Cours Mécanique

Prparation lAgrgation de Mcanique.

cole Normale Suprieure de Cachan, 61, Avenue du prsident Wilson, 94235 CACHAN

Mcanique des Solides Indformables

Prparation lAgrgation de Mcanique

S. Pommier

Contacts

Sylvie Pommier Vincent Wendling

Zone 1A2002 Zone 1A2004

Tl. : 01 47 40 28 69 Tl. : 01 47 40 21 87

Ml : [email protected] Ml : [email protected]



INTRODUCTION

1 Introduction_____________________________________________________________________2

Plan du cours _____________________________________________________________ 2

Exemple 1 : Vibration dune aile davion _______________________________________ 3

Exemple 2 : Ecoulement dun milieu granulaire__________________________________ 4

Sources bibliographiques ___________________________________________________ 4

RAPPELS DE MATHEMATIQUES

1 Calcul Vectoriel _________________________________________________________________6

1.1 Oprations sur les vecteurs ____________________________________________________ 6

Produit scalaire ___________________________________________________________ 6

Produit vectoriel __________________________________________________________ 6

Produit mixte_____________________________________________________________ 7

Division vectorielle ________________________________________________________ 7

1.2 Champs de vecteurs__________________________________________________________ 8

Glisseur _________________________________________________________________ 8

Moment en un point dun glisseur_____________________________________________ 8

Moment dun glisseur par rapport un axe______________________________________ 9

Ensembles de glisseurs _____________________________________________________ 9

1.3 Torseurs__________________________________________________________________ 10

Dfinition ______________________________________________________________ 10

Torseur associ un ensemble de glisseur _____________________________________ 10

Invariants du torseur.______________________________________________________ 10

Point central, axe central, moment central dun torseur ___________________________ 11

Symtrie du champ des moments dun torseur. Origine du mot torseur . ___________ 11

1.4 Oprations sur les torseurs ___________________________________________________ 12

Addition________________________________________________________________ 12

Multiplication par un rel __________________________________________________ 12

Dcomposition __________________________________________________________ 12

Produit ou co-moment de deux torseurs _______________________________________ 13

Torseur structure________________________________________________________ 13

1.5 Champ equiprojectif de vecteurs_______________________________________________ 14

Dfinition ______________________________________________________________ 14



Proprits_______________________________________________________________ 14

Champ des moments dun torseur. ___________________________________________ 14

2 Drivation vectorielle ____________________________________________________________15

2.1 Drive dun vecteur ________________________________________________________ 15

Dfinition ______________________________________________________________ 15

Proprits_______________________________________________________________ 15

2.2 Changement de base de drivation _____________________________________________ 15

Vocabulaire _____________________________________________________________ 15

Drive dun vecteur exprim dans la base de drivation __________________________ 16

Drive dun vecteur exprim dans une base distincte de la base de drivation. ________ 16

Proprits du vecteur vitesse de rotation. ______________________________________ 17

3 A retenir ______________________________________________________________________18

Champ quiprojectif : _____________________________________________________ 18

Torseur : { }

=

AA MR

T __________________________________________________ 18

Produit de deux torseurs dfinis au mme point A : ______________________________ 18

Invariants du torseur ______________________________________________________ 18

Axe et point centraux _____________________________________________________ 18

Changement de base de drivation ___________________________________________ 18

CINEMATIQUE DU POINT, CINEMATIQUE DU SOLIDE

1 Cinematique du point ____________________________________________________________20

Vecteur position dun point_________________________________________________ 20

Vecteur vitesse dun point__________________________________________________ 20

Vecteur acclration dun point _____________________________________________ 20

2 Le solide indeformable ___________________________________________________________20

Dfinition ______________________________________________________________ 20

Equivalence Repre-Solide _________________________________________________ 21

3 Paramtrage de la position relative de deux solides _____________________________________21

3.1 Dfinition des coordonnes de lorigine dun repre. _______________________________ 21

Coordonnes cartsiennes __________________________________________________ 21

Coordonnes cylindriques __________________________________________________ 22

Coordonnes sphriques ___________________________________________________ 22

3.2 Dfinition de lorientation relative de deux bases __________________________________ 23

Angles dEuler __________________________________________________________ 23

Angles de Cardan ________________________________________________________ 24

Quaternions _____________________________________________________________ 25

4 Cinematique du solide____________________________________________________________28



4.1 Introduction, notations ______________________________________________________ 28

4.2 Champ des vecteurs vitesse des points dun solide : torseur cinmatique________________ 28

Proprit : Equiprojectivit. ________________________________________________ 29

Calcul du vecteur rotation instantane. ________________________________________ 29

Exemple : Mouvement de translation _________________________________________ 30

Exemple : Mouvement de rotation instantane __________________________________ 30

4.3 Champ des vecteurs acclration des points dun solide. ____________________________ 30

5 Composition des mouvements _____________________________________________________31

5.1 Introduction_______________________________________________________________ 31

5.2 Composition des vecteurs vitesse ______________________________________________ 32

Relation de composition des vecteurs vitesses __________________________________ 32

Dfinitions______________________________________________________________ 32

Gnralisation ___________________________________________________________ 33

Composition des torseurs cinmatiques _______________________________________ 33

Exemple________________________________________________________________ 33

5.3 Composition des vecteurs acclration __________________________________________ 34

Relation de composition des vecteurs acclration _______________________________ 34

Dfinitions______________________________________________________________ 35

6 A retenir ______________________________________________________________________35

Cinmatique du point : ____________________________________________________ 35

Cinmatique du solide :____________________________________________________ 35

Formules de changement de point____________________________________________ 36

Formules de composition des mouvements. ____________________________________ 36

CINEMATIQUE DES SYSTEMES DE SOLIDES

1 Systme de solides ______________________________________________________________38

Dfinitions______________________________________________________________ 38

Types de liaisons _________________________________________________________ 38

Reprsentation dune liaison. _______________________________________________ 39

Degrs de libert dune liaison.______________________________________________ 39

2 Tableau des liaisons normalises ___________________________________________________39

3 Cinmatique du contact entre deux solides ____________________________________________41

4 Modlisation cinmatique _________________________________________________________42

4.1 Introduction_______________________________________________________________ 42

4.2 Graphe cinmatique_________________________________________________________ 42

4.3 Graphe de structure ou graphe des liaisons _______________________________________ 42

4.4 Mobilit dun systme_______________________________________________________ 42

Fermeture gomtrique ____________________________________________________ 43



Fermeture cinmatique ____________________________________________________ 43

Calcul de la mobilit ______________________________________________________ 43

4.5 Exemple : Presse de modlisme _______________________________________________ 44

Plan du mcanisme _______________________________________________________ 44

Construction du graphe de structure __________________________________________ 45

Rduction du graphe de structure ____________________________________________ 45

Construction du graphe cinmatique__________________________________________ 46

Mobilit du systme ______________________________________________________ 46

5 A retenir ______________________________________________________________________47

CONSERVATION DE LA MASSE ET CINETIQUE

1 Systme matriel masse conservative_______________________________________________49

Dfinitions______________________________________________________________ 49

Consquences ___________________________________________________________ 49

2 Torseur cintique, torseur dynamique et energie cintique________________________________50

Torseur cintique_________________________________________________________ 50

Torseur dynamique _______________________________________________________ 50

Energie cintique_________________________________________________________ 50

Autres cas. Exemple : Action de la pesanteur ___________________________________ 51

3 Centre dinertie, oprateur dinertie _________________________________________________51

3.1 Centre dinertie G __________________________________________________________ 51

3.2 Oprateur dinertie JA()_____________________________________________________ 51 Dfinition ______________________________________________________________ 51

Relation entre JA() et JG() ou thorme de Huyghens gnralis . _________________ 51 Expression dans la base (O,x,y,z) ____________________________________________ 52

3.3 Exemples_________________________________________________________________ 53

Oprateur dinertie en O dun disque D de rayon R, de centre O et de masse m. ________ 53

Oprateur dinertie en O dun cylindre C de rayon R, de hauteur h et de centre O. ______ 53

Oprateur dinertie en O dun cne de rvolution C de rayon R et de hauteur h. ________ 54

Oprateur dinertie en O dune sphre creuse S de centre O, de rayon R et de masse m. __ 54

Oprateur dinertie en O dune sphre pleine S de centre O, de rayon R et de masse m. __ 54

4 Consequences du principe de conservation de la masse __________________________________54

4.1 Torseur cintique___________________________________________________________ 54

Expression de la rsultante cintique. _________________________________________ 54

Expression du moment cintique. ____________________________________________ 55

4.2 Torseur dynamique _________________________________________________________ 55

Expression de la rsultante dynamique. _______________________________________ 55

Relation entre les moments cintique et dynamique. _____________________________ 56



4.3 nergie cintique___________________________________________________________ 56

4.4 Autres cas. Exemple : Action de la pesanteur _____________________________________ 57

5 A retenir ______________________________________________________________________58

Consquence du principe de conservation de la masse ____________________________ 58

Torseur cintique_________________________________________________________ 58

Torseur dynamique _______________________________________________________ 58

Energie cintique_________________________________________________________ 58

CONSERVATION DE LENERGIE

1 Introduction____________________________________________________________________61

2 Energtique ____________________________________________________________________61

2.1 Torseur des actions mcaniques extrieures un solide _____________________________ 61

2.2 Puissance_________________________________________________________________ 61

Puissance associe des actions extrieures. ___________________________________ 61

Puissance associe des actions rciproques.___________________________________ 62

2.3 Travail ___________________________________________________________________ 63

2.4 Energie Potentielle _________________________________________________________ 63

Energie potentielle associe des efforts extrieurs ______________________________ 63

