Daniel MOTTEAUProfesseur de mathématiques

IUFM de Bretagne

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SOMMAIRE■ Introduction ......................................................................................................................................... 5

■ Sujet 1 .................................................................................................................................................. 13

Arithmétique – Géométrie – Mesures – Proportionnalité

■ Sujet 2 (premier sujet « 0 » du MEN) .......................................................................................... 26

Proportionnalité – Numération – Fractions – Construction géométrique

■ Sujet 3 (deuxième sujet « 0 » du MEN) ...................................................................................... 37

Multiples et diviseurs – Proportionnalité – Fonction numérique – Géométrie dans l’espace

■ Sujet 4 (sujet original) ..................................................................................................................... 47

Construction géométrique – Proportionnalité – Fonctions numériques

■ Sujet 5 (sujet original) ..................................................................................................................... 56

Construction géométrique – Arithmétique – Diviseurs – Fonctions affine et linéaire

■ Sujet 6 .................................................................................................................................................. 67

Arithmétique – Équations – Mesures – Échelle – Triangle et cercle

■ Sujet 7 .................................................................................................................................................. 77

Arithmétique – Géométrie – Triangles et rectangles – Équation – Tableur

■ Sujet 8 .................................................................................................................................................. 88

Logique – Équations – Géométrie – Proportionnalité – Calculs algébriques

■ Sujet 9 .................................................................................................................................................. 97

Géométrie – Numération – Plan – Échelle

■ Sujet 10 ............................................................................................................................................. 107

Volume – Numération – Rationnels – Décimaux

■ Sujet 11 ............................................................................................................................................. 113

Géométrie – Proportionnalité – Algèbre et calcul

■ Sujet 12 ............................................................................................................................................. 120

Arithmétique – Proportionnalité – Géométrie

■ Sujet 13 ............................................................................................................................................. 127

Arithmétique – Géométrie – Proportionnalité

■ Sujet 14 ............................................................................................................................................. 136

Géométrie – Proportionnalité – Dénombrement

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INTRODUCTION

DÉFINITION DE L’ÉPREUVE

■ Les notions mathématiques qu’il est indispensable de connaître• Le nombre et les nombres (entiers, décimaux, rationnels, réels) et les relations entrediverses représentations (fractionnaire, décimale, scientifique).• Opérations sur les nombres.• Représentations des relations entre les nombres : égalité, ordre, approximation.• Notions de proportionnalité (fonction linéaire).• Mesures (longueur, masse, durée, vitesse, aire, volume) en relation avec les sciencesexpérimentales.• Éléments simples de géométrie plane (droite, angles, figures classiques et propriétésprincipales, symétries, homothéties, rotations) et de géométrie dans l’espace (quelquessolides usuels et propriétés principales).• Éléments sur l’utilisation des calculatrices électroniques et d’outils informatiques simples (tableurs).• Représentation et interprétation simple de données (tableaux, diagrammes,graphiques).

JO n° 0004 du 6 janvier 2010, texte n° 22ARRÊTÉArrêté du 28 décembre 2009 fixant les modalités d’organisation du concoursexterne, du concours externe spécial, du second concours interne, du secondconcours interne spécial et du troisième concours de recrutement de profes-seurs des écoles.

Annexe 1

A. – Épreuves du concours externe de recrutement de professeurs des écoles

I. – Épreuves d’admissibilitéI-2. Épreuve écrite de mathématiques et de sciences expérimentales et de tech-nologieL’épreuve vise à évaluer :– la maîtrise des savoirs disciplinaires nécessaires à l’enseignement des mathémati-ques, en référence aux programmes de l’école primaire, ainsi que la capacité à raison-ner logiquement dans les domaines numérique et géométrique et à communiquerdans un langage précis et rigoureux ;– la maîtrise des principales connaissances scientifiques et technologiques néces-saires pour enseigner à l’école primaire ainsi que la capacité à conduire un raison-nement scientifique.

L’épreuve comporte deux parties.Dans la première partie, le candidat résout deux ou trois problèmes ou exercicesde mathématiques.L’épreuve est notée sur 20 : 12 points sont attribués à la première partie, coefficient 3.Durée de l’épreuve : quatre heures.

