Déterminant relatif et la fonction XI

Déterminant relatif et la fonction XIAuthor(s): Gilles CarronSource: American Journal of Mathematics, Vol. 124, No. 2 (Apr., 2002), pp. 307-352Published by: The Johns Hopkins University PressStable URL: http://www.jstor.org/stable/25099116 .

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DETERMINANT RELATIF ET LA FONCTION XI

By Gilles Carr?n

R?sum?. Nous obtenons un analogue de la formule de Weyl (ou plut?t sa version int?gr?e) pour les

domaines non-born?s d'une vari?t? riemannienne compl?te. Cet asymptotique concerne la fonction

de d?calage spectral de M. Krein. On donne aussi des formules reliant cette fonction et la ?

r?gularisation du d?terminant de quelques op?rateurs.

1. Introduction. L'objectif de cet article est d'?tudier les op?rateurs de

type laplacien sur les vari?t?s riemanniennes compl?tes noncompactes, et par

ticuli?rement certaines de leurs propri?t?s spectrales. Une partie de notre ?tude

est motiv?e par le tr?s bel article de F. Gesztesy et B. Simon. Dans [G-S 2], les

auteurs ?tudient la fonction Xi, dite de d?calage spectral, du couple

(H9 H0) = ((- d2/dt2 + V)9 ( -

d2/dt2 + V)o), sur L2(R, dt)

ou V: R ?> R est une fonction born?e inferieurement et Ho est l'op?rateur

?d2/dt2 + V avec les conditions de Dirichlet en 0 G R. Ainsi H est une perturba tion de rang 1 de Ho et selon la th?orie de M. Krein, il y a une unique fonction

f G Ll(R9d\/(l + A)2) telle que ?(A) = 0 si A << 0 et telle que, pour tout r?el

positif t9 on a

,xd\. Tr (e-'H -

e-'"? )

= - ?(A, H, H0)te

^ ' J ? oo

De plus grace au th?or?me 1.1 de"[G-S 2], on a la formule

f (A) = - lim - Arg G(X + fe, 0,0), p.p. A > 0.

O? on a not? G(z,x9y)9z G C, x9y G R le noyau de Green de l'op?rateur (H?z)~l. Notre objectif est de faire de m?me sur les vari?t?s riemanniennes. Soit donc

(Mn9g) une vari?t? riemannienne compl?te, soit A = d*d le laplacien associ?

? la m?trique. Dans cette introduction, on se contentera de d?crire le cas de

cet op?rateur, mais notre ?tude est valable pour tout op?rateur de type lapla cien raisonnable: les op?rateurs de Schr?dinger du type A + V9 o? V est une

Manuscript received October 23, 2001; revised March 28, 2001.

American Journal of Mathematics 124 (2002), 307-352.

307



308 GILLES CARR?N

fonction born?e inf?rieurement, le laplacien de Hodge-deRham agissant sur les

formes diff?rentielles, etc. Soit E une hypersurface compacte lisse de M qui

s?pare M

M-? = M_UM+;

on peut alors d?finir l'op?rateur autoadjoint non-born? sur L2(M) qui correspond au laplacien, on note encore cet op?rateur A, et on peut aussi construire un autre

op?rateur auto-adjoint qui correspond au laplacien pour les conditions de Dirichlet

sur 2, on le note Ao. Notre premier r?sultat est le suivant:

Th?or?me 1.1. Soit v un entier tel que v > (n ?

l)/2, alors pour z G C ?

M+,

les op?rateurs

(A-zr^-iAo-z)-'

sont ? trace.

Ce th?or?me assure que les op?rateurs d'ondes

W? = s- lim eitAe-itAoP0 t??q=oo

existent et sont complets; o? on a not? Po le projecteur spectral de Ao correspon dant au spectre absolument continu. Cependant, ceci est tr?s abstrait ici, puisqu'il se peut bien que les op?rateurs A et Ao n'aient pas de spectre absolument con

tinu!

De tels r?sultats, concernant plut?t la diff?rence des op?rateurs de la chaleur

e~tA ?

e~tA?, ont ?t? montr?s par U. Bunke, [B], ceci avec l'hypoth?se suppl?men taire que la vari?t? soit ? courbure born?e; notre ?tude montre que ce n'est pas n?cessaire m?me pour le laplacien sur les formes diff?rentielles.

Encore ici, le principal outil est la fonction Xi, de d?calage spectral de M.

Krein. La th?orie de M. Krein nous apprend qu'il existe une unique fonction

tel que pour tout z G C ?

K+

roo r?\

Tr ((A -

z)-" -

(Ao -

z)-") = -v

J Â'A>

Aq)(A _

z)*+i '

De plus selon M. Birman et M. Krein, presque partout sur le spectre absolument

continue de Ao, la fonction ? 2tt? coincide ? un entier pr?s avec la phase de

la matrice de scattering. De fa?on similaire au th?or?me 1.1 de [G-S 2], nous



D?TERMINANT RELATIF ET LA FONCTION XI 309

obtenons une description de la fonction Xi en fonction de l'op?rateur de Green

(A?z)-1. Ceci se fait par l'interm?diaire de l'op?rateur de Dirichlet-to-Neumann:

D?finition 1.2. Soit z G C ? R+, alors l'op?rateur de Dirichlet to Neumann

A?(z): C??(Z) ?

C??(L) est d?fini de la fa?on suivante: si/ G C??(Z) alors il y a une unique fonction/ G L2(M) telle que

J(A-z)/ = 0 surM-Z

\/ =/ le long de Z.

La fonction / est alors continue sur M et sa d?riv?e pr?sente un saut le long de

Z, alors M(z)f est pr?cis?ment ce saut:

o? n+ et n~ sont les normales unitaires ext?rieures le long de Z.

De fa?on similaire au cas des vari?t?s compactes, l'op?rateur de Dirichlet-to

Neumann est un op?rateur pseudodiff?rentiel d'ordre 1 elliptique inversible. Et

son noyau de Schwartz est le noyau de Schwartz de (A ?

z)"1, c'est ? dire, que si on note G(z,x9y) ce noyau, alors on a

rt(zrlf(x) = I

G(z,x9y)f(y) dy.

Ceci permet de d?finir le d?terminant r?gularis? de l'op?rateur de Dirichlet-to

Neumann. Suivant [R-S], on d?finit la fonction zeta

?(s) = Trafen*,

c'est une fonction holomorphe sur l'ouvert {s G C, dis > n ? 1}. De plus,

cette fonction admet un prolongement m?romorphe ? C tout entier et elle est

holomorphe en 0. On d?finit alors

dttAf(z) = e-ils=0<:(s).

Nous obtiendrons alors le r?sultat suivant:

Th?or?me 1.3. Pour presque tout A > 0, on a V?galit?

?(A,A,Ao)= lim - ArgdetA/"(A + fe).

e?>0+ 7T



310 GILLES CARR?N

Ce th?or?me peut ?tre vu comme une g?n?ralisation du th?or?me 1.1 de [G-S 2]. En effet, dans ce cas l'operateur de Dirichlet-to-Neumann est simplement l'op?ra teur de multiplication par 1/G(z,0,0).

Une autre partie de notre travail est motiv?e par un article de W. M?ller; dans [Mu 2], l'auteur donne des conditions pour que le d?terminant relatif de

deux op?rateurs autoadjoints soit bien d?fini; et il donne de nombreux exemples. Dans un cadre euclidien, ces d?terminants relatifs avaient ?t? ?tudi?es par V.

Bruneau [Br]. Dans son papier W. M?ller remarque que gr?ce aux r?sultats de U.

Bunke, on peut d?finir le d?terminant relatif des op?rateurs (A ?

z, Ao ?

z). Nous

obtenons ici le r?sultat suivant:

Th?or?me 1.4. Il y aun polyn?me ? coefficients r?els P de degr? inf?rieur ?

(n ?

l)/2 tel que pour tout z G C ? IR+

det (A -

z, Ao -

z) = ePiz) det Af(z).

De plus, lorsque M est de dimension 2, ce polyn?me est nul.

