NOTIONS DE RHEOLOGIENOTIONS DE RHEOLOGIELa géologie introduit dans nos classes des notions physiques complexes nécessitant une approche intuitive pour être abordées par des élèves de collège et de lycée.

La ductilité des roches, les déformation élastiques, plastiques, le seuil de rupture et les contraintes relèvent d’un vocabulaire scientifique indispensable afin d’appréhender convenablement les mécanismes de la tectonique tels que les failles ou les plissements.

Nous allons préciser quelques unes des notions scientifiques sous-jacentes à l’acquisition de ces déformations géologiques.

La rhéologie vient du grec RHEO : couler et LOGOS: étude. Littéralement, la science de l’écoulement, c’est une branche de la physique qui étudie la déformation d’un corps soumis à des contraintes.

Alban Caillette

sommairesommaire

1. LES DIFFERENTS TYPES DE DEFORMATIONS1. 1. les déformations élastiques1. 2. les déformations plastiques1. 3. les déformations cassantes

2. LE COMPORTEMENT DES ROCHES2. 1. les roches cassantes ou compétentes2. 2. les roches ductiles2. 3. les paramètres de modification du comportement

2. 3. 1. la pression2. 3. 2. la température2. 3. 3. la vitesse de déformation

3. LES ENVELOPPES RHEOLOGIQUES DE LA TERRE3. 1. délimitation des domaines de compétences3. 2. loi de Byerlee3. 3. loi de fluage

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RHEOLOGIERHEOLOGIE1. LES DIFFERENTES DEFORMATIONS

Il existe trois principaux types de déformations : 

‐La déformation élastique est une déformation réversible des matériaux

‐La déformation plastique et le fluage sont des déformations irréversible des matériaux

‐La rupture est la formation d’un plan de fracture permanent dans le matériau

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RHEOLOGIERHEOLOGIE1. 1. LA DEFORMATION ELASTIQUE

La déformation élastique se caractérise par une modification de la position des atomes du matériau auquel on applique une force. Lorsque cette force cesse, les atomes retrouvent leur position d’origine : la déformation est réversible.

Selon le graphique, c’est une déformation proportionnelle aux contraintes appliquées (portion linéaire de la courbe).

Un modèle simple d’étude de déformation plastique est celui du ressort : une force F appliquée au ressort modifie sa longueur  ∆L. La relation entre F et ∆L est proportionnelle : 

F=k. ∆L   ou encore   F=k.(l1‐l0)

Où k est la constante de raideur du ressort

Quelle relation entre F et la contrainte ?Quelle relation entre ∆L et la déformation?

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Si l’on généralise à un solide dont la forme diffère de celle du ressort  alors on divise la force par la surface du matériau oùelle s’applique : on travaille donc avec une contrainte (en pa) : 

σ=F/SLa déformation  appelée allongement relatif ε est une grandeur sans dimension égale à l’allongement divisé par la longueur initiale l0: 

ε= (l1‐l0)/ l0

La loi de Hooke définit le comportement du solide soumis à une contrainte et qui se déforme de façon élastique : « ut tensio sic vis » : la déformation est proportionnelle à la contrainte. 

σ=E. ε Loi d’élasticité de Hooke

Où E est le module de young, caractéristique du matériau.

On retrouve ainsi une relation linéaire, valable pour une déformation élastique de faible amplitude (CF graphe)Quelle signification au module de Young?

RHEOLOGIERHEOLOGIE1. 1. LA DEFORMATION ELASTIQUE

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RHEOLOGIERHEOLOGIE

Le module de Young : Thomas Young était un physicien britannique qui avait remarqué la relation de proportionnalité entre contrainte et déformation.Le module de Young appelé encore module d’élasticité est exprimé en pression (pa)σ=E. ε donc       E= σ /εOr ε est sans dimension et σ est une contrainte (donc une pression)

E correspond à la contrainte nécessaire afin d’obtenir un allongement relatif maximal =100%=1. Dans ce cas :   E= σ

Quelle valeurs du module de Young ?

1. 1. LA DEFORMATION ELASTIQUE

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RHEOLOGIERHEOLOGIELe module de Young : quelques exemples

Elémént Valeur du module de

Young (Mpa)

Fer 196 000

Or 78 000

Tungstène 406 000

Plomb 18 000

Tableau 1 : métaux purs

Tableau 2 : alliages

Alliage Valeur du module de Young (Mpa)

Acier 210 000

Bronze 124 000 Tableau 3 : Minéraux et roches

Minéral Valeur du module de

Young (Mpa)

Calcaire 20 000 à 70 000

Diamant 1 000 000

Granite 60 000

Marbre 26 000

Silice 107 000

Saphir 420 000

Tableau 4 : divers

Divers Valeur du module de Young (Mpa)

Brique 14 000

séquoia 9500

cartilage 24

Soie d’araignée 60 000

cheveu 10 000

RHEOLOGIEQuelle signification donner au module de Young ?

