on négligera la poussée d’Archimède dans l’air.

a. Exprimer la longueur ℓ du ressort en fonction de la masse m du cylindre et des autres paramètres.

b. On immerge entièrement le cylindre dans un liquide de masse volumique ρ. Le ressort a une nouvelle longueurℓ′. Exprimer ρ en fonction de ∆ℓ = ℓ− ℓ′ et des autres paramètres.

14 Avec ou sans frottements ?

On étudie un objet immobile de masse m posé sur un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale,accroché à un ressort de raideur k et de longueur à vide ℓ0, lui-même parallèle à la plus grande pente du planincliné et accroché à l’autre bout à un point fixe.

a. En supposant que l’objet ne subit aucun frottement de la part du plan incliné, exprimer la longueur ℓ duressort en fonction de m, g, k, ℓ0 et α.

b. On mesure ℓ = 18 cm et on sait que α = 30, k = 10 N.m−1, ℓ0 = 10 cm et m = 200 g.Montrer que des frottements doivent nécessairement être pris en compte.

c. Déterminer entièrement la force de frottements−→F que subit l’objet.

Dynamique

15 Principe d’un accéléromètre

Un point matériel de masse m est astreint à se déplacer sur un axe horizontal. Il est attaché à deux ressortsidentiques horizontaux, placés en vis-à-vis, dont les autres extrémités sont reliées à des points fixes. On noterak la raideur des ressorts et ℓ0 leur longueur à vide.

L’ensemble subit une accélération horizontale de norme a constante.Déterminer le déplacement x du point matériel par rapport à sa position d’équilibre.

16 Un bloc sur un plan incliné

Un bloc parallélépipédique est posé sur un plan incliné. Pour une certaine valeur de l’angle θ entre le planet l’horizontale, on constate que le bloc glisse à vitesse constante vers le bas lorsqu’on le lance. Déterminer lavaleur du coefficient de frottement.

Pour le même θ, on lance le bloc vers le haut. Quelle distance parcourt-il avant arrêt ? Redescend-il ?

17 Mesure d’un coefficient de frottement

Pour déterminer un coefficient de frottement de glissement, on réalise un dispositif d’étude avec une tablehorizontale : on pose sur la table un objet de masse m, à l’aide d’une ficelle de masse négligeable, on relie l’objetà une masselotte de masse m′ par l’intermédiaire d’une poulie pouvant tourner sans frottements. La masselottependouille verticalement et peut tomber d’une hauteur h. Ainsi, l’objet est entraîné pendant une distance h surla table avec une force constante que l’on supposera de norme m′ g. Puis il parcourt encore une distance d avantde s’arrêter.

Déterminer le coefficient de frottement f entre l’objet et la table en fonction dem′

met de

d

h.

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18 Une masse sur une planche

Un objet de masse m1 est posé sur une planche horizontale de masse m2. Le coefficient de frottement entrel’objet et la planche est noté µ (on supposera le coefficient de frottement de glissement égal au coefficient defrottement statique). La planche peut glisser sans frottements sur le sol horizontal.

À un instant donné, on exerce sur la planche une force horizontale−→F de norme croissant linéairement avec

le temps : F = k t.Déterminer au bout de combien de temps l’objet se met à glisser sur la planche, ainsi que les accélérations

de l’objet et de la planche avant et après glissement.

19 Un lancer

Une balle de hockey sur gazon de masse m = 160 g subit une force constante−→F de la part d’une crosse

de hockey. La force est inclinée de α = 30 au-dessus de l’horizontale. La balle est initialement sans vitesse et,lorsque le contact cesse au bout de τ = 0,11 s, a acquis une vitesse vf = 14 m.s−1.

Déterminer les équations horaires du mouvement de la balle, ainsi que la norme de F.

20 Palet de hockey

Un palet de hockey de masse m = 150 g se déplace en ligne droite sur une patinoire horizontale. Initialementsa vitesse est v0 = 12 m.s−1. Il s’immobilise après avoir parcouru une distance d = 30 m.

En supposant le mouvement du palet uniformément décéléré, déterminer complètement toutes les forces quis’exercent sur lui.

21 Le retour de la boîte

Une boîte d’allumettes de masse m glisse sur une table inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontale. Onnégligera toute action de l’air.

Déterminer les équations horaires du mouvement de la boîte lorsque celui-ci s’effectue sans frottements.

22 Fais le beau

Pour se détendre entre deux maquettes, un étudiant en architecture joue avec son renardeau de massemR = 2,50 kg pour mettre en pratique des principes mécaniques étudiés en classe.

Dans toute la suite, toute action de l’air sera négligée sur les systèmes étudiés, qui seront ramenés à un pointmatériel. Le champ de pesanteur sera considéré comme uniforme, de norme g = 9,81 m.s−2.

Le renardeau est assis sur la table, que l’on incline d’un angle α par rapport à l’horizontale.

a. Le renardeau est immobile et α = 16,0.Déterminer entièrement toutes les forces qu’il subit.

b. On a à présent incliné la table à α = 33,0 et on l’a savonnée, de sorte que le renardeau glisse sur la tablesans frottements. Déterminer les équations horaires de son mouvement, en supposant le renardeau lâché sansvitesse initiale d’une extrémité de la table.Déterminer le temps mis par le renardeau pour arriver à l’autre extrémité de la table (de longueur L = 3,00 m)et sa vitesse à l’arrivée au bout.

c. On arrête le renardeau à temps. On incline alors la table à α = 42,0 et relance le renardeau vers le haut dela pente avec une vitesse initiale v0 = 6,00 m.s−1.Déterminer les équations horaires du mouvement du renardeau (en négligeant les frottements de contact).Dépasse-t-il l’extrémité de la table ?

d. Le renardeau est à présent immobile sur la table, toujours savonnée (donc sans frottements). Il est attachépar sa laisse au haut de la table, la laisse étant parallèle à la table. On considère que le renardeau ne peutsurvivre plus de dix minutes que si la laisse ne le tire pas avec plus de 80% de la valeur de son propre poids.Déterminer l’angle maximal d’inclinaison de la table, αmax, permettant la survie du renardeau.

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czakChapitre 3

Projectiles dans le champ de pesanteuruniforme

Les premières études mécaniques au sens où on l’entend aujourd’hui portaient sur des mouvements deprojectiles dans un champ de gravitation.

Galileo Galilei (1564−1642) a fait l’étude systématique des chutes d’objets au voisinage du sol (qu’ellessoient verticales ou non). C’est lui qui a montré les lois paraboliques que l’on va voir : pour les aristotéliciens, lemouvement d’un projectile était composé de trois phases : un mouvement rectiligne et uniforme, un mouvementcirculaire et uniforme et à nouveau un mouvement rectiligne et uniforme.

Johann Kepler (1561−1630) a étudié les mouvements des planètes autour du Soleil et a donné, sans lesdémontrer théoriquement, les trois lois descriptives qui portent son nom.

C’est Isaac Newton (1643−1727) qui unifia mécanique céleste et mécanique terrestre, en énonçant les loisgénérales à partir desquelles on peut étudier ces mouvements.

Si l’architecture utilise peu les projectiles, la statique et la dynamique des structures utilisent des raison-nements similaires à ceux qu’on va aborder dans cette section. Voilà pourquoi ce cas particulier vu au lycéeest traité comme application du cours. On le complétera avec un modèle de frottements fluides, de manière àintroduire un outil majeur de la physique : l’équation différentielle.

Fontaine de la place Gailleton, à Lyon (Photo C. Ursini)

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3. Projectiles dans le champ de pesanteur uniforme Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021

I Mouvements sans frottements

1 Position du problème

Un objet de masse m, ramené à son centre d’inertie G, est lancé du point O avec une vitesse initiale −→v0

faisant un angle θ au-dessus de l’horizontale.

Le plan de tir contient −→v0 et la verticale. On utilise le repère orthonormé (O,−→i ,

−→j ,

−→k ).

Dans ce repère les coordonnées de la vitesse initiale sont −→v0

v0 cos θv0 sin θ

0

.

y

x

−→j

−→i

O

θ

−→v0

Problème : on veut connaître le mouvement du projectile (équations horaires, trajectoire, etc.).Hypothèses : tout frottement fluide est négligé et le champ de pesanteur est considéré comme uniforme.

2 Remarque concernant la poussée d’Archimède

La poussée d’Archimède s’écrit−→Π = −ρfluide V −→g pour un objet de volume V plongé dans un fluide de masse

volumique ρfluide. Le poids du même objet, de masse m, s’écrit−→P = m−→g . Or on peut écrire m = ρobjet V, où

ρobjet est la masse volumique de l’objet. Donc−→P = ρobjet V −→g .

Dans les lois de Newton apparaîtra la somme des forces, donc le terme

−→P +

−→Π = ρobjet V −→g − ρfluide V −→g =

(

1 − ρfluide

ρobjet

)

ρobjet V −→g soit−→P +

−→Π =

(

1 − ρfluide

ρobjet

)

m−→g

La contribution de la poussée d’Archimède revient à multiplier −→g par un facteur η = 1 − ρfluide

ρobjet.

— Si l’objet est plus dense que le fluide, alors η > 0 : la force résultante est verticale et vers le bas (pesanteurun peu amoindrie).

— Si l’objet est beaucoup plus dense que le fluide, alors η avoisine 1 : la poussée d’Archimède peut êtrenégligée (cas des objets lourds dans l’air).

— Si l’objet est moins dense que le fluide, η < 0 : la résultante est verticale ascendante.Ici on prendra η = 1. Lorsque seul le poids s’applique, le mouvement est qualifié de chute libre.

3 Amorce de l’étude mécanique

On étudie l’objet ramené à son centre d’inertie G, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Il subit

uniquement son poids−→P = m−→g .

La deuxième loi de Newton s’écrit m−→a =−→P , d’où −→a = −→g ou encore

d−→vdt

= −→g .

L’accélération, donc tout le mouvement, ne dépend pas de la masse m de l’objet.

4 Obtention des équations horaires de la vitesse

On a

vx = 0

vy = −gvz = 0

dont les primitives sont de la forme

vx = b1

vy = −g t+ b2

vz = b3

Les constantes d’intégration b1, b2 et b3 s’obtiennent à l’aide des conditions initiales sur la vitesse. Comme−→v (0) = −→v0, cela donne

v0 cos θ = b1

v0 sin θ = −g × 0 + b2

0 = b3

d’où

vx = v0 cos θ

vy = −g t+ v0 sin θ

vz = 0

ApplicationTracer vx(t), vy(t) et exprimer la date de passage au sommet tS.

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Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021 3. Projectiles dans le champ de pesanteur uniforme

5 Obtention des équations horaires de la position

Le système précédent peut s’écrire, en notant (x, y, z) les coordonnées du point G,

x = v0 cos θ

y = −g t+ v0 sin θ

z = 0

dont les primitives sont de la forme

x = (v0 cos θ) t+ c1

y = −12g t2 + (v0 sin θ) t+ c2

z = c3

Les constantes d’intégration c1, c2 et c3 s’obtiennent à l’aide des conditions initiales sur la position. À t = 0,le point G est en O donc ses coordonnées sont nulles. Ceci s’écrit

0 = (v0 cos θ) × 0 + c1

0 = −12g × 02 + (v0 sin θ) × 0 + c2

0 = c3

d’où

x = (v0 cos θ) t

y = −12g t2 + (v0 sin θ) t

z = 0

On constate que z = 0 : le mouvement se fait entièrement dans le plan de tir (Oxy).

ApplicationsTracer x(t), y(t), retrouver tS, exprimer les coordonnées (xS, yS) du sommet (yS est appelée flèche de la trajec-toire), exprimer la durée du tir tf et sa portée xP.

6 Obtention de l’équation cartésienne de la trajectoire

On obtient l’équation cartésienne de la trajectoire en éliminant t entre les deux équations horaires x(t) ety(t). La première équation permet d’exprimer le temps en fonction de la position horizontale :

t =x

v0 cos θ

On injecte ceci dans la deuxième équation pour obtenir

y = −12g

x2

(v0 cos θ)2+ (v0 sin θ)

x

v0 cos θd’où y = − g

2 v02 cos2 θ

x2 + (tan θ)x

C’est l’équation d’une parabole.

ApplicationsTracer y(x), retrouver xP, xS, yS.

7 Cas particulier : chute libre sans vitesse initiale

On peut considérer ce problème comme un cas particulier avec v0 = 0, ou le résoudre ex nihilo.

ApplicationsRetrouver vy(t), y(t), exprimer la durée d’une chute de hauteur h et la vitesse à l’arrivée.

8 Résolution vectorielle

On peut aussi résoudre le problème, à partir de −→a = −→g , vectoriellement. Une première intégration donne

−→v (t) = −→g t+−→Cte

puis, en tenant compte du fait que −→v (0) = −→v0, on a−→v (t) = −→g t+ −→v0

Une deuxième intégration donne le vecteur position−−→OM(t) =

12

−→g t2 + −→v0 t+−−−→OM0

En projection, on retrouve bien les équations obtenues ci-dessus.

Exercices 1 à 6

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II Chute verticale avec frottements fluides laminaires

Un objet de masse m est lâché sans vitesse initiale dans le champ de pesanteur uniforme, dans l’air. Onsouhaite déterminer son mouvement.

On utilisera un modèle de frottements fluides de Stokes et on négligera la poussée d’Archimède de l’air.

1 Obtention de l’équation différentielle du mouvement

On étudie l’objet ramené à son centre d’inertie G, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Il subit son

poids−→P = m−→g et la force de frottements fluides

−→f = −λ−→v .

Deuxième loi de Newton :−→P +

−→f = m−→a

D’où m−→g − λ−→v = md−→vdt

qui donned−→vdt

+λ

m−→v = −→g

C’est l’équation différentielle du mouvement de tout projectile dans un champ de pesanteur uniforme.L’inconnue est −→v . Comme, dans le cas de cette chute sans vitesse initiale, le mouvement est évidemment

vertical et vers le bas, on choisira un axe de projection (Oz) vertical vers le bas, de vecteur unitaire−→k .

Alors, −→v = vz

−→k et −→g = g

−→k . L’équation différentielle devient, sur cet axe,

dvz

dt+λ

mvz = g

Remarque : si l’on avait choisi un modèle de frottements fluides en v2, on auraitdvz

dt+h

mvz

2 = g.

2 Vitesse limite

La vitesse n’augmente pas indéfiniment. À un moment donné, les frottements compensent les autres forces

et le mouvement est uniforme. On obtient une vitesse limite vlim, qui s’obtient en cherchant vz pourdvz

dt= 0

dans l’équation différentielle.

Quand t tend vers l’infini,dvz

dttend vers zéro et vz

tend vers vlim. L’équation différentielle du mouvements’écrit donc, pour t tendant vers l’infini,

λ

mvlim = g

d’où vlim =m g

λ

t

vzvlim

3 Temps caractéristique de la chute

D’autre part à t = 0 on peut remplacer vz par 0 dans l’équation différentielle, ce qui donnedvz

dt(t = 0) = g.

La tangente à l’origine de la courbe vz = f(t) a donc une pente valant g.Appelons τ le temps au bout duquel la tangente à l’origine croise la vitesse limite. C’est ce que l’on appelle

le temps caractéristique de la chute.

La tangente à l’origine a pour équation vz = g t.Elle croise l’asymptote horizontale, d’équation vz = vlim,

à la date τ telle que

g τ = vlim

d’où τ =vlim

gou encore τ =

m

λt

vzvlim

τ

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4 Équations horaires du mouvement

L’équation différentielle peut s’écriredvz

dt= − λ

mvz + g

Elle peut se mettre sous la forme, compte tenu des expressions de vlim et τ ci-dessus,

vz +1

τvz =

vlim

τ

Voir l’Annexe C sur les équations différentielles du premier ordre. Cette équationest de la forme

y + a y = b avec y = vz a =1

τb =

vlim

τ

Les solutions sont de la forme y(t) = A e −a t +b

a, soit ici

vz(t) = A e −t/τ + vlim

La constante A s’obtient à l’aide des conditions initiales sur la vitesse : à t = 0 s, vz est nullepar hypothèse. On a donc

0 = A e −0/τ + vlim d’où A = −vlim

On obtient donc finalement

vz(t) = vlim

(

1 − e −t/τ)

On vérifie bien que vz → vlim quand t → +∞.

