INTRODUCTION A LA RHEOLOGIE DES FLUIDES … · INTRODUCTION A LA RHEOLOGIE DES FLUIDES APPROCHE MACROSCOPIQUE (Notes de Cours rØvisØes) École de Printemps. GDR MatØriaux Vitreux

INTRODUCTION A LA RHEOLOGIE DES FLUIDES

APPROCHE MACROSCOPIQUE

(Notes de Cours révisées)

École de Printemps. GDR Matériaux Vitreux

Mars 2003.

Didier BernardinChargé de Recherches CNRS

L.E.M.T.A. UMR 7563. (Nancy)email: [email protected]

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TABLE DES MATIÈRES 3

Table des matières

1 Relations constitutives. Fluides simples 71.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Matériaux simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Heuristique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1.1 Les principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Résumé: loi constitutive d’un matériau simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Groupe de symétrie d’un matériau simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Fluides simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1 Cas des processus non isothermes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Fluide simple au repos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.3 Note sur les fonctions thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.4 Note sur les mouvements stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Fluides simples à mémoire instantanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.1 Les fluides de Reiner-Rivlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.2 Fluide visqueux incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.2.1 Loi puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.2.2 Loi de Carreau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.2.3 Petit catalogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 Restrictions imposées par le second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Problème intérieur de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.1 Potentiel de dissipation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7.2 Le problème intérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8 Couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8.1 Les équations de Prandtl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8.2 L’équation de Blasius pour le fluide en loi puissance. Épaisseur de couche limite. . . . . 25

1.9 Lubrification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Ecoulements viscométriques 292.1 Écoulements de cisaillement simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Rappels: endomorphismes nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Écoulements viscométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Fonctions viscométriques d’un fluide simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1 Loi constitutive d’un fluide simple en écoulement viscométrique . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2 Restriction apportée par le second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.3 Parité des fonctions viscométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.4 Cas des fluides de Reiner-Rivlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.5 Fluides à seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Écoulements unidirectionnels plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.0.1 Ecoulement de Couette plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.0.2 Ecoulement de Poiseuille plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.0.3 Ecoulements de Couette-Poiseuille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5 Écoulements Hélicoïdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.2 Étude dynamique locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5.3 Écoulements unidirectionnels en conduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 TABLE DES MATIÈRES

2.5.3.1 Écoulement de Poiseuille en conduite de section circulaire . . . . . . . . . . . . 472.5.3.2 Écoulement unidirectionnel entre cylindres coaxiaux. . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5.4 Écoulements de Couette entre cylindres coaxiaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5.4.1 Principe du viscosimètre de Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5.5 Écoulements de Couette-Poiseuille entre cylindres coaxiaux . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5.6 Analyse qualitative de l’effet Weissenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5.7 Analyse qualitative de l’élargissement d’un jet libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.6 Quelques Écoulements instationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6.1 Ecoulement de cisaillement unidirectionnel plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6.2 Ecoulement unidirectionnel en conduite de section circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6.3 Ecoulement de Couette instationnaire entre cylindres concentriques . . . . . . . . . . . . 54

2.7 Le rhéomètre à disques parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.8 Le rhéomètre plan-cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.8.1 Étude formelle d’un écoulement azymuthal viscométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.8.2 Équations de bilan local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.8.3 Conditions limites cinématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.8.4 Un écoulement azymuthal n’est pas solution exacte des équations de bilan local. . . . . 652.8.5 Étude en hypothèse de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.8.5.1 Les équations locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.8.5.2 Détermination de la vitesse et du couple visqueux appliqué sur le cône. . . . . 672.8.5.3 Mesure des contraintes normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3 Fluides viscoélastiques 733.1 Modèles monodimensionnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.1 Heuristique. Fonction de relaxation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.1.2 Analogie mécanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 Les modèles infinitésimaux classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.1 Les modèles tridimensionnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.2 Violation de l’objectivité matérielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3 Modèles objectifs intégraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3.1 Fluides simples à mémoire evanescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3.2 Viscoélasticité linéaire finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.3.2.1 La fonction de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3.3 Modèles intégraux sur-convectés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.3.4 Modèles infinitésimaux en petites perturbations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.3.5 Modèles infinitésimaux en petits déplacements ou en mouvements infiniment lents. . . . 863.3.6 Modèles de type Oldroyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.3.7 Modèles non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.3.7.1 Les modèles KBKZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.3.7.2 Modèles phénomènologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.3.7.3 Catalogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4 Les modèles différentiels linéaires objectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.1 Les dérivées codéformationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.4.1.1 la dérivée codéformationnellesous-convectée [Lower convected codeformationalderivative] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.4.1.2 La dérivée codéformationnelle sur-convectée [Upper convected codeformationalderivative] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.4.1.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.4.2 La dérivée corotationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.4.2.1 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.4.2.2 Action d’un changement de référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4.2.3 Modèle de Maxwell corotationnel ou modèle ZFD . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.4.3 Résumé des modèles différentiels linéaires objectifs de fluides incompressibles . . . . . . 1053.4.3.1 Modèles de type Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.4.3.2 Modèles de type Oldroyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.5 Modèle de Goddard-Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.6 Modèle d’Oldroyd à 8 Cstes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

TABLE DES MATIÈRES 5

3.7 Modèles intégraux non linéaires corotationnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.8 Fonctions viscométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.8.1 Modèle intégral sous-convecté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.8.2 Modèle intégral sur-convecté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.8.3 Modèle intégral mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.8.4 Modèle intégral corotationnel de Goddard-Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.8.5 Notes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.9 Fonctions viscométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.9.1 Expressions directes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.9.2 Calcul à partir de la loi différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4 Fluides de Grade n 1154.1 Tenseurs de Rivlin-Ericksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.2 Retardation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.3 Fluides de Grade n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.3.1 Cas sous-convecté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.3.2 Cas sur-convecté ou co-rotationnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.3.3 Modèles de grade 1 et 2 de fluides incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.3.3.1 Modèles de grade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.3.3.2 Modèles de grade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.3.3.3 Les fonctions viscométriques des fluides de Grade 2 . . . . . . . . . . . . . . . 1204.3.3.4 Modèles de grade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3.4 Instabilité de l’état de repos dans les fluides de Grade n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

A Écoulements de Poiseuille instationnaires. 123

B Viscosité complexe 137

C Lubrification 153

D Gonflement d’un jet capillaire 173

6 TABLE DES MATIÈRES

7

Chapitre 1

Relations constitutives. Fluides simples

1.1 Notations

On désigne par E l’espace affine Euclidien de dimension 3 sur R dans lequel se trouve à chaque instant lesparticules d’un milieu continu. On désigne par E un espace vectoriel Euclidien orienté associé (par exemple,l’espace des translations de E). Le produit scalaire et l’orientation sont fixés. On note S(E) l’ensemble desendomorphismes symétriques de E et Sdev(E) l’ensemble des endomorphismes symétriques de trace nulle. Oétant un ouvert de E , on note D(O,E) l’ensemble des fonctions de classe C∞ à support compact dans O et àvaleurs dans E, on définit de même les ensembles D(O,S(E)), D(O,Sdev(E)).

Un mouvement de milieu continu est, par définition, la donnée de 1) un intervalle de temps I, 2) un ouvertB ⊂ E et 3) d’une famille φ(t); t ∈ I de C1−difféomorphismes B 7→ E . L’ouvert B est appelé "configurationde référence".

On ne considèrera que des familles φ(t) définies pour I = R et qui sont assez régulières en t, et/ou x, pourjustifier tous les calculs différentiels.

On désigne par Ωt = φ(t)(B) le placement du milieu à l’instant t. On notera en général X les "particules",c’est à dire les points de B, et x leurs positions, c’est à dire les points de Ωt.

On désignera par χt(τ) = φ(τ) φ(t)−1 le mouvement relatif à la configuration de référence Ωt. On définitle gradient de déformation absolu:

F(t,X) = ∇∇∇φ(t,X)

ainsi que le gradient de déformation relatif:

Ft(τ,x) = ∇∇∇χt(τ,x)Enfin, on notera v le champ de vitesses Eulérien.

1.2 Dynamique

Le principe de D’Alembert s’énonce: Dans un référentiel quelconque, pour tout champ de vitessesvirtuelles compatible avec les liaisons - y compris l’incompressibilité, si il y lieu, la puissancevirtuelle de tous les efforts, aussi bien intérieurs qu’extérieurs appliqués à un système matériel,est égale à la puissance virtuelle des efforts d’accélération.

On considère un milieu continu dans un mouvement φ(t) vu par un certain observateur. Soit A ⊂ Ωt undomaine borné, de fermeture contenue dans Ωt et de bord assez régulier (typiquement C1). On postule que lesforces extérieures agissant à l’instant t sur la matière contenue dans A sont:

1. Des forces volumiques données par une densité volumique ρf .2. Éventuellement des couples volumiques donnés par une densité volumique C.3. Des forces de contact donnés par une densité surfacique t qui représentent l’action du reste du milieu.4. On suppose qu’il n’y a pas de densité surfaciques de couples.Les puissances virtuelles des efforts extérieurs et d’accélérations sont donc:

Pe(A,u) =

∫

A

ρ(f |u) dx+

∫

A

1

2(C|rotrotrotu) dx+

∫

∂A

(t|u) ds

Pa(A,u) =

∫

A

ρ(Dv

Dt|u) dx

8 CHAPITRE 1. RELATIONS CONSTITUTIVES. FLUIDES SIMPLES

La puissance virtuelle des efforts intérieurs est 1 alors de la forme:

Pi(A,u) = −∫

A

σσσ : D[u] dx compressible

Pi(A,u) = −∫

A

τττ : D[u] dx incompressible

où σσσ est le tenseur des contraintes de Cauchy qui est symétrique, et τττ son déviateur dans le cas incompressible.Tous les champs volumiques, y compris les tenseurs de contraintes, sont définis sur tout Ωt et les quantités

concernées ci-dessus sont leurs restrictions à A.Les champs de vitesses virtuelles admissibles sont:

1. Cas compressible. Tout champ u qui est la restriction à A d’un champ de D(Ωt,E).

2. Cas incompressible. Tout champ u qui est la restriction à A d’un champ de D(Ωt,E) à divergence nulle.

Le résultat fondamental est, en supposant que les diverses grandeurs réelles sont assez régulières, que leprincipe de D’Alembert pour les domaines intérieurs est équivalent au principe de Newton, d’égalité entre letorseur dynamique et le torseur des efforts extérieurs, et aux conditions limites qui s’expriment par 2:

t = σσσ · n − C

2∧ n sur ∂A

où σσσ est le tenseur des contraintes de Cauchy du matériau. Il est donné par:

σσσ = τττ − pId

où p est la pression. Dans le cas du milieu incompressible p est déterminée comme un multiplicateur deLagrange associé à la contrainte d’incompressibilité: dans ce cas la pression n’intervient donc pas explicitementdans l’écriture du principe de D’Alembert mais elle est néanmoins bien déterminée.

La compatibilité entre les équations de la dynamique écrites par diverses observateurs est assurée par leprincipe d’objectivité matérielle qui s’énonce pour les domaines intérieurs: Quel que soit l’observateur,la puissance virtuelle des efforts intérieurs en tant que forme linéaire agit au même ordre dedérivation (premier gradient ici). La puissance virtuelle des efforts intérieurs pour des champsvirtuels homologues, en tant que scalaire, est identique pour tous les observateurs.

Il en résulte en particulier que les équations de la dynamique sont invariantes par changement de référentielGaliléen.

La principe d’objectivité matérielle se traduit explicitement sur les contraintes de la manière suivante. SoitΨ(t) un mouvement rigidifiant, donné à chaque instant par:

Ψ(t)(X) = a(t) + Q(t) · −−→OX

où pour chaque t, Q(t) est orthogonale, a(t) est une translation et O une origine fixe, arbitraire. Soit T uninstant. Soit σσσ le tenseur des contraintes pour un mouvement quelconque φ (resp. τττ le déviateur des contraintes)et soit σσσ∗ (resp. τττ∗) celui pour le mouvement φ∗ déduit du mouvement φ par le changement de référentiel 3

(Ψ,T ), c’est à dire:

φ∗(t− T ) = Ψ(t− T ) φ(t)

Alors:

1. Cas compressible:

σσσ∗(Ψ(t− T )(x),t− T ) = Q(t− T ) · σσσ(x,t) ·T Q(t− T ) (1.1)

La pression est alors identique aux points homologues.

2. Cas incompressible:

τττ∗(Ψ(t− T )(x),t− T ) = Q(t− T ) · τττ(x,t) ·T Q(t− T ) (1.2)

1 En réalité, dans une théorie du premier gradient, elle est à priori de la forme plus générale Pi(A,u) = fi(A,u,∇∇∇u) où:fi(A,x,L) = −

∫A

[(a|x) + b : L] dx où a et b sont des champs définis sur Ωt. Par le principe d’objectivité matérielle, on montreque a est nul et que b est symétrique. 2 n est la normale extérieure à ∂A. 3 Avec cette convention, Ψ−1 est le mouvementde l’observateur mobile.

1.3. MATÉRIAUX SIMPLES. 9

1.3 Matériaux simples.

D’après ce qui précède, pour pouvoir fermer les équations de la dynamique, les efforts extérieurs et lesefforts d’accélérations étant connus il faut donc préciser la puissance virtuelle des efforts intérieurs, c’est à direles champs σσσ ou τττ .

Pour simplifier, une partie A ouverte de Ωt étant donnée, on appellera encore puissance virtuelle des effortsintérieurs à A la distribution sur D(A,S(E)) (resp D(A,Sdev(E))) donnée par:

fi(A,L) = −∫

A

σσσ : L dx compressible

fi(A,L) = −∫

A

τττ : L dx incompressible

La connaissance de fi pour A donné est équivalente à la connaissance de la restriction à A de σσσ ou τττ . Il est alorsconceptuellement plus simple d’énoncer les "principes constitutifs" que doivent vérifier σσσ ou τττ , en particulierle principe de l’état local, en les formulant comme des propriétés de ces puissances virtuelles.

1.3.1 Heuristique.

Dans ce paragraphe on se propose d’examiner la dépendance entre le tenseur des contraintes de Cauchy (ouson déviateur) et le mouvement, à la lumière de quelques principes généraux de physique du milieu continu.Nous ne chercherons pas ici à avoir une démarche axiomatique rigoureuse mais essentiellement à traduire sousune forme opérationnelle quelques principes de base, clairs par eux mêmes. Le lecteur intéressé par plus dedétails pourra par exemple consulter [5] ou encore [12]. Pour ce qui suit on énoncera les principes pour desmatériaux quelconques mais on ne ne détaillera que le cas des matériaux homogènes en théorie du premiergradient.

Pour simplifier, dans un premier temps, on ne s’intéresse qu’à des processus thermocinétiques isothermes,ce qui est justifié puisque la température est une variable indépendante du mouvement. On supposera de plusque la température est spatialement homogène égale à une constante θ.

On convient que l’on peut choisir comme configuration de référence pour tout mouvement une partie d’uneconfiguration particulière géométriquement égale à tout l’espace, appelée "configuration naturelle" dont unepropriété (pour les milieux homogènes) est d’avoir une densité de masse ρ0 spatialement constante, choisiecomme unité.

Fixons cette configuration naturelle que, par la suite, on nommera "la configuration naturelle de référence".On nomme, "configuration de référence", pour un mouvement donné, la partie B de la configuration natu-

relle qui subit le mouvement.Pour un milieu incompressible, on choisit bien sûr comme densité ρ0 sur la configuration naturelle, la

densité "réelle" du milieu c’est à dire, en principe, la seule densité de masse que l’on peut rencontrer sur lesplacements du milieu au cours de ses mouvements. Pour un milieu incompressible, ceci implique en particulierque les mouvements par rapport à une partie de la configuration naturelle ont tous un tenseur des déformationsabsolu unitaire.

1.3.1.1 Les principes

1. Un mouvement étant donné, pour un matériau donné, on sait que la puissance virtuelle des efforts inté-rieurs à une partie ouverte A ⊂ Ωt, fi(A,·), en tant que distribution sur D(A,S(E)) (ou sur D(A,Sdev(E))dans le cas incompressible) est essentiellement une caractéristique de l’état de déformation du milieu.On s’attend donc à ce que cette puissance ne dépende que du mouvement φ et non pas du système deforces extérieures compatible avec ce mouvement. Ceci est confirmé par le fait que la puissance réelle desefforts intérieurs ne modifie que l’énergie interne dont la valeur n’est in fine fonction que du mouvementet de la température et non pas des causes extérieures du mouvement.C’est le principe de déterminisme qui consiste donc à postuler que pour toute partie A ⊂ Ωt la puissancevirtuelle des efforts intérieurs fi(A,·) est entièrement déterminée par la connaissance du mouvement φ,la température étant fixée. On va supposer également qu’étant donnée une configuration de référence Bon peut, "au moins par la pensée", lui imposer tout mouvement respectant l’incompressibilité si il y alieu et examiner alors la puissance des efforts intérieurs qui en résulte.

2. Par ailleurs, il semble évident de postuler que la puissance virtuelle des efforts intérieurs à un instant test déterminée par la seule connaissance du mouvement aux instants antérieurs à t. C’est le principe de


causalité. Soit φ un mouvement et t un instant donné. On appelle alors "histoire" de ce mouvement àl’instant t la restriction de φ à ]−∞,t], c’est à dire aux instants antérieurs à t (On suppose que tous lesmouvements que l’on considère sont définis sur l’intervalle de temps I = R).

3. Enfin, on postule que la puissance virtuelle des efforts intérieurs à A ne dépend que de l’histoire desdéformations de la matière contenue dans A et non pas de celle du reste du milieu. Autrement dit, etc’est le principe de l’état local ou principe de localisation spatiale, la puissance des efforts intérieurs à unepartie A = φt(A) de Ωt, à l’instant t, ne dépend que de la restriction de l’histoire de φ à A. Ceci estconsistant avec l’hypothèse d’additivité faite sur l’énergie interne et l’entropie.

Donnons nous un mouvement φ et une "particule fluide" X dans B qui occupe une position x dans Ωt. Siun autre mouvement φ1, relatif à une configuration quelconque B1 contenant également X, coïncide dans unvoisinage de X jusqu’à l’instant t avec φ, alors, si A est une partie de E contenant x suffisamment "petite",elle sera contenue dans les configurations à l’instant t des deux mouvements φ1 et φ. Le principe de l’étatlocal nous indique alors que la puissance virtuelle des efforts intérieurs à A pour l’un et l’autre mouvementssera identique. Il est alors naturel d’introduire une relation d’équivalence sur les histoires, en disant que deuxhistoires à l’instant t sont équivalentes en un point X de E si il existe un voisinage de X sur lequel elles sontdéfinies et coïncident. On désignera par φτ≤t(X) une classe d’équivalence d’histoires.

Examinons brièvement les conséquences, sur les contraintes, des trois principes précédents.Soit φ un mouvement défini sur un certain B et t un instant. Comme la puissance virtuelle des efforts

intérieurs à Ωt, en tant que forme linéaire, détermine de manière unique le tenseur des contraintes de Cauchy(ou son déviateur si le milieu est incompressible) on en déduit que ce tenseur, en tant que fonction définiesur Ωt, est complètement déterminé par l’histoire du mouvement à l’instant t. En particulier, la valeur σσσ(t,x)(ou τττ(t,x)) en un point particulier x, occupé par une particule X à t, est donc complètement déterminée parla donnée de l’instant t, de l’histoire du mouvement à cet instant et de ce point particulier ou - ce qui estéquivalent - de la particule X. Le principe de l’état local nous indique alors que cette valeur ne dépend en faitque de la classe d’équivalence φτ≤t(X).

Ainsi, pour un matériau donné, la valeur σσσ(t,x) (ou τττ(t,x) si il est incompressible) en un point particulierx, occupé par une particule X à l’instant t, est donc complètement déterminée par la donnée de l’instant t, dela particule X et de la classe φτ≤t(X) d’équivalence de l’histoire du mouvement en X jusqu’à cet instant. Cequi revient à dire qu’il existe une relation fonctionnelle entre σσσ(t,x) (ou τττ(t,x)) et le triplet (t,X,φτ≤t(X)).

Examinons d’un peu plus près la dépendance en φτ≤t(X). Supposons, pour simplifier, que φ soit analytiquepar rapport à X au voisinage de X (i.e. limite de sa série de Taylor au voisinage de X). Alors, toute histoirequi lui sera équivalente en X sera également analytique au voisinage de X. Ainsi, la classe d’équivalence deφτ≤t(X) est complètement déterminée par la donnée de la valeur et des gradients successifs de φ en X, quisont des fonctions du temps. C’est à dire qu’elle est déterminée par la suite de fonctions:

s 7→ (φ(t− s,X),F(t− s,X),∇∇∇2φ(t− s,X), · · · ) (1.3)

définies sur [0,+ ∞[ (s représente donc le passé).Rappelons alors que, dans le cadre d’une théorie du premier gradient, la densité de puissance virtuelle des

efforts intérieurs est de la forme −(a|u) − b : ∇∇∇u et ne fait donc intervenir localement le champ virtuel u

que par sa valeur et celle de son premier gradient. De la même manière, l’énergie interne pour un équilibrethermodynamique déformé ne fait intervenir que le premier gradient de la déformation (à travers la densitépour les milieux biparamétriques). Ainsi, on conçoit mal que pour deux champs virtuels qui ne différeraienten x que par leur second gradient les densités de puissance virtuelle des efforts intérieurs, pour un mêmemouvement, soient identiques alors qu’elles pourraient être différentes pour des champs réels dans la mêmesituation, à travers une modification du tenseur des contraintes lui même. Finalement, dans le cadre d’unethéorie du premier gradient, on postule que seuls les deux premiers termes de la suite (1.3) fixent la valeurdu tenseur des contraintes pour ce mouvement. On admet alors qu’il en est de même pour des mouvementsquelconques, non nécessairement analytiques.

Ainsi, finalement, pour un matériau donné vérifiant les hypothèses ci-dessus, il doit exister, une relation dela forme:

1. Cas compressible:σσσ(t,x) = F

s≥0(t,X,φ(t− s,X),F(t− s,X); θ)

2. Cas incompressible:τττ(t,x) = F

s≥0(t,X,φ(t− s,X),F(t− s,X); θ)

1.3. MATÉRIAUX SIMPLES. 11

La notation est claire: F est une fonction de t, X et θ et c’est une fonctionnelle de ses deux autres argu-ments, qui sont des fonctions du temps (i.e. de s). Elle est à valeurs dans l’ensemble des applications linéairessymétriques (cas compressible) ou encore symétriques de trace nulle (cas incompressible).

Comme les relations précédentes sont vraies pour tout mouvement on va pouvoir les simplifier en utilisantle principe d’objectivité matérielle.

Choisissons en effet un changement de référentiel qui se résume à une simple translation de l’origine destemps de −t. Il en résulte que dans les relations précédentes le temps t n’est pas un argument. De la mêmemanière, en choisissant pour changement de référentiel une simple translation de l’espace qui à chaque instantramène la position occupée par la particule x à une origine fixe, on déduit que dans les relations précédentesla position φ(t− s,X) de la particule au cours du passé (i.e. sa trajectoire) n’intervient pas et seul intervient legradient de déformation (absolu). Comme on sait que le gradient de déformation (absolu) s’exprime simplementà partir du gradient de déformation relative par la relation de composition:

Ft(τ,x) = F(τ,X)F−1(t,X)

on en déduit que la fonction s ∈ [0,+∞[7→ F(t−s,X) est complètement déterminée par la donnée du gradient dedéformation relatif s ∈ [0,+∞[7→ Ft(t−s,x) et de l’application linéaire inversible, F(t,X). Notons qu’il est plusnaturel de chercher à exprimer le tenseur des contraintes à partir du gradient du mouvement relatif car on saitque le mouvement relatif est le mouvement réellement observé du milieu. De même, il est naturel de prendre,pour décrire le passé, comme configuration de référence pour le mouvement relatif la configuration actuelle.On peut donc, par composition, changer les arguments des deux fonctionnelles précédentes. En gardant, poursimplifier, les mêmes notations pour les fonctionnelles on en déduit donc:


s≥0(X,F(t,X),Ft(t− s,x); θ)


s≥0(X,F(t,X),Ft(t− s,x); θ)

Pour la suite, on ne s’intéressera qu’à des matériaux homogènes, c’est à dire vérifiant:

∀X,Y : Fs≥0

(X,F(t),Ft(t− s); θ) = Fs≥0

(Y,F(t),Ft(t− s); θ) (1.4)

L’interprétation physique est évidente: si on applique localement le même mouvement au voisinage d’uneparticule X ou d’une particule Y , l’état de contrainte résultant sera le même. On peut alors omettre X dansla liste des variables

Un milieu vérifiant les propriétés que l’on vient d’examiner (les trois principes de base, l’approximation dupremier gradient pour le mouvement et l’homogénéité) est appelé matériau simple ou encore milieu matériel-lement simple (c.f. [5] et [1]).

La quasi totalité des modèles utilisés dans la littérature pour décrire le comportement des matériauxhomogènes - gaz, liquides ou solides - entre dans cette catégorie.

1.3.2 Résumé: loi constitutive d’un matériau simple

Résumons ce qui vient d’être dit. Considérons un matériau simple et une configuration de référence na-turelle. Il doit alors exister une fonctionnelle F agissant sur l’ensemble des couples admissibles (F,Ft(·)) (i.e.qui correspondent à au moins un mouvement) tels que pour tout mouvement isotherme φ relativement à uneconfiguration de référence quelconque B ⊂ E , toute particule X ∈ B et tout instant t ∈ R, on ait au pointx = φ(t)(X) :


s≥0(F(t,X),Ft(t− s,x); θ) (1.5)


s≥0(F(t,X),Ft(t− s,x); θ) (1.6)

La fonctionnelle F est appelée loi constitutive du matériau. L’objet de la rhéologie est alors de proposer pourun matériau donné - et en général pour une gamme d’expériences (i.e. de mouvements) donnée - une formeexplicite expérimentalement acceptable de cette loi constitutive. Cette forme devra en particulier permettrede fermer les équations du mouvement.


1.3.3 Groupe de symétrie d’un matériau simple.

On va généraliser à la loi constitutive la notion de groupe de symétrie d’un matériau introduite usuellementà l’équilibre thermodynamique.

Donnons nous un matériau simple. Soit X une particule de ce milieu et (F,Ft(·)) un couple admissiblepour sa loi constitutive F.

Considérons alors un mouvement (φt)t∈R relativement à la configuration de référence E ayant ce coupleadmissible comme couple de gradients de déformations.

Soit alors S une application linéaire inversible et unitaire. On peut toujours trouver un C1 difféomorphismeunitaire ψ de E sur lui même qui laisse X invariante et telle que ∇∇∇ψ(X) = S (il suffit, par exemple, de prendreune transformation affine ayant X comme point fixe et associée à S). Soit donc ψ un tel C1 difféomorphismede E . Il s’interprète donc comme une déformation isovolume de l’état de référence qui laisse la particule Xfixe.

Considérons alors le mouvement (φt ψ)t∈R, qui est bien défini sur E . Ce mouvement a exactement lemême mouvement relatif χt que (φt)t∈R et envoie la particule X au même point de l’espace, x. La contrainte(ou son déviateur) au point x à l’instant t sera, avec la même température, pour le mouvement (φt)t∈R:Fs≥0

(F,Ft(t− s); θ) et, pour le mouvement (φt ψ)t∈R: Fs≥0

(F · S,Ft(t− s); θ).

En général ces deux valeurs seront différentes. On dit alors que S est une symétrie du matériau si, pourtout couple admissible (F,Ft(·)), on a:

Fs≥0

(F,Ft(t− s); θ) = Fs≥0

(F · S,Ft(t− s); θ)

Il est évident que l’ensemble des symétries d’un matériau donné forme un groupe pour la composition desapplications, sous groupe du groupe unitaire, on l’appelle groupe de symétrie du matériau pour la loi consti-tutive.

L’interprétation physique d’une symétrie est immédiate et similaire au cas de l’équilibre thermodynamique:c’est une déformation locale que l’on peut faire subir à un élément infinitésimal d’un matériau dans son étatnaturel sans modifier la loi constitutive (ou du moins les caractéristiques de l’état naturel qui déterminentla loi constitutive). Ce qui signifie encore que la configuration de référence naturelle est indistinguable de laconfiguration ψ(E).

Physiquement, il est alors évident que si S ne conserve pas le volume, c’est à dire que si ce n’est pas unendomorphisme unitaire, l’état de référence naturel est modifié puisque la densité de masse ρ0 le sera, et S

ne pourra pas, à priori, être une symétrie du matériau. C’est pourquoi on a demandé qu’elle soit unitaire.Si le milieu est incompressible, c’est même une condition fondamentale, sinon le couple transformé n’est plusadmissible (avec la convention faite sur ρ0 au début de ce paragraphe).

On dit alors qu’un matériau simple est isotrope si son groupe de symétrie contient tout le groupe ortho-gonal de E. Ce qui signifie, comme à l’équilibre thermodynamique, qu’il n’a pas de direction de déformationprivilégiée. Un matériau qui n’est pas isotrope est dit orthotrope.

On admet en général que le groupe de symétrie d’un matériau pour la loi constitutive est le même qu’àl’équilibre thermodynamique. Ce qui est cohérent, puisque la loi constitutive doit rester vraie pour un mouve-ment spatialement homogène et constant en temps entre l’état naturel et un état d’équilibre déformé.

D’après un théorème de W. Noll[4] le groupe de symétrie d’un matériau isotrope est soit tout le groupeunitaire soit le groupe orthogonal. Dans le premier cas on sait alors que le matériau est un fluide à l’équilibrethermodynamique. Si c’est un matériau simple, on dit alors que c’est un fluide simple.

Pour ce qui suit on ne s’intéressera qu’aux fluides simples. Pour ce qui concerne les autres matériaux,isotropes ou orthotropes, qui sont des solides, on pourra par exemple consulter [12] ou [13].

1.4 Fluides simples

Rappelons la définition que l’on vient d’introduire:

Définition 1.1 (Fluide simple) On dit qu’un milieu continu est un fluide simple si c’est un matériausimple dont le groupe de symétrie est tout le groupe unitaire.

Pour un fluide simple on peut encore simplifier l’expression de la loi constitutive.En effet, donnons nous un fluide simple de loi constitutive F associée à une configuration naturelle de ce

matériau, définie sur tout l’espace. Soit alors (F,Ft(·)) un couple admissible pour F. Considérons l’application

1.4. FLUIDES SIMPLES 13

inversible: S = |det(F)| 13 F−1. Elle est évidement unitaire et c’est donc une symétrie du matériau. On en déduit:

Fs≥0

(F,Ft(t− s); θ) = Fs≥0

(|det(F)| 13 Id,Ft(t− s); θ)

Si φ est un mouvement de ce fluide relativement à une configuration de référence quelconque B ∈ E on saitalors que:

|det(F(t))| =ρ0

ρ(x,t)

où ρ0 est la densité de masse (fixée) de la configuration de référence. Il en résulte que pour un fluide simplele gradient de déformation absolu n’intervient dans la loi constitutive qu’à travers le rapport ρ0

ρ(x,t) . Pour lesmilieux incompressibles, on peut d’ailleurs choisir ρ0 = ρ, comme on l’a déjà dit. Ainsi, on voit que la loiconstitutive ne fait intervenir, maintenant, que des paramètres ou fonctions qui sont tous définis relativementà la configuration actuelle du milieu. Finalement on peut résumer l’ensemble des résultats que l’on a obtenuspour les fluides simples en:

IProposition 1.1 Si un matériau est un fluide simple en évolution isotherme, il existe une fonctionnelleF telle que pour tout mouvement de ce fluide on ait:

σσσ(t,x) = Fs≥0

(ρ(x,t),Ft(t− s,x); θ) compressible

τττ(t,x) = Fs≥0

(Ft(t− s,x); θ) incompressible(1.7)

où θ est la température, constante, du milieu au cours de son mouvement.

Examinons alors les restrictions imposées à F par le principe d’objectivité matérielle. La loi de transforma-tion par changement de référentiel du gradient relatif s’obtient facilement par composition, la température estbien sûr inchangée et la densité n’est pas modifiée aux points homologues. De manière à simplifier les notations,on peut donc omettre la dépendance en θ et en ρ et examiner simultanément les deux cas (compressible ounon). On applique alors les lois générales de transformation du tenseur des contraintes par changement deréférentiel. On en déduit immédiatement la relation suivante, vraie pour tout gradient de déformation relatifadmissible et pour toute famille à un paramètre, s, de transformations orthogonales Q : s ∈ [0,+ ∞[7→ Q(s):

Fs≥0

[Q(s) · Ft(t− s,x) ·T Q(0)] = Q(0) · Fs≥0

[Ft(t− s,x)] ·T Q(0) (1.8)

1.4.1 Cas des processus non isothermes.

La température fixe, en principe dans les fluides, l’état d’agitation (dite, précisément, "thermique") desconstituants moléculaires de la particule fluide. L’hypothèse même de l’hydrodynamique nous indique que letemps caractéristique de retour à l’équilibre thermique - et non pas nécessairement thermodynamique - ausein de la particule fluide (i.e. l’équilibre thermique local, c’est à dire le temps caractéristique pour que lanotion même de température prenne un sens) est très court devant les temps caractéristiques de variations detoutes les grandeurs macroscopiques (vitesse, densité, température, etc..). C’est à dire que l’on peut considérerqu’il y a localisation spatiale de la température et que celle-ci n’intervient dans la loi constitutive que par savaleur et peut-être celle de son gradient 4, pour la particule considérée. Dans les situations usuelles, que nousconsidérerons partout ici, nous admettrons cependant que seules les valeurs de la température, et non pas cellesde son gradient influencent la puissance virtuelle des efforts intérieurs. De plus nous ne considérerons que dessituations ou la température est stationnaire ou quasi stationnaire de sorte que seule la valeur actuelle de latempérature influence l’état de contrainte à l’instant présent.

Finalement, sous ces hypothèses, tout revient à considérer que dans les expressions précédentes des loisconstitutives, le paramètre θ n’est pas une constante mais est égal à la valeur θ(t,x) de la température de laparticule à l’instant présent. Pour résumer, on a pour un fluide simple et sous ces hypothèses:


(ρ(x,t),θ(x,t),Ft(t− s,x)) compressible


(θ(x,t),Ft(t− s,x)) incompressible(1.9)

4 Dans une théorie du premier gradient.


où F est une fonctionnelle caractéristique du fluide, vérifiant la relation (1.8) pour tout changement de réfé-rentiel.

Toutefois, dans certaines situations expérimentales les hypothèses précédentes peuvent ne plus être vérifiéeset on doit tenir compte des gradients de température et/ou du passé thermique dans la loi constitutive. Il fautalors modifier en conséquence la relation (1.8). Le lecteur intéressé par ce type de modèles et les formulationsgénérales que l’on peut alors construire pourra par exemple consulter [12].

On notera que l’expression finale de la loi constitutive ne préjuge pas de la situation de déséquilibrethermodynamique au sein de la particule X, sous réserve que la température évolue "assez" lentement etque les gradients de température ne soit pas "trop" élevés pour pouvoir considérer que seule la valeur de latempérature suffit à caractériser l’influence de l’agitation thermique.

1.4.2 Fluide simple au repos

On déduit facilement de ce qui précède la proposition suivante:

IProposition 1.2 Dans un fluide simple au repos, le tenseur des contraintes de Cauchy est réduit à unepression.

On s’y attend, puisqu’au repos on doit retrouver les caractéristiques d’un état d’équilibre thermodynamique.On va le montrer à partir de la loi constitutive. Au repos, Ft(t− s,x) est partout égal à l’identité. Examinonsle cas du fluide compressible. Puisque Dρ

Dt = 0, ρ(x,t) est une constante quand on suit une particule dans sonmouvement.

Désignons, pour simplifier par Id l’application qui à chaque s ∈ [0,+ ∞[ associe l’identité et posons, poursimplifier, εεε = F

s≥0(ρ,θ,Id). Dans l’expression du principe d’objectivité matérielle choisissons Q orthogonal et

choisissons un changement de référentiel "constant", tel que Q(s) soit égal Q pour tout s. On en déduit que:

∀Q ∈ O(E) : εεε = Q · εεε ·T Q

Ainsi, εεε commute avec tout le groupe orthogonal, ce qui ne peut avoir lieu que si et seulement si εεε est unehomothétie. Par suite, il existe p ∈ R tel que εεε = −pId. On en déduit que:

∀x,t : σσσ(t,x) = −p(ρ,θ)Id

Dans le cas du repos d’un fluide compressible, la particule fluide est évidemment à l’équilibre local, il enrésulte que p est tout simplement la pression thermodynamique donnée par la loi d’état.

Dans le cas du fluide incompressible, on déduit comme ci-dessus que le tenseur εεε doit être une homothétie,mais comme de plus il doit être de trace nulle (puisque F est un déviateur), εεε est donc nul. Finalement commele tenseur des contraintes de Cauchy, d’après le P.P.V. , est de la forme σσσ(x,t) = −pId(x,t) + τττ(x,t), on a lerésultat. Notons qu’alors la pression p peut dépendre arbitrairement de x et t. Ce qui ne doit pas nous étonnerpuisque l’on sait que la pression n’est alors pas une fonction d’état à l’équilibre thermodynamique.

1.4.3 Note sur les fonctions thermodynamiques

Pour les matériaux simples en évolution thermique quasi stationnaire on peut, par une analyse semblableà celle développée pour la loi constitutive, se convaincre que l’entropie et l’énergie libre sont des fonctions desmêmes variables que la contrainte et qu’elles présentent le même groupe de symétrie que la fonctionnelle F.Ainsi, on aura pour les fluides simples dans une théorie du premier gradient 5:

η(t,x) = ηs≥0

(ρ(x,t),θ(x,t),∇∇∇θ(x,t),Ft(x,t− s))

ψ(t,x) = ψs≥0

(ρ(x,t),θ(x,t),∇∇∇θ(x,t),Ft(x,t− s))(1.10)

qui sont des fonctions de leurs premiers arguments et des fonctionnelles du dernier 6. Où, η est la densitéspécifique d’entropie et ψ d’énergie libre.

5 Dans le cas incompressible, ρ ne fait pas partie de la liste des arguments. 6 En fait, comme dans l’étude proposée plus loinpour les fluides à mémoire instantanée, le second principe permet de montrer que ces fonctions ne dépendent pas du gradient detempérature. De sorte que l’on retrouve exactement les mêmes variables que pour la contrainte

1.5. FLUIDES SIMPLES À MÉMOIRE INSTANTANÉE 15

1.4.4 Note sur les mouvements stationnaires.

On sait que dans un mouvement stationnaire Ωt = Ω est constant et que l’on a la relation:

∀t,t′,s,∀x ∈ Ω : Ft(t− s,x) = Ft′(t′ − s,x) (1.11)

Si on suppose de plus que la température est stationnaire, on en déduit que le tenseur des contraintes deCauchy (ou son déviateur) est stationnaire et donné par (cas compressible):

σσσ(x) = Fs≥0

(ρ(x),θ(x),Ft0(t0 − s,x)) (1.12)

où t0 est instant quelconque. On a de même, pour l’entropie et l’énergie libre:

η(x) = ηs≥0

(ρ(x),θ(x),∇∇∇θ(x),Ft0(x,t0 − s))

ψ(t) = ψs≥0

(ρ(x),θ(x),∇∇∇θ(x),Ft0(x,t0 − s))(1.13)

1.5 Fluides simples à mémoire instantanée

On va examiner ici le cas des situations expérimentales ou l’échelle temporelle des variations de la défor-mation macroscopique est grande devant le temps caractéristique de relaxation des mouvements potentielsinter-moléculaires. Ce qui se traduit par le fait que, vue "depuis" la particule, la déformation est lente et l’onpeut raisonnablement penser que seules ses valeurs dans le passé immédiat affectent la valeur actuelle de lacontrainte. On admet donc un "principe de localisation temporelle" au voisinage de l’instant présent, commeon a admis un principe de localisation spatiale au voisinage de la particule considérée.

1.5.1 Les fluides de Reiner-Rivlin

Le plus simple, comme pour les variations spatiales et donc de considérer que seule la valeur actuelle de ladéformation et de sa dérivée première temporelle déterminent l’état de contrainte. Comme Ft(t) = Id, toutrevient à supposer que la fonctionnelle précédente n’est finalement qu’une fonction de la valeur ∂Ft(t+s,x)

∂s |s=0 =∇∇∇v(t,x) de la dérivée du tenseur des déformations relatives. C’est à dire qu’il existe une fonction f telle que(cas compressible par exemple):

Fs≥0

(ρ,θ,Ft(t− s)) = f(ρ,θ,∇∇∇v)

On dit, pour des raisons évidentes, que de tels fluides sont à mémoire "instantanée". En fait, c’est un abus delangage, car c’est aussi une propriété de la situation expérimentale.

En vertu du principe d’objectivité f ne dépend en fait que de la partie symétrique du gradient de vitesse: ilsuffit de changer de référentiel en suivant le mouvement de rotation local caractérisé par le vecteur tourbillon.Pour ce qui suit, pour tout champ de vecteurs u, on notera D[u] - ou plus simplement D si il n’y a pasd’ambiguïté -la partie symétrique de son gradient.

Finalement, il existe une fonction f , à valeurs dans l’ensemble des endomorphismes symétriques (resp. sym.de trace nulle) telle que:

σσσ(t,x) = f(ρ,θ,D[v]) compressible

τττ(t,x) = f(θ,D[v]) incompressible

Pour ce qui suit on omettra la dépendance en ρ,θ tant qu’elle n’est pas pertinente pour la discussion. Leprincipe d’objectivité pour f se traduit par:

∀Q ∈ O3 : Q · f(D) ·T Q = f(Q · D ·T Q)

et ce pour tout D dans S(E) ou Sdev(E).Ce qui signifie que f est isotrope. On sait alors (voir par exemple R.S. Rivlin et J.L. Ericksen[14]) que:

∀D : f(D) = α(I1,I2,I3)Id + 2µ(I1,I2,I3)D + β(I1,I2,I3)D2 (1.14)


où (I1,I2,I3) sont les trois invariants 7 scalaires de D, c’est à dire :

I1 = tr(D) I2 = tr(D2) =γ2

2I3 = tr(D3)

et où α,µ,β sont trois fonctions scalaires arbitraires.Ce modèle de fluides décrit par la relation générale (1.14) est appelé fluide de Reiner-Rivlin. La fonction µ

est la viscosité du fluide.Dans le cas incompressible, d’une part f(D) doit être un déviateur et d’autre part I1 = 0. On doit donc

avoir: 3α + βI2 = 0. De sorte que la loi la plus générale du fluide incompressible à mémoire instantanée enthéorie du premier gradient est donc de la forme:

τττ = β(I2,I3)[−I23

Id + D2] + 2µ(I2,I3)D incompressible (1.15)

1.5.2 Fluide visqueux incompressible

Considérons un développement limité des coefficient β et µ en fonction de D. Au repos on a µ(0,0) = µ0 > 0car la viscosité des fluides réels est non nulle, la contribution du terme µD à τττ est donc du premier ordre alorsque celle du premier terme est au moins du second ordre en D, ce qui justifie de la négliger à faibles tauxde cisaillement. On notera de plus que le terme en βD2 est responsable de l’apparition de termes diagonauxnon nuls dans le déviateur des contraintes en écoulement de cisaillement simple (voir le chapitre suivant).On dit qu’il s’agit de contraintes normales. Or, dans les situations expérimentales où l’on observe ces effetsde contraintes normales on observe en général également des effets "élastiques" caractéristiques de temps derelaxations d’ordre macroscopique 8. Ainsi, en pratique, pour les fluides incompressibles à mémoire instantanéeon considère que l’on peut négliger le terme en β(I2,I3)[− I2

3 Id + D2], y compris à fort taux de cisaillement.Le second invariant I2 représente, à un facteur près, le carré du taux de cisaillement γ et mesure donc

l’intensité du taux de déformation. L’expérience montre, pour de très nombreux fluides réels, que les variationsde µ en fonction de γ sont significatives. En général, on ignore la dépendance de la viscosité par rapport autroisième invariant, il n’y a d’ailleurs pas, à ma connaissance, de situations expérimentales simples où l’onpourrait la mettre en évidence.

Finalement, les lois les plus courantes pour les fluides incompressibles à mémoire instantanée seront doncde la forme 9:

σσσ(t,x) = −p(x,t)Id + 2µ(θ,γ)D (1.16)

Les fluides qui vérifient de tels lois rhéologiques sont appelés: fluides visqueux généralisés. La fonction µ est laviscosité, on verra un peu plus loin qu’elle est nécessairement positive.

Ainsi, dans la littérature, on rencontrera des relations exprimant µ(γ). Par la suite, on sera amener àconsidérer la fonction τ (elle est appelée fonction de cisaillement) définie sur tout R par:

τ : R 7→ R

x 7→ µ(|x|)x

On voit qu’en écoulement de Couette plan son interprétation est simple: à un taux de cisaillement algébriqueelle associe la contrainte de cisaillement résultante. Des allures expérimentales typiques de la fonction τ sontindiquées sur la figure 1. On dit alors que le fluide est rhéofluidifiant si la courbe représentative de x ∈ R

+ 7→τ(x) est concave et rhéoépaississant si elle est convexe.

1.5.2.1 Loi puissance

Une des lois empiriques fréquemment utilisée en rhéologie pour les fluides visqueux incompressibles estalors la loi d’Oswald-DeWaëlle - appelée aussi "loi puissance" ou loi "pseudo-plastique"- qui s’écrit:

µ(θ,γ) = k(θ)γn−1 (1.17)

7 Les invariants scalaires d’un endomorphisme symétrique sont en bijection avec ses valeurs propres, ou, ce qui est équivalent avecles coefficients de son polynôme caractéristique. Cependant le choix de d’une telle bijection est arbitraire et on pourra trouverd’autres choix dans la littérature. 8 En particulier la première différence normale Ψ1, introduite au chapitre suivant, n’estpas nulle. 9 On a remplacé, sans changer de notation, la dépendance de la viscosité en I2 par une dépendance en γ =

√2I2,

conformément à l’usage.

1.5. FLUIDES SIMPLES À MÉMOIRE INSTANTANÉE 17

τ

γ

Rheofluidifiant

Rheoepaississant

Newtonien

Fig. 1.1 – Allures de la fonction de cisaillement

où:k > 0

est la consistance etn > 0

est l’indice de structure.Ainsi, pour le fluide en loi puissance:

τ(x) = k(θ)xn si x ≥ 0

τ(x) = −k(θ)|x|n si x < 0

Le fait que n soit > 0 est expérimentalement bien vérifié: on ne connaît pas de fluide pour lequel le frottementpariétal diminue avec le cisaillement, du moins pour les situations usuelles. Si 0 < n < 1, le fluide est rhéoflui-difiant, il est Newtonien si n = 1 et rhéoépaississant sinon. Beaucoup de fluides sont rhéofluidifiants, mais cen’est systématique.

En général on approche empiriquement la dépendance en température de K par une loi d’Arhénius et cellede n par une loi linéaire:

k = K0ea(θ−θ0)

θ0 n = n0 + bθ − θ0θ0

les paramètres K0,n0,a,b sont à déterminer en "fittant" les résultats expérimentaux. L’expérience montre queb est en général petit de sorte que l’on suppose le plus souvent que n est constant. A l’inverse, K est en généralsensible à la température. Le tableau 1.1 indique quelques valeurs de n et K extraites de [6].

1.5.2.2 Loi de Carreau

La loi puissance est simple, cependant elle n’est pas réaliste au voisinage de γ = 0 ni au voisinage deγ = +∞. On préférera souvent, en particulier pour les simulations numériques, utiliser la loi de Carreau:

x ≥ 0 : τ(x) = x[µ∞ + (µ0 − µ∞)(1 + λ2x2)n−1

2 ] (1.18)

n ≤ 1 et n(µ0 − µ∞) ≥ 0 (1.19)

qui prévoit des viscosités finies et positives en 0 et en l’infini et qui rend bien compte de nombreux résultatsexpérimentaux. Le paramètre λ est un temps, µ0 et µ∞ sont les viscosités limites du fluide, aux faibles et aux


Solutions Température (oC) K (Nsnm−2) nHydroxyethylcellulose à 0.5% 20 0.84 0.5088

40 0.3 0.594960 0.136 0.645

Hydroxyethylcellulose à 2.0% 20 93.5 0.18940 59.7 0.22360 38.5 0.254

Poly(ethylène Oxyde) à 1.0% 20 0.994 0.53240 0.706 0.54460 0.486 0.599

Tab. 1.1 – Valeurs de n et K pour des solutions aqueuses, d’après Bird et alii: Dynamics of polymeric liquids.I "Fluid Mechanics" J. Willey (1977).

forts taux de cisaillement, respectivement (sauf pour le fluide Newtonien qui correspond à n = 1 et pour lequella viscosité est µ0). Pour cette loi, la viscosité est donc fonction du taux de cisaillement à travers la relation:

µ(γ) − µ∞µ0 − µ∞

= (1 + λ2γ2)n−1

2 (1.20)

On trouvera dans la littérature (c.f. [6], [16], [8]) des valeurs expérimentales des paramètres pour certainsfluides réels. C’est une loi qui est fréquemment utilisée dans les codes numériques.

1.5.2.3 Petit catalogue

On pourra rencontrer les lois suivantes (x ≥ 0) où les constantes sont positives:

τ(x) = µ0x+Kxn Sisko (1.21)

τ(x) =

[µ∞ +

µ0 − µ∞1 + (λx)n

]x Cross (1.22)

τ(x) = x[µ∞ + (µ0 − µ∞)1

(1 + λ2x2)n] Williams (1.23)

τ(x) = xµ∞[1 + (λx)n

α+ (λx)n]2 Quemada (1.24)

et j’en oublie...... On trouvera donc également de nombreux autres modèles. Pour le sang, par exemple, onconnaît les lois suivantes (x ≥ 0):

τ(x) = µ0x[1 + α

√x

1 + β√x

]2 Stoltz-Ravey ≈ (1980) (1.25)

τ(x) = µ0x[1 + αx

1 + βx] Oldroyd ≈ (1950) (1.26)

τ(x) = x[µ∞ + (µ0 − µ∞)1 + Log(1 + λx)

1 + λx] Yeleswarapu (1996) (1.27)

où les constantes sont positives.

1.6 Restrictions imposées par le second principe pour les fluides àmémoire instantanée

On ne discutera que le cas des fluides de type Reiner-Rivlin.Les densités d’énergie interne et d’entropie ne dépendent alors à priori que de la déformation subie dans

le passé immédiat. Comme ces densités sont invariantes par changement de référentiel elles ne dépendent enfait, dans une théorie du premier gradient, que de la partie symétrique D de ∇∇∇v, comme pour la contrainte.De sorte que, pour l’énergie libre et l’entropie, on a (cas compressible par exemple):

η(t,x) = η(ρ,θ,∇∇∇θ,D)

ψ(t,x) = ψ(ρ,θ,∇∇∇θ,D)

1.7. PROBLÈME INTÉRIEUR DE STOKES 19

Le bilan de dissipation s’écrit donc (λ est la conductibilté thermique):

σσσ : D + ρ2 ∂ψ

∂ρdivv

−ρ(∂ψ∂θ

+ η)Dθ

Dt− ρ(

∂ψ

∂∇∇∇θ |D∇∇∇θDt

) − ρ∂ψ

∂D:DD

Dt

+λ

θ(∇∇∇θ|∇∇∇θ) ≥ 0

On a tenu compte de l’équation de continuité: div(v) = − 1

ρ

Dρ

Dt. L’inégalité doit être vraie pour tout processus

thermocinétique. Or les champs spatiaux ρ, θ, et v étant fixés, les valeurs deDθ

Dt,D∇∇∇θDt

etDD

Dtpeuvent être

choisies arbitrairement sans modifier les valeurs de leurs coefficients, ni les autres termes du bilan. On en déduitque ces coefficients doivent être nuls. Il en résulte que:

η = −∂ψ∂θ

∂ψ

∂∇∇∇θ =∂ψ

∂D= 0

Finalement, les fonctions ψ et η ne dépendent que de ρ et θ et ces fonctions ne peuvent donc être que les fonc-tions d’état de l’équilibre thermodynamique. On observe donc que les fluides à mémoire instantanée évoluenten équilibre thermodynamique local ce qui confirme la discussion heuristique sur les temps caractéristiques,esquissée au chapitre précédent.

On sait alors que: pth = ρ2 ∂e∂s (ρ,s) = ρ2 ∂ψ

∂ρ (ρ,θ) est la pression thermodynamique et l’inégalité s’écrit donc:

(σσσ + pthId) : D +λ

θ(∇∇∇θ|∇∇∇θ) ≥ 0 (1.28)

Comme σσσ + pthId ne dépend pas de ∇∇∇θ, il vient:

λ ≥ 0 et (σσσ + pthId) : D ≥ 0

La conductibilité thermique est donc toujours une fonction positive. La seconde inégalité s’écrit aussi:

(α+ pth)I1 + µγ2 + βI3 ≥ 0

Dans le cas du fluide visqueux incompressible, ρ n’est pas variable d’état et l’inégalité (1.28) devient:

2µD : D +λ

θ(∇∇∇θ|∇∇∇θ) ≥ 0 (1.29)

Comme µ ne dépend pas de ∇∇∇θ on en déduit que, pour le fluide incompressible visqueux généralisé, la viscositéet la conductibilité thermique sont donc toujours des fonctions positives. Pour un fluide réel la viscosité n’estpas nulle et donc:

µ > 0 (1.30)

En conséquence, pour un fluide visqueux généralisé la fonction de cisaillement τ(x) est strictement croissanteau voisinage de l’origine et positive pour les x > 0. Un fluide visqueux généralisé "classique", est un fluidevisqueux généralisé pour lequel la fonction de cisaillement est continue 10, strictement croissante et impaire.Toutes les lois empiriques indiquées au paragraphe 1.5.2 vérifient cette condition. A noter que si τ perd samonotonie on est alors confronté à un problème de stabilité dans les écoulements de Couette plan.

1.7 Note sur le problème de Stokes intérieur pour le fluide visqueuxgénéralisé incompressible.

On s’intéresse à l’écoulement stationnaire et isotherme d’un fluide visqueux généralisé incompressible et onsuppose que les termes d’inertie ∇∇∇v ·v sont nuls ou négligeables. On désigne par Ω le domaine de l’écoulementqui est fixe. On suppose évidement que c’est un ouvert connexe mais dans un premier temps on ne va pas faired’hypothèses particulières sur le domaine. On notera τ la fonction de cisaillement du fluide. On cherche donc

10 Ce qui exclut les fluides à seuil.


un champ de vitesse v et un champ de pression p définis sur Ω et vérifiant les équations locales du mouvementainsi que des conditions limites que l’on précisera plus loin. Ces équations locales sont les équations de Stokes:

div(τττ [v]) = ∇∇∇(p+ ρφ)

div(v) = 0(1.31)

où:τττ [v] = 2µ(I2[v])D[v] I2[v] = D[v] : D[v] (1.32)

où µ est la viscosité dynamique du fluide, qui dépend du second invariant I2[v] du gradient de vitesse.Pour ce qui suit, on notera S(Ω) l’ensemble des champs:

S(Ω) = v ∈ L1loc(Ω,E);D[v] ∈ L1

loc(Ω,L(E,E)) (1.33)

C’est un espace vectoriel réel.

1.7.1 Potentiel de dissipation.

Introduisons la fonctionnelle définie pour tout champ u ∈ S(Ω) par:

u ∈ S(Ω) 7−→ J(u) =

∫

Ω

[

∫ √2D[u]:D[u]

0

τ(s) ds] dx (1.34)

Vu les propriétés de τ , la fonctionnelle J est bien définie, positive et éventuellement infinie. La fonctionnelle Jsera appelée potentiel de dissipation. Il est facile de voir que la croissance de τ implique la convexité de J .

Dans le cas d’un fluide d’Oswald-De-Waëlle la fonction de cisaillement suit une loi puissance et un calculélémentaire donne:

J(u) =1

n+ 1

∫

Ω

K2D[u] : D[u]n+12 dx =

1

n+ 1

∫

Ω

τττ [u] : D[u] dx (1.35)

ce qui, au facteur 1/(n+1) près, est exactement égal à la dissipation volumique dans le domaine Ω puisque latempérature est constante. D’où le nom de la fonction J .

D’après les résultats généraux sur les fonctions convexes, la fonctionnelle J admet donc en tout point v oùelle est finie une première variation dans la direction de tout champ u ∈ D(Ω,E), et ce puisque elle reste finiesur la droite v + λu. Si la fonction de cisaillement τ est continue 11 un calcul élémentaire donne alors:

limλ→0

J(v + λu) − J(v)

λ=

∫

Ω

2µ(I2[v])D[v] : D[u] = P[v](u)

Comme P[v](−u) = −P[v](u), cette première variation est une première variation selon Lagrange.A noter que la quantité que −P[v](u) est la puissance virtuelle des efforts intérieurs.

Conséquence. Si la fonction de cisaillement est continue impaire et croissante et si v est solution duproblème de Stokes avec J(v) finie, on doit avoir δJ(v;u) = 0 pour tout champ u ∈ D(Ω,E) à divergence nulle.Autrement dit le champ v rend minimale la fonctionnelle convexe J sur l’espace affine v + D(Ω,E); div = 0.Cette propriété est une caractéristique fondamentale des écoulements de Stokes.

1.7.2 Le problème intérieur.

On suppose ici que le domaine de l’écoulement est un domaine borné et connexe de bord C1 ou mêmelipchitzien. Cette situation englobe entre autres les problèmes de lubrification. Il faut alors se donner unecondition limite sur le bord de Ω. On va prendre une condition limite de type Dirichlet, c’est à dire que l’onva chercher un champ où la vitesse est imposée sur le bord. Dans un problème de lubrification cette vitessesera par exemple nulle sur la surface la plus externe et ce sera un champ rigidifiant sur chaque frontière mobileintérieure.

On fait sur la fonction de cisaillement les hypothèses suivantes :

Hypothèses 1.7.1 On suppose que:1. τ est continue, impaire et strictement croissante.

11 Si on s’affranchit de l’hypothèse de continuité, ce qui est le cas du fluide à seuil par exemple, pour le problème intérieur J seraseulement sous différentiable.

1.7. PROBLÈME INTÉRIEUR DE STOKES 21

2. Il existe quatre constantes n > 0,A > 0,B > ,χ0 ≥ 0 telles que:

∀|x| ≥ χ0 : A|x|n ≤ |τ(x)| ≤ B|x|n

Ces hypothèses sont vérifiées par tous les modèles cités au paragraphe 1.5.2. Pour les fluides Newtoniens oules fluides en loi puissance ce sont d’ailleurs des trivialités. A noter que la première hypothèse est la conditionhabituelle pour les fluides visqueux généralisés classiques.

Il est naturel de chercher une solution pour laquelle la puissance dissipée P[v](v) est finie. Par suite, onrecherche une solution dans l’espace vectoriel W1,n+1(Ω) qui est évidemment un sous espace vectoriel de S(Ω).On vérifie facilement que J est finie sur W1,n+1(Ω). Comme ce dernier est un Banach, il en résulte que J estcontinue sur W1,n+1(Ω), ce que l’on peut d’ailleurs vérifier directement. On sait alors, d’après les résultatsgénéraux sur les fonctionnelles convexes, que pour tout v ∈ W1,n+1(Ω) l’application u ∈ W1,n+1(Ω) 7→ P[v](v)est la dérivée de Gateaux de J . En particulier, la forme linéaire u 7→ P[v](u) introduite plus haut est continuepar rapport à u, ce que l’on peut d’ailleurs vérifier directement, vu les propriétés de τ .

Il nous faut maintenant préciser la condition limite. On se donne un champ v0 de W1,n+1(Ω) à divergencenulle et on cherche un champ v ∈ W1,n+1(Ω) et un champ p - au moins dans L1

loc(Ω) - solution des équationsde Stokes et vérifiant la condition limite v = v0 sur le bord. C’est à dire

div(τττ) = ∇∇∇(p)

div(v) = 0

v = v0 sur ∂Ω

(1.36)

où p = p+ ρφ est la pression motrice. On a alors la:

IProposition 1.3 Les hypothèses sur la fonction de cisaillement sont celles faites ci-dessus. Soit v0 ∈W1,n+1(Ω). Le fonctionnelle J est continue sur W1,n+1(Ω) et strictement convexe sur le sous espace affinev0 +W1,n+1

0 (Ω) ou elle admet un minimum qu’elle atteint en unique point v. Si le problème de Stokes possèdeune solution alors elle est unique et égale à v. Tout champ w ∈ W1,n+1(Ω,E) vérifiant div(w) = 0 et w = v0

sur ∂Ω est tel que:J(w) ≥ J(v) (1.37)

l’égalité n’ayant lieu que si et seulement si v = w

Autrement dit, parmi tous les champs incompressibles vérifiant la condition limite, l’unique solution duproblème de Stokes rend minimale la fonctionnelle de dissipation. Il s’agit donc d’une généralisation du résultatclassique sur les écoulements de Stokes de fluides Newtoniens.

Finalement, il ne peut se passer que deux choses. Ou bien ce minimum v est solution du problème deStokes, c’est à dire qu’il existe une pression, ou bien le problème de Stokes n’a pas de solution. Dans le casNewtonien, n = 1, l’existence de la pression est une conséquence du théorème de représentation des formeslinéaires nulles sur les champs à divergence nulle, que l’on a implicitement utilisé pour passer du principe despuissances virtuelles au principe de Newton.

Ce théorème de représentation s’étend à priori au cas n > 0 quelconque mais la démonstration que jeconnais est beaucoup plus délicate et, en réalité, je n’ai pas de référence dans la littérature où cette extensionsoit établie, c’est pourquoi je n’énonce pas de théorème d’existence.

Note La pression motrice a un statut de multiplicateur de Lagrange pour la contrainte d’incompressibilité.Pour voir cela, il suffit de considérer la fonction de Lagrange:

L(v,λλλ1,λ2) = J(v) −∫

∂Ω

(λλλ1|v − v0) dσ −∫

Ω

λ2div(v) dx (1.38)

On voit que le champ v rend stationnaire la fonction de Lagrange sur tout W1,n+1(Ω) c’est à dire sur tousles champs de vitesse possibles quand le champ λ2 = p est la pression motrice et que le champ λλλ1 = σ · nσ · nσ · nest le vecteur contrainte sur le bord. Le champ de contraintes sur le bord apparaît également comme unmultiplicateur de Lagrange pour la contrainte de vitesse imposée.

A titre d’illustration, examinons le problème de la traînée sur un obstacle. Supposons que l’on veuillecalculer la traînée sur un obstacle qui se déplace à vitesse constante V0 dans une boîte fermée remplie d’unfluide qui obéit à une loi puissance. Soit Ω le domaine constitué de la boîte privée de l’obstacle. La traînée estalors donnée par:

|T | =1

V0

∫

Ω

τττ [v] : D[v] dx =n+ 1

V0J(v) (1.39)


où v est la solution du problème intérieur de Stokes dans Ω pour une vitesse nulle sur les parois de la boîteet constante sur l’obstacle. Autrement dit, à un facteur près la traînée est donnée par le minimum de J surl’ensemble des champs admissibles. Attention toutefois que ce résultat ne se généralise pas à d’autres lois.

1.8 Couche limite sur une plaque plane d’un fluide visqueux généra-lisé.

On va examiner comment sont modifiées les équations de couche limite pour les fluides visqueux généralisés.Pour cela, on utilise la méthode des développements asymptotiques raccordés qui est présentée et utilisée dans[18] (chapitre XII) pour l’étude de la couche limite sur une plaque plane d’un fluide Newtonien.

Soit Oxyz un repère cartésien orthonormé. On s’intéresse à l’écoulement stationnaire isotherme et bidi-mensionnel d’un fluide incompressible, visqueux généralisé, au dessus d’une plaque plane représentée par leplan Oxz. On suppose que l’écoulement (i.e. la vitesse et la pression) ne dépend pas de la coordonnée z, quela plaque est immobile et que la vitesse loin de la plaque (i.e. y → +∞) ou en amont (i.e. x < 0) est uniformeparallèle à l’axe Ox et d’intensité U∞ > 0. On s’intéresse aux x > 0, "assez" loin de l’origine. On ne fait pasintervenir la pesanteur (ou si on veut on l’incorpore en pression motrice) et on suppose que p est uniforme loinde la plaque ou en amont, d’intensité p∞ = 0. En notant:

v = u(x,y)ex + v(x,y)ey (1.40)

les équations de la dynamique sont donc:

div(τττ) −∇∇∇p = ρ∇∇∇v · vdiv(v) = 0

limy→+∞

v = U∞ex limy→+∞

p = 0

v = 0 si y = 0,x > 0

(1.41)

On fait sur la fonction de cisaillement les mêmes hypothèses que pour l’étude du problème de Stokes et onsuppose de plus que 0 < n < 2, ce qui est vérifié par les fluides réels.

On rend le problème sans dimension en introduisant une longueur caractéristique L qui s’interprète commeune distance par rapport à l’origine, et on pose:

x = Lx y = Ly v = U∞v p = ρU2∞p

La fonction τ étant la fonction de cisaillement, on introduit la fonction τ définie sur la variable sans dimensionx par:

τ(x) =τ(U∞

L x)

K(U∞/L)n

où K > 0 est une consistance dans l’intervalle [A,B]. Si le fluide suit une loi puissance, K est tout simplementsa consistance, si le fluide est Newtonien c’est sa viscosité. On a donc:

|x| ≥ χ0L

U∞⇒ A

K|x|n ≤ |τ(x)| ≤ B

K|x|n

Les équations de la dynamique sous forme adimensionnelle sont alors:

1

Rediv(2

τ(χ)

χD) −∇∇∇p = ∇∇∇v · v

div(v) = 0

(1.42)

où D est la partie symétrique du gradient de v et où χ est le taux de cisaillement correspondant, c’est à dire:χ =

√2D : D. Les opérateurs divergence sont à prendre par rapport aux variables sans dimension (x,y). Le

nombre:

Re =ρU2−n

∞ Ln

K(1.43)

est le nombre de Reynolds "non Newtonien". Si n = 1, le fluide est Newtonien et on a évidement K = µ et onretrouve le nombre de Reynolds habituel. Attention que l’écriture des équations (1.42) est trompeuse, car le

rapportτ(χ)

χdépend de Re.

1.8. COUCHE LIMITE 23

On se place dans la situation où Re → +∞. Comme on ne veut pas se donner explicitement la loi decomportement on se contentera de développer les équations intérieures et extérieures uniquement à l’ordreprincipal.

1.8.1 Les équations de Prandtl.

Le problème extérieur. Dans le problème extérieur, on se place loin de la plaque (i.e. y L) et onconsidère que les variables "barre" sont des O(1). A l’ordre principal, on obtient les équations d’Euler du fluideparfait incompressible, comme dans le cas habituel. C’est à dire:

−∇∇∇p = ∇∇∇v · v + o(Re)

div(v) = 0

limy→+∞

v = ex limy→+∞

p = 0

(1.44)

On recherche alors une solution, "loin de la plaque" (i.e. y 1), sous forme d’un développement asymptotique:

v(x,y;Re) = v0(x,y) + [U1(Re)u1(x,y)ex + V1(Re)v1(x,y)ey] + · · ·p(x,y;Re) = p0(x,y) + P1(Re)p1(x,y) + · · · (1.45)

où U1, V1, P1 → 0 quand Re→ +∞ et où les termes d’ordre 0 ainsi que leurs gradients sont supposés être desO(1). En reportant dans l’équation précédente, on obtient les équations pour (v0,p0).

Le problème intérieur. Au voisinage de la plaque, en fonction de y, on s’attend à une variation rapidede la composante horizontale de la vitesse et à une variation faible de la composante verticale qui reste petite.On introduit donc un changement de variable sans dimension de manière à dilater les échelles verticales auvoisinage de la plaque et on introduit les variables de couche limite, comme dans le cas habituel:

x = xb y = δ(Re)yb

v = ub(xb,yb)ex + η(Re)vb(xb,yb)ey

p = pb

où δ(Re) et η(Re) → 0 quand Re → +∞. Les échelles η et δ sont inconnues. On reporte ces fonctions dansles équations (1.42) et on effectue le changement de variable (x,y) 7→ (xb,yb). La condition d’incompressibilités’écrit:

0 = div(v) =∂ub∂xb

+η

δ

∂vb∂yb

(1.46)

Pour éviter les dégénérescences, on est donc conduit à supposer que η(Re)δ(Re) = O(1). On choisit donc δ(Re) =

η(Re). Pour ce qui concerne le bilan de quantité de mouvement, la projection sur l’axe Ox s’écrit alors:

ub∂ub∂xb

+ vb∂ub∂yb

= −∂pb∂xb

+1

Re

∂

∂xb[2τ(χ)

χ

∂ub∂xb

] +1

Reδ

∂

∂yb[τ(χ)

χ(δ∂vb∂xb

+1

δ

∂ub∂yb

)] (1.47)

On a également:

D : D =1

2δ2(∂ub∂yb

)2 + [(∂ub∂xb

)2 + (∂vb∂yb

)2 +∂ub∂yb

∂vb∂xb

+δ2

2(∂vb∂xb

)2] (1.48)

D’où:χ = χb +O(1) (1.49)

où:

χb =1

δ|∂ub∂yb

| (1.50)

Quand Re→ +∞, δ → 0 et le taux de cisaillement tend vers l’infini. On a alors:

τ(χ)

χ= O(δ1−n) (1.51)


Les termes d’ordre principal dans la projection du bilan de quantité de mouvement sur l’axe Ox sont alors les

termes en1

Reδ2O(δ1−n). De manière éviter les dégénérescences on doit donc supposer que

1

Reδ2O(δ1−n) =

O(1) ce qui fixe l’échelle de dilatation. On prend donc:

Re(δ(Re))n+1 = 1 (1.52)

Dans le cas du fluide Newtonien (n=1), on retrouve l’échelle habituelle. On va alors faire une hypothèse surle comportement asymptotique de la fonction de cisaillement. De manière précise, on va supposer que quandx→ +∞, pour toute fonction f bornée, on a:

τ(x+ f(x)) = τ(x)[1 + ε1(x)] τ ′(x+ f(x)) = τ ′(x)[1 + ε2(x)] (1.53)

où les fonctions εi tendent vers 0 quand x → +∞, ce qui est bien vérifié par toutes les lois usuelles (etévidemment par les lois puissances). Dans ces conditions, le comportement asymptotique de la "viscositéréduite" est donné par:

τ(χ)

χ=τ(χb)

χb[1 +O(δ)] (1.54)

En reportant dans le bilan de quantité de mouvement selon Ox, il reste donc:

ub∂ub∂xb

+ vb∂ub∂yb

= −∂pb∂xb

+1

Reδ2∂

∂yb[τ(χb)

χb

∂ub∂yb

)] + ε(Re) (1.55)

Les termes conservés sont d’ordre 1. La projection sur l’axe Oy ne contient alors que des termes négligeableset il vient:

∂p

∂yb= ε(Re) (1.56)

A l’ordre principal, les équations pour le problèmes intérieur sont donc:

∂ub∂xb

+∂vb∂yb

= 0

∂p

∂yb= ε(Re)

ub∂ub∂xb

+ vb∂ub∂yb

= −∂pb∂xb

+1

Reδ2∂

∂yb[τ(χb)

χb

∂ub∂yb

)] + ε(Re)

(1.57)

avec les conditions sur la plaque:ub(xb,0) = vb(xb,0) = 0 (1.58)

On cherche alors, comme pour le problème extérieur, un développement asymptotique de la solution de laforme:

ub(xb,yb;Re) = u0b + U1

b (Re)u1b + · · ·

vb(xb,yb;Re) = v0b + V 1

b (Re)v1b + · · ·

pb(xb,yb;Re) = p0b + P 1

b (Re)u1b + · · ·

(1.59)

Comme pour le problème extérieur, on obtient alors des équations pour (u0b ,v

0b ,p

0b).

Pour que les deux solutions soient cohérentes, on demande aux développements asymptotiques de se rac-corder selon la règle de Van Dyke quand Re → +∞. Comme on a écrit uniquement les équations intérieuresou extérieures à l’ordre principal, la règle de raccord se résume à:

u0b(xb,+ ∞) = u0(xb,0)

1

Re1

n+1

v0b (xb,+ ∞) = v0(xb,0) + V1(Re)v1(xb,0) +

yb

Re1

n+1

∂v0

∂y(xb,0)

p0b(xb,+ ∞) = p0(xb,0)

(1.60)

Ce qui fixe l’échelle V1(Re) = 1

Re1

n+1pour le développement aux ordres suivants et donne v0(xb,0) = 0. Pour

le problème extérieur, on prend donc comme solution à l’ordre 0 un écoulement uniforme de vitesse U∞ex,identique à l’écoulement amont. La pression y est donc constante (nulle). Or, dans le problème intérieur, lapression ne dépend que de xb. La condition de raccord nous indique qu’elle est donc également constante (nulle).

1.8. COUCHE LIMITE 25

La pression n’intervient donc pas dans les équations intérieures à l’ordre principal et il reste uniquement deuxéquations:

∂u0b

∂xb+∂v0

b

∂yb= 0

u0b

∂u0b

∂xb+ v0

b

∂u0b

∂yb=

1

Reδ2∂

∂yb[τ(χ0

b)

χ0b

∂u0b

∂y0b

)]

u0b(xb,0) = v0

b (xb,0) = 0 u0b(xb,+ ∞) = 1 χ0

b =1

δ|∂u

0b

∂y0b

|

(1.61)

En revenant en variables dimensionées, ces équations s’écrivent:

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

ρ(u∂u

∂x+ v

∂u

∂y) =

∂

∂y[τxy]

u(x,0) = v(x,0) = 0 u(x,+ ∞) = U∞

(1.62)

où:

τxy = τ(∂u

∂y) (1.63)

Ce sont les équations de Prandtl. Pour le fluide Newtonien (n=1), on retrouve les équations de couche limitehabituelles.

1.8.2 L’équation de Blasius pour le fluide en loi puissance. Épaisseur de couchelimite.

Pour le fluide en loi puissance, On résoud en fonction de courant. On a:

u =∂ψ

∂yv = −∂ψ

∂x(1.64)

et:

τxy = K[∂2ψ

∂y2]n (1.65)

Et il vient:

ρ(∂ψ

∂y

∂2ψ

∂xy− ∂ψ

∂x

∂2ψ

∂y2) = K

∂

∂y[∂2ψ

∂y2]n (1.66)

En y = 0 on a:∂ψ

∂y(x,0) =

∂ψ

∂x(x,0) = 0 (1.67)

La ligne y = 0 est ligne de courant et on peut donc poser ψ(x,0) = 0. A l’infini, on a ψ(x, + ∞) = U∞y. Enadmettant l’unicité, on a pour λ > 0:

ψ(λx,λ1

n+1 y) = λ1

n+1ψ(x,y) (1.68)

En prenant λ = 1/x, on a donc une solution de la forme:

ψ(x,y) = U∞

[(n+ 1)Kx

ρUn−2∞

] 1n+1

F (η) η = y

[ρUn−2

∞x(n+ 1)K

] 1n+1

(1.69)

où F est solution de l’équation différentielle ordinaire:

ηF ′′′ + F (F ′′)2−n = 0 (1.70)

avec les conditions limites F ′(0) = F (0) = 0, F ′(+∞) = 1. C’est l’équation de Blasius pour le fluide en loipuissance. Vu la variable de similitude, l’épaisseur de la couche limite à la côte x est donc:

δ(x) ∼ x

[n+ 1

Re(x)

] 1n+1

(1.71)


où:

Re(x) =ρU2−n

∞ xn

K(1.72)

On retrouve bien sûr l’épaisseur habituelle du fluide Newtonien si n = 1.

