Des Expressions Radicaux
• est la racine positive de a, etest la racine négative de a parce que
• Si a est un nombre positif qui n’est pas un carré parfait, alors la racine carrée de a est irrationnel.
• Si a est un nombre négative, alors sa racine carrée n’est pas un nombre réel.
• Pour tout nombre réel a:
€
a( )2
= a et − a( )2
= a
a a
aa 2
La nième racine
• La nième racine de a:
ets la nième racine de a. Cette une valeur qui, à la puissance de n, est égale à a:
• n est l’ordre du radical.
• Exemple:
€
a n( )
n
= a
n a
€
32 5 = 2 parce que 25 = 32
L’ordre des radicaux
• La racine d’une puissance:– Si n est pair, alors
– Si n est impair, alors
• La nième racine d’un nombre négative:– Si n est pair, alors la nième racine n’est pas un nombre
réel
– Si n est impair, alors la nième racine est négative.
aan n
n na
aan n
Le graphique d’une fonction de racine carrée
(0, 0)
xxf )(
Quel est le lien entre cela et le graphique de y = x2 ?
Les exposants rationnels
• Définitions:
• Toutes les règles d’exposants s’appliquent aux exposants rationnels.
€
a1
n = an
am
n = a1
n ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
m
= an( )
m
a−
m
n =1
am
n
=1
an( )
m
Des erreurs à éviter avec des exposants rationnels
• Faites les corrections nécessaires:
nm
nm
nm
n
aa
a
aa
aa
n
m
n
11
Simplifier des puissances
• Exemples:
5
1
25
1
25
12525
25
25
2555555
21
21
43
41
43
41
36
34
32
34
32 2
Comment simplifier des expressions radicaux:
• Révision: Expressions vs. Équations:– Expressions
1. Pas de signe d’égalité
2. Simplifie (pas Résous)
3. Simplifie les fractions en éliminant des facteurs communs.
– Équations1. Signe d’ègalité
2. Résous (pas Simplifie)
3. Isole la variable en faisant des opérations inverses sur les deux côtés.
Règles pour simplifier des expressions radicaux
• Règle de produit:
• Règles de quotient:
nnn abba
nn
n
b
a
b
a
Exemples
• Exemple:
• Exemple:
4163
48
3
48
€
100
4
• Simplifier les radicaux:1. Si tu peux simplifier les radicaux, fais-le!
2. Pas de fraction comme radicande.3. Pas de radical dans un dénominateur.4. On peut simplifier des exposants rationnels.
aaaa 2
1
4
24 2
€
9 = 3 et a43 = a a3
Les binômes conjugués• Une méthode pour simplifier des
expressions radicaux
€
a − b( ) a + b( ) = a2 − b2
a2 ab
−ab b2
a + b( ) a − b( ) = a2 − b( )2
=
Les binômes non-conjugués
Les binômes conjugués
Les binômes conjugués: essai # 1
EEEK!
EEEK!
Hmmm… un autre essai…
EEEK!
EEEK!
Les binômes conjugués
Essais toi-même!
Simplifier les expressions avec des radicaux:
• Exemple:
373)25(3235
On peut seulement combiner des nombres radicaux qui ont la même
radicande.
€
3 + 2 5 ne peuvent pas être simplifiés
3 + 2⋅ 33 ne peuvent pas être simplifiés
5 3 + 27 = 5 3 + 9⋅ 3 = 5 3 + 9⋅ 3
= 5 3 + 3 3 = 8 3 simplifié
Attention!
• Simplification fausse:
2222 yxyx
yxyx
Multiplier et diviser des nombres radicaux
Multiplication avec PIED• Exemple:
)63)(25(
6637
326635
1266535
62326535
Simplifier avec le binôme conjugué
Résoudre des équations avec nombres radicaux
• Méthode:1. Isoler le nombre radical (ou au moins un, s’il y en a
plusieurs).
2. Prendre le carré des deux côtés de l’équation
3. Combiner les termes semblables
4. Répéter étapes 1 à 3 pour éliminer tous les radicaux
5. Résoudre l’équation
6. Vérifier les solutions pour éliminer les racines étrangères.
Exemple
Résous.Ajoute 1 au deux côtés:
Prends le carré:
Soustrais 3x + 7:
Factorise (Résous)
Donc x = -2 et x = 3, mais seulement x = 3 est une vraie racine. (Vérifie)
0)2)(3(
06 2
xx
xx
173 xx731 xx
73122 xxx
Les nombres complexes
• Définition:
• Nombre complexe: un nombre qui a la forme a + bi où a et b sont réels
• + / - des termes semblables (réels et imaginaires)• Multiplication: PIED
1 and 1 2 ii
Des nombres complexes
• Exemples:
iii
iiiii
iiii
iiii
746342
)2(3)1(3)2(2)1(2)21)(32(
33)25()14()21()54(
51)23()12()21()32(
2
Binôme conjugué complexe
• Le conjugué complexe de a + bi est a – biOn peut multiplier un binôme par son conjugué:
• On peut utiliser le conjugué pour faire la division aussi!(tout comme rationaliser le dénominateur)
13)9(494
)3(2)32)(32(2
22
i
iii
Des nombres complexes et la division
Divise:
iii
i
iii
i
i
i
i
i
i
13
2
13
23
13
223
)9(4
)1(1528
)3(2
1510128
32
32
32
54
32
54
22
2
Les radicaux et la distance
• La formule pour la distance entre 2 points (x1, y1) et (x2,y2) est:
212
212 yyxxd