Pour obtenir la position z(t), on recherche la primitive de vz. Elle est de la forme

z(t) = vlim (t + τ e −t/τ ) + B

Si l’on choisit l’origine de l’axe z à la position initiale du point, on a z(0) = 0, d’où

0 = vlim (0 + τ e −0/τ ) + B d’où B = −vlim τ

Il vient l’équation horaire de la position

z(t) = vlim

(

t + τ (e −t/τ − 1))

t

vzvlim

0,63 vlim

τ

On a vz(τ) = vlim (1 − e −1) = 0,63 vlim :à la date t = τ , la vitesse limite est atteinteà 63%.

On a vz(5 τ) = vlim (1 − e −5) = 0,99 vlim :à partir de t = 5 τ , la vitesse limite est at-teinte à plus de 99%.

t

z

τ

L’asymptote a pour équation

z = vlim (t − τ)

Elle coupe l’axe des abscisses en t = τ .

Exercices 7 à 12, exercice résolu

33

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III Mouvement avec frottements avec vitesse initiale

On reprend le problème ci-dessus, toujours avec le modèle de frottements fluides de Stokes, mais maintenantl’objet est lancé du point O avec une vitesse initiale −→v0 faisant un angle θ au-dessus de l’horizontale.

Le plan de tir contient −→v0 et la verticale. On utilise le repère orthonormé (O,−→i ,

−→j ).

Dans ce repère les coordonnées de la vitesse initiale sont −→v0

(

v0 cos θv0 sin θ

)

.

L’équation différentielle vectorielle du mouvement est toujours la même, on peut l’écrire

y

x

−→j

−→i

O

θ

−→v0

d−→vdt

= − 1τ

(−→v − −→v lim

)

avec τ =m

λet −→v lim =

m−→gλ

En projection, il vient

dvx

dt= − 1

τvx

dvy

dt= − 1

τvy − vlim

τ

d’où

vx = A e −t/τ

vy = B e −t/τ − vlim

Les constantes A et B s’obtiennent à l’aide des conditions initiales sur la vitesse : −→v (0) = −→v0 :

v0 cos θ = A

v0 sin θ = B − vlim

ce qui donne

A = v0 cos θ

B = v0 sin θ + vlim

L’équation horaire de la vitesse est donc

vx(t) = v0 cos θ e −t/τ

vy(t) = (v0 sin θ + vlim) e −t/τ − vlim

ou encore −→v (t) =(−→v0 − −→v lim

)

e −t/τ + −→v lim

Une deuxième intégration (soit des expressions scalaires des coordonnées de la vitesse, soit de l’expressionvectorielle de la vitesse) donne la position

x(t) = −τ v0 cos θ e −t/τ + C

y(t) = −τ (v0 sin θ + vlim) e −t/τ − vlim t+ Dou encore

−−→OG(t) = −τ

(−→v0 − −→v lim

)

e −t/τ + −→v lim t+−→E

Les constantes d’ingégration s’obtiennent à l’aide de la condition initiale sur la position (G = O à t = 0,donc x = y = 0). On obtient finalement

x(t) = τ v0 cos θ(1 − e −t/τ

)

y(t) = τ (v0 sin θ + vlim)(1 − e −t/τ

)− vlim t

ou encore−−→OG(t) =

(−→v0 − −→v lim

) (1 − e −t/τ

)+ −→v lim t

La trajectoire n’a pas d’expression simple. On utilise donc ces équations horaires de la position pour tracer latrajectoire. On voit qu’il y a une asymptote verticale d’équation x = τ v0 cos θ, limite horizontale indépassable(que l’on peut qualifier de portée du tir). Ci-dessous, en gras, une courbe obtenue avec beaucoup d’amor-tissement (en pointillés, le mouvement sans frottements correspondant). Pour les mouvements dans l’air, lestrajectoires sont très proches de la trajectoire sans frottements.

x

y

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Énoncé

Le grand plongeon

Une étudiante en vacances se prélasse sur un plongeoir avec sa petite sœur. L’étudiante laisse malencontreu-sement tomber la petite sœur dans l’eau. La hauteur de chute dans l’air est h = 20 m. La masse de la petitesœur est m = 40 kg, sa densité est d = 0,945.

Toute action de l’air sera négligée. L’étudiante choisit d’assimiler, dans l’eau, la petite sœur à une boule uneboule ; elle calcule qu’une boule de même masse et de même volume que la petite sœur et qui vérifierait la loide Stokes aurait un coefficient de proportionnalité entre frottement et vitesse valant k = 4,0 × 10−3 kg.s−1. Lanorme du champ de pesanteur est g = 9,81 m.s−2.

Un joli plongeoir (Source Wikimedia commons)

a. Déterminer les équations horaires du mouvement dans l’air de la petite sœur.

b. En déduire sa date te d’arrivée dans l’eau, ainsi que la vitesse à l’arrivée dans l’eau ve.

c. En supposant que cette vitesse est également la vitesse de la petite sœur une fois entièrement entrée dansl’eau, déterminer les équations horaires du mouvement dans l’eau de la petite sœur. On pourra choisir te commenouvelle origine des dates et on posera τ , constante de temps du mouvement, et vlim, norme de la vitesse limite.

d. Déterminer la date d’arrivée à la position la plus profonde, tp et la profondeur maximale atteinte H. Com-menter le résultat obtenu.

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. Ant

czak


Corrigé

a. On étudie la petite sœur ramenée à son centre d’inertie dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Dans

l’air, elle subit uniquement son poids−→P = m−→g . La deuxième loi de Newton s’écrit donc m−→a = m−→g , d’où−→a = −→g .

On munit l’espace d’un axe (Oz) vertical vers le bas, où l’origine O est la position initiale du centre d’inertiede la petite sœur.En projection, la deuxième loi de Newton s’écrit az = g, qui s’intègre en vz(t) = g t+ b.La constante d’intégration b s’obtient à l’aide de la condition initiale sur la vitesse. Comme à l’instant initial lavitesse est nulle, b = 0.

Il vient donc simplement vz(t) = g t, qui s’intègre en z(t) =12g t2 + c.

La constante d’intégration c s’obtient à l’aide de la condition initiale sur la position z(0) = 0, qui donne c = 0.

On a donc z(t) =12g t2.

b. La petite sœur arrive en z = h à la date te vérifiant h =12g te

2, d’où te =

√2hg

= 2,0 s.

La vitesse à l’arrivée dans l’eau est

ve = vz(te) = g te =√

2 g h = 20 m.s−1

c. On étudie à présent la petite sœur ramenée à son centre d’inertie dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Dans l’eau, elle subit son poids−→P = m−→g , la poussée d’Archimède de l’eau

−→Π = −ρeau V −→g (où V est le volume

de la petite sœur et ρeau la masse volumique de l’eau) et les frottements−→f = −k−→v .

La deuxième loi de Newton s’écrit m−→a =−→P +

−→Π +

−→f .

On utilise toujours un axe vertical vers le bas, mais on change l’origine pour la mettre au point d’entrée dansl’eau. En projection sur cet axe la deuxième loi de Newton s’écrit

maz = mg − ρeau V g − k vz ou encoredvz

dt= g

(

1 − ρeau Vm

)

− k

mvz

Or, m = ρV avec ρ la masse volumique de la petite sœur. Le quotient ρeau V/m est donc égal à ρeau/ρ,c’est-à-dire 1/d.

Comme d < 1, 1 − 1/d est négatif. Posons vlim =mg

k

(1d

− 1)

et τ =m

k. L’équation différentielle peut s’écrire

dvz

dt+

1τvz = −vlim

τqui s’intègre en vz(t) = A e −t/τ − vlim

À l’instant initial la vitesse est ve déterminée plus haut. On en déduit

ve = A e −0/τ − vlim d’où A = ve + vlim

d’où la vitesse vz(t) = (ve + vlim) e −t/τ − vlim

Ceci s’intègre en z(t) = −τ (ve + vlim) e −t/τ − vlim t+ B

Avec z(0) = 0, cela donne 0 = −τ (ve + vlim) e −0/τ − vlim × 0 + B d’où B = τ (ve + vlim).

Soit finalement z(t) = τ (ve + vlim)(1 − e −t/τ

)− vlim t

d. À la profondeur la plus grande, la petite sœur change de sens : c’est à la date tp vérifiant vz(tp) = 0, d’où

(ve + vlim) e −tp/τ − vlim = 0 d’où tp = −τ lnvlim

ve + vlim= 35 s

La profondeur atteinte à cette date-là est

H = z(tp) = τ (ve + vlim)(1 − e −tp/τ

)− vlim tp = 3,4 × 102 m

Ce résultat exorbitant montre que selon toute probabilité le modèle de Stokes n’est pas adapté ici, ou alors pasavec ce coefficient k.

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czakExercices

Projectiles sans frottements dans le champ de pesanteur uniforme

1 À la piscine

Jonathan lance un ballon en O avec une vi-tesse initiale v0 = 10 m.s−1 inclinée de α = 30.Barbara, initialement à xB = 5,2 m horizontale-ment et h = 3,00 m verticalement de O, se laissetomber au moment où le ballon part.

Source : S. Antczak et J.-F. Le Marchéal,


a. Si Barbara restait en place, serait-elle touchée par le ballon ?

b. Barbara sera-t-elle touchée par le ballon ? Si oui, à quelle date et quelles sont les coordonnées du point derencontre ?

c. Déterminer la vitesse initiale minimale du ballon pour que Barbara soit touchée avant d’atteindre le niveaude l’eau, d’ordonnée yeau = −2,2 m.

2 Être en sûreté

Un boulet est tiré du sol avec une vitesse v0, dans une direction d’angle θ avec l’horizontale.

a. Déterminer la condition vérifiée par des coordonnées (x ; y) d’un point du plan de tir sur la trajectoire duboulet. On écrira cette condition en fonction de g, v0 et θ, puis de g, v0 et ξ = tan θ.

b. Écrire la condition nécessaire pour que ce trinôme admette une ou deux solutions réelles. On la présenterasous la forme z 6 f(x) où f est une fonction à déterminer.

c. Tracer la zone du plan définie par cette condition.

3 Le canon à tartines

Pour le petit déjeuner, un dispositif ingénieux permet d’étaler la confiture sur le pain grillé. Le grille-pain,projette le pain grillé de masse m1 verticalement vers le haut avec une vitesse v10 à une date donnée. Unecatapulte à confiture, placée à une distance horizontale d du grille-pain, est synchronisée pour éjecter, au mêmeinstant, une masse m2 de confiture avec une vitesse v20 dans une direction inclinée d’un angle θ par rapport àl’horizontale, de telle sorte que les deux mouvements se fassent dans le même plan et de manière à ce que laconfiture ait des chances de rencontrer le pain. On négligera toute action de l’air.

a. Établir les équations horaires du mouvement du pain. On notera ses coordonnées avec l’indice 1.

b. Faire de même pour la confiture avec l’indice 2.

c. On veut que la confiture arrive sur le pain. Montrer que cela implique la condition sin θ = v10/v20.

d. Si on impose en plus que cette jonction se fasse à l’instant où le pain est au plus haut de sa trajectoire (pourdes raisons de sécurité : c’est là où le pain va le moins vite, donc là où la confiture risque le moins de le louper),montrer que cela impose la contrainte supplémentaire g d = v10 v20 cos θ.

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e. Lors du choc, la quantité de mouvement est conservée, c’est-à-dire que la quantité de mouvement totaleavant le choc est égale à la quentité de mouvement totale après le choc. Montrer que ceci implique que la tartineest formée avec une vitesse horizontale de norme m2 v20 cos θ/(m1 +m2).

f. Déterminer l’endroit de la table où la tartine retombe (et où on doit poser l’assiette). On notera la distanceentre le grille-pain et cet endroit ℓ.

g. On a g = 10 N.kg−1, v10 = 1,5 m.s−1, v20 = 2,0 m.s−1, m1 = 20 g, m2 = 10 g. Calculer θ, d et ℓ, puis tracerla trajectoire du pain, celle de la confiture et celle de la tartine.

4 Quelle bande de boulets !

Exercice donné en devoir surveillé.

Un boulet de canon de masse m1 est tiré du sol avec une vitesse −→v10 faisant un angle α avec l’horizontale.À une distance horizontale d dans le plan de tir, se trouve une catapulte expulsant verticalement et vers lehaut un autre boulet de masse m2, avec une vitesse initiale −→v20. On supposera que le second boulet est expulséexactement en même temps que le premier, de la même hauteur exactement. Toute action de l’air sera négligée.

Les deux parties de l’exercice sont indépendantes.

Étude du lanceur du deuxième boulet

Le lanceur du deuxième boulet est constitué d’un ressort vertical delongueur à vide ℓ0 et de raideur k, sur lequel est posé le boulet. Le ressortest comprimé jusqu’à la longueur ℓ et l’ensemble est maintenu fixe par descordes. Les cordes font un angle θ non droit avec l’horizontale.

a. Déterminer les normes des forces de tension des cordes en fonction dem2, θ, k, ℓ, ℓ0 et g, norme du champ de pesanteur.

b. A-t-on intérêt à fixer les cordes au sol près du ressort ou loin de celui-ci ? θ θ

Trajectoires des boulets

c. Déterminer les équations horaires de la position du premier boulet, puis l’équation cartésienne de sa trajec-toire.

d. Déterminer les équations horaires de la position du deuxième boulet.

e. Écrire la condition de rencontre entre les deux boulets et en déduire la date de rencontre tr et l’expressionde v20 permettant la rencontre.

f. On souhaite en plus que la rencontre se produise lorsque le second boulet est au sommet de sa trajectoire.Déterminer la condition que cela impose sur d.

g. Commenter le réalisme d’une telle situation : discuter les hypothèses réalisées et leur incidence.

5 Atteindre son but

Un lanceur souhaite atteindre une cible située à une distance horizontale d du lieu du tir.Montrer que selon les valeurs respectives de g, d et v0 il existe aucune, une ou deux valeurs de θ (à exprimer)

permettant d’atteindre la cible.

6 Ajustage d’un tir

On place un canon en C, pointé vers son objectif S. Les deux points sont au niveau du sol, séparés ded = 500 m. Le canon tire des boulets dont la vitesse d’éjection est v0 = 100 m.s−1. L’intensité de la pesanteurest g = 10 N.kg−1.

On cherche à savoir comment régler l’angle de tir du canon au-dessus de l’horizontale, noté θ.En détaillant le raisonnement et les calculs, déterminer θ de manière à atteindre la cible le plus rapidement

possible. Déterminer également la date t1 à laquelle le boulet arrive sur sa cible.

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Mouvements avec frottements

7 Frottements fluides laminaires

Reprendre le raisonnement et les résolutions du cours pour une chute d’objet avec un modèle de frottementsfluides de Stokes dans les cas suivants. À chaque fois, tracer les courbes de vitesses et en dégager les pointsintéressants.

a. La poussée d’Archimède est négligée, mais l’objet a une vitesse initiale −→v0 verticale vers le bas.b. Même chose avec une vitesse initiale −→v0 inclinée d’un angle θ au-dessus de l’horizontale.c. La poussée d’Archimède n’est pas négligée (par exemple on est dans l’eau) et l’objet coule. Il a une vitesseinitiale nulle.d. Même chose avec un objet qui flotte.e. Même chose avec un objet qui coule et une vitesse initiale −→v0 verticale vers le bas.

8 Le plongeon

Un plongeur de masse m = 80 kg se laisse tomber d’une hauteur h = 25 m dans de l’eau. On supposera queles frottements suivent la loi de Stokes dans l’air comme dans l’eau et on assimilera le plongeur à une boule derayon r = 50 cm. Les viscosités de l’eau et de l’air sont dans le cours.

a. Établir l’expression de l’équation horaire de la vitesse dans l’air, puis celle de la position.b. Évaluer la durée de la chute jusqu’à l’eau et montrer que pour de telles durées la différence entre modèleavec frottements et modèle sans frottements est négligeable.c. En déduire l’expression de la date t1 d’entrée dans l’eau en utilisant le modèle sans frottements. Déterminerégalement la vitesse v1 à l’entrée dans l’eau.d. En supposant que la vitesse ne change pas au passage air-eau, établir l’expression de l’équation horaire dela vitesse dans l’eau.e. Calculer la vitesse limite atteinte dans l’eau, ainsi que la constante de temps du mouvement. Commenter.