Dans le cas des vari?t?s compactes de dimension 1 ou 2, ce r?sultat est du ?

S. Levit, U. Smilansky [L-S], R. Forman [F] et ? D. Burghelea, L. Friedlander, T. Kappeier [B-F-K]; r?cemment, A. Hassel et S. Zelditch ont obtenue une telle

formule dans le plan euclien. Dans ces travaux, il est montr? que ce polyn?me est

nul. L'addition de ces deux derniers th?or?mes montrent que nous avons obtenu

le r?sultat suivant: pour presque tout ? > 0, on a l'?galit?

?(?, A, Ao) = lim - Arg det (A

- ? ? ie, Ao

- ? ? ie).

??>0+ 7T

Ce qui est ? posteriori un heureux r?sultat puisque la fonction de d?calage spectral est d?finie ? partir d'un d?terminant de Fredholm reliant A et Ao.

Nos r?sultats permettent aussi d'?tudier le cas o? on consid?re l'op?rateur

laplacien au dehors d'un obstacle avec les conditions de Dirichlet sur le bord.

Nos r?sultats sont alors les suivants:

Th?or?me 1.5. Soit (Mn,g) une vari?t? riemannienne compl?te et ? un do

maine compact de M ? bord lisse. Et soit Am-o Vop?rateur auto-adjoint de

L2(M ?

?) qui correspond au laplacien pour les conditions de Dirichlet sur d?.

Alors si v est un entier, v > n/2, alors pour tout z G C ? R+, les op?rateurs

sont ? trace. De plus si Af(z) est l'op?rateur de Dirichlet-to-Neumann de d? C M

et Nq est la fonction de comptage des valeurs propres du laplacien sur ? avec




les conditions de Dirichlet sur d?. Alors pour presque tout ? > 0, la fonction de

d?calage spectral du couple (A, Am-o) v?rifie

?(?, C, ?Q) = lim - Arg det M(\ + ie) -

Na(\).

A notre connaissance, cette derni?re ?galit? n'?tait pas connue y-compris dans

le cadre euclidien. Nous pouvons ici donner une formule asymptotique pour la

fonction Xi du couple (A, Am-o)'

Th?or?me 1.6. Lorsque A tend vers Vinfini, on a

L

A vol O A"/2+1 ?(?,A,AM_e>)dA

- -

o ^

(47r)"/2r(rc/2 + 2)'

La fonction de d?calage spectral doit ?tre pens?e comme une version r?gularis?e de la fonction de comptage des valeurs propres; c'est donc ? l'asymptotique de

Weyl qu'il faudrait s'attendre:

vol O \n'2 -?(?,A,AM_o)

(47r)"/2r(?/2+l)'

Cet asymptotique de Weyl a ?t? obtenue dans dans de nombreux cadres g?om?tri

ques: le cadre euclidien ([Bu], [J-K], [M-R], [CdV], [Gu], [P-P], [Me], [R], [Cl], [C2], [P3]); pour les vari?t?s ? bouts cylindriques ([C-Z], [PI]), pour les surfaces hyperboliques de g?om?trie finie ([Mu 1], [P2], [G-Z]). Cependant, ce

type d'asymptotique est s?rement faux en g?n?ral, notre r?sultat montre que sa

version int?gr?e est toujours vrai.

La derni?re partie de notre article est consacr?e au cas du laplacien de Hodge deRham sur les formes diff?rentielles. Nos r?sultats sont des g?n?ralisations de

ceux de N. Borisov, W. M?ller et R. Schrader [B-M-S]. Soit (Mn,g) une vari?t?

riemannienne compl?te, on note d l'op?rateur de differentiation ext?rieure et 6

son adjoint formel. Suivant Chernoff [Ch], on sait que l'op?rateur (d + 6) est

essentiellement auto-adjoint sur Cg?(A7*M) C L2(AT*M); on note A = (d + 6)2

=

db + 6d son carr?, c'est l'op?rateur auto-adjoint associ? au laplacien de Hodge deRham. Si ? est un domaine compact ? bord lisse, on consid?re sur M ?

?,

l'op?rateur (d + 6) pour les conditions absolues au bord

V ((d + 8)Abs) = {ae L2(AT*M), (d + ?)a G L2, et int?a =

0},

o? n: X ?> T?1 est le champ normal unitaire ext?rieur ? M ? ?. On notera A^ le carr? de cet op?rateur. Les th?or?mes de Hodge-deRham et de P. E. Conner

assurent que lorsque M est compact, les noyaux de ces laplaciens sont reli?s aux



312 GILLES CARR?N

groupes de cohomologie r?elle de M et M ? ?9 on a les isomorphismes:

Ker AHL2(APT*M) ~

HP(M9R)

Ker AAbs n L2(APT*(M -

O)) ~

#P(M -

O, R).

Notons r l'endomorphisme de APT*M qui est (? ?yTd. Alors, gr?ce au th?or?me

de MacKean-Singer, on a

Tr r (e~tA

- e~tA^

= X(M) -

X(M -

O) = x(?, d?).

Un de nos r?sultat est que cette identit? est encore valable sur les vari?t?s non

compactes:

Th?or?me 1.7. Pour tout t > 0, Vop?rateur e~tA ?

e~tAAbs est ? trace, de plus on a

Trr (e~tA

-

e~tA^) =

x<P,dO).

Ce th?or?me a ?t? obtenu par N. Borisov, W. M?ller et R. Schrader lorsque la vari?t? est asymptotiquement euclidienne [B-M-S]. De plus dans ce cadre

euclidien, il est montr? que les espaces

Ker A n L2(A/7r*M) et Ker AAbs n L2(ApT*(MO))

sont de dimensions finies, et que si n > 2, on a l'?galit?:

Trr(?>-'A-?T-'A^) =

x(09dO)

n =

Y, ( -

?ydim Ker A n L2{KPT*M) p=0

n

- ]T (

- lfdim Ker AAbs H L2(APT*(M

- O)).

p=0

Dans [C], nous avons donn? des conditions qui assurent que cette ?galit? est vraie.

Pour finir, nous ?tudierons le cas de R2 o? l'obstacle est le disque euclidien D

de rayon 1. Le th?or?me de N. Borisov, W. M?ller et R. Schrader montre que

Trr (e~tAR2 -

e~tAAb7B\ = 1 = x(D,dD).

Cependant les noyaux L2 des op?rateurs A, AAbs sont nuls. Ainsi, on s'attend

( _mR2 _mr2-d\ ? ce que l'allure de Trr ( e m ? e Abs

J, lorsque t tend vers l'infini, soit




dict?e par les ?tats r?sonnants d'?nergie nulle. Nous pr?ciserons la contribution

des quatres ?tats r?sonnants d'?nergie nulle de AAbs.

Remerciements. Je tiens ? remercier L. Guillop? et L. Hillairet qui ont

gentillement et patiemment r?pondu ? mes questions sur la th?orie de scattering. Je remercie aussi Y. Colin de Verdi?re de m'avoir sugg?r? le Th?or?me 1.4. Une

am?lioration de ce th?or?me m'a ?t? sugg?r? par un rapporteur, je le remercie

pour son aide.

2. Scattering sur les vari?t?s noncompactes. L'objet de cette partie est

d'?tablir des r?sultats relatifs ? la th?orie du scattering pour les laplaciens g?n?ral is?s sur les vari?t?s riemanniennes non-compactes. On va commencer par d?crire

le cadre dans lequel nos r?sultats sont valides:

2.1. Les laplaciens g?n?ralis?s. Soit (Mn9g) une vari?t? riemanienne com

pl?te et soit V ?> M un fibre hermitien de rang / au dessus de M.

L: C^(M9 V) ?+ C^(M9 V)

est un op?rateur diff?rentiel d'ordre 2 sym?trique dont le symbole principal est

la m?trique; i.e. L est un laplacien g?n?ralis?, et en coordonn?es cet op?rateur s'?crit

IJ l J l l

Selon R Gilkey, [Gi], il existe une connexion orthogonale sur V9

VL: Cg?(M, V) ?