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■ Note de commentaires

L’épreuve permet de mettre en évidence chez le candidat, d’une part, la maîtrise dessavoirs disciplinaires nécessaires à l’enseignement des mathématiques à l’école primaire et la qualité du raisonnement logique, ainsi que l’aptitude à utiliser les outilsmathématiques, à interpréter des résultats dans les domaines numérique et géomé-trique et à formuler avec rigueur sa pensée par différents modes d’expression et dereprésentation.

■ Matériel autorisé lors de l’épreuve

Les candidats ne doivent être porteurs d’aucun document ou matériel, hormis ceux quiont été autorisés et dont la liste a été jointe à la convocation. Ils ne peuvent avoiraucune communication entre eux ou avec l’extérieur. Aussi, aucun téléphone ou matériel permettant de recevoir ou d’émettre des messages avec l’extérieur ne doitdemeurer en leur possession. Tous objets (porte-documents, agenda électronique,portable, etc.), susceptibles de contenir des notes, doivent obligatoirement être remisaux surveillants. Les candidats doivent uniquement faire usage du papier fourni parl’administration y compris pour les brouillons.

COMMENT ABORDER LA PRÉPARATION

Dans les éditions précédentes nous écrivions : on peut décrire deux manières différen-tes de se préparer à l’épreuve de mathématiques du concours. Elles ne s’opposent pas ;on peut adopter l’une ou l’autre selon ses propres compétences, ses propres affinitésavec la discipline, selon que l’on a besoin de consolider ou de bâtir les connaissancesattendues. On peut aussi adopter l’une ou l’autre en fonction des parties du programmeque l’on aborde. Cela reste, à notre sens, tout à fait valable, pour se préparer au nouveauconcours.

Une première manière de travailler consiste à : nettement distinguer le volet scienti-fique des questions d’ordre didactique et pédagogique qui feront l’objet des épreuvesd’admission.• On met alors l’accent sur l’acquisition de savoirs et savoir-faire mathématiques en faisant de nombreux exercices.• Ensuite de façon indépendante, on entre dans le domaine de la didactique et de lapédagogie, et l’on élabore les connaissances nécessaires pour l’épreuve d’admission.

Une deuxième manière de travailler consiste à : s’intéresser à une connaissancemathématique du programme (la numération par exemple) tant du point de vue de sespropres connaissances (capacité à résoudre les exercices du volet scientifique duconcours) que du point de vue de son enseignement à l’école élémentaire même s’il nes’agit alors que d’une première approche sans enjeu immédiat. Il doit se produire uneespèce de va-et-vient entre un point de vue et l’autre :• Les questions relatives à l’enseignement amènent parfois à s’interroger sur le caractère plus ou moins approfondi de ses propres connaissances scientifiques et êtreainsi motrices en ce domaine.• Sa propre assimilation d’une connaissance donnée introduit nécessairement auxquestions relatives à son enseignement.

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Introduction

■ Notions du programmeLe programme officiel du concours est décliné de manière assez succincte. Il est doncnécessaire de faire un travail d’explicitation des différents chapitres. Une large part desnotions mathématiques abordées concerne à la fois le volet scientifique et les questions complémentaires, mais ce n’est pas toujours le cas (propriété de Thalès ou dePythagore par exemple).La liste détaillée des notions du programme que nous vous proposons ici n’est pasexhaustive, simplement elle présente les minima indispensables sous la forme derubriques un peu plus explicites que le simple programme officiel.

Elle doit être pour vous une aide à la programmation de votre préparation.

• Le nombre et les nombres et les relations entre les diverses représentations1. Les entiers naturelsOutils pour le dénombrement, éléments de logique, numération : décimale, base quelconque.

