Démonstrations géométriques

D

EF

H10

5

Une des difficultés en géométrie est que :

- parfois, il faut voir des informations qui ne sont pas inscrites;

exemple : Dans le triangle suivant,

que vaut la mesure de l’angle ABC ?500

400

A

B C

- parfois, il ne faut pas voir des informations inscrites;

exemple : Dans le triangle suivant,

que vaut la mesure de l’angle DFE ?

Pour mieux déduire cette mesure, il faut être capable de ne pas voir le segment HF.

L’angle ABC mesure 900, car la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle vaut 1800.

Il faut donc un bon sens d’observation.

La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les propriétés des figures et leurs relations.

Pour démontrer ces propriétés, elle fait appel à différents énoncés :

Exemples :

- des axiomes;

- des conjectures;

- des théorèmes.

Les axiomes sont des énoncés considérés comme évidents et acceptés comme vrais.

- le segment de droite représente le plus court chemin entre

deux points;

- par deux points ne passe qu’une seule droite.

Il est possible de percevoir des propriétés ou des relations qui ne sont pas du tout évidentes et qui peuvent même se révéler fausses.

De tels énoncés sont appelés « conjectures ».

Exemple : Jusqu’au XVIIe siècle, on croyait que la Terre était le centre de l’Univers, comme l’avait proposé Aristote.

C’était une conjecture qui avait été longtemps acceptée comme vrai jusqu’au jour où Copernic et Kepler remettent en cause cette conception de l’Univers.

Les conjectures peuvent servir de pistes de travail pour chercher ou démontrer certaines réalités.

Cependant, pour n’induire personne en erreur, on se donne l’obligation de démontrer leur véracité ou leur fausseté.

Pour être vraie, une conjecture doit s’appliquer à tous les cas.

Par contre, pour montrer qu’une conjecture est fausse, il suffit de trouver un cas qui la contredit.

Ce cas est appelé un contre-exemple.

Exemple :

On pourrait émettre la conjecture suivante :

« Si c’est un œuf, alors il a été pondu par un oiseau. »

Cependant, les tortues pondent des œufs et elle ne sont pas des oiseaux.

Ce contre-exemple rend la conjecture fausse.

Lorsqu’une conjecture est démontrée, elle devient un théorème.

On démontre en établissant une preuve.

Voici quelques théorèmes :

La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 .

Une bissectrice est une droite divisant un angle en deux angles isométriques (congrus).

Dans un triangle rectangle possédant un angle de 300, la mesure du côté qui fait face à l’angle de 300 vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse.

Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite sont supplémentaires (la somme de leurs mesures = 1800).

Nous allons les utiliser pour démontrer quelques situations.

Exemple 1 :

Ce qu’il faut prouver est toujours la dernière étape de la démarche.

A C

10 cm5 cm

B

D

Affirmations Justifications

Étape 1 : m BAC = 300

Dans le triangle rectangle suivant :

AD est une bissectrice;

Quelle est la mesure de ? DAC

Étape 2 : m DAC = 150

La démarche consiste à justifier (par des axiomes, des énoncés ou des informations données dans le problème) chaque affirmation.

Si dans un triangle rectangle, la mesure d’un côté vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse, alors l’angle qui fait face à ce côté vaut 300.

1)

Car AD est une bissectrice.2)

On regarde attentivement la figure.

?

Exemple 2 :

1350

A

B C D

Dans le triangle rectangle suivant, que vaut la mesure de l’angle BAC ?

Affirmations Justifications

1) m ABC = 900 Le triangle est rectangle.1)

2) m ACB = 450 2) Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite sont supplémentaires.

3) m BAC = 450 La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800.

3)

?

450

Tu auras besoin de symboles mathématiques pour effectuer ce travail.

Voici les principaux à apprendre (du moins au début !!!!!) .

L’angle C : C

La mesure de l’angle C est de 600 : m C = 600

A

B C D

Remarque

Quand les figures sont plus complexes, il faut utiliser utilise 3 lettres pour éviter la confusion.

600

ACB ACD

Le triangle ABC : ∆ ABC

: angle formé par les segments AC et CB;

C étant le sommet .

A

B C

Le segment AB :

m AB = 5 cm

AB

La mesure du segment AB est de 5 cm :5 cm

A

BL’arc AB : AB

4 cm

La mesure de l’arc AB est de 4 cm : ABm = 4 cm

d1

d2

La droite d1 est parallèle à la droite d2 : d1 // d2

La droite d1 est perpendiculaire à la droite d2 : d1 d2

d1

d2

300

Exemple 3 : Dans un triangle rectangle possédant un angle de 300, la mesure du côté qui fait face à l’angle de 300 vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse.

Voici une démonstration qui prouve cet énoncé.

Construisons un triangle équilatéral de 8 cm de côté.

A

C

B

8 cm 8 cm

8 cm

Traçons l’axe de symétrie passant pas le sommet C.

Nommons-le CD.

D

Affirmations Justifications

1) m CDA = 900 1) L’axe de symétrie d’un triangle équilatéral est aussi une médiatrice.

m AD = 4 cm

4 cm

2) m ACD = 300 2) L’axe de symétrie d’un triangle équilatéral est aussi la bissectrice de l’angle par lequel il passe.

3) Donc, la mesure du côté face à un angle de 300 dans un triangle rectangle vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse .

3) C.q.f.d. (Ce qu’il fallait démontrer).

Un triangle équilatéral possède 3 angles de 600.

Il y a beaucoup d’énoncés à connaître; les savoir est essentiel pour prouver tes affirmations.

De plus, ces énoncés bien mémorisés t’aideront à comprendre les différentes situations et à élaborer tes démonstrations.

Tu retrouveras plusieurs énoncés dans la présentation :

 Quelques énoncés géométriques.ppt

Remarques

Dans cette dernière démonstration, il fallait connaître les énoncés suivants :

- une médiatrice est un segment élevé perpendiculairement sur le milieu d’un autre segment;

- l’axe de symétrie d’un triangle équilatéral est aussi une médiatrice et la bissectrice de l’angle du sommet d’où il origine;

- une bissectrice est une droite divisant un angle en deux angles isométriques.

- un triangle équilatéral possède trois angles de 600;