Cours Méca Des Fluides Anoua

8/12/2019 Cours Mca Des Fluides Anoua

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Anne 2013/14

Filire : STPI

Module : Physique V

Responsable : Pr Anoua M.

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- Elment de Module 2 :MECANIQUE DES SOLIDES( mcanique des milieux indformables )

-Elment de Module 1 :MCANIQUE DES FLUIDES-( mcanique des milieux dformables)

- Elment de Module 3 : EXPERIMENTATION :- Thorme de Bernoulli (Calcul de pertes de Charge)- Etude de limpact dun jet deau sur un obstacle

- Tube de Venturi- Viscosimtre

2

MODULE : Physique V

FILIERE : STPI

EVALUATION :

Pour lment 1 et 2 : note = 30%Contrle+50% Examen + 20%ETG

Pour lment 3 : note = Examen + contrle + CR

Note du Module : 40% du module 1 et 2.20% du module 3


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I- INTRODUCTION

II- CINEMATIQUE DES FLUIDES

1- Particule fluide2- Descriptions lagrangienne et Eulrienne des coulements3- Trajectoires, lignes de courant4- Champs de vitesse dans un liquide (Thorme de Chauchy)5- Applications

1- La mcanique des milieux indformable et dformables?

SOMMAIREMECANIQUE D E S F L U I D E S

2- Objet de la mcanique des fluides3- Milieux dformables : solides et Fluides4- Approche adopt mcanique des fluides

5- Hypothses en mcanique des fluides6- Points gomtriques et matriels7- Dfinition dun fluide

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III- QUATIONS FONDAMENTALES DE LA MCANIQUE DES FLUIDES

1- Introduction: solide, liquide, gaz; qu'est-ce qu'un fluide ?2- Proprits du fluide parfait en quilibre3- Thorme fondamental de la statique des fluides4- Applications :surface libre; surface de sparation de liquides non miscibles

vases communicants; pression atmosphrique; variation avec l'altitude;transmission des pressions; paradoxe hydrostatique

Applications : poids apparent, mlange; iceberg, quilibre dun solideflottant...

Applications : Force de pression sur une paroi

1- conservation de la masse2- conservation de la quantit des mouvements

3- conservation dnergie4- Equations dtats5- Conditions aux limites et initiales

IV- STATIQUE DES FLUIDES

5- THORME D'ARCHIMDE

6- CALCUL DES EFFORTS SUR LES PAROI

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V-DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS1- Conservation du dbit.2- quation de Bernoulli3 - Applications:

- orientation du tube- Tube de Pitot- Effet Venturi- Force associe la dissymtrie,- Limites d'application (variation brusque de section)

- Extension aux cas des gazVI- NOTIONS SUR LES FLUIDES VISQUEUX

1- Viscosit: phnomne macroscopique i.e. rsistance aumouvement,

valeurs de viscosit; faibles / grandes vitesses2- Viscosit: phnomne microscopique, loi fondamentale desfluides visqueux- Loi de Poiseuille, profil de vitesse- Dbit, vitesse moyenne- Applications: arrosage; transfusion sanguine,...- Notion de rgime turbulent et nombre de Reynolds 5


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MECANIQUE DU POINT MATERIEL

MECANIQUE DES SOLIDES INDERFORMABLES (solide)

MECANIQUE DES SOLIDES DERFORMABLES (Mca. Fluide.)

Systme :Point Matriel M(m)

1- La mcanique ?

Chapitre I: INTRODUCTION

Systme :Milieu indformable (solide), dfinition???

Systme :Milieu dformable (Particule fluide)

Champ de vitesse :translation, pas de rotation? mais on tudi la rotation WR/R0

Champ de vitesse :translation + rotation : Wsolide/R0= 3 rotations (y , q , j)

Champ de vitesse :translation + rotation + Dformation

0 0/R /R R/R V(M') V(M) + (M) MM' W

0 0

/R /R R/R V(M') V(M) + (M) MM' W MM'D

0/)()( Ra MVMV

Rr MVMV /)()(,

MOOVMV RRRe ')'()(, 00 // W

Trajectoire absolue, trajectoire relative , Mouvement dentranement

Trajectoire, ligne de courant

Trajectoire (base , roulante)

Echelle?

Echelle?

[Difficults: drive un vecteur]

[Difficults: imagination dans lespace et I ]

[ Difficults: calcul de la vitesse ]6


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PAR CONTRE, en Mcanique des solides indformables

Pour connatre la vitesse dun point d'un solide indformable, on a :

0 0/R /R R /R V(M') V(M) + (M) MM' W

2- Objet de la mcanique des fluides

La mcanique des fluides fait partie de la mcanique des milieuxdformables. En fait, ce cours devrait s'appeler:

MCANIQUE DES MILIEUX DFORMABLES

Par exemple,

-

Airsortant d'un ventilateur,..

- Eaus'coulant dans un canal,

sontdes milieux continus dformables, c'est--dire que la distanceentre deux particules du milieu peut varier au cours du mouvement.Donc : le nombre de paramtres pour dcrire le mouvement d'un

milieu continu dformable est infini : dfinir un champs de vitesse,.

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On peut distinguer les solides dformableset les fluides:Les solidessoumis des efforts ne subissent qu'une dformationlimite (RDM)alors que le fluidene cesse de se dformer : il s'coule.(Mcaniquedes Fluides.)Pour un solide dformablesla relation entre effort et dformation estreprsente sur le graphe de la figure 1 :

domaine lastique: la relation est linaire et rversible,

domaine plastique :la relation n'est ni linaire ni rversible.

On distingue deux domaines :

rupture

Domaine lastique Domaine plastique

Dformation

Contrainte

3- Milieux dformables : solides et Fluides

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- isotrope:ses proprits ne dpendent pas du repre dans lequel elles sont

observes ou mesures. Assure que les propritssont identiquesdans toutesles directionsde l'espace.

5- Hypothses en mcanique des fluidesL'hypothsede la mcanique des fluides consiste considrer des milieux

dont les proprits caractristiques, masse volumique, dformation,lasticit, etc.sont continues

Deshypothses supplmentairespeuvent ventuellement tre faites:

- homogne : ses propritssont les mmes en tout point ( quelque soit x ).

- compressible et incompressible :

- la viscosit : dans un coulement chaque molcule de fluide ne scoule pas lamme vitesse : on dit quil existe un profil de vitesse

Un fluide est ditincompressiblelorsque son volumedemeure quasimentconstantsous l'action d'une pression externe.

- Fluide parfait: En mcaniquedes fluides, un fluideest dit parfaits'il est

possible de dcrire son mouvement sans prendreen compte les effets deviscosit

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http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1705http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5755http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5755http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1705


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en termes mathmatiques, cela signifie que la masse volumique d'un telfluide est suppose constante= 0= constante

le fluide est incompressible

En ralit, tous les fluides sont compressibles, certains plus que d'autres.La compressibilit d'un fluide mesure la variation de volume d'unecertaine quantitde ce fluide lorsqu'il est soumis une pression extrieure.

Ainsi si l'on bouche l'orifice de sortie d'une pompe vlo et quel'on pousse sur la pompe, on voit que l'on peut comprimer l'air contenu l'intrieur.

C'est pour cette raison que pour simplifierles quations de la mcaniquedes fluides, on considre souvent que les liquides sont incompressibles. En effet,

(r= constante)

Exemple :

c'est parce que la compressibilitde l'eau (et de tous les liquides) est trs faible

En revanchesi l'on faisait la mme exprience avec de l'eau l'intrieur,

on ne pourrait quasiment pas dplacer la pompe :

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http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=2367http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1731http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5778http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1697http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5799http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=13294http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1705http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5754http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5754http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1705http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=13294http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5799http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1697http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5778http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1731http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1731http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1731http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=2367


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Ecoulement permanent en moyenne :Trs souvent, les grandeurs physiquesdcrivant le fluides dpendent dutemps mais restent constantes en moyenne.

V

temps

(On se place en un point fixede lcoulement et on mesure la vitesse des

instants diffrents) : si ces vitesses st des ctes donc lcoul. est permenent

coulement permanent (ou stationnaire):On dit quun coulement est permanentsi le champ des vitesses, la pression,la masse volumique en chaque point ne dpendent pas du temps.

-Ecoulement uniformesi le champ des vitessesest indpendant de lespace: V(t)

(On mesure la vitesse en diffrents pointsde lcoulement, au mme instant) :

Si ces vitesses st des ctes donc lcoulement est uniforme 13


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6- Points gomtriques et matriels

L'espace E3 est constitu depoints gomtriques. Le milieu matrielest constitu depoints matrielsappels aussiparticules.

Si le milieu matriel est en mouvement, les points matriels se

dplacent et leur position concide chaque instant avec des pointsgomtriques diffrents.

A chaque particule sont attaches des grandeurs physiques(pressions, temprature, vitesse, tenseur des contraintes, tenseurdes dformations, etc.)

La position l'instant test donc un vecteur OM de E3.

Points gomtriques

Points matriels

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- Trajectoire

On appelle trajectoirede la particule P, l'ensemble des positionsgomtriquesoccupespar la particule Pau cours du temps.

- ligne de courantOn dtermine, un instant t donn, lensemble des vitesses associes chaque pointde lespace occup par le fluide :

Ligne de courant t1M1 M2

M3

V1 (t1 ) V2 (t1 )

V3 (t1 )

V1(t

2)

V2 (t2 )

V3 (t2 )

Ligne de courant t2

Photo instantane de lcoulement

P(t0) P(t1)

P(t2)

P(tn)

La vitesse est tangente la trajectoire

V(t)

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7- Dfinition dun fluide:

Un fluidepeut tre considr comme tant form d'un grand nombre departicules matrielles, trs petites et libres de se dplacer les unes par

rapport aux autres. ( un paquet de molcules dans un volume dV autour de M) :

Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquideset gaz.

Un fluideest donc un milieu matriel continu, dformable, sans rigidit et quipeut s'couler.

