coursMaster2012-PDevos

Biostatistiques : Petits effectifs 20/09/2012

Biostatistiques :

Petits effectifs

Master Recherche Biologie et Sant

P. Devos DRCI CHRU de Lille EA2694

[email protected]


Plan

Donnes Gnrales :

Dfinition des statistiques

Principe de lchantillonnage

Principe du test statistique Tailles dchantillons

Analyse descriptive / Test de Normalit.

Petits chantillons :

Petits / Grands chantillons.

Comparaison de deux ou plusieurs chantillons.

Tests non-paramtriques

Mesure de l'association entre plusieurs variables.


La Statistique et les Biostatistiques

La STATISTIQUE : discipline traitant du recueil (plans dexprience, sondages, ), du traitement et de linterprtation de donnes caractrises par une grande variabilit .

Partie des mathmatiques appliques, utilisant la thorie des probabilits.

Beaucoup de domaines dapplications Sondages : enqutes dopinion Industrie : contrle de qualit Marketing : scoring, profil de consommateurs Mdecine : pidmiologie, recherche clinique ..

Statistiques appliques la Mdecine = BIOSTATISTIQUES Donnes spcifiques : variabilit inter et intra, donnes interprtes, Mthodes spcifiques : survie, courbes ROC, plans dexprience


Mthodologie statistique

Employer bien sr la "bonne" procdure statistique pendant lanalyse !!!

MAIS cela ne suffit pas

Choisir le bon type dtude

Choisir le bon plan dexprience

Choisir les bons critres de jugement

Dfinir les variables recueillies

Qualit des donnes recueillies

Analyse statistique rigoureuse (tests, modles, )

Bonne interprtation des rsultats

Avant l tude !!!

Fin dtude


Lchantillonnage


Linfrence statistique

On dsire tudier une population P

Principe : On tire un chantillon E de taille n issu de P On analyse les caractristiques de E On gnralise P

Attention !! E doit tre un chantillon reprsentatif de P (mme probabilit pour chaque individu

de se retrouver dans E) E doit tre de taille suffisamment leve pour pouvoir extrapoler les rsultats

Dfinir trs prcisment la population que lon dsire tudier !!


Les fluctuations dchantillonnage

Quand on tire alatoirement un chantillon, on a des fluctuations.

Exemple : on sintresse aux 10 premiers tudiants entrant dans lamphi. On comptabilise 7 femmes et 3 hommes. Peut-on en dduire que 70% des tudiants qui assisteront au cours sont des femmes ? NON !!!

On considre que dans la population totale, les proportions dhommes et de femmes sont les mmes P(H)=P(F)=1/2

Soit X le nombre de femmes parmi les 10 tudiants. On peut montrer que X suit une loi binomiale de taille 10 et de paramtre 0.5 et calculer la probabilit dobserver 0,1,2,,10 femmes.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(X=k)


Les prendre en compte

Comment prendre en compte les fluctuations dchantillonnage ?

1) En vrifiant que lchantillon est reprsentatif (tests dadquation par exemple)

2) En donnant la marge derreur que lon commet en raisonnant sur un chantillon (Intervalles de confiance)

3) En matrisant les risques derreurs (puissancedans le cas de comparaisons)


Principe du test statistique


Le test statistique

Un travail de recherche est bti pour rpondre une question

Le test statistique est bas sur 3 principes gnraux : Le test statistique sert rpondre une question Le test statistique est un test dhypothse : la question on associe une

hypothse (H0) Le test statistique ne peut conclure de manire certaine : preuve

exprimentale donc il faut prendre un risque (premire espce)

Conclusion fonde sur un test statistique




tape 1 : on cherche prouver quelle est pipe

tape 2 : confrontation exprimentale : on jette 50 fois la pice.

tape 3 : test dhypothse Si pice non pipe : P(Face)=P(Pile)=1/2

Choix de lhypothse tester note H0 : : la pice de monnaie nest pas pipe

Soit X : nombre de Pile (ou Face)

Si H0 est vraie, la loi de X est connue (binomiale)

Question : une pice de monnaie est-elle pipe?

k k N-kNP(X=k)= (1 )C p p


Si H0 vraie, toutes les configurations sont possibles, y comprisP(0P)=(0,5)50

Principe du test statistique : Notion de risque

8.8 10-16 !!

