Cours LET54 resumé pour Siteweb 2016-2017gherbiah.e-monsite.com/medias/files/cours-let54-chap-1-2016-2017-.pdf · CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS LET54/Chap. 1. /2016-2017

CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS

LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.1 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1

Chapitre 01

RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS

1.1. Introduction

L’électromagnétisme s’intéresse à l’étude des champs électrique et magnétique. Ces champs sont des quantités vectorielles et leur comportement est décrit par un ensemble de lois connu par les équations de MAXWELL. La notation vectorielle donne aux lois une forme simple et claire mettant en relief leur contenu physique indépendamment du système de référence.

Ce chapitre présente un aperçu bref mais suffisant des notions de calcul vectoriel qui sont utilisées dans la présentation de la théorie de l'électromagnétisme.

1.2. Algèbre vectorielle

1.2.1. Scalaires - Vecteurs

On définit alors deux types de grandeurs :

Scalaire : est une grandeur physique complètement déterminée par un nombre; exemple : la masse, la température, la charge, l'énergie, le temps, le volume... etc.

Vecteur : est une grandeur physique caractérisée par une grandeur (ou module), une direction et un sens ; exemple: vitesse, accélération, force, déplacement, champ électrique, champ magnétique ... etc.

Soit un vecteur A

représentant une grandeur physique quelconque, sa grandeur est dénotée par A ou

A

. Par définition, le vecteur unitaire a, porté par A

est le vecteur unitaire de même sens que A

et de longueur

(ou module) unité.

A

A

A

Aa

(1.1)

Figure 1.1. Représentation graphique d’un vecteur

donc aAA.

Même si la notation vectorielle est indépendante du système de référence, il est souvent utile de

décomposer les vecteurs sur les axes Ox, Oy et Oz du système cartésien. Si l'on désigne par : zyx a,a,a

les vecteurs

unitaires portés par les axes Ox, Oy et Oz respectivement ; Les projections d'un vecteur A

sur ces axes sont trois

vecteurs yx A,A

et zA

dont la somme donne A

:

zyx AAAA

avec

; ;x x x y y y z z zA A a A A a A A a

(1.2)

Donc, le vecteur A

peut s’écrire en fonction de ses composantes dans le système de coordonnées cartésiennes, comme suit :

x x y y z zA A a A a A a

(1.3)



Figure 1.2. Décomposition d’un vecteur dans le système de coordonnées cartésiennes

1.2.2. Opérations sur les vecteurs

1.2.2.1. Addition et soustraction de vecteurs

Soient A

et B

deux vecteurs quelconques (Figure 1.3)

x x y y z z x x y y z z

x x x y y y z z z

A B A .a A a A a B a B a B a

A B a A B a A B a

(1.4)

Figure 1.3. Addition et soustraction de vecteurs

1.2.2.2. Multiplication et division par un scalaire

Soient et des scalaires :

x x y y z z x x y y z zmA m A a A a A a mA a mA a mA a

(1.5)

1 yx zx y z

BB BBB a a a

n n n n n

(1.6)

1.2.2.3. Distributivité

Soit m et n des scalaires, A

et B

deux vecteurs

m A B m A m B

(1.7)

m n A mA nA

(1.8)

1.2.2.4. Associativité

CBACBA

(1.9)

1.2.2.5. Commutativité

ABBA

(1.10)

1.2.2.6. Module d’un vecteur (longueur ou amplitude ou norme) 2 2 2

x x y y z z x y zA A A a A a A a A A A (1.11)

z

y

x



1.2.2.7. Vecteur unitaire le long d’un vecteur A

Un vecteur unitaire porté par un vecteur A

est un vecteur de module égal à l’unité, mais de même direction que

A

. Il est donné par :

yx zA x y z

AA AAa a a a

A A AA

(1.12)

1.2.2.8. Produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire est une quantité scalaire égale au produit des modules de A

et B

et le cosinus du petit angle entre A

et B

(avec0 ).Erreur ! Source du renvoi introuvable.

cos.B.AB.A

(1.13)

B.A

se lit "A scalaire B" ou "A point B".