1.9 Equations de la lubrification pour des fluides visqueux générali-sés.

On s’intéresse à des écoulements de films minces entre parois mobiles de fluides incompressibles non ther-modépendants. On souhaite examiner l’influence de la viscosité non Newtonienne. On se contentera d’indiquerles équations. On fait sur la fonction de cisaillement les mêmes hypothèses que pour la couche limite.

On considère un écoulement pour lequel il existe un plan P , tel que les variations de la vitesse selonce plan soient négligeables par rapport aux variations dans la direction transverse. C’est à dire que si L estl’échelle caractéristique des variations de la vitesse selon les directions parallèles à P et d celle dans la directionperpendiculaire à P on a ε = d/L 1. On désignera par V l’ordre de grandeur de l’intensité de la vitesseselon P dans un référentiel Galiléen lié, à priori, à une paroi rigide parallèle à P (on peut également travailleren repère mobile, en tenant compte des termes d’inertie ce que l’on ne fera pas ici). On suppose également,dans le cas instationnaire, que le temps caractéristique de variation de la vitesse est d’ordre L/V .

On se donne un repère cartésien (O,i,j,k) avec (O,k) perpendiculaire à P , on note (x,y,z) les coordonnéeset on pose v = ui + vj + wk. On pose ε = d/L. On introduit les variables et fonctions sans dimension:

d(x,t)

z = 0x

z

Fig. 1.2 – Exemple: la surface supérieure est mobile, le plan inférieur est fixe.

x = Lx y = Ly z = dz t =

L

Vt

u = V u v = V v w = Ww

et on fait l’hypothèse que les vitesses adimensionnées, ainsi que toutes leurs dérivées par rapport aux variables"barres", sont des O(1) dans tous l’écoulement. Comme le fluide est incompressible, on a div(v) = 0 ce qui setraduit, après changement de variables et de fonctions, par:

−W

εV

∂w

∂z= [

∂u

∂x+∂v

∂y]

Le terme ∂w∂z est un O(1) par hypothèse, de même que membre de droite. Pour éviter les dégénérescences le

rapport WεV doit donc rester sur l’échelle 1 quand ε→ 0, c’est à dire:

W = O(εV )

Le bilan de quantité de mouvement s’écrit

ΓΓΓ − L

ρV 2[ρg −∇∇∇p+ div(τττ)] = 0 (1.73)

où l’accélération réduite ΓΓΓ est donnée par:

ρDv

Dt=ρV 2

LΓΓΓ

1.9. LUBRIFICATION 27

On pose Re = ρV 2−ndn

K , comme pour la couche limite et on multiplie tous les termes du bilan de quantitéde mouvement (C.6) par εRe. On introduit également un pression réduite définie par: p(Lx,Ly,Lz) = p0 +ρV 2

εRep(x,y,z) où p0 est une pression constante de référence (par exemple la pression loin de la paroi mobile).

On développe le bilan de quantité de mouvement en gardant les termes à l’ordre principal en ε et εRe. Lescalculs sont un peu pénibles et il vient, après calculs:

O(ε,εRe) + [∂p

∂xi +

∂p

∂yj +

1

ε

∂p

∂zk] =

∂

∂z[µ(γ0)(

∂u

∂zi +

∂v

∂zj)]

où

γ20 = (

∂u

∂z)2 + (

∂v

∂z)2

En projetant sur l’axe Oz on voit que le terme∂p

∂zdoit être un O(ε2,ε2Re), autrement dit à l’ordre principal

il n’y a pas de variation de pression dans la direction transverse.En revenant aux variables dimensionnées, on obtient donc les équations de lubrification:

∂p

∂x=∂τxz∂z

τxz = µ(γ0)∂u

∂z∂p

∂y=∂τyz∂z

τyz = µ(γ0)∂v

∂z

∂p

∂z= 0

(1.74)

On notera qu’à l’ordre principal en ε et εRe la matrice du tenseur des contraintes dans la base (i,j,k) estdonnée par:

[σσσ](i,j,k) =

−p 0 τxz0 −p τyzτxz τyz −p

avec :

τxz = µ(γ0)∂u

∂z

τyz = µ(γ0)∂v

∂z

Pour un fluide Newtonien, on retrouve bien sûr les équations de lubrification habituelle.

Cas où le problème possède une symétrie de révolution autour de l’axe (Oz) Introduisons levecteur u = ui + vj qui est la projection de la vitesse selon le plan P . Notons que, par définition, on a:

γ20 = (

∂u

∂z)2 + (

∂v

∂z)2 = ||∂u

∂zi +

∂v

∂zj||2 = ||∂u

∂z||2

Désignons par ur la vitesse radiale et par ω la vitesse angulaire azymuthale. En coordonnées cylindriques d’axeOz, on a donc par définition:

u = ur(r,z,t)er + rω(r,z,t)eθ γ20 = ||∂u

∂z||2 = (

∂ur∂z

)2 + r2(∂ω

∂z)2

Comme l’écoulement est, par hypothèse, invariant par rotation autour de Oz, ur et ω ne dépendent pas de θ.Par changement de variables, puisque l’opérateur gradient est intrinsèque, on a:

[∂p

∂xi +

∂p

∂yj +

∂p

∂zk] = [

∂p

∂rer +

1

r

∂p

∂θeθ +

∂p

∂zk]

Le bilan de quantité de mouvement (C.7) s’écrit donc sous la forme équivalente:

∂p

∂rer +

1

r

∂p

∂θeθ +

∂p

∂zk =

∂

∂z[µ(γ0)

∂u

∂z] =

∂

∂z[µ(γ0)

∂ur∂z

]er +∂

∂z[µ(γ0)r

∂ω

∂z]eθ

En identifiant, on en déduit:

∂p

∂r=∂τrz∂z

;∂p

∂θ= r

∂τθz∂z

;∂p

∂z= 0

τrz = µ(γ0)∂ur∂z

; τθz = rµ(γ0)∂ω

∂z


On a ∂p∂θ = r ∂τθz

∂z . Comme le membre de droite ne dépend pas de θ, il existe alors une fonction f telle quep = r ∂τθz

∂z θ + f(r,z,t). Comme p(θ) = p(θ + 2π), on en déduit que:

∂p

∂θ= r

∂τθz∂z

= 0

Finalement, les équations se simplifient en:

∂p

∂r=∂τrz∂z

;∂p

∂θ= r

∂τθz∂z

=∂p

∂z= 0



∂z

En l’absence de vitesse azymuthale (ω = 0) ces équations se simplifient encore. On a en effet: γ0 = |∂ur

∂z | etdonc: τrz = τ(∂ur

∂z ) où τ est la fonction de cisaillement du fluide. Il reste:

∂p

∂r=∂τrz∂z

;∂p

∂θ=∂p

∂z= 0

τrz = τ(∂ur∂z

)

(1.75)

A l’ordre principal en ε et εRe la matrice du tenseur des contraintes dans la base locale (er,eθ,k) des coordonnéescylindriques est alors donnée par:

[σσσ](er,eθ,k) =

−p 0 τrz0 −p 0τrz 0 −p

avec : τrz = τ(

∂ur∂z

)

29

Chapitre 2

Ecoulements viscométriques de Fluidessimples

2.1 Écoulements de cisaillement simple.

Définition 2.1 (Écoulement de cisaillement simple.) On dit que le mouvement d’un milieu continuest un écoulement de cisaillement simple si il existe un système de coordonnées cartésiennes (x1,x2,x3) sur Edans lequel à chaque instant t ∈ R et en chaque point M(x1,x2,x3) le champ de vitesse Eulérien est donné par:

v(M,t) = χx2e1

où χ est une constante et où (e1,e2,e3) est la base des coordonnées.

On notera qu’un écoulement de cisaillement simple est stationnaire et isovolume, puisque div(v) = 0.Pour "visualiser" cet écoulement, on peut imaginer qu’il s’agit de l’écoulement de Couette plan d’un fluide

incompressible non thermodépendant entre deux plaques planes parallèles en l’absence de gradient de pression.On notera que le taux de cisaillement γ, est tout simplement donné par γ = |χ|. Le nombre χ est donc

appelé taux de cisaillement algébrique de l’écoulement, ou tout simplement taux de cisaillement si il n’y a pasd’ambiguïté.

Il est facile de déterminer le mouvement relatif χt d’un écoulement de cisaillement simple. En effet, lestrajectoires sont des droites et on a, au point M(x1,x2,x3):

χt(M,τ) = M + (τ − t)χx2e1

Ainsi, dans la base B = (e1,e2,e3), la matrice du tenseur gradient de déformation relatif, Ft(M,τ) est:

[Ft(M,τ)]B =

1 χ(τ − t) 00 1 00 0 1

En posant s = t− τ , on a donc:∀s ∈ R : Ft(M,t− s) = Id − sM

où M est un endomorphisme nilpotent, indépendant de s, dont la matrice sur la base B est:

[M]B =

0 χ 00 0 00 0 0

(2.1)

2.1.1 Rappels: endomorphismes nilpotents

Rappelons que l’on dit qu’un endomorphisme u ∈ L(E,E) est nilpotent si il existe un indice k ∈ N tel queuk = 0. Si u est nilpotent, l’ensemble des entiers k ≥ 0 pour lesquels uk = 0 est non vide, minoré strictementpar 0 - car u0 = Id par convention - et admet donc une borne inférieure. Cette borne inférieure est appeléeordre de nilpotence de u. Il est évident que si u est nilpotent d’ordre n ≥ 1, d’une part uk = 0 pour tout

30 CHAPITRE 2. ECOULEMENTS VISCOMÉTRIQUES

entier k ≥ n et d’autre part, par définition d’une borne inférieure, un−1 6= 0. En dimension finie, l’ordre denilpotence est au plus égal à la dimension de l’espace. Plus précisément, on a la:

IProposition 2.1 Soit u ∈ L(E,E) un endomorphsime nilpotent d’un espace vectoriel de dimension finietel que dimE ≥ 1, alors udimE = 0.

Preuve: Soit n ≥ 1 l’ordre de u. Par définition de l’ordre, il existe un vecteur x ∈ E tel que un−1(x) 6= 0. Considérons alorsla famille de n vecteurs: x, · · · ,un−1(x). Elle est libre en effet, si on a:

n−1∑

i=0

λiui(x) = 0

il en résulte, en appliquant successivement ui, pour i = n − 1 jusqu’à 0, que tous les coefficients sont nuls. Par suite, on a

nécessairement n ≤ dimE et le résultat.

Ainsi, en dimension 3, qui est le cas qui nous intéresse, l’ordre d’un endomorphisme nilpotent est soit 1auquel cas il est nul, soit 2 ou 3.

Il est alors immédiat d’observer, au vu de sa matrice (2.1), que l’endomorphisme M introduit ci-dessus estnilpotent d’ordre n ≤ 2. Il se trouve que, réciproquement, à tout endomorphisme nilpotent d’ordre n ≤ 2 onpeut associer une base orthonormée sur laquelle sa matrice sera de la forme (2.1). Plus précisément, on a la:

IProposition 2.2 Soit u ∈ L(E,E) un endomorphsime d’un espace vectoriel euclidien de dimension 3sur R. Alors u est nilpotent d’ordre n ≤ 2 si et seulement si il existe une base orthonormée B et un scalaireα tel que la matrice de u sur B soit:

[u]B =

0 α 00 0 00 0 0

(2.2)

De plus le scalaire α est fixé, au signe près, par la relation:

α2 = u : u (2.3)

Preuve: Si la matrice de u sur une certaine base B est de la forme (2.2), il est évident que u2 = 0 et par suite u est nilpotentd’ordre n ≤ 2. Réciproquement supposons que u soit nilpotent d’ordre n ≤ 2, c’est à dire u2 = 0. Dans ces conditions, soit u

est nul auquel cas sa matrice sur une base orthonormée quelconque est de la forme (2.2) avec α = 0 et le résultat est vrai, soit u

est non nul. Plaçons nous dans ce dernier cas. Comme u2 = 0, d’une part le noyau de u n’est pas réduit à zéro et d’autre partl’image de u doit être incluse dans son noyau. D’après le théorème du rang il en résulte que le noyau de u est nécessairement dedimension 2. C’est donc un plan vectoriel. Soit alors e2 un vecteur unitaire perpendiculaire à ker(u) (il y deux choix possibles).L’image u(e2) ne peut pas être nulle sinon e2 serait dans ker(u), ce qui est absurde et cette image est un vecteur de ker(u).Posons donc:

e1 =u(e2)

||u(e2)|| α = ||u(e2)||

Soit alors e3 un vecteur unitaire de ker(u), perpendiculaire à e1, dont l’existence est assurée puisque dim(ker(u)) = 2. Parconstruction, la famille B = (e1,e2,e3) est une base orthonormée de E et la matrice de u sur B a exactement de la forme (2.2).

Ceci étant, il est immédiat de voir que α2 = tr(T u · u) = u : u.

Notons que la démonstration est constructive, puisque l’on a exhibé une base B qui convient. On utilisecette méthode pour exhiber la direction de cisaillement dans l’écoulement de Poiseuille en conduite ou dansles écoulements hélicoïdaux.

Vu la matrice de u sur B, si u 6= 0 alors il n’y a que 8 bases orthonormées possibles telles que la matrice deu sur une de ces bases ait la forme (2.2). Si (e1,e2,e3) est l’une de ces bases, toutes les autres s’en déduisentaux signes près, c’est à dire qu’elles sont de la forme (±e1,± e2,± e3). La matrice de u sur une de ces basesest alors l’une des deux matrices:

0√

u : u 00 0 00 0 0

0 −√u : u 0

0 0 00 0 0

2.2 Écoulements viscométriques

Pour plus de détails on pourra consulter le livre [1]. La définition suivante est la définition "usuelle".

Définition 2.2 (Ecoulement viscométrique.) On dit que le mouvement d’un milieu continu est unécoulement viscométrique si à chaque instant t ∈ R et pour chaque point x ∈ Ωt il existe:

1. une base orthonormée B = (e1,e2,e3),

2.2. ÉCOULEMENTS VISCOMÉTRIQUES 31

2. un scalaire χ,3. une application R : s ∈ [0,+ ∞[7→ R(s) ∈ L(E,E) de classe C1, vérifiant:

R(0) = Id

et telle que pour chaque s, R(s) soit orthogonal,tels que pour tout s ∈ [0, + ∞[, le gradient de déformation relatif à tout instant t − s dans le passé soit

donné par:Ft(x,t− s) = R(s) · [Id − sM]

où M est un endomorphisme dont la matrice sur la base B est:

[M]B =

0 χ 00 0 00 0 0

(2.4)

On notera que la base B, le scalaire χ et l’application R peuvent éventuellement dépendre de l’instantprésent t et du point x. On notera que la condition R(0) = Id est nécessaire puisque on a toujours Ft(x,t) = Id.

Il est facile de voir que la transformation orthogonale R(s) de la définition est nécessairement une rotationvectorielle. En effet, puisque M est nilpotent on a: det(Id − sM) = det(Id) = 1 et donc:

det(Ft(x,t− s)) = det(R(s)) = ±1

Or, puisque Ft est nécessairement directe, on doit donc avoir:

det(Ft(x,t− s)) = det(R(s)) = 1

et il en résulte que, pour chaque s, R(s) est une rotation vectorielle et qu’un écoulement viscométrique estisovolume.

D’après le paragraphe précédent, un écoulement de cisaillement simple est évidement un cas particulierd’écoulement viscométrique. On verra un peu plus loin des exemples d’écoulements viscométriques usuels,mécaniquement admissibles 1 tels que : l’écoulement de Couette plan, l’écoulement Poiseuille en conduite,l’écoulement de Couette entre cylindres coaxiaux ou encore l’écoulement de Couette-Poiseuille en conduiteannulaire.

On a:

L(t,x) =∂

∂τFt(τ,x)|τ=t = − ∂

∂sFt(t− s,x)|s=0 = − d

dsR(s)|s=0 + M

Comme − ddsR(s)|s=0 est nécessairement antisymétrique, il vient:

D =1

2(M +T M)

et, comme pour l’écoulement viscométrique, on a donc:

γ = |χ|

Ainsi, le nombre χ est encore appelé taux de cisaillement algébrique de l’écoulement, ou tout simplement tauxde cisaillement si il n’y a pas d’ambiguïté.

On voit que la notion d’écoulement viscométrique est une généralisation de celle d’écoulement de cisaille-ment simple: en effet, à un changement de référentiel près, caractérisé par la rotation R, le gradient de défor-mation relatif est localement celui d’un écoulement de cisaillement simple. Schématiquement, un écoulementviscométrique est partout localement un écoulement de cisaillement simple vu dans un repère mobile.

La définition que nous avons donnée est celle que l’on rencontre habituellement dans les ouvrages derhéologie. On peut cependant donner une définition équivalente plus concise et plus facile à vérifier en utilisantla proposition (2.2).

IProposition 2.3 (Ecoulement viscométrique.) Un mouvement d’un milieu continu est un écoule-ment viscométrique si et seulement si à chaque instant t ∈ R et pour chaque point x ∈ Ωt il existe:

1. un endomorphisme nilpotent M tel que M2 = 0

1 C’est à dire qu’il existe un système de forces extérieures et de conditions limites capables de les engendrer.


2. une application R : s ∈ [0,+ ∞[7→ R(s) ∈ L(E,E) de classe C1, vérifiant:

R(0) = Id

et telle que pour chaque s, R(s) soit une rotation,tels que pour tout s ∈ [0, + ∞[, le gradient de déformation relatif à tout instant t − s dans le passé soit

donné par:Ft(x,t− s) = R(s) · [Id − sM]

De plus, M et R ainsi définis sont uniques.

Notons cependant que même si M est non nul, la base orthonormée B sur laquelle la matrice de M

est de la forme (2.4) n’est pas unique, puisque l’on peut changer chaque direction en son opposée: il y adonc 8 choix possibles comme on l’a déjà observé pour les endomorphismes nilpotents. Ainsi, seul le taux decisaillement absolu γ = |χ| est une caractéristique de l’écoulement, le signe du taux de cisaillement relatifdans la matrice de M dépend du choix des axes de la base B et donc de l’observateur. En pratique dans lessituations expérimentales, on choisit les axes pour avoir un taux de cisaillement relatif positif. Les lignes dechamp du vecteur e1 sont également des caractéristiques de l’écoulement, elles sont quelquefois appelées - paranalogie avec l’écoulement de cisaillement simple - lignes de cisaillement.

2.3 Fonctions viscométriques d’un fluide simple

2.3.1 Loi constitutive d’un fluide simple en écoulement viscométrique

Considérons un fluide simple de loi constitutive F et supposons que ce fluide soit en écoulement viscomé-trique. Plaçons nous à un instant t en un point x. On aura donc:


(ρ(x,t),θ(x,t),Ft(t− s,x)) compressible


(θ(x,t),Ft(t− s,x)) incompressible

Dans ce qui suit, on va appliquer le principe d’objectivité a l’écoulement. Comme x et t sont fixés, on peutignorer ρ et θ pour la suite de l’analyse puisqu’ils sont invariants par changement de référentiel. Il vient, vu ladéfinition d’un écoulement viscométrique:


(R(s) · [Id − sM]) compressible


(R(s) · [Id − sM]) incompressible

Appliquons alors le principe d’objectivité à F, c’est à dire la relation (1.8), en choisissant, pour chaque s,Q(s) =T R(s). On en déduit, puisque R(0) = Id:

Fs≥0

(R(s) · [Id − sM]) = Fs≥0

(Id − sM)

En conséquence, il existe une fonction g, caractéristique du matériau, telle que:

Fs≥0

(R(s) · [Id − sM]) = g(M)

Cette fonction g est définie sur l’ensemble des endomorphismes nilpotents d’ordre inférieur ou égal à 2 et elleest à valeurs soit dans l’ensemble des endomorphismes symétriques (cas compressible), soit dans l’ensembledes déviateurs symétriques (cas incompressible).

Notons que, du point de vue de la loi constitutive, tout se passe comme si l’écoulement était de cisaillementsimple puisque seul M détermine l’état de contrainte, ce à quoi on pouvait s’attendre, vu les principes delocalisation spatiale et d’objectivité matérielle.

Notons que le principe d’objectivité impose à g d’être isotrope. En effet, appliquons encore le principed’objectivité en choisissant, pour chaque s, Q(s) = Q ·T R(s) où Q est une transformation orthogonaleconstante arbitraire. Il vient, d’après (1.8):

Q · Fs≥0

(R(s) · [Id − sM]) ·T Q = Fs≥0

(Q · [Id − sM] ·T Q) = Fs≥0

(Id − sQ · M ·T Q)

2.3. FONCTIONS VISCOMÉTRIQUES D’UN FLUIDE SIMPLE 33

Or Q · M ·T Q et M sont semblables et on a donc:

∀Q ∈ O(3) : Q · g(M) ·T Q = g(Q · M ·T Q)

Ainsi, comme pour le fluide de Reiner-Rivlin, g est isotrope. Cependant, on ne peut pas appliquer le théorèmede Rivlin-Ericksen puisque, contrairement au cas du fluide de Reiner-Rivlin, M n’est pas symétrique. On vaalors directement exploiter l’isotropie de g pour obtenir sa forme générale.

Soit B une base dans laquelle la matrice de M à la forme (2.4). Comme un écoulement de cisaillement simpleest invariant par réflexion sur le plan perpendiculaire à e3 (i.e. horizontal), introduisons donc la transformationorthogonale Q0 suivante:

Q0 · e1 = e1 Q0 · e2 = e2 Q0 · e3 = −e3

On a bien sûr:Q0 · M ·T Q0 = M

et par isotropie, il vient donc:Q0 · g(M) ·T Q0 = g(M)

Or, g(M) est un endomorphisme symétrique, dont la matrice sur la base orthonormée B = (e1,e2,e3) est doncde la forme:

[g(M)]B =

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

Par un calcul élémentaire, il vient alors:

[Q0 · g(M) ·T Q0]B =

a11 a12 −a13

a12 a22 −a23

−a13 −a23 a33

En identifiant, on en déduit:a13 = a23 = 0

De sorte que la matrice de g(M) dans la base B est de la forme générale:

[g(M)]B =

a11 a12 0a12 a22 00 0 a33

Posons:

α = −1

3(a11 + a12 + a13) τ = a12 N1 = a11 − a22 N2 = a22 − a33

Dans le cas incompressible α est nul, sinon c’est la pression et dans les deux cas on a:

g(M) = −αId + τττ

où τττ est le déviateur des contraintes. On notera que les scalaires τ,N1,N2 ne dépendent que du déviateur τττ .En effet, la matrice de τττ sur la base B est de la forme:

[τττ ]B =

τ11 τ12 0τ12 τ22 00 0 τ33

et on a:τ = τ12 N1 = τ11 − τ22 N2 = τ22 − τ33

Inversement, la matrice du déviateur des contraintes, τττ , sur la base B ne dépend que des scalaires τ,N1,N2 eton a:

[τττ ]B =

2N1+N2

3 τ 0τ N2−N1

3 00 0 − 2N2+N1

3

Le scalaire τ est évidement la contrainte de cisaillement. Les contraintes τ11,τ22,τ33 sont appelées contraintesnormales. Les scalaires N1 et N2 sont appelés coefficients de contraintes normales ou encore première et secondedifférences normales.


Puisque g(M) ne dépend que de M, les scalaires α,τ,N1,N2 ne dépendent donc que de χ et éventuellement dela base B. Ils ne dépendent en fait pas de B. Pour le voir, considérons alors un second écoulement viscométriqueassocié à M′, de même taux de cisaillement χ que le précédent mais pour une base orthonormée B ′ = (e′1,e

′2,e

′3).

L’analyse précédente reste valable et on déduit que les coefficients de la matrice de g(M′) sur la base B′

s’expriment à l’aide des quatre scalaires α′,τ ′,N ′1,N ′

2. Considérons alors l’endomorphisme orthogonal Q quitransforme la base B en la base B′, c’est à dire:

Q · e1 = e′1 Q · e2 = e′2 Q · e3 = e′3

d’après l’isotropie de g, on a:

Q · g(M) ·T Q = g(Q · M ·T Q)

Or, Q · M ·T Q n’est rien d’autre que M′. D’où:

Q · g(M) ·T Q = g(M′)

On en déduit que la matrice de g(M′) sur la base B′ est égale à celle de g(M) sur la base B. En identifiant,il vient donc:

α = α′ τ = τ ′ N1 = N ′1 N2 = N ′

2

Finalement, les scalaires α,τ,N1,N2 ne dépendent donc que de χ. En particulier, le déviateur des contraintes estdonc complètement déterminé en écoulement viscométrique par la donnée des trois fonctions: χ 7→ τ(χ),N1(χ),N2(χ)du taux de cisaillement.

Résumons ce que l’on vient de voir.

IProposition 2.4 Pour un fluide simple donné, il existe trois fonctions τ,N1,N2 telles que pour un écou-lemement viscométrique quelconque, caractérisé en chaque point par un taux de cisaillement χ relativement àune base B, la matrice du déviateur des contraintes sur la base B soit de la forme:

[τττ ]B =

τ11 τ12 0τ12 τ22 00 0 τ33

avec:

τ12 = τ(χ)

τ11 − τ22 = N1(χ)

τ22 − τ33 = N2(χ)

(2.5)

la fonction τ est appelée fonction de cisaillement, les fonctions N1 et N2 sont appelées respectivement premièreet seconde différences normales.

Notes

1. Les fonctions τ,N1,N2 sont des caractéristiques d’un fluide donné. Ainsi, si on sait les mesurer pour untype d’écoulement viscométrique particulier, on pourra alors en déduire les caractéristiques dynamiquesde tous les écoulements viscométriques.

2. On sait que τ,N1,N2 sont également des fonctions (ou des fonctionnelles si on tient compte du passéthermique) de la température, et de la densité si le fluide est compressible.

3. Dans le cas compressible, d’après l’analyse précédente la pression est également une fonction α de latempérature de la densité et du taux de cisaillement. C’est à dire que l’on a alors:

σσσ = −α(ρ,θ,χ)Id + τττ

où τττ est donné dans la proposition précédente. Comme on sait qu’au repos σσσ est réduit à le pressionthermodynamique, on a donc:

α(ρ,θ,0) = pth(ρ,θ)

4. Comme au repos la contrainte est réduite à une pression, les fonctions τ,N1,N2 sont nulles en χ = 0.


5. Le choix des fonctions viscométriques N1,N2 qui déterminent les contraintes normales n’est pas univoque.En effet, les trois contraintes normales τ11,τ22,τ33 sont reliées par la relation τ11 + τ22 + τ33 = 0, puisqueτττ est de trace nulle. Ainsi, deux seulement sont indépendantes et on peut donc choisir pour exprimer lescontraintes normales d’autres groupements que N1,N2. En fait le choix dépend de ce que l’on est capablede mesurer avec tel ou tel dispositif expérimental. Dans la littérature, selon les auteurs, on rencontreraalors d’autres fonctions viscométriques. Les fonctions N1,N2 introduites ici sont celles de [15] mais, parexemple, dans [1] on utilise les fonctions:

σ1 = τ22 − τ33 = N2 σ2 = τ11 − τ33 = N1 + N2

également appelées différences normales. Dans [17], la fonction N1 est la même que la notre mais lafonction N2 est notre somme N1 +N2. En règle générale le lecteur est invité à vérifier systématiquementla convention adoptée par un auteur avant d’utiliser directement telle ou telle formule.On fera également attention aux conventions utilisées pour la définition d’un écoulement viscométrique:dans [1], et également chez Truesdell, les directions 1 et 2 sont inversées par rapport à la conventionadoptée ici et la matrice de M est alors transposée.

6. Pour les fluides simples on admet que les fonctions viscométriques sont continues. En effet, une disconti-nuité ne pourrait se comprendre que par un changement irréversible de structure au niveau microscopique.Cela suppose, du point de vue thermodynamique, que cette structure soit prise en compte par une ouplusieurs variables macroscopiques qui précisent son état et dont il faudrait décrire la dynamique: on sortalors du cadre des fluides simples et plus généralement du cadre dans lequel on a situé la dynamique dumilieu continu dans ce cours.

2.3.2 Restriction apportée par le second principe

L’énergie libre et l’entropie sont données par les relations (1.10). Elles sont invariantes par changement deréférentiel et, comme pour la loi constitutive, le principe d’objectivité permet de se ramener à des fonctionsde M, c’est à dire 2:

η(t,x) = η(ρ,θ,∇∇∇θ,M)

ψ(t,x) = ψ(ρ,θ,∇∇∇θ,M)

On développe alors la même analyse que pour les fluides à mémoire instantanée et il vient:

η = −∂ψ∂θ

∂ψ

∂∇∇∇θ =∂ψ

∂M= 0

Finalement, les fonctions ψ et η ne dépendent que de ρ et θ et ces fonctions sont donc les fonctions d’étatde l’équilibre thermodynamique. On observe donc que les fluides simples en écoulement viscométrique sonten équilibre thermodynamique local. L’inégalité de dissipation se réduit donc, dans le cas compressible parexemple, à :

(σσσ + pthId) : D +λ

θ(∇∇∇θ|∇∇∇θ) ≥ 0

et comme l’écoulement est isovolume, il reste:

τττ : D +λ

θ(∇∇∇θ|∇∇∇θ) ≥ 0

On obtient la même relation dans le cas incompressible. Puisque: D = 1/2(M +T M), il vient:

τχ+λ

θ(∇∇∇θ|∇∇∇θ) ≥ 0

Comme τ ne dépend pas de ∇∇∇θ on doit donc avoir:

∀χ ∈ R : τ(χ)χ ≥ 0 (2.6)

On notera que les contraintes normales ne participent pas à la dissipation.

2 Comme R(0) = Id, le gradient de température est inchangé quand on applique le principe d’objectivité avec pour chaque s,Q(s) =T R(s).


2.3.3 Parité des fonctions viscométriques

Considérons deux écoulements viscométriques, associés respectivement à M et M′ = −M ayant les mêmescaractéristiques B et R, mais des taux de cisaillement opposés, χ et −χ. Exploitons alors l’isotropie de g enconsidérons une réflexion sur le plan (e1,e3):

Q · e1 = e1 Q · e2 = −e2 Q · e3 = e3

On a alors: Q · M ·T Q = M′. D’où l’on déduit que:

g(−M) = Q · g(M) ·T Q

En passant aux matrices des déviateurs, il vient:τ11(−χ) τ12(−χ) 0τ12(−χ) τ22(−χ) 0

0 0 τ33(−χ)

=

τ11(χ) −τ12(χ) 0−τ12(χ) τ22(χ) 0

0 0 τ33(χ)

soit:

τ(−χ) = −τ(χ)

N1(−χ) = N1(χ)

N2(−χ) = N2(χ)

(2.7)

Ainsi, la fonction de cisaillement est impaire alors que les différences normales sont paires.Les développements limités à faible taux de cisaillement des fonctions viscométriques sont donc de la forme:

τ(χ) = µ(0)χ+O(χ3)

N1(χ) = Ψ(0)1 χ2 +O(χ4)

N2(χ) = Ψ(0)2 χ2 +O(χ4)

(2.8)

On voit qu’à faibles taux de cisaillement on pourra en général négliger les effets de contraintes normales parrapport au frottement dans les fluides simples: un fluide simple se comporte alors comme un fluide purementvisqueux.

Le nombre µ(0) est la viscosité apparente du fluide au voisinage du repos, le second principe (c.f. la relation(2.6)) nous indique qu’elle est positive.

Dans la littérature, certains auteurs (c.f. [6]) préfèrent alors, au lieu d’utiliser les fonctions viscométriquesque nous avons introduites, utiliser les fonctions:

µ(χ) =τ(χ)

χ

Ψ1(χ) =N1(χ)

χ2

Ψ2(χ) =N2(χ)

χ2

(2.9)

La fonction µ(χ) est la viscosité apparente du fluide en écoulement viscométrique, elle est positive d’après lesecond principe (c.f. la relation (2.6)). Comme τ est impaire µ(χ) n’est finalement fonction que de γ = |χ| ouencore - par analogie avec le fluide de Reiner-Rivlin - de I2 = χ2/2.

Les fonctions Ψ1 et Ψ2 sont encore appelées différences normales, elles sont paires et ne dépendent doncque de χ2. Le second principe ne nous renseigne pas directement sur le signe de ces différences. Cependant,nous verrons lors de l’étude des fluides viscoélastiques (voir également le chapitre consacré aux fluides de graden) qu’à faible taux de cisaillement Ψ1 est nécessairement positif, ce qui est confirmé expérimentalement pourles fluides réels présentant des effets de contraintes normales (polymères en solution). Le signe de Ψ2 peut enprincipe être quelconque, cependant les résultats expérimentaux connus (voir [17] par exemple) sur les fluidesviscoélastiques indiquent que Ψ2 est négatif. |Ψ2| est en général petit devant Ψ1 et a longtemps était négligédans les modèles rhéologiques de polymères en solution (hypothèse de Weissenberg).

Notons que pour les fluides réels la fonction de cisaillement est strictement croissante au voisinage del’origine puisque: τ ′(0) = µ(0) > 0. Pour le fluide Newtonien, elle est donc strictement croissante sur R. Si,


pour un fluide non Newtonien, elle n’était pas strictement croissante sur tout R, on serait alors confronté à unproblème d’instabilité. En effet, dans l’écoulement de Couette plan entre plaques parallèles, par exemple, il n’yaurait alors plus unicité de l’écoulement stationnaire quand la vitesse des plaques est imposée. En pratique,nous ne considérerons que des cas où la fonction de cisaillement reste strictement croissante, au moins surtoute la gamme des taux de cisaillement où on la considérera: tous les modèles cités ici ont cette propriété. Parailleurs, on admettra également qu’elle n’est pas bornée supérieurement, c’est à dire que le frottement pariétalaugmente indéfiniment avec la vitesse de cisaillement, ce qui est expérimentalement vérifié.

Les lois empiriques utilisées pour la fonction de cisaillement sont alors les mêmes que celles utilisées pourles fluides visqueux à mémoire instantanée (loi puissance, etc..) et on se reportera au chapitre précédent pourles détails. Pour ce qui concerne les différences normales, ces fonctions sont pertinentes pour les fluides de typeviscoélastiques (i.e. quand le temps de relaxation est d’ordre macroscopique) et on examinera les expressionsdes fonctions Ni ou Ψi que l’on peut déduire de l’analyse de la loi constitutive lors de l’étude spécifique desfluides viscoélastiques aux chapitres suivants.

2.3.4 Cas des fluides de Reiner-Rivlin

Dans le cas des fluides de Reiner Rivlin on peut déterminer les fonctions viscométriques puisque l’on connaîtla loi constitutive. Elle est donnée par la relation (1.14):

∀D : f(D) = α(I1,I2,I3)Id + 2µ(I1,I2,I3)D + β(I1,I2,I3)D2

où f(D) est soit σσσ soit τττ selon que le fluide est compressible ou non. Vu l’expression de D en écoulementviscométrique on a:

I1 = 0 I2 =χ2

2I3 = 0

Finalement les fonctions ne dépendent que de χ2 et il reste donc:

g(M) = α(0,χ2/2,0)Id + 2µ(0,χ2/2,0)D + β(0,χ2/2,0)D2

En identifiant, il vient:

µ(χ) = µ(0,χ2/2,0)

Ψ1(χ) = 0

Ψ2(χ) =β(0,χ2/2,0)

4

(2.10)

Ainsi, les fluides à mémoire instantanée en théorie du premier gradient ont tous une première différence normaleN1 nulle. Pour le fluide incompressible purement visqueux N1 et N2 sont nuls, puisque le coefficient β du termeen D2 dans la loi constitutive est négligé. Ce qui est expérimentalement justifié car les fluides réels pour lesquelsN2 6= 0 ont une première différence normale non nulle et en général grande devant N2.

La viscosité apparente d’un fluide de Reiner-Rivlin en écoulement viscométrique est confondue avec laviscosité du fluide. On en déduit: µ(0,I2,0) ≥ 0.

2.3.5 Fluides à seuil

Certains produits comme les boues de forage, les encres d’imprimerie, le dentifrice, etc... ont expérimentale-ment un comportement de fluide visqueux en écoulement de cisaillement mais ont une fonction de cisaillementτ(γ) non nulle à l’origine: il y a donc une discontinuité de la fonction de cisaillement à l’origine. On dit qu’ilsprésentent un seuil de contrainte: il faut exercer une contrainte de cisaillement minimale avant de démarrerl’écoulement. Ces matériaux ne sont donc pas des fluides simples mais des matériaux plus complexes. Ce sont engénéral des suspensions concentrées de particules solides dans un solvant. Ces particules s’organisent, au repos,en une micro-structure qui confère à la suspension un comportement de solide, puis, quand la micro-structureest suffisamment désorganisée, la suspension à un comportement fluide.

La loi la plus simple décrivant l’allure de la fonction de cisaillement pour ce type de milieu a été proposéepar Bingham pour les encres d’imprimerie. Elle est de la forme :

|τ | ≤ τ0 χ = 0 (2.11)

|τ | ≥ τ0 τ(χ) =|χ|χτ0 + µ0χ (2.12)


τ

χ

Herschel-Bulkley

Bingham

Fig. 2.1 – Fluides à seuil

où les constante τ0 > 0 et µ0 > 0 sont respectivement la contrainte seuil et la viscosité. On trouvera dans lalittérature des lois donnant τ0 et µ0 en fonction de la concentration de particules en suspension.

Le plus souvent, d’ailleurs, ce type de milieu n’a expérimentalement pas une viscosité constante et en pre-mière approximation on pourra utiliser une loi puissance: le modèle correspondant est appelé modèle d’Herschel-Bulkley:

|τ | ≤ τ0 χ = 0 (2.13)

|τ | ≥ τ0 τ(χ) =|χ|χ

[τ0 +K|χ|n] (2.14)

Comme pour la loi puissance, K > 0 est la consistance et n > 0 est l’indice de structure. Les paramètres τ0 etK dépendent en général significativement de la température.

2.4 Écoulements unidirectionnels plans de fluides incompressibles

On s’intéresse à l’écoulement d’un fluide simple incompressible entre deux plaques planes parallèles infiniesécartées d’une distance d > 0. L’une est fixe dans un référentiel Galliléen et l’autre est mobile en translationuniforme par rapport à la précédente, dans son plan, à la vitesse V. On s’intéresse, pour simplifier, à unproblème isotherme.

On suppose que les forces extérieures dérivent d’un potentiel φ et qu’il n’y a pas de densité volumique decouples: C = 0. On a donc:

πππ =T πππ = σσσ

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + Fs≥0

(Ft(x,t− s))

On munit l’espace (c.f. figure (2.2)) d’un repère cartésien (Oxyz), le plan (Oxz) est celui de la plaque fixe,l’axe (Ox) est colinéaire à V et l’axe (Oy) est dirigé vers la plaque mobile. On désignera respectivement pari, j et k les vecteurs unitaires directeurs des axes Ox, Oy et Oz et on notera V la mesure algébrique de V.On cherche une solution stationnaire, invariante par translation selon les axes (Ox) et (Oz). Ainsi, le champEulérien v ne dépend que de y. On suppose de plus que les lignes de courant sont dans des plans parallèles à(xOy). La vitesse v est donc de la forme v1(y)i + v2(y)j et l’incompressibilité impose v2 = 0. Finalement, oncherche v avec:

v(M,t) = v1(y)i

2.4. ÉCOULEMENTS UNIDIRECTIONNELS PLANS 39

Ox

y

zy = 0

y = d

V = V i

Fig. 2.2 – Écoulement entre deux plaques parallèles.

vérifiant les conditions limites:v1(0) = 0 v1(d) = V (2.15)

Les trajectoires des particules sont des droites parallèles à (Ox). Ainsi, si (x′,y′,z′) est la position à l’instantτ d’une particule qui occupe la position (x,y,z) à l’instant t on a:

x′ = x+ v1(y)(τ − t) y′ = y z′ = z

On a donc:Ft(M,t− s) = Id − sM

où la matrice de M sur la base (i,j,k) est:

[M](i,j,k) =

0 v′1(y) 00 0 00 0 0

L’écoulement est donc viscométrique de taux de cisaillement algébrique:

χ = v′1(y)

et on peut appliquer les résultats précédents. En particulier, la matrice du déviateur des contraintes sur labase (i,j,k) est:

[τττ ](i,j,k) =

τ11 τ12 0τ12 τ22 00 0 τ33

et ses composantes sont des fonctions de χ et ne dépendent donc que de y et, comme la base (i,j,k) est fixe, τττlui même ne dépend que de y. Les équations du bilan mécaniques se résument à:

div(τττ) = ∇∇∇(p+ ρφ) (2.16)

Il s’agit donc de trouver p,v1 vérifiant les conditions limites et tels que:

dτ12dy

i +dτ22dy

j = ∇∇∇(p+ ρφ) (2.17)

Comme le domaine de l’écoulement est simplement connexe, le problème est équivalent à trouver v1 solutionde:

rot(dτ12dy

i +dτ22dy

j) = 0 (2.18)


ce qui est encore équivalent à rechercher la vitesse v1 solution de:

d2

dy2[τ(v′1(y))] = 0

v1(0) = 0 v1(d) = V

(2.19)

Il doit alors exister deux constantes a et τ0 telles que:

τ(v′1(y)) = ay + τ0

On notera que le paramètre τ0 est la contrainte de cisaillement sur la plaque immobile:

τ0 = τ12(0)

Comme la fonction τ est continue et strictement monotone sur R elle admet donc un unique inverse τ−1, desorte que v′1 est donné par:

v′1(y) = τ−1(ay + τ0)

et v1 est donc donnée par:

v1(y) =

∫ y

0

τ−1(au+ τ0) du (2.20)

les constantes a et τ0 doivent alors vérifier la relation:

∫ d

0

τ−1(ay + τ0) dy = V (2.21)

Le débit Q par unité de profondeur dans une section droite est donné par:

∫ d

0

v1(y) dy = Q

Ainsi, les constantes a et τ0 sont reliées à V et Q par les relations:

∫ d

0

τ−1(ay + τ0) dy = V

∫ d

0

(

∫ y

0

τ−1(au+ τ0) du) dy = Q

(2.22)

La première équation dans (2.17) s’écrit:

∇∇∇(p+ ρφ− τ22(y) − ax) = 0

Comme

τ22(y) =N2(χ) −N1(χ)

3

il vient:

p+ ρφ = ax+N2(v

′1(y)) −N1(v

′1(y))

3+ Cste (2.23)

La quantité p = p+ρφ est la pression motrice. Le paramètre a est donc le taux de variation de pression motricele long de l’axe Ox:

a =∂p

∂x=

∆p

L(2.24)

On observe, comme pour les fluides Newtoniens, que ce taux de variation est constant.On notera cependant que si la différence normale N2 −N1 n’est pas nulle, ce qui est le cas général dans les

fluides viscoélastiques, la pression motrice dans une section droite n’est pas constante, contrairement au casdu fluide Newtonien ou du fluide purement visqueux.

En pratique l’écoulement sera imposé extérieurement en fixant soit le couple (V,Q) soit le couple (V,∆pL ) etτ0 = τ12(0) sera un paramètre de contrôle. On peut alors vérifier, vu la monotonie de τ , que V et Q déterminentde manière unique la vitesse v1 dans l’écoulement par les relations (2.20)-(2.22). En général il faudra résoudre(2.22) numériquement.

2.4. ÉCOULEMENTS UNIDIRECTIONNELS PLANS 41

2.4.0.1 Ecoulement de Couette plan.

La contrainte de cisaillement τ12 est donnée par:

τ12(y) = τ(v′1(y)) = ay + τ0

Par suite, comme τ est une bijection, on en déduit que le taux de cisaillement est constant dans l’écoulementsi et seulement si a = 0. L’écoulement est alors un écoulement de cisaillement simple et, vu les conditionslimites, on a:

v′1(y) = χ =V

dτ0 = τ(

V

d)

La vitesse est partout donnée par:

v =V

dyi

Le débit est alors fixé à:

QC =V d

2

Cet écoulement de cisaillement simple entre deux plaques planes est appelé Écoulement de Couette plan. Cetécoulement est donc caractérisé par une variation de pression motrice nulle dans la direction de la vitesse etest toujours mécaniquement admissible pour les fluides incompressibles non thermodépendants.

Si le fluide est purement visqueux, la pression motrice est partout constante et indépendante de la cinéma-tique : elle est fixée par les conditions extérieures (pesanteur, pression extérieure) et les efforts normaux sur lesplaques sont donc indépendants de l’écoulement et les mêmes qu’au repos. Si N2 −N1 n’est pas nul, ce qui estle cas des polymères en solution par exemple, il est alors en général négatif et l’écoulement à donc tendance àrepousser la plaque mobile et à aspirer la plaque immobile. Il faut exercer des efforts normaux supplémentairessur les plaques, qui dépendent de la cinématique, pour maintenir l’écoulement et empêcher l’écartement desplaques.

2.4.0.2 Ecoulement de Poiseuille plan.

Si V = 0 et Q 6= 0, l’écoulement est appelé écoulement de Poiseuille plan. On a alors nécessairement a 6= 0.En changeant de variable dans (2.21), il vient

0 =

∫ d

0

τ−1(ay + τ0) dy =1

a

∫ ad+τ0

τ0

τ−1(u) du

et comme τ−1 est croissante et impaire on doit avoir nécessairement:

ad+ τ0 = −τ0

et v1 est donc donné par:

v1(y) =

∫ y

0

τ−1(a(u− d

2)) du =

∫ y− d2

− d2

τ−1(au) du

Puisque τ−1 est continue, strictement croissante et impaire, v1 est convexe et négative ou concave et positive,selon que a > 0 ou a < 0, symétrique par rapport à d

2 et |v1| est maximale en y = d2 . La pression motrice chute

donc dans la direction de la vitesse. Notons que changer a en −a revient à changer Q en −Q et v1 en −v1.Quitte à changer Ox en son opposé on peut donc supposer que a < 0 et Q > 0. L’allure de v1 est alors cellede la figure 2.3. Après intégration par parties et changement de variable, par:

Q =

∫ d

0

v(y) dy =1

a2[ad

∫ ad2

− ad2

τ−1(u) du−∫ ad

0

yτ−1(y − ad

2) dy]

Comme τ est impaire, la première intégrale est nulle et il reste après changement de variable:

Q = − 1

a2

∫ ad2

− ad2

(y +ad

2)τ−1(y) dy


x

y

O

y =d

2

Fig. 2.3 – Allure de v1 en écoulement de Poiseuille plan.

Encore une fois, comme τ est impaire, il reste:

Q = − 1

a2

∫ ad2

− ad2

yτ−1(y) dy

et finalement, comme la fonction sous le signe somme est paire et que a < 0, on a:

Q =2

a2

∫ −ad2

0

yτ−1(y) dy

Pour une loi puissance, par exemple, on a donc:

Q =nd2

4n+ 2

[−d2K

∂p

∂x

] 1n

(2.25)

2.4.0.3 Ecoulements de Couette-Poiseuille.

Tous les autres écoulements, pour lesquels la pression motrice varie le long de l’axe Ox et V 6= 0, sontappelés Écoulements de Couette-Poiseuille. Pour ceux-ci, le taux de cisaillement est donné par:

v′1(y) = τ−1(ay + τ0)

Or, comme τ est strictement croissante, il en résulte que v′1 est soit strictement croissante soit strictementdécroissante - par composition - selon que a > 0 ou a < 0. On en déduit que v1 est strictement convexeou strictement concave selon que a > 0 ou a < 0. Si a < 0, v1 est concave et, par intégration, le débit estdonc strictement supérieur au débit de l’écoulement de Couette. Le taux de cisaillement v ′1(0) sur la plaqueinférieure est nécessairement positif. Si |a| est assez grand, le taux de cisaillement sur la plaque supérieurev′1(d) devient négatif et la vitesse atteint un maximum vmax1 > V dans l’écoulement. La vitesse en tout pointde l’écoulement est dans le même sens que V.

Si a > 0, v1 est convexe et le débit est donc strictement inférieur au débit de l’écoulement de Couette. Letaux de cisaillement v′1(d) sur la plaque supérieure est nécessairement positif. Si |a| est assez grand, le taux decisaillement sur la plaque inférieure v′1(0) devient négatif et la vitesse atteint un minimum vmin1 < 0: il s’établitalors au voisinage de la plaque inférieure un écoulement dans le sens inverse de V.

2.5 Écoulements Hélicoïdaux

2.5.1 Définition

Définition 2.3 (Ecoulement Hélicoïdal.) On dit que le mouvement d’un milieu continu est hélicoïdalsi il existe un système de coordonnées cylindriques d’axe (O,k) tel qu’en chaque point M(r,θ,z) le champ de

2.5. ÉCOULEMENTS HÉLICOÏDAUX 43

vitesse Eulérien soit donné par:v(M,t) = rω(r)eθ + u(r)ez

où

er =∂M

∂reθ =

1

r

∂M

∂θez =

∂M

∂z= k

est la base locale orthonormée des coordonnées cylindriques en M .

On notera qu’un écoulement hélicoïdal est un écoulement stationnaire isovolume. On peut, de plus, préciserle taux de cisaillement absolu, γ ≥ 0, directement. En effet, la matrice de ∇∇∇v dans la base (er,eθ,ez) s’obtientimmédiatement à partir des rappels donnés en cinématique. Il vient:

[∇∇∇v](er,eθ,ez) =

0 −ω(r) 0ω(r) + rω′(r) 0 0

u′(r) 0 0

et donc: 2D : D = r2ω′(r)2 + u′(r)2. Ainsi, le taux de cisaillement absolu γ est donné par:

γ2 = r2ω′(r)2 + u′(r)2

IProposition 2.5 Un écoulement hélicoïdal est un écoulement viscométrique.

Pour le voir, déterminons les trajectoires des particules, c’est à dire le mouvement relatif. Soit doncM(r,θ,z)la position d’une particule à l’instant t et M(r,θ,z) la position de cette même particule à un instant τ . c’est àdire:

M = χt(M,τ)

On a immédiatement, vu l’expression de la vitesse:

r = r θ = θ + ω(r)(τ − t) z = z + u(r)(τ − t)

Les trajectoires sont donc des hélices circulaires, d’où le nom de l’écoulement.Posons s = t− τ et désignons par R(s) la rotation d’axe k = ez et d’angle −ω(r)s. Si (er,eθ,ez) est la base

locale en M(r,θ,z) et (er,eθ,ez) celle en M(r,θ,z), on a alors

er = R(s) · er eθ = R(s) · eθ ez = R(s) · ez

Désignons par O l’origine des coordonnées. On a:

−−→OM = rer + zez

= R(s) · [rer + zez − su(r)ez]

= R(s) · [−−→OM − su(r)ez]

A s fixé, R(s) ne dépend que de r et, comme pour le cas des mouvements rigidifiants, on a:

∀u :∂R(s)

∂r·T R(s) · u = −sω′(r)ez ∧ u

D’où:

∇∇∇χt(M,τ) · er =∂

∂rR(s) · [−−→OM − su(r)ez]

=∂R(s)

∂r· [−−→OM − su(r)ez] + R(s) · [er − su′(r)ez]

=∂R(s)

∂r·T R(s) ·

−−→OM + R(s) · [er − su′(r)ez]

= −sω′(r)ez ∧ (rer) + R(s) · [er − su′(r)ez]

= −rsω′(r)eθ + R(s) · [er − su′(r)ez]

= R(s) · [er − rsω′(r)eθ − su′(r)ez]


Les dérivées dans les deux autres directions sont immédiates:

∇∇∇χt(M,τ) · eθ =1

r

∂

∂θR(s) · [−−→OM − su(r)ez] = R(s) · eθ

∇∇∇χt(M,τ) · ez =∂

∂zR(s) · [−−→OM − su(r)ez] = R(s) · ez

Finalement, on a donc:Ft(M,t− s) = R(s) · [Id − sM]

où M est l’endomorphisme:M = rω′(r)eθ ⊗ er + u′(r)ez ⊗ er

dont la matrice sur la base (er,eθ,ez) est:

[M] =

0 0 0rω′(r) 0 0u′(r) 0 0

M est évidement nilpotent d’ordre inférieur ou égal à 2 et l’écoulement est viscométrique.On construit alors une base orthonormée B où M à la forme (2.4), comme dans la preuve de la proposition

(2.2). Posons:χ =

√r2ω′(r)2 + u′(r)2 =

√M : M

et considérons la base orthonormée:

e1 =1

χ[rω′(r)eθ + u′(r)ez] e2 = er e3 =

1

χ[u′(r)eθ − rω′(r)ez] (2.26)

La matrice de M sur cette base est:

[M](e1,e2,e3) =

0 χ 00 0 00 0 0

qui est bien de la forme voulue. On notera, ce qui n’est pas intuitivement évident, que la direction de cisaille-ment, e1, n’est en général pas la direction de la vitesse, contrairement au cas de l’écoulement de cisaillementsimple.

2.5.2 Étude dynamique locale.

IProposition 2.6 Un écoulement hélicoïdal est toujours localement mécaniquement admissible pour toutfluide simple incompressible et non thermodépendant quand les forces extérieures dérivent d’un potentiel.

Pour établir la proposition on va montrer que l’on peut résoudre les équations du mouvement. Notons que,vu l’expression de v, on a:

D

Dtv = −ω2rer

Soit φ le potentiel des forces extérieures. Il faut donc montrer qu’au voisinage de chaque point M on peuttrouver p tel que sur ce voisinage on ait:

div(τττ) −∇∇∇(p+ ρφ) = −ω2rer

Dans la base de coordonnées cylindriques, la matrice de τττ est:

[τττ ](er,eθ,ez) =

τrr τrθ τrzτrθ τθθ τzθτrz τzθ τzz

et celle dans la base (e1,e2,e3) définie par les relations (2.26) est:

[τττ ](e1,e2,e3) =

τ11 τ12 0τ12 τ22 00 0 τ33


Désignons par P la matrice de passage:

P =1

χ

0 rω′ u′

χ 0 00 u′ −rω′

Elle est orthogonale et on a donc: P−1 =T P, de sorte que l’on a:

[τττ ](er,eθ,ez) =T P · [τττ ](e1,e2,e3) · P

Soit, après calculs:

[τττ ](er,eθ,ez) =

τ221χrω

′τ12 1χu

′τ121χrω

′τ12 1χ2 [r2(ω′)2τ11 + (u′)2τ33] ru′ω′

χ2 (τ11 − τ33)1χu

′τ12 ru′ω′

χ2 (τ11 − τ33)1χ2 [r2(ω′)2τ33 + (u′)2τ11]

D’où les expressions:

τrr =N2(χ) −N1(χ)

3

τθθ =2N1(χ) + N2(χ)

3− (u′)2

χ2(N1(χ) + N2(χ))

τzz =2N1(χ) + N2(χ)

3− r2(ω′)2

χ2(N1(χ) + N2(χ))

τzθ =ru′ω′

χ2(N1(χ) + N2(χ))

τrθ =rω′

χτ(χ)

τrz =u′

χτ(χ)

(2.27)

Comme χ ne dépend que de r, les composantes de τττ sur la base (er,eθ,ez) ne dépendent donc que de r. Encoordonnées cylindriques, vu l’expression de la divergence d’un tenseur symétrique, le bilan de quantité demouvement se réduit donc aux trois équations scalaires:

∂

∂r(τrr) +

1

r(τrr − τθθ) + ρω2r =

∂

∂r(p+ ρφ) (2.28)

1

r

∂

∂r(r2τrθ) =

∂

∂θ(p+ ρφ) (2.29)

1

r

∂

∂r(rτrz) =

∂

∂z(p+ ρφ) (2.30)

L’équation (2.28) montre que ∂∂r (p+ρφ) ne peut dépendre que de r. Par suite, ∂

∂θ (p+ρφ) ne doit pas dépendrede r. Or le membre de gauche de (2.29) ne dépend que de r. Par suite cette équation ne peut être satisfaiteque si et seulement si il existe une constante c telle que:

∂

∂θ(p+ ρφ) = c

Dans ces conditions l’équation (2.29) ne peut être satisfaite que si et seulement si il existe une constante dtelle que:

τrθ =c

2+

d

r2

de la même manière, l’équation (2.30) ne peut être satisfaite que si et seulement si il existe une constante atelle que:

∂

∂z(p+ ρφ) = a

Par suite, il doit exister une constante b telle que:

τrz =ar

2+b

r


Les constantes (a,b,c,d) étant fixées, vu les expressions de τrz et τrθ, u′ et ω′ sont solutions du système:

u′

χτ(χ) =

ar

2+b

r

rω′

χτ(χ) =

c

2+

d

r2

Comme χ ≥ 0, on en déduit:

τ(χ) =

√(ar

2+b

r)2 + (

c

2+

d

r2)2

et finalement:

u′(r) =ar2 + b

r√(ar2 + b

r )2 + ( c2 + d

r2 )2τ−1

(√(ar

2+b

r)2 + (

c

2+

d

r2)2

)

rω′(r) =c2 + d

r2√(ar2 + b

r )2 + ( c2 + d

r2 )2τ−1

(√(ar

2+b

r)2 + (

c

2+

d

r2)2

)

d’où l’on déduit u et ω, comme primitives de u′ et ω′, par quadrature. Au voisinage d’un point M pour lequelr = R0 6= 0, on a:

u(r) = u(R0) +

∫ r

R0

u′(s) ds

ω(r) = ω(R0) +

∫ r

R0

ω′(s) ds

Ainsi, les constantes (a,b,c,d,u(R0),ω(R0)) étant fixées, la vitesse est complètement déterminée. Vu les expres-sions de τrr et τθθ, on a:

τrr − τθθ =(u′)2N2 + (rω′)2N1

χ2

=( c2 + d

r2 )2N1(χ) + (ar2 + br )

2N2(χ)

(ar2 + br )

2 + ( c2 + dr2 )2

On peut alors introduire la fonction f , qui est bien définie au voisinage de R0, en posant:

f(r) =τrr − τθθ

r+ ρω2r

f est complètement déterminée par la donnée de (a,b,c,d,ω(R0)). On en déduit que la pression motrice est, àune constante près, nécessairement donnée par:

p+ ρφ = az + cθ +

∫ r

R0

f(s) ds+N2(χ) −N1(χ)

3(2.31)

Réciproquement si on se fixe (a,b,c,d,u(R0),ω(R0)) il est facile de voir que la vitesse v et la pression p ainsidéterminée sont solution des équations de bilan local (2.28, 2.29, 2.30). La proposition est établie.

Pour que, dans une géométrie expérimentale donnée, un écoulement hélicoïdal soit mécaniquement admis-sible il suffira alors de montrer que l’on peut déterminer les constantes avec les conditions limites.

2.5.3 Écoulements unidirectionnels en conduite.

On s’intéresse à des écoulements hélicoïdaux pour lesquels la vitesse de rotation ω est partout nulle. Vul’expression de ω′ cette situation ne peut avoir lieu que si et seulement si c = d = 0. Dans ces conditions, letaux de cisaillement absolu est donc: γ = |u′(r)|.


2.5.3.1 Écoulement de Poiseuille en conduite de section circulaire

On cherche à imposer l’écoulement dans une conduite de section circulaire de rayon R. Prenons comme axedes coordonnées cylindriques l’axe de la conduite. Pour que le taux de cisaillement reste borné au centre ondoit avoir b = 0. Dans ces conditions, quel que soit le signe de a, on a:

u′(r) = τ−1(ar

2)

f(r) =N2(u

′(r))r

La pression est donnée, à une constante près, par:

p+ ρφ = az +

∫ r

0

N2(u′(s))s

ds+N2(u

′(r)) −N1(u′(r))

3(2.32)

Le paramètre a est donc le taux de variation de la pression motrice dans la direction de l’axe. Notons que u(R)est la vitesse de la paroi de la canalisation.

Loi de débit. principe du viscosimètre capillaire. On se place dans le cas où u(R) = 0 (canalisationimmobile) et on oriente l’axe Oz pour que a < 0. Le débit volumique est:

Q =

∫

S

u ds avec u(r) = −∫ R

r

τ−1(ax

2) dx

et on a Q > 0. On intégre par parties et il vient:

Q = −π∫ R

0

r2τ−1(ar

2) dr

Soit:

Q = −8π

a3

∫ aR2

0

x2τ−1(x) dx (2.33)

A r fixé, Q ne dépend donc que de a. On a: a3Q(a) = −8π∫ aR

2

0x2τ−1(x) dx. En dérivant, il vient:

d[a3Q(a)]

da) = −πa2R3τ−1(

aR

2)

d’où:

τ(1

πa2R3

d[a3Q(a)]

da) = −aR

2

Ainsi, en relevant la courbe Q(a), on peut en principe en déduire la fonction de cisaillement τ : c’est le principedu viscosimètre capillaire.

Note Pour un fluide d’Oswald-DeWaëlle en loi puissance, on a: τ(x) = Kxn. D’où:

Q =nπR3

3n+ 1(−R2K

∂p

∂z)1/n

où l’axe Oz est orienté dans le sens de la vitesse débitante.

2.5.3.2 Écoulement unidirectionnel entre cylindres coaxiaux.

On cherche à imposer l’écoulement entre deux cylindres coaxiaux de rayons R2 > R1 et on prend commeaxe des coordonnées cylindriques l’axe des cylindres. On suppose que les cylindres sont en translation uniformele long de leur axe aux vitesses respectives U1 et U2, on pose ∆U = U2 − U1 et on se place dans le référentiellié au cylindre intérieur. On doit donc vérifier les conditions limites:

u(R1) = 0 u(R2) = ∆U

On a, comme ci-dessus, d = c = 0. La vitesse u est donnée par:

u(r) =

∫ r

R1

τ−1(as

2+b

s) ds


Les paramètre a,b doivent donc vérifier la condition:

∫ R2

R1

τ−1(as

2+b

s) ds = ∆U (2.34)

La pression est encore donnée par la relation (2.32) et on voit donc que le paramètre a est le taux de variationde la pression motrice le long de l’axe Oz:

a =∆p

L

Le débit dans une section droite est alors donné par:

2π

∫ R2

R1

r

∫ r

R1

τ−1(as

2+b

s) ds dr = Q (2.35)

2.5.4 Écoulements de Couette entre cylindres coaxiaux.

On s’intéresse à des écoulements hélicoïdaux pour lesquels la vitesse de translation u est partout nulle. Vul’expression de u′ cette situation ne peut avoir lieu que si et seulement si a = b = 0. Dans ces conditions, le tauxde cisaillement absolu est donc: γ = |rω′(r)|. On cherche alors à imposer l’écoulement entre deux cylindrescoaxiaux de rayons R2 > R1 et on prend comme axe des coordonnées cylindriques l’axe des cylindres. Pourque la pression soit continue, on doit alors avoir c = 0. Dans ces conditions, si Ω1 = ω(R1) et Ω2 = ω(R2) sontles vitesses de rotation des cylindres, la vitesse ω est donnée par:

ω(r) = Ω1 +

∫ r

R1

1

sτ−1(

d

s2) ds

de sorte que le paramètre d est complètement déterminé par la relation:

∫ R2

R1

1

rτ−1(

d

r2) dr = Ω2 − Ω1

La pression est alors donnée par:

p+ ρφ =N2(rω

′(r)) −N1(rω′(r))

3+

∫ r

R1

[N1(sω

′(s))s

+ ρsω2(s)] ds (2.36)

Cet écoulement est l’écoulement de Couette entre cylindres coaxiaux. Contrairement à l’écoulement de Couetteplan, le taux de cisaillement n’est pas constant.

On vérifie alors facilement que le couple par unité de hauteur exercé par le fluide sur le cylindre intérieurest C = 2πdez .

On vérifie également que quand l’espace annulaire réduit ε = R2−R1

R1tend vers 0, à l’ordre principal en ε la

vitesse est celle d’un écoulement de Couette plan entre plaques parallèles.

2.5.4.1 Principe du viscosimètre de Couette

Il s’agit d’un dispositif destiné à mesurer la fonction de cisaillement d’un fluide simple en écoulement entredeux cylindres coaxiaux. On admet que l’écoulement est un écoulement de Couette obtenu en maintenant lecylindre intérieur fixe et en imposant une vitesse de rotation constante au cylindre extérieur. Par un dispositifde torsion approprié on mesure alors le couple qu’il est nécessaire d’appliquer au cylindre intérieur pour lemaintenir immobile. Ce couple par unité de hauteur est donné en module par: |C| = 2π|d|. Posons Ω = |Ω2|.On a:

Ω =

∫ R2

R1

1

rτ−1(

C

2πr2) dr

Effectuons le changement de variable: r = xR2, il vient:

Ω =

∫ 1

R1R2

1

xτ−1(

C

2πR22x

2) dx


De sorte que l’on a, puisque τ est continue:

Ω =R2 −R1

R2τ−1(

C

2πR22

) + o(R2 −R1

R2)

Ainsi, en relevant la courbe Ω(C) pour un dispositif où ε = R2−R1

R2 1 on déduit τ . En pratique, comme ces

dispositifs ont des cylindres de hauteur finie, l’écoulement n’est pas rigoureusement un écoulement de Couette,il en est toutefois proche quand le rapport d’aspect est petit.

2.5.5 Écoulements de Couette-Poiseuille entre cylindres coaxiaux

On s’intéresse à un écoulement hélicoïdal général pour lesquels les vitesses de translation et de rotation sontquelconques et on cherche à imposer l’écoulement entre deux cylindres coaxiaux de rayons R2 > R1. On prendcomme axe des coordonnées cylindriques l’axe des cylindres. Pour que la pression soit continue, on doit encoreavoir c = 0. Soient Ω1 = ω(R2),Ω2 = ω(R2) les vitesses de rotation des cylindres, et U1 = u(R1),U2 = u(R2)leurs vitesses de translation. On pose: ∆Ω = Ω2 − Ω1, ∆U = U2 − U1. On se place dans le référentiel lié aumouvement de translation du cylindre intérieur et on désigne par Q le débit dans une section droite. On doitavoir:

∆Ω =

∫ R2

R1

1

rτ−1(

d

r2) ds

∆U =

∫ R2

R1

τ−1(as

2+b

s) ds

Q = 2π

∫ R2

R1

r

∫ r

R0

τ−1(as

2+b

s) ds dr

(2.37)

La pression est donnée par l’expression générale (2.31) avec c = 0, de sorte que a est encore le taux de variationde la pression motrice:

a =∆p

L

Ces relations permettent de déterminer (a,b,d) en fonction des données ( ∆pL ,∆Ω,∆U), ou encore (Q,∆Ω,∆U),

et l’écoulement est ainsi complètement déterminé. Cet écoulement est appelé écoulement de Couette Poiseuilleen conduite annulaire. Il est donc mécaniquement admissible pour tout fluide simple.

2.5.6 Analyse qualitative de l’effet Weissenberg

Un liquide occupe un récipient cylindrique d’axe vertical où est immergé une tige cylindrique de mêmeaxe, la frontière libre supérieure du liquide est en contact avec l’air ambiant à la pression atmosphérique patmconstante. On met le fluide en mouvement en faisant tourner cette tige à vitesse constante autour de son axe.Pour un liquide Newtonien, comme l’eau, on observe un creusement de la frontière libre du fluide au voisinagede la tige. A l’inverse, pour certains fluides Non Newtoniens comme une solution de Polyacrylamide dans dela glycérine, le fluide "monte" le long de la tige.

L’analyse qui suit est celle de A. S. Lodge 3. On va, en première approximation, supposer que l’écoulementest un écoulement de Couette entre cylindres concentriques de rayons R2 R1 et que la vitesse de rotationde la tige est suffisamment petite pour que l’on puisse négliger les forces d’inertie dans le bilan de quantité demouvement. On cherche donc une vitesse purement azymuthale:

v = ω(r)eθ

solutions des équations du mouvement qui sont donc les équations (2.28-2.30) dans les quelles on néglige leterme en ρω2r. En projection sur l’axe radial, on a donc:

∂

∂r(τrr) +

1

r(τrr − τθθ) =

∂

∂r(p+ ρφ) (2.38)

Ici, φ est le potentiel de la pesanteur et ne dépend que de z. Ainsi, la relation (2.38) s’écrit:

∂

∂r(τrr − p) = −1

r(τrr − τθθ)

3 A.S. Lodge, Elastic liquids, Acad. Press (1964).


Ou encore, en revenant à σσσ:∂

∂r(σrr) = −1

r(σrr − σθθ)

La contrainte qui nous intéresse est σzz. Il vient:

∂

∂r(σzz) =

∂

∂r(σzz − σrr) −

1

r(σrr − σθθ)

Or, comme l’écoulement est viscométrique on a: σzz − σrr = −N2(χ) qui ne dépend que de r. Finalement:

∂

∂r(σzz) =

N1

r− dN2

dr(2.39)

L’analyse de l’écoulement est celle de l’écoulement de Couette que l’on a déjà vue et on en déduit qu’il doitexister une constante d telle que:

τrθ =d

r2

La vitesse de rotation ω est donnée par:

ω(r) = Ω +

∫ r

R1

1

sτ−1(

d

s2) ds

où Ω est la vitesse de rotation de la tige. Ainsi, d est donnée par:

Ω = −∫ R2

R1

1

sτ−1(

d

s2) ds

La pression motrice est donc donnée par la relation (2.36) dans laquelle on néglige le terme d’inertie. Quitteà changer le sens de l’axe Oz on peut supposer que la vitesse de rotation Ω est négative de sorte que d > 0.Dans ces conditions on a donc:

2Ln(r) = −Ln(τrθ) + Cste

Or: τrθ = τ(γ) et donc, en différentiant, il vient:

dr

dγ= − r

2γ

dLn(τ)

dLn(γ)

En changeant de variable dans l’équation 2.39 on obtient:

∂

∂r(σzz) =

N1

r+

dN2

dγ

2γ

r dLn(τ)dLn(γ)

=Γ(γ)

r(2.40)

où la fonction Γ est définie sur R+ par:

Γ(γ) = N1 +dN2

dγ

2γdLn(τ)dLn(γ)

(2.41)

C’est une fonction caractéristique du fluide. A faible vitesse, le taux de cisaillement est petit et on a alors (voirles développements des fonctions viscométriques à faibles taux de cisaillement):

Γ(γ) ≈γ→0

(Ψ(0)1 + 4Ψ

(0)2 )γ2 (2.42)

En général, Γ est positive pour les fluides viscoélastiques réels à faibles taux de cisaillement.On néglige la tension superficielle à la frontière libre et on oriente l’axe Oz du liquide vers l’air, ce qui n’a

pas d’influence sur le signe de ∂∂r (σzz) qui est paire en taux de cisaillement. La vitesse normale sur la frontière

libre est nulle et le saut de quantité de mouvement se réduit à:

(σσσ2 − σσσ1) · n = 0

où σσσ2 est le tenseur des contraintes dans le liquide et σ1 = −patmId est le tenseur des contraintes dans l’airambiant et n est la normale unitaire à l’interface orientée 2 → 1. Si la frontière libre était plate: n = ez, lacondition de saut s’écrirait:

σzz = −patm σrz = σθz = 0


La seconde condition est automatiquement vérifiée puisqu’ici u′ = 0 mais la première condition ne peut êtrevérifiée que si Γ = 0, ce qui n’est en général pas le cas dans les fluides viscoélastiques.

Ainsi, pour les fluides viscoélastiques l’interface ne peut rester plate. Examinons alors la forme de cetteinterface. Au repos elle est plane. On peut donc supposer qu’à faible vitesse de rotation la normale s’écartepeu de la verticale (i.e. ||n − ez|| 1) de sorte que le saut des efforts normaux sur l’interface est donné, enpremière approximation, par:

F ≈ −(σzz + patm)ez = Fez

qui représente la force normale nette, par unité de surface, exercée sur la surface libre par les deux fluides 4.

air

liquide

R1

R2

Fig. 2.4 – Γ > 0

Assez loin du cylindre intérieur, comme R2 R1, l’interface est plateet on a donc: F ≈ 0. Si Γ > 0, F est décroissante et elle est donc positive auvoisinage du cylindre intérieur et a alors tendance à "soulever" la frontièrelibre: c’est l’effet "Weissenberg" observé expérimentalement. Inversement siΓ < 0, la frontière libre aurait tendance a se creuser au voisinage du cylindreintérieur.Pour un fluide purement visqueux, N1 = N2 = 0, et on a ∂

∂r (σzz) = 0

ce qui est compatible avec une frontière libre plate. En réalité, la frontièren’est pas rigoureusement plate mais se creuse au voisinage de la tige. Cettedéformation de la frontière est due à la force centrifuge que l’on a négligée

dans l’analyse.

Exercice 2.5.1 En négligeant la tension superficielle mais en tenant compte de l’inertie, déterminer uneforme approchée de la surface libre entre les cylindres pour un liquide Newtonien .

2.5.7 Analyse qualitative de l’élargissement d’un jet libre.

z

0 g

Fig. 2.5 – Jet Libre.

Lors de l’extrusion de polymères fondus on observe engénéral un gonflement du jet en sortie de buse. On va, enpremière approximation, supposer que l’écoulement est unécoulement de Poiseuille dans une canalisation cylindriqueverticale de rayon R. On admet que l’écoulement reste unécoulement de Poiseuille jusqu’au bord de la buse à la côtez = 0 et on néglige la tension superficielle à la frontièrelibre du jet. La contrainte qui nous intéresse est σrr enz = 0 et r = R. D’après les relations (2.27), σrr est donnéeà l’intérieur de la canalisation par:

σrr = −p+N2(χ) −N1(χ)

3(2.43)

La pression est donnée par la relation (2.32) et il vient (ici φ = −gz vu l’orientation de l’axe Oz):

σrr = −ρgz − az −∫ r

0

N2(u′(s))s

ds+ Cste (2.44)

où a est le taux de variation de la pression motrice le long de l’axe Oz et Cste une constante à déterminer.Pour déterminer cette constante, on va effectuer un bilan des forces de contact sur la section z = 0. Il nousfaut donc déterminer le tenseur des contraintes dans le jet.

La vitesse normale sur la frontière libre est nulle et le saut de quantité de mouvement en un point de lafrontière du jet se réduit à:

(σσσ2 − σσσ1) · n = 0

où σσσ2 est le tenseur des contraintes dans le liquide et σσσ1 = −patmId est le tenseur des contraintes dans l’airambiant.

Admettons que la section du jet varie lentement au voisinage de z = 0+ de sorte que la normale extérieureà la frontière libre soit n ≈ er. La condition de saut s’écrit en r = R:

σrr|r=R = −patm σrz|r=R = σrθ|r=R = 0

4 Ou, si l’on veut, −F est la force qu’il faudrait exercer sur la surface pour la maintenir plate.


En admettant que dans le jet l’écoulement reste approximativement un écoulement de Poiseuille, la conditionσrz|r=R = 0 implique que u′ est nul partout dans la section du jet: il n’y a plus de variation de pression motricedans le jet et, par suite, σσσ se réduit à la pression atmosphérique dans le jet. Effectuons alors un bilan des forcesde contact agissant de part et d’autre de la section z = 0, il vient (loi d’action-réaction):

−patmπR2 = 2π

∫ R

0

rσzz|z=0 dr

Or, en écoulement de Poiseuille on a d’après (2.27):

σzz = −p+2N1(χ) + N2(χ)

3(2.45)

Soit, vu l’expression de p:

σzz|z=0 = N1 −∫ r

0

N2(u′(s))s

ds+ Cste (2.46)

D’où:

2π

∫ R

0

rσzz|z=0 dr = π

∫ R

0

r(2N1 + N2) dr − πR2

∫ R

0

N2

rdr + πR2Cste

En identifiant et en reportant dans (2.44), il vient finalement:

σrr|r=R,z=0 = −patm − 1

R2

∫ R

0

r(2N1 + N2) dr

Ainsi, la force normale nette par unité de surface exercée sur le bord du jet au voisinage de l’entrée est:

F = −(σrr|r=R,z=0 + patm)er =1

R2(

∫ R

0

r(2N1 + N2) dr)er

Pour un fluide purement visqueux on a N1 = N2 = 0 et donc F = 0 ce qui est compatible avec une variationlente de la section du jet en sortie de buse. Par contre, si

∫ R0r(2N1 +N2) dr 6= 0 on voit alors que la condition

de saut σrr|r=R,z=0 = −patm ne peut pas être satisfaite et que nécessairement on doit avoir une une variationrapide de la section du jet en z = 0+. Pour les fluides réels viscoélastiques on a alors, en général, 2N1 +N2 > 0de sorte qu’en première analyse F est dirigée vers l’extérieur et le jet à tendance à "gonfler" (en anglais : toswell) en sortie de buse.

