L3 PC

Ondes et propagation

Notes de cours P. Fraunié

Version provisoire 2011

I Introduction

I.1 Définition La définition d’une onde reste assez intuitive. On parlera plutôt de types d’ondes à propos de

phénomènes physiques faisant apparaître une amplitude, une périodicité et éventuellement

une propagation plus ou moins conservative.

On se limitera ici à la présentation d’ondes linéaires (superposables par addition) de faible

amplitude (par rapport à la dimension caractéristique du milieu et même à la longueur

d’onde).

On peut citer des exemples d’ondes qu’on présentera dans ce cours : acoustique, vagues de

surface de la mer, électromagnétiques, sismiques, corde vibrante, …

La représentation des ondes est souvent associée à la fonction sinus (cosinus ou exponentielle

complexe) dont les propriétés calculatoires ont amené des développements analytiques très

poussés : un grand nombre de phénomènes physiques ont été pressentis par les modèles puis

vérifiés par l’expérience.

D’autres approches sont aussi possibles telles que les ondelettes (phénomènes localisés) ou

fonction créneau (problèmes discontinus).

I.2 Différents types d’ondes (voir des exemples sur internet)

On s’intéressera dans ce cours à différents types d’ondes permettant une formulation (calculs)

simplifiée :

- les ondes stationnaires oscillent sans se déplacer, donc sans propagation :

La variation en un point donné ne dépend que du temps (ce qui en fait une dénomination

impropre) la terminologie anglosaxonne « standing wave » est en ce sens mieux appropriée.

Exemple : corde d’un instrument (piano, guitare)

- les ondes progressives « avancent » dans l’espace. Elles se propagent en transportant une

énergie. Exemple : vagues marines

- les ondes planes : la solution est invariante dans un plan (x,y). Elles se propagent dans la

direction perpendiculaire au plan (z). La solution est une fonction de (z,t). Exemple : le son à

un grande distance (approximation)

- les ondes sphériques : la solution est invariante sur une sphère. La propagation a lieu selon

un rayon. La solution est une fonction de (r,t).

- les ondes périodiques en espace et / ou en temps sont représentées par des fonctions

périodiques (sin, cos, etc).

I.2 Propagation

La propagation sous entend une variation dans l’espace et le temps.

Une onde qui se propage va transporter de l’énergie mais pas ou peu de masse (vagues

marines, lumière, fouet). Elle pourra se réfléchir (vagues sur un mur, corde fixée aux deux

extrémités) ou s’amortir (vague déferlant sur la plage, fouet qui claque). On parlera alors de

conditions aux limites.

L’onde (fonction sinus) sera très souvent solution d’une équation différentielle du second

ordre (dérivée seconde). L’intégration de cette équation fera en effet apparaître une condition

aux limites et une condition initiale.

I.2.1 Exemple d’une perturbation localisée de la corde

Supposons une corde tendue entre deux points ou posée sur une table.

A l’instant initial (t=0), on introduit une petite déformation localisée f(x).

La fonction f donne la forme de la perturbation.

La fonction f est nulle sauf dans un intervalle limité.

Si on désigne par u(x,t) la déformation de la corde au point x et au temps t, on aura :

A l’instant initial t = 0 :

u(x,o) = f(x) (1.1)

A l’instant t, la déformée se sera déplacée d’une distance l(t) vers la droite et la gauche.

La vitesse de déplacement (célérité) c = l/t dépend du phénomène physique (ici la gravité) et

des propriétés de la corde. Elle sera ici constante.

NB : on différentie en français la célérité (onde) de vitesse (masse), ce qui n’est pas le cas en

anglais (speed, velocity).

On pourra donc écrire : l(t) = c t avec une célérité « c » positive(propagation vers la droite) ou

négative (vers la gauche).

Toujours à l’instant t, la déformée de la corde rectiligne aura la même forme que la

déformation initiale f(x) mais décalée de ct.

On pourra donc écrire pour une perturbation conservative (non amortie) :

u (x,t) = f (x-ct) (1.2)

Il est remarquable qu’on représente un phénomène à deux dimensions (x,t), invariant par

translation, par une fonction d’une seule dimension φ = x-ct.