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

k

P (

X=k

)


Principe du test statistique : Notion de risque

Il faut dcider : on choisit un risque raisonnable = 5% On partage lensemble des possibilits en 2 zones, selon le risque 5% :

50P0P

25P

Compatible H0 = 95%

Trs improbable sous H0 = 5% de chance =REJET DE H0

18P 32P

Limites de la zone compatible avec H0 se dterminent grce au calcul des probabilits. Ici 18 - 32


Zone compatible avec H0 = probabilit de 95% de se produire si H0 vraie

Zone de rejet de H0 =probabilit de 5% de se produire si H0 est vraie !!! (risque)

Rgle de dcision: on fixe a priori la rgle suivante :

- Si le rsultat de lexprience se trouve dans la zone compatible avec H0 (exemple 22P), on ne dcide rien ( non significatif)

- Si il se situe dans le zone rejet de H0 on dclare H0 FAUSSE, donc on dclare H1 vraie, mais au risque 5%.

- Exemple : 15P, on dcide que la pice est truque

Risque de premire espce = Probabilit de rejeter H0 tort = 5%

Principe du test statistique : Rgle de dcision


Notion de Puissance dun test

Vrit

DcisionH0 H1

Compatible H0

Rejet de H0 =on dcide H1

1-

= Proba (dcider H1 / H0 est vraie) = risque de premire espce

= Proba ( dcider compatible avec H0 / H1 est vraie) = risque de deuxime espce

Puissance = 1- = Proba ( dcider H1 / H1 est vraie)

= Risque d'affirmer qu'il y a une diffrence significative alors qu'elle n'existe pasrellement.

= Risque d'affirmer qu'il n'y a pas de diffrence significative alors qu'elle existerellement.

Puissance = Probabilit de dtecter une diffrence si elle existe rellement


Puissance dpend du risque de premire espce , mais inutile en pratique car fix 5%

Notion de puissance dun test

Puissance = F(,N,DS)

En pratique, on estime et DSet on dduit N

Puissance dpend de la diffrencemais aussi de la variabilit


En pratique

Dpend du plan dexprience : Nombre de groupes Indpendant / Appari (patient propre tmoin)

Dpend du critre de jugement principal Numrique Binaire Survie

Des 2 risques: : risque de premire espce : gnralement 5% : risque de seconde espce : infrieur 20%


Application : Taille des chantillons

Comparaison de 2 moyennes (groupes indpendants)

Alpha Beta Zalpha Zbta K

0.05 0.05 1.96 1.64 25.99

0.05 0.1 1.96 1.28 21.01

0.05 0.2 1.96 0.84 15.70

Test bilatral Test unilatral

2

1 1

2( )

n Kz z

= + =

Alpha Beta Zalpha Zbta K

0.05 0.05 1.64 1.64 21.64

0.05 0.1 1.64 1.28 17.13

0.05 0.2 1.64 0.84 12.37

(Formules approches)


Exemple

Diffrence attendue () : 5mm de mercure Ecart-type (DS): 10 mm

Risque de premire espce ( ): 5% Puissance (1- ): 90%

210

21.01* 845

N = =

( par groupe )

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 50 100 150 200

Nombre de Patients par Groupe

Pui

ssan

ce


Application : Taille des chantillons

2

1 1

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )( )

( ) ( )A A B B A A B B

A B A B

P P P P P P P Pn K

P P P Pz z + + = + =

Comparaison de 2 frquences (groupes indpendants)

Test bilatral Test unilatral

(Formules approches)

Alpha Beta Z1 Z2 K

0.05 0.05 1.96 1.64 12.99

0.05 0.1 1.96 1.28 10.51

0.05 0.2 1.96 0.84 7.85

Alpha Beta Z1 Z2 K

0.05 0.05 1.64 1.64 10.82

0.05 0.1 1.64 1.28 8.56

0.05 0.2 1.64 0.84 6.18


Exemple

PA = 0.1, PB = 0.2

Risque de premire espce ( ): 5%

Puissance (1- ): 90%

10.51*25 263N = =( par groupe )

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Effectif par Groupe

Pu

issa

nce


Comparaison de deux antihypertenseurs avec : : 5mm de mercure Ecart-type (DS): 10 mm

Risque de premire espce ( ): 5%

1- = 0.9 N1=N2=86

Ltude a t ralise sans calcul de puissance pralable sur 2 groupes de 30 sujets.

