Cours Mecanique Des Fluides_2014_1015

8/9/2019 Cours Mecanique Des Fluides_2014_1015

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Chapitre 1: Statique des Fluides


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Dfinition : On appelle fluide un corps qui peutchanger de forme sous laction dune force trs faible.

Fluide : une substance constitue de particules quichange leur position par rapport l'autre.

1- Gnralits sur les fluides

ne su stance qui continu former orsque acontrainte de cisaillement est applique.

Solides rsistent aux forces, ne se dforment pas

facilement.


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Statique des fluides : ltude des conditions

dquilibre dun fluide au repos

Description : deux description sont possibles :

1-1 Description dun fluide

Macroscopique : on adaptera une telle approche au

travers la notion de milieu continu.


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1-2 Notion de pression

Proprits de la pression

.

Les actions ou les forces de pression sexercent toujours

. ( )

perpen cu a remen aux sur aces sur esque es e es ag ssen .

La pression en nimporte quel point dun fluide est la mme dans toutes

les directions.


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Les units de la pression


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Pression absolue

- La pression absolue dsigne la pression

physiquement relle. Les proprits des fluides

.

- Une pression absolue nulle rvle labsence de

matire, cest--dire le vide.


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Pression relative (ou effective)

Prelative = Pabsolue - Patm

- orsque a press on re at ve ev ent n gat ve, onparle de la dpression.


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Forces de pression sur des surfaces

-Le calcul de ces forces joue un rle capital dans ledimensionnement des retenues deau et des barrages.

- On sait que est la force de pression lmentairesexerant sur la surface lmentaire dS.

- La force totale :

dSnp ..Fd r

r

=

dSnpS

..F r

r

=


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1-3 Equation fondamentale de la statique

d

(x,y,z)

dx

dz

g

d

(x,y,z)

dx

dz

(x,y,z)

dx

dz

g

Lquilibre de ce volume se traduit par (P.F.D)

reprsente les forces qui sexercent sur cet lment de volume.

F

zezdFyeydFxexdFdF

+

+

=


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dy

(x,y,z)

dx

dz

g

x

y

z

zedxdyzp

)(

zen

=

zen

=

zedxdydzzp

+ )(

dy

(x,y,z)

dx

dz

g

dy

(x,y,z)

dx

dz

(x,y,z)

dx

dz

g

x

y

z

x

y

z

zedxdyzp

)(

zen

=

zen

=

zedxdydzzp

+ )(

P.F.D : 0= F 0=

z

pg z

=

=

0

0

y

pg

x

pg

y

x

=

0)p(gradvF Forme vectorielle

Par analogie :


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1-4 Equation fondamentale de lhydrostatique

h

M

g

h

M

g

ctegzP =+

gdzdP =

Equation fondamentale de lhydrostatique


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Exemple 1:

Un tube en U contient du mercure sur une hauteur de quelques centimtres. On

verse dans lune des branches un mlange deau - alcool thylique qui forme une

colonne de liquide de hauteur h1=30 cm. Dans lautre branche, on verse de leau

pure de masse volumique 1000 kg/m3, jusqu ce que les deux surfaces du

mercure reviennent dans un mme plan horizontal. On mesure alors la hauteurde la colonne deau h2=24 cm.

pp quer a re a on on amen a e e

lhydrostatique pour les trois fluides.

2) En dduire la masse volumique du mlange eau

alcool thylique.


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1-5 Calcul des forces de pression


Exemple : Paroi plane incline

dSnpS

..F 111r

r

=

dSnpS

..F 222r

r

=

avec

z.g.pp atm +=1

atmpp =2

kin

rr

r

).sin().cos(.1 = 21 nn

rr

=


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dSnpS

..F 111r

r

=

dSnpS

..F 222r

r

=

==+=S

dS.n.z.

S

dS.n.z.g.F1

FF112

rr

rrr


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r

rrr

S

.... 121

+=S S

dSkzgdSizgF .).sin(....).cos(...rrr

dxdS .1).sin( = dz.dS).cos( 1= )tan(/ dxdz =


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()

+=2 2

11

..).tan(......h

h

h

h

dzzkgdzzigFr

rr

k.

hh

).tan(.g.i.

hh

.g.F

rrr

22

21

22

21

22 +

=


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Centre de pousse :

Si est la force de pression sexerant sur une surface S,Fr

a ors on peu avo r eso n e conna re e po n

dapplication A de cette force.


