cours_complet_deug_mass

Table des matières

1 Introduction à la théorie de l’équilibre général 31.1 Les économies d’échange pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 La base matérielle de l’économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Le diagramme emboîté d’Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Les préférences des agents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 L’aspect économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.5 Équilibre économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Exercice d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Les économies à la « Robinson Crusoe » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Une économie de production à 2 outputs et 2 inputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Équilibre général versus équilibre partiel 252.1 Les données du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 L’analyse « partielle » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 L’analyse « générale » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 L’existence d’un équilibre général walrassien 293.1 Hypothèses et outils nécessaires à la démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.2 Les outils mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Démonstration de l’existence d’un équilibre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.1 Définition d’un simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.2 Construction d’un ensemble de départ : l’ensemble des prix normalisés . . . . . . . . . . . 313.2.3 Construction d’une application ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.4 L’existence d’un équilibre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.5 La continuité de ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 L’existence des fonctions de demande nette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Quelques extensions à la théorie de l’équilibre général 384.1 Les économies avec production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.1 La base matérielle de l’économie : la production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.2 L’organisation de l’économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 L’équilibre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 L’équilibre général intertemporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.1 La base matérielle d’une économie temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3.2 Les préférences des agents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.3 Marchés à terme, prix intertemporel et taux d’intérêt spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.4 Le comportement des agents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.5 L’équilibre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 Incertitude et équilibre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4.1 Les préférences des agents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4.2 Le comportement des agents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4.3 L’équilibre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4.4 Un cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1

2 TABLE DES MATIÈRES

5 La théorie des optima au sens de Pareto 545.1 Les états optimaux au sens de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.1 Les états réalisables de l’économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.2 Le critère servant au classement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.3 Supériorité et optimum de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.4 Optimum au sens de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.5 Le premier théorème de l’économie du bien-être . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.1.6 Le second théorème de l’économie du bien-être . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Les conditions « marginales » d’un optimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Les conditions marginales d’une économie avec production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6 La stabilité 706.1 Systèmes dynamiques : définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2 Points stationnaires et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.3 Les processus de tâtonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.3.1 La stabilité du processus de tâtonnement lorsqu’il y a substituabilité brute dans le cas detrois biens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3.2 L’instabilité du tâtonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A Les fonctions implicites 79

B Les fonctions implicites en économie 84B.1 On exprime un output en fonction des autres variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

B.1.1 Étude de la relation entre x et y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84B.1.2 Étude de la relation entre y et L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

B.2 On exprime un input en fonction des autres variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86B.2.1 Étude de la relation entre L et T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86B.2.2 Étude de la relation entre L et y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

C Les relations binaires 88C.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

C.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88C.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

C.2 Les relations de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.2.1 Définition d’un meilleur élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90C.2.2 Définition d’un élément maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

D Utilité ordinale, utilité cardinale 91D.1 La mesure de l’utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91D.2 Les fonctions d’utilité von Neumann-Morgenstern et la mesure de l’utilité . . . . . . . . . . . . . . 92

Chapitre 1

Introduction à la théorie de l’équilibregénéral

No lo levantó la nada,ni el dinero, ni el señor,sino la tierra calladael trabajo y el sudor

Andaluces de JaenMiguel hernandez

Sommaire

1.1 Les économies d’échange pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 La base matérielle de l’économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Le diagramme emboîté d’Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Les préférences des agents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 L’aspect économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.5 Équilibre économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Exercice d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Les économies à la « Robinson Crusoe » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Une économie de production à 2 outputs et 2 inputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Nous allons dans ce premier chapitre introduire les concepts fondamentaux de la théorie de l’équilibregénéral. Pour cela, nous nous proposons d’étudier des économies simplifiée, c.-à-d. où il y a peu de biens et

peu d’agents. Cette simplification doit être bien comprise afin d’éviter des erreurs d’interprétation regrettables :bien que le nombre d’agent soit volontairement réduit, on supposera toujours que chacun d’eux se comportecomme s’il y avait un grand nombre d’agents. L’intérêt de cette façon de procéder est évident : en réduisant lenombre d’agents, on simplifie le traitement mathématique du sujet et on autorise les représentations graphiques.

Dans la plupart des sociétés, l’activité économique trouve son origine dans la production et sa fin dans laconsommation. Les échanges permettent aux produits de circuler1 entre les agents.Nous allons examiner dans ce qui suit les économies simplifiées décrites dans le tableau 1.1.La première économie décrit une économie d’échange pur, c.-à-d. une économie où il n’y a pas de productionet où les consommateurs s’échangent leurs dotations initiales de deux biens. Ce type de situation correspondpeu ou prou à celle qu’on rencontre dans les camps de prisonniers, les colonies de vacances ou sur une île à lasuite d’un naufrage. Ce type d’économie cherche à mettre l’accent sur le lien entre échange et préférences desindividus.

1. On dit que les marchandises ou les biens circulent lorsqu’ils changent de propriétaires.

3

4 CHAPITRE 1. INTRODUCTION À LA THÉORIE DE L’ÉQUILIBRE GÉNÉRAL

Tab. 1.1 – Cas d’économies simplifiées

économie 1 économie 2 économie 3

biens 2 2 4consommateurs 2 1 2

producteurs 0 1 2

Dans la deuxième situation, il n’y a qu’un seul individu qui produit et consomme le fruit de son travail. Onparle d’économies « à la Robinson Crusoe ». Dans ce type d’économie, on voit comment l’activité de productions’articule avec la consommation.La troisième situation n’a pas de nom particulier. Elle diffère conceptuellement des deux modèles précédentspar l’existence de deux producteurs. Son seul objet est donc de comprendre l’impact de deux entreprises sur uneéconomie. L’examen du tableau 1.1 montre que nos économies simplifiées comprennent toujours au minimumdeux biens et deux agents2. Un instant de réflexion montre que c’est la configuration minimale pour pouvoirparler d’échanges.

1.1 Les économies d’échange pur

On parle d’économie d’échange pur quand il n’y a pas de production. Les agents sont de purs consommateurs quidisposent — avant même que les échanges n’aient lieu — d’un stock initial (ou dotation initiale) de marchandises.Toute l’activité économique se réduit donc à :

1. l’échange

2. la consommation

de ces dotations.Dans un camp de prisonnier, ou toute production est de facto impossible, chaque prisonnier reçoit de sa famille(ou d’une organisation caritative) des colis contenant des quantités différentes de divers biens (cigarettes, savon,nourriture, etc.). Une fois ces dotations initiales reçues, on assistera sans doute à des échanges entre prisonniers.Finalement, le contenu des colis disparaîtra par la consommation. Si des échanges ont lieu, c’est sans douteparce que chaque prisonnier n’est pas pleinement satisfait du contenu de son colis, qu’il n’a pas choisi. Leséchanges permettent de se rapprocher du colis idéal en cédant ce qui est moins désiré pour obtenir ce qui estplus désiré.

Nous allons prendre dès maintenant de bonnes habitudes en formalisant rigoureusement notre économie.

1.1.1 La base matérielle de l’économie

Tout d’abord, il y a deux agents (consommateurs). Il sont caractérisés par l’indice h (pour household). Dans le casprésent, on a h = 1,2. Les biens sont au nombre de deux et sont indexés par i , i = 1,2. On note xi h la quantité debien i possédée par l’agent h. Les dotations initiales (invariables) seront notée x. Ainsi, xi h désigne la dotationinitiale en bien i de l’individu h. Pour appartenir à l’économie, les agents doivent posséder une dotation initialenon nulle d’au moins un des deux biens

(x1h , x2h) ∈R2+− {(0,0)}.

La taille de l’économie est donnée par le stock initial total en chacun des deux biens ; on note

∀i , i = 1,2 xi =2∑

h=1xi h ,

c.-à-d., le stock initial en bien i est obtenu en additionnant les dotations initiales des agents composantl’économie. Pour qu’on tienne compte d’un bien, il faut évidemment qu’il soit présent dans l’économie ; c’estpourquoi on posera

∀i , xi > 0.

2. On parlera quand même de deux agents si un même individu joue — comme Robinson Crusoe — deux rôles économiques distincts.

1.1. LES ÉCONOMIES D’ÉCHANGE PUR 5

On appelle « allocation » de cette économie, une répartition des biens de l’économie entre les agents qui lacomposent. On notera une telle allocation

x = (x1,x2) = ((x11, x21), (x12, x22)

).

On dira qu’une allocation est réalisable si

∀i ,2∑

h=1xi h ≤ xi .

On compte donc parmi les allocations réalisables toutes les répartitions des deux biens entre les deux individustelles que la consommation totale de chaque bien n’excède pas les dotations initiales globales en chacun desbiens.On peut s’étonner de ce que l’inégalité soit large. En effet, si la consommation totale du bien 1 (par exemple) estinférieure au stock initial du bien 1, on peut se demander où se trouve la partie non-consommée. La réponse estdonnée avec le concept de libre disposition3 des excédents. Lorsque l’égalité est vérifiée, on parlera d’allocationréalisable totale. Ces allocations peuvent être représentées à l’aide d’un diagramme emboîté d’Edgeworth. Cegraphique — très simple — est un instrument si puissant qu’on a pu dire que tous les problèmes théoriquespouvaient y être représentés de façon limpide :

The Edgeworth box, simple as it is, is remarkably powerful. There is virtually no phenomena orproperties of general equilibrium exchange economies that cannot be depicted in it. (Mas-Colellet al., 1995)

Il est donc inutile de préciser que vous devez le maîtriser parfaitement.

1.1.2 Le diagramme emboîté d’Edgeworth

On sait que les dotations d’un agent peuvent se représenter dans l’orthant positif (excepté l’origine) d’ungraphique où les axes représentent les biens (voir graphique 1.1a).Un diagramme emboîté d’Edgeworth est obtenu en « imbriquant » les systèmes d’axes des deux individus,comme on le voit sur le graphique 1.1b.

x1

x2

x2h

x1h

(a) représentation des dotations

h=1

h=2

ressources globales en bien 1

ressources globales en bien 2x

x

x

x

x

x

x

x x 22

11

12

x21

11

22

12

21

(b) diagramme emboîté d’Edgeworth

Fig. 1.1 – Représentation de l’économie

Ses caractéristiques sont les suivantes :

– La taille de la boîte est donnée par les ressources globales de l’économie en chacun des deux biens ;

– chaque agent h dispose de son propre système d’axe ;

– les allocations réalisables totales sont représentées par un point (par exemple, le point x) du diagrammeemboîté d’Edgeworth.

3. En anglais : free disposal. Pour des détails sur les enjeux liés de cette notion, voir l’entrée Free disposal dans The New Palgrave.


1.1.3 Les préférences des agents

Les individus sont capables d’exprimer des préférences sur les « paniers de biens » qui leur reviennent pourchacune des allocations réalisables de l’économie. Appelons X l’ensemble des « paniers de biens ». Ces préfé-rences sont représentées par la relation binaire %i sur X , (c.-à-d., « préféré ou jugé équivalent à »). Cette relationbinaire est transitive et complète, c.-à-d.,

∀x, y, z ∈ X x %i y et y %i z =⇒ x %i z

∀x, y ∈ X x %i y ou y %i x

On notera la définition :

Définition 1 (rationalité des préférences). Si la relation binaire de préférence %i est complète et transitivealors, on dit que la relation de préférence est rationnelle N

Ces deux propriétés ne sont généralement pas suffisantes pour engendrer une théorie satisfaisante du compor-tement des consommateurs. C’est pourquoi on ajoute des propriétés relatives à :

– la désirabilité des paniers de biens ;

– la convexité des préférences.

Nous allons supposer dans ce qui suit que la relation de préférence %i est strictement convexe, continue etfortement monotone.

Définition 2 (convexité). La relation de préférence % sur X est convexe, si

∀x ∈ X , y % x et z % x ⇒αy + (1−α)z % x ∀α ∈ [0 1] N

Définition 3 (stricte convexité). La relation de préférence % sur X est strictement convexe, si

∀x ∈ X , y % x, z % x et y 6= z ⇒αy + (1−α)z Â x ∀α ∈ [0 1] N

Définition 4 (continuité). On dit que % sur X est continue si les deux ensembles {x ∈ X | x % y} et {x ∈ X | y % x}sont fermés. N

Définition 5 (monotonie, monotonie forte). La relation % est monotone si x ∈ X et y À x ⇒ y Â x. Elle estfortement monotone si y ≥ x et y 6= x ⇒ y Â x N

Définition 6 (non-saturation locale). La relation % est localement non saturée si pour tout x ∈ X et pour toutε> 0, il existe un y ∈ X vérifiant ‖y −x‖ ≤ ε et y Â x N

Si on suppose que la relation de préférence %i est strictement convexe, continue et fortement monotone, alorsles courbes d’indifférence sont convexes (sans segments de droite), infiniment « minces » et elles s’empilentles unes dans les autres comme des bols ou des assiettes (cf. graphique 1.2a). Ces hypothèses sont l’expressionformelle de deux hypothèses sur la « psychologie » supposée des consommateurs :

convexité les consommateurs aiment la diversité : ils préfèrent les paniers de « composition moyenne » auxpaniers de « composition extrême » ;

monotonie les consommateurs préfèrent toujours avoir plus que moins.

Nous pouvons maintenant représenter les préférences des deux individus dans le diagramme emboîté d’Edge-worth (cf. graphique 1.2b).


x

x

1

2

(a) représentation des préférences sousforme de courbes d’indifférence

h=1

h=2



préférences croissantes pour h=2

préférences croissantes pour h=1

courbes d'indifférence de h=1

courbes d'indifférence de h=2

(b) les préférences dans le diagramme d’Edgeworth

Fig. 1.2 – Les préférences

1.1.4 L’aspect économique

Nous avons dit précédemment que ce modèle ne valait que comme idéalisation d’une économie où il y aurait denombreux biens et de nombreux agents en concurrence. Cela signifie quelque chose de précis : il existe des prixet les agents ne sont pas capables d’avoir une action significative sur ces prix. On dit alors que les agents sontprice-takers. On notera p le vecteur des prix (mesurés en unité de compte4)

p = (p1, p2) ∈R2

L’existence de prix permet de calculer la richesse des individus.

Définition 7 (richesse). Dans une économie de échanges, la valeur au prix de marché de la dotation initialed’un individu est sa richesse.

∀p = (p1, p2) ∈R2, pxh = p1x1h + p2x2h N

Cette même richesse détermine les paniers de biens qui sont accessibles au consommateur. En effet, chaqueconsommateur possède une dotation initiale. Celle-ci peut toujours être vendue sur le marché dans sa totalitéaux prix (p1, p2). Cette somme est ce que nous venons d’appeler la richesse de l’individu. On notera que cetterichesse n’est pas fixe. Elle dépend évidemment des prix qui sont en vigueur dans cette économie5.

Définition 8 (ensemble budgétaire (budget set)). On appelle ensemble budgétaire d’un individu l’ensembledes paniers de biens qu’il peut acquérir compte tenu des prix en vigueur et de sa richesse.

Bh(p) = {(x1h , x2h) ∈R2+ | p1x1h +p2x2h ≤ p1x1h +p2x2h} N

On en profite pour donner une définition qui découle de la précédente :

Définition 9 (ligne de budget). On appelle ligne de budget d’un individu l’ensemble des paniers de biens quiépuisent sa richesse aux prix en vigueur dans l’économie.

LBh(p) = {(x1h , x2h) ∈R2+ | p1x1h +p2x2h = p1x1h +p2x2h} N

La ligne de budget est représentée par une droite dans R2+. Sa pente est égale à l’opposée du rapport des prix− p1

p2. Elle passe par le point de dotation initiale de l’individu (cf. figure 1.3a).

4. Cela signifie que les prix sont des nombres réels purs, donc des nombres sans dimension.5. Pour ceux qui ont des difficultés à comprendre ce point, il suffit de se demander ce qu’est la richesse d’un individu qui possède

une twingo et un aquarium d’occasion. Il est clair que cette richesse dépend entièrement de ce que valent les twingos et les aquariumsd’occasion. Tant que l’individu n’a pas consulté L’Argus et un journal de petites annonces, il ne sait pas ce qu’est sa richesse et donc ne saitpas ce qu’il peut acheter avec elle.


x1

x2

x2h

x1h

ligne de buget

ensemble budgétaire

(a) ligne de budget et ensemble budgétaire

x

xx

h=1

h=2

21

11

21

11

x

x

ensemble budgétaire de h=1

panier optimal

courbe d'indifférence

(b) un exemple de panier optimal

Fig. 1.3 – Budget et choix optimal

Nous avons vu que les individus ont des préférences sur les « paniers de biens ». Nous savons aussi qu’ilsdisposent d’une dotations initiale qui ne les satisfait pas nécessairement. L’existence de marchés permet auxagents de modifier la composition de leur panier initial (c’est ce qu’expriment les ensembles budgétaires). Dansces conditions, il n’y a rien d’étonnant à ce que le problème économique fondamental de nos consommateurssoit de sélectionner le panier de l’ensemble budgétaire tel qu’aucun autre ne lui soit préféré 6. Le graphique 1.3bmontre un tel panier.Le vecteur optimal (x11, x21) désigne les quantités que l’individu « demande », c.-à-d. désire détenir (et consom-mer) une fois les échanges terminés. Puisque les individus possèdent des dotations initiales, ces quantités nesont pas celles qui sont échangées sur le marché. Dans le graphique 1.3b, l’individu h = 1 va céder (x21 −x21) etobtenir en contrepartie (x11 − x11). Il va offrir sur le marché la quantité (x21 − x21) et demander sur le marché(x11 − x11). Nous allons oublier désormais nos habitudes : nous ne parlerons plus d’offre et de demande mais dedemande nette (voir graphique 1.4a) positive ou négative.

h=1

h=2

x

x

x21

11

21

11

x

x

panier optimal

z

z

11

21

demande nette > 0 de h=1

demande nette < 0 de h=1

dotation initiale

(a) Demandes nettes de l’individu 1

h=1

h=2

x

courbe d'offre/demande de h=1

(b) Courbe d’offre-demande

Fig. 1.4 – Demandes nettes et courbe d’offre-demande

Définition 10 (demandes nettes). Soient xi h et xi h la dotation initiale et la quantité optimale du bien i pourl’individu h. On appelle demande nette du bien i par h — notée zi h — la quantité

zi h = xi h − xi h

La demande nette est positive si l’individu est « demandeur net » et négative s’il est « offreur net ». N

6. Plus exactement : les paniers qui sont tels qu’aucun autre ne leur soit préféré.


Lorsque les prix changent (plus exactement, le rapport des prix), la droite de budget pivote autour du pointde dotation initiale de l’individu. Les paniers demandés (c.-à-d. optimaux) associés à chaque rapport des prixdessinent une courbe qu’on appelle la courbe d’offre-demande7 (voir graphique 1.4b) de l’individu h.

1.1.5 Équilibre économique

Formulation générale

Nous avons exposé le problème économique en focalisant notre attention sur un seul individu représentatif 8.Nous allons maintenant examiner les interactions entre les deux individus.La première remarque qu’on fera concerne les droites de budget des deux individus dans un diagrammeemboîté d’Edgeworth. Dans un diagramme emboîté d’Edgeworth, les droites de budget des deux individus sontconfondues. Les dotations initiales des individus sont représentées par un même point sur cette droite de budgetcommune (voir graphique 1.5). Chaque individu se caractérise par une courbe d’offre-demande (qui traduit

h=1

h=2

x21

11

22

12

x

x

x

x



Fig. 1.5 – Ensembles budgétaires et droite de budget

ses préférences, pour une richesse donnée) Pour chaque vecteur de prix (p1, p2), on peut désormais vérifier siles désirs exprimés par les individus sont compatibles. Dans l’exemple de la figure 1.6, on constate que pour levecteur-prix choisi, les désirs des agents ne sont pas compatibles : le premier souhaite céder z21 alors que lesecond désire acquérir z22. Or, z21 6= z22. Par ailleurs, on vérifie facilement que z11 6= z12.Une telle situation ne saurait décrire un équilibre de marché puisque les quantités offertes et demandées necoïncident pas. On considère en effet qu’un équilibre est une situation où les consommateurs sont capables desatisfaire leurs désirs de vente et d’achat aux prix en vigueur 9. Nous pouvons définir un équilibre walrassien dela façon suivante :

Définition 11 (équilibre compétitif ou walrassien). Dans une économie d’échange, un équilibre compétitifest un vecteur de prix (pe

1, pe2) et une allocation réalisable totale (xe

1 , xe2) vérifiant :

∀h = 1,2 xeh % x ′

h ∀x ′h ∈ Bh(pe ) N

7. Dans Mas-Colell et al. (1995), les auteurs parlent d’une « offer curve » (à distinguer de la courbe d’offre, la « supply curve »). Nouspréférons pour notre part reprendre la terminologie qui avait cours au début du XXe siècle. Sur ce point, voir F. Dupont et E. Reus, La théorieréelle des cycles de D. H. Robertson, Revue française d’économie, vol. VII, 4, automne 1992.

8. Représentatif au sens où tous les individus ont un comportement semblable.9. Le terme équilibre désigne en économie une situation « où rien ne bouge », c.-à-d. une situation ou personne n’a intérêt à changer

quoi que ce soit pour la simple raison que les plans établis (ex ante) par les agents se réalisent. Pour des détails, voir Guerrien (1996). De leurcôté, Arrow et Hahn (1971) rappellent que depuis Marshall, l’accent est mis sur l’équilibre car il existe des « forces » qui poussent l’économievers de telles situations.


h=1

h=2

x

z

z

22

21



Fig. 1.6 – Compatibilité des préférences

Le graphique 1.7 représente un tel équilibre.La notion d’équilibre est plus subtile qu’il n’y paraît au premier abord. En effet, deux conditions doivent êtreremplies pour parler d’équilibre. Il faut que :

1. les marchés s’équilibrent ;

2. les agents maximisent leur satisfaction.

La première condition est généralement celle qu’on retient (c’est la fameuse « loi » d’égalisation des offres etdes demandes). On voit cependant sur le graphique qu’il existe une infinité d’allocations réalisables totales.Quand on passe de l’allocation initiale à n’importe quelle autre allocation réalisable totale, les biens transférésd’un agent à l’autre s’égalisent nécessairement : tout ce qui est cédé par l’un est forcément reçu par l’autre etvice versa. Ce n’est pourtant pas un équilibre walrassien : les transferts sont arbitraires et ne maximisent pas laL

satisfaction des agents. Il faut donc comprendre que l’équilibre d’un marché de concurrence est quelque chosed’assez étonnant qui mêle le « social » et « l’individuel » : il assure une certaine cohérence globale (pas de stocksd’invendus involontaires, pas de consommateurs « non servis ») tout en respectant les désirs exprimés par lesagents.

Formulations alternatives

Vous trouverez dans les ouvrages de microéconomie diverses formulations de la définition d’un équilibre général.Il est bon que vous les ayez rencontrées au moins une fois.L’idée générale est d’exprimer les choix des individus sous forme de fonction de demande (ou de demandenette). Nous allons définir dans un premier temps ces deux notions.

Définition 12 (fonction de demande). On appelle fonction de demande individuelle du bien i la relation entrela quantité optimale de ce bien et chaque éventualité de prix et de dotation initiale pour cet individu, avec(p,p.xh) À 0 (les prix étant tous strictement positifs). On la note xi h(p,p.xh) ∈R2+ N

On remarque que la fonction de demande d’un individu pour un bien quelconque dépend de tous les prix(représenté ici par le vecteur des prix p = (p1, p2)) ainsi que de sa richesse. Ceci est d’ailleurs conforme àl’intuition. La demande d’automobile dépend évident du prix d’une automobile, mais aussi du prix du carburant,du prix des assurances, etc. De même, on se doute que la richesse de l’individu aura une influence déterminantesur sa demande de caviar.Pour passer des préférences à la demande, un certains nombre d’étapes sont nécessaires. Je vais vous les donnersans démonstration.


h=1

h=2

x

zz2221



équilibre walrassien

Fig. 1.7 – Représentation d’un équilibre dans un diagramme emboîté d’Edgeworth

La première étape consiste à montrer que la relation binaire %i peut se représenter sous forme d’une fonctiond’utilité.

Théorème 1 (existence d’une fonction d’utilité). Si la relation binaire de préférence %h est rationnelle et conti-nue, alors il existe une fonction d’utilité uh(xh) continue qui représente ces préférences. ä

Démonstration. Proposition admise sans démonstration. ■

Une fonction d’utilité u : Rn+ 7−→ R associe donc à chaque panier de bien un nombre réel qu’on appelle l’in-dice d’utilité de ce panier. Une fonction d’utilité « représente » correctement des préférences dès l’instant ouxh %h x′h ⇐⇒ u(xh) ≥ u(x′h). Par conséquent, plus l’indice est elevé et plus le panier est apprécié. Dansl’absolu, la valeur de l’indice n’a aucune signification : la seule chose importante est d’associer un indice plusélevé à un panier préféré à un autre et que l’ensemble des indices soit cohérent quand on considère l’ensembledes paniers de biens. On dit alors que la fonction d’utilité est ordinale car elle se contente de représenter unordre ou un classement (sur les paniers de biens). Cela signifie également que si une fonction uh représente lespréférences d’un individu, alors toute fonction vh déduite de uh par une transformation croissante représenteégalement ces préférences.Le seconde étape consiste à montrer que le problème de la maximisation de la fonction d’utilité sous contraintede budget a toujours une solution.

Théorème 2 (maximisation de l’utilité). Si les prix sont strictement positifs p À 0, et si la fonction d’utilité uh(.)est continue, alors le problème

maxx≥0

uh(xh) sous la contrainte : p.xh ≤ p.xh

a une solution. ä

Démonstration. Si p À 0 alors l’ensemble de budget Bh(p) = {(x1h , x2h) ∈R2+, p1x1h+p2x2h ≤ p1x1h+p2x2h}est un ensemble compact (en effet, il est fermé et borné). Or, toute fonction continue possède un maximum surun ensemble compact. ■

Ces deux théorèmes permettent donc d’affirmer que, quelle que soit la richesse de l’individu, quels que soientles prix, il existe un panier de biens qui maximise son utilité. La relation entre les différents prix et les paniersoptimaux qui leur sont associés est la correspondance de demande walrassienne. Lorsqu’il n’existe qu’un panier


optimal associé à chaque vecteur prix, on parle de fonction de demande walrassienne. C’est elle qu’on a notéxi h(p,p.xh).Lorsqu’on additionne les demandes des différents individus, on obtient la demande de marché du bien considéré

xi (p,px1, ...,pxh , ...) =∑h

xi h(p,p.xh)

Comme on le constate, la demande de marché est une fonction de tous les prix et de la richesse de chaqueindividu. Si on considère que le volume et la répartition de la richesse sont donnés10, alors la demande demarché ne dépend que des prix.Nous pouvons enfin définir la fonction de demande nette :

Définition 13 (fonction de demande nette). On appelle fonction de demande nette (individuelle ou de mar-ché) les fonctions zi h(.) = xi h(.)− xi h et zi (.) = xi (.)− xi . N

La fonction de demande nette sera une fonction de demande ou d’offre selon le signe que prendra z(.).

Les fonctions de demande possèdent des propriétés qui méritent d’être soulignées.

Définition 14 (homogénéité de degré k). Soit f (.) une fonction de RN dans R. On dit que f (.) est homogènede degré k par rapport à (x1, x2, ..., xn) si :

∀λ> 0, f (λx1,λx2, ...,λxn) =λk f (x1, x2, ..., xn)

k s’appelle le degré d’homogénéité de la fonction. N

Proposition 1 (absence d’illusion monétaire). Les fonctions de demande (demande nette, individuelle ou glo-bale) sont homogènes de degré zéro par rapport aux prix. ä

Démonstration. On notera dans un premier temps que :

∀λ> 0, pxh ≤ pxh ⇐⇒λpxh ≤λpxh

Par conséquent, toute solution du programme

maxx≥0

uh(xh) sous la contrainte : p.xh ≤ p.xh

est aussi solution du programme

maxx≥0

uh(xh) sous la contrainte : λ p.xh ≤λ p.xh

Par conséquent,xi h(λp, λp.xh) =λ0 xi h(p,p.xh) = xi h(p, p.xh) ■

On montre ainsi que les quantités demandées ne dépendent que des prix relatifs, c.-à-d. des rapports de prix.Le fait de multiplier tous les prix par une même constante positive ne modifie pas les quantités demandéesde chaque bien. Bref, si un individu demande une pomme et une poire quand les prix des deux fruits sontrespectivement 1 ( et 2 ( alors qu’il gagne 3 (, il devra demander les mêmes quantités quand les prix seront2 ( et 4 ( et son revenu 6 ( !Ces définitions m’amènent à vous proposer les deux définitions suivantes d’un équilibre générale walrassien :

Définition 15 (équilibre général walrassien bis). Dans une économie d’échange, un équilibre compétitif estun vecteur de prix (pe

1, pe2) vérifiant

∀i ,∑h

xi h(p, p.xh) ≤∑h

xi hN

10. C’est une simplification qui est fréquente.


Cette définition11 met l’accent – marché par marché – sur l’égalité des quantités désirées par les agents etdes quantités disponibles (c.-à-d., les dotations initiales globales de chaque bien). On remarque que l’aspectcompact de cette définition vient de ce que l’aspect individuel et social de l’équilibre sont réunis dans une mêmeéquation. Les fonctions de demande étant déduites du programme de maximisation de l’utilité des individus,l’équilibre une fois atteint possède ipso facto la propriété de maximiser la satisfaction des individus.On peut bien entendu condenser encore un peu plus cette définition en utilisant les fonctions de demandenette12 :

Définition 16 (équilibre général walrassien ter). Dans une économie d’échange, un équilibre compétitif estun vecteur de prix (pe

1, pe2) vérifiant

∀i ,∑h

zi h(p,p.xh) ≤ 0.N

Cette dernière version correspond à la définition habituelle d’un équilibre de marché. Les fonctions de demandenette expriment les quantités effectivement échangées sur le marché. Comme elles sont déduites des fonctionsde demande, elles expriment dans le même temps les choix optimaux des individus.Cette définition donnée, nous pouvons énoncer deux propriétés fondamentales des équilibres walrassiens : la« loi de Walras » et le théorème des biens libres.

Proposition 2 (loi de Walras). La somme des valeurs des demandes nettes de marché est identiquement nulle,c.-à-d.

∀p,∑

ipi zi (p) = 0.

ä

Démonstration. En vertu du théorème 2, on sait que le programme de maximisation de l’utilité possède unesolution lorsque p À 0. En vertu de l’hypothèse d’absence de saturation des besoins, la solution optimale setrouve sur la contrainte budgétaire. Par conséquent, la contrainte budgétaire∑

ipi xi h =∑

ipi xi h

devient, en remplaçant xi h par la fonction de demande xi h(p,p.xh), une identité vraie pour tout p

∀p À 0,∑

ipi xi h(p,p.xh) =∑

ipi xi h ,

ce qui est équivalent à

∀p À 0,∑

ipi zi h(p) = 0.

On remarquera que si on admet l’existence de prix nuls13, cette identité reste vérifiée. Par conséquent, ensommant sur tous les individus

∀p,∑h

∑i

pi zi h(p) =∑i

pi∑h

zi h(p) =∑i

pi zi (p) = 0.■

La loi de Walras s’interprète de la façon suivante :

1. dans une économie à n marchés, quand n −1 marchés sont équilibrés, le ne est nécessairement équilibré ;

2. dans une économie à n marchés, quand un marché est déséquilibré, un ou plusieurs autres marchés sontdéséquilibrés ;

3. les fonctions de demande nette de marché ne sont pas indépendantes (l’une d’entre elle — peu importelaquelle — est linéairement dépendante de toutes les autres).

11. On trouve par exemple cette définition dans Varian (1995), p. 318.12. On trouve cette définition dans Arrow et Hahn (1971), p. 23.13. Mais non tous simultanément nuls. Le problème économique serait sans intérêt puisque tous les biens seraient gratuits.