Ne pas confondre :

Conditions dapplication du testet Puissance du test

Puissance = 1- = 0.48 !!!

Puissance dun test et Taille dchantillon


Traitement statistique

des donnes


Mthodes Statistiques : dfinitions gnrales

INDIVIDU : Objet sur lequel un ou plusieurs caractres peuvent tre observs.

POPULATION : Ensemble des individus pris en considration.

VARIABLE : peut tre qualitative (attribut) ou quantitative (numrique).

VARIABLES

QUANTITATIVES

QUALITATIVES

DISCRETES (Nombre limit de valeurs)

CONTINUES (prend ses valeurs dans un intervalle

NOMINALES (SEXE, Couleur des Yeux, CSP, )

ORDINALES = SCORE (Notion dordre)

BINAIRES ( Prsent / Absent )


Les mthodes statistiques

La statistique

Infrentielle

DescriptiveMultivarie (ACP, )

Univarie (moyenne, DS, )

Multivarie (modles, )

Univarie (tests, )


La Statistique Descriptive

BUTS : Contrle de qualit des donnes, descriptifs simples (moyennes, ). Synthtiser, rsumer, structurer l'information contenue dans les donnes. Mettre en vidence des proprits de l'chantillon. Suggrer des hypothses.

Analyses univaries : moyennes, histogramme, box-plot, frquences,

Analyses multivaries =Analyse des Donnes. Permet de traiter des donnes multidimensionnelles.

Principales mthodes multivaries: Mthodes de classification : dterminer des sous-groupes homognes Mthodes factorielles : rduire le nombre de variables par construction d'axes

synthtiques (ACP, AFC, ACM, ...), mais aussi sous-groupes dindividus 2 classes de mthodes souvent complmentaires Cours N 2


La Statistique Infrentielle Univarie

BUT : Valider ou infirmer des hypothses a priori ou formules aprs une phase exploratoire.

Utilisation de tests statistiques se rfrant des modles probabilistes.

EXEMPLES :

Comparaison de moyennes (test T, Wilcoxon, )

ANOVA (+ + + !!!) / Modle mixte

Comparaison de frquences (Khi, Fisher exact)

Tests de lois (Shapiro-wilk, Kolmogorov-Smirnov)

...


STATISTIQUE DESCRIPTIVE

UNIVARIEE


Analyse descriptive univarie

Contrle des donnes : Frquences et Box-plots

Calcul des statistiques descriptives : moyenne, .

Prsentation des rsultats :

Moyenne et Dviation standard ouMdiane et Quartiles

Frquence avec Intervalle de confiance

3 Objectifs :


Paramtres statistiques de base

Moyenne :

Variance estime:

Dviation standard : racine carre de la variance

Min, Max, Mdiane, Quartiles, Centiles

=

=n

i

in

xx1

1

( )21

1

1

n

i

in

s x x=

=


X max

X min

Mdiane

Q3

Q1

+

0

II=Q3-Q1

1,5 (Q3-Q1)

1,5 (Q3-Q1)

0 : valeur comprise entre 1.5 et 3 interquartiles

* : valeur suprieure 3 interquartiles

Le Box-Plot ( Bote Moustaches )


Reprsentations graphiques

VARIABLES DISCRETES

VARIABLES CONTINUES

Homme55%

Femme45%

Homme

Femme

VARIABLES QUALITATIVES


Distribution dun paramtre (loi)

Diffrentes formes observables

Modlisation de la distribution : Hypothse de loi

-2 2 6 1014182226303438

X

0

0. 02

0. 04De

n

s

i

ty


Tests de Normalit

SHAPIRO-WILK ( N< 50 )

KOLMOGOROV-SMIRNOV ( N> 50 )

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Hypothses de normalit requise pour

test T, ANOVA

rgression,

Intervalles de confiance (valeurs normales)


Prsentation des rsultats

Toujours rappeler la population tudie, les patients inclus ou exclus,

Prciser les mthodes statistiques utilises

Faire des tableaux de synthse

Utiliser des graphiques

Existence de recommandations ( http://www.consort-statement.org/)

Suivre scrupuleusement les guidelines si article scientifique !!!