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Centre de pousse A :

Pour les coordonnes du point A, il faut calculer le

moment de la force par rapport un point O quelconque,puis identifier ce moment la rsultante des moments

lmentaires par rapport ce mme point O.


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1-6-1 Thorme dArchimde

La rsultante des forces de pression sexerant sur un volume V immerg dans un

fluide en quilibre hydrostatique est gale au poids du volume de fluide dplac.

Cette force passe par le centre de gravit de la masse de fluide dplac.

force exerce par le fluide sur le solide immerg :

=S

dSnpF

1-6 Pousse dArchimde

=V

S fdVdSnf. formule du gradient :

=V

pdVF

E.F.S :

= gp l .

==== gVdVgdVgpdVF lVlV lV do :


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Chapitre 2: Cinmatique des fluides


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IL sagit dtudier le mouvement des particules fluides sans

faire intervenir les forces qui entrent en jeu.

Deux manires pour dcrire le mouvement dun systmemcani ue :

Cinmatique des fluides

Description Lagrangienne

Description Eulrienne


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2-1 Description Lagrangienne

l'observateur suit chaque particule fluide partir de l'instant initial

Une particule fluide donne occupe au cours du temps la position

=OMx

On prendra comme paramtre la position t = 00

=OMa ),,,( 321 taaaa


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Description Lagrangienne

=

a

txtav ,

Pour une particule fluide donne, ie pour fix, la vitesse est donne par :

2-1-3 Vitesse et acclration

Pour une articule fluide donne, ie our fix, lacclration est donne ar :

a

a

Cas d'une proprit physique quelconque

Les proprits physiques se rfrent aux particules fluides que l'on suit. Par

exemple, on notera la temprature l'instant t de la particule fluide qui

tait en l'instant initial.

=

a

t

vta,

a

taT ,


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2-2 Description Eulrienne

L'observateur est plac en un point M fixe du repre, et regarde passer les particules

fluides devant lui. Ainsi, deux instants diffrents, ce n'est pas la mme particule qui

occupe la position .

Mx

On notera la valeur de la proprit F au point linstant t.

txF ,

x


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Les variables x1,x2 et x3 sont appeles variables dEuler :

( )

( )( )

t,x,x,xv

t,x,x,xv

t,x,x,xv

t,xv

3213

3212

3211

Lien entre les deux descriptions :

Soit une proprit physique F du fluide (scalaire, vecteur, tenseur) :

txF ,

taF ,

=

t,t,axFt,aF

Lagrangienne

Eulrienne


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2-2-1 Trajectoire :

x Ensemble des positions occupes par une particule fluide donne.

=

txvdt

xd , dttxvdx ii

=

,

dxdxdx 321

txvtxvtxv

,,, 321

2-2-2 Ligne de courant :

Ligne dont la tangente en chacun de ses points est le vecteur vitesse de la particule

fluide en ce point un instant t0 fix.

Equation de la Trajectoire


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= xdMM' Le long d'une telle ligne, t0 o n a :

=

=

03

3

02

2

01

1

,,, txv

dx

txv

dx

txv

dx

E uation des li nes de courant

Cas particulier des coulements stationnaires :

Dfinition : Un coulement est stationnaire si en description eulrienne les grandeurs

sont indpendantes du temps.

=

xvtxv ,

dt

xv

dx

xv

dx

xv

dx=

=

=

3

3

2

2

1

1

=

=

xv

dx

xv

dx

xv

dx

3

3

2

2

1

1


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On en dduit que dans un coulement stationnaire les trajectoires et les lignes de

courant sont confondues

2-2-3 Acclration et drive particulaire

En description Eulrienne il est claire que :

txvttxvv

+

,,

tt

xt

=

m,0

fgradvt

f

Dt

Df +

= .

+

==

vgradv

t

v

dt

vdtx .,


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Loi de conservation de la masse

Dbit massique qui traverse toute la surface S dlimitant le volume V peut scrire

sous la forme :

dSnvS

.

=

=

VV

dVt

dVtt

m

La masse totale gnre par tout le volume par unit de temps scrit :

V

VdVq

Bilan de masse :

+=

V

V

SV

dVqdSnvdVt

.