C^(M9 T*M <g> V)

et ? G C??(Sym(V))9 un champ d'endomorphisme sym?trique de V9 tel que

(2.1) L= (vL)*VL

+ ?.

2.2. Une hypoth?se spectrale. Nous faisons l'hypoth?se que L: Cq?(M, V) ?

Co?(M, V) est essentiellement auto-adjoint sur L2(M9 V). D'apr?s Chernoff

[Ch], c'est aussi le cas lorsque L v?rifie la propri?t? de propagation ? vitesse

finie: les solutions de l'?quation

d2 -^rU+Lu

= 0



314 GILLES CARR?N

v?rifient

(2.2) support{w(?, )} C {x G M,dist(x, support{w(0, )}) < \t\}.

Alors un tel op?rateur a une unique extension auto-adjointe ? L2(M, V). On note

cet op?rateur auto-adjoint C. Le domaine de C est

D(C) = {u G L2(M, V), Cu G L2(M, V)}.

Nous faisons aussi l'hypoth?se que L est born? inf?rieurement: il y a une

constante A telle que

A / M2 <

/ (Ltp, ip) = / | VVl2 + (Etp, tp), ty> G Cg?(M, V).

JM JM JM

Pratiquement, nous ferons l'hypoth?se que cet op?rateur est positif i.e.,

0 < / {Lip, ip), Vy> G C^(M, V). JM

Quitte ? ajouter ? l'op?rateur L l'op?rateur ?Aid, nous pouvons toujours nous

ramener ? ce cas l?.

Ceci est par exemple assurer si le potentiel E de la formule 2.1 est born?

inf?rieurement.

De par nos hypoth?ses, le spectre de C est inclus dans R+. Ainsi pour z G

C ? [0, oo[, (C

? z)-1 est un op?rateur born? de L2(M, V).

2.3. Des exemples. De tels op?rateurs sont tr?s fr?quent: Le laplacien sur les fonctions A: Cqd(M)

? Cqd(M).

Si V est un fonction r?elle born?e inf?rieurement alors l'op?rateur de

Schr?'dinger L = A + V est de ce type. Si V = M x C est le fibre trivial, on peut changer la m?trique de ce fibre

par un poid, ep, o? p est une fonction lisse sur M, la connexion est l'op?rateur

dp =

e~pl2depl2\ et son adjoint est d* = e~p/2d?ep?2 et donc l'op?rateur est

Lf =

Af- {dp.df) + e-p'2Aep'2 est de ce type. Si L est le carr? d'un op?rateur diff?rentiel sym?trique d'ordre 1, L = D2,

alors L est de ce type. De plus, on sait que D lui-m?me est essentiellement auto

adjoint sur Cq?(M, V) C L2(M, V) ([Ch]). Par exemple, c'est le cas du laplacien de Hodge-deRham agissant sur les formes diff?rentielles.

2.4. Liens avec le d?terminant de l'op?rateur "Dirichlet-to-Neumann."

Un des objectif de ce papier est d'obtenir une formule analogue ? celle de

D. Burghelea, L. Friedlander et T. Kappeier. Dans [B-F-K], les auteurs obtiennent

notamment la formule suivante: si S est une surface riemannienne compacte et si




Z est une courbe plong?e lisse dans S alors on a

det (A + A) = det (Az + A) detR(X)9 VA G C-] - oc, 0[.

o? A est le laplacien associ? ? la m?trique sur S, A^ est l'op?rateur laplacien sur

S - Z pour les conditions de Dirichlet sur Z, et R(X) est l'op?rateur de Dirichlet

to-Neumann, c'est un op?rateur pseudo-diff?rentiel sur Z et il est d?fini de la

fa?on suivante: si/ G C??(Z), alors le probl?me de Dirichlet suivant admet une

unique solution

J(A + A)/ = 0 surS-Z

\f=f le long de Z

et on a

o? n? sont les normales int?rieures ? M? le long de Z. Les d?terminants sont des

d?terminants r?gularis?s. En fait, les auteurs obtiennent un r?sultat plus g?n?ral

qui am?liorait un th?or?me de R. Forman [F].

Dans cette partie, (M9 g) est une vari?t? riemannienne compl?te de dimension

n et L: Co?(M, V) ?> Cqd(M9 V) est un op?rateur de type laplacien comme

pr?c?demment. On note VL: Cg?(M, V) ?

C^(M9 T*M <g> V) la connexion

associ?e ? L, c'est ? dire que L ? (VL)*VL est un op?rateur d'ordre 0. Et on

consid?re Z C M une hypersurface compacte lisse, par commodit? on suppose

que Z s?pare M i.e. M ? Z = M+ UM_. Si z G C - R+, on peut d?finir l'op?rateur

de Dirichlet-to-Neumann J\f(z): C??(Z, V) ?

C??(Z, V) de la fa?on suivante:

Si/ G C??(Z, V)9 alors le probl?me de Dirichlet

j(L-z)f = 0 surM-Z

\f=f le long de Z

a une unique solution/ G C??(M ?

Z, V) D L2(M9 V). Cette solution s'obtient de

la fa?on suivante: si/ G Cq?(M, V) est une extension quelconque de/ alors on a

f=f-(C0-z)-l(L-z)f.

O? Co est l'op?rateur associ? ? L avec les conditions de Dirichlet sur Z. C'est

l'extension de Friedrichs de la forme quadratique

o ̂ [ (Lo9o) =

[ \VLo\2 + (Eo9o)9 Jm Jm



316 GILLES CARR?N

d?finie sur le compl?t? de Cqd(M ?

Z, V) pour la norme

De plus cette solution est continue sur M et lisse sur M+ et M_ ; sa d?riv?e normale

pr?sente un saut le long de Z et M(z)f est pr?cis?ment ce saut; ?n^: S ?> TM

est le champ normal unitaire ? Z entrant dans M? , alors

A/Xz)/ = - (V?+ (/|M+)

+ V?_ (/W_)) .

On a alors le:

Th?or?me 2.1. Siz G C?R+, alors l'op?rateur de Dirichlet-to-Neumann Ai (z) est un op?rateur pseudodiff?rentiel d'ordre 1 elliptique inversible. Son symbole

principal est scalaire:

a(M(z))(x,0 = 2VS6?MVx, (Jc,0 G r*M.

De plus, z i~> AT(z) esi une fonction holomorphe de z? valeurs dans les op?rateurs

pseudodiff?rentiels, et j^-A/Xz)

eî ?n op?rateur pseudodiff?rentiel d'ordre 1 ? 2z/.

Preuve. Ce th?or?me est bien connu dans le cas compact, il repose sur le fait

que si (G(z,x,y), x,y EM) est le noyau de Schwartz de l'op?rateur (C?z)~x alors

Af(z)~x a pour noyau de Schwartz (G(z,x,y),x,y G S). C'est ? dire G(z,x,y) G

Hom(Vy, Vx) = VX?V* et on a les identit?s suivantes

(C -

z)~Xf(x) = j G(z,x,y)f(y) dy, x G M, f G L2(M, V) JM

MzrXf(x) = J

G(z,x,y)f(y) dy, xe?,fe C??(L, V).

Ceci est encore vrai dans notre cadre et ceci repose sur la formule de Green.

Soit/ G C??(Z, V), on note fe <g>/ la distribution:

(peC?(M,V)^ j^,f),

alors la distribution

(C-zTx(^?f)

est donn?e par

?> G C??(Af, V) -+ / / <?>W, G(z, x, y)f(y)) dx dy = (y>, w)L2.




O? u G L2(M9 V) est d?fini par u(x) =

fz G(z,x9y)f(y) dy9 ainsi on a (C ?

z)u =

?z ?/ au sens des distributions, en particulier (L ?

z)u = 0 sur Ai ? Z. Or la

formule de Green montre que pour ip G C^(M9 V) on a

((L -

z)<p, u)L2 = (L

- z)u(ip)

= / (L(p9 u) ?

((p9 Lu) + / (L(p9 u) ?

((/?, Lu) Jm+ Jm

=

Jf?ip.li)

- {<p,VLn+u) + (VLn-<p9u)

- (<pMn-U).