Figure 1.4. Produit scalaire de 2 vecteurs

. . .cosA B A B

= A fois la projection de B

sur A

)cos.A.(B = B fois la projection de A

sur B

si 2/ (C-à-d BA

) alors . 0A B

Le produit scalaire est commutatif:

A.BB.A

(1.14) Il est également distributif par rapport à l'addition ou la soustraction de vecteurs

. . .A B C A B A C

(1.15)

On peut montrer, en utilisant les composantes cartésiennes des vecteurs que :

zzyyxx B.AB.AB.AB.A

(1.16)

et en particulier :

2222zyx AAAAA.A

(1.17)

1.2.2.9. Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs A

et B

, noté BA

, est une vecteur dont le module est égal au produit des modules de A

et B

et le sinus du plus petit angle entre A

et B

et dont la direction est normale au plan formé par A

et B

et de sens obtenu par la règles de « la main droite » ou du «tire-bouchon»).

sin nA B AB a

(1.18)

On lit "A vectoriel B" ou "A croix B"



Figure 1.5. Produit vectoriel

Le produit vectoriel n’est pas commutatif :

ABBA

(1.19) Le produit vectoriel est distributif :

A B C A B A C

(1.20)

Si 2

, le produit vectoriel est maximal

Si 0 , le produit vectoriel est nul (cas de deux vecteurs parallèles ou anti-parallèles).

yxzxzyzyx

zzyyxx

aaa;aaa;aaa

aaaaaa

0 (1.21)

Si on exprime le produit vectoriel en fonction des composantes cartésiennes :

x x y y z z x x y y z zA B A a A a A a B a B a B a

y z z y x z x z y y x y y x zA .B A .B a A .B A .B a A .B A .B a

(1.22)

et peut s’écrire sous forme d'un déterminant de troisième ordre comme suit :

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA

(1.23)

Le vecteur unitaire est donné par :

. .sinn

A B A Ba

A B A B

(1.24)

Le double produit vectoriel est donné par:

. .A B C A C B A B C

(1.25)

a. Remarque :

Il est important de noter que, en général, on a:

A B C A B C

(1.26)

1.2.3. Systèmes de coordonnées usuels

En électromagnétisme, on fait appel souvent, en plus du système de coordonnées cartésiennes, à d'autres systèmes de référence dont les plus fréquemment utilisés sont les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques.



1.2.3.1. Le système de coordonnées cartésiennes

Le système de coordonnées cartésiennes comprend trois axes mutuellement perpendiculaires : les axes Ox, Oy et Oz. Un point P de l'espace est repéré par ses coordonnées(x,y,z) comprises entre et . Ce point est l'intersection de trois plans , et .

On définit les vecteurs unitaires xa

, ya

et za

portés par les trois axes , et définis par l'équation (1.21):

Figure 1.6. Vecteur de position

A tout point , , , est associé un vecteur de position R

dont la grandeur est la distance OP et le sens celui de O vers P. Ce vecteur est représenté par Figure 1.6a:

zyx a.za.ya.xR

(1.27)

Considérons deux points P1 et P2 et leurs vecteurs de position associés 1R

et 2R

, comme montrés dans la Figure 1.6b, et donnés par :

zyx a.za.ya.xOPR

11111 (1.28)

zyx a.za.ya.xOPR

22222 (1.29)

Le vecteur joignant les points et , orienté de vers donne la position relative de par rapport à , est donné par :

12 1 2 2 1

2 1 2 1 2 1. . .x y z

R P P OP OP

x x a y y a z z a

(1.30)

1.2.3.2. Le système de coordonnées cylindriques

Dans ce système, tout point peut être défini comme l'intersection de trois surfaces mutuellement perpendiculaires ; une surface cylindrique (r=Const.), un plan ( .) et un autre plan ( .). Donc, le point est défini par ses coordonnées: ,et (Figure 1.7) telles que: r0 , 0 2 ,

z r est la distance du point à l'axe z dans un plan perpendiculaire à l'axe z.

x

y

z

O

y

, ,

z

y

z

O

z

(a) (b) x x

, ,

, ,



Figure 1.7. Coordonnées cylindriques

Au point ,, , on définit les vecteurs unitaires ra ,a

et za tels que:

soit normal à la surface cylindrique r = const.

soit normal au plan = const.

soit normal au plan z = const.

Le sens de ces trois vecteurs unitaires est celui des coordonnées croissantes. Il en résulte que a

est tangent

à la surface cylindrique.