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Loi de conservation de la masse

On applique le thorme dOstrogradsky :

+

=

V

V

VV

dVqdVvdivdVt

Vqvdivt

=

+

Cas particuliers :

Equation de conservation de la masse

Ecoulement permanent : Vqvdiv =

Ecoulement conservatif :0=

+

vdivt

Ecoulement conservatif dun fluide incompressible : 0=

vdiv


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Ecoulement irrotationnel et potentiel de vitesse

On appel coulement irrotationnel un coulement pour lequel :

0=

vrot

Il existe une fonction (x,y,t) tel que :

= gradv

=

xvx

= yvy

Un coulement irrotationnel est un coulement potentiel de vitesse et

rciproquement.

Pour lcoulement conservatif dun fluide incompressible en rgime permanent, on adaprs lquation de continuit :

0=

vdiv

0=

graddiv 0=


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Fonction de courant

Soit un coulement dans le plan (o, x, y) son champ de vitesse est :

Fluide incompressible 0=

vdiv

),,(

),,(

2

1

tyxv

tyxvv

Sur une ligne de courant nous pouvons crire :

( ) dxvdyvtyxd21

,, =

dxvdyv 21

y

v

x

v

y

v

x

v

==+2121

0

:sappelle fonction de courant

Si on connait(x, y, t) alors on dduit :

x

vet

y

v

=

= 21

t fixe :


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Chapitre 3: Dynamique des fluidesarfaits


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I. Introduction

Dans ce chapitre, nous allons tudier les fluides en mouvement. Contrairement aux

solides, les lments dun fluide en mouvement peuvent se dplacer des vitesses

diffrentes. Lcoulement des fluides est un phnomne complexe. On sintresse aux

quations fondamentales qui rgissent la dynamique des fluides incompressibles

parfaits, en particulier :

lquation de continuit (conservation de la masse),

le thorme de Bernoulli (conservation de lnergie) et,

le thorme dEuler (conservation de la quantit de mouvement) partir duquel on

tablit les quations donnant la force dynamique exerce par les fluides en

mouvement (exemple les jets deau).


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II. Ecoulement permanent

Lcoulement dun fluide est dit permanent si le champ des vecteurs vitesses des

particules fluides est constant dans le temps. Notons cependant que cela ne veut pas

dire que le champ des vecteurs vitesses est uniforme dans lespace.

III. Principe de conservation de la masse

Lexpression du principe de conservation de la masse se traduit par lgalit de la

1

par S2 pendant cette mme dure, c--d :

Nous assimilerons les volumes entrant et sortant des cylindres. Soit la masse

volumique du fluide lentre et la masse du fluide la sortie.

Dans le cas dun fluide incompressible


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Lexpression gnrale du principe de conservation de la masse est :

Dbit massique

On appelle dbit massique Qm la quantit reprsente la masse defluide traversant la section S1 par unit de temps (kg/s).

vo um que

Pour un fluide incompressible en coulement permanent le principe devient :

On appelle dbit volumique Qv

le volume de fluide traversant une section S1

par

unit de temps soit : (m3/s)

Pour les fluides incompressibles, lquation de continuit scrit :


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IV. Equation gnrale du mouvement


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IV. Equation gnrale du mouvement

Supposons un liquide parfait (pas de viscosit) incompressible dont la pression en

diffrents point est constante dans toutes les directions, lquation fondamentale de ladynamique des fluides scrit :

+= Fpgraddt

vd

+

=

+

+

+

xF

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

Equation dEuler

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

z

y

F

z

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

Fy

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

V. Thorme de Bernoulli


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V. o e de e ou

Considrons un fluide incompressible. Lquation dEuler scrit :

Lorsque drive dun potentiel, on peut crire :

Lquation dEuler devient alors :

+= Fpgraddt

vd

F

= gardUF

Le long dune ligne de courant, confondue avec trajectoire, un dplacement entraneune variation dnergie :

( )Upgraddt

vd +=

( )

+== dlUpgraddldt

vddE .