2.6 Quelques Écoulements instationnaires

2.6.1 Ecoulement de cisaillement unidirectionnel plan

Supposons qu’il existe un système de coordonnées cartésiennes (x1,x2,x3) sur E dans lequel à chaque instantt ∈ R et en chaque point x(x1,x2,x3) le champ de vitesse Eulérien est donné par:

v(x,t) = v(x2,t)e1

où (e1,e2,e3) est la base des coordonnées. Cet écoulement est isovolume, puisque div(v) = 0. On peut le visua-liser comme un écoulement instationnaire unidirectionnel entre deux plaques planes et c’est une généralisationsimple d’un écoulement viscométrique unidirectionnel plan.

On ne se posera pas ici la question de savoir si un tel écoulement est mécaniquement admissible et on vaplutôt s’intéresser à la forme de la loi de comportement d’un fluide simple dans cet écoulement. Le taux decisaillement absolu est:

γ = | ∂v∂x2

(x2,t)|

et il est naturel d’appeler "taux de cisaillement algébrique" au point M à l’instant t, la quantité:

χ(x,t) =∂v

∂x2(x2,t)

Comme dans le cas de l’écoulement de cisaillement simple il est facile de déterminer les trajectoires et onen déduit que:

∀s ∈ R : Ft(x,t− s) = Id + M(x,t,t− s)

2.6. QUELQUES ÉCOULEMENTS INSTATIONNAIRES 53

où M est un endomorphisme nilpotent, dont la matrice sur la base B est:

[M]B =

0∫ t−st

χ(x,u) du 00 0 00 0 0

(2.47)

Le tenseur des contraintes de Cauchy, ou son déviateur si le milieu est incompressible, sont donnés par:

τττ(ou σσσ) = Fs≥0

(Id + M(x,t,t− s))

En conséquence, il existe une fonctionnelle G telle que:

Fs≥0

(Id + M(x,t,t− s)) = Gs≥0

(M(x,t,t− s))

Si on désigne par Q la réflexion sur le plan (e1,e3) le principe d’objectivité matérielle donne, comme pourl’écoulement viscométrique:

Q · Gs≥0

(M(x,t,t− s)) ·T Q = Gs≥0

(M(x,t,t− s))

D’où l’on déduit, comme pour un écoulement viscométrique, que les composantes τ13 et τ23 du déviateur descontraintes sur B sont nulles. En conséquence, il existe trois fonctionnelles τ

s≥0,N1s≥0

,N2s≥0

telles que 5:

τ12(M,t) = τs≥0

(χ(x,t− s))

τ11(M,t) − τ22(M,t) = N1s≥0

(χ(x,t− s))

τ22(M,t) − τ33(M,t) = N2s≥0

(χ(x,t− s))

(2.48)

Ces fonctionnelles dépendent à priori de la base B. Mais, comme pour un écoulement viscométrique, il estfacile de montrer qu’elles ne dépendent pas de B et elles sont donc caractéristique du fluide. En particulier,la fonctionnelle τ

s≥0est appelée "fonctionnelle de cisaillement" elle donne donc la contrainte de cisaillement en

fonction de l’histoire passée du taux de cisaillement de la particule considérée.On a bien sûr, si s 7→ χ(M,t− s) = χ est constante:

τs≥0

(χ(M,t− s)) = τ(χ)

N1s≥0

(χ(M,t− s)) = N1(χ)

N2s≥0

(χ(M,t− s)) = N2(χ)

(2.49)

puisqu’alors on retrouve un écoulement viscométrique. Le lecteur pourra vérifier que τs≥0

est impaire et que N1s≥0

et N2s≥0

sont paires. Notons que ces fonctionnelles sont des fonctions de la température θ(x,t) et éventuellement

de la densité ρ(x,t) si le fluide est compressible.On va voir que, comme dans le cas des écoulements viscométriques, ces fonctionnelles ont un caractère

universel dans le sens où elles caractérisent le comportement du fluide dans une classe d’écoulements qui ne seréduit pas aux seuls écoulements unidirectionnels plans. Contrairement au cas des écoulements viscométriqueson ne cherchera pas ici à être exhaustif et on va seulement examiner deux cas d’importance pratique.

2.6.2 Ecoulement unidirectionnel en conduite de section circulaire

Supposons qu’il existe un système de coordonnées cylindriques d’axe (O,k) tel qu’en chaque point x(r,θ,z)le champ de vitesse Eulérien soit donné par:

v(x,t) = u(r,t)ez

5 En principe, on devrait également indiquer que ces fonctionelles sont des fonctions de t, mais on sait d’après le principed’objectivité qu’il n’en est rien.


où

er =∂x

∂reθ =

1

r

∂x

∂θez =

∂x

∂z= k

est la base locale orthonormée des coordonnées cylindriques en x. On peut interpréter cet écoulement commeun écoulement de Poiseuille instationnaire en conduite cylindrique circulaire. Cet écoulement est isovolume.

On définit le taux de cisaillement algébrique par:

χ(x,t) =∂u

∂r(r,t)

Les trajectoires sont des droites et on en déduit facilement que:

∀s ∈ R : Ft(x,t− s) = Id + M(x,t,t− s)

où M est un endomorphisme nilpotent, dont la matrice sur la base B = (ez,er,eθ) est:

[M]B =

0∫ t−st

χ(x,u) du 00 0 00 0 0

(2.50)

On retrouve la forme précédente et on en déduit que τrθ = τzθ = 0 et que:

τrz(M,t) = τs≥0

(χ(x,t− s))

τzz(M,t) − τrr(M,t) = N1s≥0

(χ(x,t− s))

τrr(M,t) − τθθ(M,t) = N2s≥0

(χ(x,t− s))

(2.51)

où les fonctionnelles sont celles introduites précédemment.

2.6.3 Ecoulement de Couette instationnaire entre cylindres concentriques

Supposons qu’il existe un système de coordonnées cylindriques d’axe (O,k) tel qu’en chaque point x(r,θ,z)le champ de vitesse Eulérien soit donné par:

v(x,t) = rω(r,t)eθ

On peut interpréter cet écoulement comme un écoulement de Couette instationnaire entre deux cylindrescirculaires coaxiaux. Cet écoulement est encore isovolume. On définit le taux de cisaillement algébrique par:

χ(x,t) = r∂

∂rω(r,t)

Les trajectoires sont des cercles et il est facile, comme dans le cas de l’écoulement hélicoïdal de vérifier que:

Ft(x,t− s) = R(t,s) · [Id + M(x,t,t− s)]

où M est l’endomorphisme:

M = (

∫ t−s

t

χ(x,u) du)eθ ⊗ er

et où R(t,s) est la rotation d’angle∫ t−st

ω(r,u) du autour de Oz. Le principe d’objectivité matérielle implique:

Fs≥0

(R(t,s) · [Id + M(x,t,t− s)]) = Fs≥0

(Id + M(x,t,t− s))

et finalement, on en déduit comme pour cas de l’écoulement plan, que τrz et τzθ sont nuls et que:

τrθ(M,t) = τs≥0

(χ(x,t− s))

τθθ(M,t) − τrr(M,t) = N1s≥0

(χ(x,t− s))

τrr(M,t) − τzz(M,t) = N2s≥0

(χ(x,t− s))

(2.52)

où les fonctionnelles sont encore celles introduites précédemment.

2.7. LE RHÉOMÈTRE À DISQUES PARALLÈLES 55

z

Ω

R

h

O

Interface air-liquide

Fig. 2.6 – Schéma de principe du rhéomètre à disques parallèles.

2.7 Un écoulement quasiviscométrique: le viscosimètre à disques pa-rallèles

On considère l’écoulement stationnaire et isotherme d’un fluide simple incompressible non thermodépendantsitué entre deux disques circulaires de même rayonR, écartés d’une distance h et dont les centres sont alignés surune même verticale Oz, où O est le centre du disque inférieur. Ce dernier tourne à la vitesse angulaire constanteΩ autour de Oz alors que le disque supérieur est maintenu immobile par un dispositif de torsion. On orientel’axe Oz dans le sens inverse de la pesanteur et on se place en coordonnées cylindriques d’axe Oz. Le dispositifest plongé dans l’air ambiant. On va faire une analyse simplifiée où on admet, en première approximation, quel’interface air-liquide est cylindrique et que le liquide occupe le domaine 0 ≤ z ≤ h; 0 ≤ r ≤ R. On néglige latension superficielle air-liquide.

Vu la symétrie de révolution, admettons que l’écoulement soit laminaire et que le champ des vitessesEulérien soit azymuthal, de la forme:

v = rω(z)eθ

Alors, si x(R,Θ,Z) désigne la position à un instant t d’une particule, la position de cette même particule àl’instant τ est y(r,θ,z), avec:

r = R θ = Θ + (τ − t)ω(Z) z = Z

On note respectivement (eR,eΘ,eZ) et (er,eθ,ez) les bases de coordonnées cylindriques en x et en y. On endéduit:

Ft(x,τ) = R · [Id + (τ − t)Rω′(Z)eΘ ⊗ eZ ]

où R désigne la rotation d’angle (τ − t)ω(Z) autour de Oz. En posant M = Rω′(Z)eΘ ⊗ eZ . La matrice deM dans la base (attention à l’ordre) (eΘ,eZ ,eR) est donc:

[M](eΘ,eZ ,eR) =

0 Rω′(Z) 00 0 00 0 0

Ainsi, l’écoulement considéré est viscométrique.En projection sur (er,eθ,ez), le bilan de quantité de mouvement se résume à:

−ρω2r = −∂p∂r

+1

r

∂rτrr∂r

− τθθr

0 = −1

r

∂p

∂θ+∂τθz∂z

0 = −∂p∂z

+∂τzz∂z

(2.53)

où p = p+ ρgz est la pression motrice que l’on suppose continue dans le domaine de l’écoulement. On déduit

∂p

∂θ=∂τθz∂z

= 0


et τθz ne dépend donc que de r. Or on sait que τθz = τ(rω′(z)). Comme la fonction de cisaillement τ estinversible, on en déduit que ω′(z) n’est fonction que de r, ce qui ne peut avoir lieu que si et seulement si ω′

est une constante. Finalement ω est de la forme ω(z) = az + b. On détermine a et b par les conditions limitessur les deux disques et il vient:

∀z ∈ [0,h] : ω(z) = Ω(1 − z

h)

Il en résulte que le taux de cisaillement ne dépend pas de z et est donné partout dans l’écoulement par:

χ = −rΩh

En pratique on a des h de l’ordre du mm et des R de l’ordre du cm, ce qui permet d’atteindre des taux decisaillement "importants" avec des vitesses de rotation "assez petites".

L’écoulement de torsion n’est pas solution exacte des équations du mouvement. En effet, ona:

τzz =N2(χ) −N1(χ)

3

et τzz ne dépend pas de z et la troisième équation dans (2.53) donne∂p

∂z= 0. Ainsi, p ne peut dépendre

finalement que de r. Considérons alors la projection du bilan de quantité de mouvement sur l’axe radial (i.e.la première équation dans (2.53) ):

−ρω2r = −∂p∂r

+1

r

∂rτrr∂r

− τθθr

Le membre de droite ne dépend que de r, puisque p, τrr et τθθ ne dépendent que de r. Or le membre de gauchedépend de z, puisque ω en dépend. Cette relation ne peut donc pas être strictement vérifiée.

Couple visqueux en approximation de Stokes. On se place alors en hypothèse de Stokes et on admetque l’écoulement de torsion que l’on a déterminé plus haut est une bonne approximation de l’écoulement réelentre des disques de "petit rayon" (typiquement quelques cms), tant que la vitesse de rotation n’est pas tropgrande 6. Par un dispositif de torsion approprié on mesure alors le couple qu’il est nécessaire d’appliquer audisque supérieur pour le maintenir immobile. Dans ces conditions, le couple appliqué par le fluide sur le disquesupérieur est:

CCC = −∫

disque

−−→OM ∧ (σσσ · ez) ds

et il reste:

CCC = Cez = −(

∫

disque

rτθz ds)ez

D’où:

C = −2π

∫ R

0

r2τ(−rΩh

) dr

et comme τ est impaire, il vient:

C = 2π

∫ R

0

r2τ(rΩ

h) dr

En changeant de variable, il vient:

C =2πh3

Ω3

∫ RΩh

0

x2τ(x) dx (2.54)

Pour un fluide d’Oswald-DeWaëlle, on a: τ(x) = Kxn. D’où:

C =2πKR3

n+ 3

(RΩ

h

)n(2.55)

6 L’écoulement azymuthal de torsion est alors une solution exacte des équations locales de Stokes, c’est à dire des équations (2.53)dans lesquelles on néglige le terme d’inertie en ρω2r: la première équation permettant de déterminer p.

2.7. LE RHÉOMÈTRE À DISQUES PARALLÈLES 57

De manière générale, pour un dispositif fixé (i.e. R et h), C ne dépend que de Ω. En dérivant par rapport à Ω,il vient:

1

2πR3Ω2

d

dΩ(CΩ3) = τ(

RΩ

h) (2.56)

Ainsi, en pratique, on peut déterminer expérimentalement la fonction τ en relevant la courbe C(Ω).

Mesure de contrainte normale en approximation de Stokes. La force nette exercée sur le disquesupérieur 7 est:

F = −∫

disque

[σσσ + paId] · ez ds = −(

∫

disque

(σzz + pa) ds)ez −∫

disque

τzθeθ ds

La seconde intégrale est nulle par symétrie, et il reste:

F = −2π

∫ R

0

r(σzz + pa) dr

En négligeant les termes d’inertie, le bilan radial de quantité de mouvement s’écrit:

d

dr(τrr − p) =

τθθ − τrrr

=N1 + N2

r

Or:d

dr(τrr − p) =

d

dr(τrr − τzz) +

d

dr(τzz − p)

Et, comme p = p+ ρgz, il vient:

d

dr(τrr − p) =

d

dr(τrr − τzz) +

d

dr(σzz) = −dN2

dr+

d

dr(σzz)

Finalement, il reste:d

dr(σzz) =

dN2

dr+

N1 + N2

r

Or, en r = 0 on a χ = 0, et donc: N2|r=0 = N2(0) = 0. En intégrant, on a:

σzz(r,θ,z) − σzz(0,θ,z) = N2(χ) +

∫ r

0

N1 + N2

rdr

et en changeant de variable dans l’intégrale, il vient - puisque N1 + N2 est paire:

σzz(r,θ,z) − σzz(0,θ,z) = N2(χ) +

∫ χ

0

N1(x) + N2(x)

xdx

D’autre part la condition limite sur le bord latéral (r = R) donne, puisque τrz = τrθ = 0, en négligeant latension superficielle et en admettant que la pression de l’écoulement de Stokes se confond avec la pressionréelle:

σσσ · er|r=R = σrrer|r=R = −paerComme σzz = N2 + σrr, il vient:

−pa + N2(χ(R)) = σzz(R,θ,z) = σzz(0,θ,z) + N2(χ(R)) +

∫ χ(R)

0

N1(x) + N2(x)

xdx

On élimine donc σzz(0,θ,z) et il reste:

σzz(r,θ,z) = −pa + N2(χ) +

∫ χ

χ(R)

N1(x) + N2(x)

xdx

7 Il faut ajouter la pression atmosphérique qui agit sur la face externe. On peut également faire la même analyse sur le disqueinférieur. C’est ce dernier qui est en général muni d’un capteur à membrane qui permet de déterminer F .


En intégrant, il vient:

F = −2π[

∫ R

0

rN2(χ) dr +

∫ R

0

r(

∫ χ

χ(R)

N1(x) + N2(x)

xdx) dr]

On intègre par parties dans la seconde intégrale et il vient:

F = −2π[

∫ R

0

rN2(χ) dr +Ω

h

∫ R

0

r2

2

N1(χ) + N2(χ)

χdr]

ou encore:

F = π

∫ R

0

r(N1(χ) −N2(χ)) dr

Finalement, en changeant de variable:

F =πR2

χ2(R)

∫ χ(R)

0

x(N1(x) −N2(x)) dx (2.57)

Il en résulte qu’à h et R fixés, F ne dépend que de Ω et on a, en dérivant:

[N1 −N2](ΩR

h) =

1

πR2Ω

d(FΩ2)

dΩ

Ainsi, en principe, on peut déterminer expérimentalement la fonction N1 − N2 en relevant la courbe F (Ω),pour un dispositif donné (i.e. h et R fixés). Mais, puisqu’on a négligé les forces d’inertie, il faudrait en principeexaminer la correction qu’elles apportent, comme d’ailleurs pour le couple de frottement.

RésuméLe rhéomètre à disques parallèles permet en principe (i.e. dans la limite de l’approxi-mation de Stokes) de mesurer expérimentalement la fonction de cisaillement τ et lacombinaison N1 −N2 des deux différences normales.

Note. On note que l’écoulement réel ne peut pas être purement azymuthal puisque le bilan radial dequantité de mouvement n’est pas vérifié. Ainsi, les formules précédentes ne sont correctes en première ap-proximation que si l’on admet que l’écoulement est "assez lent" pour pouvoir négliger les termes d’inertie. Enprincipe, on doit examiner la correction apportée par ces termes d’inertie (écoulement secondaire). Le pro-blème est difficile dans sa généralité puisque d’une part on ne dispose pas de lois de comportement simples sil’écoulement n’est pas viscométrique et d’autre part, on a en fait un problème à frontière libre pour les bordslatéraux. Le problème de la détermination de l’écoulement stationnaire entre deux disques en rotation ne seramène donc pas à rechercher un écoulement viscométrique et il apparaît nécessairement un écoulement secon-daire. De plus, la pression ne peut pas rester constante le long d’une verticale et il en résulte que l’interfaceair/liquide n’est pas cylindrique, même si on néglige la pesanteur, et, pour obtenir un régime stationnaire, ilfaut donc tenir compte de la tension superficielle. On doit donc déterminer simultanément l’écoulement et laforme de la surface libre. Ce problème n’a pas été résolu de manière exacte à ce jour, y compris pour un fluideNewtonien. Pour un fluide simple arbitraire le problème se complique fortement, puisque l’écoulement n’étantpas viscométrique il n’y a plus à priori de comportement universel c’est à dire que la rhéologie ne se ramènepas à la donnée de trois fonctions scalaires. Une étude de D.D. Joseph 8 pour des fluides de Grade 2 montretoutefois que dans la limite des petites vitesses de rotations et à l’ordre principal en Ω, l’expression du couplede torsion est acceptable. L’idée de D. D. Joseph est de résoudre le problème de manière perturbative pour despetites vitesses de rotation, au voisinage du repos. L’écoulement est alors "infiniment lent" et on peut dévelop-per la fonction mémoire en série de Taylor. Le comportement d’un fluide simple est alors celui d’un fluide deGrade N sous-convecté(voir les notes de cours, dernier chapitre). A l’ordre 0 en Ω le système est au repos etl’interface est cylindrique si on néglige la pesanteur. A l’ordre 1, l’écoulement est alors l’écoulement azymuthalviscométrique que nous avons obtenu, les forces d’inertie centrifuges n’interviennent pas et l’interface restecylindrique. Pour ce qui concerne la détermination du couple de frottement, la formule (2.54) s’applique doncà l’ordre 1, mais comme on est à faible vitesse de rotation on doit de plus développer la fonction de cisaillementau voisinage de χ = 0. Comme elle est impaire, on a: τ(χ) = µχ+O(χ3), où µ est la viscosité au repos. Il vient,

8 Slow motion and viscometric motion; Stability and bifurcation of the rest state of a simple fluid, Arch. Rat. Mech. Analys. 56

pp. 99-157 (1974)

2.8. LE RHÉOMÈTRE PLAN-CÔNE 59

z

Ω1

Ω0

ε

R1

R0

RC

O

Interface air-liquide (S)Σ1

Σ0P+

V

Fig. 2.7 – Schéma de principe du rhéomètre plan-cône.

au premier ordre: C = µπR4

2h Ω et le couple est linéaire en Ω. On peut alors montrer, en calculant la vitesseaux ordres suivants, que la correction au couple de frottement est alors un O(Ω3). Ainsi, à l’ordre principal laformule (2.54) donne une approximation acceptable du couple de frottement sur le disque supérieur pour lesécoulements lents.

Malheureusement, il n’en est plus de même pour les contraintes normales. En effet, comme N1 et N2 sontpaires, elles se développent donc en (voir les formules du dernier chapitre dans les notes de cours) :

N2(χ) = (2α1 + α2)χ2 +O(χ4) N1(χ) = −2α1χ

2 +O(χ4)

où µ,α1,α2 sont les coefficients du modèle de Grade 2 sous-convecté. Ainsi, la contribution du seul écoulementazymuthal à F (formule (2.57)) est donnée par:

Faz = −(α2 + 4α1)πR4

4h2Ω2

Or, on sait que les forces d’inertie centrifuges sont également en Ω2 et, par suite, on s’attend à une correctionde la pression aux ordres suivants par des termes en ρΩ2 qui vont donc également contribuer à F . Le calculperturbatif de la vitesse aux ordres suivants montre effectivement que la correction à apporter à F à l’ordre2 est en ρR4Ω2 et est donc bien du même ordre que les termes pris en compte par la formule (2.57): le termecorrectif est dû uniquement aux effets d’inertie et non à la rhéologie. Ainsi, on voit que la formule (2.57) n’estpas correcte à l’ordre principal, aussi petite que soit la vitesse de rotation. Cependant, on voit également que sila distance entre les disques, h, est très petite on peut à priori négliger le terme d’inertie en ρR4Ω2 devant lestermes de contraintes normales si α2 + 4α1 6= 0. La difficulté expérimentale pour un fluide "inconnu" est doncde savoir si la force F mesurée est due à la présence de contraintes normales (i.e. α2 + 4α1 6= 0) ou seulementà l’inertie.

En pratique, dans les viscosimètres à disques parallèles, l’espacement h est petit, h ≈ 1mm. Pour un mêmefluide, on effectue alors des expériences pour différentes valeurs de h et R; si les résultats obtenus sont cohérentsentre eux et avec la formule (2.57), on admet alors que l’hypothèse d’un écoulement de Stokes est vérifiée et quela détermination de N1 −N2 est correcte, en première approximation en se limitant à l’écoulement azimuthal.In fine, ceci justifie l’étude faite.

2.8 Un écoulement quasiviscométrique: le viscosimètre plan-cône

On rapporte l’espace E à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), où −k est la direction de la pesanteur,et on notera (x,y,z) les coordonnées d’un point M ∈ E dans ce repère. On utilisera également un système decoordonnées sphériques de centre O et d’axe Oz, (r,φ,θ), défini par la fonction Ξ :]0,+ ∞[×]0,π[×R 7−→ E :

M = Ξ(r,φ,θ) :

−−→OM = x(r,φ,θ)i + y(r,φ,θ)j + z(r,φ,θ)k

x = r sinφ cos θ y = r sinφ sin θ z = r cosφ

L’image de Ξ est E privé de l’axe Oz. On a r = ||−−→OM || et φ ∈]0,π[ est l’angle non orienté entre les vecteurs−−→OM

et k (voir la figure). On désigne par (er,eφ,eθ) la base locale orthonormée directe des coordonnées sphériquesen un point M 6∈ Oz.


O

x

y

z

M

r

θ

φ

k

j

i

er

eφ

eθ

Fig. 2.8 – Coordonnées sphériques de centre O et d’axes Ox,Oz.

Cone angle (o) 1 2 1 2 1 2Cone diameter(mm) 25 25 50 50 75 75Reducing ofcone apex (µm) 50 50 50 50 50 50Filling volume(ml) 0.08 0.15 0.6 1.2 2.0 3.9Shear rate range(s−1) 0 · · · 4800 0 · · · 2400 0 · · · 4800 0 · · · 2400 0 · · · 4800 0 · · · 2400Shear stressrange (Pa) 0 · · · 12223 0 · · · 12223 0 · · · 1527 0 · · · 1527 0 · · · 452 0 · · · 452

Tab. 2.1 – Données du rhéomètre RC20.

On considère l’écoulement isotherme d’un volume fini V , constant, d’un fluide simple incompressible, dedensité ρ, entre un plateau horizontal Oxy et un cône circulaire de sommet O et d’axe Oz perpendiculaire auplateau, situé au dessus du plateau. On désignera par ε ∈]0,π/2[ l’angle constant entre le cône et le plan. Le

cône est fini, avec ||−−→OP || = RC (voir la figure), alors que le plateau est suffisamment étendu pour pouvoir êtreassimilé à un plan infini.

Le dispositif est plongé dans l’air ambiant à la pression atmosphérique constante pa et on néglige la viscositéde l’air. L’air et le liquide sont immiscibles.

Le plateau et le cône sont mobiles en rotation autour de l’axe Oz, de vitesses angulaires respectives Ω0 etΩ1 par rapport au référentiel du laboratoire, supposé Galiléen. Par construction, l’angle ε est assez petit pourque, dans la gamme des vitesses de rotation considérées, le fluide soit à chaque instant "piégé" par les forces detension superficielle à l’interface air-liquide dans un domaine régulier borné connexe, V, situé entre le plateauet le cône. On notera S l’interface air-liquide, Σ0 l’interface liquide-plateau et Σ1 l’interface liquide-cône.Compte-tenu de la symétrie de révolution du problème, on admet - ce qui est bien vérifié expérimentalement- que l’interface air-liquide est une surface de révolution d’axe Oz que l’on peut décrire dans un système decoordonnées sphériques de centre O et d’axe Oz par une équation paramétrique:

r = h(π

2− φ) (2.58)

où t 7→ h(t) est une fonction assez régulière, strictement positive et définie 9 pour t ∈ [0,ε].En pratique, lors des expériences le volume de fluide testé est de l’ordre du millilitre et l’angle ε entre

le plan et le cône est de l’ordre du degré: ces ordres de grandeurs feront référence pour toute l’étude (voir letableau 10 2.1).

On désignera par R0 (resp. R1) la distance entre O et un point quelconque de la ligne triple de contactair-liquide-solide du plateau (resp. du cône).

9 Par hypothèse, il y a donc partout adhérence du fluide au plateau et au cône et, en particulier, si R1 = RC il n’y a pas debourrelet au dessus du cône. 10 A titre d’exemple, la société "Rheotec" commercialise un rhéomètre "plan-cône" d’appella-tion commerciale "RC20" pour lequel elle fournit les données reproduites dans le tableau joint. Source: site Web de la société:www.rheotec.de/e-prod-rc20ps.htm.


On va s’intéresser ici au cas où les vitesses Ω0 et Ω1 sont constantes et où l’écoulement est stationnaire.On se propose d’estimer les efforts exercés par le fluide sur les pièces mobiles quand le plateau est animé d’unevitesse Ω0 = Ω constante alors que le cône est maintenu fixe par un dispositif de torsion, comme dans le casdu rhéomètre à disques parallèles.

Comme pour l’écoulement entre disques parallèles, le problème réel consiste à déterminer simultanémentla fonction h, c’est à dire le domaine V, constant, occupé par le fluide et le champ de vitesse v du fluide dansV. C’est encore un problème difficile qui, à ma connaissance, n’a pas été résolu de manière exacte y comprispour des fluides Newtoniens. Par rapport à l’écoulement entre disques parallèles, il y a deux complicationssupplémentaires: 1) un écoulement azymuthal n’est pas solution exacte des équations locales y compris enapproximation de Stokes dans le cas viscoélastique et 2) la position de la ligne triple sur le plateau inférieurn’est pas fixée mais est seulement donnée par la condition de contact de Young. La valeur de l’angle de contactne modifie pas sensiblement la forme de l’interface pour ε petit, qui est approximativement sphérique si levolume V est bien choisi, mais peut influer fortement sur la valeur de pression.

Dans l’étude simplifiée que nous allons rapportée ici on ne cherchera pas à déterminer V, c’est à dire laforme du domaine et on ne s’occupera donc pas de l’équilibre de l’interface. En pratique, pour estimer lesefforts exercés sur les pièces mobiles on admettra, en première approximation, que le volume de fluide testéest tel que R1 = RC (on peut vérifier que c’est bien le cas pour les volumes préconisés par le constructeur duRC20) et que l’interface air-liquide est approximativement sphérique.

On désignera par p la pression et par τττ le déviateur des contraintes. On recherche un champ v donné enchaque point x de V par:

v(x) = vrer + vφeφ + vθeθ

où (er,eφ,eθ) est la base locale orthonormée directe des coordonnées sphériques en x.

2.8.1 Étude formelle d’un écoulement azymuthal viscométrique.

Compte tenu de la symétrie de révolution du problème on pourrait penser que les trajectoires des particulessont des cercles autour de Oz. On va donc rechercher un champ de vitesse azymuthal de la forme:

v = rω sinφ eθ (2.59)

Pour que ce champ soit physiquement acceptable il faudra, en particulier, que le déviateur des contraintes soitborné sinon il y aurait fragmentation de la goutte liquide. Comme le fluide est incompressible on doit avoir:

div(v) =1

r sinφ

∂vθ∂θ

=∂ω

∂θ= 0

ce qui impose que ω ne dépend que r et φ. On peut déterminer le tenseur des taux de déformations, D =(∇∇∇v + T∇∇∇v)/2, par sa matrice sur la base locale de coordonnées sphériques. Vu l’expression du gradient d’unchamp de vecteurs en coordonnées sphériques, on a:

[D](er,eφ,eθ) =sinφ

2

0 0 r∂ω

∂r

0 0∂ω

∂φ

r∂ω

∂r

∂ω

∂φ0

et donc:γ =

√2D : D = sinφ

√r2(∂rω)2 + (∂φω)2

Pour un fluide purement visqueux, on connaît donc l’expression du tenseur des contraintes. Pour un fluidesimple général, on va d’abord vérifier que l’écoulement est viscométrique puis on déterminera l’expression dudéviateur des contraintes à partir de la théorie générale. Il nous faut d’abord déterminer les trajectoires puisle tenseur des déformations relatives.

Si x = Ξ(r(t),θ(t),φ(t)) est la position à l’instant t d’une particule qui occupe la position x0 = Ξ(R,Φ,Θ)à un instant t0, les fonctions (r,θ,φ) sont solutions du système:

dr

dter + r

dφ

dteφ + r sinφ

dθ

dteθ = v(Ξ(r,φ,θ)) = rω(r,φ) sinφ eθ

(r(t0),φ(t0),θ(t0)) = (R,Φ,Θ)


La solution est:

r = R φ = Φ θ = Θ + (t− t0)ω(R,Φ)

Ce qui signifie que le point x = Ξ(r(t),θ(t),φ(t)) se déduit du point x0 = Ξ(r(t0),θ(t0),φ(t0)) par une rotationautour de Oz d’angle (t − t0)ω(R,Φ), le plan horizontal étant orienté de manière à ce que (i,j) soit directe.Ainsi, pour chaque réel s et chaque point x désignons par R(s,x) la rotation d’angle −sω(r,φ) autour de Ozdonnée par sa matrice sur la base (i,j,k):

[R(s,x)](i,j,k) =

cos(sω(r,φ)) sin(sω(r,φ)) 0− sin(sω(r,φ)) cos(sω(r,φ)) 0

0 0 1

Posons Ω = E −Oz. Par construction, pour t fixé, l’application:

τ 7→ χt(τ) : Ω 7−→ Ω

x 7−→ χt(τ,x) = O + R(t− τ,x) · −→Ox

est donc le mouvement relatif de milieu continu stationnaire défini sur Ω dont le champ de vitesses Eulérienest v. Le mouvement étant déterminé, on calcule alors le gradient relatif de déformation Ft(τ).

Comme R est orthogonale, on a R · TR = Id et donc:

∂rR · TR + R · T∂rR = 0

Par suite, ∂rR · TR est antisymétrique et il existe un vecteur a tel que pour tout u on ait:

(∂rR ·T R) · u = a ∧ u

On peut facilement déterminer a sans aucuns calculs, comme dans le cas des mouvements hélicoïdaux. Eneffet, fixons (s,φ,θ) et considérons la famille à 1 paramètre, r, d’applications définies sur E par X ∈ E 7−→O+R(s,r,φ,θ) · −−→OX. En identifiant r à un "temps", cette famille est un mouvement rigidifiant dont le vecteurrotation-glissement, par définition même, est a. Comme R(s,r,φ,θ) est la rotation d’angle −sω(r,φ) autour deOz, son vecteur rotation est donc:

a = −s∂ω∂r

k

D’où:

∀u ∈ E :∂R

∂rTR · u = −s∂ω

∂rk ∧ u

Un calcul similaire donne:

∀u ∈ E :∂R

∂φTR · u = −s∂ω

∂φk ∧ u

Soit (er,eφ,eθ) la base locale de coordonnées cylindriques au point x = Ξ(r,φ,θ). On a−→Ox = rer et, vu ce qui

précède, il vient:

Ft(t− s,x) · er =def

∂

∂r[rR(s,r,φ,θ) · er] = r[

∂

∂rR] · er + R · er

= r(∂R

∂rTR) · (R · er) + R · er

= −sr ∂ω∂r

k ∧ (R · er) + R · er

Et, comme R(s,x) est une rotation d’axe colinéaire à k on a:

k ∧ (R · er) = R · (k ∧ er)

et il vient finalement:

Ft(t− s,x) · er = R(s,x) · [er − sr∂ω

∂rk ∧ er]


De la même manière, on a:

Ft(t− s,x) · eφ =def

1

r

∂

∂φ[rR(s,r,φ,θ) · er] = [

∂

∂φR] · er + R · eφ

= (∂R

∂φTR) · (R · er) + R · eφ

= R(s,x) · [er − s∂ω

∂φk ∧ er]

Enfin, comme R ne dépend pas de θ, on a simplement:

Ft(t− s,x) · eθ =def

1

r sinφ

∂

∂θ[rR(s,r,φ,θ) · er] = R(s,x) · eθ

Finalement, on a donc:Ft(t− s,x) = R(s,x)[Id − sM]

et où M est l’endomorphisme défini par:

M · er = r∂ω

∂rk ∧ er M · eφ =

∂ω

∂φk ∧ er M · eθ = 0

Comme k ∧ er = sinφeθ, la matrice de M sur la base (er,eφ,eθ) est:

[M](er,eφ,eθ) = sinφ

0 0 00 0 0

r∂ω

∂r

∂ω

∂φ0

On a M2 = 0 et M est nilpotent d’ordre 2. L’écoulement est donc viscométrique et on peut vérifier directementque D = (M + TM)/2. On pose donc:

χ =√

M : M = sinφ√r2(∂rω)2 + (∂φω)2

qui est le taux de cisaillement. Si χ = 0, M = 0, sinon, on considère la base orthonormée B = (e1,e2,e3)donnée par:

e1 = eθ e2 =r∂rωer + ∂φωeφ√r2(∂rω)2 + (∂φω)2

e3 =r∂rωeφ − ∂φωer√r2(∂rω)2 + (∂φω)2

La matrice de M sur B est, par construction:

[M]B =

0 χ 00 0 00 0 0

Soit τττ le déviateur des contraintes en un point M à l’instant t. La matrice de τττ sur la base B est:

[τττ ]B =

2N1(χ)+N2(χ)3 τ(χ) 0

τ(χ) N2(χ)−N1(χ)3 0

0 0 −N1(χ)+2N2(χ)3

où τ est la fonction de cisaillement et N1,N2 les deux différences normales. On a:

er =r∂rωe2 − ∂φωe3√r2(∂rω)2 + (∂φω)2

eφ =r∂rωe3 + ∂φωe2√r2(∂rω)2 + (∂φω)2

eθ = e1

On en déduit les composantes de la matrice de τττ sur la base locale des coordonnées sphériques.

τrr = (τττ · er|er) =sin2 φ

χ2r2(∂rω)2N2(χ) − N1(χ) + 2N2(χ)

3

τrφ = (τττ · er|eφ) =sin2 φ

χ2(r∂rω)(∂φω)N2(χ) τθθ = (τττ · eθ|eθ) =

2N1(χ) + N2(χ)

3

τφφ = (τττ · eφ|eφ) =sin2 φ

χ2(∂φω)2N2(χ) − N1(χ) + 2N2(χ)

3

τφθ = (τττ · eφ|eθ) = sinφ(∂φω)τ(χ)

χτrθ = (τττ · er|eθ) = r sinφ(∂rω)

τ(χ)

χ

(2.60)


Si χ = 0, ω est une constante et le fluide est au repos dans le repère mobile en rotation de vitesse ω autourde Oz. D’après le principe d’objectivité matérielle, le tenseur des contraintes de Cauchy est alors réduit à unepression et donc τττ = 0. Ainsi, vu les propriétés des fonctions viscométriques, les formules précédentes restentdonc vraies par continuité quand χ→ 0.

Dans le cas d’un fluide purement visqueux on a τττ = 2µ(γ)D où γ =√

2D : D. Avec l’expression de D

trouvée précédemment, on a directement:τrr = τrφ = τθθ = τφφ = 0

τφθ = sinφ(∂φω)µ(γ) τrθ = r sinφ(∂rω)µ(γ)

Comme ici χ = γ, ces relations sont exactement les relations (2.60) dans lesquelles les différences normalesN1 et N2 sont nulles, la fonction de cisaillement du fluide étant définie pour χ ≥ 0 par: τ(χ) = µ(χ)χ.C’était évidemment attendu puisqu’un fluide purement visqueux est un fluide simple particulier, à mémoireinstantanée, pour lequel N1 = N2 = 0.

2.8.2 Équations de bilan local.

Considérons un fluide simple dans le mouvement ainsi déterminé. Comme l’axe Oz est vertical, avec k

vers le "haut", le bilan local de quantité de mouvement s’écrit en un point x = Ξ(r,φ,θ) intérieur au domaineoccupé par le fluide:

ρ∇∇∇v · v = −∇∇∇p− ρgk + div(τττ)

où ρ > 0 est la densité constante du fluide, g > 0 est l’accélération de la pesanteur, p la pression et τττ ledéviateur des contraintes. Pour simplifier, on pose:

p = p+ ρgz = p+ ρgr cosφ

de sorte que:∇∇∇p+ ρgk = ∇∇∇p

Vu l’expression de vvv, on a:∇∇∇v · v = −rω2 sinφ(sinφer + cosφeφ)

D’autre part, on a en coordonnées sphériques:

∇∇∇p =∂p

∂rer +

1

r

∂p

∂φeφ +

1

r sinφ

∂p

∂θeθ

Comme l’écoulement est viscométrique les composantes de la matrice de τττ sur la base locale des coordonnéessphériques sont celles obtenues précédemment et elles ne dépendent donc que de r et φ mais pas de θ. On endéduit les trois équations de bilan local de quantité de mouvement:

ρrω2 sin2 φ =∂p

∂r− 1

r2∂r2τrr∂r

− 1

r sinφ

∂ sinφτrφ∂φ

+τφφ + τθθ

r

ρrω2 sinφ cosφ =1

r

∂p

∂φ− 1

r3∂r3τrφ∂r

− 1

r sinφ

∂ sinφτφφ∂φ

+cotφτθθ

r

0 =1

r sinφ

∂p

∂θ− 1

r3∂r3τrθ∂r

− 1

r sin2 φ

∂ sin2 φ τφθ∂φ

(2.61)

2.8.3 Conditions limites cinématiques.

Examinons les conditions que doit vérifier v sur les bords de V.1. Le fluide adhère aux parois et on a donc:

Sur Σ0 : ∀r ∈ [0,R0],θ ∈ [0,2π] : vr(r,π

2,θ) = vφ(r,

π

2,θ) = 0 vθ(r,

π

2,θ) = rΩ0

Sur Σ1 : ∀r ∈ [0,R1],θ ∈ [0,2π] : vr(r,π

2− ε,θ) = vφ(r,

π

2− ε,θ) = 0 vθ(r,

π

2− ε,θ) = rΩ1

2. Comme le mouvement est stationnaire, la position de l’interface est fixe et la condition cinématiqued’immiscibilité se traduit par:

(v|n) = 0 Sur S

où n le champ des normales unitaires extérieures à ∂V.


3. Pour un champ v = rωeθ purement azymuthal, les conditions limites cinématiques sont:

Sur Σ0 : ∀r ∈ [0,R0] : ω(r,π/2) = Ω0

Sur Σ1 : ∀r ∈ [0,R1] : ω(r,π/2 − ε) = Ω1

et sur S, comme n est dans le plan (er,eφ) orthogonal à eθ, la condition d’immiscibilité (v|n) = 0 estautomatiquement vérifiée.

2.8.4 Un écoulement azymuthal n’est pas solution exacte des équations de bilanlocal.

On va le montrer pour un fluide purement visqueux. Pour un fluide purement visqueux les équations (2.61)se réduisent à:

ρrω2 sin2 φ =∂p

∂r

ρrω2 sinφ cosφ =1

r

∂p

∂φ

1

r3∂r3τrθ∂r

+1

r sin2 φ


=1

r sinφ

∂p

∂θ

(2.62)

Comme le rotationnel d’un gradient doit être nul on doit donc avoir rot(div(τττ) − ρ∇∇∇v · v) = 0. D’aprèsl’expression du rotationnel d’un vecteur en coordonnées sphériques on devrait donc avoir:

∂

∂φ[sinφ

r3∂r3τrθ∂r

+1

r sinφ


] = 0

∂

∂r[1

r2∂r3τrθ∂r

+1

sin2 φ


] = 0

ρ(∂r2ω2 sinφ cosφ

∂r− ∂rω2 sin2 φ

∂φ) = 0

(2.63)

Les deux premières équations sont équivalentes à l’existence de deux fonctions f et g telles que:

sinφ

r3∂r3τrθ∂r

+1

r sinφ


= f(r)

1

r2∂r3τrθ∂r

+1

sin2 φ


= g(φ)

Par suite, il doit exister une constante a telle que: rf(r) = sinφg(φ) = a. Les deux relations ci-dessus sontdonc équivalentes à la seule relation:

1

r3∂r3τrθ∂r

+1

r sin2 φ


=a

r sinφ

D’autre part, en simplifiant par r sinφ qui n’est pas nul, la seconde relation de (2.63) s’écrit:

ω(r cosφ∂ω

∂r− sinφ

∂ω

∂φ) = 0

Ce qui est équivalent à:

r cosφ∂ω

∂r= sinφ

∂ω

∂φ

D’après la troisième équation dans (2.62), la constante a n’est rien d’autre que:

∂p

∂θ= a

et il doit alors exister une fonction h telle que:

p = aθ + h(r,φ)


Comme, par continuité, on doit avoir: p(r,φ,θ) = p(r,φ,θ + 2π) il vient finalement a = 0 et le système (2.63)est donc équivalent aux deux relations

∂r3 sin2 φτrθ∂r

+∂r2 sin2 φ τφθ

∂φ= 0

r cosφ∂ω

∂r= sinφ

∂ω

∂φ

(2.64)

D’après la seconde relation de (2.64) et vu l’expression de χ obtenue à la première partie, on a:

χ =

√sin2 φ(r

∂ω

∂r)2 + sin2 φ(

∂ω

∂φ)2 =

√(r∂ω

∂r)2

Comme τ est impaire, on a donc:τ(χ)

χ=τ(r ∂ω∂r )

r ∂ω∂r

relation qui reste vraie, par continuité, si χ = 0. On pose α = r ∂ω∂r et, vu les expressions de τrθ et τθφ obtenuesà la première partie, il vient:

τrθ = sinφ τ(α) τφθ = cosφ τ(α)

On développe alors la première relation dans (2.64) et après simplification on obtient:

0 = 2τ(α) + (r sin2 φ∂

∂r(τ(α) + sinφ cosφ

∂

∂φ(τ(α))

Par dérivation composée, il vient:

0 = 2τ(α) + τ ′(α)(r sin2 φ∂

∂r(r∂ω

∂r) + sinφ cosφ

∂

∂φ(r∂ω

∂r)

Or, en dérivant par rapport à r la seconde relation dans (2.64), on a:

sinφ cosφ∂

∂φ(r∂ω

∂r) = r cosφ

∂

∂r(sinφ

∂ω

∂φ) = r cos2 φ

∂

∂r(r∂ω

∂r)

d’où l’on déduit la relation:

2τ(α) + rτ ′(α)∂α

∂r= 0

Cette relation s’écrit aussi:1

r

∂r2τ(α)

∂r= 0

Et il doit exister une fonction k telle que:

τ(α) =k(φ)

r2

Pour que les contraintes, de même que le taux de cisaillement, restent bornées il faut que k = 0. Comme τest strictement croissante τ(α) n’est nul que si et seulement si α = 0. Il en résulte: ∂ω

∂r = 0. Mais commer cosφ∂ω∂r = sinφ∂ω∂φ , on doit également avoir ∂ω

∂φ = 0 et finalement ω doit être constante. Or, puisque le fluideadhère aux parois, on doit avoir:

ω(r,π/2) = Ω0 ω(r,π/2 − ε) = Ω1

et ω ne peut-être constante que si et seulement Ω0 = Ω1. Par suite, si Ω0 6= Ω1, un champ purement azymuthalinvariant par rotation autour de Oz ne peut pas être solution exacte des équations du mouvement.

2.8.5 Étude en hypothèse de Stokes.

La raison fondamentale qui empêche l’écoulement azymuthal d’être solution pour le fluide purement vis-queux est que l’on ne peut pas équilibrer les termes d’inertie en ρω2r. On va alors se placer en hypothèse deStokes et négliger ces termes dans l’équation de bilan. Cette hypothèse sera à priori acceptable pour des petitesvitesses de rotation du plateau inférieur quand le cône est fixe mais on examinera plus en détail sa validité àla fin de l’étude.


2.8.5.1 Les équations locales.

On néglige donc les termes d’inertie. Compte tenu des conditions limites, on recherche un champ azymuthaloù ω ne dépend pas de r. Dans ces conditions, les expressions des composantes du déviateur des contraintes(2.60) se simplifient en:

τrr = −N1(sinφω′(φ)) + 2N2(sinφω

′(φ))

3τφφ =

N2(sinφω′(φ)) −N1(sinφω

′(φ))

3

τθθ =2N1(sinφω

′(φ)) + N2(sinφω′(φ))

3τrφ = τrθ = 0 τφθ = τ(sinφω′(φ))

(2.65)

Ainsi, avec l’hypothèse de Stokes, les équations du mouvement (2.61) se résument alors à:

∂pS∂r

= −N1(sinφω′(φ)) + 2N2(sinφω

′(φ))

r∂pS∂φ

=d

dφ(N2(sinφω

′(φ)) −N1(sinφω′(φ))

3) − cotφN1(sinφω

′(φ))

∂pS∂θ

=1

sinφ

d

dφ(sin2 φ τ(sinφω′(φ))))

(2.66)

où pS est la pression de l’écoulement de Stokes. Pour que pS soit continue la dernière équation implique:∂pS

∂θ = 0. Finalement, les équations se résument à:

∂pS∂r


′(φ))

r∂pS∂φ

=d

dφ(N2(sinφω



′(φ))

1

sinφ

d

dφ(sin2 φ τ(sinφω′(φ)))) = 0

(2.67)

On voit alors que l’on peut déterminer le champ de vitesse, c’est à dire ω, uniquement à partir du bilanazymuthal (i.e. la troisième équation) et des conditions limites sur le cône et le plan.

2.8.5.2 Détermination de la vitesse et du couple visqueux appliqué sur le cône.

La dernière relation dans (2.67) est équivalente à l’existence d’une constante K telle que:

τ(sinφω′(φ)) =K

sin2 φ

C’est à dire:

sinφdω

dφ= τ−1(

K

sin2 φ)

où τ−1 est la fonction inverse de τ . On va voir que cette constante K est, à un facteur géométrique près, lecouple visqueux exercé sur le cône. Auparavant, terminons la détermination de la vitesse et examinons le caspratique où ε est petit.

Par quadrature, on déduit:

∀φ ∈ [π/2 − ε,π/2] : ω(φ) = Ω1 +

∫ φ

π/2−ε

τ−1( Ksin2 φ

)

sinφdφ

Comme ε ∈]0,π/2[, on peut changer de variable en posant x = 1sin2 φ

. La relation précédente devient:

ω(φ) = Ω1 +1

2

∫ 1cos2 ε

1sin2 φ

τ−1(Kx)√x2 − x

dx

Par suite, en posant ∆Ω = Ω0 − Ω1, K est solution de:

∆Ω =1

2

∫ 1cos2 ε

1

τ−1(Kx)√x2 − x

dx (2.68)


Comme τ est continue strictement croissante, nulle en 0 et tend vers l’infini en l’infini, il en est de même deτ−1 et donc également de la fonction réelle

K ∈ R 7→ 1

2

∫ 1cos2 ε

1

τ−1(Kx)√x2 − x

dx

Par suite, l’équation (2.68) possède une solution K et une seule qui est du signe de ∆Ω. En conséquence lafonctions ω est complètement déterminée par la donnée de ∆Ω = Ω0 − Ω1 et de Ω0. Comme τ est continuestrictement croissante et impaire, par la formule de la moyenne on déduit qu’il existe ξ ∈ [1, 1

cos2 ε ] tel que:

∆Ω = τ−1(Kξ)1

2

∫ 1cos2 ε

1

dx√x2 − x


1

2

∫ 1cos2 ε

1

dx√x2 − x

=

∫ √1

cos2 ε−1

0

dx√1 + x2

= argsh(

√1

cos2 ε− 1) = Log(

√1

cos2 ε− 1 +

1

cos ε)

= Log(1 + tan ε/2

1 − tan ε/2)

D’où:

∃ξ ∈ [1,1

cos2 ε] : ∆Ω = τ−1(Kξ) Log(

1 + tan ε/2

1 − tan ε/2)

et donc:

Kξ = τ(∆Ω

Log( 1+tan ε/21−tan ε/2 )

)

K est nul si, et seulement si, ∆Ω est nul sinon pour ∆Ω 6= 0 on a donc:

τ( ∆Ω

Log(1+tan ε/21−tan ε/2

))

K= ξ

Par les accroissements finis, on a:

0 ≤ ξ − 1 ≤ 1/ cos2 ε− 1 ≤ 2ε sin ε

cos3 ε≤ 2ε2

cos3 ε

Par suite, dès que ε est assez petit, et plus précisément dès que ε ≤ 29 deg ≈ arccos( 3√

2/3), on a:

0 ≤τ( ∆Ω


))

K− 1 ≤ 3ε2

et ce, uniformément en ∆Ω et indépendamment de τ . On voit donc que si on sait mesurer K, on pourradéterminer la fonction de cisaillement avec une très bonne précision (sous l’hypothèse de Stokes toutefois)indépendamment de la nature du fluide.

A noter que l’on a:

Log(1 + tan ε/2

1 − tan ε/2) = ε+ 1/6ε3 +O(ε5)

et donc en pratique, on peut considérer que:

τ(∆Ω


) = τ(Ω

ε)(1 +O(Ωε)) ≈ τ(

Ω

ε)

le O dépendant toutefois du fluide.La force par unité de surface exercée par le fluide en un point M du cône est:

t = τττ · eφ − peφ


On a ici:

[τττ ](er,eφ,eθ) =

τrr 0 00 τφφ τφθ0 τφθ τθθ

et donc:

t = τφθeθ + (τφφ − p)eφ =K

cos2 εeθ + (τφφ − p)eφ

On a: eφ = − cos εk − sin εk ∧ eθ et le moment en O de cette force est donc:

−−→OM ∧ t = rer ∧ t =

Kr

cos εk + r(τφφ − p)eθ +

Kr sin ε

cos2 εk ∧ eθ

Par ailleurs, l’élément de surface sur le cône est dσ = r cos εdrdθ. Par symétrie, comme p et τφφ ne dépendentpas de θ, les intégrales des termes en eθ et en k ∧ eθ sont nulles et il reste:

C = K

∫ R1

0

∫ 2π

0

r2drdθk =2πR1

3K

3k

Quand R1 = RC et ε 1, on a donc:

0 ≤2πR

3

Cτ(|∆Ω|


))

3|C| − 1 ≤ 3ε2 (2.69)

où |C| est le module du couple exercé par le fluide sur le cône et ce, indépendamment de ∆Ω et du fluide.Par suite, à l’ordre principal en ε, pour un rhéomètre ou le plateau est mobile à la vitesse Ω0 = Ω et le

cône fixe, on a:

τ(|Ω|


) =3|C|2πR

3

C

(1 +O(ε2)) (2.70)

En pratique, on utilise un volume de fluide adapté pour assurer la condition R1 = RC et on fait tournerle plateau à vitesse angulaire constante, Ω, alors que le cône est suspendu à un fil de torsion. En régimestationnaire le cône est immobile, le couple de torsion équilibrant le couple exercé par le fluide. La vitessedu plateau Ω étant connue, on mesure alors |C| par une mesure de l’angle de torsion. La courbe donnant

3|C|/(2πR3

C) en fonction de |Ω|Log(

1+tan ε/21−tan ε/2

)≈ |Ω|/ε donne alors une bonne approximation de la fonction de

cisaillement du fluide. Le fait que la relation (2.70) soit uniforme en |Ω| et indépendante de τ rend le dispositifparticulièrement intéressant car la qualité des mesures est peu sensible à la nature du fluide et aux valeurs dutaux de cisaillement, ce qui explique que les rhéomètres de type "plan-cône" soient les appareils les plus utilisésen pratique pour les mesures des viscosités apparentes. A noter également que par rapport au rhéomètre deCouette ou au rhéomètre à disques parallèles, on a ici une détermination directe de la fonction de cisaillementsans avoir à "dériver" les résultats expérimentaux.

A noter que, comme ε 1, pour assurer la reproductibilité des mesures, il faut assurer un contact précis(micrométrique) de la pointe du cône sur le plateau. Ainsi cette pointe est en général étêtée de quelques µm(c’est la cote "Reducing of the cone apex" du tableau).

2.8.5.3 Mesure des contraintes normales.

Pour un fluide purement visqueux l’écoulement azymuthal que l’on a déterminé est solution exacte deséquations de Stokes, puisque N1 = N2 = 0. On peut en effet terminer la résolution des équations locales etdéterminer la pression de Stokes qui est alors donnée par:

pS = p0 − ρgr cosφ (2.71)

où p0 est la valeur constante de pS sur le plateau.Pour un fluide viscoélastique, il en est différemment puisqu’il faut encore s’assurer que les deux premières

équations dans (2.67) sont compatibles avec l’expression de ω qui est fixée par la troisième. Une condition


nécessaire et suffisante pour que ω ainsi déterminée soit solution de (2.67) est donc qu’il existe une fonctionpS , qui ne dépend que de r et φ, telle que:

∂pS∂r


′(φ))

r∂pS∂φ

=d

dφ(N2(sinφω



′(φ))

(2.72)

Comme le domaine en r,φ est simplement connexe, en passant au rotationnel, une CNS pour qu’il existe pSest que:

d

dφ[N1(sinφω

′(φ)) + 2N2(sinφω′(φ))] = 0 (2.73)

Ce qui s’écrit encore:d

dφ[N1(

K

sin2 φ) + 2N2(

K

sin2 φ)] = 0 (2.74)

ou encore, de manière équivalente:

K[N ′1(

K

sin2 φ) + 2N ′

2(K

sin2 φ)] cosφ = 0 (2.75)

Pour ∆Ω 6= 0, K est une certaine constante non nulle et la relation précédente est, les différences normalesétant paires, strictement équivalente à la condition:

∀x ∈ [|K|,|K|/ cos2 ε] : N ′1(x) + 2N ′

2(x) = 0 (2.76)

Or, cette condition ne porte que sur des propriétés physiques du fluide et, à priori, elle n’a donc aucune raisond’être vérifiée.

Cependant, pour ε 1, si K est un O(1) il en est de même que Ksin2 φ

, alors que cosφ = O(ε). Or K est del’ordre de |∆Ω|/ε. On a donc l’implication:

ε 1 et |∆Ω|/ε = O(1) ⇒ K[N ′1(

K

sin2 φ) + 2N ′

2(K

sin2 φ)] cosφ = O(ε) (2.77)

et, en première approximation on peut admettre que la relation (2.73) est vérifiée. En ignorant cette conditionon peut alors déterminer la pression de Stokes en un point du plateau à partir de (2.72). Il vient:

pS(r,φ) =pS(R0,π/2) + (N1(ω′(π/2)) + 2N2(ω

′(π/2)))Ln(R0

r)

−ρgr cos(φ)

+N2(sinφω


3−

∫ φ

π/2

cotφN1(sinφω′(φ)) dφ

− N2(ω′(π/2)) −N1(ω

′(π/2))3

où pS(R0,π/2) est la pression (de Stokes) dans le fluide en un point de la ligne triple air-liquide-solide duplateau. Sur le plateau, on a φ = π/2 et il reste:

pS(r,π/2) = pS(R0,π/2) + (N1(ω′(π/2)) + 2N2(ω

′(π/2)))Ln(R0

r)

La force par unité de surface exercée par le fluide en un point M du plateau est:

−(τττ · eφ − peφ)

où eφ = −k Par suite la force normale exercée par le fluide sur le plateau est:

F = [2π

∫ R1

0

r(τφφ(r,π/2) − p(r,π/2)) dr]k

On se place dans la situation où le plateau est mobile à la vitesse Ω et le cône fixe, avec ε 1 et on admetque pS est une approximation de la pression réelle.


On a ω′(π/2) = τ−1(K) où τ−1(K) est un taux de cisaillement qui est approximativement égal à |∆Ω|/ε,dans la limite ε 1. D’où:

F(Ω) ≈ −πR02[pS(R0,π/2) +

5

6N1(

∆Ω

ε) +

2

3N2(

∆Ω

ε)]k

Or sur la ligne triple du plateau en r = R0, on a:

σrr = −pS(R0,π/2) −N1 + 2N2

3= −PS

où PS est une pression statique qui équilibre σrr et qui ne dépend que de la pression extérieure pa et de laforme de l’interface au voisinage du plateau (i.e. de la tension superficielle et du contact sur le plateau). Si onadmet que PS ne dépend pas de Ω, ce qui n’est pas si évident à l’ordre 2 en Ω, on aura:

F (Ω) − F (0) ≈ 1

2πR0

2N1(∆Ω

ε)

Ainsi, en équipant le plateau inférieur d’un capteur à membrane sur lequel on exerce une contre pressionconstante, on peut en principe mesurer F (Ω) − F (0) et donc la première différence normale N1. En général,les logiciels fournis avec les appareils admettent que R0 = RC, ce qui n’est d’ailleurs pas si évident.

RésuméLe rhéomètre plan-cône permet en principe (i.e. dans la limite de l’approximation deStokes et des taux de cisaillement modérés pour les contraintes normales) de mesurerexpérimentalement la fonction de cisaillement τ et la première différence normale N1.

On voit qu’en utilisant conjointement le rhéomètre plan-cône et le rhéomètre à disques parallèles on peut,en principe, déterminer expérimentalement N1 et N2.

Note. Validité et correction approximative pour les termes d’inertie. On va examiner le casd’un fluide purement visqueux. On a:

ρ∇∇∇v · v = −rω2 sinφ(sinφer + cosφeφ)

Si l’écoulement de Stokes était solution exacte, ce terme devrait être un gradient et par suite on pourraitcalculer p en intégrant le long d’un segment d’origine O. On aurait donc:

p = p(O) −∫ r

0

(ρ∇∇∇v · v|er) dr = p(O) +1

2ρω2(φ)r2 sin2 φ

Comme p = p+ ρgr cosφ, on pose donc:

p = pS +1

2ρω2(φ)r2 sin2 φ (2.78)

où pS est la pression de Stokes et on examine l’erreur commise.On se place à Ω1 = 0 et on désigne par Ω = Ω0 la vitesse de rotation du plateau. On pose: µ = ετ(Ω/ε)/Ω.

On rend le problème a-dimensionnel en prenant:

r =r

RCω =

ω

Ωτφθ = ε

τφθµΩ

v = r ω sinφeθ

Vu l’analyse faite ci-dessus, pour ε 1 et pour l’écoulement azymuthal que l’on a exhibé, on note que τφθ estde l’ordre de 1 dans tout l’écoulement. Posons:

Re =ρΩRC

2

µ

Posons

p =ε

µΩ[pS +

1

2ρω2(φ)r2 sin2 φ] (2.79)

On a pour l’écoulement azymuthal calculé ci-dessus d’un fluide purement visqueux, en variables sans dimension(r,φ,θ):

div[τφθ(eφ ⊗ eθ + eθ ⊗ eφ) − pId] +ερg

µΩk − εRe∇∇∇vvv · v = Re[r ω sinφ

ε sinφω′(φ)

Ω]eφ


Le terme dans le membre de gauche est nul alors que le terme dans le membre de droite est de l’ordre de Re,qui est donc l’ordre de grandeur des termes négligés. En effet, d’après l’analyse que l’on vient de faire on apour ε 1:

ε sinφω′(φ)

Ω=ετ−1(K/ sin2 φ)

Ω≈ 1

A noter que le rotationnel, en variables sans dimension, du membre de droite est 2ω sinφ ε sinφω′(φ)Ω eθ et il est

d’ordre 1. On ne peut donc pas absorbé ce terme dans une pression. L’approximation de Stokes pour le champde vitesses sera donc justifiée dans la limite Re 1 et le champ de pression dans le fluide est alors donné,dans cette approximation, par:

p = p0 − ρgr cosφ+1

2ρω2(φ)r2 sin2 φ (2.80)

où p0 = p(O). Pour que les champs (p,v) ainsi déterminés réalisent une approximation acceptable de l’écou-lement réel il faut de plus que l’on puisse déterminer p0 et la position de l’interface, c’est à dire le domaineV. Ceci revient à prouver qu’il existe une position de l’interface S, c’est à dire une fonction h, telle que lapression p étant donnée par (2.80) et v ayant la forme trouvée, les conditions d’équilibre dynamique de Ssoient satisfaites au moins au même ordre d’approximation que les relations dynamiques locales. Ce problèmeest difficile.

Pour ce qui concerne les fluides viscoélastiques, on voit que l’on obtient une correction de la pression dueà l’inertie identique, en:

p(r,φ) = pS(r,φ) +1

2ρr2ω2(φ) sin2 φ

En reprenant les calculs ci dessus, on en déduit une correction sur la force normale:

F (Ω) − F (0) ≈ πR02[−ρR0

2Ω02

4+

1

2N1(

∆Ω

ε)]

En réalité, on voit que les termes correctifs sont du même ordre en Ω que N1. En pratique il faudrait donc,comme pour le dispositif à disques parallèles, étudier l’écoulement exact pour examiner plus précisémentl’influence des termes d’inertie. A ma connaissance cette étude, à priori délicate comme on l’a dit, n’est pasdisponible dans la littérature.

73

Chapitre 3

Fluides viscoélastiques

3.1 Modèles monodimensionnels.

3.1.1 Heuristique. Fonction de relaxation.

Dans ce qui suit, on ne cherche pas à être rigoureux mais plutôt à introduire le plus simplement possiblela "fonction de relaxation".

Considérons l’expérience idéalisée de fluage suivante. Un liquide incompressible occupe l’espace annulairecompris entre deux cylindres concentriques infinis, très rapprochés. Le système est au repos jusqu’à l’instantt = 0 où l’on déplace brutalement le cylindre extérieur d’un angle ∆Θ. On relève alors le couple C(t), parunité de hauteur, qu’il est nécessaire d’appliquer au cylindre intérieur aux instants t > 0 pour le maintenirimmobile. On peut, en principe, réaliser l’expérience dans un dispositif de Couette. L’expérience montre quepour les fluides viscoélastiques, comme des solutions de polymères, le couple garde un signe constant, opposé àcelui de ∆Θ, qu’il décroît en module continûment vers 0 avec le temps, la courbe représentative de t 7→ |C(t)|étant convexe. Par ailleurs, quand les déplacements sont petits, C est approximativement proportionnel à ∆Θ.Analysons heuristiquement l’expérience.

Ce couple C(t) équilibre le cisaillement exercé par le fluide sur le cylindre intérieur. Comme le système estinvariant par translation et par rotation, on peut admettre que τrθ ne dépend que de r et t de sorte que l’on a:

C(t) + 2πR21τrθ(R1,t) = 0

On va également admettre que les déplacements des particules sont des cercles concentriques et qu’en premièreapproximation les déplacements angulaires varient linéairement dans l’espace annulaire, puisque ce dernier esttrès petit. Notons que ceci suppose que l’on néglige l’inertie du fluide, de sorte que le déplacement s’établitinstantanément partout dans l’espace annulaire.

On a donc un écoulement de Couette instationnaire, la vitesse étant donnée par:

v(r,t) = δ0(t)r∆Θr −R1

R2 −R1eθ

où δ0 est la mesure de Dirac à l’origine. D’où:

∇∇∇v(r,t) = δ0(t)2r −R1∆Θ

R2 −R1eθ ⊗ er − δ0(t)∆Θ

r −R1

R2 −R1er ⊗ eθ

et donc:

D(r,t) =1

2δ0(t)

r∆Θ

R2 −R1[eθ ⊗ er + er ⊗ eθ]

Le taux de cisaillement est donné par:

χ(r,t) = δ0(t)r∆Θ

R2 −R1

et, sur le cylindre intérieur on a donc:

χ(R1,t) = δ0(t)R1∆Θ

R2 −R1

La quantité:

γ =R1∆Θ

R2 −R1

74 CHAPITRE 3. FLUIDES VISCOÉLASTIQUES

est la "déformation". Avec les hypothèses faites, on devrait donc avoir obtenu expérimentalement la fonction:

C(t) = −2πR21 τs≥0

(γδ0(t− s))

où τs≥0

est la fonctionnelle de cisaillement introduite au paragraphe (2.6). Pour les petites valeurs de ∆Θ, C

est proportionnel à ∆Θ et donc à γ. Par suite, quand γ 1, on a:

− C(t)

2πR21R1∆ΘR2−R1

= G(t)

où G est la fonction:

t 7→ G(t) = limγ→0

τs≥0

(γδ0(t− s))

γ

Ce que l’on peut encore écrire:τs≥0

(γδ0(t− s)) = γG(t) + o(γ)

G(0)

tλ

Fig. 3.1 – Allure de G.

L’allure expérimentale typique de la fonctionG est indiquéesur la figure ci-contre. La fonction G s’interprète donc commela réponse impulsionnelle linéarisée du fluide en cisaillement.C’est une fonction caractéristique du fluide: elle est appeléefonction de relaxation. Si γ est assez petit, la valeur deγG(t) s’interprète donc comme la valeur de la contrainte decisaillement τrθ à l’instant t due à une impulsion initiale decisaillement d’amplitude γ. G(0) s’interprète donc comme lemodule d’élasticité au repos du fluide. La fonction G étaitd’ailleurs autrefois appelée "module de relaxation".

Dans le même dispositif, considérons un mouvement quelconque du cylindre extérieur, caractérisé par unevitesse de rotation Ω(t) à chaque instant et admettons encore que le mouvement est un écoulement de Couetteinstationnaire.

En première approximation, si l’espace annulaire est petit, le taux de cisaillement à chaque instant t estdonné par:

R1∂ω

∂r(R1,t) = χ(R1,t) ≈

R1Ω(t)

R2 −R1

Comme le fluide est un fluide simple, la contrainte τrθ(R1,t) ne dépend que du passé cinématique et est donnéepar:

τrθ(R1,t) = τs≥0

(χ(R1,t− s))

Si la vitesse Ω est "suffisamment" petite on s’attend à ce que le fluide ait un "comportement linéaire", c’està dire que la contrainte à un instant t soit la somme de toutes les réponses impulsionnelles aux déplacementsinfinitésimaux Ω(t− s) ds subis au cours du passé:

τrθ(R1,t) =

∫ t

−∞G(t− s)χ(R1,s) ds

ou encore, en changeant de variable:

τrθ(R1,t) =

∫ +∞

0

G(s)χ(R1,t− s) ds

Du point de vue de la fonctionnelle de cisaillement cela revient donc à supposer que quand le taux de cisaillementest "petit", dans un sens qu’il restera à préciser, la fonctionnelle de cisaillement est donnée approximativementpar une expression linéaire:

τs≥0

(f) ≈∫ +∞

0

G(s)f(s) ds (3.1)

où G est la fonction de relaxation du fluide.

3.1. MODÈLES MONODIMENSIONNELS. 75

Notons que, comme on sait qu’à cisaillement constant la fonctionnelle de cisaillement se réduit à la fonctionde cisaillement viscométrique, dans cette approche linéarisée on a donc:

τ(γ) =

∫ +∞

0

G(s)γ ds = (

∫ +∞

0

G(s) ds)γ

Ainsi, si on approche la fonctionnelle de cisaillement par la relation (3.1), la fonction de cisaillement enécoulement viscométrique qui en résulte est Newtonienne. La viscosité est l’aire sous la courbe de la fonctionde relaxation. Comme on sait que l’expression linéarisée de la fonctionnelle de cisaillement correspond auxpetits taux de cisaillement cette viscosité est donc, en principe, la viscosité µ(0) au voisinage du repos que l’ona introduite en écoulement viscométrique:

µ(0) =

∫ +∞

0

G(s) ds (3.2)

Supposons que l’on impose brusquement un écoulement de cisaillement simple à partir de l’instant t = 0alors que le fluide était au repos. Le mouvement est donc un mouvement de cisaillement unidirectionnel planinstationnaire et, dans notre approche linéarisée, on aura donc:

τ12(t) =

∫ +∞

0

G(s)Y (t− s)γ ds = (

∫ t

0

G(s) ds)γ

où Y est la fonction de Heaviside. La fonction:

µ(t) =

∫ t

0

G(s) ds

est la viscosité apparente du fluide à l’instant t pour cette modélisation.

3.1.2 Analogie mécanique.

Supposons que l’on dispose expérimentalement de la fonction G dont l’allure est indiquée sur la figure 3.1. Ilest alors naturel de chercher à l’approcher par une expression analytique aisément manipulable. Le plus simpledans un premier temps est de se contenter d’un modèle à un seul temps de relaxation, c’est à dire d’approcherG par la fonction:

s ∈ [0,+ ∞[7→ G(s) = G(0)e−sλ

où λ > 0 est donc le temps caractéristique de la relaxation de la contrainte de cisaillement en réponse à uneimpulsion de taux de cisaillement, qui peut être mesuré expérimentalement. Considérons alors un écoulementunidirectionnel instationnaire plan (c.f. paragraphe (2.6)) et supposons que la fonctionnelle de cisaillement soitdonnée par l’expression linéarisée (3.1). On aura(ici χ est le taux de cisaillement et non pas le mouvementrelatif):

τ12(x,t) = τs≥0

(χ(x,t− s)) = G(0)

∫ +∞

0

e−sλχ(x,t− s) ds = G(0)

∫ t

−∞e−

t−τλ χ(x,τ) ds

La viscosité du fluide est, comme on l’a déjà vu:

µ =

∫ +∞

0

G(s) ds = λG(0)

et on voit que τ12 n’est rien d’autre que l’unique solution de l’équation différentielle:

λ∂

∂tτ12 + τ12 = µχ (3.3)

qui vérifie τ12(t) exp( tλ ) → 0 quand t→ −∞. Maxwell a été le premier, dans les années 1870, à proposer cetteloi qui est appelée modèle différentiel de Maxwell monodimensionnel. Par analogie, les modèles intégraux dela forme (3.1) sont appelés modèles intégraux infinitésimaux de type "Maxwell". Exprimée en fonction de laviscosité apparente µ et du temps de relaxation λ, la fonction de relaxation de Maxwell est donc

s ∈ [0,+ ∞[7−→ G(s) =µ

λe−

sλ (Maxwell)


L1 L2

F iRi T iK µ

Fig. 3.2 – Modèle de Maxwell.

Kn µn

Kn−1 µn−1

K1 µ1

Fig. 3.3 – Modèle de Maxwell généralisé.

Considérons alors le système mécanique (c.f. figure 3.2) formé d’un ressort de raideur K et de longueur L1

couplé à un amortisseur de coefficient de frottement µ et de longueur L2. Le dispositif est encastré à uneextrémité tandis que l’autre est soumise à une force F = F i. On note L = L1 + L2 la longueur totale. Enrégime permanent (ou encore en négligeant l’inertie des dispositifs), on a: F = T = −R, c’est à dire:

F = µdL2

dt= K(L1 − L

(0)1 )

où L(0)1 est la longueur du ressort au repos. Il vient:

µ

K

dF

dt+ F = µ

dL

dt

On retrouve l’équation différentielle (3.3). En identifiant F et τ12, on voit que pour une solution de polymèresG(0) s’interprète comme la raideur K des chaînes de polymères qui constituent la solution, en les assimilantà des ressorts. On a alors une interprétation simple de l’expérience de relaxation: l’énergie interne potentielleapportée brutalement dans le liquide par la déformation initiale est progressivement dissipée par diffusionvisqueuse au sein du liquide, ce mécanisme tendant à ramener le liquide à l’équilibre thermodynamique (dumoins local). Cette analogie mécanique permet alors de construire facilement des modèles plus complexes.En effet, il n’est pas raisonnable de penser qu’un seul temps de relaxation (i.e. une seule raideur) suffise àdécrire la fonction de relaxation: en général on doit s’attendre à un spectre de temps de relaxation du fait del’enchevêtrement des chaînes de polymères. Ceci revient à associer en parallèle deux ou plusieurs dispositifsanalogues au précédent (c.f. figure 3.3). Il est alors facile de voir que le modèle résultant a une fonction derelaxation de la forme:

s ∈ [0,+ ∞[7−→ G(s) =∑

i

µiλi

e− s

λi (Maxwell généralisé) (3.4)

3.1. MODÈLES MONODIMENSIONNELS. 77

K µ(e)

µ(N)

Fig. 3.4 – Modèle de Jeffrey.

Dans le système "ressorts-amortisseurs", les λi sont donnés par:

λi =µiKi

Ce type de modèle est appelée modèle infinitésimal de Maxwell généralisé.De plus, il n’est pas raisonnable de penser que la viscosité apparente aux temps macroscopiquement courts

soit nulle: en effet, on doit s’attendre à un comportement purement visqueux des molécules du solvant qui sonten général beaucoup plus mobiles que les chaînes de polymères. Ceci revient à considérer que la contrainte τrθest à chaque instant la somme d’une contrainte purement visqueuse et d’une contrainte élastique relaxante.C’est à dire, pour un modèle à un seul temps de relaxation:

τ12 = τ (N) + τ (e)

λ∂

∂tτ (e) + τ (e) = µ(e)χ τ (N) = µ(N)χ

(3.5)

Les viscosités µ(N) et µ(e) sont respectivement appelées viscosité "Newtonienne" et viscosité "élastique" dufluide. Ce type de modèle, introduit par Jeffrey en 1929, est appelé modèle différentiel monodimensionnel deJeffrey.