Mais <p est lisse, on a donc V^+v? +

V^_y? = 0 le long de Z et

(L -

z)u = <5Z ? (A/"(z)w|i),

et finalement

Mz)(n|?) =/

Ce qui montre l'assertion relative au noyau de Schwartz de l'op?rateur J\f(z)~l. Comme l'op?rateur (C

? z)~l v?rifie les conditions de transmission, l'op?rateur

M(z)~l est un op?rateur pseudodiff?rentiel d'ordre ?1 et donc Af(z) est un

op?rateur pseudodiff?rentiel d'ordre 1. L'holomorphie de l'op?rateur J\f(z) par

rapport au param?tre z en d?coule aussit?t. Comme l'op?rateur ^M(z)~x est un

op?rateur dont le noyau de Schwartz est (v ?

\)\Gv(z,x9y)\ o? Gv(z,x9y) est le

noyau de Schwartz de l'op?rateur (C ?

z)~u, on en d?duit que Â/"(z)_1 est un

op?rateur pseudodiff?rentiel d'ordre 1 ? 2v9 l'assertion sur

ÂT(z) en d?coule

imm?diatement.

On va maintenant relier le d?terminant de l'op?rateur de Dirichlet-to-Neu

mann ? la trace de l'op?rateur (C ?

t)~v ?

(Co ?

z)~v'. Rappelons comment

est d?fini le d?terminant de l'op?rateur M(z). Puisque Af(z) est un op?rateur

pseudodiff?rentiel elliptique d'ordre 1 inversible, pour s G C, dis > n.? 1,

l'op?rateur J\f(z)~s est un op?rateur ? trace sur L2(Z, V). La fonction ?(s) =

Tr J\f(z)~s est bien d?finie et c'est une fonction holomorphe sur l'ouvert {s G

C, dis > n ? 1}. De plus, Cette fonction admet un prolongement m?romorphe ?

C et elle est holomorphe en 0. On d?finit alors

det J^(z) = e-i\s=0(:(s).

Ici, pour v > u~yl9

on a

dv ( dv~x (2.3)

? logdetAf(z) = Tr

dzv \ dz v-\ jM(z)\M(zTx



318 GILLES CARR?N

En effet si v > u~y~, alors j^- \(^N(z))jV(z) M est un op?rateur pseudo

diff?rentiel d'ordre ?2v, il est donc ? trace sur L2(L, V). De plus suivant [B-F-K], on a

| logdetAf(z) = Fp5=0

^ ,- Tr

( J;Mz)) Mz)",_1) ,

o? pour h une fonction m?romorphe sur C, on a not? Fps=0/i le terme constant

dans le d?veloppement de Laurent de h en 0. En d?rivant (v ?

1) fois cette

expression, on obtient le r?sultat 2.3. Notre r?sultat est ici le suivant:

Th?or?me 2.2. Soit v un entier tel que v > ^-etz

G C?M+, alors l'op?rateur

(C ?

z)~~v ?

(Co ?

z)~y est ? trace, de plus

~ logdetAf(z) = (y

- D! Tr {(C

- zT"

- (A)

- z)~u).

Preuve. Soit Go(z,x,y) le noyau de Schwartz de l'op?rateur (Co ?

z)-1. Si

x G X et y G M, on note 6Go(z,x,y) =

V^+Go(z,x,y) +

V^Go(z,x,y), o? la

d?rivation porte sur x G M+ dans le premier terme et sur x G M_ dans le second.

Si / est une section de V d?finie sur un voisinage de Z, C1 sur M+ et C1 sur M_

alors on d?finit 6f(x) = VLn+ (/ |M+) + V^_ (/ |M_).

Gr?ce ? la formule de Green, nous avons l'identit? suivante

G(z,x,y) -

Go(z,x,y) = / G(z,x,t)6tGo(z,t,y) dt.

En d?rivant ceci (v ?

1) fois et gr?ce ? la formule de Leibniz, on en d?duit que

le noyau de Schwartz de l'op?rateur (C ?

z)~u ?

(Co ?

z)~v est

Y, [ Gp+x(z,x,t)6tGq0+x(z,t,y)dt, _,, i J 2?

p+q=v?l

o? on a not? G(QX(z,t,y) le noyau de Schwartz de l'op?rateur (Co

? z)~x~q. On

introduit alors pour p G N ? {0} les op?rateurs

Ap: C???L,V)?>L2(M,V)et

Bp: Crf(M,V) ?>

L2(Z,V),

dont les noyaux de Schwartz sont respectivement GP et ?G^; c'est ? dire que

Apf(x) =

J Gp(z,x,y)f(y) dy, x e M

Bpg(x) =

/ 6xGp0(z,x,y)g(y) dy, x G Z. JM




On a donc l'identit?

(2.4) (? -

zr" -

(Co -

z)-u = J2 Vi?Vi

p+q=v? 1

Nous allons montr? que chacun des op?rateurs ApoBq est ? trace d?s que p + q >

(n- l)/2+l. A cet fin, nous introduisons les espaces de Banach suivant: si H\ et Hj sont

des espaces de Hubert alors Sp(H\9H2) est l'espace des applications lin?aires

A: H\ ?

#2 tel que VA*AP est un op?rateur ? trace; ce qui ?quivaut ?

ce que y/AA*p soit un op?rateur ? trace. De plus si A G Sa(H\9H2) et B G

S?(H2,H\) avec

? + 4 > 1 alors AB et A4 sont des op?rateurs ? trace et

Tr AB = TtBA.

Soit p G N ? {0}, l'op?rateur A*AP a pour noyau de Schwartz

/ Gp(z,x9t)Gp(z,Uy) dt9 Jm

c'est donc un op?rateur pseudodiff?rentiel d'ordre 1?4/7 sur Z. Il est donc dans

<Sa(L2(Z, V),L2(Z, V)) pour a > ^9

ainsi on a

Ap G Sa(L2(L9 V)9L2(M9 V))9 pour a > 2^?\. 4/7?1

Et si q G N ? {0}, l'op?rateur BqBq

a pour noyau de Schwartz

SxSy G%(z,x,t)G%(z,t9y) dt9 Jm

c'est donc un op?rateur pseudodiff?rentiel d'ordre 3 ? 4g sur Z. Il est donc dans

S?(L2CL9 V),L2(Z, V)) pour ? > ^;

ainsi on a

Bq G S?(L2(M9 V),L2(Z, V))9 pour /? > 2^-^.

Et donc l'op?rateur ApBq est ? trace sur L2(M9 V) si ^~-

+ ^ffp

> 2 c'est ? dire

si/7 + ? > (n -

l)/2+ 1.

On d?duit donc de l'identit? 2.4 que l'op?rateur (C ?

z)~u ?

(Co -

z)~v est

? trace si v est un entier tel que v > ^.

De plus par cyclicit? de la trace, on en d?duit que

Tx((C-z)-y -(Co-z)~u)= Y, TrV?Vi p+q=v? 1



320 GILLES CARR?N

Le second membre est la trace d'un op?rateur sur L2(L, V) dont le noyau de

Schwartz est

Y, I 6xGq0+x(z,x,t)G?+x(z,t,y)dt. Z7, i JM

p+q=v?\

C'est donc le noyau de l'op?rateur

(2.5) l

^?r [ / 6xG0(z, x, t)G(z, t, y) dt (v

- 1)! dzv~x Um

Or l'op?rateur ( jj-A/Xz)) Af(z)~x a pr?cis?ment pour noyau de Schwartz

(2.6) -

/ 6xG0(z,x,t)G(z,t,y) dt. JM

Ceci se montre comme dans le cas des vari?t?s compactes: si on fixe u G

C??(L, V), on note ? la solution du probl?me de Dirichlet

j(L-z)u = 0 surM-Z

[u = u le long de Z.

