Cours rdm

Résistance des matériaux

Ecole des hautes études d’ingénieur13 Rue de Toul 59046 LILLE CEDEX

Sommaire

I. Rappel de statique..........................................................................................................................6

1. Objet de la statique :...................................................................................................................6

2. Définition:..................................................................................................................................6

3. Enoncé du principe fondamental de la statique :.........................................................................6

4. Exemple :....................................................................................................................................6

5. Principe fondamental de la statique appliqué à un problème de 3D :..........................................7

6. Principe fondamental de la statique appliqué à un problème de 2D :..........................................8

7. Isostaticité et hyperstaticité :....................................................................................................10

II. Hypothèse de la RDM..................................................................................................................11

1. Définition :................................................................................................................................11

2. Le solide étudié :......................................................................................................................11

3. Hypothèse sur le matériau :......................................................................................................12

4. Hypothèses fondamentales de la RdM :....................................................................................12

a) Principe de Saint Venant :.....................................................................................................12

b) Hypothèse de Navier-Bernoulli :..........................................................................................13

c) Conditions aux limites :.........................................................................................................13

III. Torseurs des efforts intérieurs et notions contraintes :..............................................................15

1. Torseur des efforts intérieurs :..................................................................................................15

2. Les composantes du torseur des efforts intérieurs :..................................................................17

3. Les sollicitations élémentaires :................................................................................................17

4. Notion de contrainte- Vecteur contrainte :................................................................................18

5. Contrainte normale et tangentielle :..........................................................................................18

IV. Caractéristiques géométriques de la surface plane :..................................................................19

1. Centre d’une surface :..............................................................................................................19

a) Barycentre :..........................................................................................................................19

b) Centre d’une surface plane :.................................................................................................19

2. Moment quadratique :.............................................................................................................20

a) Définition :............................................................................................................................20

b) Changement d'axe de rotation : Théorème d’Huyghens......................................................20

3. Moment produit :.....................................................................................................................20

4. Rotation d’axe :........................................................................................................................20

V. Comportement mécanique des matériaux.....................................................................................22

1. Essai de traction :......................................................................................................................22

Résistance des matériaux Page 2

Ecole des hautes études d’ingénieur13 Rue de Toul 59046 LILLE CEDEX

2. Principe d’essai :......................................................................................................................22

VI. Traction simple /Compression simple :....................................................................................24

1. Introduction :............................................................................................................................24

2. Hypothèses :.............................................................................................................................24

3. Définition :...............................................................................................................................25

4. Contraintes dans une section droite :........................................................................................25

5. Etudes des déformations :.........................................................................................................26

a. Déformation longitudinale :..................................................................................................26

b. Déformation transversale :...................................................................................................26

6. Dimensionnement :...................................................................................................................27

7. Concentration de contraintes :..................................................................................................28

8. Application aux treillis :...........................................................................................................28

VII. Cisaillement simple...................................................................................................................29

1. Hypothèses :.............................................................................................................................29

2. Définition.................................................................................................................................29

3. Contraintes dans une section droite :........................................................................................29

4. Etude des déformations............................................................................................................30

5. Condition de résistance :...........................................................................................................31

6. Exemple....................................................................................................................................31

VIII. Torsion pure.............................................................................................................................32

1. Hypothèse :...............................................................................................................................32

2. Définition.................................................................................................................................32

3. Etudes des déformations :.........................................................................................................32

4. Etudes des contraintes :............................................................................................................34


IX. Flexion pure..............................................................................................................................36

1. Hypothèses...............................................................................................................................36

2. Définition.................................................................................................................................36

3. Etude des contraintes :..............................................................................................................36

4. Etude des deformations:...........................................................................................................38


6. Condition de déformation :.......................................................................................................39

X. Flexion simple...............................................................................................................................40

1. Définition :................................................................................................................................40


2. Etude des déformations............................................................................................................40

3. Etude des contraintes :..............................................................................................................40

4. Condition de résistance :...........................................................................................................41

5. Condition de déformation :.......................................................................................................42

XI. Sollicitation composées : (Flexion-Torsion).............................................................................42

1. Définition..................................................................................................................................42

2. Exemple d’application..............................................................................................................42

XII. Flambement.............................................................................................................................44

1. Charge critique :.......................................................................................................................44

XIII. Travaux pratiques :...................................................................................................................48

XIV. Bibliographie :...........................................................................................................................49


Liste des figures :

Figure 1 : Exemple d’application...........................................................................................................6Figure 2 : Deux poutres sous charge identique.....................................................................................11Figure 3 : Poutre...................................................................................................................................12Figure 4 : a) avec hypothèse de Navier Bernouilli, b) sans hypothèse de Navier Bernouilli................13Figure 5 : Les trois liaisons usuelles.....................................................................................................14Figure 6 : Poutre étudiée......................................................................................................................15Figure 7 : Machine essai de traction.....................................................................................................22Figure 8 : Courbe de Traction...............................................................................................................23Figure 9 : Différentes étapes de l’essai de traction...............................................................................24Figure 10 : Poutre soumise à une sollicitation......................................................................................25Figure 11 : Poutre soumise à une traction.............................................................................................25Figure 12 : Poutre soumise à une compression.....................................................................................25Figure 13 : Comportement mécanique de la poutre..............................................................................26Figure 14 : Déformation transversale de la poutre................................................................................27Figure 15 : Treillis................................................................................................................................28Figure 16 : Exemple de treillis.............................................................................................................29


I. Rappel de statique

1. Objet de la statique : C'est l'étude de l'équilibre des ensembles de corps solides dans leur géométrie initiale. C’est-à-dire dans la structure non déformée par rapport à un repère Galiléen. Le solide sera considéré comme infiniment rigide.

Un solide indéformable possède une masse constante et un volume dont les limites sont invariantes quelles que soient les actions extérieures auxquelles il est soumis.

2. Définition: Un ensemble matériel {E} est en équilibre par rapport à un repère R si, au cours du temps, chaque point de {E} conserve une position fixe par rapport au repère R.

3. Enoncé du principe fondamental de la statique : Si un ensemble matériel {E} est en équilibre par rapport à un repère R, la somme des actions mécaniques extérieures à {E} qui agissent sur {E} est nulle.

4. Exemple :

Figure 1 : Exemple d’application

Isolons le solide S2. Les actions mécaniques extérieures à S2 qui agissent sur S2 sont:

Poids de S2,

Action, en C de S0 sur S2,

Action, en D de S0 sur S2,

Action, en B, de S1 sur S2…. et sont concernées par le PFS.


(S1)

(S0)

A B

D

C

(S2)

P2

P1

Si nous isolons les solides S1+S2. Les actions mécaniques extérieures à S1+S2 qui agissent sur S1+S2 s’énumèrent de la façon suivante :

Poids de S1,

Poids de S2,

Action, en A de S0 sur S1,

Action, en C de S0 sur S2,

Action, en D de S0 sur S2.