9 Diamètre d’une goutte

Une goutte d’eau de rayon r chute verticalement sans vitesse initiale dans de l’huile. À l’aide d’enregistre-ments, on détermine sa vitesse limite vlim = 0,25 cm.s−1.

Déterminer le rayon de la goutte.Données : masse volumique de l’eau ρ0 = 1,00 kg.L−1, masse volumique de l’huile ρ = 0,90 kg.L−1, volume

d’une boule V =43π r3 (où r est le rayon de la boule), modèle de frottements dans l’huile vérifiant la loi de

Stokes avec la viscosité de l’huile η = 0,16 kg.m−1.s−1.

10 Chute dans un fluide visqueux

Les graphiques ci-dessous représentent la vitesse vz et la position z d’un objet de masse m = 5,0 kg et derayon r = 10 cm, en mouvement vertical dans un fluide de viscosité η très élevée. L’axe est orienté vers le haut.

On utilisera le modèle de Stokes, avec un coefficient de proportionnalité entre force et vitesse λ = 6π η r.

0 5 10 15 20

t (s)

5

0

5

10

vz (

m/s

)

0 5 10 15 20

t (s)

−60

−40

−20

0

z (

m)

Déterminer la viscosité η et la masse volumique ρ du fluide

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11 Principe d’un bac à décantation (d’après Bac S, Polynésie, 2004)

On prépare un mélange homogène constitué d’un liquide visqueux de masse volumique ρℓ = 1,00×103 kg.m−3

et de particules de forme sphérique de rayon R = 2,0 × 10−6 m, de masse volumique ρs = 1,5 × 103 kg.m−3 et

de masse m = 5,0 × 10−14 kg. (On rappelle que le volume d’une sphère de rayon a est43πa3.)

On dépose, à la date t = 0 s, une fine couche (dont on néglige l’épaisseur) de ce mélange homogène à lasurface d’un récipient contenant le même liquide, à l’état pur, que le mélange précédent. À partir de cet instant,les particules, que l’on suppose initialement au repos, se déplacent verticalement vers le fond du récipient.

On suppose que la vitesse limite est suffisamment faible. La force de frottement subie par les particules est−→F = −f−→v où f = 3,1 × 10−12 kg.s−1 où −→v est la vitesse de la particule dans le référentiel terrestre.

Pour étudier le mouvement de la particule, on se place dans un repère unidimensionnel d’axe Oz vertical etdirigé vers le bas, d’origine O au niveau de la surface libre du liquide.

a. En effectuant une analyse dimensionnelle, vérifier que l’unité du coefficient de frottement est le kg.s−1.

b. Déterminer l’équation différentielle relative à la vitesse des particules, puis en déduire la valeur de la vitesselimite.

c. Déterminer la date t1 à partir de laquelle la vitesse vaudra 99% de sa valeur limite.

d. Dessiner sur un graphe l’allure de la fonction v(t) et y faire apparaître vℓ et τ1, temps caractéristique del’évolution de la vitesse. En pratique, on mesure τ1 = 20 ms.

Le principe d’un bac à décantation à flux horizontal consiste à faire circuler, à vitesse constante −→v h horizon-tale, un courant d’eau contenant des particules de masses différentes dans un dispositif que l’on peut modéliserpar une conduite parallélépipédique dans laquelle circule l’eau suivant l’axe (Ox). On définit un axe (Oz) dirigévers le bas, l’origine des z étant la surface libre de l’eau. Au fond de la conduite, à une profondeur z = H0, setrouve un bac de récupération.

En fonction des caractéristiques des particules, ces dernières vont tomber au fond du bac en des endroitsdifférents. On peut donc, par ce procédé, séparer les particules de nature différente contenues dans l’eau. Ons’intéresse au mouvement d’une particule (identique à celle de la partie 1) initialement à la surface de l’eau, àla cote z = 0 et pénétrant dans le bac en x = 0.

e. En imaginant que la particule reste à la surface de l’eau, quel temps τ2 mettrait-elle pour parcourir lalongueur du bac L = 1,0 m, si la vitesse de circulation d’eau est constante et de valeur vh = 0,10 m.s−1 ?

f. En comparant les valeurs de τ1 (donné à la partie 1) et τ2, justifier que l’on puisse considérer que la vitessede la particule dans la conduite est −→v = −→v h + −→v ℓ (où −→v ℓ est la valeur de la vitesse limite atteinte en chutelibre dans le fluide).

g. Montrer que la trajectoire z = f(x) est une droite de coefficient directeur α =ρs − ρℓ

ρs

mg

f vh.

En réalité les particules ne sont pas toutes identiques et sont caractérisées par leur masse m.

h. Calculer la valeur de la masse mC de la particule pour que cette dernière tombe dans le bac à récupérationau point de coordonnées x = L et z = H0 = 0,54 m.

i. Dans quelle zone vont tomber les particules de masses m et de même masse volumique ρs :— si m < mC ?— si m > mC ?Justifier votre réponse.

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czakChapitre 4

Énergie mécanique

« Prince de LU : quand l’énergie devient une force » Publicité des années 2000

« Il est important de réaliser que, dans la physique d’aujourd’hui, nous n’avons aucune connaissance de ce quel’énergie est. » Richard Feynman, prix Nobel de physique 1965

La notion d’énergie est transversale à toute la physique, fondamentale ou appliquée. Le physicien la qualifiede thermique, électrique, magnétique, mécanique, élastique, cinétique, potentielle de pesanteur, libre, chimique,etc. Le journaliste peut s’en emparer et la trouver renouvelable ou non, en tout cas parler de sa consommationet de sa production. Tout le monde en parle, mais personne ne sait vraiment ce que c’est. Même le physicien adu mal à la définir autrement que comme « grandeur extensive qui se conserve ». En revanche, il sait ce que cen’est pas.

Ce chapitre traitera de l’énergie mécanique en général. Les théorèmes énergétiques en mécanique (théo-rème de l’énergie cinétique ou théorème de l’énergie mécanique) s’ajoutent au théorème de dynamique(deuxième loi de Newton) et sont utiles pour décrire un mouvement notamment lorsque l’aspect temporel n’estpas recherché.

Au lycée, on a déjà vu des théorèmes énergétiques sans les démontrer. C’est ce qu’on va faire ici. Lesdémonstrations ne sont certes pas indispensables pour savoir appliquer les théorèmes, mais il est bon de serappeler que la mécanique est un édifice cohérent et axiomatique.

Un architecte construisant des barrages et des centrales hydroélectriques, où l’énergie potentielle de pesanteurstockée devient cinétique, puis électrique, devrait être un pro de l’énergie mécanique !

Centrale hydroélectrique de Cusset, près de Lyon (regardez vers l’est sur le pont des Planches)(source Wikimedia commons)Achevée en 1899, elle fut la plus puissante du monde au moment de sa mise en service.Elle est aujourd’hui la plus ancienne centrale de cette taille encore en service au monde.

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4. Énergie mécanique Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021

I Énergie cinétique ; travail et puissance d’une force

1 Théorème de l’énergie cinétique – version instantanée

Soit un système de masse m ramené à un point M soumis à un ensemble de forces−→Fi. Dans un référentiel

d’étude galiléen, notons −→v sa vitesse. La deuxième loi de Newton appliquée à ce système dans ce référentield’étude s’écrit

md−→vdt

=∑

i

−→Fi

En prenant le produit scalaire de chaque membre de cette égalité par le vecteur vitesse, on écrit

m−→v · d−→vdt

= −→v ·∑i

−→Fi =

∑

i

−→v · −→Fi

Dans le membre de gauche, on reconnaît une expression « du genre f f ′ ». Comme on sait que (f2)′ = 2 f f ′,on peut écrire la relation suivante :

d(

12m−→v 2

+ Cte

)

dt=∑

i

−→v · −→Fi

La grandeur dérivée dans le membre de gauche sera appelée énergie cinétique Ec du point M. Comme lavitesse elle-même, cette énergie cinétique dépend du référentiel d’étude. La constante apparaissant dans laprimitive peut être choisie de sorte que la référence de l’énergie cinétique soit l’état de repos dans le référentiel

considéré. Si Ec = 0 lorsque −→v =−→0 , alors il faut que la constante soit nulle.

On a ainsi défini l’énergie cinétique, exprimée en joules, du point M dans le référentiel d’étude :

Ec =12m−→v 2

ou encore Ec =12mv2

Le théorème de l’énergie cinétique dans sa version instantanée et appliquée à ce point M s’écrit donc :

dEc

dt=∑

i

−→v · −→Fi

Il va rester à donner un sens à la quantité −→v · −→Fi apparaissant dans la somme du membre de droite. C’est

une quantité homogène à la dérivée d’une énergie par rapport au temps, donc en joules par seconde, autrementdit c’est ce que l’on appelle une puissance.

2 Puissance instantanée d’une force

Une puissance en général est la vitesse d’un échange énergétique. Elle s’exprime en watts (W), égalà des joules par seconde.

La puissance instantanée d’une force−→F agissant sur un point en mouvement à la vitesse −→v (mesurée

dans un référentiel donné) est la puissance reçue par le point du fait de la force lors du déplacement.

Son expression est P(−→F ) =

−→F · −→v

— Si P(−→F ) > 0, on dit que la force est motrice pour le mouvement en question : en effet, une puissance

reçue positive signifie que le système gagne de l’énergie du fait de la force, donc que la force aide aumouvement (tend à augmenter la norme v de la vitesse).

Cela se produit si l’angle (−→F ,−→v ) est aigu (entre −π/2 et π/2).

— Si P(−→F ) < 0, on dit que la force est résistante (elle tend à diminuer la norme v de la vitesse). Cela

se produit si l’angle (−→F ,−→v ) est obtus (supérieur à π/2 ou inférieur à −π/2).

— Si P(−→F ) = 0, on dit que la force ne travaille pas. Cela signifie que l’angle (

−→F ,−→v ) est droit.

Attention, cela ne signifie pas que la force n’a aucun effet sur le mouvement, mais qu’elle ne tend ni àaugmenter ni à diminuer la norme v de la vitesse.

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Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021 4. Énergie mécanique

−→F

−→v

P(−→F ) > 0

force motrice−→F

−→v

P(−→F ) < 0

force résistante −→v

−→F

P(−→F ) = 0

force qui ne travaille pas

3 Déplacement élémentaire

Soit un point M se déplaçant dans l’espace. Le vecteur déplacement est−−→OM où O est l’origine d’un repère

associé au référentiel d’étude du point M. Cette position dépendant du temps t, on note le vecteur déplacement−−→OM(t), et le point M(t).

La vitesse instantanée de ce point à la date t dans le référentiel d’étude est

−→v (t) = limτ→0

−−→OM(t+ τ) − −−→

OM(t)τ

En physique, on note également −→v (t) =d−−→OMdt

(t)

Il faut voir en fait cette notation bel et bien comme un quotient :— où la grandeur dt est un élément infinitésimal de temps, c’est-à-dire une durée que l’on peut choisir

aussi petite que l’on veut (dt joue le rôle du τ qui tend vers zéro dans l’expression précédente de −→v ) ;— du coup, puisque la durée dt est aussi petite que l’on veut, on sous-entend le passage à la limite et on

ne l’écrit pas ;

— et le vecteur d−−→OM est le déplacement élémentaire du point M à la date t : c’est la variation du vecteur

déplacement lorsque le point se déplace d’une position M(t) à la position M(t+ dt) très voisine :

d−−→OM(t) =

−−−−−−−−−−→M(t)M(t+ dt) =

−−→OM(t+ dt) − −−→

OM(t)

Ainsi, on peut écrire d−−→OM(t) = −→v (t) dt.

En coordonnées cartésiennes

x

y

z

d−−→OM

−→i

−→j

−→k

dz

dx

dy

d−−→OM =

dxdydz

d−−→OM = dx

−→i + dy

−→j + dz

−→k

En coordonnées cylindriques

x

y

z

d−−→OM

−→i

−→j

−→k

dr r dθθ

dz

d−−→OM =

drr dθdz

d−−→OM = dr−→ur + r dθ−→uθ + dz

−→k

4 Travail élémentaire d’une force

Le travail élémentaire d’une force−→F lors d’un déplacement élémentaire d

−−→OM du point sur lequel elle

s’applique est

δW(−→F ) =

−→F · d

−−→OM

Le travail élémentaire est l’énergie fournie au point du fait de la force lors du déplacement élémentaire d−−→OM.

On a aussi δW(−→F ) =

−→F · −→v dt donc δW(

−→F ) = P(

−→F ) dt

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5 Travail d’une force

Le travail d’une force−→F exercée sur un point M se déplaçant, le long d’un chemin donné, d’un point de

départ A à un point d’arrivée B, est l’énergie fournie au point du fait de la force lors de son déplacement. Ils’obtient comme l’intégrale des travaux élémentaires sur le chemin allant de A à B.

WAB(−→F ) =

∫ B

A

−→F · d

−−→OM ou encore WAB(

−→F ) =

∫ tB

tA

P(−→F ) dt

où tA est la date de passage du point M en A et tB la date de passage de M en B.Comme la puissance ou la vitesse, le travail dépend du référentiel d’étude.

La force−→F peut dépendre de la position du point et du temps. C’est le cas le plus général. Cependant, il y

a quelques cas particuliers.

6 Cas particulier d’une force constante

Une force constante−→F est une force ne dépendant ni du temps ni de la position.

WAB(−→F ) =

∫ B

A

−→F · d

−−→OM =

−→F ·∫ B

A

d−−→OM =

−→F ·[−−→OM

]B

A=

−→F ·(−→

OB − −→OA)

soit WAB(−→F ) =

−→F · −→

AB

Le travail d’une force constante sur un déplacement s’obtient donc simplement comme le produit scalaire dela force par le vecteur déplacement.

En notant α l’angle (−→F ,

−→AB), on peut donc écrire également pour une force constante

WAB(−→F ) = F AB cosα

Exemple : travail du poids

Le poids est−→P = m−→g , force constante verticale vers le bas. Le travail du poids entre deux points A et B

est WAB(−→P ) =

−→P · −→

AB. Avec un point C à la verticale de A et à l’altitude de B, la relation de Chasles donne

z A

BC

zB

zA

WAB(−→P ) =

−→P · (

−→AC +

−→CB) =

−→P · −→

AC +−→P · −→

CB

Or−→CB est horizontal et

−→P vertical, donc

−→P ·−→

CB = 0. Donc WAB(−→P ) =

−→P ·−→

AC soit,en choisissant un axe z vertical vers le haut pour repérer les coordonnées,

WAB(−→P ) = mg (zA − zB)

7 Cas particulier d’une force orthogonale au déplacement

Si la force−→F est en tout point orthogonale au déplacement d

−−→OM, alors elle ne travaille pas.

Exemple : travail d’une réaction normale dusupport lors d’un déplacement sur le support

A

B

−→R

WAB(−→R ) = 0

Exemple : travail de la tension du fil pour unpendule

−→T

AB

WAB(−→T) = 0

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czak


8 Cas particulier d’une force de frottements de norme constante

Une force de frottements−→f , qu’il s’agisse d’un frottement solide ou d’un frottement fluide, est toujours

opposée au déplacement. Donc−→f est colinéaire à −→v , de sens contraire. Par conséquent, il y a en permanence

un angle de π entre−→f et −→v , dont le cosinus est −1 : on peut donc écrire la puissance d’une telle force :

P(−→f ) = −f v

Lors d’un déplacement de A à B suivant une courbe donnée, on peut donc écrire le travail d’une telleforce :

WAB(−→f ) =

∫ tB

tA

−f v dt = −f∫ tB

tA

v dt

Or cette intégrale vaut précisément L, longueur du déplacement entre A et B en suivant la courbe. Ainsi,

WAB(−→f ) = −f L

9 Théorème de l’énergie cinétique – version intégrale

Maintenant que l’on a éclairci la notion de puissance d’une force, reprenons la version instantanée du théo-rème de l’énergie cinétique vue au début du chapitre. Elle s’écrit

dEc

dt=∑

i

P(−→Fi) ou encore

dEc

dtdt =

∑

i

P(−→Fi) dt

En intégrant entre les dates tA et tB de passage aux points A et B sur le trajet suivi par le point, on a∫ tBB

tA

dEc

dtdt =

∫ tB

tA

∑

i

P(−→Fi) dt soit [Ec]BA =

∑

i

∫ B

A

P(−→Fi) dt

D’où le théorème de l’énergie cinétique en version intégrale :

Ec(B) − Ec(A) =∑

i

WAB(−→Fi)

Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un point matériel au coursd’une translation est égale à la somme des travaux des forces qu’il subit.