La proprit physique qui permet de faire la diffrence entre les deux est lacompressibilit.

16

La vitesse de la particule fluide est donc la vitesse moyenne des molculescontenues chaque instant dans dv. Elle est attribue M


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IL sagit de ltude des fluides en mouvement: On fera une description descoulements sans faire le calcul des forces mises en jeu.

I- Dfinitions :

I.1-La particule fluide :Cest un paquet de molcules entourant un point M donn: Les molcules sonttoutes la mme vitesse linstant t et possdent les mmes propritscinmatiques et physiques ( V, p, T, r )

La cinmatique, c'est l'tude du mouvement des fluides sans tenir compte des forces

qui lui donne naissance.

Choix du volume lmentaire reprsentatif (VER)?

VER

r

Volume


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Soient M(x0 ,y0, z0)les coordonnes dune particule de fluide linstant todans lerepre 0,x,y,z.

Ces coordonnes indpendantes (x0,y0, z0,t)sont appeles variables de Lagrange.

La position de la particule linstanttest M(x, y, z, t).

x=f1(x0, y0, z0, t)

y=f2(x0, y0, z0, t)

z=f3(x0, y0, z0, t)

Pour avoir lvolution du fluide ,

il faut dterminer les relations suivantes:

Remarque : Mdcrit une trajectoire

M t0

M t

O

x

y

z

I.2- Description Lagrangienne.Dans cette description lobservateur suit une particuledonne au cours de sonmouvement partir de linstant initial.

Cest la mme particule M


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Exemple :Mouvement dfini par une description Lagrangienne:

0

0

0

x x (1 t)

y yz z

Par dfinition La vitesse deM est :

x

t

yV(M)

tz

t

Soit :0x

V(M) 0

0

2

2

2

2

2

2

x

ty

(M)t

z

t

0(M) 0

0

Et lacclration de M : Soit:


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- Trajectoires dune particule fluide

Il suffit donc de suivre lvolution de la particule fluide au fil du temps.

Ainsi le lieu gomtriques (trace) des positionssuccessives occupes par uneparticule constitue ce quon appelle la trajectoire de cette particule M

M(t0 )M(t1 )

M(t2

)

M(t3 )

M e trajectoire donc

dy dzdxdtu v w

dM V dt Et si )V u, v, w On peut crire donc :

3 quation du premier ordre

3 constantes dintgrations.

O

x

y

z

V(x0, y0, z0, t) = dOM/dt

Remarque : la vitesse est par dfinition :

dOM/dt=drive sur place de OM

E l S it l t t l l t it d ti l fl id t


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21

Par intgration :

dydxdta t b

Soit dxdt a t )a t dt dx dy

dtb

bdt dy

2

1

t at x a

2

2bt y a

1) lunit de aet bont lunit dune vitesse (m/s)et est une acclration (m/s2)2) Pour une particule fluide qui appartient la trajectoire:

2

1

t x at a

2

2y bt a

quation paramtrique

Et par limination de t : ) )22 2 12a

a a a2b b

yx y

Cest lquation cartsienne de la trajectoire :

Trajectoires : Paraboles

Exemple :Soit un coulement tel que le vecteur vitesse dune particule fluide est :

a t

V(M) b

0

O a et b sont des constantes

1) quelle est lunit de a, et b2) Dterminer la trajectoire de cette particule fluide

I 3 D i ti E l i


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Cette fois lobservateur est plac en un point Mfixedu repre, et regarde passer lesparticules fluides devant lui. Ainsi, deux instant diffrents, ce nest pas le mmeparticule qui occupe la position de Mde lobservateur.

I.3- Description Eulrienne

Et on calcule les variables (vitesse,pression,temprature,)du point qui passe par M.

Cette description de lcoulement consiste tablir un instant donnlensembledes vitesses associes chaque point de lespace occup par le fluide

M1

M2V1(t1)

V2(t1)

V1(t2)

V2(t2)

A chaque instant t, lcoulement du fluide est dcrit au moyen dun champ devecteur vitesse. photo instantane de lcoulement

On tudie ce qui se passe, chaque instant (on fixe le temps), en chaque point delespace :

A linstantt1

, M1 une vitesse V

1(t

1)

Et M2 une vitesse V2(t1)

A linstantt2 , M1 une vitesse V1(t2)Et M2 une vitesse V2(t2)

(x,y,z,t)sont appeles variables dEuler

Toutes les grandeursrelatives la particule (vitesse, pression, temprature, ...) sontdonnes en fonction du vecteur lieu actuel (x, y, z)et le temps t

O

x

y

z


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- DTERMINATION DE LACCLRATION EN VARIABLES DEULER :

dt 0

V(t dt) V(t) dV(M)(M) limdt dt

Mais en description Eulrienne les vitesses sont des vitesses de particules fluid

diffrentes.

En cinmatique, pour dterminer lacclration, on cherche le taux devariation de la vitesse dune mme particule fluideau cours du temps :

Si V(x,y,z,t) est le champ eulrien de vitesse,

Et (x,y,z,t) celui dacclration .Rappel :

dt 0

V(x, y, z, t dt) V(x, y, z, t)(x, y, z, t) lim

dt

23

dV(x y z t)


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24

dV(x, y,z, t)

dtV V V V

dV dx dy dz dtx y z t

dV V dx V dy V dz V

x ydt zdt d dt tt

On a :

dV(M)

dgr VdV

t ta

V

Donc, on doit calculer la drive :

V u v wi j k

x x x x

,

V u v wi j k

y y y y

V u v wet i j k

z z z z

dV u v w dxi j kdt x x x dt

u v w dyi j ky y y dt

u v w dz Vi j kz z z dt t

dV

dt u dx

x dt

u dy

y dt

) ) )..... .....u z

dtk

d

zi j

u u ux y z

v v v

x y z

w w

dxdt

dy V

dt t

dw

x y z

t

t

d

d

d

z

V

V E V u vi kj w V V V

, , s'crivent :x y zet

En reportant ces expressions dans (1) :

(1)

V

t


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dV V(M) gradV V

dt t

Va i

t

u u u

x y zv v v

gradVx y z

w w w

x y w

On a: Et puisque : et

0 0 0

b 0 0

0 0 0

Donc : (M) ai atbj

Exemple :La reprsentation eulrienne d un mouvement est donne par :

V(M) =at i +bx j . Dterminer lacclration dune particule fluide de ce mouvement

Li d t


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On appelle Ligne de courant la courbe qui, en chacun de ses points, esttangente aux vecteurs vitesses ( instant t fixe)

O

xy

z

M1

M2

V1(t1) V2(t1)

V1(t2)

V2(t2)M1M2

Lquation dune ligne de courant:

Ligne de courant t1 Ligne de courant t2

V3(t1)

M3

M3 V

3(t

2)

Le long dune telle ligne, toon a : dx et V(x,y,z,t0 ) sont colinaires :

Donc : dx V 0

0

0

0

u(x, y,z, t )dx 0

dy v(x, y,z, t ) 0

dz 0w(x, y,z, t )

dx dy dz

u v w

- Ligne de courant


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Exemple :Soit un coulement tel que le vecteur vitesse dune particule fluide est :

a t

V(M) b

0

O a et b sont des constantes

1) quelle est lunit de a, et b2) Dterminer la trajectoire de cette particule fluide3) donner la ligne de courant t0

0

dydxa t b

3)La ligne de courant t0, vrifie lquation suivante :

)0bdx a t dy )0b cte

a ty x

Donc les lignes de courant sont des droites

dx dy dz

u v w Soit :

- Ecoulement stationnaire (permanent)


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- Ecoulement stationnaire (permanent)

Dans ce cas, les trajectoiressont donnes par :dy dz

dxdt u(x,y,z) v(x,y,z) w(x,y,z)

Et les lignes de courantspar : (u , v, w ne dpendent pas de t (implicitement ils dpendent de t))dy dzdx

u(x,y,z) v(x,y,z) w(x,y,z)

Donc si lcoulement est permanent: ligne de courant =trajectoire

dx dy dz

u v w

dy dzdxdt u v w

Exemple 1: de robinet :On a donc la vitesse qui dpende que de x,y,z :

Le champ de vitesse ne dpend pas du temps :

t1V(A)

V(B)

V(C)

Quant on ouvre un robinet, aprs le rgime transitoire,le rgime devient permanent si : V=V(x,y,z)

car

car

A linstant t1 : VA=1m/s, VB= 4m/s , VC=1m/sVA=2m/s, VB= 6m/s , VC=2m/s

Si linstant t2ces vitesses

gardent les mmes valeursDonc :le rgime est permanent

C--d :

t2V(A)

V(B)

V(C)

A

BC

A

BC

Exemple 2 : dun coulement dans un canal :

Dfinition:Un coulement est permanentsi en description eulrienneles grandeurs sont indpendantes du temps


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Srie N1 : CINEMATIQUE


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ExerciceLa description du mouvement d un fluide est donne par les quations suivantes:

x (x0, y0, z0,t) = x0exp(t)

y (x0, y0, z0,t) = y0exp(-t)z(x0, y0, z0,t) = z0

x0, y0, z0sont les coordonnes d'une particule dans la configuration de rfrence,et les x,y,z sont les coordonnes de la particule au temps t.est une constante positive.

1- Par quelle description est dfinie ce mouvement?2- A quel instant t0(donner sa valeur) correspond la configuration de rfrence ?3- Quelle est la description lagrangiennedes composantes du vecteur vitesse ?4-Quelle est la description eulriennedes composantes de ce mme vecteurvitesse ? Lcoulement est-il permanent ?

