Cours VETE0432-4 « Mathématique et bases statistiques

Cours VETE0432-4 « Mathématique et bases statistiques »

Enseignant: Prof. F. Farnir

Assistants: Dr. Rives, Dr. L. Massart, Dr. N. Moula

Organisation de l’année

Cours Théorie TP TD

Math 10 h 10 h

Informatique 4 h

Statistique 28 h 10 h 6 h

Total 42 h 10 h 16 h

Cours du premier quadrimestre (Q1)

Poids: 7 crédits (/60)

Année académique 2021 - 2022 2


Cours Théorie TP TD

Math Tous G

Informatique Tous

Statistique Tous g G

Qui ?

Groupes de 1 à 12 (g1 à g12)

G = ensemble de 6 groupes

g = ensemble de 2 groupes


Groupes

Constitués au secrétariat

Ordre alphabétique

Disponibles plus tard...

Mais TD de math dès ce 17/9 !

�� Constitution de listes provisoires

�� Remplir le formulaire:

http://www.biostat.ulg.ac.be/pages/inscription.html(actif jusqu’au 16/9 à 12h00)


Groupes

En attendant, pour les TD de math dès ce 17/9 !

A = G1 à G6 [A... => J...]

-> TD1 17/9 à 08h15 (B7b – A142, 0/28)

B = G7 à G12 [K... => Z...]

-> TD1 17/9 à 13h30 (B6d – C26, - 1/26)




Cours TP TD

Math G

Informatique

Statistique g G

Qui ?

Groupes de 1 à 12 (g1 à g12) avec +/- 30 ét/groupe

G = ensemble de 6 groupes (A ou B)

g = ensemble de 2 groupes



Cours TD

Math 10 h

Informatique

Statistique 6 h

Les TD

Exercices (résolus) mis à disposition sur le site du cours (voir plus loin)

Locaux: voir « CELCAT »https://my.uliege.be => Cours => Mon horaire de cours




Cours TP

Math

Informatique

Statistique 10 h (Info)

Les TP

Salle informatique FMV

Masque obligatoire, désinfection entre séances



Salle informatique



Les cours théoriques En principe, en amphithéâtre

A303 les 14, 16 et 21/9 à 10h30

A300 le 20/9 à 10h45

A500 le 23/9 à 10h30

Cours suivants: voir CELCAT



Évaluations

Q1 (VETE0432-4)

3 cours (Info, Math, Stat I)

Mais 1 seule note (7 crédits)…



Évaluations: pondérations

Q1 (VETE0432-4)

Math (1/4)

Stat Q1 (2/4)

Stat TP1 (1/4)



Évaluations : notes finales

� � ��.� ∗ ��. ∗ �� .� La note obtenue est arrondie à l’entier

le plus proche



Évaluations: modalités VETE0432-4

Math: QCM (dispensatoire)

19/10/2021 (TD 5)

Si nécessaire: Ière Session (01/22)

Si nécessaire: Ière Session (06/22)

Si nécessaire: IIème Session (09/22)



Évaluations: modalités VETE0432-4 (suite)

Stat I: examen (QCM sur ordinateur)

MaOère: [début → χ²]

Ière session (01/22)

Si nécessaire: Ière session (06/22)

Si nécessaire: IIème session (09/22)



Évaluations : modalités VETE0432-4 (suite)

Stat TP + info: (exercices sur ordinateur)

Matière: TP 1 à 5

Ière session (01/22)

Si nécessaire: Ière session (06/22)

Si nécessaire: IIème session (09/22)



Dispenses partielles

Entre sessions (janv → juin → sept)

Notes partielles ≥ 10

Math

Stat I

TP I

Entre années:

Notes partielles ≥ 12


10/20

Organisation de l'année

� Exemple de dispenses (2021-2022)

Math Stat I TP I

9/20

10/20

8/20

9/208/20

11/20

Janvier

Octobre

Notes

8.71 => 9

Juin

10.24 => 10

9.16 => 9

10/20 10/20 11/20 Septembre



Supports:

Syllabi (Math - Stat)

Site web (Cours à distance)

http://www.biostat.ulg.ac.be

Contient (ou contiendra…): Dias des cours, liens vers les podcasts

Exercices de TD et TP,

Résultats des évaluations,

Didacticiels…




Rappels de mathématiqueF. FarnirA. Rives, L. Massart, N. Moula

Faculté de Médecine Vétérinaire

Plan des rappels

� Algèbre

◦ Polynômes

◦ Equations du premier degré

◦ Equations du second degré

◦ Fonctions principales

� Analyse

◦ Dérivées

◦ Intégrales


Plan des rappels (suite)

Géométrie

Relations dans les triangles

Vecteurs

Trigonométrie

Sinus, cosinus, tangente, cotangente

Formules principales


Une petite « mise en jambe »

La « règle de 3 »


• https://www.socrative.com/• Student login• Room name: FARNIR => JOIN• Entrez: Nom, Prénom => DONE• Choisissez une réponse parmi les réponses

proposées pour les 4 questions• => SUBMIT

Module I: Rappels d’algèbre.