II Énergies potentielles

1 Forces conservatives

Une force conservative est une force dont le travail entre deux points A et B est indépendant du cheminsuivi pour aller de A à B.

Toute force constante est conservative, puisque l’expression du travail d’une force constante ne fait pasintervenir le chemin suivi. Mais les forces conservatives ne sont pas nécessairement des forces constantes.

Exemple : travail de la force de rappel d’un ressort

−→i

−→F

xM La force de rappel exercée par le ressort de raideur k sur le point M,

pour une élongation x, s’écrit−→F = −k x−→

iSoient A et B deux positions différentes de M sur l’axe. Le travail de la force de rappel du ressort entre A

et B est

WAB(−→F ) =

∫ B

A

−→F · d

−−→OM =

∫ xB

xA

(−k x−→i ) · (dx

−→i )

soit WAB(−→F ) =

∫ xB

xA

−k xdx = −k[x2

2

]xB

xA

soit finalement WAB(−→F ) = −1

2k(xB

2 − xA2)

On constate que cette expression ne fait intervenir que les positions de A et B mais pas le chemin suivi entreA et B. La force de rappel d’un ressort est donc une force conservative.

45

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2 Définition d’une énergie potentielle

Soit−→F une force conservative. Son travail entre deux points A et B ne dépend pas du chemin suivi entre

A et B, mais seulement du point de départ A et du point d’arrivée B. La variation d’énergie du point matériel

peut donc se mettre sous la forme WAB(−→F ) = f(B) − f(A), où f est une fonction de la position.

On notera WAB(−→F ) = Ep(A) − Ep(B), où la fonction de la position est notée Ep(M), énergie potentielle

associée à la force conservative−→F .

Au niveau élémentaire, cela s’écrit δW(−→F ) =

−→F · d

−−→OM = −dEp.

Il faut comprendre la différence entre travail, qui est une énergie échangée lors d’un déplacement, et énergiepotentielle, fonction de la position du système en interaction avec son environnement.

Une énergie potentielle est toujours définie à une constante près car définie par ses variations.

3 Exemple : énergie potentielle de pesanteur

L’énergie potentielle de pesanteur est l’énergie que détient un système du fait de son interaction avec laTerre. En reprenant les notations utilisées pour le calcul du travail du poids, on écrit les variations de l’énergiepotentielle de pesanteur Epp entre deux points quelconques :

Epp(A) − Epp(B) = WAB(−→P ) = mg (zA − zB)

Par identification, on obtient ainsi l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur d’un point matérielde masse m à la position M dans le champ de pesanteur uniforme −→g :

Epp(M) = mg z + Cte

où z est une coordonnée verticale ascendante d’origine arbitraire. On peut donc choisir la constante de la manièrequi nous arrange, en définissant judicieusement l’origine des axes.

4 Exemple : énergie potentielle élastique

L’énergie potentielle élastique est l’énergie emmagasinée par un ressort lors d’une élongation. En reprenantles notations utilisées pour le calcul du travail de la force de rappel d’un ressort, on écrit les variations del’énergie potentielle élastique Epé entre deux positions A et B :

Epé(A) − Epé(B) = WAB(−→F ) =

12k(xA

2 − xB2)

D’où l’expression de l’énergie potentielle élastique emmagasinée par un ressort de raideur k pour uneélongation x :

Epé(x) =12k x2

On choisit de ne pas faire figurer de constante pour que cette énergie soit nulle lorsque le ressort a sa longueurà vide (x = 0).

5 Force conservative et énergie potentielle

On peut écrire dEp = −−→F · d

−−→OM. On voit une analogie formelle entre cette relation et une relation du

genre dx = vx dt. Cette dernière peut se mettre sous la forme vx =dxdt

. L’équivalent vectoriel fait intervenir

l’opérateur gradient, noté−−→grad . On note alors

−→F = − −−→

grad Ep

Et on dit que la force conservative−→F dérive de l’énergie potentielle Ep. Cela signifie

en cartésiennes−→F = −

∂Ep

∂x

∂Ep

∂y

∂Ep

∂z

et en cylindriques−→F = −

∂Ep

∂r

1r

∂Ep

∂θ

∂Ep

∂z

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La notation∂Ep

∂xse lit « dé rond Ep sur dé rond x » et désigne la dérivée partielle de la fonction Ep

(fonction de x, y, z et, pourquoi pas, t) par rapport à la seule variable x.

Application : énergie potentielle gravitationnelle

La force gravitationnelle subie par un corps de masse m ramenée à un point M, de la part d’un corps A demasse mA, situé à la distance r de M, a pour expression

−→F = −G mmA

r2

−→ur

où G est la constante de la gravitation universelle et −→ur un vecteur radial unitaire colinéaire à−−→AM et de même

sens. D’après ce qui précède et connaissant l’expression le gradient dans ce système de coordonnées (qui n’estpas cylindrique mais sphérique), on peut écrire que cette force dérive d’une énergie potentielle gravitationnelle

Epg, qui ne dépend que de r puisque−→F n’a de coordonnée que radiale, et écrire la relation suivante

−→F = − −−→

grad Epg = −dEpg

dr−→ur

Ainsi, on détermine Epg par la relation

−dEpg

dr= −G mmA

r2

d’où l’on obtient Epg = −GmmA

r+ Cte

La constante est généralement prise nulle de sorte que Epg tende vers zéro quand r tend vers l’infini.

III Énergie mécanique

1 Retour sur le théorème de l’énergie cinétique en version intégrale

Soit un système soumis à un ensemble de forces, certaines conservatives et d’autres non. Le théorème del’énergie cinétique s’écrit

Ec(B) − Ec(A) =∑

i∈cons

WAB(−→Fi) +

∑

i∈n. c.

WAB(−→Fi)

On désigne ici par cons l’ensemble des forces conservatives, par n. c. l’ensemble des forces non conservatives.Comme, pour chaque force conservative, on peut relier le travail à la variation de l’énergie potentielle

associée :

WAB(−→Fi) = − [Epi(B) − Epi(A)]

le théorème de l’énergie cinétique se transforme en

Ec(B) − Ec(A) = −∑

i∈cons

[Epi(B) − Epi(A)] +∑

i∈n. c.

WAB(−→Fi)

d’où(

Ec(B) +∑

i∈cons

Epi(B))

−(

Ec(A) +∑

i∈cons

Epi(A))

=∑

i∈n. c.

WAB(−→Fi)

2 Définition de l’énergie mécanique

On est ainsi conduit à définir l’énergie mécanique du système comme la somme de son énergie cinétiqueet de ses énergies potentielles :

Em(M) = Ec(M) +∑

i∈cons

Epi(M)

3 Théorème de l’énergie mécanique en version intégrale

Avec cette définition de l’énergie mécanique, le théorème de l’énergie cinétique réécrit plus haut prendl’expression suivante, connue sous le nom de théorème de l’énergie mécanique :

Em(B) − Em(A) =∑

i∈n. c.

WAB(−→Fi)

Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie mécanique d’un système en translationest égale à la somme des travaux des forces non conservatives qu’il subit.

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4 Théorème de l’énergie mécanique en version instantanée

Comme le théorème de l’énergie cinétique, le théorème de l’énergie mécanique a aussi une version instantanée :dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle de l’énergie mécanique est égale à la sommedes puissances des forces non conservatives qu’il subit.

dEm

dt=

∑

i∈n. c.

P(−→Fi)

Ainsi, on peut écrire le théorème de l’énergie mécanique dans sa version instantanée pour obtenir uneéquation différentielle du mouvement, sans passer par la deuxième loi de Newton.

5 Conservation de l’énergie mécanique

S’il n’y a pas de forces non-conservatives, ou si les forces non-conservatives subies par le système ne travaillentpas, alors l’énergie mécanique est constante.

C’est pour cela que l’on qualifie de conservatives les forces dont le travail ne dépend pas du chemin suivi, doncauxquelles on peut associer une énergie potentielle, fonction de la position. Les autres forces sont logiquementqualifiées de non-conservatives ou dissipatives car elles transforment l’énergie mécanique en une autre formed’énergie (le plus souvent thermique).

Les mouvements pour lesquels l’énergie mécanique est constante sont qualifiés de conservatifs.

Exercices 1 à 10, exercices résolus

IV Mouvement conservatif à un degré de liberté

1 Position du problème

On considère un système en mouvement conservatif (c’est-à-dire que son énergie mécanique est constante)à un degré de liberté (c’est-à-dire que l’on peut décrire avec une seule variable d’espace). Appelons x lavariable d’espace pour fixer les idées.

On peut écrire Em = Ec + Ep, où Em est une constante et Ec et Ep dépendent de x.La valeur de l’énergie mécanique est fixée par les conditions initiales sur la vitesse et la position. Le profil

Ep(x), lui, dépend des caractéristiques de l’interaction entre le système et son environnement. Imaginonsque le profil de Ep(x) soit le suivant.

Ep

x

Ep0

x0

E′

p0

x′

0

①

④

② ③

La question que l’on se pose est la suivante : connaissant le profil d’énergie potentielle selon lequel le systèmeévolue, comment connaître les positions d’équilibre du système et savoir si lesdites positions sont stables ;comment savoir dans quels états, entre quelles positions extrêmes, le système évolue.

2 États libres ou liés

Comme l’énergie cinétique Ec est positive ou nulle, alors les seuls états possibles sont ceux pour lesquelsEm > Ep. Il n’est pas possible d’envisager des conditions initiales faisant en sorte que Em soit inférieure à laplus petite valeur de Ep possible.

Le profil ci-dessus comporte une valeur minimale de Ep, notée Ep0, et un maximum local E′

p0.En fonction des valeurs de Em par rapport à ces valeurs caractéristiques de Ep, le système peut se trouver

dans un état lié ou libre. Sur le graphe ci-dessus, on a tracé plusieurs lignes horizontales représentant plusieursvaleurs possibles d’énergie.

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— Dans l’état ①, la position x a une valeur minimale, mais n’est pas limitée de l’autre côté. On dit que c’estun état libre puisque le point matériel peut s’éloigner indéfiniment de la position origine de x. L’énergiemécanique est supérieure à E′

p0.— Dans l’état ④, en revanche, la position x ne peut évoluer qu’entre deux valeurs extrêmes. On dit que

c’est un état lié. Dans le cas ci-dessus, c’est pour des énergies mécaniques négatives.— Il peut arriver que le caractère lié ou libre de l’état dépende non seulement de la valeur de l’énergie

mécanique, mais aussi de la valeur initiale de x. C’est le cas pour les états ② et ③ ci-dessus : ils ont lamême énergie mécanique, mais ② est un état lié, ③ est libre.

3 Positions d’équilibre

Si Em = Ep0, il n’y a qu’une seule position possible pour le système : x0. Le système est alors dans un étatd’équilibre : le système reste en x0 tant qu’on ne lui donne pas plus d’énergie.

C’est le cas aussi pour la position x′

0, d’énergie Em = E′

p0. En effet, si le système est mis en cette position-làsans énergie cinétique, alors il peut y rester.

Les positions d’équilibre sont donc les valeurs de x vérifiantdEp

dx= 0.

On voit que la position x0 est une position d’équilibre stable car si on donne au système dans cetteposition un peu d’énergie supplémentaire, il tend à osciller autour de cette position (état lié). S’il y a un peude dissipation d’énergie mécanique, on comprend que le système tend à retourner à cette position d’équilibreau cours de ses oscillations. En revanche, x′

0 est une position d’équilibre instable, car si l’on donne un peuplus d’énergie au système dans cette position, il n’est plus lié.

4 Stabilité ou instabilité d’une position d’équilibre

D’après la formule de Taylor, on peut développer l’expression de l’énergie potentielle autour d’une positionx0 quelconque de la manière suivante :

Ep(x) = Ep(x0) + (x− x0)dEp

dx(x0) +

(x− x0)2

2d2Ep

dx2(x0) + ...

Si x0 est une position d’équilibre, alorsdEp

dx(x0) = 0. En notant Ep0 = Ep(x0) et

d2Ep

dx2(x0) = D0, on peut

donc écrire

Ep(x) = E0 + D0(x− x0)2

2+ ...

Si l’on considère que l’on ne s’éloigne pas trop de la position x0, c’est-à-dire si x − x0 est suffisammentpetit, alors les termes non-écrits du développement (dans les points de suspension) sont au moins de puissancetrois en (x − x0), donc d’un ordre de grandeur inférieur. On considérera dans la suite que l’on peut limiter ledéveloppement au terme de puissance deux.

L’énergie mécanique est donc

Em = Ec + Ep soit12mx2 + Ep0 +

12

D0 (x− x0)2 = Em

En posant X = x− x0, ceci devient

12m X2 +

12

D0 X2 = K avec K = Em − Ep0

Après dérivation temporelle et simplification par X (non identiquement nul sauf aux positions d’équilibre),il vient

m X + D0 X = 0

Deux cas se présentent alors.— Si D0 est positive, alors on obtient une équation harmonique, dont la solution est une oscillation

sinusoïdale de la fonction X autour de 0, donc de x autour de la position d’équilibre x0. La pulsation estalors ω0 =

√

D0/m.— Si D0 est négative, on n’a pas affaire à une équation harmonique. Les solutions sont des exponentielles

réelles, fonctions divergentes.On retrouve le résultat obtenu graphiquement plus haut :

sid2Ep

dx2(x0) > 0 l’équilibre est stable en x0 ; si

d2Ep

dx2(x0) < 0 l’équilibre est instable en x0.

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V Complément : mécanique céleste

1 Dynamique du mouvement

On étudie un objet céleste S de masse m en mouvement au voisinage d’un astre attracteur O de masse M.Le référentiel d’étude est le référentiel astrocentrique.

On admettra que le mouvement est plan et on repèrera dans le plan la position de S par ses coordonnéespolaires (r, θ).

L’objet subit uniquement la force gravitationnelle due à l’astre,−→F = −G mM

r2

−→ur, en coordonnées polaires.

La deuxième loi de Newton s’écrit donc m−→a =−→F d’où, en projection sur les deux vecteurs de la base polaire

ar = r − r θ2 = −G Mr2

et aθ = 2 r θ + r θ = 0

C’est la première égalité qu’il faudrait résoudre, ce que nous n’allons pas faire ici. Considérons la deuxièmeet multiplions-la par r : cela donne 2 r r θ + r2 θ = 0. On reconnaît dans le membre de gauche la dérivée de

r2 θ. Cette égalité s’écrit doncd(r2 θ)

dt= 0. On en déduit que cette grandeur r2 θ est une constante au cours du

mouvement. Nommons-la C = r2 θ.

L’expression de la vitesse est −→v = r−→ur + r θ−→uθ. On peut donc l’écrire −→v = r−→ur +Cr

−→uθ.

2 Énergies

L’énergie cinétique de l’objet céleste est

Ec =12mv2 =

12m r2 +

12m

C2

r2

Comme l’énergie potentielle gravitationnelle Ep vérifie−→F = − −−→

grad Ep, on en déduit que

−dEp

dr= −G mM

r2d’où Ep = −G mM

r+ k

Choisissons la constante nulle de sorte que lorsque l’objet est très loin de l’astre, l’énergie potentielle d’in-teraction gravitationnelle est nulle. On a donc

Ep = −G mMr

L’énergie mécanique s’écrit donc Em =12m r2 +

12m

C2

r2− G mM

r

de la forme Em =12m r2 +

Ar2

− Br

où A et B sont positives

On se ramène à l’étude d’un système à un degré de liberté r, comme précédemment.