Energie potentielle associe des actions mutuelles______________________________ 64

Exemple : nergie potentielle associe aux inter-efforts gravitationnels. ______________ 64

Quelques actions mutuelles avec nergie potentielle associe ______________________ 65

2.5 Energie cintique___________________________________________________________ 66

3 Conservation de lnergie : Thorme de lnergie cintique______________________________66

Thorme de lnergie pour un solide S _______________________________________ 66

Thorme de lnergie cintique pour deux solides S1 et S2 _______________________ 66

Thorme de lnergie cintique pour un systme de n solides ____________________ 67 Intgrale premire de lnergie cintique : Systme conservatif_____________________ 67

4 A retenir ______________________________________________________________________68

PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE, PRINCIPE DES PUISSANCES VIRTUELLES

1 Introduction____________________________________________________________________70

2 Actions mcaniques ou efforts _____________________________________________________70

2.1 Torseur des actions mcaniques extrieures un systme de solides _________________ 70 2.2 Exemple daction distance : la pesanteur _______________________________________ 71

2.3 Actions de contact : Loi de Coulomb ___________________________________________ 71

Lois de Coulomb relatives la rsultante.______________________________________ 72



Lois de Coulomb relatives au moment en I. ____________________________________ 73

Contact non ponctuel, exemple dune liaison pivot sans frottement __________________ 73

Liaisons parfaites : Actions de contact sans frottement. ___________________________ 74

Lois de comportement de liaisons. ___________________________________________ 75

2.4 Graphe danalyse___________________________________________________________ 76

Exemple : principe dun touffeur de vibrations _________________________________ 76

3 Principe fondamental de la dynamique _______________________________________________77

3.1 Introduction : un peu dhistoire________________________________________________ 77

3.2 Enonc du principe fondamental de la dynamique _________________________________ 78

3.3 Consquences _____________________________________________________________ 78

Thorme de la rsultante dynamique_________________________________________ 78

Thorme du moment dynamique____________________________________________ 79

Thorme des actions mutuelles _____________________________________________ 79

Cas particulier de la statique ________________________________________________ 79

Equations du mouvement __________________________________________________ 79

3.4 Rfrentiels Galilens/non Galilens ___________________________________________ 79

Rfrentiels Galilens _____________________________________________________ 80

Rfrentiel non Galilen ___________________________________________________ 80

Exemple : Acclration de la pesanteur. _______________________________________ 81

4 Principe des puissances virtuelles ___________________________________________________83

4.1 Introduction : un peu dhistoire. _______________________________________________ 83

4.2 Enonc du principe des puissances virtuelles ou PPV. ______________________________ 83

4.3 Choix de torseurs virtuels particuliers et thormes de la dynamique __________________ 84

4.3.1 Torseur global quelconque : Equivalence du principe des puissances virtuelles et du principe

fondamental de la dynamique ___________________________________________________________ 84

4.3.2 Torseur des vitesses galilennes : Thorme de lnergie cintique __________________ 84

Thorme de lnergie cintique pour un solide unique.___________________________ 84

Thorme de lnergie cintique pour un systme de solides. ______________________ 84

4.3.3 Torseurs de Lagrange : quations de Lagrange__________________________________ 85

Dfinition des torseurs de Lagrange : _________________________________________ 85

Consquences ___________________________________________________________ 85

Application du PPV un unique solide S.______________________________________ 86

Application du PPV un systme de solides : _________________________________ 86 Fonction de force. ________________________________________________________ 87

4.3.4 Combinaison des torseurs de Lagrange : Equation de Painlev _____________________ 89

Dfinition du torseur de Painlev:____________________________________________ 89

Consquences ___________________________________________________________ 90

Intgrale premire de Painlev ______________________________________________ 90

5 A retenir ______________________________________________________________________92



APPLICATION, THEORIE DES PETITS MOUVEMENTS, THEORIE DES CHOCS

1 Introduction____________________________________________________________________96

2 Mthodologie: __________________________________________________________________96

3 Mise en forme du problme. _______________________________________________________97

3.1 Linarisation ______________________________________________________________ 97

3.1.1 Linarisation des quations de Lagrange ______________________________________ 97

Premier membre des quations de Lagrange____________________________________ 97

Second membre des quations de Lagrange : Fonction de force_____________________ 98

Second membre des quations de Lagrange : Loi visqueuse________________________ 99

Systme dquations du mouvement aprs linarisation :__________________________ 99

3.1.2 Exemple : Ltouffeur de vibrations __________________________________________ 99

Calcul des Qqi : _________________________________________________________ 100

Calcul des Pqi : __________________________________________________________ 101

Equations de Lagrange : __________________________________________________ 101

Equations linarises _____________________________________________________ 101

3.2 Rappels : Rsolution de systmes linaires dquations diffrentielles ________________ 102

3.2.1 Rsolution numrique. ___________________________________________________ 102

3.2.2 Rsolution analytique ____________________________________________________ 103

Cas N1 : Le second membre F (t) est nul. ____________________________________ 104

Cas N2 : Le second membre F (t) est nul et C est nulle. _________________________ 105

Cas N3 : Le second membre F (t) est non-nul et C est nulle. _____________________ 106

Cas N4 : Le second membre F (t) est nul et C est une combinaison linaire de M et K. 106

Critre de Routh ________________________________________________________ 107

Rappel : Calcul du dterminant dune matrice _________________________________ 108

Rappel : Matrice 2x2 valeurs propres, vecteurs propres __________________________ 109

4 Equilibre et stabilit ____________________________________________________________109

4.1 Introduction______________________________________________________________ 109

4.2 Systmes conservatifs ______________________________________________________ 109

Equilibre ______________________________________________________________ 110

Stabilit : Dfinition _____________________________________________________ 110

Stabilit : Thorme de Lejeune Dirichlet_____________________________________ 110

Extension aux systmes visqueux ___________________________________________ 111

Equilibre et stabilit pour un systme un seul paramtre ________________________ 112

Equilibre et stabilit pour un systme n paramtres ____________________________ 112

Exemple, touffeur de vibration ____________________________________________ 113

4.3 Cas gnral, mthode directe ou mthode de Liapounov ___________________________ 114

Etat de mouvement ______________________________________________________ 114

Dtermination de lquilibre par la mthode directe _____________________________ 114

Stabilit au sens de Liapounov _____________________________________________ 114



Thorme de Liapounov __________________________________________________ 114

Stabilit asymptotique____________________________________________________ 115

Stabilit orbitale ________________________________________________________ 115

5 Vibrations autour dune position dquilibre stable ____________________________________115

Introduction____________________________________________________________ 115

Vibrations libres ________________________________________________________ 116

Vibrations forces _______________________________________________________ 116

Vibrations amorties ______________________________________________________ 116

6 Mcanique des Chocs-Percussions _________________________________________________116

6.1 Introduction______________________________________________________________ 116

6.2 Cas dun point matriel _____________________________________________________ 117

6.3 Cas dun solide ou dun systme de solides _____________________________________ 117

Remarque 1 : ___________________________________________________________ 118

Remarque 2 : ___________________________________________________________ 118

Remarque 3 : ___________________________________________________________ 118

6.3.2 Percussion de liaison_____________________________________________________ 118

6.3.3 Choc sans frottement entre deux solides ______________________________________ 119

Dfinition de e__________________________________________________________ 119

Proprit de e et P : 0 e 1 et 0 P ________________________________________ 119

Cas particuliers importants ________________________________________________ 121

Prparation lagrgation de mcanique : Polycopi de Mcanique des Solides Indformables

INTRODUCTION

1

1 Introduction _______________________________________________________ 2 Plan du cours _____________________________________________________________ 2 Exemple 1 : Vibration dune aile davion _______________________________________ 3 Exemple 2 : Ecoulement dun milieu granulaire__________________________________ 4 Sources bibliographiques ___________________________________________________ 4


INTRODUCTION

2

1 INTRODUCTION

La mcanique du solide indformable, comme les autres branches de la mcanique, procde dune schmatisation des mouvements rels ou potentiels lintrieur du systme tudi. Le choix dun schma cinmatique plutt quun autre dpend du niveau de simplification recherch, des matriaux et de lchelle laquelle le problme est trait (voir les deux exemples ci-dessous). Ainsi si le champ des vitesses eulriennes lintrieur du systme tudi est :

Champ quiprojectif Solide indformable

Champ quiprojectif par morceaux tridimensionnels Systme de solides indformables

Champ quiprojectif par morceaux bidimensionnels Poutres de la mcanique des structures

Champ quiprojectif par morceaux unidimensionnels Plaques et coques

Des objets mathmatiques bien adapts chacun de ces schmas cinmatiques (mcanique des milieux continus, coques, plaque, poutres, solides) ont t dvelopps afin de pouvoir exprimer les principes fondamentaux de la mcanique sous forme dquations. Lobjet mathmatique privilgi de la mcanique des solides indformables est le torseur.

Les principes fondamentaux sont les suivants :

Conservation de la masse. Conservation de lnergie (premier principe de la thermodynamique) Conservation de la quantit de mouvement (dAlembert). Second principe de la thermodynamique.