Utilisation de la moyenne si distribution symtrique, de la mdiane si distribution asymtrique

Pas de moyenne sans dviation standard

Pas de mdiane sans quartiles

Pas de frquence sans Intervalle de confiance

Prsentation des rsultats

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 2 4 6 8 10 12

moyenne

mdiane


Intervalles de confiance 95%

dun paramtre numrique :

si X suit une loi normale

dune moyenne :

quelque soit la loi de X, si n > 30

dune frquence

si np , nq > 10

DS 96.1 x

n

DS 96.1 x

n

p)-p(11.96 p


Normalit dun paramtre


La droite de Henry

Normalit : trs important car condition de nombreux tests

Mthode graphique qui permet de vrifier la normalit dune distribution

Soit X, une variable alatoire N(m,)

: ]-,+[ [0,1]x (x) = P(X


En pratique

Soit (X1, ... , Xn) un chantillon issu de X, R1, ..., Rn les rangs associs, 11

RiYi

n = +

Si X suit une loi normale, alors les points (Xi,Yi) sont aligns

R2 = 0.9775

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

Droite de pente 1/ coupant laxe des abscisses en m.

Cas particulier des diagrammes P-P


Le test de Shapiro-Wilk

Test implment dans de nombreux logiciels et utilis pour des petits chantillons

Bas sur le calcul des diffrences symtriques :

d1 = Xn - X1d2 = Xn-1 - X2

. . . . . . . . .dk = Xn-k+1 - Xk

On obtient k=n/2 ou k=(n-1)/2 diffrences selon la parit de n

Puis on calcule :1

k

i ii

b a d=

= , ( )21

n

ii

S x x=

= puis

bW

S=

Les ai sont des coefficients dpendants de i et n

Utilisation dune table qui permet de conclure.


Exemple

Xi di ai ai*di 16.3 31.0-16.3=14.7 0.5150 7.5705 16.8 19.6 27.4-16.8=10.6 0.3306 3.50436 19.8 20.6 27.0-19.6=7.4 0.2495 1.8463 21.0 22.4 25.0-19.8=5.2 0.1878 0.97656 23.0 23.4 24.4-20.6=3.8 0.1353 0.51414 23.9 24.4 23.9-21.0=2.9 0.0880 0.2552 25.0 27.0 23.4-22.4=1 0.0433 0.0433 27.4 31.0 23

1

14.71k

i ii

b a d=

= =

( )21

220.77n

ii

S x x=

= =0.9803W =

Lecture de la table : = 0.05

n = 15

C(,n) = 0.881

H0 : le paramtre suit une loi normale

W > C(,n)

On ne rejette pas H0


Comparaisons de groupes


Comparaisons de groupes

Dpend du type de variable : Qualitatitives : Khi ou Fisher Exact

Quantitatives

Comparaison Quantitatives 2 approches: Tests paramtriques : Student par exemple

Paramtrique = on fait une hypothse sur la loi du paramtre

on compare des moyennes : interprtation facile

Hypothse forte : normalit !!!

Tests non paramtriques : Bas sur des rangs

On compare des distributions : interprtation dlicate

Mais pas dhypothse de loi mais conditions dapplication


Soit H0 : Les 2 caractres sont indpendants Calcul des effectifs thoriques Tij=( Li * Cj) / N (tous suprieurs 5)

1 degr de libert

Calcul de D = 8,11 on rejette lindpendance

EXEMPLE : On veut savoir sil existe une relation de cause effet entre un pneumococque et le dcs.

V (vivant) D (dcs)

Pneumocoque G1 33 15 48

Autre G2 314 55 369

347 70 N=417

On dispose dun chantillon se rsumant ainsi :

La mortalit est-elle plus leve chez les pneumocoques ?