On a alors d?/dz =

(Co~z)~x? et la solution du probl?me de Dirichlet pr?c?dent avec pour valeur au bord Af(z)f est u(x)

= fIiG(z,x,y)f(y) dt. Le th?or?me est

maintenant une cons?quence des formules (2.3), (2.5) et (2.6). D

2.5. Existence des op?rateurs d'ondes. De ce th?or?me, nous pouvons en

d?duire le r?sultat suivant:

Corollaire 2.3. Les op?rateurs d'ondes

W?=s- lim eitCe-itCoP0 t-+zpoo

existent et sont complets. O? on a not? Po le projecteur spectral de Co sur l'espace

correspondant ? son spectre absolument continu.

Ce qui montre que l'on peut faire de la th?orie de la diffusion sur toutes les

vari?t?s riemanniennes compl?tes. Bien-s?r, il est impossible d'obtenir en toutes

g?n?ralit?s des renseignements pr?cis concernant la nature de spectre: est-il absol

ument continu? Y-a-t-il des valeurs propres dans le spectre continu? N?anmoins,

nous esp?rons donner ici quelques r?sultats int?ressants.

3. D?terminant et la fonction Xi. Dans cette partie, nous allons donn? un

lien entre le d?terminant de l'op?rateur de Dirichlet-to-Neumann et la fonction




de d?calage spectral introduite par M. Krpin. Nous commen?ons par rappeler les r?sultats de la th?orie de M. Krein, que nous exposons de fa?on ? ce qu'ils

s'appliquent ? notre cadre. Nous renvoyons le lecteur au survey tr?s complet de

M. Birman, D. Yafaev [B-Y] et aux articles originaux [Kl], [K2], [BK].

3.1. La fonction de d?calage spectral. Soit A9Ao deux op?rateurs auto

adjoints sur un espace de Hubert H. On les supposent positifs. On suppose de

plus qu'il y a un v G N - {0} tel que l'op?rateur V =

(A + \)~v -

(Ao + \)~v est

un op?rateur ? trace. On peut alors introduire la fonction

A(z) = det(Id? + V ((Ao

+ iy -

z)"1) , z G C -

[0,1].

O? le d?terminant est le d?terminant de Fredholm d'un op?rateur de la forme

"identit? plus op?rateur ? trace." Alors la fonction A est holomorphe et on a

lim A(z)=l,

pour z G C,z 0 R+, ceci permet de d?finir les fonctions ArgA(z) et logA(z). On

a alors:

Proposition 3.1. La limite

lim - ArgA(A + ie) = ?(?) e?>0+ 7T

existe pour presque tout A G R.

Remarquons que comme V et Ao sont auto-adjoint, on a A(z) = A(z), ainsi on a

aussi

^(A) = ?2^1ogA(A-/s)

D?finition 3.2. La fonction de d?calage spectral du couple (A, Ao) est la fonc

tion

?(A,A,A0) =

-C((1 + A)--).

M. Krein a montr? le th?or?me suivant:

Th?or?me 3.3. La fonction de d?calage spectral v?rifie



322 GILLES CARR?N

et de plus

vd\ roo

Tr((A + I)"" -

(Ao + l)"") = - / ?(A,A,

Jo Ao);

Et si on introduit

? = {g:R^C9geLl9 [ (1 + \p\)\g(p)\dp < oo} Jr

alors si f: R+ ?> C est telle que la fonction (y h-> f(y~? ?

1)) G ? tf/ors

Vop?rateur f (A) ?/(Ao) es? ? ?race e? on a

roo

Tv(f(A) -/(A0)) = / ?(A,A,A0)/'(A) JA.

ô De plus, selon le travail de M. Birman, M. Krein, la fonction de d?calage

spectral est reli? ? l'op?rateur de scattering. De par les hypoth?ses faites et le

principe d'invariance de T. Kato, on sait que les op?rateurs d'ondes

W?(A9A0) = s- lim ei?Ae-itAoP0,

t^^foo

existent et sont complets. O? on a not? Po le projecteur spectral de Ao sur l'espace

correspondant ? son spectre absolument continu. Alors l'op?rateur de scattering

S(A9A0) =

(W~)*W+

est un op?rateur unitaire de ImPo, et il commute avec Ao; ainsi dans la d?compo sition spectrale de Ao |imp0

ImPo = / n(X) dp(X)

Ao = / AIdK(A) dEx,

JSpac(A0)

on peut ?crire

S(A9A0) = / Js 5(A,A,A0) dEX9

SPflC(Ao)

o? 5(A,A,Ao) est un op?rateur unitaire de H(X). Cet op?rateur est en fait de la

forme identit? plus op?rateur ? trace. On peut donc d?finir son d?terminant de

Fredholm, le r?sultat de M. Birman et M. Krein est le suivant:

Th?or?me 3.4. Pour presque tout A G SpflC(Ao), on dV?galit?

detFr 5(A, A, A0) = e-2i7r^XAM).




3.2. Lien avec le d?terminant de l'op?rateur de Dirichlet-to-Neumann.

Notre but est de montrer le r?sultat suivant:

Th?or?me 3.5. Soit (Mn, g) une vari?t? riemannienne compl?te et

L: ?g?(Af,V) ?+ C^(M,V)

un laplacien g?n?ralis? comme pr?c?demment; on note encore C l'op?rateur auto

adjoint non-born? qui lui correspond sur L2(M, V). Soit Z C M une hypersurface

compacte lisse de M, on note Co l'op?rateur non-born? sur L2(M, V) correspondant ?l' op?rateur L avec les conditions de Dirichlet surlL, alors pour presque tout \ > 0, on a l'?galit?

lim - Arg det Af(X + ie) = f (?, C, C0).

Preuve. Fixons v un entier strictement sup?rieur ? (n ?

l)/2, on introduit

alors la fonction

O(z) = A((l + zTv) = det [(ML2WV)

+ V ((Co + 1)"" -

(1 + z)"")"1]

,

o?

v = (c + iyly-(Co + i)-u.

Cette fonction est d?finie pour z dans l'ouvert de C suivant

Q = {z g C, (l+zf ? [l,ooQ

= C - Ujl?k

- 1 W[l,oo[),

o? U? = exp(2/7r/z/). Remarquons que il est un ouvert simplement connexe et que

d'apr?s la th?orie de M. Krein, on a pour presque tout ? > 0:

lim - Arg <D(? + ie) =

f (A, C, C0). ?-+0+ 7T

Nous allons exprimer la fonction O en fonction du d?terminant de l'op?rateur de

Dirichlet-to-Neumann. Pour cela, nous commen?ons par d?river la fonction O

<D'(z) , A' ( 1 = ?1/(1 +z) -r

O(z) A \(\+z)v

Or, on sait que

^(0 = Tr

(((Co + I)""

- Q"1

- ((C + I)""

- C)"1)

= Tr ((A,

+ 1)" (1 - COCo + l)")"1

- (? + If (1 -

CGC + UT1)

Vt/ 1 c2 voc+ir-c-1 (A + ir-C



324 GILLES CARR?N

D'o? on obtient la formule:

(3-7) -^ = -i/(l+z)""1Tr

1 1

o(z) \(? + iy-(i+zr (Co + iy-a+zY

On utilise maintenant la d?composition en ?l?ments simples de la fraction

(3.8) 1 _ 1

^ ujV-^

Xv -av~ vav~x ?-?X- (Ja

Et on arrive ? la formule

O(z) =

-Tr\J2^l~v: J=?

1 1

.(? + 1) -

(1 + z)uji (Co + 1) -

(1 + z)c?J\ I '

On voudrait maintenant diff?rencier cette expression (v ?

Y) fois. Nous n'avons

pas le droit de d?river sous la trace dans cette derni?re formule; cependant on a le

droit de d?river l'expression (3.7) et alors la differentiation de la d?composition en ?l?ments simples (3.8) permet d'obtenir l'identit?

(u-\

U'=0

1 1 ^_^ = _? _ivt IV _

r'ofz) KV h

It^^+D-d+zM" ((?o+i)-(i+zy)"l'

Or d'apr?s notre Th?or?me 2.2, ceci vaut exactement

dz

v-\

-^logdetAf((l+zV'-l). .7=0

C'est ? dire, on a l'identit?

d" v-\

? log<D(z) = ?