2. Les décimaux et les rationnelsDéfinitions, écritures : écriture décimale, écriture scientifique.

3. Les nombres irrationnelsAlgébriques et transcendants, écriture et convention.

• Opérations sur les nombres1. Opérations sur les nombres entiers• Addition et soustraction : quelle que soit la base de la numération utilisée.• Multiplication : différents algorithmes, multiples, PPCM.• Division euclidienne : algorithmes, diviseurs, nombres premiers, décomposition en

produit de facteurs premiers, PGCD.

2. Opérations sur les rationnels et les décimauxOpérations sur les fractions.

3. Opérations sur les irrationnels• Opérations sur les racines carrées.• Carrés parfaits.

• Représentations des relations entre les nombres : égalité, ordre, approximation 1. Relation d’ordre dans N et Q • Calculs algébriques • Équations et inéquations • Résolution de problèmes, systèmes d’équations

2. Encadrement et approximation• Valeur approchée par excès ou par défaut • Arrondi et troncature.

Quelle que soit la manière de travailler que l’on adopte, il est nécessaire :• De prendre conscience que la préparation à ce concours demande un travail impor-tant qui s’inscrit nécessairement dans la durée. Elle demande un travail régulier aumoins sur l’année universitaire.• De programmer son travail : Il est nécessaire d’avoir un panorama de l’ensemble desnotions du programme et d’avancer de manière raisonnée dans la préparation selonune progression choisie.

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• Notions de proportionnalité• Proportionnalité simple • Proportionnalité multiple • Pourcentages • Fonction linéaire • Échelles.

• Mesures en relation avec les sciences expérimentales • Longueurs • Masses • Aires • Volumes et capacités • Durées • Vitesse • Masse volumique.

• Éléments simples de géométrie plane et de géométrie dans l’espace

1. Géométrie dans l’espace • Polyèdres : cube, parallélépipède rectangle, prisme, pyramide• Patrons : faces, arêtes• Intersections de droites et plans• Orthogonalité, parallélisme

2. Géométrie planeA – Éléments de géométrie euclidienne :• Point, segment, droite • Positions relatives de droites.

B – Polygones :• Triangles : définitions et propriétés

– Scalène, isocèle, équilatéral, rectangle – Droites particulières dans un triangle : hauteur, médiane, médiatrice, bissectrice – Triangle et cercle : cercle circonscrit, cercle inscrit.

• Quadrilatères : définitions et propriétés – trapèze– parallélogramme – rectangle – losange.

• Polygones, polygones réguliers Hexagone, octogone.

C – Théorèmes fondamentaux et outils pour la démonstration • Théorème de Pythagore • Théorème de Thalès.

D – Transformations géométriques planes • Isométries : translation, symétries, rotation • Homothétie.

E – Tracés géométriques • Droites parallèles • Droites perpendiculaires • Mesures irrationnelles

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Introduction

• Bissectrice, médiatrice • Éléments sur l’utilisation des calculatrices électroniques et outils informatiques simples.• Utiliser la calculatrice à bon escient, savoir justifier une démarche de calculs, connaître

les limites de l’outil • Utiliser un tableur • Utiliser un logiciel de géométrie dynamique.

• Représentation et interprétation simple de données• Représentation graphique d’une fonction dans un repère orthonormé : droites et

fonction affine et linéaire Parabole et fonction trinôme • Hyperbole et fonction inverse • Histogramme, diagrammes, moyennes.

■ Préparer le volet scientifique« Les résultats d’ensemble et le ratio du concours (nombre de poste/ nombre de candi-dats) ne permettent pas de réussir si l’on échoue à l’épreuve de mathématiques. Il estdonc nécessaire de se présenter à ce concours en s’appuyant sur une préparation solide». (Rapport du jury de concours, Besançon 2006.) Pour l’essentiel, cette préparation auvolet scientifique se situe dans la résolution de problèmes, et c’est à ce titre que lesannales sont des outils précieux pour les candidats.

Chacun des chapitres ou des objets mathématiques présents dans le programme doit fairel’objet d’une étude approfondie selon une méthode qui peut être toujours identique :

1) S’évaluer : commencer par faire des exercices et évaluer les difficultés rencontrées.

2) À partir de ce constat faire évoluer ces connaissances (savoir et savoir-faire).