Proposition 3 (biens libres). Soit p? un équilibre général walrassien. Si, sur le marché j , on a z j (p?) < 0 alors,p?j = 0. Si, à l’équilibre, un bien est en excès d’offre (demande nette négative) alors c’est un bien libre, c.-à-d. son

prix est nul. ä

Démonstration. Puisque p? est un équilibre général walrassien, on a ∀i , zi (p?) ≤ 0. Supposons que z j (p?) < 0et p?j > 0. Alors, on aurait nécessairement

∑i p?i zi (p?) < 0 et ceci en contradiction avec la loi de Walras. ■

Les biens libres sont des biens dont l’offre est si abondante par rapport à la demande que le seul équilibrepossible se fait à un prix nul (le prix ne saurait descendre plus bas !). Et à ce prix, l’offre excède encore la demande.On a donc bien à l’équilibre une demande nette négative et un prix nul.

1.2 Exercice d’application

Nous allons à travers un exercice simple mettre en application les notions que nous venons d’introduire.

Exercice 1. Une économie se compose de deux individus caractérisés par les fonctions d’utilité : uh(x1h , x2h) =xα1h x1−α

2h et par les dotations initiales suivantes : x1 = (1,2) et x2 = (1,2). Déterminer l’équilibre général de cetteéconomie. ♣

1.3 Les économies à la « Robinson Crusoe »

Avec ce type d’économie, nous allons étudier les relations entre la consommation et la production. Avant d’allerplus avant, nous allons essayer de donner une représentation grossière de l’articulation entre la production et laconsommation dans un pays comme la France contemporaine.

Entreprises

Dépenses de consommation

Ménages

Profits

Salaires

Fig. 1.8 – Les flux monétaires entre entreprises et ménages.

Pour théoriser de type d’économie, on part de trois idées fondamentales :

1. le temps dont dispose un individu est donné ;

2. avant d’être consommés, les biens doivent être produits ;

3. les biens sont produits avec du travail.

Ceux qui ont déjà siroté un Malibu-coca14 frappé, allongés dans un hamac tendu entre deux palmiers d’uneîle paradisiaque du Pacifique savent que deux choses sont très agréables : ne rien faire15 et ... consommer. Parailleurs, n’importe quel individu semble être capable de classer ses préférences quant à ces deux possibilités.Bien fol qui préférerait 1 jour de vacances et un seul Malibu à deux jours de vacances et deux Malibu !Si vous admettez ceci, vous pouvez admettre que les individus ont des préférences sur des paniers de bienscomposés de loisir (`) et d’un bien de consommation (x). On posera que le loisir est mesuré à l’aide d’une unitéde temps quelconque (l’heure, le jour, le mois, etc.) et que chaque individu en possède une dotation initiale,notée ¯ (24 heures par jour, 30 jours par mois, etc.).

Il nous reste à évoquer le dilemme auquel est confronté toute personne (sa « contrainte budgétaire ») : les bienssont produits à l’aide de travail, c.-à-d. de temps. Puisque la dotation en temps est bornée, plus un individu

14. Pour les brestois qui ne connaissent que les joies du cidre tiède dégusté sous le crachin estival, je demande de faire preuve d’imagina-tion.

15. c.-à-d. avoir des loisirs.

1.3. LES ÉCONOMIES À LA « ROBINSON CRUSOE » 15

consacre de temps au loisir et moins il travaille. Or, moins il travaille, moins il produit et ... moins il consomme.En revanche, s’il travaille beaucoup, il produit et consomme beaucoup ... mais il ne lui reste que peu de tempslibre.Bref, on peut dire que le dilemme qu’on évoquait précédemment est le suivant : loisir et consommation sontdésirables mais on ne peut avoir l’un qu’en renonçant à l’autre16. Vous comprenez maintenant pourquoi onparle d’économies à la Robinson Crusoe ! Chaque matin celui-ci devait se demander comment allouer le tempsdont il disposait entre le loisir et le travail productif.

Essayons maintenant de formaliser notre problème.Le consommateur a des préférences %h sur les couples (`, x) ∈R2+. Elles sont continues, convexes et fortementmonotones.La production de biens de consommation est mise en œuvre par une unique entreprise. Elle produit un uniqueoutput (le bien de consommation) à l’aide d’un unique input : le travail, noté L et mesuré en heures. Parconvention, les inputs sont « comptés négativement » alors que les outputs sont des grandeurs positives 17. Unefonction de production décrit la relation technique qui existe entre les différentes quantités d’input possibles etles productions qui en résultent. On la note

x = f (L)

x ≥ 0 désigne les quantités produites ; L ≤ 0 désigne le temps de travail.La convention qui consiste à « compter négativement » les inputs est gênante parce qu’elle va à l’encontre denos habitudes de pensée. C’est pourquoi, il est parfois intéressant de définir les inputs de façon à ce qu’ils soientpositifs. Il suffit de poser L? = −L et de définir une fonction de production f ?(.) vérifiant f ?(L?) = f (L). Onsuppose traditionnellement que f ?(.) est croissante (plus de travail entraîne plus de production) et strictementconcave (les suppléments successifs de travail se traduisent par des suppléments de production de plus en plusfaibles18).

-20 -15 -10 -5L

-1

1

2

3

x

(a) une fonction de production « type »

-20 -15 -10 -5 5

-3

-2

-1

1

2

3

(b) droites d’isoprofit

Fig. 1.9 – Fonction de production et droites d’isoprofit

Le graphique 1.9a est un exemple de fonction de production où les inputs sont « comptés négativement ».La production est mise en œuvre par une entreprise. Elle achète les services du travail au prix w et vend saproduction au prix p. Son but est de maximiser son profit qui est la différence entre les recettes px et le coûtsalarial wL, sachant que x = f (L). Son programme19 s’écrit

maxL≤0

(px +wL)

s.c. : x = f (L).

16. Cette opposition rappelle la contrainte budgétaire évoquée précédemment : un individu qui possède des ressources bornées (c.-à-d.,limitées en quantité) ne pourra pas consommer à discrétion du x et du y . Il sait que plus il achète de x et moins il peut obtenir de y , et viceversa.

17. Voir par exemple Debreu (1966), p. 40.18. On dit que la productivité marginale du travail décroît. Un peu d’introspection ne fera pas de mal pour comprendre tout ceci.

Admettons qu’il existe une relation entre temps de révision (L?) et note aux examens (x). On note cette relation x = f ?(L?). C’est ... unefonction de production. Vous savez tous que plus on révise et plus la note sera importante ( f ?(.) est croissante). Vous savez aussi que lesheures successives de révision se traduisent par des suppléments de points de plus en plus faibles ( f ?(.) est concave). On peut égalementdire : si on obtient 10 avec 5 heures de révisions, il faut être fou pour croire qu’on aura 20 avec 10 heures de révisions !

19. Les initiales s.c. signifient « sous contrainte ». Les anglo-saxons écrivent s.t . c.-à-d. subject to.


Ce problème peut se représenter graphiquement. Appelons droite « d’isoprofit » l’ensemble des vecteurs (L, x)qui donnent un niveau donné de profit π∗ pour un niveau donné des prix{

(L, x) ∈R−×R+ | px +wL =π∗}.

Le graphique 1.9b représente une série de droites d’isoprofit (c.-à-d., construites pour des niveaux différents deprofit).Comme on le voit avec le graphique 1.10a, le problème de la maximisation du profit consiste à trouver le vecteur(L, x) :

– situé sur la plus élevée des courbes d’isoprofit possible ;

– qui respecte la relation technique de production.

Le graphique 1.10b montre un vecteur maximisant le profit. Il est « classiquement » situé au point de tangenceentre une courbe d’isoprofit et la fonction de production.

-20 -15 -10 -5 5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5profits croissants

(a) droites d’isoprofit

-20 -15 -10 -5 5

1

2

3

profit maximum

(b) vecteur maximisant le profit

Fig. 1.10 – Maximisation du profit

Lorsque les prix varient, les droites d’isoprofit pivotent (puisque leur pente wp change) et le vecteur (L, x) optimal

change. On notera L(p, w), x(p, w) et π(p, w) la quantité optimale de travail, l’output optimal et le profit optimalassociés au vecteur de prix (p, w)20.

L’entreprise fait des profits. Certes ! Mais ... où vont ces profits ? Ils sont versés aux propriétaires de l’entreprisequi sont les ... ménages. Dans notre économie simplifiée, cela veut dire que l’entreprise verse ses profits àl’unique individu qui se trouve être son ... salarié !

Nous allons donc établir la droite de budget de notre consommateur en tenant compte des ses deux sources derevenu : son salaire et ses profits.

px ≤−wL+π(p, w), L ≤ 0 (1.1)

ce qui signifie que la valeur de ce qu’il achète pour sa consommation (px) ne peut excéder ce qu’il gagne sousforme de salaires (−wL) et de profits (π(p, w)). Si on se souvient que le temps travaillé est un non-temps-de-loisir21, la relation 1.1 peut aussi s’écrire

px +w`≤ w ¯+π(p, w). (1.2)

Le consommateur cherche à maximiser son utilité sous sa contrainte de budget

max(`,x)∈R2+

u(`, x) (1.3)

sc : px +w`≤ w ¯+π(p, w) (1.4)

Ce problème possède une solution (voir graphique 1.11). On notera x(p, w) la quantité désirée du bien x lorsqueles prix sont w et p et `(p, w) le temps de loisir désiré pour le même vecteur de prix. On définit sans peine lademande nette du bien x et du temps

20. La relation fonctionnelle entre quantité optimale de travail et vecteur-prix s’appelle la fonction de demande de travail par l’entreprise.On peut la noter L−(p, w). De même, x+(p, w) est la fonction d’offre de x et π(p, w) est la fonction de profit.

21. Le temps disponible se partage entre travail et loisir, ¯= `−L. Donc ¯≥ 0, `≥ 0 et L ≤ 0.

1.4. UNE ÉCONOMIE DE PRODUCTION À 2 OUTPUTS ET 2 INPUTS 17

1

2

3

x

5 10 15 20l

1

2

3

x

24

Fig. 1.11 – L’équilibre du consommateur

-20 -15 -10 -5 5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

(a) déséquilibre

-20 -15 -10 -5 5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

(b) équilibre

Fig. 1.12 – Équilibre et déséquilibre dans le modèle avec production

zx (p, w) = x(p, w)−0 = x−(p, w) demande de x,

ztemps(p, w) = `(p, w)− ¯= L+(p, w) < 0 offre de temps de travail.

On constate que le consommateur a une demande nette négative de temps22. Il est donc offreur de temps àl’entreprise et ce temps offert correspond bien entendu au temps de travail négatif L ≤ 0 évoqué plus haut.Un équilibre walrassien de cette économie est un vecteur prix (p, w) équilibrant les marchés

L+(p, w) = L−(p, w) (marché du travail), (1.5)

x−(p, w) = x+(p, w) (marché des biens). (1.6)

Le graphique 1.12a décrit une situation de déséquilibre : les quantités offertes et demandées de travail etdu bien ne correspondent pas. Le graphique 1.12b décrit une situation d’équilibre. on y voit que le vecteurd’équilibre peut être indifféremment décrit comme un couple loisir-consommation (`, x) ou comme un coupleproduction-travail (x,L). Tout dépend du point de vue qu’on adopte : celui du ménage ou celui de l’entreprise.

1.4 Une économie de production à 2 outputs et 2 inputs

Nous allons maintenant étudier une économie où deux entreprises fabriquent à l’aide d’inputs de même naturedes outputs différents. Les fonctions de production des entreprises s’écrivent23

F1(q1, s11, s21) = 0, (1.7)

F2(q2, s12, s22) = 0, (1.8)

22. Vous remarquerez la cohérence des notations : ztemps(p, w) est conforme à la définition d’une demande nette : stock désiré de tempsmoins stock de temps possédé. Le temps que je veux garder pour moi étant a priori plus faible que mon stock de temps, j’offre sur le marchéla différence.

23. Pour la signification des fonctions de production écrite sous la forme F (.) = 0, cf. annexes A et B, page 79 et sq.


Entreprise 1

Entreprise 2

Ménage 1

Ménage 2

q1

q2

S11

S21

S12

S22

Fig. 1.13 – Une économie à 2 biens et 2 inputs

q j ∈R+, j = 1,2 désigne l’output de l’entreprise j ,si j ∈R−, i = 1,2 j = 1,2 désigne l’input i utilisé par l’entreprise j .Nous suivons une fois encore la convention qui consiste à compter négativement les inputs et positivement lesoutputs.Les différents biens ont un prix. On note p j le prix des outputs et wi celui des inputs.Comme nous allons nous intéresser à l’équilibre sur le marché des inputs, nous allons supposer que l’offred’input est le fait des ménages et que cette offre est parfaitement inélastique 24. Les outputs sont vendus à desB

prix « fixés par le marché ».Ces hypothèses sont faites dans un but de simplification. Ce qui nous intéresse est la façon dont — à l’équilibre —les inputs vont se répartir entre les deux entreprises. Nous faisons complètement l’impasse sur le comportementdes ménages. Cela a pour conséquence que nous ne connaissons pas leurs demandes de biens et leurs offresd’inputs. Nous supposons donc que :

– sur les marchés des deux biens, tout ce qui est produit est demandé aux prix p1 et p2 ;

– l’offre d’inputs est fixe.

Chaque entreprise cherche à maximiser son profit

max(p j q j +w1s1 j +w2s2 j ), (1.9)

compte tenu de sa contrainte technique de production

F j (q j , s1 j , s2 j ) = 0. (1.10)

La représentation graphique du problème est un peu plus compliquée que tout ce que nous avons vu jusqu’àprésent. En effet, nous allons représenter objectif et contrainte « dans l’espace ».

Commençons par l’objectif.On sait que π= p j q j +w1s1 j +w2s2 j . En fixant la valeur du profit π à un niveau donné, on définit une « surfaced’isoprofit » dont l’équation est

q j =−w1

p js1 j − w2

p js2 j + π

p j, p j 6= 0. (1.11)

Le graphique 1.14a représente trois surfaces d’isoprofit. Chaque surface regroupe l’ensemble des triplets(q j , s1 j , s2 j ) qui conduisent — pour des prix (p j , w1, w2) donnés — à un même niveau de profit. La plus « haute »des trois correspond au niveau de profit le plus élevé25.

Continuons par la contrainte.

De façon tout à fait classique, la fonction de production F (q j , s1 j , s2 j ) = 0 est représentée par une surface commecelle du graphique 1.14b. La production est nulle lorsque les facteurs de production sont nuls. Elle est d’autantplus importante que leur quantité augmente. La forme de la surface montre que la productivité marginale desdeux facteurs est décroissante26.Le problème de la maximisation du profit peut être visualisé en combinant les graphiques 1.14a et 1.14b. Il s’agiten effet de trouver la surface d’isoprofit la plus élevée possible (car on cherche à maximiser le profit) possédant

24. Cela signifie que les quantités offertes sont fixes pour tous les prix. La fonction d’offre est donc verticale.25. Les surfaces d’isoprofit ressemblent à un « mille-feuilles » posé en biais dans le coin d’une pièce.26. En effet, pour un volume donné d’un facteur, les suppléments de production qui résultent de l’emploi de quantités croissantes de

l’autre facteur vont en diminuant.


-10-7.5

-5-2.5

0

s1j

-10

-7.5

-5-2.5

0

s2j

0

5

10

15

20

qj

0

5

10

15

20

qj

(a) surfaces d’isoprofit

-10-8

-6-4

-20

s1j

-10

-8-6

-4-2

0

s2j

0

5

10

15

20

qj

0

5

10

15

20

qj

(b) fonction de production F (q j , s1 j , s2 j ) = 0

Fig. 1.14 – Objectif et contrainte dans le problème de la maximisation du profit


-10

-7.5

-5

-2.5

0

s1j

-10

-7.5

-5

-2.5

0s2j

0

5

10

15

20

qj

-10

-7.5

-5

-2.5

0

s1j

-10

-7.5

-5

-2.5

0s2j

Fig. 1.15 – Maximum de profit

au moins un point en commun avec la fonction de production (car le triplet (q j , s1 j , s2 j ) « candidat » doit êtretechniquement réalisable). Au vu du schéma 1.15 on se doute que pour un vecteur-prix (p j , w1 j , w2 j ) donné ilexiste un triplet (q j , s1 j , s2 j ) qui maximise le profit de l’entreprise. Ce point est situé au point de tangence desdeux surfaces.Cela signifie qu’à l’équilibre27 de l’entreprise, les conditions « marginales » suivantes sont vérifiées28

∣∣∣∣∣∣∂F (.)∂s1 j

∂F (.)∂s2 j

∣∣∣∣∣∣= w1

w2(1.12)

p j

∣∣∣∣∣∣∂F (.)∂s1 j

∂F (.)∂q j

∣∣∣∣∣∣= w1 (1.13)

De 1.12 et 1.13, on déduit

p j

∣∣∣∣∣∣∂F (.)∂s2 j

∂F (.)∂q j

∣∣∣∣∣∣= w2 (1.14)

L’équation 1.12 signifie que le couple optimal d’inputs est tel que le taux de substitution technique (le TST)entre ces deux inputs est égal au rapport de leurs prix respectifs. Les équations 1.13 et 1.14 signifient que laproductivité marginale en valeur de chaque input (en termes de l’output produit par l’entreprise) est égale auprix de cet input.Si pour tout vecteur-prix possible il existe une solution optimale, alors on appelle fonction d’offre d’output, larelation entre vecteur-prix et quantité optimale d’output.On la note : q j (p j , w1 j , w2 j ).Les fonctions de demande d’inputs décrivent la relation entre vecteur-prix et quantités optimales d’input :s1 j (p j , w1 j , w2 j ) et s2 j (p j , w1 j , w2 j )

L’équilibre sur le marché des inputs est obtenu en confrontant les demandes exprimées par les entreprises etles quantités offertes par les ménages. Par hypothèse, l’offre d’input de la part des ménages est parfaitement

27. Équilibre signifie « là où l’entreprise maximise son profit ». En effet, quand une entreprise maximise son profit, elle n’a plus aucunmotif pour modifier sa production.

28. Si la solution optimale n’est pas située sur les bornes de l’ensemble.


inélastique. L’offre globale de s1 est constante, c.-à-d. s1 = s1. De la même façon, on a s2 = s2. On dira qu’il y aéquilibre sur le marché des inputs si — pour des prix p j donnés — existe un vecteur-prix (w1 j , w2 j ) tel que,

2∑j=1

s1 j (p j , w1 j , w2 j ) = s1, (1.15)

2∑j=1

s2 j (p j , w1 j , w2 j ) = s2. (1.16)


General Economic Equilibrium: Purpose, Analytic Techniques, Collective Choice

By Kenneth J. Arrow29

1. The Coordination and Efficiency of the Economic System

From the time of Adam Smith’s Wealth of Nations in1776, one recurrent theme of economic analysis hasbeen the remarkable degree of coherence among thevast numbers of individual and seemingly separate de-cisions about the buying and selling of commodities.In everyday, normal experience, there is something ofa balance between the amounts of goods and servicesthat some individuals want to supply and the amountsthat other, different individuals want to sell. Would-be buyers ordinarily count correctly on being able tocarry out their intentions, and would-be sellers do notordinarily find themselves producing great amounts ofgoods that they cannot sell. This experience of balanceis indeed so widespread that it raises no intellectual dis-quiet among laymen; they take it so much for grantedthat they are not disposed to understand the mechan-ism by which it occurs. The paradoxical result is thatthey have no idea of the system’s strength and are un-willing to trust it in any considerable departure fromnormal conditions. This reaction is most conspicuousin wartime situations with radical shifts in demand.It is taken for granted these can be met only by pricecontrol, rationing, and direct allocation of resources.Yet there is no reason to believe that the same forcesthat work in peace time would not produce a workingsystem in time of war or other considerable shits indemand. (There are undesirable consequences of afree market system, but sheer unworkability is not oneof them.)

I do not want to overstate the case, The balancing ofsupply and demand is far from perfect. Most conspicu-ously, the history of the capitalist system has beenmarked by recurring periods in which the supply ofavailable labor and of productive equipment availablefor the production of goods has been in excess of theirutilization, sometimes, as in the 1930’s, by very con-siderable magnitudes. Further, the relative balance ofoverall supply and demand in the postwar period in theUnited States and Europe is in good measure the resultof deliberate governmental policies, not an automatictendency of the market to balance.

Nevertheless, when all due allowances are made, thecoherence of individual economic decisions is remark-able. As incomes rise and demands shift, for example,from food to clothing and housing, the labor force andproductive facilities follow suit. Similarly, and even

more surprising to the layman, there is a mutual inter-action between shifts in technology and the allocationof the labor force. As technology improves exogen-ously, through innovations, the labor made redundantdoes not become permanently unemployed but findsits place in the economy. It is truly amazing that thelessons of both theory and over a century of history arestill so misunderstood. On the other hand, a growingaccumulation of instruments of production raises realwages and in turn induces a rise in the prices of labor-intensive commodities relative to those which use littlelabor. All these phenomena show that by and largeand in the long view of history, the economic systemadjusts with a considerable degree of smoothness andindeed of rationality to changes in the fundamentalfacts within which it operates.

The problematic nature of economic coordination ismost obvious in a free enterprise economy but mightseem of lesser moment in a socialist or planned society.But a little reflection on the production and consump-tion decisions of such a society, at least in the modernworld of complex production, shows that in the mostbasic aspects the problem of coordination is not re-moved by the transition to socialism or to any otherform of planning. In the pure model of a free enterpriseworld, an individual, whether consumer or producer,is the locus both of interests or tastes and of informa-tion. Each individual has his own desires, which he isexpected to pursue within the constraints imposed bythe economic mechanism; but in addition he is sup-posed to have more information about himself or atleast about a particular sphere of productive and con-sumptive activity than other individuals. It might bethat in an ideal socialist economy, all individuals willact in accord with some agreed ideas of the commongood, though I personally find this concept neither real-istic nor desirable, in that it denies the fact and valueof individual diversity. But not even the most ideal so-cialist society will obviate the diversity of informationabout productive methods that must obtain simply be-cause the acquisition of information is costly. Hence,the need for coordination, for some means of seeingthat plans of diverse agents have balanced totals, re-mains.

How this coordination takes place has been a centralpreoccupation of economic theory since Adam Smith

29. Harvard University. This article is the lecture Kenneth Arrow delivered in Stockholm, Sweden, December 1972, when he received theNobel Prize in Economic Science. The article is copyright ©the Nobel Foundation 1973. It is included in the volume of Les Prix Nobel en 1972.


and received a reasonably clear answer in the 1870’swith the work of Jevons, Menger, and above all, LéonWalras: it was the fact that all agents in the economyfaced the same set of prices that provided the commonflow of information needed to coordinate the system.There was, so it was argued, a set of prices, one for eachcommodity, which would equate supply and demandfor all commodities; and if supply and demand wereunequal anywhere, at least some prices would change,while none would change in the opposite case. Becauseof the last characteristics, the balancing of supply anddemand under these conditions may be referred to asequilibrium in accordance with the usual use of thatterm in science and mathematics. The adjective, gen-eral, refers to the argument that we cannot legitimatelyspeak of equilibrium with respect to any one commod-ity; since supply and demand on any one market de-pends on the prices of other commodities, the overallequilibrium of the economy cannot be decomposedinto separate equilibria for individual commodities.Now even in the most strictly neoclassical version ofprice theory, it is not precisely true that prices aloneare adequate information to the individual agents forthe achievement of equilibrium, a point that will bedeveloped later. One brand of criticism has put morestress on quantities themselves as signals, includingno less an authority than the great Keynes (1936); seeespecially the interpretation of Keynes by Leijonhufvud(1968, especially ch. 2). More recently the same argu-ment has been advanced by Kornai (1971) from social-ist experience. Nevertheless, while the criticisms are, in

my judgment, not without some validity, they have notgiven rise to a genuine alternative model of detailed re-source allocation. The fundamental question remains,how does an overall total quantity, say demand, as inthe Keynesian model, get transformed into a set of sig-nals and incentives for individual sellers?

If one shifts perspective from description to design ofeconomies it is not so hard to think of nonprice co-ordinating mechanisms; we are in fact all familiar withrationing in one form, or another. Here, the discus-sion of coordination shades off in that of efficiency.There has long been a view that the competitive priceequilibrium. is efficient or optimal in some sense thatrationing is not. This sense and the exact statementof the optimality theorem. were clarified by Pareto(1909, ch. 6, sections 32-38) and, in the 1930’s by myteacher, Harold Hotelling (1938) and by Abram Bergson(1938). An allocation of resources is Pareto efficient (orPareto optimal) if there is no other feasible allocationwhich will make everyone better off (or, as more usu-ally stated, make everyone at least as well off and atleast one member better off). Then, by an argumentthat I shall sketch shortly, it was held that a competit-ive equilibrium necessarily yielded a Pareto-efficientallocation of resources.

It was, of course, recognized, most explicitly perhapsby Bergson, that Pareto efficiency in no way implieddistributive justice. An allocation of resources couldbe efficient in a Pareto sense and yet yield enormousriches to some and dire poverty to others.

En 1917, dans ses Recherches mathématiques sur la théorie de la valeur et des prix, Irving fisher nous parle desanalogies qu’utilisent différents auteurs lorsqu’ils évoquent l’équilibre général.

Il est rare que celui qui écrit sur l’économique manqued’établir quelque comparaison entre l’économique etla mécanique. L’un parle d’une « correspondance dansles grandes lignes » entre le jeu des « forces écono-miques » et l’équilibre mécanique. Un autre comparel’uniformité de prix à l’uniformité de niveau de la sur-face de l’eau. Un autre (Jevons) compare ses lois del’échange à celles de l’équilibre d’un levier. Un autre(Edgeworth) représente le « système » économiquecomme un système de lacs de niveaux différents. Unautre compare la société à une masse plastique, tellequ’une « pression » exercée en une région se dispersedans toutes les « directions ». En fait, l’économiste em-prunte à la mécanique une grande partie des motsde son vocabulaire. En voici des exemples : équilibre,

stabilité, élasticité, expansion, extension, contraction,cours, écoulement, force, pression, résistance, réaction,distribution (prix), niveaux, mouvement, frottement.Celui qui étudie l’économique embrasse plus d’idéesen termes de mécanique qu’en termes de géométrie,et une illustration mécanique correspond plus com-plètement aux notions qu’il a précédemment acquisesqu’une illustration graphique. Pourtant, autant que jesache, personne n’a entrepris une représentation sys-tématique sous la forme d’un système d’actions et deréactions mécaniques de cet équilibre beau et com-pliqué que l’on constate entre les « échanges » d’unegrande ville, mais dont les causes et les effets s’étendentau loin à l’extérieur.


Voici par ailleurs les plans d’une machine « hydraulico-mécanique », conçue par ce même Fisher pour illustrer la« mécanique » de l’équilibre général.

Fig. 1.16 – Une machine à calculer l’équilibre général

Chapitre 2

Équilibre général versus équilibre partiel

Me lo dijeron muchas vecesy lo he olvidado siempre más

Me lo decía mi abuelitoJose Agustin goytisolo

Sommaire

2.1 Les données du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 L’analyse « partielle » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 L’analyse « générale » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Parvenus au terme de cette brève introduction à la théorie de l’équilibre général, il est temps de se poser uncertain nombre de questions. L’une d’elles — et non la moindre — est : pourquoi utiliser une approche en

termes d’équilibre général plutôt qu’une vision en termes d’équilibre partiel ?Vous savez que tous que les marchés sont interdépendants. Ce qui se passe sur un marché affecte généralementun ou plusieurs autres marchés ... qui eux mêmes modifient l’environnement d’autres marchés, etc.

Pourquoi constate-t-on cette interdépendance ?

Rappelons deux points1 :

– les fonctions de demande des consommateurs dépendent de tous les prix ;

– sur chaque marché se détermine un prix et un seul.

Il existe donc une interaction directe entre marchés suivie de nombreux effets de rétroaction. Le graphique 2.1illustre — dans le cas simple d’une économie à deux marchés — les effets de rétroaction d’un marché à l’autre.

D (p , p ) D (p , p )1 2

O (p , p )1 O (p , p )2

p p

Marché du bien 1 Marché du bien 2

1

1

1

1

1 2

2

2

2

2

Fig. 2.1 – Effets de rétroaction d’un marché à l’autre

Grâce à ce schéma, nous allons pouvoir distinguer entre l’approche « partielle » et « générale ».

1. Nous allons volontairement restreindre notre approche au cas des fonctions de demande.

25

26 CHAPITRE 2. ÉQUILIBRE GÉNÉRAL VERSUS ÉQUILIBRE PARTIEL

L’approche « partielle » consiste à étudier l’équilibre sur un marché en négligeant les inévitables effets derétroaction.L’approche « générale » se propose d’en tenir compte. Par conséquent, un marché ne saurait être dit en équilibreque lorsque tous les effets de rétroaction y sont nuls. Cela suppose bien entendu que tous les autres marchés sonteux mêmes en équilibre. L’approche « générale » ne saurait donc concevoir l’équilibre de l’économie autrementque sous la forme de l’équilibre simultané de tous les marchés.L’approche en termes d’équilibre partiel est associée au nom d’Alfred Marshall. Bernard Guerrien la définit de lafaçon suivante2 :

Approche [...] qui consiste à raisonner sur l’offre et la demande d’un bien (quelconque) sans tenircompte de ce qui se passe avec les autres biens (et vice versa). C’est ce qu’on appelle la clause « touteschoses égales par ailleurs » ou ceteris paribus. (Guerrien, 1996)

Après avoir rappelé combien cette approche est critiquable, l’auteur continue :

L’approche par l’équilibre partiel occupe toujours une place importante dans les analyses théoriquesusuelles (notamment néo-classiques) car elle a pour elle l’avantage de la simplicité, contrairement àl’approche par l’équilibre général. (Guerrien, 1996)

Nous nous proposons dans ce qui suit d’illustrer la supériorité de l’analyse « générale » sur l’analyse « partielle ».Pour ce faire, nous allons étudier un exemple dû à D. Bradford (voir Bradford (1978)). Il s’agit d’étudier l’impactsur une économie d’une taxe sur le travail appliquée de façon « locale ».

2.1 Les données du problème

Nous allons supposer qu’une économie est composée d’un grand nombre de villes : V . Une entreprise estinstallée dans chaque ville. On admet que cette entreprise se comporte comme si elle était en concurrence pure(c.-à-d., elle est price taker). Elles produisent toutes un même bien de consommation q , produit à l’aide detravail n. Leur fonction de production — strictement concave — s’écrit : q = f (n).Ce produit est écoulé sur un marché « national ».Il existe dans l’économie une quantité N de travail, offerte de façon inélastique par des travailleurs. Leur seulesource d’utilité est le bien de consommation produit par les V entreprises de l’économie.Les travailleurs sont libres de se déplacer de ville en ville à la recherche du meilleur salaire. On notera wv lesalaire sur le marché du travail de la ville v .Nous allons normaliser le prix du bien de consommation à 1. Par conséquent, wv est également le salaire réel.Étant donné que les travailleurs peuvent se déplacer de ville en ville, les taux de salaires vont avoir tendance às’égaliser. À l’équilibre, ils seront égaux

w1 = w2 = ... = wv = w .

Comme les villes (et les entreprises) sont toutes identiques, chaque entreprise emploie NV unités de travail. Le

salaire d’équilibre vérifie3

w = f ′(

N

V

).

Nous allons maintenant supposer que la ville 1 décide d’imposer l’entreprise qui y est implantée. On notera tcet impôt.Nous allons essayer de répondre aux questions suivantes :

– quel est l’effet de cet impôt ?

– qui supporte en définitive la charge de l’impôt ?

2.2 L’analyse « partielle »

Remarquons tout d’abord que V est grand. On peut donc penser que l’impôt instauré par la première ville n’auraaucun effet sur les autres villes, c.-à-d. sur les salaires qui y sont pratiqués. On a donc

w2 = w3 = ... = wv = w

2. On peut également se reporter à Deleplace (1999), p. 186 et sq., ainsi que p.214 et sq.3. Règle bien connue en concurrence pure : à l’équilibre, le salaire réel (ici : w) est égal à la productivité marginale du travail (ici, f ′(.))

2.3. L’ANALYSE « GÉNÉRALE » 27

Comme les travailleurs sont libres de se déplacer de villes en villes, il est clair que l’offre de travail n1 dans la ville1 sera

n1 = 0 si w1 < w ,

n1 =∞ si w1 > w ,

0 < n1 <∞ si w1 = w .

