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CYCLE 2 - CYCLE 3 - DES PROBLEMES POUR CHERCHER

SOMMAIRE

- Pourquoi des problèmes pour chercher à l’école primaire p.2

- Synthèse du document « Mathématiques à l’école primaire » p.3

- Démarche (Document J-L Millet) p.4

- Objectifs méthodologiques : progression (Document J-L Millet) p.5

- Aide aux difficultés p.6

- Difficultés dans la lecture des énoncés p.10

- Typologie de problèmes de référence p.12

- Apprendre à schématiser p.13

- Bibliographie - Sitographie p.14

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Pourquoi des « problèmes pour chercher » à l’école primaire ?

D’après Document MEN « Mathématiques école primaire »(2003) – cf également Document MEN/SCEREN « Le nombre au cycle 2 »(2010)

Dans ces activités, l’enseignant doit créer les conditions d’une réelle activité intellectuelle des élèves […]. Ils doivent être mis en situation de prendre en charge les différentes tâches associées à la résolution d’un problème : – faire des hypothèses et les tester ; – élaborer une démarche pertinente afin de produire une solution personnelle […] ; – vérifier par eux-mêmes les résultats obtenus ; – formuler une réponse dans les termes du problème ; – expliquer leurs méthodes, les mettre en débat, argumenter. Cinq objectifs différents peuvent être dégagés : 1) La pratique du « problème pour chercher » développe la capacité de l’élève à faire face à des situations inédites. 2) Dans la résolution de ces problèmes, l’élève prend conscience de la puissance de ses connaissances, même si celles-ci sont modestes. Il existe en effet toujours plusieurs moyens d’élaborer une réponse, faisant appel à des registres de connaissances différents …. 3) L’activité de l’élève dans la résolution d’un « problème pour chercher » valorise des comportements et des méthodes essentiels pour la construction de leurs savoirs : prendre des initiatives (tenter, faire des essais…), être critique vis-à-vis de son travail (contrôler, analyser ses erreurs…), s’organiser, être méthodique (réduire la part du hasard, le nombre de cas à envisager), communiquer (par oral, dans le groupe et face à la classe, par écrit pour rendre compte de sa recherche). 4) Les phases d’échanges et de débats développent les capacités argumentatives de l’élève. Les débats qui s’instaurent soit dans les groupes, soit dans la classe conduisent les élèves à valider ou réfuter une proposition. Un élève qui est persuadé du bien-fondé de son idée, de l’intérêt de la piste qu’il veut explorer ou de la solution qu’il a trouvée, devra convaincre ses camarades. La raison doit l’emporter sur la passion. Pour cela, le maître gère les débats afin que ce soit la valeur de l’argument qui l’emporte. Ni la force de conviction de celui qui le défend, ni le fait que cet argument soit accepté par la majorité des élèves ne doivent être décisifs quant à la validité d’un argument : en mathématiques, l’accord du plus grand nombre sur une proposition ne constitue pas un critère de sa validité. 5) Ce type d’activité contribue à l’éducation civique des élèves. Les moments de recherche sont plus efficaces si l’on s’entraide : les idées proposées par les uns, même erronées, alimentent celles des autres. Les moments de débat offrent également l’occasion de travailler l’écoute, la prise en compte et le respect d’autrui. Donner un problème de recherche, c’est lancer un défi. Les situations sur lesquelles portent les problèmes proposés peuvent être issues de la classe, de la vie courante, de jeux, d ’autres domaines de connaissances ou s’appuyer sur des objets mathématiques. Elles sont présentées sous des formes variées : expériences concrètes, description orale, support écrit. La validation de la solution doit être le plus possible à la charge des élèves. Ils doivent pouvoir se rendre compte par eux-mêmes du bien-fondé ou non de leur réponse, par l’échange d’arguments destinés à défendre ou contredire une proposition, par des contrôles tout au long de leur recherche et, si possible, par une vérification, à la fin, sur la situation elle-même.