0

zzrr

rzzzzr

aaaaaa

aaa,aaa,aaa

(1.31)

1.2.3.3. Le système de coordonnées sphériques

Dans ce système, tout point peut être défini comme l'intersection de trois surfaces mutuellement perpendiculaires: une surface sphérique (r = constante); une surface conique ( .) et un plan ( .) (Figure 1.8). Donc, le point est défini par ses coordonnées: , , ; telles que:

0 r , 0 et 0 2

Au point P(r,,z), on définit les vecteurs unitaires ra , a

et a tels que:

0

aaaaaa

aaaaaa,aaa

rr

rrr

(1.32)

Figure 1.8. Système de coordonnées sphériques

x

y

, ,

r

z

z



REMARQUE

1. L’ordre de coordonnées est important et doit être soigneusement respecté. L’angle représentant le même angle à la fois dans le système cylindrique et dans le système sphérique.

2. Tout vecteur A

peut être décomposé en trois vecteurs, respectivement parallèles aux trois vecteurs unitaires, dans chacun de ces trois systèmes de coordonnées :

Cartésien : x x y y z zA A a A a A a

Cylindrique : r r z zA A a A a A a

Sphérique : r rA A a A a A a

1.2.3.4. Changement de coordonnées

La conversion des coordonnées cylindriques ou sphériques d'un point est en coordonnées cartésiennes peut se faire par projection dans chaque cas du vecteur de position R

sur les trois axes Ox, Oy et Oz.

a. Cartésiennes en cylindriques

La conversion des coordonnées cylindriques ou sphériques d'un point est en coordonnées cartésiennes peut se faire par projection dans chaque cas du vecteur de position R

sur les trois axes Ox, Oy et Oz

b. Cartésiennes en cylindriques

D'après la Figure 1.7(voir TD) :

cos

sin

x r

y r

z z

(1.33)

c. Cartésiennes en sphériques

D'après la Figure 1.8(voir TD)

sin cos

sin sin

cos

x r

y r

z r

(1.34)

1.3. Analyse vectorielle

1.3.1. Champ scalaire

On appelle ainsi toute fonction scalaire z,y,xf associée à tout point de l'espace repéré par ses coordonnées

, , . La valeur de ce champ dépend évidemment des variables ( , , ).

EXEMPLE : la température, la pression ou la masse volumique de l'air dans l'atmosphère. le potentiel électrique...

1.3.2. Champ vectoriel

On définit ainsi toute fonction vectorielle , ,A x y z

associée à tout de point z,y,xP et définie par la donnée

de trois champs scalaires:

x x y y z zA x , y ,z A x , y ,z a A x , y ,z a A x , y ,z a

(1.35)



EXEMPLE : le champ électrique et champ magnétique sont des champs vectoriels.

1.3.3. Les intégrales vectorielles

1.3.3.1. La circulation d’un vecteur le long d’une ligne

Considérons un champ vectoriel A

et une ligne représentant un parcours quelconque dans l'espace le long d'une courbe , et limitée aux points et (Figure 1.9).

Figure 1.9. Circulation d’un vecteur le long d’une ligne

Le vecteur dl infiniment petit, tangent à C et dont la grandeur est un élément de longueur de . on définit la

circulation du vecteur A

(ou Curl A

) le long de la courbe par :

C

dl.AAdencirculatio

( 1.36)

Si la courbe est fermée, on écrit :

C

dl.AAdencirculatio

( 1.37)

Si la circulation de A

sur une courbe fermée est nulle, on dit que le champ vectoriel A

est conservatif.

1.3.3.2. Le flux d'un vecteur à travers une surface

Considérons un champ vectoriel A

et une surface quelconque. Soient un élément infinitésimal de surface

et na

le vecteur normal à . On définit le flux du champ vectoriel A

à travers la surface par :

n

S S

A a dS A dS

(puisque dSadS n

) (1.38)

Si la surface est fermée, c'est-à-dire si elle délimite un volume finie, on écrit :

S

dSA

(1.39)

1.3.4. Différentielles vectorielles

1.3.4.1. Divergence

La divergence en point du champ de vecteurs , ,A x y z

est définie par :

lim∆ →

∮ ∙

∆ (1.40)

Cette grandeur est une quantité scalaire. L’intégration se fait ici sur la surface d’un volume infinitésimale

qui entoure le point et tend vers zéro. L’intégration C

Sd.A

est appelée circulation de A quand la divergence

d’un champ de vecteurs n’est pas nulle.