3 États et trajectoires

En fonction de la valeur de l’énergie mécanique, on peut donc avoir :

— un état libre ①, où l’objet cé-leste vient interagit avec l’astremais peut s’en éloigner indéfini-ment (dans ce cas-là, les trajec-toires sont des hyperboles) ;

— un état lié ②, où l’objet célesteoscille autour de l’astre attrac-teur (c’est un satellite de cetastre), entre deux valeurs ex-trêmes de r. C’est alors un mou-vement elliptique conformémentà la première loi de Kepler.

Ar2

− Br

r

Ep0

r0

①

②

La position où Em = Ep0 est celle où r reste constante : le mouvement du satellite est circulaire. Attention,en cette position, l’énergie cinétique n’est pas nulle, seule l’énergie cinétique radiale (proportionnelle à r2) l’est.

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czakExercices résolus

Méthode

Le début de la résolution d’un problème de mécanique est toujours le même. Au moment d’appliquer une loide la mécanique, on peut opter pour les théorèmes énergétiques lorsque la connaissance des aspects temporelsn’est pas nécessaire.

On utilisera ici indifféremment le théorème de l’énergie cinétique ou le théorème de l’énergie mécanique. Ilest toujours conseillé de faire des schémas (que l’on ne fera pas ici faute de place).

Énoncés


Cet exercice est la reprise d’un exercice déjà donné dans le chapitre de dynamique.

Pour déterminer un coefficient de frottement de glissement, on réalise un dispositif d’étude avec une tablehorizontale : on pose sur la table un objet de masse m, à l’aide d’une ficelle de masse négligeable, on relie l’objetà une masselotte de masse m′ par l’intermédiaire d’une poulie pouvant tourner sans frottements. La masselottependouille verticalement et peut tomber d’une hauteur h. Ainsi, l’objet est entraîné pendant une distance h surla table avec une force constante que l’on supposera de norme m′ g. Puis il parcourt encore une distance d avantde s’arrêter.

Toute action de l’air est négligée.

Déterminer le coefficient de frottement µ entre l’objet et la table en fonction dem′

met de

d

h.

2 De branche en branche

Une étudiante en architecture, de masse m = 70 kg avec armes et bagages, envisage une situation où elleest sur une branche, tenant sa liane tendue. La liane a une longueur L = 7,1 m et elle la tient initialementinclinée à 45. Elle veut atteindre un point situé à une distance horizontale D = 11,8 m d’elle et à une hauteurh = 3,00 m plus haut qu’elle.

Toute action de l’air sera négligée.

a. Déterminer la vitesse initiale (tangente à sa trajectoire) qu’elle doit avoir au minimum pour arriver à sonbut. On donne g = 9,80 m.s−2.

b. Malheureusement, l’étudiante se donne une vitesse deux fois plus grande que la vitesse calculée à la questionprécédente. Du coup, elle dépasse la branche d’arrivée et continue à tourner, sa liane dépassant la positionhorizontale. Lorsqu’elle arrive à son point le plus haut, elle lâche la liane et retombe en ligne droite. Sachant quesa branche de départ se situait à une hauteur z0 = 15,0 m au-dessus du sol, déterminer la vitesse de l’étudianteà l’arrivée au sol.

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czak


Corrigés


Il y a plusieurs manières de répondre à cette question. La plus expéditive est la suivante.On étudie d’abord l’objet dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Il subit son poids m−→g , la réaction

normale du support−→N , les frottements solides

−→f et la tension de la fichelle

−→T .

La deuxième loi de Newton s’écrit m−→a = m−→g +−→N +

−→f +

−→T et donne, en projection sur un axe perpendi-

culaire à la table, N = mg. Tant qu’il y a glissement, f = µN, donc f = µmg.On étudie ensuite l’ensemble objet+masselotte dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Ce système

subit son poids m−→g +m′ −→g , conservatifs la réaction normale du support sur l’objet−→N et les frottements solides

−→f , non-conservatifs.

Appliquons le théorème de l’énergie mécanique entre le point A (départ arrêté) et le point B (arrêt del’objet) :

Em(B) − Em(A) = WAB(−→N) + WAB(

−→f )

L’énergie cinétique étant nulle en A et en B puisque le système est immobile. La variation d’énergie mécaniqueest donc égale à la variation d’énergie potentielle de pesanteur du système, égale à −m′ g h puisque seule lamasselotte de masse m′ voit son altitude varier, de −h.

La réaction normale du support ne travaille pas et le travail des frottements, force de norme constante, estsimplement −f (h+ d) puisque la distance totale parcourue par l’objet est h+ d.

D’où −m′ g h = −µmg (h+ d) puis µ =m′ h

m (h+ d)=m′

m

1

1 +d

h

2 De branche en branche

a. On étudie l’étudiante de masse m, ramenée à son centre de gravité, dans le référentiel terrestre supposé

galiléen. Elle subit son poids−→P , vertical et vers le bas, de norme P = mg, et la tension du fil

−→T , parallèle au

fil et dirigée vers le point d’attache, de norme T inconnue.On note A son point de départ, E son point d’arrivée. Le théorème de l’énergie cinétique entre A et E s’écrit

Ec(E) − Ec(A) = WAE(−→P ) + WAE(

−→T)

En A elle se donne une vitesse −→vA, perpendiculaire à sa liane. On veut que cette vitesse soit suffisante pourarriver en E, donc on cherche vA telle qu’en E, l’étudiante ait une vitesse nulle, donc une énergie cinétique nulle.Le travail de la tension de la liane est nul puisque la tension de la liane est orthogonale au déplacement. Le

travail du poids vaut, lui, WAE(−→P ) = −mg h. Le théorème de l’énergie cinétique devient donc

0 − 12mvA

2 = −mg h+ 0

ce qui donne vA =√

2 g h = 7,67 m.s−1

b. L’étudiante espiègle a donc une vitesse initiale valant le double de celle que l’on vient de calculer, notéev′

A = 15,3 m.s−1. On note G le point d’arrivée au sol et on appelle vG la vitesse à l’arrivée au sol. Le trajetentre A et G est complexe mais la seule force qui y travaille est le poids de l’étudiante. La différence d’altitude

étant z0, on écrit WAG(−→P ) = mg z0. Le travail de

−→T , force qui n’existe qu’entre A et le point le plus haut

où l’étudiante lâche la liane, est nul de toutes façons puisque quand la force existe elle est perpendiculaire à latrajectoire. Le théorème de l’énergie cinétique entre A et G s’écrit

Ec(G) − Ec(A) = WAG(−→P ) + WAG(

−→T)

ce qui donne12mvG

2 − 12mv′

A2 = mg z0

d’où l’on extrait vG =√

2 g z0 + v′

A2 = 23,0 m.s−1

On pouvait évidemment décomposer l’étude en deux parties, ce qui est peut-être plus naturel, mais plus long.

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czakExercices

1 À l’aéroport

Au service de tri des bagages d’un aéroport, une valise de masse m = 12 kg est posée sur un tobogganrectiligne incliné de α = 30 par rapport à l’horizontale. La valise glisse vers le bas, à vitesse constante, sur untrajet AB de longueur ℓ = 6,0 m.

Calculer les travaux de chacune des forces s’exercant sur la valise lors de ce déplacement et dire s’il estmoteur ou résistant. Comparer les valeurs obtenues et commenter.

2 Pendule pesant

On assimile un pendule à une ficelle inextensible sans masse restant toujours tendue, accrochée à un pointfixe autour duquel elle peut tourner sans frotter. Y est attaché un objet de masse m sur lequel on négligeral’influence de l’air. On notera L la longueur du pendule (entre le point d’attache fixe et le centre de gravité del’objet).

a. L’objet est lâché sans vitesse initiale, le pendule faisant par rapport à la verticale un angle θ0. Déterminer lavitesse de l’objet lorsque le pendule passe par la verticale et déterminer l’angle auquel il va remonter de l’autrecôté.

b. L’objet est initialement à sa position d’équilibre verticale et on lui donne une vitesse initiale horizontale v0.Déterminer l’angle θmax que fera au maximum le pendule avec la verticale. Déterminer la vitesse minimale àdonner pour que le pendule fasse un tour complet.

3 Tarzan

Tarzan, accroché à une liane tendue pendant d’une branche, s’élance d’un rocher en se donnant une vitesseinitiale −→v0 , perpendiculaire à la liane. Au plus bas de son mouvement, son centre d’inertie est à une hauteur hen-dessous de sa position de départ.

On notera m la masse de Tarzan et g l’intensité de la pesanteur.

a. Déterminer la vitesse de Tarzan lorsqu’il passe à la position la plus basse de son mouvement.

b. Déterminer l’altitude maximale que Tarzan pourra atteindre de l’autre côté.

c. S’il veut atteindre le rocher d’en face, situé à la hauteur h′ au-dessus de sa position la plus basse, quellevitesse initiale v′

0 doit-il avoir ?

4 Au ski (encore)

Un skieur de masse m aborde une descente. Il prend tout d’abord de la vitesse, puis aborde, avec une vitessev0 une piste verglacée considérée comme un plan incliné d’un angle θ par rapport à l’horizontale, de longueurL1, où tous les frottements seront négligés. À l’issue de cette piste verglacée, il a une vitesse v1. Il passe alorsdans une zone de neige molle, non plane, où il y a des frottements que l’on considérera comme constants, denorme f . Cette zone a une longueur totale L2 et présente un dénivelé h. La vitesse acquise par le skieur arrivéen bas est v2. Toute action de l’air sera négligée.

Déterminer les expressions de v1 et v2. Les calculer avec m = 100 kg, v0 = 10 m.s−1, g = 10 m.s−2, θ = 30,f = 200 N, L1 = 30 m, L2 = 200 m, h = 40 m.

5 Dépannage

Une voiture est remorquée par une dépanneuse qui accroche un câble à l’avant de la voiture et en soulèvel’avant. Le câble fait un angle α avec l’horizontale. Le dépanneur démarre en trombe sur le sol horizontal et

53

© S

. Ant

czak


atteint, au bout d’une distance L parcourue en ligne droite, une vitesse v1. Il s’exclame alors « Quand j’ai pasde voiture à traîner, au bout de cette distance L je vais à v′

1 ! ».On appellera mv la masse de la voiture, md la masse de la dépanneuse et du câble. On supposera constante

la norme T de la tension du câble. Les frottements−→f subis par la voiture ne le sont pas.

a. On appelle WL(−→f ) le travail des frottements subis par la voiture lors de ce déplacement. Déterminer une

relation entre mv, v1, T, L, α et WL(−→f ).

b. Justifier que Wmot, travail des frottements exercés par le sol sur la dépanneuse, est positif.

c. En étudiant la dépanneuse, écrire une relation entre md, v1, T, α, L et Wmot.

d. En faisant de même lorsque la dépanneuse ne tracte rien, écrire une relation entre md, v′

1 et Wmot.

e. Déduire des deux questions précédentes que T =md

2 L cosα

(

v′

12 − v1

2)

.

f. Montrer que WL(−→f ) =

12mv v1

2 − 12md

(

v′

12 − v1

2)

.

g. Calculer T et WL(−→f ) avec les valeurs suivantes : mv = 1,0×103 kg, md = 4,0×103 kg, α = 60, L = 100 m,

v1 = 10 m.s−1, v′

1 = 12 m.s−1.

6 Le funiculaire

Le funiculaire de Fourvière comporte deux wagons de masses à vides identiques m0. Ils se croisent à mi-penteau point C et sont reliés par un câble de longueur constante par l’intermédiaire d’une poulie placée au sommet.

On appelle h la dénivellation totale entre la gare du haut et celle du bas, L la longueur de la piste rectiligneentre les deux gares. On appelle v la vitesse atteinte à mi-pente par les wagons, au moment où ils se croisent.

On supposera dans cet exercice qu’il n’y a aucun frottement. Par conséquent, la poulie transmet intégralementla tension du câble.

Le wagon 1 part du bas (point A) sans vitesse initiale, avec une masse m1 de voyageurs. Le wagon 2 partdu haut (point B) sans vitesse initiale, avec une masse m2 de voyageurs.

a. On appelle W1 le travail de la force exercée par le câble sur le wagon 1 lors de son déplacement de A à C. Onappelle W2 le travail analogue pour le wagon 2. En détaillant le raisonnement, écrire, pour chacun des wagons,une relation exprimant la vitesse v en fonction de ces travaux et d’autres paramètres du problème.

b. Montrer que W1 = −W2. En déduire une relation exprimant v en fonction de m0, m1, m2, g et h.

c. Déterminer une condition que doivent vérifier m1 et m2 pour que les wagons démarrent.

d. Sachant que m0 = 3,5 t, m1 = 1,45 t, m2 = 1,55 t, h = 100 m et g = 10 N.kg−1, calculer v.

7 À la fête foraine

Dans une fête foraine, un jeu pour tester sa force est com-posé d’un chariot, que l’on pousse sur une piste rectiligne ethorizontale de longueur L, entre O et A. Le chariot abordeensuite une piste en quart de cercle vertical, de centre C etde rayon R, terminée par une butée B.

O A

B

R

C

❯

On suppose que la force exercée par le lanceur entre O et A est constante, notée−→F .

a. En négligeant les frottements, déterminer la force minimale F à exercer pour atteindre la butée.Avec m = 4,0 kg, L = 80 cm, R = 2,5 m et g = 10 m.s−2, calculer sa valeur. Commenter.

b. Si on considère à présent qu’une force de frottements−→f de norme constante s’exerce tout au long du trajet,

déterminer la valeur minimale de F à exercer pour atteindre la butée. Calculer sa valeur avec f = 5,0 N.Commenter.

8 Rebonds

La courbe ci-dessous représente l’énergie potentielle de pesanteur d’une balle de tennis de masse m = 57 glâchée sans vitesse initiale d’une hauteur z0 au-dessus du sol.

La norme du champ de pesanteur, supposé uniforme, est g = 9,81 m.s−2.

54

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. Ant

czak


a. La balle est-elle conforme aux normes selon lesquelles « Le rebond de la balle tombant d’une hauteur de254,00 cm sur une surface plane et dure doit être au minimum de 134,62 cm et inférieur à 147,32 cm » ?

b. En détaillant le raisonnement effectué, compléter le graphe en ajoutant les courbes représentant l’énergiecinétique Ec et l’énergie mécanique Em de la balle au cours de son mouvement.

c. Déterminer la vitesse de la balle à son arrivée au sol.

d. Calculer la proportion η de l’énergie mécanique qui subsiste après un rebond. Sous quelle forme l’énergiemécanique est-elle dissipée ?

e. Montrer que la balle atteint la hauteur maximale zn = ηn z0 après le ne rebond. En considérant qu’elle nerebondit plus si le rebond fait moins de 5,0 mm, déterminer le nombre de rebonds effectués.

9 Balistique

On considère un objet de masse m, projeté d’une hauteur h0 au-dessus du sol avec une vitesse −→v0, inclinéed’un angle θ0 par rapport à l’horizontale. Toute action de l’air sera négligée. Dans la suite, on n’utilisera pas ladeuxième loi de Newton.

a. Montrer que la vitesse horizontale de l’objet est une constante valant v0x = v0 cos θ0.

b. En déduire une expression de la hauteur maximale h1 au-dessus du sol atteinte par l’objet.

c. L’objet touche le sol au point B. Exprimer la norme de la vitesse v1 de l’objet arrivant en B.

d. Montrer que l’angle θ1 entre la vitesse −→v1 et l’horizontale vérifie cos θ1 =v0 cos θ0

√

v02 + 2 g h0

.

e. On suppose que l’objet rebondit en perdant une certaine proportion de son énergie cinétique. On noteradonc l’énergie cinétique après rebond, Ec(B+), comme une proportion η de l’énergie cinétique avant rebond,Ec(B−) : on écrit Ec(B+) = ηEc(B−), avec 0 6 η 6 1. On suppose d’autre part que l’objet rebondit avec le

même angle, mais vers le haut : il quitte donc le sol avec une vitesse−→v′

1 inclinée de l’angle θ1 par rapport àl’horizontale, mais vers le haut cette fois.Exprimer v′

1 en fonction de η, v0, g et h0.Montrer que la vitesse horizontale est v′

1x =√η v0 cos θ0.

Montrer que la hauteur maximale h2 atteinte par le projectile au-dessus du sol peut s’écrire h2 = η h1.