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Problèmes pour chercher (Synthèse A Maingraud D'après Document d'accompagnement « Mathématiques. Ecole

primaire. Scéren 2005 »)

1- Caractéristiques

- Issus de la vie de la classe, de la vie courante, d'autres domaines de connaissance

- Présentation sous des formes variées; pas toujours sous la forme d'un texte suivi de questions

- Appropriation facile de la situation et représentation rapide de la tâche

- Obstacle centré sur les moyens de la réponse et non sur la compréhension de la situation

- Situation « résistante »

- La manipulation ne suffit pas à la résolution

- Situation de « défi » à réaliser, à surmonter; mise en scène importante (rôle du maître)

- Validation possible, à la charge des élèves

- Nécessité d'échanges permettant la formulation d'arguments pour défendre ou contredire

- Possibilité d'une vérification générale à la fin

2- Objectifs

- Pas situés dans la lecture mais dans la résolution de problème

- Rendre l'élève capable de :

Faire face à des situations inédites

Prendre conscience de l'ensemble de ses connaissances

Valoriser comportements et méthodes de travail essentiels dans la construction des savoirs

Développer des capacités d'argumentation

Travailler l'écoute, la prise en compte et le respect d'autrui

3- Démarche possible

Enoncé de la situation, compréhension du problème

Travail individuel (5')

Travail en groupe avec désignation d'un rapporteur (qui tourne) sur un support favorable à la récupération des

procédures des élèves

Communication collective (éventuellement différée par rapport à la recherche; prise en compte des recherches):

débats. Importance du choix dans la désignation de l'ordre des passages

Validation d'une proposition (validation faite par les élèves): écriture mathématique

Vérification ou application de cette règle à partir d'une nouvelle situation voisine de la première

Synthèse sur les connaissances mobilisées et la méthode utilisée

Prolongement: proposer une situation similaire plus compliquée ou la faire imaginer par les élèves les plus avancés

Institutionnaliser des séances de « Problèmes pour chercher »

4- Rôles du maître

N'apporter aucune aide sur la résolution (même si c'est difficile!)

Circuler, observer les procédures, les relations entre les élèves, noter éventuellement les éléments intéressants

Lors de la communication et des échanges, se mettre en retrait

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DIFFICULTES

AIDES OU APPRENTISSAGES NECESSAIRES

L’élève ne prend pas d’initiative L’élève ne prend pas le risque de se tromper L’élève n’accepte pas de s’être trompé

- Proposer des situations dans lesquelles il y a une vraie prise de risque, de vrais enjeux : jeux de société, énigmes (« Les enquêtes de l’inspecteur Lafouine »- Editions buissonnières), « rallye-maths ». - Proposer des outils facilitant la mémorisation (Ex. référents collectifs sous forme d’affichages, cahier-mémoire, temps de classe dévolus à l’identification des stratégies de mémorisation) - Inviter à anticiper un résultat, à avoir une idée du travail à produire pour orienter sa recherche. Travail sur les hypothèses et les données de tâche

Que pouvons-nous bien faire de ça ? Qu’est-ce que cela nous apprendrait ? Que savons-nous déjà faire pour réaliser cela ? Recherche de la finalité disciplinaire de la tâche proposée

Que devons-nous faire exactement ? Anticipation sur les conduites cognitives à employer Planification

Comment va-t-on s’y prendre ? Qu’est-ce que cela t’amène à faire ? A quoi faut-il prendre garde ? - Faire un détour par des situations mathématiques présentées avec humour dans la littérature : SCIESZKA « La malédiction des maths »-FRIOT « Histoires pressées »- AYME « Contes du chat perché- Le problème »- ROUER « Nulle en calcul »- M.ANNO « Jeux mathématiques »- - Dédramatiser l’erreur et montrer le caractère constructif de l’erreur en l’exploitant collectivement pour en tirer des conclusions. L’enseignant peut également faire des erreurs et inciter le groupe à la repérer. - Prendre appui sur des réalisations concrètes, des situations où on a réussi.

L’élève n’arrive pas à travailler seul. - Morceler la tâche et le temps imparti. - Lui demander de commencer seul et revenir 5 min plus tard puis de façon rythmée. Espacer les présences au fil des séances puis l’aider à s’organiser (par ex. plan des étapes) ou démarrer l’exercice avec lui. - Construire avec l’élève des contrats de travail en fixant des objectifs réalisables. - Avoir des élèves ressource dans la classe (pour encourager, booster, valider…)

DIFFICULTES LORS DE LA LECTURE DE LA SITUATION

Difficultés à construire une représentation du problème : Prégnance de certaines règles du contrat didactique « C’est un problème mathématique proposé par le maître. Ce dernier veut que je fasse des opérations. Tout problème a une solution… »

- Casser ces règles en leur proposant de temps à autre - des problèmes sans solution, - des problèmes avec des données supplémentaires, - des problèmes qui n’utilisent pas les dernières opérations étudiées, - des problèmes pour lesquels les élèves doivent chercher des informations complémentaires - des problèmes sans question - la solution d’un problème dont il faut reconstruire l’énoncé.

