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Initiation la rhologie
Sbastien PONCET
([email protected])
Module de mcanique des fluides Semestre 4
Groupe MECAFLU-GTE-2A sur lENT
IUT Gnie Thermique et Energie Marseille
Anne 2012-2013
Applications des fluides non newtoniens
L. Gaume & Y. Forterre, PLoS ONE 2 (11), 2007
Filament de fluide viscolastique
- Industrie alimentaire: qualit des aliments (texture), cots de
production
- Gophysique: volcans, avalanches, coules de boue
- Biologie: sang, sve, liquide viscolastique dans les plantes
carnivores
-
Le sangLe sang est un fluide non newtonien dit rhofluidifiant
(sa viscosit apparente diminue
lorsque le taux de cisaillement augmente).Le taux de
cisaillement augmente avec la vitesse de lcoulement. Pour des
faibles taux de
cisaillement, les cellules sanguines sont orientes au hasard.
Quand la vitesse de lcoulement augmente, donc le taux de
cisaillement aussi, les hmaties sorientent dans le sens de
lcoulement, paralllement les unes par rapport aux autres.
Lcoulement est alors facilit et la viscosit du sang diminue.
Plaquettes
Globules rouges
Globulesblancs
Les cellules et notamment leur nombre (hmatocrite) influencent
largement lcoulement du plasma et donc sa viscosit.
Il y a des risques cardio-vasculaires trs importants.
Aucune influence de la temprature (24-37C).
-
Daprs I.L. Kliakhandler, Phys. Fluids 15 (9), 2003
Ascension dune bulle dair dans des fluides non newtoniens
Comportements non newtoniens
Dtente lastique, mmoire du fluide
Comportements non newtoniensSiphon ouvert ralis avec une
solution aqueuse de 0.75% de polyox WSR 301. Dveloppement du
siphon partir du versement initial hors du bcher.
D.V. Boger & K. Walters, Rheologicalphenomena in focus,
Elsevier, 1993
Jet haut nombre de Reynolds
EAUSolution aqueuse de 200 ppm doxyde de polythylne
-
Bible, livre des Juges Chap.5, vers 5, chant de la prophtesse
Dborah aprs la victoire de Baraqsur Sisera le Philistin:
the mountains flowed (or melted) before the Lord (Sina)
(Yahv)
Tout nest quune question dchelle de temps caractristique !
-500 avant J.C.: Hraclite: panta rhei tout scoule.
1929: Bingham (chimiste): naissance de la rhologie (du grec rhe
couler et logia thorie)- discipline ne de lincapacit des thories
classiques de la mcanique des fluides et
des solides au XIXe sicle prdire le comportement de nombreux
matriaux (verre, bois, )- tude de la dformation et des
coulements
- science des mouvements de la matire en rponse une
sollicitation.
- Exemples: la mousse raser ou la peinture peuvent staler mais
ne coulent pas.
Les montres molles, Salvador Dali
Nombre de Dborah:
obst
tDe =Temps dobservation entre 10-2 et 103 secondes
Temps de relaxation du fluide suite une dformation
propritintrinsque de la matire.
Eau: t 10-12 s De > 1
Pour les ouvrages dart (ponts, tunnels), le temps dobservation
est la dure de mise en service. Il est comparer au temps de
relaxation du bton.
rhologie
NOMBRE DE DEBORAH(daprs Prof. M. Reiner, Physics Today,
1964)
A lchelle humaine:
Temps de relaxation >> temps dobservation solide
Temps de relaxation
-
Forces surfaciques courtes portes dont lorigine est dans les
interactions molculaires qui assurent la cohsion du liquide
(pression, forces visqueuses). Sur un lment de surface dS, de
normale unit n, cette force de surface scrit:
dSnFd
.=
Le tenseur des contraintes est not . Il est symtrique. Les
termes diagonaux sont les contraintes normales et les autres sont
les contraintes tangentielles.