L’analogie mécanique de ce modèle rhéologique est immédiate (c.f. figure 3.4). Notons qu’en général il nesera pas possible, pour une fonction de relaxation quelconque, d’exhiber une équation différentielle (mêmed’ordre supérieur à 1) dont τ12 serait la solution. Ainsi, pour un fluide arbitraire, on sera plutôt amener àmanipuler le modèle intégral si on connaît expérimentalement la fonction G. Pour un fluide présentant uneviscosité Newtonienne, on obtient donc des modèles intégraux de la forme:

τ12(x,t) = µ(N)χ(x,t) +

∫ +∞

0

G(s)χ(x,t− s) ds (3.6)

qui sont appelés modèles intégraux infinitésimaux de type "Jeffrey".L’expérience montre que la plupart des fluides réels ont en général un comportement infinitésimal de type

"Jeffrey", plutôt que de type Maxwell, en petites perturbations. Notons que la viscosité à faible taux de cisaille-ment en écoulement viscométrique de ces modèles est alors:

µ(0) =

∫ +∞

0

G(s) ds+ µ(N) (3.7)

La partie µ(e) =∫ +∞0

G(s) ds est appelée, comme pour le modèle différentiel, viscosité élastique.Note: On peut s’étonner d’observer que l’expression (3.6) n’a pas été obtenue en conclusion de l’expérience

étudiée dans le sous paragraphe 3.1.1 précédent. En réalité, pour identifier expérimentalement G, on y asupposé au départ que l’on avait imposé instantanément dans tout le fluide un échelon de déplacement. Sic’était réellement possible le modèle (3.6) prévoirait une contrainte infinie sur le cylindre intérieur à l’instantinitial. En fait, tout vient de ce que l’on a négligé l’inertie du fluide, ce qui n’est pas justifié aux temps très courts.En effet, aux temps très courts le cisaillement créé sur le cylindre extérieur n’a pas le temps de diffuser - avecla viscosité µ(N) - jusqu’au cylindre intérieur où l’on relève le couple: le comportement est alors bien élastique,caractérisé par G(0), et la viscosité Newtonienne n’intervient qu’aux temps plus longs. La courbe C(t) relevée


n’est donc toutefois pas rigoureusement proportionnelle à la fonction G de (3.6) et la superposition "naïve"de la fin du paragraphe précédent n’est finalement justifiée que si la viscosité Newtonienne est négligée. Enpratique, dans les polymères en solution, elle est très rapidement petite devant la viscosité élastique

∫ t0G(s) ds.

Notons d’ailleurs qu’il est expérimentalement très difficile d’accéder aux valeurs de G aux temps courts car lesdispositifs de mesure de couple sont rapidement limités en hautes fréquences.

3.2 Les modèles infinitésimaux classiques de fluides viscoélastiquesincompressibles.

3.2.1 Les modèles tridimensionnels.

Rappelons (c.f. paragraphe (2.6)) que dans un écoulement de cisaillement unidirectionnel plan la vitesseest donnée par:

v(x,t) = v1(x,t)e1 v1(x,t) = v(x2,t)

et on sait qu’alors:

τ12(x,t) = τs≥0

(∂v1∂x2

(x,t− s))

Si on approche la fonctionnelle de cisaillement par l’expression linéarisée 3.1, on aura donc:

τ12(x,t) =

∫ +∞

0

G(s)∂v1∂x2

(x,t− s) ds

Pour un modèle de Maxwell à un seul temps de relaxation, on a vu que τ12 est alors solution de l’équationdifférentielle:

λ∂

∂tτ12 + τ12 = µ

∂v1∂x2

où λ = µ/G(0). C’est à dire:

λ∂

∂tτ12 + τ12 = 2µD12

où D est le tenseur des taux de déformation. Les rhéologues ont alors proposé de généraliser cette relationdans des écoulements instationnaires quelconques à toutes les composantes du déviateur des contraintes. C’està dire de supposer que le déviateur des contraintes et le tenseur des taux de déformation sont liés par la loi:

λ∂

∂tτττ(x,t) + τττ(x,t) = 2µD(x,t)

Ce modèle est appelé modèle différentiel infinitésimal de Maxwell. Comme on peut toujours supposer, physi-quement, que τττ(x,t) exp(t/λ) → 0 quand t→ −∞, la solution de cette équation est:

τττ(x,t) =2µ

λ

∫ +∞

0

e−sλ D(x,t− s) ds

On voit donc que τττ est bien un déviateur et que le modèle, de ce point de vue, est acceptable. Pour un fluideincompressible le modèle différentiel de Maxwell s’écrit donc:

σσσ(x,t) = −pId + τττ

λ∂

∂tτττ(x,t) + τττ(x,t) = 2µD(x,t)

(Maxwell) (3.8)

De la même manière on peut introduire le modèle différentiel infinitésimal de Jeffrey:σσσ(x,t) = −pId + 2µ(N)D(x,t) + τττ (e)(x,t)

λ∂

∂tτττ (e)(x,t) + τττ (e)(x,t) = 2µ(e)D(x,t)

(Jeffrey) (3.9)

à deux viscosités.De manière plus générale on introduit les modèles infinitésimaux intégraux de type Maxwell pour les fluides

incompressibles:

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + 2

∫ +∞

0

G(s)D(x,t− s) ds (3.10)

3.2. LES MODÈLES INFINITÉSIMAUX CLASSIQUES 79

et les modèles infinitésimaux intégraux de type Jeffrey:

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + 2µ(N)D(x,t) + 2

∫ +∞

0

G(s)D(x,t− s) ds (3.11)

G est la fonction de relaxation du fluide.

3.2.2 Violation de l’objectivité matérielle.

Ces modèles infinitésimaux semblent simples mais en fait posent plus de problèmes qu’ils n’en résolvent.1. Observons d’abord une singularité essentielle. Le tenseur τττ(x,t) est le déviateur des contraintes au pointx à l’instant t. Ce point est occupé à cet instant par une certaine particule X. On sait alors que pourun fluide simple, τττ(x,t) est une fonction du passé cinématique de cette particule X. Or, les expressionsintégrales (3.10-3.11) montrent que ce n’est pas le passé cinématique de X qui intervient mais le passécinématique du point géométrique x. On voit que ce n’est pas cohérent avec les principes de la physiquedu milieu continu et que c’est même absurde. En effet, il se peut très bien qu’un écoulement soit assezcomplexe pour qu’un domaine géométrique donné de l’espace ne soit pas en permanence occupé par desparticules. Dans ces conditions on est alors incapable de calculer D(x,t−s) sur tout le passé et le modèleest inutilisable.

2. Le modèle n’est pas objectif ce qui est facile à vérifier. Voyons justement sur un exemple comment l’ab-sence de l’objectivité matérielle conduit à un modèle absurde. Pour cela, considérons un fluide simpleincompressible non thermodépendant, qui suivrait par exemple un modèle de type Maxwell (3.10), enécoulement de Couette plan entre deux plaques parallèles de taux de cisaillement γ constant. Cet écou-lement est mécaniquement admissible, comme on le sait. Supposons alors que le dispositif expérimentalsoit monté sur un plateau tournant autour de l’axe Oz perpendiculaire aux plaques, à la vitesse angulaireΩ > 0 constante 1. Considérons alors deux observateurs, l’un fixe dans un référentiel Galliléen et l’autrelié au plateau. Désignons par (OXY z) un repère fixe qui coïncide à l’instant initial avec le repére mobile(Oxyz) lié au plateau. Désignons par (I,J,k) la base orthonormée associée à (OXY z) et par (i,j,k) labase mobile associée à (Oxyz). Désignons par τττ∗ le déviateur des contraintes vu par l’observateur lié auplateau et par τττ celui vu par l’observateur fixe. Dans le référentiel lié au plateau l’écoulement est unécoulement de Couette stationnaire est, avec un modèle de Maxwell, τττ∗ est tout simplement donné par :

[τττ∗](i,j,k)(x,y,z,t) = µγ

0 1 01 0 00 0 0

(3.12)

où µ =∫ +∞0

G est la viscosité du modèle de Maxwell. La vitesse relative du fluide par rapport au plateauen un point de coordonnées relatives (x,y,z) est:

vr(x,y,z,t) = γyi

Pour l’observateur fixe la vitesse d’une particule fluide qui occupe le point (X,Y,z) à un instant t estdonc:

V(X,Y,z,t) = γyi + ve

où ve est la vitesse d’entraînement. En changeant de coordonnées il vient:

V(X,Y,z,t) = γ[cos(Ωt)Y − sin(Ωt)X][cos(Ωt)I + sin(Ωt)J] + ve

Comme la vitesse d’entraînement est celle d’un mouvement de solide, son gradient est antisymétrique etle tenseur des taux de déformations pour l’observateur fixe est donc:

2D(X,Y,z,t) = γ(∇∇∇(X,Y,z)vr +T ∇∇∇(X,Y,z)vr)

Soit, matriciellement sur la base (I,J,k):

[D(X,Y,z,t)] =γ

2

− sin(2Ωt) cos(2Ωt) 0cos(2Ωt) sin(2Ωt) 0

0 0 0

1 On peut bien supposer que Ω est positive, quitte à retourner Oz.


Et donc:

[D(X,Y,z,t− s)] =γ

2cos(2Ωt)

sin(2Ωs) cos(2Ωs) 0cos(2Ωs) − sin(2Ωs) 0

0 0 0

+γ

2sin(2Ωt)

− cos(2Ωs) sin(2Ωs) 0sin(2Ωs) cos(2Ωs) 0

0 0 0

Ainsi le déviateur des contraintes pour l’observateur fixe, utilisant le modèle de Maxwell, est:

[τττ(X,Y,z,t)](I,J,k) = γ[cos(2Ωt)

s c 0c −s 00 0 0

+ sin(2Ωt)

−c s 0s c 00 0 0

où s =∫ +∞0

G(s) sin(Ωs) ds et c =∫ +∞0

G(s) cos(Ωs) ds. On peut introduire l’angle Θ ∈ [0,2π[ défini par:

c =√

c2 + s2 cos(Θ) s =√

c2 + s2 sin(Θ)

Notons que comme G est positive et décroissante vers 0 il est facile de voir que:

s ≥∫ π

Ω

0

G(s) sin(Ωs) ds ≥ 2

ΩG(

π

Ω)

De sorte que s est strictement positif et donc que c2 + s2 6= 0. D’ailleurs, pour un modèle de Maxwell àun temps de relaxation, le calcul est immédiat et on a:

c =µ

1 + λ2Ω2s =

µλΩ

1 + λ2Ω2

On a alors tout simplement:

[τττ(X,Y,z,t)](I,J,k) =γ√

c2 + s2

sin(2Ωt− Θ) cos(2Ωt− Θ) 0cos(2Ωt− Θ) − sin(2Ωt− Θ) 0

0 0 0

Or, d’après le principe d’objecticité matérielle on devrait avoir: τττ∗(x,y,z,t) = Qτττ(X,Y,z,t)TQ où Q estla rotation d’angle Ωt autour de Oz. Ce qui signifie simplement que la matrice de τττ(X,Y,z,t) dans la base(I,J,k) doit être égale à celle de τττ∗(x,y,z,t) dans la base (i,j,k). Ce qui implique, vu l’expression (3.12)de [τττ∗(x,y,z,t)](i,j,k) :

2Ωt− Θ = 0 (2π) et µ√

c2 + s2 = 1

Or, c’est impossible puisque Θ ne dépend pas de t ni, d’ailleurs, µ de Ω.En conséquence, les modèles linéaires infinitésimaux ne vérifient pas le principe d’objectivité matérielle et

ne sont pas acceptables comme modèles rhéologiques: ils ne peuvent être que des modèles asymptotiques en unsens qu’il faudra préciser. Pour cela, le plus simple est de partir de l’expression générale de la loi rhéologique,comme on l’a fait pour les écoulements viscométriques, et de voir sous quelles hypothèses on peut obtenir cesmodèles linéaires.

3.3 Modèles objectifs intégraux

3.3.1 Fluides simples à mémoire evanescente.

Ce qui suit est essentiellement la théorie de B.D. Colleman et W. Noll.

IProposition 3.1 Soit F la fonctionnelle constitutive d’un fluide simple. Alors, il existe une fonctionnelleG telle que, pour tout mouvement de ce fluide compatible avec l’incompressibilité si il y a lieu, on ait:

Fs≥0

(Ft(x,t− s)) = Gs≥0

(Ct(x,t− s)) (3.13)

où Ct =T Ft · Ft est le tenseur des déformations relatives de Cauchy.

3.3. MODÈLES OBJECTIFS INTÉGRAUX 81

W. Noll appelle le tenseur Ct, histoire du mouvement. Quand il n’y aura pas d’ambiguïté on utiliseraégalement la notation:

G(s) = Ct(x,t− s) (3.14)

Pour voir la proposition, on utilise la décomposition polaire de Ft et on applique le principe d’objectivitématérielle. On vérifie également que la fonctionnelle G est isotrope. C’est à dire qu’elle est telle que pour toutendomorphisme orthogonal Q on a:

Q · G(G) ·T Q = G(Q · G ·T Q)

Rappelons que l’approximation linéaire de la fonctionnelle de cisaillement que l’on a obtenue au paragraphe3.1.1 est:

τs≥0

(f) ≈∫ +∞

0

G(s)f(s) ds (3.15)

Cette approximation est donc le terme d’ordre 1 d’un développement limité de la fonctionnelle de cisaillement.Pour que ceci ait un sens il faut toutefois préciser l’espace vectoriel normé sur lequel on considère les fonctionsf qui interviennent. De manière plus générale, on est donc conduit à rechercher un développement limité dela fonctionnelle G.

Vu la forme approchée de la fonctionnelle de cisaillement on voit que - à ce niveau de description - lesdéformations subies dans le passé ont d’autant moins d’influence sur la valeur de la contrainte actuelle qu’ellesont eu lieu dans un passé lointain. Il est alors naturel de choisir comme norme sur les histoires, une norme dela forme:

||G|| = [

∫ +∞

0

h(s)G(s) : G(s) ds]1/2 (3.16)

où h est une fonction poids, décroissante et tendant vers 0 à l’infini. Désignons donc par L2([0, + ∞[,h)l’ensemble des fonctions définies sur [0, + ∞[ et à valeurs dans S(E) (l’espace vectoriel des endomorphismessymétriques: cas compressible), ou dans D(E) (l’espace vectoriel des endomorphismes symétriques de tracenulle: cas incompressible), qui sont de carré intégrable pour le poids h. On choisi bien sûr h pour que cetteespace contiennent au moins les histoires des écoulements viscométriques et des mouvements rigidifiants, maisla forme explicite de h n’a pas d’incidence sur ce qui va suivre 2. Notons que L2([0, + ∞[,h) est un espacede Hilbert sur lequel, grâce au théorème de Riesz, les formes linéaires se représente par des intégrales. Onvoit donc que l’on pourra retrouver notre approximation linéaire de la fonctionnelle de cisaillement par undéveloppement limité.

Définition 3.1 (Mémoire evanescente) On dit qu’un fluide simple est à mémoire evanescente si lafonctionnelle G est définie et continue sur L2([0,+ ∞[,h).

Ceci signifie simplement que les tenseurs des contraintes de deux mouvements seront d’autant plus prochesque leurs histoires différent dans un passé lointain. Cette définition n’est donc qu’une traduction mathématiquede ce principe. Pour pouvoir faire des calculs il faut bien sûr demander un peu plus que la continuité. Enparticulier, pour obtenir un développement limité au voisinage du repos il faut demander la différentiabilitéau voisinage de l’identité (i.e. de l’application s 7→ Id).

Pour ce qui suit, on va donc supposer que la fonctionnelle G est définie et différentiable sur L2([0,+∞[,h)au voisinage de l’identité.

3.3.2 Viscoélasticité linéaire finie

IProposition 3.2 Considérons un fluide simple à mémoire evanescente pour lequel la fonctionnelle G

est différentiable au voisinage de la fonction : s 7→ Id. Alors, il existe deux fonctions scalaires m et λ tellesque, si le fluide est compressible on ait:

Gs≥0

(G(s)) = −pthId +1

3

∫ +∞

0

λ(s)tr(G(s)) ds Id +

∫ +∞

0

m(s)G(s) ds+ o(||G − Id||) (3.17)

et, si le fluide est incompressible, on ait:

Gs≥0

(G(s)) =1

3

∫ +∞

0

λ(s)tr(G(s)) ds Id +

∫ +∞

0

m(s)G(s) ds+ o(||G − Id||) (3.18)

2 Il suffit donc de prendre h(s) = O( 1s5+ε ) avec ε > 0 arbitraire.


où, dans le cas compressible, pth est la pression thermodynamique à l’équilibre. Dans le cas incompressible, lesfonctions λ et m vérifient, de plus, la condition:

∫ +∞

0

(m(s) + λ(s)) ds = 0 (3.19)

Notons qu’en principe les fonctions m et λ dépendent également de la densité et de la température. Lafonction m est appelée fonction mémoire du fluide.

La démonstration s’appuie sur le lemme suivant:

Lemme 3.3.1 Soit H une application linéaire continue de L2([0,+∞[,h) dans S(E) qui est isotrope. Alors,il existe deux fonctions scalaires a et b telles que:

∀G ∈ L2([0,+ ∞[,h) : H(G) =

∫ +∞

0

a(s)tr(G(s)) ds Id +

∫ +∞

0

b(s)G(s) ds

Admettons le lemme, qui est une conséquence facile du théorème de représentation de Riesz-Fischer, etvoyons que le résultat s’en déduit. Comme G est différentiable en l’identité, on a:

G(G) = G(Id) + G′(G − Id) + o(||G||)

Or, d’après le principe d’objectivité matérielle, il est facile de voir que G′ est isotrope. En se rappelant queG(Id) est soit le tenseur des contraintes au repos (cas compressible) soit 0 (cas incompressible), le résultats’en déduit par identification.

Définition 3.2 On dit qu’une loi rhéologique est une loi de viscoélasticité linéaire finie si elle est de laforme:

σσσ(x,t) = −pthId +1

3

∫ +∞

0

λ(s)tr(Ct(x,t− s)) ds Id +

∫ +∞

0

m(s)Ct(x,t− s) ds (3.20)

dans le cas compressible, ou bien:

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id +

∫ +∞

0

m(s)Ct(x,t− s) ds (3.21)

dans le cas incompressible

Pour un fluide simple à mémoire evanescente, la viscoélasticité linéaire finie consiste donc a approcher saloi rhéologique par le premier terme de son développement limité au voisinage du repos. On parle donc deviscoélasticité linéaire finie pour indiquer que l’on considère des valeurs finies de la déformation et non pas desvaleurs "infinitésimales" comme pour un développement limité. La loi (3.21) est connue sous le nom de liquideélastique de Lodge. On dit également qu’il s’agit d’un modèle intégral de type Maxwell sous-convecté. On verraun peu plus loin l’origine de ce vocabulaire.

On supposera toujours que la fonction mémoire (et la fonction λ pour les fluides compressibles) est suffi-samment régulière pour justifier tous les calculs.

La théorie des fluides simples à mémoire evanescente qui permet de justifier ce modèle comme étant uneapproximation linéaire d’un comportement à priori plus complexe est due à B.D. Coleman et W.Noll[5, 2].On rencontrera dans la littérature ce type de modèle écrit également avec le tenseur de Lagrange Ct − Id

(les anglo-saxons ne mettent en général pas le facteur 1/2), comme par exemple dans [17], ce qui est bien sûréquivalent.

On notera que ces modèles sont linéaires par rapport aux tenseur de Cauchy et donc qu’ils sont quadratiquesen déplacements: l’utilisation de ces modèles dans les équations de la mécanique va donc en général conduireà des équations qui sont non linéaires par rapport aux champs de vitesse et de déplacement, qui plus estLagrangiennes.

Comme le modèle est le premier terme d’un développement limité, on s’attend donc à ce que la validité dece type de modèle soit expérimentalement limitée aux "petites" histoires au sens de la norme de la mémoireevanescente. Notons que ceci ne nous limite pas aux petites perturbations, contrairement à l’élasticité linéaireclassique: il peut y avoir de "grandes déformations", pourvues qu’elles soient effectuées dans le "passé" ce quiest bien compatible avec un écoulement fluide où, en général, on atteint de grandes déformations au voisinagedes parois.


Attention que dans le cas incompressible il y a une subtilité: on a absorbé le terme 13

∫ +∞0

λ(s)tr(G(s)) dsdans la fonction arbitraire p. Il en résulte que p n’est pas la pression ou encore, ce qui est équivalent, que∫ +∞0

m(s)Ct(x,t− s) ds n’est pas le déviateur des contraintes.On notera qu’un modèle de viscoélasticité linéaire finie vérifie automatiquement le principe d’objectivité

matérielle et ce, vu la loi de transformation du tenseur des déformations de Cauchy par changement deréférentiel (vérifiez...).

3.3.2.1 La fonction de relaxation

Il est utile d’introduire la fonction G, définie sur R+ par:

G(t) = −∫ +∞

t

m(s) ds (3.22)

C’est donc une primitive de la fonction mémoire m et on va voir que c’est bien la fonction de relaxation quel’on a introduit à partir de l’expérience de fluage.

Rappelons que Ct(x,t) = Id. En intégrant par parties, il vient:∫ +∞

0

m(s)Ct(x,t− s) ds = −G(0)Id +

∫ +∞

0

G(s)∂

∂s[−Ct(x,t− s)] ds

Pour un fluide incompressible, on peut encore absorber le terme G(0)Id dans la partie hydrostatique indéter-minée et il vient:


∫ +∞

0

G(s)∂

∂s[−Ct(x,t− s)] ds (Incompressible) (3.23)

On notera (voir le chapitre cinématique) que:

∂

∂s[−Ct(x,t− s)]|s=0 = 2D(x,t)

Considérons alors un fluide incompressible qui vérifie cette loi rhéologique et réalisons une expériencede fluage. C’est à dire qu’on lui impose brusquement une déformation, que l’on maintient stationnaire auxinstants t > 0, alors qu’il était initialement au repos. Cette histoire fait bien partie de L2([0, + ∞[,h) et lathéorie s’applique. On aura alors:

Ft(x,t− s) = F0(x)Y (s− t) + Id

et donc:Ct(x,t− s) = C0(x)Y (s− t) + Id

où C0 = F0 +T F0 +T F0 · F0. Un calcul direct donne:

σσσ(x,t) = −(G(0) + p(x,t))Id −G(t)C0(x) (3.24)

Si on choisit pour déformation un glissement simple rapporté à une base orthonormée B = (e1,e2,e3), on aalors:

[C0]B =

0 −γ 0−γ γ2 00 0 0

d’où l’on déduit:τ12(x,t) = γG(t)

Par ailleurs, on a:∂

∂s[−Ct(x,t− s)]|s=0 = −C0(x)δ0(t− s)

Or, comme les particules sont immobiles pour t 6= 0, on en déduit que

D(x,t− s) = −1

2C0(x)δ0(t− s)

soit, ici: γ = γδ(t− s). Or, on sait que τ12 s’exprime aussi à l’aide de la fonctionnelle de cisaillement:

τ12(x,t) = τs≥0

(γδ0(t− s))


En identifiant, on voit donc que G est bien la fonction de relaxation. Comme elle est convexe, décroissantepositive, on en déduit que G′ = m est négative et croissante. On voit donc que la fonction mémoire m, aumême titre que la fonction de relaxation G, est une caractéristique du fluide et non du modèle. Le plus souvent,on rencontrera des fonctions mémoires de type "Maxwell généralisé", pour lesquelles G est donnée par (3.4),qui rendent assez bien comptent des expériences de relaxation.

On notera que la gamme de validité des modèles infinitésimaux classiques est à priori celle pour laquelle:1) l’hypothèse de viscoélasticité linéaire finie est vérifiée et, 2) on a l’approximation:

∂

∂s[−Ct(x,t− s)] ≈ 2D(x,t− s)

dans un sens qui reste à préciser. C’est ce que l’on examinera un peu plus loin.

3.3.3 Modèles intégraux sur-convectés

Toute la théorie précédente repose sur le passage de la fonctionnelle F à la fonctionnelle G, grace à l’objec-tivité matérielle. En fait, on pouvait aussi bien exprimer l’histoire cinématique du matériau à l’aide de C−1

t .Plus précisément:

IProposition 3.3 Soit F la fonctionnelle constitutive d’un fluide simple. Alors, il existe une fonctionnelleH telle que, pour tout mouvement de ce fluide compatible avec l’incompressibilité si il y a lieu, on ait:

Fs≥0

(Ft(x,t− s)) = Hs≥0

(C−1t (x,t− s)) (3.25)

où Ct est le tenseur des déformations relatives de Cauchy.

Notons qu’il est très naturel de faire apparaître le tenseur C−1t pour l’analyse des contraintes. En effet, on

sait que les contraintes sont des forces surfaciques et il est assez logique de penser qu’elles sont sensibles à ladéformation passée des "facettes" sur lesquelles elles agissent. Or, on sait que que C−1

t caractérise précisémentla déformation des surfaces en mesurant les variations relatives d’aires 3.

Il est naturel de demander à H de vérifier le principe de la mémoire evanescente, c’est à dire d’être définieet continue sur L2([0,+∞[,h). La théorie du paragraphe précédent s’applique à l’identique et on en déduit la:

IProposition 3.4 Considérons un fluide simple pour lequel la fonctionnelle H est différentiable surL2([0, + ∞[,h) au voisinage de la fonction : s 7→ Id. Alors, il existe deux fonctions scalaires m et λ tellesque, si le fluide est compressible on ait:

Hs≥0

(G−1(s)) = −pthId +1

3

∫ +∞

0

λ(s)tr(G−1(s)) ds Id

+

∫ +∞

0

m(s)G−1(s) ds+ o(||G−1 − Id||)(3.26)

et, si le fluide est incompressible, on ait:

Hs≥0

(G−1(s)) =1

3

∫ +∞

0

λ(s)tr(G−1(s)) ds Id +

∫ +∞

0

m(s)G−1(s) ds+ o(||G − Id||) (3.27)

où, dans le cas compressible, pth est la pression thermodynamique à l’équilibre. Dans le cas incompressibles,les fonctions λ et m vérifient, de plus, la condition:

∫ +∞

0

(m(s) + λ(s)) ds = 0 (3.28)

Pour les fluides incompressibles on peut, comme pour les modèles sous-convectés, absorber tous les facteursde l’identité dans une même fonction et on obtient un modèle linéaire en C−1

t en ne retenant que le premierterme du développement limité. Si on examine une expérience de fluage, comme on l’a fait au paragrapheprécédent, il est alors facile de voir que la fonction de relaxation est donnée par:

G(t) =

∫ +∞

t

m(s) ds

3 Rigoureusement, il n’indique exactement les variations relatives d’aires que pour les milieux incompressibles sinon il faut lepondérer par la variation de densité.


En conséquence la fonction mémoire m n’est rien d’autre que −m. Finalement, pour un fluide incompressibleet en se limitant au premier terme du développement limité on obtient:

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id −∫ +∞

0

m(s)C−1t (x,t− s) ds (Incompressible) (3.29)

où m est la fonction mémoire du fluide. La loi (3.29) est appelée modèle intégral de type Maxwell sur-convecté.Contrairement aux modèles sous-convectés, les modèles sur-convectés prévoient l’effet Weissenberg.

On rencontre dans la littérature des modèles qui sont la superposition de modèles sous-convectés et sur-convectés, c’est à dire de la forme:


∫ +∞

0

m(s)[(1 + ε)Ct(x,t− s) + εC−1t (x,t− s)] ds (3.30)

où m est la fonction mémoire du fluide. On pense, en général que ce type de modèle est un bon compromisentre des modèles linéaires par rapport au tenseur de déformation et la prédiction d’effets de contraintesnormales qui sont au moins quadratiques en taux de déformations (voir les développements limités des fonctionsviscométriques).

3.3.4 Modèles infinitésimaux en petites perturbations.

Supposons que l’on étudie une famille de mouvements qui dépend régulièrement d’un paramètre réel ε detelle sorte que pour ε = 0 le mouvement soit le repos. On a alors:

Ft(τ,x,ε) = Id + εF(1)t (τ,x) + o(ε)

uniformément en t, τ et x. On sait qu’à l’ordre principal en ε, le tenseur des déformations de Lagrange est égalà la partie symétrique du gradient de déplacement. C’est à dire, pour le tenseur de Cauchy:

Ct(τ,x,ε) = Id + [∇∇∇ξξξt(τ,x,ε) +T ∇∇∇ξξξt(τ,x,ε)] + o(ε) (3.31)

où ξξξt = χt − Id est le champ Lagrangien de déplacement. On en déduit que:

C−1t (τ,x,ε) = Id − [∇∇∇ξξξt(τ,x,ε) +T ∇∇∇ξξξt(τ,x,ε)] + o(ε) (3.32)

Et comme les fonctionnelles G et H sont continues et différentiables en l’identité on obtient à l’ordre principalen ε, pour un fluide incompressible:


∫ +∞

0

m(s)[∇∇∇ξξξt(t− s,x,ε) +T ∇∇∇ξξξt(t− s,x,ε)] ds+ o(ε)

où l’on a, comme d’habitude, absorbé dans p tous les coefficients de Id. On notera que cette expression est lamême que l’on utilise un modèle sous-convecté (i.e. G) ou sur convecté (i.e. H). La loi:


∫ +∞

0

m(s)[∇∇∇ξξξt(t− s,x) +T ∇∇∇ξξξt(t− s,x)] ds (Incompressible) (3.33)

est donc une approximation à l’ordre principal en gradient de déformation d’un fluide simple à mémoireevanescente en hypothèse de perturbation infinitésimale. On notera que contrairement aux modèles intégrauxsur et sous convectés la loi est maintenant linéaire en déplacement. C’est tout à fait l’analogue de la loi del’élasticité linéaire habituelle en petites perturbations.

Rappelons que:∂

∂τFt(x,τ) = ∇∇∇Vt(x,τ)

où ∇∇∇Vt(x,τ) est le gradient de la vitesse Lagrangienne. Désignons par Dt le tenseur des taux de déformationsLagrangien:

Dt(x,τ) =1

2[∇∇∇Vt(x,τ) +T ∇∇∇Vt(x,τ)]

En intégrant par parties dans (3.33), il vient:


∫ +∞

0

G(s)Dt(x,t− s) ds (3.34)


Attention que p n’est plus la même fonction.On voit qu’il s’agit d’une "version Lagrangienne" du modèle linéaire infinitésimal de type Maxwell. En

particulier le premier problème soulevé au paragraphe 3.2.2 ne se présente plus puisque Dt est bien défini pourla particule qui occupe la position x à l’instant t. Cependant, ce modèle ne vérifie pas, non plus, le principed’objectivité matérielle. On laisse au lecteur le soin de s’en assurer directement.

3.3.5 Modèles infinitésimaux en petits déplacements ou en mouvements infini-ment lents.

Au vu de (3.34) on voit que les modèles infinitésimaux classiques de type Maxwell correspondent à unehypothèse de perturbation infinitésimale dans la quelle, de plus, on peut identifier Dt et D. Ceci est possiblesi les positions des particules varient de manière infinitésimale c’est à dire que les déplacements - et non passeulement leurs gradients - sont infinitésimaux ce qui correspond à des mouvements relatifs infiniment lents.Voyons cela.

Considérons donc que le mouvement relatif est de la forme:

χt(x,τ) = x+ εχ(1)t (τ,x) + o(ε)

uniformément en t, τ et x ainsi que pour toutes les dérivées. On est à fortiori en perturbations infinitésimaleset le modèle (3.34) donne le comportement à l’ordre principal en ε d’un fluide à mémoire evanescente. Mais deplus, on a:

χτ (x,t) = x+O(ε)

Or:v(x,τ) = Vt(χτ (x,t),τ)

d’où:∇∇∇v(x,τ) = ∇∇∇Vτ (x,τ) = ∇∇∇Vt(χτ (x,t),τ)Fτ (x,t) = ∇∇∇Vt(x+O(ε),τ) · [Id +O(ε)]

Et comme ∇∇∇Vt est déjà d’ordre ε, il reste:

∇∇∇v(x,τ) = ∇∇∇Vt(x,τ) + o(ε)

On peut donc identifier Dt et D. Finalement, on en déduit que le comportement d’un fluide simple à mémoireevanescente en mouvement infiniment lent est donné à l’ordre principal en epsilon (i.e. en déplacement) par:


∫ +∞

0

G(s)D(x,t− s) ds

et on retrouve les modèles infinitésmaux classiques. On comprend mieux alors pourquoi le modèle était absurdedans l’expérience du plateau tournant. En effet, pour que le mouvement vu par l’observateur mobile soitinfiniment lent il faut que Ω → 0.

3.3.6 Modèles de type Oldroyd

Notons que pour retrouver un comportement de fluide visqueux à partir d’un modèle intégral, sur ousous convecté, il faut supposer que la fonction de relaxation est une mesure de Dirac à l’origine, ce qui n’estphysiquement pas possible.

D’un point de vue mathématique, il n’est pas possible de choisir une fonction poids h qui permettraitd’obtenir le fluide visqueux comme fluide à mémoire evanescente car la fonctionnelle: Ct 7→ −2µ ∂

∂sCt(x,t −s)|s=0 = 2µD, qui devrait être la fonctionnelle G dans ce cas, n’est en général pas définie ni à fortiori continuesur L2([0,+∞[,h) quelque soit le choix de la fonction intégrable h. Autrement dit, le fluide visqueux n’est pasun fluide à mémoire evanescente.

D’un point de vu physique, dans un fluide tel qu’un polymère en solution, les molécules de solvant sonten général très mobiles et seront donc associées à des temps de relaxation très courts, d’ordre microscopique.Examinons alors le comportement asymptotique d’un modèle de viscoélasticité linéaire finie quand la fonctionde relaxation à une durée caractéristique λ très courte. On aura:

∫ +∞

0

G(s)∂

∂s[−Ct(x,t− s)] ds ∼

∫ λ

0

G(s)∂

∂s[−Ct(x,t− s)] ds

∼ λG(0)(− ∂

∂sCt(x,t− s)|s=0) = λG(0)D(x,t)


On sait que λG(0) est une viscosité et on voit donc qu’un fluide viscoélastique ayant un temps de relaxationtrès court devant la durée caractéristique de variation de la déformation se comporte comme un fluide visqueux.Ainsi, dans un fluide tel qu’un polymère en solution, sur les échelles de temps macroscopiques sur les quelleson peut développer une mécanique du milieu continu on doit s’attendre à ce que la contribution au tenseurdes contraintes des particules les plus mobiles soit une contribution visqueuse. Autrement dit on doit corrigerune loi de mémoire evanescente en une loi de la forme (pour un fluide incompressible par exemple):

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + Fs≥0

(Ft(x,t− s)) + f(D(x,t))

où F est une fonctionnelle à mémoire evanescente caractérisant les "processus" dont les temps de relaxationsont d’ordre macroscopique et où f est une loi de comportement d’un fluide à mémoire instantanée (qui peutd’ailleurs dépendre des dérivées temporelles d’ordres plus élevés) caractérisant les "processus" dont les tempsde relaxation sont très courts et/ou d’ordre microscopique. Dans une théorie linéarisée, il n’est pas cohérentde garder des termes d’ordre 2 dans f puisque la contribution aux temps longs d’un modèle de viscolélasticitélinéaire finie est Newtonienne, c’est à dire linéaire en D. Ainsi, les modèles "linéarisés" pertinents pour lessolutions sont de la forme (cas incompressible par exemple):

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + µ(N)D(x,t) +

∫ +∞

0

m(s)Ct(x,t− s) ds (Sous − convecte)

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + µ(N)D(x,t) −∫ +∞

0

m(s)C−1t (x,t− s) ds (Sur − convecte)

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + µ(N)D(x,t)

+

∫ +∞

0

m(s)[(1 + ε)Ct(x,t− s) + εC−1t (x,t− s)] ds (Mixte)

où µ(N) est la viscosité Newtonienne déjà introduite dans les modèles infinitésimaux de Jeffrey. On dit qu’ils’agit de modèles intégraux de type Oldroyd qui le premier à proposer des modèles objectifs ayant une viscositéNewtonienne.

3.3.7 Modèles non linéaires

On a vu que les modèles intégraux objectifs de type Maxwell ou Oldroyd ne constituent qu’une approchelinéarisée du comportement en "petites déformations" au sens de la norme de la mémoire evanescente. Enparticulier ils ne peuvent pas "capturer" correctement le comportement non linéaire éventuel des fonctionsviscométriques. On est donc amener, en principe, à rechercher un développement de loi constitutive à desordres plus élevés. Aux ordres suivants dans le développement de Taylor, grace au théorème de représentationde Riesz, on voit que l’on va obtenir des fonctionnelles quadratiques, cubiques ... qui s’exprimerons sous formed’intégrales doubles, triples, ... Cependant, l’isotropie apporte de moins en moins de restrictions sur la formede ces fonctionnelles et ces modèles ne sont pas facilement exploitables car ils font intervenir beaucoup defonctions inconnues que l’on ne sait pas identifier simplement. A titre d’exemple citons la forme générale dumodèle sous-convecté que l’on obtient quand on approche F par son développement jusqu’à l’ordre 3 pour unfluide incompressible.

σσσ(x,t) = − p(x,t)Id +

∫ +∞

0

m1(s)Ct(x,t− s) ds+

∫ +∞

0

∫ +∞

0

[m2(s,s′)G(s)G(s′) +m3(s,s

′)tr(G(s))G(s′)] ds ds′+

∫ +∞

0

∫ +∞

0

∫ +∞

0

m4(s,s′,s′′)G(s)[G(s′) : G(s′′)] ds ds′ ds′′+

∫ +∞

0

∫ +∞

0

∫ +∞

0

m5(s,s′,s′′)G(s)G(s′)G(s′′) ds ds′ ds′′+

∫ +∞

0

∫ +∞

0

∫ +∞

0

m6(s,s′,s′′)tr(G(s))G(s′)G(s′′) ds ds′ ds′′+

∫ +∞

0

∫ +∞

0

∫ +∞

0

m7(s,s′,s′′)tr(G(s))tr(G(s′))G(s′′) ds ds′ ds′′

(3.35)


On obtient des modèles analogues sur-convectés ou mixtes. Ces modèles sont souvent qualifiés de développementintégraux codéformationnels.

En général, on n’utilise pas ces développements mais on rend compte des non linéarités en conservantun modèle à une seule intégrale et en acceptant que la fonction mémoire puisse dépendre du tenseur desdéformations de Cauchy. D’après le principe d’objectivité matérielle elle doit être isotrope et ne peut dépendreque des invariants scalaires de ce tenseur. Pour un fluide incompressible, le déterminant de Ct vaut 1 et onpeut choisir pour deux autres invariants les traces de Ct et de C−1

t . Par suite on obtient des modèles générauxde fluides viscoélastiques incompressible de la forme:


∫ +∞

0

[M1(s,IC(s),IC−1(s))Ct(x,t− s)

+M2(s,IC(s),IC−1(s))C−1t (x,t− s)] ds

où:IC(s) = tr(Ct(x,t− s)) IC−1(s) = tr(C−1

t (x,t− s))

C’est avec ce type de modèle, en adaptant les fonctions M1,M2 pour tenir compte au mieux des données expé-rimentales que l’on rend le mieux compte du comportement des polymères fondus ou en solutions concentrés(c.f. [16]). Pour les solutions faiblement ou moyennement concentrées on ajoutera un terme correctif purementvisqueux comme dans les modèles intégraux sur ou sous convectés de type Oldroyd.

Notons que l’on pouvait obtenir des modèles non linéaires de ce type dans le cadre d’une théorie des fluidesà mémoire evanescente, en changeant de variable. C’est à dire en considérant que la fonctionnelle F n’est pasune fonctionnelle de G mais une fonctionnelle de f(G) où f est une fonction qui, en principe, dérive d’unpotentiel, vu les lois de l’élasticité (voir le modèle KBKZ ci-dessous). L’isotropie impose de choisir f de laforme:

f(G) = f1(IG,IG−1)G + f2(IG,IG−1)G−1

et, à l’ordre 1 le modèle qui en résulte est donc de la forme:


∫ +∞

0

m(s)[f1(IG,IG−1)G(s) + f2(IG,IG−1)G−1(s)] ds (3.36)

qui est un cas particulier du modèle général où les fonctions Mi se factorisent.

3.3.7.1 Les modèles KBKZ

Une classe de ces modèles non linéaires est celle des modèles de type KBKZ (de Kaye-Bernstein-Kearsley-Zapas) inspirés de la théorie de l’élasticité. On va succinctement expliquer ici comment est introduite la fonctionmémoire des modèles KBKZ.

Pour cela, considérons d’abord un matériau isotrope du premier gradient que l’on déforme entre uneconfiguration Ω0 et une configuration Ω1 par un C1-difféomorphisme φ : Ω0 7→ Ω1. On suppose que le matériauest incompressible, de sorte que φ est de Jacobien unitaire et on suppose que dans la configuration Ω0 lematériau est dans son état naturel de référence et que l’état Ω1 est un état d’équilibre thermodynamique à latempérature θ. On sait alors que le tenseur de Piola de l’état déformé est donné par:

P = ρ∂

∂FΨ(θ,F)

où Ψ est la densité massique d’énergie libre qui est uniquement fonction de la température et du tenseur F = ∇∇∇φet où ρ0 = ρ1 = ρ est la densité de masse. Par le principe d’objectivité matérielle et comme le matériau estisotrope, Ψ ne dépend en fait que des invariants du tenseur des déformations de Cauchy C = TF ·F. On peutchoisir comme invariants, contrairement à ce que l’on fait habituellement en élasticité, les trois scalaires:

I1 = det(C) IC = tr(C) = F : F = C : Id IC−1 = tr(C−1) = F−1 : F−1 = C−1 : Id

Pour un matériau incompressible, on a I1 = 1 et Ψ ne dépend en fait que de IC et IC−1 . Or, pour F inversible,on a 4:

(F + δF)−1 : (F + δF) = C−1 : Id − 2[ TF−1 · F−1 · TF−1] : δF

4 Car pour tout endomorphisme F inversible, on a dès que δF est assez petit: (F + δF)−1 = F−1 − F−1 · δF · F−1 + o(δF).


En conséquence le tenseur de Piola est donné par:

P = 2ρ[∂Ψ

∂ICF − ∂Ψ

∂IC−1

( TF−1 · F−1 · TF−1)]

et le tenseur de Cauchy sur Ω1 est donc donné par:

σσσ = −p(x,t)Id + P · TF = −p(x,t)Id + 2ρ[∂Ψ

∂ICF ·T F − ∂Ψ

∂IC−1

TF−1 · F−1]

Si on considère que Ω0 est la configuration à l’instant τ et Ω1 celle à l’instant t et que φ est le mouvementrelatif χτ (t) = χt(τ)

−1, on a:

IC = Fτ (t) : Fτ (t) = Ft(τ)−1 : Ft(τ)

−1 = ICt(τ)−1

IC−1 = Ft(τ) : Ft(τ) = ICt(τ)

et donc, la contrainte σσσ sur la configuration actuelle Ωt résultant de la seule déformation, supposée isotherme,entre Ωτ et Ωt, si le milieu était élastique, serait:

σσσ = −p(x,t)Id + 2ρ[∂Ψ

∂ICt(τ)−1

Ct(τ)−1 − ∂Ψ

∂ICt(τ)Ct(τ)]

En réalité pour un fluide viscoélastique il y a relaxation de cette contrainte au cours du temps. Ainsi, on peuten première approximation, dans une analyse linéaire de type Boltzmann, considérer qu’il existe une fonctionmémoire M , positive décroissante et tendant vers 0 en +∞, telle que la contribution à la contrainte à l’instantactuel, t, due à la déformation isotherme entre les instants t− s ≤ t et t soit donnée par:

2ρM(s)[∂Ψ

∂ICt(t−s)−1

Ct(t− s)−1 − ∂Ψ

∂ICt(t−s)Ct(t− s)]

et que la contrainte totale, pour un mouvement isotherme, résulte de la somme des contributions passées, c’està dire en incorporant ρ et M dans le potentiel:


∫ +∞

0

[∂U

∂ICCt(x,t− s) − ∂U

∂IC−1

C−1t (x,t− s)] ds (3.37)

où U ≡ U(s,IC ,IC−1 ,θ) est un potentiel - qui s’identifie à l’opposée d’une densité volumique d’énergie libre -qui dépend des deux invariants du tenseur des déformations relatives de Cauchy et de la durée s et qui décroîtassez vite vers 0 quand s → +∞. Il s’agit du modèle KBKZ proposé indépendamment en 1962 par Kayeet en 1963 par Bernstein-Kearsley-Zapas en s’inspirant de la théorie thermodynamique des caoutchoucs. Cetype de modèle rend bien compte de très nombreux résultats sur les polymères fondus ou en solutions, mêmeconcentrées.

En pratique, on cherche à identifier expérimentalement le potentiel à partir d’expériences simples, ce quin’est en général pas évident.

A titre d’exemple, le modèle phénomènologique suivant, dit "à rupture de réseau" et qui est apparenté auxmodèles KBKZ, a été proposé par Tanner et Simmons 5 en 1967 pour les polymères en solutions:


∫ TR

0

m(s)[(1 + ε)Ct(x,t− s) + εC−1t (x,t− s)] ds (3.38)

TR est un temps dit "temps de rupture" du réseau qui, d’après les auteurs, doit dépendre des invariants deCt.

3.3.7.2 Modèles phénomènologiques

Certains auteurs ont cherché à préciser l’expression de la fonction mémoire pour les polymères en solutionen supposant que les non linéarités sont dues aux comportement de l’enchevêtrement des chaînes de polymèresen un réseau tridimensionnel. L’hypothèse fondamentale est que l’élasticité du milieu est due à l’existence dece réseau et que les modification du module d’élasticité sont dues à la destruction ou à la création de jonctions

5 Dans Chem. Engng. Sci. vol. 22, pp 1803-1815, 1967.


entre les chaînes. Les auteurs estiment alors que les taux locaux de création et de destruction de ces jonctions(qui sont à priori indépendants car il n’y a pas conservation du nombre de jonctions puisque les processusphysiques associés sont différents) à un instant donné dépendent du taux de cisaillement: quand γ est grandla destruction l’emporte sur la création et le phénomène s’inverse pour γ assez petit. On pourra consulter [7]pour un exposé détaillé de ce type d’approche. Les modèles que l’on obtient sont de la forme (cas mixte parexemple):


∫ +∞

0

m(s,γt(x,t− s))[(1 + ε)Ct(x,t− s) + εC−1t (x,t− s)] ds

où γt(x,t − s) est le taux de cisaillement au point χt(x,t − s) occupé à l’instant t − s dans le passé par laparticule qui occupe la position x à l’instant t où l’on calcule la contrainte. C’est à dire:

(γt(x,τ))2 = 2D(χt(x,τ),τ) : D(χt(x,τ),τ)

Le lecteur pourra vérifier que γt(x,τ) est bien invariant par changement de référentiel de sorte que le modèleci-dessus est objectif. Les modèles de Bird-Carreau sont de ce type.

3.3.7.3 Catalogue

1. Fonctions mémoires de type Maxwell.

m(s) = −∑

i

µiλ2i

exp(− s

λi) (3.39)

Exemple: Modèle de Spriggs à 3 constantes (α,µ0,λ), inspiré de la théorie moléculaire de Rouse:

i ≥ 1 : λi =λ

iαµi = µ0

λi∑k≥1 λk

(3.40)

2. Fonctions mémoires de Bird-Carreau. Il s’agit de modèles non linéaires à 8 constantes: (λ1,λ2,µ0,α1,α2,n1,n2,ε):

m(s) = −∑

i≥1

µiλ2i,2

exp(− s

λi,2)

1

1 + γ2t (s)λ

2i,1

λi,1 = λ1

(1 + n1

n1 + i

)α1

λi,2 = λ2

(1 + n2

n2 + i

)α2

µi = µ0λi,1∑k λk,1

(3.41)

3. Fonctionnelles mémoires de Meister. La fonction mémoire est elle même une fonctionnelle du taux decisaillement γt.

tm

u=t−s(s,γt(u)) = −

∑

i≥1

µiλ2i

exp(−∫ t

t−s

1 + cλiγt(u)

λidu) (3.42)

où les λi et µi sont, par exemple, ceux du modèle de Spriggs et c une constante supplémentaire.4. Fonctionnelles mémoires de Carreau.

tm

u=t−s(s,γt(u)) = −

∑

i≥0

µihi(γt(s))

λ2i g

2i (γt(s))

exp(−∫ t

t−s

1

λigi(γt(u))du)

hi(γt(s)) =1

1 + (2αt1γ)2S

(i+1)2α

gi(γt(s)) =(1 + λ2γ2

t (s))2R

1 + (2αt1γ)2S

(i+1)2α

λi =2αλ

(1 + i)αµi = µ0

λi∑k≥0 λk

(3.43)

3.4 Les modèles différentiels linéaires objectifs.

Soit : (A,φττ∈R,t,x) 7→ ·A un opérateur qui à un champ d’endomorphismes A défini sur un ouvertU de R × E contenant (t,x) et à un mouvement de milieu continu, pour lequel il existe X tel que x = φt(X),associe un endomorphisme. La dérivée partielle par rapport au temps (qui ne dépend pas du mouvement),

3.4. LES MODÈLES DIFFÉRENTIELS LINÉAIRES OBJECTIFS. 91

la dérivée particulaire et les dérivées codéformationnelles que nous allons exhiber sont des exemples de telsopérateurs. On dit qu’un tel opérateur est "objectif" si, par changement de référentiel on a:

· A∗(Ψ(t− T )(x),t− T ) = Q(t− T ) · [ · A(x,t)] ·T Q(t− T ) (3.44)

où les notations sont celles des formules (1.1-1.2), c’est à dire:

A∗(Ψ(t− T )(x),t− T ) = Q(t− T ) · A(x,t)TQ(t− T )

Si est objectif, alors une relation linéaire de la forme a · τττ + bτττ + cD = 0 est invariante par changement deréférentiel et est donc candidate à une loi rhéologique. Il faut cependant que cette relation soit résoluble en τττ .On va voir des exemples de tels relations.

3.4.1 Les dérivées codéformationnelles

On ne s’intéresse qu’à des milieux incompressibles.

3.4.1.1 la dérivée codéformationnellesous-convectée [Lower convected codeformational deriva-

tive]

Considérons un fluide simple incompressible qui suit une loi de viscoélasticité linéaire finie donnée par unmodèle intégral sous-convecté et posons:

S(x,t) =

∫ +∞

0

m(s)[Ct(x,t− s) − Id] ds

On voit que le tenseur des contraintes de Cauchy est donné par:


∫ +∞

0

m(s)[Ct(x,t− s) − Id] ds

où p est une fonction arbitraire, qui, rappelons le, n’est toujours pas la pression. Supposons que m soit lafonction mémoire d’un modèle de Maxwell à un seul temps de relaxation:

m(s) = − µ

λ2e−

sλ

Évaluons alors la dérivée particulaire 6 de S. On a:

S(x,t) = − µ

λ2

∫ t

−∞e−

t−sλ [Ct(x,s) − Id] ds (3.45)

Tout revient à évaluer la dérivée particulaire de Ct(x,s). Le plus simple est de revenir à la configuration deréférence absolue. On a:

Ct(x,s) =T Ft(x,s) · Ft(x,s) =T F−1(X,t) ·T F(X,s) · F(X,s) · F−1(X,t)

et donc:

D

DtCt(x,s) =T ∂

∂t[F−1(X,t)] ·T F(X,s) · F(X,s) · F−1(X,t)

+T F−1(X,t) ·T F(X,s) · F(X,s)∂

∂t[F−1(X,t)]

=T ∂

∂t[F−1(X,t)] ·T F(X,t) · Ct(x,s)

+ Ct(x,s) · F(X,t) · ∂∂t

[F−1(X,t)]

= −TF−1(X,t) ·T ∂

∂t[F(X,t)] · Ct(x,s)

− Ct(x,s) ·∂

∂t[F(X,t)] · F−1(X,t)

6 La dérivée particulaire d’un champ Eulérien A défini à chaque instant t sur Ωt et à valeurs dans un espace vectoriel réel de

dimension finie quelconque est:DA

Dt(t,x) =

∂A

∂t(t,x)+∇∇∇A(t,x) ·v(t,x). Par définition, on a:

D

DtA(t,x) =

∂

∂tA(t,φ(t,X))

∣∣∣∣x=φ(t,X)

,

ce qui justifie le vocabulaire.


où, pour obtenir la dernière ligne on a tenu compte de F(X,t) ·F−1(X,t) = Id. Finalement, en introduisant legradient de vitesse Eulèrienne L(x,t) = ∇∇∇v(x,t), il vient:

D

DtCt(x,s) = −TL(x,t) · Ct(x,s) − Ct(x,s) · L(x,t)

soit:D

Dt[Ct(x,s) − Id] = −TL(x,t) · [Ct(x,s) − Id] − [Ct(x,s) − Id] · L(x,t) − 2D(x,t)

On en déduit par dérivation composée que:

D

DtS(x,s) = − µ

λ2[Ct(x,t) − Id] +

µ

λ3

∫ t

−∞e−

t−sλ [Ct(x,s) − Id] ds

−T L(x,t) · S(x,s) − S(x,s) · L(x,t) +2µ

λ2

∫ t

−∞e−

t−sλ dsD(x,t)

Et, comme Ct(x,t) = Id, il vient:

D

DtS +T L · S + S · L +

1

λS =

2µ

λD

Le champ v étant donné, introduisons l’opérateur:

δ

δt: A 7−→ δA

δt=

D

DtA +T L · A + A · L (3.46)

qui agit sur les champs d’endomorphismes définis sur un voisinage de (x,t) dans E × R (i.e. dans les mêmesconditions que la dérivée particulaire).

L’opérateur δδt est appelé dérivation sous-convectée et δA

δt est la dérivée sous-convectée de A. On en déduitque S est solution de l’équation:

λδS

δt+ S = 2µD (3.47)

qui est formellement analogue à l’équation différentielle du modèle différentiel de Maxwell infinitésimal (3.8)quand on remplace la dérivée partielle par la dérivée sous convectée.

On va voir que les seules solutions "objectives" de l’équation (3.47) sont bien données par (3.45), à uneéventuelle partie sphérique indéterminée près. Auparavant observons quelques propriétés de l’opérateur δ

δt .

1. L’opérateur δδt conserve la symétrie des endomorphismes.

2. L’opérateur δδt a une interprétation géométrique simple. Rappelons d’abord deux définitions (rappelons

qu’ici dim(E) = 3):

Définition 3.3 (Coordonnées covariantes.) Soit u ∈ L(E,E∗) une application linéaire de E sur sondual. Soit B = (g1,g2,g3) une base de E. On appelle coordonnées covariantes de u sur la base B, lesn2 = 9 scalaires uij définis par:

uij = [u · gj ](gi)

On a donc:u · gj = uijg

∗i

où (g∗1 ,g∗2 ,g

∗3) est la base duale 7 de B dans E∗.

Définition 3.4 (Coordonnées contravariantes.) Soit v ∈ L(E∗,E) une application linéaire du dualde E sur E. Soit B = (g1,g2,g3) une base de E. On appelle coordonnées contravariantes de v sur la baseB, les n2 = 9 scalaires vij définis par:

vij = g∗i (v · g∗j )

7 C’est à dire que g∗i est l’unique forme linéaire sur E vérifiant g∗i (gj) = δji . On vérifie facilement que si (gi)i=1,··· ,3 est une base

de E alors (g∗i )i=1,··· ,3 en est une de E∗.


On a donc:v · g∗j = vijgi

Ces définitions sont intrinsèques dans le sens où elles ne dépendent que de la structure d’espace vectorielde E. Mais si de plus E est Euclidien on peut alors, grace au théorème de Riesz, identifier E et E∗.Désignons donc par Φ l’isomorphisme de E dans E∗ qui à chaque vecteur u de E associe la forme linéaireu définie par: u(v) = (u|v). On peut alors considérer qu’un endomorphisme f de E est soit un élémentde L(E,E∗) par l’identification:

f ≡ Φ f

soit un élément de L(E∗,E), par l’identification:

f ≡ f Φ−1

On appelle alors coordonnées covariantes de f sur une base B les coordonnées covariantes, fij , de Φ f

sur B et on appelle coordonnées contravariantes de f les coordonnées contravariantes, f ij , de f Φ−1.Attention que maintenant ces coordonnées dépendent du produit scalaire. Il est immédiat de voir que 8

(avec la convention habituelle de sommation sur les indices répétés):

f = fijgi ⊗ gj = f ijgi ⊗ gj

et donc que:fij = (f · gj |gi) f ij = (f · gj |gi)

et:f · gj = fijg

i f · gj = f ijgi

Remarques. Attention que les composantes covariantes ou contravariantes d’un endomorphisme ne sontpas les coefficients de sa matrice sur une base (en particulier ce ne sont pas les coefficients de la matricesur (gi)i=1,··· ,3 ou (gi)i=1,··· ,3) sauf si la base (gi)i=1,··· ,3 est orthonormée, c’est à dire si et seulement sielle est confondue avec sa duale.Attention également à ne pas raisonner avec des bases orthonormées comme on le voit trop souvent:comme le mouvement n’est en général pas rigide une base orthonormée ne le reste pas par transportconvectif. Pour les mouvements rigides l’introduction des dérivées convectives est d’ailleurs sans grandintérêt, puisqu’il n’y a pas de déformations.Ceci étant rappelé, il est facile de voir que la dérivation sous convectée de A correspond à déri-

ver les composantes covariantes de l’endomorphisme A sur une base gelée dans la matière.C’est pourquoi on l’appelle dérivée convective ou codéformationnelle.

Preuve Pour voir cela, donnons nous un système de coordonnées matérielles 9 (ξ1,ξ2,ξ3) sur un voisinage de la particuleX ∈ B que l’on suit dans son mouvement. Soit (ξ1,ξ2,ξ3) les coordonnées de X et soit (g1,g2,g3) la base locale en cepoint. Le point x = φt(X) de Ωt a alors pour coordonnées matérielles dans Ωt le même triplet (ξ1,ξ2,ξ3). Notons alors(G1(t,x),G2(t,x),G3(t,x)) la base de coordonnées locales en ce point x. Désignons par Aij les coordonnées covariantes deA(x,t) sur la base (G1(t,x),G2(t,x),G3(t,x)). On a:

A = AijGi ⊗ Gj

où (G1(t,x),G2(t,x),G3(t,x)) est la base duale. Or, on a:

Gi ⊗ Gj =T F−1(X,t) · [gi ⊗ gj ] · F−1(X,t)

D’où:A =T F−1(X,t) · [Aijg

i ⊗ gj ] · F−1(X,t)

Et, par suite:DA

Dt= −T L · A +T F−1(X,t) · [DAij

Dtgi ⊗ gj ] · F−1(X,t) − A · L

et finalement:δA

δt=

DAij

DtGi ⊗ Gj

8 La base (gi)i=1,··· ,3 est la base duale de (gi) dans E. Pour chaque i, gi est défini univoquement par: g∗i = Φ(gi). Contrairementà la base duale naturelle de E∗, la base duale dans E n’est pas intrinsèquement associée à la base primale mais dépend du produitscalaire qui permet l’identification "formes/vecteurs". Si a et b sont deux vecteurs, je note a ⊗ b l’endomorphisme de E définipar: a ⊗ b · x = (b|x)a. Il n’est pas intrinséque: sa définition dépend du produit scalaire. 9 C’est à dire qu’un point de Ωt estrepéré par les coordonnées de la particule X qui l’occupe à t.


Ce qui prouve que la "dérivée sous convectée" n’est rien d’autre que le taux de variation de A, considéré comme un élément

de L(E,E∗), vu par un "pseudo observateur" qui se déformerait lui même comme une ligne matérielle.

L’usage veut que l’on mette les indices "en bas" pour les coordonnées covariantes (notations d’Einstein)et c’est pourquoi on dit que cette dérivée est "sous-convectée" et, par extension, les modèles intégrauxqui ne font intervenir que Ct sont appelés "modèles intégraux sous-convectés".Notons alors que si on repère x par ses coordonnées matérielles les fonctions Aij deviennent Lagran-giennes. Et on a, par définition de la dérivée particulaire (en ne changeant pas de notation pour Aij ,pour simplifier):

DAijDt

(x,t) =∂Aij∂t

(ξ1,ξ2,ξ3,t)

On a donc obtenu une autre expression de la dérivée convectée. Plus précisément si φ est un mouvementabsolu, on a dans ce mouvement:

δA

δt(t,x)

∣∣∣∣x=φ(t,X)

= TF(t,X)−1 ∂

∂t[ TF(t,X)A(t,φ(t,X))F(t,X)]F(t,X)−1 (3.48)

En fait, comme l’expression de la dérivée sous convectée ne fait intervenir que la dérivée particulaire et legradient de vitesse Eulérien, elle ne dépend donc pas du choix d’une configuration de référence absolue.Par exemple, si t0 est un instant particulier, comme on sait que par composition on a:

Ft0(t,x0)

∣∣∣∣x0=φ(t0,X)

= F(t,X)F(t0,X)−1

on a donc également la relation, déduite de la précédente:

δA

δt(t,x)

∣∣∣∣x=χt0

(t,x0)

= TFt0(t,x0)−1 ∂

∂t[ TFt0(t,x0)A(t,χt0(t,x0))Ft0(t,x0)]Ft0(t,x0)

−1 (3.49)

qui ne fait plus référence au mouvement absolu. En général, on utilise cette formule pour t0 → t et onretrouve l’expression initiale (3.46) de la dérivée sous convectée.

3. L’opérateur δδt est matériellement objectif c’est à dire qu’il satisfait à la loi de transformation (3.44).

Preuve Soit φ(t) un mouvement de milieu continu relatif à une configuration de référence B défini sur I = R et soit pourchaque t, A(t) un champ d’endomorphismes défini sur Ωt, par exemple le champ de tenseurs des contraintes de Cauchy.D’après ce que l’on vient de voir, on a:

δA

δt(t,x) = T F(t,X)−1 ∂

∂t[ T F(t,X)A(t,φ(t,X))F(t,X)]F(t,X)−1

Effectuons un changement de référentiel caractérisé par le mouvement solide:

Ψ(t,X) = a(t) + Q(t) · −−→OX

et le changement d’origine T . Le mouvement déduit de φ par le changement de référentiel est:

φ∗(t∗,X) = Ψ(t∗) φ(t∗ + T )

et on a, par composition des dérivations:F∗(t∗,X) = Q(t∗) · F(t∗ + T )

Posons:A∗(t− T,ψ(t− T )(x)) = Q(t− T ) · A(t,x) · T Q(t− T )

On a, en dérivant dans le mouvement φ∗ à l’instant t∗ = t− T et au point x∗ = Ψ(t∗)(x), vu la formule précédente vraiepour tout mouvement:

δA∗

δt∗(t∗,x∗) = T F∗(t∗,X)−1 ∂

∂t[ T F(t∗,X)A∗(t∗,φ∗(t∗,X))F∗(t∗,X)]F∗(t∗,X)−1 = Q(t∗)[

δA

δt(t,x)]T Q(t∗)

Ce qui prouve que l’opérateur δδt

est "objectif".

4. L’opérateur δδt n’est pas une dérivation au sens usuel du terme car on a:

δA · Bδt

− δA

δt· B − δB

δt· A = −2A · D · B

qui n’est en général pas nul. Ce à quoi on pouvait s’attendre.


5. Par construction, on a:δCt

δt= 0

C’est pourquoi on dit que cette "dérivée" est codéformationnelle: elle "accompagne" la déformation deslignes gelées.

Un mouvement relatif χt étant donné, la solution de (3.47) dont le déviateur vérifie le principe d’objectivitématériel (i.e. la loi de transformation par changement d’observateur) est donnée, à un terme sphérique près,par 10:

S(t,x) = − µ

λ2

∫ t

−∞e−

t−τλ [Ct(τ,x) − Id] dτ = − µ

λ2

∫ +∞

0

e−sλ [Ct(t− s,x) − Id] ds

Preuve Désignons par φ un mouvement absolu, relativement à une configuration de référence B, dont χt est le mouvementrelatif. On peut par exemple prendre pour φ(τ) un certain χt0 (τ) = χt(τ) χt(t0)−1. On transforme alors (3.47) en une équationdifférentielle ordinaire en passant en variables de Lagrange. En effet, fixons une particule X ∈ B et désignons pour chaque t parx = φ(t,X) sa position. Posons

s(t,X) = T F(t,X)S(t,φ(t,X))F(t,X)

L’équation (3.47) devient∂

∂ts(X,t) +

1

λs(t,X) = 2

µ

λ

T F(t,X) · D(φ(t,X),t) · F(t,X)

Une solution particulière est:

t 7−→ 2µ

λ

∫ t

−∞

e−t−τ

λ T F(τ,X) · D(φ(τ,X),τ) · F(τ,X)

et la solution générale sur R est donc de la forme:

∀t : s(X,t) = A(X)e−tλ + 2

µ

λ

∫ t

−∞

e−t−τ

λ T F(τ,X) · D(φ(τ,X),τ) · F(τ,X)

où A(X) est un endomorphisme symétrique constant. En revenant à S, et en variables d’Euler à l’instant t, on en déduit que S

vérifie (3.47) si et seulement si il existe un tenseur constant A(X) tel que:

∀t : S(t,x)

∣∣∣∣x=φ(t,X)

=[T F(t,X)−1 · A(X) · F(t,X)−1]e−tλ

+2µ

λ

T F(t,X)−1 ·∫ t

−∞

e−t−τ

λ [T F(τ,X) · D(φ(τ,X),τ) · F(τ,X)] ds

F(t,X)−1

ce qui prouve que l’équation est bien résoluble en S. Par ailleurs, on a:

∂

∂τCt(τ,x) =

∂

∂τ[T F(t,X)−1 T F(τ,X)F(τ,X)F(t,X)−1]

et également:∂

∂τF(τ,X) = ∇∇∇v(φ(τ,X),τ)F(τ,X)

On a donc:∂

∂τ[Ct(τ,x) − Id] = 2T F(t,X)−1 · [T F(τ,X) · D(φ(τ,X),τ) · F(τ,X)] · F(t,X)−1

Finalement, en intégrant par parties et en changeant de variable, on en déduit que S est solution de (3.47) si, et seulement si, ilexiste A(X) tel que:

S(t,x)

∣∣∣∣x=φ(t,X)

= [T F(t,X)−1 · A(X)F(t,X)−1]e−tλ − µ

λ2

∫ +∞

0e−

sλ [Ct(t− s,x) − Id] ds (3.50)

A noter que si on considère le mouvement rigidifiant:

Ψ(t) = a(t) + Q(t) · −→Ox

puis le mouvement φ∗, déduit par changement de référentiel, sans translation de l’origine des temps:

φ∗(t) = Ψ(t) φ(t)

La solution générale à l’instant t au point x∗ = φ∗(x) est:

S∗(t,x∗)

∣∣∣∣x=φ∗(t,X)

= [T F∗(t,X)−1 · A∗(X)F∗(t,X)−1]e−tλ − µ

λ2

∫ +∞

0e−

sλ [C∗

t (t− s,x∗) − Id] ds

10 On admet bien sûr que les mouvements considérés sont tels que l’intégrale généralisée est convergente. Il suffit, pour unmouvement donné, qu’elle le soit pour un certain t = t0 particulier. Ce sera le cas quand on s’intéresse au démarrage d’unécoulement car on pourra en général supposer que le système était au repos pour t ≤ t0. Attention à la subtilité suivante: larelation différentielle (3.47) n’est pas une loi rhéologique au sens strict, elle définit autant de lois rhéologiques qu’elle admet desolutions en S, fonctions du mouvement. Il faut donc d’une part qu’elle soit résoluble en S quand le mouvement est donné et,d’autre part, on ne doit retenir que les solutions qui vérifient le principe d’objectivité matérielle. Pour les milieux incompressibles,ce dernier ne porte que sur le déviateur.


et, comme:F∗(t,X) = Q(t) · F(t,X) C∗

t (t− s,x∗) = Q(t) · Ct(t− s,x) · T Q(t)

on a:

S∗(t,x∗)

∣∣∣∣x=φ∗(t,X)

= Q(t) · [T F(t,X)−1 · A∗(X)F(t,X)−1]e−tλ − µ

λ2

∫ +∞

0e−

sλ [Ct(t− s,x) − Id] ds] · T Q(t)

Et l’on aura S∗(t,x∗) = Q(t) · S(t,x) · T Q(t) sous réserve de choisir A∗(X) = A(X). On voit donc que la solution généralen’est pas "naturellement" invariante par changement de référentiel puisque, le paramètre A dépendant du mouvement, il faut luiimposer une règle de transformation. Ceci étant, la solution ne dépend pas du choix du mouvement absolu mais uniquement dumouvement relatif. On peut donc prendre comme mouvement absolu, le mouvement χt lui même. On en déduit qu’il doit existerun champ a d’endomorphismes symétriques définis sur Ωt tel que:

S(t,x) = a(x)e−tλ − µ

λ2

∫ +∞

0e−

sλ [Ct(t− s,x) − Id] ds (3.51)

Cependant, la solution dépend explicitement du temps, par le coefficient e−tλ ce qui est contraire au principe d’objectivité ma-

térielle. Il faut donc supposer que le terme a(x) est purement sphérique et peut être absorbé dans la pression hydrostatique

indéterminée. En réalité, vu son expression par rapport au gradient de déformation absolu, il est nécessairement nul sauf si

C(t,X) est constant, auquel cas le mouvement est un mouvement de solide rigide et la partie intégrale est nulle, sinon le vecteur

A(X) devrait dépendre de l’origine des temps, ce qui n’est pas acceptable.

En conséquence, il y a équivalence pour un fluide incompressible entre le modèle de Maxwell intégral et saforme différentielle et on peut aussi bien se donner le modèle intégral (3.45) par la loi différentielle (3.47), c’està dire:

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + S(x,t)

λδS

δt+ S = 2µD

(3.52)

La loi (3.52) est appelée "modèle différentiel de Maxwell sous-convecté" ou encore modèle de Maxwell A ouencore modèle de White-Metzner. On vérifie alors directement à partir de (3.52) que p n’est en général pas lapression.

Quand on approche la fonction de relaxation d’un fluide viscoélastique par un modèle de Maxwell à un seultemps de relaxation, on préfère en général utiliser le modèle différentiel dans les problèmes instationnaires àcondition initiale. Cependant, il n’y pas de version différentielle objective du modèle intégral quand la fonctionde relaxation est quelconque.

Si le fluide à une viscosité Newtonienne et que l’on ne retient qu’un temps de relaxation le modèle intégralde type Oldroyd sous-convecté devient:

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + 2µ(N)D(x,t) + S(x,t)

λδS

δt+ S = 2µD

(3.53)

La loi (3.53) est appelée "modèle différentiel d’Oldroyd sous-convecté" ou encore modèle d’Oldroyd A. Souscette écriture, µ est la viscosité "élastique" du fluide et µ(N) sa viscosité Newtonienne aux temps courts.

Le modèle d’Oldroyd A se met sous la forme:σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + S(x,t)

λ1δS

δt+ S = 2µ[D + λ2

δD

δt]

(3.54)

où λ1 et λ2 sont des temps caractéristiques. Le temps caractéristique λ2 est souvent appelé temps de retarda-tion et µ est alors la viscosité totale du fluide.

Preuve Désignons par S(E) la partie élastique de la contrainte, c’est à dire la solution de l’équation de Maxwell A et désignonspar λ et µ(E) les paramètres de la partie élastique de la contrainte, c’est à dire que l’on met le modèle d’Oldroyd A sous la forme:

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + 2µ(N)D(x,t) + S(E)(x,t)

λδS(E)

δt+ S(E) = 2µ(E)D

Posons enfin S(N)(x,t) = 2µ(N)D(x,t) et S = S(N) + S(E). Comme l’opérateur δδt

est linéaire et que µ(N) est constant, on a:

δS

δt=δS(E)

δt+ 2µ(N) δD

δt

et donc:

λδS

δt+ S = [λ

δS(E)

δt+ S(E)] + 2µ(N)D + 2λµ(N) δD

δt= 2(µ(N) + µ(E))D + 2λµ(N) δD

δt


Et finalement:

λ1δS

δt+ S = 2µ[D + λ2

δD

δt]

où:

λ1 = λ µ = µ(N) + µ(E) λ2 =λ1µ

(N)

µ

Si λ1 = λ2, le fluide est Newtonien.

3.4.1.2 La dérivée codéformationnelle sur-convectée [Upper convected codeformational deriva-

tive]

La démarche est la même que pour la dérivée sous-convectée mais on part cette fois d’un modèle deviscoélasticité linéaire finie sur-convecté incompressible:

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + S(x,t) S(x,t) = −∫ +∞

0

m(s)[C−1t (x,t− s) − Id] ds

On vérifie, comme dans le cas sous convecté, que:

D

DtC−1t (x,s) = L(x,t) · Ct(x,s) + Ct(x,s) ·T L(x,t)

Supposons alors que m soit la fonction mémoire de Maxwell à un seul temps de relaxation:

m(s) = − µ

λ2e−

sλ

On en déduit, comme pour le cas sous convecté, que:

D

DtS − L · S − S ·T L +

1

λS =

2µ

λD

Le champ v étant donné, introduisons l’opérateur:

∆

∆t: A 7−→ ∆A

∆t=

D

DtA − L · A − A ·T L (3.55)

qui agit sur les champs d’endomorphismes définis sur un voisinage de (x,t) dans E × R.L’opérateur ∆

∆t est appelé dérivation sur-convectée et ∆A∆t est la dérivée sur-convectée de A. On en déduit

que S est solution de l’équation:

λ∆S

∆t+ S = 2µD (3.56)

qui est encore formellement analogue à l’équation différentielle du modèle différentiel de Maxwell infinitésimal(3.8) quand on remplace la dérivée partielle par la dérivée sur-convectée. Les propriétés de l’opérateur ∆

∆t sontanalogues à celles de la dérivée sous-convectée. On ne les établira pas en détails.

1. L’opérateur ∆∆t conserve la symétrie des endomorphismes.

2. L’opérateur ∆∆t a une interprétation géométrique simple: il correspond à dériver les coordonnées contra-

variantes de l’endomorphisme A sur une base gelée dans la matière. C’est pourquoi on l’appelle encoredérivée convective.Preuve Pour voir cela, donnons nous comme précédemment un système de coordonnées matérielles (ξ1,ξ2,ξ3) sur unvoisinage de la particule X ∈ B que l’on suit dans son mouvement et désignons par Aij les coefficients de la matrice deA(x,t) sur la base duale (G1(t,x),G2(t,x),G3(t,x)). On a:

A = AijGi ⊗ Gj

Or, on a par transport direct:Gi ⊗ Gj = F(X,t) · [gi ⊗ gj ] ·T F(X,t)

D’où:A = F(X,t) · [Aijgi ⊗ gj ] ·T F(X,t)

Et, par suite:DA

Dt= L · A + F(X,t) · [DA

ij

Dtgi ⊗ gj ] ·T F(X,t) + A ·T L


et finalement:∆A

∆t=

DAij

DtGi ⊗ Gj

Ce qui prouve que la "dérivée sur-convectée" n’est rien d’autre que le taux de variation de A, considéré comme un élément

de L(E∗,E), vu par un "pseudo observateur" qui se déformerait lui même comme une surface matérielle dans un milieu

incompressible.

L’usage veut que l’on mette les indices "en haut" quand on exprime les composantes contravariantesd’un endomorphisme et c’est pourquoi on dit que cette dérivée est "sur-convectée" et, par extension, lesmodèles intégraux qui ne font intervenir que C−1

t sont appelés "modèles intégraux sur-convectés". Si onrepère x par ses coordonnées matérielles, il vient:

DAij

Dt(x,t) =

∂Aij

∂t(ξ1,ξ2,ξ3,t)

Comme pour le cas-sous convecté, on a donc une autre expression de l’opérateur:

∆A

∆t(t,x)

∣∣∣∣x=φ(t,X)

= F(t,X)∂

∂t[F(t,X)−1A(t,φ(t,X)) TF(t,X)−1] TF(t,X) (3.57)

De même si t0 est un instant particulier, on en déduit la relation:

∆A

δt(t,x)

∣∣∣∣x=χt0

(t,x0)

= Ft0(t,x0)∂

∂t[Ft0(t,x0)

−1A(t,χt0(t,x0))TFt0(t,x0)

−1] TFt0(t,x0) (3.58)

3. L’opérateur ∆∆t est matériellement objectif. La démonstration est analogue à celle du cas sous-convecté.

4. L’opérateur ∆∆t n’est pas une dérivation car:

∆A · B∆t

− ∆A

∆t· B − ∆B

∆t· A = 2A · D · B

5. Par construction, on a:∆C−1

t

∆t= 0

C’est pourquoi on dit encore que cette "dérivée" est codéformationnelle: elle "accompagne" la déformationdes surfaces gelées 11.

