Cours sur la Gestion des Stocks - E - Learning Université

Republique Algerienne Democratique et Populaire

Ministere de l’Enseignement Superieur et de la Recherche

Scientifique

Universite Abderrahmane Mira de Bejaia

Faculte des Sciences Exactes

Departement de Recherche Operationnelle

abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbcd Cours sur la Gestion des Stocks efgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh

Pour la troisieme annee Licence LMD en Mathematiques

Appliquees

Realise par :

Dr. Belkacem BRAHMI

Maıtre de conferences B, Universite de Bejaia

Charge de recherche, Unite de Recherche LaMOS, Universite de Bejaia

Emails : [email protected] ; bra [email protected]

Annee universitaire 2015− 2016

Table des matieres

Table des matieres 1

Liste des figures 1

Liste des tableaux 1

Avant propos 1

1 Generalites sur la gestion de stocks 6

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Definitions et concepts de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Notion de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Utilites et inconvenients d’un stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Couts de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 La fonction des stocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 La fonction stock dans l’entreprise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Politiques d’approvisionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Modeles deterministes de gestion des stocks 12

2.1 Modeles de stock pour un seul article . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Modele de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Probleme de ristourne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3 Modele du lot economique avec livraison . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.4 Modele de stock avec penurie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Modeles de stock pour plusieurs objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Modeles de stock pour plusieurs objets avec contraintes : . . . . . . . . . 23

2.2.2 Groupage des Commandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

Table des matieres 2

2.3 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Modeles stochastiques de gestion des stocks 32

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Systeme a point de commande (Q, r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1 Calcul du point de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.2 Methodes de calcul du niveau de service . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Le systeme a reapprovisionnement periodique (R, T) . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1 Calcul du niveau de recompletement R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Classification ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Bibliographie 45

Table des figures

1.1 Assimilation du stock a un reservoir de regulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Environnement de la fonction stock [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Evolution du niveau de stock dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Variation des couts du stock en fonction de la quantite commandee . . . . . . . 14

2.3 Modele de la quantite economique produite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Modele de stock avec penurie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 Evolution du stock avec la politique (Q, r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Evolution du stock avec la politique (R, T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Courbe de classification des articles par la methode ABC [5]. . . . . . . . . . . . 40

3.4 Classification ABC des articles de l’entreprise AZT . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3

Liste des tableaux

1.1 Tableau des differentes politiques d’approvisionnement d’un stock . . . . . . . . 11

3.1 Principales caracteristiques des classes A,B et C de la methode ABC . . . . . . 41

3.2 Donnee de l’entreprise AZT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Tableau de la classification ABC des articles de AZT . . . . . . . . . . . . . . . 42

4

Avant propos

Description du cours

Le cours de gestion des stocks fait partie de l’unite d’enseignement fondamentale UEF 5.2(Coef=5,

Credit=5) du semestre cinq. Ce cours est une partie du module ”Gestion des stocks et de pro-

duction”, enseigne aux etudiants preparant une Licence en Mathematiques Appliquees a recru-

tement nationale et aux etudiants preparant une Licence en Recherche Operationnelle.

Objectifs de l’enseignement

Ce cours, introductif a la gestion des stocks, permet a l’etudiant d’acquerir les notions de base

sur la gestion des stocks et de maıtriser les modeles classiques de stocks. Il lui permet aussi

d’avoir une methodologie scientifique pour aborder les problemes reels de gestion des stocks

et des approvisionnements, ainsi que l’application des methodes de la recherche operationnelle

pour les resoudre.

Ce document est constitue de trois chapitres et d’une bibliographie des references utilisees.

Dans le chapitre 1, on presente la terminologie et les notions de base sur la gestion des stocks et

des approvisionnements. Le deuxieme chapitre traite les modeles deterministes de stock et en

particulier le modele de Wilson et ses variantes pour un stock constitue d’un seul article. De plus,

il aborde le modele de Wilson pour plusieurs objets en presence de contraintes( groupage des

commandes, contraintes sur : le capital investi, le nombre maximal de commandes et la capacite

de stockage). Dans le dernier chapitre, on presente les modeles stochastiques de stocks : modele

de point de commande (Q, r) et le modele de reapprovisionnement periodique (R, T ), ainsi que

la methodologie de la classification ABC. Chaque chapitre se termine par une serie d’exercices

d’application.

Prerequis : analyse mathematique, probabilites et statistiques.

Mode d’evaluation : Controle continu + Examen.

5

1Generalites sur la gestion de stocks

1.1 Introduction

La gestion des stocks est une fonction importante tant pour une entreprise de production

ou une entreprise commerciale. En effet, une mauvaise gestion des stocks peut compromettre

serieusement les activites d’une entreprise a court-terme et pour cela il faut trouver le point

d’equilibre afin de maximiser l’efficacite de l’entreprise. La creation d’un stock se produit lorsque

l’arrivee des marchandises est plus elevee que la sortie des marchandises. La rupture de stock,

elle, se produit lorsque les sorties de marchandises excedent les entrees.

Le stock et les approvisionnement pese trop sur les finances des entreprises, surtout celles

du secteur industrielle, ce qui les obligent a reduire le niveau de leur stock totu en satisfaisant

la demande des clients.

Il y environ 200 ans, les stocks sont consideres par les marchands comme une mesure de

richesse. De nos jours, il sont consideres comme un large potentiel de risque. Pour cela les

gestionnaires tentent de maintenir au niveau minimum leur stock tout en gardant une certaine

independance vis a vis de leurs fournisseurs.

Pour gerer rationnellement les stocks, nous devons trouver un equilibre entre les avantages

et les inconvenients de garder un certain niveau de stock. Il est possibles de concevoir differents

modeles correspondants a differentes situations et d’utiliser une variete de techniques pour leurs

solutions.

6

1.2 Definitions et concepts de base 7

1.2 Definitions et concepts de base

1.2.1 Notion de stock

Definition 1.1 (Stock). C’est une quantite d’articles (produits finis, composants, matieres

premieres, pieces) gardee en reserve pour etre vendu ou utilise en production.

Un stock peut etre assimile a un reservoir de regulation situe entre deux flux qui presentent

des irregularites de debit. Generalement, le flux d’entree represente les approvisionnements et

le flux de sortie represente la demande des articles par des clients.

Fig. 1.1 – Assimilation du stock a un reservoir de regulation

La gestion des stocks est l’activite destinee a maintenir le stock d’articles a un niveau

souhaite.

1.2.2 Utilites et inconvenients d’un stock

Utilites

Un stock permet de :

- Gagner de l’argent, et cela en achetant a bas prix pour ensuite revendre plus cher ;

- Assurer la consommation reguliere d’un produit bien que sa production ne l’est pas ;

- Beneficier d’une reduction sur le prix unitaire en achetant de grandes quantites ;

- Se premunir contre les aleas de livraison et permet aussi de parer rapidement aux consequences

facheuses d’accidents possibles qui peuvent se produire a n’importe quel moment.

Inconvenients

Apres avoir constate en quoi un stock est utile, il est necessaire de connaıtre ses inconve-

nients :

- Immobilisation des moyens financiers importants ;

- Immobilisation de surface de stockage ;

- Potentiel de risque (perte, deterioration, incendie, vol . . .) ;

1.3 Couts de stock 8

- Les couts engendres par l’entretien et la protection des stocks ;

- Couts de maintien. Les stocks sont encombrants et necessitent des espaces de stockage, du

personnel pour la gestion, des frais de maintien (assurance, location des espaces de stockage,

personnel, electricite . . . etc.).

1.3 Couts de stock

Les stocks representent des couts tres eleves pour les entreprises, qu’on peut les classer en

quatre categories.

– Cout d’achat : C’est le prix qu’on paye pour acheter les produits mis en stock.

– Cout de possession du stock : Le fait de garder des produits en stock nous conduits

a assumer des couts :

• Couts de construction ou de location des entrepots de stockage ;

• Salaire des gardiens et du personnel charge de gerer les magasins ;

• Assurance des produits stockes ;

• Degradation des produits ou leur obsolescence.

– Cout de lancement d’une commande : Pour stocker des produits, il faut d’abord

les commander. La commande engendre des couts : preparation de la commande, frais de

communication, reception et transport des marchandises, ...

– Cout de penurie : Les couts de penurie representent les couts susceptibles de survenir

lorsqu’un article n’est pas disponible. Les couts de penurie comprennent :

• la main d’oeuvre inoccupee ;

• l’equipement arrete ;

• les couts occasionnes par les changements dans le programme de fabrication ;

• la perte de reputation ;

• la perte de commandes ;

• les couts des procedures d’urgence pour accelerer les livraisons ;

• les couts supplementaires de sous-traitance pour respecter les delais.