5. Principe fondamental de la statique appliqué à un problème de 3D :

On peut traduire ce PFS par les relations suivantes:

La somme vectorielle de toutes les forces extérieures à S, agissant sur S est nulle d’où le théorème de la résultante :

R⃗S → S=∑ F⃗ext = 0⃗

Soit R⃗S → S =F⃗1 + F⃗1+…+ F⃗n

Et soit dans un repère R (O,X⃗ ,Y⃗ ,Z⃗) :

F⃗1=X1

Y 1

Z1

, F⃗2=X2

Y 2

Z2

...F⃗n=Xn

Y n

Zn

On se ramène à 3 équations pour les forces :

X1+ X2+…+Xn=0

Y 1+Y 2+…+Y n=0

Z1+Z2+…+Zn=0

La somme vectorielle des moments en A de toutes les actions mécaniques extérieures à S, agissant sur S, est nulle en un point A quelconque. D’où le théorème du moment résultant en A :


M⃗ AS →S=∑ M⃗ A (⃗F¿¿ ext¿¿)¿¿¿ = 0⃗

Dans le repère R (O,X⃗ ,Y⃗ ,Z⃗) on a alors :

M⃗ A(F⃗1¿=L1

M 1

N1

, M⃗ A( F⃗2)=L2

M 2

N2

...M⃗ A( F⃗n)=Ln

M n

N n

On se ramène à 3 équations pour les moments.

L1+L2+…+Ln=0

M 1+ M 2+…+M n=0

N1+N2+…+N n=0

6. Principe fondamental de la statique appliqué à un problème de 2D :

Une résolution analytique grâce à l’outil « Torseur » est bien entendu envisageable. Même si

cette méthode demande de nombreuses écritures, et est parfois fastidieuse à appliquer, elle a

le mérite d’être systématique. Les torseurs sont « allégés» car, seules les composantes de

résultantes appartenant au plan, et de moment perpendiculaire au plan apparaissent.

Une Solution plus efficace, consiste à utiliser la notion de moment par rapport à un axe

perpendiculaire au plan d’étude.

Le tableau suivant donne toutes les liaisons mécaniques et le torseur correspondant :



7. Isostaticité et hyperstaticité :

Un système est hyperstatique lorsque les équations issues de l’application du principe fondamental de la statique ne permettent pas de calculer toutes les inconnues d’efforts des liaisons.Le degré d’hyperstatisme (hs) est le nombre d’inconnues d’effort de liaison dont il faut imposer la valeur pour pouvoir calculer les autres : c’est la différence entre le nombre d’inconnues et le rang du système d’équations obtenues par l’analyse du mécanisme.Quand hs = 0, le mécanisme est isostatique : il est possible de calculer toutes les inconnues de liaison.

hs = Ns – 6 (p – 1) + m

hs est le degré d’hyperstatisme. Ns est le nombre d’inconnues statique p est le nombre de pièces du mécanisme (bâti compris). m est la mobilité du mécanisme, avec m = mu + mi La mobilité

utile mi est le nombre de relations indépendantes qui existe entre les paramètres cinématiques d’entrée et de sortie du mécanisme.

La mobilité interne mu est le nombre de relations indépendantes qui existe entre les paramètres cinématiques des pièces internes du mécanisme.

Tant que possible, il est préférable d’avoir un mécanisme isostatique :

Car imposer des conditions géométriques implique des coûts de fabrication plus élevés en raison du soin à apporter à la réalisation.Car s’engager dans des calculs de RdM augmente les coûts de développement. Les résultats trouvés avec cette méthode impliquent généralement des solutions techniques plus onéreuses que pour un mécanisme isostatique.


II. Hypothèse de la RDM

1. Définition : La résistance des matériaux est la mécanique des solides déformables. Elle permet de :

Caractériser les matériaux ; Dimensionner une pièce à partir des efforts qu’elle supporte ; Déterminer la déformation d’une pièce à partir des efforts qu’elle supporte ; Déterminer les efforts maximums que peut supporter une pièce.

On considère les deux poutres simples représentées à la figure 2.

Figure 2 : Deux poutres sous charge identique

Sous une charge identique les deux poutres n’offrent pas la même résistance. Il y a alors d’autres caractéristiques autres que l’aire de la section à connaitre.

2. Le solide étudié : Un certain nombre de restrictions sont nécessaire pour pouvoir utiliser la RdM. Ces restrictions portent sur la géométrie du solide étudié, le matériau dont il est constitué, et dans une moindre mesure les liaisons et les efforts extérieurs.En RdM, les solides étudiés portent le nom de poutres.Une poutre est un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre d’inertie géométrique G décrit une courbe G0G1, le plan de (S) restant normal à la courbe G0G1. Le centre d’inertie peut dans de nombreux cas être confondu avec le centre de gravité. Nous avons supposé l’aire (S) constante ; la poutre est alors dite de section constante. Mais très souvent, en vue de proportionner les dimensions de la poutre aux efforts qu’elle doit supporter, l’aire (S) varie lorsque son centre de gravité décrit la fibre moyenne ; la poutre est alors dite de section variable, et l’on supposera que la section varie continûment le long de la fibre neutre.


ZY

P P

Y

Z

P

Figure 3 : Poutre

L’aire (S) est appelée section droite de la poutre. La courbe G0G1 est appelée fibre moyenne de la poutre. Le volume engendré le long de G0G1 par un petit élément dS de la surface (S) porte le nom de fibre.

Certaine propriétés de la géométrie doivent être vérifiée : Le rayon de courbure de la ligne moyenne est grand par rapport à la plus grande

dimension transversale de la section droite (rapport supérieur à 5) La longueur de la ligne moyenne est grande par rapport à la plus grande dimension

transversale de la section droite (rapport supérieur à 5)La poutre étant amenée à se déformer, on va de plus supposer que les déformations subies par la poutre ainsi que les déplacements qui peuvent être mesurés, restent petits. En effet, les déformations doivent rester petites pour que le reste dans le domaine élastique, et les déplacements doivent rester petits pour que les points d’application des efforts extérieurs ne soient pas modifiés.

3. Hypothèse sur le matériau :

Pour toutes les études que nous mènerons en RdM, nous allons considérer que le matériau dont est constituée la poutre est un matériau :

Homogène : l’homogénéité se dit d’un milieu matériel qui présente des propriétés constantes dans toute son étendue.

Isotrope : le matériau présente les mêmes propriétés dans toutes les directions de l’espace.

Elastique linéaire : le matériau retrouve entièrement sa forme ou son volume après avoir subi un cycle de charge/décharge quelconque. Cette notion est implicitement liée à la réversibilité totale et au fait qu’au cours du chargement et du déchargement le matériau ne dissipe aucune énergie.

4. Hypothèses fondamentales de la RdM :

a) Principe de Saint Venant : Enoncé :


G1

G

G0

P

(S)

Les résultats obtenus par un calcul de RdM sur une poutre ne sont valables qu’à une distance suffisamment éloignée de la région d’application des actions mécaniques extérieures concentrées et des liaisons (distance égale à 2 fois la plus grande dimension transversale).

b) Hypothèse de Navier-Bernoulli :

Les sections normales à la ligne moyenne restent planes et normales à la ligne moyenne pendant la déformation de la poutre.On peut aussi dire que toute section droite (plane et perpendiculaire à la ligne moyenne) avant déformation reste droite après déformation.

Figure 4 : a) avec hypothèse de Navier Bernouilli, b) sans hypothèse de Navier Bernouilli

Cette hypothèse est bien vérifiée dans de nombreux cas de sollicitations simples.Le fait que la section reste plane permet de caractériser le déplacement de toute section droite par un torseur appelé torseur des petits déplacements.

c) Conditions aux limites :Les conditions aux limites qui s’appliquent sur une poutre sont de deux natures.Celles constituées par les liaisons avec l’extérieur, et celles liées à la présence du chargement.

Efforts extérieurs :

Les efforts extérieurs qui s’appliquent au modèle poutre sont principalement de deux types. concentrées, réparties de façon continue.