Il s’ensuit que le salaire dans la ville 1 devra rester égal à w . L’équilibre de l’entreprise de la ville 1 exige qu’elleégalise le « coût taxé » du travail à la productivité marginale du nombre d’unité de travail qu’elle emploie,

f ′(n1) = w + t .

Cela veut dire que l’entreprise de la ville 1 emploiera moins de travailleurs qu’auparavant (cf. 2.2). Les travailleurslibérés se répartiront dans toutes les autres villes.

f ’(.) f ’(.)

w

t

n n-dn

autres entreprises entreprise de la ville 1

Fig. 2.2 – Équilibre des entreprises

Arrivé au terme de cette analyse « partielle », nous pouvons répondre aux deux questions ci-dessus :

– L’impôt n’a d’effet que dans la ville 1. Le salaire des travailleurs est globalement inchangé. Le profit desentreprises autres que celle installée dans la ville 1 reste inchangé. Le profit de l’entreprise 1 diminue.

– Seuls les propriétaires de l’entreprise 1 supportent le poids de l’impôt. Les travailleurs y échappent parcequ’ils sont libres de se déplacer et que le nombre de villes est grand.

Cette conclusion est malheureusement complètement fausse comme va le montrer l’analyse en termes d’équi-libre général.

2.3 L’analyse « générale »

Considérons d’abord l’équilibre sur le marché du travail. On sait que — à l’équilibre — les taux de salaires desdifférentes villes vont s’égaliser,

w1 = w2 = ... = wV ,

et que toutes les N unités de travail disponibles seront utilisées. Notons w(t ) le taux de salaire quand le montantde l’impôt dans la ville 1 est t . Puisque la situation des villes 2 à V est identique, elles emploieront le mêmenombre n(t ) de travailleurs. Les conditions d’équilibre s’écrivent

(V −1)n(t )+n1(t ) = N , (2.1)

f ′(n(t )) = w(t ), (2.2)

f ′(n1(t )) = w(t )+ t . (2.3)

Étudions maintenant l’effet sur le taux de salaire de l’introduction d’une « petite » taxe d t .Exprimons n1(t ) dans l’équation 2.1

n1(t ) = N − (V −1)n(t ). (2.4)

28 CHAPITRE 2. ÉQUILIBRE GÉNÉRAL VERSUS ÉQUILIBRE PARTIEL

Remplaçons dans l’équation 2.3,f ′ (N − (V −1)n(t )) = w(t )+ t . (2.5)

Différencions par rapport à t ,

n′(t ) f ′′(n(t )) d t = w ′(t ) d t , (2.6)

−(V −1) n′(t ) f ′′ (N − (V −1)n(t )) d t = w ′(t ) d t + d t . (2.7)

Évaluons le système pour une taxe t = 0 (on retombe sur le cas sans impôt) ; on sait (voir supra) que n1(0) =n2(0) = ... = nV (0) = N

V ) (n′(0) f ′′

(N

V

))d t = w ′(0) d t , (2.8)(

−(V −1) n′(0) f ′′(

N

V

))d t = (

w ′(0)+1)

d t . (2.9)

En substituant (2.8) dans (2.9), il vient(−(V −1) w ′(0))

d t = (w ′(0)+1

)d t . (2.10)

Ce qui conduit à

w ′(0) d t =− 1

Vd t .

Or, (w ′(0) d t ) n’est rien d’autre que la variation du salaire d’équilibre due à un accroissement de la taxe partantd’une situation d’absence de taxation. On voit que le salaire d’équilibre varie en sens inverse de la taxe. On endéduit que le taux de salaire diminue dans chaque ville du fait de l’instauration d’un impôt ( d t > 0) dans la ville1. Il est vrai que cette baisse est négligeable lorsque V est grand. Examinons maintenant l’impact de la taxationsur les profits. On sait que le profit d’une entreprise quelconque s’écrit π(t ) = f (n(t ))−n(t )w(t ).En différenciant, il vient

π′(t ) d t = n′(t ) f ′(n(t )) d t −n′(t )w(t ) d t −w ′(t )n(t ) d t . (2.11)

En évaluant le système pour t = 0, il vient

π′(0) d t =n′(0) f ′(n(0)) d t −n′(0)w(0) d t + 1

V

N

Vd t , (2.12)

π′(0) d t = 1

V

N

Vd t . (2.13)

Le profit de la première entreprise s’écrit π1(t ) = f (n1(t ))−n1(t )(w(t )+ t )En différenciant, comme précédemment, on obtient

π′1(t ) d t = n′

1(t ) f ′(n1(t )) d t −n′1(t )(w(t )+ t ) d t − (w ′(t )+1)n(t ) d t . (2.14)

En évaluant le système pour t = 0, il vient,

π′1(0) d t = n′

1(0) f ′(n1(0)) d t −n′1(0)w(0) d t − (w ′(0)+1)n(0) d t , (2.15)

π′1(0) d t =−(− 1

V+1)

N

Vd t = ( 1

V

N

V− N

V

)d t . (2.16)

On peut examiner la variation totale des profits une fois la taxe instaurée

((V −1)π′(0)+π′

1(0))

d t =((V −1)

( 1

V

N

V

)+ 1

V

N

V− N

V

)d t = 0. (2.17)

La variation des profits est nulle, par conséquent, ce ne sont pas les propriétaires des entreprises qui supportentle poids de l’impôt mais bien les salariés.

Cet exemple montre que l’analyse « partielle » conduit à des résultats qui ne sont pas exacts.

Chapitre 3

L’existence d’un équilibre généralwalrassien

Pour convaincre un homme d’une véritéet le ramener d’une erreur contraire danslaquelle il s’obstine, la première règle àsuivre est facile et tout naturellementindiquée : c’est de mettre en avant d’abordles prémisses, pour les faire suivre après dela conclusion.

Schopenhauer

Sommaire

3.1 Hypothèses et outils nécessaires à la démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.2 Les outils mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Démonstration de l’existence d’un équilibre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Définition d’un simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.2 Construction d’un ensemble de départ : l’ensemble des prix normalisés . . . . . . . . . . . 31

3.2.3 Construction d’une application ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.4 L’existence d’un équilibre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.5 La continuité de ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 L’existence des fonctions de demande nette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Dans ce qui précède, nous nous sommes contentés de définir un équilibre général walrassien. De façon trèsgrossière, on parle d’équilibre général walrassien lorsque tous les marchés s’équilibrent. Mais nous n’avons

pas montré qu’un tel équilibre existe.Nous allons montrer dans ce chapitre que, sous certaines conditions portant sur les fonctions de demande, unéquilibre général walrassien existe bien.La démonstration est assez compliquée1. Je m’inspire de celle que proposent Arrow et Hahn dans leur ouvrage(voir Arrow et Hahn (1971)).

L’idée directrice est la suivante.

1. On part des fonctions de demande nette de marché en supposant qu’elles possèdent certaines propriétés.On démontre ensuite l’existence d’un équilibre général au prix de quelques hypothèses.

2. On étudie dans un second temps les propriétés que doivent posséder les préférences des agents, lesfonctions de production des entreprises pour engendrer des fonctions de demande nette permettant devérifier ces hypothèses.

1. Il en existe d’autres qui partent du même principe mais qui sont beaucoup plus complexes.

29

30 CHAPITRE 3. L’EXISTENCE D’UN ÉQUILIBRE GÉNÉRAL WALRASSIEN

Cette façon de procéder peu sembler un peu étonnante. Au lieu de partir des préférences des agents et desfonctions de production des entreprises pour en déduire l’existence d’un équilibre général walrassien, on partdirectement des fonctions de demande nettes en supposant qu’elles existent et qu’elles ont certaines propriétés.Il ne faudra donc pas s’étonner si notre exposé commence par des hypothèses que nous avons précédemmentdémontrées.

3.1 Hypothèses et outils nécessaires à la démonstration

3.1.1 Hypothèses

On se place dans le cadre d’une économie à I biens. Il y a donc I marchés où s’expriment I fonctions de demandenette zi (p1, p2, ..., p I ).On note P l’ensemble des prix positifs ou nuls à l’exception du « vecteur de prix nuls » : P =RI+− {(0,0, ...,0)}.Nous ferons les trois hypothèses suivantes :

Hypothèse 1 les prix appartiennent à l’ensemble P et les fonctions zi (.) sont définies sur P .

Hypothèse 2 les fonctions de demande nette sont homogènes de degré zéro par rapport aux prix.

Hypothèse 3 la loi de Walras est vérifiée pour tous les prix appartenant à P .

3.1.2 Les outils mathématiques

Les preuves de l’existence d’un équilibre général walrassien reposent sur des théorèmes dits « de points fixes ».Comme son nom l’indique, un point fixe est un point « qui ne change pas » quand on lui applique « unetransformation ». Plus précisément, si f est une fonction de K dans K , alors on dira que x est un point fixe de fsi f (x) = x. Le graphique 3.1 est un exemple d’une fonction ayant deux points fixes.

K

K

f(.)

a b

a

b

point fixe

point fixe

Fig. 3.1 – Exemple de points fixes

Nous allons utiliser le théorème du point fixe de Brouwer2.Il s’énonce de la façon suivante :

Théorème 3 (point fixe de Brouwer). Soit S un ensembleet ϕ une application. Si S est un ensemble convexe, ferméet borné, si ϕ est une application continue de S dans S,alors il existe un élément x? ∈ S tel que ϕ(x?) = x?.x? est appelé un point fixe de l’application ϕ. ä

Le théorème du point fixe de Brouwer nous dit parexemple que dans le graphique 3.1, le graphe de l’appli-cation f (.) coupe au moins une fois la diagonale du pavéK ×K . Ou encore qu’il est impossible — sans lever sonstylo (continuité de f ) — de tracer une courbe, partant

de a et atteignant b, qui ne coupe pas au moins une fois la diagonale (ou, plus exactement, n’ait pas au moinsun point commun avec la diagonale).Ce théorème est vrai pour des applications de Rn dans Rn . Prenons par exemple un disque de tôle et faisons letourner sur lui même de 90° vers la droite. Le disque est un ensemble convexe, fermé et borné. Le « quart detour » est une application continue du disque sur lui-même. Par conséquent, il existe au moins un point dudisque qui n’a pas changé de place3.On notera que ce théorème ne doit pas être utilisé à l’envers : il peut évidemment exister un point fixe de ϕ bienque les hypothèses du théorème ne soient pas vérifiées.

3.2 Démonstration de l’existence d’un équilibre général

La démonstration de l’existence d’un équilibre général walrassien repose sur le théorème du point fixe deBrouwer. Le principe est le suivant : il s’agit de construire une application ϕ(.) de l’ensemble des prix danslui-même. Cette application possédera des propriétés permettant d’aboutir au résultat souhaité. Pour que la

2. Luitzen Egbertus Jan brouwer (1881-1966) était un mathématicien hollandais.3. Il s’agit évidemment du centre du disque.

3.2. DÉMONSTRATION DE L’EXISTENCE D’UN ÉQUILIBRE GÉNÉRAL 31

démonstration soit possible, il faut toutefois que les hypothèses du théorème de Brouwer soient respectées. Or,les choses se présentent sous un mauvais jour dès le début puisque l’espace des prix P n’est pas convexe, ferméet borné.

3.2.1 Définition d’un simplexe

Les simplexes sont des ensembles mathématiques particuliers.Soit Rn l’ensemble des n-uples de réels. Le simplexe Sn est un sous-ensemble de Rn défini de la façon suivante

Sn = {(p1, . . . , pn) ∈Rn |

n∑i=1

pi = 1 et pi ≥ 0}.

Concrètement, les simplexes sont des ensembles de réels compris entre 0 et 1 et dont la somme est égale à 1. Lareprésentation graphique des simplexes est simple (dans le cas de S2 et S3) comme le montre la figure 3.2.

1

1

1

1

1

Fig. 3.2 – Exemples de simplexes

Les propriétés des simplexes sont les suivantes :

– ce sont des ensembles convexes ;

– ce sont des ensembles fermés (un simplexe contient ses « limites ») ;

– ce sont des ensembles bornés (ils sont majorés par le vecteur unitaire et minorés par le vecteur nul) ;

– ils ne contiennent pas le vecteur (0, . . . ,0).

Cela veut dire qu’ils sont tout à fait appropriés pour l’utilisation du théorème du point fixe de Brouwer.

3.2.2 Construction d’un ensemble de départ : l’ensemble des prix normalisés

Soit l’ensemble des prix P . Soit (p1, p2, ..., p I ) ∈P un vecteur de prix. Appelons P la somme des composantesde ce vecteur

P =I∑

i=1pi .

Définition 17 (prix normalisé). On appelle prix normalisé par P un prix quelconque pi divisé par P . N

On a doncprix normalisé du bien i = pi

P.

Les prix normalisés possèdent un certain nombre de propriétés intéressantes. On notera tout d’abord quel’ensemble des prix normalisés est un simplexe. En effet,

I∑i=1

pi

P=

∑Ii=1 pi

P= P

P= 1,

∀i , pi ≥ 0, P 6= 0 ⇒ pi

P≥ 0.

L’ensemble des prix normalisés — contrairement à celui des prix normaux — est intéressant parce qu’il respecteles hypothèses du théorème de Brouwer. Mais a-t-on le droit de travailler avec un tel ensemble de prix ? La


réponse à cette question est oui. On peut en effet montrer que travailler avec le simplexe des prix normalisés oul’ensemble P des prix est indifférent.En vertu de l’hypothèse 2 (voir page 30) les fonctions de demande nette sont homogènes de degré zéro parrapport aux prix. Cela veut dire que

∀λ, λ> 0, zi (λp1, . . . ,λpn) = zi (p1, . . . , pn).

Puisque λ peut prendre n’importe quelle valeur positive, posons λ= 1P , P 6= 0. Il vient alors

zi

( p1

P, . . . ,

pn

P

)= zi (p1, . . . , pn).

Cela veut dire qu’on ne change pas les fonctions de demande ou de demande nette en les définissant surl’ensemble des prix P ou sur le simplexe des prix normalisés. Puisque rien ne change, on peut travailler avecles fonctions de demande nette définies sur le simplexe des prix normalisés, qui possède l’avantage d’être unensemble convexe, fermé et borné et qui vérifie donc les hypothèses du théorème du point fixe de Brouwer. Onappelera désormais SI le simplexe des prix normalisés.

3.2.3 Construction d’une application ϕ

Définition 18. On appelle fonctions de plusieurs variables les fonctions définies sur Rn . N

Exemple : la fonction f (x, y) = sin(x +3y) est une fonction de plusieurs variables (deux en l’occurrence).

Définition 19. On appelle fonctions à valeurs vectorielles les fonctions qui prennent leurs valeurs dans Rp . N

Exemple :

xf−−−−−→ (

cos(x), 2x + sin(x)). (3.1)

Lorsque x = 1, f (1) = (0, 3)

Définition 20. les fonctions de plusieurs variables à valeurs vectorielles sont des fonctions de Rn dans Rp . Onles écrit

f (x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fp (x1, . . . , xn)

). N

Exemple :

(x, y)f−−−−−→ (

cos(x)+5y, 2x + sin(x))

.

Les fonction numériques f1, . . . , fp s’appellent les fonctions composantes de f . On les note f = ( f1, . . . , fp ). Leplus souvent les fonctions à valeurs vectorielles sont définies par les applications composantes fi .Ceci n’est pas entièrement nouveau. Lorsque vous étudiez des applications linéaires de Rn dans Rp , voustravaillez sur des fonctions de plusieurs variables à valeurs vectorielles (particulières, car les applicationscomposantes sont linéaires).L’application ϕ= (ϕ1, ϕ2, . . . , ϕI ) définie sur SI à valeur dans SI qui sert à démontrer l’existence d’un équilibregénéral walrassien est la suivante

ϕi =pi +max

(0, ki zi (p)

)∑I

i=1 pi +max(0, ki zi (p)

) , ki > 0, ∀i = 1, ..., I . (3.2)

Puisque les prix sont définis sur SI , on peut aussi écrire

ϕi =pi +max

(0, ki zi (p)

)1+∑I

i=1 max(0, ki zi (p)

) , ki > 0, ∀i = 1, ..., I . (3.3)

L’application ϕ est composée de I applications ϕi qui correspondent à chacun des I marchés.

Comme ces applications paraissent parachutées, je vais essayer d’en expliquer la signification. Pour commencer,il faut se dire que chaque application ϕi transforme un « ancien » prix en un « nouveau » prix

nouveau prix pi =ϕi (ancien prix pi ).

On peut donc penser les applications ϕi comme des « règles de correction » des prix. Il y a autant de « règles decorrection » que de marchés. Chaque règle de correction est composée d’un numérateur et d’un dénominateur.Ils jouent chacun un rôle précis que nous allons examiner dans ce qui suit.


Le numérateur

On s’intéresse au marché i . Donnons nous un vecteur de prix (de déséquilibre) p = (p1, p2, ..., p I ) ∈ SI . Lenumérateur de l’application ϕi transforme l’ancien prix pi (de déséquilibre) en un nouveau prix p?i qui estobtenu en ajoutant au prix initial pi une « certaine quantité » positive ou nulle4.La règle adoptée est la suivante :

– si, pour le vecteur initial p = (p1, p2, ..., p I ) ∈ SI , la demande nette zi (p) est positive, alors on ajoute àl’ancien prix pi la plus grande des deux valeurs 0 ou ki zi (p), c.-à-d. ki zi (p).

– si, pour le vecteur initial p = (p1, p2, ..., p I ) ∈ SI , la demande nette zi (p) est négative, alors on ajoute àl’ancien prix pi la plus grande des deux valeurs 0 ou ki zi (p), c.-à-d. 0.

On notera que ki est un scalaire positif qui permet de moduler la correction appliquée à l’ancien prix5.On fait ensuite la même chose pour chacun des prix pi (i = 1, ..., I ) en utilisant la fonction ϕ adéquate (ϕ1 pourp1, ϕ2 pour p2, etc.)En définitive, le nouveau vecteur prix p? est obtenu en augmentant les composantes de p quand la demandenette est positive et en ne les changeant pas lorsqu’elle est négative. Cette procédure semble judicieuse puis-qu’elle revient à augmenter les prix partout où la demande est supérieure à l’offre. On comprend cependantmoins bien pourquoi les prix ne diminuent pas dans le cas contraire. La réponse est en fait toute simple : enretranchant une certaine quantité à un prix, on court toujours le risque de rendre ce prix négatif. C’est pourquoi— par précaution — on préfère maintenir le statu quo lorsque zi (p) < 0.

Exemple. Supposons que le vecteur initial soit p = (0,3 0,5 0,2). On suppose de plus que pour ce vecteur-prix :

Bien 1 z1(0,3 0,5 0,2) =+2

Bien 2 z2(0,3 0,5 0,2) =−3

Bien 3 z3(0,3 0,5 0,2) =+4,5

Appliquons la « règle du numérateur » en supposant que les différents ki sont tous égaux à 1. Il vient dans cesconditions :

Bien 1 p?1 = 0,3+max (0 2) = 2,3

Bien 2 p?2 = 0,5+max (0 −3) = 0,5

Bien 3 p?3 = 0,2+max (0 4,5) = 2,3 �

Le dénominateur

L’exemple précédent montre que la règle du numérateur présente un inconvénient majeur : les nouveaux prixp?i n’appartiennent pas au simplexe des prix normalisés SI . Le dénominateur n’a qu’un but : normaliser lesnouveaux prix.On se souvient que pour normaliser les prix, nous avons divisé chacun d’eux par la somme des composantes duvecteur prix p. Or, notre dénominateur

∑Ii=1 pi +max

(0, ki zi (p)

)n’est rien d’autre que la somme des nouveaux

prix p?i . Par conséquent, chaquepi +max

(0, ki zi (p)

)1+∑I

i=1 max(0, ki zi (p)

) ,

est un nouveau prix normalisé. À ce titre, il appartient au simplexe des prix.

Exemple. Continuons l’exemple précédent. Calculons le dénominateur

I∑i=1

pi +max(0, ki zi (p)

)= 1+max (0 2)+max (0 −3)+max (0 4,5) = 7,5.

Divisons chaque p?i obtenu à l’étape précédente par ce dénominateur. On obtient(2,3

7,5

0,5

7,5

4,7

7,5

)≈ (0,306 0,066 0,626) ∈ S3

On notera de façon incidente que le prix sur le deuxième marché a — en définitive — baissé. �

4. Il est clair que ∀x, max (0, x) ≥ 0.

5. Par exemple, si ki = 0,01, on ne corrige l’ancien prix que de 1% de la demande nette.


En résumé, la fonction ϕ = (ϕ1,ϕ2, ...,ϕI ) est une application de SI dans SI (ce qui est très pratique pourappliquer le théorème du point fixe de Brouwer !) qui transforme un ancien prix en un nouveau prix.

3.2.4 L’existence d’un équilibre général

Nous allons procéder en deux étapes.

Première étape

On applique le théorème du point fixe de Brouwer. Le simplexe des prix normalisé SI est un ensemble convexe,fermé et borné. Si l’application ϕ est continue sur SI , c.-à-d. si chacune des applications ϕi est continue sur SI ,alors il existe un vecteur de prix normalisés p∗ = (p∗

1 , p∗2 , ..., p∗

I ) tel que p∗ =ϕ(p∗).C.-à-d.

∀i , i = 1, ..., I p∗i =

p∗i +max

(0, ki zi (p∗)

)1+∑I

i=1 max(0, ki zi (p∗)

) . (3.4)

Deuxième étape

Considérons l’équation 3.4 et multiplions de chaque côté du signe égal par le dénominateur

∀i , i = 1, ..., I p∗i

(1+

I∑i=1

max(0, ki zi (p∗)

))= p∗i +max

(0, ki zi (p∗)

)(3.5)

⇔ p∗i +p∗

i

I∑i=1

max(0, ki zi (p∗)

)= p∗i +max

(0, ki zi (p∗)

). (3.6)

En simplifiant (3.6) par p∗i il vient

p∗i

I∑i=1

max(0, ki zi (p∗)

)= max(0, ki zi (p∗)

). (3.7)

Multiplions dans (3.7) chaque membre de l’égalité par zi (p∗)

∀i , i = 1, ..., I zi (p∗)p∗i

I∑i=1

max(0, ki zi (p∗)

)= zi (p∗)max(0, ki zi (p∗)

), (3.8)

et additionnons ces I égalités

I∑i=1

(zi (p∗)p∗

i

I∑i=1

max(0, ki zi (p∗)

))= I∑i=1

zi (p∗)max(0, ki zi (p∗)

), (3.9)

ce qui peut encore s’écrire

I∑i=1

(zi (p∗)p∗

i

) I∑i=1

(max

(0, ki zi (p∗)

))= I∑i=1

zi (p∗)max(0, ki zi (p∗)

). (3.10)

En vertu de la loi de Walras, on peut affirmer que

I∑i=1

(zi (p∗)p∗

i

)= 0. (3.11)

On en déduit donc queI∑

i=1zi (p∗)max

(0, ki zi (p∗)

)= 0. (3.12)

Chaque terme de cette somme est

– nul lorsque zi (p∗) = 0 ;


– nul lorsque zi (p∗) < 0, parce que max(0, zi (p∗

1 , . . . , p∗n)

)= 0 ;

– positif lorsque zi (p∗) > 0, parce que max(0, zi (p∗)

)= zi (p∗).

Or, une somme de termes positifs ou nuls ne peut être nulle que si chacun des termes est nul. Par conséquent,chacun des termes

zi (p∗) max(0, zi (p∗)

)est nul. Or, ceci ne peut se produire que lorsque zi (p∗) = 0 ou lorsque zi (p∗) < 0. Par conséquent, on peut endéduire que pour le vecteur p∗ = (p∗

1 , . . . , p∗I ) on a nécessairement

∀i , i = 1, . . . , I zi (p∗1 , . . . , p∗

I ) ≤ 0.

On a donc montré que

– en vertu du théorème de Brouwer, il existait toujours une vecteur p∗ = (p∗1 , . . . , p∗

I ) tel que :

p∗ =ϕ(p∗) ϕ= (ϕ1, . . . ,ϕn) ;

– ceci entraîne que :

∀i , i = 1, . . . , I zi (p∗1 , . . . , p∗

I ) ≤ 0.

Par conséquent, il existe toujours un vecteur (p∗1 , . . . , p∗

I ) tel que

∀i , i = 1, . . . , I zi (p∗1 , . . . , p∗

I ) ≤ 0.

On montre de cette façon l’existence d’un équilibre général walrassien.

Cette démonstration repose sur une hypothèse forte : la continuité de la fonction ϕ. Il nous reste à en vérifier le B

bien fondé.

3.2.5 La continuité de ϕ

La continuité de ϕ repose sur la continuité sur SI des fonctions de demande nette zi (p). Si cette hypothèseest « admissible » quand les prix sont non-nuls, il n’en va pas de même quand un ou plusieurs prix sont nuls.Essayons d’en comprendre la raison.Puisque SI est un ensemble fermé et borné, la continuité des fonctions zi (p) implique qu’elles sont bornées6.Or, ceci nous entraîne à notre insu dans un tissu de contradictions. Supposons en effet qu’un prix soit nul etadmettons que la demande de ce bien soit bornée. En l’absence de saturation des besoins, on devrait constaterune demande « infinie » de ce bien7. Or, il n’en est rien puisque la demande est bornée. Par conséquent, il fautque les besoins soient saturés.Accepter ceci est lourd de conséquences : la loi de Walras repose fondamentalement sur l’hypothèse d’absencede saturation des besoins.On voit donc qu’il est délicat d’admettre simultanément la loi de Walras et la continuité sur SI des fonctions dedemande nette.Arrow et Hahn ont cependant montré qu’on pouvait prouver l’existence d’un équilibre général walrassiensous des hypothèses moins contraignantes que celles que nous avons faites. En particulier, on admettra sansdémonstration le théorème suivant :

Théorème 4 (existence d’un équilibre). Soient les hypothèses suivantes :

– si les fonctions de demande nette sont homogènes de degré zéro par rapport aux prix ;

– si pour chaque vecteur de prix il existe un unique vecteur d’excès de demande (z1(p), z2(p), ..., zI (p)) ;

– si pour tout p ∈ SI la loi de Walras est vérifiée :∑I

i=1

(zi (p∗)p∗

i

)= 0 ;

– s’il existe un nombre positif R tel que ∀i , ∀p ∈ SI zi (p) >−R ;

6. Une fonction f continue, définie sur un espace topologique compact, à valeurs réelles, est bornée et atteint sa borne inférieure etsupérieure.

7. C.-à-d., la demande n’est pas définie pour un prix nul.


– si les demandes nettes sont définies pour tout vecteur-prix strictement positif (p À 0) et éventuellementpour d’autres vecteurs de prix. Si elles sont continues où elles sont définies et si la somme des fonctions dedemande nette tend vers l’infini quand elles ne sont pas définies, c.-à-d.

lorsque les zi (p) ne sont pas définies pour p = p0, on a limp→p0

I∑i=1

zi (p) =∞.

Lorsque ces hypothèses sont vérifiées, il existe un équilibre général walrassien pour une économie comportant unnombre fini de biens. ä

Exemple. Considérons les deux fonctions de demande nette suivantes

z1(p1, p2) = −25p1 +40p2

8p1, (3.13)

z2(p1, p2) = 25p1 −40p2

8p2. (3.14)

Ces fonctions sont déduites d’un banal programme de maximisation de l’utilité et sont elles-mêmes assezordinaires. Or, z1(p1, p2) n’est pas définie lorsque p1 = 0 ; par conséquent elle n’est pas continue en ce point.Il en va de même pour z2(p1, p2). Ceci vient de ce que le programme de maximisation de l’utilité n’a pas desolution quand p1 = 0 (comme dans le graphique 3.3)

x

x

2

1

Fig. 3.3 – Pas d’utilité maximum

On vérifie facilement (en faisant les calculs) qu’il existe un équilibre général walrassien pour cette économie.Montrons que ces fonctions de demande nette vérifient les 5 conditions du théorème 4. Les trois premières condi-tions ne posant pas de problèmes particuliers, nous ne nous y attarderons pas. En revanche, nous examineronsplus avant les deux dernières.z1(p1, p2) peut s’écrire − 25

8 +5 p2p1

. Or, p2p1

≥ 0. Par conséquent, z1(p1, p2) >−4. On obtient facilement un résultatsimilaire pour z1(p1, p2).Les deux fonctions de demande nette sont définies et continues lorsque p À 0. Par ailleurs, il est trivial de vérifierque :

limp1→0,p2 6=0

(−25p1 +40p2

8p1+ 25p1 −40p2

8p2

)=∞ (3.15)

limp2→0,p1 6=0

(−25p1 +40p2

8p1+ 25p1 −40p2

8p2

)=∞ (3.16)

�

3.3 L’existence des fonctions de demande nette

Il nous reste maintenant à compléter notre démonstration de l’existence d’un équilibre général walrassien enmontrant qu’on peut concevoir l’existence de fonctions de demande nette ayant les caractéristiques décritesdans le théorème 4. Nous nous placerons dans le cadre simplifié d’une économie d’échange pur.Le théorème 4 énonce un certain nombre de propriétés des fonctions de demande nettes qui sont suffisantespour démontrer l’existence d’un équilibre général walrassien. On sait que ces fonctions sont déduites des fonc-tions de demande qui émanent elles-mêmes du problème de la maximisation de l’utilité d’un consommateur.

3.3. L’EXISTENCE DES FONCTIONS DE DEMANDE NETTE 37

C’est donc au niveau fondamental de la nature des préférences des individus et de la forme des contraintesbudgétaires qu’il a fallu chercher les conditions permettant d’obtenir de « bonnes » fonctions de demande nette.

Proposition 4 (préférences et demandes nettes). Supposons que l’ensemble de consommation de chaque indi-vidu h de l’économie est RI+, que leurs préférences %h sont continues, strictement convexes et fortement monotones.Supposons de plus que les dotations initiales pour chacun des biens vérifient

∑h xi h > 0. Alors, les fonctions de

demande nette de marché zi (p) définies pour des vecteurs-prix p À 0 vérifient toutes les propriétés énoncées dansle théorème 4. ä

Démonstration. Admis sans démonstration. ■

Nous allons maintenant élargir notre modèle en y introduisant successivement :

– la production ;

– le temps ;

– l’incertitude.

Chapitre 4

Quelques extensions à la théorie del’équilibre général

Comme nous sommes déterminés parl’accoutumance à transférer le passé aufutur dans toutes nos inférences, si lepassé a été entièrement régulier etinvariable nous attendons l’événementavec la plus grande assurance et nelaissons aucune place à une suppositioncontraire

David Hume

Sommaire

4.1 Les économies avec production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.1 La base matérielle de l’économie : la production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.2 L’organisation de l’économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 L’équilibre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 L’équilibre général intertemporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.1 La base matérielle d’une économie temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


4.3.3 Marchés à terme, prix intertemporel et taux d’intérêt spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3.4 Le comportement des agents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.5 L’équilibre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 Incertitude et équilibre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


4.4.2 Le comportement des agents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4.3 L’équilibre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.4 Un cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Dans ce chapitre, nous allons étendre le modèle de base du précédent chapitre à des situations où la pro-duction, le temps et l’incertitude ont un rôle à jouer.

4.1 Les économies avec production

4.1.1 La base matérielle de l’économie : la production

La seule nouveauté est l’introduction d’unités de production qu’on appelle entreprises. Les entreprises sontindexées par j et sont au nombre de J .

38

4.1. LES ÉCONOMIES AVEC PRODUCTION 39

Inpu

ts

Outputs

(a) transformation des inputs en outputs

Inpu

ts Outputs

(b) un même bien sert d’input et d’output

Fig. 4.1 – Représentation de l’entreprise

Fondamentalement, l’entreprise peut être analysée comme le lieu de la transformation des inputs en outputs.Pour décrire l’activité d’une entreprise, nous pourrions1 distinguer les inputs si et les outputs xi . Ce principe denotation ne sera toutefois pas retenu. La littérature privilégie en effet la notion d’output net(voir par exempleMalinvaud (1982)). Le principe directeur de ce concept est le suivant. Les biens entrant et sortant de l’entrepriseappartiennent à une nomenclature générale des biens. Supposons que xi désigne une certaine quantité decafé moulu. Le fait qu’il soit input (dans un débit de boisson) ou output (torréfacteur) ne modifie pas le faitqu’il s’agit exactement du même café. Il serait donc souhaitable de ne pas modifier la notation xi . Mais cettenotation unifiée présente des inconvénients certains. Supposons — comme dans le graphique 4.1b — que lecafé soit input et output dans une même entreprise. Alors, le fait d’énoncer que le café entre dans la fonctionde production de l’entreprise n’est pas suffisant : on ne sait pas si c’est au titre d’input ou d’output. La notiond’output net permet de résoudre ces difficultés. Par définition, l’output net xi j de entreprise j en bien i est ladifférence entre sa production et sa consommation2.