Lcriture des trois premiers principes conduit systmatiquement un systme dquations pour lequel le nombre dquations est infrieur au nombre dinconnues.

Les quations complmentaires sont donnes par les lois de comportement, dont on sassure quelles permettent de vrifier le second principe de la thermodynamique. Ces lois de comportement seront par exemple dans le cadre de la mcanique du solide indformable :

Comportement rigide indformable pour les solides Lois de contact entre solides (lois de Coulomb) Comportement de liaisons entre solides (liaison parfaites ou liaisons lastiques). Lois daction distance (attraction gravitationnelle, par exemple)

Lobjet de ce cours est dapporter les outils et les mthodes de travail permettant la rsolution de problmes mcaniques dans le cadre de la mcanique du solide indformable.

Pour cela, la premire partie sera consacre la description de la cinmatique dans le cadre de la mcanique des solides indformables. Puis les principes fondamentaux seront exprims en utilisant le formalisme associ ce schma cinmatique. Il ny aura pas de chapitre spcifique consacr aux lois de comportement, tant donn que les lois usuellement employes pour dcrire les interactions entre solides sont peu nombreuses et bien connues. Une fois que les outils permettant de mettre les problmes en quations auront t prsents, des mthodes de rsolution des systmes dquations obtenus seront prsentes, dans le cadre des petits mouvements autour dune position connue.

Plan du cours A Introduction. B Rappels de mathmatiques. C Schmatisation de la cinmatique.

- C1 Cinmatique du solide indformable. - C2 Cinmatique des systmes de solides indformables.

D Expression des principes fondamentaux. - D1 Conservation de la masse.


INTRODUCTION

3

- D2 Conservation de lnergie. - D3 Conservation de la quantit de mouvement.

E Mthodes de rsolution. - E1 Equilibre et Stabilit - E2 Vibrations libres ou forces - E3 Chocs

Exemple 1 : Vibration dune aile davion

Le dimensionnement mcanique dune aile davion se fait dans le cadre de la mcanique des structures.

Laile peut tre schmatise comme une poutre section complexe et variable, et la portance, proportionnelle au carr de la vitesse dune section, peut tre assimile une charge linique. Laile se flchit significativement en vol, lamplitude de battement en bout daile est denviron un mtre en fonctionnement normal mais peut tre bien plus leve, aprs un trou dair, par exemple. Lapproche poutre permet de calculer le moment flchissant lattache de laile sur la cellule en fonction de la dflection en bout daile, c'est--dire de calculer la raideur de la structure. Si lon connat la dflection maximale , on peut en dduire les contraintes au niveau de lattache de laile sur la cellule et dimensionner cette attache.

Cependant, pour estimer cette dflection maximale , il est ncessaire de connatre le comportement dynamique de lavion complet. En effet, les moteurs, par exemple, ont une masse trs importante par rapport celle de lavion (masse dun moteur CFM56-3 = 2 tonnes, masse dun A320 hors moteur : 37 tonnes). Au cours de certaines manuvres, des oscillations des moteurs, coupls au battement des ailes peuvent apparatre. Pour connatre, par exemple, la dflection maximale en bout daile et dimensionner lattache de laile sur la cellule, il faut connatre lamplitude de ces mouvements. Ceci ncessite une tude du comportement dynamique de lavion complet, qui inclue la cellule, les ailes, lempennage, les moteurs et mme le chargement de lavion (mobile ou non). Pour ce type dtude, le dtail des dformations internes chacun des lments de lavion est nglig, pour se limiter ltude des mouvements relatifs entre ces lments. Laile par exemple pourra tre assimile un ou plusieurs lments rigides attachs lavion et lis entre eux par des liaisons pivot lastiques. Le moteur pourra tre assimil une masse M, attache laile par une liaison pivot lastique.

Dans cet exemple particulier, les ailes sont dformables, mais sont assimiles un systme de solides rigides afin de pouvoir traiter le comportement dynamique de lavion complet. Le choix des solides du systme rsulte donc dune schmatisation du champ de dplacement des points de laile.


INTRODUCTION

4

Exemple 2 : Ecoulement dun milieu granulaire

Lcoulement dun milieu granulaire (sable, poudres ), est trait de manire diffrente selon le point de

vue de lobservateur.

A lchelle de lcoulement complet, le milieu granulaire peut tre trait en premire approximation comme un matriau continu dformable. On utilisera donc soit la mcanique des milieux continus, soit la mcanique des fluides pour traiter le problme, en utilisant des lois de comportement appropries.

A lchelle des grains, le milieu granulaire est un empilement irrgulier de grains. Individuellement, les grains peuvent tre considrs comme des solides indformables. Ces solides sont en contact et glissent ou roulent les uns par rapport aux autres. Lors de lcoulement et aprs lcoulement, les grains sarrangent en votes entre lesquelles il reste du vide. Cet difice peut tre dstabilis. Cest ce qui se produit par exemple sur une pente enneige lors dune avalanche. Ltude des conditions de stabilit des difices de grains se fait laide de la mcanique des solides indformables, avec des lois de contact entre solides appropries.

Dans cet exemple particulier, le champ est solidifiant par morceaux, c'est--dire sur chacun des grains. Le choix de la mcanique des milieux continus ou de la mcanique des solides se fait en fonction de la dimension des morceaux vis--vis de lchelle du problme traiter.

Sources bibliographiques Mcanique 1,2,3, Cours et exercices (1995), Yves Brmont, Paul Rocreux, collection Sciences

Industrielles, Ed. Ellipses, Paris. Dynamique, Cours et exercices, (2002) Robert Lassia et Christophe Bard, Ed. Ellipses, Paris. Cours de Physique, tome I : Mcanique, (1965), C. Kittel, W. Knight, M. Ruderman, traduit par

P. Lallemand, Ed Dunod, Paris. Mcanique Classique, (1971), J.J. Moreau, Ed. Masson et Cie, Paris. Mcanique gnrale, (2001), Jean Claude Bne, Michel Boucher, Polycopis de tronc commun,

ECP. Quelques Complments de Mcanique gnrale, (1997), Jean Pierre Pelle, polycopi ENS pour

la prparation lagrgation. Equations diffrentielles et systmes dynamiques, (1999), J. Hubbard, B. West, traduit par V.

Gautheron, Ed. Cassini, Paris.



5

1 Calcul Vectoriel ____________________________________________________ 6 1.1 Oprations sur les vecteurs ____________________________________________ 6

Produit scalaire ___________________________________________________________ 6 Produit vectoriel __________________________________________________________ 6 Produit mixte_____________________________________________________________ 7 Division vectorielle ________________________________________________________ 7

1.2 Champs de vecteurs __________________________________________________ 8 Glisseur _________________________________________________________________ 8 Moment en un point dun glisseur_____________________________________________ 8 Moment dun glisseur par rapport un axe______________________________________ 9 Ensembles de glisseurs _____________________________________________________ 9

1.3 Champ equiprojectif de vecteurs ______________________________________ 10 Dfinition ______________________________________________________________ 10 Proprits_______________________________________________________________ 10

1.4 Torseurs __________________________________________________________ 10 Dfinition ______________________________________________________________ 11 Champ des moments dun torseur. ___________________________________________ 11 Torseur associ un ensemble de glisseur _____________________________________ 11 Invariants du torseur.______________________________________________________ 11 Point central, axe central, moment central dun torseur ___________________________ 12 Symtrie du champ des moments dun torseur. Origine du mot torseur . ___________ 12

1.5 Oprations sur les torseurs ___________________________________________ 13 Addition________________________________________________________________ 13 Multiplication par un rel __________________________________________________ 13 Dcomposition __________________________________________________________ 13 Produit ou co-moment de deux torseurs _______________________________________ 14 Torseur structure________________________________________________________ 14

2 Drivation vectorielle_______________________________________________ 15 2.1 Drive dun vecteur ________________________________________________ 15

Dfinition ______________________________________________________________ 15 Proprits_______________________________________________________________ 15

2.2 Changement de base de drivation_____________________________________ 15 Vocabulaire _____________________________________________________________ 15 Drive dun vecteur exprim dans la base de drivation __________________________ 16 Drive dun vecteur exprim dans une base distincte de la base de drivation. ________ 16 Proprits du vecteur vitesse de rotation. ______________________________________ 17

3 A retenir _________________________________________________________ 18 Champ quiprojectif : _____________________________________________________ 18 Torseur : { }

=

AA MR

T __________________________________________________ 18

Produit de deux torseurs dfinis au mme point A : ______________________________ 18 Invariants du torseur ______________________________________________________ 18 Axe et point centraux _____________________________________________________ 18 Changement de base de drivation ___________________________________________ 18



6

1 CALCUL VECTORIEL

1.1 Oprations sur les vecteurs

Produit scalaire - Dfinition

Le produit scalaire des deux vecteurs U et V est le nombre rel suivant not U.V :

( )VUCosVUVU ,= - Proprits :

Symtrie : UVVU = Distributivit : ( ) WUVUWVU +=+ Multiplication par un rel : VUVU =

- Expression analytique Dans une base orthonorme (x,y,z) le produit scalaire des deux vecteurs V1(x1,y1,z1) et V2(x2,y2,z2)

scrit :

21212121 ... zzyyxxVV ++= Produit vectoriel - Dfinition

Le produit vectoriel des deux vecteurs U et V est le vecteur not VU tel que, VU soit perpendiculaire au plan (U,V), le tridre (U,V, VU ) soit direct, et la norme de VU soit gale :

( )VUSinVUVU ,= - Interprtation gomtrique

La norme du produit vectoriel VU , reprsente la surface du paralllogramme dfini par les deux vecteurs U et V :

- Proprits Antisymtrie : UVVU = Distributivit par rapport laddition : ( ) WUVUWVU +=+ Multiplication par un rel : ( )VUVU =



7

Application une base orthonorme directe (x,y,z) :

00

0

======

===

zzxzyyzxxyzyyzyx

yxzzxyxx

Double produit vectoriel (Formule de Gibbs) : ( ) ( ) ( )WVUVWUWVU = - Expression analytique

Dans une base orthonorme (x,y,z) le produit vectoriel des deux vecteurs V1(x1,y1,z1) et V2(x2,y2,z2) scrit :

( ) ( ) ( ) zxyyxyzxxzxyzzyVV ......... 21212121212121 ++= Produit mixte - Dfinition

Le produit mixte des trois vecteurs U, V et W est le nombre rel suivant, et not (U,V,W) :

( ) ( )WVUWVU =,, - Interprtation gomtrique

La valeur absolue du produit mixte (U,V,W) reprsente le volume du paralllpipde dfini par les trois vecteurs.