On pourra dériver u par rapport à x et t qui sont des variables indépendantes :

'fx

f

x

u=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ φ

φ et 'fc

t

f

t

u−=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ φ

φ

On obtient donc l’équation :

0=∂

∂+

∂

∂

x

uc

t

u (1.3)

En dérivant deux fois u par rapport à x et t, on obtient aussi :

02

22

2

2

=∂

∂−

∂

∂

x

uc

t

u (1.4)

Qui admet pour solution toutes fonctions de la forme : f (x-ct) mais aussi f (x+ct).

La solution générale s’écrira alors u (x,t) = f (x-ct) + g (x+ct), correspondant à deux

propagations de sens opposés aux célérités c et (-c) selon les courbes caractéristiques du plan

(x,t) : φ (x,t) = x-ct = α et φ ’(x,t) = x+ct = β se coupant en un point M(x,t) où la soluton est

connue. On cherchera alors la solution du problème unidimensionnel dans les directions φ et

φ ’. Ces courbes sont bien sûr des droites si c est constant.

NB : f et g peuvent être identiques, opposées, etc.

II Ondes sinusoïdales

II.1 ondes unidimensionnelle (plan (x,t)

Ce sont des ondes périodiques en espace, temps ou les deux. On pensera par exemple à la

houle pour une visualisation espace – temps (oscillation du nageur vu de la plage ou point fixe

vu du nageur).

On prendra une formulation générale du type :

)sin(),( 0ϕω +−=Ψ tkxAtx (2.1)

Où A est l’amplitude, ω est la pulsation, k le nombre d’onde et ϕ la phase à l’origine et au

temps initial (x=0, t=0).

On pourra aussi choisir la forme équivalente privilégiant le temps :

)cos(),( 1ϕω +−=Υ kxtBtx

Ou encore la représentation complexe avec : )sin()cos()exp( θθθ ii += :

( )[ ]ϕωψ +−= kxtiCtx exp),(~ (2.2)

Cette dernière représentation (dont on prendra in fine la partie réelle ou imaginaire) permet

des calculs simplifiés et la discrimination claire des contributions oscillantes des contributions

croissantes ou décroissantes (enveloppe) de la solution lorsque les coefficients sont

complexes.

La périodicité en temps conduit à la définition d’une période ω

π2=T avec : f(x, t+nT) = f(x,t)

et d’une fréquence temporelle (en Hertz ou nombre de période par seconde) :

λπ

ω c

Tf ===

2

1

La périodicité spatiale conduit à la définition d’une longueur d’onde k

πλ

2=

avec : f(x + n λ , t) = f(x,t). On définit une fréquence spatiale πλ 2

1 kS ==

En réintroduisant la vitesse de phase (pas forcément constante ici)

Tkc

λω== (2.3)

On notera que les échelle d’espace et de temps sont reliées par la relation : λ = cT

On peut alors réécrire (1.5) sous la forme :

[ ]))(sin),( 0ϕ+−=Ψ ctxkAtx (2.4)

Qui sera notamment solution de l’équation (1,4) avec c constante.

On pourra alors noter que :

( )[ ]ϕϕωϕωψ +−=

+

−=+−= ctxka

c

xtakxtatx coscos)cos(),(

NB : On choisira la formulation la plus adaptée au problème physique à résoudre (priorité aux

échelles spatiales ou bien temporelles, simplification des calculs).

II.2 Ondes planes II.2.1Définition

Une onde plane est invariante dans un plan normal à sa direction de propagation.

Dans l’atmosphère Wikipedia

Les ondes peuvent se propager dans différentes directions et se superposer. Des ondes

linéaires se propageant dans des directions orthogonales peuvent se croiser puis retrouver leur

solution initiale (ondes de surface de l’eau par exemple).

II.2.2Formulation

On peut généraliser la formulation de l’onde sinusoïdale précédente en choisissant une

direction de propagation définie par un vecteur nr

normal au plan d’onde.

Le cas précédent (onde unidimensionnelle) peut être ainsi étendu au cas d’une onde plane de

plan (y,z) se propageant selon l’axe Ox.

)cos(),( ϕωψ +−= kxtatx

En posant le vecteur d’onde : nkkrr

= de module le nombre d’onde k selon nr

, unitaire de

coordonnées ( γβα ,, ) avec 1222 =++ γβα , on obtient une représentation générale

tridimensionnelle de l’onde plane

).(cos),( ϕωψ +−= rktatrrrr

(2.5)

Donnant las solution en un point M (x,y,z) tel que .