Algèbre: les polynômes

� Forme générale d’un polynôme en x:

◦ n est l’ordre du polynôme◦ Certains coefficients peuvent être nuls

� Exemples: 3x2+2x+3, x+4, 7x, 3 sont des polynômes d’ordre 2, 1, 1, 0 respectivement



Opérations élémentaires sur les polynômes

Addition, Soustraction

Addition des termes de degrés égaux

Exemples (x² - 3x + 2) + (x – 4) = x² - 2x – 2

(x² - 2) – (x³ + 2x² - x) = -x³ - x² + x - 2




Multiplication

Mise sous forme développée d’un produit de polynômes de degrés inférieurs

Exemples (x² - 3x + 2) * (x – 4) = x³ - 7x² + 14x - 8

Rappels: Produits remarquables

(x ± a)² = x² ± 2ax + a²

(x ± a)³ = x³ ± 3ax² + 3a²x ± a³

(x + a) * (x – a) = x² - a²

(x ± a) * (x² - (±ax) + a²) = x³ ± a³Année académique 2021 - 2022 31



Division

Diviser un polynôme A(x) par un autre B(x) consiste à obtenir deux polynômes Q(x) et R(x) tels que:

A(x) = B(x) * Q(x) +R(x)

degré R(x) < degré B(x)

Exemples Diviser (x² - 3x + 2) par (x – 4):

(x² - 3x + 2) = (x – 4) * (x + 1) + 6

Q(x) R(x)


A(x)B(x)

Q(x)

R(x)



Division (suite)

Disposition pratique

Exemple: division de (2x³ + 6x + 1) par (x² + x + 1)

2 x³ + 0 x² + 6 x + 1 | x² + x + 12 x³ + 2 x² + 2 x ------------------------

--------------------- 2 x - 2

- 2 x² + 4 x + 1

- 2 x² - 2 x – 2

-------------------

6 x + 3




Division (suite)

L’utilité de telles divisions apparait, par exemple, dans certaines intégrales (voir plus loin)

Par exemple: en reprenant l’exemple précédent

Intégrer �∗��∗�� semble difficile…

On vient de voir que: �∗��∗�� 2 ∗ � � 2 � �∗��

Or, les deux termes de cette addition sont faciles à intégrer !




Division (suite)

Exemple: sachant que le reste de la division de P(x) par (x-1) vaut 3, par (x-2) vaut 7 et par (x-3) vaut 13, combien vaut le reste R(x) de la division de P(x) par B(x) = (x-1)*(x-2)*(x-3) ?

Réponse: R(x) = a*x² + b*x + c (degré inférieur à B(x))

P(x) = (x-1)*(x-2)*(x-3)*Q(x) + R(x) => P(1) = R(1) = 3, P(2) = R(2) = 7, P(3) = R(3) = 13

On résout: � � � � � � � 34 ∗ � � 2 ∗ � � � � 79 ∗ � � 3 ∗ � � � � 13 ⇒ �� 1� � 1� � 1 ⇒ # � � �� 1




Division (suite)

Question à un examen de math:

Pour quelle valeur de k la division du polynôme P(x) = (3x3 + x2 - 4x + k) par le binôme (3x – 1) est-elle exacte (la division a alors un reste nul) ?

• https://www.socrative.com/• Student login• Room name: FARNIR => JOIN• Entrez: Nom, Prénom => DONE• Choisissez une réponse A, B, C, D ou E => SUBMIT




Factorisation

Mise sous forme d’un produit de polynômes de degrés inférieurs

Exemples x² - 3x + 2 = (x – 1) * (x – 2)

x³ - 4x² + 2x + 4 = (x – 2) * (x² - 2x – 2)

Rappels: Produits remarquables

Utilisation dans le sens inverse




Rmq: un polynôme de degré n auran racines au maximum


Polynômes à deux variables

On se limitera à deux cas importants

Polynôme du premier degré en x et y

Polynôme du second degré en x et y

Graphiquement, on travaillera dans un espace 3D[x, y, z = P(x,y)]


