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Cours module MS4 Organisation du module : Cours 6h TD 22h (coef 2) Apprendre autrement 12h (coef 2) DS 2h (coef 5) 1 lundi 14 septembre 2009

Cours Rdm - MS4 - Partie 1b

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Cours RDM IUT GC

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  • Cours module MS4Organisation du module :

    Cours 6hTD 22h (coef 2)

    Apprendre autrement 12h (coef 2)DS 2h (coef 5)

    1

    lundi 14 septembre 2009

  • MS4

    BoisBA CM

    ST4ST2ST3ST6

    ST4ST5ST6ST7

    ST8ST7 ST7

    S3

    S4

    240h

    2

    MS5

    lundi 14 septembre 2009

  • Chapitre 1

    Rappels de premire anne Modlisation des structures Modlisation des efforts internes Calcul des dplacements

    3

    MS1

    MS1 MS2

    MS3

    lundi 14 septembre 2009

  • 1. Modlisationdes

    structures

    2. Modlisationdes

    efforts internes

    3. Calculdes

    Dplacements

    Liaisons

    Hypothses

    extrieures

    PFS

    Effortsexternes

    Hyperstaticit

    4

    !"#! "$! "%!

    ! &$! &%!

    Ligne moyenne : ligne qui joint les centres de gravit des sections

    droites successives!

    Les efforts sont considrs

    comme appliqus sur cette ligne moyenne

    '! '!

    '! '!

    Modle de calcul dun support de couverture

    Modle de calcul dun portique

    Structures barres

    Les sections des barres sont constantes ou lentement variables

    Les barres possdent des dimensions transversales petites devant leur longueur

    Si les barres sont courbes leur rayon de courbure est grand devant leurs dimensions transversales

    lundi 14 septembre 2009

  • 1. Modlisationdes

    structures

    2. Modlisationdes

    efforts internes

    3. Calculdes

    Dplacements

    Liaisons

    Hypothses

    extrieures

    PFS

    Effortsexternes

    Hyperstaticit

    5

    Les structures tudies sont :

    Proportionnalit et rversibilitentre cause et effet

    On est donc dans un domaine restreint du fonctionnement des matriaux

    Mais elles subissent de petits dplacementset des petites dformations

    Tous les calculs seront donc raliss sur la structure non dforme

    Calcul au premier ordre

    Dformables

    Elastiques linaires

    ! F

    d

    Les efforts appliqus sont constants ou lentement variables : statique pas deffet dynamique

    lundi 14 septembre 2009

  • 1. Modlisationdes

    structures

    2. Modlisationdes

    efforts internes

    3. Calculdes

    Dplacements

    Liaisons

    Hypothses

    extrieures

    PFS

    Effortsexternes

    Hyperstaticit

    6

    Les sections droites restent planes aprs dformation : hypothse de Navier-Bernoulli

    ! "#! "$!"#! "$!

    lundi 14 septembre 2009

  • 1. Modlisationdes

    structures

    2. Modlisationdes

    efforts internes

    3. Calculdes

    Dplacements

    Liaisons

    Hypothses

    extrieures

    PFS

    Effortsexternes

    Hyperstaticit

    7

    !

    Forces actives : W, S, G, I,

    Interactions entre

    sous-structures,

    interactions

    sol/structure

    Actions appliques sur nos structures

    Forces : objets mathmatiques : vecteurs

    lundi 14 septembre 2009

  • 1. Modlisationdes

    structures

    2. Modlisationdes

    efforts internes

    3. Calculdes

    Dplacements

    Liaisons

    Hypothses

    extrieures

    PFS

    Effortsexternes

    Hyperstaticit

    8

    !

    x

    "!

    #!

    $!

    %!

    &!

    '!

    Moment dune forceSimplification

    convention de signe

    !

    "#!

    $%#&!

    '! (!)!

    #!

    Force rpartie

    lundi 14 septembre 2009

  • 1. Modlisationdes

    structures

    2. Modlisationdes

    efforts internes

    3. Calculdes

    Dplacements

    Liaisons

    Hypothses

    extrieures

    PFS

    Effortsexternes

    Hyperstaticit

    Force uniformment rpartie!

    "#!

    $%#&!

    '! (!)!

    *!

    #!

    9

    P

    d

    Mp(x)/o = -dP

    lundi 14 septembre 2009

  • 1. Modlisationdes

    structures

    2. Modlisationdes

    efforts internes

    3. Calculdes

    Dplacements

    Liaisons

    Hypothses

    extrieures

    PFS

    Effortsexternes

    Hyperstaticit

    Les liaisons extrieures du GCAppui simple Appui articul Appui encastr

    Dplacement(s) empch(s)

    Une translation (dirige selon lorientation de

    lappui)

    La translation dans toute direction

    La translation dans toute direction

    La rotation autour de lappui

    Grandeurs cinmatiquesDplacements

    u v=0

    u=0v=0

    u=0v=0=0

    Grandeurs statiquesRactions

    Rx=0Ry

    z=0

    RxRy

    z=0

    RxRyz

    !

    x,!"!