Dans un fluide en mouvement, il se dcompose en 2 parties:
ijijij p += dviateur (partie anisotrope)contrainte de
viscosit
pression (partie isotrope)
CONTRAINTE
xx
coulement
yy
zz
xy
=
==
=
zzzyzx
zyyzyyyx
zxxzyxxyxx
ij
+
+
+
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ijp
pp
Cisaillement pur Ecoulement de Couette plan
yy
xx
zz
xy
hU
dydu
yxxy ==
CONTRAINTE (2)
PAROI MOBILE
PAROI FIXE
-
Sous laction des contraintes, un matriau va se dformer.
Cisaillement pur
linstant t t+dt
Vitesse du fluide parallle laxe des x)z,y,x(M0 )z,y,x(M '0
+)z,dyy,x(M + )z,dyy,dy)dy/d(x(M ' +++
On appelle dformation, la variation du dplacement lorsquon passe
dune couche une couche infiniment voisine:
tan
dyd
==
dtdu
dtd
dyd
dyd
dtd
dtd
====
Ici, la vitesse de dformation et le taux de cisaillement sont
gaux.
Le taux de cisaillement dans le cas gnral en 2D sexprime
par:
i
j
j
iij
x
v
x
ve
+
=
DEFORMATION
h
UP
paroi fixe
paroi mobile
Ecoulement de Couette plan
vitesse du fluide
effort tangentiel Il faut exercer un effort tangentiel pour
maintenir la paroi en mouvement et une vitesse constante UP.
Lintensit P de la densit surfacique deffort associe est
proportionnelle lintensit du taux de cisaillement :
hU P
P = === dydV
AF x
yx
Exprimentalement, on fixe le plus souvent UP (ie ) et on mesure
P. On en dduit le coefficient de proportionnalit . Cest une proprit
matrielle du fluide, que lon appelle viscosit dynamique. Elle
sexprime en Pa.s dans le systme SI. Les autres units que lon
rencontre sont le Poiseuille (Pl) et le Centipoise (Cpo) avec la
correspondance suivante:
1 Pa.s = 1 kg/m/s = 1 Pl = 1000 Cpo
y
x
Surface A
F
VISCOSITE DYNAMIQUE
-
Quelques valeurs typiques
Valeurs caractristiques de viscosits dynamiques et cinmatiques
obtenues 20C et 1 bar.
Rappel: =/
Influence de la temprature
La viscosit des liquides diminuent lorsque la temprature
augmente.
Pour les gaz, la viscosit provient des collisions entre les
molcules et donc elle augmente quand la temprature augmente
(condition que le gaz soit pression constante).
Temprature (C)
Vis
cosi
tdyn
amiq
ue (
Pa.s
)
eau > 50 air mais air 20 eau
-
Un fluide newtonien est dfini comme un fluide satisfaisant une
relation linaire entre sa contrainte et son taux de
cisaillement.
== ijijcontrainte
taux de cisaillement
viscosit dynamique
Loi de Newton vraie pour lair, leau, le ptrole, lalcool, les
gaz, le glycrol, le miel
Filet de miel, daprs F. Frankel
m2/sStokes (cm2/s)
Pa.sPoise (0.1 Pa.s)
s-1s-1du/dy
Pag.cm-1s-2
Les coulements de fluide newtonien sont rversibles !