1.4 La fonction des stocks

On constitue les stocks pour differentes raisons :

– Raisons economiques : Placons-nous dans la situation d’une unite de production :

le lancement de la production entraıne des couts appeles couts de lancement : reglages

1.5 La fonction stock dans l’entreprise 9

des machines, organisation des equipes...Etc. Pour minimiser ces couts, on sera amene a

produire la plus grande quantite possible pour eviter de supporter ces couts a chaque fois

en produisant de petites quantites. Par contre, cette quantite qu’on produira ne se vendra

pas tres vite, donc on est obliges de stocker.

En general, on a toujours interet a produire en grande quantite, car ceci permet de repartir

les couts fixes de la production sur un nombre important de produits, d’ou la diminution

du cout de revient par unite : c’est le phenomene d’economies d’echelle.

– Raisons de securite : lorsque les marches sur lesquels on s’approvisionne sont caracteri-

ses par une certaine instabilite (Conflits armes, conditions climatiques variables) il est de

l’interet de l’entreprise de constituer des reserves (stocks) pour faire face aux imprevus.

D’autre part, la demande des clients de l’entreprise est en general variable, un stock de

securite est constitue pour faire face a cette variabilite.

– Raisons financieres : le prix des matieres premieres est sujet a des fluctuations souvent

importantes dues aux variations de l’offre et de la demande. Lorsque les prix sont bas on

achete des quantites qui depassent notre besoin et on les stocke, pour ne pas etre obliges

d’acheter lorsque les prix augmenteront de nouveau.

1.5 La fonction stock dans l’entreprise

La fonction stock se compose de deux sous-fonctions :

• le suivi des stocks ;

• la gestion des stocks.

Fig. 1.2 – Environnement de la fonction stock [5]

a) Le suivi des stocks :

Cette fonction a pour objectif de connaıtre a tout moment les articles disponibles dans

l’entreprise. Pour cela, elle doit assurer une comptabilite physique et financiere des articles.

I Comptabilite physique :

Elle doit prendre en compte les receptions et les delivrance des articles (en nombre)

1.6 Politiques d’approvisionnement 10

pour pouvoir fournir, a tout moment, un etat des stocks a jour.

I Comptabilite financiere :

Elle doit prendre en compte les entrees et les sorties du stock (en valeur) pour pouvoir

fournir, a tout moment, la valeur de l’immobilisation financiere.

b) La gestion des stocks : Cette fonction a pour role de definir

I l’optimum d’articles differents a posseder dans l’entreprise en effectuant le plus souvent

possible une epuration du stock (elimination des stocks morts ou inutiles) ;

I la politique de reapprovisionnement la mieux adaptee pour chaque article ;

I la politique de distribution (ou de consommation) la mieux adaptee pour chaque article.

1.6 Politiques d’approvisionnement

Approvisionner, c’est assurer la programmation des besoins de livraison et des stocks dans

le cadre de la planification generale de l’entreprise.

Definir une politique d’approvisionnement consiste essentiellement a repondre aux trois ques-

tions suivantes :

• QUOI (quel produit) faut-il approvisionner ?

• COMBIEN faut-il en approvisionner ?

• QUAND faut-il l’approvisionner ?

Apres avoir repondu au ”quoi ?”, nous pouvons avoir la reponse aux deux autres questions.

Pour determiner les instants de lancement des commandes (reponse a QUAND?), il suffit tout

simplement de connaıtre la periode d’approvisionnement qui represente la duree ecoulee entre

les instants de lancement de deux commandes successives.

L’etablissement d’une politique d’approvisionnement du stock depend des parametres sui-

vants :

• La demande : c’est la quantite de marchandise consomme par le client (ou utilise par l’entre-

prise dans le cas d’une production) par unite de temps.

• Le delai de livraison : est le temps qui s’ecoule entre l’instant de lancement d’une commande

et la date de disponibilite physique des produits sur le lieu de stockage. Il depend du

fournisseur et du transporteur.

Delai de livraison = Date de reception - Date de commande

Ces parametres peuvent etre constants (fixes) ou variables ( soumis a l’aleatoire). On peut alors

distinguer les quatre politiques d’approvisionnement (modeles) suivantes :

Chaque politique est adaptee a un produit ou a une categorie de produits. Cela conduit

souvent les entreprises a utiliser ces politiques simultanement. La difficulte consiste donc a

1.6 Politiques d’approvisionnement 11

Quantite/periode Fixe Variable

Fixe Modele de Wilson Modele de reapprovisionnement

et ses variantes periodique

Variable Modele de point Modele de point

de commande de commande

Tab. 1.1 – Tableau des differentes politiques d’approvisionnement d’un stock

choisir la meilleure politique adaptee a chaque produit qui permet d’eviter les ruptures de stock

sans immobilisation financiere importante.

Le modele de Wilson et ses extensions sont dits deterministes et consistent a commander

une quantite fixe et a des periodes fixes. Ces modeles seront detailles dans le chapitre suivant.

Les modeles stochastiques (modele de point de commande et modele de recompletement

periodique) seront detailles dans le chapitre 3 de ce cours.

2Modeles deterministes de gestion des stocks

On parle de modele deterministe de gestion des stocks, lorsque la demande et le delai

d’approvisionnement sont connus a l’avance. Ces modeles sont dits a quantite fixe et a periode

fixe.

12

2.1 Modeles de stock pour un seul article 13

2.1 Modeles de stock pour un seul article

2.1.1 Modele de Wilson

Ce modele a ete introduit par F. W. Harris en 1913, puis popularise par Wilson en 1930.

C’est un modele simple de gestion des stocks, ou on s’interesse a un seul article et il se base sur

les hypothese suivantes :

– La demande est connue et se fait a un rythme constant de λ articles par annee.

– Les ruptures de stock ne sont pas permises.

– Les objets sont livrees instantanement apres leur commande.

Pour ce systeme qui gere uniquement un seul article, l’evolution du stock dans le temps est

montree dans la figure suivante :

Fig. 2.1 – Evolution du niveau de stock dans le temps

Le but du gestionnaire du stock est de determiner la quantite a commander Q qui minimise

le cout total annuel de gestion :

CT = CA + CL + CP .

– Le cout d’achat annuel (CA)= La demande (λ) × le prix unitaire de l’article (p).

– Le cout de reapprovisionnement (CL)=nombre de commandes ( λQ

) × cout de lancement

d’une commande (h).

– Le cout de possession du stock(CP )=stock moyen (Q2) × cout de stockage d’une unite en

stock (cs).

Ce cout est generalement exprime en pourcentage du cout unitaire de l’article :

cs = t× p, t : taux de possession d’un article en stock qui est exprime en pourcentage.

Le modele mathematique a resoudre est de minimiser la fonction suivante par rapport a Q :

min CT (Q) = λp +λ

Qh +

Q

2cs.


Comme la fonction CT est convexe pour Q > 0, alors l’optimum ( point minimum) est unique

et verifie la relation suivante :

C ′T (Q) = −h

λ

Q2+

1

2cs = 0.

Donc la quantite optimale a commander Q∗, appelee aussi quantite de Wilson ( ou quantite

economique de commande) est solution de l’equation precedente :

Q∗ =

√2hλ

cs

(formule de Wilson).

On peut maintenant calculer d’autres parametres de gestion, a savoir :

Le nombre de commandes par an : N∗ = λQ∗ .

La periode d’approvisionnement : T ∗ = Q∗

λ× 365 jours = Q∗

λ× 52 semaines.

L’evolution des differents couts en fonction du volume de commande est illustree par la

figure 2.3. On remarque que la quantite de Wilson Q∗ est celle qui minimise le cout total de

gestion de stock.

Fig. 2.2 – Variation des couts du stock en fonction de la quantite commandee

Remarque 2.1. Pour la quantite optimale de Wilson Q∗, on a : CL(Q∗) = CP (Q∗). (Exercice)

La relation precedente montre bien que la quantite optimale de commande assure un compromis

(equilibre) entre le cout de stockage et celui de commande.


Exemple 2.1. Un fabriquant de pieces de rechange pour voiture recoit une demande de

1200 tableaux de bord a satisfaire chaque annee. Quand doit-il s’approvisionner et quelle

est la quantite optimale de commande, sachant que le cout des approvisionnements est de

3000 DA et l’entretien d’une piece en stock coute 1.2 DA/jour ?

Solution : λ = 1200, h = 3000DA/commande, cs = 1.2× 365 = 438 DA.