- Etre attentif à la diversité des formes de présentation.

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Difficultés à construire une représentation du problème : Prégnance des mots inducteurs ou encore certains mots ne sont pas connus de l’élève.

Nous constatons que certains élèves, lors de la lecture des premiers mots de l’énoncé, se construisent une représentation qu’ils ont ensuite beaucoup de peine à changer. Dans la suite de la lecture, ils ne repèrent plus que les indices qui vont dans le sens de la représentation qu’ils ont commencé à se construire. Certains mots amènent les élèves à mobiliser certaines opérations : chaque, range, total, reste, plus…

- Faire de « vraies » séances de lecture-compréhension à partir d’énoncés de problèmes. Cf. Document MEN 2003 LIRE ET ECRIRE AU CYCLE 3 p. 13 à 15 - Faire prendre conscience aux élèves que ces mots inducteurs peuvent conduire à des résultats faux. Le mot « plus » peut vouloir dire qu’il faut faire une soustraction plutôt qu’une addition. Ex : « Florian qui a 5 ans de “plus” que son frère est âgé de 16 ans. Quel âge a son frère ? » Se faire un outil d’aide (affiche) avec les mots classés : mots inducteurs, mots distracteurs. - Travailler sur différents types de consignes consignes explicites : ex : calculer la somme d’argent… /consignes semi explicites : ex quelle est la somme d’argent (calculer)- quel est le coté le plus long (citer)/ consignes totalement implicites : que peut-on dire du triangle ? - Faire une liste de verbes utilisés dans les problèmes mathématiques et les regrouper en fonction de leur signification (ajouter, enlever : il faut calculer- reproduire tracer : il faut faire un dessin- justifier, dire pourquoi : il faut donner une explication) - Faire une liste ordonnée des mots et expressions complexes du langage mathématique : - S’assurer de la compréhension des mots polysémiques dont le sens n’est pas le même que dans l’usage ordinaire. - Utiliser l’oral dans toutes ses fonctions : décrire, reformuler, expliciter la situation, formuler des hypothèses, débattre, expliquer, argumenter… - Il semble qu’une lecture efficace d’un énoncé se fasse en trois temps : lecture narrative pour se construire une représentation, une lecture informative pour prélever des informations sur des supports qui doivent être variés, une lecture prescriptive pour sélectionner les informations nécessaires à la tâche à accomplir. - Les recherches montrent que la question formulée au début aide à la compréhension. Entraîner les élèves à lire la question puis le texte. - Distinguer ordre des données et ordre de traitement. Entraîner les élèves à réorganiser les données dans l’ordre où elles sont utilisées lors de la résolution. - Mettre en évidence la structure chronologique ou/et logique de la situation. Faire verbaliser l’implicite, aider aux inférences. - Mettre en place une programmation des apprentissages méthodologiques : cf. document RESOLUTION DE PROBLEMES/PROGRESSION/OBJECTIFS METHODOLOGIQUES

Difficultés à construire une représentation du problème : La surcharge de la mémoire de travail : après

la lecture de l’énoncé, l’élève n’a pas mémorisé les données importantes.

- Lire pour eux le texte plusieurs fois ou proposer des énoncés accompagnés de dessins, de schémas… - sélectionner lors de la lecture par le maître les éléments utiles à la résolution et les noter sous forme de liste. - Lui demander de schématiser le problème ce qui suppose d’apprendre à schématiser (de la représentation figurative à la représentation codé des éléments nécessaires à la résolution). - Lui demander de raconter l’énoncé. - Matérialiser le problème. - Scinder la tâche en tâches secondaires

Difficultés à construire une représentation du problème : Le contexte du problème ne renvoie pas l’élève à un vécu social familier

- Modifier l’énoncé afin qu’il soit plus explicite pour l’élève. - Passer par la manipulation, la théâtralisation - Mathématiser des situations banales (cf. « La malédiction des maths » : «On a acheté du matériel pour une classe : des feuilles de bristol, des crayons et des gommes.