5- Quelles sont les composantes Dij du tenseur des taux de dformation ?(voir fin de chapitre)

Solution :


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Solution :

Ce mouvement est dcrit par la description de Lagrange

2) La configuration de rfrence est : 0 00 0OM i y zkx j

Donc , il correspond t=0, car :

x (x0, y0, z0,t) = x0exp(t)

y (x0, y0, z0,t) = y0exp(-t)

z(x0

, y0

, z0

,t) = z0

On a : Et pour t=o, on a bien : x (x0, y0, z0,0) = x0

y (x0, y0, z0,0) = y0

z(x0

, y0

, z0

,0) = z0

Donc t=0 correspond la configuration de rfrence3- Quelle est la description lagrangienne des composantes du vecteur vitesse ?

On a :0

0( )

0B

t

t

xx

t

y y

e

V M

z

et

t

4-Quelle est la description eulrienne des composantes de ce mme vecteur vitesse ?

La vitesse doit tre fonction de x, y, z ,t: soit V=V(x,y,z,t) :

1- Par quelle description est dfinie ce mouvement?


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0

0( )

0

t

B

tx e

V eyM

On a:Et puisque : x = x0exp(t)

y = y0exp(-t)

z= z0

x0 = x exp(-t)

y0 = y exp(t)

z0=z

Donc la vitesse scrit en description dEuler : ( )

0B

x

yV M

Lcoulement est-il permanent ?

Oui, car la vitesse ne dpond que de x, y, zet ne dpond pas du temps,dans la description dEuler.

Remarque :x, y, z dpendent implicitementdu temps t.

5 Q ll t l t d t d t d df ti ?D


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1 u v 1 u w

2 y x 2

1 v uD

2 x y

1

z x

u

x

v

y

w

z

1 v w

2 z

w u 1 w v

2 x z z

y

2 y

( )

0B

u

M v

w

yV

x

Le tenseur de dformation scrit:

Dans notre cas :

0

D

0

0 0

0 0

0

Donc :

Remarque : Calculer la divergence de V(M) ?

( ) 00u v w

x ydi V M

zv

Pas de variation de volume

On peut le constater en calculant la trace de : D Trace de = 0D

5- Quelles sont les composantes du tenseur des taux de dformation ?D


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- CHAMP DE VITESSE DANS UN FLUIDE ( milieu dformable)


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35

- CHAMP DE VITESSE DANS UN FLUIDE ( milieu dformable)

Soient un domaine lmentaire de centre le point C, tel que:

MC(D)

B

x

OC y

z

B

x dx

OM y dyz dz

Et le point M de (D) tel que :

Pour dterminer le champ de vitesse dans le domaine (D), on dtermine la vitessede M par rapport R:

On a: / RR

dOMV(M)

dt

Et puisque : OM OC CM

R R R

d d dOM OC CM

dt dt dt

Soit :/ R / R

R

dV(M) V(C) CM (1)

dt

Soit un repre R( oxyz)muni dune base orthonorme B =( i, j, k ) fixe galilen

R

d

CM ?dt

Pour dterminer (la vitesse de M)/R , il nous reste dterminer :

et u, v, wles composantes de sa vitesse/R t.R

et u, v, wles composantes de sa vitesse/R :

V(C)

B

u

v

w

V(M)

/R u ' i v' j w 'k

x

y

z

O

d x x dx


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36

R

dCM ?

dt

CM CO OM

B B

CM OC OM y y dy

z z dz

On a :

Et sa drive/t / R:

On a :

iCM dx dy dj z k

) ) )R

dCM dx i j kd d ddt dt dt

dy dzdt

(i j k sont lis R)

R

idCM d

d d ddt d

x

t dt

dy dz

dtj k

Soit :

du d di v kwj

u u udu dx dy dz

x y z

v v vdv dx dy dz

x y z

w w wdw dx dy dz

x y z

E t t i d l ti (1)


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37

/ R / R

R

dV(M) V(C) CM (1)

dt

B B

u ' u

v ' v

w ' w

/ R / R V(M) V(C) gradV(C) CM

En reportant ces expression dans lquation (1):

u u udx

x y z

v v v dy

x y z

w w wdz

x y z

u u udx dy dz

x y z

B

Vitesse de translationdensemble de son centre

dinertie

Vitesse de rotation(en bloc)de (D)+ dformationde (D)

v v vdx dy dz

x y z

w w wdx dy dz

x y z

Vitesse gnralede la particule fluide

Dcomposition du mouvement gnral dune particule fluide:


38/210

38

/R /R V(M) V(C) gradV(C) CM

- Dcomposition du mouvement gnral d une particule fluide:

v v vv ' v dx dy dz

x y z

u u uu ' u dx dy dz

x y z

w w ww ' w dx dy dz

x y z

On a : Ou encore :

Posons : 12w

zp v

y 12

q u wz x

12

vy

r ux

Le systme (I), devient :

u 1 u v 1 u wu ' u dx dy dz

x 2 yq rdz d

x 2 z xy

(I)

v 1 v w 1 v uv ' v dy dz dx

y 2 zr pdx d

y 2 x yz

w 1 w u 1 w vw ' w dz dx dy

z 2 xp qdy d

z 2 y zx

(II)

et

D l t i d (II) l tqdz yrd


39/210

39

Dans le systme ci-dessus (II), les composantes :rdx zpd

pdy xqd

Reprsentent les composantes du produit vectoriel suivant: dx

r z

p

q dyd

u 1 u v 1 u wdx dy dz

x 2 y x 2 z x

v 1 v w 1 v udy dz dx

y 2 z y 2 x y

w 1 w u 1 w vdz dx dy

z 2 x z 2 y z

On pose le vecteur Wde composantes p, q, r et puisque le vecteur CM est de

Et soit D le vecteur de composantes:

Qui peut se mettre sous la forme suivante :

dx

d M

p

qr

y Cdz

W

D

B

composantes dx, dy, dz . Ce produit vectoriel scrit :


40/210

40

u 1 u v 1 u wdx dy dz

x 2 y x 2 z x

v 1 v w 1 v u

dy dz dx =y 2 z y 2 x y

w 1 w u 1 w v

dz dx dyz 2 x z 2 y z

1 v u

2 x y

1

1 u v 1 u wu

x

v

y

dx2 y x 2 z x

1 v wdy

2 z y

w u 1 w v

2 x z y z d2

wzz

D

B

Tenseur symtrique(dformation pure)= D

A t ti bti t l l ti t i ll i t


41/210

41

Avec ces notations on obtient la relation vectorielle suivante :

/R /R CM DV(M) V(C) W

/R /R V(M) V(C C) CM D MW V(C)

B

u

v

w

12

w vpy z

12

u wqz x

12

v urx y

w vu

y zx

u wV(C) v

y z x

v uw

r

y

ot

xz

Et puisque :

On obtient :1

rot )2

V(CW

Remarque : 1- le rotationnel de V(C), scrit : On a : Donc :

Ou encore :

Cest le vecteur tourbillon

Lcoulement du fluide est dite irrotationnel si 0W CotV( ) 0r

2- le tenseur des rotations pures not G ?


42/210

42

.. .. .. dxCM .. .. .. dy

.. .. .. dz

W

1

2

w

zp

v

y

1

2q

u w

z x

1

2

v

yr

u

x

p dx

CM dy

d

q

zr

W

1 v u 1 u wdx

2 x y 2 z x

1 w v dy2 y z

d

0

0C

z

M

0

W

2- le tenseur des rotations pures , not G ?

G= Tenseur antisymtrique(rotation pure)

On a:qdz yrd

rdx zpd

pdy xqd

0 r q dxCM r 0 p dy

q p 0 dz

W

En criture matricielle:

Et puisque :

Il vient :

Ce qui implique que les composantes


43/210

43

31 2 1

2 1 3 1

32

1

1

2

2

3

3

3 2

1 1

2 2

u

x

u

uu u u

x x x x

uu

x xD

x

u

x

Ce qui implique que les composantesde D et G sont :

31 2 1

2 1 3 1

32

3 2

1 10

0

0

2 2

uu u u

x x x x

G uu

x x

Soit en criture indicielle :

jiij

j i

uu1

2 x x e

jiij

j i

uu12 x x

i cest la lignej cest la colonne

Rcapitulation :


44/210

44

/ R / R V(M) V(C C) CM D MW

1- dune translation densemble de son centre dinertie,

/R /R CM DV(M) V(C) W

/R /R V(M) V G CM D CM(C)

0 r q

G r 0 p

q p 0

1 u v 1 u w

2 y x 2

1 v u

D 2 x y

1

z x

u

x

v

y

w

z

1 v w

2 z

w u 1 w v

2 x z z

y

2 y

B

1rot

2

p

V(C) q

r

W

3- dune dformation caractrise par D

2- dune rotation autour du centre dinertie, caractrise par G

Lexpression de V(M) montre que le mouvement le plus gnral de la particule fluideest form :

p

1

2

w

zp

v

y

1

2q

u w

z x

1

2

v

yr

u

x

I- ETUDE DU TENSEUR E DES DEFORMATIONS PURES D


45/210

45

A- ANALYSE DES TERMES DIAGONAUX (signification physique des termesdiagonaux)

I- ETUDE DU TENSEUR E DES DEFORMATIONS PURES

Soit D dans le cas o tous les termes sont nulssauf e11:

110 0

0 0

0 0

0

0

D

e

111

1

u

xe

1

2

jiij

j i

uu

x xe Donc :Et puisque :

On a donc :

D

31 2 1

2 1 3 1

32

1

1

2

2

3

3

3 2

1 1

2 2

u

x

u

uu u u

x x x x

uu

x xD

x

u

x

On a :

(signification physique des termes de D)

- Dterminerlallongement relatif dans la direction e1 ?