La quantite optimale de commande :

Q∗ =

√2λh

cs

=

√2× 3000× 1200

438' 128.

Le nombre de commandes : N∗ = λQ∗ = 1200

128= 9.375 ' 9 comandes/an.

La periode de commande : T ∗ = 365Q∗

λ' 39jours.

Donc, la politique optimale pour ce fabriquant de pieces de rechange consiste a faire de 9

a 10 commandes par an et a chaque 39 jours, il faut commander un lot de 128 tableaux

de bord.

2.1.2 Probleme de ristourne

Dans la pratique, generalement les fournisseurs offrent des remises (ristournes) pour l’achat

de grandes quantites. Si p est le prix unitaire d’achat et Q la quantite commandee, alors on

aura :

Q ≤ q1, =⇒ p = p1

q1 < Q ≤ q2, =⇒ p = p2

· · · · · ·

qj−1 < Q ≤ qj, =⇒ p = pj

· · · · · ·

Q ≥ qm, =⇒ p = pm,

avec qj ≤ qj+1 et pj ≥ pj+1, pour j = 1, · · · , m− 1.

Le cout global de gestion de stock si on commande une quantite Q pour un prix pj est :

CTj(Q) = λpj +λ

Qh +

Q

2tpj, (2.1)

ou t est le taux de possession d’un article en stock, h est le cout de lancement d’une commande

et λ est la demande annuelle de l’article.

Pour ce modele de gestion de stock, on garde les memes hypotheses du modele de Wilson,

sauf que le prix unitaire depend de la quantite achetee. En effet, lorsque on achete de grandes

quantites alors on reduit le cout d’achat. Par contre, si on commande plus, les couts de stockage

sont plus grands aussi.


Pour le calcul de la quantite optimale de commande, on utilise la procedure sequentielle

suivante :

Algorithme :

(1) Utiliser le prix le plus bas pm, puis calculer par Wilson la quantite optimale :

Qm =

√2hλ

tpm

.

1. Si Qm ≥ qm, la solution est optimale : car la quantite optimale de commande

au prix pm est largement superieur pour obtenir cette ristourne.

2. Sinon, on calcule CTm(qm) en utilisant la relation (2.1).

(2) On calcule la quantite optimale de commande pour le second plus bas prix pm−1 :

Qm−1 =

√2hλ

tpm−1

.

• Si Qm−1 ≥ qm−1, alors on calcule CTm−1(Qm−1) et on le compare a CTm(qm).

– Si CTm−1(Qm−1)< CTm(qm), alors Qm−1 est optimale

– Sinon, qm est la quantite optimale de commande.

• Sinon Qm−1 < qm−1. On calcule la quantite CTm−1 =

min{CTm−1(qm−1), CTm(qm)}

(3) On repete (2) et on pose CTm(qm) = CTm−1


Exemple 2.2. Un hopital utilise 100 unites par jour d’une seringue d’un certain type et

ce durant 365 jours/annee. Le distributeur de ce type de seringue offre les prix suivants :

p =

1$, si 0 ≤ Q < 1000,

0.8$, si 1000 ≤ Q < 2500,

0.7$, si Q ≥ 2500.

Le cout de stockage est de 30% par annee du cout de l’article et cela coute 15$ pour passer

une commande.

Quelle est la quantite economique a commander ?

Solution : λ = 100× 365 = 36500 seringues ; h = 15$ ; t = 30%.

On considere le plus bas prix p3 = 0.7 et on calcule la quantite de Wilson pour ce prix :

Q3 =

√2hλ

tp3

=

√2× 36500× 15

0.3× 0.7= 2283 < q3 = 2500.

On ne peut pas beneficier d’une remise. On calcule CT3(q3) = λp3 + λq3

h + q3

2tp3 = 26032.

Calculons la quantite de Wilson pour le second plus bas prix c2 = 0.8 :

Q2 =

√2hλ

tp2

=

√2× 36500× 15

0.3× 0.8= 2136 > q2 = 1000.

Calculons CT2(Q2) = λp2 + λ

Q2 h + Q2

2tp2 = 77964547 > CT3(q3).

Donc l’hopital doit commander 2500 seringues avec un prix unitaire de 0.7$.

2.1.3 Modele du lot economique avec livraison

Ce modele deterministe de gestion de stocks modelise des situations ou l’article est fabrique

localement au lieu qu’il soit achete chez un fournisseur externe.

Supposons qu’une entreprise fabrique cet article a un taux constant de µ unites par unites

de temps (par exemple, un jour, une annee, ..) et la demande des clients est constante, qui

est de d unites par unites de temps. Par consequent, les stocks de l’article s’accumulent a un

taux de (µ−d) unites en periode de fabrication tp. Apres cette periode, on arrete la production

de cet article pour en fabriquer d’autres (production echelonnee). La quantite fabriquee Q

durant la periode de production tp est consommee pendant un certain temps tc. Ce processus

se repete tout au long des periodes.

L’evolution du niveau du stock est presentee dans la figure suivante :

L’objectif est de determiner la quantite produite Q qui minimise le cout global de gestion

de stock. Nous avons alors :


Fig. 2.3 – Modele de la quantite economique produite

– La quantite produite pendant la periode de production tp est :

Q = µtp =⇒ tp =Q

µ.

– A l’arret de la production, le niveau maximum du stock accumule est

Qmax = (µ− d)tp =µ− d

µQ.

– Le niveau du stock moyen= Qmax

2= µ−d

2µQ.

Pour ce modele, le cout total de gestion de stock est compose uniquement du cout de lancement

de la production et celui de stockage :

CT (Q) =λ

Qh +

Qmax

2cs =

λ

Qh +

µ− d

2µQcs,

ou h represente le cout de lancement de la production, λ et cs ont la meme signification que

les modeles precedents. Puisque la fonction cout est convexe, alors la quantite optimale de

production Q∗ verifie la relation suivante :

CT (Q)′ = − λ

Q2h +

µ− d

2µcs = 0 =⇒ Q∗ =

√2λh

cs

(µ

µ−d

).


Exemple 2.3. Une entreprise fabrique des chaises qu’elle vend ensuite a des detaillants.

La demande pour un certain modele est relativement uniforme et egale a 15000 unites

par an. Chaque mise en marche de la production coute a l’entreprise 200$. Le taux de

production est de 150 chaises par jour. Ceci coute 48, 62$ par unite produite et le taux

de stockage est d’environ 24% par unite produite pendant une annee. Le nombre de jours

ouvrables durant une semaine est de 05 jours.

1. Calculer la quantite optimale de production.

2. Quel est le nombre maximal de chaises qu’on peut avoir en stock ?

3. Deduire le cout annuel de cette politique.

4. Determiner les durees des cycles de production et de consommation de l’article.

Solution : t = 24% /an ; p = 48, 62$ ; cs = t× p = 11, 67$ ;

Le cout de lancement de la production : h = 200$ / commande ;

La demande des chaises : λ = 15000unites/an ;

Le taux de production : µ = 150 chaises/jour = 150× 52× 5 = 39000 chaises /an.

1. Calcul de la quantite optimale de production :

Q =

√2λh

cs

(µ

µ−d

)=

√2× 15000× 200

11, 67

(39000

39000−15000

)= 914, 04 ≈ 914 chaises.

2. Le nombre maximal de chaises qu’on peut avoir en stock :

Qmax =µ− d

µQ =

39000− 15000

39000914 ≈ 562 chaises.

3. Le cout annuel de cette politique de gestion :

CT (Q) =λ

Qh +

Qmax

2cs =

15000

914200 +

562

211, 67 = 6567, 04$

4. Les durees de production et de consommation de l’article :

Le temps de production : tp = Qµ× 52× 5 = 914

39000× 260 = 6 jours.

Le temps de consommation : tc = Qmax

λ× 52× 5 = 562

15000× 260 = 9, 75 ≈ 10 jours.

La periode de commande : T = tp + tc = 16 jours.

Remarque 2.2. Ce modele est aussi utilise pour decrire des situations ou la quantite achetee

Q est recue continuellement a un rythme constant de µ articles par unite de temps.


2.1.4 Modele de stock avec penurie

Dans beaucoup de situations reelles la demande du client n’est pas satisfaite a temps, ce qui

engendre une penurie. Dans ce cas des couts sont encourus (perte de vente, cout de lancement

d’une commande d’urgence, perte de clients, etc..).

Soit π le cout de penurie d’une unite de l’article par an. Notons que dans la majorite des situa-

tions, π est difficile a mesurer. Les constantes λ, h et cs gardent leurs significations habituelles.