Comparaisons de frquence : le test du Khi


d Indpendance : gnralisation

Sous lhypothse dindpendance,

Calcul de :

Degrs de libert : = (k-1) * (p-1) Utilisation de la table pour dterminer une valeur limite z Conclusion du test : si D > z alors rejet de H0, donc il existe une liaison entre

les caractres A et B

A1 A2 ........ Aj ........ AkB1 O11 ........ ........ ........ ........ O1k L1B2 O21 ........ ........ ........ ........ O2k L2

........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........Bi ........ ........ ........ Oij ........ ........ Li

........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........Bp Op1 ........ ........ ........ ........ Opk Lp

C1 C2 ........ Cj ........ Ck N

On souhaite savoir si deux paramtres A et B sont indpendants

On construit le tableau de

contingence croisant A et B

( )1 1

p k

i j

Tij OijD

Tij= =

=

*Cj LiTij

N=

Attention Tij < 5


Cas particuliers : Fisher exact

Test pouvant remplacer le dans le cas deffectifs thoriques infrieurs 5.

Bas sur la combinatoire

Valide quelque soient les effectifs thoriques

Valide quelque soit le nombre de lignes et de colonnes

Attention, temps de calcul prohibitif si le nombre de cases du tableau est lev


a b

c d

2 Modalits 3 Modalits

( ) si b+c 10

b c

b c

=

+

( )1 si b+c


Comparaisons de moyennes


Tests paramtriques

Chaque fois que possible, utiliser des tests paramtriques car plus faciles interprter et utilisent linformation totale (pas de perte dinformation) et donc a priori plus puissants.

Attention : des conditions vrifier : Normalit de la distribution (population totale ou par sous-groupe)

Lquilibre des groupes (mme effectif dans chaque groupe)

Lgalit des variances (test de Fisher ou de Levene)

En fonction de la compatibilit avec certaines de ces conditions, possibilit dutiliser un test paramtrique


Comparaison de 2 groupes

X ~ N(m,) ?

galit desVariances ?

OUI

NONOUI

Test de StudentApproximationde Satterthwaite

N1, N2 > 30 ?

NONOUI

Test de Student

Wilcoxon(non-paramtrique)

NON

Loi symtrique ?

OUI NON


Comparaison de k groupes

Paramtrique : ANOVA (pas au programme)

Non paramtrique : test de Kruskal-Wallis

H0 : les moyennes (ANOVA) ou les distributions (KW) sont les mmes dans les k groupes

Cas 1 : on ne rejette pas H0 Pas de diffrence STOP

Cas 2 : on rejette H0 O sont les diffrences ? Post-hocs

Post-hocs : comparaisons multiples (par exemple, comparaison des groupes 2 2)


Le modle linaire

Permet de modliser de nombreux plans dexprience, simples ou complexes, en indpendant ou appari, un ou plusieurs facteurs.

Hypothse pralable de normalit sur lerreur (les rsidus)

En fait, comme tout modle linaire, validation a posteriori : Analyse des rsidus

Analyse des individus influents


Dfinition - Impact

Utilis en gnral sur de petits chantillons (taille infrieure 30 individus).

Pas de statistiques en dessous de 8par groupe

Attention : les thormes statistiques (Th Central limite, par exemple) ne sappliquent plus Ncessit de disposer de tests spcifiques

Interprtation plus complique : on ne compare pas des moyennes.

Problme de lestimation : Dans les statistiques standard : moyenne, dviation standard

Dans les modles



Distribution-free tests : tests ne faisant aucune hypothse a priori sur la distribution des variables analyses (pas dhypothse de normalit).

Gnralement bass sur lanalyse des rangs.

RANG(X i) : Position de la valeur Xi dans la srie classe par ordre croissant

-2 3 2 1 0 -1 -3 4 5 -4 3 8 7 6 5 4 2 9 10 1

On obtient une nouvelle variable Rx qui varie de 1 n

Problmes :

On gomme les diffrences

Tests moins puissants

Attention aux ex-aequo (individus ayant la mme valeur Xi)

soit (X1, X2,, Xn) n valeurs numriques dune mme variable


Le test de Wilcoxon ou Mann-Withney

Utilis pour comparer les distributions de 2 groupes indpendants

H0 : Fa(X) Fb(X) (les fonctions de rpartition sont diffrentes)

On classe les observations par ordre croissant et on calcule la somme des rangs dans chaque groupe.

On obtient une variable de dcision qui suit une N(0,1) si au moins 8 individus dans chaque groupe

X

Si distribution identiques, alors mlange parfait entre le groupe A (ronds rouges) et le groupe B (triangles verts).