On vérifie alors, comme pour le cas sous convecté, qu’un mouvement relatif χt(τ) étant donné, à chaqueinstant τ , la solution de (3.56) dont le déviateur vérifie le principe d’objectivité matériel est donnée, à unéventuel terme sphérique près, par:

S(x,t) =µ

λ2

∫ t

−∞e−

t−τλ [C−1

t (τ,x) − Id] dτ = − µ

λ2

∫ +∞

0

e−sλ [Id − C−1

t (x,t− s)] ds

Pour un fluide incompressible, on en déduit que l’on peut aussi bien se donner un modèle sur-convecté de typeMaxwell à un seul temps de relaxation par la loi différentielle:


λ∆S

∆t+ S = 2µD

(3.59)

La loi (3.59) est appelée "modèle différentiel de Maxwell sur-convecté" ou encore modèle de Maxwell B. Anoter que p n’est en général pas la pression.

Si le fluide à une viscosité Newtonienne et que l’on ne retient qu’un temps de relaxation le modèle intégralde type Oldroyd sur-convecté devient:

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + 2µ(N)D(x,t) + S(x,t)

λ∆S

∆t+ S = 2µD

(3.60)

11 Du moins dans le cas isovolume


La loi (3.60) est appelée "modèle différentiel d’Oldroyd sur-convecté" ou encore modèle d’Oldroyd B. Le modèled’Oldroyd B se met aussi sous la forme:


λ1∆S

∆t+ S = 2µ[D + λ2

∆D

∆t]

(3.61)

où λ1 et λ2 sont les temps caractéristiques déjà introduits pour le modèle A.

Note sur la mise en oeuvre des modèles différentiels convectés. En pratique, on peut indiffé-remment utiliser la version intégrale ou la version différentielle. Cependant, si on utilise la version différen-tielle il faut s’assurer que l’on ne sélectionne que la solution (pour un modèle de Maxwell A par exemple):S(t,x) = − µ

λ2

∫ +∞0

e−sλ [Ct(t− s,x) − Id] ds. Pour cela, une façon de procéder, usuelle du point de vue numé-

rique, est d’imposer la condition initiale de manière cohérente.En effet, le problème instationnaire qui est le plus souvent posé consiste à déterminer le champ des vitesses

à chaque instant dans un fluide viscoélastique incompressible, dont le mouvement est connu jusqu’à un instantt0, quand on modifie pour t ≥ t0 les conditions limites cinématiques ou dynamiques sur les bords du do-maine occupé par le fluide (par exemple le démarrage d’un écoulement de Couette ou de Poiseuille). Dans cesconditions, pour t > t0, on détermine l’écoulement en résolvant simultanément les équations de la dynamique(éventuellement complétées par l’équation de l’énergie si il y a transfert de chaleur) couplés avec l’équationrhéologique. Avec un modèle de Maxwell A, on se donnera alors la loi rhéologique sous la forme:


λδS

δt+ S = 2µD

S(x,t0) = S0

Pour que le modèle sélectionné soit bien le modèle de Maxwell sous convecté, il est nécessaire et suffisant dese donner le champ S0 sur la configuration à l’instant t0 compatible avec le mouvement antérieur. C’est à direque l’on doit se donner:

S0(t0,x) = − µ

λ2

∫ +∞

0

e−sλ [Ct0(t0 − s,x) − Id] ds

De la même manière on prendra comme condition initiale sur la vitesse le champ de vitesse, connu, à t0. Parexemple, si le fluide est au repos pour t ≤ t0 (cas usuel), on prendra S0 = 0, v0 = 0. L’intérêt est que leséquations à résoudre sont alors des équations différentielles qui ne font intervenir que le champ de vitesses etnon le mouvement lui même. Néanmoins, si le problème est bien posé, c’est à dire si il permet de déterminerles champs v(t,x) et p(t,x) pour t ≥ t0 et si le champ de vitesses est assez régulier pour être celui d’un uniquemouvement relatif à la configuration occupée à t0, alors le tenseur des contraintes sera bien donné par larelation S(t,x) = − µ

λ2

∫ +∞0

e−sλ [Ct(t − s,x) − Id] ds et ce, vu le choix de S0, par unicité de la solution du

problème de Cauchy pour S. Autrement dit, on se sera affranchi du calcul (et surtout du stockage) explicite dumouvement et des intégrales de convolution pendant la résolution. En pratique, on utilise souvent des versions"non linéaires" de ces modèles différentiels objectifs dans lesquels λ et µ dépendent de γ.

Dans les situations d’écoulements simples (unidirectionnels par exemple), on peut rechercher directementdes solutions analytiques au problème instationnaire en utilisant la loi différentielle. Dans ces conditions, 1)on imposera l’objectivité matérielle au déviateur de S, ce qui conduit en général à des simplifications commepour les écoulements viscométriques et 2) on imposera à S de rester bornée quand t → −∞, ce qui est unecondition nécessaire vérifiée par la solution S(t,x) = − µ

λ2

∫ +∞0

e−sλ [Ct(t − s,x) − Id] ds. Ceci suffit, le plus

souvent, à fermer le problème.Pour les problèmes stationnaires, si on veut utiliser un modèle différentiel, on sait que le déviateur des

contraintes d’un fluide simple doit être stationnaire, on recherchera donc une solution stationnaire. Pour lesécoulements simples, ceci détermine en général le déviateur de S de manière unique et c’est donc nécessairement,pour un modèle linéaire, le déviateur du modèle intégral de Maxwell.

3.4.1.3 Notes

Il existe une véritable zoologie des modèles objectifs, en particulier non linéaires, et il n’y a pas vraimentde critère pour choisir plutôt tel modèle que tel autre. Cependant, concernant les modèles de viscoélasticitélinéaire finie on peut mieux comprendre pourquoi on doit s’attendre à ce que les modèles sur-convectés soient


plus réalistes que les modèles sous convectés. En effet, le tenseur des contraintes est une application linéaire quitransforme un vecteur normal à une facette en une densité surfacique de forces. Or, une force est nécessairementun élément de E, par identification, d’après la loi de Newton: f = mγγγ. Alors qu’une normale est en fait définiepar dualité grace au théorème de Riesz qui permet de définir le gradient sur une surface. En conséquence,le tenseur des contraintes est en principe un élément de L(E∗,E) et on doit donc s’attendre à ce qu’uneloi différentielle objective implique les taux de variations de ses composantes contravariantes sur une basegélée plutôt que covariantes. C’est probablement pourquoi le modèle linéaire surconvecté est compatible avecl’effet Weissenberg contrairement au modèle sous convecté. Notons cependant que l’effet Weissenberg impliqueles contraintes normales qui sont d’ordre 2 en taux de cisaillement quand celui-ci est petit (c.f. le chapitreprécédent). En ne retenant qu’un développement limité à l’ordre 1 en Ct ou C−1

t les termes négligés sont alorsd’ordre 2 en γ ce qui montre que de toutes façons on ne peut pas espérer rendre correctement compte deseffets de contraintes normales avec des modèles linéaires codéformationnels.

3.4.2 La dérivée corotationnelle

Comme les dérivées convectives sont objectives on pourrait donc penser que des équations de la forme:

λ[α∆S

∆t+ (1 − α)

δS

δt] + S = 2µD

sont candidates à une loi rhéologique. En fait, ce n’est pas le cas car l’opérateur:

A 7−→ α∆A

∆t+ (1 − α)

δA

δt

n’est en général pas une dérivation et on ne peut pas à priori assurer que l’équation précédente soit résoluble

en S. Il y a cependant une exception c’est le cas où α =1

2car alors on a:

∆A · B∆t

− ∆A

∆t· B − ∆B

∆t· A +

δA · Bδt

− δA

δt· B − δB

δt· A = 2A · D · B − 2A · D · B = 0

Définition 3.5 (Dérivée Corotationnelle) On appelle dérivée corotationnelle l’opérateurDDt défini par:

DA

Dt =1

2[∆A

∆t+δA

δt]

La dérivée corotationnelle est une dérivation sur les champs d’endomorphismes et elle est objective.

A noter que l’objectivité est immédiate puisque les dérivées sur et sous convectées le sont. La dérivéecorotationnelle est également appelée dérivée de Jaumann. Un calcul immédiat donne:

DA

Dt =DA

Dt+ A ·ΩΩΩ −ΩΩΩ · A (3.62)

où ΩΩΩ est la partie antisymétrique du gradient de vitesse Eulérienne.A noter que si le mouvement est un mouvement de solide rigide les deux dérivées convectives coïncident

avec la dérivée corotationnelle. Inversement, si les deux dérivées convectives coïncident à un instant donnépour tout champ A alors, à cet instant, ∇∇∇v est antisymétrique est v est rigidifiant. Si elles coïncident à chaqueinstant, le mouvement est alors un mouvement de solide rigide et elles coïncident avec la dérivée corotaionnelle.

Comme les dérivées convectées, la dérivée corotationnelle a une interprétation géométrique simple. Ellecorrespond à dériver les coefficients de la matrice de A sur une base de vecteurs transportés dans le mouvementde solide local au voisinage de la particule considérée.

3.4.2.1 Interprétation géométrique

Soit t0 un instant et χt0 un mouvement relatif de milieu continu. Soit φtt∈R un mouvement de milieu decontinu relativement à une configuration de référence B ayant χt0 comme mouvement relatif 12. Soit X0 ∈ B

12 Ce mouvement absolu φt n’est pas unique. On peut par exemple prendre χt0 lui même.


une particule qui occupe la position x0 à l’instant t0. A chaque instant t ∈ R associons l’endomorphsimeantisymétrique:

ΩΩΩ0(t) =1

2[∇∇∇v(χt0(x0,t),t) −T ∇∇∇v(χt0(x0,t),t)] (3.63)

qui est tout simplement la partie antisymétrique du gradient de vitesse Eulérienne au point χt0(x0,τ) occupépar la particule X0 à l’instant t0. On sait que le champ de vecteurs:

(t,x) ∈ R × E 7→ v(χt0(x0,t),t) + ΩΩΩ0(t) ·−−−−−−−→χt0(x0,t)x (3.64)

défini sur E est un champ rigidifiant. C’est donc, le champ des vitesses Eulériennes d’un mouvement de soliderigide. Ce mouvement, comme tous les mouvements donnés par un champ Eulérien n’est pas défini de manièreunivoque, mais il le devient si on lui demande de coïncider avec φt à l’instant t0. Ce dernier mouvementa, d’après la décomposition locale de Helmoltz, une interprétation très simple: c’est le mouvement de soliderigide local au voisinage de la particule X0 quand on la suit sur sa trajectoire φt(X0)t∈R. On va voir que ladérivée corotationnelle n’est rien d’autre qu’une dérivée particulaire pour un observateur se déplaçant dans cemouvement, qui est justement dit de co-rotation. Une loi rhéologique différentielle objective utilisant la dérivéecorotationnelle s’interprétera donc tout simplement comme une loi formulée par cet observateur. Avant d’allerplus loin, exhibons ce mouvement. Tour revient à déterminer son application orthogonale associée.

IProposition 3.5 (Mouvement de co-rotation) On suppose que l’application t 7→ ΩΩΩ0(t) est continuesur R. L’équation:

dR0

dt= ΩΩΩ0 · R0

R0(t0) = Id

(3.65)

possède une solution et une seule. Cette solution est à chaque instant t une rotation et le mouvement Ψt:

(X,t) ∈ B × R 7→ φt(X0) + R0(t) ·−−−−−−−−−−→φt0(X0)φt0(X) (3.66)

est un mouvement de solide rigide qui coïncide avec φtt∈R à l’instant t0, dont le champ de vitesse Eulérienest donné par (3.64) et dans lequel la particule X0 occupe les mêmes positions que dans le mouvement φtt∈R.

Preuve: L’existence et l’unicité de la solution résulte du théorème de Cauchy-Lipschitz sur les équations différentielleslinéaires. Voyons que c’est bien une rotation.

1. C’est d’abord un endomorphisme orthogonal. En effet, on a:

R0 · dT R0

dt=T (

dR0

dt·T R0) =T ΩΩΩ0 = −ΩΩΩ0 = −dR0

dt·T R0

Donc:d

dt(R0 ·T R0) = 0

et comme en t = t0, on a R0 ·T R0 = Id, on en déduit que ∀t : R0 ·T R0 = Id.2. Examinons son déterminant. Soit B = (e1,e2,e3) une base orthonormée. On a, par définition:

det(R0) = detB(R0 · e1,R0 · e2,R0 · e3)

et, comme detB est une forme trilinéaire, en dérivant il vient:

d

dtdet(R0) = detB(ΩΩΩ0 · R0 · e1,R0 · e2,R0 · e3) + detB(R0 · e1,ΩΩΩ0 · R0 · e2,R0 · e3)

+ detB(R0 · e1,R0 · e2,ΩΩΩ0 · R0 · e3)

= det(R0)tr(ΩΩΩ0) = 0

Finalement, comme det(R0) vaut 1 à t0, il reste constamment égal à 1 et le résultat est établi.Examinons la vitesse Eulérienne. Si x = Ψt(X), en dérivant on a immédiatement:

∂Ψt(X)

∂t(X,t) = v(χt0 (x0,t),t) +

dR0

dt· −−−−−−−−−−−→φt0 (X0)φt0 (X) = v(χt0 (x0,t),t) + ΩΩΩ0(t) · −−−−−−−→χt0 (x0,t)x

et ce champ est donc bien le champ (3.64).

Notons que si φt est lui même un mouvement de solide rigide, il coïncide évidement avec Ψt. Notons quele mouvement Ψt dépend du choix du mouvement absolu φt mais que R0 ne dépend que du mouvement relatifχt0 et non pas du choix du mouvement absolu ayant χt0 comme mouvement relatif.

Voyons maintenant que la dérivée corotationnelle est bien une dérivée particulaire relativement à ce mou-vement. Pour voir cela, donnons nous comme précédemment un système de coordonnées matérielles (ξ1,ξ2,ξ3)sur un voisinage de la particule X0 ∈ B que l’on suit dans son mouvement. Soit (ξ1,ξ2,ξ3) les coordonnées


de X0 et soit (g1,g2,g3) la base locale en ce point. Le point x0 = φt0(X0) de Ωt0 a alors pour coordonnéesmatérielles le même triplet (ξ1,ξ2,ξ3). Notons (G1,G2,G3) la base de coordonnées locales en ce point x0 quiest donnée par:

Gi = F(t0,X0) · giOn va suivre cette base dans le mouvement de co-rotation. Posons alors:

Ei(t) = R0(t) · Gi

De sorte que la base (Ei) coïncide avec la base (Gi) à l’instant t0. On note comme d’habitude (E1,E2,E3) labase duale. Soit x la position à un instant quelconque t de la particule x0. Désignons par Aij les coefficientsde la matrice de A(x,t) sur la base (Ei). On a, par définition:

A(x,t) = AijEi ⊗ Ej = R0[AijGi ⊗ Gj ]TR0

Un calcul immédiat, donne:

D

DtA = R0[

D

DtAijGi ⊗ Gj ]TR0 + ΩΩΩ0 · A − A ·ΩΩΩ0

C’est à dire:DDtA =

D

DtAijEi ⊗ Ej

Finalement, on a tout simplement:

DDtA = R0 ·

D

Dt[TR0 · A · R0] ·T R0 (3.67)

Tout revient donc à considérer que l’on effectue la dérivée particulaire de A quand il est vu dans le mouvementde co-rotation.

L’opérateur DDt vérifie les propriétés suivantes:

1. L’opérateur DDt conserve la symétrie des endomorphismes.

2. Si A est un déviateur, alors DADt est un déviateur.

3. L’opérateur DDt est matériellement objectif.

4. L’opérateur DDt est une dérivation.

A noter que R0 n’est pas la rotation de la décomposition polaire du gradient relatif de déformation Ft0 .

3.4.2.2 Action d’un changement de référentiel

Considérons un mouvement φ et soit φ∗ le mouvement déduit par un changement de référentiel quelconque(T,Ψ). On peut se demander comment est modifié R0. De manière générale la partie antisymétrique du gradientde vitesse est transformée par:

ΩΩΩ∗(Ψ(t− T,x),t− T ) =d

dtQ(t− T ) ·T Q(t− T ) + Q(t− T ) ·ΩΩΩ(x,t) ·T Q(t− T )

Ainsi, ΩΩΩ0 est transformé en

ΩΩΩ∗0 =

dQ

dt·T Q + Q ·ΩΩΩ0 ·T Q

On doit donc rechercher R∗0 solution de:

dR∗0

dt= [

d

dtQ ·T Q + Q ·ΩΩΩ0 ·T Q] · R∗

0

R∗0(t0 − T ) = Id

(3.68)

On sait que la solution est une rotation. En multipliant à droite par la transposée, on a donc une équationéquivalente:

dR∗0

dt·T R∗

0 =d

dtQ ·T Q + Q ·ΩΩΩ0 ·T Q

R∗0(t0 − T ) = Id

(3.69)

Or, le membre de droite n’est rien d’autre que: ddt [Q ·R0] ·T [Q ·R0]. Comme il y unicité de la solution, on en

déduit que:R∗

0(t− T ) = Q(t− T ) · R0(t) ·T Q(t0 − T ) (3.70)

C’est à dire que tout revient à superposer à la co-rotation locale du mouvement absolu, caractérisée par R0,la rotation Q(t− T ) due au changement de référentiel.


3.4.2.3 Modèle de Maxwell corotationnel ou modèle ZFD

Considérons alors l’équation:

λDS

Dt + S = 2µD (3.71)

Il est facile d’établir la:

IProposition 3.6 Si le mouvement relatif χt0 est connu pour tout t ∈ R, alors l’équation (3.71) estrésoluble en S sur R. Si le fluide est incompressible, elle possède une solution qui est un déviateur et qui vérifiele principe d’objectivité matérielle. Cette solution est donnée l’instant t0 au point x0 par:

S(x0,t0) = 2µ

λ

∫ +∞

0

e−sλ [TR0(t0 − s) · D(χt0(x0,t0 − s),t0 − s) · R0(t0 − s)] ds (3.72)

où R0 est l’unique solution de (3.65).

Preuve: L’argument est analogue au cas du modèle différentiel sous convecté: il faut que la solution ne dépendent pasexplicitement de l’instant t où on la calcule mais uniquement de l’histoire de la déformation jusqu’à cet instant. Soit φ(t) unmouvement absolu ayant χt0 comme mouvement relatif. Fixons une particule X0 et posons x0 = φ(t,X0). On passe en coordonnéesLagrangiennes et on définit:

s(X0,t) =T R0(t) · S(φ(t,X0),t) · R0(t)

où R0 est l’unique solution de (3.65) (qui dépend de X0). D’après (3.67), l’équation est équivalente à:

∂

∂t[e

tλ s(X0,t)] = 2

µ

λ

T R0(t) · D(t,φ(t,X0)) · R0(t)etλ

dont la solution générale est:

s(X0,t) = A(X0)e−tλ + 2

µ

λ

∫ t

−∞

e−t−τ

λ T R0(τ) · D(φ(τ,X0),τ) · R0(τ)

où A(X) est constant. En revenant à S et en variables d’Euler on en déduit que S vérifie (3.71) si et seulement si il existe untenseur A(X0) défini sur la configuration de référence tel que:

S(x0,t) = [R0(t) · A(X0) ·T R0(t)]e−tλ + 2

µ

λR0(t) ·

∫ +∞

0e−

sλ [T R0(t− s) · D(χt0 (x0,t− s),t− s) · R0(t− s)] dsT R0(t)

ce qui prouve que l’équation est bien résoluble. Notons que, comme D est un déviateur - puisque le milieu est incompressible -et que les changements de base conservent la trace des matrices, le second terme (contenant l’intégrale) est un déviateur. Ainsi,pour que S soit un déviateur il faut et il suffit que A en soit un. Supposons donc que ce soit le cas.

On recherche alors une solution qui vérifie le principe d’objectivité matérielle. Effectuons un changement de référentiel carac-térisé par le mouvement rigidifiant:

Ψ(t)(X) = a(t) + Q(t) · −→Oxet la translation de l’origine des temps de T . Le mouvement déduit par changement de référentiel est:

φ∗(t∗) = Ψ(t∗) φ(t∗ + T )

La solution générale S∗ pour le mouvement φ∗, est d’après ce qui précède, au point x∗0 = Ψ(t∗)(x0) à l’instant t∗:

S∗(x∗0,t∗) = [R∗

0(t∗)·A∗(X0)·T R∗

0(t∗)]e−t∗

λ +2µ

λR∗

0(t∗)·∫ +∞

0e−

sλ [T R∗

0(t∗−s)·D∗(χt∗0(x∗0,t

∗−s),t∗−s)·R∗

0(t∗−s)] dsT R∗

0(t∗)

où A∗(X0) est un déviateur constant. Or, on a d’après (3.70) en t∗:

R∗

0(t∗) = Q(t∗) · R0(t∗ + T ) ·T Q(t∗0)

et, D∗ s’exprime en fonction de D par la relation, vraie pour tout t∗ et x∗ = Ψ(t∗)(x):

D∗(χt∗0(x∗,t∗),t∗) = D∗(t∗,Ψ(t∗,x)) = Q(t∗) · D(x,t∗ + T ) ·T Q(t∗)

Pour t∗ = t− T et x0 ∈ Ωt on a donc:

S∗(x∗0,t− T ) = Q(t− T ) · [R0(t) · ( T Q(t0 − T ) · A∗(X0) · Q(t0 − T )eTλ ) ·T R0(t)] ·T Q(t− T )]e−

tλ

+ Q(t− T ) ·[2µ

λR0(t) ·

∫ +∞

0e−


]·T Q(t− T )

Si S est le déviateur des contraintes, on doit avoir pour tout changement de référentiel (T,Ψ):

S∗(x∗0,t− T ) = Q(t− T ) · S(x0,t) ·T Q(t− T )

On voit que la partie intégrale est bien invariante par changement de référentiel mais qu’il faut imposer une loi de transformationau déviateur A(X0). Plus précisément, on doit imposer:

A(X0) = T Q(t0 − T ) · A∗(X0) · Q(t0 − T )eTλ


Si on prend alors comme changement de référentiel une simple translation de l’origine des temps de T on voit que A(X0) dépenddu choix de l’origine des temps, ce qui est contradictoire avec le principe d’indifférence matérielle. On doit donc choisir A(X0) = 0.La solution "objective" est donc donnée par:

S(x0,t) = 2µ

λR0(t) ·

∫ +∞

0e−


qui donne (3.72) en t = t0.

On déduit de la proposition précédente que les relations:

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + τττ(x,t)

λDτττDt + τττ = 2µD

(3.73)

dans laquelle τττ est le déviateur des contraintes (et donc p est bien la pression, contrairement au cas des modèlescodéformationnels), définissent univoquement une loi rhéologique objective pour un fluide incompressible. Laloi (3.73) est appelée "modèle différentiel de Maxwell corotationnel" ou encore modèle de Zarembas-Fromm-DeWitt du nom des auteurs qui l’ont introduit (Zarembas: 1903, Fromm: 1948, DeWitt: 1955).

Si le fluide a, de plus, une viscosité Newtonnienne, on obtient un modèle de type Jeffrey corotationnel enajoutant un terme visqueux:

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id + 2µ(N)D(x,t) + τττ (e)

λDτττ (e)

Dt + τττ (e) = 2µD(3.74)

On peut, bien sûr, omettre les indices 0 et définir le mouvement de co-rotation associé à un point x et à uninstant t quelconque. Ainsi, si x est la position d’une particule à l’instant t et si on désigne par Rt l’uniquesolution de l’équation différentielle (3.65), qui devient:

d

dτRt(τ) = ΩΩΩ(χt(x,τ),τ) · Rt(τ)

Rt(t) = Id

(3.75)

on peut alors introduire le tenseur:

D∗(x,t,τ) =T Rt(τ) · D(χt(x,τ),τ) · Rt(τ) (3.76)

qui est appelé tenseur des taux de déformation corotationnel relativement à (x,t). Il a une interprétationgéométrique simple: c’est tout simplement le taux de déformation au point occupé par la particule X à l’instantτ vu par un observateur mobile dans le mouvement de co-rotation locale au voisinage de cette particule.

Notons que l’application: τ ∈] −∞,t] 7→ D∗(x,t,τ) est complètement déterminée par la donnée de l’appli-cation: τ ∈] −∞,t] 7→ Ft(x,τ). En effet, on a :

∇∇∇v(χt(x,τ),τ) = ∇∇∇Vt(x,τ) · F−1t (x,τ) =

∂Ft∂τ

(x,τ) · F−1t (x,τ)

et donc:

ΩΩΩ(χt(x,τ),τ) =1

2[∂Ft∂τ

(x,τ) · F−1t (x,τ) −T F−1

t (x,τ) · ∂TFt

∂τ(x,τ)]

Par suite, la solution de l’EDO (3.75) ne dépend que de l’application τ 7→ Ft(x,τ), de même donc que D∗, etnon pas du choix du mouvement absolu ayant Ft(τ) comme tenseur de déformation relatif.

Le déviateur des contraintes du modèle ZFD est alors donné par:

τττ(x,t) = 2µ

λ

∫ +∞

0

e−sλ D∗(x,t,t− s) ds (3.77)

Ce qui est exactement l’analogue de l’expression intégrale des modèles de Maxwell sur ou sous convectés aprèsintégration par parties et cette relation vérifie le principe d’objectivité matérielle comme on l’a vu.

3.5. MODÈLE DE GODDARD-MILLER 105

3.4.3 Résumé des modèles différentiels linéaires objectifs de fluides incompres-sibles

3.4.3.1 Modèles de type Maxwell

Ils sont tous de la forme: σσσ = −pId + S avec:

λδS

δt+ S = 2µD Maxwell A

λ∆S

∆t+ S = 2µD Maxwell B

λDS

Dt + S = 2µD ZFD

(3.78)

et, dans le cas du modèle corotationnel p est la pression. Avec:

δ

δt: A 7−→ δA

δt=

D

DtA +T L · A + A · L Dérivée sous-convectée

∆

∆t: A 7−→ ∆A

∆t=

D

DtA − L · A − A ·T L Dérivée sur-convectée

DDt : A 7−→ DA

Dt =1

2[∆A

∆t+δA

δt] =

DA

Dt+ A ·ΩΩΩ −ΩΩΩ · A Dérivée co-rotationnelle

(3.79)

Pour utiliser l’un ou l’autre de ces modèles dans les problèmes instationnaires à condition initiale, il fautimposer une condition initiale à S qui soit cohérente avec la forme intégrale de la solution objective cherchéede manière à "sélectionner" l’unique solution S qui ne dépend pas explicitement du temps.

3.4.3.2 Modèles de type Oldroyd

Ils sont tous de la forme: σσσ = −pId + 2µ(N)D + S(e) avec:

λδS(e)

δt+ S(e) = 2µD Oldroyd A

λ∆S(e)

∆t+ S(e) = 2µD Oldroyd B

λDS(e)

Dt + S(e) = 2µD Jeffrey Corotationnel

(3.80)

et, dans le cas du modèle corotationnel p est la pression. Le modèle de Jeffrey corotationnel se met aussi sousla forme:


λ1DS

Dt + S = 2µ[D + λ2DD

Dt ](3.81)

où λ1 et λ2 sont les temps caractéristiques déjà introduits pour les modèles A et B. Pour que la fonction decisaillement du modèle soit monotone il faut imposer aux temps λ1 et λ2 la relation λ2/λ1 > 1/9.

3.5 Modèle intégral corotationnel linéaire: le modèle de Goddard-Miller

Comme on l’a déjà dit, la plupart des fluides viscoélastiques ont un spectre de temps de relaxation. Lemodèle différentiel de Maxwell corotationnel doit donc être corrigé pour tenir compte du module de relaxationexpérimental. On peut alors, par exemple, généraliser l’expression intégrale (3.77) en y remplaçant la fonctionde relaxation de Maxwell par la fonction de relaxation du fluide en petites perturbations. Le modèle suivantqui en résulte est appelé modèle de Goddard-Miller du nom des auteurs qui l’ont introduit les premiers (1966):


∫ +∞

0

G(s)D∗(x,t,t− s) ds (3.82)

A titre d’exercice, on pourra:1. Vérifier, en étudiant une expérience de fluage, que la fonction G du modèle de Goddard-Miller est bien

la fonction de relaxation du fluide.


2. Vérifier que la fonction de cisaillement et la première différence normale sont liées et que les fonctionsviscométriques d’un modèle de Goddard-Miller vérifient 2N2 = −N1. En conséquence ce type de modèlene permet pas de prévoir correctement l’effet Weissenberg.

3. Etablir, pour le modèle de Goddard-Miller, les relations:

G(s) =2

π

∫ +∞

0

µ(γ) cos(γs) dγ (s ≥ 0)

G(s) =1

π

∫ +∞

0

γΨ1(γ) sin(γs) dγ (s > 0)

Indication: utiliser la transformée de Fourier.

4. Vérifier qu’en mouvement infiniment lent le modèle de Goddard-Miller est équivalent, à l’ordre principal,à un modèle infinitésimal intégral classique.

En pratique on peut donc utiliser pour approcher G les expressions de type Maxwell généralisée déjàsignalées.

3.6 Modèles différentiels corotationnel non linéaires: le modèle d’Ol-droyd à 8 constantes

En fait, on ne peut pas correctement rendre compte des effets non linéaires, et en particulier des effets decontraintes normales, en conservant un modèle corotationnel linéaire intégral ou différentiel. Les rhéologuesont donc cherché à corriger ces modèles par des termes non linéaires par rapport à la déformation. Comme ladérivée corotationnelle est une vraie dérivation, le plus simple est de généraliser le modèle différentiel en uneéquation résolue en la dérivée, de la forme:

DS

Dt = f(S,D)

Une telle équation sera acceptable comme loi rhéologique, sous réserve que les termes ajoutés soient "objectifs":Comme S,D le sont, il faut que f soit isotrope par rapport à ses arguments. Le plus simple est donc unpolynôme de degré 2 en S,D qui ne contient pas de terme en S2 (sinon un résultat classique sur les EDOmontre qu’il apparaît une singularité en temps fini de sorte que la solution n’est pas définie sur tout R). Lemodèle le plus général d’ordre 2 préservant l’isotropie a été proposé par Oldroyd en 1958. Il est de la forme:σσσ = −pId + 2µ(N)D + S(e) avec:

(Oldroyd 8 Cstes)

λDS(e)

Dt + S(e) + η0tr(S(e))D

− η1[S(e) · D + D · S(e)] + ν1(S

(e) : D)Id

= 2µ0[D − η2D2 + ν2(D : D)Id]

(3.83)

On notera que p n’est plus la pression. Il y a lieu d’imposer des restrictions sur les coefficients pour assurer lamonotonie de la fonction de cisaillement. On consultera le livre de R.B. Bird et Alii[6] pour plus de détails.On y trouvera également des expressions des fonctions viscométriques pour certains cas particuliers (modèlesà 6 (ν1 = ν2 = 0), 4 ou 3 constantes) ainsi que l’étude de quelques écoulements.

3.7 Modèles intégraux non linéaires corotationnels.

Introduisons le tenseur des déformations corotationnelles définis à partir de D∗ par:

C∗t (x,τ) = Id + 2

∫ τ

t

D∗(x,t,u) du (3.84)

En intégrant par parties dans le modèle de Goddard-Miller, il vient:

2

∫ +∞

0

G(s)D∗(x,t,t− s) ds = − lims→+∞

G(s)C∗(x,t,t− s) +

∫ +∞

0

m(s)C∗t (x,t− s) ds

3.8. FONCTIONS VISCOMÉTRIQUES 107

où m est la fonction mémoire. On peut admettre que la fonction de relaxation G décroit assez rapidement àl’infini pour que, sur les mouvements qui nous intéressent, la limite dans le membre de droite soit nulle. Ainsi,le modèle de Goddard-Miller se met sous la forme:


∫ +∞

0

m(s)C∗t (x,t− s) ds (3.85)

qui est formellement analogue aux modèles de viscolélasticité linéaire finie. On est alors conduit à développerune théorie co-rotationnelle de fluides simples à mémoire evanescente.

On notera que C∗t est complètement déterminé par la donnée du gradient de déformation relatif τ 7→ Ft(x,τ)

à tout instant dans le passé puisque D∗ l’est. Ainsi, une relation fonctionnelle de la forme:

τττ(x,t) = Js≥0

(C∗t (x,t− s))

définie bien une loi rhéologique sous réserve de vérifier le principe d’objectivité matérielle. On notera, alors, queC∗t a la même loi de transformation par changement de référentiel que Ct. Plus précisément, si on considére

un changement de référentiel avec t = T dont la transformation orthogonale à l’instant 0 est Q, on a:

C∗t −→ Q · C∗

t ·T Q

qui est exactement la régle de transformation de Ct et de C−1t . Par conséquent, une théorie de fluide simple à

méméoire evanescente développée à partir du tenseur C∗t sera rigoureusement analogue à la théorie de mémoire

evanescente de Colemann et Noll que nous avons présentée. En particulier, si on approche la fonctionnelle Js≥0

par son développement limité à l’ordre n on obtiendra un développement intégral rigoureusement analogue à(3.35) en y remplaçant le tenseur de Cauchy (noté G dans (3.35)) par le tenseur corotationnel C∗

t . Ces modèlessont alors qualifiés de développement intégraux corotationnels 13.

On peut également introduire des non linéarités en demandant, comme pour les modèles intégraux co-déformationnels, que la fonction de relaxation dépendent du tenseur D∗. L’isotropie impose de ne choisirune dépendance que des invariants scalaires. Notons que D∗(x,t,τ) et D(χt(x,τ),τ) ont les mêmes invariants,II = 1/2γ2 et III (I = 0). On rencontrera donc, par exemple, des modèles de la forme (voir [6] par exemple):


∫ +∞

0

G(s,γ(χt(x,s),s))D∗(x,t,t− s) ds (3.86)

Enfin, citons le modèle de LeRoy-Pierrard 14 qui généralise le modèle précédent:

σσσ(x,t) = − p(x,t)Id + 2

∫ +∞

0

[G1(s,II(χt(x,s),s),III(χt(x,s),s))D∗(x,t,t− s)

+G2(s,II(χt(x,s),s),III(χt(x,s),s))D∗(x,t,t− s) · D∗(x,t,t− s)] ds

(3.87)

On voit que le choix des possibilités est assez vaste....Notons toutefois que, comme les modèles de type Goddard-Miller capturent déjà qualitativement la plupart des non linéarités (contrairement aux modèles codéformation-nels "linéaires": voir le paragraphe suivant) on peut penser que les modèles corotationnels non linéaires sont debons candidats à des modèles rhéologiques quantitativement acceptables. Malheureusement, ils sont très com-pliqués à mettre en oeuvre en dehors des situations simples des écoulements unidirectionnels où l’on connaîtla cinématique.

3.8 Les fonctions viscométriques des modèles de viscoélasticité li-néaire finie de fluides incompressibles

Pour déterminer les fonctions viscométriques des modèles objectifs linéaires, il suffit de se placer en cisaille-ment simple, puisque ces fonctions sont universelles. Dans une base orthonormée B = (e1,e2,e3), la vitesseEulérienne en un point x à l’instant t est:

v(x,t) = χx2e1

13 Dans [6], le développement est intégré par parties pour utiliser uniquement le tenseur 2D∗ qui est noté dans cette référence ΓΓΓ.Toutefois, on fera attention aux signes: [6] considère que les forces de contact sont exercées par le fluide sur l’extérieur et le signedu tenseur des contraintes est inversé. 14 Rheologica Acta, vol. 12, pp 449-454, (1973).


où χ = cste est le taux de cisaillement algébrique de l’écoulement. On a donc:

∀s ∈ R : Ft(x,t− s) = Id − sM

où M est l’endomorphisme nilpotent dont la matrice sur la base B est:

[M]B =

0 χ 00 0 00 0 0

Il vient,:

∀s ∈ R : Ct(x,t− s) = TFt(x,t− s) · Ft(x,t− s) = Id − s[M +T M] + s2 TM · MPar ailleurs, comme M2 = 0, on a:

∀s ∈ R : (Ft(x,t− s))−1 = Id + sM

d’où:∀s ∈ R : Ct(x,t− s)−1 = Id + s[M +T M] + s2M ·T M

Les diverses matrices utiles sont:

[M +T M]B =

0 χ 0χ 0 00 0 0

[ TM · M]B =

0 0 00 χ2 00 0 0

[M ·T M]B =

χ2 0 00 0 00 0 0

3.8.1 Modèle intégral sous-convecté

Pour le modèle de type Maxwell, on a:

σσσ(x,t) = −pId +

∫ +∞

0

m(s)[Id − s(M +T M) + s2 TM · M] ds

D’où:

τ(χ) = σ12 = −χ∫ +∞

0

sm(s) ds

N1(χ) = σ11 − σ22 = −χ2

∫ +∞

0

s2m(s) ds

N2(χ) = σ22 − σ33 = χ2

∫ +∞

0

s2m(s) ds

On intégre par parties, et comme m est une primitive de la fonction de relaxation, il vient:

µ(χ) =τ(χ)

χ=

∫ +∞

0

G(s) ds

Ψ1(χ) =N1(χ)

χ2= 2

∫ +∞

0

sG(s) ds

Ψ2(χ) =N2(χ)

χ2= −2

∫ +∞

0

sG(s) ds

(Maxwell)

Comme la fonction de relaxation est positive, on voit que le modèle prévoit une première différence normalepositive, ce qui est en accord avec les résultats expérimentaux. Il prévoit une seconde différence normaleN2 = −N1 négative, ce qui est encore expérimentalement correct mais il surestime |N2| par rapport auxrésultats expérimentaux usuels pour les polymères en solution car |N2| est en général petit devant N1. Enparticulier, il ne prévoit pas correctement l’effet Weissenberg puisque N1 + 4N2 < 0.

Pour un modèle de type Oldroyd, seul la fonction de cisaillement est modifiée:

µ(χ) =

∫ +∞

0

G(s) ds+ µN

Ψ1(χ) = 2

∫ +∞

0

sG(s) ds

Ψ2(χ) = −2

∫ +∞

0

sG(s) ds

(Oldroyd)


3.8.2 Modèle intégral sur-convecté


σσσ(x,t) = −pId −∫ +∞

0

m(s)[Id + s(M +T M) + s2M ·T M] ds

et il vient:

τ(χ) = σ12 = −χ∫ +∞

0

sm(s) ds

N1(χ) = σ11 − σ22 = −χ2

∫ +∞

0

s2m(s) ds

N2(χ) = σ22 − σ33 = 0

et donc:

µ(χ) =

∫ +∞

0

G(s) ds

Ψ1(χ) = 2

∫ +∞

0

sG(s) ds

Ψ2(χ) = 0

(Maxwell)

et:

µ(χ) =

∫ +∞

0

G(s) ds+ µN

Ψ1(χ) = 2

∫ +∞

0

sG(s) ds

Ψ2(χ) = 0

(Oldroyd)

Le modèle prévoit une seconde différence normale nulle, ce qui est approximativement acceptable pour denombreux polymères en solution. Le modèle surconvecté prévoit l’effet Weissenberg. C’est ce qui fait dire,dans la littérature, que les modèles surconvectés sont préférables aux modèles sous convectés.

3.8.3 Modèle intégral mixte


σσσ(x,t) = −pId +

∫ +∞

0

m(s)[(1 + 2ε)Id − s(M +T M) + s2(1 + ε)TM · M + εM ·T M] ds

D’où:

τ(χ) = −χ∫ +∞

0

sm(s) ds

N1(χ) = −χ2

∫ +∞

0

s2m(s) ds

N2(χ) = (1 + ε)χ2

∫ +∞

0

s2m(s) ds

et donc:

µ(χ) =

∫ +∞

0

G(s) ds

Ψ1(χ) = 2

∫ +∞

0

sG(s) ds

Ψ2(χ) = −2(1 + ε)

∫ +∞

0

sG(s) ds

(Maxwell)


et:

µ(χ) =

∫ +∞

0

G(s) ds+ µN

Ψ1(χ) = 2

∫ +∞

0

sG(s) ds

Ψ2(χ) = −2(1 + ε)

∫ +∞

0

sG(s) ds

(Oldroyd)

Pour prévoir l’effet Weissenberg, il faut choisir ε < −3/4.

3.8.4 Modèle intégral corotationnel de Goddard-Miller

Il nous faut d’abord calculer la rotation Rt(τ). C’est la solution de l’équation différentielle (3.75):

d

dτRt(τ) = ΩΩΩ(χt(x,τ),τ) · Rt(τ)

Rt(t) = Id

Pour l’écoulement de cisaillement simple, les tenseurs ΩΩΩ(χt(x,τ),τ) = ΩΩΩ et D(χt(x,τ),τ) = D sont constants,et leurs matrices sur B sont:

[ΩΩΩ]B =1

2

0 χ 0−χ 0 00 0 0

[D]B =

1

2

0 χ 0χ 0 00 0 0

Introduisons le vecteur rotation ωωω = − 12χe3. On a, par construction, pour tout vecteur u de E: ΩΩΩ · u = ωωω ∧ u.

En conséquence, Rt(τ) est la rotation d’angle − 12χ(τ − t) autour de e3. On en déduit immédiatement D∗:

[D∗(x,t,τ)]B = [TRt(τ) · D · Rt(τ)]B =1

2χ

− sin(χ(τ − t)) cos(χ(τ − t)) 0cos(χ(τ − t)) sin(χ(τ − t)) 0

0 0 0

Le déviateur des contraintes est donné d’après (3.82) par:

τττ(x,t) = 2

∫ +∞

0

G(s)D∗(x,t,t− s) ds

On en déduit:

τ(χ) = χ

∫ +∞

0

G(s) cos(χs) ds

N1(χ) = 2χ

∫ +∞

0

G(s) sin(χs) ds

N2(χ) = −χ∫ +∞

0

G(s) sin(χs) ds ds

(Goddard-Miller)

On notera que la fonction de cisaillement est non linéaire et n’est donc pas Newtonienne, contrairement au casdes modèles sur et sous convectés de même fonction de relaxation.

On voit également que N1 = −2N2 et que, par suite, le modèle ne prévoira à priori pas correctement l’effetWeissenberg. On voit également que 2µ(χ) = 2τ(χ)/χ n’est rien d’autre que la transformée de Fourier de lasymétrisée de la fonction de relaxation G, c’est à dire de la fonction paire égale à G sur [0,+∞[. De la mêmemanière, la fonction −iN1(χ)/χ = −iχΨ1(χ) est la transformée de Fourier de la fonction discontinue en 0,égale à G sur [0,+ ∞[ et à −G(−t) sur ] −∞,0[. En conséquence, par transformée inverse, on a:

G(s) =2

π

∫ +∞

0

µ(γ) cos(γs) dγ (s ≥ 0)

G(s) =1

π

∫ +∞

0

γΨ1(γs) sin(γ) dγ (s > 0)

ce qui prouve que la viscosité apparente et la première différence normale ne sont pas des fonctions indépen-dantes.


3.8.5 Notes.

Pour un même fluide, et donc pour une même fonction de relaxation, tous les modèles intégraux de vis-coélasticité linéaire finie co-déformationnels prévoient la même fonction de cisaillement Newtonienne et la lamême première différence normale qui est positive et égale au premier moment de la fonction de relaxation.Ils ne différent, pour les écoulements viscométriques, que par l’expression de la seconde différence normale.

Pour une même fonction de relaxation et donc pour un même fluide, comme le modèle sur-convecté prévoitl’effet Weissenberg, contrairement au modèle sous-convecté, dans la littérature on considère en général queparmi les modèles codéformationnels, les modèles surconvectés sont préférables aux modèles sous convectés.En réalité, comme on l’a déjà dit, estimer les différences normales avec les modèles de viscoélasticité linéairefinie n’est pas cohérent avec l’ordre d’approximation de la fonctionnelle mémoire par ces modèles quels qu’ilssoient. En effet, on sait que ces modèles représentent le premier terme d’un développement limité à l’ordre 1au voisinage du repos en le tenseur de Cauchy. Or, comme les différentes normales sont quadratiques en tauxde cisaillement, les termes négligés dans la fonctionnelle mémoire en écoulement viscométrique sont d’ordre2 en taux de cisaillement. Autrement dit, on est en train de calculer des termes qui sont du même ordreque les termes négligés. Par conséquent, pour ce qui concerne les différences normales il faudrait en principetenir compte des termes d’ordre suivant dans la fonctionnelle mémoire. Autrement dit, il faudrait utiliser desmodèles non linéaires. Ainsi:

1. Si, pour des raisons de simplicité, on préfère garder un modèle linéaire en le tenseur de Cauchy, onpréférera un modèle surconvecté à un modèle sous convecté.

2. Si on veut cependant prendre le plus correctement possible en compte les différences normales on utiliseraun modèle non linéaire en corrigeant la fonction de relaxation pour les "forts" taux de cisaillement.On pourra par exemple utiliser un noyau de type "Bird-Carreau" qui "fitte" assez bien les donnéesexpérimentales pour de nombreux polymères fondus ou en solutions concentrées.Il n’y a alors pas de raisons théoriques de préférer un modèle sur-convecté.

Le modèle co-rotationnel prévoit une viscosité non Newtonienne, c’est ce qui fait dire à certains auteursque les modèles corotationnels seraient préférables aux modèles codéformationnels. En réalité, pour les mêmesraisons que ci-dessus, il faut corriger la fonction de relaxation pour tenir compte des effets non linéaires,d’ailleurs le modèle linéaire ne prévoit pas correctement l’effet Weissenberg, de plus la fonction de cisaillementn’est pas nécessairement monotone et il faut ajouter une viscosité Newtonienne. En effet, on a:

τ ′(χ) =

∫ +∞

0

G(s)(cos(χs) − χ2 sin(χs)) ds

qui est bien positif au voisinage de χ = 0 mais qui n’est pas nécessairement de signe constant pour tout χ(voir le paragraphe suivant par exemple).

3.9 Les fonctions viscométriques des modèles différentiels linéairesobjectifs de fluides incompressibles

3.9.1 Expressions directes.

On peut obtenir les expressions des fonctions viscométriques directement en prenant, dans les expressionsgénérales précédentes pour les modèles intégraux, la fonction G égale à la fonction de relaxation de Maxwell,c’est à dire:

G(s) =µ

λe−

sλ

On ne donnera que les fonctions des modèles de type Maxwell, celles pour les modèles de type Oldroyd sontidentiques sauf la viscosité apparente à laquelle il faut ajouter la viscosité Newtonienne. Il vient:

1. Modèle Maxwell A

λδS

δt+ S = 2µD

et:

µ(χ) =τ(χ)

χ= µ Ψ1(χ) =

N1(χ)

χ2= 2λµ Ψ2(χ) =

N2(χ)

χ2= −2λµ


2. Modèle Maxwell B

λ∆S

∆t+ S = 2µD

et:

µ(χ) =τ(χ)

χ= µ Ψ1(χ) =

N1(χ)

χ2= 2λµ Ψ2(χ) =

N2(χ)

χ2= 0

3. Modèle ZFD

λDS

Dt + S = 2µD

et:

τ(χ) =µχ

1 + λ2χ2N1(χ) =

2µλχ2

1 + λ2χ2N2(χ) = − µλχ2

1 + λ2χ2

Note La fonction de cisaillement du modèle ZFD n’est pas monotone puisque:

τ ′(χ) =µ

(1 + λ2χ2)2(1 − λ2χ2)

en particulier elle décroît pour χ > 1/λ. Le modèle n’est donc pas physiquement très acceptable et va conduireà une perte d’unicité de la solution en écoulement de Couette plan. C’est pourquoi en général on utiliseraplutôt un modèle de type "Oldroyd" en ajoutant un terme dissipatif Newtonien. La fonction de cisaillementest alors:

τ(χ) =µEχ

1 + λ2χ2+ µNχ

et il faut vérifier la condition µE < 8µN pour assurer la monotonie de la fonction de cisaillement ce qui setraduit par la condition λ2/λ1 > 1/9 sur les temps caractéristiques.

3.9.2 Calcul à partir de la loi différentielle.

On examinera uniquement le cas du modèle ZFD, les autres se traitent de manière similaire. On se placeen écoulement de cisaillement simple. On part de la loi différentielle:

σσσ = −pId + S

λDS

Dt + S = 2µD

On sait que S est ici le déviateur des contraintes. Il est donc symétrique de trace nulle. De plus, dans un écou-lement stationnaire on sait que le déviateur des contraintes d’un fluide simple incompressible est stationnaire.On recherche donc une solution stationnaire. Dans ces conditions il reste:

DS

Dt = ∇∇∇S · v + S ·ΩΩΩ −ΩΩΩ · S

Pour l’écoulement viscométrique d’un fluide simple, on a:

[S]B =

S11 S12 0S12 S22 00 0 S33

=

2N1+N2

3 τ 0τ N2−N1

3 00 0 − 2N2+N1

3

Par conséquent, comme χ est constant dans l’écoulement de cisaillement simple, on a ∇∇∇S · v = 0 et il resteseulement à résoudre l’équation:

λ(S ·ΩΩΩ −ΩΩΩ · S) + S = 2µD

Ce qui s’écrit:

λχ

2(

−S12 S11 0−S22 S12 0

0 0 0

−

S12 S22 0−S11 −S12 0

0 0 0

) +

S11 S12 0S12 S22 00 0 S33

= µχ

0 1 01 0 00 0 0


Ce qui est équivalent au système de quatre équations:

S11 − λχS12 = 0

S22 + λχS12 = 0

S33 = 0

S12 +λχ

2(S11 − S22) = µχ

qui se résout en:

S12 =µχ

1 + λ2χ2

S11 =λµχ2

1 + λ2χ2

S22 = − λµχ2

1 + λ2χ2

S33 = 0

et on retrouve les expressions des fonctions viscométriques du modèle ZFD obtenues directement à partir del’expression intégrale du déviateur des contraintes.


115

Chapitre 4

Fluides de Grade n

4.1 Tenseurs de Rivlin-Ericksen

Soit t un instant et χt le mouvement relatif d’un mouvement de milieu continu que l’on suppose de classe C∞

sur Ωt× I où I est un intervalle ouvert contenant t. Considérons un point x ∈ Ωt. Le tenseur des déformationsde Cauchy, Ct(x,t− s) = G(s), admet à tout ordre un développement limité par rapport à s donné par:

Ct(x,t− s) = Id − s∂

∂τCt(x,τ)|τ=t + · · · + (−1)n

n!

∂n

∂τnCt(x,τ)|τ=t + o(sn)

Par définition, on appelle tenseurs de Rivlin-Ericksen sous-convectés les champs d’endomorphismes:

A(n)(x,t) =∂n

∂τnCt(x,τ)|τ=t = (−1)nG(n)(0)

De la même manière, on appelle tenseurs de Rivlin-Ericksen sur-convectés les champs d’endomorphismes:

A(n)(x,t) =∂n

∂τnC−1t (x,τ)|τ=t = (−1)n[G−1](n)(0)

et tenseurs de Rivlin-Ericksen corotationnels les champs d’endomorphismes:

A∗(n)(x,t) =

∂n

∂τnC∗t (x,τ)|τ=t

De sorte que l’on a, à tout ordre n:

C−1t (x,t− s) =

n∑

i=0

(−s)kk!

A(k)(x,t) + o(sn) C∗t (x,t− s) =

n∑

i=0

(−s)kk!

A∗(k)(x,t) + o(sn)

On notera que les tenseurs de Rivlin-Ericksen sont tous symétriques puisque Ct l’est.

IProposition 4.1 On a:

A(0) = A(0) = A∗(0) = Id

A(1) = −A(1) = A∗(1) = 2D

(4.1)

Les tenseurs de Rivlin-Ericksen vérifient les relations de récurrence:

A(0) = Id n ≥ 0 : A(n+1) =δ

δtA(n)

A(0) = Id n ≥ 0 : A(n+1) =∆

∆tA(n)

A(0) = Id A∗(1) = 2D n ≥ 1 : A∗

(n+1) =DDtA

∗(n)

(4.2)

116 CHAPITRE 4. FLUIDES DE GRADE N

Preuve:1. Cas sous-convecté. On a évidement A(0) = Id et:

A(1) =∂

∂τ[T Ft(x,τ) · F(x,τ)]|t=τ = [T

∂

∂τFt(x,τ) +

∂

∂τFt(x,τ)|t=τ = 2D(x,t) =

δ

δtId

Pour obtenir la formule de récurrence, passons en variables Lagrangiennes absolues. On a par composition des dérivations:

Ct(x,τ) =T F−1(X,t) · [T F(X,τ) · F(X,τ)] · F−1(X,t)

D’où:

A(n)(x,t) =T F−1(X,t) · ∂n

∂τn[T F(X,τ) · F(X,τ)]|τ=t · F−1(X,t)

La dérivée particulaire est la dérivée partielle en t du membre de droite et donc:

D

DtA(n)(x,t) =T ∂

∂tF−1(X,t) · ∂

n

∂τn[T F(X,τ) · F(X,τ)]|τ=t · F−1(X,t)

+T F−1(X,t) · ∂n

∂τn[T F(X,τ) · F(X,τ)]|τ=t ·

∂

∂tF−1(X,t) + A(n+1)(x,t)

Et, comme:

F(X,t) · ∂∂t

F−1(X,t) = − ∂

∂tF(X,t) · F−1(X,t) = ∇∇∇v(x,t)

Il vient finalement:D

DtA(n)(x,t) = −T ∇∇∇v(x,t) · A(n)(x,t) − A(n)(x,t) · ∇∇∇v(x,t) + A(n+1)(x,t)

C’est à dire: A(n+1) =δ

δtA(n)

2. Cas sur-convecté. Idem.3. Cas co-rotationnel. Par construction de C∗

t (c.f. (3.84)) on a: évidement: C∗

t (x,t) = Id et ∂∂τ

C∗

t (x,τ) = 2D∗(x,t,τ) oùD∗ est donné par la relation:

D∗(x,t,τ) =T R(τ) · D(χt(x,τ),τ) · R(τ)

R étant l’unique solution de l’équation différentielle (3.75):

d

dτR(τ) = ΩΩΩ(χt(x,τ),τ) · R(τ)

R(t) = Id

(4.3)

On a donc bien A∗

1(x,t) = ∂∂τ

C∗

t (x,τ)|t=τ = 2D(x,t). Établissons alors la relation de récurrence. Pour cela on a besoin dedéterminer la dérivée particulaire de R. On passe encore en coordonnées Lagrangiennes absolues. R étant l’unique solutionde l’équation différentielle :

d

dτR(τ) = ΩΩΩ(φ(X,τ),τ) · R(τ)

R(t) = Id

(4.4)

il ne dépend donc de t que par la condition initiale. Notons alors Rt la solution de cette équation. Or, du fait de l’unicitéde la solution, la solution de l’équation:

d

dτR(τ) = ΩΩΩ(φ(X,τ),τ) · R(τ)

R(t+ dt) = Id

(4.5)

est Rt+dt(τ) = Rt(τ) ·t Rt(t+ dt) et donc:

D

DtRt(τ) = Rt(τ) ·T [ lim

dt→0

Rt(t+ dt) − Rt(t)

dt] = Rt(τ) ·T

d

dτRt(τ)|τ=t = −Rt(τ) ·ΩΩΩ(x,t) (4.6)

Finalement, on a:D

DtRt(τ) = −Rt(τ) ·ΩΩΩ(x,t)

D

Dt

T

Rt(τ) = ΩΩΩ(x,t) ·T Rt(τ) (4.7)

Pour n ≥ 1, on a: A∗

n(x,t) = ∂n

∂τn D∗(x,t,τ)|t=τ , c’est à dire:

A∗

n(x,t) =∂n

∂τn[T Rt(τ) · D(φ(X,τ),τ) · Rt(τ)]|t=τ

D’où, par composition des dérivations:

D

DtA∗

n(x,t) =[∂

∂τ[∂n

∂τn[T Rt(τ) · D(φ(X,τ),τ) · Rt(τ)]]|τ=t

+ [∂n

∂τn[∂

∂t[T Rt(τ) · D(φ(X,τ),τ) · Rt(τ)]]|τ=t

Soit:D

DtA∗

n(x,t) =A∗

n+1(x,t) +∂n

∂τn[ΩΩΩ(x,t) ·T Rt(τ) · D(φ(X,τ),τ) · Rt(τ)

−T Rt(τ) · D(φ(X,τ),τ) · Rt(τ) · Ω(x,t)]|τ=t

=A∗

n+1(x,t) + ΩΩΩ(x,t) · A∗

n(x,t) − A∗

n(x,t) ·ΩΩΩ(x,t)

et finalement:

A∗

n+1(x,t) =DDtA

∗

n(x,t)

4.2. RETARDATION. 117

La proposition montre que les relations de récurrence (4.2) définissent univoquement les tenseurs de Rivlin-Ericksen en fonction du champ de vitesses Eulérien v dès que celui-ci est connu au voisinage du point (x,t) etce puisque les opérateurs ne font intervenir que la vitesse Eulèrienne. Ainsi, on peut considérer les applications:

v 7−→ An[v],An[v],A∗n[v] (4.8)

qui à tout champ v ce classe C∞ sur un ouvert U de E × R associent les tenseurs de Rivlin-Ericksen définispar les relations de récurrence (4.2).

4.2 Retardation.

Soit χt le mouvement relatif d’un mouvement de milieu continu, φ, défini sur Ωt×R et ε > 0 un paramètre.On appelle retardation de paramètre ε (ou tout simplement retardation) du mouvement χt au voisinage de t

l’application χ(ε)t :

∀s ∈ R,∀x ∈ Ωt : χ(ε)t (x,t+ s) = χt(x,t+ εs)

C’est évidement le mouvement relatif du mouvement (τ,X) ∈ R×B 7→ φ(t+ ε(τ − t),X) dont l’interprétationest simple; on a dilaté les durées au voisinage de t. Notons que la vitesse Lagrangienne v(ε) du mouvementχ

(ε)t est liée à celle du mouvement non retardé par:

v(ε)t (x,t+ s) = εvt(x,t+ εs) (4.9)

De sorte que l’écoulement retardé est également qualifié[17] "d’écoulement lent quasi-stationnaire".

IProposition 4.2 On a pour tout n ≥ 0:

A(n)[v(ε)](x,t) = εnA(n)[v](x,t)

A(n)[v(ε)](x,t) = εnA(n)[v](x,t)

A∗(n)[v

(ε)](x,t) = εnA∗(n)[v](x,t)

(4.10)

Le résultat est immédiat puisque tout revient à remplacer l’opérateur ∂∂τ dans les développements de Taylor

par l’opérateur ε ∂∂τ .

4.3 Fluides de Grade n.

4.3.1 Cas sous-convecté

La présentation qui suit est celle de B.D Coleman et W. Noll[3] (1960). Considérons alors un fluide simpleà mémoire evanescente et supposons que sa fonctionnelle G soit indéfiniment différentiable au voisinage del’identité. On a, d’après Taylor, pour toute fonction G dans L2(] −∞,0],h) le développement limité à l’ordren ≥ 1:

Gs≥0

(G(s)) = Gs≥0

(Id)+

G′(Id)[G − Id] + · · · + 1

n!G(n)

s≥0(Id)[G − Id, · · · ,G − Id] + o(||G − Id||n)

Considérons alors une retardation d’un mouvement χt pour lequel, pour simplifier, nous supposerons quel’application: s 7→ Ct(x,t− s) est analytique en s. On aura:

C(ε)t (x,t− s) =

+∞∑

k=0

εk(−s)kk!

A(k)[v] = Id +

+∞∑

k=1

εk(−s)kk!

A(k)[v]

et donc:||C(ε)

t − Id|| = O(ε)


de sorte que ||C(ε)t − Id|| → 0 quand ε → 0. On va donc examiner le développement limité de G

s≥0(C

(ε)t ) au

voisinage de l’identité à un ordre n ≥ 1. Ainsi, en ne retenant que les termes d’ordre ε ≤ n dans la différentielled’ordre k, on aura:

1

k!G(k)

s≥0(Id)[C

(ε)t − Id, · · · ,C(ε)

t − Id] =

n∑

l=1

(−ε)l∑

i1+i2+···+ik=l

1

i1! · · · ik!G(k)

s≥0(Id)[si1A(i1)[v], · · · ,sikA(ik)[v]] + o(εn)

Notons que G(k)

s≥0(Id)[si1A(i1)[v], · · · ,sikA(ik)[v]] est une forme k-linéaire en les A(i)[v]. Pour simplifier, on

notera:

Pi1,··· ,ikk (A(i1)[v], · · · ,A(ik)[v]) =(−1)i1+···+ik

i1! · · · ik!G(k)

s≥0(Id)[si1A(i1)[v], · · · ,sikA(ik)[v]]

Les Pi1,··· ,ikk sont des formes k-linéaires 1 sur S(E) à valeurs dans S(E) qui ne dépendent que du fluide. Dufait de la symétrie des dérivées supérieures, elles vérifient la propriété suivante pour toute permutation σ de1, · · · ,k :

∀(A1, · · ·,Ak) ∈ S(E)k,∀σ ∈ P(k) :

Piσ(1),··· ,iσ(k)

k (Aσ(1), · · · ,Aσ(k)) = Pi1,··· ,ikk (A1, · · · ,Ak)(4.11)

De plus, du fait du principe d’objectivité, elles doivent être isotropes, c’est à dire:

∀(A1, · · · ,Ak) ∈ S(E)k,∀Q ∈ O(3) :

Pi1,··· ,ikk (Q · A1 ·T Q, · · · ,Q · Ak ·T Q) = Q · Pi1,··· ,ikk (A1, · · · ,Ak) ·T Q(4.12)

Finalement, il vient:

Gs≥0

(C(ε)t ) = G

s≥0(Id) +

n∑

l=1

εln∑

k=1

∑

i1+i2+···+ik=l

Pi1,··· ,ikk (A(i1)[v], · · · ,A(ik)[v]) + o(εn)

Or, par k-linéarité et d’après la proposition 4.2, on a puisque i1 + i2 + · · · + ik = l:

εlPi1,··· ,ikk (A(i1)[v], · · · ,A(ik)[v]) = Pi1,··· ,ikk (A(i1)[v(ε)], · · · ,A(ik)[v

(ε)])

et le développement s’écrit tout simplement:

Gs≥0

(C(ε)t ) = G

s≥0(Id) +

n∑

k=1

∑

1≤i1+i2+···+ik≤nPi1,··· ,ikk (A(i1)[v

(ε)], · · · ,A(ik)[v(ε)]) + o(εn)

Rappelons que Gs≥0

(Id) est soit nul (cas du fluide incompressible) soit égal à −pth(ρ,θ)Id (cas du fluide com-

pressible). Notons σσσ(ε) le tenseur des contraintes de Cauchy pour le mouvement retardé. Dans tous les cas onen déduit qu’il existe une fonction scalaire p telle que:

σσσ(ε) = −pId +

n∑

k=1

∑

1≤i1+i2+···+ik≤nPi1,··· ,ikk (A(i1)[v

(ε)], · · · ,A(ik)[v(ε)]) + o(εn)

où p est soit une fonction arbitraire, soit la pression thermodynamique.On appelle alors Fluide de Grade n sous-convecté un modèle de loi constitutive de la forme:


n∑

k=1

∑

1≤i1+i2+···+ik≤nPi1,··· ,ikk (A(i1)[v], · · · ,A(ik)[v]) (incompressible) (4.13)

ou bien:

σσσ(x,t) = −pth(ρ,θ)Id +

n∑

k=1

∑

1≤i1+i2+···+ik≤nPi1,··· ,ikk (A(i1)[v], · · · ,A(ik)[v]) (Compressible) (4.14)

1 Elles ne sont pas nécessairement symétriques.

4.3. FLUIDES DE GRADE N. 119

où les fonctions Pi1,··· ,ikk sont des formes k-linéaires isotropes, caractéristiques du modèle considéré. On demandeen général, de plus qu’elles vérifient les symétries (4.11). Un modèle particulier correspond à un choix desfonctions Pk.

On voit que le "fluide de Grade n" est un comportement asymptotique d’un fluide simple à mémoireevanescente en écoulement lent quasi-stationnaire.

4.3.2 Cas sur-convecté ou co-rotationnel.

En raisonnant sur la fonctionnelle mémoire H (cas surconvecté) ou sur la fonctionnelle I (cas co-rotationnel)on peut reproduire strictement les mêmes calculs que pour G en remplaçant les tenseurs de Rivlin-Ericksensous-convectés par les tenseurs sur-convectés ou corotationnels.

Ainsi, la loi:

σσσ(x,t) = −p(x,t)Id +n∑

k=1

∑

1≤i1+i2+···+ik≤nPi1,··· ,ikk (A(i1)[v], · · · ,A(ik)[v]) (incompressible) (4.15)

est la loi d’un fluide incompressible de Grade n sur-convecté. Et la loi:


n∑

k=1

∑

1≤i1+i2+···+ik≤nPi1,··· ,ikk (A∗

(i1)[v], · · · ,A∗

(ik)[v]) (incompressible) (4.16)

est la loi d’un fluide incompressible de Grade n co-rotationnel.Notons que tous les modèles de Grade n sont automatiquement objectifs, vu l’objectivité des opérateurs

de dérivation codéformationnelle ou corotationnelle.

4.3.3 Modèles de grade 1 et 2 de fluides incompressibles

4.3.3.1 Modèles de grade 1

Le modèle de Grade 1 correspond à ne retenir que la fonction P11 qui est donc une fonction linéaire isotrope.

Elle est donc nécessairement de la forme:P1

1(A) = aA (4.17)

où a est une constante. Ainsi, tous les modèles de Grade 1 sont de la forme:

σσσ(x,t) = −pId + 2µD (4.18)

Il s’agit donc de modèles de fluides Newtoniens.Pour un fluide simple à mémoire evanescente on a, en identifiant:

µ =

∫ +∞

0

G(s) ds (4.19)

et ce quelque soit le modèle (sur ou sous convecté ou corotationnel).


Le modèle de Grade 2 ne fait intervenir que les fonctions P11, P2

1 et P1,12 . Cette dernière est une fonction

bilinéaire isotrope. Elle est symétrique si P1,12 est déduit du développement limité d’une fonctionnelle mémoire

vu la propriété (4.11) et on a alors nécessairement:

P21(A) = α1A

P1,12 (A,B) =

α2

2[A · B + B · A] +

α3

2[tr(A)B + tr(B)A]

(4.20)

Sinon, il peut y avoir 4 coefficients dans P1,12 . Mais, comme ici on a toujours : B = A = ±2D tous les modèles

de fluides incompressibles de Grade 2 sont de la forme (cas sous convecté par exemple):

σσσ(x,t) = −pId + µA(1)[v] + α1A(2)[v] + α2A2(1)[v] (4.21)


En revenant aux expressions des tenseurs de Rivlin-Ericksen, les modèles de Grade 2 de fluides incompressibless’écrivent donc:

σσσ(x,t) = −pId + 2µD + 2α1δ

δtD + 4α2D

2 Sous − convecte

σσσ(x,t) = −pId + 2µD + 2α′1

∆

∆tD + 4α′

2D2 Sur − convecte

σσσ(x,t) = −pId + 2µD + 2α′′1

DDtD + 4α′′

2D2 Co − rotationnel

(4.22)

où les coefficients sont constants.Pour un fluide simple à mémoire evanescente sous-convecté, on trouve par identification avec les dévelop-

pements intégraux (3.35):

α1 = α′′1 = −α′

1 = −∫ +∞

0

sG(s) ds (4.23)

Ainsi, le coefficient du second tenseur de RE est toujours le premier moment de la fonction de relaxation.

4.3.3.3 Les fonctions viscométriques des fluides de Grade 2

Considérons un écoulement de cisaillement simple:

Ft(x,t− s) = Id − sM (4.24)

On a:

G(s) = Id − s(M +T M) + s2 TM · MG−1(s) = Id + s(M +T M) + s2M ·T M

(4.25)

D’où:

A(1) = (M +T M) A(2) = 2TM · MA(1) = −(M +T M) A(2) = 2M ·T M

A∗(1) = (M +T M) A∗

(2) = (TM · M − M ·T M)

(4.26)

On en déduit:

τsc = τ sc = τ∗ = µγ

N1sc = −2α1γ2 N sc

1 = 2α′1γ

2 N ∗1 = −2α′′

1 γ2

N2sc = (2α1 + α2)γ2 N sc

2 = α′2γ

2 N ∗2 = (α′′

1 + α′′2 )γ2

(4.27)

On notera que N1 est identique et positif pour les trois modèles si le fluide est à mémoire evanescente. Encomparant aux modèles intégraux de viscoélasticité linéaire finie (sous convecté, sur convecté) on voit que lemodèle de Grade 2 "capture" des effets non linéaires par le coefficient α2.

Dans un écoulement de cisaillement simple d’un fluide à mémoire evanescente, on doit retrouver le com-portement d’un modèle de Grade 2 quand le taux de cisaillement tend vers 0, vu le développement limité duparagraphe précédent. C’est à dire que l’on a nécessairement (pour le fluide sous convecté par exemple):

N1(γ) = N1sc(γ) + o(γ2) (4.28)

Ce qui implique que la première différence normale doit être positive au voisinage de l’origine pour un fluideviscoélastique réel, puisqu’elle est alors liée à la fonction de relaxation en petites perturbations par la relation 2:

Ψ(0)1 = 2

∫ +∞

0

sG(s) ds+O(γ2) (4.29)

On voit donc pourquoi on avait signalé, lors de l’étude des fonctions viscométriques, que le signe de N1 devaitêtre positif aux faibles taux de cisaillement pour les fluides réels.

2 Les termes négligés sont paires et donc d’ordre 2.

4.3. FLUIDES DE GRADE N. 121

Ox1

x2

x3x2 = 0

x2 = d

V = 0

Fig. 4.1 – Écoulement entre deux plaques parallèles.


Le modèle de Grade 3 fait intervenir les fonctions P11, P2

1, P31, P1,1

2 , P1,22 , P2,1

2 et P1,1,13 . Notons que l’on a

nécessairement: P2,12 (A,B) = P1,2

2 (B,A) pour un fluide à mémoire evanescente. La forme la plus générale dumodèle de Grade 3 sous convecté, approchant un fluide à mémoire evanescente, est donc:

σσσ(x,t) = − pId + µA(1) + α1A(2) + α2A2(1)

+ β1A(3) + β2[A(2) · A(1) + A(1) · A(2)] + β3tr(A(2))A(1)

(4.30)

Notons qu’il n’y a pas de terme en D3 en vertu du théorème de Cayley-Hamilton mais µ n’est plus nécessai-rement constant et peut être affine en γ2. Le coefficient β3 est absent dans le cas corotationnel car les tracessont nulles.

4.3.4 Instabilité de l’état de repos dans les fluides de Grade n

En étudiant le le démarrage brusque d’un écoulement de Couette d’un fluide de Grade 2 sous convecté onvérifie facilement que l’état de repos est instable si α1 < 0 (voir le détail ci-après). Comme le coefficient α1

est nécessairement négatif pour les fluides viscoélastiques réels il n’est donc pas possible d’utiliser les modèlesde Grade 2 pour étudier leur comportement en écoulement instationnaire sur des temps longs. Ils ne peuventservir que de modèles asymptotiques qualitatifs pour étudier l’influence de l’élasticité sur un écoulement. Lerésultat est le même pour tous les modèles de Grade n si on suppose que la fonction de relaxation est positive 3.

Ainsi, on a obtenu une théorie asymptotique dont on pouvait penser au départ que le domaine de validitéétait le voisinage de l’état de repos et qui, finalement, n’est jamais stable au voisinage de l’état de repos! Lerésultat n’est pas si évident, car le modèle de fluide à mémoire evanescente lui même est stable.

Physiquement, le modèle de Grade n n’a donc de sens que sur des échelles de temps très courtes c’est à direpour les écoulements lents quasistationnaires. Il est toutefois assez populaire, car il est rend compte d’effets"mémoire" élastiques non linéaires tout en ayant l’avantage, contrairement aux modèles objectifs non linéairesque nous avons étudié au chapitre précédent, d’être résolu en le tenseur des contraintes en fonction du champde vitesse sans faire intervenir les trajectoires. En pratique, on utilise essentiellement les modèles de Grade2.

Instabilité de l’état de repos: démarrage d’un écoulement unidirectionnel. Considérons l’écou-lement instationnaire d’un fluide simple incompressible entre deux plaques planes parallèles quand la plaquesupérieure est fixe et que l’on applique à chaque instant une densité surfacique de force F(t) = F (t)e1 à laplaque inférieure. Comme le problème est invariant par translation dans les directions parallèles aux plaquespour les petites valeurs de F , on recherche donc un écoulement unidirectionnel avec:

v(x,t) = v(x2,t)e1

3 Voir D. D. Joseph, "Instability of the rest state of fluids of arbitrary Grade greater than one", ARMA (75) 1981.


L’analyse de l’écoulement est celle du paragraphe 2.6.1. On pose y = x2/d et, en projection sur l’axe e1 lebilan de quantité de mouvement se résume à:

ρd∂v(y,t)

∂t=∂τ12(y,t)

∂y

v(1,t) = 0

m∂v(0,t)

∂t= τ12(0,t) + F (t)

où m est la densité surfacique de masse de la plaque inférieure, que l’on prend constante. Pour un fluide deGrade 2 sur ou sous convecté, ou encore corotationnel, on a:

τ12(x2,t) = µ∂v(x2,t)

∂x2+ α1

∂2v(x2,t)

∂x2∂t

avec:

α1 = −∫ +∞

0

sG(s) ds

On s’intéresse au démarrage de l’écoulement à partir de l’état de repos quand on impose brutalement unedensité de forces constante, F∞, à la plaque, le fluide étant antérieurement au repos. Le problème devient:trouver v définie sur [0,1] × [0,+ ∞[ vérifiant pour t > 0:

ρd∂v(y,t)

∂t=∂τ12(y,t)

∂y

dτ12(y,t) = µ∂v(y,t)

∂y+ α1

∂2v(y,t)

∂y∂t

v(1,t) = 0

m∂v(0,t)

∂t= τ12(0,t) + F∞

et la condition initiale:v(y,0) = 0

On retire la solution stationnaire:

v∞(y) =F∞dµ

(1 − y)

et on résout le problème pour u = v − v∞ par séparation de variables. On en déduit facilement que la vitessede la plaque mobile inférieure est donnée par:

v(0,t) =dF∞µ

[1 − 2∑

n≥0

exp(− µλ2

n

ρd2 + α1λ2

n

t)

λ2

n(1 + a+ a2λ2

n)]

où a =m

ρdest le rapport caractéristique des inerties du fluide et de la plaque et où les nombres λn (dont les

carrés sont les valeurs propres du problème de Sturm-Liouville associé 4) sont les racines réelles positives del’équation aλ tan(λ) = 1, rangées en ordre croissant.

Or, quand n→ +∞, λn tend vers +∞ et, puisque α1 est négatif pour un fluide réel, la vitesse de la plaquetend vers l’infini et non pas vers la valeur stationnaire v∞(0). En conséquence, l’état de repos est instablepuisque l’application de toute force à la plaque inférieure conduit à une vitesse de cette plaque amplifiéeexponentiellement au cours du temps. On montrerait de même que l’état de repos d’un fluide de Grade nquelconque est instable. A noter que pour le fluide purement visqueux (α1 = 0) la vitesse de la plaque tendbien vers sa vitesse limite et ce de manière monotone: si a est assez grand (ce qui sera le cas si d est assezpetit), le premier terme de la série est prépondérant et le temps caractéristique de relaxation est de l’ordrede ρd2/(µλ2

0) ≈ md/µ: c’est essentiellement l’inertie de la plaque qui contrôle le mouvement et non pas celledu fluide que l’on peut négliger. On a une conclusion similaire pour un modèle de viscoélasticité linéaire finiequelconque.

4 Pour une étude détaillée de ce problème de démarrage en Couette plan mais aussi en Couette cylindrique on pourra consulterl’article de D. Bernardin et C. Nouar "Transient Couette flows of Oldroyd’s fluids under imposed torques", J. Non Newtonian Fl.Mech., 77, pp. 201-231 (1998).

123

Annexe A

Écoulements de Poiseuille instationnairesd’un modèle de Maxwell A.

Énoncé.