On suppose que toutes les demandes des clients sont differees et aucune vente n’est perdue, i.e.,

que la demande des clients non encore servis sera satisfaite a la prochaine livraison. De plus,

on suppose que le delai de livraison est nul.

Pour determiner la politique de commande qui minimise le cout total, definissons alors les

parametres de gestion suivants :

– Q : la quantite commandee ;

– M : le niveau maximum du stock ;

– S = Q−M : le nombre maximum d’unites en penurie pendant la periode de commande

T ;

– T1 : la duree ou le stock permet de satisfaire la demande ;

– T2 : la duree ou il y a une rupture de stock (penurie).

Si la premiere commande est lancee a l’instant zero, alors l’evolution du niveau de stock durant

le temps est donnee par la figure 2.4. A chaque reapprovisionnement du stock, on lance une

commande de volume Q et a son arrivee S unites seront livrees pour les clients en attente et M

unites vont etre stockees. Ce processus se repete tout au long des periodes de reapprovisionne-

ment.

Fig. 2.4 – Modele de stock avec penurie

Pour ce cas, le cout total annuel de gestion du stock est compose des couts de lancement de

commandes, stockage et de penurie Cr :

CT (Q) = CL + CP + Cr =λ

Qh +

M

2

T1

Tcs +

S

2

T2

Tπ.


A partir du schema precedent, nous avons les relations suivantes :

T =Q

λ, T1 =

M

λT2 =

S

λ=

Q−M

Q.

Par consequent, le cout total annuel de gestion de stock aura l’expression finale suivante :

CT (Q,M) =λ

Qh +

M2

2Qcs +

(Q−M)2

2Qπ.

La fonction cout depend de deux parametres et comme elle est convexe, alors le point (Q,M)

assurant le minimum de cette fonction doit verifier les relations suivantes :∂CT (Q,M)

∂Q= 0,

∂CT (Q,M)∂M

= 0.

En resolvant simultanement ces deux equations, on aura :Q∗ =

√2λhcs

(π+cs

π

),

M∗ =

√2λhcs

(π

π+cs

),

ou Q∗ et M∗ sont respectivement la quantite optimale de commande et le niveau maximal du

stock. A partir des deux relations precedentes, on aura l’expression suivante reliant ces deux

quantites :

M∗ =(

ππ+cs

)Q∗.

Le nombre maximal d’articles en penurie de stock pendant une periode T , est alors S∗ =

Q∗ −M∗.

Remarque 2.3. Lorsque π tends vers l’infini, alors Q∗ et M∗ approche la quantite de Wilson

QWilson =√

2λhcs

. Par consequent, le niveau maximum d’articles en rupture de stock approche

le zero.


Exemple 2.4. La demande d’un article est constante et egale a 100 unites par mois. Le

prix d’achat unitaire est de 50$, le cout de reapprovisionnement est de 50$, le taux de

possession d’un article est de 25% de son prix d’achat et le cout de penurie d’une unite

est de 40% de sa valeur.

1. Determiner la quantite optimale de commande pour cet article.

2. Calculer le niveau maximum du stock et deduire le nombre maximal d’articles en

penurie pendant une periode.

3. Calculer le cout minimum de cette politique.

4. Determiner la periode de consommation normale de l’article et celle de rupture du

stock.

Solution : on a : p = 50$ ; t = 25% =⇒ cs = t× p = 0, 25× 50 = 12, 5$/an ;

h = 50$ ; π = 50$/ unite.

La demande de l’article : λ = 100 unites/ mois = 1200 unites/ an.

Comme les penuries de stock sont permises, alors le modele de stock approprie pour ce

probleme est celui de Wilson avec penurie.

1. La quantite optimale de commande est :

Q∗ =

√2λh

cs

(π

π+cs

)=

√2× 1200× 50

12, 5

(50

50+12,5

)= 124, 90 ≈ 125 unites.

2. Le niveau du stock maximum est

M∗ =(

ππ+cs

)Q∗ =

(50

50+12,5

)125 = 76, 86 ≈ 77 unites.

- Le nombre d’articles en penurie durant une periode est :

S∗ = Q∗ −M∗ = 125− 77 = 48 unites.

3. Le cout minimum pour cette politique :

CT (Q,M) =λ

Qh +

M2

2Qcs +

(Q−M)2

2Qπ = 961, 25$.

4. - La periode de consommation de l’article :

T1 = M∗

λ× 365 = 77

1200× 365 = 23, 42 ≈ 23 jours.

- La periode de penurie de l’article : T2 = S∗

λ×365 = 48

1200×365 = 14, 60 ≈ 15 jours.

- La periode de commande : T = T1 + T2 = 38 jours.

2.2 Modeles de stock pour plusieurs objets 23

2.2 Modeles de stock pour plusieurs objets

Supposons que le stock en question est constitue de plusieurs articles. Il existe dans ce cas

plusieurs type de contraintes qui peuvent les relies. Parmi ces dernieres, on cite celles liees a :

– La capacite de stockage ;

– Le maximum sur le capital a investir ;

– Le nombre maximal de commandes susceptibles d’etre supportees par l’entreprise.

S’il n’existe aucune contrainte reliant les differents objets, alors la quantite optimale a com-

mander Q∗j du j eme article est la suivante :

Q∗j =

√2hjλj

tjpj

,

ou

– λj : demande annuelle du j eme article,

– hj : cout unitaire de reapprovisionnement du j eme article,

– tjpj : cout unitaire de possession en stock du j eme article, ou tj est le taux de possession

de cet article durant la periode de planification.

2.2.1 Modeles de stock pour plusieurs objets avec contraintes :

a) L’investissement total en stock : Supposons qu’on gere en stock n produits et soit b le

capital investi en stock.n∑

j=1

pjQj ≤ b, (2.2)

ou pj et Qj sont respectivement le prix d’achat et la quantite a commander du j eme

produit. Le cout annuel de gestion du stock est alors :

CT (Q) =n∑

j=1

CT (Qj) =n∑

j=1

(pjλj +λj

Qj

hj +Qj

2tjpj), (2.3)

Pour determiner les quantites optimales a commander de chaque article, on doit resoudre

le probleme mathematique suivant :minQj

CT (Q) =n∑

j=1

(pjλj +λj

Qj

hj +Qj

2tjpj)

n∑j=1

pjQj ≤ b.

(2.4)

La fonction de Lagrange associee au probleme (2.11) est :

L(Q, θ) = CT (Q) + θ(n∑

j=1

pjQj − b),


ou θ est un reel positif ou nul, appele multiplicateur de Lagrange associe a la contrainte

d’inegalite du probleme (2.11). La fonction CT (Q) =∑n

j=1 CT (Qj) est convexe, car chaque

fonction CT (Qj) est convexe et par consequent, les conditions d’optimalite de Karush-

Kuhn-Tucker (KKT) sont a la fois necessaires et suffisantes pour l’optimalite d’un point

Q∗ = (Q∗1, · · · , Q∗

n).

Conditions d’optimalite de KKT :

Q∗ est une solution optimale du probleme (2.11) ⇐⇒ ∃θ∗ ≥ 0 :

∇L(Q∗, θ∗) = 0

θ∗(∑n

j=1 pjQ∗j − b) = 0.

(2.5)

La premiere relation de (2.5) est appelee condition de stationnarite, tandis que la deuxieme

est la condition de complementarite. Pour calculer les quantites optimales de Wilson de

tous les articles, on doit resoudre le systeme d’equations suivant :

∂CT (Q)

∂Qj

= −hjλj

Q2j

+1

2tjpj + θpj = 0 =⇒ Qj =

√2λjhj

tjpj + 2θpj

, j = 1, · · · , n. (2.6)

La quantite 2θpj est appelee extra-cout d’entretien du j eme article. La determination des

quantites optimales de commande de tous les articles se fait iterativement et ce en resol-

vant les equations (2.6) et (2.2). Pour ce faire, on fait varier θ et on calcule les quantites de

commande Qj(j = 1, · · · , n) jusqu’a ce que la contrainte (2.2) devient active, c’est-a-dire

que :n∑

j=1

pjQj = b.

Remarque 2.4. Lorsque les commandes des differents articles n’arrivent pas au meme

temps, alors dans ce cas les entreprises considerent le stock moyen et la contrainte sur

l’investissement total devient :n∑

j=1

Qj

2pj ≤ b.


Exemple 2.5. On gere en stock 3 articles et l’investissement total est de 14000 DA. De-

terminer la quantite optimale de commande de chaque article sachant que les informations

sur chaque article sont donnees dans le tableau suivant :

1 2 3

λi 1000 500 2000

hi 50 75 100

ti 40 20 10

pi 20 100 50

Solution :

θ = 0 : les quantites optimales Qj de chaque article sont les suivantes :

Q1 = 112, Q2 = 61, Q3 = 283 ;3∑

j=1

Qjpj = 22502 > 14000.