Dans ce cas, les sommes des rangs sont identiques (ou proches) dans les 2 groupes


Le test de Wilcoxon

Soit n et m les effectifs des groupe 1 et 2,

Wx la somme des rangs du groupe A (ou B)

Sous H0 : les distributions sont identiques, on peut calculer E(Wx) et V(Wx)

( 1)( )

2

n n mE Wx

+ +=( 1)

( )12

nm n mV Wx

+ +=et

Si n et m > 8, alors suit une loi N(0,1)( )

( )

Wx E WxZ

V Wx

=

(Formules valides sans ex-aequo)


Le test de Kruskal-Wallis

Utilis pour comparer les distributions de plus de 2 groupes indpendants

H0 : les distributions (fonctions de rpartition) sont gales

Bas sur la diffrence de la moyenne des rangs dans chaque groupe la moyenne des rangs sur la population globale

Si Ni 5, on obtient une variable de dcision H qui suit un k-1 ddl

2

21

1 (N+1)H - N

4

ki

i i

R

S n=

=

( N, effectif total, Ni effectif par groupe et Ri somme des rangs du groupe i )

(Formule sans ex-aequo)


Kruskal-Wallis : diffrences 2 2 ?

Exemple : 3 groupes G1, G2 et G3 Test global significatif

On aimerait comparer G1/G2, G2/G3 et G1/G3 : 3 tests post-hoc !!!

Attention : Ncessit dune correction du risque

Option 1: Utiliser les procdures implmentes dans certains logiciels (SAS, SPSS, ) et qui permettent une correction : Procdure de Dwass-Steel

Procdure de Conover-Inman

Option 2: on effectue 3 tests de Wilcoxon au risque /3

2 options possibles :


La mthode de Conover

On transforme la variable X en variable R en calculant les rangs (en faisant attention aux ex-aequo).

On ralise une ANOVA normale sur la variable R (en utilisant les corrections du risque a telles que Bonferroni ou Tukey)

Mthode simple mais pas forcment optimale (simulations) et qui a t critique (prservation du risque alpha et puissance)

Rank Transformations as a Bridge Between Parametric and Nonparametric Statistics, W. J. Conoverand Ronald L. Iman - The American Statistician - Vol. 35, No. 3 (Aug., 1981), pp. 124-129


Quelques exemples


Exemple 1 : comparaison de 2 groupes

Comparaison du BMI dans 2 groupes

Question 1 : le BMI suit-il une loi normale dans cet chantillon ?

Test de Shapiro-Wilk :

W=0.978 et p = 0.891

On ne rejette pas H0

Le BMI suit une loi normale !

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 N11 N12Gr 1 20 22 23 23 23 23 24 24 25 25 26 27Gr 2 25 26 26 27 27 27 28 28 29 30



Utilisation dun test paramtrique : le test de Student

Test de Fisher (ou Levene)F=1.56 , p=0.5155

galit desVariances ?

Cas 1 : Variances galesTest de Student sur variances pooles

T = - 4.85DF = 20p < 0.0001

Cas 2 : Variances ingalesTest de Student avec

corr Satterthwaite

T = - 4.96DF = 19.98p < 0.0001



Si le BMI navait pas suivi une loi normale, alors utilisation du test de Wilcoxon.

Somme des Rangs du Groupe 1 : 85.5

Somme des Rangs du Groupe 2 : 167.5

Z = 3.4582

p = 0.005

Les distributions du BMI sont statistiquement diffrentes dans les 2 groupes.


Exemple 2 : le test de Kruskal-Wallis

3 groupes de 10 individus Rponse cote de 0 20

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 Somme RiGr 1 7 8 6 5 6 7 9 10 9 8 57.5Gr 2 9 12 11 11 10 12 12 11 13 12 156.5Gr 3 13 12 14 15 15 16 14 15 16 13 251

Test de KW :

Khi = 24.3885

DDL = 2

P < 0.0001


Kruskal-Wallis : diffrences 2 2 ?

On aimerait comparer G1/G2, G2/G3 et G1/G3 : 3 tests post-hoc !!!

Attention la correction du risque !! !! !! !!