Si 0div A

: la région contient des points singuliers

Si 0div A

: la région contient des points sources

C



Si 0div A

: la région contient des points de convergence.

a. Divergence en coordonnées cartésiennes

Considérons le parallélépipède (cube) de cotés x, y et z, parallèles aux axes , et respectivement

(Figure 1.10). Le champ de vecteurs x x y y z zA A a A a A a

est alors pris au point P, sommet du cube

correspondant aux plus petites valeurs des coordonnées x, y et z.

Figure 1.10. Divergence en coordonnées cartésiennes

Pour calculer Sd.A

pour le cube, il faut intégrer sur les six faces. Sur chacune de ces faces, Sd

est dirigé

vers l'extérieur ; puisque les faces sont perpendiculaires aux axes, une seule composante de A

intervient dans le calcul relatif à deux faces parallèles.

Comme les faces sont petites, on peut écrire :

z.y.xASd.A x

gaucheface

z.y.xx

AxAz.y.xxASd.A x

xx

doiteface

de sorte qu’au total pour les deux faces, on obtienne :

z.y.xx

ASd.ASd.A x

droiteface

gaucheface

(1.41)

On applique le même procédé aux deux autres paires de faces, et on fait la somme des résultats :

z.y.xz

A

y

A

x

ASd.A zyx

S

(1.42)

avec : z.y.xv

En appliquant la relation (1.40), on obtient, en coordonnées cartésiennes, l’expression de la divergence :

yx zAA A

div Ax y z

(1.43)

On introduit l’opérateur « Nabla

» ou del qui est vecteur défini, en coordonnées cartésiennes, par :

P

Ax(x+t)Ax(x)1

x



x y za a a

x y z

(1.44)

appliqué à un vecteur A

s'écrit comme suit :

. . . . .x y z x x y y z z

yx z

A a a a A a A a A ax y z

AA Adiv A

x y z

(1.45)

ainsi la divergence est donnée par :

.div A A

(1.46)

ATTENTION : L’opérateur Nabla

n’est défini qu’en coordonnées cartésiennes

b. Divergence en coordonnées cylindriques :

1 1r zArA A

div Ar r r z

(1.47)

c. Divergence en coordonnées sphériques :

2

2

1 1 1rr A AA sindiv A

r r sin r sinr

(1.48)

1.3.4.2. Gradient d'un champ scalaire

a. Gradient d'un champ scalaire en coordonnées cartésiennes

On considère un champ scalaire représenté par une fonction scalaire z,y,xf . Il s'agit de savoir comment varie

la fonction f lorsque les coordonnées d'un point P quelconque de coordonnées , ,x y z deviennent ,

, (Figure 1.11)

Figure 1.11. Gradient de la fonction scalaire f Le vecteur dl

représentant le déplacement infinitésimal du point est :

x y zdl dx a dy a dz a

(1.49)

La variation de de à ′ est donnée par :

f f fdf dx dy dz

x y z

(1.50)

En introduisant l’opérateur nabla

, on a :

′ , ,

, ,



. . .x y z

f f ff a a a

x y z

(1.51)

On en déduit :

dlfdf

(1.52)

Le champ de vecteurs f

, noté grad f

, est appelé le gradient de la fonction scalaire . la direction de f

correspond à un maximum d’accroissement de la fonction .

b. Gradient d'un champ scalaire en en coordonnées cylindriques ,,

1r z

f f ff a a a

r r z

(1.53)

c. Gradient d'un champ scalaire en en coordonnées sphériques , ,

a

f

sinra

f

ra

r

ff r

11

(1.54)

1.3.4.3. Rotationnel d'un champ vectoriel

Le rotationnel d'un champ vectoriel A

est un autre champ de vecteurs. On considère un point sur une surface

S limitée par une ligne fermée C. on choisit un sens d'orientation pour . na

étant perpendiculaire et est orienté

suivant la règle de la main droite (Figure 1.12).