^ logdet A/* ((1

+ z)ojJ -

l) .

dzv 7=0

Par connexit? de Q, on en d?duit qu'il existe un polyn?me P de degr? inf?rieur

? v ? 1, tel que:

logO(z) = log Y[ detN((l + z)uj -

1) ;=0

+ P(Z+1).

Maintenant P doit v?rifier l'identit? P(zcj) = P(z) puisque les autres termes de

cette identit? sont des fonctions de (1 + ?f. Ainsi P est un polyn?me en zv de




degr? inf?rieur ? v ? 1, c'est donc un polyn?me constant. De plus, les identit?s

O(z) = ?(z), et det M((l + zV -

D = detM((l + z)u~J -

1)

assurent que P est une constante r?elle. Et donc pour une certaine constante r?elle

c, on a la formule

logO(z) = log

v-\

Hdetj\f((l+z)??J -l) + c.

Comme pour presque tout A > 0, la limite

r 1 (?(\ + ie) hm ?

log 6-+0+ 2tt \?(\-ie),

existe et vaut ?(A, C, Co), on a de m?me pour la limite

J_ (jt det Af((l + A + ?g)c^ - 1)

? 2tt g l AA det A/*((l + A - feM" - 1)

Or si y t? 0, le nombre complexe ? 1 + (1 + X)u? n'est pas dans le spectre de Co,

ainsi on a

lim detN((l + A + ie)ujj -

1) = det A/"((l + X)u;j -

1).

Ainsi il reste ? la limite

hm -?

log -?-7?-? =

^(A, C, Co). D ?ô+2tt *\dztAf(\-ie) J

4. D?terminant relatif et formule ? la Burghelea-Friedlander-Kappeler. Notre but est ici de relier le d?terminant relatif des op?rateurs C et Co en fonction

du d?terminant de l'op?rateur de Dirichlet-to-Neumann. Comme l'on fait dans

le cas des vari?t?s compactes R. Forman et D. Burghelea, L. Friedlander et T.

Kappeler. Une telle formule a r?cemment ?t? obtenue pour le laplacien sur R2 par A. Hassell et S. Zelditch [H-Z]. Nous commen?ons par rappeler les hypoth?ses

qui permettent, selon W. M?ller, [Mu 2], de d?finir un d?terminant relatif.

4.1. D?terminant relatif. Soit H un espace de Hubert separable et A, Ao deux op?rateurs autoadjoints positifs sur H. On suppose:

Si e~tA et e~tA? sont les semi-groupes de la chaleur associ?s ? A et Ao, alors pour tout t > 0, l'op?rateur e~~tA ?

e~tA? est ? trace.



326 GILLES CARR?N

Lorsque t ?> 0+, il y a un d?veloppement asymptotique de la forme

oo k(j)

;=0 k=0

o? {a;}; est une suite croissante tendant vers l'infini. De plus, on suppose que

ajjk = 0 si aj-

= 0 et k > 1.

Alors pour tout nombre complexe z de partie r?elle strictement n?gative, on

peut d?finir un d?terminant relatif

det(A-z,A0 -z).

Ce d?terminant est obtenu ? partir de la fonction zeta:

as'z)=rTr(e~tA-e"Ao)etZf'lwy

Ces hypoth?ses assurent que la fonction s v-> ?(s9 z) existe lorsque la partie r?elle de s est assez grande et qu'elle admet un prolongement m?romorphe ? C.

De plus, cette fonction se trouve ?tre holomorphe au voisinage de 0, on pose alors

det (A -

z, Ao -

z) =

e-^s=?as>z).

Ces d?terminants ont ?t? d?finis et ?tudi?s par W. M?ller. Dans [Mu 2], l'auteur

donnent de nombreux exemples o? de tels d?terminants apparaissent. Dans un

cadre euclidien, ces d?terminants relatifs avaient d?j? ?t? d?finis et ?tudi?s par V.

Bruneau [Br]. On a alors:

Proposition 4.1. La fonction z -> det (A ?

z,Ao ?

z) est une fonction holo

morphe sur {z G C, $iz < 0}.

4.2. Dans notre cadre. On suppose toujours que (Mn9g) est une vari?t?

riemannienne compl?te et

L: Cg?(M,V)?^Cg?(M,V)

un laplacien g?n?ralise comme pr?c?demment mais on suppose de plus qu'il v?rifie la propri?t? de propagation ? vitesse finie (2.2); on note encore C l'op?ra teur auto-adjoint non-born? qui lui correspond sur L2(M9 V). Soit IcM une hy

persurface compacte lisse de M, on note Co l'op?rateur non-born? sur L2(M9 V)

correspondant ? l'op?rateur L avec les conditions de Dirichlet sur E. Gr?ce au




th?or?me 3.3, on sait que pour tout t > 0, l'op?rateur e tL ? e t?? est ? trace; et que

Tr (e-tC

-

e~tC?) = -t / ?>"'A?(A, C, C0)dX.

La seconde hypoth?se est v?rifi?e gr?ce ? un r?sultat de U. Bunke: dans [BJ, l'auteur montre que si Q est un voisinage de l'infini ne rencontrant pas Z alors

il y a une constante positive C telle que lorsque t ?> 0+:

Tr(l?1(e-'c-e->c?)lsi)=0(e-?).

Ceci est obtenu ? partir de la propri?t? de propagation ? vitesse finie et de

la formule de Duhamel. Alors gr?ce au fait que les noyaux de Schwartz des

op?rateurs e~tC et e~tC? admettent des asymptotiques lorsque t ? 0+, qui ne

d?pendent que de la g?om?trie locale; on en d?duit que lorsque t ?> 0+ on a

T asymptotique

oo

(4.9) Tr (e~tC -

e~tC?) ~

? a^'2. /=-(/!-1)

On a m?me a-(n-\) =

l\old?/(47r)^n~x^2, o? / est la dimension des fibres de V

Ceci montre que le d?terminant relatif det (C ?

z, Co ?

z) est bien d?fini. Notre

r?sultat est le suivant:

Th?or?me 4.2. Il y a un polyn?me ? coefficients r?els, P, de degr? inf?rieur ?

v^ tel que

det (C -z,C0-z) = ep{z) det M(z),

O? Af(z) est l'op?rateur de Dirichlet-to-Neumann d?fini dans la deuxi?me partie.

Preuve. Ceci d?coule des r?sultats pr?c?dents. En effet, si v est un entier v > (n

? l)/2 alors on a

CM = -/o sJx^rxdX'

Ce qui est bien d?fini si dis > v. Selon 3.3, nous savons que lorsque 5fa > 3u ou lorsque s = v alors ceci vaut pr?cis?ment la trace de l'op?rateur

(C-z)-s-(Co-z)-s.



328 GILLES CARR?N

On peut d?river ceci, et si on d?rive v fois on obtient

Qv roo ?(X) ?C(s, z) =

-Jo s(s + !)...(, +

v)^JLL_dA,

Ks > v.

Or cette int?grale est maintenant absolument uniform?ment convergente pour s

de partie r?elle positive ou nulle. Et on a donc

dv dv d ? logdtt(C-zXo-z)

= - ?-I^Cfoz)

= _(l/

_ i)f xr((?

- zYv

- (Co

- zTv\

On conclut alors gr?ce au th?or?me (2.2) que

? det (C -

z, Co -

z) = ? log det N(z).

Le fait que P soit ? coefficients r?els d?coulent des identit?s suivantes:

det (C -z,Co-z) = det (C -z,Co~ z)

det Ai (z) = detA/*(z).

Ceci, nous permet d'affirmer que l'on a le r?sultat suivant:

Corollaire 4.3. La fonction de d?calage spectral du couple (C9 Co) et le

d?terminant relatif v?rifient que pour presque tout A > 0,

?(A, C9 Co) = lim ? Arg det (C

? A ? ie9 Co

? A ? ie).