Définition 21 (output net). Soit i un bien. Soit xouti j et xi n

i j les quantités de i utilisées par l’entreprise j comme

output et input. On appelle output net la quantité

xi j = xouti j −xi n

i j N

Il s’ensuit que dans ce système de notation :

– xi j > 0 est un output net positif, c.-à-d. un output au sens habituel du terme ;

– xi j < 0 est un output net négatif, c.-à-d. un input au sens habituel du terme ;

La description la plus générale de l’activité de production d’une entreprise passe par les ensembles de production.Si on note RI l’espace des biens3, alors :

Définition 22 (ensemble de production). On appelle ensemble de production d’une entreprise X j ⊂RI , l’en-semble des vecteurs d’outputs nets techniquement réalisables par cette entreprise. N

Cette façon de présenter les choses est la plus générale qui soit : elle tient compte de toutes les combinaisonsinputs-outputs réalisables, y compris celles qui sont techniquement « inférieures ».

frontière efficace

ensemble de production

travail

bien

a x*

L*

Fig. 4.2 – ensemble et frontière de production

Ainsi, les vecteurs (moins 1 tonne de farine, 1pain) et (moins 1 kg de farine, 1 pain) sont tech-niquement réalisables mais le premier est à l’évi-dence techniquement inférieur au second. Legraphique 4.2 est une illustration d’un ensemblede production avec le travail en input et un« bien » en output. On voit que le point a estefficace : L? est la plus petite quantité de travailpermettant de produire x?. Il est évidemment« techniquement possible » d’utiliser plus de tra-vail, mais cela conduirait à un gaspillage desressources.Les ensembles de production peuvent se représenter à l’aide de fonctions de production (sur ce point, je suis laprésentation de Malinvaud (1982), p.43 et suivantes).On les définit de la façon suivante :

1. Et nous l’avons fait précédemment.2. Au titre des consommations intermédiaires.3. Conçu comme un espace d’outputs nets.

40 CHAPITRE 4. QUELQUES EXTENSIONS À LA THÉORIE DE L’ÉQUILIBRE GÉNÉRAL

Définition 23 (fonction de production). La fonction de production F j de l’entreprise j est une fonction numé-rique définie sur RI telle que

F j (x1 j , x2 j , ..., xI j ) = 0 si (x1 j , x2 j , ..., xI j ) est un vecteur efficace,

et telle queF j (x1 j , x2 j , ..., xI j ) ≤ 0 si (x1 j , x2 j , ..., xI j ) ∈ X j ⊂RI . N

L’annexe B page 84 rappelle les propriétés et caractéristiques (en particulier, marginales) des fonctions deproduction de type F (.) = 0.

Il est habituel de faire un certain nombre d’hypothèses sur les ensembles de production (et les fonctions deproduction4). On admettra tout d’abord que X j est un ensemble non vide et fermé.

1. Impossibilité de produire à partir de rien : si x j = (x1 j , x2 j , ..., xI j ) ∈ X j et ∀i , xi j ≥ 0 alors ∀i , xi j = 0

On ne peut produire sans utiliser un seul input.

2. Possibilité de l’inaction : (0,0, ...,0) ∈ X j

3. hypothèse de libre disposition : si x j = (x1 j , x2 j , ..., xI j ) ∈ X j et si x∗j ≤ x j alors x∗j ∈ X j

On peut toujours produire une même quantité d’output avec un supplément d’inputs.

4. Irréversibilité : si x j = (x1 j , x2 j , ..., xI j ) ∈ X j et si x j 6= 0 alors −x j ∉ X j

Si on produit des outputs à l’aide d’inputs, il est impossible d’inverser le processus, c.-à-d. de produire cesmêmes inputs à l’aide de ces mêmes outputs.

5. Hypothèse d’additivité : si x1j = (x1 j , x2 j , ..., xI j )1 ∈ X j et x2

j = (x1 j , x2 j , ..., xI j )2 ∈ X j alors x1j +x2

j ∈ X j

Si deux combinaisons productives sont réalisables, alors leur mise en œuvre simultanée doit pouvoir êtreréalisable.

6. Hypothèse de divisibilité : si x j = (x1 j , x2 j , ..., xI j ) ∈ X j et 0 <α< 1 alors αx j ∈ X j

Toute combinaison productive doit pouvoir être mise en œuvre à une échelle plus réduite, et ce, sans modifierles proportions qui existent à l’origine entre les outputs nets.

7. Hypothèse de rendements d’échelle constants : si x j = (x1 j , x2 j , ..., xI j ) ∈ X j et β≥ 1 alors βx j ∈ X j

Toute combinaison productive doit pouvoir être mise en œuvre à une échelle plus importantes, et ce, sansmodifier les proportions qui existent à l’origine entre les outputs nets.

8. Hypothèse de convexité : si x1j = (x1 j , x2 j , ..., xI j )1 ∈ X j et x2

j = (x1 j , x2 j , ..., xI j )2 ∈ X j sont deux combinai-

sons productives possibles alors, ∀α, 0 <α< 1, αx1j + (1−α)x2

j ∈ X j

Tout « mélange » de deux combinaisons productives est techniquement réalisable.

Vous noterez toutefois que ces différentes hypothèses ne sont pas toutes compatibles entre elles et ne peuventdonc être combinées de n’importe quelle façon. La liste précédente se veut exhaustive et correspond auxhypothèses que — de façon générale — vous risquez de rencontrer chez tel ou tel auteur.

4.1.2 L’organisation de l’économie

Les entreprises

Nous allons supposer que notre économie est une économie de propriété privée5. Cela signifie que les entreprisessont entièrement possédées par les ménages composant l’économie. Cette propriété est sanctionnée par destitres de propriété (des actions par exemple) qui donnent droit à un certain pourcentage des bénéfices. Leurdistribution se fait au prorata des parts de propriété possédées par chaque « ménage actionnaire »6.

4. Le lecteur modifiera comme il convient les définitions pour qu’elles s’appliquent aux fonctions de production.5. Ce n’est donc pas une économie planifiée comme l’ex-URSS ou coopérative.6. Si h possède 10% des titres de propriété, alors il a droit à 10% des bénéfices

4.1. LES ÉCONOMIES AVEC PRODUCTION 41

On notera 0 ≤ θ j h ≤ 1 les parts de l’entreprise j possédées par le ménage h. On a évidemment

H∑h=1

θ j h = 1.

Les entreprises achètent les matières premières, louent les services du travail auprès des autres entreprises etdes ménages. Elles produisent un ou plusieurs produits qu’elles vendent à d’autres entreprises ou aux ménages.On notera xi j l’output net (input ou output) en bien i de l’entreprise j . Les prix pi sont exprimés en unités decompte.Les profits de l’entreprise j s’écrivent

π j =I∑

i=0pi xi .

Cette notation (une « somme ») ne doit pas tromper : certains xi sont nécessairement négatifs puisque l’entreprisene saurait produire sans inputs (xi < 0). Les autres sont évidemment positifs. On retrouve alors la bonnevieille définition des profits qui sont la différence entre les recettes (xi > 0 =⇒ pi xi j > 0) et les dépenses(xi < 0 =⇒ pi xi j < 0).Chaque entreprise cherche à maximiser ses profits compte tenu des contraintes techniques qui s’imposent à elle

maxxi

I∑i=0

pi xi (4.1)

sc : F j (x1 j , x2 j , ..., xI j ) ≤ 0 (4.2)

(ou encore, sc : (x1 j , x2 j , ..., xI j ) ∈ X j ) (4.3)

Pour des prix pi > 0 ce programme possède une solution. On notera xi j (.) la fonction d’offre nette du bien i parl’entreprise j .

Les ménages

Dans une économie avec production, la description des ménages est à peine plus compliquée que dans le cassans production. Dans la mesure où une production a lieu, on peut se demander s’il est toujours nécessairede considérer que les individus possèdent une dotation initiale des divers biens. La réponse est évidemmentpositive : il existe des biens qui ne sont pas produits et qui pourtant donnent lieu à d’importantes transactions. Onpense évidemment au ... travail (c.-à-d. le temps) qui est LA ressource non produite par excellence. C’est pourquoion maintiendra l’idée que les ménages possèdent des ressources initiales, ∃i , xi h > 07. Le seul changementimportant vient de ce que les ménages sont propriétaires des entreprises. À ce titre, ils reçoivent des « dividendes ».On notera

∀h,J∑

j=1θ j hπ j .

le montant total des profits perçu par le ménages h auprès des différentes entreprises dont ils sont en partiepropriétaires. Par conséquent leur contrainte budgétaire s’écrit

I∑i=1

pi xi h =I∑

i=1pi xi h +

J∑j=1

θ j hπ j (p). (4.4)

Leur programme de maximisation de l’utilité devient

∀h, maxxi h

U (x1h , ..., xI h) (4.5)

sc :I∑

i=1pi xi h =

I∑i=1

pi xi h +J∑

j=1θ j hπ j (p) (4.6)

Programme dont on déduit les fonctions de demande et de demande nette des consommateurs

xi h(p1, p2, ..., p I ),

zi h(p1, p2, ..., p I ) = xi h(p1, p2, ..., p I )− xi h .

7. La plupart des composantes du vecteur xh sont désormais évidemment nulles, puisque la plupart des biens sont produits


4.2 L’équilibre général

La preuve de l’existence d’un équilibre général avec production se rattache à la démonstration que nous avonsdonné dans le chapitre 3, page 29. Cette dernière reposait sur l’existence de fonctions de demande nette quiavaient des propriétés « particulières ».Nous allons d’abord montrer qu’on peut définir des fonctions de demande nette pour chaque bien ; nousénoncerons ensuite les propriétés que doivent posséder les ensembles de production pour permettre auxfonctions de demande nette de vérifier les conditions du théorème 4, page 35.La demande nette sur le marché du bien i se compose :

1. de la demande des ménages

2. de l’offre nette des entreprises

On a donc :

zi (p1, p2, ..., p I ) =H∑

h=1

(xi h(p1, p2, ..., p I )− xi h

)− J∑j=1

xi j (p1, p2, ..., p I ) (4.7)

On notera que les fonctions de demande nette sont cohérentes avec les concepts que nous avons introduits :

Tab. 4.1 – Demandes nettes et unités

xi h(.)− xi h xi j (.)

outputs produits α−0 > 0 β> 0 (+)− (+)inputs a −b < 0 c < 0 (−)− (−)

On peut alors montrer :

Proposition 5 (existence d’un équilibre avec production). Si les ensembles de production de chaque entreprisesont fermés, strictement convexes et bornés supérieurement alors les hypothèses du théorème 4 sont vérifiées. Ilexiste donc un équilibre générale walrassien pour cette économie. ä

Démonstration. Admis sans démonstration ■

4.3 L’équilibre général intertemporel

Nous n’avons, jusqu’à présent, tenu compte que de biens qui s’échangent « à l’instant présent ». Or, on saitque de nombreuses transactions font intervenir le temps : il est possible en effet de négocier maintenant destransactions qui auront lieu dans le futur sur des biens qui ne sont peut-être encore même pas produits. On parlealors de contrats « au comptant » ou « à terme » portant sur des marchandises. L’introduction du temps dans lesmodèles d’équilibre général se fait en supposant que les acteurs de l’économie disposent d’un ensemble completde marchés au comptant et à terme sur lesquels ils peuvent intervenir. Dans cette section, nous exposerons sousune forme simplifiée (c.-à-d., une économie d’échange simple) les fondements des économies intertemporelles,sans insister sur le problème de l’existence de l’équilibre général dont vous vous doutez qu’il est ... acquis.

4.3.1 La base matérielle d’une économie temporelle

Nous allons introduire le temps sous la forme de deux périodes : le présent et le futur. On notera t l’indice dutemps (t = 1,2).On suppose qu’il existe deux agents h = 1,2 et un unique « objet matériel », noté x. Les individus possèdent unedotation initiale de l’objet x à chacune des périodes, ∀t , ∀h, xth désigne la quantité de x détenue à la période tpar l’individu h.On notera que s’il n’existe qu’un seul « objet », il y a deux biens : le premier est « x disponible immédiatement » etle second « x disponible demain »8

8. De façon générale, dans une économie à n objets et T périodes, il y aura n ×T biens. Comme le temps n’a pas de limite supérieure,n ×T est théoriquement infini. Vous noterez que nous avons démontré l’existence d’un équilibre général walrassien dans une économiecomportant un nombre fini de biens. C’est pourquoi nous utilisons un nombre fini de périodes.

4.3. L’ÉQUILIBRE GÉNÉRAL INTERTEMPOREL 43

Les dotations globales de l’économie en chacun des biens sont

∀t , xt =2∑

h=1xth

Le graphique 4.3 représente le diagramme emboîté d’Edgeworth d’une telle économie. On constate qu’initiale-ment (point P ), l’individu h = 1 possède une grande quantité de biens actuel et peu de biens futurs. L’individuh = 2 est dans la situation inverse.

P

biens actuels

biens futurs

biens actuels

biens futurs

Fig. 4.3 – Une économie temporelle


Appelons « plan de consommation intertemporel » ou « panier daté » un couple de biens actuels et futurs(x1, x2) ∈ R2+. Nous allons supposer que les agents sont capables d’ordonner — à l’instant présent — leurspréférences sur des paniers datés. Cette proposition généralement étonne ; mais il suffit d’un exemple pourse convaincre de sa justesse. Imaginons qu’on vous propose de choisir entre les deux paniers suivants : (1automobile immédiatement, 0 automobile dans 50 ans) ou (0 automobile immédiatement, 1 automobile dans50 ans). Il y a de fortes chances pour que vous choisissiez le premier panier. Si choisir et préférer sont des termeséquivalents, alors il faut admettre que vous préférez le premier panier au second et donc que vous êtes capablesd’ordonner vos préférences sur des paniers datés9.Nous allons admettre que ces préférences ont toutes les propriétés requises pour engendrer une fonction d’utilité.On notera uh(x1h , x2h) la fonction d’utilité intertemporelle de l’individu h. Si cette fonction est différentiable, onpeut définir le taux marginal de substitution entre bien datés

TMS =∣∣∣∣d x2h

d x1h

∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∂uh (.)∂x1h

∂uh (.)∂x2h

∣∣∣∣∣∣ . (4.8)

Cette expression indique le « taux subjectif » auquel un individu est prêt à céder un bien disponible immédiate-ment contre ce même bien disponible dans le futur.

Exemple. Le taux de substitution entre deux biens datés est 1,1. Cela signifie que

d x2h

d x1h=−1,1 ⇒ d x2h =−1,1d x1h ,

c.-à-d. que s’il cède « 1 unité » du bien x disponible actuellement, l’individu ne maintiendra son niveau d’utilitéque s’il reçoit en contrepartie « 1,1 unité » de bien x disponible dans le futur. �

On peut définir — à partir du taux marginal de substitution — un taux d’intérêt subjectif. On notera ρi h(1,2) letaux d’intérêt subjectif de la marchandise i entre la date 1 et la date 2 pour l’individu h.

Définition 24 (taux d’intérêt subjectif ). On appelle taux d’intérêt subjectif de l’individu h pour un bien i entre

les dates t et t +n l’expression : ρi h(t , t +n) =∣∣∣ d x(t+n)i h

d xt i h

∣∣∣−1 N

9. Si vous choisissez le second panier, cela ne change rien à la « démonstration » : vous exprimez aussi une préférence !


Exemple. Si le TMS est, comme précédemment, évalué à 1,10 alors le taux d’intérêt subjectif est 0,10. �

Cela signifie que l’individu exige une prime de 10% en termes de bien x disponible dans le futur pour accepterde renoncer immédiatement à 1 unité de x disponible immédiatement. Bref, son niveau d’utilité ne changerapas s’il renonce immédiatement à une unité du bien et s’il retrouve au bout d’une période cette même unitéaccrue d’une prime de 10%.

Définition 25 (préférence pour le présent). Soit x une marchandise quelconque. Si le taux marginal de substi-tution est supérieur à un pour tous les paniers datés tels que x1h = x2h , alors on dira de l’individu h qu’il a unepréférence pour le présent. N

Un individu est donc réputé préférer le présent s’il faut toujours le dédommager pour l’inciter à reporter dans lefutur une consommation présente alors que sa dotation en biens est identique dans le présent et le futur.De nombreux économistes ont soutenu qu’une des caractéristiques de l’homme « normal » était une « certaine »sous-évaluation de l’avenir et donc, que l’homme « normal » avait une « certaine » préférence pour le présent.Cette idée est développée par Böhm-Bawerk (1851-1914) à la suite de J. Bentham et W.S. Jevons10.

4.3.3 Marchés à terme, prix intertemporel et taux d’intérêt spécifique

On suppose qu’il existe — à l’instant présent — une série de marchés où sont confrontés les offres et demandesde biens actuels et futurs. Quand ils concernent des marchandises actuelles, on parle de marché au comptantde marchandises. Quand il s’agit de marchandises futures, on parle de marchés à termes de marchandises. Laconfrontation des offres et des demandes permet de déterminer un prix sur chaque marché. On parlera de prixau comptant et à terme.De façon générale, le prix au comptant est le prix — coté actuellement — d’une marchandise disponibleactuellement. Le prix à terme est le prix — coté actuellement — pour une marchandise disponible dans le futur.On notera pi (t , t +n) le prix de la marchandise i coté en t pour une disponibilité en t +n11.Les prix au comptant et à terme sont assez déroutants quand on y est confronté pour la première fois. Lameilleure façon de comprendre les marchés intertemporels est d’imaginer qu’on y négocie des contrats (des« bouts de papier signés ») prévoyant la livraison d’une certaine quantité d’une marchandise à telle ou telle date.Ainsi, on peut imaginer qu’un individu vous propose un billet sur lequel est inscrit : « moi, M. Untel, je m’engageà livrer 1 Ferrari neuve au porteur de ce billet le 14 juillet 2005 » en vous demandant quel prix vous seriez prêtà payer pour posséder ce billet. De la même façon, on peut imaginer que votre boulangère vous propose unbillet sur lequel est inscrit « moi, Mme Untel, je m’engage à livrer au porteur de ce billet un pain croustillant le[date d’aujourd’hui] » et vous demande ce que vous êtes prêt à payer pour posséder ce billet. Dans le cas de laboulangère, il s’agit d’un marché au comptant : en payant 1 ( ce billet, vous obtenez le droit d’entrer aussitôt enpossession d’un pain.Les prix intertemporels possèdent des particularités intéressantes : on peut s’en servir pour définir les tauxd’intérêt spécifiques des différentes marchandises. Nous allons introduire cette notion à l’aide d’une situationassez simple :M. Alpha sait qu’il possédera en t une unité de la marchandise x. Malheureusement, c’est en t +n qu’il en aurabesoin. Il lui suffit bien entendu de l’acheter sur le marché à terme (t +n). Mais comment financer cet achat ? Làencore, la réponse est simple : il suffit de vendre à terme (t ) cette marchandise qu’il aura (matériellement) à ladate t . Interrogeons-nous sur l’opération qu’il peut effectuer :

1. il vend au prix px (1, t ) une unité de x disponible en t

2. il achète une certaine quantité au prix px (1, t +n)

La recette issue de sa vente sera 1×px (1, t ). Avec cette recette, il peut acheter une quantité

1×px (1, t )

px (1, t +n)

Or, rien ne prouve que la quantité qu’il va obtenir sera égale à celle qu’il a vendu. Il faudrait pour ça que

px (1, t )

px (1, t +n)= 1

10. Sur ce point, on peut lire J.A. Schumpeter, Histoire de l’analyse économique, tome III, p.238 et sq., Gallimard, 1983.11. Les prix sont en réalité toujours côtés « actuellement ». J’insiste lourdement sur ce fait pour vous éviter de confondre le prix à terme

d’une marchandise et le prix qu’aura cette marchandise sur le marché au comptant quand le temps se sera écoulé. Ce prix qui ne sera uneréalité que dans le futur, vous pouvez l’imaginer, le prévoir, l’anticiper mais en aucun cas le modifier objectivement.


ce qui autant de chance d’arriver qu’une égalité permanente entre le prix d’une coupe de cheveux et celui d’unkilo de pommes de terre ! Intéressons-nous donc à la différence entre ce qu’il vend et ce qu’il achète. Cettedifférence est égale à

px (1, t )

px (1, t +n)−1

Rapportée à la quantité initiale, il vient

px (1,t )px (1,t+n) −1

1= px (1, t )

px (1, t +n)−1

Par définition, cette expression est le « taux d’intérêt spécifique » de la marchandise x.

Définition 26 (taux d’intérêt spécifique). On appelle taux d’intérêt spécifique de la marchandise x entre lesdates t et t +n l’expression

rx (t , t +n) = px (1, t )

px (1, t +n)−1

Le taux d’intérêt spécifique est le « pourcentage » de prime réelle qu’impose le marché pour passer d’un biendisponible en t à un bien disponible en t +n. N

Exemple. Un individu possède 100 unités de cacao disponibles actuellement. Le prix au comptant du cacao est100 (. Cet individu ne désire consommer son cacao que l’année prochaine. Or, le prix à un an d’une unité decacao est 80 (.Le taux d’intérêt spécifique du cacao pour les deux dates considérées est :

rcacao(1,2) = 100

80−1 = 0,25

Imaginons maintenant que l’individu vende son cacao actuel. Sa recette s’élève à 10000 (. Il achète aussitôt ducacao à un an en quantité :

10000

80= 125 unités

On voit alors clairement que le pourcentage de prime qu’il reçoit en s’abstenant de consommer immédiatementson cacao est de 25%. �

Puisqu’un taux d’intérêt spécifique se rapporte à une marchandise et à une période, il existe nécessairementautant de taux d’intérêt spécifiques que de marchandises et de périodes.

4.3.4 Le comportement des agents

On suppose que les agents savent (avec certitude) qu’ils disposent aux dates 1 et 2 des dotations initiales

∀t , ∀h, xth

Leurs contraintes budgétaires s’écrivent12

∀h = 1,2 p(1,1)x1h +p(1,2)x2h ≤ p(1,1)x1h +p(1,2)x2h (4.9)

Chaque agent cherche à maximiser son utilité en tenant compte de sa contrainte budgétaire.

∀h = 1,2 max uh(x1h , x2h) (4.10)

sc : p(1,1)x1h +p(1,2)x2h ≤ p(1,1)x1h +p(1,2)x2h (4.11)

Si on fait les hypothèses habituelles sur les préférences des agents (convexité, saturation, etc.) et sur les prix (prixnon nuls), ce programme possède une solution. À l’équilibre, le consommateur égalise le rapport des utilitésmarginales au rapport des prix et sature sa contrainte budgétaire. Si (x1h , x2h) est un couple optimal, il vérifie

∀h = 1,2

∂uh (.)∂x1h

∂uh (.)∂x2h

=p(1,1)

p(1,2)(4.12)

p(1,1)x1h +p(1,2)x2h =p(1,1)x1h +p(1,2)x2h (4.13)

12. L’indice de la marchandise est omis puisqu’il n’y en a qu’une.


On sait par ailleurs que

∀h = 1,2 ρh(1,2)+1 =∂Uh (.)∂x1h

∂Uh (.)∂x2h

, (4.14)

p(1,1)

p(1,2)= r (1,2)+1. (4.15)

Par conséquent, les équations 4.12 et 4.13 peuvent s’écrire

∀h = 1,2 ρh(1,2) = r (1,2), (4.16)

x1h + x2h

1+ r (1,2)=x1h + x2h

1+ r (1,2). (4.17)

À l’équilibre, les individus égalisent leurs taux d’intérêt subjectif pour une marchandise entre deux dates au tauxd’intérêt spécifique de cette marchandise entre ces deux mêmes dates.

P

E

bien actuel

bien futur

achat àterme

vente au comptant

Fig. 4.4 – Équilibre intertemporel du consommateur

On a vu que la condition d’équilibre du consommateur pouvait s’exprimer « en prix » (équations 4.12 et 4.13)ou « en taux d’intérêt » (équations 4.16 et 4.17). Cela nous incite fortement à penser que les transactionsintertemporelles doivent pouvoir s’exprimer sous la forme d’échange de marchandises (avec des prix) ou sousune forme « financière » (avec des taux d’intérêt).Considérons une situation où les achats et les ventes se font avec deux échangistes : M. Alpha et M. Beta. Onsuppose que M. Alpha achète au comptant une quantité α d’une marchandise à M. Beta et simultanément luivend à 1 an une quantité β>α de cette même marchandise. Cette situation est représentée sur le graphique 4.5.

vente au comptant

achat au comptant

vente à terme

achat à terme

M. Alpha

M. Beta

tempsa b

Fig. 4.5 – Échanges ou transactions « financières » ?

Puisqu’il s’agit d’une même marchandise et des mêmes individus, il ne faut pas faire preuve de beaucoupd’imagination pour comprendre que M. Beta a en réalité prêté à M. Alpha une quantité α de la marchandiseconsidérée et qu’au bout d’une période M. Alpha lui rembourse cette marchandise avec un « supplément13 ». Decette façon, M. Alpha est l’emprunteur et M. Beta le prêteur (de marchandises).On peut remarquer que p(1,1)α= p(1,2)β. Par conséquent, on a :

β

α= p(1,1)

p(1,2)(4.18)

13. Ce supplément est l’intérêt. Cette façon de voir les choses est conforme à la réalité quotidienne : l’intérêt sur un dépôt bancaire estbien la somme perçue en fin de période en plus du remboursement du dépôt


Essayons maintenant de calculer le taux d’intérêt14 sur cette opération « financière ». L’intérêt est l’excès de lasomme remboursée sur la somme prêtée, c.-à-d.

intérêt = β−α.

Le taux d’intérêt spécifique est l’intérêt rapporté à la somme initialement prêtée

taux d’intérêt =β−αα

= β

α−1.

En rapprochant cette expression de l’équation 4.18, on vérifie que

taux d’intérêt =β−αα

= β

α−1 = p(1,1)

p(1,2)−1.

Cette constatation m’amène à énoncer une règle.

Définition 27 (correspondance entre échanges et « finance » ). Vendre au comptant et acheter simultanémentà terme est équivalent à prêter.Acheter au comptant et vendre simultanément à terme est équivalent à emprunter. N

On en déduit donc qu’un système complet de marchés au comptant et à terme est équivalent à un systèmecomplet de prêts et d’emprunts en nature. On montre de cette façon l’équivalence entre « finance » et échanges.

4.3.5 L’équilibre général

Nous n’allons pas revenir à nouveau sur la définition et la démonstration de l’existence d’un équilibre général.Nous savons qu’à l’équilibre il existe un ensemble de prix intertemporels tels que :

– les agents maximisent leur utilité

– les marchés sont équilibrés

Le graphique 4.6 donne une représentation d’un tel équilibre.

P

W

bien actuel

bien futur

bien futur

bien actuel

individu 1

individu 2

achat àterme

vente au comptant

achat au comptant

vente àterme

Fig. 4.6 – Équilibre général intertemporel

On vérifie facilement que le point W du graphique 4.6 possède toutes les propriétés d’un équilibre généralwalrassien. Si on en était resté aux profils de consommation permis par les dotations initiales, on aurait eu undéséquilibre important entre les deux périodes (cf. graphique 4.7). L’individu 1 aurait été saturé à la premièrepériode et aurait crié famine à la seconde. Le deuxième individu aurait eu un sort inverse. Les échangesintertemporels vont permettre aux deux individus de régulariser leurs profils de consommation dans le temps(ligne en pointillé sur le graphique 4.7).

14. Dans ce paragraphe, le taux d’intérêt est évidemment un taux d’intérêt spécifique calculé sur une période.


temps

x

x1

x2

temps

x

x1

x1

x2

emprunteurprêteur

Fig. 4.7 – Les conséquences des échanges intertemporels

Comme le montrent les flèchesen pointillés, l’individu 1 aural’impression de transférer dans lefutur une marchandise qu’il a enabondance dans le présent. De soncôté, l’individu 2 aura l’impression(plus extraordinaire) de faire venirdans le présent une marchandisequ’il possède en abondance dansle futur.Mais cette façon « individualiste »de voir les choses est trompeuse : les marchandises ne voyagent évidemment pas dans le temps. Les flèchesnoires du graphique 4.7 montrent que la marchandise disponible à la période 1 sera consommée à la période 1et celle disponible à la période 2 sera consommée à la période 2.

Exercice 2. Appliquez les raisonnements précédents à la monnaie. Montrer que, partant du taux d’intérêtannuel i de la monnaie, on peut déduire, sachant que le prix au comptant de 1 ( est 1 (, le prix à un an de 1 (.Traduisez dans le langage des marchés intertemporels les notions de prêt et d’emprunt de monnaie. ♣

4.4 Incertitude et équilibre général

Considérons une économie à deux agents (h = 1,2) et une marchandise x. Les dotations initiales de chaqueagent dépendent de deux états du monde indexés par e (e = 1,2). On note xeh la dotation initiale dans l’état dumonde e de l’individu h.Bien qu’il n’y ait qu’une seule marchandise, on constate qu’il existe deux biens15 : du « x si tel événement seréalise » et du « x si l’événement ne se réalise pas ».La représentation d’une telle économie est donnée par le graphique 4.8.

P

biens dans

l'état du monde 1

biens dans

l'état du

monde 2

biens dans

l'état du

monde 2

biens dans l'état du monde 1

Fig. 4.8 – Ressources initiales contingentes


Appelons « paniers de biens contingents16 » ou « plan contingent de consommation » un couple de biens(x1, x2) ∈R2+. On suppose que les individus sont capables d’exprimer des préférences sur ces paniers de bienscontingents. Ces préférences seront — de façon classique — traduites par une fonction d’utilité. Depuis lesannées 1950, de nombreux travaux sur la théorie des choix ont montré qu’en situation d’incertitude, les fonctionsd’utilité prenaient une forme très particulière. Plus précisément, l’utilité d’un panier de biens contingents est

15. Une économie à I biens et E états du monde comporte I ×E biens.16. En philosophie, contingent signifie : ce qui peut être ou ne pas être, se produire ou ne pas se produire. On l’oppose alors à nécessaire :

ce qui ne peut pas ne pas être ou ne peut pas être autrement

4.4. INCERTITUDE ET ÉQUILIBRE GÉNÉRAL 49

égale à l’espérance d’utilité des éléments de ce panier. L’indice d’utilité accordé à chaque panier de bienscontingents s’écrira

U (x1h , x2h ;π1h ,1−π1h) =π1hu(x1h)+ (1−π1h)u(x2h)

où :

– les éléments π1h et 1−π1h désignent les probabilités accordées par l’individu h aux deux états du monde ;

– la fonction u(.) désigne la fonction d’utilité d’un bien certain.

La fonction U (.) peut se représenter sous forme de courbes d’indifférence. On montre facilement que si unindividu présente une aversion pour le risque 17, alors ses courbes d’indifférence sont convexes.Appelons IU∗ la courbe d’indifférence pour un niveau d’utilité U∗. On a évidemment

IU∗ = {(x1, x2) ∈R2+ |π1hu(x1h)+ (1−π1h)u(x2h) =U∗}.