46/210

46

Soit Nun point voisin de Msur laxe Ox1

)1Dtermination de

N

MNM e

'

,

N

e

1

1 1

110 0

NN' D 0 0 0

0 0

dx

dx e 0

0 0

e

N N

et le point Nse dplace en N

x1 )1e

x2 )2e

)1N

M,e'

MN

Ne

g 1

M

NN' D MNOn peut crire :1- Puisque MNsest transform en NN,

Soit:1

1

11

11

dx

0

0

NM e

e e

On a, par dfinition, lallongement relatif dans la direction e1:

Et puisque NN = /NN/ e1= NN e1

(1)

(2)

11

N

MN

N 'e

Donc e 11 reprsente lallongement relatif dans la direction e1

Et par galisation de (1) et (2): On obtient :

MN=dx1 e1___________> NN

d )M )M


47/210

47

de mme pour : )22 2M,ee e )33 3M,ee e

Donc e 33 reprsente lallongement relatif dans la direction e3Donc e 22 reprsente lallongement relatif dans la direction e2

31 2 1

2 1 3 1

12 13

3221 23

3 2

31

1

1

11

222

2

32 33

3

3

1 1

2 2

uu

x

uD

x

ux

u u u

x x x x

uu

x x

e

e

e

e e

e e

e e

Donc e 11 reprsente lallongement relatif dans la direction e1

11 1

2 2 2

3 3 3

e iu u x x

u v , x y et e j

u w x

Notations utilises

z

:

e k

Avec :

Remarque : Variation relative de volume


48/210

48

Remarque: Variation relative de volume

ie

puisque iie l'allongemereprsente

dans la direction

nt

relatif

Donc :1 11 1 2 22 2

' ( )( ) A e e

11 1 22 2' (1 ) (1 ) A e eSoit :

Et se transforme en aire de MM1NM2= A

M2N

M1

La variation relative de laire A :

A

A

Car e11e22 est un infiniment petit du second ordre.

x1

x2

M M1

M2 N

A' A

A

11 22 11 22 11 22e e e e e e

) )11 1 22 2 1 2

1 2

1 1e e

) )11 221 1 1e e

Soit le rectangle MM1NM2de ct , 1 2 Laire de MM1NM2 = A = 1 2

La variation relative de volume est donc :


49/210

49

111

1

u

xeEt puisque : 2

22

2

,

u

xe

333

3

e utx

e

31 2

1 2 3

uu uV

V x x x

) V div uV

11 22 33

A V

A Ve e e

La variation relative de volume est donc :

0 divV=0V

V

Trace D

Remarque :

Si le fluide se dforme sans variation de volume (fluide incompressible)

Donc

s crit :V

V

Qui reprsente la divergence de V(C) , soit :

B-ANALYSE DES TERMES NON-DIAGONAUX


50/210

50

1

1

2

2

3

3

31 2 1

2 1 3 1

32

3 2

1 1

2 2

12

uu u u

x x x x

uuD

u

x

u

u

xx

x

x

On a le tenseur des dformations pures :

12

21

0

0

0 0

0

0

0

D

e

e

Soit Ddans un cas o tous les termes sont nuls sauf e12 e21.Dans ce cas Ddevient :

Soit N1voisin de Msur Ox1 et N2voisin de Msur Ox2

Dplacement de N1 N1etDplacement de N2 N2

x1 )1e

x2 )2e

M

N1

N2 ???MN1 = drMN2 = dr

Le transform de dr : MN1 = dr


51/210

51

'

1 1N N D dr 12 1

21

0 0 dx

0 0 0

0 0 0 0

e e

21 1 21 1 2

0

dx dx e

0

e e

'

2 2N N D dr 12

21 2

0 0 0

0 0 dx

0 0 0 0

e e

12 2

12 2 1

dx

0 dx e

0

e e

Donc

'

1 1 2

'2 2 1

N N e

N N

est dans le direction de

est dans le direction de e

MN2 = dr

N1

N2

N1

M

N2

x1 1e

x2 )2e

MNi initialMNifinal

A noter que :

On a :


52/210

52

)' '1 2

La var

M N M

iation de L'angle

estN -2de

1

'1 1

1

NNon a : tg =

MN

) ' '1 2L'angle passe d MNMN 2e

Les angles tant petits on assimile donc angle en radianet tangente :

'2

2 122 12 2

2 2

N N dxon a : = = =

MN dx

tg

1 21 2 12 1 2 e tq e q e q q

Pour des petites dformation, les angles q1etq2peuvent treconsidrer petits:

2q1

Et soit q1 : 121 1

1

2

dx= =

d

x

N2N1

x1 )1e

x2 )2e

MN1

N2

donc

Et soit q2 :

On appelle la quantit (p/2 )ladistorsion angulaire ou glissementenMsuivant e1 et e2

- Dterminer cette quantit en fonction de eij

)

' '1 2

M N M NLa variation de L'angle est de -

2

On a :


53/210

53

)

1 2g 2

1 2

Puisque : ( + + = ) donc :

2

Ce qui reprsente la distorsion angulaire.

)1 2M,e , e en petite dformati2 onp

Donc on en dduit que :

On appelledistorsion angulaire ou glissementen Msuivant laquantit , note:

1 2et ee

On a :

2 1 2 21 122 11 2

- =La variation d'a =2 + ng

2= + le


54/210

54

E=D

Interprtation du tenseur de rotation pur G


55/210

55

On utilise la mme dmarche que pour le tenseur de dformation purD

On suppose que tous les ij sont nulssauf 12 2131 2 1

2 1 3 1

12 13

3221 23

3 2

3

1

2

2

2

1 3

1

0

0

1 12 2

0 01

0 02

0

0

0 00

0

0

uu u ux x x x

uu

xG

x

Soit N1voisin de Msur Ox1 etN2voisin de Msur Ox2

Soient :Dplacement de N1 N1et

Dplacement de N2 N2x1 )1e

x2 )2e

MN1

N2

Soit :

dx1 = MN1

dx2 = MN2

Avec :

On peut crire, pour une variation dun segment lmentaire initiale,


56/210

56

dx1 :

'

1 1N N drG

21

21 2

0 0 0

0 x0

0 0 0 0

d

dx2 :

'

2 2N N drG

21 1

21

0 0

0 0 0

0 0

d

0 0

x

21 1

21 1 1

dx

0 dx e

0

N1N2

dx2

dx1

21 1 21 1 2

0

dx dx e

0

x1

x2

M N1

N2

21dx1

21dx2

On peut remarquer lesrotations suivantes :


57/210

DCOMPOSITION DU TENSEUR DES DFORMATIONS PURES : D


58/210

58

On peut le dcomposer en somme de deux tenseurs, lun sphriqueetLautre dviatorique( trace nulle)

DCOMPOSITION DU TENSEUR DES DFORMATIONS PURES : D

Dcomposition du tenseur des dformations pures : D


59/210

59

12 13

21 23

11

3 331 32

22

3

3

3

e e

e e

e e

qe

qe

qe

On peut dcomposer ce tenseur de la faon suivante :

Avec : q= e11 e22 e33

On peut remarquer :

1- le premier tenseur est proportionnel au tenseur unit, not :

2- la trace de deuxime tenseur est nulle :

O q= e11 e22+ e33= la trace de D = Tr[ D ](Il est isotrope, les proprits sont identiques dans toutes les directions)

Ce tenseur dont la trace est nulle est appel dviateur

0 0

0

1

13

1

0

0 0

q

Un tenseur proportionnel au tenseur unit est appel tenseur sphrique.

dDOn a donc : D sD

dD

11 12 13

21 22 23

31 32 33

D

e e e

e e e e e e

sD


60/210

60

ddE D

http://gev.industrie.gouv.fr/gev-mecaflu/mecaflu/accueil_mecaflu.htm
http://gev.industrie.gouv.fr/gev-mecaflu/mecaflu/accueil_mecaflu.htmhttp://gev.industrie.gouv.fr/gev-mecaflu/mecaflu/accueil_mecaflu.htmhttp://gev.industrie.gouv.fr/gev-mecaflu/mecaflu/accueil_mecaflu.htmhttp://gev.industrie.gouv.fr/gev-mecaflu/mecaflu/accueil_mecaflu.htm


61/210

61

Chapitre III : THEOREMES GENEREAUX


62/210

p

Comme tout problme de mcanique, la rsolution d'un problme de mcaniquedes fluides passe par la dfinition du systmematriel S, particules de fluide l'intrieur d'une surface ferme limitant S.

Dans ce chapitre , nous supposons que les fluides sont parfaits, cest--dire sansfrottement (fluides non visqueux ) et nous aborderons le cas des fluidesincompressibles.

A cette masse fluide, on applique les principes et thormes gnrauxdemcanique :

1 - Principe de la conservation de la masse.

2 - Principe fondamental de la dynamique.

3 - Principe de la conservation de l'nergie

On isole par la pense toutes les particules fluides qui se trouvent un instant

Donne lintrieur dune surface ferme S. (S)

62

l l t " " t d i


63/210

Remarq ue smantique:nous avons employ le mot "Principe"pour traduire une

relation (dmontre partir du principe fondamental de la Mcanique) ; nous

aurions du dire Thorme ; en fait, cela se produit souvent en Physique : ce qui

tait un Principe une poque devient un Thorme avec l'avancement des

connaissances et, souvent, tort, on garde la premire terminologie.

1. Pression dans un fluide au repos (en quilibre dans un rfrentiel galilen)Notre sens commun nous fait apprhender un fluide (gaz ou liquide) comme tant de

nature trs diffrente dun solide. Ce dernier a une forme propre qui nous permet de

le reconnatre. Liquide ou gaz nont pas de forme propre, ils pousent la forme du

rcipient qui les contient, sont dformables sous la moindre action. Liquide et gaz

ont des diffrences : un liquide, contrairement un gaz, a un volume dfini, il ne

remplit pas tout le volume du rcipient.

63

1- PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE LA MASSE.


64/210

La masse dun domaine fluide (D)que lon suit dans son mouvement seconserve au cours du temps (en labsence de sources et/ou puits).