On définit la phase : ϕω +−=Φ rkttxrr

.),(

et le vecteur d’onde

=

=

=

kk

kk

kk

k

z

y

x

γ

β

αr

NB : On retrouve bien l’onde unidimensionnelle de direction de propagation Ox en

prenant 0,1 === γβα .

Les fronts d’onde (phase Φ = constante) sont les plans de normale nr

et d’équation

Xrnzyx ==++rr

.γβα , où X est la distance du plan à l’origine ou l’abscisse du plan dans la

direction nr

.

La célérité (vitesse de phase) de déplacement de l’onde est k

cω

= selon .nr

On notera qu’elle se projette sur une direction (par exemple Ox) en une vitesse plus

rapide

=

α

ccx . On pensera à la propagation du « bang » perçu au sol lorsqu’un avion

franchit le mur du son.

II.2.3 représentation complexe

La relation (2.5) peut être interprétée comme la partie réelle (d’où le choix de la fonction

cosinus) de la relation dans l’espace des complexes :

[ ]).(exp),(~ ϕωψ +−= rktiatrrrr

(2.6)

On en déduit les dérivées :

ψωπ

ϕωωψ ~)

2.(exp),(

~irktiatr

t=

++−=

∂

∂ rrr (2.7)

ψψ

ψψ

ψψ ~),(

~,~),(

~,~),(

~

zyx kitrz

kitry

kitrx

−=∂

∂−=

∂

∂−=

∂

∂ rrr

Soit, en notation tensorielle : ψψ ~),(~

j

j

kitrx

−=∂

∂ r

L’opérateur gradient devient alors :

kirr

−=∇ (2.8)

II.2.4 Ondes atténuées ou amplifiées

Dans l’expression [ ]).(exp),(~ ϕωψ +−= rnktiatrrrr

les nombres ω ou k peuvent être

complexes. On choisira ω pour décrire une amplification ou atténuation temporelle, k

complexe pour une amplification ou atténuation spatiale, les deux pour une évolution spatio-

temporelle. Cette approche sera utile pour certains phénomènes physiques (électricité) ou les

calculs de stabilité (physique ou numérique).

Instabilité de Bénard - von Kármán du sillage (G. Carte, J. Dusek, P. Fraunié, "A spectral time

discretization for flows with dominant periodicity", J. of Comp. Physics, 120, 171-183, 1995)

On choisira ici pour exemple une variation spatiale d’amplitude en prenant k~

complexe :

ir kikk +=~

On obtient alors :

[ ] [ ])(exp)exp()~

(exp),(~ ϕωϕωψ +−=+−= XktiXkaXktiatr ri

r (2.9)

où X est l’abscisse du plan d’onde selon nr

(distance du plan à l’origine).

La partie imaginaire ik de k~

est le coefficient d’amplification ( ik >0) ou d’atténuation ( ik <0)

exponentielle de l’amplitude (enveloppe) alors que rk est le nombre d’onde de l’oscillation se

propageant à la célérité rk

cω

= de pseudo période rk

Tπ2

= et d’enveloppe : )exp( Xka i .

Dans ce problème, on conserve la linéarité (si faible amplitude) permettant d superposer des

ondes : ∑j

jjp ψ~ et les relations de dérivation : ωit

=∂

∂et nki

rr ~−=∇

Dans le cas de l’atténuation, on définit un coefficient d’atténuation (décrément logarithmique)

exprimé en néper (nombre de périodes, Np) par mètre : ik−=α ( ik est négatif dans le cas

d’une atténuation).

On supposera rk<<α pour une onde faiblement atténuée.

Une amplification devra être saturée par dissipation ou comportement non linéaire à partir

d’un certain niveau (déferlement des vagues).

On peut aussi mesurer en décibels (db) l’atténuation entre deux amplitudes 1a et 2a ou les

deux puissances 1p et 2p associées (on considèrera que la puissance propagée est

proportionnelle au carré de l’amplitude de l’onde, ce qui est souvent le cas).

2

110

2

110 log10log20)(

p

p

a

adbR == (2.10)

Avec 1a l’amplitude au point 1X : )exp( 11 Xaa α−= et 2a l’amplitude au point 2X :

)exp( 22 Xaa α−=

D’où : ( )[ ] ( ) ( ) ( )1212101210 68.8log20explog20)( XXXXeXXdbR −≈−=−= ααα

L’atténuation en décibels est liée à sa valeur en Nep/mètre par :

)/(68.8)/( mNepmdbR α=

II.2.5 Ondes évanescentes

Une onde évanescente est une onde plane quasi stationnaire dont l'amplitude diminue

exponentiellement avec la distance à la source.