θ = 0.1 : les quantites optimales Qj de chaque article sont les suivantes :

Q1 = 91, Q2 = 43, Q3 = 163 ;3∑

j=1

Qjpj = 14321 > 14000.

θ = 0.2 : les quantites optimales Qj de chaque article sont les suivantes :

Q1 = 79, Q2 = 35, Q3 = 126 ;3∑

j=1

Qjpj = 11441 < 14000.

La valeur optimale de θ∗ ∈ [0.1; 0.2], on trouve θ∗ = 0.12 et donc les quantites de Wilson

des articles :

Q∗1 = 98, Q∗

2 = 41, Q∗3 = 153.

3∑j=1

Qjpj = 13759 < 14000.

b) La capacite de Stockage : Supposons qu’on gere en stock n produits et chaque objet j ne

dispose que de Sj d’espace de stockage par unite. Si S est l’espace de stockage maximal,

alors on aura :n∑

j=1

SjQj ≤ S, (2.7)

Pour calculer les quantites optimales a commander de chaque article, on doit resoudre le

probleme mathematique suivant :minQj

CT (Q) =n∑

j=1

(pjλj +λj

Qj

hj +Qj

2tjpj)

n∑j=1

SjQj ≤ S.

(2.8)

En utilisant la meme demarche que precedemment, on trouve :

Q∗j =

√2λjhj

tjpj + 2θ∗Sj

, j = 1, · · · , n, (2.9)


ou θ∗ est choisi de sorte que :n∑

j=1

SjQ∗j = S et 2θ∗Sj est appele extra-cout de stockage du

j eme article.

c) Le nombre de commandes : Pour des raisons financieres, supposons que l’entreprise ne

peut pas passer plus de L commandes durant une annee. Alors on a :

n∑j=1

λj

Qj

≤ L, (2.10)

Pour le calcul des quantites optimales de commande Qj, on doit resoudre le probleme

mathematique suivant :minQj

CT (Q) =n∑

j=1

(pjλj +λj

Qj

hj +Qj

2tjpj)

n∑j=1

λj

Qj

≤ L.

(2.11)

En utilisant la meme demarche que precedemment, on trouve :

Q∗j =

√2λj(hj + θ∗)

tjpj

, j = 1, · · · , n, (2.12)

ou θ∗, appele extra-cout de reapprovisionnement, est choisi de sorte que :

n∑j=1

λj

Qj

= L.

2.2.2 Groupage des Commandes

Pour certaines entreprises, le groupement de commande de plusieurs produits permet de

reduire sensiblement les couts de lancement des approvisionnements (delai administratif et de

transport) et peuvent meme beneficier des remises. Dans ce cas, les articles n sont commandes

simultanement chez un meme fournisseur. Soit h le cout de lancement d’une commande groupee

et supposons que tous les articles ont le meme taux de possession t.

Le probleme pose ici est de determiner les quantites commandees des articles qui minimise

le cout global de gestion des stocks :

Le cout total de gestion de stock de l’article j :

CT (Qj) = pjλj +λj

Qj

hj +Qj

2tjpj.

Le cout global de gestion de stock des n articles est

CT (Q) =n∑

j=1

(pjλj +

λj

Qjhj +

Qj

2tpj.

)(2.13)


Soit N le nombre de commandes lancees par annee pour chaque article et T la periode de

reapprovisionnement de chaque article. Nous avons :

N =λj

Qj

=⇒ Qj =λj

N, ∀j = 1, · · · , n.

En remplacant les quantites Qj dans l’expression precedente, on aura :

CT (Q) =n∑

j=1

pjλj +n∑

j=1

λj

Qj

hj +n∑

j=1

Qj

2tpj

=n∑

j=1

pjλj + Nh +t

2N

n∑j=1

λjpj

=⇒ CT (N) =n∑

j=1

pjλj + Nh +t

2N

n∑j=1

λjpj.

Donc le calcul des quantites optimales d’approvisionnement revient aussi a determiner le nombre

optimal de commandes groupees qui minimise le cout total de gestion et qui verifie

C ′T (N) = h− t

2N2

n∑j=1

λjpj = 0 =⇒ N∗ =

√t∑n

j=1 λjpj

2h.

Notons par

λ =∑n

j=1 λj : la demande globale des produits ;

V =∑n

j=1 λjpj : le cout total des achats.

Par consequent, N∗ sera calcule par la formule simplifiee suivante :

N∗ =

√t× V

2h. (2.14)

La quantite d’achat groupee des articles :

Qgr =λ

N∗ .

La periode d’approvisionnement de chaque article est

T ∗ =λ

N∗ .

La quantite approvisionnee de chaque article est

Qj =λj

N, j = 1, · · · , n.


Exemple 2.6. Considerons les trois articles suivants dont on veut grouper les com-

mandes :

Articles Consommation annuelle Prix unitaire

A 960 125

B 2 000 100

C 800 200

Le cout de passation d’une commande groupee est de 750 DA et le taux de possession

d’un article en stock est de 20%. Determiner :

1. Le nombre optimal de commandes groupees.

2. La quantite de commande groupee.

3. La quantite a engager pour chaque article.

4. La periode de reapprovisionnement.

Solution : on a : h = 750 DA/ commande ; t = 20%.

La demande globale des produits : λ =∑n

j=1 λj = 3760 unites / an.

Le cout total annuel des achats :V =∑n

j=1 λjpj = 480000 DA.

1. Calcul du nombre optimal de commandes groupees N∗ :

N∗ =

√t× V

2h=

√0.2× 480000

2× 750= 8 commandes/ an.

2. La quantite de commande groupee :

Qgr =λ

N∗ =3760

8= 470 unites.

3. La quantite approvisionnee de chaque article :

Puisque le nombre de commandes par annee a effectuer pour tous les articles est le

meme, alors on aura :

N∗ = λ1

Q1= λ2

Q2= λ3

Q3, d’ou

Q1 = 1N∗λ1 = 0.125× 960 = 120 unites,

Q2 = 0.125λ2 = 0.125× 2000 = 240 unites,

Q3 = 0.125× 800 = 100 unites.

4. La periode de reapprovisionnement des trois articles est

T ∗ =Qgr

λ× 365 =

470

3760× 365 = 45, 62 ' 46 jours.

2.3 Exercices d’application 29

2.3 Exercices d’application

Exercice 2.1. Un secretariat utilise 16 000 feuilles de papier par an. Le prix d’achat d’une

feuille est de 2 centimes et a chaque commande un cout fixe de 5 Francs doit etre paye. Le cout

annuel de stockage d’une feuille s’eleve lui a 1 centime.

Si la consommation de feuilles de papier est constante au cours de l’annee, calculer :

1. La quantite optimale de commande.

2. La periode de reapprovisionnement.

3. Le cout optimal global de gestion.

Exercice 2.2. Deux entreprises commercialisent un meme produit pour une valeur de 1000e

(soit un article a 1e). L’une s’approvisionne une seule fois en debut d’annee et la seconde passe

4 commandes identiques durant la meme periode. On suppose que la consommation du produit

est reguliere sur l’annee, ainsi que le taux de possession du stock est de 10%.

1. Representer l’evolution des stocks dans le temps pour chacune des entreprises.

2. Quelle entreprise adoptant la meilleure politique de stockage ?

3. Si le cout de lancement d’une commande pour la premiere entreprise est de 30e et celui

de la seconde entreprise est de 15e.

a. Quelle entreprise adoptant une meilleure politique de gestion dans ce cas ?

b. Est ce que les deux politiques de reapprovisionnement adoptees par ces entreprises

sont optimales ?

Exercice 2.3. Un produit de consommation courante et dont la demande demeure constante

et reguliere presente les caracteristiques suivantes :

• Cout de stockage d’une unite durant un an= 10 DA

• Consommation annuelle du produit = 12500 unites

• Cout de lancement d’une commande de reapprovisionnement = 100 DA

1. Quelle est le volume de commande optimal ?

2. Calculer la duree optimale separant deux reapprovisionnements successifs (periode eco-

nomique), ainsi que le cout annuel minimal.

3. Calculer le point de commande pour un delai de livraison d’une semaine, puis pour un

mois.

