Des Expressions Radicaux

• est la racine positive de a, etest la racine négative de a parce que

• Si a est un nombre positif qui n’est pas un carré parfait, alors la racine carrée de a est irrationnel.

• Si a est un nombre négative, alors sa racine carrée n’est pas un nombre réel.

• Pour tout nombre réel a:

€

a( )2

= a et − a( )2

= a

a a

aa 2

La nième racine

• La nième racine de a:

ets la nième racine de a. Cette une valeur qui, à la puissance de n, est égale à a:

• n est l’ordre du radical.

• Exemple:

€

a n( )

n

= a

n a

€

32 5 = 2 parce que 25 = 32

L’ordre des radicaux

• La racine d’une puissance:– Si n est pair, alors

– Si n est impair, alors

• La nième racine d’un nombre négative:– Si n est pair, alors la nième racine n’est pas un nombre

réel

– Si n est impair, alors la nième racine est négative.

aan n

n na

aan n

Le graphique d’une fonction de racine carrée

(0, 0)

xxf )(

Quel est le lien entre cela et le graphique de y = x2 ?

Les exposants rationnels

• Définitions:

• Toutes les règles d’exposants s’appliquent aux exposants rationnels.

€

a1

n = an

am

n = a1

n ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

m

= an( )

m

a−

m

n =1

am

n

=1

an( )

m

Des erreurs à éviter avec des exposants rationnels

• Faites les corrections nécessaires:

nm

nm

nm

n

aa

a

aa

aa

n

m

n

11

Simplifier des puissances

• Exemples:

5

1

25

1

25

12525

25

25

2555555

21

21

43

41

43

41

36

34

32

34

32 2

Comment simplifier des expressions radicaux:

• Révision: Expressions vs. Équations:– Expressions

1. Pas de signe d’égalité

2. Simplifie (pas Résous)

3. Simplifie les fractions en éliminant des facteurs communs.

– Équations1. Signe d’ègalité

2. Résous (pas Simplifie)

3. Isole la variable en faisant des opérations inverses sur les deux côtés.

Règles pour simplifier des expressions radicaux

• Règle de produit:

• Règles de quotient:

nnn abba

nn

n

b

a

b

a

Exemples

• Exemple:

• Exemple:

4163

48

3

48

€

100

4

• Simplifier les radicaux:1. Si tu peux simplifier les radicaux, fais-le!

2. Pas de fraction comme radicande.3. Pas de radical dans un dénominateur.4. On peut simplifier des exposants rationnels.

aaaa 2

1

4

24 2

€

9 = 3 et a43 = a a3

Les binômes conjugués• Une méthode pour simplifier des

expressions radicaux

€

a − b( ) a + b( ) = a2 − b2

a2 ab

−ab b2

a + b( ) a − b( ) = a2 − b( )2

=

Les binômes non-conjugués

Les binômes conjugués

Les binômes conjugués: essai # 1

EEEK!

EEEK!

Hmmm… un autre essai…

EEEK!

EEEK!

Les binômes conjugués

Essais toi-même!

Simplifier les expressions avec des radicaux:

• Exemple:

373)25(3235

On peut seulement combiner des nombres radicaux qui ont la même

radicande.

€

3 + 2 5 ne peuvent pas être simplifiés

3 + 2⋅ 33 ne peuvent pas être simplifiés

5 3 + 27 = 5 3 + 9⋅ 3 = 5 3 + 9⋅ 3

= 5 3 + 3 3 = 8 3 simplifié

Attention!

• Simplification fausse:

2222 yxyx

yxyx

Multiplier et diviser des nombres radicaux

Multiplication avec PIED• Exemple:

)63)(25(

6637

326635

1266535

62326535

Simplifier avec le binôme conjugué

Résoudre des équations avec nombres radicaux

• Méthode:1. Isoler le nombre radical (ou au moins un, s’il y en a

plusieurs).

2. Prendre le carré des deux côtés de l’équation

3. Combiner les termes semblables

4. Répéter étapes 1 à 3 pour éliminer tous les radicaux

5. Résoudre l’équation

6. Vérifier les solutions pour éliminer les racines étrangères.

Exemple

Résous.Ajoute 1 au deux côtés:

Prends le carré:

Soustrais 3x + 7:

Factorise (Résous)

Donc x = -2 et x = 3, mais seulement x = 3 est une vraie racine. (Vérifie)

0)2)(3(

06 2

xx

xx

173 xx731 xx

73122 xxx

Les nombres complexes

• Définition:

• Nombre complexe: un nombre qui a la forme a + bi où a et b sont réels

• + / - des termes semblables (réels et imaginaires)• Multiplication: PIED

1 and 1 2 ii

Des nombres complexes

• Exemples:

iii

iiiii

iiii

iiii

746342

)2(3)1(3)2(2)1(2)21)(32(

33)25()14()21()54(

51)23()12()21()32(

2

Binôme conjugué complexe

• Le conjugué complexe de a + bi est a – biOn peut multiplier un binôme par son conjugué:

• On peut utiliser le conjugué pour faire la division aussi!(tout comme rationaliser le dénominateur)

13)9(494

)3(2)32)(32(2

22

i

iii

Des nombres complexes et la division

Divise:

iii

i

iii

i

i

i

i

i

i

13

2

13

23

13

223

)9(4

)1(1528

)3(2

1510128

32

32

32

54

32

54

22

2

Les radicaux et la distance

• La formule pour la distance entre 2 points (x1, y1) et (x2,y2) est:

212

212 yyxxd