Allongement (gravit)
Compression sur la table
+ forces visqueuses
dydu
=Ex. pour un coulement 1D de type Couette plan:
LOI DE NEWTON
Equationsquations de conservation:
- conservation de la masse = quation de continuit
- conservation de la quantit de mouvement (Navier-Stokes dans le
cas newtonien)
avec f forces volumiques longues portes (gravit, forces
lectriques, magntiques).Relations constitutives qui dpendent des
proprits et de la nature du matriau:
Hypothses :coulement isothermecoulement stationnaire et inertie
ngligeablecoulement homogne, pas de glissement
0Vdiv =
fdivVdagrVt
VDt
VD
+=
+
= ).( quation de Cauchy
Matriau incompressible
)( ijij f = ij tenseur taux de dformation
-
Fluides non newtoniens Exemples de fluides complexes ou non
newtoniens: ketchup, moutarde, mayonnaise, harissa, eau + mazena,
sang, polymres, peinture, neige, boue, crme
Cela est d la prsence dans le fluide de structures de grande
taille par rapport lchelle atomique (ex: gouttelettes dans des
mulsions, particules dans des suspensions) Effets visqueux non
linaires ou forts effets de mmoire Pour les fluides non newtoniens,
on peut dfinir de la mme faon une relation de la forme:
app=viscosit apparente
Par contre, la viscosit apparente du fluide nest ici pas
constante contrairement au cas dun fluide newtonien. La viscosit
apparente du fluide dpend du taux de cisaillement !
n1napp KK ==
quation constitutive du fluide dite de type loi de puissance ou
dOstwald de Waehle
ijappij =
K indice de consistance (Pa.sn)n indice dcoulement ou de
comportement
Relations entre contrainte et taux de cisaillement pour
diffrents fluides
contrainte
taux de cisaillement
n
appn
app dyduKK
===
1
Loi de puissance ou dOstwald de Waehle :loi valide pour une
certaine gamme de taux de cisaillement !
pas raliste pour du/dy0 ou
ou rhofluidifiant,
ou rhopaississant,
ou plastique(shear stress)
(shear strain rate)
(shear strength)
(viscoplastic shear-thickening)
(viscoplastic shear-thinning)
(linear newtonian)
-
Exemples de rhogramme pour quelques produits alimentaires
contrainte
Taux de cisaillement
Daprs A. Hamza-Chaffai, Sciences des Aliments, 11, 1991.
Rsultats dpendant du
mode opratoire (types de rhomtres), de la temprature
0: contrainte seuil
n: Indice dcoulementK: Indice de consistance
Zone linaire
restreinte
(comportement newtonien)
Modle dEllis pour prendre en compte la zone linaire pour 0 (mme
chose pour avec le modle de Sisko)
Catalogue de lois de comportement app=En gnral:
]+1
)+1log(+1)(+[=
]+1+1[=
]+1+1[=
])(+)(+1[=
])+1(
+[=
])(+1
+[=
K+=
_
0
0
0
n
n
n
_
0
n
_
0
n0
Sisko
Cross
Williams
Quemada
Stoltz-Ravey
Olroyd (1950)
Yeleswarapu
SANG
12/1
0
)/(1 +=
yx
Ellis
-
Fluides pseudoplastiques ou rhofluidifiants (n1):La viscosit
apparente augmente lorsque le gradient de vitesse augmente.
Exemples: suspensions fortement concentres dans lesquelles la
phase liquide noccupe pratiquement que les interstices entre
particules solides, comme les solutions collodales dargile dans
leau, sable mouill, suspensions concentres damidon.
Remarque: il ny a jamais de seuil. On utilise la loi de
puissance pour les reprsenter.
1napp K
= loi de Carreau: ( ) a1naa
0
app )dy/du(1
+=
temps caractristique
loi de puissance:
loi de Shandraw: )bexp(00 +=
0
Rhogramme
Exemple du coulis de glace (antigel+eau+glace)
Mellari et al., 2012
Kasza & Hayashi,2001
Canmet
Comportement rhofluidifiant pour des hautes valeurs de
concentrations en glace
Comportement rhopaississant pour des faibles valeurs de
concentrations en glace
-
Fluides seuil ou fluides (visco)plastiquesFluide seuil sur un
plan inclin
Daprs Coussot et al., PRL 88, 2002
n
0
0
0
dyduA
dydu
dydu
+=
+=
+=
Loi de Bingham
Loi de Casson
Loi de Herschel-Bulkley
Remarques: paramtres dpendant de la temprature T:
exp(A/(RT))fluides seuil souvent thixotropes: =f(t,du/dy)
Exemples:
suspensions de solides dans un liquide, solutions de
polymres
Crmes et mulsions, ptes dentifrices, ciment frais, concentrs de
tomate.