Exercice 2.4. Une entreprise gere un article a demande deterministe et reguliere tout au long

de l’annee. Son fournisseur lui propose la grille de prix suivante :


Quantite Prix (e)

0-999 40

1000-4999 39.75

5000-14999 39.5

15000 et plus 39.25

Determiner la quantite optimale de commande, sachant que la demande annuelle est λ = 100000

unites, le cout de lancement d’une commande est h = 10 e et le taux de possession du stock

est t = 15%.

Exercice 2.5. Une entreprise utilise 3000 pounds d’un produit chimique par an. Elle achete

400 pounds par commande a un prix de 5$ par pound. Le cout de lancement d’une commande

est de 100$ et le cout annuel de possession du stock est de 25% du prix d’achat par pound. Le

delai de livraison pour ce produit est d’une semaine.

1. Est ce que la quantite approvisionnee est optimale ?

2. Le fournisseur vient de faire une offre de 4$ par pound pour tout volume de commande

qui est multiple de 500 pounds.

a) Est ce que l’entreprise a interet d’accepter cette offre ?

b) Calculer le nombre optimal de commandes, la periode de reapprovisionnement et le

point de commande.

Exercice 2.6. A chaque heure, D etudiants veulent prendre le bus dans une ville donnee (les

bus appartiennent a une seule compagnie). L’administration fixe un cout K pour chaque heure

qu’un etudiant est oblige a attendre. Il coute a l’universite h dinars pour envoyer un bus par la

compagnie.

En supposant que les etudiants arrivent a l’arret des bus a un taux constant, combien de bus

a envoyer a chaque heure par la compagnie ?

Application numerique : K = 50 dinars par etudiant et par heure, D = 100 etudiants par

heure et h = 100 dinars par bus.

Exercice 2.7. La demande annuelle pour un produit est de 9000 unites et le prix unitaire du

produit est evalue a 5$. Le cout de possession d’une unite en stock est estime a 10% du prix

du produit, et le cout de lancement d’une commande est de 1000$.

a) Calculer la quantite optimale de commande et le cout associe.

b) Le fournisseur offre maintenant une remise de 4% sur le prix d’achat si nous commandons

au moins 8, 000 unites a la fois. Est-ce que nous devrions prendre l’offre ? Quel est le cout de

gestion associe ?

c) Notre fournisseur ajoute une autre offre : un taux de remise de 5%, si nous achetons au moins

18000 unites. Est-ce que nous devrions prendre cette offre ?


Exercice 2.8. Un revendeur Mercedes doit en payer 20000$ pour chaque voiture achetee. Le

cout de stockage annuel est estime a 25% de la valeur d’inventaire. Le revendeur vend une

moyenne de 500 voitures par annee et suppose que la demande peut etre differee. Il estime que

le cout de penurie pour une annee est de 20000$ (perte de clients futurs) et que le cout de

lancement d’une commande est de 10000$.

1. Calculer la quantite optimale de commande du revendeur Mercedes.

2. Quelle est la penurie maximale qui se produira ?

3. Calculer le nombre de commandes, ainsi que la periode de commande.

4. Pendant une annee, en combien de temps il y a une consommation normale de l’article et le

temps ou il y rupture de stock ?

5. Calcul le cout total de gestion de stock du revendeur Mercedes.

6. Determiner le point de commande pour un delai de livraison d’une semaine, puis de 03 mois.

3Modeles stochastiques de gestion des stocks

3.1 Introduction

Dans les modeles deterministes (chapitre 2), nous avons suppose que la demande ainsi que le

delai de livraison (delai d’attente) etaient constants. Dans la pratique, on est souvent confronte

au caractere aleatoire de la demande et du delai de livraison. On a alors recours aux techniques

probabilistes pour ameliorer notre maıtrise de nos stocks.

Pour les modeles stochastiques, on suppose que la demande moyenne est constante, mais

la demande ponctuelle (par exemple, pendant une journee) suit une loi de probabilite qui

change d’une application a une autre. Par exemple, pour une demande importante on utilise

la loi normale, mais pour de petits volumes de commande on utilise la loi de Poisson ou la loi

exponentielle.

3.2 Systeme a point de commande (Q, r)

Pour ce systeme de gestion de stock, le controle du stock se fait de maniere continue, i.e.,

a tout instant on connaıt le niveau du stock. Ce controle est realise en utilisant des fiches de

stock ou en informatisant le systeme.

Cette politique consiste a commander une quantite fixe Q chaque fois que le niveau du stock

baisse en dessous du seuil r, appele point de commande (ou stock d’alerte). La quantite com-

mandee est receptionnee apres un delai d’approvisionnement L. Notons que pour ce modele, les

32

3.2 Systeme a point de commande (Q, r) 33

cycles de reapprovisionnement du stock se different d’une periode a une autre, mais la quantite

commandee est toujours constante. L’evolution du niveau de stock dans le temps est illustree

par la figure suivante :

Fig. 3.1 – Evolution du stock avec la politique (Q, r)

3.2.1 Calcul du point de commande

On suppose que le volume de commande est deja connu, calcule par exemple par la formule

de Wilson. Le calcul du point de commande r se fait de maniere a maximiser le niveau de

service ou minimiser le cout total de gestion des stocks.

Considerons alors, la variable aleatoire D : ”la demande ponctuelle de l’article durant une unite

de temps”.

On suppose que D est une variable aleatoire continue et f sa densite de probabilite ayant

une moyenne µD et un ecart-type σD. On definit la variable aleatoire :

X : ”la demande durant le delai de livraison L”.

Pour des demandes independantes emanant d’un grand nombre de clients, il s’ensuit que

X =L∑

i=1

Di = LD suit la loi normale de parametres µX et σX , tels que :

µX = LµD,

σX =√

LσD.

•Calcul de r en connaissance du risque de rupture de stock α :

α= Probabilite (”la demande durant L depasse r unites”)=P (X > r).

1 − α = P (X ≤ r) = Probabilite (”la demande durant L est inferieur a r”). Le reel 1 − α est

appele niveau (taux) de service et represente le pourcentage d’articles satisfaits par le client


sur la demande totale durant une periode donnee. On a :

P(X ≤ r) = 1− α =⇒ P(X − µX

σX

≤ r − µX

σX

) = 1− α.

Posons Z = X−µX

σX↪→ N(0, 1), d’ou

r = µX + Z1−α × σX , (3.1)

ou Z1−α est le quartile associe a la loi normale centree reduite de probabilite 1−α. Cette valeur

est lue a partir de la table de la loi N(0, 1).

Le tableau suivant resume les quartiles associes aux taux de service suivants :

1− α 90 % 95 % 97.5% 99%

Z1−α 1.29 1.65 1.96 2.33

• Calcul du stock de securite :

Definition 3.1 (Stock de securite). C’est une quantite supplementaire d’articles que l’on

conserve en stock pour se proteger contre les penuries causees par une augmentation de la

demande des clients et/ou un retard de livraison du fournisseur.

Le niveau du stock de securite est calcule comme suit :

S = r − µX = Z1−α × σX =√

L σD Z1−α. (3.2)


Exemple 3.1. Chaque annee, le proprietaire d’un magasin d’ordinateur vend une

moyenne de 1000 boıtes de disques. La demande annuelle des boıtes de disques est distri-

buee normalement avec un ecart-type de 40, 8 boıtes. Il s’approvisionne les disques chez

un distributeur regional et le cout de lancement d’une commande est de 50$. Le cout

annuel de possession d’une boıte de disques en stock est de 10$. Le delai de livraison

d’une commande est suppose de deux semaines. Le proprietaire du magasin adopte une

politique du point de commande.

1. Determiner les parametres de ce modele de gestion du stock pour un niveau de

service de 95%.

2. Quel est le niveau de service offert si le proprietaire du magasin desire avoir un stock

de securite de 10 boites.

Solution : t = 10%, h = 50$/commande, cs = 10$/boite/an, L = 2 semaines.

Considerons la v.a D :”demande annuelle des boites de disques”;

D ↪→ N(µD, σD), avec µD = 1000 boites/an et σD = 40, 8 boites/an.

1. Les parametres de la politique (Q, r) adoptee :

- La quantite de commande est calculee par la formule de Wilson :

Q =

√2hµD

cs

=

√2× 50× 1000

10= 100 boites.

- Calcul du point de commande r pour un niveau de service 1− α = 95% :

Soit la v.a X :”la demande des boites de disque durant L = 2 semaines”;

X = LD ↪→ N(µX , σX), tels que µX = LµD, = 252× 1000 = 38.46 ' 38 boites,

σX =√

LσD =√

252× 40, 8 = 8 boites.

Pour 1− α = 95%, on a Z1−α = 1.65, d’ou

r = µX + σXZ1−α = 38 + 8× 1.65 = 51, 20 ' 51 boites.