On a alors :

( )

d 0

dtD

dVr

0Ddm

dt

Et puisquon a :

( )( ) ( )

( , ) SD D

fdV dV f M t f

dn

dt t

ds

V Et posons f=r

1)

Lquation (1)scrit :

( )D

dVd

dtr

( ) ( )

0SD

nt

dsdVr

r

V

( )) ( ( )

S Dn did VA vs A d Et daprs le thorme de la divergence:

la relation (2)devient :

2)

( ) ( )

( ) 0D D

dV dV divt

rr

VSoit :

( ) 0divt

rr

V

Cest lquation de conservation de masse( ou quation de continuit)

( )

d

0 et puisqued dm= d vt D dm r

( )

0S

dsnr V( )D

dVt

r

Et avecA=rV

64

Application :


65/210

Dans lespace trois dimensions Ox, Oy, Oz, on considre lcoulementbidimensionnel dun fluide incompressible caractris par le champ des vitessessuivant : u = (2x -3y )t

v = (3x-y )tw = 0

Dterminer pour que lquation de continuit soit satisfaite.

Lquation de continuit scrit ( ) 0div

t

rr

V

Et dans le cas dun fluide incompressible (r=cte), on a : ( ) 0div V

0u vx y

Soit :

2u

tx

v

ty

Et comme :

2 0t t On doit donc avoir : 2

et

65

Consquences:Conservation de dbit


66/210

1- Cas dun coulementpermanent : 0t

r

( ) ( )

0D S

V nt

dV dsr

r

Et de lquation (2)suivante :

, On en dduire que :( )

0S

ndsr V

Et si(S)= (S1)U (S2)U (S)

(S1)(S)

(S2)

1n

2n

n

Lquation (3)scrit :

1 2

( 1) ( 2) ( )

0S S

V n ds V n ds V n dsr r r

Et daprs le produit scalaire :

(3)

Cest la conservationde dbit massique (kg/s) V contante2- Si de plusr = cte: (fluideincompressible)

Cest la conservationde dbit volumique (m3

/s)V S contante

( 1) ( 2) ( )

0 0S S

V ds V dsr r

1 1 1 2 2 2 V S V S r r Soit :

V

(S)

66

D'aprs la loi de Pascal la pression d'un fluide en milieu ferm est transmise


67/210

D'aprs la loi de Pascal, la pression d'un fluide en milieu ferm est transmiseuniformment dans toutes les directions et dans toutes les parties du rcipient, condition que les diffrences de pression dues au poids du fluide soient

ngligeables.

Cette loi a des applications extrmement importantes en hydraulique.

S. L=constante

67

2- PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE :( )


68/210

(conservation du quantit du mouvement )

o p mVextdp

Fdt

Quelque soit le domaine fluide (D) que lon suit dans son mouvement :

Pour, un milieu continu (fluide), on a la forme intgrale :

( ) ( )( ) ( )

d ddt dt

D D DS

dp V T f dV dV dsr r

Rsultantedes forcesextrieures de surface(forces molculaires)

Rsultante des forcesextrieures de volume(champs de pesanteur,Magntique, lectrique..)

(1)

(2)

) )( ) ((

d

SD D

VT f

ddV dV

tdsr r

Lquation (2) est la forme intgrale de lquation de conservation de q.d.m :

(3)

dp = V=dm Vdvret

(Forces de contactes)(Forces distances)

68

3- Thorme de Lnergie Cintique


69/210

g q

Dmonstration de Thorme de Lnergie Cintique(T.E.C):

On a :

R

dw V(M)dV(M)m dtdt

dw V(M) dtF

R

dV(Mdw V(M))md

dt t

Et daprs le P.F.D, dw scrit :

Soit :

2w 1m V(M)

d d dEc

dt dt d2 t

Ce qui implique :

La quantit Ecest appele nergie cintique de la particule M de mase m,

)C Fd d

Pdt dt

wE

Nous considrons maintenant F comme la rsultante de toutes les forcesappliques ce point matriel M de masse m.

Et le Thorme de Lnergie Cintique scrit :

dW dEcou

) )2 1M MW Ec Ec

69

3 - PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE L'NERGIE


70/210

- Conservation de lnergie cintique

On sait que pour un systme de points matriels, le thorme de la variationdnergie cintique peut tre mis sous la forme :

)

)

.

.

.

c f ex

f exc

f ex

d E dW

dWd E Pdt dt

21

2E m V

c exdE WF

12

cdE d mV Vdt dt

cdE dVm Vdt dt

)cdE

m Vdt cdE

V Fdt

Donc :

70


71/210

71

Chapitre IV : STATIQUE DES FLUIDES


72/210

Un fluideest donc un milieu matriel continu, dformable, sans rigidit et quipeut s'couler.

Les liquideset gazhabituellement tudis sont isotropes, mobileset visqueux. Laproprit physique qui permet de faire la diffrence entre les deux est lacompressibilit.

la viscosit caractrise le fait que tout changement de forme s'accompagned'une rsistance (frottements).

1- Dfinition dun fluide :

2- Liquides et gaz

Un fluidepeut tre considr comme tant form d'un grand nombre de particules

matrielles, trs petites et libres de se dplacer les unes par rapport aux autres.

Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquideset gaz.

l'isotropieassure que les proprits sont identiques dans toutes les directions

de l'espace.

la mobilitfait qu'ils n'ont pas de forme propre et qu'ils prennent la formedu rcipient qui les contient.

72

- Dfinition de la pression:

D ili l d i d ili fl id


73/210

df

dfN

dfT

Mais cette force peut toujours tre dcompose en :df

2

La force que la partie (1)exerce sur la partie (2) travers cet lment de surfacerel ou fictif dSa une direction quelconque.

Dans un milieu quelconque, donc aussi dans un milieu fluide,Soit un lment de surface dS qui spare le milieu fluide en deux parties (1) et (2) :

dfT composante tangentielle

dfNune composante normale

La quantit dfT/dSreprsente la contrainte tangentielle

O

Unit: Le Pascal(Pa)=1N/m2

est la pression normaleNn

dfP

ds

TT

dfP

ds est la pression tangentielle

Le rapport :

Le rapport :

dfNdfTdf = +

1

dS

La quantit dfN/dSreprsente la contrainte normale

73

En statique des fluides, seules interviennent les forces de pression dfN, normales


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Pression en point d'un fluide statique :

l'lment dS.

Si le fluide est en quilibre, donc pas de mouvement, les forces de frottement sontnulles :

En effet :

Les forces tangentielles dfT n'apparaissent qu'en dynamique des fluides* : ellescorrespondent aux frottements visqueuxdes couches fluides en mouvement les unespar rapport aux autres et par rapport la paroi de la conduite.

*A noter quemme sil ya mouvement et si le fluide est parfait, on a dans ce cas :Les forces de frottement sont nuls(dfT =0)

En tout point d'un fluide existe une certaine pression. Soit un point Mdans un fluide.

Si on considre une surface imaginaire dSpassant par M,

( statique (en quilibre) : 0)fluide df

dS

dfdf p n dS

df nP

ds

O n tant le vecteur unitairede la normale dSorientvers l'extrieur.

n

M

74


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- Units de pression


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Plusieurs units existent: le pascal(Pa) : unit SI, peu employe en pratique le bar(bar) et son sous multiple le millibar (mbar)

le millimtre de mercure ou Torr le millimtre de colonne d'eauou le mtre de colonne d'eau(m CE) l'atmosphre(atm)

La pression atmosphriqueest la pression exerce par l'atmosphre lasurface de la terre.

Au niveau de la mercette pression est quivalente celle exerce par unecolonne d'environ 760 mm de mercure.Elle varie tous les jours lgrement: elle est nanmoins toujours voisine de 1bar.

Po (en moyenne, niveau de la mer) = 1013 millibars = 1,013bars = 1,013 105Pa

Exemple :

La correspondance entre ces units est la suivante:750 mm de mercure 10,2 m CE 0,987 atm

(voir lexprience de Torricelli )

76

- EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE DES FLUIDES


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Cas du fluide statique

Fluide parfait

V 0 o est la pressionp de fluideT pn

Dans cecas, lquation (1), devient :

( ( ))

0

S D

fd Vnp ds r Et puisque, on a daprs le thorme de :

) ( )(

gradpDS

dnp d Vs

0pf gradr Cest lquation fondamentale de statique

( )( )( )

d

S DD

TV

dVdt

ds Vfdr r L'quation fondamentale de la dynamique scrit :

( () ) 0 S DTd ds f Vr

(1)donc :

( ) ( )

0D D

p d f dVg Vrad r

Ce qui nous permet dcrire : )( )

0D

f dVgr pad r :( )Et puisque

77

EQUATION FONDAMENTALE DE LHYDROSTATIQUE

On appelle hydrostatique la statique des fluides incompressibles (r constante)


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A partir de lquation fondamentale de statique: 0 gradpfrOn peut dduire :Et puisque :

0

0

0

00

p

p

p

x

y

z

gr

p

)

z

(p z

d

d gr

ctegzp r Cest lquation fondamentale de lhydrostatique

Le fluide a pour masse volumiqueret le champ de pesanteur est le seul champ deforces extrieures.

Dans le cas d'un liquide, (ou pour un gaz dans lequel la variation de pression estfaible),la masse volumique rnedpend pas de la pression.

De plus, si on suppose la temprature uniforme, la masse volumique seraconsidre comme constante.D'autre part, pour des diffrences d'altitude courantes, l'acclration de lapesanteur g peut aussi tre considre constante.Dans ce cas on peut intgrer la relation prcdente :

z

0

0

p

p

x

y

p

zgr

f = g (=constante)

zp

gd dr

(laxe ozest vertical ascendant)

On appelle hydrostatiquela statique des fluides incompressibles(rconstante).

78

Bibliographie ( lire)
http://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.html


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79



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80



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81

On considre un liquide, de masse volumique r, immobile l'intrieur d'un

Application : Mthodologie


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A

B

r

z

P B= PA+g h

h

PB, PA: pressions en B et A kg/(m.s2) ou Pa (pascal) : masse volumique du liquide kg/m3

g : acclration de la pesanteur m/s2

p gz ct er On a : Soient :

B Bp gzr )B A A Bp p g z -zr

h : distance verticale entre A et B m

rcipient;

Soient deux points A et B du fluide, le principe s'crit:

) )A B AB A B= g z -z o zp p -z 0hr

0

(laxe ozest vertical ascendant)

Remarque:On a : Donc B Ap p

On pose h = zAzB, Donc :

Dans un fluide la pression crot de haut en bas.