Les ondes évanescentes apparaissent comme solutions des équations de Maxwell en présence

d'interfaces, planes ou non et dans des problèmes de houle.

En prenant rk nul, iikk =~

est imaginaire pur et la relation (2.9) devient :

[ ])(exp)exp(),(~ ϕωψ += tiXkatr i

r,

soit pour sa partie réelle : )cos()exp(),( ϕωψ += tXkatX i

Une telle onde ne se propage pas et ne transporte pas d’énergie. Il n’y a pas d’atténuation.

III Relations de dispersion

On considère ici une superposition d’ondes de même nature définie dans une gamme de

fréquences spatiales ou temporelles (champ de vague, ondes acoustiques émises par un

orchestre). La résultante est un « paquet d’onde »

Superposition de deux ondes de même amplitude mais de pulsations légèrement différentes

(voir TD) issu de JM. Redondo, cours UPC.

Le « paquet d’onde », se présente sous la forme d’une oscillation dont l’enveloppe de

l’amplitude présente un maximum (ventre) et un minimum (nœud). La porteuse (haute

fréquence subit une modulation basse fréquence.

III.1 Définition :

On onde (ou paquet d’onde) sera dispersive si les vitesses de propagation des différentes

composants sont différentes. Les relations de phase changent alors au cours du déplacement.

La forme du paquet d’onde évolue donc (état de la surface de la mer par exemple).

On définit alors plusieurs vitesses :

- vitesse du front avant,

- vitesse du front arrière

- vitesse du maximum d’amplitude.

Si ces vitesses sont différentes, le paquet va se contracter ou au contraire s’étaler (se

disperser). Pour une onde plane, la direction de dispersion peut être différente de celle de

propagation.

Par opposition, on définit une onde (ou paquet) non dispersive si la vitesse de propagation de

toutes ses composantes est identique. Le paquet sera invariant par translation à la célérité

constante c.

Par exemple, en première approximation, la vitesse du son dans l’air k

cω

= est constante

quelque soit la fréquence temporelle (note jouée). La pulsation est alors liée à la longueur

d’onde (instrument à corde) et se propage sans déformation. Il en résulte que l’on entend la

musique de la même façon en tout point de l’auditorium, aux effets d’atténuation près (les

aigues sont plus atténuées que les basses).

La vitesse du son est donnée par la loi : 2cp

=∂

∂

ρqui ne fait pas intervenir les caractéristiques

ω et k de l’onde.

Cette propriété est moins bien observée dans l’eau (le son est déformé lors de sa propagation ,

exemple : le cri des dauphins).

III.2 Vitesse de phase et vitesse de groupe :

III.2.1 paquet d’ondes

On pourra considérer un paquet d’ondes défini par une superposition d’ondes de la forme :

[ ] [ ]),(exp),()(exp),(),(~ txitxAtkxitxAtx Φ=+−= ϕωψ (3.1)

Où A (x,t) est l’amplitude (enveloppe) et Φ la phase.

On considèrera une distribution discrète d’ondes :

[ ])(exp),(),(),(~nnn

n

n txkitxAtxAtx ϕωψ +−= ∑

ou une distribution continue (cf transformée de Fourier) :

[ ] ωϕωψ dtkxikFtx )(exp)(),(~ +−= ∫

III.2.2 Vitesse de phase

Dans l’expression (3.1), A(x,t) est une amplitude réelle qui évolue lentement en fonction de

l’espace et du temps (modulation).

La phase pourra s’écrire :

ϕϕω φ +−=+−=Φ )(),( tvxktkxtx

En définissant la vitesse de phase locale (célérité de la porteuse) k

vω

φ = .

On notera que maintenant, φv est une fonction de (x,t) comme k et ω .

III.2.3 Relation de dispersion

Réciproquement, dans un signal qu’on souhaite identifier comme un paquet d’ondes, si on

connaît ),( txΦ , on pourra retrouver la pulsation locale ω et le nombre d’onde local k par les

relations :

t∂

Φ∂−=ω ,

xk

∂

Φ∂=

On en déduira en général une relation entre k et ω par exemple de la forme )(kΩ=ω ou k et

)(ωΚ=k qu’on appellera relation de dispersion. Cette relation décrit comment le paquet se

déforme (disperse) dans son déplacement.