peintures
Argiles, sang
peintures
+=
dydu
0app
Fluides seuil et rhofluidifiants
viscosit plastique
Eugene Bingham(1878- 1945)
Il existe une contrainte seuil au-dessous de laquelle il ny a
pas dcoulement.
Exemple: le dentifrice. Il ne peut sortir du tube sous laction
de son propre poids, il faut appuyer sur le tube pour franchir le
seuil de contrainte .
Fluides seuil de type Bingham
Dbit
QV
Contrainte de cisaillement
Liquide plastique
de Bingham
Contrainte seuil
Liquide Newtonien
taux de cisaillement
n
yV
Liquide de
Bingham
Liquide Newtonien
Con
trai
nte
seui
lC
ontr
aint
e d
e
cisa
ille
ment
-
Exercice : Lcoulement dune peinture le long dun mur
vertical.
Hypothses: 1. peinture = fluide seuil de type Bingham,2.
coulement 2D stationnaire,3. couche de peinture de mme paisseur
quelque soit x.
Question: Dterminer lpaisseur maximale de peinture partir
de laquelle on observera un coulement de peinture le long du mur
vertical.
=
=
++
=
)(0
10
xCtePyP
yg
x
P xy
or dP/dx=0 linterface donc dP/dx=0 partout.
yg xy
+=
10
+ conditions aux limites:
0=)(u0=)0=y(yx
Exercice : Lcoulement dune peinture le long dun mur
vertical.
g
g
0
max
0max
=
=
Une couche de peinture plus paisse que max induit un coulement
de peinture dans la direction x le long du mur.
Lpaisseur maximale atteinte max est obtenue pour =0 et du/dy=0.
On a ainsi:
0
00
00
=
>+=
dydu
dydugy
On considre alors un fluide seuil de type Bingham, pour lequel
on a:
On obtient alors par intgration:
gy= _yx
-
Thixotropie (1)
D.V. Boger & K. Walters, Rheological phenomena in focus,
Elsevier, 1993
Au repos Aprs agitation
Les fluides thixotropes ont une viscosit qui diminue avec le
temps quand on leur applique une contrainte constante. Aprs
suppression de cette contrainte, on ne retrouve la viscositinitiale
quaprs un certain temps plus ou moins long. Cest un phnomne
rversible. Tous les fluides sont plus ou moins thixotropes.
Ex.: moutarde, ketchup, yahourt, peintures, boues de forage, pte
de gypse, certains polymres.
Le caractre thixotrope de certaines peintures est exploite en
ajustant le temps de restructuration en fonction des besoins. Ces
peintures ne doivent pas couler au repos avant schage mais on doit
pouvoir les taler facilement. Cette proprit est obtenue en ajoutant
de fines particules dargile le plus souvent. Au repos, cela forme
des agrgats et cela permet dajuster la cintique de
re-/destructuration.
Dstructuration
Thixotropie (2)Linverse de la thixotropie est la rhopexie. Ces
fluides ont une viscosit qui augmente avec le temps quand on leur
applique une contrainte constante. Aprs suppression de cette
contrainte, on ne retrouve la viscosit initiale quaprs un certain
temps plus ou moins long.
TtDe =
Temps de rarrangement de la structure interne du fluide.
Temps de variation de la contrainte.
Si De > 1, il y a volution des proprits rhologiques du fluide
hystrsis, cycle limite.