On intgrant cette relation le long de la ligne de courant on obtient lexpression


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cteUvp =++ 2

2

1

g g g p

gnrale de la relation de Bernoulli :

Lorsque les forces de volume se limitent en une force de pesanteur :

On obtient la forme usuelle de lquation de Bernoulli :

ctegzU +=

: densit dnergie cintique associe au mouvement globale du fluide

p : densit de pression due aux forces internes du fluide en mouvement,

: densit dnergie potentielle associe la position dans le champ

gravitationnel

ctegzvp =++ 221

2

2

1

v

gz

Diffrentes formes dnergie dans les units les plus utilises :


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Diffrentes formes d nergie dans les units les plus utilises :

)(:1

)/(:

2

1

)/(:21

2

2

32

mhauteurctezvp

kgJenrgiectegzvp

mJPapressionctegzvp

=++

=++

==++

V.1 Thorme de Bernoulli gnralis

Lors d'un coulement d'un fluide rel entre les points (1) et (2) il peut y avoir des

changes d'nergie entre ce fluide et le milieu extrieur :

par travail travers une machine, pompe ou turbine ; la puissance change tant

P.

par dues aux frottements du fluide sur les parois ou les accidents

de parcours ; la diffrence de pression tant Pf

Lquation de BERNOULLI scrit dans ce cas :


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Applications :

Vidange dun rservoir - Thorme de Torricelli

fpgzvpEgzvp +++=+++ 22

221

2

112

1

2

1

On considre une cuve remplie d'un liquide parfait et

incompressible, dans laquelle a t perc un trou de

pe e a e une au eur en essous e a sur ace

libre du liquide.On note A un point choisi au hasard sur la surface libre

du liquide et un point pris au niveau du jet libre gnr

par le trou.

Montrez que Relation de TorricellighvB 2=

Tube de Venturi

Un conduit de section principale SA subit un tranglement en B o sa section est


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p p A g

SB. La vitesse dun fluide augmente dans ltranglement, donc sa pression y

diminue : vB > vA

pB < pA

Montrez que :

22

22

11

2

1vv

AB

BA kqqSS

pp =

=

VI. Lois dnergie dans lcoulement dun fluide parfait


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VI.1. Thorme dEulerDe manire gnrale, la forme intgrale des quations dEuler est :

Pour un coulement permanent, lquation dEuler devient:

=

+

extFdsvnvdvv

t.

( ) = entresortiemext UUQFrrr

.

Exemple 1:Dterminer la force exerce par le fluide sur la canalisation.

Les sections (1) et (2) de la canalisation sont caractrises par les aires S1et S2, les


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xuvv

= 11pressions p1 et p2 et les vitesses : et

+=

yx uuvv sincos22

22,Sp

xu

2

v

1

v11,Sp

Exemple 2:


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Un jet deau horizontal qui frappe un obstacle un dbit massique Qm.

Lobstacle provoque une dflexion du jet dun angle.

- Trouver lexpression de la force rsultante totale F exerce par le

liquide sur lobstacle.

- Exprimer en fonction de .


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Chapitre 4: Pertes de charge

I. Introduction


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On raison de la viscosit des fluides rels, de la rugosit des parois intrieures des

conduites et des accidents de parcours inhrent un trac fluidique, lcoulement

dun fluide rel fait apparatre une dgradation de lnergie interne du fluide, que lon

appelle : pertes de charge.

Une chute de pression est le rsultat dune somme de rsistances opposes aupassage du fluide par la tuyauterie (pertes par frottement) et des accidents de

parcours.

Les pertes de pression, ou perte de charges, seront fonction:

de la longueur de la conduite des ventuels accidents de parcours

du diamtre de la conduite

de la vitesse du fluide

de la rugosit de la tuyauterie


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R it C t t i t d d i lt t d


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conduite

asprit

Rugosit : Cest un paramtre qui permet de dcrire ltat de

surface des parois interne dune conduite.

est le diamtre intrieur de la conduite

est la rugosit absolue de la conduite

Dr =La rugosit relative est :

Limite intrieurede la conduite

Ecoulement laminaire et turbulent


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Ecoulement laminaire et turbulent

- Si la vitesse d'coulement n'est pas trop leve, les diffrents filetsde courant restent indpendants : on parle d'coulement laminaire.

- Lorsque la vitesse devient importante, les filets de courantdeviennent instables et se mlangent. L'coulement devient turbulent.

Il apparat des tourbillons.