Le module de Young est une pression en Mpa : 1 méga‐pascal = 106 pa 

Or 1pa= 10‐5 bars donc1 méga‐pascal = 106.10‐5 bars = 10 bars

Or 1 bar correspond à 1kg/cm2

Donc 1Mpa=10kg/cm2

Reprenons quelques exemples du module de Young : Rappel : le module de Young est la contrainte théorique à appliquer afin d’obtenir un allongement de 100% (donc de doubler la longueur initiale)

‐Acier : 2 100 000 bars soient 2 100 tonnes/cm2

‐Granite : 600 000 bars soient 600 tonnes/cm2

‐Silice : 1 070 000 bars soient 1 070 tonnes/cm2

‐Diamant : 10 000 000 bars soient  10 000 tonnes/cm2

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RHEOLOGIE1. 2. LA DEFORMATION PLASTIQUE

La déformation plastique se caractérise par une modification de la position des atomes du matériau auquel on applique une force. Lorsque cette force cesse, les atomes ne retrouvent pas leur position d’origine : la déformation est irréversible.

La déformation plastique accompagne la déformation élastique. Elle se manifeste lorsque la contrainte atteint un seuil de plasticité.Alors la relation entre la contrainte appliquée et la déformation n’est plus linéaire.Ainsi, en reprenant le modèle du ressort, celui-ci va se déformer de façon plastique si on lui applique une force qui dépasse sa capacité de déformation élastique.

Seuil de plasticité

Lorsqu’on relâche la contrainte, la déformation persisteα

Dans ce cas, tan(α) = σ/ε= E (module de Young)

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RHEOLOGIE1. 4. LA RUPTURE: DEFORMATION CASSANTE

Une contrainte maximale peut aboutir à une rupture du matériau : c’est la contrainte seuil.Cette contrainte est très faible par rapport au module de Young : Ex du verre : module de Young : 70 000 MPa (100% de déformation) et contrainte seuil : 3 600 Mpa ce qui correspond à seulement 5% de déformation.

Alan Arnold Griffith a l’idée de supposer l’existence de microfractures qui fragilisent le matériau.« Lorsqu'une contrainte est appliquée sur le matériau, il se déforme et stocke de l'énergie élastique. Une fracture existante, si elle s'ouvre davantage, soulage davantage le matériau sous tension et libère ainsi de l'énergie pour faire avancer le front d'ouverture. Au-delà d'une certaine contrainte, l'énergie ainsi libérée est suffisante, et la fracture commence à s'ouvrir davantage. Après quoi, son ouverture se poursuit de manière catastrophique, jusqu'à la rupture macroscopique du matériau. »

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RHEOLOGIE1. 4. LA RUPTURE: DEFORMATION CASSANTE

Calcul de la contrainte de rupture :Il faut raisonner en terme d’énergie.Reprenons l’exemple du ressort : Ee : énergie élastiqueEe=1/2.k. ∆L2

En géologie : Le travail exercé par la contrainte correspond à :We=1/2.σ.ε en joules/m3

Or d’après la loi de Hooke : σ=E. ε donc :WE=1/2.σ2/E en joules/m3

Une contrainte σ appliquée à une roche engendre une déformation ε= σ/E où E est le module de Young.Cette roche déformée s’allonge et stocke une énergie élastique par unitéde volume égale à ½. σ2/E

Roche soumise à des contraintes distensives

La roche se déforme et s ’allonge de σ/E Elle accumule une énergie : 1/2.σ2/E par unité de volume

σ1σ1

σ1σ1

L

L+ σ/E Alban Caillette

RHEOLOGIE1. 4. LA RUPTURE: DEFORMATION CASSANTE

Considérons alors comme Griffith, l’ existence d’une microfracture dans l’édifice cristallin : elle correspond à un volume a3 où la contrainte ne s’applique plus : donc à un volume où de l’énergie élastique est soulagée (« perdue »). Cette énergie est donc égale à : - 1/2.σ2/E .a3

Fracture dans un volume a3 qui soulage l’édifice d’une énergie : -1/2.σ2/E .a3

Par contre, la formation d’une fracture de section a2consomme une énergie W par unité de surface soit Wa2

volume a3

a

Surface a2

Energie potentielle stockée dans le matériau = énergie consommée-énergie soulagée: = travail des forces- énergie élastique stockée = Wa2 - 1/2.σ2/E .a3