Boucle dhystrsis (effet mmoire)
structurelequilibre
tce
/0 ++=Modle thixotrope de Cheng:
contrainte lquilibre
prend en compte la thixotropie
dchargecharge
-
Thixotropie (3): le cas du ketchup
= viscosit
Mesure du temps de chute dun poids donn dans du ketchup = mesure
de la viscosit du ketchup.
Influence de la temprature.
Au repos, le ketchup est pais et ne veut jamais rejoindre
lassiette. Lorsquon lagite fortement, il devient fluide et scoule.
Ce caractre thixotrope peut tre mis en vidence en chauffant le
ketchup.
Thixotropie (4): le mucus bronchiqueLe mucus respiratoire peut
tre considr comme un gel capable la fois de
s'couler comme les liquides (viscosit) et de se dformer comme
les solides (lasticit).
Le transport du mucus par le tapis mucocillaire dpend notamment
de ces proprits de visco-elasticit. Dans la mucoviscidose, la
viscosit est trop leve.
Mais ce mucus est thixotrope, c'est dire que sa viscosit peut
changer. In vitro lorsqu'on fait subir des oscillations de frquence
adapte (10 15 Hz) du mucus prlev chez des patients atteints de
pathologies respiratoires chroniques, sa viscosit diminue pour se
rapprocher de la viscosit du mucus des individus sains jusqu 50% de
mucus expectori en plus.
air
liquidesolide
mucus
Appareil daide lexpectoration:
- Frquence optimale ?
- Forme du signal ?
- Universalit des paramtres ?
- Temps et rptition des sances ?
- Caractrisation rhologique du mucus ?
-
ViscolasticitLes solides lastiques: les liens intermolcules se
tendent mais ne se rompent pas. Dcrit par le modle de
Kelvin-Voigt.
Les fluides viscolastiques: comportement (instantan) lastique +
comportement visqueux (au temps long).Limportance du caractre
solide pour ces fluides dpend de la faon dont est applique la
sollicitation . Si la contrainte est brutale, il se comporte comme
un solide et si la contrainte est rgulire comme un fluide.
Exemple le silli-putti (lastomre base de silicone): pos sur une
table, il stale. En forme de boule, si on le jette, il rebondit. Si
on le frappe avec un marteau, il se brise comme du verre ( la
temprature ambiante).Applications: emballages, textiles, pneus tous
les polymres (appels plastiques).Modle ou corps de Maxwell:
=
=
dyduA
dtd
dydu
dydu
dtd
A =+
+=
dyduA
dtd
1app
Taux de variation de
la contrainte petit
Variations rapides de
la contrainte de cisaill.
ViscolasticitGonflement retard lextrusion pour une solution
aqueuse de 5% de polyacrylamide lorsque Re augmente. Daprs D.V.
Boger & K. Walters, Rheological phenomena in focus, Elsevier,
1993
viscolastique visqueux
Un jet laminaire issu dun orifice se contracte sous leffet de
lacclration due la pesanteur. Un fluide viscolastique prsente un
ralentissement et un largissement du jet dus aux contraintes
orthogonales et aux contraintes de cisaillement.
Newtonien Viscolastique
coulement de disques tournants avec le disque suprieur perc
Inversion du sens de lcoulement
-
Newtonien
Viscolastique
rcupration
Viscolasticit
coulement dans un tube sous une diffrence de pression P1-P2
Il stablit un profil de vitesse parabolique lorsque les forces
de viscosit prdominent. En rgime permanent, si les viscosits dun
fluide newtonien et dun fluide viscolastique sont les mmes, les
profils de vitesse sont identiques pour un mme dbit.
Le profil de vitesse peut tre traduit visuellement en colorant
le fluide un instant donn. Le colorant se propage dans le tube avec
un front parabolique, ce qui retrace le profil de vitesse. Si on
stoppe le dbit, ce front de couleur se conserve pour un fluide
newtonien alors quil se rtracte pour un fluide viscolastique suite
la rcupration lastique. Cela peut poser des problmes pour des
coulements transitoires (vannes,).