- Proprits Permutation des oprateurs : ( ) ( ) ( ) WVUWVUWVU ==,, Distributivit par rapport laddition : ( ) ( ) ( )WVXWVUWVXU ,,,,,, +=+ Multiplication par un rel : ( ) ( )WVUWVU ,,,, = Permutation des vecteurs : ( ) ( )WUVWVU ,,,, = Permutation circulaire : ( ) ( ) ( )VUWUWVWVU ,,,,,, ==

- Expression analytique. Dans une base orthonorme (x,y,z) le produit mixte des trois vecteurs V1(x1,y1,z1), V2(x2,y2,z2) et

V3(x2,y2,z2) se calcule comme le dterminant suivant :

( ) 321312231213132123321

321

321

321 ............,, zyxzyxzyxzyxzyxzyxzzzyyyxxx

VVV +++==

Division vectorielle - Dfinition



8

Soient deux vecteurs A et B non nuls et orthogonaux, le rsultat de la division vectorielle est lensemble des vecteurs X tels que :

BXA = - Solution gnrale

Lensemble X est dfini de la manire suivante, tant un rel :

AAAABX .+

=

1.2 Champs de vecteurs

Glisseur - Dfinition

Un glisseur est dfini par un vecteur V et un point P quelconque de son support et not (P,V). Un reprsentant de ce glisseur est un bipoint, appartenant la droite (D) dfinie par (P,V). Ici, par exemple, le bipoint AB ou le bipoint CD.

Moment en un point dun glisseur - Dfinition

On appelle moment au point A du glisseur (P,V), not MA(P,V) ou MA(V) le vecteur suivant :

( ) PAVVAPVM A ==

- Interprtation gomtrique Soit H le pied de la perpendiculaire abaisse de A sur la droite (D) dfinie par le glisseur. La

norme du moment du glisseur (P,V) au point A, est gale :



9

( ) VAHVPM A =, - Proprits

Le moment au point A du glisseur (P,V) est indpendant du choix du point P sur le support (D) du glisseur.

Champ des moments :

( ) ( ) ( ) VBAVPMVBAVAPVAPBAVBPVPM AB +=+=+== ,, ( ) ( ) VBAVPMVPM AB += ,,

Moment dun glisseur par rapport un axe - Dfinition

On appelle moment par rapport laxe (A,x) du glisseur (P,V) le nombre rel suivant : ( ) ( ) ( )VAPxVPMxVPM A ,,,, ==

- Interprtation gomtrique Le moment du glisseur (P,V) par rapport laxe (A,x) est gal au produit du bras de levier OH,

par la composante W du vecteur V, perpendiculaire la fois au bras de levier et laxe.

Sur la figure ci-dessous :

( ) ( ) VANVPMetWHOVPM A == ,,

Ensembles de glisseurs - Ensemble fini de glisseurs.

Si lon considre un ensemble fini de n glisseurs (Pi,Vi), deux grandeurs peuvent tre dfinies, la rsultante, R, et le moment au point A, MA, de lensemble fini de glisseurs.

=

=n

iiVR

1

=

=n

iiiA VAPM

1

Alors le champ des moments de lensemble fini de glisseurs vrifie aussi :

ABRMM AB +=



10

- Ensemble infini de glisseurs. Si lon considre un ensemble infini de glisseurs (P,F(P)), o F(P) est une densit de champ de

vecteurs dfinie en tout point P dun domaine E. Deux grandeurs peuvent tre dfinies, la rsultante, R, et le moment au point A, MA, de lensemble infini de glisseurs.

( )

=EP

dvPFR

( )

=EP

A dvPFAPM

Alors le champ des moments de lensemble fini de glisseurs vrifie encore :

ABRMM AB +=

1.3 Champ equiprojectif de vecteurs

Dfinition Un champ de vecteur V est equiprojectif si : BA VABVABBA = ,

Proprits Si un champ de vecteur equiprojectif est connu en trois points non aligns de lespace, alors il est

connu en tout point P (voir figure ci-dessous) Par ailleurs si deux champs de vecteur V1 et V2 sont equiprojectif alors aV1+bV2 est

equiprojectif aussi quel que soient les deux rels a et b choisis.

1.4 Torseurs

Le torseur est loutil privilgi de la mcanique du solide. Il est utilis pour reprsenter le mouvement dun solide, caractriser une action mcanique, formuler le principe fondamental de la dynamique de manire gnrale, etc



11

Dfinition Un torseur est un ensemble dfini par ses deux lments dits lments de rduction :

Un vecteur not R appel la rsultante du torseur Un champ de vecteur M vrifiant la relation : ABRMMBA AB += , MA est appel le moment au point A du torseur T Le torseur T se note de la faon suivante au point A :

{ }

=

AA MR

T

Champ des moments dun torseur. Le champ des moments dun torseur est equiprojectif et rciproquement, tout champ de vecteur

equiprojectif est le champ des moments dun torseur.

- Dmonstration :

Si lon prend le Torseur T tel que : { }

=

=

BBAA MR

MR

T

Le champ des moments de ce torseur vrifie par dfinition : RBAMM AB += En appliquant un produit scalaire par AB a cette relation, on retrouve bien que ce champ des

moments est equiprojectif.

( ) 44344210=+= ABRBAABMABM AB

- Remarque : Si un solide est indformable, le champ des vecteurs vitesse des points de ce solide est

ncessairement equiprojectif. Par consquent il est reprsentable par un torseur, dont le vecteur moment est le vecteur vitesse du point considr. On verra plus loin que le rsultante du torseur est le vecteur rotation de ce solide.

Torseur associ un ensemble de glisseur Un ensemble de glisseur fini ou infini rpond la dfinition du torseur, par consquent :

Ensemble fini de glisseurs : { }

=

=

=n

iii

n

ii

A

VAP

VT

1

1

Ensemble infini de glisseurs : { }( )

( )

=

EP

EP

A

dvPFAP

dvPFT

Invariants du torseur. Entre deux points quelconques A et B de lespace, deux composantes du torseur sont conserves,

qui constitue les deux invariants du torseur :



12

Premier invariant : La rsultante R Second invariant : La projection du moment du torseur sur sa rsultante :

BAAB MRMRABRMMBA =+= , Point central, axe central, moment central dun torseur - Point central :

Point o le moment du torseur la mme direction que la rsultante.

- Axe central : Ensemble des points centraux

On se propose de montrer que les points centraux sont aligns sur un mme axe, pour un torseur T, qui se note au point A :

{ }

=

AA MR

T

Le moment au point A du torseur peut se dcomposer en deux termes, U et W, o U est la composante de MA selon R et W est orthogonal a R alors :

00 ==+= RWetRUavecWUM A Si B est un point central, du fait du second invariant, UMA B = , . Comme VABRABRVUUABRMM AB =++=+= . Par division

vectorielle, on en dduit :

RR

MRAB A += 2 ainsi si lon pose : 2RMRAH A= alors les points centraux

salignent sur une droite de mme direction que la rsultante du torseur R et passant par le point H.

- Moment central : Le moment central est le moment du torseur en un point quelconque de son axe central. La norme

du moment dun torseur est minimale pour les points centraux. Par consquent si le moment dun torseur est nul en un point, ce point appartient laxe central. Laxe central se dfinit alors laide de ce point et de la rsultante.

Symtrie du champ des moments dun torseur. Origine du mot torseur . Soit R(B,x,y,z) un repre orthonorm direct, dont laxe (B,z) est confondu avec laxe central dun

torseur T. Posons alors :

{ }

===

zMMzRRTBBB .

.rr

Si lon choisit un axe (H,u) quelconque dans un plan orthogonal z et qui rencontre laxe (B,z) au point H, et un nouveau repre associ cet axe R(H,u,v,z), alors pour un point A quelconque appartenant cet axe :

vrRzMbRBAMMurHAetzhBH BA ..... +=+===rrrr

Do lexpression du moment du torseur T au point A :

vrRzMbM A ... +=r



13

Lorsque la distance r de A laxe central (B,z) est nulle MA=MB. Lorsque la distance r augmente le moment du torseur au point A tourne progressivement dans le

plan (v,z) jusqu saligner avec la direction v. Ainsi, observe ton une torsion du moment du torseur au point A, lorsque le point A

sloigne de laxe central du torseur, do lorigine du mot torseur.