UNITES :

On a : pB- pA= .g.(zA- zB) ce qui nous permet dcrire : dp = -.g.dz

z

A Ap gzr

zA

zB

82

La diffrence de pression (en Pa) entre A et B est numriquement gale au poids

- Valeur de la Diffrence de pression entre deux points :


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La diffrence de pression (en Pa) entre A et B est numriquement galeau poidsd'une colonne de liquide de section unit 1 m2et de hauteur h en m:

On pourra dire que PB- PA exprime en pascalsest donc gale une pression deh mde colonne de liquide de masse volumique (kg/m3).

On peut toujours exprimer une pression avec une unit de hauteur aprs avoirprcis le liquide choisi.

La diffrence de pression entre deuxpoints quelconques d'un fluide enquilibre est gale au poids d'uncylindre de fluide de section unit etayant pour hauteur la dnivellationentre les deux points.dz

z

z+dz

Cylindre de hauteur h en m et de section unit 1 m2

( ) ( )p z dz p z dp gdzr

h en m

A

B

r

83

Application de

C l l l i bi l d d t f d d 25

p gz ct er


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Calculer la pression subie par un plongeur descendant un profondeur de 25 mdans leau. On donne g=10ms-2 , re =1000 kg/m3 et pAtmosphrique = 1 bar.

z

0

h=25m

p gz ct er On a : (silaxe ozest vertical ascendant (montant ))Dans notre cas : p gz cte- r

Entre 0et la particule fluide M (plongeur M), on a : a -p 0g r p- hgr

M

ap = p gh rDonc : A.N : P= 3.5 bars = 3.5 105 Pas

pAtmosphrique= pa=1 bar

(oz est vertical descendant ) Donc:

1 bar = 1 kg / cm2.

84


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La notion de pression partielle est importante pour dfinir les seuils de toxicit des gaz. Par exemple,l'oxygne reprsente un danger pour les plongeurs partir d'une pression partielle de 1 6 bar Quand on



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86

l oxygne reprsente un danger pour les plongeurs partir d une pression partielle de 1,6 bar. Quand onplonge l'air, cette valeur critique est atteinte la profondeur de 70 m.Les plongeurs au nitroxrespirent un mlange enrichi en oxygne, la PpO2limite de 1,6 bar sera atteinteencore plus tt. Les nageurs de combat qui respirent de l'oxygne pur dans leur scaphandre circuitferm ne pourront dpasser sans danger la profondeur de 6 m !

La pression est une force applique sur une surface. Par exemple, chaque cm2(surface) de notre peausupporte environ 1 kg (force) reprsentant le poids de l'atmosphre.C'est la pression atmosphriqueauniveau de la mer. Nous ne la ressentons pas car notre corps est incompressible et ses cavits (estomac,poumons, sinus,... ) contiennent de l'air la mme pression.Si on s'lve de 5 000 m, la pression atmosphrique est deux fois plus faible qu'au niveau de la mer car lamasse d'air au-dessus de notre tte est alors moiti moindre. A la fin de cette page se trouve un tableaudes units de pression. En plonge sous-marine, pour mesurer la pression dans les problmes, on utilise

de prfrence le bar et on considre que 1 bar = 1 kg / cm2

.Qu'en est-il dans l'eau ? Plus on est loin de la surface, plus la pression est leve car il faut tenir comptedu poids de l'eau au-dessus de nous. A -10 mtres de profondeur, chaque cm2de notre peau supportera lepoids d'un litre d'eau (1 litre = 1 000 cm3). Sachant qu'un litre d'eau pse environ 1 kg, la pression due l'eau -10 m de profondeur est donc de 1 kg / cm2, c'est--dire 1 bar. Si on descend nouveau de -10 m,la pression augmentera nouveau de 1 bar.La pression absolueen plonge est la pression totale : Pression atmosphrique + Pression due l'eau. A-10 m de profondeur, la pression absolue est de 2 bar (1 bar de pression atmosphrique + 1 bar du au

poids de 10 m d'eau).A -20 m elle sera de 3 bar, -30 m de 4 bar, etc... On remarquera que de 0 -10 mla pression augmente de 100% alors que si on descend de -30 -40 m, elle n'augmente que de 20%. Il estimportant de savoir que la pression change plus vite en fonction de la profondeur si on est prs de lasurface.La pression hydrostatiqueest le nom savant pour la pression due l'eau. On l'appelle aussi pressionrelativecar c'est une pression par rapport la surface. La relation qui unit tous ces termes est donc :

P.absolue = P.atmosphrique + P.hydrostatique

Bibliographie
http://www.thelin.net/laurent/plongee/nitrox.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/nitrox.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.html


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87

Archimde (287 - 212 av.JC)Physicien et mathmaticien n Syracuse en Sicile. Il est connu des plongeurs pour avoir pos

les bases du calcul de la flottabilit grce son principe dcrit sur la page Lois physiques.C'tait un gnie, il a invent le palan, le levier, les engrenages et le tlphone portable (vrifierce dernier point).

Evangelista Torricelli(1608 - 1647)Physicien Italien qui a mesur en 1643 la pression atmosphrique l'aide de l'exprience

dcrite en cours

Bibliographie
http://www.thelin.net/laurent/plongee/loisphysiques.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/loisphysiques.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/photos/index.html


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88

L'oxygne est toxique partir d'une certaine pression. Si on respire de l'oxygne une pressionsuprieure 1,6 bar, on risque un malaise grave (crise caractre pileptique). L'air est composapproximativement de 20% d'oxygne et 80% d'azote. Au niveau de la mer, la pression atmosphrique estde 1 bar. La part de pression due l'oxygne est donc de 0,2 bar (c'est la "pression partielle" de l'oxygne).

En plonge, la pression de l'air respir dans le dtendeur augmente avec la profondeur. Par exemple uneprofondeur de 20m, il rgne une pression de 3 bar, l'air respir est donc lui aussi 3 bar. La pressionpartielle d'oxygne dans cet air reprsente toujours 20% de cette pression, c'est--dire 0,6 bar. Si lesplongeurs continuent descendre, la pression partielle de l'oxygne respir continue de crotre et peutatteindre ou dpasser la limite des 1,6 bar ( une profondeur de 70m environ).L'azote est toxique partir d'une certaine pression. Sa toxicit se manifeste par ce qu'on appellecouramment "l'ivresse des profondeurs" ou plus simplement "narcose l'azote". Un des symptmes est

une forte baisse de la concentration, ce qui peut s'avrer trs dangereux en cas d'incident.Tous les sujets n'ont pas la mme sensibilit la narcose. De plus une mme personne peut tre plus oumoins sensible en fonction du moment. Cet tat apparat chez le plongeur entre 30 et 40m de profondeur.

Au del, tout le monde est plus ou moins narcos.En conclusion on peut dire que l'air est un gaz acceptable en plonge de loisir pour des profondeurs nedpassant pas 40m. Les tables de plonges courantes sont prvues pour des profondeurs maximum decet ordre.

Limites de la plonge l'air

- CONSQUENCES IMMEDIATES ET APPLICATIONS

Hypothses : Fluide

statique Fluide parfait Fluide Incompressible et g=cte z
http://www.thelin.net/laurent/plongee/photos/index.html


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1)Etude de la surface libre d'un liquide (dans un champ de pesanteur uniforme) :

2)Etude de surface de sparation de deux liquides non miscibles :

3)Etude des vases communicantscontenant plusieurs liquides non miscibles :

4)Mesure de la pression, par :

a- Un baromtre mercure (Torricelli, ~ 1643),b- Un manomtre mercure air libre.

5)Transmission des pressions (thorme de Pascal).

7)Prsenter des "Paradoxes" en hydrostatique.

p gz cter

0)Les surfaces dgales pressionsdans un fluide sont des plans horizontaux(plansisobares)

Hypothses :Fluide statique, Fluide parfait, Fluide Incompressible et g cte

Lquation fondamentale de lhydrostatique :

Comme consquences immdiates de cet quation, on tire les propositions suivantes:

89

1) Surface libre d'un liquide (dans un champ de pesanteur uniforme)On suppose, par labsurde, que la surface libred'un liquide au repos nest pas


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h

Et puisque * :PB= PA= P0

donc g (zB- zA) = 0 Ce qui implique : zA =zB

La surface libre d'un liquide au repos est donc plane et horizontale

pp , p , q q p phorizontale, soit:

P B PA=- ghon peut crire:

B Bp gzr )B A A Bp p g z -zr

On considre deux points A et B de cette surface de cte respect. zAet zB:p gz cter s'crit entre A et B:

Conclusion: Les surfaces dgale pression (isobares) sont horizontaux

Dm. : P=constante z= cteet daprs p gz cter (plan horizontaux)

z

0

donc (h=0)

A

B

P0= pression atmosphrique

zA

zB

A Ap gzrLquation fondamentale de lhydrostatique :

si h = zB- zA

A B

Remarque*: On pourra considrer que la pression de lairest la mme pour des variation de z de lordre de 10 m.(ce quon ne peut pas dire pour un liquide)

90

2) Surface de sparation de deux liquides non misciblesOn considre deux fluides (I)et (II) non miscibles (ex. eau et huile), de masse


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dans le fluide I, PB-PA= 1gh

dans le fluide II, PB-PA= 2gh

A

B

h

z

(I)

(II)

r1

r2

1gh = 2gh ==>

Or g 0 et (1- 2) 0 donc :