55

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. Ant

czak


En supposant qu’à chaque rebond la hauteur atteinte par le projectile est multipliée par η, et que l’on considèreque l’objet est une balle de rayon R, donc qu’on ne peut plus dire que l’objet rebondit si la hauteur maximaleatteinte est inférieure à R, déterminer le nombre de rebonds maximal avec θ0 = 45, g = 10 m.s−2, v0 =10 m.s−1, h0 = 2,0 m, η = 0,50 et R = 10 cm.

10 Saut à l’élastique

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

t (s)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

E (

J)

a

b

c

d

Pour se préparer à son saut à l’élastique, un étudiant en architecture dingue des maquettes a construit unmodèle réduit, composée d’un solide de masse m = 100 g accroché à un élastique relié par son autre extrémitéà un point fixe. La première partie de la chute du solide est libre, puis l’élastique se tend et agit.

À l’aide d’un dispositif d’une ingéniosité débridée, il enregistre les positions successives du solide et en déduitles différentes énergies mises en jeu lors de ce mouvement : l’énergie cinétique du solide Ec, son énergie potentiellede pesanteur Epp, l’énergie potentielle élastique du système solide-élastique Eé et l’énergie mécanique Em.

On prend g = 10 N.kg−1.

a. Attribuer à chacune des courbes l’énergie qui lui correspond.

b. Justifier que les frottements sont négligeables et que le solide est lâché sans vitesse initiale.

c. Déterminer la durée de la phase de chute libre et la longueur de l’élastique non étiré.

d. Recopier ces courbes et les prolonger en donnant leur allure jusqu’à t = 2 s.

56

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. Ant

czakChapitre 5

Statique du solide

Pour la mécanique, un solide est un ensemble de points liés les uns aux autres de manière indéformable.Beaucoup d’objets étudiés en mécanique jusqu’à présent sont des solides, mais on pouvait se contenter de fairede la mécanique du point en réduisant un solide à un point particulier, souvent son centre d’inertie.

Mais en faisant cela, on perdait l’information des rotations du solide sur lui-même, si le solide est effecti-vement en rotation. Et même lorsque le solide est immobile, on perd l’information de l’équilibre en rotationdu solide : quelles forces l’empêchent de tourner dans un certain sens, quelles forces l’y poussent au contraire,où ces forces s’appliquent...

Dans ce chapitre, on ne fera que de la statique, avec l’étude des solides immobiles, mais cela nécessite lanouvelle notion de moment d’une force et donc l’outil mathématique produit vectoriel de deux vecteurs.

Il faut donc commencer par consulter l’Annexe D pour sa partie sur les produits vectoriels.

Pont ferroviaire de l’estuaire de la Forth, près d’Édimbourg, achevé en 1890 :

les architectes de ce pont ont dû gérer le porte-à-faux pour que rien ne bascule...

Photo C. Ursini 2016

57

© S

. Ant

czak

5. Statique du solide Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021

I Moment d’une force

1 Définition du moment d’une force en un point

Soit un point matériel M en lequel s’applique une force−→F . Le moment de

−→F en un point O est

−→MO(−→F ) =

−−→OM ∧ −→

F

C’est un vecteur orthogonal à la fois à−−→OM et à

−→F . Son sens s’obtient à l’aide de la règle des trois doigts

de la main droite. Sa norme, exprimée en newton-mètre (N.m) vaut

MO(−→F ) = OM × F ×

∣∣∣∣∣sin(

−−→OM,

−→F )

∣∣∣∣∣

Cas particuliers

Si la force est radiale, alors−−→OM et

−→F sont colinéaires, donc leur produit vectoriel est nul : le moment

par rapport à un point d’une force radiale est nul.

Si la force est orthoradiale, alors−−→OM et

−→F sont orthogonaux. L’angle entre les deux est donc π/2, de

sinus égal à 1. La norme du moment est donc simplement égale à OM × F.

2 Bras de levier

On se place dans le plan contenant O, M et le vecteur−→F . On note θ l’angle

−−→OM,

−→F .

On représente le vecteur force−→F en son point d’application M. La droite (M,

−→F ) formée est

nommée droite d’action de la force−→F s’appliquant au point M.

On construit le projeté orthogonal de O sur la droite d’action, que l’on nomme H.

O

M

−→F

−→MO(−→F )

droite d’action

θ

H

d

Conventionspour les vecteursorthogonaux à la feuille :

vers le lecteur

vers le fond

Or, OH = OM sin θ puisque le triangle OMH est rectangle en H et puisque l’angle OMH

n’est autre que θ. La norme du moment de−→F par rapport à O est donc

MO(−→F ) = OM × F × sin θ = OH × F

En notant d la distance OH, on a montré que MO(−→F ) = F d, où d est appelé bras de

levier. C’est la distance entre le point O et la droite d’action de la force. Par conséquent,

norme du moment = norme de la force × bras de levier

3 Transport des moments

Soit O′ un point différent de O. On cherche à exprimer le moment de la force−→F , appliquée

en M, par rapport à O′, en fonction du moment de cette force par rapport à O.

−→MO′(−→F ) =

−−→O′M ∧ −→

F =(−−→

O′O +−−→OM

)

∧ −→F =

−−→O′O ∧ −→

F +−−→OM ∧ −→

F

d’où la relation suivante, nommée théorème de transport des moments :

58

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czak

Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021 5. Statique du solide

−→MO′(−→F ) =

−−→O′O ∧ −→

F +−→MO(

−→F )

4 Moment d’une force par rapport à un axe

Soit une droite ∆ prise comme axe et −→u un vecteur unitaire orientant cette droite. La projection sur ∆ du

moment−→MO(

−→F ) (avec O ∈ ∆) est appelée moment par rapport à l’axe ∆ de la force

−→F et notée M∆(

−→F ) :

M∆(−→F ) =

−→MO(−→F ) · −→u

C’est une quantité scalaire exprimée en newton-mètre. Elle peut être positive ou négative.

∆

O

O′

M

−→F

−→u

Le moment de−→F par rapport à ∆ ne dépend pas du point O

choisi sur ∆. En effet, en considérant un autre point O′ sur la droite∆, on écrirait

M∆(−→F ) =

−→MO′(−→F ) · −→

u =[−−→O′O ∧ −→

F]

· −→u +

−→MO(−→F ) · −→

u

d’après le théorème de transport des moments. Or,−−→O′O ∧ −→

F est

orthogonal à−−→O′O, donc à −→

u , donc le premier terme du membre dedroite est nul. Il vient donc

−→MO′(−→F ) · −→

u =−→MO(

−→F ) · −→

u

ce qui permet bien de définir M∆(−→F ) indépendamment du point

O choisi sur l’axe ∆.

5 Couple

Soit un solide soumis à un couple de forces−→F1 et

−→F2 opposées l’une à l’autre (

−→F2 = −−→

F1) appliquéesrespectivement en des points M1 et M2. La somme des moments en un point quelconque de ces deux forces estappelée moment du couple ou couple tout court et vaut

−→Γ =

−−−−→M2M1 ∧ −→

F1 =−−−−→M1M2 ∧ −→

F2

Cela correspond en particulier aux situations où un axe fait tourner un solide.

6 Exemples : on dévisse !

−→i

−→k

−→j

O

M

∆

−→F

d

−→i

−→k

−→j

O

M

∆−→F

dH

h

−→i

−→k

−→j

O

M1

M2

∆−→F1 =

−→F

2

−→F2 = −

−→F

2

dd H

h

Source : twenga.fr−→MO(−→F ) =

−−→OM ∧ −→

F

= d F−→k

M∆(−→F ) = d F

−→MO(−→F ) =

(−→OH +

−−→HM

)

∧ −→F

=(

h−→k + d

−→i

)

∧ F−→j

= −F h−→i + d F

−→k

moment debasculement

−→MO(−→F1) +

−→MO(−→F2)

=(

h−→k + d

−→i

)

∧ F

2

−→j

+(

h−→k − d

−→i

)

∧ −F

2

−→j

= d F−→k

M∆(−→F ) = d F

59

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. Ant

czak


La clé à pipe peut s’avérer nécessaire pour atteindre la vis, mais l’action de−→F comporte un

moment de basculement, qui n’existe pas lorsqu’on applique un couple à l’aide de la clé en T.

II Équilibre d’un solide indéformable

1 Théorème fondamental de la statique du solide

Dans un référentiel donné, un solide est dit à l’équilibre si :— son centre d’inertie est au repos ou en mouvement rectiligne et uniforme dans le référentiel d’étude ;— ET le solide ne tourne pas sur lui-même ou tourne sur lui-même avec une vitesse de rotation constante.Remarque : on ne définira pas proprement ici ce que signifie « tourner sur soi-même » pour un solide.

Théorème fondamental de la statique du solide parfait : un solide indéformable est à l’équilibredans un référentiel galiléen si et seulement si la somme des forces extérieures ET la somme deleurs moments en un un point sont nulles.

équilibre ⇐⇒ ∑

i

−→Fi =

−→0 et

∑

i

−→MO(−→Fi) =

−→0 pour tout O

2 Indifférence du point par rapport auquel on calcule les moments

Lorsque le solide est à l’équilibre, peu importe le point O en lequel les moments des forces sont évalués pourécrire l’égalité d’équilibre en rotation.

En effet, supposons un solide à l’équilibre, donc pour lequel∑

i

−→Fi =

−→0 et

∑

i

−→MO(−→Fi) =

−→0

pour un point O particulier donné.Montrons que la somme des moments est également nulle par rapport à tout autre point O′.

Pour cela, calculons la somme des moments par rapport à un point O′ en utilisant le théorèmede transport des moments :

∑

i

−→MO′(−→Fi) =

∑

i

[−−→O′O ∧ −→

Fi +−→MO(

−→Fi)

]

=−−→O′O ∧

∑

i

−→Fi

︸︷︷︸

−→0

+∑

i

−→MO(−→Fi)

︸︷︷︸

−→0

donc∑

i

−→MO′(−→Fi) =

−→0 ce qu’il fallait démontrer.

3 Conséquence : concours des droites d’action des forces

On rappelle que la droite d’action d’une force est la droite ayant la force pour direction et passant par lepoint d’application de la force.

Lorsque le solide est à l’équilibre, les droites d’action des forces subies par le solide sont concourantes.

Pour le démontrer, procédons par l’absurde pour un solide soumis à trois forces−→F1,

−→F2 et

−→F3. Supposons le

solide à l’équilibre, mais supposons également que les droites d’action des trois forces ne sont pas concourantes.

Soit O le point de concours des droites d’action de−→F1 et

−→F2 et M le point d’application de

−→F3. Les moments

de−→F1 et

−→F2 par rapport à O sont nuls puisque O est sur la droite d’action de chacune de ces deux forces. Le

moment de−→F3 par rapport à O est simplement

−−→OM ∧ −→

F3.L’équilibre en rotation du solide dit que la somme des moments de ces trois forces par rapport à O est nulle,

donc que−−→OM ∧ −→

F3 est nul. Ceci n’est possible que si−→F3 est colinéaire à

−−→OM, donc si (OM) est bien la droite

d’action de−→F3, ce qui est faux par hypothèse.

On aboutit à une contradiction, donc l’hypothèse de départ est fausse. On en conclut que si ce solide est àl’équilibre, alors les droites d’action des forces qu’il subit sont concourantes.

Ceci se généralise à un nombre quelconque de forces par récurrence. Exercices 1 à 9

60

© S

. Ant


Point méthode

En statique du solide, souvent, dans les cas simples,— toutes les forces exercées sur le système sont coplanaires ;— le but de l’exercice est de déterminer les composantes des forces de contact (tensions de fils, réactions de

support normales ou tangentielles).Dans ces cas-là, il faut procéder comme en mécanique du point, en ajoutant l’équilibre en rotation. Alors :— l’équilibre en translation (première loi de Newton) donne deux relations (relation vectorielle projetée

sur les deux axes du plan contenant toutes les forces) ;— l’équilibre en rotation (somme des moments nulle) donne une relation (tous les moments sont coli-

néaires, on peut directement travailler en utilisant les bras de levier).

Lorsque le problème est paramétrisé, il faut :— compter les inconnues du problème (normes des forces souvent, parfois paramètres géométriques comme

des angles, etc.) ;— compter les équations disponibles : équilibre en rotation, en translation, lois de frottement, de Hooke...Pour pouvoir résoudre le problème, il faut avoir autant d’équations que d’inconnues !

Lorsqu’il est question de frottement, on peut être amené à étudier la limite de glissement.On rappelle que la loi de Coulomb de frottement statique s’écrit F 6 µ0 N, où F est la norme de la réaction

tangentielle (frottement solide), N la norme de la réaction normale et µ0 le coefficient de frottement statique.Pour qu’il n’y ait pas de glissement, cette inégalité doit être vérifiée. À la limite du glissement, F = µ0 N.

Pour un système composite, on peut étudier des sous-systèmes. Attention à ne pas ajouter d’inconnues !

Énoncé

Un cube homogène de côté a et de masse m est campé contre un mur vertical, une arête étant entièrementen contact avec le mur et une autre avec le sol horizontal. La face du bas fait un angle α avec l’horizontale.

On supposera que les frottements entre le cube et le mur sont négligeables, et on notera µ0 le coefficient defrottement statique entre le cube et le sol. Toute action de l’air sera négligée.

On peut montrer que les coordonnées du centre de gravité G du cube sont (b, b) où b =a

2(cosα+ sinα).

Ox

y

α

Ga

a

A

B

a. Étudier l’équilibre du cube de manière à écrire les normes de toutes les forces qu’il subit en fonction de m,α, et g norme du champ de pesanteur.

b. Montrer que le cube ne glisse pas tant que tanα >1

2µ0 + 1.

c. Pourquoi y a-t-il cette autre condition d’équilibre : tanα 6 1 ? L’équilibre est-il toujours possible ?

d. Calculer les valeurs de α possibles pour µ0 = 0,2.

61

© S

. Ant

czak


Corrigé

a. On étudie le cube dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Il subit :

— son poids−→P = m−→g appliqué en G ;

— la réaction normale du mur−→NB, appliquée en B ;

— la réaction normale du sol−→NA, appliquée en A ;

— les frottements solides du sol−→F , appliqués en A.

Ox

y

α

Ga

a

A

B−→NB

−→F

−→P

−→NA

La première loi de Newton donnant l’équilibre en translation s’écrit

−→P +

−→NA +

−→F +

−→NB =

−→0

ce qui donne NB = F et NA = mg en projection sur les axes.

L’équilibre en rotation par rapport à O s’écrit

−→OB ∧ −→

NB +−−→OG ∧m−→g +

−→OA ∧ −→

NA =−→0

d’où −NB a sinα−mga

2(cosα+ sinα) + NA a cosα = 0

ce qui, compte tenu du fait que NA = mg, donne

−NB a sinα−mga

2(cosα+ sinα) +mg a cosα = 0

puis NB a sinα = mga

2(cosα− sinα)

soit enfin NB =mg

2

(1

tanα− 1)

aussi égal à F.

b. Il n’y a pas de glissement tant que F 6 µ0 NA, soit

mg

2

(1

tanα− 1)

6 µ0 mg

soit1

tanα− 1 6 2µ0

d’où tanα >1

2µ0 + 1

c. Il faut aussi que tanα 6 1 car si α dépasse π/4 le cube bascule vers la droite ; cela se voit aussi dansl’expression de NB, qui devient nulle pour α = π/4, ce qui signifie que le contact en B cesse.Si µ0 → 0, la borne inférieure de tanα tend vers 1, donc il y a toujours des valeurs de α permettant l’équilibre :à la limite où il n’y a pas de frottement, la seule valeur de α possible est 45.

d. Application numérique : α est compris entre 36 et 45.

62

© S

. Ant

czakExercices

Équilibre

Schémas relatifs aux exercices 1 à 4

α

1. Une étagère 2. Un pont

2 d

m

3. Un autre pont

d

m

4. Le pont de Gênes

1 Une étagère

Une planche de masse m est fixée horizontalement contre un mur vertical, soutenue par une tige sans masse.Exprimer toutes les forces de contact mises en jeu en fonction de m, g, de l’angle α entre la tige et le mur

et des dimensions mises en jeu.