Par exemple, la vitesse de propagation d’une onde peut dépendre de sa longueur d’onde ou de

sa période temporelle (fréquence). Les ondes vont alors se « disperser » (vagues marines). La

distance entre deux crêtes peut varier (coalescence pour former une vague de forte amplitude).

A(x,t) décrit la variation de l’enveloppe du paquet d’onde.

III.2.3 Vitesse de groupe

On peut repérer dans un paquet d’ondes une crête comme un maximum local d’amplitude :

πptx 2),( =Φ où p est un entier relatif. On pourra aussi repérer un creux sous la forme :

π)12(),( +=Φ ptx .

Connaissant la fonction ),( txΦ , on peut en effectuer un développement au voisinage d’un

point ),( 00 tx sous la forme :

...),()(),()(),(),( 00000000 +Φ∂

∂−+Φ

∂

∂−+Φ=Φ tx

ttttx

xxxtxtx

Si le point ),( 00 tx est par exemple une crête, la position de la crête suivante au même instant

est obtenue au point ),( 02 tx π tel que ππ 2),(),( 0002 +Φ=Φ txtx .

On en déduit au premier ordre la pseudo-longueur d’onde:

),(

2)(

00

020

txx

xx

Φ∂

∂=−≈

πλ π (3.2)

De façon analogue, on calcule au premier ordre une pseudo période temporelle :

),(

2)(

00

020

txt

ttT

Φ∂

∂=−≈

ππ

On retrouve au premier ordre les relations : x

k∂

Φ∂= et

t∂

Φ∂−=ω .

On remarque alors que :

xtxt

k

xt ∂

∂−=

∂∂

Φ∂=

∂

∂=

∂∂

Φ∂ ω22

Soit : 0=∂

∂+

∂

∂

xt

k ω

Qui peut aussi s’écrire, aveck

vω

φ = :

( ) 0=∂

∂+

∂

∂kv

xt

kϕ (3.3)

On trouve ici une équation de conservation du nombre d’onde k dans son transport à la vitesse

de phase locale. On interprète aussi cette équation comme une conservation du nombre

d’onde ou de « conservation des crêtes ».

Si on connaît une relation de dispersion du type : )(kΩ=ω on peut écrire :

0)(' =∂

∂Ω+

∂

∂

x

kk

t

k (3.4)

On peut interpréter k

k∂

∂=Ω

ω)(' comme une vitesse de transport de k.

Cette vitesse, qui est différente de la vitesse de phase locale k

vω

φ = est appelée vitesse de

groupe :

kVg

∂

∂=

ω (3.5)

Elle transporte le nombre d’onde, et par extension le paquet d’onde et son enveloppe, donc

l’énergie du paquet. Dans le cas d’une onde plane, elle peut être dans une direction différente

de celle du vecteur d’onde (ondes internes marines).

Dans son transport, le nombre d’onde k reste constant le long de la caractéristique :

0)( xtkVx g += .

III.3 Exemples

III.3.1 Vitesse du son dans l’air

La vitesse du son (onde de pression) dans l’air est constante et ne dépend ni de k ni de ω . Les

sons graves et aigus se propagent à la même vitesse.

Par contre, elle fixe le rapport k

ω.

Le milieu étant non dispersif, la vitesse de groupe gV est égale à la vitesse de phase ϕv . Elle est

habituellement notée par « a » ou « c ». Elle permet de définir dans un écoulement le nombre

de Mach M, rapport de la vitesse caractéristique de l’écoulement à la vitesse du son (340m/s

dans l’air, à comparer à 1500 m/s dans l’océan) : a

UM = .

On notera l’intérêt de décomposer un signal musical (numérique comme analogique) en ondes

(notes), ce que sait parfaitement le capteur spectral qu’est l’oreille du mélomane.

En aéronautique, U est la vitesse de déplacement de l’avion (vent apparent dans un repère lié

à l’avion) et peut dé passer la vitesse du son (écoulements transonique puis supersonique).

On obtient : aVv g ==ϕ et la relation de dispersion : ak=ω avec :

ak

ak

kVa

kv g =

∂

∂=

∂

∂====

)(ωωϕ (3.6)

III.3.2 Electrons libres

La relation de dispersion s’écrit :

2ka=ω

On en déduit :

kak

v ==ω

ϕ et ϕ

ωvka

kVg 22 ==

∂

∂=

Les ondes sont dispersives car la vitesse de phase dépend de la longueur d’onde et la vitesse

de groupe est double de la vitesse de phase.