Option 1 : correction disponible dans le logiciel

Option 2: on effectue 3 tests de Wilcoxon au risque /3

2 options possibles :

G1#G2 , G1#G3 et G2#G3

G1-G2 : p=0.00004

G2-G3 : p=0.00013

G1-G3 : p=0.00001< 0.0166


Mthode de Conover

On transforme la variable en rang

On ralise lANOVA sur les rangs

Si rejet de H0, comparaisons post-hoc

Test global : p < 0.0001

Tests post-hocs significatifs

Mmes conclusions quavec le test de Kruskal-Wallis


Exemple 2 : Modle linaire

Utilisation du modle linaire

Test de leffet global

Vrification de linfluence et des rsidus

Si modle OK et effet global significatif, alors calcul des tests post-hoc

Et si la loi tait normale ??? Test de Shapiro-Wilk p=0.3541 !

La distribution suit une loi normale


Exemple 2 : Modle linaire

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30

Obs Number

Res

idua

l

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 5 10 15 20 25 30 35

Obs Number

Coo

k's

D

Rsidus alatoires et normalement distribus

2 individus ayant une Distance de Cook (influence) suprieure 4/n

mais infrieure 1.

Modle paramtrique parfaitement valide !!!

Vrification du modle sans les 2 individus


1 groupe Mesures rptes


2 mesures

Problmatique : mme paramtre X mesur 2 fois sur le mme individu : Mesure Avant / Aprs traitement par exemple.

Plusieurs mthodes possibles

Cas 1 : X suit une loi normale Test paramtrique Test T appari

Cas 2 : X ne suit pas une loi normale

Tests non paramtriques

Test des signes

Wilcoxon appari


Test de Student pour donnes apparis

On suppose que le paramtre X suit une loi normale, X mesur 2 fois : X1 et X2

H0 : m1=m2

On calcule, pour chaque individu, la diffrence d, puis la moyenne et la dviation standard de la diffrence.

d

dt

n

=alors suit une loi de Student n-1 ddl


Le test des signes

On dispose de n diffrences

Soit K le nombre de diffrences positives (ou ngatives)

Sous H0 : m1=m2, il y a une chance sur 2 quune diffrence soit positive

On peut tablir la loi de K qui suit une loi binomiale

K ~ B(n,1/2)


Le test de Wilcoxon pour donnes apparies

On dispose de n diffrences en valeur absolue

On ordonne par ordre croissant et on calcule les rangs

Soit Wx la somme des rangs des diffrences positives

Sous H0 : les distributions sont identiques, on peut calculer E(Wx) et V(Wx)

( 1)( )

4

n nE Wx

+=( 1)(2 1)

( )24

n n nV Wx

+ +=et

Si n > 10, alors suit une loi N(0,1)( )

( )

Wx E WxZ

V Wx

=

(Formules valides sans ex-aequo)


Exemple

10 vins nots par 2 experts

Diffrence de notation ?

1) Normalit ?

OUI : D suit une loi normale

2) Utilisation du T appari

md=9

d=7.90n=10

t=3.60

ddl=9

p=0.0057 Trs significatif !

Num X1 X2 D Ri1 62 79 17 92 73 69 -4 13 66 84 18 104 69 83 14 75 61 72 11 56 69 71 2 37 64 62 -2 28 76 83 7 49 61 73 12 610 65 80 15 8

Moyenne 66.6 75.6 9


Exemple

Si la loi navait pas t normale , utilisation de tests non paramtriques

1) Test des signes : K=2 diffrences ngatives - K suit une B(10,1/2)

2) Wilcoxon appari : Wx=50.5 (sommes des rangs des diff >0)

( 1)( ) 27.5

4

n nE Wx

+= = ( 1)(2 1) 10*11*21( ) 96.2524 24

n n nV Wx

+ += = =

( ) 50.5 27.52.3444

( ) 96.25

Wx E WxZ

V Wx

= = = p=0.019

( )2

10

100

0.5 0.0547 en unilatral, 0.109 en bilatralkk

p C=

= = NS !!

?


3 mesures ou plus

Problmatique : mme paramtre X mesur k fois sur le mme individu : Test de plusieurs traitements / Mesures rptes dans le temps.