2 Un pont

Deux poutres identiques de longueur ℓ chacune sont fixées en deux points à la même altitude et distants de2 d. On les supposera orientées au-dessus de l’horizontale. Elles sont reliées entre elles par un point matériel demasse m. On négligera la masse des poutres devant m.

Déterminer toutes les forces exercées par le sol sur ce pont et commenter le résultat (étudier le cas ℓ → d).

3 Un autre pont

Un câble de longueur L et de masse négligeable est accroché en deux points à la même altitude et distantsde d. Le câble tendu soutient en son milieu un point matériel de masse m représentant le tablier du pont.

Déterminer les forces exercées par les points d’attache sur le câble, en fonction de m, g et de η =Ld

. Commenter

le résultat.

4 Le pont de Gênes

On modélise la partie du pont de Gênes qui s’est effondrée le 14 août 2018 par un pilier central, auxquelsdeux câbles identiques sont accrochés. Le tablier du pont, horizontal, de masse m, n’est supporté que par lesdeux câbles.

On négligera la masse des câbles et on notera θ l’angle qu’ils forment avec le pilier.Exprimer, en fonction de m, g et θ, les forces exercées par le tablier sur les câbles.

5 Soutien physique

Une poutre horizontale de longueur L est soutenue d’un côté par un point fixe lié au sol, à l’autre extrémitépar Hulk qui la tient.

Une gymnaste marche sur la poutre. Exprimer la masse équivalente que Hulk a l’impression de soutenir, enfonction de la distance entre la gymnaste et le point d’appui au sol.

63

© S

. Ant

czak


À la limite du glissement

6 Où est passée la grande échelle ?

Une échelle homogène de masse m et de longueur L est appuyée sur le sol horizontal et campée contre unmur vertical. Elle forme un angle α avec celui-ci (α < π/2). On notera µ0 le coefficient de frottement statiqueentre le sol et l’échelle. On négligera tout frottement entre l’échelle et le mur.

a. Déterminer l’angle α le plus grand que l’on peut choisir sans que l’échelle glisse. Cet angle limite sera notéα0.

b. L’échelle est installée avec cet angle α0. Une personne de masse M monte à l’échelle. Déterminer jusqu’àquelle proportion x de l’échelle elle peut monter sans qu’il y ait glissement.

7 Équilibre d’une échelle

Une échelle de hauteur h et de masse m est appuyée contre un mur vertical. Elle fait un angle α avec lui.

a. Dans le cas où le sol et le mur sont lisses (l’échelle y glisse sans frottements) on relie le pied de l’échelle aupied du mur par une corde horizontale. Déterminer toutes les forces.

b. Dans le cas où le sol et le mur sont en béton, le coefficient de frottement statique µ0 échelle-béton étantidentique pour les deux parois, déterminer l’angle α limite au-dessus duquel l’échelle se met à glisser.

8 Le retour de la revanche de la boîte

Une boîte d’allumettes de masse m est posée sur une table inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontale.On négligera toute action de l’air. On notera µ0 le coefficient de frottement statique, µ le coefficient de frottementde glissement.

a. Déterminer pour quelles valeurs de α la boîte est immobile.

b. Lorsque la boîte glisse, déterminer les équations horaires du mouvement de la boîte.

c. Si α est très grand, la boîte peut directement basculer avant de se mettre à glisser. Considérons le cas limiteoù la boîte n’appuie plus sur le plan qu’en un point (le point de basculement A) mais ne pivote pas encore. Danscette situation, le moment du poids de la boîte est nul : en déduire l’expression de α en fonction des dimensionsde la boîte (à introduire sur un schéma).

d. Peut-il y avoir glissement lors du basculement ?

9 Monter sur une échelle double

Une échelle double est constituée de deux échelles campées l’une contre l’autre, chacune de longueur ℓ etde masse m, pivotant sans frottements autour de leur point d’attache en leur sommet. Une fois installée, cetteéchelle double forme un triangle isocèle, chaque échelle faisant un angle α avec la verticale.

Une personne de masse M, assimilée à un point matériel, monte sur l’échelle de gauche. On notera x ℓ lalongueur parcourue sur cette échelle.

a. Pour une position x donnée, déterminer les coordonnées des actions de contact entre l’échelle et le sol.

b. Montrer que s’il y a glissement, l’échelle de droite commence à glisser en premier.

c. Déterminer une condition sur α pour que la personne puisse monter jusqu’en haut de l’échelle sans qu’il yait glissement. On notera µ0 le coefficient de frottement statique entre l’échelle et le sol.

10 Se passer de papier

Un rouleau de papier toilette est suspendu par son centre au mur, sur lequel ilrepose. Quelle force doit-on appliquer au minimum pour avoir du papier ? Pourra-t-ontoujours avoir du papier quels que soient les paramètres du problème ?

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Annexes

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czakAnnexe A

Analyse – généralités

I Fonction et représentation graphique

1 Fonction en mathématiques et en physique

Une fonction f , définie sur un domaine A et à valeurs dans B est une correspondance qui, à tout élément xde A, fait correspondre un et un seul élément de B, noté f(x). L’élément x de A est appelé variable, l’élémentf(x) de B est appelé valeur. C’est l’image de x par la fonction f .

f :

A −→ B

x 7−→ f(x)

En physique, la notion de fonction est utile pour décrire le comportement d’un système physique, c’est-à-dire pour savoir comment varie une grandeur physique en fonction d’une autre. On s’intéresse donc à unefonction associant à une grandeur physique une autre grandeur physique.

Les variables utilisées (l’équivalent du x des matheux) sont souvent le temps (que l’on peut noter t) ou descoordonnées spatiales (que l’on peut noter x, y ou z) ou angulaires (par exemple θ ou ϕ). Mais on peut aussiutiliser bien d’autres variables, comme l’intensité d’un courant i ou une tension électrique u, comme une vitessev ou encore une fréquence ν. Attention donc à bien identifier la variable et sa notation !

Les grandeurs physiques dont on étudie la variation en fonction de la variable sont elles aussi très diverses.Il peut s’agir de coordonnées spatiales (comme quand on étudie l’altitude d’un objet qui tombe en fonction dutemps), de grandeurs électriques (u, i), d’énergies électriques, mécaniques ou nucléaires, de vitesses, d’accéléra-tions, d’angles...

Dans tous les cas, il faudra bien se demander à chaque fois quelle est la variable et quelle est la grandeurphysique dont on étudie les variations en fonction de la variable.

Exemples : u :

R −→ R

i 7−→ u = R iu :

R −→ R

t 7−→ u = U0 cos(2π ν t)i :

R −→ R

t 7−→ i = I0 cos(2π ν t)

Remarques :— dans les trois fonctions ci-dessus, le domaine de définition et le domaine image sont R. En pratique, on

ne le précisera jamais et on notera simplement u(t) = U0 cos(2π f t) par exemple ;— comme toujours en physique, toutes les grandeurs ont une unité. Quand on fait une application numé-

rique, il faut s’assurer que les unités soient compatibles entre elles. Par exemple, pour calculer u = R iavec i = 2,3 mA et R = 10 MΩ, il faut exprimer i en ampères et R en ohms avant de faire le calcul pourun résultat en volts ;

— on note souvent les grandeurs constantes en majuscule et les grandeurs qui peuvent varier en minuscules,mais pas tout le temps. Dans les exemples ci-dessus, R représente une résistance, U0 une tension, I0 uneintensité et ν une fréquence.

2 Représentation graphique

On peut tracer une représentation graphique de la fonction f en portant en abscisse les éléments x eten ordonnée leurs images f(x). L’équation de la courbe obtenue dans le repère (Oxy) est y = f(x).

En physique, la représentation graphique devra bien sûr comporter des échelles et des unités. Il est fréquenten physique qu’on construise une loi reliant des grandeurs physiques à partir de données expérimentales.

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A. Analyse – généralités Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021

Une représentation graphique est alors utile : on place surle graphe les points représentatifs des données de l’expérience,puis on tente de reconnaître les caractéristiques de la courbeobtenue, puis d’en déduire l’équation mathématique correspon-dante.

En aucun cas on ne doit relier les points entre eux, ça n’aaucun sens ; on trace juste la courbe moyenne, qui montre l’al-lure des variations de la grandeur physique, en s’arrangeantpour qu’elle passe au milieu des points expérimentaux tout enayant un aspect crédible. On peut alors donner les caractéris-tiques de cette courbe. Évidemment, c’est plus facile si c’estune droite (on donne alors l’ordonnée à l’origine et le coefficientdirecteur).

O

y

x

y = f(x)

−→j

−→i

II Dérivation

1 Définitions

Soit f : x 7→ f(x) une fonction réelle définie sur un domaine de R.

Le taux de variation moyen entre x = a et x = b estf(b) − f(a)

b− a.

Le taux de variation instantané en x = a, aussi appelé nombre dérivé de f en a, est

f ′(a) = limx→a

f(x) − f(a)x− a

ou encore f ′(a) = limh→0

f(a+ h) − f(a)h

Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la représentationgraphique de la fonction f au point de coordonnées (a; f(a)).

On définit également la fonction dérivée qui est la fonction qui à x associe le nombre dérivé de f en x.On appelle naturellement cette fonction f ′. La dérivée seconde de f est la fonction f ′′, dérivée de f ′.

2 Interprétation graphique

h est un accroissement de x, que l’on peut appeler ∆x (la lettre grecque ∆ (delta majuscule) représentesouvent un accroissement en physique). La quantité f(a+ h) − f(a) est un accroissement de f(x) au voisinagede x = a, que l’on peut appeler ∆f .

y

x

A

courbe

tangente en A ∆x

∆y

∆f

A

a

Le coefficient directeur de la tangente est∆y∆x

. C’est le nombre dérivé de f en a.

f ′(a) =∆y∆x

Or ∆y → ∆f quand ∆x → 0. On en dé-duit

f ′(a) = lim∆x→0

∆f∆x

3 Notations de la dérivée

Il existe plusieurs notations pour la dérivée d’une fonction f , dont la variable est x, au point a.En mathématiques, on utilise souvent la notation f ′(a) (notation de Lagrange).

En physique, on utilise la notation de Leibnizdfdx

(a) (qui se lit dé f sur dé x en a).

De même, la dérivée seconde n’est pas notée f ′′(a) maisd2f

dx2(a) (qui se lit dé deux f sur dé x deux en a).

En physique, comme la variable est souvent le temps, on utilise une notation spéciale pour les dérivées par

rapport au temps, la notation de Newton f(a) pourdfdt

(a) et f(a) pourd2f

dt2(a).

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Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021 A. Analyse – généralités

4 Recettes de dérivation

Soient f et g deux fonctions d’une seule variable. Il faut connaître les relations suivantes :

Dérivée d’un produit (f g)′ = f ′ g + f g′

Dérivée d’un inverse

(1f

)′

=−f ′

f2partout où f(x) 6= 0

Dérivée d’un quotient

(f

g

)′

=f ′ g − f g′

g2partout où g(x) 6= 0

Dérivée d’une fonction composée (f(g))′ = g′ f ′(g)

que l’on note aussi (f g)′ = (f ′ g) g′

Dérivée d’une fonction réciproque :si g est la fonction réciproque de f telle que f(g(x)) = x (et g(f(x)) = x), alors en tout x,

g′(x) =1

f ′(g(x))partout où f ′(g(x)) 6= 0

5 Formulaire de dérivées usuelles

Fonction xn e x ln x cosx sin x

Dérivée nxn−1 e x 1x

− sin x cosx

ApplicationsSoit une fonction u : x 7→ u(x), n un entier, a et b des réels (a non nul).

a. Dériver1

u(x), u2(x), ln(u(x)), cos(u(x)), e u(x), un(x),

1un(x)

, u(a x+ b), u(cos(x)), cos3 x, cos(x3), cos(3x),

cos(a x+ b), x ln x− x, tan x.

b. Dériver deux fois ln x, e a x+b, cos(a x+ b), sin(a x+ b).

III Intégration

1 Primitives et intégrales

Rechercher la primitive d’une fonction est l’opération inverse de la dérivation : si on note F une primitivede la fonction f , alors F′ = f . La primitive d’une fonction est définie à une constante additive près sur unintervalle. L’intégrale de la fonction f entre x = a et x = b, qui représente géométriquement l’aire « sous lacourbe », est

∫ b

a

f(x) dx = F(b) − F(a)

Il y a une infinité de primitives pour une fonction donnée, égales à une constante additive près.

2 Formulaire de primitives usuelles

Fonction xn (si n 6= −1) e x 1x

cosx sin x

Primitivexn+1

n+ 1e x ln x sin x − cosx

ApplicationsSoit une fonction u : x 7→ u(x), n un entier, a et b des réels (a non nul).

Donner une primitive de xn+1,√x, cos(a x+ b),

1a x+ b

, e a x+b,u′(x)u(x)

,u′(x)u2(x)

, u′(x)un(x), tan x.

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A. Analyse – généralités Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021

IV Puissances, exponentielle et logarithmes

1 Calculs sur les puissances

Soit a réel strictement positif, n et p réels quelconques.

a0 = 11an

= a−n an ap = an+p an

ap= an−p (an)p = an p

Si n est un entier supérieur ou égal à 3, on note a1/n = n√a. Pour la racine carrée, on note

√a = a1/2.

2 Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est la fonction puissance du nombre e = 2,718 28..., donc ∀(x, y) ∈ R2,

e 0 = 11

e x= e −x e x e y = e x+y e x

e y= e x−y (e x)y = e x y

3 Logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, définie sur R+, est la réciproque de la fonction exponentielle :

y = e x ⇐⇒ x = ln y

Soient x et y réels strictement positifs, n réel quelconque.

ln 1 = 0 ln1x

= − ln x ln(x y) = ln x+ ln y lnx

y= ln x− ln y ln(xn) = n ln x

4 Logarithme décimal

La fonction logarithme décimal, est la réciproque de la fonction puissance de dix :

y = 10x ⇐⇒ x = log y

Elle vérifie les mêmes règles que la fonction logarithme népérien, à laquelle elle est proportionnelle :

log x =ln xln 10

Applications

a. Montrer que log x = ln x/ ln 10.

b. Soit L = 10 log(I/I0). Exprimer I.

Remarque très importante concernant l’utilisation de la calculatrice : les calculatrices ont une touchepour la fonction 10x (réciproque du logarithme décimal). Elle ne sert que pour cette fonction et en particulierpas pour la notation scientifique. Pour la notation scientifique, il y a une touche spéciale : ×10x pour les

Casio, EE pour les Texas Instrument.

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czakAnnexe B

Trigonométrie

I Trigonométrie circulaire

1 Définitions sur le cercle trigonométrique de rayon unité

x

y

M

O I

J

A

B C

D

θ

cos θ

sin θ tan θ

cot θ

θ

Cosinus cos θ =OAOM

Sinus sin θ =OBOM

Tangente tan θ =OB

OA

Cotangente cot θ =OA

OB

2 Propriétés générales

Soient a et b réels quelconques, n entier quelconque.

cos2 a+ sin2 a = 1 tan a =sin acos a

(si a 6= π

2+ nπ)

1cos2 a

= 1 + tan2 a

Les relations suivantes doivent se retrouver avec le cercle trigonométrique :

cos(−a) = cos a sin(−a) = − sin a

cos(π − a) = − cos a sin(π − a) = sin a

cos(a+ π) = − cos a sin(a+ π) = − sin a

cos(

a+π

2

)

= − sin a sin(

a+π

2

)

= cos a

cos(π

2− a)

= sin a sin(π

2− a)

= cos a

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B. Trigonométrie Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021

3 Relations avec les exponentielles complexes

e i a = cos a+ i sin a cos a =e i a + e −i a

2sin a =

e i a − e −i a

2 i

4 Formules d’addition d’angles (Elles se retrouvent en passant par les exponentielles complexes.)

cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b cos(a− b) = cos a cos b+ sin a sin b

sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b sin(a− b) = sin a cos b− cos a sin b

S’en déduisent les relations bien utiles sur les angles doubles :

cos(2 a) = 2 cos2 a− 1 = 1 − 2 sin2 a d’où cos2 a =1 + cos(2 a)

2et sin2 a =

1 − cos(2 a)2

et sin(2 a) = 2 sin a cos a

5 Formules de multiplications (Elles se retrouvent en passant par les exponentielles complexes.)

cos a cos b =12

(cos(a+ b) + cos(a− b)) sin a sin b =12

(cos(a− b) − cos(a+ b))

sin a cos b =12

(sin(a+ b) + sin(a− b))

6 Formules d’addition de sinus et de cosinus (Elles se déduisent des précédentes.)

cos a+ cos b = 2 cosa+ b

2cos

a− b

2cos a− cos b = −2 sin

a+ b

2sin

a− b

2

sin a+ sin b = 2 sina+ b

2cos

a− b

2sin a− sin b = 2 cos

a+ b

2sin

a− b

2

ApplicationsExprimer cos(3 θ) en fonction de cos θ, puis sin(3 θ) en fonction de sin θ, et tan(2 θ) en fonction de tan θ.