Le niveau du stock de securite est S = r − µX = 51− 38 = 13 boites.

La politique de cette entreprise est de commander 100 boites de disque chaque fois

que le niveau du stock baisse a 51 unites.

2. Calcul du niveau de service pour un stock de securite S = 10 boites :

on a S = r − µX = σXZ1−α =⇒ Z1−α = SσX

= 108

= 1, 25. A partir de la table de la

loi normale centree et reduite, on aura 1− α = 0, 8944 = 89, 44%.


3.2.2 Methodes de calcul du niveau de service

X Cas 1 : Si on connais le nombre d’annees n , ou on a une seule rupture de stock :

on a : Le risque × nombre de commandes = 1n.

Comme le nombre de commandes par annee est λQ

, alors on aura :

αλ

Q=

1

n=⇒ α =

Q

nλ,

ou λ : la demande annuelle moyenne de l’article.

Exemple 3.2 (exemple precedent). Calculer le point de commande si le proprietaire

du magasin d’ordinateur accepte une rupture de stock tous les 5 ans.

Solution : on a : n = 5 ans ; λ = µD = 1000 boites/an.

Le risque de rupture du stock : α = Qnλ

= 1005×1000

= 0.02 =⇒ 1− α = 1− 0.02 = 98%.

Pour ce niveau de service, son quartile associe est Z1−α = 2.06.

Donc le point de commande r = µX + σXZ1−α = 38 + 8× 2.06 = 54, 48 ' 54 boites,

et le niveau du stock de securite est S = r − µX = 54− 38 = 16 boites.

X Cas 2 : Si on connaıt le cout de penurie d’une unite en stock :

Sans parte de generalite, on suppose qu’on gere en stock un seul article et durant la periode de

gestion du stock, soit π le cout de penurie d’une unite de l’article. Considerons la v.a X : ”la

demande de l’article durant le delai de livraison fixe L” ayant une densite de probabilite f et

une moyenne µX .

Le nombre d’articles en penurie de stock durant une periode de commande est la v.a

Y =

0, si X ≤ r

X − r si X > r.

Le nombre moyen d’unites en rupture de stock pendant une periode de reapprovisionnement

est E(Y ) =∫∞

r(x− r)f(x)dx et son cout annuel moyen est alors

Cr = πλ

QE(Y ) = π

λ

Q

∫ +∞

r

(x− r)f(x)dx.

Le niveau moyen du stock est Q2

+ S = Q2

+ r − µX et son cout annuel de stockage est

CP = (Q

2+ r − µX)cs.

Donc le cout moyen total de gestion du stock est

CT (Q, r) = CL + CP + Cr

=λ

Qh + (

Q

2+ r − µX)cs + π

λ

Q

∫ +∞

r

(x− r)f(x)dx

3.3 Le systeme a reapprovisionnement periodique (R, T) 37

L’objectif ici est de calculer le point de commande r qui minimise la fonction cout CT (Q, r). Si

on fixe la quantite de commande Q, alors le point minimum r de la fonction CT verifie :

∂CT

∂r= cS −

λπ

Q

∫ +∞

r

f(x)dx = 0 ⇒∫ +∞

r

f(x)dx =csQ

πλ⇒ α = P(X > r) =

csQ

πλ.

Donc le niveau de service 1− α = 1− csQπλ

.

Par consequent, le point de commande et le stock de securite peuvent respectivement etre

obtenus en utilisant les formules (3.1) et (3.2).

Exemple 3.3 (exemple precedent). Calculer le stock d’alerte si le cout annuel de

rupture d’une boite de disque est de 10$.

Solution : on a : π = 10$/an.

Le risque de rupture du stock : α = Q×cs

πλ= 100×10

10×1000= 0, 1 =⇒ 1− α = 90%.

Pour ce niveau de service, son quartile associe est Z1−α = Z0,90 = 1, 29.

Donc le point de commande r = µX + σXZ1−α = 38 + 8× 1.29 = 48, 32 ' 48 boites,

et le niveau du stock de securite est S = r − µX = 48− 38 = 10 boites.

3.3 Le systeme a reapprovisionnement periodique (R, T)

Pour ce systeme, le controle du stock se fait de maniere periodique, par exemple chaque

semaine, un mois ou un trimestre. Au debut de chaque periode fixe T , on controle le niveau de

stock et la quantite commandee est celle qui ramene le niveau du stock au seuil R, appele niveau

de recompletement (ou de reapprovisionnement). Cette commande sera receptionnee apres un

delai d’approvisionnement L. L’evolution du niveau de stock de cette politique est donnee dans

la figure ci-apres : L’avantage de cette politique par rapport a (Q, r) est qu’elle permet de

regrouper les commandes par fournisseur, ce qui permet de reduire les couts de commande et

de transport.

Les calculs utilises dans le systeme (Q, r) peuvent etre utilises dans ce systeme avec les

modifications suivantes :

– Dans le modele (R, T ) le controle du stock n’est pas necessaire entre les periodes de

revision, par contre dans le modele (Q, r) le stock est controle d’une maniere continue.

– Pour une periode de revision T , le niveau de recompletement R determine le niveau de

service offert par le systeme.

3.3.1 Calcul du niveau de recompletement R

Pour determiner R dans le systeme (R, T ), on procede de la meme facon que dans le

modele(Q, r) pour calculer r, sauf que l’on doit remplacer la fonction de densite de la de-

mande pendant L par la fonction de densite de la demande ponctuelle durant (T + L).

3.3 Le systeme a reapprovisionnement periodique (R, T) 38

Fig. 3.2 – Evolution du stock avec la politique (R, T )

Soit la variable aleatoire D : ”demande de l’article par unite de temps”, avec D suit une loi

normale de parametres µD et σD.

Considerons la variable aleatoire X : ”la demande durant T + L”.

Dans le cas ou le delai de reapprovisionnement L est constant, on a

X = D(T + L) ↪→ N(µX , σX), avec

µX = (T + L)µD,

σX =√

T + LσD.

Si on exige un niveau de service 1− α, alors on aura :

P (X ≤ R) = 1− α ⇒ P (X − µX

σX

≤ R− µX

σX

) = 1− α.

Notons par la variable aleatoire Z = X−µX

σX N (0, 1).

Alors, on aura :

P (Z ≤ R− µX

σX

) = 1− α =⇒ R = µX + σXZ1−α = (T + L)µD +√

T + LσDZ1−α.

3.4 Classification ABC 39

Le niveau du stock de securite est : S = R− µX =√

T + L σD Z1−α.

Exemple 3.4. Un laboratoire effectue ses approvisionnements tous les 30 jours a partir

d’un meme fournisseur de produits chimiques. Le delai de livraison est de 05 jours. Le

gerant doit determiner le volume de la commande des differents produits chimiques. Une

verification du niveau de ses stocks a revele que 11 jarres de 25ml d’un de ses produits

sont disponibles. L’utilisation journaliere de ce produit est approximativement normal de

moyenne 15, 2ml par jour et un ecart-type de 1, 6ml par jour. Le niveau de service pour

ce produit est de 95%.

1. Quelle est la politique de gestion de stocks appliquee par ce laboratoire ?

2. Calculer la quantite moyenne du stock de securite pour ce produit.

Solution : Nous avons :

Le delai de livraison du produit :L = 5jours ;

Le niveau de service : 1− α = 95% ⇒ Z1−α = 1.65 ;

La demande quotidienne du produit : D ↪→ N(µD, σD), avec µD = 25ml et σD = 1.6ml.

1. Puisque les approvisionnement se font au debut de chaque mois, alors le laboratoire

adopte une politique de recompletement periodique (R, T ), avec T = 1 mois.

Pour un niveau de service 1− α = 95%, le niveau de recompletement R est calcule

comme suit

R = (T+L)µD+√

(T + L)σD×Z1−α = (30+5)×15.2+√

30 + 5×1.6×1.65 = 547.62ml,

Donc R = 547.6225

= 21, 90 w 22 jarres.

Puisque le niveau actuel du stock est Q0 = 11 jarres, alors la quantite commandee

Q est celle qui ramene le niveau du au seuil R.

D’ou R = Q0 + Q =⇒ Q = R−Q0 = 22− 11 = 11 jarres.

2. Le niveau moyen du stock de securite :

S =√

(T + L)σD × Z1−α =√

30 + 5× 1.6× 1.65 = 15, 62ml.