Comme on travaille sur des poutres à plan moyen on supposera que la forme générale du torseur des actions mécaniques extérieurs se réduit à :Les forces concentrées sont donc classiquement modélisées par des torseurs d’actions mécaniques exprimés au centre de gravité G d’une section (S). Un exemple de force répartie est l’action de l’eau sur un barrage qui conduit à une répartition linéique de pression sur la hauteur du barrage.

Liaisons :


F F

F F

Décalagea) b)

Les liaisons que l’on rencontre sont les liaisons classiques déjà connues. Néanmoins, le fait que l’on se borne aux poutres à plan moyen chargées dans leur plan, amène usuellement à distinguer les différents types de liaisons imposées aux poutres :

L’appui simple, constitué, par exemple, par un rouleau cylindrique, donne lieu à une réaction de direction imposée passant par le point d’appui ; cette réaction est définie par une seule composante en résultante perpendiculaire au contact.

L’articulation, constituée, pour les poutres métalliques, par une rotule comprise entre deux balanciers en acier moulé et, pour les poutres en béton, par une section fortement rétrécie, donne lieu à une réaction dont on ne connaît pas la direction, mais qui passe par le centre de la rotule ou par le centre de la section rétrécie ; cette réaction est définie par ses deux composantes suivant deux directions non parallèles du plan moyen.

L’encastrement a pour objet d’assurer l’invariabilité de la section d’extrémité d’une poutre ; la réaction d’appui comprend une force passant par le centre de gravité G de la section d’encastrement et contenue dans le plan moyen, et un moment normal au plan moyen ; la réaction d’appui est donc définie par trois composantes : les deux projections sur deux axes situés dans le plan moyen et la projection du moment sur l’axe normal au plan moyen.

Figure 5 : Les trois liaisons usuelles

Les torseurs d’actions transmissibles et le déplacement interdit sont présentés dans le tableau suivant:

Liaison Appui simple Articulation EncastrementEquation

T Ext → poutre= Y A y⃗

0⃗ A

T Ext → poutre= X B x⃗+Y B y⃗

0⃗ B

T Ext → poutre= XC x⃗+Y C y⃗LC x⃗+ NC z⃗ C

Critères Le déplacement est bloqué :

υ ( A )=0

Deux déplacements sont bloqués :

u (B )=0 , υ ( B )=0

Pas de déplacement ni de rotation :

u (C )=0 , υ (C )=0

Ө (C )=0 , ω (C )=0


x

y

.z

Appui simple Articulation Encastrement A B C

III. Torseurs des efforts intérieurs et notions contraintes :

Dans ce chapitre on aborde deux notions fondamentales pour la RdM :

le torseur des efforts intérieurs ; la notion de contrainte.

1. Torseur des efforts intérieurs :On considère une poutre (E) composée de deux parties E1 et E2 on alors :

E =E1 U E2

La séparation est une coupure au point G par un plan perpendiculaire de section (S) comme le montre la figure suivante :

Figure 6 : Poutre étudiée

On isole la poutre (E) et on applique le PFS :

T Ext → E= 0

On peu écrire aussi :

T Ext → E1+T Ext → E 2

=¿ 0

On isole un des parties de la poutre et on applique et détermine l’ensemble des actions mécaniques appliquées sur la partieE1.

Bilan des actions mécaniques appliquées à E1 :


E1 E2G

y

x

z(S)

Une partie des actions extérieures Les actions de la partie E2 sur la partie E1 à travers la section (S). La liaison entre E1

et E2 peut transmettre toutes les composantes des actions mécaniques de E2 surE1, elle peut donc être modélisée par une liaison encastrement.

Par définition, le torseur d’action mécanique de E2 sur E1 est appelé torseur des efforts intérieurs ou torseur de cohésion. On écrit alors :

T∫¿=T (E2→ E

1)¿

On applique maintenant le principe fondamental de la dynamique à la partie E1:

T Ext → E1+T∫¿=0¿

On peut alors calculer le torseur de cohésion à partir des actions extérieures exercées

T Ext → E1=−T∫¿ ¿

On isole maintenant la partieE2. Le bilan des actions mécaniques est le suivant.

Les actions mécaniques de l’extérieur sur E2

Les actions mécanique de E2sur E1 à travers la section (S) que l’on peut relier au torseur des efforts intérieurs par le principe d’action réciproque, soit :

T ( E1 → E2)=−T (E2 → E1)

=−T∫¿¿

Le principe fondamental de la statique donne :

T Ext → E2−T∫¿=0¿

Ceci est un autre moyen pour calculer le torseur de cohésion à partir des actions extérieures exercées sur la partie E2 :

T∫¿=T Ext →E2¿

Conclusion :

Le torseur des efforts intérieurs représente les actions mécaniques exercées à travers une coupure par la partie située à droite E2de la coupure sur la partie située à gauche E1de la coupure.

On peut donc écrire :


T∫¿=T (E2→ E

1)=T Ext→ E

2=−TExt → E

1¿

2. Les composantes du torseur des efforts intérieurs :On considère une poutre droite. Soit (G, x⃗, y⃗,z⃗) le repère associé à la section droite. La forme générale du torseur des efforts intérieurs est :

T∫¿=

N x⃗ T y y⃗ T z z⃗M t x⃗ M fy y⃗ M fz z⃗G

¿

Les abréviations des noms des composantes sont :

Effort Normal : N, perpendiculaire à la section droite Efforts Tranchants : T y et T z, ont tendance à trancher la poutre perpendiculairement à

la ligne moyenne Moment de Torsion :M t, a tendance à tordre la poutre autour de la ligne moyenne Moments de Flexions : M fy et M fz, ont tendance à faire fléchir la poutre autour d’un

axe perpendiculaire à la ligne moyenne

3. Les sollicitations élémentaires : En fonction de la nullité ou non des composantes, on peut identifier un certain nombre de sollicitations dites élémentaires.Le tableau suivant présente les sollicitations dites élémentaires et leur torseur de cohésion :

Sollicitation Composante non nulle Torseur de CohésionTraction /Compression N N x⃗

0⃗ G

Cisaillement pur T y T y y⃗

0⃗ G

Torsion M t 0⃗M t x⃗G

Flexion pur M fz 0⃗M fz z⃗G

Flexion simple T y et M fz T y y⃗

M⃗ fz z⃗G


Tableau 1 : Sollicitation élémentaires

4. Notion de contrainte- Vecteur contrainte :Le torseur de cohésion ne représente qu’une vision globale sur la section droite de toutes les actions mécaniques qui s’appliquent localement en chaque point de la surface.Ces actions mécaniques locales sont réparties sur toute la surface suivant une loi a priori inconnue. Pour les représenter, considérons un point M de la surface S.Autour de ce point M on considère un petit élément de surface dS de normale n⃗ .