1.5 Oprations sur les torseurs

Addition La somme de deux torseurs {T} et {T} est le torseur {T+T}. Pour faire la somme de deux

torseurs, il faut au pralable les crire au mme point :

{ } { } { } { } { }'''' ' TTTTMR

TetMR

TAAAA

+=+

=

=

On vrifie ensuite que {T+T} est bien un torseur. C'est--dire que son champ des moments vrifie bien la relation suivante :

{ } { } { } BATTRBATTMTTM AB +++=+ ,''' Dmonstration :

{ } { } { } { } { }( ) { } { }( )'''' TRBATMTRBATMTMTMTTM AABBB +++=+=+ { } { } { } { } { }( ) { } { }''''' TTRBATTMTRTRBATMTMTTM AAAB +++=+++=+

Multiplication par un rel Soit {T} un torseur et un rel :

{ } { }TM

RT

AA

=

= ..

Dcomposition - Torseur Couple

Un torseur couple est un torseur dont la rsultante est nulle.

{ }

=

AA MT

0



14

Le moment dun torseur couple est le mme en tout point de lespace.

Un torseur couple peut tre reprsent par un ensemble de glisseur de direction parallle, de mme norme et de sens contraire. En effet, si lon considre deux glisseurs (P,V) et (A,-V), alors le torseur associ cet ensemble de glisseur vaut :

{ }

==

+

=

VAPMVAPVV

TAAAA

00

- Torseur rsultante Un torseur rsultante est un torseur dont le moment central est nul.

{ }

= BetRavecRT

B

00

, o est laxe central du torseur.

- Dcomposition dun torseur Tout torseur est donc en gnral la somme dun torseur couple et dun torseur rsultante. En effet,

on peut crire:

{ }

+

=

=

AAAAA MR

MR

T0

0

Produit ou co-moment de deux torseurs Le produit de deux torseurs {T} et {T} dfinis au mme point A, est le nombre rel suivant :

{ } { } { } { } AAAAAA

MRMRTTMR

TetMR

T +=

=

= '''' ''

En outre, le produit de deux torseurs est commutatif : { } { } { } { }TTTT = '' Torseur structure

Un torseur structure est un torseur dfini partir dune densit de champ infini de vecteurs F(P), c'est--dire de la forme :

( )[ ]{ }( )

( )

=

EP

EP

A

dvPFAP

dvPFPFT

Le produit dun torseur structure par un torseur quelconque se met sous la forme :

( )[ ]{ } { }( )

( ) ( ) ( )

+=

= EPAEPAAEP

EP

A

dvPFMdvPFAPRMR

dvPFAP

dvPFTPFT

( )[ ]{ } { } ( )( ) ( ) ( )

++=EP

PEP

dvPFPARMdvPFAPRTPFT ,,

( )[ ]{ } { } ( )( ) ( ) ( )( )

++=EPEP

PEP

dvPFPARdvPFMdvPFAPRTPFT ,,,,



15

Soit finalement : ( )[ ]{ } { } ( )

=EP

P dvPFMTPFT

2 DERIVATION VECTORIELLE

2.1 Drive dun vecteur

Dfinition Par dfinition la drive dun vecteur V(t) par rapport la variable t, dans lespace vectoriel E est

le vecteur suivant :

{( ) ( )

htVhtVV

dtd

hE

+=

0

lim

Par consquent, la drive dun vecteur V, dpend du choix de lespace vectoriel de rfrence dans lequel est exprim le vecteur. En pratique, il est donc ncessaire de toujours prciser par rapport quel rfrentiel du mouvement est effectue la drive.

Proprits

Somme : ( )RRR

VdtdV

dtdVV

dtd

+

=

+ 2121

Produit par une fonction scalaire f : ( ) ( ) 11 VdtdfV

dtdtfVtf

dtd

RR+

=

Drive du produit scalaire : ( )RR

VdtdVVV

dtdVV

dtd

+

= 212121

Drive dun produit vectoriel : ( )RRR

VdtdVVV

dtdVV

dtd

+

=

212121 Drive dun produit mixte :

( )

+

+

=RRR

VdtdVVVV

dtdVVVV

dtdVVV

dtd

321321321322 ,,,,,,,,

Drive dune fonction de fonction : ( )[ ]dtdV

ddtV

dtd

RR

=

2.2 Changement de base de drivation

Vocabulaire La base dans laquelle on exprime les vecteurs sera indiffremment appele, base de calcul ou base

de projection.



16

La base dans laquelle est effectue la drivation, sera indiffremment appele base de drivation, rfrentiel du mouvement ou repre.

Drive dun vecteur exprim dans la base de drivation Dans ce cas particulier, la base de projection est confondue avec le rfrentiel du mouvement

choisi. Alors, si un vecteur V sexprime dans cette base R(0,x,y,z) laide de trois composantes a,b,c, comme les trois vecteurs unitaires de cette base sont constants :

zdtdcy

dtdbx

dtdaV

dtd

R+=

Drive dun vecteur exprim dans une base distincte de la base de drivation. Supposons une base de projection R1(x1,x2,x3) dans laquelle le vecteur V est exprim laide de

trois composantes (a1,a2,a3). Supposons aussi une base R(e1,e2,e3) attache au rfrentiel du mouvement et distincte de la premire.

Lors de la drivation du vecteur V par rapport au rfrentiel du mouvement R, il faut tenir compte du fait que les vecteurs unitaires de la base R1 dans laquelle est exprim le vecteur V ne sont pas constants dans la base de drivation R.

Ainsi :

=

+=

31i R

iii

i

R dtdx

axdt

daV

dtd

Soit en rassemblant les termes :

=

+

=

311 i R

ii

RR dtdxaV

dtdV

dtd

A ce stade nous avons besoin de lexpression des drives des vecteurs unitaires de la base R1 par rapport au rfrentiel du mouvement R. Lorientation dun base par rapport une autre se dfini laide trois angles de rotation (k, k=1,3). Alors :

[ ] idxdxk

kRk

iRi

=

=

3

1 et idt

dxdtdx

k

k

Rk

i

R

i

=

=

3

1

Par ailleurs, les paramtres k tant des angles de rotation, on a :

ikRk

i xex =

.

Par suite : ixedt

ddtdx

kik

k

R

i =

=

3

1

Si lon dfinit un vecteur de la faon suivante :

( ) =

=3

11

kk

k edt

dRR r il vient ( ) iR

i xRRdtdx =

1r

On en dduit alors la formule de changement de base de drivation :

( ) VRRVdtdV

dtd

RR

rrrr +

=

11



17

O est le vecteur vitesse de rotation de la base R1 par rapport la base R.

Proprits du vecteur vitesse de rotation. - Composition des rotations : ( ) ( ) ( )122313 RRRRRR += rrr

Etant donn un vecteur V, on peut crire successivement :

( ) VRRVdtdV

dtd

RR

rrrr +

=

1221

( ) VRRVdtdV

dtd

RR

rrrr +

=

2332

Alors :

( ) ( )( ) VRRRRVdtdV

dtd

RR

rrrrr ++

=

122331

Soit :

( ) ( ) ( )122313 RRRRRR += rrr - Inversion des bases de drivations : ( ) ( )1221 RRRR = rr

( ) VRRVdtdV

dtd

RR

rrrr +

=

1221

( ) VRRVdtdV

dtd

RR

rrrr

=

1212

Soit :

( ) ( )1221 RRRR = rr



18

3 A RETENIR

Champ quiprojectif : Un champ de vecteur V est equiprojectif si : BA VBAVBABA

rrrr = ,

Torseur : { }

=

AA MR

T

R (rsultante), M (champ des moments) tel que: ABRMMBA AB += , Le champ des moments dun torseur est equiprojectif

Produit de deux torseurs dfinis au mme point A :

{ } { } { } { } AAAAAA

MRMRTTMR

TetMR

T +=

=

= '''' ''

Invariants du torseur Premier invariant : La rsultante R Second invariant : La projection du moment du torseur sur sa rsultante.

Axe et point centraux Un point est dit central pour le torseur T, si en ce point son moment et sa rsultante ont mme

direction. Les points centraux salignent sur un axe, dit axe central. La norme du moment est minimale sur laxe central. La direction de laxe central est celle de la rsultante, et laxe passe par le point H, dfini partir dun point A quelconque par :

{ }

=

AA MR

T 2RMRAH A=

Changement de base de drivation Si le mouvement dune base R1(x1,x2,x3) par rapport un rfrentiel R(e1,e2,e3) est dfini par

trois angles (k, k=1,3).