4.3. Asymptotique pour le d?terminant relatif. Notre but est ici de mon

trer comment nous pouvons utiliser les r?sultats de [B-F-K] afin d'estimer le

polyn?me apparaissant dans le Th?or?me 4.2. Comme dans les articles [B-F-K]

et [H-Z], nous commen?ons par montrer que le d?terminant relatif admet un

d?veloppement asymptotique lorsque \z\ tend vers +oo:

Proposition 4.4. Si L: C??(M9 V) ?

Cq?(M9 V) un laplacien g?n?ralis?

v?rifiant la propri?t? de propagation ? vitesse finie, alors lorsque \x ?> +oo, le

logarithme du d?terminant relatif admet le d?veloppement asymptotique suivant:

+OC

log det (C + ?jl9 Co + p) ^ ^ 7Tjp~j/2.

^-(dim M-l)




De plus les coefficients 7Tj apparaissant dans cette formule ne d?pendent que du

germe de L pr?s de Z.

Preuve. On utilise encore le r?sultat suivant de U. Bunke [B]: si Q est un

voisinage de l'infini ne rencontrant pas Z alors il y a une constante positive C

telle que

c <e~T. Tr

(lu (e'* -

e-^) 1Q)

Ceci permet d'?crire la fonction zeta comme une somme

?(s, -p) =

?M-q(s, -p) + CnC*, -p),

avec

Ca(s, -P) = j

Tr (lQ (e~tC

- e~^) 1Q)

e^f'1 dt

m'

L'estim?e de U. Bunke assure que la fonction s i?> (?i(s, ?p) est une fonction

enti?re sur C. De plus on peut majorer sa d?riv?e en 0 gr?ce ? la formule de

Cauchy:

d \ \ f ds ^-Cn(0, -p)\

= / ??i(s, -p) ??=

ds I |J|j|=1/2 2l7TSZ

Maintenant, il est facile de majorer cette int?grale

roo c

/ e-7e~tp Jo

on a donc lorsque p ?

+oo,

<C [ I e-ie-î*8-1 dt\ds\. J\s\=\l2 JO

Ul- ^&s+\)/2e

^Cn(0,-?) < Ce -y/Cil

Ceci montre que la d?riv?e en z?ro de la fonction ((s, ?p)?Cm-?i(s, ?p) v?rifie la

m?me estim?e. Or les travaux de [B-F-K] montre que lorsque p ?> +oo, la d?riv?e

en z?ro de la fonction s i?> (m-q(s, ?p) admet un d?velopement asymptotique

-^-Cm-q(o,-/?)~ J2 w72. S 7=-(dim M-l)

De plus les coefficients ttj apparaissant dans cette formule ne d?pendent que du

germe de L pr?s de Z. n



330 GILLES CARR?N

Le d?terminant de l'op?rateur de Dirichlet-to-Neumann admet lui aussi un

tel d?veloppement asymptotique, les coefficients du polyn?me apparaissant dans

le Th?or?me 4.2 sont alors d?termin?s par ces d?veloppements asymptotiques.

Corollaire 4.5. Les coefficients du polyn?me apparaissant dans le Th?or?me

4.2 ne d?pendent que du germe de l'op?rateur pr?s de Z.

Gr?ce au calcul fait par Burghelea-Friedlander-Kappeler nous pouvons en

d?duire la g?n?ralisation d'un r?sultat de [B-F-K] pour les surfaces compactes et

de [H-Z] pour le plan euclidien.

Corollaire 4.6. Si (M9 g) est une surface compl?te et X une courbe compacte

plong?e dans M, alors pour le laplacien associ? ? la m?trique on a:

det (A -

z, Ao -

z) = det J\f(z).

Il est maintenant int?ressant de calculer ce polyn?me dans certains cas afin

de savoir s'il est toujours nul:

Proposition 4.7. Supposons que sur un voisinage de l'hypersurface X, / 'op?ra teur L soit un produit

L=-&+A

Et que les m?triques de M et de V respectent cette g?om?trie, alors:

si la dimension de M est paire, le polyn?me apparaissant dans le Th?or?me

4.2 est nul.

Si la dimension de M est impaire, ce polyn?me n 'est pas nul.

Preuve. Gr?ce, au Corollaire 4.5, il suffit de calculer ce polyn?me lorsque la vari?t? est un produit riemannien M = R x X, V est le tir? en arri?re d'un fibre

hermitien sur S et A: C??(Z, V) ?

C??(Z, V) est un laplacien g?n?ralis? sur Z.

Alors il est facile de calculer la trace de l'op?rateur e~tC ?

e~tC?9 puisque les

noyaux de ces op?rateurs de la chaleur sont le produit des noyaux corespondant sur R (ou R ?

{0}) et sur Z. Mais le noyau de la chaleur sur R est

1 l*-yl2 p(t9x9y)

= -7=e

?

et sur R ? {0} pour les conditions de Dirichlet en 0 il est

1 / \x-y\2 \x+y\2 \

po(t,x9y) = -== le? -eu 1^^ ;

V47T? V /

on obtient donc

Tr(e-tC-e-tC?) = l-1re-tA.




Et donc, on a ?(s, ?p) =

^Ca(s, ?p) et donc

det (C + p, Co + p) = - det (A + p).

Puis diagonalisant l'op?rateur A et en s?parant les variables, il est facile de

calculer explicitement l'op?rateur de Dirichlet-to-Neumann:

Af(- p) =

2y/A + p.

Ainsi on a

log det jV( -

p) = -

log det (A + p) + log 2Ca(0, -p).

La valeur en 0 de la fonction ? s'exprime gr?ce au d?veloppement asymptotique

Tve-tA^Y,ajt^n-X)'2+K t-+0 + .

7=0

On a m?me ao = ZvolZ/(47r)(w_1)/2, o? / est la dimension des fibres de V. Il est

bien connu que Ca(0, ?

p) s'annule si Z est de dimension impaire, c'est ? dire si

M est de dimension paire. Puis si cette dimension est paire, donc n = 2p + 1 est

impaire, on a

p ( ? \w-j

qui est bien un polyn?me non nul car ao est non nul. D

Ceci montre plut?t que la normalisation choisie ici et dans les autres r?f?r

ences pour l'op?rateur de Dirichlet-to-Neumann n'est pas la bonne, il faudrait

diviser cet op?rateur par deux. Il serait int?ressant de calculer les premiers ter

mes du d?veloppement asymptotique des d?terminants r?gularis?s pour savoir si

le polyn?me est toujours nul en petite dimension, lorsque l'on normalise conven

ablement l'op?rateur de Dirichlet-to-Neumann.

4.4. Cas du scattering avec obstacle. Soit OcMun compact ? bord lisse

de M, on note Z le bord de ? et Q = M ? ?. Alors Co est la somme de deux

op?rateurs:

Co = Cq ? ?q.

O? Cq (resp. C?i) est l'op?rateur associ? ? L sur ? (resp. ?2) avec les conditions de

Dirichlet sur le bord. Puisque ? est compact, l'op?rateur e~tC? est un op?rateur ? trace et on peut bien d?finir le d?terminant relatif de (C

? z,Cq- z) et on aura:



332 GILLES CARR?N

Proposition 4.8. Il y aun polyn?me ? coefficients r?els P de degr? inf?rieur ?

(n ?

l)/2 tel que

det (C -zXn-z) = eP{z) detN(z) det (Ca

- z).

On peut aussi retrouver la fonction de d?calage spectral associ?e au couple (?,?o).

Proposition 4.9. Pour presque tout A > 0, on a

?(A,?,?n) = ?(A,?,?0)-Afe(A)

= lim - Argdet?f(\ + ie)-N0(\).

O? Nq est la fonction de comptage des valeurs propres de C?>:

Na(X) = Card{?? G Sp?0,/i < A}.

4.5. Cas de deux op?rateurs isom?triques ? l'infini. Soient L,-: Co?(M/, V?) ?>

Cq?(M?9V?)9 i = 1,2, deux laplaciens g?n?ralis?s v?rifiant la propri?t? de

propagation ? vitesse finie. On suppose qu'il y a des compacts K? C M?9 au

dehors duquels les op?rateurs L\ et L2 sont isom?triques. Nous pouvons alors

?tudier le d?terminant relatif det (?1 ?

z, ?2 ?

z). Pour ceci, on peut supposer que les compacts K? sont ? bords lisses. On

identifie alors les bords de ces deux compacts et on le note X. De m?me on

identifie M\?K\ ? M2 ?