♦ 2 feuilles et 3 crayons coûtent 70 centimes d’euro ;

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♦ 6 feuilles coûtent 30 centimes d’euro ; ♦ 3 feuilles, 2 crayons et 4 gommes coûtent 95 centimes d’euro ; ♦ Combien coûte une feuille, un crayon, une gomme ? »

Ou encore : « Je n’arrive plus à digérer les pizzas et les tartes. Je somnole en classe quand tout à coup, me voilà propulsé dans un cauchemar. Il y a des tartelettes qui voltigent autour de moi. En les comptant le tournis augmente. Il y en a 20. Le boulanger me dit : tu vas les placer dans des boites. Bing, je reçois cinq boites sur la tête. Il y en a deux jaunes et trois vertes. Le boulanger continue : il faut utiliser toutes les boites et les boîtes d'une même couleur doivent contenir le même nombre de tartelettes. Tu peux, si tu veux, partager les tartelettes en deux ou en trois parts égales, mais pas plus.

Je me mets au travail, mais j’hésite car il y a plusieurs façons. »

DIFFICULTES LORS DE LA RECHERCHE D’UNE PROCEDURE

Difficultés à élaborer une procédure : Des blocages psychologiques : je suis nul en

mathématiques

- Travailler sur des problèmes de logique sans nombres ou sans calcul (cf ERMEL CP) ex dans une figure trouve combien il y a de carrés - Ne pas se limiter à enseigner « LA » bonne solution mais enseigner la diversité des solutions. Le passage à la solution experte nécessite la confrontation à de nombreuses situations de même type avec des entrées ou des questionnements différents. Ce passage ne peut se faire pour tous les élèves de façon simultanée. Il importe que l’enseignant accepte cette réalité. La différenciation par procédure: C’est accepter que chacun expose sa solution, ses procédures sans établir de hiérarchie dans un premier

temps. Ex: Pour certains élèves l’addition à trou donne du sens à la question posée alors que la soustraction ne leur semble pas encore adéquate… Pour faire progresser un élève, l’idée est d’essayer de le faire passer d’une procédure personnelle à une

procédure plus experte en jouant sur certaines variables didactiques : - La taille absolue ou relative des nombres en jeu. - Le temps consenti à chacun. - L’allègement de la charge de travail immédiat. - L’utilisation d’outils facilitants. (calculette). Cela peut se faire dans le cadre de groupes homogènes. La différenciation par les rôles. Lors d’activités de collaboration, distribuer les rôles en fonction des compétences de chacun ou inversement dans l’optique d’améliorer un déficit dans une compétence. Cela peut se faire dans le cadre de groupes hétérogènes ou classe entière

Difficultés à élaborer une procédure : La faible richesse des réseaux de connaissances stockés en mémoire à long terme

- Aider l’élève à prendre conscience de la puissance de ses connaissances, même si elles sont modestes. Rappeler le contexte d’acquisition ou le document mémoire. - Mettre en relation la consigne avec les connaissances ou compétences méthodologiques construites antérieurement

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Difficulté à transférer des connaissances déjà construites

- Modéliser : aider les élèves à mémoriser des problèmes de référence. (problèmes pour apprendre classés cf. Typologie de Vergnaud) - Donner une liste d’opérations et demander aux élèves de retrouver parmi une liste d’énoncés celui ou ceux qui se résolvent à l’aide de cette suite d’opérations. - L’enseignant doit faire expliciter toutes les procédures mobilisées puis les faire hiérarchiser en proposant des situations où les procédures qu’ils connaissent sont lourdes, longues ou sources d’erreurs. Transpositions A quelle autre occasion auras-tu besoin de…?

DIFFICULTES POUR APPLIQUER LA PROCEDURE ET L’EXECUTER

Difficultés à exécuter la procédure de résolution Non maîtrise de certaines techniques opératoires

- Autoriser la calculatrice. - Connaître le champ d’application de chacune des opérations . Préciser les opérations à réaliser sans les effectuer - Donner du sens au travail régulier toute l’année sur les techniques de calcul et les écritures symboliques.