En RdM les efforts intérieurs exercés sur dS sont une densité surfacique d’efforts ou densité de force par unité de surface. Cette densité surfacique d’effort est caractérisée par le vecteur contrainteT⃗ (M ,n⃗).Les actions mécaniques qui s’exercent sur la surface dS sont donc :

d F⃗(E2 → E1¿=T⃗ ( M , n⃗)dS

5. Contrainte normale et tangentielle :Le vecteur contrainte est composé de deux composantes σ et τ. On écrit alors :

T⃗ ( M , n⃗ )=¿ σ n⃗+¿ τ t⃗

Ces deux composantes du vecteur contrainte ont des sens physiques différents : la contrainte normale σ traduit des actions surfaciques locales de tension au sein de la

matière la contrainte tangentielle τ traduit des actions surfaciques locales de cisaillement au

sein de la matière

Il existe une relation entre le torseur de cohésion global et les vecteurs contraintes locaux en tout point de la section (S). Pour exprimer cette relation, exprimons le torseur des actions mécaniques s’exerçant sur dS au point G.

d F⃗( E2→ E1)0⃗ M

=d F⃗ (E2→ E1)

G⃗M ˄ d F⃗ (E2→ E1)G

On a donc :

T⃗ (M ,n⃗)dSG⃗M ˄T⃗ (M , n⃗)dSG

Pour obtenir le torseur de cohésion, il faut intégrer sur toute la surface le torseur écrit précédemment. On peut alors écrire le torseur des efforts intérieurs :


T∫¿=¿ ¿ T⃗ (M ,n⃗)dS

G⃗M ˄T⃗ (M , n⃗)dSG

En fonction des actions extérieures et des caractéristiques géométriques de la section, on peut déterminer les contraintes au sein du matériau. On peut alors définir pour chaque matériau une contrainte limite admissible au-delà de laquelle la pièce subit des détériorations de ses caractéristiques mécaniques, dimensionnelles, voire une rupture.Ainsi, connaissant les actions mécaniques extérieures, on peut dimensionner la poutre pour que les contraintes restent inférieures à une contrainte limite admissible.

IV. Caractéristiques géométriques de la surface plane :

1. Centre d’une surface :

a) Barycentre :

On appelle Barycentre G d’un ensemble de n point Ai auxquels sont affectés des coefficients α i le point G défini par :

(∑i=1

n

α i)O⃗G = ∑i=1

n

α iO⃗Ai

On peut aussi écrire :

(∑i=1

p

α i+ ∑i=p+1

n

α i)O⃗G=∑i=1

p

α iO⃗Ai+ ∑i=p+1

n

α iO⃗A i

=¿

On appelant G1le barycentre des p premiers point et G2 le barycentre des autres points.

b) Centre d’une surface plane : C’est par définition le barycentre de tous ses points affectés de l’aire infiniment petited s . On a alors :

S O⃗G = ∫s

O⃗P ds

Avec xG, yGcoordonnées de G.

On a: S xG=∫s

x ds

Et S yG=∫s

y d s;


Enfin si l’origine O est au centre G il vient :

∫s

G⃗P ds=0

2. Moment quadratique :

a) Définition :

On appelle moment quadratique I ox par rapport à l’axe Ox la quantité :

I ox = ∫s

y ² d s et de même I oy = ∫s

x ² ds

On a I omoment quadratique par rapport à O.

I o=¿ ∫s

O⃗P ² ds= ∫s

x ² ds+∫s

y ² ds= I oy+I ox

b) Changement d'axe de rotation : Théorème d’Huyghens Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe∆ est égal au moment d’inertie de ce corps par rapport à un axe ∆ G parallèle à ∆ passant par le centre de gravité augmenté du produit d ² .

I ∆=I ∆G+Md ²

Exemple moment d’inertie d’un cylindre :

I ∆=¿ I ∆G+Md ²=12

MR ²+MR ²=32

MR ²

3. Moment produit : Par définition le moment produit est la quantité :

I oxy=∫s

xy ds

Si l’un des axes est axe de symétrie alors I oxy=0 :

I oxy=∫s

xy ds=∫s

(x¿¿G+ x)( y¿¿G+ y )ds ¿¿

I oxy= xG yG S+xG∫s

Y ds+yG∫s

X ds+∫s

XY d s

I oxy=I GXY+SxG yG

4. Rotation d’axe :


y

Y

I OX=∫s

Y ² ds=cos ² θ∫s

y ² ds+sin ² θ∫s

x ² d s−2 sin θ cosθ∫s

xy ds

Soit :

I OX=cos² θ I ox+sin ² θ I oy−2 sinθcosθ I oxy

De même pour :

I OY=sin ² θ I ox+cos² θ I oy+2 sinθcosθ I oxy

I OXY=∫s

(xcosθ+ ysinθ ) ( ycosθ−xsinθ ) ds

¿ (co s2θ−si n2 θ ) I Oxy+sinθcosθ(I Ox−I Oy)

Sachant que :

co s2θ=12(1+cos2θ)

sin ² θ=12(1−cos2 θ)

co s2θ−si n2 θ=cos2θ

2 sinθcosθ=sin 2θ

I OX=12

( I Ox+ IOy )+ 12

( I Ox−I Oy) cos2 θ−IOxy sin 2θ

I OY=12

( I Ox+ IOy )−12

( IOx−I Oy ) cos2θ+ IOxy sin 2θ

I OXY=12

( I Ox−I Oy) sin 2 θ+ I Oxy cos 2θ

Avec :

I OX+ I OY=IOx+ I Oy=IO


X=xcosθ+ ysinθ

Y= ycosθ−xsinθθ

x

θX

On appelle axes principaux X et Y tel que :

I OXY=0=12

( I Ox−IOy ) sin 2 θ+ IOxy cos2θ

Leur orientation est définie par :

tan2 θ=−2 I Oxy

I Ox−I Oy

La tangente étant définie à πprés, cette solution a deux solutions θ0et θ0+π2

.

Exemples d’application :

Section quelconque Demi-cercle Demi-carré Grand rectangle Rectangle Disque Tube Section en T Cornière à ailes inégales

V. Comportement mécanique des matériaux

Les propriétés mécaniques dépendent de la température d’utilisation, de l’état de surface, des conditions d’application des efforts et de la vitesse de déformation.Elles sont déterminées, avec un certain intervalle de précision, au moyen d’essais normalisés.

1. Essai de traction : L’essai de traction permet, à lui seul, de définir les caractéristiques mécaniques courantes des matériaux. Les résultats issus de cet essai, permettent de prévoir le comportement d’une pièce sollicitée en Cisaillement, Traction/Compression et Flexion.

2. Principe d’essai : L’essai est réalisé sur une machine de traction. On applique progressivement et lentement (sans choc) à une éprouvette cylindrique de formes et de dimensions normalisées, un effort de traction croissant jusqu’à la rupture.


Figure 7 : Machine essai de traction

La courbe type obtenue pour un matériau ductile est la suivante:

Figure 8 : Courbe de Traction

La droite OA correspond à la déformation élastique réversible.La courbe AC est le domaine de déformation plastique homogène: si on supprime la force de traction, il y a un retour élastique suivant une parallèle à OA et il reste une déformation permanente.Pour CD, la force nécessaire pour déformer le matériau diminue alors que l’allongement continue d’augmenter : cette instabilité est appelée instabilité plastique. La striction apparait.En D il y a rupture de l’éprouvette.

Avec Re (MPa) est la limite élastique. Elle est bien marquée pour les matériaux ductiles. Rm est la résistance limite à la traction. Cette valeur est utilisée pour estimer la

limite d’endurance à la fatigue.

Les caractéristiques mécaniques sur pièces dépendent de facteurs tels que :- La zone de prélèvement sur pièce de l’éprouvette


RmRe 0.2

Re

Domaine PlastiqueDomaine Elastique

DéformationCont

rain

te (M

Pa) Point de rupture

O

AB

C D

- L’état de l’éprouvette (brute ou usinée)- L’état de santé de l’éprouvette (défauts internes ou de surface)- La finesse de la microstructure (DAS - loi de Hall Petch)- De la composition chimique (teneur en fer, constituants intermétallique, …)- De l’état de finition (brute, grenaillé) et de la présence du plan de joint

Les différentes étapes de l’essai de traction sont présentées à la figure suivante :

Figure 9 : Différentes étapes de l’essai de traction

Etape1 : Eprouvette avant la traction Etape2 : Pendant la traction, comportement élastique Etape3 : Déformation de la pièce, déformation plastique Etape4 : Eprouvette après la rupture

VI. Traction simple /Compression simple :

1. Introduction :La traction simple et la compression simple sont distinctes et un certain nombre de matériaux ont un comportement différent en traction et en compression (fonte, béton…). Cependant, dans les deux cas, nous arriverons aux mêmes relations de contraintes et de déformations.