Figure 1.12. Rotationnel d'un champ vectoriel

La composante du rotationnel de A

suivant na

est définie par :

0

lim Cn

S

A dl

rotA aS

(1.55)

a. Arot

dans les systèmes de coordonnées

Déterminons l'expression de rot A

en coordonnées cartésiennes pour cela, considérons une surface rectangulaire

de côtés z,y parallèles aux axes y et z. Si au coin No. 1 de S existe un champ vectoriel A

. On choisit le

sens du parcours le sens inverse des aiguilles d'une montre de sorte que n xa a

0

Cx

y z

A .dl

rotA a limy z

(1.56)



2 3 4 1

1 2 3 4C

yzy z y z

yz

A dl A dl A dl A dl A dl

AAA y A y z A z z A z

y z

AAy z

y z

Soit

yzx

AArotA a

y z

De la même manière, on peut déterminer les composantes yaArot et zaArot

. D'où alors, le Arot

en

coordonnées cartésiennes :

zxy

yzx

xyz a

y

A

x

Aa

x

A

z

Aa

z

A

y

AArot

(1.57)

ce qui peut se mettre sous d'un déterminant d'ordre 3 :

x y z

x y z

a a a

rot A x y z

A A A

(1.58)

Les termes de la deuxième ligne sont les composantes de

, donc :

rot A A

(1.59)

b. Arot

en coordonnées cylindriques

1 1z r z rr z

rAAA A A AA a a a

r z z r r r

(1.60)

c. Arot

en coordonnées sphériques

1 1 1 1r rr

A sin rAA ( r A )A AA a a a

r sin r sin r r r

(1.61)

d. Propriétés du rotationnel

La divergence du rotationnel est Nulle pour n'importe quelle fonction vectorielle A

:

0A

(1.62)

Le rotationnel d'un gradient est Nul pour n'importe quelle fonction scalaire f :

0f

(1.63)

2A A A

(1.64)

A B A B

(1.65)

Un champ vectoriel est dit irrotationnel si 0.



1.4. Notion d’angle solide

Soit une surface fermée entourant un point O et soit un point sur cette surface repéré par un vecteur de

position par rapport à O’. La quantité∙

est la projection de l’élément de surface sur un plan

perpendiculaire à (Figure 1.13). Appelons ’ cette surface projetée :

nR adS dS

R

(1.66)

On définit l'angle solide l'angle dans l'espace sous lequel le point O "voit" la surface dS'. Il est donné par le rapport :

2

dSd

R

(1.67)

L'angle solide total sous lequel le point voit tout la surface fermée S est :

2 3n

S S S

R adSd dS

R R

(1.68)

Figure 1.13. Angle solide

2 3

n

S S

R adSd dS

R RConsidérons une sphère de centre O et de rayon R' < R (la sphère est située

entièrement à l'intérieur de S). puisque n

Ra

R

et 24S R (surface de la sphère)

Ω ∮∙

∮∙ 4 ( 1.69)

Donc quelle que soit la forme de la surface fermée S, l'angle sous lequel un point O voit cette surface est égale à 4. Si le point O est à l'extérieur de la surface . Celle-ci peut être divisée en deux parties S1 et S2, vue du point O sous le même angle solide.

Cependant dans le cas de S1, le vecteur unitaire na

normal à S pointe vers la moitié de l'espace où se trouve

O. alors que dans le cas de S2, il pointe vers l'autre moitié (Figure 1.14). Le vecteur na

est donc positif dans un cas et négatif dans l'autre de sorte que :

Ω ∮∙ 0 ( 1.70)

l'angle solide sous lequel un point extérieur voit une surface fermée est donc nul 0 .

Figure 1.14. Angle solide cas où le point O est à l'extérieur de la surface .

S1 S2

O

R'O

dS'

Sphère

Surface fermée

dS



RELATIONS USUELLES

a- COORDONNEES CARTESIENNES

Divergence :z

A

y

A

x

AA. zyx

Rotationnel :z

xyy

zxx

yz a.y

A

x

Aa.

x

A

z

Aa.

z

A

y

AAx

Gradient : zyx az

Va

y

Va

x

VV

Laplacien :2

2

2

2

2

22

z

V

y

V

x

VV

b- COORDONNEES CYLINDRIQUES

Divergence : 1 1r z

ArA A.A

r r r z

Rotationnel : 1 1z r z r

r z

rAAA A A Ax A .a .a .a

r z z r r r

Gradient : 1r z

V V VV a a a

r r z

Laplacien :2 2

22 2 2

1 1V V VV r

r r r r z

c- COORDONNEES SPHERIQUES

Divergence : 2

2

1 1 1rr A AA sin.A

r r sin r sinr

Rotationnel :

1 1 1 1r rr

A sin rAA ( r A )A AA .a .a .a

r sin r sin r r r

Gradient : 1 1r

V V VV a a a

r r r sin

Laplacien :2

2 22 2 2 2 2

1 1 1V V VV r sin

r rr r sin r sin

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