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II. Pertes de charge rparties


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Lexprience montre que la perte de charge rpartie dans une canalisation est:

- Proportionnelle la longueur L

- Inversement proportionnelle au diamtre intrieure Di

- Proportionnelle au carr de la vitesse dcoulement

Avec:

)(2

2

PaenV

D

LP

i

r =

-: Facteur de perte de charge rpartie sans dimension

- L: Longueur de la conduite m - Di: Diamtre de la canalisation m

- V: Vitesse du fluide m/s

-: Masse volumique du fluide kg/m3

II.1. Perte de charge linique :Elle dfinit la perte de charge rpartie par mtre de conduite. Elle est trs souvent

Utilise dans des abaques, valables uniquement pour des conduites, ou tableaux de

valeur

2

1 2V

DPj ir ==

II.2. Facteur de perte de charge rpartie


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Il est aussi appel facteur de frottement . Il dpend:

- Du rgime dcoulement: Re

- De la rugosit absolue de la conduite:

- Du diamtre de la canalisation: Di

La recherche de ce facteur peut se raliser soit en utilisant des relations empiriques ou enexploitant un diagramme appel diagramme de MOODY


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0,01D

= = 0,042

Re = 20 000

Coefficient de perte de charge linaire


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Rgime laminaire:

Re

64=

-

Exprimer le dbit volumique en fonction de

le diamtre de la conduite et la viscosit

dynamique .

p

Rgime turbulent : Conduite lisse


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25,0Re316,0 =

(Formule de Blasius)

+=

D71,3Re51,2log21

(Formule de Colebrook)

II.3. Facteur de perte de charge Singulire

Les pertes de charge singulires sont dus la prsence des obstacles :


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Les pertes de charge singulires sont dus la prsence des obstacles :

- Changement de section: largissement/rtrcissement

- Changement de direction: courbes/coudes

- Branchements: Ts de sparation et de runion

- Organes de robinetterie: robinets/clapets/filtres

2.

2

UPS=

gUPS2

.

2

=

.

C l i


64/78

Conclusions

Pour diminuer l'ensemble des pertes de charge dans une canalisation, afin dediminuer les cots de fonctionnement dus aux pompes, il faut:

diminuer la longueur de canalisation

diminuer le nombre d'accidents sur la canalisation

diminuer le dbit de circulation

augmenter le diamtre des canalisations

faire circuler des liquides le moins visqueux possible

utiliser des matriaux de faible rugosit


65/78

I. Introduction


66/78

Dans ce chapitre , nous allons aborder le problme de la dynamique des fluides

visqueux incompressible newtoniens. Les forces de frottement visqueuses, qui sont

dues aux interactions entre les molcules, seront prises en considration dans les

quations de la dynamique (quations dEuler).

Considrons lcoulement dun fluide visqueux au voisinage dune paroi. Sous leffet

des forces dinteraction entre les molcules de fluide et des forces dinteraction entre

les molcule de fluide et celle de la paroi, chaque molcule de fluide ne scoule

librement.

z


67/78

z

x

vmax

v = 0

z+dz

z

v+dv

Pour z =0 les particules fluide en contact avec la paroi ont une vitesse nulle.

La contrainte (force par unit de surface), pour tout point M de la

paroi possde, entre autres, une composante tangentielle dans le sens de

lcoulement: le fluide tire la paroi.

Cette contrainte tangentielle est proportionnelle au gradient de vitesse travers la

paroi:

paroifluideT

x

z

paroifluide e

dz

dvT

=

= .0

Le coefficient de proportionnalit ne dpond que du fluide.


68/78

La force correspondante scrit :

x

z

paroifluideparoifluide edz

dvSTSF

=

== .0

I.2. Notion de la viscosit dynamique [M.L-1.T-1]

- La viscosit dynamique dun fluide caractrise son aptitude scouler.

- La viscosit dynamique peut tre dfini comme tant la rsistance lcoulement.

- La viscosit dynamique sexprime en pascal seconde (Pa.s)

- Un fluide est considr comme parfait si lon peut ngliger sa viscosit.

- Dans nombreuses formules apparait le rapport de la viscosit dynamique et

de la masse volumique.