    M,!!!y,!#!

    !

    ! !

    !"#!

    ! "#!

    "$!

    ! "#!

    "$!z

    !

    "!Lappui simple est le seul appui orient

    10

    lundi 14 septembre 2009

  • 1. Modlisationdes

    structures

    2. Modlisationdes

    efforts internes

    3. Calculdes

    Dplacements

    Liaisons

    Hypothses

    extrieures

    PFS

    Effortsexternes

    Hyperstaticit

    Equilibre des structures : statique

    Les liaisons ont pour rle le maintien de la

    structure en quilibre statique

    Pas de dplacement densemble de la structure

    3 quations dans le plan

    11

    lundi 14 septembre 2009

  • 1. Modlisationdes

    structures

    2. Modlisationdes

    efforts internes

    3. Calculdes

    Dplacements

    Liaisons

    Hypothses

    extrieures

    PFS

    Effortsexternes

    Hyperstaticit

    hyperstaticit extrieure

    On note n le nombre de ractions en dbut de problme. Dans le plan lquilibre tant rgit par 3 quations (celles du PFS) on retiendra que :

    Si n-3 = 0 le problme est dit isostatique extrieur. Cette expression traduit un quilibre statique global respect et la possibilit de calculer les ractions uniquement partir du PFS,

    Si n-3 < 0 lquilibre statique global nest pas forcment respect et la structure peut constituer un mcanisme ou structure cinmatiquement instable. Si cest le cas aucun calcul raliser (en Gnie Civil !!!),

    Si n-3 > 0 la structure est dite hyperstatique extrieur de degr n-3. Cette expression traduit un quilibre statique global respect mais limpossibilit de calculer toutes les ractions partir des seules quations du PFS.

    12

    lundi 14 septembre 2009

  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    Sollicitations

    13

    Il existe en RdM deux manires de reprsenter les efforts internes

    Modlisation des efforts internesLes actions extrieures (charges appliques et ractions) crent en tout point de la structure des efforts dits internes.

    Sollicitations ContraintesRelations

    FonctionsM, N, V

    Contraintes

    Relationsparticulires

    Hyperstaticit

    lundi 14 septembre 2009

  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    Sollicitations

    14

    Modlisation des efforts internes

    Sollicitations

    Il sagit dune reprsentation mathmatique simplifie de leffet des charges extrieures qui conduit la dfinition defforts internes calculs au centre de gravit des sections : les sollicitations N, V et M

    !

    Ligne moyenne

    "#!

    "$!

    "%!

    "&!

    '#!

    (#!

    )#!

    FonctionsM, N, V

    Contraintes

    Relationsparticulires

    Hyperstaticit

    lundi 14 septembre 2009

  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    Sollicitations

    15

    Modlisation des efforts internes

    Sollicitations

    !

    Ligne moyenne

    "#!

    "$!

    "%!

    "&!

    '#!

    (#!

    )#!

    !

    Ligne moyenne

    "#!

    "$!

    %#!

    !

    '#!

    "(!

    ")!

    %#!

    !

    '#!

    Partie gauche Partie droite

    ! "#!

    "$!

    %#!

    !

    '#!

    Partie gauche

    R

    MG1

    !

    "!

    #!

    $!

    %&!

    R

    MG1

    N

    V

    FonctionsM, N, V

    Contraintes

    Relationsparticulires

    Hyperstaticit

    lundi 14 septembre 2009

  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    Sollicitations

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    Modlisation des efforts internes

    Sollicitations

    !

    Ligne moyenne

    "#!

    "$!

    "%!

    "&!

    '#!

    (#!

    )#!

    !

    "!

    #!

    $!

    %&!

    R

    MG1

    N

    V

    !

    ND

    VD MD

    VG

    NG

    MG

    La section est en

    quilibre (statique)

    !

    Ligne moyenne

    "#!

    "$!

    %#!

    !

    '#!

    "(!

    ")!

    %#!

    !

    '#!

    Partie gauche Partie droite

    VD=-VGND=-NGMD=-MG

    fd=-fg

    FonctionsM, N, V

    Contraintes

    Relationsparticulires

    Hyperstaticit

    lundi 14 septembre 2009

  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    SollicitationsModlisation des efforts internes

    !

    "#!

    "$!

    "%!

    &'(!)*+!

    &'(!)*+!

    &'(!)*+!

    ,'-!).+!

    ,'-!).+!

    ,'-!).+!