Cette équation définit implicitement la fonction représentative x2 =ϕU∗ (x1) de la courbe d’indifférence pour leniveau d’utilité U∗. Pour déterminer la forme de cette courbe d’indifférence, nous devons évaluer le signe deϕ′

U∗ (.) (croissante ou décroissante) et de ϕ′′U∗ (.)(concave ou convexe). Utilisons le théorème de dérivation des

fonctions implicites

ϕ′U∗ (.) =− π1h u′(x1h)

(1−π1h)u′(x2h), (4.19)

ϕ′U∗ (.) =− π1h u′(x1h)

(1−π1h)u′(ϕU∗ (x1)). (4.20)

La fonction u(.) étant croissante, on en déduit que ϕ′U∗ (.) < 0 et donc, que ϕU∗ (.) est décroissante. Pour détermi-

ner la convexité de ϕU∗ (.), on dérive l’équation 4.17

ϕ′′U∗ (.) =− π1h u′′(x1h) (1−π1h)u′(ϕU∗ (x1))− (1−π1h)ϕ′

U∗ (.)u′′(ϕU∗ (x1))π1h u′(x1h)((1−π1h)u′(ϕU∗ (x1))

)2 . (4.21)

Le signe de l’équation 4.21 dépend du signe de u′′(.). Par conséquent, on peut affirmer que si un individuprésente une aversion pour le risque (u′′(.) < 0), alors ses courbes d’indifférence sont convexes (ϕ′′

U∗ (.) > 0)

Biens dans l’étatdu monde 1

Biens dans l’étatdu monde 2

ϕ(.)

Ligne de certitude

Fig. 4.9 – Courbes d’indifférence

Le graphique 4.9 donne une représentation descourbes d’indifférence d’un individu présen-tant une aversion pour le risque. On noteraquelques caractéristiques de ces courbes. Letaux marginal de substitution entre biens dansles deux états du monde est

T MS =∣∣∣∣d x2

d x1

∣∣∣∣= ∣∣∣∣− π1h u′(x1h)

(1−π1h)u′(x2h)

∣∣∣∣On peut par ailleurs tracer une ligne — dite« ligne de certitude » — qui correspond à l’en-semble des paniers de biens qui donnent lamême quantité de marchandise x quel que soitl’état du monde. On notera (la démonstrationest immédiate) que le T MS entre les biens est

constant, et égal à∣∣∣− π1h

(1−π1h )

∣∣∣, sur la ligne de certitude. On soulignera enfin le fait que ces courbes d’indifférence

ne sont valables que pour un vecteur de probabilité. Si ce vecteur venait à changer, les courbes d’indifférenceseraient aussitôt modifiées.Un diagramme emboîté d’Edgeworth sera donc représenté comme dans le graphique 4.10.

17. C’est l’attitude « psychologique » généralement imputée aux agents économiques. On dit qu’un individu a une aversion pour le risquesi, en toutes circonstances, il préfère les perspectives certaines aux perspectives risquée lorsqu’elles rapportent en moyenne le même gain,c.-à-d. lorsque leur espérance mathématique de gain est identique. Lorsqu’un individu présente une aversion pour le risque, sa fonction u(.)est concave.


h=1

h=2

Biens dans l’état du monde 1

Biens dansl’état dumonde 2

Biens dansl’état dumonde 2


ligne

de ce

rtitu

de de

h=1

ligne

de ce

rtitu

de de

h=2

Fig. 4.10 – Diagramme d’Edgeworth d’une économie avec incertitude

Tab. 4.2 – Les prix contingents

État du monde livraison de l’unité prix

il se réalise elle a lieu le prix est payéil ne se réalise pas elle n’a pas lieu le prix est payé

4.4.2 Le comportement des agents

Imaginons que le graphique 4.10 décrive la situation suivante. Les deux individus sont deux agriculteursqui sèment (en janvier) du blé. Le premier est breton et le second alsacien. Selon l’endroit où va se placerl’anticyclone pendant l’été, on aura un été pluvieux en Bretagne18 et un été sec en Alsace ou alors le contraire.On peut admettre que l’abondance de la récolte dépend des précipitations estivales, bref, si on appelle e = 1l’état du monde « anticyclone sur l’Alsace » et e = 2 l’état « anticyclone sur la Bretagne19 », alors les dotationsinitiales (déterminées par la nature) seront « inversées » chez les deux agriculteurs.Avec leurs dotations initiales les deux individus n’atteignent pas des scores d’utilité élevés. On comprend qu’ilest peu rassurant de savoir qu’à la fin de l’été, on a une probabilité non nulle d’être presque ruiné. On voit aussique les dotations moyennes procureraient plus de satisfaction : certes, il n’est pas question d’être « richissime »quand la nature vous sourit, mais il n’est pas non plus question d’être ruiné quand elle est contre vous.Cette simple constatation laisse entrevoir une solution : le breton et l’alsacien pourrait se vendre et s’achetermutuellement des biens contingents ... à des prix contingents.

Définition 28 (prix contingent). On appelle prix contingent pi e de la marchandise i dans l’état du monde e leprix que doit payer l’acquéreur pour acquérir un contrat précisant qu’une unité de la marchandise i devra êtrelivrée si l’état du monde e se réalise, mais que rien ne sera dû par le vendeur dans le cas contraire. N

Un prix contingent est donc le prix d’un contrat comportant une clause de livraison conditionnelle. Ce prix doitêtre payé de manière certaine pour toute personne voulant obtenir une promesse de livraison conditionnelle.Le tableau 4.2 récapitule les caractéristiques des prix contingents.On ne manquera pas de faire le rapport entre un prix contingent et une prime d’assurance. En effet, tout assuréqui verse une prime à une assurance s’attend à un « dédommagement » de l’assurance si un risque se réalise et ...à rien si le risque ne se réalise pas.Connaissant les prix contingents et leurs dotations initiales en biens contingents, les agents économiques (onsupposera qu’ils présentent une aversion pour le risque) essaient de maximiser leur utilité. Ils cherchent donc àrésoudre le programme

∀h, maxxeh

π1hu(x1h)+ (1−π1h)u(x2h) (4.22)

sc : p1x1h +p2x2h = p1x1h +p2x2h (4.23)

Ce programme possède généralement une solution qui peut se représenter comme dans le graphique 4.11.

18. Je m’aperçois en écrivant ces lignes que cet exemple n’est pas convaincant : tout le monde sait qu’il pleut toujours en Bretagne.19. On admet évidemment que ces deux états sont alternatifs et qu’il n’y a que deux états.


x

x

x x

Biens dans l'état

du monde 2

Biens dans l'état

du monde 1

2h

2h

1h 1h

E

P

Fig. 4.11 – Équilibre individuel

À l’équilibre, cet individu (appelons-le h) vend du bien « x dans l’état du monde 1 » qu’il a en abondance et achètedu bien « x dans l’état du monde 2 » dont il est relativement dépourvu. Cela signifie qu’il signe simultanémentdeux contrats :

– un contrat prévoyant qu’il livrera, si l’état du monde 1 se réalise, une quantité (x1h −x1h) ;

– un contrat prévoyant qu’on lui livrera, si l’état du monde 2 se réalise, une quantité (x2h − x2h).

Une fois ces deux contrats signés, il ne peut y avoir que deux conclusions :

– si l’état du monde 1 se réalise, l’individu devra livrer la quantité qu’il s’est engagé à livrer ; dans le mêmetemps, il ne recevra rien de son vendeur ;

– si l’état du monde 2 se réalise, l’individu prendra livraison de la quantité que son vendeur s’est engagé àlui livrer ; il ne devra néanmoins rien à son acheteur.

On remarque que les contats signés par cet individu rapprochent sa dotation finale de sa ligne de certitude. Enun certain sens, les marchés contingents jouent – dans notre modèle – le rôle d’une assurance.

Le programme de maximisation 4.22 et 4.23 possède généralement une solution. Si on fait abstraction dessolutions en coin, le couple (x1h , x2h) vérifie les conditions marginales suivantes

T MS =∣∣∣∣− π1h u′(x1h)

(1−π1h)u′(x2h)

∣∣∣∣= p1

p2, (4.24)

p1x1h +p2x2h = p1x1h +p2x2h . (4.25)

Partant de ce programme, on peut exprimer les fonctions de demande et de demande nette de biens contingents.

4.4.3 L’équilibre général

Une fois encore, il n’est pas question de revenir sur la définition et la démonstration de l’existence d’un équilibregénéral. Si les individus de cette économie ont une aversion pour le risque, nous savons qu’à l’équilibre il existeun ensemble de prix contingents tels que :

– les agents maximisent leur utilité ;

– les marchés contingents sont équilibrés.

Le graphique 4.12 donne une représentation d’un tel équilibre.Les transactions faites par les deux individus vont rapprocher leurs plans contingents de consommation deleurs lignes de certitude respectives. Bref, la place de l’anticyclone n’aura désormais qu’une influence légèresur la variation des ressources de l’agriculteur breton ou alsacien. En dépit de l’inexistence de toute entreprised’assurance, on constate qu’un sytème complet de marchés contingents permet aux agents économiques des’assurer mutuellement.

4.4.4 Un cas particulier

Dans les exemples précédents, nous avons montré que deux individus participant à des marchés contingentss’assuraient mutuellement.


h=1

h=2


Bie

ns d

an

s l

’éta

t d

u m

on

de 2

Bie

ns d

an

s l’é

tat d

u m

on

de 2

achat de

x1

vente de

x1

achat de

x2

vente de

x2


W

P

Fig. 4.12 – Équilibre général contingent

Mais cette assurance n’était pas totale : les contats signés laissent subsister une variabilité résiduelle desressources des deux échangistes. Nous pouvons par conséquent nous demander à quelle(s) condition(s) uneassurance mutuelle totale est possible.Nous allons faire deux hypothèses :

hypothèse 1 les agents attribuent les mêmes probabilités subjectives aux deux états du monde ;

hypothèse 2 les ressources globales de l’économie sont identiques dans les deux états du monde.

L’hypothèse 1 pose que π11 =π21 et l’hypothèse 2 que :

2∑h=1

x1h =2∑

h=1x2h mais ∀e, xe1 6= xe2

Dans ces conditions, si un équilibre existe, il se situe nécessairement sur la ligne de certitude des deux individuset le rapport des prix contingents est égal au rapport des probabilités subjectives attribuées par les deux individusaux états du monde. Le graphique 4.13 illustre cette situation.

h=1

h=2

P

W

vente

achat

achat vente

état du monde 1

état du monde 1

éta

t du

mo

nd

e 2

éta

t d

u m

on

de 2

Fig. 4.13 – assurance mutuelle totale


La théorie de Böhm-Bawerk selon Joseph A. Schumpeter.

Nous nous occupons maintenant de cette explication causale. Elle est construite en termes réels : Böhm -Bawerk croyait fermement qu’en cette matière la monnaie ne joue que le rôle d’un instrument technique quise détraque de temps en tempsa. La proposition fondamentale est que l’intérêt résulte d’un échange de biensde consommation présents contre des biens futurs, et qu’il est essentiellement une prime (Agio) attaché auxpremiers. Ainsi défini, le problème consiste à indiquer les raisons pour lesquelles le marché où l’on échange desbiens de consommation présents contre des (droits à des) biens de consommation futurs fonctionne de manièreà produire normalement cette prime, ou, en d’autres termes, pourquoi les gens sont normalement disposésà promettre, contre la livraison de biens présents, la livraison ultérieure de quantités supérieures de biensde même nature et de même qualitéb. Le lecteur sait probablement que Böhm-Bawerk invoqua trois raisons.Premièrement, un homme peut être disposé à rendre à un prêteur plus qu’il n’a reçu, parce qu’il s’attend à êtreen meilleure situation dans l’avenirc. Deuxièmement, un homme peut être disposé à promettre de rembourserplus qu’il ne reçoit parce que la plupart des gens n’éprouvent pas les jouissances futures avec le même sensaigu de la réalité que les présentesd. Les individus, les classes et les nations diffèrent grandement à cet égard.Les différences d’intensité avec lesquelles ils conçoivent l’avenir est un des facteurs les plus importants quidéterminent leur destin. On ne saurait trop fortement inculquer cette idée aux économistes modernes. CommeBentham et Jevons avant lui, Böhm-Bawerk estimait qu’une certaine sous-évaluation de l’avenir en ce sens estune caractéristique générale de l’homme normal. L’observation du comportement effectif, en particulier dans lesecteur public, étaye solidement cette affirmatione. Troisièmement, un homme peut être disposé à payer uneprime pour des biens présents parce que disposer d’eux peut lui permettre de s’engager dans des processusde production physiquement plus productifs, exigeant une période de production « plus longue », au sens deBöhm-Bawerk (supériorité technique des biens de consommation présents, voir ci-dessus, section 2[c1]). De lasorte, un stock présent de biens de consommation peut signifier plus de ces biens dans l’avenir.

a. Plus précisément, il soutenait une théorie quantitative fruste de la monnaie : l’ensemble de la monnaie (compte tenu de sa vitesse)achète l’ensemble des biens. Il y a un parallélisme frappant entre cette proposition et cette autre : l’ensemble du fonds de subsistance achètel’ensemble de l’offre de travail. Les deux propositions rappellent des théories « classiques » (la théorie quantitative, et la théorie du fonds dessalaires), et non ce qu’elles ont de mieux. Mais on peut introduire les corrections nécessaires sans grande difficulté.

b. Répétons que, quelles que soient les autres objections que l’on puisse faire â cette manière de poser le problème de l’intérêt, il n’y apas de raison de s’y opposer parce qu’elle implique de la psychologie. Si nous rejetons pour cela le raisonnement de Böhm-Bawerk, nousdevons en conséquence rejeter aussi celui de Lord Keynes et même celui de Marx (voir par exemple le raisonnement de Marx sur les motifsde l’accumulation).

c. C’est une meilleure raison que les critiques ne l’admettent d’habitude. Elle ne s’applique pas seulement â l’étudiant qui a une tantebien disposée envers lui, et de santé fragile. Dans une société progressive, la majorité des gens peuvent correctement s’attendre à des flux derevenu plus élevés dans l’avenir. Dans une société régressive, Böhm-Bawerk a effectivement raison de supposer que les prévisions correctesde flux de revenu qui s’amenuisent ne rendront pas la prime négative pour toute personne dans une situation normale, de sorte que laprime positive, que quelques-unes peuvent être encore disposées à payer, sera en vigueur même dans ce cas.

d. Dans le premier cas (celui des prévisions favorables), les emprunteurs sous-évaluent les biens futurs, comparés aux biens présents,parce qu’ils s’attendent à être dans l’avenir plus bas sur la même courbe d’utilité marginale du revenu. Dans le second cas (celui de lasous-évaluation systématique des jouissances futures, alors qu’on prévoit qu’elles donneront un plaisir aussi intense quand elles serontdevenues des jouissances présentes), les emprunteurs ont une courbe différente de l’utilité marginale du revenu pour la période de revenuprésente, et pour chacune des périodes de revenu suivantes.

e. On ne pourrait l’établir que par une discussion systématique des preuves historiques. La place nous manque pour nous y engager. Caril est très vrai que notre impression courante d’une sous-évaluation générale de l’avenir dans la société moderne peut être en partie uneconséquence simple de l’existence de l’intérêt. Établir qu’il y a aussi une sous-évaluation indépendante, susceptible de « causer » l’intérêt,n’est donc pas si facile, en particulier puisqu’on ne manque pas d’informations apparemment opposées. Cette discussion aurait donc aussià débattre des objections nombreuses qui ont été soulevées. Il faut en citer une, particulièrement intéressante. Quelques auteurs semblentcroire que, s’il y avait une sousévaluation systématique de l’avenir, la société devrait se préparer à un effondrement économique, ou àune liquidation générale. Mais c’est précisément ce qu’elle fait. Montrer pourquoi l’équipement en capital s’accroît cependant au lieu dediminuer est un des problèmes les plus profonds de l’analyse économique. Il est obscurci par la pratique de supposer comme une choseévidente que la machine économique est entretenue naturellement, ou s’entretient toute seule.

Chapitre 5

La théorie des optima au sens de Pareto

Pour la philosophie cynique, commed’ailleurs pour toute philosophie, la fin etle but suprême, c’est de vivre dans lebonheur.

Julien

Il n’y a qu’une erreur innée : c’est celle quiconsiste à croire que nous existons pourêtre heureux.

Schopenhauer

Sommaire

5.1 Les états optimaux au sens de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.1 Les états réalisables de l’économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.2 Le critère servant au classement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.3 Supériorité et optimum de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.1.4 Optimum au sens de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.5 Le premier théorème de l’économie du bien-être . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1.6 Le second théorème de l’économie du bien-être . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Les conditions « marginales » d’un optimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3 Les conditions marginales d’une économie avec production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Nous avons jusqu’à présent étudié des économies marchandes et nous avons montré que — sous certainesconditions — l’interaction de nombreux agents sur des marchés concurrentiels n’était pas incompatible

avec l’existence d’une situation à la fois « globalement cohérente » et « individuellement satisfaisante ». Nousavons appelé une telle situation un équilibre général walrassien.Supposons maintenant qu’une collectivité dispose exactement des mêmes ressources qu’une économie mar-chande mais qu’elle soit organisée selon les principes de la « planification socialiste soviétique ». Il est probableque « l’équilibre planifié » ne sera pas le même que l’équilibre walrassien1.Et pour faire bonne mesure, rien ne nous empêche d’imaginer une économie organisée suivant des principescoopératifs2 et où l’équilibre serait différent des deux précédents3.Mais si trois types d’organisations économiques conduisent à des équilibres différents, on est en droit de sedemander quel est le « bon » ou du moins le « meilleur » des trois ?

1. Il n’est pas question d’aborder ici la question de la définition et de l’existence d’un équilibre dans une économie planifiée.2. Il existe depuis le xixe siècle un courant dit d’économie sociale qui défend une idéologie de la coopération, c.-à-d. « l’alliance du

principe libéral avec le principe de la solidarité » (manifeste de 1868). Ce courant a connu son heure de gloire avec l’économiste CharlesGide et l’École de Nîmes.

3. Il n’est pas non plus question d’aborder la question de la définition et de l’existence d’un équilibre dans une économie « coopérative ».

54

5.1. LES ÉTATS OPTIMAUX AU SENS DE PARETO 55

Il n’est pas sûr qu’on puisse répondre à cette interrogation. Mais la question est finalement intéressante : a-t-onles moyens de dire ce qu’est une « bonne façon » d’organiser l’économie et peut-on comparer ou « classer parordre de mérite » les différentes façons de répartir et d’utiliser les ressources à la disposition d’une économie ?

C’est à ces questions que la théorie des optima au sens de Pareto entend donner des réponses.

5.1 Les états optimaux au sens de Pareto

Pour introduire la théorie des optima au sens de Pareto, nous allons nous contenter d’économies simples : deuxbiens et deux agents suffiront amplement à notre propos4.

5.1.1 Les états réalisables de l’économie

Puisqu’il n’y a pas de production dans cette économie, on admet qu’il existe dans l’économie une dotationglobale initiale des deux biens xi . Ces biens ne sont pas appropriés pas les deux agents. En revanche, ils peuventêtre distribués entre les agents. La notion d’état réalisable de l’économie se propose de décrire l’ensemble desdistributions possibles entre les deux agents de cette économie.

Définition 29 (état réalisable). On appelle état réalisable d’une économie toute répartition possible des res-sources initiales de l’économie entre les agents qui la composent :

X ={

((x11, x21), (x12, x22)) ∈R4+ | ∀i

∑h

xi h ≤ xi

}N

Il n’existe pas de façon simple de représenter l’ensemble des états réalisables de l’économie. Ceci vient de ce quela définition que nous avons donnée n’exclut par les états réalisables qui n’épuisent pas la totalité des ressourcesdisponibles (on a une inégalité large). Si on se cantonne aux seuls états réalisables qui épuisent les ressources del’économie dans leur totalité, alors les états réalisables sont représentés par l’ensemble des points du diagrammeemboîté d’Edgeworth (voir graphique 5.1).

Q

Q'

x1

x2

x1

x2

individu 1

individu 2

Fig. 5.1 – Ensemble des états réalisables (épuisant les ressources)

5.1.2 Le critère servant au classement

Notre objectif est de classer les différents états réalisables de cette économie de façon à pouvoir déterminer celuiou ceux qui peuvent être dits les « meilleurs ». Mais tout classement suppose un critère de référence. Ainsi, onpeut classer des élèves selon la taille, le poids ou la moyenne obtenue en mathématiques ; et il est clair que selonle critère retenu le « meilleur » sera à chaque fois différent5.Le principe fondamental qui guide le classement des états sociaux est qu’il faut partir des agents consommateurset de leurs préférences. Ce principe paraît raisonnable6 : il revient à exclure tout classement dicté par une autoritésupérieure ou extérieure.

4. La généralisation à I biens et H agents est immédiate.5. À moins d’admettre que seuls les grands particulièrement pesants sont bons en math !6. Dans Malinvaud (1982), p. 77, note 1, on trouve quelques remarques intéressantes sur le sujet.

56 CHAPITRE 5. LA THÉORIE DES OPTIMA AU SENS DE PARETO

On sait que les consommateurs sont capables d’exprimer des préférences sur les paniers de biens et que — souscertaines conditions — ces préférences peuvent se représenter à l’aide de fonctions d’utilité Uh(x1h , x2h). Dèslors, il est possible de représenter chaque état réalisable sous la forme d’un vecteur d’utilité. L’ensemble desétats réalisables en termes d’utilité s’écrit{

(u1,u2) ∈R2+ | u1 =U1(x11, x21), u2 =U1(x12, x22) et ∀i

∑h

xi h ≤ xi}

Le graphique 5.2 en donne une illustration.

Q

Q'

x1

x2

x1

x2

individu 1

individu 2

10

20

4 5

Q

Q'

u

u2

1

10

20

4 5

Fig. 5.2 – États réalisables en termes d’utilité

5.1.3 Supériorité et optimum de Pareto

Nous savons représenter l’ensemble des états réalisables sous la forme d’un ensemble de vecteurs d’utilité(u1, u2). Comparer et classer ces états revient à comparer et classer les vecteurs d’utilité qui les caractérisent. Or,classer des vecteurs ne vas pas de soi, comme le montre les exemples suivants.Supposons que nous cherchions à comparer deux états réalisables Q et Q ′ caractérisés par les vecteurs d’utilitéQ → (10,5) et Q ′ → (8,4). Puisque notre principe de base est de partir des consommateurs et de leurs préférences,il « intuitivement évident » que le premier état est « supérieur » au second puisque les deux consommateursle trouvent supérieur (10 > 8 et 5 > 4). De même, Q est supérieur à Q ′′ quand les deux états sont Q → (10,5) etQ ′′ → (8,5).En revanche, il est paraît impossible de classer les états Q → (10,5) et R → (6,11). En effet, si le premier individupréfère Q à R, le second préfère R à Q. Et dans ce cas, on ne voit pas pourquoi l’un devrait prévaloir sur l’autre.

Bref, nous constatons que s’il n’est pas impossible de classer certains vecteurs, il n’est en revanche pas possiblede classer tous les vecteurs7. Nous devons donc nous contenter des deux définitions suivantes :

Définition 30 (supériorité au sens de Pareto). Un état réalisable Q = (xh=1, xh=2) = ((x11, x21), (x12, x22)

)est dit

supérieur au sens de Pareto à un autre état réalisable Q ′ = ((x ′

11, x ′21), (x ′

12, x ′22)

)si

∀h, Uh(x1h , x2h) ≥Uh(x ′1h , x ′

2h) et ∃h, Uh(x1h , x2h) >Uh(x ′1h , x ′

2h),

ou, de façon alternative,∀h, xh=1 %

hx′h=2 et ∃h, xh=1 Â

hx′h=2.

N

Définition 31 (supériorité stricte). Un état réalisable Q = (xh=1, xh=2) = ((x11, x21),(x12, x22)

)est dit stricte-

ment supérieur au sens de Pareto à un autre état réalisable Q ′ = ((x ′

11, x ′21), (x ′

12, x ′22)

)si

∀h, Uh(x1h , x2h) >Uh(x ′1h , x ′

2h),

ou, de façon alternative∀h, xh=1 Â

hx′h=2.

N


Q

Q'

Q

Q'

R

S

R

S

Q''Q''

états préférés à Q

Fig. 5.3 – Supériorité au sens de Pareto

Sur le graphique 5.3, on a représenté une série d’états réalisables dans un diagramme d’Edgeworth et leur imageen termes d’utilité. On voit que les états Q ′ et Q ′′ sont strictement supérieurs au sens de Pareto à l’état réalisableQ.Dans le diagramme d’Edgeworth, ces deux états sont situés dans la « lentille » des états qui procurent à la foisplus d’utilité au premier et au second individu. Dans la second graphique, ils sont dans le quadrant situé aunord-est de l’état réalisable Q. On remarquera que les états R et S sont incomparables avec Q.

5.1.4 Optimum au sens de Pareto

La supériorité au sens de pareto permet d’ordonner en partie l’ensemble des états réalisables. Il nous reste àdéterminer les états qui sont d’une certaine façon les « meilleurs ». Une solution semble s’imposer aussitôt : les« meilleurs » ne sont-ils pas ceux qui ne sont surpassés8 par aucun autre ?Nous pouvons définir un état optimal au sens de Pareto (ou efficace au sens de Pareto) en suivant cette intuition :

Définition 32 (optimalité). Un état réalisable Q = (xh=1, xh=2) = ((x11, x21),(x12, x22)

)est dit optimal au sens

de Pareto dans X s’il n’existe aucun autre état dans X qui lui soit supérieur au sens de Pareto, c.-à-d.,

¬ (∃Q ′ = (x′h=1, x′h=2) = ((x ′

11, x ′21), (x ′

12, x ′22)

)tel que ∀h, x′h=1 %

hx′h=2 et ∃h, x′h=1 Â

hx′h=2.

N

QQR

S

R

S

Fig. 5.4 – Optima au sens de Pareto

La figure 5.4 représente des étatsréalisables optimaux au sens de pa-reto. C’est le cas des états Q et S.Étant données les remarques faitessur le graphique 5.3, on voit que Q etS sont ici optimaux parce qu’ils sontsitués au point de tangence de deuxcourbes d’indifférence ; la « lentille »des états supérieurs au sens de Pa-reto est donc vide. De même, dansla partie du graphique représentantles états optimaux en termes d’uti-lité, on voit que Q et S sont situés surla frontière des utilités. Il n’existe au-cun état réalisable dans le quadrant nord-est de ces deux points. On fera immédiatement quelques remarques :

– les optima au sens de Pareto sont incomparables entre eux9 ;

7. Ceci ne devrait pas surprendre des ... étudiants. Les étudiants sont en effet évalués par des vecteurs de notes qui sont généralementincomparables. Si on tente de classer les étudiants par ordre de mérite, il faudra transformer ces vecteurs (incomparables) en un nombreréel unique (le corps des réels est ordonné). Ce nombre est bien entendu la fatidique moyenne (éventuellement pondérée).

8. C’est une façon classique de définir un maximum. Si vous reprenez la définition du maximum d’une fonction de une variable, vousconstaterez que x0 est un maximum s’il n’existe aucun autre x appartenant au domaine de définition de f tel que f (x) > f (x0).

9. Aux Jeux olympiques cela reviendrait à vouloir comparer le gagnant de la médaille d’or du 100 mètres et le médaillé d’or en haltérophilie.


– il existe une infinité d’optima au sens de Pareto. Cela signifie donc qu’il n’existe pas un état qui soit lemeilleur ;

– un état non optimal n’est pas forcément « moins bon » qu’un état optimal. Dans le graphique 5.4, R n’estpas optimal. Il ne peut cependant être comparé avec l’état optimal Q. Par conséquent, il faut s’interdiretoute classification erronée que seule la fascination qu’exerce le mot optimal justifierait10 !

En partant de la définition 32, nous pouvons en déduire une autre d’ailleurs beaucoup plus fréquente : unétat optimal au sens de Pareto est un état tel qu’on ne peut améliorer la situation d’un individu sans ipso factodétériorer celle d’un autre individu.

5.1.5 Le premier théorème de l’économie du bien-être

Le premier théorème de l’économie du bien-être dit que tout équilibre général walrassien est un optimum ausens de pareto. Ce théorème est important parce qu’il apporte une réponse à un problème qui a fasciné leséconomistes depuis les débuts de l’économie politique. Une économie de marché — et plus précisément uneéconomie capitaliste — donne l’impression d’une confrontation anarchique de nombreux intérêts individuels.Les consommateurs maximisent leur utilité alors que les entreprises maximisent leurs profits. Lorsque les agentssont nombreux, ces « égoïsmes » individuels se rencontrent, se confrontent, s’affrontent sur des marchés, quine sont pas exempts de règles (respect de la propriété, possibilité d’une information parfaite, libre entrée etsortie, etc.). L’ensemble de ces règles assurent justement le maintien de la concurrence entre les participantsau marché. À la question : « que doit-on attendre d’une telle confrontation d’intérêts égoïstes ? », on est tentéde répondre : « le chaos, l’anarchie ... ». Or, il n’en est rien. Tout d’abord, rien ne s’oppose à ce que s’instaurespontanément un équilibre11 des marchés. Et des marchés équilibrés ne correspondent pas à l’idée qu’on se faitdu chaos ou de l’anarchie. Mais cet équilibre spontané peut-il être encore amélioré ? C’est ici qu’entre en jeu lepremier théorème de l’économie du bien-être : partant de l’équilibre, il n’existe aucun moyen d’améliorer lasituation d’aucune personne sans aussitôt en léser une autre. Bref, l’équilibre général compétitif semble doué detoutes les vertus : respectueux de la liberté des agents (dans le cadre de la concurrence), il assure une certainecohérence globale (équilibre des marchés) et le résultat — obtenu spontanément — est optimal au sens dePareto !Adam Smith avec sa fameuse main invisible avait déjà noté l’étonnante convergence de la poursuite de l’intérêtindividuel et de l’intérêt de la société :

« À la vérité, son intention, en général n’est pas en cela de servir l’intérêt public, et il ne sait mêmepas jusqu’à quel point il peut être utile à la société. En préférant le succès de l’économie nationale àcelui de l’industrie étrangère, il ne pense qu’à se donner personnellement une plus grande sûreté ;et en dirigeant cette industrie de manière à ce que son produit ait le plus de valeur possible, il nepense qu’à son propre gain ; en cela, comme dans beaucoup d’autres cas, il est conduit par unemain invisible à remplir une fin qui n’entre nullement dans ses intentions ; et ce n’est pas toujoursce qu’il y a de plus mal pour la société, que cette fin n’entre pour rien dans ses intentions. Tous encherchant son intérêt personnel, il travaille souvent d’une manière bien plus efficace pour l’intérêtde la société, que s’il avait réellement pour but d’y travailler. Je n’ai jamais vu que ceux qui aspiraient,dans leurs entreprises de commerce, à travailler pour le bien général, aient fait beaucoup de bonneschoses. Il est vrai que cette belle passion n’est pas très commune parmi les marchands, et qu’il nefaudrait pas de longs discours pour les en guérir ». (A. Smith, Enquête sur la nature et les causes de larichesse des nations, liv. IV, chap. II)

Pour démontrer le premier théorème de l’économie du bien-être, nous allons nous placer dans le cadre simplifi-cateur d’une économie d’échange à deux biens et deux agents12. La démonstration repose sur un raisonnementpar l’absurde : nous allons supposer qu’un équilibre général walrassien n’est pas un optimum au sens de Paretoet montrer que cette hypothèse conduit à une conclusion absurde et intenable.

Théorème 5 (premier théorème de l’économie du bien-être). Tout équilibre général walrassien est optimal ausens de Pareto. ä

10. Cela reviendrait par exemple à prétendre que le médaillé d’argent du 100 mètres est « moins bon » que le médaillé d’or en haltérophilie.11. C.-à-d., l’équilibre n’est pas le résultat d’une volonté organisatrice consciente.12. La généralisation au cas de I biens et H agents est immédiate ... avec des notations plus complexes.