Dans le repère (Gxyz) lié à la section, traction et compression se différencient par le signe de l’effort normal :

Si N>0 : Traction

Si N<0 : Compression

2. Hypothèses : Le solide est composé d’un matériau homogène et isotrope, Sa ligne moyenne est rectiligne La section droite est constante sur toute la longueur, La résultante des actions extérieures au c.d.g des sections extrêmes n’a qu’une

composante dirigée selon la ligne moyenne.


Figure 10 : Poutre soumise à une sollicitation

3. Définition :Une poutre est sollicitée à une traction simple lorsqu’elle est soumise à deux forces directement opposées qui tendent à l’allonger et appliquées au c.d.g des sections extrêmes.

Figure 11 : Poutre soumise à une traction

Dans ce cas, les forces de cohésion se réduisent à une composante normal N>0

Une poutre est sollicitée à la compression simple lorsqu’elle est soumise à deux forces directement opposées qui tendent à le raccourcir et appliquées au c.d.g des sections extrêmes.

Figure 12 : Poutre soumise à une compression

Dans ce cas, les forces de cohésion se réduisent à une composante normale N<0.

Dans le cas de la compression, si les dimensions longitudinales sont trop importantes (aux dimensions transversales) ; il y a risque de flambement.

4. Contraintes dans une section droite :Pour les deux sollicitations, traction et compression, elles s’expriment de la même façon :

Chaque élément de surface ∆ S supporte un effort de traction ∆ f parallèle à la ligne moyenne.

Il y a répartition uniforme des contraintes dans la section droite.

D’où :

σ : contrainte normale en MPa ou en N/mm²


G

y

x

z(S)

FFA B

G FFA B

G FFA B

N : effort normal en N

S : aire de la section droite en mm²

En traction, N > 0 => σ > 0 ;

En compression N < 0 => σ < 0.

Pour les deux sollicitations on a : σ= ForceSurface

= NS

5. Etudes des déformations :Dans cette partie on étudie deux types de déformation. La déformation longitudinale et la déformation transversale.

a. Déformation longitudinale :On se place dans le domaine élastique (petites déformations, réversibles), la loi de Hooke est valable : σ=¿ E.ε

Avec ε=∆ LL0

l’allongement unitaire (voir figure 13)

Figure 13 : Comportement mécanique de la poutre

L0: Longueur initiale de l’éprouvette mesurée sous charge F.

L : Longueur de l’éprouvette mesurée sous charge F.

F : Force exercée par la machine d’essai sur l’éprouvette.

La déformation longitudinale est notée ε et vaut : ε=L−L0

L0

=∆ LL0

On a donc :

σ= ForceSurface

= NS

= E.ε=E .∆ LL0

On obtient alors :


A0 B0

A B

L0 ΔLS

S

X

X0 ΔX

∆ L=¿ N L0

E . S

En traction la poutre s’allonge => ∆ L>0

En compression la poutre raccourcit => ∆ L<0

b. Déformation transversale :Lorsqu’une poutre s’allonge dans la direction longitudinale sous l’effet de N, on observe une contraction dans la direction transversale.

On a : ε y=d−d0

d0

Figure 14 : Déformation transversale de la poutre

On constate une proportionnalité entre les déformations transversales et les déformations longitudinales : ε y=−υ. εx

Avec υ le coefficient de Poisson (entre 0.1 et 0.5, 0.3 pour les aciers)

6. Dimensionnement : Afin de tenir compte d’incertitude concernant les charges appliquées au solide, les conditions d’utilisation ou les caractéristiques mécaniques du matériau, on introduit un coefficient de

sécurité s.

Le dimensionnement des pièces mécaniques se fera en limitant la valeur de la contrainte normale à valeur notée Rpe (résistance pratique à l’extension) définie par :

Rpe=σe

s


A BF-F d0 d

Poutre avant déformation

L0 ΔL

Limite élastique à l’extension

Coefficient de sécurité

On doit ainsi vérifier l’inéquation (d’équarrissage) suivante :

σ ≤ Rpe

En compression, on doit vérifier :

|σ|≤ Rpc

Avec, Rpc la résistance pratique à la compression :

Rpc=σc

s

Pour des raisons fonctionnelles , il est parfois important de limiter l’allongement à valeur ∆ L lim ¿¿. On obtient donc l’inéquation :

∆ L ≤ ∆ Llim ¿¿

7. Concentration de contraintes :Lorsqu’une poutre possède une variation brusque de sa section, la répartition de la contrainte normale n’est plus uniforme à proximité de la discontinuité de section. Il y’a concentration de contrainte.

La contrainte maximale vaut : σ max=K t . σ nom

Avec K t :coefficient de concentration decontrainte

σ nom=contrainte nominale est vaut : σnom=NS

8. Application aux treillis :Un treillis est un ensemble d’éléments assemblés les uns aux autres à leurs extrémités par des articulations (voir figure 15).

F

F

FF /2

T re illis

Figure 15 : Treillis


Ces éléments sont appelés barres. Le point de rencontre des barres s’un treillis s’appelle un nœud. Il n'y a pas de charges réparties sur les barres (elles sont de ce fait supposées non pesantes).

Hypothèses :

Les assemblages sont géométriquement invariables. Les forces sont ponctuelles et contenues dans le plan de la structure. Le poids des barres est négligé. Les forces agissent aux nœuds qui sont des articulations.

Compte tenu des hypothèses, les barres sont soumises soit à la traction, soit à la compression.

Stabilité d’un treillis:

Considérons les deux cas suivants :

Figure 16 : Exemple de treillis

Un treillis rectangulaire n’est pas stable. Un treillis en triangle est la cellule base d’un treillis car cette structure ne peut pas s’aplatir.

VII. Cisaillement simple

1. Hypothèses : Le solide est composé d’un matériau homogène et isotrope, Sa ligne moyenne est rectiligne, La section droite est constante sur toute la longueur, Le solide a un plan de symétrie verticale, Les actions extérieures sont modélisables en A et B situés dans le plan de symétrie,

par deux résultantes verticales, directement opposées, situées dans le plan de cisaillement(P) perpendiculaire à la ligne moyenne.


2. DéfinitionUne poutre subit une sollicitation de cisaillement simple lorsque les actions mécaniques de liaison de réduisent dans une section droite (S) à deux résultantes directement opposées et perpendiculaires à l'axe de la poutre.

Les forces de cohésion n’ont qu’une composante tangentielle (effort tranchant)

N=0, M t=M fy =M fz=0 et T z=0

3. Contraintes dans une section droite : Chaque élément de surface ΔS supporte un effort de cisaillement Δf contenu dans le plan (S).

On considère qu’il y a répartition uniforme des contraintes dans la section droite. D’où :

τ: Contrainte de cisaillement en MPa ou en N/mm²

T: Effort tranchant en N

S: Aire de la section droite cisaillée en mm²

Avec τ¿TS

Remarque :

S représente l’aire totale soumise au cisaillement. Cela signifie que s’il y a plusieurs plans de cisaillement, il faut considérer l’aire de la section droite, multipliée par le nombre de plan de cisaillement.