La surfacede sparation de deux liquidesnon misciblesau repos esthorizontale

Conclusion (puisque h=o) :

volumique r1et r2, dans un mme rcipientetsoient deux points A et B de la surface de sparationsuppose (par labsurde)

non horizontale :

gh (1- 2) = 0

h = 0

Et puisque 1- 2> 0 =>2> 1

Et par la suite le fluide (II)

le plus lourd est en dessous

z

(II)r2

(I)r1

91

3) Vases communicants contenant plusieurs liquides non miscibles :

On verseun liquidede masse volumique r1dans un tube en Uet on ajoute ensuited l t b h t li id d l i


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Les dnivellationsde deux liquides non miscibles dansdes vases communicants sont en rapport inversede leurs

masses volumiques.A

B

C1

2

h1

h2

1

1

2

2 h

h

r

r

Remarque :Si

1=

2(mme fluide)

Et puisque g 0

PB-PA= 1gh1 et PB-PC = 2gh2

Daprs ctegzp r Et si h1 =zA-zBet h2=zC-zB , cette quation devient :

Or PA = PC= P0 d'o 1gh1= 2gh2

P0pression atmosphrique

dans lautre branche un autre liquidede masse volumique r2:

Et soient les points A, B et C, tel que (voir figure), z ascendant:

Un fluide est la mme hauteurdans deux vasescommunicants:

Donc:h

2

= h1

z

92

4) Mesure de la pression atmosphrique (Torricelli, ~ 1643)a-Un baromtre mercurepermet de mesurer la pression atmosphriquelocale P0


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PB- PC=Hgg( zCzB )= Hg.g.h

Et lexprience donne : h= 76cm=0,76(m)

Puisque : p g ctz er On a : B B C Cp g z p g zHg Hgr r

[Pc = 0 (le vide)] PB=Hg g( zCzB )= Hg. g.h

PB = PA= P0 P0= Hg. g. h (1)

A.N. : Hg= 13596(kg.m-3); g= 9,806(m.s-2).

P0 = 101325 kg/ms2

= 1,01325. 105 Pa

= 1,01325 bar (1 bar = 1 kg / cm2. )

C

B

vide

AhP0

Donc :

Avec ces donnes et daprs la relation (1), on trouve :

Il sagit dune colonne de mercure, au sommet de laquelle on a fait le vide,et qui estretourne sur une cuve mercure (figure)On applique la loi fondamentale de la statiquedes fluides au systme mercure :

Entre Bet C(oz ascendant) :Soit :

Et comme :

Question : Comment raliser le vide ?Toriccelli a retourn une prouvette pleine de mercure(mtal liquide trs lourd) dans une cuve de mercure. Unvide s'est alors cr en haut de l'prouvette

La mesure depression absolueest effectue par

rapportau vide. A laide du baromtre mercure

93

Mesure de la pression :Voici des prcisions sur les units utilises pour mesurer la pression. Dans les bouquins d'exercices et de



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94

problmes, on aime donner la pression en "cm de mercure" (cm Hg). Cette vieille unit date d'une exprienceclbre dcrite par ce dessin : Toriccelli a retourn une prouvette pleine de mercure

(mtal liquide trs lourd) dans une cuve de mercure.Unvide s'est alors cr en haut de l'prouvette. En faisantvarier la position de l'prouvette, il constata que la

distance entre la surface de mercure au contact du vide etla surface de mercure au contact de la pressionatmosphrique tait constante et de 76 cm.Le poids de cette colonne de 0,76 m de mercure quilibreparfaitement la pression atmosphrique. Petit calcul : lemercure pse 13,6 g / cm3, cette colonne applique doncune pression de13,6 76 = 1033 g / cm2= 1,033 kg / cm2.

L'unit officielle de pression dans le systme international est le pascal (Pa) qui est gal une pression de 1 newton par m2.Le bar, plus facile utiliser est un multiple du pascal : 1 bar = 105Pa. Dans les bulletins mto, on entend souvent parler del'hectopascal, qui est le nouveau nom du millibar.La densit de l'eau douce est 1, c'est--dire qu'un litre d'eau douce pse 1 kg. Pour faire l'exprience de Torricelli avec del'eau il aurait fallu utiliser une prouvette d'au moins 10,33 m ! Cette distance est bien connue des installateurs de pompesaspirantes : Une telle pompe ne peut pomper de l'eau douce si elle est situe plus de 10,33 m de la surface de la nappe. Eneffet, au del de cette distance elle ne pompe que de l'air et devient de ce fait une "pompe vide". Seule une pomperefoulante place au niveau de l'eau peut lever celle-ci au-del de 10,33 m.

L'eau de mer a une densit de 1,026 cause du sel qu'elle contient. Pour tous les exercices on admettra que la pressionhydrostatique augmentede 1 bar tous les 10 m. En ralit elle augmente de 0,98 bar dans l'eau douce et de 1,007 bar dansl'eau de mer. Voici le calcul pour l'eau de mer :Masse d'une colonne d'eau de mer de 10 m de haut et 1 cm2de section :

1,026 kgPoids de cette colonne :

p = 1,026 9,81 = 10,06506 N (pour la suite, on arrondi 10,07)Pression rsultante :

P = 10,07 / 10-4Pa = 100700 Pa = 1,007 bar

On remarque que cette approximation va dans le sens de la scurit pour l'eau de mer, pas pour l'eau douce !



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95

Hauteur de la colonne d'eau quivalente :

Si on remplace par la pense le mercure par de leau,


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- La pression atmosphrique vaut donc : Soit 76 cm de mercureou ~ 10 m d'eau

Si on remplace par la pense le mercure par de l eau,

Et par le mme raisonnement , on trouve : P0= eau. g. heau

Donc : reau. g. heau= Hg. g. hHg Soit :

heau= 10,33 m

Pourquoi avoir choisi le mercure?

Hgeau Hg

eau

h = h .r

r

A.N :

Le choix de mercureest d dunepart sa forte masse volumiquequi permet de traduire 1atm par hauteur raisonnable de 76 cmet

par contre avec leauil faudrait 10 metdautrepart sa faible volatilit, car en tte de colonne rgne le vide et une partie dumercure se vaporise et ceci risque de changer la pression qui est suppose nulledans le vide( la pression de vapeur saturante du mercure est trs faible et reste ngligeable)

96

b-Un manomtre mercure air libre est reli un enceinte dont on veutmesurer la pression : (figure)

z


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- Dterminer la relation entre la pressionatmosphriquelocale (P0 ), la pressionP1 mesurer et la dnivellation hdu

mercure

au systme mercure entre les points A et B (oz ascendant) :

p gz cter A

g (-h)p Hgr EntreAet B, la loi :

1 0p g h pHgr Donc : 1 0p p g hHgr

Et puisque : PA = PA = P1

A

h

A

B

P1 = ???

P0

Manomtre

Gaz =(air)

z

0

En se reportant la figure et on applique, la loi fondamentale de la statiquedes fluides,

Nous permet dcrire:

Il vient :

1- Cest pourquoi la pressionsest exprime pendant longtemps en cm Hg:1 atm = 1.013 bar = 76 cm Hg ( ou 1 bar = 75 cm Hg)

Remarque :

B g (o)p Hgr

Hg

2- La pression manomtrique(ou effective) est mesure par rapport la

pression atmosphrique. A laide dumanomtre mercure

97


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98

Dans cette simulation Java, la pression hydrostatique est mesure dans un liquidegrce un manomtre:

http://www.walter-fendt.de/ph11f/hydrostpr_f.htm

Bibliographie :

5) Transmission des pressions (thorme de Pascal)

Lethorme de Pascal: Un fluide incompressibletransmetintgralement lespressions
http://www.walter-fendt.de/ph11f/hydrostpr_f.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph11f/hydrostpr_f.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph11f/hydrostpr_f.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph11f/hydrostpr_f.htm


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Soient deux pointsAet B(fixes)du fluide, fluide incompressible:

la diffrence de pressionne dpend que de la diffrence daltitude (h), qui demeureconstante,

Exemples dapplications:

Vrin hydraulique, Frein de voiture, ...

A

B

h

z

r

On a : PB-PA=rgh

Et puisquegest considre constante, donc

Donc B subit la mme variance de pression : PB PB+ dp

pressions

donc :toute variationde pression enAse transmeten B,

si A subit une variation de pression dp : PA PA+ dp

S. L=constante

99

D'aprs la loi de Pascal, la pressiond'un fluide en milieu ferm est transmiseuniformment dans toutes les directions et dans toutes les parties du rcipient

En dynamique de fluide :


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uniformmentdans toutes les directionset dans toutes les parties du rcipient, condition que les diffrences de pression dues au poids du fluide soient

ngligeables.

Cette loi a des applications extrmement importantes en hydraulique.

S1. L1= S2. L2

Vrin hydraulique Un vrinhydrauliqueest bas sur le faitquun liquide au repos transmetintgralement la pression et pas les forcesF


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intgralement la pressionet pas les forces.

BF

SA

pA

pB

sB

cette figure montre un vrinrempli dhuileferm par deux bouchons tanches de

surface SAet sB.On a:

Comme les pressions enAet B(PA=PB) sontproches (car hest suppos petit),

On a : FA= PASAet FB= PBsBEt puisque: SA>> SBalors FA>> FB

On ralise ainsi une trs forte dmultiplication.Avec un tel vrin un mcanicien peut soulever la main une voitureou un avion pour changer une roue de secours

,comme SALA= SB LB

Il faut donc beaucoup de coup de pompe sur le vrin pour soulever un avion.

p gz cter

B AEntre A et B : p p g h hr

B

z AF

hOn peut dfinir les variables (voir figure) :

Remarque :

Par contre avec un tel systme les travaux sont gauxen effet :

WFA= FA.LA =PASA LA

on a donc : WFA=WFB

rhA

et WFB= FB.LB =PBSB LB


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REMARQUES ET DEFINITIONSIl existe donc trois types de mesures de pression:

absolue:


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103

manomtrique (ou effective) :

La pression manomtrique(ou effective) est mesure par rapport lapressionatmosphriqueA laide dumanomtre mercure

diffrentielle.La pression diffrentielleest similaire la pression manomtrique, mais elle estmesure par rapport une pression derfrence spcifique.