3) Reprendre la résolution d’exercices et ainsi de suite jusqu’à ce que toute difficultésoit levée.

« L’épreuve de mathématiques permet de mettre en evidence les qualités de raisonne-ment logique du candidat, son aptitude à utiliser des outils mathématiques, à interpre-ter des résultats dans les domaines numériques et géométriques et à formuler avecrigueur sa pensée à l’aide de différents modes d’expression et de représentation. Nousattirons l’attention des candidats sur le fait que si […] les connaissances et les compé-tences mathématiques restent d’un niveau très accessible, quelle que soit leur forma-tion, ce sont bien les qualités de rédaction, de précision, de rigueur qui ont permis demarquer les écarts et d’obtenir le maximum des points attribués. » (Rapport du jury deconcours, Besançon 2006.)

Les principales lacunes ont, encore une fois, été observées en géométrie.Trop de candidats n’ont visiblement pas compris ce qu’est une démonstration : il ne s’agit pasd’empiler des arguments, souvent d’ailleurs redondants, ni de recourir à des affirma-tions péremptoires pour produire une preuve mathématique. Il s’agit, en revanche,d’invoquer et d’articuler les quelques propriétés qui, à partir d’hypothèses de l’énoncéet de règles de la logique élémentaire, vont conduire à la conclusion attendue.

Le jury tient à signaler aux candidats que le rappel de notation – « Il est tenu compte de la qualité orthographique de la production des candidats » – a effectivement étéappliqué par les correcteurs chaque fois que la copie faisait défaut sur ce point.

Pour chaque chapitre ou notion, on se constituera des fiches connaissances quirecensent les savoirs et savoir-faire.

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III

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■ S’approprier le programmeUn document constitue la base de ce qu’il faut savoir : les programmes de l’école élémentaire de 2008. Mais apprendre les programmes par cœur ne serait pas particu-lièrement efficace pour la réussite au concours. Il faut viser un apprentissage parappropriation et donc prévoir de lire et relire les programmes pour se familiariser avecle vocabulaire utilisé, les formules employées, que l’on devra retrouver dans votre copiede concours.

MÉTHODOLOGIE GÉNÉRALE

La gestion du temps doit faire l’objet d’un apprentissage spécifique tout au longde la préparation. Il est nécessaire, pour ne pas se laisser déborder par le temps lejour du concours, d’avoir acquis des routines de travail spécifiques.

D’abord penser au choix stratégique de l’ordre dans lequel on va aborder les exercices.Commencer par prendre connaissance du sujet dans son entier de façon superficiellesimplement pour repérer les domaines propres à chacun des exercices. Comme danstoute épreuve (examen ou concours) il est bon de vaincre le stress inhérent à la situation en commençant par se rassurer, en allant vers les exercices dans des domainesque l’on maîtrise le mieux. Sinon prendre les exercices dans l’ordre et si l’on est amenéà laisser un exercice inachevé, on commence le suivant sur une autre copie pour pou-voir y revenir et sans que cela entraîne de confusion dans l’ordre pour le correcteur.

Le candidat doit résoudre deux ou trois exercices ou problèmes.

PRÉALABLE

Dans un premier temps qui ne doit pas prendre plus de deux à trois minutes :• Repérer le domaine mathématique concerné. Se remettre en mémoire les outils etméthodes propres à ce domaine. Se remémorer des exercices un peu semblables quel’on a pu rencontrer au cours de la préparation du concours.• Lire l’ensemble des questions et dégager si c’est possible le sens général del’exercice proposé. Par exemple l’exercice peut avoir pour visée générale de démontrerune propriété de la somme de trois entiers consécutifs.• Comprendre s’il y a lieu l’enchaînement des questions :

1. Certaines questions peuvent paraître triviales ; elles sont souvent posées pour que lecandidat s’approprie, au travers d’un exemple, la problématique générale de l’exercice.Il ne faut donc pas se contenter de répondre rapidement à ces questions, il faut aussi seposer la question de leur utilité.