Autres exemples: la pte pain, des fibres textiles artificielles,
les geles, certaines mousses
Approches exprimentales
MESURES GLOBALES
Mesure de dbit travers un tube sous une pression donne
Mesure de vitesse de la chute dune bille dans un fluide
(Viscosimtre de Haake)Mesure du temps de vidage dun certain volume
de fluide travers un entonnoir
Bonnes approches pour des fluides newtoniens ! 2 problmes pour
des fluides non newtoniens :
1. Le taux de cisaillement dans ces dispositifs est parfois
difficile calculer.
2. Le taux de cisaillement nest pas constant.
Do le besoin dutiliser des gomtries o le taux de cisaillement
est connu et quasi constant dans le volume de mesure.
MESURES 2D ou 3D rsolues en tempsMthodes optiques: visualisation
directe, suivi optique de particules, microscopie
Imagerie par rsonances magntique, vlocimtrie ultrasonore
Mthodes coteuses en temps et en argent et pas ncessaires pour
des industriels (agroalimentaire, traitements des eaux)
-
Deux grandes familles dinstruments pour la rhologie
Daprs J.F. Steffe, Rheological methods in food process
engineering, Freeman Press, 1996.
rhomtre de Taylor-Couette
rhomtre cne-plan
Ostwald
Ubbelohde
Cannon-Fenske
Rhomtre de CouetteCylindre intrieur tournant
Cylindre extrieur fixe
fluideR1
R2
-R1 et R2 1 quelques centimtres et entrefer R2-R1 quelques
millimtres
cisaillement constant si R2-R1
-
Dispositif de Taylor-Couette2 cylindres coaxiaux de rayons R1 et
R2, le cylindre intrieur tournant et le cylindre extrieur tant
fixe.
Vitesse (U,V,W), coordonnes cylindriques (r, , z)Hypothses:
aucun gradient de pression extrieur
faibles vitesses de rotation
coulement stationnaire, axisymtrique, invariant en z (fort
rapport l/R1)
Pas de vitesse axiale W=0 et vitesse tangentielle V indpendante
de
Vitesse radiale nulle U=0
Do V = a r + b / r avec V=0 en R2 et V= R1 en R1
= rRr
RRRR
V 2122
21
21
22
2
21 )R/R(12
r
Vr
V
=
=
pi
21
22
22
21
1r RRR2
Rl2M)R(
===
pi 21
22
22
21
1 RRRR4)R(M
=
contrainte sur le cylindre intrieur
pi M
Rl2RR
31
12 =et
Rhomtre cne-plan
Avantages: ncessite peu de liquide, facile dutilisation,taux de
cisaillement constant sauf prs de la pointe tronque,
accs de fortes valeurs de
Cylindre en rotation
(ou fixe)
pi
pi
MR2
3
R2M3
3
3
=
=
=
taux de cisaillement
contrainte
M est le moment du couple exerc sur le cylindre
est la vitesse angulaire de la partie tournante
Inconvnients: apparition dinstabilits hydrodynamiques forts taux
de rotation,prsence dune surface libre sur le ct (mnisque) qui
favorise lvaporation,dispositif moins sensible et limit aux fluides
aux viscosits leves,positionnement difficile du cne.
viscosit dynamique1 mm
R20 mm
Plan infrieur fixe
(ou en rotation)
4
-
Limite de la rhologie: Instabilits de type
Taylor-CouetteInstabilit primaire en rouleaux ; rouleaux
sinusoidaux.
Instabilit hydrodynamique pilote par la force centrifuge.
Instabilit inertielle: Re= R1 (R2-R1) / >>1.Nombre de
Taylor critique pour lapparition de linstabilitprimaire: Tac=2
(R2-R1) Re / R1=1712.
Instabilits hydrodynamiques dans de leau daprs Burkhalter et
Koschmieder.