Démonstration. Soit W = ((xw

11, xw21), (xw

12, xw22)

)un équilibre walrassien. On suppose qu’il n’est pas optimal au

sens de Pareto. Cela veut dire qu’il existe un état réalisable P = ((xp

11, xp21), (xp

12, xp22)

)préférable au sens de Pareto

à W . Ce qui signifie que ∀h, Uh(xp1h , xp

2h) ≥Uh(xw1h , xw

2h) et ∃h, Uh(xp1h , xp

2h) >Uh(xw1h , xw

2h).Nous allons supposer que

U1(xp11, xp

21) >U1(xw11, xw

21), (5.1)

U2(xp12, xp

22) ≥U2(xw12, xw

22). (5.2)

Il convient de noter que W est un équilibre général walrassien ; cela signifie que les marchés sont équilibréspour un certain vecteur de prix p = (p1, p2). En l’absence de saturation (locale) des besoins, on sait aussi quel’équilibre de chaque agent se trouve sur sa droite de budget.Demandons-nous maintenant pourquoi l’individu 1 n’a pas — à l’équilibre — acheté le panier (xp

11, xp21) qu’il

préférait pourtant au panier (xw11, xw

21). La réponse est simple : il ne l’a pas acheté parce qu’il ne pouvait pasl’acheter. C’est à dire

p1 xp11 +p2 xp

21 > p1 xw11 +p2 xw

21. (5.3)

En effet, le panier d’équilibre maximise l’utilité du consommateur 1. Cela veut dire que pour tout panier (x11, x21)appartenant à son ensemble de budget B1(p), U (xw

11, xw21) ≥U (x11, x21). En prenant la double négation de cette

proposition, on peut aussi écrire ¬(∃(x11, x21) ∈ Bh(p) |U (x11, x21) >U (xw11, xw

21)). Ce qui revient à dire que si

U (x11, x21) >U (xw11, xw

21) alors (x11, x21) ∉ Bh(p). Pour l’individu 2, les choses sont un peu plus compliquées. Soitle panier (xp

12, xp22) était strictement préféré au panier (xw

12, xw22) et dans ce cas, il n’a pas été acheté parce qu’il

coûtait trop cher, soit il était jugé équivalent et dans ce cas l’individu 2 pouvait peut-être l’acheter mais il ne l’a— en définitive — pas fait. On a alors

p1 xp12 +p2 xp

22 ≥ p1 xw12 +p2 xw

22. (5.4)

Si on additionne ces deux inégalités, il vient

p1 (xp11 +xp

12)+p2 (xp21 +xp

22) > p1 (xw11 +xw

12)+p2 (xw21 +xw

22). (5.5)

Or, en l’absence de saturation des besoins, W et P sont des allocations réalisables totales de cette économie. Parconséquent, l’équation 5.5 devient

p1 x1 +p2 x2 > p1 x1 +p2 x2, (5.6)

ce qui est évidemment la contradiction recherchée. ■

5.1.6 Le second théorème de l’économie du bien-être

Nous allons encore nous placer dans le cas simple d’une économie d’échange à deux biens et deux agents car cethéorème est assez délicat à démontrer dans le cas général d’une économie de production. Si la démonstrationest facilitée dans une telle économie élémentaire, son principe reste le même : tout repose sur un « théorème deséparation des ensembles convexes ». L’idée générale du théorème peut être illustrée de la façon suivante : si ontrace deux ensembles convexes et disjoints dans un plan, alors il existe nécessairement une droite séparant cesdeux ensembles. La partie (a) du graphique 5.5 montre deux ensembles convexes disjoints séparés par une droite.Un examen de la partie (b) du même graphique montre qu’aucune droite ne peut séparer ces deux ensembles.

a b

Fig. 5.5 – Séparation d’ensembles convexes


Définition 33 (séparation des ensembles convexes). Soient deux ensembles non vides X et Y de RN et unhyperplan H = {(x1, x2, ..., xN ) ∈Rn | p1x1 + ...+pN xN = r }. On dit que X et Y sont séparés par H si

p1x1 + ...+pN xN ≤ r ∀(x1, x2, ..., xN ) ∈ X

p1x1 + ...+pN xN ≥ r ∀(x1, x2, ..., xN ) ∈ Y

On dit qu’ils sont strictement séparés si les inégalités ci-dessus sont strictes. N

Théorème 6 (second théorème de l’économie du bien-être). Soit une économie d’échange pur où les préfé-rences des individus sont continues, convexes et localement non saturées. Alors, toute allocation optimale ausens de Pareto est le support d’un équilibre général walrassien pour le vecteur de prix p si, à l’optimum, chaqueindividu dispose au prix p d’un panier de consommation moins cher que le panier optimal13. ä

Voyons dans un premier ce que nous désirons démontrer. On suppose qu’un panier de biens est optimal au sensde Pareto, par exemple le point Q dans le graphique 5.6. On veut montrer que Q est aussi un équilibre généralwalrassien. On voit que les deux volets du graphique 5.6 ne diffèrent que par une « droite tangente » aux courbesd’indifférence des deux individus. Bref, on cherche à montrer qu’une telle tangente peut toujours être construiteà partir d’un point optimal.

Q Q

p . x = rh

Optimum de Pareto Équilibre général walrassien

Fig. 5.6 – Le second théorème de l’économie du bien-être

Démonstration. Nous allons démontrer ce théorème dans le cadre simplifié d’une économie d’échange àdeux biens et deux agents. On appelle x = (xi=1, xi=2) le vecteur des dotations initiales de cette économie enbiens 1 et 2. On note %h les préférences de l’individu h. Soit xh = (x1h , x2h) les quantités de biens 1 et 2 dontdispose l’individu h. On notera (x?h=1,x?h=2) = (x?11, x?21, x?12, x?22) une allocation optimale au sens de pareto decette économie. Considérons dans un premier temps l’ensembles des paniers de biens strictement préférés parchaque individu à celui dont il dispose à l’optimum. On note Vh ces ensembles

Vh = {xh = (x1h , x2h) ∈R2

+ | xh Âh x?h}.

Soit

V =2∑

h=1Vh = {

x ∈R2+ | x =∑

hxh , xh ∈Vh

}.

V est l’ensemble des paniers de biens pouvant être décomposés en paniers individuels strictement préférés parleurs bénéficiaires au panier optimal qu’ils ont reçu.On montre facilement que les ensembles Vh sont convexes. Supposons que xh Âh x?h et que x′h Âh x?h . Soit α telque 0 ≤α≤ 1. Puisque les préférences sont complètes, on a soit xh Âh x′h soit x′h Âh xh . Nous allons supposer quexh Âh x′h . Puisque les préférences sont convexes, on sait que αxh + (1−α)x′h %h x′h . Or, on a posé que x′h Âh x?h .Par conséquent, par transitivité, il vient αxh + (1−α)x′h %h x?h .

13. Ce qui revient à dire qu’à l’optimum et pour le vecteur prix p, la richesse de chaque individu n’est pas nulle. Cette hypothèse est faiteparce que sans elle, dans certaines configurations très particulières et assez « perverses », l’optimum ne conduit pas à un équilibre général.


La somme de deux ensembles convexes étant convexe, on en déduit que l’ensemble V est lui-même convexe.On considère maintenant l’ensemble Y de toutes les allocations contenant au moins autant de biens quel’allocation optimale (x?11, x?21, x?12, x?22)

Yh = {xh = (x1h , x2h) ∈R2

+ | ∀i , xi h ≤ x?i h

},

et

Y = {x ∈R2

+ | x =∑h

xh}.

Yh est évidemment convexe et Y est convexe en tant que somme de deux ensembles convexes. Le graphique5.7 illustre ces deux ensembles. On notera que V n’inclut pas la frontière en pointillé. De son côté, Y inclutl’optimum Q.

Q

V

Y

x1

x2

Q

V

Y

x1

x2

p . x = r

a

b

Fig. 5.7 – Une représentation des ensembles V et Y

On montre sans difficulté que V ∩Y =;. En effet, supposons qu’il existe un vecteur appartenant à la fois à Vet Y . Cela signifie alors qu’il existe un vecteur « réalisable à partir de (x?11, x?21, x?12, x?22) » qui lui est strictementpréférable au sens de Pareto. Or, c’est impossible par la définition même d’un vecteur optimal au sens de Pareto.Le théorème de séparation des ensembles convexes s’applique donc : il existe un vecteur p = (p1, p2) 6= 0 et unnombre r tel que ∀x ∈V , p.x ≥ r et ∀x ∈ Y , p.x ≤ r .

On peut alors montrer que si ∀h, xh % x?h alors p.(∑

h xh) ≥ r . Supposons en effet que ∀h, xh % x?h . L’hypothèsed’absence de saturation locale fait qu’il existe pour chaque individu h un panier xh voisin de xh tel que xh Âh xh .Par conséquent, xh ∈ Vh et

∑h xh ∈ V . Il s’ensuit que p.(

∑h xh) ≥ r . En passant à la limite, on a p.(

∑h xh) ≥ r

lorsque xh → xh . Cette propriété peut être vérifiée avec les points a et b du graphique 5.7.

On montre maintenant que p.(∑

h x?h ) = p.x = r . En prenant x?h % x?h on voit que p.(∑

h x?h ) ≥ r 14. On sait parailleurs que

∑h x?h = x ∈ Y . Par conséquent, p.(

∑h x?h ) ≤ r . Donc, p.(

∑h x?h ) = r . Étant donné que

∑h x?h = x on en

déduit également que p.x = r .

Plaçons-nous maintenant au niveau des individus h. On veut montrer que ∀h, xh Âh x?h =⇒ p.xh ≥ p.x?h . Soit eneffet xh Âh x?h . On en déduit que p.(xh +∑

k 6=h x?k ) ≥ r = p.(x?h +∑k 6=h x?k ). Ceci prouve que p.xh ≥ p.x?h .

Ce résultat est insuffisant car nous voulons montrer que ∀h, xh Âh x?h =⇒ p.xh > p.x?h .

C’est ici que nous allons nous servir de l’hypothèse d’un panier de consommation « moins cher », c.-à-d.∀h, ∃x ′

h ∈ Xh vérifiant p.x′h < p.x?h .Supposons qu’il existe un panier possible xh Âh x?h tel que p.xh = p.x?h . L’hypothèse du panier moins cher nouspermet d’affirmer que ∀h, ∃x′h ∈ Xh vérifiant p.x′h < p.x?h . Dans ces conditions, ∀α ∈ [0 1[, αx′h + (1−α)xh ∈Xh et p.(αx′h +(1−α)xh) < p.x?h . Faisons tendreα vers un ; la continuité de %h entraîne queαx′h +(1−α)xh Â x?h .

14. Ce résultat est la conséquence de l’étape précédente : il suffit de poser x?h = xh et la conclusion est immédiate.


Or, nous avons montré précédemment que ∀h, xh Âh x?h =⇒ p.xh ≥ p.x?h . Il est donc impossible qu’on aitsimultanément αx′h + (1−α)xh Â x?h et p.(αx′h + (1−α)xh) < p.x?h .Nous avons donc bien montré que ∀h, xh Âh x?h =⇒ p.xh > p.x?h .L’optimum de Pareto est bien le support d’un équilibre où chaque consommateur h maximise son utilité. ■

Extrait de J. Quirk et R. Saposnik, Théorie de l’équilibre général et économie du bien-être, PUF, Paris, 1974, p. 134et sq.L’idée que le mécanisme concurrentiel possède certaines caractéristiques « désirables » par rapport aux autresméthodes d’organisation de la production et de la répartition des biens et services est présente dans la plupart desécrits des économistes classiques et néo-classiques. Cependant, l’étude comparée des systèmes économiquesn’a été formulée de façon rigoureuse que récemment ; aussi, il reste beaucoup de problèmes non résolus dansce domaine. En ce qui concerne le système concurrentiel, les travaux faits dans les années 1930 par Lerner etLange, parmi d’autres, ont conduit à l’étude novatrice d’Arrow au début des années 1950. Bien que plusieursextensions importantes du travail d’Arrow aient été publiées depuis, les notions essentielles sont présentes dansson article original et nous suivrons l’argumentation de cet article dans la plus grande partie de ce paragraphe15.Considérons un mécanisme quelconque d’organisation de la production et de la répartition des biens et services,comme le mécanisme concurrentiel, les contrôles centralisés, etc. Avec Hurwicz, nous dirons qu’un mécanismeest satisfaisant au sens de Pareto s’il vérifie les propriétés suivantes16 :

1. Toute position d’équilibre du mécanisme est un état de l’économie optimal au sens de Pareto.

2. Quel que soit l’état optimal de l’économie, il existe un choix approprié des paramètres tel que cet étatapparaisse comme une position d’équilibre du mécanisme.

L’article d’Arrow du Berkeley Symposium démontre, sous des hypothèses assez larges, que le mécanisme concur-rentiel est un mécanisme satisfaisant au sens de Pareto et qu’à tout état de l’économie optimal au sens dePareto on peut associer un ensemble de ressources initiales pour les consommateurs et un vecteur prix tels quel’économie concurrentielle correspondante soit à l’équilibre dans cet état optimal. (Hurwicz qualifie la propriété1 de propriété d’« efficience » et la propriété 2 de propriété d’ « absence de biais ». L’ « efficience » n’a pas ici lasignification que lui donne Koopmans (voir paragraphe précédent).)La démonstration d’Arrow de la nature satisfaisante au sens de Pareto du mécanisme concurrentiel est parfoisrésumée sommairement dans les formules « tout équilibre concurrentiel est optimal au sens de Pareto » et « touteposition optimale au sens de Pareto est un équilibre concurrentiel », mais la seconde de ces formules est quelquepeu trompeuse, comme le montre la lecture du paragraphe précédent. Il est possible dans un monde contenantdes structures monopolistiques d’atteindre des états optimaux au sens de Pareto – le mécanisme concurrentieln’est pas la seule méthode qui puisse conduire à de tels états.Hurwicz a illustré ainsi cette remarque : soit trois individus M. A, M. B et M. C ; M. A a deux montres, M. B a20 francs et M. C 5 centimes. Supposons qu’ils sont égoïstes, que M. A préfère l’argent aux montres, que M. Bpréfère une montre plutôt que 20 francs et que M. C préfère une montre plutôt que 5 centimes. Si le marché desmontres fonctionne de façon concurrentielle, avec apparition d’un prix sur le marché et égalité de l’offre et de lademande, le prix est de 5 centimes par montre ; après les transactions, M. A a 10 centimes, M. B une montre et19,95 francs et M. C une montre. Il est facile de vérifier que cette position d’équilibre constitue un état optimalau sens de Pareto. Supposons maintenant que M. A est un monopoleur parfaitement discriminant. La positiond’équilibre est telle que M. A fait payer 20 francs la montre à M. B et 5 centimes à M. C . L’état obtenu est encoreoptimal au sens de Pareto, puisque M. A ne fait qu’éliminer tout le « surplus du consommateur » du marché. Lemonopole à discrimination parfaite conduit donc ici à un état optimal au sens de Pareto.La propriété d’absence de biais des mécanismes satisfaisants au sens de Pareto (propriété 2 ci-dessus) assure quetout état optimal au sens de Pareto peut être « atteint » par le mécanisme. On voit que le mécanisme concurrentielsatisfait cette propriété dans l’exemple ci-dessus pour la position d’équilibre du monopole à discrimination

15. Kenneth J. ARROW, « An Extension of the Basic Theorems of Classical Welfare Economics », in J. NEYMAN (ed.), Proceedings of theSecond Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Berkeley, University of California Press, 1951, p. 507-532. Desextensions des résultats d’Arrow sont présentées dans Kenneth J. ARROW et Gérard DEBREU, « Existence of an Equilibrium for a CompetitiveEconomy », Econometrica, vol. 22, 1954, p. 265-290 ; Gérard DEBREU, « Valuation Equilibrium and Pareto Optimum », Proceedings of theNational Academy of Sciences of the U.S.A., vol. 40, 1954, p. 588-592 ; David GALE, « The Law of Supply and Demand », MathematicaScandinavia, vol. 3, 1955, P. 155-169 ; et Gérard DEBREU, Theory of Value, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1959 (trad. franç. : Théorie de lavaleur, Paris, Dunod, 1966).

16. Leonid HURWICZ, « Optimality and Informational Efficiency in Resource Allocation Processes », Mathematical Methods in the SocialSciences, 1959, Stanford, Stanford University Press, 1960. Hurwicz ajoute la condition « à valeur essentiellement unique », qui demande que,pour des valeurs données des paramètres, si l’équilibre n’est pas unique, toutes les positions d’équilibre doivent être indifférentes au sens dePareto. Cette condition ne sera pas nécessaire dans notre discussion.

5.2. LES CONDITIONS « MARGINALES » D’UN OPTIMUM 63

parfaite, en redistribuant les avoirs initiaux de façon que M. A soit en possession de 20,05 francs, M. B d’unemontre et M. C d’une montre. Il n’y aura alors aucun échange, quels que soient les prix ; en outre, pour tout prixde la montre inférieur ou égal à 5 centimes, nous sommes en présence d’un équilibre concurrentiel pour cesavoirs initiaux.

5.2 Les conditions « marginales » d’un optimum

Nous avons vu précédemment (page 57) que les optima au sens de Pareto étaient situés sur la frontière desutilités et, dans un diagramme emboîté d’Edgeworth, au « point de tangence des courbes d’indifférence desdeux individus ». Nous allons exploiter cette dernière remarque et déterminer ce qu’on appelle les conditionsmarginales d’un optimum.Plaçons-nous une fois de plus dans le cadre simple d’une économie sans production à deux biens et deuxagents et montrons qu’un optimum se trouve effectivement au point de tangence des courbes d’indifférencedes deux individus. On sait qu’une allocation optimale est telle qu’il est impossible d’améliorer l’utilité d’undes deux individus sans détériorer ipso facto celle de l’autre. Nous allons mettre à profit cette idée. Supposonsqu’on fixe le niveau d’utilité d’un individu en examinant toutes les allocations qui respectent ce niveau d’utilité.Dans le graphique 5.8, on a bloqué le niveau d’utilité du second individu à 15. On examine, du point de vue

a

b

c

d

e

10

20

30

15

individu 1

individu 2

Fig. 5.8 – Recherche d’un optimum

de l’optimalité, les points a, b, c, d , e. Ce procédé est intéressant car en comparant ces points, on sait qu’ilest inutile de se préoccuper du niveau d’utilité du second individu qui — par construction — ne peut pas sedétériorer. Donc, on porte toute son attention sur le seul niveau d’utilité atteint par le premier individu.Le point a ne peut pas être optimal puisqu’au point b on améliore l’utilité du premier sans détériorer (parconstruction) le niveau d’utilité du second. Mais ce n’est pas parce que le point b a éliminé le candidat a qu’il estoptimal. En effet, on voit qu’au point c l’utilité du premier s’améliore une nouvelle fois sans qu’on ait détériorél’utilité du second. Le point b ne peut donc pas non plus être optimal. Si on continue sur notre lancée, on voitque désormais l’utilité du premier individu va se détériorer : les points d et e ne peuvent pas être optimaux. Ilnous reste donc un candidat — le point c — qui est situé au point de tangence des courbes d’indifférence u1 = 30et u2 = 15. On peut traduire cela sous une forme plus « mathématique » en disant qu’au point c, on a :

– une allocation17 ;

– l’égalité des taux marginaux de substitution des deux individus.

c.-à-d. ∣∣∣∣∣∂u1()∂x11

∂u1()∂x21

∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∂u2()∂x12

∂u2()∂x22

∣∣∣∣∣ (5.7)

Ce type de résultat — où on retrouve les concepts clés de l’analyse marginaliste — s’appelle des conditionsmarginales d’un optimum.Au stade où nous en sommes, nous ne pouvons généraliser ce résultat. En effet, pour des courbes d’indifférencequelconque, l’égalisation des taux marginaux de substitution n’est une condition ni nécessaire, ni suffisante d’unoptimum.

17. N’oublions pas que deux courbes tangentes ont i) un point commun et ii) des pentes identiques. En disant que c est une allocation, ons’assure du respect de la condition i).


Exercice 3. Essayer de représenter graphiquement des économies où les préférences sont telles que la conditiond’égalisation des taux marginaux de substitution est prise en défaut. ♣

Nous n’avons pas fini d’exploiter les mérites de cette petite présentation. On remarque que pour trouver le pointc, on savait qu’il n’était pas nécessaire de se préoccuper du niveau d’utilité du second individu. En passantde a à b, puis de b à c, on a vu le niveau d’utilité du premier individu croître. Passé le point c, il décroissait.Réfléchissons un instant, lorsqu’une grandeur croît puis décroît, il y a de fortes chances pour qu’elle passe parun maximum. Finalement, on s’aperçoit que pour obtenir le point c, nous avons maximisé l’utilité du premierindividu en fixant la contrainte suivante : le niveau d’utilité du second individu doit rester égal à 15. Bref, nousavons fait quelque chose qui ressemble étrangement à une maximisation sous contrainte !Notre procédure nous a permis de trouver un et un seul optimum au sens de Pareto. Pour trouver les autresoptima, il suffit de faire le même raisonnement en choisissant différents niveaux d’utilité pour le secondindividu. En généralisant, on conçoit qu’il suffit de fixer le niveau d’utilité du second individu à un niveauquelconque u2 = u?2 et de maximiser l’utilité du premier sous cette contrainte pour trouver une conditiongénérale d’optimalité18.

Proposition 6 (conditions marginales). On suppose que les préférences des individus — définies sur R2+ — sontreprésentées par des fonctions d’utilité deux fois continûment différentiables et telles que les dérivées partiellespar rapport à chacune des variables sont partout strictement positives. Soit

((x11, x21), (x12, x22)

)une allocation

optimale au sens de Pareto.Alors elle est solution du programme de maximisation suivant

maxu1(x11, x21)

sc : u2(x12, x22) ≥ u?2

sc :2∑

h=1xi h ≤ xi ∀i

sc : xi h ≥ 0 ∀i ,∀h ä

On généralise facilement cette proposition à une économie simple à I biens et H individus.

Proposition 7 (généralisation). On suppose que les préférences des individus — définies sur RI+ — sont repré-sentées par des fonctions d’utilité deux fois continûment différentiables et telles que les dérivées partielles parrapport à chacune des variables sont partout strictement positives. Soit

((x11, x21, . . . , xI 1), . . . , (x1H , x2H , . . . , xI H )

)une allocation optimale au sens de Pareto.Alors elle est solution du programme de maximisation suivant

maxu1(x11, x21, . . . , xI 1)

sc : uh(x1h , x2h , . . . , xI h) ≥ u?h ∀h = 2, . . . , H

sc :H∑

h=1xi h ≤ xi ∀i = 1. . . , I

sc : xi h ≥ 0 ∀i = 1. . . , I , ∀h = 1, . . . , H ä

Examinons les conditions marginales dans le cas simple (la généralisation est immédiate). On écrit le lagrangiendu système

L(. . .) = u1(x11, x21)+λ1(u2(x12, x22)−u?2 )+λ2(x1 −x11 −x12)+λ3(x2 −x21 −x22)

+λ4x11 +λ5x21 +λ6x12 +λ7x22 (5.8)

Toute solution, si elle est optimale, vérifie le système19

18. En effet, la condition qu’on obtient étant valable pour n’importe quel u2, elle est bien « générale ».19. La notation « cs » signifie complementary slackness. On a pour le couple (contrainte, multiplicateur) soit (> 0,= 0) soit (= 0,≥ 0).

5.3. LES CONDITIONS MARGINALES D’UNE ÉCONOMIE AVEC PRODUCTION 65

∂u1()

∂x11−λ2 +λ4 = 0 (5.9)

λ1∂u2()

∂x12−λ2 +λ6 = 0 (5.10)

∂u1()

∂x21−λ3 +λ5 = 0 (5.11)

λ1∂u2()

∂x22−λ3 +λ7 = 0 (5.12)

u2(x12, x22)−u?2 ≥ 0 λ1 ≥ 0 avec cs (5.13)

x1 −x11 −x12 ≥ 0 λ2 ≥ 0 avec cs (5.14)

x2 −x21 −x22 ≥ 0 λ3 ≥ 0 avec cs (5.15)

xi h ≥ 0 λk ≥ 0 (k = 4, ...,7) avec cs (5.16)

Si on admet que la solution est intérieure au diagramme emboîté d’Edgeworth (les xi h sont strictement positifs),que les contraintes sont saturées et que les dérivées partielles des fonctions d’utilité ne sont pas nulles20, lesystème précédent conduit à la condition annoncée à la page 63∣∣∣∣∣

∂u1()∂x11

∂u1()∂x21

∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∂u2()∂x12

∂u2()∂x22

∣∣∣∣∣ . (5.17)

La généralisation est immédiate21. Dans une économie sans production à I biens et H agents, la conditiondevient ∣∣∣∣∣∣

∂uh ()∂xi h

∂uh ()∂xi ′h

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∂uh′ ()∂xi h′∂uh′ ()∂xi ′h′

∣∣∣∣∣∣ ∀i , i ′, h, h′. (5.18)

C’est pourquoi, on peut énoncer :

Proposition 8 (règle pratique). Étant données les hypothèses faites précédemment, si une allocation est optimaleau sens de Pareto alors les taux marginaux de substitution des consommateurs pour chaque couple de bienss’égalisent ä

5.3 Les conditions marginales d’une économie avec production

Dans cette section, nous allons introduire la production comme nous l’avons fait dans le cadre de la théorie del’équilibre général (voir page 38). Nous utiliserons en particulier la définition de la page 40.Nous allons supposer qu’il existe des unités de production d’indice j en nombre J ( j = 1, . . . , J). Comme précé-demment, il existe des ressources non produites xi auxquelles désormais s’ajoutent les outputs nets des unitésde production : yi j

22.En ce qui concerne les consommateurs, nous allons reprendre les hypothèses faites dans la section précédente(voir page 63).Dans ces conditions, la recherche des conditions marginales d’un optimum est faite de la même façon queprécédemment. On maximise l’utilité d’un consommateur (par exemple, le premier) :

– en fixant le niveau d’utilité des autres consommateurs (h = 2, . . . , I ) ;

– en s’assurant que le cumul des dotations individuelles en chaque bien n’excèdent pas les ressourcesproduites et non produites de ce bien ;

20. Bref, dans les cas non pathologiques !21. À titre d’exercice, écrivez le programme de maximisation correspondant et les équations que vérifie la solution.22. Vous noterez le changement de notation par rapport au chapitre 4. En effet, si on note xi j l’output net des entreprises, il est

presqu’impossible de le différencier des dotations des individus xi h . Il est difficile — hors de tout contexte — de savoir si x54 se rapporte àun ménage ou à une unité de production. L’utilisation de y lève les ambiguïtés. Mais il faut se souvenir que x1• désigne le même bien quey1• !


– en veillant à ce que les ressources produites soient techniquement réalisables.

Proposition 9. Si un vecteur((x11, . . . , xI 1), . . . ,(x1H , . . . , xI H ),(y11, . . . , yI 1), . . . ,(y1J , . . . , yI J )

)est un optimum de

Pareto, alors il est solution du programme

maxu1(x11, x21, . . . , xI 1)

sc : uh(x1h , x2h , . . . , xI h) ≥ u?h ∀h = 2, . . . , H

sc :H∑

h=1xi h ≤ xi +

J∑j=1

yi j ∀i = 1. . . , I

sc : F j (y1 j , . . . , yI j ) ≤ 0 ∀ j = 1, . . . , J

sc : xi h ≥ 0

{∀i = 1, . . . , I

∀h = 1, . . . , Hä

Le lagrangien du système s’écrit

L(. . .) = u1(x11, . . . , xI 1)+H∑

h=2λh(uh(x1h , . . . , xI h)−u?h )−

J∑j=1

α j F j (y1 j , . . . , yI j )

+I∑

i=1βi (xi +

J∑j=1

yi j −H∑

h=1xi h)+

I∑i=1

H∑h=1

γi h xi h (5.19)

Si un vecteur est optimal, alors il vérifie

∂u1()

∂xi 1−βi +γi 1 = 0 ∀i = 1, . . . , I (5.20)

λh∂uh()

∂xi h−βi +γi h = 0

{∀i = 1, . . . , I

∀h = 2, . . . , H(5.21)

βi −α j∂F j ()

∂yi j= 0 ∀ j = 1, . . . , J (5.22)

uh(x1h , xI h)−u?h ≥ 0 λh ≥ 0 ∀h = 2, . . . , H (5.23)

−F j (y1 j , . . . , yI j ) ≥ 0 α j ≥ 0 ∀ j = 1, . . . , J (5.24)

βi (xi +J∑

j=1yi j −

H∑h=1

xi h) ≥ 0 βi ≥ 0

{∀i = 1, . . . , I

∀h = 1, . . . , H(5.25)

xi h ≥ 0 γi h ≥ 0

{∀i = 1, . . . , I

∀h = 1, . . . , H(5.26)

Si on admet que les contraintes sont saturées, que les xi h sont strictement positifs (ce qui implique que lesγi h sont nuls) et que les différentes dérivées partielles ne s’annulent pas, alors les conditions marginales d’unoptimum se résument à :

conditions portant sur les ménages Considérons les équations 5.20. En faisant le rapport de deux d’entreelles, on obtient

∀i , i ′∂u1()∂xi 1

∂u1()∂xi ′1

= βi

βi ′(5.27)

En procédant de la même façon avec les équations 5.21, on obtient

∀i , i ′ ∀h = 2, . . . , H

∂uh ()∂xi 1

∂uh ()∂xi ′1

= βi

βi ′(5.28)


Puisque le rapport βiβi ′

est commun au premier individu et aux autres, on en déduit que

∀i , i ′ ∀h,h′∂uh ()∂xi h

∂uh ()∂xi ′h

=∂uh′ ()∂xi h′∂uh ()∂xi ′h′

(5.29)

On peut énoncer :

Proposition 10. Étant données les hypothèses faites précédemment, si une allocation est optimale au sens dePareto alors les taux marginaux de substitution des consommateurs pour chaque couple de biens s’égalisent ä

conditions portant sur les unités de production On procède de la même façon avec les équations 5.22. Cequi donne

∀i , i ′ ∀ j

∂F j ()∂yi j

∂F j ()∂yi ′ j

= βi

βi ′. (5.30)

Les rapports βiβi ′

étant communs aux différentes unités de production, on en déduit que

∀i , i ′ ∀ j , j ′∂F j ()∂yi j

∂F j ()∂yi ′ j

=∂F j ′ ()

∂yi j ′∂F j ′ ()

∂yi ′ j ′

. (5.31)

Le rapport des dérivées partielles des fonctions de production Fh() = 0 s’appelle de façon générique l’efficacitérelative des outputs nets utilisés par l’entreprise. Selon que i et i ′ sont des outputs nets positifs (outputs) ounégatifs (inputs), cette appellation générique est plus spécifique : taux de transformation des produits, taux desubstitution technique etc. (sur ce point, se reporter à l’annexe B). Quoi qu’il en soit, on retiendra la propositionsuivante :

Proposition 11. Étant données les hypothèses faites précédemment, si une allocation est optimale au sens dePareto alors l’efficacité relative de chaque couple d’outputs nets s’égalise entre les unités de production. ä

conditions générales Nous avons vu précédemment que

∀i , i ′ ∀h

∂uh ()∂xi 1

∂uh ()∂xi ′1

= βi

βi ′(5.32)

et que

∀i , i ′ ∀ j

∂F j ()∂yi j

∂F j ()∂yi ′ j

= βi

βi ′(5.33)

Puisque le rapport βiβi ′

est commun aux individus et aux unités de production en déduit que

∀i , i ′ ∀ j ,h

∂uh ()∂xi 1

∂uh ()∂xi ′1

=∂F j ()∂yi j

∂F j ()∂yi ′ j

(5.34)

Ce qui nous amène à énoncer la condition générale d’optimalité :

Proposition 12. Étant données les hypothèses faites précédemment, si une allocation est optimale au sens dePareto alors le taux marginal de substitution de chaque individu doit s’égaliser à l’efficacité relative de chaqueentreprise pour chaque couple de biens possible. ä


Exercice 4. La république socialiste de Yogourtie23 compte deux sovkhozes. Leurs fonctions de production (lesinputs sont comptés positivement) s’écrivent

Entreprise 1 x21 + y2

1 −L0,41 K 0,6

1 = 0

Entreprise 2 2x22 + y2

2 −L0,52 K 0,5

2 = 0

Les résultats obtenus par les deux sovkhozes se situant nettement en dessous des objectifs du plan, le camaradeexpert Bouboutovich est chargé d’organiser au mieux la production de x et de y et d’allouer au mieux le travail Let le capital K entre ces deux unités de production.

Première partie Établir l’ensemble des conditions de l’efficacité dans la production (on vous demande d’utili-ser les résultats obtenus dans le cours)

Deuxième partie : la plus grande production possible On suppose que chaque entreprise utilise 10 unités detravail et 10 unités de capital. Lorsque Bouboutovitch interroge les camarades responsables de la production, ilapprend que l’entreprise 1 produit x1 = 0,6 et y1 = 3,105 alors que l’entreprise 2 produit x2 = 0,5 et y2 = 3,08.Il pense que — sans toucher à l’allocation des facteurs de production — il serait déjà possible de réorienter laproduction de façon à obtenir de meilleurs résultats globaux.