III.3.3 Vagues de surface à la mer

L’interface air / mer (air / eau) est instable au cisaillement du vent. Un déplacement d’une

faible épaisseur d’eau sous l’effet du vent induit, par conservation du débit, un différentiel

(gradient) de vitesses entre les crêtes (plus lentes) et les creux, induisant des écarts de pression

(loi de Bernoulli en première approximation) compensant les effets stabilisants de capillarité

et de gravité.

Il s’ensuit la formation de vagues, dont la propagation s’effectue de façon conservative par la

houle (solution quasi irrotationnelle).

Pour des vagues formées (effets de capillarité négligeables), la relation de dispersion s’écrit :

==

λπ

λ

πω

HgkHgk 2tanh

2)tanh(2 (3.7)

Où g est l’accélération de gravité et H la profondeur locale de la mer.

Dans le cas d’une grande profondeur (λ

H >> 1), la relation de dispersion se simplifie en :

λ

πω

22ggk ==

On note que la pulsation dépend de la longueur d’onde.

On en déduit la vitesse de phase :

λπ

λ

ω

ωϕ 25.1

2=====

g

k

gg

kv

La vitesse de phase dépend de la longueur d’onde : le milieu est dispersif. La vitesse de phase

augmente avec la longueur d’onde : les vagues longues « rattrapent » les petites. Une très

longue vague (tsunami) se propagera très vite en eau très profonde.

La vitesse de groupe s’écrira :

λπ

λ

ω

ω63.0

22

1

2

1

2====

∂

∂=

g

k

gg

kVg

La vitesse de groupe est moitié de la vitesse de phase.

Application : On génère par un batteur (piscine à vagues) un paquet d’onde vers la droite à

l’instant initial t = 0 avec des nombres d’ondes compris entre mink et Maxk .

Les ondes longues vont se propager à une vitesse de phase plus grande que les ondes courtes

et le paquet va s’étaler dans l’espace.

Le front avant du paquet est caractérisé par les ondes longues mink se propageant les plus vite

à la vitesse de groupe min4k

gVg = , alors que le front arrière est caractérisé par les ondes

courtes Maxk se propageant plus lentement à la vitesse de groupe Max

gk

gV

4= ,.

La vitesse de groupe étant la moitié de la vitesse de phase, les crêtes des ondes longues qui

sont apparues à gauche du paquet (front arrière) vont se déplacer plus vite que le paquet pour

disparaître à droite (front avant).

III.3.4 Généralisation en trois dimensions

IV Energie et représentation complexe

IV.1 définition

IV.2 Exemple de l’onde acoustique dans un fluide au repos

Le fluide homogène a une masse volumique 0ρ et une pression 0p .

L’onde acoustique perturbera ce milieu en :

ρρρ ∂+= 0 ppp ∂+= 0

IV2.1 Equations

L’équation de la masse donne :

( ) 0=+∂

∂udiv

t

rρ

ρ (4.1)

où ur

est l’écoulement infinitésimal généré lors du passage de l’onde acoustique (en milieu

faiblement compressible).

L’équation de quantité de mouvement s’écrit :

( ) puut

u

dt

ud∇−=∇+

∂

∂=

rrrrrr

.ρρ (4.2)

On néglige ici les frottements visqueux et la gravité.

On considère la propagation dans la direction Ox et on assimilera loin de la source l’onde

acoustique à une onde plane.

( ) 0=∂

∂+

∂

∂u

xtρ

ρ

(v et w sont pris nuls par symétrie).

x

p

x

uu

t

u

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂ρ

Ce système de deux équations à 3 inconnues (u,p, ρ ) est fermé en considérant une loi d’état

reliant pression et masse volumique.

Pour un gaz parfait (acceptable pour l’air), on pourra utiliser la loi de Laplace :

γγ ρρ 0

0pcte

p== avec γ =1.4.

On définit pour un fluide barotrope (la pression ne dépend que de la masse volumique et

réciproquement) une vitesse du son :

ctepp

d

dpc =≈== −

0

01

0

02

ργρ

ργ

ργ

γ (4.3)

La vitesse du son dans l’aire est de l’ordre de 340 m / s (à comparer à 1400 m/s dans l’eau.