Instabilits lastiques dans un fluide de Boger daprs S.J. Muller,
Korean-Australia Rheology J. 20 (3), 2008.
Limite de la rhologie: lEffet WeissenbergCet effet se manifeste
dans les fluides complexes et consiste en une remonte de fluide le
long dune tige en rotation (Ex.: blanc duf remontant le long du
batteur, ptes pain).Instabilit lastique pilote par les forces
normales:
nombre de Reynolds petit: Re > effets inertiels)nombre de
Weissenberg: Wi = t > 1 (t temps de relaxation et = R1/(R2-R1)
le taux de
cisaillement)instabilit pour (R2-R1) Wi / R1 > 35 (Pakdel
& McKinley, PRL 77, 1996).
Ascension dune solution de polyisobutylne le long dun barreau
tournant.Daprs J. Bico, R. Welsh et G. McKinley, Non-NewtonianFLuid
Dynamics Research Group, MIT
Mooney-Couette
Fluide newtonien (eau)
- Autres limites de la rhologie coulements inhomognes Re
-
Application : Ecoulements laminaires en conduite cylindrique de
section circulaire
=P
dRQP
pi
0
23
3
)(Formule de Rabinovitch-Mooney:
loi de comportement
Pour un fluide newtonien: =
LPRRRdRQ P
P
P === 244
33
0
33
3
pi
pi
pi
LPD
LPRQ ==
pi
pi
1288
44Loi de Poiseuille
==
=
=
==
pi
mm
Pf
mP
m
RVVC
DV
LPR
LPR
RQV
8
21)8(
2
8
2
2
2
DfC Re
16=
coefficient de frottement
dbit volumique
drdV
LPr ==
2])(1[2])(1[
4)( 222
RrV
RrR
LP
rV m =
=
profil parabolique de vitesse
Loi dOhm
Application : Rhomtre capillaire
Q2R
L>>R
3)8(
41
RQ
DVm
pi=
)8(4
4/DVm
P
=
1/
-
Application : Ecoulements en conduite cylindrique de section
circulaire
Pour des fluides rhofluidifiants / rhopaississants:n
n
K
K
/1)(
=
=
+
=
=
PP
dKRd
KRQ n
n
n
P
n
P
pi
pi
0
12
/13
3
0
/12
3
3
n
LKPRR
n
nQ/1
3
213
+
= pi dbit volumique
loi de puissance
( )n
Pn
n
PP
n KR
n
n
n
n
KRQ
/13
13
3/1
3
1313
+=
+=
+
pi
pi
n1 (rhopaississant) P/L crot plus vite que Q. n=1 (newtonien) on
retrouve la loi de Poiseuille.
==
=
+
==
n
m
n
mm
Pf
P
n
m
VVLPR
VC
LPR
LKPRR
n
n
RQV
22
/1
2
21
2
21
2
213
pin
m
nn
n
f
VKD
n
nC
+
=
21
1348
16
n
m
nn
nmn
m
K
n
m
P
n
m
n
P
VKD
n
nDV
DV
n
nK
DV
DV
n
nKLPD
+==
+=
=
+=
=
211
'
)(13
48'
Re'84
138
'
84
134
Application : Ecoulements en conduite cylindrique de section
circulaire
Nombre de Reynolds pour un fluide ostwaldien
=
=
n
drdVK
LPr
2
+
+=
+
n
n
m RrV
n
nrV
1
1113)(
n (dilatance infinie)
n=0 (pseudoplasticitinfinie)
n=1/3n=1
n=3
-
Pour des fluides seuil de type Bingham:
Application : Ecoulements en conduite cylindrique de section
circulaire
00
=+=
0 0
23 33 20
03 3( ) ( )
P P
Pp P p
R RQ d d
pi pi
= =
+
=
400
3
31
341
4 PPP
RQ
pi
Formule de Rabinovitch-Mooney:
LPD
P
=
4
coulement bouchon V constante pour