1. Montrer que les choix de production des deux entreprises ne sont pas optimaux.

2. Montrer que — partant de la situation initiale — une amélioration parétienne est possible.

3. Bouboutovitch propose la répartition suivante des productions x1 =p

5, y1 =p

5, x2 =√

53 et y2 = 2

√53 .

Est-elle optimale au sens de Pareto ?

4. Représenter cette proposition sur le graphique de la figure 5.9.

Troisième partie : la meilleure répartition des inputs Le camarade Bouboutovitch se demande maintenantsi la répartition des facteurs de production est optimale. Il vient en effet de faire une proposition concernant lesproductions des deux sovkhozes (cf. question 3 ci-dessus). Il reste à vérifier que la répartition actuelle des inputsqui conduit à cette production est la plus efficace.

1. Étant donnée la proposition du camarade expert, la répartition actuelle des facteurs de production est-elleoptimale ?

2. Montrer qu’une amélioration parétienne est possible.

Quatrième partie : optimalité dans la production Le camarade Bouboutovitch travaille toute la nuit et, guidépar la juste pensée créatrice du camarade Lénine, propose dès le matin le programme suivant :

– travail : L1 = 10 et L2 = 10

– capital : K1 = 12 et K2 = 8

– production24 de la première entreprise : x1 = 2,121 et y1 = 2,579

– production de la deuxième entreprise : x2 =? et y2 =?

1. Bouboutovitch a laissé en blanc la production que doit mettre en œuvre la deuxième entreprise. Au fait,quelle est-elle ?

2. Un autre expert aurait-il pu donner une autre solution ? ♣

23. J’ai volontairement situé l’exercice dans une mythique république de l’ex-URSS. La théorie des optima de Pareto ne dit rien desorganisations sociales qui structurent l’économie.

24. Les valeurs indiquées sont arrondies.


0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Fig. 5.9 – Frontières des possibilités de production des deux sovkhozes

Chapitre 6

La stabilité

In the ordinary course of thought andargument, we are constantly assumingthat knowledge of one statement, whilenot proving the truth of the second, yieldsnevertheless some ground for believing it.

John Maynard Keynes

Jusqu’à présent, nous avons montré que sous certaines conditions, il existe un vecteur de prix susceptiblesd’équilibrer simultanément tous les marchés. Mais nous ne savons pas si le fonctionnement du système

économique est tel que cet équilibre s’imposera en définitive. Généralement, on admet qu’il existe des processusinternes qui conduisent l’économie vers l’équilibre. Ce dernier est alors conçu implicitement comme un pointstationnaire d’un processus dynamique et non plus seulement comme la solution d’un délicat problème derésolution d’un système d’équations non-linéaires.Souvent, ces processus internes sont présentés comme « évidents ». C’est le cas de la fameuse « loi de l’offreet de la demande » qui nous dit qu’en cas de déséquilibre, les prix vont baisser si l’offre excède la demande etaugmenter dans le cas contraire. Comme les corrections apportées aux prix vont « dans le bon sens », on conclutgénéralement – sans autre forme de procès – qu’on atteindra forcément « l’équilibre ». Pourtant, au début desannées 1940, Samuelson montra que cette vision des ajustements de marché était beaucoup trop sommaire etque la fameuse loi – sous cette forme rudimentaire – ne permettait pas de prédire à coup sûr la convergence desprix vers l’équilibre. Il conclut en remarquant que les problèmes de stabilité ne pouvaient être étudiés que dansun cadre théorique précisant les équations du mouvement d’un système en déséquilibre.

L’étude de la stabilité d’un équilibre ne peut donc être faite sans établir les lois d’ajustements des variablescaractérisant cet équilibre1.

Historiquement, plusieurs conceptions des lois d’ajustement ont été proposées par les théoriciens de l’équi-libre général. Jusqu’à la fin des années 1950, les chercheurs ont exploré des processus dynamiques de type« tâtonnement2 ». Dans ce type d’ajustement, les prix seuls varient et la production, la consommation et leséchanges ne s’effectuent qu’une fois l’équilibre atteint. Le caractère artificiel de la procédure et la minceur desrésultats obtenus eurent pour effet de renouveler – dès le début des années 1960 – l’approche de la stabilité. Onvit alors fleurir des études portant sur des processus dits de « non tâtonnement », dont les deux plus illustresreprésentants sont les processus « à la Edgeworth » et les processus « à la Hahn ». Mais une fois encore, ces étudescontribuèrent à mettre à jour toute une série de difficultés liées à la production, à la monnaie, aux anticipations,aux délais de réaction et d’ajustement. Ce sont les économistes Frank H. Hahn et Franklin M. Fisher qui, durantles années 1970, s’employèrent à donner des débuts de réponses à ces délicates questions.

L’étude de la stabilité de l’équilibre général est un sujet complexe qui oblige souvent celui qui s’y intéresse às’interroger sur des concepts dont la signification lui semblait acquise. Au début des années 1980, Hahn necachait pas ses doutes quand il écrivait dans l’article Stability de Arrow et Intriligator (1982) :

1. L’étude de la stabilité des prix suppose qu’on établisse les lois d’ajustement des prix.2. On doit ce terme à Walras.

70

6.1. SYSTÈMES DYNAMIQUES : DÉFINITIONS 71

« La conclusion de la synthèse qui va suivre sera celle-ci : des trésors d’intelligence ont été consacréà l’étude des processus par lesquels une économie pourrait atteindre un équilibre. Une partie dece travail (principalement) technique conservera certainement sa valeur dans le futur. Mais l’en-semble du sujet présente un désespérant aspect ad hoc. Il n’y a pas à l’heure actuelle de fondementaxiomatique satisfaisant sur lequel on puisse bâtir une théorie de l’apprentissage, de l’ajustementaux erreurs et des délais temporels qui s’y rapportent. Il se peut qu’une telle théorie soit – de façonpresque intrinsèque – impossible. Sans elle, cette partie du sujet ne peut aspirer à rien de plus qu’àl’étude d’une série d’exemples suggestifs. »

6.1 Systèmes dynamiques : définitions

Nous allons essayer de définir ce qu’on appelle un système dynamique en nous reportant aux ouvrages traitantdu sujet. Ce qui frappe immédiatement, c’est que les notions de « système », de « dynamique » voire de «système dynamique » sont rarement définies. Tout se passe comme si elles étaient intuitivement évidentes. Denombreux ouvrages traitant explicitement de dynamique ne donnent même pas de définition, tant ils sontpressés, semble-t-il, d’aborder le côté technique (mathématique) de la question.La définition la plus simple qu’on puisse trouver est celle de Bergé, Pomeau et Vidal :

« Par système dynamique, il faut entendre tout système, quelle que soit sa nature [...] qui évolue aucours du temps. » Bergé et al. (1988), Avant-propos, p. xi

Alligood, Sauer et York donnent la définition suivante :

« Un système dynamique consiste en un ensemble d’états possibles et d’une règle qui déterminel’état actuel du système en fonction de ses états passés. » Alligood et al. (1997), p. 1

Les internautes passionnés par les systèmes dynamiques donnent la définition suivante, assez proche de laprécédente :

A dynamical system consists of an abstract phase space or state space, whose coordinates describethe dynamical state at any instant; and a dynamical rule which specifies the immediate future trendof all state variables, given only the present values of those same state variables. Mathematically, adynamical system is described by an initial value problem.

L’économiste Paul A. Samuelson définit une théorie dynamique comme :

« une théorie qui détermine l’évolution de toutes les variables dans le temps à partir de conditionsinitiales arbitraires. » Samuelson (1971), volume 2, p. 7.

De façon générale, les systèmes dynamiques sont modélisés à l’aide d’équations différentielles ou d’équationsde récurrence. Une équation de récurrence s’écrit :

xt = f (xt−1, xt−2, . . . , xt−n)

Elle nous dit que l’état du système à la date t dépend des états qu’il présentait aux dates t −1, t −2, ..., t −n. Unsystème dynamique fondé sur des équations de récurrence correspond assez bien à la définition de Alligood,Sauer et York au sens où l’état actuel du système dépend de ses valeurs passées3.Lorsqu’un système dynamique est décrit par une équation différentielle, comme par exemple :

x ′(t ) = f (x(t ))

il est défini par la valeur en un instant de la variable x(t ), par le « taux de variation » x ′(t ) de cette variable en cetinstant et par la relation f () qui les unit. L’évolution de la variable dans le temps est parfaitement déterminée decette façon puisqu’à chaque instant, on connaît l’état du système et l’évolution future immédiate de chacun deses éléments.Le but principal de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement final ou asymp-totique des variables du modèle. Lorsque le processus dynamique est décrit par une équation différentielledont la variable indépendante est le temps, la théorie entend prédire le comportement ultime des solutions del’équation dans un futur lointain (c.-à-d., lorsque t →∞). Il s’agit donc de comprendre – partant d’une situationinitiale – vers quelles valeurs évoluent les variables pertinentes, comment elles le font et à quelle vitesse elles lefont.

3. Il ne faut pas attacher trop d’importance aux termes « actuels » et « passés ». Tout dépend en effet de l’instant où on entend se situer.

72 CHAPITRE 6. LA STABILITÉ

6.2 Points stationnaires et stabilité

Soit une équation différentielle autonome :

x ′ = f (x) f : W →Rn W ⊂Rn (6.1)

On suppose que f est continûment différentiable.

Définition 34 (équilibre). Un point x ∈W est appelé point d’équilibre de 6.1 si f (x) = 0. N

Un point d’équilibre est aussi appelé « état d’équilibre ». En effet, si le système dynamique se situe au point x,cela veut dire qu’il y a toujours été et il y sera toujours.La fonction constante x(t ) = x étant une solution évidente de 6.1, on dit aussi que x est un « point stationnaire ».Enfin, comme x ′ = 0, on dit que x est un zéro ou un point singulier du champ de vecteurs f .Ayant défini les points d’équilibre de 6.1, on peut aborder la notion de stabilité. Intuitivement, on dira qu’unéquilibre est stable si un choc externe au système ne conduit pas les variables qui le caractérisent à s’en écarterde façon irrémédiable. On distingue plusieurs types de stabilité : locale ou globale, simple ou asymptotique.

Définition 35 (stabilité). On dit que x est un équilibre stable de 6.1 si pour tout voisinage U ⊂W de x il existeun voisinage U1 ⊂U de x telle que toute solution x(t ) avec x(0) ∈U1 est définie et dans U pour tout t > 0. N

Définition 36 (stabilité asymptotique). On dit que x est un équilibre asymptotiquement stable de 6.1 si pourtout voisinage U ⊂ W de x il existe un voisinage U1 ⊂U de x telle que toute solution x(t) avec x(0) ∈U1 estdéfinie et dans U pour tout t > 0 et lim

t→∞x(t ) = x N

x

U

U1

(a) stabilité

x

U

U1

(b) stabilité asymptotique

Fig. 6.1 – les types de stabilité

Exemple. Considérons le système dynamique décrit par les équations

x ′ = x −2y (6.2)

y ′ = 5x − y (6.3)

Les solutions sont des ellipses centrées à l’origine (voir graphique 6.2 page ci-contre). Cette dynamique est stable.Ce cas permet de comprendre pourquoi il est nécessaire d’utiliser deux voisinages U et U1 dans la définition dela stabilité. Sur le graphique 6.2, on voit que les solutions restent dans U1 (défini par le grand axe de l’ellipse) siles conditions initiales sont confinées dans U (défini par le petit axe de l’ellipse). �

Définition 37 (stabilité asymptotique globale). On dit que x est un équilibre globalement asymptotiquementstable de 6.1 si x est asymptotiquement stable pour tout x(0) ∈W . N

6.3 Les processus de tâtonnement

L’idée de ce type de processus dynamique remonte à Walras. On suppose l’existence d’un commissaire-priseur(l’incarnation des forces compétitives) qui a un double rôle :

6.3. LES PROCESSUS DE TÂTONNEMENT 73

-4 4

-8

-6

6

8

U

1U

Fig. 6.2 – stabilité, U et U1

– il annonce les prix à tous les échangistes ;

– il recueille et centralise les désirs d’achat et de vente des échangistes.

Le tâtonnement se déroule de la façon suivante :

1. le commissaire-priseur crie un vecteur de prix ;

2. les échangistes calculent leurs demandes nettes à ces prix et les communiquent au commissaire-priseur ;

3. le commissaire-priseur calcule les demandes nettes globales et vérifie – marché par marché – si les plansdes agents sont compatibles :

– s’ils sont compatibles, les échanges réels peuvent avoir lieu ;

– s’ils sont incompatibles, aucun échange n’a lieu et le commissaire-priseur crie un nouveau prix ensuivant une « règle de correction des prix » tenant compte des excès d’offre ou de demande surchaque marché (on retourne alors au point 1 ci-dessus)

La méthode d’ajustement instantané 4 généralement retenue est donnée par le système d’équations différen-tielles :

d pi

d t= ki zi (p1, ..., p I ) i = 1, ..., I (6.4)

zi (.) désigne la fonction de demande nette du bien i et ki est un coefficient permettant de moduler la vitessed’ajustement du prix sur chaque marché5.

Le résultat essentiel – qui fut obtenu à la fin des années 1950 – est que le processus dynamique décrit par 6.4 estglobalement stable si tous les biens sont des substituts bruts.

Ceci nous amène à donner la définition de la substituabilité brute.

Définition 38 (substituabilité brute). Soient deux vecteurs de prix (p ′1, ..., p ′

I ) et (p ′′1 , ..., p ′′

I ). Les demandesnettes globales possèdent la propriété de substituabilité brute si

∀ j(∀i 6= j p ′

i = p ′′i et p ′

j < p ′′j ⇒∀i 6= j zi (p ′

1, ..., p ′I ) < zi (p ′′

1 , ..., p ′′I )

)N

La substituabilité brute est une propriété des demandes nettes globales. Elle signifie que si le prix du bien jaugmente alors que tous les autres prix restent constants alors il y aura une augmentation de la demande nettedes biens dont le prix est resté constant. Intuitivement, si seul le prix du sucre augmente, et si on assiste à uneune baisse de la demande nette de sucre accompagnée d’une augmentation de la demande nette de tous lesautres biens, on dira que « les autres biens se substituent » au sucre.Il existe une seconde définition de la substituabilité brute (dite sous forme différentielle).

4. Proposée à l’origine par P. A. Samuelson. Voir Samuelson (1971)5. Un choix judicieux d’unités de mesure permet de poser ki = 1 sur tous les marchés. Voir Arrow et Hurwicz (1958).


Définition 39 (substituabilité brute (forme différentielle)). Soient des fonctions de demande nette globaleszi (.) dont les dérivées partielles existent et sont continues. On dit que le système possède la propriété desubstituabilité brute si

∀(p1, ..., p I )∂zi (.)

∂p j> 0 ∀i , j i 6= j

N

Exercice 5. Voici un exemple de substituabilité brute donné dans Arrow et Hurwicz (1958).La fonction d’utilité de l’individu h est :

uh(x1h , ..., xI h) =I∑

i=1αi h log xi h (6.5)

avec ∀h, i∑I

i=1αi h = 1 et αi h > 0.

1. Montrer (après les avoir calculées) que les demandes nettes individuelles de l’individu h possèdent lapropriété de substituabilité brute.

2. Montrer que si tous les individus h ont une fonction d’utilité comme (6.5), alors les demandes nettesglobales possèdent cette même propriété. ♣

6.3.1 La stabilité du processus de tâtonnement lorsqu’il y a substituabilité brute dans lecas de trois biens

Cette démonstration se trouve dans Arrow et Hurwicz (1958), dans Takayama (1974) et dans Beavis et Dobbs(1990). On considère une économie compétitive où il n’y a que trois biens. Les demandes nettes sont :

zi (p1, p2, p3) i = 1,2,3 (6.6)

On supposera que les propriétés suivantes sont vérifiées :

(H1) les fonctions de demande nette possèdent la propriété de substituabilité brute ;

(H2) la loi de Walras est vérifiée ;

(H3) les fonctions de demande nette sont homogènes de degré zéro par rapport aux prix ;

(H4) les prix sont strictement positifs ;

(H5) il existe au moins un prix d’équilibre.

Le processus de tâtonnement est décrit par :

d pi

d t= ki zi (p1, p2, p3) ki > 0 i = 1,2,3 (6.7)

L’hypothèse (H3) permet de travailler avec des prix normalisés. On posera donc p3 = 1. De plus, en vertu del’hypothèse (H2), si les deux premiers marchés sont équilibrés, le troisième l’est forcément. Par conséquent, onpeut se contenter d’étudier le tâtonnement sur les deux premiers marchés. Notre problème se réduit donc à :

d pi

d t= ki zi (p1, p2,1) ki > 0 i = 1,2 (6.8)

Pour démontrer que le processus dynamique est stable, nous allons utiliser un diagramme des phases. Il s’agitd’une méthode graphique permettant d’analyser qualitativement un processus dynamique. Elle est particulière-ment utile lorsqu’on ne peut résoudre explicitement un système d’équations différentielles. Il s’agit d’associer àchaque point de l’espace des phases (l’espace des variables des équations différentielles, ici p1 et p2) une indica-tion du sens de déplacement dans le temps de ces variables. Pour construire un tel diagramme, on commencepar représenter ce qu’on appelle les isoclines de la dynamique. On appelle isoclines l’ensemble des couples

(p1, p2) tels que d p1d t = 0 ou d p2

d t = 06.

La première isocline est relative à l’équation d p1d t = k1z1(p1, p2). Il est clair que si d p1

d t = 0, alors l’isocline estl’ensemble des couples (p1, p2) vérifiant k1z1(p1, p2) = 0. On sait que k1 > 0 par conséquent, cette condition seréduit à z1(p1, p2) = 0. Que peut-on dire de cette courbe ?

6. On a donc autant d’isoclines que d’équations différentielles.


En différenciant totalement cette équation, il vient :

∂z1(.)

∂p1d p1 + ∂z1(.)

∂p2d p2 = 0 (6.9)

Et on en déduit que :

d p2

d p1=−

∂z1(.)∂p1

∂z1(.)∂p2

(6.10)

En vertu de (H1), ∂z1(.)∂p1

< 0 et ∂z1(.)∂p2

> 0. Par conséquent, −∂z1(.)∂p1∂z1(.)∂p2

> 0

La première isocline est donc une courbe croissante dans l’espace des phases. On montre de la même façon quela seconde isocline est une courbe croissante :

d p2

d t= 0 ⇒ d p2

d p1=−

∂z2(.)∂p1

∂z2(.)∂p2

> 0 (6.11)

Appliquons le théorème d’Euler à la fonction z1(.) :

p1∂z1(.)

∂p1+p2

∂z1(.)

∂p2+p3

∂z1(.)

∂p3= 0 (6.12)

Puisque ∂z1(.)∂p3

> 0 et p3 = 1, l’équation 6.12 donne :

p1∂z1(.)

∂p1+p2

∂z2(.)

∂p2< 0 (6.13)

Et, par conséquent :

−∂z1(.)∂p1

∂z1(.)∂p2

> p2

p1(6.14)

On montre de la même façon que :

−∂z2(.)∂p1

∂z2(.)∂p2

< p2

p1(6.15)

Les équations 6.14 et 6.15 conduisent à :

0 <−∂z2(.)∂p1

∂z2(.)∂p2

< p2

p1<−

∂z1(.)∂p1

∂z1(.)∂p2

(6.16)

La pente de l’isocline d p1d t = 0 est donc plus forte que celle de l’isocline d p2

d t = 0. Le graphique 6.3a page suivanteest une illustration des deux isoclines.En vertu de l’hypothèse (H5), nous avons supposé qu’il existait au moins un point d’équilibre. Montrons que cetéquilibre est unique. Supposons en effet qu’il existe plus d’un point d’équilibre ; on aurait alors au moins deux

points tels que d p1d t = 0 et d p2

d t = 0. Les isoclines pourraient ressembler à celles de la figure 6.3b page suivante.Or, on voit immédiatement qu’au point a, la relation 6.16 n’est pas vérifiée. Vous vérifierez par vous même qu’ilen irait de même pour trois équilibres ou plus.Il reste à montrer que l’équilibre est globalement stable. Pour ce faire, nous allons indiquer sur le graphique desisoclines le sens de variation des prix dans le temps.Sur le graphique 6.4, nous avons représenté deux points – c et c ′ – de même ordonnée p2. Pour déterminer lesens d’évolution de p1 dans le temps on se place (par exemple) au point c ′. Si c a pour coordonnées (p1, p2),alors c ′ a pour coordonnées (p1 +h, p2) h > 0. On sait qu’on peut écrire :

z1(p1 +h, p2) = z1(p1, p2)+ ∂z1(.)

∂p1h +hε(h) lim

h→0ε(h) = 0 (6.17)


0.6 0.8 1.2 1.4

0.6

0.8

1.2

1.4

(a) les isoclines

a

b

dp /dt=01

dp /dt=02

(b) impossibilité des équilibres multiples

Fig. 6.3 – isoclines et équilibre

Que peut-on dire de z1(.) au point c ′ ?

On sait que z1(p1, p2) = 0 au point c (car c est sur l’isocline d p1(.)d t = 0). On sait par ailleurs que ∂z1(.)

∂p1< 0. Par

conséquent, z1(p1 +h, p2) a le même signe que ∂z1(.)∂p1

h. On a donc au point c ′ :

d p1(.)

d t= k1z1(p1 +h, p2) < 0 (k1 > 0) (6.18)

Le membre gauche de l’égalité nous indique qu’en c ′, le prix p1 « diminue dans le temps ». On indique cettediminution par une flèche horizontale – basée au point c ′ – et orientée vers la gauche. De plus, tous les points

situés à droite de l’isocline d p1(.)d t = 0, sont orientés de la même façon (et en sens inverse à gauche de l’isocline)7.

En effectuant des calculs similaires pour tous les points de l’espace des prix, on obtient le graphique 6.4 de laprésente page qui comprend quatre zones « représentatives » d’évolution des prix. On vérifie alors facilementque la dynamique décrite par les équations 6.7 est graphiquement et asymptotiquement stable.

dp /dt=01

dp /dt=02

c'

p1

p2

c

Fig. 6.4 – sens d’évolution des prix dans le temps

Exercice 6. On se place dans le cadre d’une économie à trois biens et trois agents. Reprenons les fonctionsd’utilité de l’exercice 5 en supposant que les dotations initiales de trois individus sont :

Tab. 6.1 – dotations initiales

x1 x2 x3

Individu 1 10 1 1

Individu 2 1 10 1

Individu 3 1 1 10

7. Vous montrerez par vous-même cette affirmation en vous appuyant sur les propriétés de continuité et de différentiabilité de z1(.).


Les fonctions de demande nette globales sont (en posant p3 = 1) :

z1(p1, p2) = −24

3+ 12

3

( p2 +1

p1

)(6.19)

z2(p1, p2) = −24

3+ 12

3

( p1 +1

p2

)(6.20)

On suppose que la dynamique des prix est du type tâtonnement walrassien. Vous calculerez les isoclines etindiquerez le sens d’évolution des prix dans le temps.On vous donne – pour confirmer votre représentation – une image du champ de vecteurs de la dynamique(avec ki = 1, graphique 6.5a de la présente page) et des solutions du systèmes d’équations différentielles pourquelques valeurs du vecteur prix crié « à l’origine » par le commissaire-priseur (graphique 6.5b de la présentepage). ♣

0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

(a) le champ de vecteurs

0.8 1 1.2 1.4

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

(b) les solutions

Fig. 6.5 – tâtonnement et évolution des prix

Je ne développerai ici pas la démonstration de la stabilité globale dans le cas d’une économie à n biens. Lelecteur curieux et intéressé la trouvera notamment dans Arrow et al. (1959), Negishi (1962), Takayama (1974).

6.3.2 L’instabilité du tâtonnement

Nous venons d’établir que le processus de tâtonnement est stable ... si on admet les hypothèses (H1) à (H5).Mais qu’en est-il lorsqu’on impose des conditions moins contraignantes et plus particulièrement lorsqu’onsupprime l’hypothèse (H1) ? La réponse est simple : le processus de tâtonnement walrassien n’assure pas – defaçon générale – la stabilité globale (asymptotique) de l’équilibre. Dans les années 1960, Scarf Scarf (1960) etGale Gale (1963) ont construit une série d’exemples illustrant cette instabilité.Je vais reprendre ici un exemple donné par Scarf.Plaçons-nous dans une économie à trois biens et trois agents représentatifs. Les fonctions de demande nettesont :

z1(p1, p2, p3) = −p2

p1 +p2+ p3

p3 +p1(6.21)

z2(p1, p2, p3) = −p3

p3 +p2+ p1

p1 +p2(6.22)

z3(p1, p2, p3) = −p1

p3 +p1+ p2

p2 +p3(6.23)

Un calcul élémentaire montre que p1 = p2 = p3 est le seul équilibre possible.La dynamique des prix correspond aux équations 6.8 (avec ki = 1).Montrons tout d’abord que ‖p(t )‖ est constante pour tout t . On différencie ‖p(t )‖2 =∑3

i=1 p2i (t ) par rapport au

temps :d

d t

3∑i=1

p2i (t ) = 2

3∑i=1

pi (t )d pi (t )

d t= 2

3∑i=1

pi zi (.) = 0 (6.24)


La dernière égalité résulte de l’application de la loi de Walras.On en conclut que ‖p(t )‖2 est constante.Montrons maintenant que

∏3i=1 pi (t ) est constant.

d

d t

3∏i=1

pi (t ) = d p1(.)

d tp2p3 + d p2(.)

d tp1p3 + d p3(.)

d tp1p2 = p2p3z1 +p1p3z2 +p1p2z3 = 0 (6.25)

La dernière égalité est obtenue (les calculs sont fastidieux !) en remplaçant les zi par leurs expressions dans 6.21,6.22 et 6.23.Montrons maintenant que le processus dynamique n’est pas globalement stable. Considérons la solutioncorrespondant au vecteur-prix initial (p1(0), p2(0), p3(0)) vérifiant :

p21(0)+p2

2(0)+p23(0) = 3 (6.26)

p1(0)×p2(0)×p3(0) 6= 1 (6.27)

En vertu de 6.24 et 6.25,

∀t ,3∑

i=1p2

i (t ) = 3 et3∏

i=1pi (t ) 6= 1

Puisque∑3

i=1 p2i (t) = 3 le seul équilibre possible des prix est p1 = p2 = p3 = 1. Par conséquent, la solution

vérifiant les conditions initiales 6.26 et 6.27 ne peut converger vers l’équilibre p1 = p2 = p3 = 1. Le graphique6.6 de la présente page est un exemple d’une telle trajectoire des prix dans le temps (avec p3 jouant le rôle dunuméraire).

0.6 0.8 1.2 1.4

0.6

0.8

1.2

1.4

Fig. 6.6 – trajectoire des prix « à la Scarf » (p1(0) =p

62 , p2(0) =

p2

2 et p3(t ) = 1)

Annexe A

Les fonctions implicites

Soit F une application de I ⊂R2 dans R. On l’écrit z = F (x, y).Donnons immédiatement un exemple. L’application F (x, y) = y −10sin(x) a pour représentation graphique :

-4

-2

0

2

4 -4

-2

0

2

4

-10

0

10

-4

-2

0

2

Fig. A.1 – F (x, y) = y −10sin(x) (−4 ≤ x ≤ 4 et −4 ≤ y ≤ 4)

Considérons maintenant l’équation F (x, y) = 0. Ce qui importe désormais est l’ensemble des couples (x, y) quisatisfont cette équation1. Appelons T l’ensemble de tous ces couples,

T = {(x, y) ∈R2 | F (x, y) = 0}.

Remarquons immédiatement pour ceux qui aiment trouver la solution d’une équation que :

– cet ensemble n’est pas forcément réduit à un seul élément ;

– il peut dans certains cas être vide.

Une fonction de R dans R est une relation binaire particulière qui a chaque élément de l’ensemble de départassocie un unique élément de l’ensemble d’arrivée. Une fonction est donc un sous-ensemble G (le graphe de lafonction) très particulier de R×R. Avec l’équation F (x, y) = 0, nous définissons également une relation binaire :xR y ⇔ F (x, y) = 0. T est le graphe de cette relation.Si on reprend l’exemple précédent, T est défini de la façon suivante,

T = {(x, y) ∈R2 | y −10sin(x) = 0

}.

On voit immédiatement que les couples (π,0) ou (π2 ,10) appartiennent à T .Allons un peu plus loin : peut-on décrire l’ensemble des couples (x, y) appartenant à T ? Oui, car il est évidentque y −10sin(x) = 0 peut s’écrire y = 10sin(x). On reconnaît là une fonction sinusoïdale, ce qui veut dire quetoutes les solutions de l’équation y −10sin(x) = 0 dessinent dans le plan une courbe comme celle de la figureA.2.

1. Vous remarquerez que vous faites ce genre de gymnastique depuis la première année. Tracer des courbes d’indifférence revient bien àchercher tous les couples (x1, x2) vérifiant l’équation U =U (x1, x2) pour une valeur donnée de U , c’est à dire, vérifiant U −U (x1, x2) = 0pour une valeur donnée de U .

79

80 ANNEXE A. LES FONCTIONS IMPLICITES

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

Fig. A.2 – y = 10sin(x), (−4 ≤ x ≤ 4)

On constate donc que les solutions de notre équation de départ F (x, y) = 0 peuvent être décrites par uneapplication y = f (x).Il n’y a pas si longtemps, on pouvait lire à chaque passage à niveaux « Attention, un train peut en cacher unautre ! ». J’espère que vous commencez à être convaincu que des équations peuvent cacher des fonctions.

Définition 40 (fonction implicite). Soit z = F (x, y) une application de R2 dans R. Soit T le graphe de la relationbinaire xR y ⇔ F (x, y) = 0. Si T peut être représenté sous la forme d’une application f de R dans R, alors ondit que l’équation F (x, y) = 0 définit implicitement une fonction f de R dans R. La fonction f est appelée unefonction implicite. N

L’exemple que j’ai choisi n’est pas spécialement intéressant. Il est en effet beaucoup trop simple. Dans certainscas, l’équation F (x, y) = 0 est tellement « compliquée » qu’on ne sait pas expliciter la fonction f .Prenons l’exemple suivant (un peu plus compliqué). Soit la fonction

z = x(x2 + y2)−10(x2 − y2)

Graphiquement cette fonction a l’allure suivante :

-4

-2

0

2

4 -4

-2

0

2

4

-200

-100

0

100

-4

-2

0

2

Fig. A.3 – z = x(x2 + y2)−10(x2 − y2)

Cherchons la fonction f qui se cache sous l’équation

x(x2 + y2)−10(x2 − y2) = 0.

Remarquons tout d’abord que l’ensemble T des solutions de cette équation est décrite dans le graphique A.4(les branches infinies ont été omises).L’examen attentif de ce graphique montre que les solutions de l’équation x(x2+y2)−10(x2−y2) = 0 ne définissentpas d’applications2 de R dans R. En effet, à tout x on associe deux y . Inversement, à un y on associe parfois deuxx. Il semble donc que l’équation F (x, y) = 0 ne permette pas — dans le cas présent — de définir une fonction

2. Soit y = f (x) soit x = f (y).

81

-2 2 4 6 8 10

-4

-2

2

4

Fig. A.4 – Ensemble des solutions de x(x2 + y2)−10(x2 − y2) = 0

implicite f . En fait, c’est inexact. Supposons qu’on restreigne l’étude aux x et y positifs. Dans ce cas, il est clairqu’on obtient bien une fonction y = f (x).

Cet exemple montre qu’il est généralement difficile de dire — sauf dans des cas triviaux — s’il existe une fonctionimplicite et sur quel domaine elle est définie.

C’est ici qu’entre en scène le théorème des fonctions implicites. Il permet d’affirmer que — sous certainesconditions — il existe une fonction implicite. Malheureusement, il s’agit d’un théorème d’existence3 qui ne vautque localement4.