4. Etude des déformations Le diagramme de l’essai de cisaillement a la même allure que celui de l’essai de traction. Pour l’essai de cisaillement, l’abscisse représente l’angle de glissement γ (en radians) de la section S par rapport à la section S0 et l’ordonnée la contrainte de cisaillement.


Ligne moyenne

A

B

Plan de cisaillementP

Résultantes des actions extérieures

tg γ=ΔyΔx

or γ est petit donc tg γ=γ , on obtient alors : γ = ΔyΔx

Loi de Hooke :

Comme pour l’essai de traction, l’expérience montre que, dans le domaine élastique, il y a proportionnalité entre la contrainte et les déformations.

La loi de Hooke en cisaillement s’écrira : τ=G. γ

G représente le module d’élasticité transversale (ou module de cisaillement ou de Coulomb) est exprimé en MPa.

Comme E,G est une caractéristique de matériau, déterminée expérimentalement. Il existe une relation entre G, E et υ :

G=E

2(1+υ)


Partie(1)Partie(2)G

A

A’

B

B’

(S) Section droite avant déformation (S’)Section droite après déformation

G0 S0SS’

x

y

ΔxΔy

Glissement transversal de S/S0

Effort tangentiel appliqué sur (1)

T

CB

A

O Déformation permanenteDéformation

élastique

γ

τe

τmax

5. Condition de résistance :Le dimensionnement des solides soumis au cisaillement se fera en limitant la valeur de la contrainte tangentielle à une valeur notée Rpgrésistance pratique de glissement = contrainte

tangentielle admissible τ adm ) définie par :

Rpg=τ e

s

τ e : Limite élastique au cisaillement

s :Coefficient de sécurité

On obtient ainsi l’inéquation suivante :

τ=TS

≤ Rpg

6. Exemple

La roulette proposée ci contre, se compose d’un support [2] et d’une roue [1]. La liaison pivot est assurée par un axe [3] de 9 mm de diamètre.Calculer les contraintes de cisaillement dans l’axe 3.

Le module de F égal 400 daN.

1) Déterminez le nombre de surfaces cisaillées : 22) Déterminez la contrainte de cisaillement dans l’axe [3].

τ = F /S=4000/(2 x π x 4 ,5²)=31,43 MPa

3) Si l’axe est en acier E335, vérifiez si la condition de résistance est respectée, avec un coefficient de sécurité de 5.

Rpg=Rg /k=0,5 x 355/5=35,5 MPa

On verifie que :

τ=TS

≤ Rpg


VIII. Torsion pure

1. Hypothèse : Le solide est composé d’un matériau homogène et isotrope, Sa ligne moyenne est rectiligne Les actions extérieures dans les sections extrêmes sont modélisables par deux

moments opposés portés par la ligne moyenne.

La section droite est constante sur toute la longueur et circulaire.En effet, pour rester dans le domaine de la RDM, il faut que notre solide vérifie l’hypothèse de Bernoulli.

2. Définition

Une poutre est sollicitée à la torsion pure si le seul élément de réduction au centre de gravité de chaque section des forces de cohésion est un moment autour de la ligne moyenne appelé moment de torsion.

N=T y=T z=0, M fy =M fz=0 et M t ≠ 0

3. Etudes des déformations : Soit une poutre circulaire pleine, parfaitement encastrée en S0, soumise à l’extrémité S1 à un

moment de torsion M t :

Ө : angle de torsion unitaire (rad/mm) α :angle total de torsion de (S)/(S0 ¿(rad)

l : distance entre (S) et (S0 ¿(mm)


GA B

L

MM

MtM0

M1

S1SS0

ll1

.GM

M’M’1

MM’

α1α α

L’expérience montre que, pour une section et un moment de torsion donnés, on a :

αl

=α1

l1= …=cste

On pose Ө = αl

Si M t<M A, on est dans le domaine élastique, l’angle α est proportionnel au moment appliqué

Si M t>M A , on est dans le domaine plastique, l’angle αn’est plus proportionnel au moment appliqué.

On appelle γ, l’angle MM 0M’. Cet angle représente l’angle de glissement de (S)/ (S0 ¿ .

On a :

MM 'M M 0

=MM '

l=tg γ= γ

γ= MM 'l

= ραl

=ρθ

En torsion, les sections du solide sont soumises à une contrainte tangentielle. Nous avons vu la relation liant les contraintes et les déformations.

τ=Gγ

On obtient donc :

τ=Gρθ

Avec :

τ :La contrainte de cisaillement

G : Le module de coulomb


BA

O Déformation permanenteDéformation

élastique

α

MA

Mt

θ: Angle unitaire de torsion

ρ: Distance du point considéré à l’axe Gx

4. Etudes des contraintes : On coupe le cylindre en une section (S) et on exprime que la partie isolée est en équilibre sous l’action du moment de torsion Mt et des forces de cohésion dans la section (S).

dSest l’élément de surface situé à une distance ρ de l’axe Gx , soumis à une contrainte de cisaillement τ

L’effort élémentaire de cisaillement dF vaut donc :

dF=τ . dS

L’équilibre de l’élément isolé s’écrit donc :

M t=∬s

ρ . τ . dS

Or : τ=G .θ . ρ

D’où :

M t=∬s

ρ ².G . θ .dS

Comme G .θ est identique pour chaque dS, on obtient :

M t=G. θ∬s

ρ ². dS=¿ M t=G.θ . IG

On sait aussi que

τ=G .θ . ρ

On a alors :

τ=ρ .M t

I G

La contrainte de cisaillement est donc proportionnelle à la distance au centre de gravité de la section et est maximale pour ρ=r

τ max=r .M t

IG

I G

r : Module de torsion en (mm3)


5. Dimensionnement : Condition de résistance :

Le dimensionnement des solides soumis à la torsion pure se fera en limitant la valeur de la contrainte tangentielle à une valeur notée

Rpg=τ e

s


τ max=r .M t

IG

≤ R pg

Condition de déformation :

On utilise souvent l’angle limite de torsion pour dimensionner une pièce soumise à la torsion.

On obtient l’inéquation :

θ=M t

G . IG

≤θ lim ¿¿

α=M t . l

G . I G

≤ α lim ¿¿

On pourra exprimer la puissance :

P=M t .ω

Avec :

P : puissance en watts

M t: Moment de torsion en N.m

ω :vitesse angulaire en rad/s

Si la vitesse de rotation est donnée en tours/min, il faut convertir :

ω=2 πn60


IX. Flexion pure

1. Hypothèses Le solide est composé d’un matériau homogène et isotrope, Sa ligne moyenne est rectiligne La section droite est constante et possède un plan de symétrie, Les actions extérieures dans les sections extrêmes sont modélisables par deux

moments opposés contenus dans le plan de symétrie.

2. Définition

Une poutre est sollicitée à la flexion pure si le seul élément de réduction au centre de gravité de chaque section des forces de cohésion est un moment perpendiculaire au plan de symétrie appelé moment de flexion.

N=T y=T z=0, M fy et/ou M fz ≠0 et M t=0

3. Etude des contraintes :Les sections droites de la poutre ne se déforment pas, elles se déplacent en restant perpendiculaires à la ligne moyenne qui s’incurve mais ne s’allonge pas.

Par conséquent, deux sections droites voisines tournent l’une par rapport à l’autre d’un angle élémentaire Δα autour de l’axe z, normal au plan de symétrie.