    Conventions de signe : repre local

    FonctionsM, N, V

    Contraintes

    Relationsparticulires

    Hyperstaticit

    17

    lundi 14 septembre 2009

  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    SollicitationsEtats de sollicitations

    N seul Compression ou Traction

    pure

    M seulFlexion pure

    M et VFlexion simple

    M et V et N Flexion

    compose

    FonctionsM, N, V

    Contraintes

    Relationsparticulires

    Hyperstaticit

    18

    lundi 14 septembre 2009

  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    Fonctions

    Sollicitations

    M, N, V

    Contraintes

    Relationsparticulires

    Hypersaticit interne et totale

    Hyperstaticit!

    Hypersaticit interne

    1 coupure = 3 inconnus M, N, V

    Calcul des sollicitations

    Cas particulier : le cadre ferm

    1re coupure = 3 inconnus M,

    N, V

    2me coupure = 3 inconnus M,

    N, V

    DH int= 3x nb cadres ferms - nb darticulations internes

    Hypersaticit totaleDH tot=DH ext + DH int

    19

    lundi 14 septembre 2009

  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    Relations particulires : quilibre dun tronon de poutre

    Signe privilgi dans lcriture des relations :celui des forces droites

    Fonctions

    Sollicitations

    M, N, V

    Contraintes

    Relationsparticulires

    Hyperstaticit

    20

    lundi 14 septembre 2009

  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    Relations particulires : quilibre dun tronon de poutre

    Signe privilgi dans lcriture des relations :celui des forces gauches

    Fonctions

    Sollicitations

    M, N, V

    Contraintes

    Relationsparticulires

    Hyperstaticit

    21

    lundi 14 septembre 2009

  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    Modlisation des efforts internes : contraintes

    Premier niveau de description des efforts internes : sollicitations

    !

    M

    N

    V

    Une description plus fine des efforts internes dans les sections est base sur lintroduction de la notion de contrainte :

    !

    M

    N

    V

    !!"!

    #!

    $! $!

    !"!

    "#!

    Les contraintes portes par laxe Gx sont appeles contraintes normales

    Les contraintes portes par laxe Gz sont appeles contraintes tangentielles

    Fonctions

    Sollicitations

    M, N, V

    Contraintes

    Relationsparticulires

    Hyperstaticit

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  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    Contraintes normales : conventions de signe

    Fonctions

    Sollicitations

    M, N, V

    Contraintes

    Relationsparticulires

    Hyperstaticit

    23

    lundi 14 septembre 2009

  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    24

    Dforme

    Approchesnergtiques

    TFu

    Dfinition de la dforme!

    "#!

    #!

    $!

    %!

    &!

    !wz(x) = dforme de la barre "!

    #!

    barre

    $!

    wzQ

    On cherche calculer les dplacements verticaux (suivant laxe local de la barre z) en chaque point de la barre sous laction du chargement extrieur. Lensemble de ces points dfinissent alors un trac (fonction mathmatique) que lon nommera dforme et que lon notera wz(x).

    lundi 14 septembre 2009

  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    Dforme

    Approchesnergtiques

    TFu

    Dfinition de la dforme

    25

    fd

    fg

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  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    Dforme

    Approchesnergtiques

    TFu

    Thorme de la force unitaireou thorme de Bertrand de Fonviolant

    On cherche calculer le dplacement Q, dans une direction donne dun point Q quelconque de la structure, rsultant du chargement extrieur Fi.

    Supposons quil existe sur cette structure une force virtuelle unitaire FQ=1 applique au niveau du point Q suivant la direction du dplacement Q recherch.

    26

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  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    Dforme

    Approchesnergtiques

    TFu

    Thorme de la force unitaireou thorme de Bertrand de Fonviolant

    Remarques :

    Un dplacement peut constituer une translation ou une rotation :

    - Lorsque le dplacement recherch est une translation, alors la charge virtuelle unitaire applique sur la structure, lendroit o le dplacement est recherch et dans la direction du dplacement recherch, est une force unitaire.

    - Lorsque le dplacement recherch est une rotation, alors la charge virtuelle unitaire applique sur la structure, lendroit o le dplacement est recherch et dans la direction du dplacement recherch, est un couple unitaire.

    27

    lundi 14 septembre 2009

  • Modlisationdes

    structures

    Modlisationdes

    efforts internes

    Calculdes

    Dplacements

    Dforme

    Approchesnergtiques

    TFu

    Thorme de la force unitaireou thorme de Bertrand de Fonviolant

    Remarques :

    Les intgrales sont appeles intgrales de Mohr. Dans ces intgrales les fonctions Nx(x), My(x) et Vz(x) sont des fonctions quelconques, en revanche les fonctions Nux(x), Muy(x) et Vuz(x) tant tablies sous lapplication du charge unitaire sont ncessairement des fonctions linaires.

    Dans la majorit des structures flchies, leffet de M est prpondrant devant celui de N et V pour le calcul des dplacements.

    28

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