Théorème 7 (fonctions implicites). Soit U un sous-ensemble ouvert de R2. Soit F (x, y) une fonction de U dansR définie, continue et dérivable relativement à y sur U . Si F ′

y (x, y) est continue sur U . S’il existe un point (x, y) ∈Utel que F (x, y) = 0 et F ′

y (x, y) 6= 0, alors il existe deux intervalles ouverts I x et I y avec x ∈ I x et y ∈ I y , tels que pourtout x ∈ x, l’équation F (x, y) = 0 ayant pour inconnue y admette une et une seule solution dans I y . Si on note cettesolution f (x), alors f (x) est l’unique application de I x dans R vérifiant

∀x ∈ I x , f (x) ∈ I y et F (x, f (x)) = 0

De plus f (x) est continue. ä


Voyons comment « fonctionne » ce théorème en l’appliquant à notre exemple favori.La fonction F (x, y) = x(x2 + y2)−10(x2 − y2) est définie sur R2, continue sur R2 et dérivable relativement à y sur

R2. Par ailleurs, F ′y (x, y) = 2x y +20y est continue sur R2. Choisissons le point de coordonnées x = 1 et y =

√23 .

Ce point vérifie l’équation F (x, y) = x(x2 + y2)−10(x2 − y2) = 0. De plus, F ′y (1,

√23 ) 6= 0.

Puisque toutes les conditions du théorème sont vérifiées, on peut affirmer qu’il existe un « pavé » (dont on ne

sait pas la taille) autour du point x = 1 et y =√

23 dans lequel l’équation x(x2 + y2)−10(x2 − y2) = 0 définit de

façon unique une fonction continue y = f (x) (qui passe évidemment par le point x = 1, y =√

23 ).

Le graphique A.5 montre que dans le « pavé5 » situé autour du point A de coordonnées x = 1, y =√

23 , on a bien

une fonction continue f . Vous vérifierez qu’au point B , on ne peut définir un tel « pavé » aussi petit soit-il6.Le deuxième théorème important concerne la dérivation des fonctions implicites. Ce théorème permet dedéterminer la dérivée de la fonction f même si on ne sait pas l’expliciter.

3. Cela veut dire qu’en appliquant ce théorème on sait qu’une fonction f existe. On ne sait pas quelle est cette fonction.4. C’est à dire la fonction existe au voisinage d’un point. Ce voisinage est parfois très petit.5. Il s’agit d’un pavé ouvert : le périmètre n’appartient pas au pavé.6. Profitez-en pour vérifier qu’une des hypothèses du théorème n’est pas satisfaite quand on se place au point B . Profitez-en pour vérifier

également qu’on peut définir au voisinage du point B une fonction x = f (y).

82 ANNEXE A. LES FONCTIONS IMPLICITES

-2 2 4 6 8 10

-4

-2

2

4

A

B

Fig. A.5 – Application du théorème des fonctions implicites

Théorème 8 (dérivation des fonctions implicites). Si le théorème précédent est vérifié et si F (x, y) est différen-tiable au point (x, y), alors

f ′(x) = d y

d x=− F ′

x (x, y)

F ′y (x, y)

=− F ′x (x, f (x))

F ′y (x, f (x)) ä


Pourquoi ces deux théorèmes sont-ils aussi importants ? Tout simplement parce que certaines relations éco-nomiques ne peuvent pas s’exprimer sous forme fonctionnelle. Prenons le cas d’une fonction de production.Habituellement, on l’écrit q = f (N ,K ). Cela veut dire qu’à chaque combinaison possible (N ,K ) de travail etde capital, on associe une certaine quantité produite q . Supposons maintenant que vous soyez confronté auproblème suivant : un agriculteur produit des carottes (q1) et des navets (q2) à l’aide de travail et de capital. Onvous demande alors : quelle est la relation fonctionnelle qui existe entre l’emploi des facteurs et les outputs ? Detoute évidence, vous êtes coincé : vous avez envie d’écrire quelque chose du genre (q1, q2) = f (N ,K ), mais voussavez que c’est une hérésie mathématique !C’est ici qu’interviennent les fonctions implicites.La relation technique entre les inputs et les outputs s’écrit

F (q1, q2, N ,K ) = 0

Cela veut dire que toutes les combinaisons techniques acceptables vérifient l’équation F (q1, q2, N ,K ) = 0.La fonction de production n’est rien d’autre que l’ensemble T des solutions de l’équation. Le théorème desfonctions implicites permet de dire que (sous certaines conditions) on peut (au moins localement) exprimerune variable en fonction des autres. Par exemple :

– carottes = f (navets, travail, capital)

– navets = f (carottes, travail, capital)

– travail= f (navets, carottes, capital)

– capital = f (navets, travail, carottes)

On retrouve alors nos bonnes vieilles relations fonctionnelles !

Mais à la réflexion, cela n’a pas grand intérêt. En effet, l’économie s’intéresse surtout aux dérivées de cesfonctions. Par exemple, ce n’est pas carottes = f (navets, travail, capital) qui importe mais d(car ot tes)

d(tr avai l ) , c’est àdire la productivité marginale du travail pour produire des carottes. C’est là que le théorème de dérivation desfonctions implicites entre en jeu. Si on connaît F (q1, q2, N ,K ) = 0, il est inutile d’expliciter les fonctions f pour

connaître les seules choses réellement importantes : la productivité du travail( d(out put )d(i nput ) ), le taux marginal de

substitution entre inputs (− d(i nput )d(i nput ) ), le taux de transformation des produits (− d(out put )

d(out put ) ).

83

Exercices pour s’amuser :Soient les équations suivantes sous la forme F (x, y) = 0 :

y −3x +2 = 0

3y +6x2 −2 = 0

x2 + y2 −6 = 0

Calculer d yd x . Vérifier vos calculs en explicitant la fonction y = f (x).

Annexe B

Les fonctions implicites en économie

On se donne une fonction de production de type F (.) = 0 sous la forme

F (x, y,L,T ) = x2 + y −|T |0,5 |L|0,5 = 0

avec :(x, y) ∈R2+ (les outputs sont comptés positivement)(L,T ) ∈R2− (les inputs sont comptés négativement)Cette relation signifie qu’on produit deux outputs x et y à l’aide de travail (L) et de terre (T ). Nous allons supposersans le vérifier que le théorème des fonctions implicites s’applique et examiner les enseignements qu’on peut entirer.

B.1 On exprime un output en fonction des autres variables

Par exemple y en fonction de (x,T,L). Cela signifie que

y = f1(x,T,L).

Un calcul élémentaire permet d’expliciter la fonction f1. En effet,

y = |T |0,5 |L|0,5 −x2.

B.1.1 Étude de la relation entre x et y

Supposons qu’on fixe la quantité de terre et de travail. Cela signifie qu’on produit du x et/ou du y à l’aide d’unpanier donné de terre et de travail (par exemple : T =−100 et L =−100). Il reste alors une relation entre x et yqui indique toutes les combinaisons possibles de x et de y qu’on peut obtenir avec cette quantité donnée deterre et de travail

y =−x2 +1000,51000,5 =⇒ y =−x2 +100.

2 4 6 8 10x

20

40

60

80

100y

Fig. B.1 – La frontière des possibilités de production

Cette relation (voir le graphique B.1) montre quelorsqu’on dispose d’un panier donné d’inputs, ilfaut répartir ce panier entre la production dex et de y . Plus la production de x est impor-tante (c.-à-d., plus x utilise d’inputs) et moinsla production de y le sera (moins il restera d’in-puts pour y). Bien entendu, il est possible deconsacrer tous les inputs à produire du x (x = 10et y = 0) ou à produire du y (x = 0 ety = 100).Mais toutes les combinaisons intermédiairessont également possibles.

84

B.1. ON EXPRIME UN OUTPUT EN FONCTION DES AUTRES VARIABLES 85

Cette courbe s’appelle la courbe des possibilités de production ou la frontière des possibilités de production.

La forme de la courbe montre que le choix de produire une unité de moins de x (d x =−1) ne se traduit pas parle gain automatique d’une unité de plus de y (généralement d y 6= +1). Cette remarque permet de comprendrepourquoi on définit un taux de transformation des produits (le T T P qui, par définition, est toujours positifou nul). La valeur du T T P en un point de la courbe indique le taux auquel deux productions se substituentl’une à l’autre sachant que la quantité de tous les inputs est fixée. Si en un point le T T P est égal à 2 cela signifiequ’en renonçant à produire une unité de x on augmentera de deux unités la production de y , la quantitéd’inputs n’ayant pas changé (on aura, bien entendu, prélevé des inputs de la production de x pour les utiliserà produire du y). Géométriquement, le T T P en un point de la frontière des possibilités de production est lavaleur absolue de la pente de cette courbe en ce point. Il n’est pas difficile de comprendre pourquoi le T T P estvariable. Supposons que le stock (donné) d’inputs soit abondamment utilisé à produire du x. Cela veut dire quela productivité marginale des facteurs utilisés à produire du x est faible alors qu’elle est encore forte pour lesmêmes facteurs utilisés à produire le peu de y qu’on produit dans cette économie. En retirant un peu de L et deT de la production du bien x, on ne perdra presque pas d’output (d x est faible). Ces mêmes facteurs utilisés àproduire du y seront très productifs, donc la production de y augmentera fortement (d y est important). On voitdonc de cette façon que d x et d y dépendent de la productivité comparée des inputs dans les deux emplois, cequi dépend de l’importance de la dotation relative des deux emplois en chacun des inputs.

Pour évaluer le T T P , on peut procéder de deux façons :

– calculer la dérivée de la fonction f1, c’est à dire calculer la dérivée de la fonction représentative de lafrontière des possibilités de production ;

– utiliser le théorème de dérivation des fonctions implicites.

ce qui donne :f ′

1(x) = (−x2 +100)′ =−2x =⇒ T T P = ∣∣ f ′1(x)

∣∣= 2x première méthode

f ′1(x) =−

∂F (.)∂x∂F (.)∂y

=−2x

1=⇒ T T P =

∣∣∣∣∣∣−∂F (.)∂x∂F (.)∂y

∣∣∣∣∣∣= 2x deuxième méthode

On vérifie qu’il s’agit bien du même résultat. La deuxième méthode est la seule recommandée. En effet, dans laplupart des cas, on ne saura pas expliciter la fonction f1.

B.1.2 Étude de la relation entre y et L

Supposons maintenant qu’on fixe la quantité de x et de T . Cela signifie que l’on produit le bien y à l’aide dequantités variables de L sachant que les autres facteurs sont fixés (par exemple : x = 6 et T =−100). La fonctionf1 devient

y = 10√|L|+100

Sa représentation graphique est donnée par la figure B.2.

-100 -80 -60 -40 -20 L

10

20

30

40

50

60y

Fig. B.2 – Productivité du travail en y

86 ANNEXE B. LES FONCTIONS IMPLICITES EN ÉCONOMIE

Cette courbe montre qu’en employant des quantités croissantes (comptées négativement) de travail, on obtientune production croissante de y , les autres éléments étant fixés. Il s’agit de la courbe de productivité totaledu facteur travail en termes de y . Comme on le sait, la valeur absolue de la pente de cette courbe indique laproductivité marginale de L en y

Pm(L)y =∣∣∣∣d y

dL

∣∣∣∣≥ 0

Pour évaluer la productivité marginale Pm(L)y , nous pouvons encore procéder de deux façons :

– calculer la valeur absolue de la dérivée de la fonction f1 par rapport à L ;

– utiliser le théorème de dérivation des fonctions implicites.

ce qui donne

Pm(L)y =∣∣∣∣∂ f1(.)

∂L

∣∣∣∣= 5

|L|0,5 ≥ 0 première méthode,

∣∣∣∣d y

dL

∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∂F (.)∂L∂F (.)∂y

∣∣∣∣∣∣= 5

|L|0,5 ≥ 0 deuxième méthode.

B.2 On exprime un input en fonction des autres variables

Par exemple L en fonction de (x, y,T ). L’application du théorème des fonctions implicites nous autorise à écrireL = f2(x, y,T ). Dans le cas présent, on peut expliciter la fonction f2

L = (x2 + y)2

T.

B.2.1 Étude de la relation entre L et T

On fixe la quantité d’outputs produits x et y (par exemple, x = 1 et y = 1). Il reste une relation entre L et t

L = 4

Tt 6= 0.

-5 -4 -3 -2 -1 T

-14-12

-10-8-6-4-2

L

Fig. B.3 – Courbes isoquantes

Le graphique B.3 nous permet de reconnaître une isoquante, c’est à dire la courbe décrivant tous les couples(L,T ) permettant de produire un même panier d’outputs. L’opposé ou la valeur absolue de la pente d’uneisoquante en un point est appelé le taux de substitution technique (le T ST ). On a

T STT /L =∣∣∣∣ dL

dT

∣∣∣∣ .

B.2. ON EXPRIME UN INPUT EN FONCTION DES AUTRES VARIABLES 87

Comme précédemment, on peut le calculer de deux façons


dT

∣∣∣∣= ∣∣∣∣∂ f2(.)

∂T

∣∣∣∣= 4

T 2 ,


dT

∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∂F (.)∂T∂F (.)∂L

∣∣∣∣∣= 4

T 2 .

B.2.2 Étude de la relation entre L et y

On fixe la quantité de x et de T (par exemple, x = 1 et T = 1). Il reste une relation

L =− (y +1)2

1.

0.5 1 1.5 2

-8

-6

-4

-2

Fig. B.4 – Le coût physique marginal

On observant la courbe B.4, on constate que la production de quantités croissantes de bien y se traduit parl’emploi de quantités de plus en plus importantes du facteur L. Cette courbe montre ce que coûte en facteur L laproduction de quantités croissantes de y .On l’appelle la courbe de coût en L de la production y (par exemple, ce que coûte en travail de révision l’obtentiond’une note de 10, 11, 12 etc.). Il s’agit évidemment d’un coût « physique » (c.-à-d. : en nature, en matière, etc.).L’opposé ou la valeur absolue de la pente de cette courbe en un point est évidemment le « coût physiquemarginal » de la production en ce point. Il est une expression du supplément de coût en input qu’occasionne laproduction d’un supplément d’output. Par définition, on a

C mp(y)L =∣∣∣∣dL

d y

∣∣∣∣ .

Une fois encore, on peut calculer cette expression de deux façons


d y

∣∣∣∣= ∣∣∣∣∂ f2(.)

∂y

∣∣∣∣= 2y +2,


d y

∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∂F (.)∂y

∂F (.)∂L

∣∣∣∣∣∣= 2y +2.

On remarquera — en s’aidant des formulations issues du théorème de dérivation des fonctions implicites — quele coût physique marginal d’une production en terme d’un facteur est l’inverse de la productivité marginale dece facteur en terme de cette production1

∣∣C mp(y)L∣∣= ∣∣∣∣ 1

Pm(L)y

∣∣∣∣

1. Ceux qui ne seraient pas convaincus par cette formule peuvent se demander si le « coût en temps de révision d’un point de plus enmicroéconomie » n’est pas le revers de la « productivité en point d’une heure supplémentaire de révision ».

Annexe C

Les relations binaires

L’essentiel de la théorie des choix repose sur des relations binaires et sur leurs propriétés. Nous allons dans unpremier temps faire des rappels sur cette notion mathématique essentielle.

C.1 Définition et propriétés

C.1.1 Définition

Au commencement était le prédicat. Un prédicat est un énoncé contenant des variables. Lorsqu’on remplace cesvariables par des objets appartenant à un certain référentiel, on obtient une assertion. Donnons tout de suite unexemple : x est le neveu de y est de toute évidence un prédicat. Si x prend la valeur « Alphonse » et y la valeur «Barnabé », on obtient l’assertion : Alphonse est le neveu de Barnabé. Bien entendu, cette assertion peut êtrevraie ou fausse.Un prédicat à deux variables est appelé relation binaire. Le prédicat « x est le neveu de y » est donc une relationbinaire. On définira une relation binaire sur un ensemble de la façon suivante :

Définition 41. On appelle relation binaire sur un ensemble E toute relation binaire de E vers E , c’est à dire toutprédicat à deux variables astreintes à représenter des éléments de E . N

Une relation binaire sur un ensemble se note xRy . Le symbole R n’est rien d’autre que l’énoncé caractérisant larelation (par exemple : « est le neveu de »).

C.1.2 Propriétés

Un certain nombre de propriétés que les relations binaires peuvent (ou non) vérifier sont généralement considé-rées comme importantes. Nous allons en donner une liste non exhaustive.

Définition 42. On dit qu’une relation binaire R sur un ensemble E est :

– réflexive si et seulement si : ∀x ∈ E xRx

– complète si et seulement si :

∀(x, y) ∈ E 2 (x 6= y) =⇒ xRy ou yRx

– symétrique si et seulement si :

∀(x, y) ∈ E 2 xRy =⇒ yRx

– asymétrique si et seulement si :

∀(x, y) ∈ E 2 xRy =⇒¬(yRx)

– antisymétrique si et seulement si :

∀(x, y) ∈ E 2 (xRy et yRx) =⇒ x = y

– transitive si et seulement si :

∀(x, y, z) ∈ E 3 (xRy et yRz) =⇒ xRz N

88

C.2. LES RELATIONS DE PRÉFÉRENCE 89

Lorsqu’une relation binaire vérifie un certain nombre de ces propriétés, on parlera de relation d’ordre, de relationde préordre ou encore de relation d’équivalence. On ne s’intéressera ici qu’aux différentes variantes des relationsqui évoquent « l’ordre ». Il convient toutefois de souligner tout de suite une difficulté. La terminologie est malfixée si bien que des auteurs différents affublent de propriétés différentes des relations portant le même nom. Ilest donc important de fixer le vocabulaire de façon précise. Dans cette annexe, nous retiendrons les définitionsde Sen Sen (1979).

Définition 43. On dira qu’une relation binaire est une relation :

– de quasi-ordre si elle est réflexive et transitive,

– d’ordre si elle est réflexive, transitive et complète,

– d’ordre partiel si elle est réflexive, transitive et antisymétrique,

– de chaîne si elle est réflexive, transitive, complète et antisymétrique,

– d’ordre partiel strict si elle est transitive et asymétrique,

– d’ordre fort si elle est transitive, asymétrique et complète. N

C.2 Les relations de préférence

La théorie des choix est fondée sur la relation binaire dite de préférence. Quand on écrit xRy on signifie parlà que x est au moins aussi apprécié que y . La négation de xRy s’écrit ¬xRy et signifie que x n’est pas aumoins aussi apprécié que y . Imaginons maintenant que l’ensemble E contienne deux éléments x et y . On peutconstruire un tableau représentant toutes les relations possibles entre x et y :

Tab. C.1 – Ensemble des possibilités.

xRy ¬xRy

yRx xRy et yRx ¬xRy et yRx

¬yRx xRy et ¬yRx ¬xRy et ¬yRx

On peut construire à partir de ce tableau deux nouvelles relations : la relation de préférence stricte et la relationd’indifférence.

Définition 44. xP y ⇐⇒ xRy et ¬yRx N

Définition 45. xI y ⇐⇒ xRy et yRx N

Ces deux définitions permettent d’écrire à nouveau le tableau C.1. Il devient :

Tab. C.2 – Préférences strictes et indifférence

xRy ¬xRy

yRx xI y yP x

¬yRx xP y ¬xRy et ¬yRx

La situation où x et y ne sont pas en relation ne porte pas de nom particulier. Il serait faux de penser qu’elle n’apas de sens. Prenons par exemple le cas de la relation binaire être le neveu de... Il est fréquent que deux élémentsd’un ensemble (les habitants d’une ville n’ayant aucun lien de parenté) ne soient pas réciproquement neveux ounièces. On remarquera toutefois que si la relation binaire est complète, la possibilité d’une absence réciproquede relation est — par définition — exclue. On retiendra par ailleurs que, si la relation est complète :

Définition 46. ¬ xRy ⇐⇒ yP x N

90 ANNEXE C. LES RELATIONS BINAIRES

Définition 47. ¬ xP y ⇐⇒ yRx N

Définition 48. ¬ xI y ⇐⇒ xP y ou yP x N

C.2.1 Définition d’un meilleur élément

Nous pouvons maintenant définir ce qu’on appelle le meilleur élément d’un ensemble pour une relation binaireR.

Définition 49 (Meilleur élément). Soit X un ensemble et S ⊂ X . Un élément x de S sera un meilleur élément deS pour la relation binaire R si et seulement si

∀y ∈ S xRy. N

Un meilleur élément S est donc au moins aussi bon que n’importe quel autre élément de S. Une autre façon devoir les choses (en prenant la négation de la définition) est de dire qu’aucun autre élément de S ne le surpassestrictement.

Définition 50. L’ensemble des meilleurs éléments de S pour la relation binaire R s’appelle son ensemble dechoix. On le note C (S,R). N

C.2.2 Définition d’un élément maximal

Définition 51 (Élément maximal). Un élément x de S est un élément maximal de S pour la relation binaire R

si et seulement si¬ (∃y ∈ S, yP x).

L’ensemble des éléments maximaux de S est appelé son ensemble maximal. On le note M(S,R). N

On remarquera qu’un meilleur élément est un élément maximal1, mais que l’inverse n’est pas vrai : C (S,R) ⊂M(S,R).Ces deux définitions permettent de caractériser l’équilibre d’un consommateur lorsqu’on n’utilise pas de fonc-tions d’utilités, c.-à-d. lorsqu’on en reste au stade fondamental des relations binaires de préférence (complètes).Soit en effet l’ensemble budgétaire d’un individu quelconque. Il correspond à l’ensemble S ci-dessus. Le panierd’équilibre vérifie évidemment :

1. aucun panier accessible ne lui est préférable strictement (sinon, il serait aussitôt acheté). Dire cela c’estaffirmer que ¬ (∃y ∈ S, yP x), ce qui est la définition d’un élément maximal/meilleur

2. en développant la négation, on obtient ∀y ∈ S, xRy , ce qui revient à dire que le panier d’équilibre est aumoins aussi apprécié que tous les autres paniers accessibles (attention, rien ne prouve à ce stade que cepanier soit unique).

On en déduit que :si un panier est strictement plus apprécié que la panier optimal alors il n’appartient pas à l’ensemble budgétaire

y Â x =⇒ y ∉ S.

Vous ferez attention au fait que le vocabulaire varie d’un auteur à l’autre. Ainsi, on trouve chez Debreu (Debreu(1966), page 10) les définitions suivantes :

« Soit S en ensemble partiellement préordonné. Quand y ∈ S et qu’il n’existe pas de x ∈ S tels quex Â y (resp. x ≺ y), on dit que y est un élément maximal (resp. minimal) de S. Quand y ∈ S et quepour tout x ∈ S on a x - y (resp. x % y) on dit que y est un plus grand (resp. plus petit) élément de S.Un plus grand (resp. plus petit) élément de S est évidemment un élément maximal (resp. minimal)de S. Quand le préordre est complet, la réciproque est aussi vraie et la distinction disparaît. Quandle préordre est un ordre, il y a au plus un plus grand élément et un plus petit élément. »

Il ajoute (page 69) qu’étant donnés les prix et la richesse d’un individu, une consommation d’équilibre pour cetindividu est un plus grand élément pour son préordre de préférences dans son ensemble de consommation.

1. Un élément est meilleur si : ∀y ∈ S xRy . En se reportant au tableau C.2, on voit qu’un élément maximal est tel que : ∀y ∈S xRy ou (¬xRy et ¬yRx). Ce dernier élément suffit à montrer que les deux définitions ne sont pas identiques. Mais si la relation estcomplète – ce qu’on admet pour les relations binaires de préférence – on a : C (S,R) = M(S,R)

Annexe D

Utilité ordinale, utilité cardinale

D.1 La mesure de l’utilité

Les fonctions d’utilité sont au cœur de la théorie économique et tout particulièrement de la théorie des choix desconsommateurs. Or, sous l’impulsion de Pareto, de nombreux économistes ont défendue l’idée que – pour cettepartie de la théorie économique – les fonctions d’utilité étaient superflues et que le seul concept pertinent étaitles préférences des individus. Ceci dit, Debreu a montré que sous certaines conditions portant sur les préférences,on pouvait représenter ces dernières par des fonctions à valeurs réelles, définies à une transformation croissanteprès. C’est ce qu’on appelle les fonctions d’utilité ordinales.Supposons que les préférences d’un individu soient telles que a % b % c. On représente ces préférences par unefonction d’utilité U (.) qui vérifie

U (a) = 20 U (b) = 10 U (c) = 5

De ces trois chiffres, on peut également tirer les renseignements suivants :

1. l’utilité de a, b et c vaut exactement 20, 10 et 5 ;

2. a est deux fois plus utile que b et quatre fois plus que c ;

3. on obtient 15 degrés d’utilité en plus en ayant a plutôt que c ; et 5 degrés en plus en ayant b plutôt que c ;

4. la différence d’utilité entre a et c est trois fois plus grande que la différence d’utilité entre b et c.

Supposons que nous prenions la racine carrée de la fonction U . On appelle V cette nouvelle fonction d’utilité

V =p

U

Il vient évidemment,

V (a) =p20 = 4,472135955 V (b) =p

10 = 3,16227766017 V (c) =p5 = 2,2360679775

On constate que des 4 renseignements précédents, seul le fait que a % b % c continue à être vérifié. En effet, les« valeurs d’utilité » ont changé et il est désormais faux que a soit deux fois plus utile que b. De plus, les variationsd’utilité et les rapports de différences ont également changé.Si on admet qu’une fonction d’utilité n’est définie qu’à une fonction croissante près, alors on reconnaît ipso factoque le seul renseignement qu’on veut préserver en passant d’une fonction d’utilité à une autre est l’ordre. Parexemple, toute transformation croissante de la fonction U donnera toujours a % b % c.Abordons maintenant le problème de l’utilité cardinale.Reprenons l’example précédent, où on avait

U (a) = 20 U (b) = 10 U (c) = 5

et examinons l’ensemble des transformations qui préservent les renseignements 1 à 4.Le premier renseignement n’est préservé que par la transformation « identité ». En effet, si V = I d ◦U alors, on a

V (a) = 20 V (b) = 10 V (c) = 5

91

92 ANNEXE D. UTILITÉ ORDINALE, UTILITÉ CARDINALE

Le deuxième renseignement nous dit que U (a)U (b) = 2 et U (a)

U (c) = 4. On constate donc que les transformations linéairesde U ne modifient pas ce renseignement. Si V =αU on a

V (a)

V (b)= αU (a)

αU (b)= 2 et

V (a)

V (c)= αU (a)

αU (c)= 4.

Le troisième renseignement nous dit que U (a)−U (c) = 15 et U (b)−U (c) = 5. Il est évident qu’en ajoutant uneconstante à la fonction U on ne change pas ce renseignement. Si V =U +β on aura bien

V (a)−V (c) = (U (a)+β)− (U (c)+β) = 15,

V (b)−V (c) = (U (b)+β)− (U (c)+β) = 5.

Le dernier renseignement nous dit que

U (a)−U (c)

U (b)−U (c)= 3.

Il est clair qu’une transformation affine (positive) de U ne le modifie pas. Si V =αU +β On aura bien

V (a)−V (c)

V (b)−V (c)= αU (a)+β− (αU (c)+β)

αU (b)+β− (αU (c)+β)= 3.

On appelle « affines » les transformations de type V = αU +β. Et comme on peut le remarquer, toutes lestransformations que nous avons évoquées sont « affines ». Outre le fait qu’elles conservent l’ordre, on remarqueque :

– si α= 1 et β= 0 on obtient la transformation identité. Elle laisse invariante l’échelle sur laquelle on mesurela grandeur (ici, l’utilité) ;

– si α> 0 et β= 0 on obtient une transformation linéaire croissante. Cette transformation dilate l’échelle demesure en conservant le même « zéro » ;

– si α= 0 et β> 0 on obtient un décalage de l’origine. On déplace le « zéro » de l’échelle de mesure sanschanger la taille des « graduations » ;

– si α> 0 et β> 0 on obtient une transformation affine dans le sens le plus large du terme. Elle change lezéro de l’échelle de mesure tout en dilatant les espaces entre les graduations.

On voit que les transformations affines contiennent comme cas particuliers les simples décalages d’origine etles simples dilatations des espaces entre les graduations qui contiennent elles-mêmes comme cas particulier latransformation identité.On parlera d’utilité cardinale lorsque la classe des transformations d’une fonction d’utilité est restreinte auxtransformations affines croissantes (ou positives).Cela veut donc dire que l’utilité est dite « mesurable » lorsque toutes les fonctions d’utilité représentant les préfé-rences d’un consommateur préservent les rapports de différences d’utilité, c’est à dire lorsque les instrumentsde mesure ne diffèrent que par le degré de dilatation (proportionnel) des graduations et la place du « zéro ».

D.2 Les fonctions d’utilité von Neumann-Morgenstern et la mesure de l’uti-lité

L’approche que von Neumann et Morgenstern ont adopté en 1944 dans leur livre Theory of Game and EconomicBehaviour apporte une solution au problème de la mesure de l’utilité.Nous allons essayer de comprendre très simplement pourquoi l’approche de von Neumann-Morgensternconduit à dire que l’utilité est mesurable.Supposons qu’un individu soit confronté à différentes possibilités (tenues pour certaines). Partant de cespossibilités, on définit ce qu’on appelles des « loteries », c.-à-d. des distributions de probabilités sur les différentespossibilités. Selon von Neumann et Morgenstern, on peut établir des préférences sur les loteries. Ces préférencespossèdent selon eux des propriétés tout à fait particulières.

D.2. LES FONCTIONS D’UTILITÉ VON NEUMANN-MORGENSTERN ET LA MESURE DE L’UTILITÉ 93

Supposons qu’on appelle a et z la meilleure et la pire des possibilités aux yeux de l’individu i 1. On choisit deuxnombres Ui (a) et Ui (z) qui fixent la plus élevée et la plus faible des utilités.On considère maintenant la possibilité b vérifiant a Â b Â z. Cela veut dire — dans le langage des loteries — quei préfère la loterie L(a, z;1,0) à b et préfère b à la loterie L(a, z;0,1). L’hypothèse fondamentale de von Neumannet Morgenstern est qu’il existe une probabilité 0 < p < 1 telle que l’individu i est indifférent entre b et la loterieL(a, z; p,1−p). L’indice d’utilité de b est alors

Ui (b) = p Ui (a)+ (1−p)Ui (z).

Cette procédure peut être répétée pour chaque possibilité b, c, d , ..., y et donne une fonction d’utilité vonNeumann-Morgenstern.

La fonction que nous avons construite n’est bien sûr pas unique. Prenons par exemple deux nouveaux nombresVi (a) et Vi (z) pour fixer la plus élevée et la plus faible des utilités. En reprenant la démarche précédente, onaboutit une fois encore à l’idée que l’utilité de la possibilité b est

Vi (b) = p Vi (a)+ (1−p)Vi (z).

En répétant cette procédure pour chaque possibilité b, c, d , ..., y on obtient une nouvelle fonction d’utilité vonNeumann-Morgenstern.Maintenant, intéressons-nous au rapport qui existe entre Ui et Vi . On a

Ui (b) = p Ui (a)+ (1−p)Ui (z),

Vi (b) = p Vi (a)+ (1−p)Vi (z).

En soustrayant la seconde à la première, il vient :

Ui (b) = p Ui (a)+ (1−p)Ui (z),

Ui (b)−Vi (b) = p (Ui (a)−Vi (a))+ (1−p) (Ui (z)−Vi (z)).

De la première on tire l’expression de p

p = Ui (b)−Ui (z)

Ui (a)−Ui (z).

On remplace dans la seconde ce qui donne

Ui (b)−Vi (b) = Ui (b)−Ui (z)

Ui (a)−Ui (z)(Ui (a)−Vi (a))+ (1− Ui (b)−Ui (z)

Ui (a)−Ui (z)) (Ui (z)−Vi (z))

En tenant compte du fait que Ui (a), Ui (z), Vi (a) et Vi (z) sont des données, on obtient facilement (après simpli-fication) que

Vi (z) =αUi (z)+β.

La fonction von Neumann-Morgenstern Vi est une transformation affine de la fonction Ui . Il va sans dire qu’onobtiendrait le même résultat pour tous les indices d’utilités haut et bas qu’on veut bien se donner comme pointde départ.

1. Éventuellement, les meilleures ou les pires.

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Cette bibliographie n’est pas exhaustive. Elle vous donne quelques titres qu’il serait bon de consulter.

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