Par linéarisation des équations précédentes, on obtient au premier ordre :

( ) 00 =∂

∂+∂

∂

∂

x

u

tρρ

et

( )pxt

u∂

∂

∂−=

∂

∂0ρ

avec 02 =∂−∂ ρcp

IV2.2 Equation de dispersion :

On assimile l’onde acoustique lointaine à une onde plane de direction Ox.

Toute quantité ( ρ∂ , p∂ ,u) s’écrira sous la forme (en privilégiant par exemple la variable

temporelle) :

( )xkti −=Ψ ωψ exp~

Les équations conduisent aux relations :

=∂−∂

=∂−

=−∂

0

0

0

2

0

0

ρ

ρω

ρρω

cp

pikui

uiki

Par élimination de p∂ et ρ∂ on obtient :

00

22

0

2 =− ucku ρρω

Soit la relation de dispersion : 222ck=ω (4.4)

On en déduit la vitesse de phase :

ck

v ±==ω

ϕ (4.5)

Le milieu est non dispersif pour les ondes sonores (les graves et les aigus se propagent à la

même célérité, permettant une cohérence musicale à distance).

On obtient par ailleurs la relation : ucp 0ρ=∂

On appellera impédance acoustique la quantité : u

p∂

IV2.3 Transport de l’énergie :

Pour une particule élémentaire, on définit une énergie cinétique par unité de volume

2

02

1uWk ρ= (analogue à 2

2

1VM pour un objet de masse M).

L’énergie potentielle s’exprime par :

( ) 2

02

0

2

2

1

2

1u

c

pWP ρ

ρ=

∂=

L’énergie totale pourra s’exprimer par : 2

0 uWt ρ= .

On pourra exprimer la puissance traversant une unité de surface orthogonale à la direction de

propagation Ox :

2

0 ucpuQ ρ=∂= avec ucp 0ρ=∂ .

On obtient donc, en ordre de grandeur :

cWQ t=

Le flux d’énergie Q est donc égal au produit de sa densité volumique par la vitesse de

propagation c.

Pour une onde acoustique non dispersive, les perturbations et l’énergie asociée se déplacent à

la même vitesse c.

IV2.3 Equation des ondes :

Les équations du mouvement linéarisées (vitesse faibles et absence de frottement) donnent :

( )pxt

u∂

∂

∂−=

∂

∂0ρ

En supposant que le champ de vitesse dérive d’un potentiel φ (écoulement irrotationnel),

On obtient l’équation de Bernoulli instationnaire linéarisée :

( )pgradgradt

∂−=∂

∂φρ0

Soit, par intégration :

pt

−∂=∂

∂φρ0

L’équation de conservation de la masse (4.1) donne donc :

00 =∆+∂∂

∂φρρ

t avec ρ∂=∂ 2cp

Soit :

002

2

0 =∆−∂

∂

∂

∂φρ

φρρ

tp

02

2

2

=∆−∂

∂φ

φc

t

IV.3 Exemple de la vague marine

Voir TD

V Généralisation

Nous avons vu des relations de dispersion faisant intervenir des caractéristiques (pulsation et

vecteur d’onde variable) des ondes émises conduisant aux notions de trains d’onde et de

vitesse de groupe.

Il existe d’autres situations pour lesquelles ces caractéristiques varient au cours de la

propagation.

V.1 Ondes non linéaires

Nous avons étudié la solution de l’équation linéaire (1.3) 0=∂

∂+

∂

∂

x

uc

t

u sous la forme u(x-ct).

En suivant la caractéristique de pente constante c dans le plan (x,t).

On s’intéresse à l’équation non linéaire du premier ordre : 0)( =∂

∂+

∂

∂

x

uuc

t

u

On peut encore rechercher la solution selon la caractéristique de pente variable )(ucdt

dx=

Au cours de son déplacement à vitesse c(u) variable, l’évolution de u est donnée par :

0)( =

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

x

uuc

t

udtdx

x

udt

t

udu

La valeur de u se conserve sur la caractéristique et puisque la vitesse c ne dépend que de u,

elle reste constante sur la caractéristique.

La perturbation initiale )()0,( 00 xftxu == en 0x est conservée au cours du déplacement à la

vitesse ( ))( 0xfc en suivant la caractéristique d’équation : tcxx += 0 .

Source : http://thual.perso.enseeiht.fr/otond/fabre/poly/Chapitre4.pdf

Dans le cas où c(u) est une fonction croissante de u : 0/2 >dudc , les grandes valeurs de u se

déplacent plus vite que les valeurs plus faibles et le front avant de la perturbation se redresse

alors que le front arrière s’atténue (cas de l’onde de choc).