2. Il n’est pas rare, que dans un exercice, les réponses attendues à une question figurentdans une des questions qui suivent. Repérer ce genre d’informations est précieux, celapermet de se rassurer et de s’assurer que l’on est dans la bonne voie.

PHASES DE RECHERCHE PUIS DE RÉDACTION

Il arrive quelquefois, mais c’est assez rare, que l’on puisse rédiger directement la solu-tion du problème posé ; en règle générale, il vaut mieux nettement scinder temps derecherche et de rédaction. En effet la logique de rédaction n’a rien à voir avec celle dela recherche. Au moment de la recherche de la solution d’un exercice ou d’un problème,la plupart du temps la démarche est erratique. On tâtonne, on essaie, on s’engage dans

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Introduction

une voie qui peut s’avérer être en impasse, alors on recommence d’une autre façon, etc.La rédaction, elle, ne fera pas état de tous ces temps de la recherche. Elle donnera l’im-pression que ce temps n’a pas existé, l’important étant alors de développer avec rigueurenchaînement logique, argumentaire, savoirs et savoir-faire utilisés pour parvenirau résultat.La démarche de rédaction doit être déductive plutôt qu’explicative et donc il fautprivilégier l’utilisation des connecteurs logiques comme, or, donc, en conséquence, etc.,plutôt que les « car » qui viennent justifier une assertion.Il y a des savoirs que l’on utilise qu’il faut spécifier, d’autres non, tout est une questiond’équilibre juste, à trouver de manière individuelle. Par exemple, on spécifiera qu’on autilisé le théorème de Thalès, on ne spécifiera pas pourquoi si on a x/5 = 3/2 alors x = 15/2. Il y a des savoirs et savoir-faire qui doivent être considérés comme communsentre candidat et correcteur et trop évidents pour en faire état, et d’autres (particulière-ment saillants dans le programme) dont on doit faire état lorsqu’on les utilise.Il faut impérativement respecter les conventions d’écriture mathématique : Par exem-ple (AB) – (A, B) – [A, B] désignent chacun des entités mathématiques différentes.L’usage abusif des symboles logiques est à proscrire (préférer écrire « si et seulement si »plutôt que d’utiliser le symbole d’équivalence logique ⇔).Et surtout ne mélangez pas les genres : ne confondez pas écriture mathématique (quiutilise des symboles) et style télégraphique qui utilise parfois ces mêmes symbolesdans un souci d’économie d’écriture. Par exemple : Il est légitime d’écrire (AB)//(CD), cequi signifie que la droite (AB) est parallèle à la droite (CD). Mais il n’est pas légitimed’écrire « les deux droites sont // ».Ne jamais se laisser piéger par une question dont on veut à tout prix trouver laréponse. Si vous ne trouvez pas, passez à autre chose : pensez à accumuler lespoints, même de manière disparate.

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NCÉ

SUJET 4 : CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE –PROPORTIONNALITÉ – FONCTIONS NUMÉRIQUES

Exercice 1 (3 points)La figure donnée sur l’annexe 1 représente une propriété à l’échelle 1/1 000.Le propriétaire veut installer un robinet d’arrosage.Ce robinet doit se trouver :a) à plus de 15 mètres de la porte de la maison, représentée par E sur la figure ;b) plus près de C que de B ;c) plus près du mur BC que du mur CD ;d) à plus de 20 mètres du mur BC.

1. En respectant l’échelle donnée, vous représenterez sur la figure de l’annexe 1 lazone possible d’implantation du robinet.2. Vous justifierez votre construction et les différentes étapes nécessaires à sa réalisation.

Exercice 2 (3 points)1. Existe-t-il un entier naturel à deux chiffres qui soit égal au double de la somme deses chiffres ? Justifier.2. Existe-t-il un entier naturel à deux chiffres qui soit égal à la somme de ses chif-fres ? Justifier.3. Le nombre 1 001/100 001 est il un nombre décimal ? Justifier.4. Soient ab et bc deux entiers naturels écrits en base 10 (a, b et c sont des chiffres).Montrer que si 7 est un diviseur commun à ces deux entiers naturels, alors 7 diviseégalement le nombre ca.