Difficultés à exécuter la procédure de résolution Difficultés à contrôler la représentation du problème, la procédure de résolution ou le résultat

- Demander aux élèves de prendre position par rapport à leur résultat en écrivant s’ils sont sûrs de leur production et pourquoi. - Renvoyer à l’étape de représentation de la situation où on aura anticipé sur le résultat, l’ordre de grandeur…

Difficultés à exécuter la procédure de résolution Difficulté dans la complexité des situations à aborder en même temps

- Progression : problèmes à une opération – problèmes avec étape intermédiaire explicite- problèmes avec étapes intermédiaires trouvées par l’élève

DIFFICULTES LORS DE LA COMMUNICATION DE LA REPONSE

Difficultés à expliciter ses procédures - Poser des questions qui ouvrent à la communication « A quoi le vois-tu ? Comment tu le sais ? Qu’est-ce qui te fait dire que ? Y-es-tu parvenu ? Peux-tu trouver une autre manière de faire ? Comment as-tu su que c’était juste ? Que vas-tu dire à toute la classe ? - Mettre en place des séances de Langue où on apprend à expliquer, justifier, argumenter en petit groupe ou devant la classe avec un vocabulaire précis.

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Lire et écrire au cycle 3 – MEN/CNDP 2003 – p.15 à 17

Difficultés dans la lecture des énoncés de problèmes en mathématiques

La résolution de problèmes a une place privilégiée dans l’apprentissage des mathématiques à l’école (voir programmes et documents d’application). Si tous les problèmes ne sont pas présentés sous la forme d’un texte, il est cependant important pour les élèves d’apprendre à lire les énoncés avec leurs spécificités. La compréhension de ces textes particuliers est une première étape nécessaire à la construction d’une représentation mentale de la situation mathématique. C’est cette représentation qui permet la réalisation des calculs ou la mobilisation des procédures exigées par la résolution. Nombre des erreurs de résolution sont en fait liées : – à des représentations sémantiques erronées, parfois induites par la polysémie de termes dont les élèves ne retiennent pas le sens particulier en mathématiques ; c’est la compréhension des données qui fait alors difficulté (le « sommet » d’un triangle en géométrie n’est pas nécessairement « en haut », or « sommet » évoque le « haut ») ; – à des difficultés à opérer les inférences indispensables ; c’est l’interprétation des données qui fait difficulté. Les énoncés des problèmes arithmétiques sont nécessairement lacunaires puisque le choix de l’opération – véritable enjeu de la résolution – est lié à l’identification des relations entre les données et que ces relations ne sont pas totalement explicitées par le texte. Il est particulièrement important que, tout au long du cycle 3, les élèves soient confrontés aux énoncés sans la médiation d’une première lecture par le maître (sauf pour les enfants dyslexiques), qu’ils apprennent à naviguer entre données et questions, à passer du texte à d’autres formes de (re)présentations des données (tableau, schéma, graphique, etc.), à interroger leurs acquis pour ajuster des réponses, à mobiliser leurs connaissances du monde pour se représenter les situations et pour valider la plausibilité de leurs réponses, etc. Cette médiation par le maître s’élimine peu à peu, à des moments différents selon les élèves qui peuvent être aidés individuellement ou par petits groupes. Facteurs de difficulté Éléments à considérer Indications de travail

Place de la question Fin ou début : des recherches mettent en évidence que l’indication de la question dès le début du texte est facilitatrice.

On peut inciter les élèves à une double lecture quand la question est en position terminale : lire le texte en entier, reformuler ce que l’on cherche et relire les données sous cet éclairage.

Ordre des données – Ordre correspondant à celui du traitement ou non. – Ordre syntaxique cohérent ou non avec l’ordre logique.

On évitera les stéréotypes et on proposera des énoncés dans lesquels l’ordre de présentation des données est varié.