La déformation d’ensemble observée résulte de la composition de toutes les sections.

On considère un élément de longueur Δx, délimité par les sections S0 et S . M 0 M est une fibre de cet élément située à une distance y de la ligne moyenne.

Si on soumet la section S à la flexion, elle tourne d’un angle Δα autour de Gz. On apelle S’ la section déformée et M’ représente la position de M après déformation.


D’après la loi de HOOKE, on a :

σ=E .ε=E .∆ ll

Or on a : 𝓁 = Δx et –M M '

y=−Δl

y=tgΔα ≈ Δα

Avec y la position de la fibre étudiée/ligne myenne.

D’où :

∆ l=− y . ∆ α

Finalement, la loi de Hooke s’écrit :

σ=−E . y .ΔαΔx

Si on prolonge toutes les sections déformées, elles concourent toutes en un point O, appel centre de courbure. La distance OG est appelée ρ , rayon de courbure.

On a : Δxρ

= tgΔα ≈ Δα d ' où

σ=−E . yρ

Détermination de l’axe neutre ¿>σ=0

La force normale élémentaire agissant sur chaque ds vaut :

dN=σ .ds

On sait que l’effort normal N est nul, on peut donc écrire :


y

x

MM0

y

S0 S S’Δx

M’

Δα

N=∬s

σ .ds=∬s

−E . yρ

ds=−Eρ ∬

s

y .ds = 0

On a donc le moment statique nul => l’axe neutre passe par le centre de gravité G de S.

Relation entre contrainte et moment de flexion :

On coupe la poutre en une section S et on exprime que la partie isolée est en équilibre sous l’action des efforts extérieurs et des forces de cohésion dans la section S.

On sait que la force normale élémentaire vaut : dN=σ . ds

Le moment élémentaire s’écrit : dM=y.σ . ds

L’équilibre de la partie isolée s’écrit : M f =−∬s

y . σ .ds

Ce qui donne :

M f =Eρ

I Gz or on a ρ=−Eσ

. y => M f =−I Gz

yσ

Finalement, on obtient:

σ=−M f

I Gz

. y

La contrainte normale est maximale pour la fibre la plus éloignée de c.d.g

On alors :

σ max=−M f

I Gz

. ymax

4. Etude des deformations:

Nous avons montré que σ=−Eρ

. y

Or

σ=−M f

I Gz

. y

1ρ

=−M f

E . I Gz

L’expression analytique du rayon de courbure d’une courbe d’équation v =f(x) est :


ρ=(1+v ' 2)

32

v ' 'Comme v’ et petit, v’² négligeable/1, il vient alors :

ρ ≈ 1/v ' '

On obtient donc l’équation différentielle de la déformée :

v ' '=−M f

E . I Gz

Remarque :

v : présente la flèche de la poutre

v ' : présente larotationde la section

On a une équation différentielle donnant l’expression de v’’ , pour retrouver la flèche v, il faut donc intégrer deux fois. On obtient donc des constantes d’intégration. Pour connaitre leurs valeurs, il faut appliquer les conditions aux limites de la poutre étudiée.

5. Dimensionnement : Condition de résistance :

On limitera la valeur de la contrainte normale à une valeur notée Rpe (résistance pratique à

l’extension = contrainte normale admissible en traction) ou à une valeur Rpc (pour la compression) définie par :

Rpe=σe

s

Rpc=σc

s

On obtient ainsi les inéquations suivantes :

Dans la zone des fibres tendues :

σ max=−M f

I Gz

. ymax ≤ R pe

Dans la zone de fibres comprimées :

|σmax|=|−M f

I Gz

. ymax|≤ Rpc


6. Condition de déformation :On peut limiter la flèche maximale (vmax ¿ à une valeur limite (v lim ¿¿ imposée par le type de construction ou les contraintes technologiques.


|vmax|≤ v lim ¿ ¿

X. Flexion simple

1. Définition :Une poutre est sollicitée à la flexion simple si les éléments de réduction au centre de gravité de chaque section des forces de cohésion sont un effort tranchant et un moment de flexion.

N=0 ;T y ≠0, M fz ≠0 et M t=0

2. Etude des déformations La présence d’un effort tranchant engendre des contraintes de cisaillement. Toutefois, l’expérience montre que celles-ci sont faibles par rapport aux contraintes normales. Ceci nous permet de négliger les effets de l’effort tranchant dans la déformation. On ne considère donc que le moment fléchissant pour le calcul de la flèche des poutres en flexion simple.

L’équation différentielle de la déformée reste donc :

v ' '=−M f

E . I Gz

3. Etude des contraintes : Contraintes normales :

On trouve l’expression de la contrainte normale définie pour la flexion pure :

σ max=−M f

I Gz

. ymax

Contraintes tangentielle :

On considère deux poutres de sections globales identiques, faites d’un même matériau, soumises au même chargement. Une des deux poutres est constituée d’un empilement de barres.

Glissement des éléments constituant la poutre composée


Poutre monobloc moins déformée car pas de glissement=> forces internes longitudinales=> contraintes tangentielles longitudinale.

On observe la présence de deux types de contraintes tangentielles :

Une contrainte transversale notée τ xyappartenant aux sections droites de la poutre.

Une contrainte longitudinale notée τ yxsuivant la direction Gx.

On peut montrer que la contrainte tangentielle en M d’ordonnée y vaut :

τ ( y )=−T .μz

IGz . b

Avec :

T : l’effort tranchant dans la section (S) considérée. μz: le moment statique par rapport à l’axe Gz de la section située au dessus de

l’ordonnée y. I Gz : moment d’inertie de la section (S) b : la largeur de la section (S) à l’ordonnée y.

La répartition de la contrainte tangentielle est parabolique. Elle est nulle sur les faces inférieures et supérieures de la poutre ; elle est maximale en G.

4. Condition de résistance :On limitera la valeur de la contrainte normale à la valeur Rpedans la zone en traction et à la

valeur Rpc dans la zone en compression.


y

xy

b(S)

h/2

h(I)

GM τ

Répartition parabolique de τ

y

τ est max en G

(S) Section rectangulaire largeur en b

On obtient ainsi les inéquations suivantes :

Pour une section :

σ max=|−M f|

I Gz

.|ymax|≤ Rpe ou R pc

Pour la poutre :

σ max=|−M f

max|I Gz

.|ymax|≤ Rpe ou R pc

5. Condition de déformation : On peut limiter la flèche maximale (vmax¿àunevaleur limite¿ imposée par le type de construction ou les contraintes technologiques.


|vmax|≤ v lim ¿ ¿

XI. Sollicitation composées : (Flexion-Torsion)

1. DéfinitionLes poutres sont parfois chargées de façon complexe et les sollicitations engendrées, appelées sollicitations composées, ne peuvent pas être étudiées et schématisées à l'aide de sollicitations élémentaires ci-dessus.Cependant, dans un grand nombre de cas, les études peuvent être ramenées à la superposition de plusieurs sollicitations simples. On applique alors le Théorème de SUPERPOSITION, à savoir l'addition d'études de systèmes simples. Ceci concerne :– les actions extérieures.– Les contraintes.– Les sollicitations (efforts normaux, tranchants, moments de torsion et fléchissant)– les déformations.

2. Exemple d’application On considère 2 roues dentées de rayon R1 et R2, montées sur un arbre de transmission reposant sur deux paliers A et B. L’arbre tourne à vitesse constante avec la puissance transmise à la roue O1 par une autre roue. La roue O2 transmet une partie de cette puissance à une autre roue.