Problème (6 points)On considère la famille R tous les rectangles dont le périmètre est égal à 40 cm.1. Si x est la mesure en cm d’un côté d’un rectangle de la famille R, donner l’inter-valle dans lequel x prend ses valeurs.2. Soit y l’autre dimension du rectangle, exprimer y en fonction de x. Soit f cette fonction.

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3. Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle déterminé dans la ques-tion 1, dans un repère orthonormé d’unité graphique 0,5 cm.

4. Exprimer en fonction de x l’aire d’un rectangle de la famille R. Soit g cette fonction.

5. Montrer que g(x) = – (x – 10)2 + 100.

6. Montrer par un raisonnement de type arithmétique que la fonction g présente un maxi-mum. Quelle est alors la particularité du rectangle? Quelles sont ses dimensions?

7. Pour construire point par point la courbe représentative de la fonction g, on uti-lise un tableur.Après avoir entré la valeur 1 dans la cellule A1, quelles formules ont été entrées dansles cellules A2 et C1 pour obtenir le tableau ci-dessous ?

8. En utilisant le tableau précédent, construire la représentation graphique de lafonction g dans un repère orthogonal d’unités graphiques 0,5 cm, sur l’axe des abs-cisses, et 0,2 cm sur l’axe des ordonnées, pour x strictement compris entre 0 et 20. 9. a) Par lecture graphique, donner les dimensions du rectangle dont l’aire mesure94 cm2. Laisser apparents sur le graphique les traits de construction nécessairespour répondre à cette question.9. b) Résoudre le système de deux équations à deux inconnues :

x + y = 20� xy = 94Donner une interprétation géométrique du résultat.

A B C

1 19 19

2 18 36

3 17 51

4 16 64

5 15 75

6 14 84

7 13 91

8 12 96

9 11 99

10 10 100

11 9 99

12 8 96

13 7 91

14 6 84

15 5 75

16 4 64

17 3 51

18 2 36

19 1 19

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CORR

IGÉ

a) Énoncé du sujet

La figure donnée sur l’annexe 1 représente une propriété à l’échelle 1/1 000.Le propriétaire veut installer un robinet d’arrosage.Ce robinet doit se trouver :a) à plus de 15 mètres de la porte de la maison, représentée par E sur la figure ;b) plus près de C que de B ;c) plus près du mur BC que du mur CD ;d) à plus de 20 mètres du mur BC.

1. En respectant l’échelle donnée, vous représenterez sur la figure de l’annexe 1la zone possible d’implantation du robinet.2. Vous justifierez votre construction et les différentes étapes nécessaires à saréalisation.

b) Corrigé1. Voir figure 1.

Figure 1.

SUJET 4 : CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE – PROPORTIONNALITÉ – FONCTIONS NUMÉRIQUES

EXERCICE 1 (3 POINTS)

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2. a) La porte de la maison est représentée par le point E du plan. Le robinet doit êtreimplanté à l’extérieur du disque de frontière, le cercle de centre E et de rayon 15 mètres,soit 1,5 cm sur la figure à l’échelle 1/1 000.

2. b) La médiatrice du segment [BC] est le lieu géométrique des points équidistantsdes points B et C.Le robinet doit donc être implanté dans le demi-plan de frontière, cette médiatrice etcontenant le point C.

2. c) La bissectrice de l’angle formé par les deux demi-droites de même origine [CB) et[CD) est le lieu géométrique des points situés à égale distance des demi-droites [CB)et [CD).Le robinet doit donc être implanté dans le secteur angulaire formé par la bissectricede l’angle et la demi-droite [BC).

2. d) La parallèle (Δ) à la droite (BC) située à 2 cm de la droite (BC) (soit 20 mètres réels)est le lieu géométrique des points situés à 2 cm de la droite (BC), du côté de la maison.Donc le robinet doit être implanté dans le demi-plan de frontière (Δ) ne contenant pasla droite (BC).