Drive des vecteurs de la base R1 par rapport au rfrentiel R : ikRk

i xex =

Vecteur vitesse de rotation de R1/R : ( ) =

=3

11

kk

k edt

dRR r Composition des rotations : ( ) ( ) ( )122313 RRRRRR += rrr Changement de base de drivation : ( ) VRRV

dtdV

dtd

RR

rrrr +

=

11



19

1 Cinematique du point ______________________________________________ 20 Vecteur position dun point_________________________________________________ 20 Vecteur vitesse dun point__________________________________________________ 20 Vecteur acclration dun point _____________________________________________ 20

2 Le solide indeformable _____________________________________________ 20 Dfinition ______________________________________________________________ 20 Equivalence Repre-Solide _________________________________________________ 21

3 Paramtrage de la position relative de deux solides_______________________ 21 3.1 Dfinition des coordonnes de lorigine dun repre. ______________________ 21

Coordonnes cartsiennes __________________________________________________ 21 Coordonnes cylindriques __________________________________________________ 22 Coordonnes sphriques ___________________________________________________ 22

3.2 Dfinition de lorientation relative de deux bases _________________________ 23 Angles dEuler __________________________________________________________ 23 Angles de Cardan ________________________________________________________ 24 Quaternions _____________________________________________________________ 25

4 Cinematique du solide ______________________________________________ 28 4.1 Introduction, notations ______________________________________________ 28 4.2 Champ des vecteurs vitesse des points dun solide : torseur cinmatique _____ 28

Proprit : Equiprojectivit. ________________________________________________ 29 Calcul du vecteur rotation instantane. ________________________________________ 29 Exemple : Mouvement de translation _________________________________________ 30 Exemple : Mouvement de rotation instantane __________________________________ 30

4.3 Champ des vecteurs acclration des points dun solide.___________________ 30 5 Composition des mouvements ________________________________________ 31

5.1 Introduction _______________________________________________________ 31 5.2 Composition des vecteurs vitesse ______________________________________ 32

Relation de composition des vecteurs vitesses __________________________________ 32 Dfinitions______________________________________________________________ 32 Gnralisation ___________________________________________________________ 33 Composition des torseurs cinmatiques _______________________________________ 33 Exemple________________________________________________________________ 33

5.3 Composition des vecteurs acclration _________________________________ 34 Relation de composition des vecteurs acclration _______________________________ 34 Dfinitions______________________________________________________________ 35

6 A retenir _________________________________________________________ 35 Cinmatique du point : ____________________________________________________ 35 Cinmatique du solide :____________________________________________________ 35 Formules de changement de point____________________________________________ 36 Formules de composition des mouvements. ____________________________________ 36



20

1 CINEMATIQUE DU POINT

On rappelle ici les dfinitions de la position, de la vitesse et de lacclration dun point P par rapport un repre R(O,x,y,z).

Vecteur position dun point Le vecteur position du point P dans le repre R(O,x,y,z), linstant t, est le vecteur OP(t). La

trajectoire (T) du point P est lensemble des points P(t) obtenu lorsque t varie.

Vecteur vitesse dun point Le vecteur vitesse du point P par rapport au repre R(O,x,y,z), linstant t, est la drive du

vecteur position OP(t) par rapport t, dans R.

( ) ( )R

tOPdtdRPV

= >/r

Le vecteur vitesse du point P linstant t est tangent la trajectoire en P(t)

Si lon considre un point A fixe dans R, et le point M(t) tel que : ( ) ( )tRPVtAM /r=> , alors la trajectoire (H) du point M est appele hodographe relatif au point A du vecteur vitesse de P par rapport au repre R.

Vecteur acclration dun point Le vecteur acclration du point P par rapport au repre R(O,x,y,z), linstant t, est la drive du

vecteur vitesse V(P/R) par rapport t, dans R.

( ) ( )R

RPVdtdRP

= // rr

Le vecteur acclration du point P par rapport au repre R linstant t est tangent lhodographe (H) du vecteur vitesse du point P au point M(t).

2 LE SOLIDE INDEFORMABLE

Dfinition Un solide est dit indformable lorsque quels que soient les points A et B de ce solide, la distance

AB reste constante au cours du mouvement. On se limitera par la suite appeler solide un solide indformable.



21

Equivalence Repre-Solide Dans un repre, la position relative des axes est invariante au cours du temps. Cest pourquoi un

repre est quivalent un solide. Ltude du mouvement du solide S2 par rapport au solide S1 est identique ltude du mouvement du repre R2 attach au solide S2 par rapport au repre R1 attach au solide S1.

3 PARAMETRAGE DE LA POSITION RELATIVE DE DEUX SOLIDES

Positionner le solide 2 par rapport au solide 1 revient donc positionner le repre R2(O2,x2,y2,z2) attach au solide 2, par rapport au repre R1(O1,x1,y1,z1) par rapport au solide 1.

La position du repre R2(O2,x2,y2,z2) par rapport R1(O1,x1,y1,z1) est compltement dtermine si lon se fixe :

les coordonnes de lorigine O2 du repre R2(O2,x2,y2,z2) dans le repre R1(O1,x1,y1,z1). Il existe plusieurs faons de dfinir ces coordonnes (cartsienne, cylindrique et sphrique). Dans tous les cas 3 paramtres indpendants sont ncessaires pour positionner O2 dans R1(O1,x1,y1,z1).

lorientation de la base R2(O2,x2,y2,z2) par rapport R1(O1,x1,y1,z1). La base R2(O2,x2,y2,z2) est dfinie par 2 vecteurs (6 paramtres) unitaires (2 quations) et orthogonaux (1 quation), le troisime vecteur se dduisant des deux autres par un produit vectoriel. Trois paramtres indpendants sont galement ncessaires pour positionner lorientation de la base (x2,y2,z2) par rapport la base (x1,y1,z1).

3.1 Dfinition des coordonnes de lorigine dun repre.

On cherche en premier lieu positionner lorigine O2 du repre R2(O2,x2,y2,z2), dans un repre R1(O1,x,y,z). Il existe trois systmes de coordonnes classiques, les coordonnes, cartsiennes, cylindriques et sphriques.

n.b. Lorigine O2 du repre R2, est choisie de faon arbitraire.

Coordonnes cartsiennes Les coordonnes cartsiennes, notes (x,y,z) du point O2 dans le repre R1(O1,x,y,z) sont les

projections du vecteur O1O2 sur chacun des axes (x,y,z).

===++= zOOzyOOyxOOxzzyyxxOO rrrrrr 21212121

En coordonnes cartsiennes, la vitesse du point O2, par rapport au repre R1(O1,x,y,z) scrit:

zdtdzydt

dyxdtdx

dtOdO rrr ++=

21



22

Coordonnes cylindriques Pour dfinir les coordonnes cylindriques, il faut dabord dfinir la projection H du point O2 dans

le plan (O1,x,y), puis un vecteur unitaire u de direction O1H.

Les coordonnes cylindriques du point O2 sont alors

______

1HOr = , la mesure algbrique de la distance de O1 H ( )ux rr,= , angle orient dans le plan de normale z

z, projection de O1O2 sur laxe z.

Relation entre les coordonnes cartsiennes et cylindriques : cos.rx = et sin.ry = En coordonnes cylindriques, la vitesse du point O2, par rapport au repre R1(O1,x,y,z) scrit:

zdtdzvdt

drudtdr

dtOdO rrr ++=

.21 , o uzv rrr =

Coordonnes sphriques Pour dfinir les coordonnes sphriques, il faut dabord dfinir la projection H du point O2 dans le

plan (O1,x,y), puis un vecteur unitaire u de direction O1H, et enfin un vecteur unitaire w de direction O1O2.

Les coordonnes sphriques du point O2 sont alors

______

21OO= , la mesure algbrique de la distance de O1 O2 ( )ux rr,= , angle orient dans le plan de normale z ( )wz rr,= , angle orient dans le plan de normale v, o uzv rrr =



23

Relation entre les coordonnes cartsiennes et sphriques :

cos.sin.=x , sin.sin.=y et cos.=z En coordonnes sphriques, la vitesse du point O2, par rapport au repre R1(01,x,y,z) scrit :

zdtdSinvdt

dSinwdtd

dtOdO rrr ....21 +=

3.2 Dfinition de lorientation relative de deux bases

Dans un deuxime temps on cherche dfinir lorientation de la base (X,Y,Z) du repre R2(O2,X,Y,Y) par rapport la base (x1,y1,z1) du repre R1(O1,x1,y1,z1). Pour cela plusieurs mthodes existent. La plus communment utilise est le paramtrage par les angles dEuler. Mais on trouvera aussi les angles de Cardan dit aussi de roulis, tangage, lacet . Ces mthodes sappliquent bien de petites variations dangles autour dune position connue. Lorsque de grandes rotations apparaissent on utilise alors un paramtrage par la mthode des Quaternions.

Angles dEuler Les trois angles dEuler correspondent la composition de trois rotations planes successives qui

permettent de faire concider la base (x1,y1,z1) avec la base (X,Y,Z).

La premire rotation dangle , autour de laxe z1 permet de passer une premire base intermdiaire (x2,y2,z2=z1). Langle est appel angle de prcession .

Une seconde rotation dangle , est alors applique autour de laxe x2, de la premire base intermdiaire, ce qui permet de dfinir une seconde base intermdiaire (x3=x2,y3,z3). Langle est appel angle de nutation .

Une dernire rotation dangle est applique autour de laxe z3 de la seconde base intermdiaire, ce qui permet de positionner la base (X,Y,Z=z3). Langle est appel angle de rotation propre .



24

La composition de rotations planes successives permet de dessiner des figures de projection qui

sont souvent trs utiles pour la rsolution des problmes.

Figures de projection correspondant aux trois angles dEuler

Angles de Cardan Les trois angles de cardan, ou roulis, tangage, lacet correspondent la composition de trois

rotations planes successives qui permettent de faire concider la base (x1,y1,z1) avec la base (x4,y4,z4).

La premire rotation dangle , autour de laxe x1 permet de passer une premire base intermdiaire (x2=x1,y2,z2=z1). Langle est appel angle de roulis .