=Epotentielle Alban Caillette

RHEOLOGIE1. 4. LA RUPTURE: DEFORMATION CASSANTE

Cette relation est du type : F(a)=k1*a2-k2*a3

Ci-dessous, une courbe représentative de cette fonction (les constantes k1 et k2 sont prises arbitrairement).

a : longueur de la fracture

Energie potentielle

Ebilan = Wa2 - 1/2.σ2/E .a3

= travail des forces - énergie élastique stockée

-Dans la partie croissante de la courbe : F’(a)>0 : la variation du travail des forces est supérieure à la variation d’énergie élastique : pas de création de fissure : l’énergie potentielle du matériau augmente.

-Au sommet de la courbe : F’(a)=0 : l’énergie atteint une valeur critique correspondant à une longueur de fissure « a » critique donc une contrainte seuil.

-La partie décroissante de la courbe : F’(a)<0 : au-delàde la longueur de fissure critique, l’énergie diminue donc la variation d’énergie élastique soulagée est supérieure àla variation du travail des forces : l’énergie potentielle du matériau diminue par élargissement de la fissure (donc augmentation de a).

RHEOLOGIE1. 4. LA RUPTURE: DEFORMATION CASSANTE

Calcul de la longueur critique :

Ebilan = Wa2 - 1/2.σ2/E .a3 qui équivaut àF(a)=k1*a2-k2*a3

Avec k1=W et k2=1/2.σ2/E

Donc sa fonction dérivée : F’(a)=2k1*a-3k2a2

F’(a)=0 lorsque a=0 ou bien a=2k1/3k2 donc a=2W/(3/2. σ2/E)

Donc a critique=4WE/3σ2

Donc σcritique=√(4WE/3a)

a critique

RHEOLOGIE1. 4. LA RUPTURE: DEFORMATION CASSANTE

Le cercle de Mohr : un critère de rupture

Considérons les contraintes σ1, σ2, σ3 exercées en un point P à l’intérieur d’un matériau.Si l’on coupe ce matériau selon une surface passant par σ2, on met alors en évidence une surface élémentaire ds sur laquelle s’applique une contrainte C.

Cette contrainte est constituée d’une composante tangentielle à ds: la contrainte de cisaillement Ƭ et d’une composante perpendiculaire à ds : la contrainte normale σnRQ: ds est dans un plan qui contient σ2.

(Ƭ)Composante tangentielle de la contrainte C à ds

(σn) composante normale de la contrainte C àds

σ1

σ3

A

B

O

P

dsC

Ƭ

σn

Il est possible de représenter graphiquement cette contrainte C qui s’applique sur la surface ds, au point P : elle est définit par l’intersection de: -l’ellipse d’axes (σ1, σ3 )-Du cercle de centre O, construit sur un axe perpendiculaire à ds tel que : [PA]=σ3 et [PB]= σ1 Alban Caillette

Le critère de Mohr-Coulomb

-La loi de coulomb : elle caractérise les forces de frottements qui s’exerce dans un milieu continu dont on isole deux portions élémentaires. Ces deux portions notées A et B peuvent •se déplacer l’une contre l’autre : frottement dynamique •Ne pas glisser l’une contre l’autre : frottement statique

Dans les deux cas, une force appelée « réaction de contact » s’exerce entre A et B. Elle comprend une composante tangentielle Ƭ et une composante perpendiculaire (normale) σn

Un modèle analogique des forces en jeu : exemple de la réaction normale du corps B sur le corps A

En cas de glissement : la force de frottement tangentielle est proportionnelle à la réaction normale : Ƭ =μd σn

μd est un coefficient de frottement dynamique (ou coefficient de frottement interne) qui dépend des matériaux et de leurs surfaces.

En cas d’adhérence :absence de déplacement : la force de frottement tangentielle reste en deçà d’une limite supérieure: Ƭ0< ou = μs σn

μs est un coefficient de frottement statique qui dépend des matériaux et de leurs surfaces.

Cette valeur maximale de Ƭ représente donc le seuil qu’il faut dépasser pour que le mouvement débute

R : réaction de contact

Ƭ

σn

A

B

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Or la loi de Coulomb est applicable au milieu continu donc elle s’applique à l’intérieur des roches !