La partie hachurée représente la zone possible d’implantation du robinet.

a) Énoncé du sujet

1. Existe-t-il un entier naturel à deux chiffres qui soit égal au double de la sommede ses chiffres ? Justifier.2. Existe-t-il un entier naturel à deux chiffres qui soit égal à la somme de seschiffres ? Justifier.3. Le nombre 1 001/100 001 est il un nombre décimal ? Justifier.4. Soient ab et bc deux entiers naturels écrits en base 10 (a, b et c sont des chiffres).Montrer que si 7 est un diviseur commun à ces deux entiers naturels, alors 7 divise également le nombre ca.

b) CorrigéSoit N un entier naturel à deux chiffres.

1. N = ab , a et b sont deux chiffres de la numération décimale et a ≠ 0.

Si N = 2 (a + b) alors 10 a + b = 2 (a + b)soit : 8 a – b = 0.

Si a = 1 alors b = 8.Si a � 2 alors b � 16, or b est un chiffre, donc il n’y a pas d’autre solution possible que :a = 1 et b = 8.

Le nombre cherché est 18.

2. Si N = a + b alors 10 a + b = a + bsoit 9 a = 0 et donc a = 0.

Ce qui est contradictoire avec l’hypothèse de départ car, dans un nombre à deux chiffres, le chiffre des dizaines est nécessairement non nul.

EXERCICE 2 (3 POINTS)

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PROBLÈME (6 POINTS)

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CORR

IGÉ

Sujet 4 : Construction géométrique – Proportionnalité – Fonctions numériques

Il n’y a pas de nombre à deux chiffres qui soit égal à la somme de ses chiffres.

3. Pour chacun des deux nombres 1 001 et 100 001, la somme de leurs chiffres derangs impairs diminuée de la somme de leurs chiffres de rang pairs est égale à zéro, cesont donc des multiples de 11 :1 001 = 11 × 91100 001 = 11 × 9 091.

Or, la décomposition de 91 en produit de facteurs premiers donne : 91 = 7 × 13.

Par ailleurs, 9 091 n’est divisible ni par 7 ni par 13.

Donc la fraction irréductible de est .

La fraction ne peut s’écrire sous la forme

(n et m étant des entiers naturels).

Donc le nombre n’est pas un nombre décimal.

4. Soient ab et bc deux entiers naturels écrits en base 10.

On a donc ab = 10 a + b et bc = 10 b + c.

Si 10 a + b = 7 k , k entier naturelet 10 b + c = 7 k ’ , k ’ entier naturel

alors 10 c + a = 10 (7 k ’ – 10 b) + a= 70 k ’ – 100 b + a= 70 k ’ – 100 (7 k – 10 a) + a= 70 k ’ – 700 k + 1 000 a + a= 70 k ’ – 700 k + 1 001 a.

Or 1 001 = 7 × 143.

Donc 10 c + a = 7 (10 k ’ – 100 k + 143 a).

Donc le nombre ca est un multiple de 7.

a) Énoncé du sujet

On considère la famille R tous les rectangles dont le périmètre est égal à 40 cm.1. Si x est la mesure en cm d’un côté d’un rectangle de la famille R, donner l’in-tervalle dans lequel x prend ses valeurs.2. Soit y l’autre dimension du rectangle, exprimer y en fonction de x. Soit f cettefonction.

3. Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle déterminé dans laquestion 1, dans un repère orthonormé d’unité graphique 0,5 cm.

4. Exprimer en fonction de x l’aire d’un rectangle de la famille R. Soit g cettefonction.

5. Montrer que g(x) = – (x – 10)2 + 100.

6. Montrer par un raisonnement de type arithmétique que la fonction g présenteun maximum. Quelle est alors la particularité du rectangle ? Quelles sont sesdimensions ?

1 001100 001

a2n × 5m

919 091

919 091

1 001100 001

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7. Pour construire point par point la courbe représentative de la fonction g, onutilise un tableur.Après avoir entré la valeur 1 dans la cellule A1, quelles formules ont été entréesdans les cellules A2 et C1 pour obtenir le tableau ci-dessous ?