Ce rapport est appel viscosit cinmatique [L2.T-1]

( 2 1)


69/78

= (m2.s-1)

I.3. Gnralisation un coulement quelconque

On cherchera la relation gnrale entre et le mouvement du fluide , en

tenant compte de la pression statique qui reprsente la contrainte normale, oncrit dans le cas gnral:

ij

)()( MMP ijijij +=

Comme est symtrique,

On peut le gnraliser de la manire suivante, en tenant compte du caractre

symtrique du tenseur:

=

==

jisi

jisi

ij

ij

0

1

jiij =

=

y

V112

ij

jiij D

VV 2=

+

=


70/78

ij

ij

ij

xx

+

=

i

j

j

iij

x

V

x

VD

2

1

Le tenseur des contrainte en un point M scrit donc sous la forme:

est appel tenseur des taux de dformationD

Tous les fluides obissent cette loi de comportement sont les fluide

newtoniens

)(2)( DIP +=

I.4. Equations de la dynamique des fluides newtoniens incompressible:

Equations de Navier-Stokes


71/78

Considrons un lment de volume V dlimit par une surface ferme S dans

un domaine fluide. Le principe fondamentale de la dynamique scrit:

dvgdsTdvdt

vd

+=

dvgdsndvdt

vd

+=

( ) dvgdvdivdvdtvd

+=

i

j

iji g

xdt

dV +

=

En utilisant la relation et en projetant sur les trois

axes, on obtient:)(2)( MDIMP +=


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+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

yyzyyyx

xxzxyxx

gzyxy

Pdtdv

gzyxx

P

dt

du

+

++

+

= zzzzyzx

gzyxz

P

dt

dw

Si nous raisonnons par exemple sur la premire quation, on a:

xgz

w

y

v

x

u

xz

u

y

u

x

u

x

P

dt

du +

+

+

+

+

+

+

=

2

2

2

2

2

2

Les quations de Navier-Stokes scrivent:


73/78

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

y

x

gz

v

y

v

x

v

y

P

z

vwy

vvx

vut

v

gz

uy

ux

uxP

zuw

yuv

xuu

tu

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

+

+

+

+

=

+

+

+

zg

zyxzzw

yv

xu

t

222

+

0=

+

+

=

z

w

y

v

x

uVdiv

Exemples dapplications

1- Ecoulement unidirectionnel:


74/78

Ce sont des coulement o le champs de vitesse possde une direction fixe. On prendra

H othses :

1Ox

=

00

),,,( 3211 txxxv

V

V

x

x3

Ecoulement stationnaire et incompressible

les forces de masse sont ngligeables Fluide Newtonien

=

0

0

),( 321 xxv

V

03

3

2

2

1

1 =

+

+

=

x

v

x

v

x

vVdiv

12

3

1

2

2

2

1

2

2

1

1

2

13

13

2

12

1

11

1xg

x

v

x

v

x

v

x

P

x

vv

x

vv

x

vv

t

v +

+

+

+

=

+

+

+


75/78

3211321 xxxxxxxt

22

3

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

23

23

2

22

1

21

2xg

x

v

x

v

x

v

x

P

x

vv

x

vv

x

vv

t

v +

+

+

+

=

+

+

+

222

32

3

3

2

2

3

2

1

3

33

33

2

32

1

31

3xg

xxxxx

v

x

v

x

v

t

+

+

+

+

=

+

+

+

On obtient:

+

+

=

2

3

2

1

2

2

2

1

1

0x

v

x

v

x

P


76/78

1-1 Ecoulement de Poiseuille: Ecoulement dans un cylindre

=

=

3

2

0

0

x

P

x

P

)( 1xPP =

z

r

Hypothses : Ecoulement unidirectionnel, stationnaire et incompressible les forces de masse sont ngligeables Fluide Newtonien

Symtrie //

=

),,,(

),,,(

,,,

tzrv

tzrv

tzrv

V

z

r

Le champs de vitesse devient:

=

0

0

V


77/78

),(

0

zrv

V

z

( )0

11=

+

+

=

z

vv

rr

rv

rVdiv zr

= zrvV z )(

Les quations de Navier-Stokes scrivent en coordonnes cylindriques:

+

=

=

=

zvz

P

P

r

r

P

0

10

0

2

2

2

2

2

11

z

vv

rr

vr

rrv zzzz

+

+

=

Avec:

=

r

P0

)( zPP =


78/78

+

=

=

r

vr

rrz

P

Pr

z10

10

)( zPP

=

K

P

=

K

rvr

rr

z

z1 BrArKrv z ++= )ln(4

)( 2

0:)(,0 = Arvr z

2

4:0)(, RKBRrvRr z

===

( )224

)( RrK

rv z =

C.L :

Documents

Cours Mecanique Des Fluides_2014_1015