Plusieurs mthodes possibles

Cas 1 : X suit une loi normale Paramtrique Modle linaire

Cas 2 : X ne suit pas une loi normale

Test non paramtriques

Test de Friedman


Le test de Friedman

Un chantillon de n individus, k mesures rptes

On calcule le rang de chaque variable pour chaque individu

Test bas sur la dispersion des rangs moyens de chaque mesure

2

1

12 1

( 1) 2

k

i

i

n kQ R

k k =

+ = +

Q suit une loi de Khi k-1 ddl

(Formule valide sans ex-aequo)


Exemple

Obs X1 X2 X31 7.7 7 5.12 9.2 8.3 7.93 5.5 4.8 5.34 8.8 8.1 7.75 8.3 7.2 5.56 7.9 7.5 5.37 7.2 7.1 4.98 8.5 7.3 89 9.4 8.4 8

10 8.9 8.2 7.9

8.14 7.39 6.56

10 souris Hormone mesure M0, M6, M12Obs R1 R2 R3

1 3 2 12 3 2 13 3 1 24 3 2 15 3 2 16 3 2 17 3 2 18 3 1 29 3 2 1

10 3 2 1

3 1.8 1.2

Rangs

Q=16.8 Suit un Khi 2 ddl p=0.0002245Trs significatif !!

Problme des tests post-hocs : pas simple !!!

Alternative : Wilcoxon apparis 2 2 avec correction du risque


Associations entre paramtres


Le coefficient de Corrlation : Introduction

EXEMPLES : Rapport entre la taille et le poids

Rapport entre un prix de vente et une superficie

Interaction entre des paramtres biologiques

etc ...

Utilis pour tudier la liaison (ou lindpendance) entre 2 paramtres numriques.

On considre donc un couple de variables (X,Y)

N couples (Xi,Yi) , ralisations du couple de variables alatoires (X,Y)


Le coefficient thorique

REMARQUES :

est toujours compris entre -1 et 1

Si X et Y sont indpendantes, alors E(XY)=E(X)E(Y) et donc = 0

Sil existe une relation fonctionnelle du type Y=aX+b entre X et Y, alors || = 1

Soit (X,Y) un couple de variables alatoires

Le coefficient de corrlation linaire entre X et Y est dfini par :

2 2 2 2

COV(X,Y) E(XY)-E(X)E(Y)

X Y X Y

= =


1(xi-x)(yi-y)

n 1 12 21 2 2 et (xi-x) (yi-y) avec n n1 1x y

n

n nr S Sx yS S

= = =

De mme que pour le coefficient thorique : r est compris entre -1 et 1

r = 0 : pas de liaison

r proche de 1 : liaison fonctionnelle

ATTENTION : absence de liaison nest pas quivalent indpendance

On dispose d un chantillon de taille N (N>30)(X1,...,Xi,...Xn) et (Y1,...,Yi,...Yn)

On dfinit le coefficient de corrlation de BRAVAIS-PEARSON par :

Le coefficient observ


Du bon usage de r !!!

r mesure le caractre LINEAIREdune liaison

Usage rserv des nuages de points o les points sont rpartis de part et

dautre dune tendance

R est trs sensible aux individus extrmes.

Attention aux valeurs aberrantes.

Utilit de la reprsentation graphique.


Le coefficient de corrlation de Spearman

Soient (X1,...,Xi,...Xn) et (Y1,...,Yi,...Yn),

(R1,...,Ri,...Rn) et (S1,...,Si,...Sn) les rangs associs.

Le coefficient de corrlation de Spearman calcul entre (X1,...,Xi,...Xn) et (Y1,...,Yi,...Yn) est gal au coefficient de corrlation de Pearson calcul entre (R1,...,Ri,...Rn) et (S1,...,Si,...Sn).

Utilis en non paramtrique si N


Exemple

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

X

Y

2 paramtres numriques mesurs chez 10 patients

Mesure de lassociation : calcul du coefficient de Spearman

R=0.973 p


Des questions ???

Patrick Devos Dlgation la Recherche - [email protected]

Alain Duhamel Ple de Sant Publique - [email protected]

Possibilit de RDV le Mardi AM ou Jeudi AM (ou autre si ncessaire)

Mme Brigitte Bonneau

Ple de Sant Publique

03 20 44 55 18

Contact :

Julia Salleron Ple de Sant Publique [email protected]

Documents

coursMaster2012-PDevos