Seul l’effort moteur tangentiel, la force F⃗1 appliqué au pointP1, est connu.

Les forces inconnues sont :

F⃗2: Effort résistant tangentiel, appliqué au point P2

R⃗A: Réaction du palier A, de directionx3, R⃗A=(0,0 , X A3)

R⃗B: Réaction du palier B, de directionx3, R⃗B=(0,0 , XB3)


1° Déterminer l’effort tranchant et le moment de flexion.

2° Déterminer la flèche

Le critère de Rankine :

Conditions de résistance selon Rankine, s’écrit :|σ|max=12 [|σ x|+√σx

2+τ zx2 ]

En écrivant σ max et τ zx en fonction de M fz et de M t

Et avec I G=2. I Gz pour une section circulaire, on a :

|σ|max=

12 [|M fz|+√ M ² fz+ M t ² ]

I Gz

v

=M if

IGz

v

Ce qui s’écrit (critère de Rankine) : |σ|max=

M if

I Gz

v

≤ Rpe

Le critère de Tresca :

Les limites élastiques des matériaux sont telles que σ e=2. τ e

La condition de résistance s’écrit |τ|max ≤ Rpg

Avec |τ|max=12 √σx

2+4. τ zx2

En écrivant σ maxet τ zx en fonction de M fz et de M t


|τ|max=√M ²fz+M t ²

I G

v

= M ¿

IG

v

Ce qui s’écrit : (critère de Tresca)|τ|max=

M ¿

I G

v

≤ R pg


Le critère de Von mises :

Les limites élastiques du matériau sont telles que : σ e=√3 . τ e

La condition de résistance s’écrit |σeq|max ≤ Rpe

Avec : |σeq|max=√σ x2+3. τ zx

2

En écrivant σ maxet τ zx en fonction de M fz et de M t


|σeq|max=√ M ² fz+

34

M t ²

I Gz

v

=M if

I Gz

v

Ce qui s’écrit (critère de Von Mises) : |σeq|max=

M if

I Gz

v

≤ R pe

Le critère des règles CM :

Les limites élastiques du matériau sont telles que : τ ad=0,56. σ ad

La condition de résistance s’écrit : √σ ²+2,36. τ ² ≤ Rpe

XII. Flambement

Lorsqu’une pièce longue rectiligne subit une charge F croissant lentement, On observe les faits suivants. Pour des valeurs petites de F, la pièce subit d’abord une simple compression et reste rectiligne. A une valeur critique Fc de la charge, la pièce fléchit brusquement. Ce phénomène est appelé flambement ou flambage. En fait, ce phénomène existe toujours dans les pièces longues même lorsque F est petit.

1. Charge critique : Prenons pour exemple le cas d’une poutre droite articulée à ses deux extrémités A et B et sollicitée en compression. Lorsque F atteint une certaine valeur, la poutre passe d’un état de compression à un état de flexion.

Le flambage est un phénomène d’instabilité élastique lié au module de Young et indépendant de la limite élastique.


Faisons l’hypothèse qu’il existe une petite flèche y de la poutre, on se trouve en sollicitation composée (compression+flexion).

On peut écrire en flexion : M f =E . I G . y ' ' (x )

Mais le moment de flexion dépond de la charge F et de la flèche y, à savoir :

M f =−F . y (x )

On aboutit à l’équation différentielle suivante : E . IG . y ' ' ( x )+ F . y ( x )=0

Mathématiquement on peut donc trouver des solutions de la forme :

y ( x )=α . sin ( n. π . xL

)

Avec α constante (flèche de la section médiane)

Cette existence de solution confirme notre hypothèse de départ, à savoir, qu’il peut y avoir déformation (flambage) sous certaine charges dites critiques.

Celles-ci dépendent de n et y. On obtient en remplaçant :

F c=π ². E . I G

Le2

Le: est la longueur de flambement de la poutre :

Le=1. L=¿ poutrebi−articulée

Le=0.5 . L=¿ poutrebi encastrée

Le=0.7 . L=¿ poutreencastrée rotulée

Le=2. L=¿ poutreencastrée libre


A B

LFF x

y

Nous venons d’étudier le cas d’une poutre articulée à deux extrémités, on pourrait en faire de même avec d’autres types de liaisons aux extrémités (libre, encastrement …)

Seule la longueur à prendre en compte demeure alors changée.

Contrainte critique :

Nous sommes aussi en compression, on peut donc écrire :

σ c=Fc

s=

π ². E . I G

S . Le2

On introduit alors le rayon de giration et l’élancement, à savoir :

Rayon de giration : r=√ I G

S et l’élancement : λ=

Le

r

σ c=π ². E .r ²

Le2 ou σ c=

π ². Eλ ²

Remarque :

L’élancement caractérise la flexibilité d’une poutre et permet une comparaison de celles-ci.

Méthode de calcul : (Poutre en Acier)

Méthode Euler-Rankine :

C’est une méthode de calcul simplifiée valable si l’on n’atteint jamais la première charge critique. On définit les grandeurs suivantes :

Fadm: charge admissible

s :coefficient de sécurité


F réel<FC

La poutre reste droite, elle travaille en compression. On est en équilibre stable.

F réel=FC

C’est l’incertitude, la poutre peut rester droite ou flamber jusqu’à la valeurα . On est en équilibre neutre.

F réel ¿FC

La poutre a de très grandes chances de flamber. On est en équilibre instable.

Rpc :résistance pratique encompression

Elancement critique :

λc=√ (π ². E)Re

La relation de base est la suivante : 2. s=Fc

Fadm

=2. Re

Rpc

Méthode de calcul- Critères de résistance :

On travaille ensuite à l’aide du tableau ci-dessous, suivant l’élancement de la poutre.

Poutre courteλ<20

Poutre moyenne20 ≤ λ ≤100

Poutres longuesλ>100

Calcul en compressionFadm=Rpc . s

Calcul de Rankine

Fadm=Rpc . s

1+( λλc

) ²

Calcul d’Euler

Fadm=R pc . s

2.( λλc

) ²

Méthode de Duteil :

Cette méthode prend en compte les contraintes de compression dues au moment fléchissant engendré par la flèche f.


XIII. Travaux pratiques :

TP1 : Etude des treillis plans

TP2 : Moment de flexion et effort tranchant

(Poutre sur deux supports : courbe des efforts tranchants et courbes des moments de flexion)

TP3 : Mesures des jauges de déformations et calcul des contraintes (Flexion, Traction, Torsion : système didactique pour jauge de contrainte)

TP4 : Influence des caract.phy.et géom.en Flexion

(Déformation de barres soumises à une flexion)

TP5 : Courbes de flexion et déflexion en un point de la déformée d’une poutre

(Déformation des poutres droites)

TP6 : Etudes de concentration des contraintes

TP7 : Démonstration et étude du flambement d’Euler

TP8 : Essais photoélastiques par transmission


XIV. Bibliographie :

Résistance des matériaux, Ivan CorminBoeuf ing.ETS/EPF Cours de Dimensionnement des Structures Résistance des Matériaux Pierre-Alain

Boucard Comportement Mécanique des Matériaux Roland FORTUNIER Ecole Nationale

Supérieure des Mines 158 cours Fauriel 42023 Saint-Etienne cedex 2 Cour de Mr Abderrahman.Talha (dept.ccm) Cours RESISTANCE DES MATERIAUX par Saïd KOUTANI 1998


Documents

Cours rdm