On considère l’écoulement d’un fluide simple incompressible non thermodépendant dans une conduitecylindrique circulaire de rayon R et d’axe Oz. On désigne par (r,θ,z) les coordonnées cylindriques d’axe Oz

et d’origine O.

Ecoulement stationnaire

On s’intéresse à un écoulement laminaire ( i.e. unidirectionnel dans la direction de l’axe de la conduite)stationnaire.

1. La fonction de cisaillement étant strictement croissante, justifier que la vitesse Eulérienne soit donnéepar: v = v(r)ez.

2. Indiquer les composantes du déviateur des contraintes qui sont nécessairement nulles et donner les équa-tions du mouvement dans la base des coordonnnées cylindriques d’axe Oz.

3. Montrer que la fonction p = p + ρφ a la forme générale: p(r,θ,z) = f(r) − az, où a est une constante.Pour ce qui suit, on orientera l’axe de la conduite de manière à avoir a > 0.

4. On désigne par Fez la résultante des efforts moteurs exercés sur le fluide contenu entre deux sectionsdroites aux côtes Z1 > Z2, dans la direction Oz. Exprimer F en fonction de a, S et Z2 −Z1, où S est lasection. Interpréter a.

5. Exprimer la vitesse v(r) en fonction de a et de τ−1.6. Pour un tube donné (i.e. à R fixé), montrer que le débit volumique, Q, ne dépend que de a.

Dans le cas particulier d’un fluide d’Oswald-Dewaëlle, expliciter Q en fonction de R,a et des constantesrhéologiques.

7. En déduire:

τ(1

πa2R3

d[a3Q(a)]

da) =

aR

2

Ecoulement instationnaire

On suppose ici que l’écoulement est encore laminaire mais instationnaire, avec: v = v(r,t)ez et on négligerala pesanteur. On s’intéresse à un fluide élastique qui suit un modèle de Maxwell sur-convecté:

σσσ = −pId + S

avec:

λ(DS

Dt− LS − STL) + S = 2µD

1. Écrire les équations du mouvement et établir que∂p

∂r=∂p

∂θ= 0 et qu’il existe une fonction f telle que:

∂p

∂z= −f(t)

124 ANNEXE A. ÉCOULEMENTS DE POISEUILLE INSTATIONNAIRES.

2. On introduit les variables sans dimension:

η =r

Rτ =

µt

ρR2w(η,τ) = µv(r,t)/(R2(

∆p

L)) H =

λµ

ρR2

où L est une longueur caractéristique et ∆p une variation de pression caractéristique.Montrer que w est solution de l’équation:

H∂2w

∂τ2+∂w

∂τ− (

∂2w

∂η2+

1

η

∂w

∂η) = − L

∆p

∂p

∂z−H

∂

∂τ(L

∆p

∂p

∂z)

3. Indiquer les conditions limites vérifiées par w en η = 1 et η = 0.4. On suppose que l’écoulement est dû à un gradient de pression périodique:

− L

∆p

∂p

∂z= <(keiωτ )

où k et ω sont des constantes réelles.(a) On pose: β2 = iω(1 + iHω). Monter que le problème possède une solution périodique donnée par:

w(η,τ) = <(k

iωeiωτ [1 − J0(iβη)

J0(iβ)])

où J0 est l’unique solution analytique sur R de l’équation 1:

y′′ +1

xy′ + y = 0, y(0) = 1

(b) Donner un développement à l’ordre 2 de J0 au voisinage de 0 et en déduire une expression de w auxbasses fréquences. On vérifiera en particulier que le profil est à chaque instant parabolique. Indiquerl’influence de l’élasticité.

5. On suppose que l’écoulement est dû à un gradient de pression qui croît exponentiellement avec le temps:

− L

∆p

∂p

∂z= keα

2τ

où k et α sont des constantes réelles. On posera: β2 = α2(1 + α2H)

(a) Montrer que le problème possède une solution de la forme:

w = f(η)eα2τ

où f est une fonction que l’on précisera. On vérifiera que f(η) s’exprime simplement en fonction deJ0(iβη). Analyser le cas des gradients de pression lentement variables.

(b) On donne l’expression asymptotique quand |z| tend vers l’infini (et que arg(z) reste dans un ferméde ] − π,π[):

J0(z) =

√2

πzcos(z − π

4) + u(z)

où |u(z)| = O(|z|−3/2). En déduire une expression asymptotique de w pour les grandes valeurs de|β| et |βη|. Mettre en évidence l’existence d’une couche limite au voisinage de la paroi.

6. Examiner le cas d’un gradient de pression s’attenuant exponentiellement vite.

Fin de l’énoncé

1 C’est la fonction de Bessel d’ordre 0.

125

Corrigé.

Ecoulement stationnaire

1. On se place d’abord dans le repère cartésien (O,(i,j,k)) où O est sur l’axe de la conduite et où k dirige cetaxe. On note (x,y,z) les coordonnées cartésiennes dans ce repère. Comme on s’intéresse à un écoulementunidirectionnel stationnaire, on recherche la vitesse en un point M(x,y,z) de la conduite sous la forme:

v(M) = v(x,y,z)k

Comme le fluide est incompressible, on a: div(v) =∂v

∂z= 0. Ainsi, sans changer de notation pour la

fonction v:v(M) = v(x,y)k

On a donc: ∇∇∇v · v = 0 et comme l’écoulement est stationnaire, le bilan local de quantité de mouvementen tout point M de la conduite se résume à:

∇∇∇p = div(τττ)

où p = p+ρφ, φ étant le potentiel des forces extérieures (pesanteur, ici). Le domaine de l’écoulement étantsimplement connexe, on sait qu’une CNS pour qu’il existe p - et donc p - tel que la relation précédentesoit satisfaite est que le champ div(τττ) soit irrotationnel. C’est à dire:

rot(div(τττ)) = 0 (A.1)

Pour aller plus loin, il faut expliciter τττ en fonction de la cinématique. Les trajectoires des particules sontdes droites parallèles à l’axe. Si M ′(x′,y′,z′) est la position à un instant τ d’une particule qui occupe laposition M(x,y,z) à l’instant t, on a:

x′ = x y′ = y z′ = z + (τ − t)v(x,y)

Il en résulte, par différentiation, que le gradient relatif de déformation est donné par:

Ft(M,τ) = Id + (τ − t)M

où la matrice de M dans la base (i,j,k) est :

[M](i,j,k) =

0 0 00 0 0∂v∂x

∂v∂y 0

Effectuons le changement de base, par rotation:

e1 = k e2 =1

χ[(∂v

∂x)i + (

∂v

∂y)j] e3 =

1

χ[(∂v

∂y)i − (

∂v

∂x)j]

où:

χ =

√(∂v

∂x)2 + (

∂v

∂y)2 = ||∇∇∇v||

La matrice de M dans la base (e1,e2,e3) est:

[M](e1,e2,e3) =

0 χ 00 0 00 0 0

Ainsi, l’écoulement est viscométrique, et la matrice du déviateur des contraintes sur la base (e1,e2,e3)est de la forme:

[τττ ](e1,e2,e3) =

τ11 τ12 0τ12 τ22 00 0 τ33


avec, puisque le fluide est incompressible et non thermo-dépendant:

τ11 + τ22 + τ33 = 0 τ12 = τ(χ) τ22 − τ33 = σ1(χ) τ11 − τ33 = σ2(χ)

En revenant à la base (i,j,k), on déduit que le déviateur des contraintes τττ ne dépend pas de z, de mêmedonc que sa divergence. Par suite, l’équation (A.1) se résume au trois équations scalaires:

∂

∂x(div(τττ)|k) = 0

∂

∂y(div(τττ)|k) = 0

∂

∂x(div(τττ)|j) − ∂

∂y(div(τττ)|i) = 0

Des deux premières relations, et puisque div(τττ) ne dépend pas de z, on déduit que (div(τττ)|k) est uneconstante. Par suite, il existe a ∈ R tel que: (div(τττ)|k) = a et finalement l’équation (A.1) est équivalenteaux deux relations:

∃a ∈ R / : (div(τττ)|k) = a et ∂∂x

(div(τττ)|j) − ∂

∂y(div(τττ)|i) = 0 (A.2)

Explicitons alors (div(τττ)|k). On a ici:

div(τττ) =∂

∂x(τττ · i) +

∂

∂y(τττ · j)

et donc:

(div(τττ)|k) =∂

∂x(τττ · i|k) +

∂

∂y(τττ · j|k)

Comme τττ est symétrique et que k = e1, on en déduit:

(div(τττ)|k) =∂

∂x(∂v

∂x

τ(χ)

χ) +

∂

∂y(∂v

∂y

τ(χ)

χ) = div(

τ(χ)

χ∇∇∇v)

Désignons par S la section droite de la conduite par un plan passant par O. Ainsi, d’après la premièrerelation dans (A.2), v doit être solution de l’équation:

div(τ(χ)

χ∇∇∇v) = a M ∈ S

v = 0 M ∈ ∂S

(A.3)

On recherche la solution dans C1(S). Comme la fonction de cisaillement τ est strictement croissante,continue et impaire, il est facile de voir que si ce problème possède une solution celle-ci est unique: c’estla clef de la réponse à la question. Voyons d’abord l’unicité. Supposons que (A.3) possède deux solutionsv1 et v2. On aura, par différence:

div(τ(χ1)

χ1∇∇∇v1 −

τ(χ2)

χ2∇∇∇v2) = 0 M ∈ S

v1 − v2 = 0 M ∈ ∂S

Multiplions scalairement par v1 − v2. Il vient, après intégration par parties (théorème de Stokes):∫

S

(τ(χ1)

χ1∇∇∇v1 −

τ(χ2)

χ2∇∇∇v2|∇∇∇v1 −∇∇∇v2) ds = 0 (A.4)

On notera que, puisque τ est continue, l’intégrande est continue. On développe l’intégrande:

(τ(χ1)

χ1∇∇∇v1 −

τ(χ2)

χ2∇∇∇v2|∇∇∇v1 −∇∇∇v2) =τ(χ1)χ1 + τ(χ2)χ2

− τ(χ1)

χ1(∇∇∇v1|∇∇∇v2) −

τ(χ2)

χ2(∇∇∇v1|∇∇∇v2)

127

Or, d’après Cauchy-Schwarz, on a:(∇∇∇v1|∇∇∇v2) ≤ χ1χ2

et donc:

(τ(χ1)

χ1∇∇∇v1 −

τ(χ2)

χ2∇∇∇v2|∇∇∇v1 −∇∇∇v2) ≥ τ(χ1)χ1 + τ(χ2)χ2 − τ(χ1)χ2 − τ(χ2)χ1

≥ (τ(χ1) − τ(χ2))(χ1 − χ2)

En intégrant, il vient: ∫

S

(τ(χ1) − τ(χ2))(χ1 − χ2) ds ≤ 0

Comme τ est croissante, le membre de gauche est positif et l’inégalité ne peut donc avoir lieu que si etseulement si l’intégrale est nulle. Comme c’est l’intégrale d’un fonction continue positive, on doit doncavoir:

(τ(χ1) − τ(χ2))(χ1 − χ2) = 0 ∀M ∈ S (A.5)

Ce qui ne peut avoir lieu, puisque τ est strictement croissante, que si et seulement si: χ1 = χ2 sur S.Désignons alors par χ la valeur commune de χ1 = χ2 sur S. En revenant à l’équation (A.4), il vient:

∫

S

τ(χ)

χ(∇∇∇v1 −∇∇∇v2|∇∇∇v1 −∇∇∇v2) ds = 0

C’est l’intégrale d’une fonction continue, positive. Il en résulte:

∀M ∈ S :τ(χ)

χ(∇∇∇v1 −∇∇∇v2|∇∇∇v1 −∇∇∇v2) = 0

Le rapport τ(χ)χ est partout strictement positif sauf éventuellement aux points où χ = 0 auquel cas il

peut être positif ou nul, voire non défini ( exemple: fluides rhéofluidifiants). Aux points où χ 6= 0, on aτ(χ)χ > 0 et on doit donc avoir: ∇∇∇v1 −∇∇∇v2 = 0. Aux points où χ = 0, on a par définition d’une norme:

∇∇∇v1 = ∇∇∇v2 = 0. Finalement, on a: ∇∇∇v1−∇∇∇v2 = 0 sur tout S. Ce qui implique que la fonction v1−v2 estconstante sur S. Comme elle est nulle sur le bord et continue, elle est nulle partout et v1 = v2. CQFD.Revenons maintenant à l’équation (A.3). On vient de voir que si elle admet une solution, celle-ci estunique. Il est alors facile de voir que cette solution ne dépend que de r =

√x2 + y2. En effet, désignons

par q une rotation quelconque autour de O du plan xOy. Elle laisse évidement S invariante, puisqu’iciS est un cercle de centre O. Supposons que (A.3) possède une solution v et considérons la fonctionv′ = v q. Il est facile de voir qu’elle vérifie la même équation (A.3) que v (le calcul est laissé au lecteur).De l’unicité de la solution il résulte donc que: v q = v, pour toute rotation q. C’est à dire que l’uniquesolution de (A.3), si elle existe, ne dépend que de r. CQFD.En revenant au champ de vitesse dans la conduite, ceci signifie que tout champ v(M) = v(M)k admissibleest invariant par rotation autour de Oz, c’est à dire que v(M) ne dépend que de la distance r dupoint M à l’axe Oz. On laisse au lecteur le soin de vérifier qu’alors la seconde relation dans (A.2)est automatiquement vérifiée quelle que soit la loi de comportement du fluide simple considéré. Encoordonnées cylindriques d’axe Oz (donc: ez = k), le champ des vitesses est donc nécessairement de laforme:

v(M) = v(r)ez

Il s’agit donc d’un écoulement hélicoïdal, vu en cours. CQFD2. On sait alors qu’un écoulement hélicoïdal est viscométrique. Posons, pour chaque point M :

χ(M) = v′(r)

et désignons par (er,eθ,ez) la base locale de coordonnées cylindriques, d’axe Oz, en M . Ici, il n’y pas devitesse azimuthale et on sait alors (c.f. le chapitre "écoulements viscométriques") que le tenseur gradientde déformation relatif Ft(τ,M) est de la forme: Ft(τ,M) = Id + (τ − t)M où M = χez ⊗ er. Par suite,on a:

τrθ = τzθ = 0

les autres composantes de la matrice du déviateur des contraintes sur la base (er,eθ,ez) s’exprimant enfonction de χ seulement. Elles ne dépendent donc que de r et en particulier:

τrz = τ(χ)


On en déduit les équations du mouvement 2 en projection sur la base (er,eθ,ez):

∂τrr∂r

+τrr − τθθ

r− ∂p

∂r= 0

∂p

∂θ= 0

∂τrz∂r

+τrzr

− ∂p

∂z= 0

3. De la seconde relation on déduit que p ne dépend pas de θ et, comme τrr et τθθ ne dépendent que der, de la première relation on déduit que p est de la forme: p(r,z) = f(r) + g(z), où f et g sont deuxfonctions inconnues. En reportant dans la dernière relation, on déduit que:

∀r ∈]0,R[,∀z : g′(z) =∂τrz∂r

+τrzr

(A.6)

Or, le membre de droite ne dépend que de r tandis que celui de gauche ne dépend que de z, l’égaliténe peut donc avoir lieu en tout point que si et seulement si les deux membres sont égaux à une mêmeconstante. Par suite, il existe a ∈ R tel que:

∀r ∈]0,R[,∀z : p(r,z) = f(r) − az

Pour ce qui suit, on oriente l’axe Oz de telle sorte que 3 a ≥ 0.4. Considérons le fluide contenu à un instant donné dans le volume V compris entre deux sections droites

aux côtes Z1 et Z2. La résultante de tous les efforts extérieurs exercés sur ce volume de fluide est nulle,

puisque pour chaque particule:Dv

Dt= 0. Cependant, les efforts extérieurs se décomposent en deux parties:

d’une part la réaction de la canalisation sur le fluide et d’autre part les efforts moteurs exercés par lereste du fluide et par la gravité. Par suite, la force motrice dans la direction axiale est:

F = (

∫

S1

σσσ · ez ds−∫

S2

σσσ · ez ds−∫

V

ρ∇∇∇φdv|ez)

soit:

F =

∫

S1

(σzz − ρφ) ds−∫

S2

(σzz − ρφ) ds

Ce qui s’écrit encore:

F =

∫

S1

(τzz − p) ds−∫

S2

(τzz − p) ds

Comme τzz ne dépend que de r, sa contribution s’annule par différence, de même pour la contributionde la fonction f . Il reste donc:

F = aS(Z1 − Z2)

Examinons la puissance des efforts extérieurs. Comme le fluide adhère à la canalisation et que la vitesseest purement axiale, cette puissance est donnée par:

Pe =

∫

S1

σzzv ds−∫

S2

σzzv ds−∫

V

(ρ∇∇∇φ|v) dv

Puisque l’écoulement est incompressible, on a: (ρ∇∇∇φ|v) = div(ρφv) et en appliquant le théorème deStokes à la dernière intégrale, il vient:

Pe =

∫

S1

(σzz − ρφ)v ds−∫

S2

(σzz − ρφ)v ds

=

∫

S1

(τzz − p)v ds−∫

S2

(τzz − p)v ds

Comme pour le calcul de F , les contributions des fonctions qui ne dépendent que de r s’annulent et ilreste:

Pe = a(Z1 − Z2)

∫

S1

v ds = aQ(Z1 − Z2) = F.V

2 Voir aussi les notes de cours. 3 Notons que le scalaire a introduit ici n’est rien d’autre que l’opposé du scalaire a de laquestion 1.

129

où Q est le débit volumique et V = Q/S est la vitesse débitante. Comme ici les efforts d’inertie netravaillent pas, la puissance de tous les efforts, intérieurs et extérieurs, est nulle et la puissance des effortsextérieurs équilibre donc exactement la puissance dissipée dans le fluide. Cette dernière est positive,d’après le second principe. Par suite on a Pe > 0, de sorte que a et Q sont de même signe. Ainsi,l’écoulement a lieu dans la direction de F qui est bien une force motrice et Pe > 0 est donc la puissancequ’il faut fournir pour maintenir l’écoulement. Comme dans le cas du fluide visqueux Newtonien, as’interprète donc comme la perte de charge (plus exactement, de pression motrice) par unité de longueursubie par le fluide lors de l’écoulement.

5. En reportant l’expression de p dans (A.6), il vient:

∀r ∈]0,R[: −ar =d

dr(rτrz)

D’où l’on déduit qu’il existe b ∈ R tel que:

∀r ∈]0,R[: τrz = −ar2

+b

r

Mais, puisque on cherche un champ v de classe C1(S) et que la fonction τ est continue, sur R, la contraintedoit rester bornée dans la canalisation et en particulier en r = 0. Il vient b = 0 et:

∀M : τrz(M) = −ar2

(A.7)

D’où, puisque τrz = τ(χ) et que la fonction τ est impaire:

∀M : v′(r) = −τ−1(ar

2)

Comme le fluide adhère aux parois, on a v(R) = 0 et on en déduit:

∀M : v(r) =

∫ R

r

τ−1(ax

2) dx

Comme a ≥ 0 et puisque xτ(x) ≥ 0 (second principe) on a v(r) ≥ 0. On notera également que v estdécroissante et la vitesse est donc maximum au centre. En changeant de variable, on a:

∀M : v(r) =2

a

∫ aR2

ar2

τ−1(x) dx (A.8)

6. Le débit volumique est:

Q =

∫

S

v ds =4π

a

∫ R

0

r(

∫ aR2

ar2

τ−1(x) dx) dr

On intégre par parties et il vient:

Q = π

∫ R

0

r2τ−1(ar

2) dr

Soit:

Q =8π

a3

∫ aR2

0

x2τ−1(x) dx (A.9)

A r fixé, Q ne dépend donc que de a. Pour un fluide d’Oswald-DeWaëlle, on a: τ(x) = Kxn. D’où:

Q =nπR3

3n+ 1(aR

2K)1/n (A.10)

7. On a: a3Q(a) = 8π∫ aR

2

0x2τ−1(x) dx. En dérivant, il vient:

d[a3Q(a)]

da) = πa2R3τ−1(

aR

2)

d’où:

τ(1

πa2R3

d[a3Q(a)]

da) =

aR

2

Ainsi, en relevant la courbe Q(a), on peut en principe en déduire la fonction de cisaillement τ : c’est leprincipe du viscosimètre capillaire.


Ecoulement instationnaire

On suppose ici que l’écoulement est encore laminaire mais instationnaire, avec: v = v(r,t)ez. On s’intéresseà un fluide élastique qui suit un modèle de Maxwell sur-convecté:

σσσ = −pId + S

avec:

λ(DS

Dt− LS − STL) + S = 2µD (A.11)

1. Le champ de vitesse est évidement isovolume et les équations du mouvement se résument à:

div(S) −∇∇∇p = ρ∂v

∂tez

avec: p = p + ρφ. Attention qu’il y a une subtilité: p n’est plus la pression. L’écoulement n’est plusviscométrique est l’analyse précédente ne s’applique pas directement. Il faut donc examiner l’expressionde σσσ pour simplifier plus avant les équations du mouvement. On a intérêt à exploiter d’abord le faitqu’un fluide élastique de Maxwell est de toutes façons un fluide simple. Les trajectoires des particulessont ici des droites parallèles à l’axe et on déduit facilement que (voir le cas stationnaire):

Ft(M,τ) = Id + (

∫ τ

t

∂v

∂r(r,u) du) ez ⊗ er

De sorte que l’on sait qu’il existe une fonctionnelle F telle que le déviateur des contraintes ( et non S)soit donné par:

τττ(M,t) = Fs≤0

(Id + (

∫ t+s

t

∂v

∂r(r,u) du) ez ⊗ er)

De cette dernière relation on déduit, comme pour le cas stationnaire, certaines simplifications impor-tantes pour l’écriture du bilan de quantité de mouvement. Il est d’abord évident qu’il y a invariance partranslation le long de l’axe Oz. C’est à dire:

∀Z ∈ R : τττ(M + Zez,t) = τττ(M,t)

et ce puisque l’expression dans la fonctionnelle ne dépend pas de la cote z du point M considéré. D’où:

∂τττ(M,t)

∂z= 0

D’autre part on peut, comme pour l’écoulement viscométrique, exploiter l’objectivité matérielle. Dési-gnons par Q la réflexion sur le plan vectoriel (er,ez) qui change donc eθ en −eθ. On applique le principed’objectivité matérielle et on déduit

Q · τττ(M,t) ·T Q = τττ(M,t)

D’où il résulte, comme pour le cas stationnaire que:

τθr = τθz = 0

On peut également facilement vérifier que les composantes du déviateur des contraintes sur la base(er,eθ,ez) ne dépendent pas de θ. En effet considérons une rotation quelconque q autour de Oz dont larotation vectorielle associée est notée Q. On a immédiatement:

Q · [Id + (

∫ τ

t

∂v

∂r(r,u) du) ez ⊗ er] ·T Q = Id + (

∫ τ

t

∂v

∂r(r,u) du) ez ⊗ (Q · er)

On applique le principe d’objectivité matérielle et on déduit:

Q · τττ(M,t) ·T Q = τττ(q(M),t)

C’est à dire que les composantes de la matrice τττ(M,t) sur la base (er,eθ,ez) ne dépendent pas de θ. Ellesne dépendent donc que de (r,t). Pour aller plus loin, il faut maintenant exploiter la forme particulière dumodèle de Maxwell. La matrice du gradient de vitesse dans la base (er,eθ,ez) est:

[L](er,eθ,ez) =

0 0 00 0 0∂v∂r 0 0

131

et, vu l’expression de v, on a:DS

Dt=∂S

∂t+∇∇∇S · v =

∂S

∂t+ v

∂S

∂zLa relation (A.11) est alors équivalente aux 6 équations scalaires:

λ(∂Srr∂t

+ v∂Srr∂z

) + Srr = 0

λ(∂Srθ∂t

+ v∂Srθ∂z

) + Srθ = 0

λ(∂Sθθ∂t

+ v∂Sθθ∂z

) + Sθθ = 0

λ(∂Srz∂t

+ v∂Srz∂z

) − ∂v

∂rSrr + Srz = µ

∂v

∂r

λ(∂Sθz∂t

+ v∂Sθz∂z

) − ∂v

∂rSrθ + Sθz = 0

λ(∂Szz∂t

+ v∂Szz∂z

) − 2∂v

∂rSrz + Szz = 0

(A.12)

Comme les termes non diagonaux de S et de τττ sont identiques, on a nécessairement: Srθ = Sθz = 0 etSrz ne dépend que de (r,t). Les équations précédentes se réduisent donc à:

λ(∂Srr∂t

+ v∂Srr∂z

) + Srr = 0

λ(∂Sθθ∂t

+ v∂Sθθ∂z

) + Sθθ = 0

λ∂Srz∂t

− ∂v

∂rSrr + Srz = µ

∂v

∂r

λ(∂Szz∂t

+ v∂Szz∂z

) − 2∂v

∂rSrz + Szz = 0

Srθ = Sθz = 0

(A.13)

Des deux premières équations on déduit alors que Srr = Sθθ = 0. Faisons le pour Srr. Plaçons nousen coordonnées Lagrangiennes et désignons par X la position d’une particule à l’instant t0 et par x laposition de cette même particule à l’instant t. Sans changer de notation, posons: Srr(X,t) = Srr(x(X,t),t).

La première équation devient: λ∂Srr(X,t)

∂t+ Srr(X,t) = 0 dont la solution est:

Srr(X,t) = Srr(X,t0)et0−t

λ

Pour que Srr(X,t) reste borné quand t→ −∞, c’est à dire dans le passé lointain, il faut que Srr(X,t0) = 0,ce qui implique que Srr reste constamment nul. Le même résultat vaut pour Sθθ. Or, puisque τττ est undéviateur, on en déduit que:

τττ = S − 1

3tr(S)Id

D’où il résulte que:

τzz =2

3Szz

De sorte qu’en particulier, Szz ne dépend que de (r,t). Finalement, la relation (A.11) est alors équivalenteau système:

λ∂Srz∂t

+ Srz = µ∂v

∂r

λ∂Szz∂t

+ Szz = 2∂v

∂rSrz

Srθ = Sθz = Srr = Sθθ = 0

(A.14)

Les équations du mouvement en projection sur la base (er,eθ,ez) se réduisent alors à:

∂p

∂r= 0

∂p

∂θ= 0

∂Srz∂r

+Srzr

− ∂p

∂z= ρ

∂v

∂t

(A.15)


Comme dans la dernière relation, p ne dépend que de (z,t) alors que les autres termes ne dépendent quede (r,t) il en résulte qu’il existe une fonction f telle que:

∂p

∂z= −f(t)

Note: Dans l’énoncé, on demande de négliger la pesanteur ce qui revient à poser: p = p.La fonction f représente la densité surfacique de "forces" motrices par unité de longueur, comme dansle cas stationnaire. Il est cependant clair que p n’est pas la pression, puisque la trace de S, c’est à direSzz, n’est pas nulle. Les relations (A.14) et (A.15) se réduisent aux deux problèmes différentiels:

ρ∂v

∂t=

1

r

r∂Srz∂r

+ f(t)

λ∂Srz∂t

+ Srz = µ∂v

∂r

(A.16)

λ∂Szz∂t

+ Szz = 2∂v

∂rSrz (A.17)

Connaissant la fonction f , on détermine v en résolvant (A.16). On notera que, contrairement au casvisqueux, il faut alors se donner deux conditions initiales à savoir la vitesse et aussi la contrainte decisaillement. Ayant déterminer v on peut alors déterminer les contraintes normales, c’est à dire Szz enrésolvant le second problème.

2. On élimine Srz dans (A.16) pour obtenir une seule équation du second ordre sur v. En dérivant lapremière relation dans (A.16) on a en effet:

ρ∂v

∂t=

1

r

∂(rSrz)

∂r+ f(t)

ρ∂2v

∂t2=

1

r

∂

∂r[r∂Srz∂t

] + f ′(t)

On multiplie la seconde relation par λ, on l’additionne à la première et en tenant compte de la seconderelation dans (A.16) il vient:

λρ∂2v

∂t2+ ρ

∂v

∂t=µ

r

∂

∂r[r∂v

∂r] + f(t) + λf ′(t)

Rappelons que:

f(t) = −∂p∂z

On introduit les variables sans dimension:

η =r

Rτ =

µt

ρR2w(η,τ) = µv(r,t)/(R2(

∆p

L)) H =

λµ

ρR2

où L est une longueur caractéristique et ∆p une variation de pression caractéristique. Après changementde variables, w est alors solution de l’équation:

H∂2w

∂τ2+∂w

∂τ− (

∂2w

∂η2+

1

η

∂w

∂η) = − L

∆p

∂p

∂z−H

∂

∂τ(L

∆p

∂p

∂z) (A.18)

3. la valeur η = 1 correspond à r = R et comme le fluide adhère aux parois, on a donc:

w(1,τ) = 0

D’autre part comme le champ des vitesses est de la forme: v(M,t) = v(r,t)ez, il est invariant par rotationautour de Oz. Le gradient de v est donc nul en tout point de l’axe. Ce qui donne:

∂w

∂η(0,τ) = 0

Notons que l’écoulement stationnaire, qui correspond à f(t) = Cste est l’écoulement de Poiseuille d’unfluide visqueux Newtonien de viscosité µ. En effet, pour f(t) = ∆p

L , la solution stationnaire w0 de (A.18)est solution de:

1

η(ηw′

0)′ = −1 w0(1) = 0 w′

0(0) = 0 (A.19)

133

C’est à dire:

w0(η) =1 − η2

4ou encore, en revenant aux grandeurs dimensionnées:

v0(r) =R2∆p

4µL(1 − r2

R2)

qui est bien l’écoulement de Poiseuille classique.4. On suppose que l’écoulement est dû à un gradient de pression 4 périodique:

− L

∆p

∂p

∂z= <(keiωτ )

où k et ω sont des constantes réelles.

(a) On pose: β2 = iω(1 + iHω). Comme le problème est linéaire par rapport au second membre, onrecherche une solution périodique de la forme:

w(η,τ) = <(g(η)eiωτ )

où g est une fonction à valeurs complexes à déterminer. En injectant dans (A.18) on en déduit queg est solution de l’équation différentielle:

g′′ +1

ηg′ − β2g = −k(1 + iωH)

On a une solution constante évidente qui est:

g(η) =k(1 + iωH)

β2=

k

iω

On recherche donc la solution g sous la forme:

g(η) =k

iω(1 − h(η))

de sorte que h est solution de:

h′′ +1

ηh′ − β2h = 0 (A.20)

et doit vérifier les conditions limites:

h(1) = 1 h′(0) = 0

On recherche une solution de classe C1 sur [0,1]. Il est facile de voir que si cette solution existe, elleest unique. En effet, si il y avait deux solutions h1 et h2 la différence h = h1 − h2 serait solution duproblème:

(ηh′)′ − ηβ2h = 0 h(1) = 0 h′(0) = 0

On multiplie terme à terme l’équation différentielle par h et on intègre sur [0,1]. Après intégrationpar parties, il vient:

β2

∫ 1

0

ηhh dη +

∫ 1

0

ηh′h′ dη = 0

On remplace β2 par son expression en fonction de ω et H. Les parties réelles et imaginaires doiventêtre nulles ce qui implique en particulier:

∫ 1

0

ηhh dη = 0

et donc h = 0 et l’unicité. Recherchons les solutions de (A.20) développable en série entière auvoisinage de η = 0. En identifiant termes à termes il vient:

h(x) = a0

+∞∑

k=0

(−1)k

k!(iωη

2)2k

4 Il s’agit d’un abus de langage, il vaudrait mieux parler de gradient de force motrice.


Elles vérifient toutes la condition h′(0) = 0 et forment un espace vectoriel de dimension 1 sur C

engendré par la fonction:

h0(η) =

+∞∑

k=0

(−1)k

k!(iβη

2)2k

La fonction h0 vérifie h′0(0) = 0 et elle ne peut s’annuler en η = 1. Sinon, d’après l’étude d’unicitéprécédente h0 serait identiquement nulle sur [0,1], ce qui est absurde. Par suite et par linéarité, lafonction h cherchée est donc:

h(η) =h0(η)

h0(1)

Vu l’expression de h0, introduisons la fonction J0 définie sur C par:

J0(z) =+∞∑

k=0

(−1)k

k!(z

2)2k

de sorte que l’on a évidement h0(η) = J0(iβη) et, vu l’équation vérifiée par h0, on voit que J0 -considérée comme fonction de la variable réelle x - est la seule solution analytique sur R de l’équationde Bessel:

y′′ +1

xy′ + y = 0 (A.21)

vérifiant y(0) = 1. La solution h cherchée est donc donnée par:

h(η) =J0(iβη)

J0(iβ)

Finalement, w est donnée par:

w(η,τ) = <(k

iωeiωτ (1 − J0(iβη)

J0(iβ)))

(b) D’après le développement de J0, on a:

J0(z) = 1 − z2

4+z4

32+ o(z5)

et donc, aux basses fréquences:

w(η,τ) = k(1 − η2)

4<(eiωτ ) +O(ω)

On a alors un profil parabolique, en phase avec la pression motrice. Le résultat était prévisible. Eneffet, aux basses fréquences, on s’attend à ce que les effets d’inertie soient négligeables, puisque lesvariations de pression sont infiniment lentes. De même, l’élasticité n’intervient pas à l’ordre principalpuisque le temps caractéristique de variation de la pression est suffisamment long pour qu’il y aitréarangement moléculaire et donc relaxation de l’élasticité. Ainsi, aux basses fréquences, tout sepasse comme si l’écoulement était quasi-stationnaire: le profil spatial est à chaque instant un profilde Poiseuille parabolique dû à la seule viscosité et correspondant à la valeur de la pression à cetinstant.Pour étudier l’influence de l’élasticité il faut donc pousser le développement à l’ordre suivant. Onobtient facilement:

w(η,τ) = k(1 − η2)

4<(eiωτ ) + kω[H

1 − η2

4− 1

2(1 − η2

4)2]<(ieiωτ ) +O(ω2)

On voit donc que l’élasticité, c’est à dire le paramètre H, intervient au même ordre en ω queles corrections au profil parabolique provenant de la seule viscosité et a pour effet de modifier ledéphasage de la vitesse par rapport à la pression.

5. On suppose que l’écoulement est dû à un gradient de pression qui croît exponentiellement avec le temps:

− L

∆p

∂p

∂z= keα

2τ

135

où k et α sont des constantes réelles. On pose: β2 = α2(1 + α2H)

(a) On recherche une solution de la forme:

w = f(η)eα2τ

où f est une fonction à valeurs réelles inconnue. En substituant dans l’équation (A.18) on en déduitque f est solution de l’équation:

f ′′ +1

ηf ′ − β2f = −k(1 + α2H)

et vérifie les conditions aux limites:

f ′(0) = 0 f(1) = 0

Vu l’étude précédente, la solution est donc:

f(η) =k

α2(1 − J0(iβη)

J0(iβ))

Vu le développement de J0, on notera que la solution est bien à valeurs réelles. Des gradients depression lentement variables correspondent aux petites valeurs de α et donc de β. Dans ces conditionsl’écoulement à l’ordre principal est comme précédemment quasi-stationnaire: le profil est à chaqueinstant parabolique et l’élasticité n’intervient pas.

(b) On considère des situations où le gradient de force motrice augmente très rapidement, c’est à dire:α 1. Sur le bord, on a η = 1 et f(1) = 0 sinon, on peut utiliser la formule asymptotique enchoisissant β égal à la racine du réel positif β2. Pour les points où η ∈]0,1[, l’argument de iβ et deiβη est donc π/2 et on a alors:

f(η) ∼η∈]0,1[|α|→+∞

k

α2(1 − 1√

ηe−β(1−η)) ∼

|α|→+∞

k

α2

et sur l’axe:

f(0) ∼|α|→+∞

k

α2

On voit donc que l’on a partout un profil plat:

w(η,τ) ∼|α|→+∞

keα2τ

α2

sauf dans une couche d’épaisseur réduite de l’ordre de 1/β au voisinage de la paroi où la vitessechute très rapidement vers 0.

6. Le cas d’un gradient de pression qui s’atténue exponentiellement vite se ramène au cas précédent enchangeant α2 en −α2:

− L

∆p

∂p

∂z= ke−α

2τ

On a une solution donnée par:

w(η,τ) = − k

α2(1 − J0(iβη)

J0(iβ))e−α

2τ

avec: β2 = −α2(1 − α2H). En absence d’élasticité on a H = 0 et β = i|α| est imaginaire pur. Pour lesgrandes valeurs de α il n’y a pas de couche limite puisqu’alors:

w(η,τ) ∼η∈]0,1[|α|→+∞

−ke−α2τ

α2(1 − 1√

η

cos(|α|η − π/4)

cos(|α| − π/4))

En présence d’élasticité (H > 0) et pour les grandes valeurs de |α|, β2 devient positif et le développementdu rapport J0(iβη)

J0(iβ) est identique au cas précédent. On a alors apparition d’une couche limite au voisinagede la paroi due à l’élasticité.

Fin du corrigé


137

Annexe B

Viscosité complexe à faible taux decisaillement.

Énoncé.

Généralités.

Soit E l’espace affine Euclidien de dimension 3, où se trouvent à chaque instant les particules d’un milieucontinu, et E l’espace vectoriel Euclidien associé. On notera S(E) l’espace vectoriel des applications linéairessymétriques de E dans E et S∗(E) le sous espace de S(E) formé des applications linéaires symétriques de tracenulle.

Si φt est le mouvement d’un milieu continu, relatif à la configuration Ωt occupé par le milieu à l’instantprésent t, on notera Ft(x,t − s) son gradient au point x à l’instant t − s et v(x,t) la vitesse de la particulequi occupe la position x à l’instant t. On notera G(s) le tenseur des déformations de Cauchy, en omettant ladépendance en x et t quand il n’y a pas d’ambiguïté: G(s) =T Ft(x,t− s) · Ft(x,t− s).

On considérera des fluides simples, incompressibles et non thermodépendants pour lesquels la loi constitu-tive donnant le déviateur des contraintes de Cauchy en fonction du passé cinématique est de la forme :

τττ(x,t) =+∞Gs=0

(G(s)) (B.1)

où G est une fonctionnelle à valeurs dans S∗(E) dont le domaine de définition DG est une partie de l’ensembledes applications de [0, + ∞[ dans S(E) qui, avec une certaine fonction G, contient aussi toutes les fonctionsde la forme s 7→ Q · G(s) · Q, quand Q parcourt l’ensemble des transformations orthogonales.

1. La relation (B.1) est-elle la loi la plus générale d’un fluide simple incompressible non thermodépendant?2. Justifier que G vérifie, pour tout mouvement relatif, la relation:

∀Q ∈ O(E) :+∞Gs=0

(QG(s)TQ) = Q+∞Gs=0

(G(s))TQ (B.2)

3. Pour un fluide visqueux (i.e. Newtonien généralisé) on peut prendre pour DG l’ensemble des fonctionsde [0,+ ∞[ dans S(E) différentiables en s = 0. Indiquer l’expression de G.

4. On considère un écoulement pour lequel:

∀(t,s) ∈ R2,∀x ∈ Ωt : Ft(x,t− s) = R(x,t,s)Id + M(x,t,s) (B.3)

où la matrice de M sur une base orthonormée (e1,e2,e3) est de la forme:

∀(t,s) ∈ R2,∀x ∈ Ωt : [M(x,t,s)] =

0∫ t−st

χ(x,u) du 00 0 00 0 0

(B.4)

et où R(x,t,s) est orthogonale. La base (e1,e2,e3) peut éventuellement dépendre de x et t.On suppose que pour chaque x ∈ Ωt, la fonction χ : u ∈ R 7→ χ(x,u) est continue et bornée. On notera:χ0(x) = sup

u∈R

|χ(x,u)|, sa borne supérieure.

– a) Cet écoulement est-il cinématiquement admissible? Que représente le réel |χ(x,t)|? Citer un ouplusieurs écoulements de ce type, mécaniquement admissibles.

138 ANNEXE B. VISCOSITÉ COMPLEXE

– b) Justifier que τ13 = τ23 = 0.– c) Déterminer τ12 pour un fluide de Grade 2.– d) On considère un fluide viscoélastique à mémoire évanescente pour lequel DG = L

2([0,+∞[,S(E),h)où h est une fonction d’influence à décroissance assez rapide à l’infini pour que DG contienne aumoins les tenseurs de Cauchy des écoulements viscométriques. On désigne parm la fonction mémoiredu fluide et par g sa fonction de relaxation, définie par: s ∈ [0,+ ∞[7→ g(s) = −

∫ +∞s

m(u) du. On

suppose que la fonction m est négative, croissante et de classe C1 et que |∫ +∞0

s3m(s) ds| < +∞ .Ainsi, g est positive, décroissante et convexe, ce qui est le cas usuel pour les fluides réels. Montrerque l’on a:

τ12(x,t) =

∫ +∞

0

g(s)χ(x,t− s) ds+ o(χ0(x)) (B.5)

Déterminer la fonction de cisaillement du fluide à faibles taux de cisaillement.

5. On s’intéresse à des écoulements oscillants du fluide viscoélastique considéré à la question précédente,dont la cinématique est donnée par (B.3-B.4) avec: ∀u ∈ R : χ(x,u) = χ0(x)<e(eiωu), où la pulsation ωest une constante réelle. Pour tout réel ω, on définit les quantités:

η′(ω) =

∫ +∞

0

g(s) cos(ωs) ds η′′(ω) =

∫ +∞

0

g(s) sin(ωs) ds

η∗(ω) = η′(ω) − iη′′(ω)

(B.6)

La fonction η∗ est la viscosité complexe du fluide. La fonction ωη′′(ω) est appelée module d’accumulation( "storage modulus") et la fonction ωη′(ω) est appelée module de dissipation ( "loss modulus").

– a) Exprimer τ12 au premier ordre en χ0 au voisinage du repos en fonction de η∗. Examiner le casdes basses fréquences.

– b) Calculer τ12 pour un fluide de Grade 2. Pouvait-on prévoir le résultat?– c) Déterminer η∗, quand g est la fonction de relaxation d’un modèle de Maxwell de viscosité η et

de temps de relaxation λ.– d) Etablir que quand ω → +∞:

η′′(ω) =g(0)

ω+ o(

1

ω2)

η′(ω) = −m(0)

ω2+ o(

1

ω2)

Vérifier directement ces résultats quand g est la fonction de relaxation d’un fluide de Maxwell.Pour une solution à 0,5% d’hydroxyethylcellulose dans de l’eau, à température ambiante, la viscositéau voisinage du repos est de 1,3Pa.s et une expérience de relaxation a donné un temps caracté-ristique de relaxation de l’ordre de 10−1 s ( données d’après Tanner, Engineering rheology, (1988),Clarendon Press, p22). A quelles fréquences peut-on considérer que la relation −(m(0)

ω2 + i g(0)ω )approche la viscosité complexe avec une précision qui soit au moins de l’ordre du pour cent?

– e) Justifier les expressions suivantes:

∀s ≥ 0 : g(s) =2

π

∫ +∞

0

η′(ω) cos(ωs) dω

∀s > 0 : g(s) =2

π

∫ +∞

0

η′′(ω) sin(ωs) dω

En déduire qu’il est pertinent de chercher à déterminer expérimentalement η∗.

Ecoulements oscillants de petite amplitude. Mesure de la viscosité complexe.

Le but de l’étude (c.f. question 4) est d’analyser un dispositif expérimental permettant de déterminer η∗.Le fluide concerné, sauf mention contraire, est partout le fluide viscoélastique considéré à la question 1.4.d).

1. Le fluide occupe l’espace compris entre deux plaques planes parallèles infinies écrartées d’une distance d,l’une fixe et l’autre oscillant dans son plan à la vitesse V0 cos(ωt)e1, où e1 est unitaire. On désignera pare2 un vecteur unitaire perpendiculaire au plaques et par e3 un vecteur tel que la base B = (e1,e2,e3)soit orthonormée.

139

On fait l’hypothèse que l’écoulement est à chaque instant de type "cisaillement simple", le taux decisaillement étant, à chaque instant, constant dans l’entrefer. Vérifier que Ft(·) est bien de la forme(B.3-B.4) et indiquer la contrainte de cisaillement sur la plaque fixe au premier ordre en V0/d.De η′ et η′′, laquelle traduit l’élasticité du fluide?

2. On se propose de déterminer effectivement le champ des vitesses dans le problème de la question pré-cédente. Pour cela, on recherche un champ des vitesses unidirectionnel, périodique en temps, de mêmepériode que la vitesse de la plaque mobile, et invariant par translation dans la direction transverse e3.

– a) Ecrire les équations du mouvement en contrainte et vitesse. On fera apparaître la variable sans

dimension y =x2

d.

– b) Déterminer le champ des vitesses dans le cas d’un fluide Newtonien. On le cherchera sous laforme: <e(u(x)eiωt), où u est une fonction à valeurs complexes que l’on déterminera sous une formela plus "compacte" possible.

– c) On revient pour toute la suite au fluide viscoélastique considéré précédemment. On suppose que leproblème est bien posé (i.e. il possède une solution et une seule). Indiquer les équations permettantde déterminer le champ des vitesses à l’ordre principal en V0 au voisinage de V0 = 0. On admet quela solution est assez régulière par rapport au paramètre V0 pour justifier les calculs.

– d) Déterminer alors le champ des vitesses à l’ordre principal en V0. On désignera par Ω un complexe

vérifiant Ω2 = iρd2ωη∗ et on exprimera la solution en fonction de Ω.

En déduire, à l’ordre principal en V0, la force de frottement par unité de surface exercée par le fluidesur la plaque fixe. La mesure de cette force permet-elle, en principe, de déterminer η∗?

– e) On fait vibrer la plaque mobile à hautes fréquences. On introduit le paramètre c défini par:

c2 =g(0)

ρ,

où ρ est la densité volumique de masse du fluide. Interpréter physiquement c et expliquer le phéno-mène attendu.Déterminer, à l’ordre principal en 1

ω et pour des vitesses V0 faibles, la force exercée sur la plaquefixe à chaque instant.Comparer avec le cas du fluide Newtonien.

– f) Dans quelle mesure l’hypothèse faite à la question 1 ci-dessus est-elle justifiée?

3. Expérimentalement, il serait difficile de mesurer précisément la force exercée sur la paroi immobile dans leproblème précédent. On reconsidère donc ce problème, en faisant les mêmes hypothèses sur le champ desvitesses, mais en supposant que la paroi qui était précédemment immobile peut maintenant se déplacerlibrement dans son plan sous l’action des efforts de frottement exercés par le fluide (on néglige lesfrottements dus aux dispositifs de guidage). On désigne par m sa densité surfacique de masse. Déterminersa vitesse à l’ordre principal en V0. Conclure.

4. En pratique, on détermine η∗ à l’aide de dispositifs expérimentaux de révolution. On se propose d’étudierici le principe d’un dispositif de Couette 1. En général, on utilise des appareils ayant un petit espaceannulaire. Ceci vous semble-t-il justifié?On suppose donc que le fluide occupe l’espace annulaire compris entre deux cylindres de révolution delongueurs infinies, de même axe et de rayons R1 et R2, avec R1 < R2. On rapporte l’espace à un systèmede coordonnées cylindriques d’axe, l’axe des cylindres. Le cylindre extérieur oscille autour de son axe à lavitesse angulaire Ω2 cos(ωt) et le cylindre intérieur peut tourner librement autour de son axe sous l’actiondes efforts exercés par le fluide (on néglige les frottements dans les dispositifs de guidage). On désignepar I son moment d’inertie par unité de hauteur. On recherche un champ de vitesse purement azimuthal,invariant par translation le long de l’axe des cylindres et périodique en temps, de même période que lavitesse angulaire du cylindre extérieur. On désignera par u la vitesse angulaire.

– a) Vérifier que Ft(x,·) est bien de la forme (B.3-B.4).– b) Montrer qu’en projection sur la direction azimuthale, le bilan de quantité mouvement s’écrit:

ρr3∂u

∂t=

∂

∂r(r2τrθ)

1 On utilise en général un dispositif plan-cône qui est plus précis qu’un dispositif de Couette. En effet, d’une part les effetsd’extrémités sont moins sensibles et d’autre part, d’un point de vue technologique, il est plus précis de régler un axe perpendiculaireà un plan que de faire coïncider les axes de deux cylindres.


et indiquer les conditions limites sur u.– c) Indiquer les équations permettant de déterminer la vitesse angulaire à l’ordre principal en Ω2 au

voisinage de Ω2 = 0. On suppose, comme précédemment, que le problème est bien posé et que lasolution est assez régulière par rapport au paramètre Ω2 pour justifier les calculs.

– d) On recherche u, à l’ordre principal en Ω2, sous la forme : u(r,t) = <e(w(r)eiωt). Ecrire leséquations permettant de déterminer w. On fera apparaître les groupements sans dimension a et Ket on utilisera la variable sans dimension x définie par r = R1(1 + xε), avec:

ε =R2 −R1

R1a =

2I

πρR41

K =−iε2ωρR2

1

η∗

On s’assurera que w/Ω2 ne dépend que des variables indépendantes (x,a,K,ε). Donner une inter-prétation physique du paramètre a.

– e) On peut montrer, et on l’admettra ici, que w - considérée comme fonction de (x,K,a,ε) - peut-êtreprolongée par continuité en ε = 0 et y est différentiable par rapport à ε:

w

Ω2= f (0)(x,K,a) + εf (1)(x,K,a) + o(ε)

Déterminer f (0) et en déduire la vitesse angulaire du cylindre intérieur à l’ordre principal en Ω2 etau premier ordre en ε. Comparer avec la vitesse de la plaque libre de la question 3.

– f) Déterminer, aux fréquences élevées, le coefficient d’amortissement d’un système ayant un petitespace annulaire rempli d’un liquide viscoélastique. On dispose d’un appareil ayant les caractéris-tiques 2 suivantes: R2 = 9.3mm, R1 = 8.3mm, I = 2.27 10−5Kg ·m2. Estimer ce coefficient pourles fluides ayant des caractéristiques comparables à celles du produit considéré à la question 1.5.d.Que peut-on conclure?

Fin de l’énoncé

2 Il s’agit des caractéristiques du dispositif de Couette adaptable sur le "Carrimed CS 100" commercialisé par la société Rheo.

141

Corrigé.

Généralités. Viscosité complexe.

1. Oui. En effet, on sait que la loi d’un fluide simple incompressible non thermodépendant est de la forme:

τττ(x,t) =+∞Fs=0

(Ft(x,t− s)) (B.7)

Soit: Ft(x,t − s) = Qt(x,t − s) · Ut(x,t − s), la décomposition pôlaire du gradient de déformation. Onsait alors que F ne dépend en fait que de l’application: s ∈ [0, + ∞[7→ Ut(x,t − s) où Ut(x,t − s) estsymétrique, définie positive. Or, la relation: Ut(x,t − s) 7→ U2

t (x,t − s) = G(s) est une bijection entreapplications symétriques, définies positives et, en changeant de variable dans (B.7), on déduit (B.1).

2. Soit Q ∈ O(E) donné. Donnons nous une famille à un paramètre Q(s)s≥0, de transformations or-thogonales telle que Q(0) = Q. Appliquons le principe d’objectivité à la loi sous la forme (B.7). Ilvient:

+∞Fs=0

(Q(s) · Ft(x,t− s) ·T Q(0)) = Q(0) ·+∞Fs=0

(Ft(x,t− s)) ·T Q(0)

Et comme, pour toute application: s ∈ [0,+ ∞[7→ Ft(x,t− s), on a:

+∞Fs=0

(Ft(x,t− s)) =+∞Gs=0

(TFt(x,t− s) · Ft(x,t− s)),

on déduit que:+∞Fs=0

(Q(s) · Ft(x,t− s) ·T Q(0)) =+∞Gs=0

(Q(0) · G(s) ·T Q(0))

et le résultat.

3. On sait que ∇∇∇v(x,t) = [∂

∂τFt(x,τ)]|τ=t. Il en résulte que le tenseur des taux de déformation est donné

par:

D(x,t) =1

2(L(x,t) +T L(x,t)) = −1

2[d

dsG(s)]|s=0 = −1

2G′(0)

Ainsi, la loi d’un fluide visqueux se met sous la forme:

τττ(x,t) = −η(I2)G′(0)

où I2 = Tr(G′(0)2)/4 est le second invariant de D(x,t).4. – a) Cet écoulement est cinématiquement admissible puisque la contrainte d’incompressibilité det(Ft(x,t−

s)) = 1 est vérifiée pour tout t et s. On vérifie immédiatement que |χ(x,t)| représente le taux decisaillement, puisque l’on a , d’après la question précédente: 2I2 = χ2(x,t) . Si χ ne dépend que de x,l’écoulement est viscométrique. L’écoulement de Couette plan ou encore les écoulements hélicoïdauxsont donc de ce type et sont mécaniquement admissibles.

– b) Comme pour les écoulements viscométriques, on applique le principe d’objectivité - ici sous laforme obtenue à la question 2 - en prenant pour Q une reflexion sur le plan (e1,e2) qui laisse G

invariant. Il en résulte que: τ13 = τ23 = 0.– c) Pour un fluide de Grade 2, on a:

τττ(x,t) = ηA1 + α1A2 + α2A21

où : A1 = −G′(0) et A2 = G′′(0). Le premier terme correspond à un fluide Newtonien. Poursimplifier, puisque x et t sont fixés, posons: M(s) = M(x,t,s). On a, puisque M(0) = 0:

G′(0) = M′(0) +T M′(0)

G′′(0) = M′′(0) +T M′′(0) + 2TM′(0) · M′(0)

il en résulte que:

[G′(0)]12 = −χ(x,t) [G′′(0)]12 = ∂tχ(x,t) [G′(0)2]12 = 0

D’où:

τ12(x,t) = ηχ(x,t) + α1∂

∂tχ(x,t)


– d) D’après le principe de mémoire évanescente, on sait que G est différentiable au repos, c’est à direpour: ∀s ≥ 0 : G(s) = Id, et que:

τ12(x,t) =

∫ +∞

0

m(s)G12(s) ds+ o(||G − Id||)

On intègre par parties dans le premier terme et on évalue ||G − Id|| , pour déduire que

τ12(x,t) =

∫ +∞

0

g(s)χ(x,t− s) ds+ o(χ0(x)) (B.8)

On obtient la fonction de cisaillement en prenant χ(x,u) indépendant de u et égal à χ0(x). Il vient,à l’ordre principal en χ:

τ(χ) = χ

∫ +∞

0

g(s) ds

La viscosité à faible taux de cisaillement est donc: η =∫ +∞0

g(s) ds. Notons que l’on ne peutpas préciser sans autres hypothèses les autres fonctions viscométriques ( différences normales ) carelles sont du même ordre que les termes négligés. En effet, en omettant la dépendance en x, on aG22 −G33 = s2χ2

0, G11 −G33 = 0, et on déduit seulement que N1 et N2 sont des o(χ0). Il faudraitintroduire le développement intégral de G à l’ordre suivant pour obtenir une expression plus précise.On trouverait alors que ces différences normales sont en χ2

0 à l’ordre principal.Si l’on se limite à un modèle de viscoélasticité linéaire finie, on peut alors déterminer exactementN1 et N2. On trouve, après intégration par parties que: N1 = 2χ2

0

∫ +∞0

sg(s) ds et N2 = −N1. Onvoit tout de suite la limitation du modèle: les termes négligés dans N2 + N1 sont du même ordreque ceux conservés.On notera que, pour s ≥ 0, on a

s3g(s) = −s3∫ +∞

s

m(s) ds ≤ −∫ +∞

s

s3m(s) ds →s→+∞

0

Ainsi, les intégrations par parties sont justifiées.5. Notons que les fonctions η′ et η′′ sont bien définies.

– a) De (B.5), on déduit: τ12 = χ0<e(η∗eiωt) + o(χ0).On obtient, au premier ordre en ω quand ω → 0:

η′(ω) =

∫ +∞

0

g(s) ds+O(ω2)

η′′(ω) = ω

∫ +∞

0

sg(s) ds+O(ω3)

En posant α1 = −∫ +∞0

sg(s) ds, il vient donc :

τ12 = χ0[η cos(ωt) − ωα1 sin(ωt)] + χ0O(ω2) + o(χ0)

Ainsi, à l’ordre principal en χ0 et ω on a: τ12 = ηχ0 cos(ωt) et le fluide se comporte donc auxtrès basses fréquences comme un fluide Newtonien de viscosité η. Ce à quoi on pouvait s’attendrepuisque ω−1 devient grand devant tout temps caractéristique de relaxation.

– b) Pour un fluide de Grade 2, on obtient τ12 directement à partir de l’expression trouvée à la question1.4.c: τ12 = χ0[η cos(ωt) − ωα1 sin(ωt)].Rappelons que le fluide de Grade 2 se déduit du modèle général en prenant une retardation dumouvement au voisinage de l’instant présent t, ce qui revient donc ici à faire tendre la fréquencevers 0. On retrouve alors l’expression de τ12 du fluide viscoélastique au voisinage du repos et auxtrès basses fréquences, ce à quoi on pouvait s’attendre puisque l’on a vu à la question 1.4.c qu’il n’yavait pas, pour ce type d’écoulement, de contribution des termes non linéaires en G (i.e. le termeen α2) à la contrainte de cisaillement. On retrouve alors l’expression de α1 donnée en cours.

– c) On a: ∀s ≥ 0 : g(s) =η

λe−

sλ . On calcule

∫ +∞

0

g(s)eiωs ds et il vient:

η′(ω) =η

1 + ω2λ2η′′(ω) =

ωλη

1 + ω2λ2

143

– d) Par une intégration par parties, il vient:

ωη′′(ω) = g(0) +

∫ +∞

0

m(s) cos(ωs) ds

On notera que, puisque m est intégrable sur R+, négative et croissante, elle tend nécessairement

vers 0 en +∞, et comme elle est de classe C1, on peut à nouveau intégrer par parties. Il vient:

ωη′′(ω) = g(0) − 1

ω

∫ +∞

0

m′(s) sin(ωs) ds (B.9)

Or, on peut vérifier facilement que m′, qui est positive (m est croissante), est absolument intégrablesur R

+ et ce, puisque:

limx→+∞

∫ x

0

m′(s) ds = −m(0)

On sait alors (théorème de Lebesgue) que l’intégrale dans le second membre de (B.9) tend vers 0quand ω tend vers l’infini, et il en résulte que :

η′′(ω) =g(0)

ω+ o(

1

ω2) (B.10)

On procède de même pour estimer η′. Il vient:

η′(ω) = − 1

ω

∫ +∞

0

m(s) sin(ωs) ds

puis:

ω2η′(ω) = −m(0) −∫ +∞

0

m′(s) cos(ωs) ds

On applique donc à nouveau le théorème de Lebesgue pour déduire que l’intégrale dans le secondmembre tend vers 0 quand ω tend vers l’infini et finalement on déduit:

η′(ω) = −m(0)

ω2+ o(

1

ω2)

Si g est la fonction de relaxation d’un modèle de Maxwell, on vérifie directement les deux résultatsd’après les expressions obtenues à la question b). Dans ce cas, on a:

η∗ =η

1 + ω2λ2− i

ωλη

1 + ω2λ2=

η

λ2ω2

λ2ω2

1 + λ2ω2− i

η

λω

λ2ω2

1 + λ2ω2

= (η

λ2ω2− i

η

λω)

λ2ω2

1 + λ2ω2

= (−m(0)

ω2− i

g(0)

ω)(1 − 1

1 + λ2ω2)

L’erreur relative commise en approchant η∗ par ηλ2ω2 − i ηλω est donc de 1

1+λ2ω2 . Pour le fluideconsidéré la précision sera donc de l’ordre du pour cent ou plus, pour les fréquences supérieures à100/(2π) ∼ 10Hz.

– e) La fonction 2η′(ω) n’est rien d’autre que la transformée de Fourier de la symétrisée de g. Onétend donc g sur R

− par symétrie, en posant ∀s ≤ 0 : g(s) = g(−s). La fonction g ainsi définie estévidement paire et absolument intégrable sur R. Sa transformée de Fourier est alors réelle et paire,et donnée par :

∀ω ∈ R : g(ω) =

∫ +∞

−∞g(s)e−iωs ds = 2

∫ +∞

0

g(s) cos(ωs) ds = 2η′(ω)

On détermine alors g par la formule d’inversion de Mellin-Fourier. Pour savoir si cette inversiondonne g point par point et non pas presque partout, on examine la régularité de g. Comme η ′(ω) ∼

+∞


−m(0)ω2 , g est absolument intégrable sur R. Dans ces conditions, on sait que la formule d’inversion

donne g(s) en tout point s où g est continue, c’est à dire, ici, partout sur R. Il vient donc:

∀s ∈ R g(s) =1

2π

∫ +∞

−∞g(ω)eiωs dω =

2

π

∫ +∞

0

η′(ω) cos(ωs) dω

qui est le résultat demandé.Pour obtenir la seconde relation, on procède de la même manière en prolongeant g sur R

−, cette fois-ci, par ∀s < 0 : g(s) = −g(−s). La fonction ainsi obtenue - que l’on note encore g - est discontinueen 0. Sa transformée de Fourier est alors imaginaire pure et impaire, et donnée par :

∀ω ∈ R : g(ω) =

∫ +∞

−∞g(s)e−iωs ds = −2i

∫ +∞

0

g(s) sin(ωs) ds = −2iη′′(ω)

La formule d’inversion de Mellin-Fourier dans L2, donne:

g(s) =p.p.

1

2π

∫ +∞

−∞g(ω)eiωs dω =

p.p.

2

π

∫ +∞

0

η′′(ω) sin(ωs) dω

On notera que l’égalité n’a lieu à priori que presque partout. Cependant, il est facile de voir, d’après(B.10), que la convergence de la dernière intégrale est uniforme en s sur tout domaine de la forme|s| ≥ a (a > 0). Il en résulte que cette intégrale est une fonction continue sur R

+∗ et comme g estégalement continue sur R

+∗, ces deux fonctions sont donc égales sur ce domaine et on a le résultatdemandé. En s = 0, l’égalité est évidement fausse en général si g(0) 6= 0, c’est à dire pour les fluidesviscoélastiques.Il est évidement pertinent de chercher à déterminer expérimentalement η∗ puisque, la transforméede Fourier étant une isométrie dans L

2, cette fonction détermine complètement g qui est caracté-ristique du comportement du fluide. On pourra donc chercher à déterminer g soit par une analysetemporelle (réponse impulsionnelle) soit par une analyse fréquentielle. C’est donc ce dernier cas quel’on considère par la suite.

Écoulements oscillants de petite amplitude. Mesure de la viscosité complexe.

1. On oriente e2 et on choisit une origine de sorte que la plaque fixe soit à la côte x2 = 0 et la plaque mobile à

x2 = d. Avec l’hypothèse faite, la vitesse au point x = (x1,x2,x3) à l’instant t est: v(x,t) =V0

dcos(ωt)x2e1.

On déduit, comme pour l’écoulement de cisaillement simple, que:

Ft(x,t− s) =

1 V0

d

∫ t−st

cos(ωu) du 00 1 00 0 1

qui est bien de la forme (3-4), pour R(x,t,s) = Id et χ(x,u) =V0

d<e(eiωu). D’après la question 5.a), la

contrainte de cisaillement est à chaque instant constante dans tout le canal et donnée au premier ordre

enV0

dpar:

τ12 =V0

d<e(η∗eiωt) =

V0

d[η′ cos(ωt) + η′′(ω) sin(ωt)]

Le termeV0

dη′ cos(ωt) est proportionnel aux taux de déformation vu par les particules fluides et le terme

V0

dη′′(ω) sin(ωt) est proportionnel à la déformation qui est donnée par: γ = V0

d

∫ t0

cos(ωs) ds = V0

dω sin(ωt).

Ainsi, la présence de ce dernier terme, et donc le coefficient η′′(ω), traduit l’élasticité du fluide.2. – a) Avec les hypothèses faites et l’incompressibilité on déduit que le champ des vitesses est de la

forme:∀x = (x1,x2,x3),∀t : v(x,t) = v(x2,t)e1

On détermine les trajectoires, comme pour l’écoulement de Couette plan stationnaire, et il vient:

∀x = (x1,x2,x3),∀t : Ft(x,t− s) =

1∫ t−st

∂v∂x2

(x2,u) du 0

0 1 00 0 1

145

qui est bien de la forme voulue. Le déviateur des contraintes en (x,t) ne dépend donc que de (x2,t)et les équations du mouvement s’écrivent donc:

ρ∂v

∂t(x2,t)e1 =

∂τ12∂x2

(x2,t)e1 +∂τ22∂x2

(x2,t)e2 −∇∇∇(p+ ρφ)

Il résulte, par une analyse standard, qu’il existe deux fonctions f et h telles que:

(p+ ρφ)(x,t) = f(t)x1 + τ22(x2,t) + h(t)

La pression motrice restant bornée dans tout l’écoulement, f est donc nulle. On introduit la variablesans dimension y ∈ [0,1], définie par y = x2/d et les équations déterminantes de v(y,t) ≡ v(x2,t) seréduisent donc à:

∀y ∈ [0,1], t ∈ R :

ρd∂v

∂t(y,t) =

∂τ12∂y

(y,t)

v(1,t) = V0 cos(ωt)

v(0,t) = 0

(B.11)

Dès que v est connue, le déviateur des contraintes est alors complètement déterminé - en particulierτ22 - et la pression s’en déduit, à une fonction du temps près que l’on peut arbitrairement fixer ense donnant une référence.

– b) Il s’agit d’un exercice classique de MF où l’on met en évidence l’effet de peau (voir plus loin).Les équations deviennent:

∀y ∈ [0,1], t ∈ R :

ρd2 ∂v

∂t(y,t) = η

∂2v

∂y2(y,t)


v(0,t) = 0

Le problème est linéaire par rapport à V0 et on cherche donc la solution sous la forme: v =

<e(u(y)eiωt) où u est complexe. Désignons par ν =η

ρ, la viscosité cinématique du fluide. On

déduit que u est solution de:

u′′ =id2ω

νu

u(1) = V0

u(0) = 0

(B.12)

On peut supposer, puisque cos est paire, que ω ≥ 0. Comme i = (eiπ/4)2 = ( 1+i√2)2 on en déduit u:

u(y) = V0

sinh((1 + i)√

ω2ν dy)

sinh((1 + i)√

ω2ν d)

Finalement la vitesse en tout point x = (x1,dy,x3) et à chaque instant t est donnée par

v(x,t) = V0 <e[sinh((1 + i)

√ω2ν dy)

sinh((1 + i)√

ω2ν d)

eiωt]e1 (B.13)

– c) Les équations du mouvement sont les équation (B.11). Il est naturel de supposer que le modèle(i.e. la fonctionnelle G) est tel que v soit assez régulière, par exemple de classe C1([0,1]× [0,2π/ω])(ne pas oublier que l’on cherche des solutions périodiques). Le fluide, les plaques et la fréquenceétant fixées, la vitesse v apparaît alors comme une fonction de V0 à valeurs dans C1([0,1]×[0,2π/ω]).On cherche alors v sous la forme: v(y,t) = v0(y,t) + V0v

1(y,t) + o(V0), ce qui revient à la supposerdifférentiable par rapport à V0 en 0. Pour V0 = 0, le système est au repos dans le référentiel lié auxplaques et on a donc: v0 = 0. On en déduit, d’après (B.8) que τ12 sera donné par:

τ12(y,t) =V0

d

∫ +∞

0

g(s)∂v1

∂y(y,t− s) ds+ o(V0)


Ainsi, à l’ordre principal, v est solution du problème:

∀y ∈ [0,1], t ∈ R :

dρ∂v

∂t(y,t) =

∂τ12∂y

(y,t)

τ12(y,t) =1

d

∫ +∞

0

g(s)∂v

∂y(y,t− s) ds


v(0,t) = 0

(B.14)

Ce qui revient à négliger les termes non linéaires en v dans la loi rhéologique et à modéliser le fluidepar un modèle de viscoélasticité linéaire finie, ce à quoi on pouvait s’attendre.

– d) Comme dans le cas du fluide Newtonien, on recherche la solution sous la forme: v = <e(u(y)eiωt)où u est complexe. Ainsi u est solution de:

u′′ = Ω2u

u(1) = V0

u(0) = 0

(B.15)

Tout revient donc à remplacer dans (B.12), la viscosité η par la viscosité complexe (d’où son nom,d’ailleurs). On déduit le champ des vitesses en remplaçant dans (B.13), ν par η∗/ρ. Il vient:

v(x,t) = V0 <e[sinh(Ωy)

sinh(Ω)eiωt]e1

Le taux de cisaillement en tout point est donc:

1

d

∂v

∂y=V0

d<e[Ω

cosh(Ωy)

sinh(Ω)eiωt]

et la contrainte de cisaillement s’en déduit, à l’ordre principal en V0:

τ12(x,t) =V0

d<e[η∗Ω

cosh(Ωy)

sinh(Ω)eiωt]

Vu l’orientation de e2, la force de frottement f(t), exercée par le fluide sur la plaque, par unité desurface, est τ12(0,t)e1, soit:

f(t) =V0

d<e[

η∗Ωsinh(Ω)

eiωt]e1 (B.16)

La vitesse de la plaque mobile étant connue, il est clair que si on est capable de mesurer f(t) onpeut, en principe, en déduire η∗.

– e) Si la plaque mobile vibre à des fréquences très élevées, les déformations vues par les particulesfluides dans son voisinage sont très rapides et il n’y a pas de temps pour un réarrangement mo-léculaire: le fluide se comporte comme un solide élastique. Sur ces temps très courts, son moduled’Young est alors donné par g(0) ( voir aussi l’analogie avec les systèmes mécaniques), puisque cettedernière quantité est la contrainte de cisaillement générée par le fluide en réponse instantanée àun échelon unitaire de déformation (réponse impulsionnelle en taux de cisaillement). On sait alors,d’après le cours d’élasticité, que c n’est rien d’autre que la vitesse de propagation des ondes de ci-saillement. A hautes fréquences on s’attend donc à observer une propagation d’ondes de cisaillementqui progressent, dans la direction e2, aux vitesses c (ondes incidentes et réfléchies issues de la plaquemobile) et −c (ondes réfléchies issues de la plaque fixe).On a vu à la question 1.5.d) qu’aux hautes fréquences:

η∗(ω) = −m(0)

ω2− i

g(0)

ω+ o(

1

ω2)

Ainsi:iρω

η∗=

−ρω2

g(0) − im(0)ω + o( 1

ω )= − ρω2

g(0)(1 + i

m(0)

ωg(0)+ o(

1

ω))

147

et donc:

Ω = ± iωdc

(1 + im(0)

2ωg(0)+ o(

1

ω)) = ±(i

ωd

c− m(0)d

2cg(0)+O(

1

ω))

D’où:

sinh(Ω) = ±[sinh(−m(0)d

2cg(0)) cos(

ωd

c) + i cosh(−m(0)d

2cg(0)) sin(

ωd

c)](1 +O(

1

ω))

Finalement on en déduit la force de frottement à l’ordre principal:

V0g(0)

2c

exp(−m(0)d2cg(0) ) cos(ω(t− d

c )) − exp(m(0)d2cg(0) ) cos(ω(t+ d

c ))

(sinh2(m(0)d2cg(0) ) + sin2(ωdc ))

(B.17)

On note que par rapport à ω, elle reste O(1).Dans le cas Newtonien, la force de frottement sur la plaque fixe, par unité de surface, est donnéepar:

f(t) = ηV0

√ω

ν<e[

exp(i(ωt+ π4 )

sinh((1 + i)√

ω2ν d)

]e1 (B.18)

Quand ω est grand, on a pour l’amplitude A(f), l’équivalence:

A(f) ∼ω→+∞

2ηV0

√ω

νe−

√ω2ν d

Elle décroît donc très rapidement avec la fréquence.On voit, à partir de l’expression (B.13) de la vitesse, que tout se passe comme si le cisaillement était

concentré dans une couche d’épaisseur approximative δ =

√2ν

ωau voisinage de la plaque mobile,

qui tend vers 0 aux hautes fréquences: δ est l’épaisseur de peau. En particulier, la plaque fixe n’estsollicitée que si d est de l’ordre de l’épaisseur de peau, contrairement à ce qui se passe pour le fluideviscoélastique.

– f) D’après l’expression obtenue pour le cisaillement, on voit qu’il sera approximativement constant

entre les plaques si : |Ω| 1, c’est à dire si d |√

η∗

iρω |. Pour un fluide Newtonien, ce sera le cas

quand d est petit devant l’épaisseur de peau. Pour un fluide viscoélastique, ce sera le cas aux bassesfréquences, si d est négligeable devant l’épaisseur de peau calculée avec la viscosité η au voisinagedu repos ( car η∗(ω) ∼

0η ) et à hautes fréquences si dc 1

ω , c’est à dire si le temps de transit entre

les plaques, de l’onde élastique de cisaillement, est petit devant la période de vibration.3. On a toujours: v = v(y,t)e1 et les équations déterminantes de v sont donc les équations (B.14) dans

lesquelles on remplace la condition en y = 0 par la relation fondamentale de la dynamique pour laplaque. Il vient donc:

∀y ∈ [0,1], t ∈ R :

ρd∂v

∂t(y,t) =

∂τ12∂y

(y,t)

τ12(y,t) =1

d

∫ +∞

0

g(s)∂v

∂y(y,t− s) ds


m∂v

∂t(0,t) = τ12(0,t)

On recherche la solution sous la forme: v = <e(u(y)eiωt) où u est complexe. Ainsi u est solution de:

u′′ = Ω2u

u(1) = V0

imdω

η∗u(0) − u′(0) = 0

Introduisons pour simplifier le groupement adimensionnel: b = mρd qui n’est rien d’autre que le rapport

de l’inertie de la plaque à celle du fluide. La solution est de la forme: AeΩy +Be−Ωy. On détermine A etB et il vient:

u = V0(1 + bΩ)eΩy + (1 − bΩ)e−Ωy

(1 + bΩ)eΩ + (1 − bΩ)e−Ω


La vitesse de la plaque libre est donc:

u = <e(2V0e

iωt

(1 + bΩ)eΩ + (1 − bΩ)e−Ω)

Ainsi, la mesure de la vitesse de la plaque libre permet en principe de déterminer Ω et donc η∗.

4. On utilise des petits espaces annulaires pour réduire l’effet de peau.

– a) Plaçons nous au point x = (r,θ,z). La vitesse étant purement azimuthale et le fluide incom-pressible, elle est de la forme: v(x,t) = ru(r,t)eθ. Désignons par R(x,t,s) la rotation d’angle∫ t−st

u(r,s′) ds′ autour de−→Oz. Comme pour les écoulements hélicoïdaux, on déduit que: Ft(x,t−s) =

R(x,t,s)(I+M(x,t,s)), où la matrice de M sur la base locale de coordonnées cylindriques (er,eθ,ez)est :

[M(x,t,s)] =

0 0 0∫ t−st

r ∂u∂r (r,s′) ds′ 0 00 0 0

qui est bien de la forme (3-4), quand la base (e1,e2,e3) est (eθ,er,ez). Le taux de cisaillement estdonc χ = r ∂u∂r et les composantes du déviateur des contraintes en coordonnées cylindriques nedépendent pas de (θ,z).