Complexité du texte – Phrases complexes, en particulier phrases avec des relatives (surtout avec dont). Exemple: « Pierre et Marc vont régulièrement à la piscine. À la fin du trimestre, Pierre, qui est allé 13 fois à la piscine, a payé 10 euros de moins que Marc qui y est allé 5 fois de plus. Quel est le prix d’une entrée à la piscine? Quelle somme chaque enfant a-t-il dépensée? » – Présence de formules inusuelles (sachant que…). – Présence de mots inducteurs « contrintuitifs ». Exemple : « Florian qui a 5 ans de “plus” que son frère est âgé de 16 ans. Quel âge a son frère ? »

Pour les énoncés très complexes, on gagne, pour des élèves en difficulté, à faire effectuer des reformulations du texte : – réécriture (produire un autre texte plus explicite); – reprise des données sous d’autres formes : tableau, représentation graphique, etc.

Caractère plus ou moins complet des données

Données indispensables ou présence de données parasites (inutiles par rapport aux questions posées et exigeant un tri). Exemple : « 24 voitures de formule 1 viennent de prendre le départ d’un grand prix. Elles doivent effectuer 48 tours d’un circuit de 4 km 500. Le tour le plus rapide a été effectué à la vitesse moyenne de 190 km/h. Quelle est la longueur totale de l’épreuve ? Pour le vainqueur, quelle sera la durée approximative de la course? » Thévenet Serge (dir.), Maths. Cycle des approfondissements, cycle 3,CM1, Paris, Bordas, 1996 .

– Afin d’attirer l’attention sur ce traitement, on peut demander de repérer les données inutiles dans le texte, les isoler, voire les supprimer, pour répondre aux questions posées, éventuellement de trouver des questions qui mobiliseraient les données inutilisées. – Les élèves ont tendance à construire un « modèle » de résolution dans lequel ils doivent utiliser tous les nombres donnés dans le texte ; il est bon qu’ils prennent conscience du caractère erroné de cette « fausse règle ».

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Caractère plus ou moins familier de la situation

Nature des connaissances préalables « sur le monde » sollicitées (qu’il s’agisse des acquisitions scolaires ou de celles qui ont été rendues possibles par les expériences vécues).

– Il leur faut apprendre à utiliser leurs connaissances préalables pour valider leur réponse et en vérifier la pertinence, et, en même temps, apprendre à la dépasser. Exemple : pertinence pragmatique (on n’utilise pas 12,5 bus pour transporter les élèves, mais 13). – Les connaissances préalables des enfants peuvent être très variables selon les expériences vécues. Il convient de s’assurer que, face à un texte, chaque élève dispose de référents lui permettant d’élucider les données, de contrôler sa réponse.

Vocabulaire univoque ou non

– Le lexique peut être spécifique aux mathématiques (perpendiculaire, parallèle, etc.) ou non (sommet, multiple, etc.); dans ce cas, il peut naître des ambiguïtés qui constituent parfois des obstacles pour la résolution du problème précis posé. – Des formules utilisées en mathématiques peuvent aussi, malgré leur simplicité apparente, poser des problèmes de compréhension (« Des livres coûtant 12 euros pièce» : le mot « pièce » peut faire obstacle).

– Les acquisitions lexicales doivent accompagner le travail notionnel en mathématiques comme dans les autres domaines. L’élaboration d’un répertoire ou d’outils de référence auxquels les élèves peuvent se référer dans les activités est d’une grande utilité. – Ce travail sur la polysémie de certains mots – et la discrimination de leur sens spécialisé – peut se réaliser dans des séances spécifiques d’étude de la langue.

Informations données sous plusieurs formes

– Texte et graphiques, cartes, photos, schémas, etc. – Situation qui exige de relier des informations de manière explicite ou sans que cela soit explicitement demandé.

En mathématiques comme dans d’autres domaines (sciences, géographie, etc.), on entraînera les élèves à utiliser divers supports et à mettre en relation les informations (à voir leur caractère redondant ou complémentaire).

Problèmes à une ou plusieurs étapes de résolution

Étapes de résolution suggérées ou non par les questions. On passera progressivement de textes dans lesquels les étapes sont suggérées à des textes qui présentent uniquement la question finale. On peut aussi faire de cette variable un élément de la différenciation en donnant aux uns et aux autres des textes plus ou moins « guidant » selon les difficultés qu’ils rencontrent.