V.2Milieux non homogènes

Dans un milieu inhomogène, les propriétés de propagation (équation de dispersion) dépendent

de la position de l’onde. On associera au cas du milieu non homogène celui pour lequel les

caractéristiques des ondes sont variables dans la direction de propagation par leur condition

aux limites (vagues de surface sur une pente en profondeur finie).

V2.1 Introduction en une dimension

Par exemple, en une dimension Ox, la relation de dispersion s’écrira sous la forme d’une

fonction de x : ),( xkW=ω

Par exemple, des ondes électromagnétiques dans un diélectrique d’indice variable n(x) suivent

la relation :

cxnk

ω)(=

Par analogie, on parlera de milieu inhomogène si la loi de dispersion est fonction d’une

variable d’espace dans une direction normale à Ox. Par exemple, les vagues se propageant

sur une plage pentue (profondeur H(x)) obéissent à la relation de dispersion :

( ))(tanh2 xkHgk=ω

On considère alors trois cas :

- une variation localisée brutale des caractéristiques (front, interface entre deux milieux), pour

laquelle on supposera une discontinuité des caractéristiques

- une variation continue, régulière et faible (lente à la vitesse de propagation) pour laquelle le

train évolue au premier ordre,

- le cas général intermédiaire qui nécessitera la plupart du temps une résolution numérique

approchée.

On définit pour ce faire une échelle de longueur caractéristique L des variations du nombre

d’onde k ou de la longueur d’onde λ :

ωω

λ

λ

∂

∂=

∂

∂=

xx

k

kL

111

C’est la longueur sur laquelle la longueur d’onde (ou ne nombre d’onde) varie de 100 %.

On la compare (à π2 près) à la longueur d’onde par le produit λ

π LkL

2=

V2.2 Milieux lentement variables

Si kL>>1 : la longueur L de variation des caractéristiques est beaucoup plus grande que la

longueur d’onde. Dans le milieu inhomogène, ces caractéristiques varient « lentement »

lorsque le paquet d’ondes se déplace à la vitesse de groupe.

On considère par contre que l’amplitude peut varier avec l’abscisse x :

),(exp),(),( txitxAtx φψ =

Avec une pulsation xt

tx

∂

∂=

φω ),( et un nombre d’onde

tttxk

∂

∂−=

φ),(

Vérifiant en chaque point l’équation de dispersion locale (définissant le milieu non

homogène) : )),,((),( xtxkWtx =ω

On définit alors une vitesse de groupe locale : x

gk

txV

∂

∂=

ω),(

Partant de l’équation (cf 3.3) : 0=∂

∂+

∂

∂

xt

k ω

Que l’on multiplie par la vitesse de groupe x

gk

txV

∂

∂=

ω),( :

0==

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

dt

d

xV

txV

t

k

k t

g

xt

g

xx

ωωωωω

La pulsation est invariante en se déplaçant à la vitesse de groupe.

Ce résultat est prévisible puisque l’on raisonne sur une déformation spatiale (milieu

inhomogène) du paquet d’ondes. Entre deux positions 1x et 2x le nombre d’onde variera de

1k à 2k avec ( ) ( )2211 ,, kxkx ωω =

Par contre, l’équation de conservation des crêtes (3.3) deviendra :

ktxtt

g

x xx

k

kxx

kV

t

k

dt

dk

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂=

ωωω

En considérant x

k

kdx

xd

∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

ωωω

La variation de la pulsation avec l’abscisse pour un nombre d’onde donné fera évidemment

varier le nombre de crêtes.

Là encore, on pourra construire la solution en suivant des caractéristiques mais qui

présenteront des pente variables dans l’espace (les caractéristiques sont courbes).

V.3 Effet Doppler

Voir TD

Références :

P. Broche : Propagation d’Ondes Notes de cours, 1999, USTV

J. Lighthill. Waves in Fluids 1978 - 2001 Cambridge Mathematical Library

J.M. Redondo Fisica Aplicada UPC Barcelona

J. Sirven Les ondes : du linéaire au non-linéaire 2000. Dunod

O. Thual, Des Ondes et des Fluides, CEPADUES 2005. Voir aussi polycopiés, exercices et

nombreuses animations sur le site : http://thual.perso.enseeiht.fr/

WIKIPEDIA : nombreux articles avec animations