8. En utilisant le tableau précédent, construire la représentation graphique de lafonction g dans un repère orthogonal d’unités graphiques 0,5 cm, sur l’axe desabscisses, et 0,2 cm sur l’axe des ordonnées, pour x strictement compris entre0 et 20. 9. a) Par lecture graphique, donner les dimensions du rectangle dont l’airemesure 94 cm2. Laisser apparents sur le graphique les traits de constructionnécessaires pour répondre à cette question.9. b) Résoudre le système de deux équations à deux inconnues :

x + y = 20� xy = 94Donner une interprétation géométrique du résultat.

b) CorrigéSoit R la famille de tous les rectangles dont le périmètre est égal à 40 cm.

1. Si x est la mesure en cm d’un côté d’un rectangle de la famille, on a nécessairement :

0 < x < 20

A B C

1 19 19

2 18 36

3 17 51

4 16 64

5 15 75

6 14 84

7 13 91

8 12 96

9 11 99

10 10 100

11 9 99

12 8 96

13 7 91

14 6 84

15 5 75

16 4 64

17 3 51

18 2 36

19 1 19

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CORR

IGÉ

Sujet 4 : Construction géométrique – Proportionnalité – Fonctions numériques

En effet, x ne peut être nul parce qu’alors le rectangle serait réduit à un segment, et xne peut être égal à 20 car alors l’autre dimension serait nulle et nous serions dans lemême cas de figure.

2. On a : 2x + 2y = 40soit encore x + y = 20.Et donc pour tout x de l’intervalle ]0 ; 20[ : y = 20 – x.

3. Soit f la fonction définie par f (x) = 20 – x, x appartenant à l’intervalle ]0 ; 20[.

La fonction f (x) définie par f (x) = 20 – x, x réel, est une fonction affine. Sa représentationgraphique est une droite, déterminée par deux points de coordonnées (0 ; 20) et (20 ; 0).La représentation graphique de la fonction f est portée par la représentation graphi-que de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; 20[.Représentation graphique : voir figure 2.

Figure 2

4. On a : aire d’un rectangle = Longueur × largeuret donc aire = x y.Or y = 20 – xdonc aire = x (20 – x).On a donc g (x) = x (20 – x) ; x appartenant à l’intervalle ]0 ; 20[ .

5. – (x – 10)2 + 100 = – (x2 – 20 x + 100) + 100 = – x2 – 20 x = x (20 – x) = g (x)g (x) = – (x – 10)2 + 100 pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; 20[.

6. On a g (x) = – (x – 10)2 + 100 soit encore g (x) = 100 – (x – 10)2

Le nombre g (x) se présente sous la forme d’une différence de deux nombres positifs :100 et (x – 10)2.

Cette différence sera maximale lorsque le second terme variable de la différence (x – 10)2 sera le plus petit possible, c’est-à-dire lorsqu’il sera nul.

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Donc la fonction g présente un maximum lorsque x = 10.Si x = 10 alors y = 10 et donc le rectangle est dans ce cas un carré de 10 cm de côté.

7. Formule entrée dans la cellule A2 : = A1 + 1.Formule entrée dans la cellule C1 : = A1*(20 – A1).

8. Représentation graphique : voir figure 3.Figure 3

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CORR

IGÉ

Sujet 4 : Construction géométrique – Proportionnalité – Fonctions numériques

9. a) Par lecture graphique, on obtient deux possibilités :– environ x = 7,5 et y = 12,5 ;– et environ x = 12,5 et y = 7,5.

Ces deux dimensions ne correspondent qu’à un seul rectangle de la famille R, celui quia environ pour largeur 7,5 cm et pour longueur 12,5 cm.

9. b) On a :x + y = 20� xy = 94

soit x (20 – x) = 94ou : – (x – 10)2 + 100 = 94(x – 10)2 = 6soit (x – 10) = 16 ou (x – 10) = – 16et donc x = 10 + 16 ou x = 10 – 16.

Il existe un seul rectangle de la famille R dont l’aire est égale à 94 cm2, il a pour dimen-sions exactes :– longueur : 10 + 16 (en cm) ;– largeur : 10 – 16 (en cm).

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