Problème fermé ou problème ouvert

– Pas de réponse canonique possible. – Plusieurs solutions possibles. Exemple : « Chez la fleuriste, Paul demande un bouquet composé de roses et d’iris. Les roses valent 2 euros pièce et les iris 1 euro. Le bouquet terminé, la fleuriste dit à Paul: “Ça fait 18 euros.” De combien de roses et d’iris la fleuriste a-t-elle pu composer le bouquet ? »

Il convient de diversifier les textes de telle façon que les élèves ne construisent pas une représentation figée associant une question à une réponse.

Référence notionnelle

Notions à mobiliser – certains mots (fois, partage, reste, différence, total, etc.) induisent la mobilisation d’une notion, d’une procédure, d’un algorithme, pas toujours à bon escient ; – parfois, c’est simplement la proximité temporelle qui fonctionne (on apprend la multiplication, donc on résoudra le problème avec une multiplication ; il reste à bien choisir les nombres s’il y en a plusieurs).

– Il convient d’éviter tout conditionnement même si des répétitions sont nécessaires pour exercer et fixer des savoir-faire. – Quand les problèmes proposés sont « décrochés » par rapport au moment de l’apprentissage des acquis qu’ils sollicitent, la difficulté est plus grande ; ce sont alors vraiment la compréhension de la situation et la capacité à mobiliser ses acquis qui jouent.

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PROBLEMES DE REFERENCE : LA TYPOLOGIE DE VERGNAUD

Problèmes additifs/soustractifs : Composition de deux états Recherche du composé : Paul a 2 billes en terre et 3 billes en verre. Combien Paul a-t-il de billes en tout ? Recherche d'une partie : Paul a 2 billes en terre. Les autres sont en verre. Paul a 5 billes en tout. Combien Paul a-t-il de billes en verre ? Transformation d'un état Recherche de l'état final : Paul a 2 billes. Son copain Pierre lui en donne 3. Combien Paul a-t-il de billes maintenant ? Recherche de la transformation : Paul avait 2 billes. Son copain Pierre lui donne des billes. Maintenant, Paul en a 5 Combien Pierre lui a-t-il donné de billes ? Recherche de l'état initial : Pierre lui donne 3 billes à Paul. Maintenant, Paul en a 5 Combien Paul avait-il de billes au début ? Comparaison d'états Recherche de l'un des états : Pierre a 6 billes, il en a 2 de plus que son copain Léo. Combien Léo a-t-il de billes ? Recherche de la comparaison : Pierre a 6 billes, Léo en a 4. Combien Léo a-t-il de billes de plus que Pierre ? Composition de transformations Recherche de la transformation composée : Au jeu de l'oie, tu avances de 2 cases, puis encore de 1 case. De combien de cases as-tu avancé en tout ? Recherche de l'une des composantes : Lundi matin, Paul a gagné 2 billes. Combien de billes a-t-il gagnées l'après-midi si, au total, il a gagné 5 billes dans la journée ? Problèmes multiplicatifs : Problèmes ternaires n fois plus (ou moins) : Pierre a 3 ans. Son frère est 3 fois plus âgé. Quel âge a le frère de Paul ? Produit cartésien : Avec 3 chemises et 2 pantalons, combien de tenues différentes peut-on former ? Configuration rectangulaire : Un jardinier a planté 3 rangées de 4 salades. Combien de salades a-t-il plantées ? Problèmes quaternaires Multiplication : La maman de Léo a acheté 3 boîtes de 6 oeufs. Combien d'oeufs a-t-elle achetés ? Division-quotition : Un paquet de bonbons coûte 3 euros. Léo a 12 euros. Combien de paquets peut-il acheter ? Division-partition : Léo a acheté 4 paquets de bonbons. Il a payé 12 euros. Combien coûte un paquet de bons ? Proportionnalité : 6 oeufs coûtent 2 euros. Combien coûtent 15 oeufs ?

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CP-CE1 : Apprendre à schématiser (d’après i-profs.fr)

Le but de ces séances est d’arriver à une schématisation qui aide à résoudre un problème. Séance 1 Objectif : représenter une situation

Phase 1 : travail individuel Consigne : écoute l’histoire que te lis le maître et dessine ce qui se passe. Le petit chaperon rouge apporte *** galettes à sa grand-mère. Dans le bois, par gourmandise, elle mange ..*** galettes puis elle continue son chemin jusque chez sa grand-mère.