7 Dérivées

(cosx)′ = − sin x (sin x)′ = cosx (tan x)′ = 1 + tan2 x =1

cos2 x

II Trigonométrie hyperbolique

On appelle cosinus hyperbolique ch , sinus hyperbolique sh et tangente hyperbolique tanh lesfonctions suivantes :

ch x =e x + e −x

2sh x =

e x − e −x

2tanh x =

e x − e −x

e x + e −x=

sh x

ch x

Les propriétés suivantes, qui se retrouvent facilement avec les exponentielles, sont parfois utiles en physique.

ch 2 x− sh 2 x = 1

e x = ch x+ sh x e −x = ch x− sh x

ch (2x) = ch 2 x+ sh 2 x sh (2x) = 2 ch x sh x

Dérivées (ch x)′ = sh x (sh x)′ = ch x

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czakAnnexe C

Équations différentielles

I Généralités sur les équations différentielles

1 Définitions

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction. Une équation différentiellefait intervenir la fonction et ses dérivées (première, seconde, etc.).

L’ordre d’une équation différentielle est le plus haut degré de dérivation de f apparaissant dans l’équation.Une équation différentielle est dite linéaire si elle fait intervenir une combinaison linéaire de la fonction et

de ses dérivées (sans carrés, par exemple, ni produits de f par f ′, etc.). Les coefficients multipliant f et sesdérivées peuvent être constants ou non.

Une équation différentielle est qualifiée d’homogène si tous les termes contiennent f et ses dérivées et s’iln’y a pas de termes constants ou de fonctions annexes.

Résoudre une équation différentielle consiste à déterminer toutes les fonctions qui vérifient l’équation(on dit parfois aussi intégrer l’équation différentielle).

Voici trois exemples d’équations différentielles.

① 2 f ′ + 3 f f ′′ = 0 : équation différentielle non-linéaire d’ordre deux ;

② f ′′′ + x f ′ − 6 f = 0 : équation différentielle linéaire d’ordre trois, homogène, à coefficients non constants ;

③ f ′′ + 3 f = 6 : équation différentielle linéaire, d’ordre deux, à coefficients constants, non homogène.

2 Équations différentielles en physique et en chimie

En physique ou en chimie, f est n’importe quelle grandeur physique, qui est donc notée autrement : parexemple u (tension électrique), i (intensité de courant électrique), z, y ou x (positions sur un axe), T (tempé-rature), c (concentration)...

La variable, elle, peut être le temps t, et alors les dérivées peuvent être notées y pourdydt

ou y pourd2y

dt2.

La variable peut également être une position, notée x, y ou z, un avancement chimique (x ou ξ), unetempérature T, la pression p, etc.

Exemples d’équation différentielles en physique :

x+ ω02 x = 0 (oscillateur harmonique)

dpdz

= −ρ g (statique des fluides)

3 Équations aux dérivées partielles

En physique on a souvent des fonctions du temps et de l’espace. On utilise alors les dérivées partielles

notées avec des ∂ (se lit dé rond). Une fonction V(x, y, z, t) a les dérivées partielles∂V∂x

(dé rond V sur dé rond

t),∂V∂t

, etc., et les dérivées secondes∂2V∂x2

(dé deux V sur dé deux t), etc.

Une équation différentielle faisant intervenir les dérivées d’une fonction selon plusieurs variables est nomméeéquation aux dérivées partielles. Exemples :

∂T∂t

= D∂2T∂x2

(équation de la chaleur)∂2y

∂t2= c2 ∂

2y

∂x2(équation des ondes)

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C. Équations différentielles Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021

II Équations différentielles linéaires

1 Forme d’une équation différentielle linéaire

Une équation différentielle linéaire à coefficients constants est de la forme

a0 f + a1 f′ + a2 f

′′ + a3 f′′′... = K

où f est la fonction inconnue, de variable x, et (ap) et K sont des réels constants.En notant n l’ordre de l’équation différentielle, on peut aussi l’écrire

n∑

p=0ap f

(p) = K

2 Solution particulière

On voit tout de suite qu’il existe une fonction constante qui est solution de l’équation différentielle : lafonction

fpart(x) =Ka0

Si l’équation est homogène, cette fonction est la fonction identiquement nulle.

3 Solution générale de l’équation homogène

On s’intéresse à présent à l’équation homogène associée à l’équation différentielle ci-dessus :

a0 f + a1 f′ + a2 f

′′ + a3 f′′′... = 0 ou encore

n∑

p=0ap f

(p) = 0

Sauf cas particuliers, la solution générale d’une telle équation homogène est une combinaison linéaire d’ex-ponentielles :

fhomo(x) = A1 e r1 x + A2 e r2 x + A3 e r3 x + ... ou encore fhomo(x) =n∑

p=1Ap e rp x

où (Ap) et (rp) sont a priori complexes. Les coefficients Ap s’obtiennent à l’aide de conditions particulières sur lafonction f ou ses dérivées (on les appelle souvent constantes d’intégration) ; les coefficients rp sont solutionsde l’équation caractéristique associée à l’équation différentielle.

4 Équation caractéristique

Soit la fonction f(x) = A e r x. Sa dérivée p-ième est f (p)(x) = rp A e r x = rp f(x). En injectant cette formedans l’équation homogène, on obtient

a0 f(x) + a1 r f(x) + a2 r2 f(x) + a3 r

3 f(x) + ... = 0 ou encoren∑

p=0ap r

p f(x) = 0

Comme la fonction f(x) = 0 est une solution évidente, on recherche les autres solutions : ce sont celles de laforme f(x) = A e r x, où r est une racine du polynôme caractéristique associé à l’équation différentielle :

a0 + a1 r + a2 r2 + a3 r

3 + ... = 0 ou encoren∑

p=0ap r

p = 0

5 Solution générale de l’équation

La solution générale de l’équation non homogène s’écrit finalement

f(x) = fpart(x) + fhomo(x)

soit f(x) =Ka0

+n∑

p=1Ap e rp x où rp est solution du polynôme caractéristique

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Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021 C. Équations différentielles

III Équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficientsconstants

1 Forme de l’équation

Dans la suite, la fonction sera notée y et sa variable sera le temps t : cela couvre les cas les plus simples enphysique. La fonction ne sera donc pas f(x) mais y(t).

On notera alors y =dydt

la dérivée première.

Une équation différentielle linéaire, du premier ordre, à coefficients constants peut être mise sousla forme, pour a et b constants (a 6= 0) :

y + a y = b

2 Solution générale

La solution particulière est

ypart(t) =b

a

Le polynôme caractéristique associé est

r + a = 0 dont l’unique solution est r = −a

La solution générale de l’équation homogène est donc

yhomo(t) = A e −a t

La solution générale de l’équation y + a y = b est donc finalement

y(t) = A e −a t +b

a

3 Conditions initiales

La seule grandeur inconnue à ce stade est la constante d’intégration A qui se détermine à l’aide de laconnaissance d’une valeur particulière de y : par exemple la valeur de y à t = 0, qu’on appelle conditioninitiale.

Mettons que cette condition s’écrive y(0) = y0, avec y0 donnée du problème pouvant être nulle.Compte tenu de la forme générale de la solution, ceci implique

y0 = A +b

ad’où A = y0 − b

a

La solution du problème physique posé est donc

y(t) =(

y0 − b

a

)

e −a t +b

a

En pratique, on ne retient pas cette expression générale et on recherche à chaque fois la solution en écrivantles conditions initiales propres à l’exercice.

ApplicationsDonner les solutions générales des équations différentielles y′ = a y et N = −λN.

IV Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficientsconstants

Ce cas sera étudié plus tard dans une Annexe spécifique.

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C. Équations différentielles Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021

V Technique de résolution par séparation des variables

1 Principe

Soit une équation différentielle du premier ordre de la forme

dydt

= f(y) g(t)

Cette équation n’est pas forcément linéaire, pas forcément à coefficients constants... Il y a pourtant uneméthode bien pratique, qui fonctionne dans certaines conditions que l’on ne détaillera pas ici.

Réécrivons cette équation en « séparant les variables » sous la forme

dyf(y)

= g(t) dt

La résolution se fait alors en recherchant la primitive de chaque membre : si l’on note Φ la primitive de 1/fet G la primitive de g, alors l’intégration de cette équation différentielle s’écrit

Φ(y) = G(t) + Cte

2 Exemple

Soit un problème physique conduisant à l’équation différentielle

t y + a y = 0

où t est non nul. Le problème impose comme condition que pour une certaine date t0, y vaille y0.On peut écrire l’équation différentielle sous la forme

dydt

= −a y

t

qui donnedyy

= −a dtt

Chaque membre s’intègre en logarithme : on a donc

ln y = −a ln t+ k ou encore ln y = ln1ta

+ k

Si l’on écrit la constante k comme k = ln c, on peut aussi écrire

ln y = ln1ta

+ ln c d’où ln y = lnc

ta

ce qui donne finalement la solution de l’équation différentielle

y(t) =c

ta

La constante c s’obtient à l’aide de la condition y(t0) = y0 :

y0 =c

t0a donne c = y0 t0

a

D’où la solution complète du problème

y(t) = y0

(t0t

)a

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czakAnnexe D

Vecteurs

Soient un repère orthonormé (O,−→i ,

−→j ,

−→k ) et les vecteurs

−→U et

−→V de coordonnées

Ux

Uy

Uz

et

Vx

Vy

Vz

.

On définit α = (−→U ,

−→V) l’angle entre les deux vecteurs et on note U et V les normes de ces deux vecteurs.

I Produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire de−→U et

−→V , noté

−→U · −→

V , est un nombre valant−→U · −→

V = Ux Vx + Uy Vy + Uz Vz

On peut aussi écrire−→U · −→

V = U V cosα

Il est donc indépendant du système de coordonnées choisi : sa valeur est la même si on change lerepère orthonormé.

Cas particuliers :

— le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul : si |α| =π

2alors cosα = 0 et

−→U · −→

V = 0 ;

— le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires et de même sens est égal au produit de leurs normes : si

α = 0, alors cosα = 1 et−→U · −→

V = U V ;

— de même, si α = π, alors−→U · −→

V = −U V.

Le produit scalaire est une forme bilinéaire : en notant λ et µ des réels et−→W un autre vecteur,

−→U · (λ

−→V + µ

−→W) = λ

−→U · −→

V + µ−→U · −→

W

Le produit scalaire est symétrique :−→U · −→

V =−→V · −→

U

II Produit vectoriel de deux vecteurs

1 Définition

Le produit vectoriel de−→U et

−→V est un vecteur noté

−→U ∧ −→

V (on trouve aussi parfois la notation−→U × −→

V ).Ses coordonnées sont

−→U ∧ −→

V =

Uy Vz − Uz Vy

Uz Vx − Ux Vz

Ux Vy − Uy Vx

2 Base orthonormée directe

Propriété de la base (−→i ,

−→j ,

−→k ) vraie pour toute base orthonormée directe :

−→i ∧ −→

j =−→k

−→j ∧ −→

k =−→i

−→k ∧ −→

i =−→j

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D. Vecteurs Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021

3 Sens géométrique−→U ∧ −→

V est un vecteur orthogonal à la fois à−→U et

−→V .

Application

Le démontrer en calculant(−→

U ∧ −→V)

· −→U et

(−→U ∧ −→

V)

· −→V .

On peut montrer que sa norme est ‖−→U ∧ −→

V‖ = U V |sinα|

Application

Le démontrer en exprimant ‖−→U ∧ −→

V‖2, puis en montrant que c’est égal à U2 V2 − (−→U · −→

V)2 (puis conclure).

4 Propriétés

On montre facilement que−→U ∧ −→

U =−→0 .

Le produit vectoriel est une forme bilinéaire :−→U ∧

(

λ−→V + µ

−→W)

= λ−→U ∧ −→

V + µ−→U ∧ −→

W

Attention ! Le produit vectoriel n’est pas symétrique :−→U ∧ −→

V = −−→V ∧ −→

U

Et il n’est pas associatif :−→U ∧

(−→V ∧ −→

W)

n’est pas égal à(−→

U ∧ −→V)

∧ −→W en effet

−→U ∧

(−→V ∧ −→

W)

=(−→

U · −→W)−→

V −(−→

U · −→V)−→

W

Autre relation utile (−→U ∧ −→

V) · −→W = (

−→W ∧ −→

U) · −→V = (

−→V ∧ −→

W) · −→U

5 Recette géométrique : les trois doigts de la main droite

Les vecteurs−→U et

−→V étant donnés, leur produit vectoriel se trouve géométriquement à l’aide de la règle

des trois doigts de la main droite :— fermer l’annulaire et l’auriculaire, dresser le pouce, tendre l’index et mettre le majeur perpendiculaire au

pouce et à l’index ;

— le pouce représente−→U , l’index représente

−→V (ils ne sont pas forcément perpendiculaires l’un à l’autre) ;

— la direction et le sens de−→U ∧ −→

V est donnée par le majeur ;

— la norme de−→U ∧ −→

V est U V |sinα| ;— attention, ça ne marche pas avec la main gauche !


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Alphabet grec

Minuscule Majuscule Équivalent français Nom Utilisation usuelle

α A a alpha angle, 42He, nombre

β B b bêta angle, particules, nombre

γ Γ g gamma angle, conductivité, accélération, nombre

δ ∆ d delta distance, variation

ε E é epsilon petite quantité, distance

ζ Z z dzéta petite quantité

η H è êta rendement, quotient, petite quantité

θ Θ th thêta angle, température en C

ι I i iota

κ K k kappa

λ Λ l lambda longueur d’onde, probabilité, conductivité

µ M m mu micro-, masse volumique...

ν N n nu fréquence

ξ Ξ x ksi petite quantité, avancement

o O o omicron

π Π p pi 3,14..., produit, poussée d’Archimède (maj.)

ρ P r rhô masse volumique, résistivité

σ, ς Σ s sigma conductivité, somme (maj.)

τ T t tau durée, quotient, taux

υ Υ u upsilon

φ, ϕ Φ f phi angle, phase, flux (maj.)

χ X kh chi ou khi électronégativité, susceptibilité magnétique

ψ Ψ ps psi angle, phase

ω Ω o oméga vitesse angulaire, pulsation, Ohm (maj.)

Six dimensions de base du système international d’unités

Grandeur Longueur Masse Durée Intensité* Température Quantité de matière

Notation de la dimension L M T I Θ n

Unité internationale m kg s A K mol

* Intensité est là pour intensité d’un courant électrique

Préfixes à connaître

Nom déca hecto kilo méga giga téra déci centi milli micro nano pico

Symbole da h k M G T d c m µ n p

Valeur 101 102 103 106 109 1012 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12

De rayon R...

Périmètre du cercle Aire du disque Aire de la sphère Volume de la boule

2πR πR2 4πR2 43πR3

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« Dans les forces il y a du mouvement.

[...]« Les forces sont des mouvements mais des mouvements cristallisés,

donc pétris dans la masse du béton, pétris dans l’acier. »

Santiago Calatrava

in Architectures, « La gare TGV de Satolas »,documentaire de Catherine Adda, Arte éditions.

La gare TGV de Lyon-Saint Exupéry, près de Lyon, par Santiago Calatrava, achevée en 1994


Documents

cours l11 2021santczak.free.fr/ensal/cours_l11_2021.pdf · 2020. 11. 2. · 0. Grandeurs physiques Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI1 2020-2021 Dimensions et unités de base Une