– b) Plaçons nous au point x = (r,θ,z). Les équations locales du mouvement sont donc les mêmesque celles des mouvements hélicoïdaux (c.f. chapitre 4) dans lesquelles ils convient de tenir comptemaintenant du terme d’accélération ρ ∂v∂t et de la condition τrz = τθz = 0 (c.f. question 1.4.b ):

−ρu2r =∂τrr∂r

+τrr − τθθ

r− ∂

∂r(p+ ρφ) (B.19)

ρr2∂u

∂t= r

∂τrθ∂r

+ 2τrθ −∂

∂θ(p+ ρφ) (B.20)

0 =∂

∂z(p+ ρφ) (B.21)

On déduit de (B.19) et (B.21) qu’il existe deux fonctions h et g telles que:

(p+ ρφ)(x,t) = h(r,t) + g(θ,t)

Il vient:

r∂τrθ∂r

+ 2τrθ − ρr2∂u

∂t=∂g

∂θ(θ,t) (B.22)

Ainsi, le membre de gauche ne dépend pas de r. Par conséquent, il existe deux fonctions f et ktelles que: g(θ,z) = f(t)θ + k(t). Et comme p + ρφ, prend la même valeur en θ et θ + 2π, quelquesoit r et t, il en résulte que f = 0. La relation (B.22) devient:

r∂τrθ∂r

+ 2τrθ − ρr2∂u

∂t= 0,

soit:

ρr2∂u

∂t=∂r2τrθ∂r

qui est la relation demandée. Notons que dès que u est connue, on déduit τττ , puis p + ρφ, à unefonction du temps près.En r = R2, on a u(R2,t) = Ω2cos(ωt). En r = R1, u n’est pas fixée mais il y a lieu d’écrire larelation fondamentale de la dynamique pour le cylindre intérieur. Le couple de frottement, parunité de hauteur, exercé par le fluide est 2πR2

1τrθ(R1,t)k et l’on a donc:

I∂u

∂t(R1,t) = 2πR2

1τrθ(R1,t)

149

– c) On procède exactement comme dans le cas plan à la question 2.c. Les équations permettant dedéterminer u à l’ordre principal en Ω2 sont:

∀r ∈ [R1,R2], t ∈ R :

ρr2∂u

∂t=∂r2τrθ∂r

τrθ(r,t) =

∫ +∞

0

g(s)r∂u

∂r(r,t− s) ds

u(R2,t) = Ω2 cos(ωt)

I∂u

∂t(R1,t) = 2πR2

1τrθ(R1,t)

(B.23)

Ce qui revient encore à négliger les termes non linéaires dans la loi rhéologique et à modéliser lefluide par un modèle de viscoélasticité linéaire finie.

– d) En notant w(x) ≡ w(r), les équations déterminantes de w sont:

∀x ∈ [0,1] :

d

dx((1 + εx)3w′(x)) = −K(1 + εx)3w(x)

w(1) = Ω2

aKw(0) + 4εw′(0) = 0

(B.24)

Comme le problème est linéaire, w/Ω2 est solution du même système en remplaçant la condition en1 par w(1) = 1. Il en résulte que w/Ω2 ne dépend que de (x,K,a,ε).Le moment d’inertie, par unité de hauteur, d’un cylindre homogène de rayon R1 et de densité ρ1

est:

I1 =

∫ 2π

0

∫ R1

0

ρ1r3 drdθ =

πρ1R41

2

Ainsi, si l’on désigne par ρ1 la densité de ce cylindre calculée pour que I1 = I, on a: a = ρ1/ρ. Ainsi,a est tout simplement la densité du cylindre intérieur, considéré comme homogène, par rapport aufluide à tester.

– e) A l’ordre 0, on déduit que f (0) est solution de:

f (0)′′ = −Kf (0)

f (0)(1) = 1

f (0)(0) = 0

(B.25)

On désigne par Ω un complexe tel que: Ω2 = −K, et on retrouve exactement le système (B.15) dela question 2.d) pour V0 = 1. Il en résulte que:

f (0)(x) =sinh(Ωx)

sinh(Ω)

A l’ordre suivant, f (1) est solution de:

f (1)′′ +Kf (1) = −3f (0)

f (1)(1) = 0

aKf (1)(0) = −4f (0)′(0)

(B.26)

D’où:

f (1)(0) =4

aΩsinh(Ω)

Au premier ordre, la vitesse angulaire du cylindre intérieur est donc:

u(R1,t) ≈4Ω2ε

a<e(

eiωt

Ωsinh(Ω))

On retrouve la vitesse obtenue à la question 3, si V0 = R1Ω2, développée à l’ordre principal pour lesgrandes valeurs de b, avec d ≡ R2 − R1 et m ≡ I

2πR31. On pouvait s’y attendre, car quand l’espace


annulaire est très petit tout se passe pour le fluide comme si le rayon des cylindres était infinimentgrand, puisqu’il est alors mesuré en prenant comme unité de longueur l’espace annulaire. Ainsi enpremière approximation, tout se passe comme si localement les parois des cylindres étaient des plansfaiblement espacés. En principe, on peut donc mesurer la viscosité complexe en relevant la vitessede rotation du cylindre intérieur, c’est à dire la courbe u(R1,t), pour diverses valeurs de la pulsationω..

– f) Le coefficient d’amortissement A du système est le rapport des amplitudes entre la vitesse derotation du cylindre int. et celle du cylindre ext., soit:

A ≈ 4ε

a|Ωsinh(Ω)|Aux hautes fréquences, on peut utiliser le développement de Ω obtenu à la question 2.e, en rempla-çant d par εR1. Il vient:

A ≈ 4c

aωR1

1√(sinh2(m(0)(R2−R1)

2cg(0) ) + sin2(ω(R2−R1)c ))

On voit qu’il décroît vers 0 comme l’inverse de la fréquence. On ne doit donc pas s’attendre àpouvoir déterminer précisément η∗ aux hautes fréquences ou, ce qui revient au même, g aux tempscourts. Autrement dit ce type de dispositif n’est pas à priori très bien adapté pour la déterminationde g(0).Pour l’appareil envisagé, on a ε = 0.1 et on utilise les formules précédentes. Pour le fluide considéréen 1.5.d, on se place à des fréquences assez grandes pour que la formule précédente soit justifiée eton en évalue les termes. La densité volumique de masse est approximativement celle de l’eau. On

a: a ≈ 3.7, g(0) ≈ η

λ≈ 13Pa, −m(0)/g(0) ≈ 1

λ≈ 10s−1 et c ≈

√1.3 cm/s. Le terme en sin2 est

toujours positif et inférieur à 1, on estime donc A par excès en annulant ce terme. Il vient, avecω = 2πf , où f est en Hz:

A ≈ 1

2f

Ainsi, comme on travaille à petite vitesse de rotation Ω2, on est rapidement limité dans les hautesfréquences car le signal recueilli devient trop faible pour que l’on puisse estimer précisément η∗ etdonc g(0). Pour les mesures en hautes fréquences, il faut donc utiliser d’autres dispositifs où la tailledes échantillons et l’inertie des plaques, peut être réduite. Typiquement on utilise des dispositifs àplaques parallèles de très faible inertie, comme à la question 3, avec des espacements de l’ordre duµm, les déplacements étant mesurés ou imposés par effet piezo-électrique ce qui permet, en pratique,des mesures jusqu’à des fréquences de l’ordre de 100 kHz.

Complément: Solution exacte du problème linéarisé (B.23) et justification du développement en puissancede ε

Considérons d’abord le problème qui consiste à trouver les couples (k,u), où u est un fonction de classeC2[1,R2

R1] non nulle et k un réel, solution de:

(x3u′)′ + kx3u = 0

u(R2/R1) = 0

aku(1) + 4u′(1) = 0

On vérifie facilement, en dérivant, que ce problème est équivalent à un problème de Sturm-Liouville et queles nombres k solutions sont tous strictement positifs. Ils forment donc une suite croissante (kj)j≥1 qui tendvers l’infini. On montre également que les espaces propres sont de dimension 1 et deux à deux orthogonauxdans l’espace vectoriel réel C1

0 = u ∈ C1[1,R2/R1]\ u(R2/R1) = 0, muni du produit scalaire: (u|v) =∫ R2/R1

1x3u′(x)v′(x) dx. Choisissons alors une famille (uj)j≥1 de fonctions propres, normées et vérifiant uj(1) >

0 pour tout j > 0. D’après la théorie du problème de Sturm-Liouville, c’est alors un système total dans l’espacede Hilbert obtenu en complétant l’espace pré-Hilbertien C1

0 . On en déduit, par la méthode de séparation desvariables, que (B.23) admet une et une seule solution périodique qui est donnée par:

u(r,t) = Ω2<e[(1 −∑

j≥1

Ω2

Ω2 + ε2kjbjuj(

r

R1))eiωt]

151

où les bj sont données par:

bj = −(R2

R1)3

u′j(R2

R1)

et où ε et Ω ont été introduits précédemment. Or, on peut vérifier que:∑j≥1 bjuj(1) = 1 et ainsi, la vitesse

angulaire du cylindre intérieur est:

u(R1,t) = Ω2<e[∑

j≥1

ε2k2j

Ω2 + ε2kjbjuj(1)e

iωt]

Pour obtenir une expression asymptotique pour les petits espaces annulaires, il faut développer les co-efficients. On peut alors, après quelques calculs un peu pénibles utilisant les théorèmes de Sturm et desdéveloppements de Taylor, obtenir les relations (pour a > 0 fixé, uniformes en j):

εk1 =4

a+O(ε) ε2kj+1 = π2j2 +O(ε3) (j ≥ 1) (B.27)

b1u1(1) = 1 +O(ε) bj+1uj+1(1) =8(−1)j

aπ2j2ε(1 +O(ε)) (j ≥ 1) (B.28)

Il en résulte, que pour a,Ω fixés:

u(R1,t) =4εΩ2

a<e[(

1

Ω2+ 2

∑

j≥1

(−1)j

Ω2 + π2j2)eiωt] + o(ε)

Or on a la formule classique (voir plus bas):

(1

Ω2+ 2

∑

j≥1

(−1)j

Ω2 + π2j2) =

1

Ω sinh(Ω), (B.29)

et on retrouve le résultat obtenu à la question e).Pour établir (B.29) on développe, pour α ∈ C, la fonction: x ∈ [−1,1] 7→ cos(αx) en série de Fourier sur

[−1,1]. Elle est paire et pour α 6∈ πZ et x ∈] − 1,1[ on a:

cos(αx) =∑

n≥0

an cos(nπx)

a0 =

∫ 1

0

cos(αx) dx =sin(α)

α

an = 2

∫ 1

0

cos(αx) cos(nπx) dx =2(−1)n+1α sin(α)

(nπ)2 − α2

En particulier, pour x = 0, il vient:

1 =sin(α)

α− 2

∑

n≥0

(−1)nα sin(α)

(nπ)2 − α2

D’où:1

α sin(α)=

1

α2− 2

∑

n≥0

(−1)n

(nπ)2 − α2

et on déduit finalement (B.29) en prenant: α = iΩ. D’autre part, on pourra vérifier que pour tout ω réel, Ω(ω)n’est jamais un imaginaire pur de sorte que (B.29) est toujours vraie dans notre problème.

Exercice B.0.1 Compléter l’étude en étudiant le cas où le cylindre intérieur est suspendu à un fil detorsion.


153

Annexe C

Étude de quelques problèmes delubrification pour des fluides NonNewtoniens.

Énoncé. Ecoulements quasi parallèles de films minces.

On s’intéresse à des écoulements de films minces entre parois mobiles de fluides incompressibles non ther-modépendants. On souhaite examiner l’influence de la viscosité non Newtonienne et/ou de l’élasticité sur cesécoulements.

On considère un écoulement pour lequel il existe un plan P , tel que les variations de la vitesse selonce plan soient négligeables par rapport aux variations dans la direction transverse. C’est à dire que si Lest l’échelle caractéristique des variations de la vitesse selon les directions parallèles à P et d celle dans ladirection perpendiculaire à P on a ε = d/L 1. On se donne un repère cartésien (O,i,j,k) où O est fixedans un référentiel Galiléen, avec (O,k) perpendiculaire à P . On note (x,y,z) les coordonnées et on posev = ui + vj +wk. On désignera par V l’ordre de grandeur de l’intensité de la vitesse selon P . On suppose quele temps caractéristique de variation de la vitesse est d’ordre L/V .

Equations locales pour le fluide purement visqueux.

On introduit les variables et fonctions sans dimension:x = Lx y = Ly z = dz t =

L

Vt


et on considère que les vitesses adimensionnées, ainsi que toutes leurs dérivées par rapport aux variables"barres", sont des O(1) dans tous l’écoulement.

1. Justifier que W = O(εV ). Pour la suite, on pose donc W = εV .2. Montrer que le tenseur D se met sous la forme:

D =V

L[1

εD0 + D1]

où D0 et D1 sont des O(1).3. On considère un fluide visqueux généralisé classique de fonction de cisailemment τ et de viscosité µ(γ) =τ(γ)/γ. Quand ε → 0, le taux de cisaillement caractéristique est d’ordre V

εL et est donc "grand". Onapproche alors la fonction de cisaillement par une loi puissance: τ(x) = Kxn (x > 0) et on suppose que

2 > n > 0, ce qui est le cas des fluides réels. On introduit le nombre de Reynolds: Re = ρV 2−ndn

K .

(a) Analyser les ordres de grandeurs des différents termes du bilan de quantité de mouvement et justifierque dans les situations oùRe 1/ε et ε 1, on puisse négliger l’accélération et les forces volumiquesdevant la dissipation visqueuse dans le bilan local de quantité de mouvement. Pour que l’analysesoit justifiée quelle est l’ordre de grandeur du gradient de pression? Quelle différence y a-t-il parrapport à un problème de Stokes classique?

154 ANNEXE C. LUBRIFICATION

(b) En déduire les relations locales à l’ordre principal en variables dimensionnées:

∂p

∂x=∂τxz∂z

τxz = µ(γ0)∂u

∂z∂p

∂y=∂τyz∂z

τyz = µ(γ0)∂v

∂z

∂p

∂z= 0

(C.1)

où

γ20 = (

∂u

∂z)2 + (

∂v

∂z)2 (C.2)

Pour la suite, on admet que les équations (C.1) sont vérifiées, même si le fluide ne suit pas une loipuissance.

(c) Dans le cas où le problème possède une symétrie de révolution autour de l’axe (Oz) et si la vitesseazymuthale est nulle, montrer que les équations précédentes se ramènent à:

∂p

∂r=∂τrz∂z

∂p

∂θ=∂p

∂z= 0

(C.3)

Exprimer τrz en fonction de µ et de la composante radiale u de la vitesse.

Influence de l’élasticité sur la portance d’une butée Mitchell.

1. On considère un fluide Newtonien, de viscosité constante µ0. On suppose que l’écoulement a lieu entrele plan z = 0 immobile et une surface z = h(x,t), invariante par translation dans la direction Oy et dontchaque point est animée d’une vitesse parallèle à Oxz, donnée par U(x,t)i +W (x,t)k. On s’intéresse àun écoulement où le champ v est invariant par translation selon y et vérifie v = 0. Établir l’équation de

h(x,t)

z = 0x

z

Fig. C.1 –

Reynolds:

Q(x,t) = − h3

12µ0

∂p

∂x+Uh

2(C.4)

où, pour chaque x0, Q(x0,t) est le débit volumique par unité de profondeur dans la section x = x0.Effectuer un bilan de masse entre deux sections aux côtes x1 et x2 et en déduire la relation:

∂

∂x(h3 ∂p

∂x) = 12µ0W + 6µ0(h

∂U

∂x− U

∂h

∂x) (C.5)

2. On considère l’écoulement du fluide Newtonien précédent sous une butée de type Mitchell animée d’unevitesse de translation U = cste dans la direction Ox et infiniment longue dans la direction transverseOy.On admet qu’en amont et en aval de la butée le fluide est au repos et que les pressions sont égales à lapression atmosphérique p0 qui règne dans l’air ambiant. On pose:

θ =h2 − h1

L

et on se place dans la situation où U/θ > 0 (c.f. figure C.2).– Déterminer la pression p à une abscisse x sous la butée à un instant donné. On l’exprimera en

fonction de p0,h(x),h1,h2 et du rapport µ0U/θ et on vérifiera que p− p0 > 0.

155

h1 h2L

U

Fig. C.2 – Ecoulement 2D sous une butée.

– Déterminer de même, à une abscisse x et une côte z, le cisaillement∂u

∂zen fonction de U,h(x),µ0,z

et∂p

∂x.

– On se place dans le cas pratique où θ 1. Déterminez, par unité de profondeur, la force desustentation nette FNk exercée sur la butée à l’ordre principal en θ.

3. On désire savoir comment est modifiée FN par l’élasticité du fluide. On admet, sans reprendre d’analyseen ordres de grandeurs, que comme pour le cas du fluide purement visqueux, on peut négliger les forcesd’inertie et les forces volumiques devant les efforts intérieurs. Ainsi, en première approximation le bilande quantité de mouvement se réduit au problème de Stokes:

div(σσσ) = 0

où le champ de vitesse cherché, v = u(x,z,t)i + w(x,z,t)k, vérifie les mêmes conditions limites que dansle cas Newtonien. Pour simplifier l’étude on approche la loi de comportement par celle d’un fluide deGrade 2 sous convecté. C’est à dire:

σσσ = −pId + 2µ0D + 2α1δ

δtD + 4α2D

2

et on admet l’unicité de la solution du problème. On admet également, sans démonstration, le résultatde calcul différentiel général suivant, dû à Giesekus (1963). Si le champ v est isovolume et si il existeune fonction q telle que div(2D) = ∇∇∇q, alors on a la relation:

div(2δ

δtD) = div(4D2) +∇∇∇(

Dq

Dt+ D : D)

(a) Montrer que div(4D2) est le gradient de la fonction r = 4( ∂u∂x )2 + (∂u∂z + ∂w∂x )2.

(b) En déduire que dans le problème de la butée, le champ de vitesse de l’écoulement du fluide Newtoniende même viscosité est solution des équations du mouvement pour le fluide de Grade 2 avec p = pN+p′

où, pN est le champ Newtonien de pression et où p′ est une fonction que l’on précisera.

(c) Justifiez que seul le coefficient α1 intervient pour déterminer les contraintes dans le plan Oxz.

(d) Déterminer FN/F 0N , où F 0

N et la portance du cas Newtonien. On fera apparaître le rapport m =(h2 − h1)/h1. Conclusion?

Compression d’un film liquide.

On s’intéresse à la compression d’un film fluide entre deux plateaux circulaires (voir la figure C.3). Leplateau inférieur est immobile et le plateau supérieur est soumis à partir d’un instant initial à une forceFe = −Fek constante, avec Fe > 0 (par exemple son poids). Le plateau supérieur se rapproche du plateauinférieur et on désire connaître la loi donnant l’écart h(t) entre les deux plateaux. On se place dans la situationoù h0/R 1. On admet que le mouvement du plateau est assez lent pour qu’en première approximation onpuisse négliger l’inertie du plateau et considérer que son mouvement est quasistationnaire. On désigne par ula vitesse radiale dans le fluide.

1. Établir la relation:dh

dt= −2

r

d

dr(r

∫ h/2

0

u(r,z) dz)


Fe

h(t) z = 0

z

R

Fig. C.3 – Compression d’un film fluide

2. Dans le cas d’un fluide Newtonien de viscosité µ0, exprimer u(r,z,t) en fonction de h,µ0,dpdr . En déduire

la pression en fonction de h,h′,µ0,r,R puis la poussée hydrodynamique P exercée par le fluide sur leplateau. En déduire finalement la loi de h.

3. Pour un fluide en loi puissance déterminer une équation différentielle vérifiée par h. En déduire la loi deh. Commentez.

Questions complémentaires.

1. Etablir le résultat de Giesekus utilisé dans le problème de la butée avec un fluide de Grade 2.2. On veut savoir comment, dans le problème de la butée, sont modifiées FT et FN quand le fluide est

rhéofluidifiant. On se place toujours dans le cas où θ 1. En général il n’est pas possible d’obtenirdes expressions analytiques même pour des lois de comportement simples. On va donc faire une étudeasymptotique quand le caractère rhéofluidifiant n’est pas trop marqué. Pour simplifier, on se limite aucas où h2 = 2h1.On suppose donc que dans la gamme des cisaillements existant sous la butée on peut supposer queµ(γ) = µ0(1 − αγ2), où αγ2 1. Le champ de vitesse dépend régulièrement de α et on peut doncsupposer que u et τxz sont proches des champs u0 et τ0

xz du cas Newtonien de viscosité µ0. En déduirequ’en première approximation on a:

1

µ=

1

µ0(1 + βτ0

xz2) β =

α

µ02

Intégrer alors les équations du mouvement et déterminer FT et FN . En déduire le coefficient de frottement.Quel est l’influence du coefficient α?

Fin de l’énoncé

157

Corrigé.

Equations locales pour le fluide purement visqueux.

On pose ε = d/L, ce qui revient à prendre L comme unité de longueur, et on considère une famille dechamps de vitesses qui dépend régulièrement du paramètre ε, ce qui revient à faire varier d. On introduit lesvariables et fonctions sans dimension:

x = Lx y = Ly z = dz t =

L

Vt


et on fait l’hypothèse que les vitesses adimensionnées, ainsi que toutes leurs dérivées par rapport aux variables"barres", sont des O(1) dans tous l’écoulement.

1. Comme le fluide est incompressible, on a div(v) = 0 ce qui se traduit, après changement de variables etde fonctions, par:

−W

εV

∂w

∂z= [

∂u

∂x+∂v

∂y]

Le terme ∂w∂z est un O(1) par hypothèse, de même que membre de droite. Pour éviter les dégénérescences

le rapport WεV doit donc rester sur l’échelle 1 quand ε → 0, c’est à dire par définition des notations de

Landau:W = O(εV )

2. La matrice de D dans la base (i,j,k) est:

[D] =V

L

∂u∂x

12 [∂u∂y + ∂v

∂x ] 12ε [

∂u∂z + ε2 ∂w∂x ]

12 [∂u∂y + ∂v

∂x ] ∂v∂y

12ε [

∂v∂z + ε2 ∂w∂y ]

12ε [

∂u∂z + ε2 ∂w∂x ] 1

2ε [∂v∂z + ε2 ∂w∂y ] ∂w

∂z

D’où:

D =V

L[1

εD0 + D1]

où les matrices de D0 et D1 dans la base (i,j,k) sont:

[D0] =1

2

0 0 ∂u∂z

0 0 ∂v∂z

∂u∂z

∂v∂z 0

[D1] =

∂u∂x

12 [∂u∂y + ∂v

∂x ] ε2∂w∂x

12 [∂u∂y + ∂v

∂x ] ∂v∂y

ε2∂w∂y

ε2∂w∂x

ε2∂w∂y

∂w∂z

et, D0 et D1 sont des O(1) par hypothèse.3. On approche la fonction de cisaillement par une loi puissance: τ(x) = Kxn (x > 0), avec 2 > n > 0, et

on pose Re = ρV 2−ndn

K .

(a) Examinons les termes du bilan de quantité de mouvement. Le terme d’inertie est:

ρDv

Dt=ρV 2

L[(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z)i + (

∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z)j

+ ε(∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z)k]

Introduisons donc une accélération réduite ΓΓΓ définie par:

ρDv

Dt=ρV 2

LΓΓΓ

C’est un O(1) par hypothèse. Divisons donc tous les termes du bilan de quantité de mouvement parρV 2

L . Il vient (g est l’accélération de la pesanteur):

ΓΓΓ − L

ρV 2[ρg −∇∇∇p+ div(τττ)] = 0 (C.6)


Pour estimer le terme visqueux div(τττ), on a besoin du taux de cisaillement γ =√

2D : D. On a:

2D : D =V 2

ε2L2[2D0 : D0 + ε(2D0 : D1 + 2D1 : D0 + 2D1 : D1)]

Posons:χ0 =

√2D0 : D0 α = 2D0 : D1 + 2D1 : D0 + 2D1 : D1

de sorte que:

γ2 =V 2

ε2L2[χ0

2 + εα]

où χ0 et α sont des O(1). Comme d = εL, vu l’expression de D, on en déduit:

τττ = K(V

d)n[(χ0

2 + εα)n−1

2 (D0 + εD1)]

Le terme dans le crochet est un O(1) par hypothèse. Examinons comment la divergence est trans-formée par changement de variable. Notons τττ le champ défini par:

τττ(x,y,z) = τττ(Lx,Ly,Lz)

Il vient immédiatement:

(div(τττ)|i) =1

L[∂τxx∂x

+∂τxy∂y

+1

ε

∂τxz∂z

]

(div(τττ)|j) =1

L[∂τxy∂x

+∂τyy∂y

+1

ε

∂τyz∂z

]

(div(τττ)|k) =1

L[∂τxz∂x

+∂τzy∂y

+1

ε

∂τzz∂z

]

Par suite, vu l’expression de D0, il vient:

L

ρV 2div(τττ) =

K

ερV 2(V

d)n

∂

∂z[(χ0

2 + εα)n−1

2 (∂u

∂zi +

∂v

∂zj)] +O(ε)

où, dans l’accolade, le premier terme est un O(1) par hypothèse. Vu la définition du nombre deReynolds Re, on a donc:

L

ρV 2div(τττ) =

1

εRe

∂

∂z[(χ0

2 + εα)n−1

2 (∂u

∂zi +

∂v

∂zj)] +O(ε)

Par suite, en multipliant tous les termes du bilan de quantité de mouvement (C.6) par εRe, il vient:

0 = εRe[ΓΓΓ − gL

V 2] − εReL

ρV 2∇∇∇p+

∂

∂z[(χ0

2 + εα)n−1

2 (∂u

∂zi +

∂v

∂zj)] +O(ε,εRe)

Quand ε 1 et εRe 1, la contribution visqueuse à l’ordre principal est ∂∂z [(χ0

2 + εα)n−1

2 (∂u∂z i +∂v∂z j)]. C’est un O(1) par hypothèse et, en l’absence de dégénérescence, ce terme ne tend pas uni-formément vers 0 avec ε. Le terme εRe[ΓΓΓ − gL

ρV 2 ] - qui est la contribution des forces d’inertie et desforces volumiques extérieures - est donc alors négligeable devant la dissipation visqueuse. Comme le

dernier terme est sur l’échelle 1, l’ordre de grandeur de ||∇∇∇p|| est doncρV 2

LεRe=ρV 2

dRe: l’écoulement

engendre des surpressions importantes dans le film.

Posons p(Lx,Ly,Lz) = p0 +ρV 2

εRep(x,y,z) où p0 est une pression constante de référence (par exemple

la pression loin des parois). Il vient donc:

O(ε,εRe) + [∂p

∂xi +

∂p

∂yj +

1

ε

∂p

∂zk] =

∂

∂z[(χ0

2 + εα)n−1

2 (∂u

∂zi +

∂v

∂zj)]

En projetant sur l’axe Oz on voit que le terme∂p

∂zdoit être un O(ε2,ε2Re), autrement dit à l’ordre

principal il n’y a pas de variation de pression dans la direction transverse.

159

(b) On a:

(χ02 + εα)

n−12 = χn−1

0 (1 +O(ε))

Par suite, à l’ordre principal en variables sans dimensions, le bilan de quantité de mouvement s’écrit:

∂p

∂xi +

∂p

∂yj =

∂

∂z[χ0

n−1(∂u

∂zi +

∂v

∂zj)]

∂p

∂z= 0

En revenant aux variables dimensionnées et puisque la fonction de cisaillement suit une loi puissance,on obtient donc les équations demandées:

∂p

∂x=∂τxz∂z

τxz = µ(γ0)∂u

∂z∂p

∂y=∂τyz∂z

τyz = µ(γ0)∂v

∂z

∂p

∂z= 0

(C.7)

où

γ20 = (

∂u

∂z)2 + (

∂v

∂z)2

On notera qu’à l’ordre principal en ε et εRe la matrice du tenseur des contraintes dans la base (i,j,k)est donnée par:

[σσσ](i,j,k) =

−p 0 τxz0 −p τyzτxz τyz −p

avec :

τxz = µ(γ0)∂u

∂z

τyz = µ(γ0)∂v

∂z

(c) Introduisons le vecteur u = ui + vj qui est la projection de la vitesse selon le plan P . Notons que,par définition, on a:

γ20 = (

∂u

∂z)2 + (

∂v

∂z)2 = ||∂u

∂zi +

∂v

∂zj||2 = ||∂u

∂z||2

Désignons par ur la vitesse radiale et par ω la vitesse angulaire azymuthale. En coordonnées cylin-driques d’axe Oz, on a donc par définition:

u = ur(r,z,t)er + rω(r,z,t)eθ γ20 = ||∂u

∂z||2 = (

∂ur∂z

)2 + r2(∂ω

∂z)2

Comme l’écoulement est, par hypothèse, invariant par rotation autour de Oz, ur et ω ne dépendentpas de θ. Par changement de variables, puisque l’opérateur gradient est intrinsèque, on a:

[∂p

∂xi +

∂p

∂yj +

∂p

∂zk] = [

∂p

∂rer +

1

r

∂p

∂θeθ +

∂p

∂zk]

Le bilan de quantité de mouvement (C.7) s’écrit donc sous la forme équivalente:

∂p

∂rer +

1

r

∂p

∂θeθ +

∂p

∂zk =

∂

∂z[µ(γ0)

∂u

∂z] =

∂

∂z[µ(γ0)

∂ur∂z

]er +∂

∂z[µ(γ0)r

∂ω

∂z]eθ

En identifiant, on en déduit les équations locales du bilan de quantité de mouvement en coordonnéescylindriques:

∂p

∂r=∂τrz∂z

;∂p

∂θ= r

∂τθz∂z

;∂p

∂z= 0



∂z

En l’absence de vitesse azymuthale (ω = 0) ces équations se simplifient. On a en effet: γ0 = |∂ur

∂z |et donc: τrz = τ(∂ur

∂z ) où τ est la fonction de cisaillement du fluide. On en déduit les équationsdemandées:

∂p

∂r=∂τrz∂z

;∂p

∂θ=∂p

∂z= 0

τrz = τ(∂ur∂z

)

(C.8)


A l’ordre principal en ε et εRe la matrice du tenseur des contraintes dans la base locale (er,eθ,k)des coordonnées cylindriques est alors donnée par:



avec : τrz = τ(

∂ur∂z

)

Note: Si on ne suppose pas que la vitesse azymuthale est nulle, la pression p vérifie donc la relation∂p

∂θ= r

∂τθz∂z

. Comme le membre de droite ne dépend pas de θ, il existe alors une fonction f telle que

p = r∂τθz∂z

θ + f(r,z,t). Comme p(θ) = p(θ + 2π), on en déduit que:

∂p

∂θ= r

∂τθz

∂z= 0

Ainsi, dans le cas Newtonien, la vitesse angulaire, à (r,t) fixés, est alors linéaire en z et est simplementdéterminée par les conditions limites sur les parois fixes, indépendamment de la vitesse radiale: du point devue azymuthal on a un écoulement de "torsion".

Considérons alors la compression d’un film fluide entre deux disques circulaires dont les vitesses angulaires

sont nulles dans un référentiel absolu, ce qui est la situation de l’exercice 3. Dans le cas Newtonien, ω est

donc nulle. En fait, que le fluide soit ou non Newtonien, la seule fonction ω vérifiant la relation ∂τθz∂z

= 0 et

vérifiant ω = 0 sur les disques est la fonction nulle. En effet, on choisit l’origine de sorte que l’un des disques

soit à la côte z = 0 et l’autre à la côte h > 0. En intégrant, on en déduit qu’il existe une fonction c(r,t) telle

que µ ∂ω∂z

= c(r,t) et c(r,t)∫ h

0dzµ

= 0. Comme h > 0 et µ > 0, on a donc c = 0 et la vitesse azymuthale est

donc nulle partout: le bilan de quantité de mouvement se ramène aux équations simplifiées (C.8).

Influence de l’élasticité sur la portance d’une butée Mitchell.

1. On considère un fluide Newtonien, de viscosité constante µ0. On suppose que l’écoulement a lieu entrele plan z = 0 immobile et une surface z = h(x,t), invariante par translation dans la direction Oy et dontchaque point est animée d’une vitesse parallèle à Oxz, donnée par U(x,t)i +W (x,t)k. On s’intéresse àun écoulement où le champ v est invariant par translation selon (Oy) et vérifie v = 0. On se place dans

h(x,t)

z = 0x

z

Fig. C.4 –

les hypothèses du film mince et le bilan de quantité de mouvement se ramène aux relations (C.7) danslesquelles, de plus, v = 0 et u ne dépend pas de y. Il vient donc:

∂p

∂x= µ0

∂2

∂z2(u(x,z,t))

∂p

∂y=∂p

∂z= 0

Comme ∂p∂x ne dépend pas de z, on intégre la première équation et en tenant compte des conditions

limites:u(x,0,t) = 0 u(x,h(x,t),t) = U(x,t)

il vient:

u(x,z,t) =1

µ0

∂p

∂x

z(z − h)

2+Uz

h

On observe que l’écoulement est localement la superposition d’un écoulement de Couette et d’un écou-lement de Poiseuille. Le débit volumique par unité de profondeur dans une section droite d’abscisse xest:

Q(x,t) =

∫ h(x,t)

0

u dz

161

D’où l’on déduit, par quadrature, l’équation de Reynolds:

Q(x,t) = − h3

12µ0

∂p

∂x+Uh

2(C.9)

Soit x1 ≤ x2 deux abscisses et l une profondeur. Désignons par S le domaine limité d’une part par lesplans x = x1, x = x2, y = 0, y = l et d’autre part par le plan z = 0 et par la surface z = h(x,t). Commele fluide est incompressible, on a:

0 =D

Dt

∫

S

dx3 =

∫

∂S

(v|n) ds = l(Q(x2) −Q(x1) +

∫

Γ

(v|n) dl)

où Γ est la partie de la courbe z = h(x,t) du plan Oxz pour laquelle x1 ≤ x ≤ x2. Sur cette courbe,l’élément de longueur et la normale extérieure sont:

dl =

√1 + (

∂h

∂x)2 dx n =

1√1 + (∂h∂x )2

(−∂h∂x

i + k)

La vitesse du fluide sur Γ est celle de la frontière, c’est à dire v = U(x,t)i +W (x,t)k et il vient donc:

Q(x2) −Q(x1) =

∫ x2

x1

(U(x,t)∂h

∂x−W (x,t)) dx

En dérivant par rapport à x2, il vient pour x = x2:

∂Q

∂x(x,t) = U(x,t)

∂h

∂x−W (x,t) (C.10)

En dérivant le membre de droite de (C.9) et en identifiant, on en déduit la relation demandée:

∂

∂x(h3 ∂p

∂x) = 12µ0W + 6µ0(h

∂U

∂x− U

∂h

∂x) (C.11)

2. On considère l’écoulement du fluide Newtonien précédent sous une butée de type Mitchell animée d’unevitesse de translation U = cste dans la direction Ox et infiniment longue dans la direction transverseOy.

h1 h2L

U

Fig. C.5 – Ecoulement 2D sous une butée.

On admet qu’en amont et en aval de la butée le fluide est au repos et que les pressions sont égales à lapression atmosphérique p0 qui règne dans l’air ambiant. On pose:

θ =h2 − h1

L

et on se place dans la situation où U/θ > 0.

– Si on convient qu’à t = 0 l’origine de la butée est en x = 0, pour un instant t quelconque on a:

h(x,t) = h1 + θ(x− Ut) Ut ≤ x ≤ Ut + L

La relation (C.11) se réduit donc à :

∂

∂x(h3 ∂p

∂x) = −6µ0θU


Comme p ne dépend ni de z ni de y, il vient

h3 ∂p

∂x= −6µ0Uθx+ a(t)

où a(t) est une fonction du temps. Ce que l’on peut aussi bien mettre sous la forme, en changeantde fonction inconnue:

h3 ∂p

∂x= −6µ0Uh− 2θb(t) (C.12)


p(x,t) =6µ0U

θh+b(t)

h2+ c(t)

où c(t) est une fonction du temps. Vu les conditions limites, en changeant encore de fonctioninconnue, on met cette relation sous la forme:

p(x,t) =6µ0U

θ(1

h− 1

h1) + b(t)(

1

h2− 1

h12 ) + d(t)

Comme pour x = Ut on a h = h1 et p = p0, on a immédiatement d(t) = p0. Pour x = Ut+ L on ah = h2 et p = p0, d’où l’on tire:

b(t)(1

h22 − 1

h12 ) = −6µ0U

θ(

1

h2− 1

h1)

Soit:

b(t) = −6µ0U

θ

h1h2

h1 + h2(C.13)

et finalement la pression sous la butée est donnée par:

p(x,t) = p0 +6µ0U

θ

(h− h1)(h2 − h)

h2(h1 + h2)Ut ≤ x ≤ Ut + L (C.14)

Comme h1 ≤ h ≤ h2, on a donc p − p0 ≥ 0. La pression sous la butée est donc partout supérieureà la pression atmosphérique.

– Comme on a:

u(x,z,t) =1

µ0

∂p

∂x

z(z − h)

2+Uz

h

on a donc:∂u

∂z=U

h− 1

2µ0

∂p

∂x(h− 2z)

– D’après l’étude faite à la partie 1, la matrice du tenseur des contraintes σσσ dans la base (i,j,k) àl’ordre principal en ε = h

L est:

[σσσ] =

−p 0 τxz0 −p 0τxz 0 −p

La normale extérieure à la butée est n =1√

1 + θ2(−θi + k) et la force nette exercée sur la butée

par unité de profondeur est:

F = −√

1 + θ2

∫ Ut+L

Ut

(σσσ · n + p0n) dx

Posons:F = FNk + FT i

On a:

σσσ · n =1√

1 + θ2[−p(−θi + k) + τxz(i − θk)]

163

Comme τxz = µ0∂u∂z , la force de sustentation FN par unité de profondeur est donc:

FN =

∫ Ut+L

Ut

(p(x,t) − p0) dx+ θµ0

∫ Ut+L

Ut

∂u

∂z(x,h,t) dx

En z = h, d’après la question précédente, on a:

∂u

∂z(x,h,t) =

U

h+

h

2µ0

∂p

∂x(C.15)

En intégrant par parties, on en déduit:

∫ Ut+L

Ut

∂u

∂z(x,h,t) dx =

U

θLog(

h2

h1) +

1

2µ0[ph]Ut+LUt − θ

2µ0

∫ Ut+L

Ut

p dx

Comme aux extrémités de la butée on a p = p0, on a: [ph]Ut+LUt = p0(h2 − h1) = p0Lθ et il restedonc: ∫ Ut+L

Ut

∂u

∂z(x,h,t) dx =

U

θLog(

h2

h1) − θ

2µ0

∫ Ut+L

Ut

(p− p0) dx

Par suite, on a:

FN = (1 − θ2

2)

∫ Ut+L

Ut

(p(x,t) − p0) dx+ µ0U Log(h2

h1)

Reste à calculer le terme de pression. Comme h est linéaire en x, le calcul est immédiat:

∫ Ut+L

Ut

(p(x,t) − p0) dx =6µ0U

θ(h1 + h2)

∫ Ut+L

Ut

[−1 − h1h2

h2+h1 + h2

h]

=6µ0U

θ(h1 + h2)[−L+

h1h2

θ(

1

h2− 1

h1) +

h1 + h2

θLog(

h2

h1)]

On rassemble les termes et il vient donc:

FN = (1 − θ2

2)6µ0U

θ2[Log(

h2

h1) − 2

h2 − h1

h2 + h1] + µ0U Log(

h2

h1)

On se place dans le où θ 1 avec h2 > h1 donnés. Comme le terme entre crochets est strictementpositif, à l’ordre principal en θ on a:

FN ≈ 6µ0U

θ2[Log(

h2

h1) − 2

h2 − h1

h2 + h1]

ce qui correspond uniquement à la contribution de la pression: le terme négligé est inférieur dedeux ordres de grandeur. Attention toutefois que le rôle de θ est subtil 1 puisque pour θ = 0 on anécessairement h2 = h1.A noter que la force de frottement FT sur la butée est donnée par:

FT = −[

∫ Ut+L

Ut

τxz(x,h,t) dx+ θ

∫ Ut+L

Ut

(p− p0) dx] = −µ0U

θLog(

h2

h1) − θ

2

∫ Ut+L

Ut

(p− p0) dx

Vu les calculs précédents, il vient:

FT = −4µ0U

θ[Log(

h2

h1) − 3

2

h2 − h1

h2 + h1]

et on voit donc qu’il y a un ordre de grandeur entre FT et FN . Cette propriété est fondamentaleen lubrification pour les paliers de machines tournantes ou les patins hydrauliques : en utilisant desbiseaux d’angles très faibles on crée des efforts normaux importants permettant de supporter delourdes charges.

1 Si on se place à L et h1 fixés et que l’on fait tendre θ vers 0, c’est à dire h2 vers h1, FN tend vers 0, ce qui est immédiat àvérifier par un développement limité et ce qui est physiquement "normal" puisque l’écoulement tend alors vers un écoulementde Couette purement unidirectionnel dans le quel la pression est constante. C’est l’existence du biseau qui est responsable de lavariation longitudinale de pression et donc de la portance.


3. On désire savoir comment est modifiée FN par l’élasticité du fluide. On admet, sans reprendre l’analysedes ordres de grandeurs, que comme pour le cas du fluide purement visqueux, on peut négliger les forcesd’inertie et les forces volumiques devant les efforts intérieurs. Ainsi, en première approximation le bilande quantité de mouvement se réduit à un problème de Stokes:

div(σσσ) = 0

où le champ de vitesse cherché, v = u(x,z,t)i + w(x,z,t)k, vérifie les mêmes conditions limites que dansle cas Newtonien. Pour simplifier l’étude on approche la loi de comportement par celle d’un fluide deGrade 2 sous convecté. C’est à dire:

σσσ = −pId + 2µ0D + 2α1δ

δtD + 4α2D

2

et on admet l’unicité de la solution du problème. On utilisera le résultat général suivant 2, dû à Giesekus(1963). Si le champ v est isovolume et si il existe une fonction q telle que div(2D) = ∇∇∇q, alors on a larelation:

div(2δ

δtD) = div(4D2) +∇∇∇(

Dq

Dt+ D : D)

(a) Comme le fluide est incompressible, on a: ∂u∂x + ∂w

∂z = 0. On calcule directement la matrice de 4D2

dans la base (i,j,k) et compte tenu de cette condition, il vient:

[4D2](i,j,k) = (4(∂u

∂x)2 + (

∂u

∂z+∂w

∂x)2)

1 0 00 0 00 0 1

Par suite, en posant:

r = 4(∂u

∂x)2 + (

∂u

∂z+∂w

∂x)2

on a:div(4D2) = ∇∇∇r

(b) Considérons le problème de la butée avec un fluide Newtonien de viscosité µ0. Posons d = (h1+h2)/2,ε = d/L où L est la longueur de la butée et Re = ρUd

µ0où U est la vitesse de la butée. Sous

les hypothèses de lubrification, ε 1 et εRe 1, on sait que les forces d’inertie et les forcesvolumiques extérieures sont négligeables devant les forces de dissipation visqueuse et les équationsde la dynamique se ramènent donc à un problème de Stokes. C’est à dire, trouver v = u(x,z,t)i +w(x,z,t)k et p, avec div(v) = 0, solutions de l’équation:

div(2µ0D[v]) = ∇∇∇p

et vérifiant les conditions limites du problème. Soit (vN ,pN ) l’unique solution de ce problème qui aété déterminée, à l’ordre principal en ε et εRe, à la question 2). Notons rN la valeur de r calculéepour le champ vN . D’après la relation de Giesekus, on a donc:

div(2µ0D[vN ] + 2α1δ

δtD[vN ] + 4α2D[vN ]

2) = ∇∇∇[pN +

α1

µ0

D

DtpN + (α2 +

3

2α1)rN ]

Par suite:

div(−pId + 2µ0D[vN ] + 2α1δ

δtD[vN ] + 4α2D

2[vN ])

= ∇∇∇[pN +α1

µ0

D

DtpN + (α2 +

3

2α1)rN − p]

En conséquence, le champ vN vérifie la relation: div(σσσ) = 0 pour le fluide de Grade 2 quand onprend pour fonction p la fonction:

p = pN +α1

µ0

D

DtpN + (α2 +

3

2α1)rN + C(t) (C.16)

2 On trouvera une démonstration du théorème de Diesekus dans les réponses aux questions complémentaires.

165

où C(t) est une fonction arbitraire du temps seul. Comme vN vérifie les conditions limites duproblème et comme on admet l’unicité de la solution pour un fluide Grade 2, ce champ vN est doncle champ de vitesse pour l’écoulement avec un fluide de Grade 2 de viscosité µ0, et p est alors donnépar l’expression (C.16). Attention que p n’est pas la pression. Cependant, loin de la plaque le fluideest au repos et sa pression est la pression constante p0. Par suite, on a C(t) = 0.A noter que comme l’écoulement est, à l’ordre principal, localement un écoulement de Couette-Poiseuille, d’après l’étude des écoulements viscométriques on doit s’attendre à la présence de contraintesnormales dans le déviateur des contraintes et donc à ce que l’élasticité engendre des efforts de por-tance sur le patin, même si il n’est d’ailleurs pas incliné.

(c) On a:

σσσ = −(pN + α1D

DtpN +

3

2α1rN )Id + 2µ0D[vN ] + 2α1

δ

δtD[vN ] + α2(4D

2[vN ] − rNId)

Par suite, le coefficient α2 n’intervient dans σσσ qu’à travers la quantité 4D[vN ]2 − rNId. Or, on adéjà vu que quelque soit le champ de vitesse v = u(x,z)i + w(x,t)k, on a:

[4D2 − rId](i,j,k) = −r

0 0 00 1 00 0 0

Par conséquent, le coefficient α2 n’intervient que dans l’expression de σyy et en particulier lescontraintes dans le plan Oxz, σxx, σxz et σzz ne font donc intervenir que le coefficient α1.

(d) Dans la situation où θ 1, pour déterminer la force de sustentation FN il suffit de déterminer σzz.En tenant compte de l’incompressibilité, un calcul direct sans approximation, donne:

2

[(TL[vN ] · D[vN ] + D[vN ] · L[vN ])

]

(i,j,k)

=

4(∂u∂x )2 + 2∂w∂x (∂w∂x + ∂u∂z ) 0 2∂u∂x (∂u∂z − ∂w

∂x )0 0 0

2∂u∂x (∂u∂z − ∂w∂x ) 0 4(∂u∂x )2 + 2∂w∂x

∂u∂z + 2(∂u∂z )2

Or, à l’ordre principal:

∂u

∂x= O(V/L)

∂w

∂x= O(εV/L)

∂u

∂z= O(V/(Lε))

Par suite, en ne conservant que les ordres principaux, on a les approximations:

[2α1δ

δtD[vN ]]zz ≈ 2α1(

∂u

∂z)2 rN ≈ (

∂u

∂z)2 pN ≈ p(x,t)

D

DtpN ≈ ∂p

∂t+ u

∂p

∂x

où les fonctions u(x,z,t) et p(x,t) ont été déterminés à la question 2). A l’ordre principal en ε,εRe,on a donc:

σzz = −p− α1(∂p

∂t+ u

∂p

∂x) +

α1

2(∂u

∂z)2

On en déduit FN pour θ 1:

FN =

∫ Ut+L

Ut

(−σzz(x,h,t) − p0) dx

La contribution du terme ∂p∂t est nulle puisque l’intégrale

∫ Ut+LUt

p dx est à une constante près la forcede sustentation Newtonienne qui ne dépend pas du temps. De la même manière la contribution duterme u ∂p∂x est nulle puisque u = U est constant sur la plaque et que la pression aux deux extrémitésest p0. Il reste:

FN = F 0N − α1

2

∫ Ut+L

Ut

(∂u

∂z(x,h,t))2 dx

où F 0N est la force de sustentation Newtonienne calculée à la question 2). Comme pour un fluide

réel on a nécessairement α1 < 0, on en conclut que l’élasticité du fluide augmente la portance de labutée. D’après la relation (C.15) on a:

(∂u

∂z(x,h,t))2 =

U2

h2+U

µ0

∂p

∂x+

h2

4µ02(∂p

∂x)2


La contribution du terme Uµ0

∂p∂x est nulle. D’après les relations (C.13) et (C.12) on a:

∂p

∂x=

6µ0U

h2(2

h

h1h2

h1 + h2− 1)

D’où l’on déduit immédiatement :

FN = F 0N − α1U

2

∫ Ut+L

Ut

[5

h2− 18

h3

h1h2

h1 + h2+

18

h4(h1h2

h1 + h2)2] dx

Soit, après calculs:

FN = F 0N − 2α1U

2

θ

(h2 − h1)(h23 + h1

3)

h1h2(h1 + h2)3

On voit que la correction de portance dûe à l’élasticité est inférieure d’un ordre de grandeur à laportance purement Newtonienne, puisque cette dernière est en 1/θ2.

Compression d’un film liquide.

On s’intéresse à la compression d’un film fluide entre deux plateaux circulaires (voir la figure C.6). Leplateau inférieur est immobile et le plateau supérieur est soumis à partir d’un instant initial à une forceFe = −Fek constante, avec Fe > 0 (par exemple son poids). Le plateau supérieur se rapproche du plateauinférieur et on désire connaître la loi donnant l’écart h(t) entre les deux plateaux. On se place dans la situationoù h0/R 1. On admet que le mouvement du plateau est assez lent pour qu’en première approximation onpuisse négliger l’inertie du plateau et considérer que son mouvement est quasistationnaire. On désigne par ula vitesse radiale dans le fluide.

Fe

h(t)O

z = 0

z

R

Fig. C.6 – Compression d’un film fluide

1. On se place sous les hypothèses du film mince et en particulier, on néglige les forces d’inertie et les forcesvolumiques extérieures par rapport à la dissipation visqueuse. Plaçons nous dans un référentiel absolu liéau plateau inférieur et, à chaque instant t, fixons comme origine O le milieu du segment liant les centresdes plateaux (c.f. figure). On désigne par (r,θ,z) les coordonnées cylindriques d’axe (Oz) et d’origine O.Le plateau inférieur est à la côte z = −h(t)/2 et le plateau supérieur à la côte z = h(t)/2. Le problèmeest invariant par rotation autour de l’axe (Oz) et on cherche donc un champ de vitesse invariant parrotation autour de (Oz) et, vu le mouvement des plateaux, sans vitesse azytmuthale (voir la note à la findu premier exercice). Dans la base locale (er,eθ,k) de coordonnées cylindriques, la vitesse en un pointM(r,θ,z) est donnée par:

v(M,t) = u(r,z,t)er + w(r,z,t)k

167

Plaçons nous provisoirement dans le référentiel lié au plan médian des deux plateaux, c’est à dire entranslation de vitesse (h′(t)/2)k et choisissons de faire coïncider les placements à chaque instant t dumouvement absolu et du mouvement déduit par changement de référentiel (cf "équations dans le repèremobile" dans les notes de cours). La vitesse relative v de la particule qui occupe la position M à t, sedéduit alors de sa vitesse absolue par:

v(M,t) = v(M,t) − h′(t)k/2 = u(r,z,t)er + [w(r,z,t) − h′(t)/2]k

Or, dans le repère mobile le problème hydrodynamique est symétrique par rapport au plan z = 0. Onrecherche donc un champ v symétrique par rapport au plan z = 0, ce qui implique en particulier que lechamp u vérifie:

u(r,z,t) = u(r,− z,t) 0 ≤ r ≤ R;−h(t)/2 ≤ z ≤ h(t)/2

Revenons maintenant au mouvement absolu. Soit R0 un rayon avec: R0 ∈ [0,R] et soit Ω(R0) le domaine0 ≤ r ≤ R0;−h(t)/2 ≤ z ≤ h(t)/2. Comme le fluide est incompressible, on a:

0 =D

Dt

∫

Ω(R0)

dx3 =

∫

∂Ω(R0)

(v|n) ds = πR02h′(t) + 2πR0

∫ h(t)/2

−h(t)/2u(R0,z,t) dz

Comme R0 est quelconque, et compte tenu de la symétrie de u, il vient:

∀r ∈ [0,R] : r2h′(t) + 4r

∫ h(t)/2

0

u(r,z,t) dz (C.17)

et, en dérivant par rapport à r, on a la relation demandée qui est l’équivalente, pour la géométriecylindrique, de la relation (C.10) obtenue dans l’exercice précédent:

dh

dt= −2

r

d

dr(r

∫ h/2

0

u(r,z) dz)

2. On suppose dans cette question que le fluide est Newtonien de viscosité µ0. Le bilan de quantité demouvement se résume, à l’ordre principal, aux équations (C.8). Comme p ne dépend ni de z ni de θ, onen déduit qu’il existe une fonction c telle que:

∂u

∂z(r,z,t) =

1

µ0

∂p

∂rz + c(r,t) (C.18)

Or, vu la symétrie du champ u, en z = 0 on a : ∂u∂z (r,0,t) = 0 et donc c = 0, ce qui permet de poursuivresimplement l’intégration. Comme u est nulle sur les plateaux. Il vient:

u(r,z,t) =1

2µ0

∂p

∂r(r,t)(z2 − h2

4)

En reportant cette expression dans la relation (C.17), il vient:

∀r ∈ [0,R] :∂p

∂r(r,t) = 6µ0r

h′

h3

Or, pour r ≥ R comme la pression ne varie pas selon z, la pression est donc égale à la pression atmo-sphérique p0 qui règne à l’extérieur du dispositif. D’où:

∀r ∈ [0,R] : p(r,t) = p0 + 3µ0h′

h3[r2 −R2] (C.19)

La poussée P = Pk exercée par le fluide sur le plateau supérieur est:

P = 2π

∫ R

0

(−σzz + p0) rdr

On sait que le tenseur des contraintes à l’ordre principal est donné dans la base des coordonnées cylin-driques par:




Par suite:

P = −3πR4µ0h′

2h3

En négligeant l’inertie du plateau, la poussée P équilibre la force appliquée. Il vient donc, si Fe > 0désigne l’intensité de cette force:

−3πR3µ0h′

2h3− Fe = 0

Par quadrature, on en déduit la loi de h:

h(t) = h0

√t0

t+ t0t0 =

3πR4µ0

4Feh20

On voit qu’il faut, en principe, un temps infini pour que le plateau supérieur atteigne le plateau inférieur.En réalité, quand h atteint une valeur de l’ordre des rugosités, le mouvement s’arrête.

3. Dans le cas d’un fluide visqueux généralisé de fonction de cisaillement τ , la relation (C.18) devient:

τ(∂u

∂z(r,z,t)) =

∂p

∂rz + c

Comme ∂u∂z est nulle en z = 0 et que τ(0) = 0, la fonction c est nulle et on peut poursuivre simplement

l’intégration. Il vient:∂u

∂z(r,z,t) = τ−1(z

∂p

∂r)

D’où l’on déduit u pour z ∈ [0,h/2]:

∀z ∈ [0,h/2] : u(r,z,t) = −∫ h/2

z

τ−1(s∂p

∂r(r,t)) ds

En reportant dans (C.17), il vient après intégration par parties:

∀r ∈ [0,R] : rh′(t) = 4

∫ h/2

0

zτ−1(z∂p

∂r(r,t)) dz

Pour aller plus loin, il faut expliciter τ−1. Pour une loi puissance, on a: τ(x) = Ksign(x)|x|n et donc:τ−1(x) = sign(x)| xK |1/n. Donc, tant que h est positif on a:

∀r ∈ [0,R] : rh′(t) =4n

(n+ 2)K1/nsign(

∂p

∂r)|∂p∂r

| 1n (h

2)

2n+1n

Le signe de ∂p∂r est alors celui de h′ et par suite:

∀r ∈ [0,R] :∂p

∂r= sign(h′)

|h′|nh2n+1

2Krn(n+ 2

n)n

D’où:

p(r,t) = p0 + sign(h′)|h′|nh2n+1

2K(n+ 2

n)nrn+1 −Rn+1

n+ 1

et:

P = −sign(h′)|h′|nh2n+1

2πK(n+ 2

n)n

Rn+3

(n+ 3)

Pour n = 1 et K = µ0, on retrouve l’expression de P obtenue pour un fluide Newtonien. La fonction hest donc solution, pour t > 0, de l’équation différentielle:

sign(h′)|h′|nh2n+1

= − (n+ 3)Fe2πKRn+3

(n

n+ 2)n h(0) = h0

Comme le membre de droite ne change pas de signe, h′ reste négatif tant que h est positif. Par suite, hest solution, pour t > 0, de :

h′

h2n+1

n

= − n

n+ 2

[(n+ 3)Fe2πKRn+3

] 1n

h(0) = h0

169

D’où:

h(t) = h0

[t0

t+ t0

] nn+1

t0 =n+ 2

(n+ 1)h0

n+1n

[2πKRn+3

(n+ 3)Fe

] 1n

On voit que pour un fluide rhéofluidifiant (n < 1), les disques se rapprochent asymptotiquement plus"lentement" que pour un fluide Newtonien de même t0. Un film rhéofluidifiant résiste donc mieux à lacompression qu’un film Newtonien.

Questions complémentaires.

1. On va établir le résultat de Giesekus dans le cadre un peu plus général des écoulements tridimensionnelsde fluides incompressibles. Soit B = (e1,e2,e3) une base orthonormée, (O,B) un repère cartésien danslequel on note (x1,x2,x3) les coordonnées et soit v un champ de vitesses dépendant éventuellement dutemps:

v = v1(x1,x2,x3,t)e1 + v2(x1,x2,x3,t)e2 + v3(x1,x2,x3,t)e3

On suppose que le champ v est isovolume et que la divergence de sa partie symétrique est un gradient.C’est à dire qu’il existe une fonction q telle que:

div(v) = 0 div(2D) = ∇∇∇q

Alors on a l’identité de Giesekus:

div(2δ

δtD) = div(4D2) +∇∇∇(

Dq

Dt+ D : D) (C.20)

Le résultat utilisé dans l’exercice de la butée est un cas particulier pour le quel le champ v est planet ne dépend que des coordonnées dans ce plan. Pour vérifier la relation (C.20) il suffit de la vérifiercomposantes par composantes. Il suffit donc de montrer que pour chaque i = 1,2,3 on a:

(div(2δ

δtD − 4D2) −∇∇∇(

Dq

Dt+ D : D)|ei) = 0

C’est à dire, puisque δδtD et D2 sont symétriques:

div[(2δ

δtD − 4D2) · ei] −

∂

∂xi(Dq

Dt) =

∂

∂xi(D : D)

Rappelons que, en notant L le gradient de vitesse, on a (avec sommation sur j) :

D =1

2[L +T L]

δ

δtD =

∂D

∂t+ vj

∂D

∂xj+T L · D + D · L

Comme TL = 2D − L, on a donc:

2δ

δtD − 4D2 = 2

∂D

∂t+ 2vj

∂D

∂xj+ 2D · L − 2L · D

Calculons ∂∂xi

(DqDt ). On a:

∂

∂xi(Dq

Dt) =

∂

∂xi[∂q

∂t+ vj

∂q

∂xj]

=D

Dt(∇∇∇q|ei) +

∂q

∂xj

∂vj∂xj

=D

Dt(∇∇∇q|ei) + (∇∇∇q|L · ei)

=D

Dt(div(2D · ei)) + (div(2D)|L · ei)

= div(2∂D

∂t· ei)) + vj

∂

∂xj[div(2D · ei)] + div(2D · L · ei) − 2D : ∇∇∇(L · ei)

= div(2[∂D

∂t+ vj

∂D

∂xj+ D · L] · ei) − 2[(

∂D

∂xj· ei|TLej) + D : ∇∇∇(L · ei)]


Par suite, il vient:

div[(2δ

δtD − 4D2) · ei] −

∂

∂xi(Dq

Dt) = 2[(

∂D

∂xj· ei|TLej) + D : ∇∇∇(L · ei) − div(L · D · ei)]

Or, par définition, on a:

div(L · D · ei) =∂

∂xj(L · D · ei|ej) = (

∂D

∂xj· ei|TLej) + (D · ei|

∂

∂xj(TL · ej))

Par suite, il reste:

div[(2δ

δtD − 4D2) · ei] −

∂

∂xi(Dq

Dt) = 2[D : ∇∇∇(L · ei) − (D · ei|

∂

∂xj(TL · ej))]

En composantes, il vient:

D : ∇∇∇(L · ei) − (D · ei|∂

∂xj(TL · ej)) = Dlkvl,ik −Dkivj,kj

Or, par Schwarz:

vj,kj = vj,jk =∂

∂xk[div(v)] = 0

et il reste donc finalement:

div[(2δ

δtD − 4D2) · ei] −

∂

∂xi(Dq

Dt) = 2Dlkvl,ik = 2Dlkvl,ki = 2D :

∂

∂xi(L)

Or:

2D :∂

∂xi(L) = 2D :

∂

∂xi(L +T L

2+

L −T L

2)

Or, comme D est symétrique et que la dérivation conserve la symétrie, il reste:

2D :∂

∂xi(L) = 2D :

∂

∂xi(D) =

∂

∂xi(D : D)

Et la relation (C.20) est donc établie.2. On veut savoir comment, dans le problème de la butée, sont modifiées FT et FN quand le fluide est

rhéofluidifiant. On se place toujours dans le cas où θ 1. En général il n’est pas possible d’obtenirdes expressions analytiques même pour des lois de comportement simples. On va donc faire une étudeasymptotique quand le caractère rhéofluidifiant n’est pas trop marqué. Pour simplifier, on se limite aucas où h2 = 2h1.On suppose donc que dans la gamme des cisaillements existant sous la butée on a µ(γ) = µ0(1−αγ2), oùαγ2 1. Le problème dépend régulièrement de α et on cherche donc (u,p) sous forme d’un développementen puissance de α. C’est à dire

u = u0 + αu1 + · · · p = p0 + αp1 + · · ·

Pour α = 0, (u0,p0) est la solution du problème Newtonien et donc:

1

µ=

1

µ0(1 + β(τ0

xz)2) +O(α2)

où τ0xz = µ0

∂u0

∂zest la contrainte de cisaillement du problème Newtonien. Pour obtenir la correction à

l’ordre 1 on identifie les termes d’ordre 1 dans le bilan de quantité de mouvement. Celui-ci s’écrit:

∂τxz∂z

=∂p

∂x

∂p

∂y=∂p

∂z= 0

C’est à dire, puisque p ne dépend pas de z:

∂

∂z(τxz − z

∂p

∂x) = 0

∂p

∂y=∂p

∂z= 0

171

On a

τxz = µ(γ)∂u

∂z= µ0(1 − α(

∂u

∂z)2)

∂u

∂z= µ0

∂u0

∂z+ αµ0[

∂u1

∂z− (

∂u0

∂z)3] + · · ·

En développant, on obtient les équations ordre par ordre. A l’ordre 0 on obtient les équations du problèmeNewtonien, comme attendu, et à l’ordre 1 il vient:

∂

∂zµ0[

∂u1

∂z− (

∂u0

∂z)3] − z

∂p1

∂x = 0

∂p1

∂y=∂p1

∂z= 0

A noter qu’en x = Ut et x = Ut + L on a p1 = 0 et en z = 0 et z = h(x,t) on a u1 = 0. Des relationsprécédentes, on déduit l’existence d’une fonction c(x,t) telle que:

∂u1

∂z=

z

µ0

∂p1

∂x+ (

∂u0

∂z)3 + c(x,t)

Les conditions limites u1(x,0,t) = u1(x,h,t) = 0 permettent alors de déterminer u1 en fonction de ∂p1

∂x :

u1 =1

µ0

∂p1

∂x

z(z − h)

2+ [

∫ z

0

(∂u0

∂z)3 ds− z

h

∫ h

0

(∂u0

∂z)3 dz]

Pour x ∈ [Ut,Ut+L], notons Q1(x,t) =∫ h0u1(x,z,t) dz la perturbation du débit au premier ordre. Comme

le fluide est incompressible, Q1 ne dépend pas de x pour x ∈ [Ut,Ut + L] puisque le flux au travers lasurface z = h est absorbé par le débit à l’ordre 0. D’après ce qui précède et en intégrant par parties, ona:

Q1 = − h3

12µ0

∂p1

∂x+

∫ h

0

(h

2− z)(

∂u0

∂z)3 dz

En x = Ut on a p1 = 0, ce qui donne:

p1(X,t) = 12µ0[−Q1

∫ X

Ut

dx

h3+

∫ X

Ut

1

h3[

∫ h

0

(h

2− z)(

∂u0

∂z)3 dz] dx

En x = Ut+ L on a également p1 = 0, ce qui détermine Q1:

Q1 = 2θh2

1h22

h22 − h2

1

∫ Ut+L

Ut

1

h3[

∫ h

0

(h

2− z)(

∂u0

∂z)3 dz] dx

Finalement, on en déduit p1:

p1(X,t) =12µ0

h1

2 − h2

h22 − h1

2

h22

h2

∫ Ut+L

Ut

1

h3[

∫ h

0

(h

2− z)(

∂u0

∂z)3 dz] dx

+

∫ X

Ut

1

h3[

∫ h

0

(h

2− z)(

∂u0

∂z)3 dz] dx

On peut simplifier cette expression en intégrant par parties successivement dans l’intégrale en z. Il vient:

p1(X,t) = − 3

h1

2 − h2

h22 − h1

2

h22

h2

∫ Ut+L

Ut

[∂p0

∂x(∂u0

∂z(x,h))2 − h

µ0(∂p0

∂x)2∂u0

∂z(x,h) +

3h2

10µ20

(∂p0

∂x)3] dx

+

∫ X

Ut

[∂p0

∂x(∂u0

∂z(x,h))2 − h

µ0(∂p0

∂x)2∂u0

∂z(x,h) +

3h2

10µ20

(∂p0

∂x)3] dx

et, comme ∂u0

∂z (x,h) = Uh + h

2µ0

∂p0

∂x , il vient:

p1(X,t) = −3

h1

2 − h2

h22 − h1

2

h22

h2

∫ Ut+L

Ut

∂p0

∂x[U2

h2+

h2

20µ20

(∂p0

∂x)2] dx+

∫ X

Ut

∂p0

∂x[U2

h2+

h2

20µ20

(∂p0

∂x)2] dx

Quand θ 1, la portance à l’ordre principal en θ ne provient que de la pression et est donnée par:

FN = F 0N + α

∫ Ut+L

Ut

p1(X,t) dX +O(α2)


où F 0N est la portance Newtonienne. Pour simplifier les notations, on effectue le changement de variable

x = X − Ut, ce qui revient à se placer dans le référentiel lié à la butée. Au premier ordre en α, il vient:

FN = F 0N − 3αh1h2

θ(h1 + h2)

∫ L

0

[2 − h

h1(1 +

h1

h2)]∂p0

∂x[U2

h2+

h2

20µ20

(∂p0

∂x)2] dx

Dans le cas où h2 = 2h1, on a:∂p0

∂x=

6µ0U

h2(4h1

3h− 1)

et on obtient:

FN =F 0N − 4αµ0U

3L

5

∫ L

0

1

h4(4 − 3

h

h1)(4

h1

h− 3)(7 + 8

h21

h2− 12

h1

h) dx

= F 0N − 0.28

αµ0U3

θ2h21

≈ 0.159µ0U

θ2[1 − 1.76α(

U

h1)2]

Ainsi, pour un fluide faiblement rhéofluidifiant (α > 0), la portance est diminuée par rapport au casNewtonien.Le frottement est donné par:

FT = −[

∫ Ut+L

Ut

τxz(x,h(x),t) dx+ θ

∫ Ut+L

Ut

(p(x,t) − p0) dx]

A l’ordre 1 en α, il vient:

FT = F 0T − αµ0

∫ Ut+L

Ut

[∂u1

∂z(x,h(x),t) + (

∂u0

∂z)3(x,h(x),t)] dx+ θ

∫ Ut+L

Ut

p1(x,t) dx

Après calculs, il vient:

FT ≈ −0.773µ0U

θ[1 − 0.828α(

U

h1)2]

et le coefficient de frottement est donc donné, au premier ordre en α, par:

f = |FT |/FN ≈ 4.86θ[1 + 0.93α(U

h1)2]

Ainsi, pour un fluide faiblement rhéofluidifiant (α > 0), par rapport au cas Newtonien, il y a diminutionde la portance et augmentation du coefficient de frottement.

173

Annexe D

Étude du gonflement d’un jet capillaire.

Énoncé (d’après D. D. Joseph[17])

Partie 1: Viscosimètre capillaire.

On considère l’écoulement isotherme d’un fluide simple incompressible dans un "long" tube cylindriquecirculaire vertical de rayon R0 (c.f. figure 1). Le tube est issu d’un réservoir de très grande capacité, danslequel règne la pression constante P0 = pa + ∆p, et débouche à l’air libre, à la côte z = 0. On admet que lapression dans l’air au voisinage du jet est constante et égale à pa et on néglige la viscosité de l’air. On désignerapar γ > 0 le coefficient de tension superficielle entre l’air et le liquide. Le réservoir étant de grande capacité,on admet, ce qui est conforme à l’expérience quand le débit n’est ni "trop faible" ni "trop fort", que le champde vitesse est partout stationnaire, que sauf au voisinage de l’entrée du tube, le fluide dans le réservoir estau repos, le niveau de la surface libre z = −H étant constant et que la frontière du jet est une surface derévolution d’axe Oz et de rayon h(z), stationnaire. On prolongera h pour les −H + ∆H ≤ z ≤ 0 en posanth(z) = R0 dans le tube. On notera p la pression, τττ le déviateur des contraintes et σσσ le tenseur des contraintesde Cauchy. On suppose que les champs de vitesses et de contraintes dans le liquide sont des fonctions continuesde la position dans tout l’écoulement et on admet que les courbes intégrales du champ v (i.e. les lignes decourant) sont uniques. Les forces volumiques extérieures qui agissent sur le liquide sont ici réduites à la seule

pesanteur qui est dirigée positivement selon l’axe−→Oz. On prendra g = gez, avec 1 g > 0. On désignera par

p = p− ρgz la pression motrice.On désignera par (r,θ,z) les coordonnées cylindriques d’axe

−→Oz. En un point M(r,θ,z), on utilisera les no-

tations suivantes pour les composantes de la vitesse Eulérienne sur la base locale orthonormée des coordonnéescylindriques:

v(M) = w(r,θ,z)eθ + u(r,θ,z)ez + v(r,θ,z)er

1. Montrer que le fait d’admettre que le champ de vitesse est partout stationnaire implique que le déviateurdes contraintes et le gradient de pression sont également stationnaires.

2. Le liquide et l’air étant non miscibles, indiquer la condition cinématique vérifiée par la vitesse sur le borddu jet (justifiez). Expliciter cette condition en fonction de h.

3. (a) Indiquer la condition vectorielle vérifiée par le tenseur des contraintes σσσ = −pId + τττ sur le borddu jet. En déduire que la pression est stationnaire dans tout l’écoulement et que, v, h et pa étantdonnés, il n’y a qu’un seul champ de pression admissible.

(b) Expliciter en fonction de h, les trois conditions scalaires vérifiées par les composantes du tenseurdes contraintes sur le bord du jet. On les exprimera comme des relations portant sur p et lescomposantes de τττ sur la base orthonormée des coordonnées cylindriques. En éliminant γ entredeux de ces relations, on mettra ces conditions sous la forme d’un système de trois équations dontune seulement contient la tension superficielle. Que deviennent ces conditions si le bord du jet estlocalement un cylindre circulaire?

1 Attention: dans la formule (4.79) du poly, il faut prendre g < 0, ce qui n’a en fait aucune importance pour l’analyse qui y estprésentée.

174 ANNEXE D. GONFLEMENT D’UN JET CAPILLAIRE

4. Pour chaque z ≥ −H + ∆H, on désigne par S(z) la section droite à la côte z, c’est à dire l’ensemble despoints M(r,θ,z) avec 0 ≤ r ≤ h(z) et on pose Qv =

∫S(z)

u ds. Justifier que Qv est constant et positif.

5. On suppose que le tube est "assez long" pour que dans une zone loin du réservoir et loin du jet on puisseconsidérer en première approximation que l’écoulement est établi, c’est à dire invariant par translationle long de l’axe, unidirectionnel et que les particules fluides restent dans cette zone pendant un tempstrès long devant le temps caractéristique de relaxation du fluide.

(a) On désigne par v0 le champ de vitesse de l’écoulement établi, par p0 le champ de pression motriceet par τττ0 le déviateur des contraintes. On pose u0 = (v0|ez). Justifier succinctement que la fonction

M 7→ v0(M) ne dépend que de la distance r du point M à l’axe Oz et que ∂p0

∂z est constant. Montrer

que v0, τττ0 et ∂p0

∂z sont déterminés implicitement par la donnée de Qv. Donner l’expression de v0 enfonction de Qv quand la fonction de cisaillement du fluide, τ , suit une loi puissance.Pour ce qui suit:

– On posera a(Qv) = ∂p0

∂z .

– On introduira les fonctions N 0i : r ∈ [0,R0] 7−→ R définies par: N0

i (r) = Ni(u0 ′(r)), où Ni

(i = 1,2) sont les différences normales du fluide.

(b) Dans cette question on néglige la tension superficielle et on admet que 1) l’écoulement est unidirec-tionnel établi dans tout le tube, 2) l’écoulement est unidirectionnel établi dans tout le jet, 3) le fluideest au repos dans tout le réservoir. En exprimant que les tensions axiales sur les sections droitesz = 0 et z = −H + ∆H sont en équilibre, en déduire a(Qv). Déterminer Qv quand la fonction decisaillement suit une loi puissance.D’après les données de la photographie 3 et en admettant que la viscosité du fluide est constante,sachant que l’expérience a été réalisée dans un tube de 6.125 cm de longueur, préciser le type dedispositif (réservoir pressurisé ou dispositif à piston) utilisé pour les expériences et la puissancedissipée dans le capillaire.Sous les hypothèses faites, pourrait-on utiliser le dispositif schématisé sur la figure comme viscosi-mètre? Si oui, indiquer un protocole expérimental.

Expérimentalement, pour les tubes capillaires verticaux, tant que les débits ne sont ni "trop forts" ni "tropfaibles", la frontière du jet subit d’abord une "transition" au voisinage immédiat de la buse (c.f. photographieset figures), qui est soit un gonflement soit une contraction selon le débit et la nature du fluide, puis présenteune section lentement variable sur une longueur grande devant le diamètre du tube. Pour les tubes "assezlongs", l’expérience montre que pour un même fluide la forme du jet ne dépend que du débit et non pas de lalongueur du tube ni du dispositif (réservoir pressurisé ou dispositif à piston) qui a permis d’imposé ce débit,ce qui est consistant avec l’existence d’une zone d’écoulement établi dans le tube.

6. On admet que la solution du problème (i.e. (v,h,p)) est déterminée de manière unique par la donnée dela surpression ∆p et, ce qui semble physiquement évident, que le débit Qv est une fonction inversiblede cette surpression. Le débit Qv étant fixé, justifier, en effectuant un changement de fonction sur lapression, que la pesanteur n’influe alors sur v et h qu’à travers un nombre de Bond B = ρgLR0

γ , où L > 0est une longueur.Au vu des résultats expérimentaux présentés dans la littérature, pour divers fluides avec des tubescapillaires 2 de divers rayons, on peut admettre que le produit |CR0| entre le rayon du tube et la courburedu jet est borné inférieurement par un réel strictement positif, du moins pour la gamme des débitsque l’on souhaite examiner. En déduire qu’il est "légitime" en première approximation, pour les tubescapillaires, de négliger la pesanteur à débit donné pour étudier l’écoulement jusque dans la zone desection approximativement constante du jet. Que représente B?

7. On néglige donc la pesanteur pour déterminer la vitesse et la pression du jet en aval de la zone de tran-sition. On admet en première approximation, ce qui cohérent avec les résultats expérimentaux, qu’assezloin de la buse le rayon du jet est une constante Rf et que l’écoulement est à nouveau unidirectionnelétabli, le fluide ayant "oublié" la zone de transition. En déduire en fonction de Qv et Rf , la vitesse vf ,le déviateur des contraintes τττf et la pression pf de cet écoulement établi.

8. En réalité, on ne peut pas négliger la pesanteur sur toute la longueur du jet et la section du jet aprèsla transition est en fait lentement variable. Pour étudier ces variations, on admet cependant que pourun jet capillaire l’effet de la pesanteur ne se fait sentir que sur les grandes échelles et qu’en premièreapproximation l’écoulement reste "localement" un écoulement unidirectionnel établi, lentement variable

2 Sur les photographies le rayon des tubes est de l’ordre du mm.

175

dans la direction axiale. En déduire, une approximation de la loi de variation de la section du jet assezloin de la buse.

Partie 2: Étude d’un jet libre capillaire.