Phase 2 : collectivement - Le maître sélectionne quelques productions significatives (celles qui racontent l’histoire, celles qui font apparaître les quantités de galettes, celles qui sont sans rapport avec la situation…) ; - Afficher les productions sélectionnées au tableau ; - Laisser les enfants critiquer les productions librement ;

Phase 3 : collectivement - Poser la question : « Combien reste-t-il de galettes quand elle arrive chez sa grand-mère ? » - Repérer au tableau les dessins qui permettent de répondre à la question :

quantité de galettes doit correspondre à l’énoncé (enlever les dessins où il n’y a pas … galettes) ;

La représentation montre la transformation de la collection (le chaperon rouge a mangé … galettes) ; - Répondre à la question. Séance 2 : Objectif : restreindre la représentation aux données nécessaires à la résolution du problème

Phase 1 : travail individuel Consigne : écoute l’histoire que te lis le maître et dessine ce qui se passe. Attention, c’est une situation mathématique ! C’est la saison des fraises. Mamie a déjà fait …*** pots de confiture la semaine dernière. Mais il reste des fraises dans le jardin ! Léa aide Mamie à les cueillir et ensemble elles font encore …*** pots de confiture.

Phase 2 : collectivement - Le maître sélectionne quelques productions significatives (par exemple des représentations faisant apparaître des données inutiles, comme « Léa en train de ramasser les fraises ») ; - Afficher les productions au tableau ; - Laisser les enfants critiquer les productions librement.

Phase 3 : collectivement - Poser la question : « Combien de pots de confiture ont-elles fait en tout ?» ; - Repérer les représentations qui permettent de répondre à cette question. (On doit pouvoir observer une amélioration par rapport à la séance précédente). Dans les représentations justes, repérer les objets inutiles (ex : Léa en train de ramasser les fraises). Les entourer sur chaque dessin ; - Répondre à la question. Séance 3 : Objectif : Abstraire la représentation (diminuer la dimension figurative au profit de l’aspect schématique)

Phase 1 : travail individuel ( Consigne : Fais un schéma qui permet de répondre à ce problème : Dans un champ, il y a …*** moutons. Sophie compte les pattes des moutons. Quel nombre va-t-elle trouver ?

Phase 2 : travail collectif - Afficher les productions - Critique des productions : « Que pensez-vous des dessins des moutons ? » - Se poser la question de l’utilité d’une représentation réaliste des moutons. - Mettre en évidence l’économie de temps si on schématise au lieu de dessiner les moutons entièrement. - Chercher des représentations symboliques et rapides - « Quels dessins répondent à la question ? » Solutions possibles :

Certains font apparaître les pattes des animaux.

Ceux qui ont remplacé les pattes par des nombres : 4,8,12… - Répondre à la question

*** la taille des collections sera adaptée à la maîtrise des élèves.

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BIBLIOGRAPHIE – SITOGRAPHIE

Maths et littérature :

SCIESZKA « La malédiction des maths »

FRIOT « Histoires pressées »

AYME « Contes du chat perché- Le problème »

ROUER « Nulle en calcul »

M.ANNO « Jeux mathématiques »

PEF « Le livre de nattes, les gifles » Manuels et autres documents

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Mathématiques actives pour les tout-petits Berdonneau, Catherine / Livre : Hachette, 2005.

Découvrir le monde avec les mathématiques : situations pour la petite et moyenne section Valentin, Dominique /Livre : Hatier, 2005.

Apprentissages mathématiques en maternelle Briand, Joël / Loubet, Martine / Salin, Marie-Hélène / Cédérom : Hatier, 2004.

Document EDUSCOL « Le nombre au cycle 2 » : http://media.eduscol.education.fr/file/ecole/00/3/Le_nombre_au_cycle_2_153003.pdf

Sites Les annales du Rallye Maths écoles du Puy de Dôme.

http://www.auvergne.iufm.fr/Rallyemath/page_annales_cycle2.htm http://www.auvergne.iufm.fr/Rallyemath/page_annales_cycle3.htm

Problèmes et méthodologie Le professeur Phifix http://www.professeurphifix.net/prob/sommaire_problemes.htm

Matoumateux http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/probleme/CP/accueilCP.htm http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/probleme/CM1/accueilCM1.htm http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/probleme/CM2/accueilCM.htm

Des dizaines de problèmes ouverts http://dpernoux.free.fr/ouverts.htm