Algèbre: P(x,y) du 1° degré

Exemple: P(x,y) = x + 2y + 3

-2

-1,3

-0,6

0,10,8

1,5

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2

-1,8

-1,6

-1,4

-1,2 -1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

6,3

8378E-1

6

0,2

0,4

0,6

0,8 1

1,2

1,4

1,6

1,8 2

8-10

6-8

4-6

2-4

0-2

-2-0

-4--2


Algèbre: équation du 1° degré

Si on recherche les racines du polynôme, c’est-à-dire les valeurs de (x,y) qui rendent P(x,y) = 0, on aboutit à l’équation du premier degré à deux inconnues



Equation du premier degré à deux inconnues

Remarques:

Il existe une infinité de solutions...

si b = 0, la solution est x = -c/a = Cte

Interprétation graphique: voir dias suivantes

==> ( b ≠ 0 )



Exemple: P(x,y) = x + 2y + 3

-2

-1,3

-0,6

0,10,8

1,5

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2

-1,8

-1,6

-1,4

-1,2 -1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

6,3

8378E-1

6

0,2

0,4

0,6

0,8 1

1,2

1,4

1,6

1,8 2

8-10

6-8

4-6

2-4

0-2

-2-0

-4--2



Exemple: P(x,y) = x + 2*y + 3 = 0

=> y =-0.5*(x + 3)

-1

-0,9

-0,8

-0,7

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0

X

Y


Algèbre: fonction du 1° degré

X

Y

1

m

θ


0, �� 0, &�� , 0 � �&' , 0


Deux situations pour définir une droite

Un point connu (x1,y1) – pente m connue

==>

==>


( � (� � ' ∗ � � ��


Deux situations pour définir une droite

Deux points connus (x1,y1) et (x2,y2)

==>


(� � (��


Exemple: MRU

Un mobile, situé au temps t=0 à une distance d0 d'un point d'observation, s'écarte de ce point avec une vitesse constante v. Calculez sa position par rapport au point d'observation en fonction du temps.

Solution: d(t) = d0 + v*t


td0

d(t)

1

v


Quelques propriétés

Deux droites parallèles ont la même pente m

Deux droites perpendiculaires ont des pentes m1 et m2

telles que: m1*m2 = -1

La pente m de la droite est égale à la tangente de l’angle θ que fait la droite avec l’horizontale:

tg(θ) = m

Exemple: cherchez la droite passant par A(2,3) et perpendiculaire à la droite passant par B(1,1) et C(-1,2) (sol: y = 2*x – 1)



Equation du deuxième degré à deux inconnues

Exemple:

si b = c = 0, e ≠ 0, éq. d’une fonction parabole

Autres situations: voir diapositives suivantes



Exemple: MRUA

Un mobile, situé au temps t=0 à une distance d0 d'un point d'observation, s'écarte de ce point avec une vitesse initiale v0. Une accélération constante a est imprimée au mobile. Calculez sa position par rapport au point d'observation en fonction du temps.

Solution (voir plus loin et cfr cours de physique): a(t) = av(t) = v0 + a*td(t) = d0 + v0*t+½*a*t²



Exercice: montrez qu’une parabole possède un axe de symétrie

Equation d’une parabole: f(x) = a*x² + b*x + c

Axe de symétrie en x = s => f(s + d) = f(s – d), ꓯ d

Donc:a * (s + d)² + b * (s + d) + c = a * (s - d)² + b * (s - d) + c

=> 4 * a * s * d + 2 * b * d = 0=> d * (2 * a * s + b) = 0=> d = 0 (évidemment…) et s = -b/(2*a)



Fonction parabolique: exempley = x² - 4x + 3

Axe de symétrie: x = -b/2a = 2

Intersections avec les axes Vertical: x = 0 => y = 3

Horizontal: y = 0 => x² - 4x + 3 = 0

Calculer ∆ = b² - 4ac = 16 – 4*1*3 = 4

Si ∆ > 0, x1 = (-b - √∆)/(2a) = (4 – 2) / 2 = 1x2 = (-b + √∆)/(2a) = (4 + 2) / 2 = 3

Si ∆ = 0, x1 = x2 = -b / (2a)

Si ∆ < 0, pas de racine

Orientation: (a > 0) (a < 0) Année académique 2021 - 2022 53

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 0 1 2 3 4 5


Fonction parabolique: exempley = x² - 4x + 3

x = -b/2a = 2

(0,3)

(1,0) (3,0)



Equation du deuxième degré à deux inconnues

De manière générale:

δ = ab – c²/4 > 0 => ellipse

δ = ab – c²/4 = 0 => parabole

δ = ab – c²/4 < 0 => hyperbole



Exemple: P(x,y) = x²+2y²+3xy–2x-y

δ = 1*2-3²/4 < 0 => « Hyperboloïde »

Série1

Série9

Série17

Série25Série33

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

1 3 5 7 9 1113 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

P(x,y)

-500-0 0-500 500-1000 1000-1500 1500-2000 2000-2500



Exemple: trace de la courbe dans le plan P(x,y) = 0=> x²+2y²+3xy–2x-y = 2y² + (3x-1)y + (x²-2x) = 0

=> ∆y = (3x-1)² - 4*2*(x²-2x) = x² + 10x +1=> ∆x = 10² - 4*1*1 = 96=> ∆y positif à l’extérieur des 2 racines=> y1 = f1(x) et y2 = f2(x), x ∈]-9.90;-0.10[

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

Y

X

/



Exemple: P(x,y) = 2x²+2y²+3xy–2x-y

δ = 2*2-3²/4 > 0 => « Ellipsoïde »

Série1

Série12

Série23

Série34

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

30-35

25-30

20-25

15-20

10-15

5-10

0-5

-5-0



Exemple: P(x,y) = 0

=> y1 = f1(x) et y2 = f2(x), x ∈[ ]

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

-0,5 0 0,5 1 1,5 2



Exemple d’application: ellipses de Lissajous

X

Y

Mouvement selon X

Mouvement selon Y


Algèbre: autres fonctions

Fonctions trigonométriques: cfr module 2

Fonctions logarithmes:

b est un paramètre, > 0 et ≠ 1, appelé base.Les bases les plus utilisées sont 2 (logarithme binaire), 10 (logarithme décimal) et e = 2.7182… (logarithme népérien, souvent noté ‘ln’)

x est une variable positive



Fonctions logarithmes (suite):

Forme d’une fonction y = ln(x):




Propriétés: logb(1) = 0

logb(b) = 1

logb(p*q) = logb(p) + logb(q)

logb(p/q) = logb(p) - logb(q)

logb(pq) = q * logb(p)

logc(p) = logc(b)*logb(p)




Exemple: si 0.1% d’une population est atteinte d’une pathologie, combien faudra-t-il examiner d’individus pour avoir 99% de chance de détecter cette maladie ?

Solution: 0.999n ≤ 0.01 => n * log(0.999) = log(0.01)=> n = log(0.01) / log(0.999)=> n ≈ 4603…

Remarque : la base n’a pas d’impact sur le résultat dans ce problème.





Fonctions exponentielles:

a est un paramètre > 0 appelé base.Les bases les plus utilisées sont 2, 10 et e~2.7183..

x est une variable positive ou négative

f(x) est toujours positive décroissante si a < 1

croissante si a > 1

constante si a = 1 (et vaut 1)

f(0) = 1Année académique 2021 - 2022 66


Fonctions exponentielles (suite):

Forme de la fonctions ex:




Propriétés: ax*ay = ax+y

ax/ay = ax-y

(ax)y = ax*y

(a * b)x = ax * bx

(a / b)x = ax / bx

a0 = 1

a1 = a




Exemple 1: croissance exponentielle du nombre de cellules cancéreuses.

Si une mutation se produit au temps t0, transformant une cellule en cellule cancéreuse, combien aura-t-on de cellules cancéreuses en t10

(une unité de temps correspond à une mitose, soit 1-3 h) ?

• https://www.socrative.com/• Student login• Room name: FARNIR => JOIN• Entrez: Nom, Prénom => DONE• Choisissez une réponse A, B, C, D ou E => SUBMIT




Exemple 1: croissance exponentielle du nombre de cellules cancéreuses.

En t = 0 => 1 cellule cancéreuse

En t = 1 (mitose) => 2 = 21 cellules cancéreuses

En t = 2 (mitoses) => 4 = 22 cellules cancéreuses

…

En t = n (mitoses) => 2n cellules cancéreuses En t = 10 (~ 1 jour) => 210 = 1024 cellules cancéreuses




Exemple 1’: quand dépassera-t-on 1,000,000 de cellules cancéreuses, à ce rythme ?

En t = X (mitoses) => 2X > 1000000 log10(2X) = log10(1000000) = 6

X > 6/ log10(2) = 19,93 => X = 20




Exemple 2: utilisation d’une échelle logarithmique suivant les cas, l’abscisse et/ou l’ordonnée seront

transformées en logarithmes


Documents

Cours VETE0432-4 « Mathématique et bases statistiques