Dans ce cas, les contacts entre atomes, cristaux ou grains et leurs mouvements créent du frottement.Il faut y ajouter les forces de cohésion qui lient les particules entre elles. Les particules ne peuvent entrer en mouvement que lorsque la contrainte tangentielle a atteint une valeur : le seuil de rupture :

Ƭ =μd σn + C

Avec C : cohésion du milieu (donc> ou = 0)

-Le critère de rupture prend alors la forme suivante appelée critère de Mohr-Coulomb : Ƭ < ou = μd σn + C

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Le critère de Mohr-Coulomb limite l’étendue des demi-cercles de Mohr à une zone comprise entre l’axe (O; σn) et une droite de pente μ = tanφ et de formule : Ƭ = μσ n+c

Ƭ σ1

σ3

A B

OP

ds θ 2θ

σn

Ƭ = μσ n + c

Ф

En bleu : la limite de la zone des cercles de selon le critère de mohr-coulomb

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Lorsqu’il y a égalité le plus grand cercle de Mohr est tangent à la droite de Mohr-Coulomb: - La pente de cette droite, μ = tanφ , est appelécoefficient de frottement interne‐φ est l’angle de frottement interne. -L’ordonnée à l’origine, c, représente la cohésion dumatériau.

L’inclinaison des failles selon ce critère: La rupture a lieu lorsque le cercle est tangent à la droite. Donc lorsque Ƭ = μ σn + c Si l’on appelle θ l’angle formé entre σn et σ1 alors : Dans le triangle rectangle de la figure ci-contre : π = Ф + (π/2) + (π-2θ)

D’où θ = Ф/2 + π

L’angle formée au moment de la rupture est donc :θ = Ф/2 + π/4

L’angle φ entre le plan ds (plan de fracture) et σ1Est : φ = (π/2) – θ donc = (π/2) – (Ф/2 + π/4)Donc : φ = (π/4) – Ф/2

φ reste donc toujours < ou = à 45°

ds

σ1

σ3

σnφθ

Ƭ

σ3 σn

Ƭ = μσ n + c

Ф

σ1

c

Ƭ

σ3 σn

Ƭ = μσ n + c

Ф

σ1O

c 2θΠ-2θ

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Voici quelques critères de rupture de Mohr-Coulomb déterminés expérimentalement.

On peut voir que : -La cohésion du matériau : C varie selon la roche-La pente des droite : μ = tanφ qui est le coefficient de frottement interne varie peu.

C variables

Pentes très proches

Donc les plans de fracture ont des angles voisins, quelque soit la cohésion de la roche.

dolomitediabase

quartzite

granite

calcaire

Grès de Berea

Grès de Gosford

marbre

Angle de friction interne

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2. 1. LES ROCHES CASSANTES OU COMPETENTES

RHEOLOGIE

L’adjectif compétent s’applique aux roches et aux couches les moins déformables, s’applique aux roches et aux couches qui, dans des conditions données, sont plus aptes àse rompre qu’à se déformer.Ce sont des roches cassantes, qui peuvent se déformer faiblement de façon élastique voire même plastique avant la rupture. Leur déformation est discontinue et aboutit à une faille.

2. 2. LES ROCHES DUCTILES

Adjectif qui s’applique aux roches capables de s’étirer sans se rompre.Elles subissent des déformations continues, élastiques et plastiques, sans rupture qui peuvent aboutir à des plissements.

Le comportement d’une roche dépend de plusieurs paramètres : -La nature minéralogique de la roche (fixée)-La température-La pression de confinement -La vitesse de déformation

2. LES COMPORTEMENTS DES ROCHES

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RHEOLOGIE2. 3. LES PARAMETRES DE 

MODIFICATION DU COMPORTEMENT2. 3. 1. la pression

σ1 : contrainte majeure (principale)σ2 : contrainte moyenne (secondaire)σ3: contrainte mineure (tertiaire)

D’après les études expérimentales (graphe), plus la contrainte principale mineure σ3 est forte, plus le seuil de rupture est atteint tardivement ou même disparaît :

σ3 est responsable d’une pression de confinement qui stabilise la cohésion des atomes constituants les édifices cristallins. Ainsi, il est nécessaire d’augmenter la contrainte principale majeure afin de créer une fracture.

Pour des pressions de confinement supérieures à 30 Mpa, la fracturation n’est plus accessible avec le matériel à disposition.