Une seconde rotation dangle , est alors applique autour de laxe y2, de la premire base intermdiaire, ce qui permet de dfinir une seconde base intermdiaire (x3,y3=y2,z3). Langle est appel angle de tangage .



25

Une dernire rotation dangle est applique autour de laxe z3 de la seconde base intermdiaire, ce qui permet de positionner la base (x4,y4,z4=z3). Langle est appel angle de lacet .

Figures de projection correspondant aux trois angles de Cardan

Ce paramtrage est habituellement employ pour paramtrer de petits mouvements du solide autour dune base (x1,y1,z1) dfinie laide de la trajectoire du centre de gravit du solide dans le rfrentiel du mouvement R. La direction x1, axe de roulis, est confondue avec la direction du vecteur vitesse du point O1 par rapport au rfrentiel R. La direction y1, axe de tangage, est orthogonale x1, dans le plan local dfini par la trajectoire du point O1. La direction z1, axe de lacet, est orthogonale au plan local dfini par la trajectoire du point O1.

Quaternions - Position du Problme

Les angles dEuler et de Cardan conduisent des difficults lors de la rsolution numrique des problmes de mcanique dans lesquels apparaissent de grandes rotations. En effet, la composition de trois rotations planes successives permet de construire la matrice de passage R(t) entre le repre attach au



26

solide et le repre attach au rfrentiel du mouvement. Les lments de cette matrice sont des fonctions non linaires des trois angles choisis. Ceci complique lcriture dalgorithmes de rsolution numrique des problmes. En effet, trs schmatiquement une rsolution numrique est conduite de la faon suivante.

A un instant t donn, on suppose connus les trois angles dEuler, lorientation du solide est alors dfinie par une matrice de passage ( )tR fonction des trois angles dEuler ou de Cardan.

La rsolution des quations du problme linstant t, permet de dterminer la vitesse de rotation instantane du solide dtdR par rapport au rfrentiel du mouvement.

Aussi, lorientation du solide t+t se calcule telle comme suit: ( ) RdtdRtIttR ..

+=+

Pour pouvoir poursuivre le calcul numrique sur lintervalle de temps suivant, la vitesse de rotation dans la nouvelle orientation doit alors tre calcule. Si les quations du problme sont crites en fonction des trois angles dEuler, il faut donc dterminer les trois angles dEuler paramtrant la nouvelle orientation. Attention ! Comme la matrice de passage contient des fonctions non linaires des angles dEuler, si t est grand :

( ) ( )tdt

dtttt .++ ., quel que soit langle dEuler considr

En consquence, soit le calcul est effectu partir dune succession de rotations infinitsimales (long !), soit les paramtres dfinissant lorientation du solide (t+t) doivent tre dtermin en inverse chaque itration. La matrice de passage qui applique un vecteur dfini dans le repre attach au solide donne ses composantes dans le rfrentiel du mouvement pour un paramtrage en angles dEuler (,,), scrit de la faon suivante :

Connaissant P(t), le calcul inverse des angles dEuler est difficile, en particulier du fait

dindterminations sur les angles (une mme orientation peut tre paramtre par au minimum huit jeux dangles dEuler diffrents). Une nouvelle mthode de paramtrage du mouvement a donc t tablie, dite mthode des quaternions, qui est bien adapte la rsolution numrique des problmes de mcanique des solides en grandes rotations.

- Principe Une rotation peut tre simplement dcrite laide dun axe de rotation (vecteur unitaire u) et

dun angle de rotation . On peut donc imaginer dutiliser simplement comme paramtres du mouvement les coordonnes du vecteur unitaire u et langle . Cependant, avec ce choix de paramtres une indtermination demeure car une mme rotation peut tre obtenue avec un vecteur unitaire u et un angle ou avec un vecteur unitaire u et un angle 2-.

Cette indtermination peut tre leve en utilisant comme paramtres le produit des coordonnes (a,b,c) du vecteur unitaire u avec le sinus de langle de rotation divis par deux. Le paramtrage est alors mis sous la forme dune matrice carre Q dordre 4 appele quaternion:

Si : { }

=

2.,

2.,

2.,

2,,, 3210

SincSinbSinaCosqqqq

Alors : kqjqiqeqQ o .... 321 +++=

Avec :

=

1000010000100001

e ,

=

0100100000010010

i ,

=

00100001

10000100

jet

=0001001001001000

k



27

Ces quatre matrices permettent de dfinir une base (e,i,j,k) dun sous espace vectoriel dont les lments sont les quaternions Q, qui se dcomposent en une partie relle Re(Q) et une partie pure Q

r

assimile un vecteur sur la base (i,j,k).

Si kqjqiqeqQ o .... 321 +++= alors ( ) eqQ o .Re = et kqjqiqQ ... 321 ++=r Des oprations de base ont t dfinies dans cette base. Avec kqjqiqeqQ o .... 321 +++=

Conjugaison : kqjqiqeqQ o .... 321 = Produit : vu les matrices (e,i,j,k) on peut construire la table des produits de base :

kekkejejje

ieiieeee

====

===

====

=====

jkiikijkkj

kijjiekkjjii

Produit vectoriel de parties pures : Compte tenu de lanalogie des trois derniers produits de base avec le produit vectoriel, on construit un produit vectoriel de parties pures par analogie avec le produit vectoriel dans lespace R3 :

Soit kqjqiqeqQ o .... 321 +++= et kqjqiqeqQ o .... *3*2*1** +++= alors ( ) ( ) ( )kqqqqjqqqqiqqqqQQ ... *12*21*31*13*23*32* ++= rr

Produit scalaire de parties pures : mme remarque

( ) ( ) ( )kqqjqqiqqQQ ... *33*22*11* ++= rr On peut alors en dduire que : ( )** .Re QQQQ = rr

Avec ces notations le produit de deux quaternions peut aussi scrire :

( ) ( )***** .. QQeQQQqQqQQ oo rrrr ++= - Proprits

Le quaternion associ la composition de rotations successives est le produit de leurs quaternions, dans lordre de leur application.

{ }3210321 ,,, qqqqQQQQ == Pour trois rotations, dans lordre 1,2,3 Lexpression du vecteur rotation laide du vecteur unitaire u dfinissant laxe de la rotation

complte et langle de rotation j se calcule comme suit partir du quaternion:

++

=3

2

1

23

22

21

1

qqq

qqqur et

++==

23

22

212

2qqqSin

qCos o

La drive temporelle dun quaternion seffectue comme celle dun vecteur

kdt

dqj

dtdqi

dtdqe

dtdq

dtdQ o .... 321 +++=

Le vecteur vitesse de rotation dune base par rapport au rfrentiel du mouvement se calcule de la faon suivante si Q est le quaternion associ lorientation de la base linstant t :



28

QdtdQ = 2

Exemple : Rotation dangle , et daxe z, dans un repre R(0,x,y,z). A linstant t, lorientation de la base est dfinie par :

kSineCosSinCosQ .2

.22

,0,0,2

+=

= et donc kSineCosQ .

2.

2 =

Alors :

+= kCoseSindtdQ .

2.

22&

et kQdtdQ .2 &=

4 CINEMATIQUE DU SOLIDE

4.1 Introduction, notations

Soit un point P1 dun solide S1 en mouvement par rapport au repre R(O,x,y,z). Les vecteurs vitesse et acclration du point P1 par rapport au repre R sont alors nots :

( )RSPV /11r et ( )RSP /11r Cette notation permet de distinguer la vitesse dun point appartenant un solide de la vitesse dun

point de lespace nappartenant aucun solide, comme par exemple le point de contact P entre les solides S1 et S2. La vitesse du point P sera alors note :

( )RPV /r

4.2 Champ des vecteurs vitesse des points dun solide : torseur cinmatique

La formule de changement de base de drivation, permet de dfinir la vitesse dun point dun solide, par rapport au rfrentiel du mouvement.

Supposons un rfrentiel du mouvement R1(O1,x1,y1,z1) et un solide S2 en mouvement par rapport ce rfrentiel, auquel est attach un repre R2(O2,x2,y2,z2). La base attache R2 a une vitesse de rotation par rapport la base attache R1. Supposons deux points quelconques A et B du solide S2, alors :



29

+

+

=

+

=

AORR

Rdt

AOd

Rdt

OOd

Rdt

AOd

Rdt

OOd

Rdt

AOd2)1/2(

2

2

1

21

1

2

1

21

1

1 r

De mme :

+

+

=

+

=

BORR

Rdt

BOd

Rdt

OOd

Rdt

BOd

Rdt

OOd

Rdt

BOd2)1/2(

2

2

1

21

1

2

1

21

1

1 r

Comme le solide S2 est indformable :

BARSBA

Rdt

AOd

Rdt

BOd

Rdt

AOd

Rdt

BOd

+

=

=

=

,)1/2(

1

1

1

10

2

2

2

2 r

Soit :

)1/2()1/2()1/2(2, RSBARSAVRSBVSBA

+= rrr Le champ des vecteurs vitesses des points du solide S2 par rapport R1(O1,x1,y1,z1), peut donc

tre reprsent par un torseur, dit torseur cinmatique, dont la rsultante est la vitesse de rotation de la base (x2,y2,z2) par rapport la base (x1,y1,z1), et le moment en un point A, la vitesse du point A appartenant au solide 2, par rapport au repre R1 :

{ }

=)/( )1/2(

)1/2(12A RSAVRS

ARS r

rV

Proprit : Equiprojectivit. Comme les champs des vecteurs vitesses dun solide se reprsente par un torseur, cest galement

un champ quiprojectif. Ceci signifie que quels que soient deux points A et B dun solide S2 :

( ) ( )12122 //, RSBVABRSAVABSBA = >> rr On peut aussi le montrer directement, partir de la proprit dindformabilit du solide :

Si S2 est un solide indformable, quels que soient A et B deux points appartenant S2 alors la distance AB reste constante au cours du temps. Ceci scrit :

( ) ABABdtdABAB

dtd

R

==

10

Ceci scrit aussi :

( ) ( )[ ] 0// 12121

11 ==

ABRSAVRSBVABAOdtdBO

dtd

R

rr

Dont on dduit :

( ) ( )12122 //, RSBVABRSAVABSBA = >> rr Le champ des vitesses des points dun solide indformable est donc bien quiprojectif.