La mesure depression absolueest effectue par rapportau vide.A laide du baromtre mercure

On peut diffrencier deux (2) pressions:Pression atmosphrique: pression de surface dans des conditions habituelles(normalement aux alentours de 1013 mbmais usuellement considre commequivalent 1 bar)*Pression hydrostatique: variable en fonction de la profondeur atteinte- cettepression augmente de 1 barpar tranche de 10 mtressous l'eau (0,98 bar dansl'eau douceet 1,007 bar dans l'eau de mer)

La pression absolueen plongeest la pression totale = Pression atmosphrique+ Pression due l'eau.

ap = p gh

r
http://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Bar_(unit%C3%A9)http://fr.wikipedia.org/wiki/Bar_(unit%C3%A9)http://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrostatiquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Bar_(unit%C3%A9)http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A8trehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Eau_doucehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Eau_doucehttp://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A8trehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Bar_(unit%C3%A9)http://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrostatiquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Bar_(unit%C3%A9)http://fr.wikipedia.org/wiki/Bar_(unit%C3%A9)http://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9rique


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104

6- APPLICATIONS AUX FLUIDES COMPRESSIBLES :(rnest pas constante)


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En gnral, les Fluides compressibles sont les gaz.

La masse volumiquedpend de la pressionet de la temprature.

On ne peut pas intgrerdirectement la relation dp = -r gdz.

Il faut dterminer ren fonction de la pressionet de la temprature (relation dtat)

Cependant les masses volumiques des gazsont faibles: Air dans les conditionscourantes 1,3 Kg /m3

A lchelle humainecourante, on ngligera les variations de pressionavec laltitudedans les gaz

Seul lair atmosphriqueprsente des diffrences daltitude suffisantes pour ne pasngliger les variations de pression

(il faut compter de l'ordre de 1 kmd'altitude pour que les variations de pressiondeviennent significatives).

105

6- Applications aux fluides compressibles : rnest pas constanteDe faon gnrale, il sagit des gazpuisque leur masse volumiquedpend de lapression


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pression

p =

n

( )V RT

Pour simplifier, on prendra le cas dun gaz parfait(isotherme):

or

m

= Vr

En partant de lquation fondamentale de la statique des fluides: d p = -gdzd M

= - gdz RT

pp

M= - g

R

d

T

pdz

p

teMavec : g C

RT=

teMln = - g +

RTp z C

R zgte

M

Tep C -=

0

Mgz

RTte

0= eC p

0

Mg( z )

Rz

T0

p z p( ) e- -

=

Tp

M

Rr =

nM

Vr =

mM =

n

n( )V M

r=

Et la masse molaire M:

p RTM

r =

La masse volumique est fonction de la pression Gaz compressible

pV TnR=

et en sparant les variables :

Et en intgrant , on obtient :

Dterminer cette constante dintgration:

Si en z=z0 on a : p= p0

Soit :

Finalement :

On a :

106

MR

zgT

0p(z) p e

-

=0si z = 0

0

Mg( z )

Rz

T0

p z p( ) e- -

=

-Variation de la pression p en fonction de z:

On a :


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0e00e

TpM

Rr =

Et quand ztend vers , p tend vers 0

g

z

p

p0

0

0

M Mcte soit cte

R RpT Tp= == =

rrOn a :

CONSQUENCE PRATIQUE :

510 1.014 10 Paz m p

0

0

z

0

gp

p p e

r

Donc la pression dun gaz diminue quand z augmente

On a :

z

0 P

A : z = z0 = 0 , on a : p = p0

Donc , on obtient la variation suivante :

Pour lair r0 = 1.3 kg/m3sous po= pA= 1.013 105Pa (z= 0)

Calculonsla variation de pression pour une lvation de 10m:

Soit :

Ainsi, on pourra considrer que la pression de lairest la mmepour des systmesayant des dimensions de lordre de la dizaine de mtres(ce quon peut pas dire pour

un liquide)

atmoP ( 0) z

107

Application :

En t un touriste mesure une pression atmosphrique de 990 mbar au piedd t A t l i t l 910 b


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dune montagne.Au sommet, la pression ne vaut plus que 910 mbar.En choisissant un modle de latmosphre, quelle estimation faites- voussur la hauteur de cette montagne?

On donne : M=29 g/mol , g=9.81 m/s2, et T= 293 K.

0

Mg( z )

Rz

T

0p z p( ) e

- -

=

M

gRT0

hpp(h) e-

=

h

P0

P(h)z

0

0PRTh = lnMg P(h)

721h m

Soit le modle suivant :

On prend z= z0= 0 au pied de la montagne P0 =990mbar,

Et au sommet z=h , P(h)= 910 mbar

Avec ces conditions , on obtient :

On en dduit :

108

7) "Paradoxe" et expriences


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) phydrostatiques

109

Exprience de crve-tonneau de Pascal:Pascal a dclar capable de faire exploser nimporte quel tonneau avec un long etMince tuyau et un verre deau !!!


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110

1 m

P =r g h

On a : F= S.P

Mince tuyau et un verre d eau !!!

- Tonneau de hauteur : 1m

- Surface du fond : 0.2 m2

- Mince tube de 9mde haut9 m

S= 0.2 m2

F= S.P=0.2 x1000x10x9=18000 N

Application numrique :

Les lois de la mcanique des fluidess'observent dans de nombreuses situations de lai tidi

Mcaniques des fluides (applications) Statique des fluides ou hydrostatique


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111

vie quotidienne.Par exemple, la pression P2sur la partie infrieure d'un tube de 15 mde longueuretrempli d'eau , on a aussi (P2=P3),

est identique celle qui s'exerce au fond d'un lacrempli d'eau de 15 mde profondeur(pression P1).C'est cette mme pression, s'exerant sur l'extrmit suprieure du tuyau, quiprovoque l'coulement de l'eau dans le siphon.

De l'eausous pression atteint le mme niveaudans plusieurs rcipients de formesetde tailles diffrentes.

Pression exerce par un liquide


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112

Le rcipient C, plus volumineux que les trois autres, contient une masse de liquidesuprieure celles deA, B etD.Par consquent, la force exerceau fond de cette colonne (C) est suprieure aux

forceshomologues des trois autres rcipients.Cependant, comme le rcipient C prsente un diamtre suprieur aux trois autresrcipients, la pression,qui est une force par unit de surface, est identique cellesqui s'appliquent au fond des colonnesA, B etD.Finalement, pour un mme liquide, la pressionqui s'exerce au basd'une colonne nedpend que de la hauteurdu liquide au-dessus du point considr.

CA B D

"Paradoxe" hydrostatique


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113

A surface de fond identique (et mme hauteur de liquide), la force depressionexerce par un liquide sur le fond du rcipient est

indpendante de la forme du rcipient.

(1) (2)

S S

h

S

(3)



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114

- Paradoxe de Stevin


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115

Paradoxe de Stevin

z

PA= P0 + rgh

AB

P0

h

PB= P0 + rgh PB= PA

- La pression est la mme en tous les points dun plan horizontal pris dans un fluideen quilibre.

La pressionen un point dun fluide en quilibre est indpendantede la delorientation de la surface qui sert sa dfinition


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MM

l orientation de la surface qui sert sa dfinition

dS1

dS2

1 1 1 1dF p n dS = -

r

2 2 2 2dF p n dS = -

r

1 2FdF d

Mais p1 = p2= p(M)

Les forces de surface sont normales en statique, fluide parfait,

1dF

2dF

1n

2n

Exprience pour raliser cette situation ( diapo suivant):116

- Etude exprimentale dans le champ de pesanteurLe tube en Uavec la membrane lastiqueest plac dans lair atmosphrique : lamembrane nest pas tendue. (voir figure)


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La formede la membraneest indpendantede lorientation de la membrane autour du

mme point, les efforts sur la membrane sont perpendiculaires celle-ci.Si le fluide est un liquide, la dformationde la membrane augmentede maniresignificative avec la profondeur*.- La pression pen un pointdun fluide en quilibreest indpendante de lorientationde llment de surfacequi sert la dfinir.- La pression est une grandeur scalaire positive, la force de pressionest une

grandeur vectorielle.

Air atmosphrique

M

fluide

Nous plaonslextrmit avec membranedans un liquide(ou dans un gaz dont onpeut faire varier le volume laide dun piston): la membrane lastique est tendue

comme indiqu sur la figure ; ceci traduit des efforts du fluide sur la membrane

Membrane tendueMembrane non tendue

M

Piston

117

Bibliographie :

Le tube en Uavec la membrane (Diaphragme) lastique


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118

1-Si le fluide est un liquide la

Expriences:


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Si le fluide est un liquide, ladformationde la membraneaugmentede manire significative

avec la profondeur.

La pressionen un point dun fluideen quilibre est indpendantede la

de lorientation de la surface quisert sa dfinition

2-

119

Q i P id l li id d i il ffi d f i

Remarque faire en dynamique : vidange d un rservoir


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120

P extrieur

P ouverture

Autre exprience* :si, dans un rcipientcontenant un liquide, nous perons un trou,lcoulement de liquide se produit

perpendiculairement lorifice quelque soitlorientation de ce dernier.

Question: Pour vidanger le liquide contenu dans un rservoir, il suffit de faireune ouverture la base du rservoir.Oui ou Non (justifier votre rponse)

Rponse : NONIl faut calculer la pression du liquide louverture. Si cette pression estsuprieure celle extrieure, le liquide scoule.

P Ouverture > P Extrieur


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121


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122

Chapitre V: ACTIONS EXERCEES PAR LES FLUIDES AU REPOS- Les forces pressanteet pression

a) La dformation varie avec la force pressante


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Posons une brique sur une table, elle la presse avec une Force gale son poids,soit 1960 gf par ex.. Nous d

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