3.4 Classification ABC

Lorsqu’une entreprise gere plusieurs milliers d’articles, elle ne peut pas accorder a chacun

la meme priorite dans sa gestion. Dans ce cas, une gestion des stocks selective s’impose. En

effet, on ne gere pas de la meme facon les fournitures de bureau et les articles destines a la

production. De meme, dans un ensemble produit, la vis de diametre 5cm dont la valeur est


faible ne sera pas geree de maniere identique a un produit dont la valeur est tres importante.

On note donc a ce niveau qu’il est necessaire d’adopter une classification des produits selon les

criteres suivants :

– critere de destination (fournitures de bureau, production, service apres-vente) ;

– critere de valeur (valeur cumulee des articles apparaissant dans les mouvements de stocks

ou valeur en stock) ;

Methode de classification ABC

La methode ABC est un modele simple de classement des articles issue de la methode de

Pareto, dite aussi methode des 20-80, developpee au debut du 19 eme siecle. Elle permet de

classer les flux et les stocks d’articles en fonction de certains criteres, a savoir :

– Le chiffre d’affaire (valeur de vente des stocks pendant une periode).

– Valeur du stock.

– La surface ou le volume consomme.

La demarche de la classification ABC est la suivante :

1. Classer les articles par ordre decroissant du critere utilise.

2. Calculer les pourcentages cumules du critere utilise.

3. Determiner les frequences cumulees, exprimees en pourcentage sur le nombre d’articles.

4. Determiner les trois classes A, B et C selon le graphe suivant :

Fig. 3.3 – Courbe de classification des articles par la methode ABC [5].

A partir du ce ce graphe, nous remarquons que le stock d’articles est reparti en trois classes :

Classe ” A ” : 5 a 10% des references representent 60 a 75% de la consommation totale des

articles du stock.

Classe ” B ” : 25 a 30% des references representent 25 a 30% de la consommation totale des

articles du stock.


Classe ” C ” : 60 a 70% des references representent 5 a 10% de la consommation totale des

articles du stock.

Le tableau suivant recapitule les principales caracteristiques des trois classes :

Classes A B C

% des references 5% a 20% 20% a 40% 40% a 50%

% de consommation totale 55% a 75% 15% a 20% 5% a 10%

Niveau de controle Rigoureux Normal Simple

Stock de securite Bas Modere Important

Frequence des inventaires Elevee Moderee Faible

Inventaire du stock Soigneuse et precise Normale Periodique (1

(Revisions frequentes) a 2 fois par an)

Modeles du stock (Q,r) et (R,T) Wilson et ces variantes fiches de stock

Tab. 3.1 – Principales caracteristiques des classes A,B et C de la methode ABC

Exemple 3.5. L’entreprise AZT fabrique et vend des meubles de luxe a plusieurs grandes

chaınes de distribution de la region de Montreal. Elle utilise dans son processus de fabrication,

10 types d’articles dont les consommations annuelles sont indiquees dans le tableau ci-apres :

Articles Consommation annuelle Cout unitaire

(en quantite) en $

A1 1 100 2

A2 600 40

A3 100 4

A4 1 300 1

A5 100 60

A6 10 25

A7 100 2

A8 1 500 2

A9 200 2

A10 500 1

Total 5 510

Tab. 3.2 – Donnee de l’entreprise AZT

Le tableau suivant resume les etapes de la methode ABC, ainsi que la composition des trois

classes obtenues.


Articles Consommation Valeur % cumule des % cumule du Classe

annuelle des consommations valeurs nombre d’articles

A2 2 400 24 000 62,75 10 A

A5 6 000 30 000 78,43 20 A

A8 3 000 33 000 86,27 30 B

A1 2 200 35 200 92,03 40 B

A4 1 300 36 500 95,42 50 B

A10 500 37 000 96,73 60 C

A9 400 37 400 97,78 70 C

A3 400 37 800 98,82 80 C

A6 250 38 050 99,48 90 C

A7 200 38 250 100,00 100 C

Tab. 3.3 – Tableau de la classification ABC des articles de AZT

La courbe de la classification ABC est schematise par la figure 3.4 suivante :

Fig. 3.4 – Classification ABC des articles de l’entreprise AZT


3.5 Exercices d’application

Exercice 3.1. L’entreprise Duglacon distribue un produit, le Frilox, dont la demande annuelle

est egale a 12 000 unites. Elle achete ce produit au fournisseur Duranafer au prix unitaire de 25e

ou de 22 e si le volume de la commande est un multiple de 250. Le cout de passation adminis-

tratif d’une commande est evalue a 10 e. Le taux de possession annuel est approximativement

egal a 24%. Le delai de livraison pour ce produit est de 3 jours.

1. Expliciter la fonction de cout total de gestion du stock de Frilox (on prendra la quantite

commandee Q comme variable).

2. Uniquement a l’aide de la question precedente (c’est-a-dire sans utiliser de formule toute

prete), determiner la valeur de la quantite economique de commande, notee Q∗.

3. Calculer le point de commande.

4. En realite, la demande n’est pas certaine ; apres avoir effectue quelques statistiques, il

semblerait qu’elle suit une loi normale de moyenne 12000 et d’ecart-type de 220 unites.

Votre directeur exige un niveau de service de 99%.

a. Determiner le point de commande.

b. Deduire le niveau du stock de securite et son cout moyen.

Exercice 3.2. On vous demande de determiner le niveau de reapprovisionnement pour un ni-

veau de service de 95% lorsque la demande par semaine est normalement distribuee de moyenne

egale a 20 unites et d’ecart-type de 2 unites dans les deux cas suivants :

1. Le delai de livraison est constant et est egale a 2 jours.

2. Le delai de livraison suit une loi normale dont sa distribution durant 100 jours est donnee

dans le tableau suivant :

Delai de livraison ( en semaines) 1 2 3 4 5

Nombre d’occurrences 10 20 40 20 10

Exercice 3.3. La demande journaliere d’un article est normale de moyenne 100 unites et d’ecart

type de 10 unites. Le delai de livraison pour cet article est de 3 jours.

A. On applique une politique a point de commande (Q, r).

1. Determiner le point de commande pour un niveau de service de 95%.

2. Si on decide de lancer une commande lorsque le stock baisse a 330 unites, quel sera

le risque de rupture des stocks ?

B. On applique une politique de recompletement periodique (R, T ). On decide de controler

notre stock une fois par mois.

1. Determiner R pour avoir un taux de service de 95%.


2. Notre magasin ne peut contenir que 2000 unites, comment modifier les parametres

de cette politique de facon a garder le meme niveau de service ?

Exercice 3.4 (Probleme du vendeur de journaux). Un libraire s’approvisionne quotidien-

nement aupres d’une maison d’edition. Il paie v dinars pour chaque exemplaire du journal, et

le revend pour p dinars. Les invendus lui sont repris a g dinars par l’editeur. On suppose que

la demande du quotidien considere est une variable aleatoire continue X, dont sa fonction de

densite est f(x).

a) Combien de journaux le libraire doit-il commander chaque jour afin de maximiser son be-

nefice espere ?

b) Appliquer ce modele a un libraire qui achete le journal liberte a 8 Da, le revend a 15 Da

et les invendus sont repris par l’editeur a 5DA ; la demande journaliere est normale de

moyenne 150 unites et d’ecart-type 15.

Exercice 3.5. Le premier jour de chaque mois, le revendeur d’un produit Alpha passe une

commande d’une certaine quantite de ce produit. Le delai de livraison est de 15 jours et le cout

de passation d’une commande est de 2500$. Le prix d’achat de ce produit est 100$ a l’unite et

son taux de possession en stock est de 30%.

La demande mensuelle du produit Alpha suit une loi normale et apres l’avoir observee sur

plusieurs mois, le revendeur a obtenu les donnees suivantes :

Demande mensuelle [0, 10 [ [10, 20 [ [20, 30 [ [30, 40 [ [40, 50 [

Frequence d’apparition 10% 20% 40% 20% 10%

1. Quelle est la distribution de probabilite de la demande mensuelle du produit Alpha ?

2. A quel type de modele de gestion de stock ce probleme fait reference ? determiner ces

parametres pour un niveau de service de 95%.

3. Calculer le stock de securite.

4. Quel sera le niveau du stock si le revendeur lance une commande de volume Q, calculee

par le modele de Wilson ?

5. Si le revendeur adopte une politique du point de commande, determiner alors ses para-

metres de gestion pour un niveau de service de 99%?

Exercice 3.6. Proceder a une analyse ABC des donnees suivantes :

Articles Valeur Nombre en Stock

A1 800 10

A2 100 60

A3 150 20

A4 200 10

A5 210 15

A6 80 9

A7 250 6

Bibliographie

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Cours sur la Gestion des Stocks - E - Learning Université