Calcul du vecteur rotation instantane. Daprs ce qui a t dit plus haut, la drive des vecteurs unitaires (x2,y2,z2) de la base du repre

R2(O2,x2,y2,z2) par rapport au rfrentiel R1, se calcule comme suit :



30

=

2

2 )1/2(

1

xRS

Rdtxd r

On en dduit alors, si lon connat les drives des vecteurs unitaires :

111

)1/2(22

22

22

2

Rdtzdz

Rdtydy

RdtxdxRS

+

+

=r

Exemple : Mouvement de translation Si le mouvement du solide S2 par rapport R1 se reprsente par un torseur couple :

{ } =)/( )1/2(

012A RSAVARS r

rV

Alors : )1/2()1/2(2 RSAVRSBVSB =rr

Le solide S2 est donc en translation par rapport R1.

Exemple : Mouvement de rotation instantane Si le mouvement du solide S2 par rapport R1 se reprsente au point A, par un torseur rsultante :

{ } =)/(

0)1/2(12A r

rRS

ARSV

Alors : )1/2()1/2(2 RSBARSBVSB

= rr Le solide S2 est donc en rotation par rapport R1 autour de laxe central, () du torseur

cinmatique. Cet axe central passe par le point A et sa direction est aligne avec .

4.3 Champ des vecteurs acclration des points dun solide.

La formule de changement de base de drivation, permet galement de dfinir le champ des vecteurs acclration des points dun solide, par rapport au rfrentiel du mouvement.

Supposons un rfrentiel du mouvement R1(O1,x1,y1,z1) et un solide S2 en mouvement par rapport ce rfrentiel, auquel est attach un repre R2(O2,x2,y2,z2). La base attache R2 a une vitesse de rotation par rapport la base attache R1. Supposons deux points quelconques A et B du solide S2, alors :

)1/2()1/2()1/2(2, RSBARSAVRSBVSBA

+= rrr La relation entre les vecteurs acclration des points A et B du solide S2 dans son mouvement par

rapport au repre R1, sobtient en drivant les deux membres de cette galit par rapport t dans le repre R1.

111)1/2()1/2()1/2(

RRRRSBA

dtdRSAV

dtdRSBV

dtd

+

=

rrr

Soit :



31

1

)1/2()1/2()1/2(R

RSBAdtdRSARSB

+= rrr

En dveloppant :

11

)1/2()1/2()1/2()1/2(RR

RSdtdBARSBA

dtdRSARSB

+

+= rrrr

Pour calculer la drive de BA par rapport t, on utilise la formule de changement de base de drivation, soit :

( ) ( ) +=+

=

BARSBARSBAdtdBA

dtd

SR

1/201/221

r

Do la relation cherche :

( )1

)1/2()1/2(1/2)1/2()1/2(R

RSdtdBARSBARSRSARSB

+

+= rrrrr

O encore :

( )

+

+= ABRSRSABRS

dtdRSARSB

R1/2)1/2()1/2()1/2()1/2(

1

rrrrr

Ainsi, le champ des vecteurs acclrations des points dun solide ne peut pas tre reprsent par un torseur, du fait de lexistence du dernier terme.

5 COMPOSITION DES MOUVEMENTS

5.1 Introduction

Soit un point P, appartenant un solide S2, en mouvement la fois par rapport un repre R1(O1,x1,y1,z1) et par rapport un repre R(O,x,y,z). On va chercher la relation entre les vecteurs vitesses V(P/R1) et V(P/R), ainsi que la relation entre les vecteurs acclration (P/R1) et (P/R). Ces relations, dites de composition du mouvement , sont particulirement utiles lorsquon tudie des mcanismes dans lesquels les mouvements relatifs mutuels des pices sont connus, mais pas la cinmatique densemble du mcanisme.



32

5.2 Composition des vecteurs vitesse

On cherche dfinir en premier lieu la relation entre V(P/R) et V(P/R1)

( )R

OPdtdRPV

= /r et ( )

111/

RPO

dtdRPV

= r

Relation de composition des vecteurs vitesses Donc :

( )RRR

POdtdOO

dtdOP

dtdRPV

+

=

= 11/

r

or : ( )RROVOOdtd

R/111 =

Par ailleurs : ( ) ( ) ( ) +=+

=

PORRRPVPORRPO

dtdPO

dtd

RR11

111 /11//1

r

Par suite : ( ) ( ) ( ) ( ) ++= PORRRROVRPVRPV 11 /1/11// rr Si maintenant on considre le point de R1 qui concide avec P linstant t :

( ) ( ) ( ) += PORRRROVRRPV 1111 /1// rr Et donc :

( ) ( ) ( )RRPVRPVRPV /11// += rrr Dfinitions

Dans le mouvement du point P par rapport aux deux repres R et R1, on appelle :

Vecteur vitesse absolue : ( )RPV /r



33

Vecteur vitesse relative : ( )1/ RPVr Vecteur vitesse dentranement : ( )RRPV /1r

Gnralisation Soit un point P mobile par rapport n repres Ri(i=1,n). On peut crire successivement :

( ) ( ) ( )11 /// += nnnn RRPVRPVRPV rrr Ainsi :

( ) ( ) ( )=

+=n

iiin RRPVRPVRPV

211 ///

rrr

Composition des torseurs cinmatiques Il a dj t montr en utilisant la formule de changement de base de drivation que lors de la

composition des mouvements par rapport n repres,

( ) ( )=

=n

iiin RRRR

211

rr

Comme par ailleurs :

( ) ( ) ( )=

+=n

iiin RRPVRPVRPV

211 ///

rrr

On peut donc crire la relation de composition des torseurs cinmatiques :

Avec, ( ){ } ( )( )

=

1

11 /

//ii

iiii RRPV

RRRRV rrr

La relation de composition des torseurs cinmatiques scrit :

( ){ } ( ){ }=

=n

iiin RRVRRV

211 //

rr

Exemple Lobjectif de cet exemple est dillustrer la distinction entre le vecteur vitesse absolue dun point I,

( )RIV /r et son vecteur vitesse dentranement ( )RSIV /1r par un solide S1. Supposons deux roues de friction S1 et S2. S1 est en rotation autour de laxe (O,z) et S2 autour de

laxe (A,z).

On pose : ( ) zRS r1/1 = et ( ) zRS r2/2 = Les deux roues de friction sont en contact au point I : yrOI

r1= et yrAI r2=

Le vecteur vitesse absolue du point de contact I par rapport au repre R sobtient en drivant le vecteur position du point I :

( )RR

yrdtdOI

dtdRIV

=

= rr 1/ Soit : ( ) 0/ rr =RIV

Le vecteur vitesse du point du solide S1 qui linstant t concide avec I, not IS1, est le vecteur vitesse dun point qui dcrit un cercle de centre O et de rayon r1 la vitesse 1.



34

Soit : ( ) xrRSIV rr 11/1 = Le vecteur vitesse du point du solide S2 qui linstant t concide avec I, not IS2, est le vecteur

vitesse dun point qui dcrit un cercle de centre A et de rayon r2 la vitesse 2. Soit : ( ) xrRSIV rr 22/1 =

5.3 Composition des vecteurs acclration

Soit un point P, appartenant un solide S2, en mouvement la fois par rapport un repre R1(O1,x1,y1,z1) et par rapport un repre R(O,x,y,z). On va chercher maintenant la relation entre les vecteurs acclration (P/R1) et (P/R).

Relation de composition des vecteurs acclration Il a t montr aux paragraphes prcdents que :

( ) ( ) ( )RRPVRPVRPV /11// += rrr Ce qui scrit aussi :

( ) ( ) ( ) ( ) ++= PORRRROVRPVRPV 11 /1/11// rr Drivons chaque terme par rapport au temps dans le repre R :

( ) ( ) ( ) ( )RRRR

PORRdtdRROV

dtdRPV

dtdRPV

dtd

+

+

=

11 /1/11//rr

Soit, en appliquant la formule de changement de base de drivation au premier terme :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1//11/1//11/1/1

RPVRRRPRPVRRRPVdtdRPV

dtd

RR

rrrrr +=+

=

Comme O1 est lorigine du repre R1 :

( ) ( )RRORROVdtd

R/1/1 11 =

Enfin, en appliquant la formule de changement de base de drivation au dernier terme :



35

( ) ( ) ( )R

POdtdRRPO

RRR

dtd

RPORR

dtd

+

=

1/11/11/1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++

=

PORRRPVRRPO

RRR

dtd

RPORR

dtd

1/11//11/11/1

Comme, par ailleurs, daprs la formule de changeme

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