On cherche maintenant à préciser la forme du jet libre quand le liquide est extrudé à travers un tubecylindrique circulaire de "faible" section. D’après l’étude de la première partie, le problème est de "raccorder"l’écoulement établi en amont dans le tube à l’écoulement dans la section lentement variable loin de la buse.Pour ce faire, on peut, comme on l’a vu, se fixer le débit et, pour les tubes capillaires, négliger la pesanteur.

Dans cette partie, on considère donc un écoulement stationnaire et isotherme d’un fluide simple incom-pressible, en l’absence de forces volumiques extérieures, dans un tube cylindrique d’axe Oz et de rayonh(z), qui s’étend de z = −∞ à z = +∞ et dans lequel le débit volumique Qv ≥ 0 est fixé, Qv étant définicomme en 4. Pour z ≤ 0, on a h(z) = R0 et le fluide adhère aux parois. Pour z ≥ 0, le cylindre de rayonh(z) est une frontière libre stationnaire entre le fluide et l’air, possédant une tension superficielle γ > 0. Onadmet que l’air est un fluide parfait à la pression atmosphérique pa constante. On fait les hypothèses suivantesà l’infini amont et aval:

– A l’infini amont, l’écoulement est établi, unidirectionnel de vitesse v0(Qv). C’est à dire:

limz→−∞

v(M) − v0(M) = 0 limz→−∞

τττ(M) − τττ0(M) = 0

– A l’infini amont, la "perturbation" de pression est bornée. C’est à dire qu’il existe une constante δp - quidépend de Qv, pa et R0 - telle que:

limz→−∞

a(Qv)z −∫ R0

r

N02 (s)

sds+

N02 (r) −N0

1 (r)

3− p(M) = δp

– A l’infini aval z → +∞, la frontière libre tend à devenir un cylindre circulaire. C’est à dire qu’il existeRf ≥ 0, qui depend de Qv, pa et R0, tel que h(z) → Rf et h′,h′′ → 0. De plus l’écoulement tend vers unecoulement établi c’est à dire v → vf , τττ → τττf et p→ pf .

Les fonctions v0(Qv), τττ0(Qv), a(Qv) et N0i (Qv) sont celles qui ont été déterminées à la question 5a. Les

fonctions vf , τττf et pf sont celles qui ont été déterminées à la question 7. On mettra systématiquement unexposant 0 pour toutes les quantités qui concernent l’écoulement établi à l’infini amont.

On cherche à déterminer les trois fonctions (v,p,h), assez régulières pour que toutes les équations aientun sens classiques, que l’on appellera "solution" du problème. On cherche en particulier à préciser le rapportα =

Rf

R0. Pour simplifier, on supposera que, pour Qv, pa et R0 donnés, les limites en z = ±∞ sont uniformes

et que le problème possède une unique solution.Pour chaque z, on désignera par S(z) la section droite à la côte z, c’est à dire l’ensemble des points M(r,θ,z)

avec 0 ≤ r ≤ h(z).

Étude du bilan de quantité de mouvement

1. Préciser les equations du problème et indiquer la solution à débit nul.2. (a) En admettant que l’on puisse forcer l’écoulement établi de l’infini amont dans tout le tube, vérifier

que δp = σ0rr(R0,0).

(b) Justifier que (v,h) - et donc également α - ne dépendent que de Qv et non de pa. En déduire queσσσ + paId, de même que δp+ pa, ne dépend que du débit Qv et interpréter

∫S(z)

(σzz + pa)ds.

(c) Montrer que changer la pression de sortie pa en p′a revient à "allonger" (algébriquement) la canali-sation d’une longueur d, que l’on précisera, tout en conservant les mêmes caractéristiques (v0,δp,τττ0)de l’écoulement à l’infini amont. Quelle est l’interprétation physique?

(d) De quelle longueur ds faudrait-il théoriquement allonger le tube, pour que tout en conservant lesmêmes caractéristiques (v0,δp,τττ0) de l’écoulement à l’infini amont on ait une pression de sortiep′a = δp + γ

R0+ 2pa. Justifier que cette longueur ds soit appelée "longueur de sortie du jet" pour

l’écoulement établi supposé forcé dans tout le tube.3. (a) Par un bilan de quantité de mouvement, montrer que pour z2 ≤ 0 et z1 ≤ 0, on a:

∫

S(z2)

(ρu2 − σzz) ds−∫

S(z1)

(ρu2 − σzz) ds = R0

z2∫

z1

2π∫

0

τrz(R0,θ,z) dθdz


(b) On pose: φ = 1/√

1 + h′2. En procédant de même, montrer que:

∀z ≥ 0 :d

dz[

∫

S(z)

(ρu2 − σzz − pa) ds− 2πγh(z)φ(z)] = 0

Compte tenu de la symétrie de révolution du problème, on cherche alors un champ de vitesses invariantpar rotation autour de l’axe Oz et donné en tout point x(r,θ,z) et à chaque instant t par:

v(x) = w(r,z)eθ + u(r,z)ez + v(r,z)er

4. En remarquant que pour les points x(r,θ,z) et x′(r,θ′,z), on a v(x′) = Q · v(x) où Q est la rotationd’angle θ′ − θ autour de Oz, en déduire que les composantes du déviateur des contraintes sur la baseorthonormée des coordonnées cylindriques ne dépendent pas de θ. En déduire que la pression ne dépendpas de θ.

5. On pose Uf = Qv

πR2f. Montrer que pour tout z ≥ 0, on a:

∫ h(z)

0

r(ρu2(r,z) − σzz(r,z) − pa) dr −γh(z)√

1 + h′2(z)=

1

2(ρR2

fU2f − γRf )

6. (a) On pose U = 2R2

0

∫ R0

0ru(r,0) dr. De l’inégalité

∫ R0

0r(u(0,r) − U)2 dr ≥ 0, déduire l’inégalité:

∫ R0

0

r[σzz(r,0) + pa] dr +γR0√

1 + h′2(R0)≥ρR2

fU2f

2[α2 − 1] +

γRf2

Commentez.(b) Dans le cas d’un gonflement, montrer que le fluide situé entre les sections droites z = 0 et z = L > 0,

quand L est assez grand, est "freiné".(c) Etudier le signe de la tension axiale

∫S(z)

(σzz + pa) ds pour des sections droites z ≥ 0. Interpréterphysiquement le gonflement quand α est assez grand. Est-ce le cas de la photographie 3?

7. (a) Montrer que:

γR0√1 + h′2(0)

+1

2(ρR2

fU2f − γRf − γR0) =

∫ R0

0

rρ(u0)2 dr −∫ R0

0

r(N01 +

N02

2) dr

+R0 limL→−∞

∫ 0

L

(τrz(R0,z) − τ0rz(R0,z)) dz − (δp+ pa +

γ

R0)R2

0

2

(b) On introduit la longueur d, définie par:

limL→−∞

∫ 0

L


γ

R0)R0

2=

∫ d

0

τ0rz(R0,z) dz

Justifier que d ne dépend pas de pa. Interpréter le signe de d en comparant le frottement subi parle fluide dans le tube lors de l’écoulement réel au frottement qu’il subirait dans un écoulement dePoiseuille établi dans un tube qui s’étendrait dans le domaine z ∈] −∞,ds], où ds a été déterminéà la question 2d.

8. (a) Quand la fonction de cisaillement est Newtonienne déterminer∫ R0

0r(u0)2(r) dr en fonction de Qv.

(b) On considère un fluide viscolélastique dont la viscosité Newtonienne est négligeable devant la vis-cosité élastique 3 et dont on approche la loi rhéologique par un modèle objectif intégral mixte defonction de relaxation g et de paramètre ε. Expliciter en fonction de Qv, ε et φ = 2

∫ ∞0sg(s) ds

l’expression: ∫ R0

0

r(N01 +

N02

2) dr

Quelle condition doit vérifier ε pour que le modèle prévoie l’effet Weissenberg. Cette condition étantremplie, en déduire une minoration de l’intégrale précédente. Estimer φ pour le PIB 9.5%.

3 C’est par exemple le cas de la solution de PIB à 9.5% utilisée dans l’expérience rapportée à la photographie 3.

177

9. On suppose que l’écoulement dans le tube est établi jusqu’en z = 0.

(a) Déterminer δp en fonction de h′(0),h′′(0) et a(Qv).(b) On considère un fluide Newtonien. Indiquer une relation liant α, h′(0) et h′′(0). On fera apparaître

les nombres sans dimension Re = 2ρUR0/µ et Ca = µU/γ, où U est la vitesse débitante dans letube. Justifier les résultats experimentaux pour les forts Reynolds.

(c) On considère un fluide viscolélastique qui présente un effet Weissenberg et dont on approche la loirhéologique par un modèle objectif intégral mixte de fonction de relaxation g et de paramètre ε.On admet que la concavité du jet garde un signe constant dans la zone de transition. Montrer qu’àforte vitesse débitante l’analyse prévoit un gonflement du jet dès que R0 est assez petit. Est-ce lecas du PIB 9.5% dans un tube de diamètre 1mm (c.f. photographie 3)?

10. On considère un fluide Newtonien mais on ne suppose plus que l’écoulement est établi dans tout le tube.

(a) Montrer par une analyse dimensionnelle que d = R0F (Re,γR0

ρν2 ).

(b) On suppose que le problème est régulier par rapport au nombre de Reynolds au voisinage de Re = 0,c’est à dire que pour les petits Reynolds, on a α = 1 + α0Re + o(Re) et h′(0) = h′0Re + o(Re)et F (Re,

γR0

ρν2 ) = F0(γR0

ρν2 ) + O(Re). En déduire une expression de α à faible vitesse débitante.Compte tenu des résultats expérimentaux donnés en annexe, quel serait le signe de d à faible vitessedébitante?Pour l’expérience de la photographie 3, déterminer le nombre de Reynolds Re. En déduire que legonflement observé est essentiellement dû à l’élasticité.

Étude locale du jet à faible vitesse débitante.

Compte tenu des conditions aux limites, on va chercher une solution où la vitesse azimuthale est nulle,c’est à dire: ω = 0. Rappelons que l’on admet que le problème possède une unique solution. On va recherchercette solution pour les faibles débits comme une perturbation de la solution à débit nul. On va donc prendrecomme petit paramètre la vitesse débitante ε = Qv

πR20, la pression de sortie pa étant fixée. On sait alors que les

fonctions (v,h,p) ne dépendent que de ε, c’est à dire qu’en un point m ∈ Ωε et pour une cote z on a, avec unabus de notation évident:

v = v(m; ε) h = h(z; ε) p = p(m; ε)

où Ωε est domaine de l’écoulement:

Ωε = (r,θ,z) ; 0 ≤ r ≤ h(z; ε)

qui, pour ε = 0, est le cylindre:Ω0 = (r,θ,z) ; 0 ≤ r ≤ R0

Pour pouvoir mener ce développement, il faut que les fonctions que l’on recherche soient définies sur le mêmedomaine spatial. Comme le problème est posé sur le domaine inconnu Ωε, on va se ramener à un problèmeposé sur le domaine fixe Ω0 par un changement de variable, paramétré en ε, qui deviendra la nouvelle inconnuedu problème. On introduit donc une famille à 1 paramètre, Ψε, de C∞ difféomorphismes définis sur Ω0, avecpour chaque ε: Ψε(Ω0) = Ωε et Ψ0 = Id. On peut également voir cette famille comme un pseudo mouvementde milieu continu - ε jouant le rôle du temps - qui envoie pour chaque ε la "configuration de référence" Ω0 surla configuration Ωε. Le plus naturel ici est de choisir:

Ψε : M(R,Θ,Z) ∈ Ω0 7→ m(r,θ,z) ∈ Ωε avec θ = Θ, z = Z, r =R

R0h(Z; ε)

On recherche donc des développements de la forme:v(m; ε)p(m; ε)h(z; ε)

=

v[0](M)p[0](M)h[0](Z)

+

∑

n≥1

εn

v[n](M)p[n](M)h[n](Z)

que l’on admet être uniformément convergents, ainsi que tous les gradients. Pour chaque ε, on a noté m laposition d’un point dans Ωε et M son image réciproque dans Ω0.

1. Donner la solution (v[0],p[0],h[0]) à l’ordre 0.2. Verifier que la base locale orthonormée des coordonnées cylindriques est la même en M et m. Expliciter,

à ε fixé, les opérateurs ∂∂r ,

∂∂θ et ∂

∂z en fonction des opérateurs ∂∂R , ∂

∂Θ et ∂∂Z .


3. On suppose que le fluide est un fluide simple à mémoire evanescente dont la fonctionnelle mémoire estanalytique par rapport au tenseur des déformations de Cauchy. Justifier succinctement que le mouvementest un mouvement infiniment lent quasi-stationnaire (en fait stationnaire) et en déduire:

τττ(m; ε) = µ0A(1)[v(m; ε)] + εO(ε)

où A1 est le premier tenseur de Rivlin-Ericksen (c.f. chapitre 7) appliqués à v(m; ε) et µ0 la viscosité dufluide au repos. En déduire que:

τττ [0] = 0 τττ [1] = 2µ0D[1]

où D[1] est la partie symétrique du gradient de v[1].4. En déduire que les équations à l’ordre 1 à l’intérieur du domaine Ω0 sont:

div(v[1]) = 0

2µ0divdivdiv(D[1]) −∇∇∇p[1] = 0(D.1)

5. Indiquer les conditions limites sur v[1],D[1] et p[1] à l’infini aval et amont.6. Indiquer les conditions limites en R = R0 et montrer que h[1] vérifie une équation différentielle du

second ordre que l’on précisera. Justifier que le second membre de cette équation a une limite finie quandZ → +∞.

7. Montrer l’unicité de v[1], solution de (D.1), avec les seules conditions limites ne faisant pas intervenirh[1]. On admet alors l’existence de la solution (v[1],p[1]) de (D.1) sous ces conditions limites, ce qui estun résultat d’analyse fonctionnelle. Vérifier que p[1] est déterminée à une constante près.

8. Que valent h[1](0) et lim+∞ h[1] ′(Z). En étudiant la solution générale de cette équation déduire que lapression p[1] à l’infini aval est une fonction bien déterminée de la vitesse. Indiquer comment procéder enpratique pour déterminer numériquement h[1].

9. En déduire qu’il existe une fonction universelle H indépendante du fluide telle que pour z > 0 on ait(dans la mesure où le développement est justifié):

h(z)

R0= 1 + CaH(

z

R0) +O(ε)

Comparer avec le résultat de 10b. Qu’en est-il des fluides viscoélastiques?10. Complément: examiner le problème à l’ordre 2 (c’est un peu plus difficile: venir me voir si intéressé).

Fin de l’énoncé

z

z = 0Σ = Σ0 ∪ Σ1 pa

Σ0 Σ1

RfR0

h(z)

(Gonflement différé)

Jet libre capillaire

(Contraction)

179

h(z)

Σ0

Σ1 Σ = Σ0 ∪ Σ1

z

P0 = pa + ∆p

pa

zone d’écoulement établidans le tube

z = 0

gR0

z = −Hz = −H + ∆H

Fig. D.1 – Viscosimètre capillaire

Quelques données expérimentales

En pratique, les diamètres des tubes concernés sont de l’ordre de 2mm à 0.5mm et l’extrusion peut êtreréalisée soit en pressurisant un réservoir (cas de la première partie) soit en poussant le liquide avec un piston.Dans les deux cas on travaille à débit constant. En première approximation, on peut considérer, au vu desrésultats expérimentaux, que le rayon du jet après la zone de transition est constant. Pour les fluides Newtoniensl’expérience montre que le rapport α entre ce rayon constant et le rayon du tube est une fonction du seul nombrede Reynolds Re = ρUD

µ , où D est le diamètre du tube et U la vitesse débitante. Pour les Re inférieurs à unReynolds critique, qui est de l’ordre de 15, on observe un gonflement du jet, et pour les Re supérieurs, unecontraction. Pour les grands Reynolds (typiquement Re > 100), α2 devient constant, approximativement égalà 3/4. Les valeurs maximales de α2 observés au Re inférieurs au Reynolds critiques sont de l’ordre de 5/4,toutefois le jet est instable aux faibles Reynolds.

A l’inverse, pour les polymères en solutions, on observe toujours un gonflement du jet et, pour un tube etun fluide donnés, le rapport α est une fonction croissante du débit. Pour un tube donné, à faible débit, onobserve communément des valeurs de α2 de l’ordre de 3 ou 4, notablement supérieures aux valeurs observéespour les fluides Newtoniens de même viscosité. Tant que le débit reste inférieur à une valeur critique, la formedu jet est concave et la longueur de la zone de transition est de l’ordre du diamètre du tube (voir figure).Au débit critique, α2 peut atteindre des valeurs de l’ordre de 10 à 20. Au delà, α est encore croissant mais lejet présente une inversion de concavité et le gonflement maximum est atteint de plus en plus loin dans le jet:on dit qu’il est différé (voir photographie 2 de [17]). Le jet peut de plus devenir instationnaire bien que lesconditions amont restent stationnaires, la position du maximum par rapport à la buse devenant fluctuante.Les tensions superficielles des fluides considérés sont de l’ordre de 10−1N/m à 3.10−2N/m.


Fig. D.2 – Photographie tirée de [6]

Corrigé

Partie 1: Viscosimètre capillaire.

1. Le mouvement relatif τ 7→ χt(x0,τ) d’une particule qui occupe la position x0 à l’instant t est solution del’équation différentielle:

dx

dτ= v(x) x(t) = x0 (D.2)

Dans un écoulement stationnaire les trajectoires sont lignes de courant et on a admis que celles ci sontuniques, ce qui est par exemple le cas si le champ de vitesse est C1. Comme l’équation est autonome, onen déduit:

∀t,t′,s : χt(x0,t− s) = χt′(x0,t′ − s)

Il en résulte que Ft(x0,t−s) = Ft′(x0,t′−s). La loi constitutive nous indique alors que τττ(x0,t) = τττ(x0,t

′)et le déviateur des contraintes ne dépend donc pas du temps. Comme le bilan local de quantité demouvement s’écrit:

∀t : ∇∇∇p = div(τττ) − ρ∇∇∇v · von en déduit que ∇∇∇p ne dépend pas de t.

2. Désignons par Σ1 la frontière du jet (c.f. figure). Soit F (x,t) = 0, une équation locale de Σ1 au voisinaged’un point x0 ∈ Σ1 à l’instant t. Comme l’air et le liquide sont non miscibles, Σ1 est une surface matérielleet on a pour tout t,τ assez proches: F (χt(x0,τ),τ) = 0. D’où: ∂

∂tF (x0,t) + (∇∇∇F |v(x0,t)) = 0. Commel’interface est stationnaire, on a: ∂

∂tF (x0,t) = 0. Ainsi, on a:

∀x ∈ Σ1 : (v(x,t)|n) = 0

Pour tout ce qui suit, on convient que, partout où elle interviendra, la normale unitaire sur la frontièredu jet ou du tube est orientée vers l’extérieur (i.e. du liquide vers l’air). Sur le bord du jet on a alors

n = φ(z)(er − h′(z)ez), où φ(z) = 1/√

1 + h′2(z) et il vient:

∀z ≥ 0,∀θ ∈ [0,2π] : v(h(z),θ,z) − h′(z)u(h(z),θ,z) = 0 (D.3)

181

Fig. D.3 – Photographies 1, 2, 3 tirées de [17]


Fig. D.4 – Données pour certaines solutions de polymères, d’après [17]

3. (a) Le saut de masse au travers de Σ1 s’écrit:

∀x ∈ Σ1 : ρ(v − VΣ1|n) = ρa(va − VΣ1

|n) = m

où on a mis un indice a pour l’air. Comme l’air et le liquide sont non miscibles, on a comme pourla question précédente: (va|n) = 0. Comme l’interface est stationnaire on a également (VΣ|n) = 0et par suite: m = 0. La condition d’équilibre dynamique de l’interface devient donc:

∀x ∈ Σ1 : (σσσa − σσσ) · n − 2γCn = 0

où, comme on néglige la viscosité de l’air devant celle du liquide: σσσa = −paId. Finalement, il reste:

∀x ∈ Σ1 : σσσ · n = −(pa + 2γC)n

Ce qui s’écrit:∀x ∈ Σ : τττ · n + (2γC + pa − p)n = 0

où C est la courbure moyenne.On sait que:

∀t : ∇∇∇p = div(τττ) − ρ∇∇∇v · vAinsi, si le problème à une solution (p,v,h), comme le domaine de l’écoulement est simplementconnexe, v et h étant données, la pression est une primitive de la fonction M 7→ div(τττ) − ρ∇∇∇v · v,la quelle primitive est complètement déterminée par la donnée de sa valeur en un point. Comme lapression en un point de Σ1 est fixée dès que v, h et pa sont connues, d’une part p ne dépend pasdu temps et d’autre part p est unique dès que v, h et pa sont connues. De plus, on observera quep− pa est fixé uniquement en fonction de v et h.

(b) En projetant sur la base de coordonnées cylindriques, il vient:

τrr − h′τrz + (2γC + pa − p) = 0

τrz − h′τzz − h′(2γC + pa − p) = 0

τrθ − h′τzθ = 0

On élimine γ entre les deux premières équations, et il reste, ∀z ≥ 0 et ∀θ ∈ [0,2π] :

τrr(h(z),θ,z) − h′(z)τrz(h(z),θ,z) +

[γ(φ(z)

h(z)− h′′(z)φ3(z)) + pa − p(h(z),θ,z)

]= 0

h′(z)

(τrr(h(z),θ,z) − τzz(h(z),θ,z)

)+ τrz(h(z),θ,z)

(1 − h′

2(z)

)= 0

τrθ(h(z),θ,z) − h′(z)τzθ(h(z),θ,z) = 0

183

Quand l’interface est un cylindre circulaire au voisinage d’un point x0, on a: h(z) = R et h′(z) =h′′(z) = 0, il reste pour tout x(R,θ,z) dans ce voisinage:

p(R,θ,z) − pa =

γ

R+ τrr(R,θ,z)

τrz(R,θ,z) = τrθ(R,θ,z) = 0

4. On effectue un bilan de masse entre deux sections droites S1 et S2 aux côtes z2 ≥ z1 ≥ ∆H −H. SoitΣ0 le bord du tube et Σ = Σ0 ∪Σ1. Le fluide adhère aux parois du tube et sur Σ0 on a donc v = 0, alorsque sur Σ1, on a: (v|n) = 0. Ainsi:

∀x ∈ Σ : (v(x,t)|n) = 0

Comme l’écoulement est stationnaire et le fluide incompressible, le bilan de masse se réduit donc à:∫

S1∪S2

(v(x,t)|n) dσ = 0

C’est à dire: ∫ 2π

0

∫ h(z1)

0

ru drdθ =

∫ 2π

0

∫ h(z2)

0

ru drdθ

Par suite Qv est constant, égal au débit volumique de l’écoulement. Si on avait Qv < 0, l’écoulementserait impossible puisqu’il n’y pas de source à l’infini amont (le tube débouche dans l’air ambiant parhypothèse). On a donc Qv ≥ 0.

5. (a) Dans la zone d’écoulement établi, on a alors un écoulement viscométrique. On sait alors (cours) quele champ des vitesses est déterminé de manière unique par la donnée de la chute linéïque de pressionmotrice et que dans une conduite de section circulaire il ne dépend que de la distance à l’axe. Ils’agit donc d’un écoulement de Poiseuille en conduite circulaire vu en cours avec v0 = u0(r)ez. Lavitesse axiale u0 ne dépend que de r et est donnée d’après le cours par:

u0(r) = −∫ R0

r

τ−1(ax

2) dx

où τ est la fonction de cisaillement du fluide et où a = ∂p0

∂z . On a donc:

Qv = −2π

∫ R0

0

r(

∫ R0

r

τ−1(ax

2) dx) dr = −π

∫ R0

0

r2τ−1(ar

2) dr

Il en résulte que:dQvda

= −π2

∫ R0

0

r3(τ−1)′(ar

2) dr

Or la fonction de cisaillement est strictement croissante et tend vers +∞ en +∞, de même doncque son inverse. Par suite Qv est, en fonction de a, une bijection strictement décroissante de R dansR. De sorte que a est déterminé implicitement par la donnée de Qv. Puis, a(Qv) étant connu, u0

s’en déduit de même que le taux de cisaillement χ = (u0)′:

u0(r) = −∫ R0

r

τ−1(a(Qv)x

2) dx χ(r) = τ−1(

a(Qv)r

2)

Finalement, comme on sait que les composantes de τττ0 sur la base locale orthonormée des coordonnéescylindiques ne dépendent que de χ, on en déduit que τττ0 est également une fonction implicite de Qvdont les composantes sont données par les relations (2.27), avec ω = 0. Notons que Qv = 0 si etseulement si a = 0, sinon on peut changer de variable dans l’expression de Qv et on déduit:

Qv = −8π

a3

∫ aR02

0

x2τ−1(x) dx (D.4)

ce qui permet de déterminer implicitement a(Qv) quand on connaît τ . De plus, la pression p0 et asont reliés par la relation (2.32), c’est à dire:

p0 = (a+ ρg)z +

∫ r

0

N2(u0′(s))s

ds+N2(u

0′(r)) −N1(u0′(r))

3+ Cste (D.5)


Comme u0 et a ne dépendent que de Qv, p0 est donc déterminée à une constante près en fonctionde Qv.Pour une loi puissance, on a: τ(x) = Kxn pour x ≥ 0. Pour Qv > 0, comme τ est croissante, on aa < 0. On en déduit:

a = − 2K

R3n+10

((3n+ 1)Qv

nπ

)n

puis:

u0(r) =3n+ 1

n+ 1

QvπR2

0

[1 −

(r

R0

)n+1n

]

(b) D’après l’expression (D.5) de la pression et l’expression (2.27) de τ 0zz, on sait que σ0

zz = −p0 + τ0zz

est de la forme:σ0zz = F (r) − (a+ ρg)z − Cste

où F est une fonction de r qui est bien définie dès que Qv est connue et Cste la constante quiintervient dans l’expression (D.5) de p0.En admettant que l’écoulement dans tout le jet est unidirectionnel établi, c’est donc un écoulementde Poiseuille dans un cylindre de rayon constant R0. Les conditions vérifiées par la contrainte surle bord sont celles obtenues à la fin de la question 3, en y négligeant la tension superficielle:

p(R0,θ,z) = pa + τrr(R0,θ,z) τrz(R0,θ,z) = τrθ(R0,θ,z) = 0

Or, on sait que dans un écoulement de Poiseuille on a τrz(R0,θ,z) = τ(χ(R0)) = aR0

2 où a est uneconstante. Par suite, a est nul et le taux de cisaillement est nul partout: la vitesse est constante etle déviateur des contraintes est nul. En conséquence, σzz est réduit à la pression athmosphérique.L’équilibre des tensions sur la section z = 0 implique alors:

∫ R0

0

r(σ0zz(r,0) + pa) dr = 0 =

∫ R0

0

rF (r) dr + (pa − Cste)R2

0

2

Si le liquide est au repos dans tout le réservoir, le tenseur des contraintes se réduit à une pressionhydrostatique qui en z = −H + ∆H vaut P0 + ρg∆H. L’équilibre des tensions sur la sectionz = −H + ∆H implique:

∫ R0

0

r(σ0zz(r,−H + ∆H) + P0 + ρg∆H) dr = 0 =

∫ R0

0

rF (r) dr + (pa − Cste)R2

0

2

+R2

0

2[∆p+ a(H − ∆H) + ρgH]

D’où:

a = − ∆p

H − ∆H− ρg

H

H − ∆H

Puis, a étant connu on en déduit Qv par la formule (D.4). Il faut que ∆p > −ρgH pour avoir undébit positif. Pour une loi puissance, on trouve:

Qv =

[R0

ρgH+∆pH−∆H

2K

] 1n nπR3

0

3n+ 1

Quand la fonction de cisaillement est Newtonienne, on a:

Qv =πR4

0

8µ

ρgH + ∆p

H − ∆H

Sur les photographies, u(0) est la vitesse moyenne débitante. C’est à dire u(0) = Qv/(πR20). On a

donc une approximation de la perte de charge linéïque:

ρgH + ∆p

H − ∆H= 8µu(0)/R2

0

Pour la photographie 3, on en déduit: ρgH+∆pH−∆H ≈ 18 104 bars/m. Soit:

ρgH + ∆p = 1.1 104 bars

185

le dispositif est évidement un dispositif à piston...la puissance consommée est de l’ordre de |a|(H −∆H)Qv ≈ 3.5KW.Utilisation du "dispositif" en viscosimètre. On peut, pour un même tube, faire varier la charge etdonc a, soit en faisant varier P0, soit en inclinant le tube. On en déduit, d’après (D.4), que l’on peutdéterminer la fonction de cisaillement en relevant la courbe Qv(a):

τ(1

πa3R30

d[a3Qv]

da) = −aR0

2

6. Fixons L > 0. Le débit étant donné, on effectue le changement de fonction sur la pression: p = p+pa+ρgz.Les fonctions v, h et p, sont solution du problème équivalent:

div(v) = 0

ρ∇∇∇v · v = div(τττ) −∇∇∇pSur Σ0 et sur les parois du réservoir : v = 0

Sur Σ1 : (v|n) = 0 et τττ · n − pn =γ

R0[Bz

L− 2CR0]n

avec, en z = −H: p(z = −H) = ∆p + ρgH et B = ρgLR0

γ . La solution de ce problème est uniquepar hypothèse, et ne dépend que de ∆p et donc que de Qv puisque la fonction Qv(∆p) est supposéeinversible. On en déduit que v, h et p sont des fonctions de Qv seulement. Par suite, Qv étant fixé,∆p+ ρgH apparaît comme une fonction bien définie de Qv seulement et finalement v et h - à Qv fixé -ne dépendent de g que par le nombre de Bond, B.Quand R0 → 0, B → 0. Si on admet que 1/(2C) reste de l’ordre de R0, on a 2CR0 = O(1) et doncB zL 2CR0 tant que z/L = O(1). On peut alors négliger en première approximation la pesanteur

devant la tension superficielle pour l’étude de l’écoulement tant que z/L = O(1). Expérimentalement,dans les tubes capillaires dont les diamètres sont de l’ordre du mm, la longueur de la zone de transitionest de l’ordre du diamètre du tube (c.f. photos). Par suite, B → 0 dans la zone des transition quandR0 → 0, ce qui justifie qu’en première approximation on puisse négliger la pesanteur pour l’étude del’écoulement jusqu’à la zone de section approximativement constante. En pratique, on obtient des Bde l’ordre de 0.1 à 1 qui ne sont tout de même pas très petits. Le nombre de Bond représente, à uneconstante multiplicative près, le rapport du poids du fluide contenu dans un cylindre libre de rayon R0

et de hauteur L à la résultante de la tension superficielle exercées sur le bord supérieur de ce cylindrepar le reste du film (ou par un support: ici la buse).

7. Dans la zone où R = Rf , comme l’écoulement est établi unidirectionnel on a vf = u(r)ez et comme lefluide a "oubliè" les conditions d’entrée tout se passe comme si l’écoulement était établi depuis z = −∞.L’écoulement est donc encore un écoulement de Poiseuille. Les conditions limites sur le bord sont cellesobtenues à la fin de la question 3 où, de plus, les composantes du déviateur des contraintes ainsi quela pression ne dépendent pas de θ, comme on le sait pour un écoulement de Poiseuille. La conditionτrz(Rf ,z) = 0 indique alors que le taux de cisaillement est nul. Par suite: 1) le déviateur des contraintesest nul, la condition τrθ(Rf ,z) = 0 est automatiquement vérifiée et le fluide se comporte comme un fluideparfait, et 2) la vitesse est constante, de la forme v = Ufez. Par conservation du débit on a: Uf = Qv

πR2f.

Comme on sait que la pression dans un écoulement de Poiseuille est donnée par la relation (D.5), avecici come on a négligé la pesanteur, a = u′ = φ = 0, la pression est donc constante égale à sa valeur sur lebord ce qui n’est rendu possible que parce que la pesanteur est négligeable devant la tension superficielle.Pour résumer, on a donc:

pf = pa +γ

Rfvf =

QvπR2

f

ez τττf = 0

8. En première approximation, sur l’échelle spatiale en z où on peut considérer que la section reste constanteon considère que l’écoulement est unidirectionnel établi et que le fluide se comporte donc encore commeun fluide parfait. La pression est constante dans une section droite et est donc donnée par la valeur surle bord. Comme la section est lentement variable, on a p(z) = pa + γ/h(z) et φ(z) = 1. La vitesse u(z)

est donnée par u(z) = Qv

πh2(z) . On déduit de l’intégrale de Bernouilli que: ρ Q2v

2π2h4(z) + γh(z) + ρgz = Cste.

En différentiant, il vient:

h′ = − ρgh2

2ρQ2v

π2h3 + γ


La tension superficielle amplifie le taux de contraction. Pour déterminer la loi de h dans la zone lentementvariable, il suffit donc de connaître Rf . Finalement le problème est ramené à l’étude du jet au voisinagede la buse, là où on peut négliger la pesanteur. C’est l’objet de la seconde partie.

Partie 2: Étude d’un jet libre capillaire.

Étude du bilan de quantité de mouvement.

1. Pour Qv et pa donnés, le problème est de trouver (v,h,p) tels que

– La fonction h : ] − ∞, + ∞[7→ [0, + ∞[ soit continue, de classe C2 sur [0, + ∞[, égale à R0 sur] −∞,0], possède une limite en +∞, notée Rf et vérifie (h′(z),h′′(z)) → (0,0) en +∞.

– Les fonctions (v,p) vérifient sur Ωh = z ∈] −∞,+ ∞[ ; θ ∈ [0,2π[ ; 0 ≤ r < h(z):

div(v) = 0 ρ∇∇∇v · v = div(τττ) −∇∇∇p

où τττ est une fonctionnelle donnée de v, avec les conditions limites sur ∂Ωh:

Sur Σ0 : v = 0

Sur Σ1 : (v|n) = 0 et τττ · n − pn = −(2γC + pa)n

– Quand z → −∞, on a:

v → v0 τττ → τττ0 ∃ limz→−∞

a(Qv)z −∫ R0

r

N02 (s)

sds+

N02 (r) −N0

1 (r)

3− p(M) = δp

– Quand z → +∞, on a:

v → QvπR2

f

ez τττ → 0 p→ pa +γ

Rf

Pour Qv = 0, le triplet (v = 0,h = R0,p = pa+γ/R0) est solution et c’est la seule par hypothèse. Notonscependant que le problème modèle - i.e. le problème stationnaire où l’on néglige la pesanteur - n’est alorsplus un modèle acceptable du problème physique car l’experience montre que quand le débit tend vers0, le jet réel devient instable (goutte à goutte): d’une part la pesanteur ne peut en principe plus êtrenégligée pour l’étude et d’autre part le problème est instationnaire. Ainsi, il faut supposer que le débitn’est pas "trop" petit pour que l’étude garde un sens physique.

2. (a) La fonction p0(r,z) = a(Qv)z −∫ R0

rN0

2 (s)s ds +

N02 (r)−N0

1 (r)3 − δp est la limite asymptotique de la

pression quand z → −∞. C’est donc la pression de l’écoulement établi forcé dans tout le tube.On affecte d’un exposant 0 toutes les caractéristiques de cet écoulement. On a par définition: δp =N0

2 (R0)−N01 (R0)

3 − p0(R0,0) = τ0rr(R0,0) − p0(R0,0) et δp = σ0

rr(R0,0) est donc la contrainte radialequ’il y aurait sur le bord du tube en z = 0 si l’écoulement était établi dans tout le tube, le débit etla pression à l’infini amont étant fixés.

(b) La solution (v,h,p) du problème étant unique, on en déduit que la solution du même problème pourun même Qv mais une pression atmosphérique p′a, est donnée par (v,h,p + p′a − pa). En prenantp′a = 0, on en déduit que les trois fonctions (v,h,p− pa) ne dépendent que du débit Qv. Par suite,σσσ + paId ne dépend que de Qv et correspond à une pression de sortie nulle. De même, δp+ pa, quiest la constante qui intervient dans la pression asymptotique amont quand p′a = 0, ne dépend quedu débit.Si on considère une section S(z) la quantité

∫S(z)

(σzz + pa)ds est donc la surtension axiale due à laprésence de l’écoulement quand le jet débouche dans le vide : elle ne dépend que du débit Qv. Onpeut la qualifier de "tension hydrodynamique" sur la section S(z), dans la mesure où le fait mêmeque la tension superficielle intervienne ne peut physiquement se comprendre que par l’existence d’undébit non nul.

(c) Soit (v,h,p) la solution du problème pourQv et pa donnés, avec une buse située en z = 0. Considéronsle même problème pour le même fluide, avec un débit Qv dans un tube de rayon R0 mais où la busede sortie est à la côte z = d et où la pression de sortie est p′a. De l’unicité de la solution, on déduitque la solution (v′,h′,p′) de ce problème est tout simplement donnée par :

v′(r,θ,z) = v(r,θ,z − d),h′(r,θ,z) = h(r,θ,z − d),p′(r,θ,z) = p(r,θ,z − d) − pa + p′a

187

Il en résulte que la pression asymptotique à l’infini amont, p′0, est donnée par:

p′0

= a(Qv)(z − d) −∫ R0

r

N02 (s)

sds+

N02 (r) −N0

1 (r)

3− δp− pa + p′a

= p0 + (a(Qv)d− pa + p′a)

Pour conserver la même pression asymptotique à l’infini amont, il faut donc "allonger" le tube de

d = (p′a − pa)/a(Qv)

Comme a < 0, on a effectivement un allongement si p′a ≤ pa et un "raccourcissement" sinon.Le résultat était prévisible en se référant au problème de la première partie: pour conserver le mêmedébit, avec la même pression P0 dans le réservoir et une pression de sortie p′a 6= pa il faut modifier lalongueur du tube, ce qui n’influe pas sur la forme du jet si le tube est assez long, afin d’augmenterou de diminuer le frottement subi par le fluide dans le tube. Pour un tube très long, tout revientfinalement à augmenter ou à diminuer la longueur de l’écoulement établi, puisque les longueursd’établissement en entrée et en sortie ne dépendent en principe que du débit.

(d) Il faut donc:

ds = (δp+ pa +γ

R0)/a(Qv)

Vu les conditions amont, si l’écoulement était établi dans tout le tube, au niveau de la buse onaurait donc maintenant: σ0

rr(R0,ds) = −(pa + γR0

) et en 0 on a toujours: σ0rr(R0,0) = δp .

Supposons que par un moyen quelconque on puisse forcer un écoulement établi dans tout le tube,les conditions amont étant celles correspondant à la solution du problème réel, le jet débouchant àl’air libre à la pression pa. Si le jet ne subissait pas de transition, c’est à dire si l’interface restaitun cylindre de rayon R0 alors, vu la condition de saut, on aurait en sortie de buse σ0

rr(R0,0) =−(pa + γ

R0). En réalité le jet subit une transition puisque σ0

rr(R0,0) = δp. Par suite ds est lalongueur de canalisation qu’il faut ajouter à l’écoulement établi pour adapter la valeur de σ0

rr ensortie de buse à la valeur pour un jet sans transition. Pour un fluide purement visqueux, σ0

rr est lapression constante dans une section et ds est la longueur d’adaptation de la pression.

3. On va traiter ici le cas d’un cylindre vertical en présence de pesanteur, les relations demandées s’endéduisent en faisant g = 0. Le bilan local de quantité de mouvement s’écrit:

div(ρv ⊗ v − σσσ) = ρgez

Sur l’interface ou sur le bord du tube, on a toujours (v|n) = 0. Le bilan de quantité de mouvement pourle volume de fluide compris dans le domaine Ω situé entre deux sections droites S1 et S2, aux côtes z1 etz2 se résume donc à:

∫

S(z1)∪S(z2)

[ρv(v|n) − σσσ · n] ds =

∫

∂Ω∩Σ

σσσ · n ds+ πρg

∫ z2

z1

h2(z) dzez

C’est à dire, en projetant sur l’axe Oz:

∫

S(z2)

(ρu2 − σzz) ds−∫

S(z1)

(ρu2 − σzz) ds =

∫

∂Ω∩Σ

(σσσ · n|ez) ds+ πρg

z2∫

z1

h2(z) dz (D.6)

(a) Pour z1 ≤ 0 et z2 ≤ 0, on est dans le tube. Dans le membre de droite de (D.6), on a n = er eth(z) = R0 et cette relation devient donc:

∫

S(z2)

(ρu2 − σzz − ρgz2) ds−∫

S(z1)

(ρu2 − σzz − ρgz1) ds = R0

z2∫

z1

2π∫

0

τrz dθdz (D.7)

qui est l’identité demandée quand g = 0.(b) Pour z1 ≤ 0 et z2 ≤ 0, on est dans le jet et on a σσσ · n = −(pa + 2γC)n et on a donc:

∫

∂Ω∩Σ1

σσσ · n ds = −pa∫

∂Ω∩Σ1

n ds− γ

∫

∂Ω∩Σ1

2Cn ds


On utilise l’identité de Gauss pour transformer la seconde intégrale de surface en intégrale curviligne:∫

∂Ω∩Σ

σσσ · n ds = −pa∫

∂Ω∩Σ

n ds+ γ

∫

∂(∂Ω∩Σ)

n ds

et, comme d’après le théorème de Stokes on a∫∂Ω

n ds = 0, il reste:∫

∂Ω∩Σ1

σσσ · n ds = pa

∫

S(z1)∪S(z2)

n ds+ γ

∫

∂(∂Ω∩Σ1)

n ds

Comme l’interface est de révolution, en un point du bord de ∂Ω ∩ Σ1 la normale unitaire n situéedans le plan tangent à Σ1 est une perpendiculaire à n dans le plan (er,ez). Par suite n n’est riend’autre, au signe près (selon que l’on est en z1 ou en z2), que eθ∧n. C’est à dire: n = ±φ(h′er+ez).Par symétrie, la contribution du terme en h′(z)er est nulle. Il reste donc:

∫

∂Ω∩Σ1

σσσ · n ds = pa

∫

S(z1)∪S(z2)

n ds+ 2πγ[h(z2)φ(z2) − h(z1)φ(z1)]ez

La relation (D.6) devient donc:∫

S(z2)

(ρu2 − σzz − pa) ds−∫

S(z1)

(ρu2 − σzz − pa) ds

=2πγ[h(z2)φ(z2) − h(z1)φ(z1)] + πρg

∫ z2

z1

h2(z) dz

(D.8)

Notons qu’elle s’écrit aussi:

∀z ≥ 0 :d

dz[

∫

S(z)

(ρu2 − σzz − pa) ds− 2πγh(z)φ(z)] = πρgh2(z) (D.9)

qui est la relation demandée quand g = 0.

4. Le mouvement relatif τ 7→ χt(x0,τ) d’une particule qui occupe la position x0 à l’instant t est solution del’équation différentielle (D.2). Comme le champ de vitesse est invariant par rotation, de l’unicité de lasolution de cette équation différentielle on déduit que:

∀t,s,r,θ,θ′,z :−−−−−−−−−−−−→Oχt(r,θ

′,z; t− s) = Q · −−−−−−−−−−−→Oχt(r,θ,z; t− s)

Il en résulte que Ft(r,θ′,z; t−s) = Q·Ft(r,θ,z; t−s). On applique alors le principe d’objectivité matérielle

pour en déduire que:τττ(r,θ′,z) =T Q · τττ(r,θ,z) · Q

Ce qui signifie que la matrice de τττ(r,θ′,z) sur la base locale orthonormée des coordonnées cylindriquesen (r,θ′,z) est la même que celle de τττ(r,θ,z) sur la base locale orthonormée des coordonnées cylindriquesen (r,θ,z). Ainsi, les composantes de τττ ne dépendent pas de θ.En projetant le bilan de quantité de mouvement sur l’axe azymuthal on en déduit que:

∂p

∂θ= F (r,z)

où F est une certaine fonction de (r,z) seulement. Ainsi, si le problème à une solution, il doit exister unefonction G telle que p(r,θ,z) = F (r,z)θ +G(r,z). Mais, comme p, est continue on doit donc avoir F = 0.Ainsi, p ne dépend pas de θ.

5. D’après la relation (D.9), comme ici g = 0, il existe une constante A telle que:

∀z ≥ 0 :

∫

S(z)

(ρu2 − σzz − pa) ds− 2πγh(z)φ(z) = A

On détermine cette constante en faisant tendre z → +∞ et il vient:

A = π(ρR2fU

2f − γRf )

189

D’autre part, comme les variables ne dépendent pas de θ, on a:

∫

S(z)

(ρu2 − σzz − pa) ds− 2πγh(z)φ(z) = 2π

∫ h(z)

0

r(ρu2 − σzz − pa) dr − 2πγh(z)φ(z)

D’où:

∀z ≥ 0 :

∫ h(z)

0

r(ρu2 − σzz − pa) dr −γh(z)√

1 + h′2(z)=

1

2(ρR2

fU2f − γRf ) (D.10)

6. (a) On a:

∫ R0

0

r(u(0,r) − U)2 dr =

∫ R0

0

ru2(0,r) dr − 2U

∫ R0

0

ru(0,r) dr +U2R2

0

2

=

∫ R0

0

ru2(0,r) dr − U2R20

2

Or: U = Qv

πR20

=UfR

2f

R20

et on a donc:

∫ R0

0

ru2(0,r) dr −U2fR

4f

2R20

≥ 0

En retranchant ρU2

fR4f

2R20

à chaque membre de (D.10), on déduit l’inégalité demandée:

∫ R0

0

r[σzz(r,0) + pa] dr +γR0√

1 + h′(R0)2≥ρR2

fU2f

2[α2 − 1] +

γRf2

Commentaire: Si on néglige la tension superficielle et que l’on considère que∫ R0

0r[σzz(r,0)+pa] dr =

0 on ne peut alors avoir que α ≤ 1, c’est à dire une contraction, ce qui est en particulier incompa-tible avec le comportement usuel des fluides viscoélastiques. On retrouve la conclusion de l’analysequalitative proposée dans les notes de cours.

(b) La résultante des forces extérieures, F, exercée sur le volume de fluide contenu dans le domaine Ωsitué entre les sections z = 0 et z = L a été calculée à la question 3b. Il vient:

F =

∫

S(0)∪S(L)

σσσ · n ds +

∫

∂Ω∩Σ1

σσσ · n ds

=

∫

S(0)∪S(L)

(σσσ · n + pan) ds + 2πγ[h(L)√

1 + h′2(L)− h(0)√

1 + h′2(0)]ez

D’où:

(F|ez) = 2π[

∫ h(L)

0

r(σzz(r,L) + pa) dr −∫ R0

0

r(σzz(r,0) + pa) dr

+γh(L)√

1 + h′2(L)− γh(0)√

1 + h′2(0)]

D’après la relation (D.10), on a donc:

(F|ez) = 2π[

∫ h(L)

0

rρu2 dr −ρR2

fU2f

2+γRf

2−

∫ R0

0

r(σzz(r,0) + pa) dr −γh(0)√

1 + h′2(0)]

et il vient:

limL→+∞

(F|ez) = 2π[γRf

2−

∫ R0

0

r(σzz(r,0) + pa) dr −γh(0)√

1 + h′2(0)]


D’où:lim

L→+∞(F|ez) ≤ πρR2

fU2f (1 − α2)

En conséquence, si on a un gonflement, alors α > 1 et la limite ci dessus est strictement négative.Par suite, pour L assez grand, la force axiale nette agissant sur Ω est opposée au débit: dans le casd’un gonflement le fluide est donc freiné dans la zone de transition.

(c) Posons:

f(0) = 2π

∫ R0

0

r(σzz(r,0) + pa) dr

et :

f(L) = 2π

∫ h(L)

0

r(σzz(r,L) + pa) dr

qui sont respectivement les "tensions hydrodynamiques" nettes, dues au débit Qv, exercées parl’amont du jet fluide sur le fluide contenu en aval des sections z = 0 et z = L. Quand L −→ +∞,on a d’après (D.10)

f(L) −→ −πγRfCette limite est toujours négative. D’après la question 6a, on a:

f(0) ≥ πρR2fU

2f [α2 − 1] + πγR0(α− 2√

1 + h′(0)2)

Le membre de droite est alors strictement positif dans le cas d’un gonflement dès que α ≥ 2. Ainsi,au niveau de la buse, la tension axiale hydrodyanmique est une traction. On peut donc interpréterles "forts" gonflements comme résultant de la relaxation de la traction axiale hydrodyanmique dansla zone de transition.Pour les fluides viscoélastiques, tout se passe comme si on relachait la traction axiale positive créepar le frottement sur les parois du tube: le fluide se rétracte alors comme un ressort (on sait d’ailleursqu’il est freiné, ce qui correspond bien à une diminution de quantité de mouvement axiale et donc àune rétraction) et il y a gonflement puisque le volume est conservé. C’est l’interprétation physiqueusuelle du gonflement des fluides viscoélastiques.Pour l’expérience de la photographie 3, on est dans ce cas puisque α ≈ 3.3.

7. (a) On a, d’après la relation (D.10), pour z = 0:∫ R0

0

r(ρu2(r,0) − σzz(r,0) − pa) dr =γR0√

1 + h′2(0)+

1

2(ρR2

fU2f − γRf )

D’autre part, on a pour tout L ≤ 0, d’après la relation (D.7):∫ R0

0

r(ρu2(r,0) − σzz(r,0) − pa) dr =

∫ R0

0

r(ρu2(r,L) − σzz(r,L) − pa) dr

+R0

∫ 0

L

τrz(R0,z) dz

D’où:

γR0√1 + h′2(0)

+1

2(ρR2

fU2f − γRf ) =

∫ R0

0

r(ρu2(r,L) − σzz(r,L) − pa) dr

+R0

∫ 0

L

τrz(R0,z) dz

On va faire tendre L vers −∞ dans cette expression. Pour cela il est plus simple de faire apparaîtreexplicitement les limites. Il vient:

∫ R0

0

r(ρu2(r,L)−σzz(r,L) − pa) dr =

∫ R0

0

ρ(u0(r))2 dr −∫ R0

0

τ0zz(r) dr

+

∫ R0

0

r(p0(r,L) − pa) dr +

∫ R0

0

r[(ρu2(r,L) − τzz(r,L))

− (ρ(u0(r))2 − τ0zz(r))] dr +

∫ R0

0

r(p(r,L) − p0(r,L)) dr

191

où (c.f. énoncé de la partie): p0(r,z) = a(Qv)z −∫ R0

rN0

2 (s)s ds +

N02 (r)−N0

1 (r)3 − δp est la limite

asymptotique de la pression quand z → −∞. Les deux dernières intégrales du membre de droitetendent vers 0 quand L→ −∞, par définition. Pour le reste, il vient, en intégrant par parties et entenant compte de l’expression de τ 0

zz:

−∫ R0

0

τ0zz(r) dr +

∫ R0

0

r(p0(r,L) − pa) dr

= −R20

2(δp + pa) +

R20

2a(Qv)L−

∫ R0

0

rN0

2

2dr +

∫ R0

0

rN0

2 −N01

3dr −

∫ R0

0

rτ0zz(r) dr

= −R20

2(δp + pa) −R0

∫ 0

L

a(Qv)R0

2dz −

∫ R0

0

r(N01 +

N02

2) dr

Comme on sait que τ 0rz(R0) = a(Qv)R0

2 , il vient finalement:

∫ R0

0

ρ(u0(r))2 dr−∫ R0

0

τ0zz(r) dr +

∫ R0

0

r(p0(r,L) − pa) dr =

∫ R0

0

ρ(u0(r))2 dr − R20

2(δp + pa) −R0

∫ 0

L

τ0rz(R0,z) dz −

∫ R0

0

r(N01 +

N02

2) dr

Puis, en retranchant à chaque terme la quantité γR0/2, on déduit la relation voulue:

γR0√1 + h′2(0)

+1

2(ρR2


∫ R0

0

r(ρ(u0)2)dr −∫ R0

0

r(N01 +

N02

2)dr

+R0 limL→−∞

∫ 0

L


γ

R0)R2

0

2

(D.11)

(b) Comme δp+ pa, τrz et τ0rz dépendent de Qv mais pas de pa, d ne dépend pas de pa. On a, d’après

la question 2d:

(δp+ pa +γ

R0)R0

2= a(Qv)ds

R0

2=

∫ ds

0

τ0rz(R0,z) dz

Par suite, pour L donné, on a:

∫ 0

L

τ0rz(R0,z) dz + (δp+ pa +

γ

R0)R0

2=

∫ ds

L

τ0rz(R0,z) dz

qui est le frottement subi par le fluide dans l’écoulement établi de débit Qv, sur une longueur ds−L.Finalement, quand L→ −∞ la limite,

limL→−∞

∫ 0

L


γ

R0)R0

2=

∫ d

0

τ0rz(R0,0) dz

s’interprète donc comme l’excès de frottement subi par le fluide entre l’écoulement réel et l’écoule-ment établi dans le tube qui aurait été prolongé de la longueur de sortie ds. Si d est positif, on aun excès de frottement et si d est négatif un déficit.

8. (a) Pour un modèle Newtonien, on a :

a(Qv) = −8µQvπR4

0

et:

u0(r) =2QvπR2

0

[1 −

(r

R0

)2]

On en déduit: ∫ R0

0

ru20(r) dr =

2Q2v

π2R20

∫ 1

0

(1 − x)2 dx =2

3

Q2v

π2R20


(b) Pour un modèle intégral mixte, on a (c.f. cours oral):

τ(χ) = µχ N1(χ) = φχ2 N2(χ) = −(1 + ε)φχ2

avec:

µ =

∫ +∞

0

g(s) ds φ = 2

∫ +∞

0

sg(s) ds

La fonction de cisaillement étant Newtonienne, on a:

u′0(r) = − 4QvπR4

0

r

et donc:

χ2(r) = u′02(r) =

16Q2v

π2R80

r2

On en déduit: ∫ R0

0

r(N01 +

N02

2) dr =

2(1 − ε)φQ2v

π2R40

Pour prèvoir l’effet Weissenberg, il faut (c.f. poly) que N1 + 4N2 > 0. Soit ici: ε < −3/4, ce quidonne: ∫ R0

0

r(N01 +

N02

2) dr ≥ 7φQ2

v

2π2R40

On notera que pour les fluides viscoélastiques, quand R0 → 0, c’est à dire pour les tubes capillaires,

le terme∫ R0

0r(N0

1 +N0

2

2 ) dr est donc prépondérant devant∫ R0

0ru2

0(r) dr quelque soit le débit.Pour le PIB 9.5%, on a λ = 0.0631s et µ = 139Pa.s. Il vient:

φ = 2µ

λ

∫ +∞

0

se−s/λ ds = 2µλ ≈ 17.5Pa.s2

9. (a) Si l’écoulement est établi dans tout le tube, on a τrz = τ0rz. D’autre part on a: δp = σ0

rr(R0,0). Parsuite, d’après la question 3 on a

δp = h′(0)a(Qv)R0

2− pa −

γ

R0

√1 + h′ 2(0)

+γh′′(0)

(1 + h′ 2(0))3/2

et en remplaçant dans l’equation (D.11) il vient:

γR0√1 + h′2(0)

+1

2(ρR2

fU2f − γRf ) =

∫ R0

0

rρ(u0)2dr −∫ R0

0

r(N01 +

N02

2)dr

+R0

2[

γ√1 + h′ 2(0)

− γh′′(0)R0

(1 + h′ 2(0))3/2] − h′(0)

a(Qv)R30

4

(b) Dans le cas d’un fluide Newtonien, les différences normales sont nulles et il vient:

ρ[

∫ R0

0

ru0 2 dr −R2fU

2f

2] =

γR0

2[

1√1 + h′2(0)

+R0h

′′(0)

(1 + h′2(0))32

− RfR0

] + h′(0)a(Qv)R

30

4

Ce qui s’écrit, en tenant compte de la conservation du débit:

4

3− R2

0

R2f

=γπ2R3

0

ρQ2v

[1√

1 + h′2(0)+

h′′(0)R0

(1 + h′2(0))32

− RfR0

] +a(Qv)π

2R50

2ρQ2v

h′(0) (D.12)

Soit:4

3− R2

0

R2f

=2

ReCa[

1√1 + h′2(0)

+h′′(0)R0

(1 + h′2(0))32

− RfR0

] − 2h′(0)Re

(D.13)

193

Pour les forts Reynolds; si on admet que h′′(0)R0 et h′(0) sont des O(Rne ), avec n < 1, on en déduit:

limQv→+∞

α2 =3

4

qui est la valeur expérimentale obtenue pour les fluides Newtoniens à forts Reynolds. D’autre part,si on admet que le terme en h′(0) est d’ordre principal, avec h′(0) = KRne . Il vient:

4

3− 1

α2≈ −2KRn−1

e (D.14)

et comme K < 0 pour une contraction sans inversion de concavité, on en déduit que pour les fortsReynolds, α decroît vers sa valeur limite. Ce qui est encore cohérent avec les résultats expérimen-taux. Ainsi, à forts Reynolds, l’hypothèse d’un écoulement établi dans le tube est consistante avecl’expérience.

(c) Pour un fluide viscoélastique l’équation (D.12) devient:

4

3− R2

0

R2f

− 4(1 − ε)φ

ρR20

=2

ReCa[

1√1 + h′2(0)

+h′′(0)R0

(1 + h′2(0))32

− RfR0

] − 2h′(0)Re

Supposons que α reste borné pour les fortes vitesse débitantes, ce qui serait en particulier le caspour une contraction. On aurait:

1

α2=

4

3− 4(1 − ε)φ1

ρR20

+2h′(0)Re

− 1

ReCa

h′′(0)R0

(1 + h′2(0))32

+O(1

ReCa)

Or, pour une contraction on a h′(0) ≤ 0 et h′′(0) ≥ 0. Pour les vitesses débitantes assez grandes onaurait donc:

1

α2≤ 4

3− 4(1 − ε)φ

ρR20

Or, puisque ε < −3/4, cette relation ne peut être vérifiée quand R0 est assez petit. On a alorsnécessairement un gonflement à forte vitesse débitante, contrairement au cas des fluides purementvisqueux. C’est bien ce qui est observé expérimentalement. En conclusion, pour les fortes vitessesdébitantes c’est l’élasticité qui est responsable du gonflement observé.Pour le PIB 9.5% dans un tube de diamètre 1mm on a:

4(1 − ε)φ

ρR20

≥ 53 104

et, en admettant que l’écoulement est établi jusqu’en z = 0, on ne peut pas avoir de contraction dujet à fortes vitesses débitantes.

10. (a) On sait que d, le fluide et le tube étant donnés, ne dépend que du débit. Il est facile, en changeantde variable, de voir que les caractéristiques du fluide (viscosité, tension superficielle, densité) n’in-terviennent dans les equations du problème que par les rapports ν = µ

ρ et γρ . En conséquence, il

existe une relation de la forme: f(d,R0,ν,γρ ,U) = 0. En prenant R0 comme unité de longueur et

R20/ν comme unité de temps on en déduit qu’il existe une relation de la forme: g( d

R0,Re,

γR0

ρν2 ) = 0.Finalement, en admettant que cette relation soit inversible on en déduit qu’il existe une fonction Ftelle que: d = R0F (Re,

γR0

ρν2 ).

(b) La relation (D.11) devient, puisque les différences normales sont nulles:

γR0√1 + h′2(0)

+1

2(ρR2


∫ R0

0

rρ(u0)2 dr +1

2a(Qv)F (Re,

γR0

ρν2)R3

0

D’où:1√

1 + h′2(0)− α+ 1

2= R2

e ×ρν2

8γR0[4

3− 1

α2] − 2F (Re,

γR0

ρν2)Re ×

ρν2

γR0

En développant et en identifiant, il vient:

α0 = 4F0(γR0

ρν2)ρν2

γR0


d’où:

α = 1 + 4Re F0(γR0

ρν2)ρν2

γR0+ o(Re) = 1 + 8F0(

γR0

ρν2)Ca + o(U)

En principe, on pourrait déterminer F0 en determinant α pour les faibles vitesses débitantes. Ce-pendant, ce n’est pas très réaliste car le jet devient instable si la vitesse débitante est trop faible.Comme expérimentalement le jet subit un gonflement aux faibles Reynolds, on a donc F0 > 0 cequi correspond à d > 0: il y a un excès de frottement.Pour la photographie 3, on a Re = .91 103∗4.04∗10−3/139 ≈ 0.026. On est à priori à faible Reynolds.Le gonflement maximum observé pour les fluides visqueux est de α2 ≈ 5/4. Or, ici on a α2 ≈ 11:c’est donc l’élasticité qui est responsable du gonflement.

Étude locale du jet à faible vitesse débitante.

1. La solution d’ordre 0 est la solution à vitesse debitante nulle. C’est à dire: v[0] = 0, p[0] = pa + γR0

et

h[0] = R0.2. Pour une fonction f , par composition des dérivations on a (en notant F (M ; ε) pour f(m(M ; ε); ε)):

∂

∂rf(m; ε) =

R0

h

∂

∂RF (M ; ε)

∂

∂θf(m; ε) =

∂

∂ΘF (M ; ε)

∂

∂zf(m; ε) =

∂

∂ZF (M ; ε) − Rh′Z

h

∂

∂RF (M ; ε)

De la même manière, on a (jusqu’à l’ordre 1, puisque c’est ce qui nous intéresse ici):

F (M ; ε) = F [0](M) + εF [1](M) + o(ε)

avec, par un développement de Taylor:

F [0](M) = f(M ; 0) F [1](M) =

(∂f

∂ε+

R

R0

∂f

∂r

∂h

∂ε

)

ε=0,m=M

Notons que le calcul de F [1](M) correspond simplement à prendre la "dérivée particulaire" de f dans lepseudo mouvement Ψε, le paramètre ε jouant le rôle du temps, au "pseudo instant" ε = 0.

3. Comme v[0] = 0, on a v(m; ε) = εu(m; ε) où u(m; ε) =∑n≥1 ε

n−1v[n](M) est un O(1). Par suite lemouvement est un mouvement infiniment lent stationnaire: c’est une retardation de paramètre ε dumouvement de champ de vitesse u. En effet, si χt est le mouvement relatif de champ de vitesse u(m; ε),les trajectoires du mouvement χt que l’on étudie sont les solutions de:

d

dtm = εu(m; ε)

C’est à dire: χt(m,t+ s) = χt(m,t+ εs). On peut alors développer les tenseurs de Rivlin-Ericksen et onen déduit que:

A(n)[v] = εnA(n)[u]

En ne retenant que les termes jusqu’à l’ordre 1 (par exemple) du développement de la fonctionnellemémoire, il vient sur Ωε:

τττ(m; ε) = µ0A(1)[v] + εO(ε)

où µ0 est la viscosité du modèle de Grade 1: µ0 =∫ +∞0

G(s) ds. On en déduit le développement de τττ .En effet, pour ε = 0, v est nul et donc

τττ [0] = 0

et à l’ordre 1:

τττ [1] =

(∂τττ

∂ε+

R

R0

∂τττ

∂r

∂h

∂ε

)

ε=0,m=M

= µ0

(∂A(1)[v]

∂ε+

R

R0

∂A(1)[v]

∂r

∂h

∂ε

)

ε=0,m=M

puisque la dérivée particulaire des autres termes prise en ε = 0 est nulle. Pour déterminer la dérivéeparticulaire de A(1)[v], on change de variable dans l’opérateur A(1)[v]. Comme les bases o.n. locales sontconfondues, on a:

v(m,ε) = v(m(M ; ε); ε)er + u(m(M ; ε); ε)ez = ε[v[1](M)eR + u[1](M)eZ ] + o(ε)

195

Par définition, A(1)[v] est le double de la partie symétrique du gradient de vitesse:

A(1)[v](m; ε) =

∂v∂r 0 ∂u

∂r + ∂v∂z

0 vr 0

∂u∂r + ∂v

∂z 0 ∂u∂z

On change de variable et on ne garde que les termes jusqu’à l’ordre 1. Il vient en identifiant:

A(1)[v](m(M ; ε); ε) = ε

∂v[1]

∂R 0 ∂u[1]

∂R + ∂v[1]

∂Z

0 v[1]

R 0∂u[1]

∂R + ∂v[1]

∂Z 0 ∂u[1]

∂Z

+ o(ε)

D’où, en évaluant la dérivée particulaire en ε = 0:

τττ [1](M) = 2µ0D[1](M)

où D[1](M) est la partie symétrique du gradient de v[1](M).4. Les équations du problème en coordonnées cylindriques sont:

∂v

∂r+v

r+∂u

∂z= 0

et, puisque ω = 0 et qu’aucune composante ne dépend de θ:

∂τrr∂r

+∂τrz∂z

+1

r(τrr − τθθ) −

∂p

∂r= ρ(v

∂v

∂r+ u

∂v

∂z) (D.15)

1

r2∂

∂r(r2τrθ) +

∂τθz∂z

= 0 (D.16)

1

r

∂

∂r(rτrz) +

∂τzz∂z

− ∂p

∂z= ρ(v

∂u

∂r+ u

∂u

∂z) (D.17)

On change de variable et on développe par rapport à ε. En ne gardant que les termes d’ordre ≤ 1, ilvient:

div(v[1]) = 0 2µ0divdivdiv(D[1]) −∇∇∇p[1] = 0

qui est donc un problème de Stokes pour v[1].5. A l’infini amont, on a v(m; ε) → u0(r)ez, avec:

u0(r) = 2ε

[1 −

(r

R0

)2]

En identifiant, il vient:

v[1](M) −→Z→−∞

2(1 −(R

R0

)2

)ez

De même, τττ(m; ε) → τττ0 et en identifiant, on en déduit que

D[1](M) −→Z→−∞

−2R

(R0)2[er × ez + ez × er]

A l’infini aval, v(m; ε) tend vers une constante, il en est donc de même pour chaque v[i]. Comme il y aconservation du débit à l’ordre [1], puisque div(v[1]) = 0, on en déduit:

v[1](M) −→Z→+∞

ez

Comme τττ(m; ε) → 000, on a également:D[1](M) −→

Z→+∞0

A l’infini aval, la pression p(m; ε) tend vers une constante. On en déduit que p[1](R,Z) à une limite finie

p[1]+∞ quand Z → +∞. De même, à l’infini amont, p[1] + 8µ

R20Z tend vers une limite finie p[1]

−∞.

A noter que les limites p[1]+∞ et p[1]

−∞ sont des inconnues du problème.


6. Pour z ≤ 0, il y adhérence à la paroi, ce qui donne pour tout ordre:

Z ≤ 0 : v[n](R0,Θ,Z) = 0

Pour z ≥ 0, on a la condition d’imperméabilité:

∀z ≥ 0,∀θ ∈ [0,2π] : v(h(z),θ,z) − h′(z)u(h(z),θ,z) = 0 (D.18)

Comme h′ et u sont d’ordre ε, il vient à l’ordre 1:

Z ≥ 0 : v[1](R0,Z) = 0

La condition d’équilibre dynamique de l’interface est en r = h(z):

τrr − h′τrz + (2γC + pa − p) = 0

τrz − h′τzz − h′(2γC + pa − p) = 0

τrθ − h′τzθ = 0

On a:

h(z; ε) = R0[1 + εh[1]

R0+ · · · ] h′z(z; ε) = εh[1] ′(Z) + · · · h′′z (z; ε) = εh[1] ′′(Z) + · · ·

D’où:

2γC(z; ε) + pa − p(h(z; ε),z; ε) =γ

R0− εγ(

h[1](Z)

R20

+ h[1] ′′(Z))

+ pa − pa −γ

R0− εp[1](R0,Z) + o(ε)


γ(h[1](Z)

R20

+ h[1] ′′(Z)) = τ [1]rr (R0,Z) − p[1](R0,Z)

τ [1]rz (R0,Z) = 0

τ[1]rθ (R0,Z) = 0

Comme D[1]rθ = 0, la dernière condition est automatiquement vérifiée, et la seconde s’écrit:

∂v[1]

∂Z(R0,Z) +

∂u[1]

∂R(R0,Z) = 0

En résumé, les conditions limites sont:

u[1](R,Z) −→Z→−∞

2(1 − (R/R0)2) v[1](R,Z) −→

Z→−∞0

D[1](R,Z) −→Z→−∞

−2R

(R0)2[er × ez + ez × er] p[1](R,Z) +

8µ

R20

Z →Z→−∞

p[1]−∞

u[1](R,Z) −→Z→+∞

1 v[1](R,Z) −→Z→+∞

0

D[1](R,Z) −→Z→+∞

0 p[1](R,Z) →Z→+∞

p[1]+∞

Z ≤ 0 : u[1](R0,Z) = v[1](R0,Z) = 0

Z ≥ 0 : v[1](R0,Z) = 0∂v[1]

∂Z(R0,Z) +

∂u[1]

∂R(R0,Z) = 0

et on a l’équation différentielle sur h[1]:

h[1](Z)

R20

+ h[1] ′′(Z) =1

γ[2µ0

∂v[1]

∂R(R0,Z) − p[1](R0,Z)] (D.19)

Comme τττ(m; ε) tend vers 0 à l’infini aval, on en déduit que ∂v[1]

∂R (R,Z) tend vers 0 quand Z → +∞. Parsuite, le second membre de D.19 vérifie:

1

γ[2µ0

∂v[1]

∂R(R0,Z) − p[1](R0,Z)] −→

Z→+∞−p

[1]+∞γ

197

7. Pour simplifier, on ne met plus les exposants [1] pour la vitesse et la pression. Si il y avait deux solutionsv1,p1 et v2,p2, la différence v = u(R,Z)eZ + v(R,Z)eR,p serait solution dans Ω0 de:

div(v) = 0 divdivdiv(2µ0D − pId) = 0

avec les conditions limites homogènes:

u(R,Z) −→Z→−∞

0 v(R,Z) −→Z→−∞

0 D(R,Z) −→Z→−∞

0

u(R,Z) −→Z→+∞

0 v(R,Z) −→Z→+∞

0 D(R,Z) −→Z→+∞

0

Z ≤ 0 : u(R0,Z) = v(R0,Z) = 0

Z ≥ 0 : v(R0,Z) = 0∂v

∂Z(R0,Z) +

∂u

∂R(R0,Z) = 0

De plus, p à des limites finies à l’infini amont et aval. On multiplie l’équation de stokes scalairementpar v et on intègre sur le domaine Ω0(L) = 0 ≤ R ≤ R0; θ ∈ [0, + π];−L ≤ Z ≤ L. On a, puisquediv(v) = 0, l’identité:

0 = (divdivdiv(2µ0D − pId)|v) = div(2µ0D · v − pv) − 2µ0D2


2µ0

∫

Ω0(L)

D2 dx =

∫

∂Ω0(L)

(2µ0D · v − pv|n) ds

On passe alors à la limite L→ +∞. Comme 1) (v|n) est nul sur le bord R = R0 pour tout Z, 2) v = 0sur le bord R = R0 pour Z ≤ 0, 3) p a des limites finies à l’infini amont et aval, 4) D et V tendent vers0 à l’infini amont et aval, il ne reste que l’intégrale sur le bord R = R0 pour Z ≥ 0 du premier terme.C’est à dire :

2µ0

∫

Ω0

D2 dx = limL→+∞

∫

∂Ω0(L);R=R0;Z≥0

(2µ0D · v|n) ds

Or, sur ce bord on a n = er et après calculs:

(D · v|n) = v∂v

∂r+ u(

∂u

∂r+∂v

∂z)

Cette expression est toujours nulle, d’après les conditions limites vérifiées sur le bord. Finalement, on endéduit que D = 0. Il en résulte (cours) que l’écoulement est un mouvement de solide rigide. Comme lavitesse est nulle à l’infini amont ou aval, elle est nulle partout. Finalement: v = 0 et il y a unicité de lasolution v[1]. On notera que toutes les conditions limites ont servi pour établir l’unicité.En admettant l’existence de la solution, on voit que la pression est alors déterminée à une constante prèsqui est par exemple sa valeur limite p[1]

+∞ à l’infini aval.8. On a:

h[1](0) = 0 h[1] ′(Z) −→Z→+∞

0

On effectue le changement de variable x = Z/R0 et on pose y(x) = h[1](Z), F∞ = −p[1]+∞

γ et F (x) =2µ0

γ∂v[1]

∂R (R0,Z) − 1γ [p[1](R0,Z) − p

[1]+∞]. On notera que la fonction F est complètement déterminée par la

seule donnée de v[1] et qu’elle tend vers 0 en +∞, alors que F∞ est, à ce stade, inconnue. L’équationdevient:

y′′(x) + y(x) = F (x) + F∞

Vu la condition initiale: y(0)=0, la solution générale est de la forme:

y(x) = a sin(x) +

∫ x

0

(F (s) + F∞) sin(x− s) ds

où a est une constante. En dérivant, il vient:

y′(x) = a cos(x) +

∫ x

0

(F (s) + F∞) cos(x− s) ds


Ce qui s’écrit aussi en développant le cosinus:

y′(x) = (a+

∫ x

0

F (s) cos(s) ds) cos(x) + (F∞ +

∫ x

0

F (s) sin(s) ds) sin(x)

Pour que y′ tende vers 0 en +∞, il faut avoir:

a+

∫ +∞

0

F (s) cos(s) ds = 0 F∞ +

∫ +∞

0

F (s) sin(s) ds = 0

en admettant que F tend assez rapidement vers 0 à l’infini pour que les intégrales généralisées soientconvergentes. La première relation nous donne a et la seconde relation nous donne p[1]

+∞.

Ainsi, comme la solution v[1] du problème de Stokes est unique, a, p[1]+∞ et, par suite, la correction h[1]

de la frontière libre sont complétement déterminées par la seule donnée du problème de Stokes. Onpeut alors résoudre ce dernier, soit numériquement par une méthode d’éléments finis par exemple, soitégalement en fonction de courant. Dans ce dernier cas, on peut alors exhiber une solution analytique enséparant les variables.En pratique, si on utilise une méthode numérique, il faut se fixer la valeur de la pression à l’infini aval.On résout donc le problème de Stokes avec une condition limite arbitraire (p.ex. nulle) pour la pressionà l’infini aval, ce qui permet de déterminer univoquement v[1] et F .

9. Pour voir que la correction de la surface libre est universelle, on met le problème de Stokes sous formeadimensionnelle. La vitesse est déjà sans dimension, on change donc de variable spatiale en posant:r = R/R0, x = Z/R0 et on pose: p(r,x) = R0

2µ0p[1](R,Z). Le problème devient:

"trouver v = u(r,x)ex + v(r,x)er et p solutions de:

div(v) = 0 divdivdiv(D − pId) = 0

avec les conditions limites:

u(r,x) −→x→−∞

2(1 − r2) v(r,x) −→x→−∞

0

D(r,x) −→x→−∞

−2r[er × ex + ex × er] p(r,x) + 4x →x→−∞

p−∞

u(r,x) −→x→+∞

1 v(r,x) −→x→+∞

0 D(r,x) −→x→+∞

0 p(r,x) →x→+∞

0

x ≤ 0 : u(1,x) = v(1,x) = 0

x ≥ 0 : v(1,x) = 0∂v

∂x(1,x) +

∂u

∂r(1,x) = 0

La solution de ce problème est unique. On désigne par H l’unique solution de l’équation différentielle:

H ′′(x) +H(x) = 2[∂

∂rv(1,x) − p(1,x) + Cste]

qui s’annule en x = 0 et qui vérifie H ′(x) → 0 en +∞. On sait que cette dernière condition détermine laconstante. On en déduit:

h(z; ε)

R0= 1 + CaH(

z

R0) + o(ε)

En comparant avec l’expression obtenue précédemment on voit que F0(γR0

ρν2 ) est en principe une constante.Si on veut mettre en évidence les effets élastiques il faut, évidement, aller au moins à l’ordre 2 dans ledéveloppement. Le comportement du fluide sera alors celui d’un fluide de Grade 2.

10. Non rédigé (car long). Voir par exemple H. A. Tieu et D. D. Joseph: "Extrudate swell for a round jetwith large surface tension", J Non Newtonian Fl. Mech. 13 p.p. 213-222 (1983)

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