σ2σ1

σ3

σ3=100Mpa

σ3=35Mpa

σ3=10Mpa

σ3=0,1Mpa

(σ1-σ3)Mpa

rupturerupture ε en %

Pour T=25°C

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2. 3. LES PARAMETRES DE MODIFICATION DU COPORTEMENT2. 3. 2. la température

Pour des contraintes compatibles àl’apparition d’une rupture (σ3 <30MPa en laboratoire), une augmentation de température permet :

-d’accroître le domaine de déformation plastique qui précède la rupture.-D’obtenir une même déformation pour une différence de contraintes (appelée contrainte différentielle) plus faible.-De baisser le seuil de plasticité en amollissant le matériel. ε en %

300°Crupture

rupture500°Crupture

600°C

Pour σ3=40Mpa

(σ1-σ3)Mpa

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2. 3. LES PARAMETRES DE MODIFICATION DU COPORTEMENT2. 3. 3. la vitesse de déformation

D’après cette étude, plus la vitesse de déformation est importante (augmentation de la vitesse de charges), plus :

-La déformation plastique diminue-La déformation élastique augmente-Le seuil de rupture est atteint pour de faibles déformations-la roche devient cassante

ε en %

Vitesses de charge

croissantesrupture

rupture

rupture

σ

Déformation plastique

Déformation

élastique

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3. LES ENVELOPPES RHEOLOGIQUES DE LA TERRE3. 1. DELIMITATION DES DOMAINES DE DEFORMATION

RHEOLOGIE

L’étude expérimentale de résistance des matériaux permet d’appréhender le comportement des roches de la lithosphère.On utilise des minéraux caractéristiques de roches de la lithosphère terrestre (quartz et feldspaths pour le granite et les quartzites) et des minéraux caractéristiques des roches mantelliques (olivine pour la péridotite.

La loi de Byerlee définit le comportement cassant.La loi de fluage détermine le comportement ductile.

Profil rhéologique d’une lithosphère continentale

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3. LES ENVELOPPES RHEOLOGIQUES DE LA TERRE3. 1. DELIMITATION DES DOMAINES DE DEFORMATION

RHEOLOGIE

La croûte, à une profondeur de 20km pour une contrainte différentielle de 200MPa, se déforme de façon élastique. A une profondeur de 5km pour une contrainte de 200MPa, elle est cassante (seuil de rupture dépassé).A une profondeur de 30km pour une contrainte de 200MPa, elle est ductile : cela provient de l’augmentation de température et du changement de minéralogie.

Le manteau se déforme de façon élastique (domaine vert), il est cassant à 50km pour une contrainte de 1000MPa mais ductile à une profondeur supérieure à 60km pour de faibles contraintes.

La pression de confinement augmentant, les roches mantelliques résistent mieux aux déformations que les roches crustales.

A la base de la lithosphère, la déformation devient ductile du fait de la température (isotherme 1300°C) proche de la température de fusion de l’olivine.

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3. LES ENVELOPPES RHEOLOGIQUES DE LA TERRE3. 2. LOI DE BYERLEE

RHEOLOGIE

Déterminés expérimentalement, la loi de Byerlee détermine les glissement entre deux compartiments séparés par une fracture préexistante.Ce critère de glissement est presque indépendant de la lithologie.

Ƭ = 0,85 σn ; σn < 200 MPa

Ƭ = 60 + 0,6 σn ; σn > 200 MPa

Contrainte de cisaillement

Contrainte normale200 MPa

ƬEn 103 bars

σnEn 103 barsƬ = 0,85 σ n

Ƭ = 60 + 0,6 σ n

Granite fracturé

Symbole Type de roche

Gabbro, dunite

Grès granodioriteGneiss, mylonite

Quartz, monzoniteChlorite, serpentinite

GraniteKaolinite, illite, montmorillonite, vermiculite

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3. LES ENVELOPPES RHEOLOGIQUES DE LA TERRE3. 3. LOI DE FLUAGE

RHEOLOGIE

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deuns.chez.com/sciences/matiere/e5.gif 

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9formation_%C3%A9lastique

http://www.cnrs.fr/cw/dossiers/dosgeol/01_decouvrir/07_principes/05a.htm

http://planet‐terre.ens‐lyon.fr/planetterre/XML/db/planetterre/metadata/LOM‐profils‐rheologiques.xml

perso‐sdt.univ‐brest.fr/~jperrot/tectonophysic/rheo_final.pdf

http://www.techno‐science.net/?onglet=glossaire&definition=6761

A. Foucault et J.F. Raoult, Dictionnaire de géologie, Masson

Dossier Hors Série Pour la Science, juin 1995, L'Ecorce Terrestre.

www.lgit.univ‐savoie.fr/.../lste3/hassani_lste3_ChapIV.pdf

www.lgit.univ‐savoie.fr/PageHTML/.../hassani_lste3_TP2.pdf