K2, on notera cet ouvert Q; et on notera aussi V le fibre

V\ (ou V2) au-dessus de f? et L l'op?rateur L? sur Q. Les op?rateurs (Ci ?

z)~v

agissent naturellement sur l'espace

L2(Kl9 Vi) 0 L2(Q, V) 0 L2(K2, V2) = L2(MU Vx) ? L2(K2, V2) =

L2(Kl9Vx)?L2(M29V2).

De plus si v est un entier, v > n/2 alors l'op?rateur

(A -

zr? -

(C2 -

zTv

est ? trace. En effet, si Cq est l'op?rateur associ? ? L pour les conditions de

Dirichlet sur <9i2, alors on a

(?1 -zru-(C2-z)-y =

[(?1 -

zTv -

(Ca -

z)-?] -

[(?2 -

zYv -

(Ca -

z)'"],

c'est donc une diff?rence d'op?rateur ? trace, il est donc ? trace. Et on aura donc

det(?i -z,Cq -z) det(?i

- z,C2- z)

=

det(?2 -zXq-z)'




Et si on note Mi les op?rateurs de Dirichlet-to-Neumann associ?s (ce sont des

op?rateurs agissant sur C??(Z, V)), et Ck? l'op?rateur associ? ? L?, : C^(K[, V?) ?

C (Ki, Vi) avec les conditions de Dirichlet sur dKi alors:

Proposition 4.10. Il existe un polyn?me ? coefficients r?els P de degr? inf?rieur

?(n? l)/2, tel que

(1 Z,Ll Z) det(?K2-z) detM?z?

Nous pouvons am?liorer quelque peu cette ?galit?. Les op?rateurs de Dirichlet

to-Neumann M\ et M2 ne diff?rent que d'un op?rateur ? noyau lisse, en ef

fet l'op?rateur Mi(z)~x ?

M2(z)~x est un op?rateur ? noyau lisse. En effet, le

noyau de Schwartz de cet op?rateur est la diff?rence des noyaux de Schwartz

des op?rateurs (?,- ?

z)~x, et comme les op?rateurs L? sont isom?triques dans un

voisinage de Z, leurs r?solvantes diff?rent bien d'un op?rateur lissant. On peut donc ?crire

Mi(z)=M2(z)(ld + S(z)),

o? S(z) est un op?rateur ? noyau lisse sur C??(Z, V). Ainsi le d?terminant de

Fredholm de l'op?rateur Id + S(z) est bien d?fini et gr?ce ? une remarque de M.

Kontsevich et S. Vishik [K-V], on a

detM(z) = det M2(z)dctFr (Id + S(z)).

Ainsi on obtient le:

Th?or?me 4.11.

det (Ci - z, C2

- z) = e^det? (Id + S(Z)) ̂ ^

"

Z^. det(?*2 -z)

De plus, si ?(X,Ci,C2) est la fonction de d?calage spectral associ?e au couple

(Ci,C2) alors on a pour presque tout A > 0 l'?galit?

?(X,Ci,C2) = NK2(X)-NKl(X)+ lim - Arg detFr (Id + S(X + ie)).

??>0+ 7T

O? on a not? Nk? est la fonction de comptage des valeurs propres de Ck:

NKi(X) =

Card{// G Sp CKi,p < A}.



334 GILLES CARR?N

5. Asymptotique pour la fonction Xi. Notre r?sultat principal est ici le

suivant:

Th?or?me 5.1. Soit (Mn9g) une vari?t? riemannienne compl?te et

L: Cg?(M,V)-^Cg?(M,V)

un laplacien g?n?ralis?, v?rifiant la propri?t? de propagation ? vitesse finie, agissant sur les sections d'un fibre hermitien de rang l, comme pr?c?demment; on note encore

C V op?rateur auto-adjoint non-born? qui lui correspond sur L2 (M 9 V). SoitO C M

un domaine born? ? bord lisse de M, on note Cm-o Vop?rateur non-born? sur

L2(M-09 V) correspondant ? l'op?rateur L: Cg?(M- O, V) ?

C^(M-09 V) avec les conditions de Dirichlet sur d?. Alors si ? est la fonction de d?calage

spectral associ?e au couple (?, Cm-o\ on a:

/A?(A,?, Jo

vol O A?+1

(4tt)2 1(2 +2)

Preuve. Lorsque t ?? 0+, on a l'asymptotique (4.9)

vol O Tr

(e~tC -

e~tCM-?^ ~ l

(47T?)2

Or la formule de M. Krein fournit

Jo

n-tx^ ~ ~ - ^volO

e-tA?(\9C9CM-o)d\~l (4nt)2

L'id?e est maintenant d'appliquer le th?or?me taub?rien de Karamata. Ce serait

direct si la fonction Xi ?tait n?gative, ce qui n'est pas g?n?ralement le cas. On va

donc reprendre pas ? pas la preuve de ce th?or?me Taub?rien. Selon (4.9) on a

?(A, ?, Cm-o) = ?(A, ?, ?0) -

Afo(A),

o? ?0 est l'op?rateur auto-adjoint correspondant ? l'op?rateur L: C^(M ?

d?9 V) ?>

C^(M -

dO, V) avec les conditions de Dirichlet sur dO\ et Afo(?) est la

fonction de comptage des valeurs propres de l'op?rateur auto-adjoint Co qui

correspond ? l'op?rateur L: Cjf(0, V) ?

Cg?(?, V) avec les conditions de

Dirichlet sur dO:

N0(X) = Card{/x G Sp ?<?, p. < A}.




On sait que

vol O A!

(47r)fr(f + i)

Il suffit donc de montrer que

rA

/ ?(A, C, C0) d\ = o (a*+1)

, A - +00.

Gr?ce ? l'asymptotique (4.9), on sait d?j? que

-,/V-?<A,?,?,><tt~;^. ^0 (47r0"2"

On introduit alors la famille de mesures

On a donc pour tout s > 0,

roo

lim / e~sXe~x dut(X) = 0. i^0+ Jo

On a donc

/ oo

lim / f(X)e~x dpt(X) = 0, i^0+ Jo

pour toute fonction / qui est une combinaison lin?aire finie de fonctions du type A i?> e~sX, s > 0. On veut montrer que cette limite est vrai pour toute fonction

/ continue sur R+ et nulle ? l'infini. Pour cela, il suffit de montrer que la famille

de mesure {e~xdpt(X)}o<t<i est born?e. Ceci repose sur le fait suivant,

roo J\

(5.10) / \i(X)\ n+l<oc. Jo (1 + A)2+1

Si n est pair, on a montr? que l'op?rateur (?+1)~2 ?

(Co +1)_2~ est un op?rateur ? trace, car n/2 est un entier strictement plus grand que (n

? l)/2. Et la th?orie

de M. Krein nous donne le r?sultat.

Lorsque n est impair, on introduit l'op?rateur

d2 K =

L--^: Cg0(MxS1,7T*V)^Cg?(MxS1,7r*y),



336 GILLES CARR?N

o? 7r: M x S1 ? M est la projection sur le premier facteur. On note /C est

l'op?rateur autoadjoint associ? ? K et Ko est l'op?rateur associ? ? K avec les

conditions de Dirichlet sur d? x S1. Alors la fonction de d?calage spectral du

couple (/C, /Co) est

?(A,?,?o)W(A),

o? N(X) est la fonction de comptage des valeurs propres de l'op?rateur ?

Jgy sur

le cercle. De plus, on sait que l'op?rateur

(/C+l)"^ -(/Co + l)-^

est ? trace; en cons?quence, on a

roo rf\

/ |?A, ?, Co)\N(\)-_ < oo. A) (1 + A)?+1

Mais on sait qu'il existe une constante C > 1 telle que (1 + A)1/2/C < N(X) <

C(\ + A)1/2, ce qui ach?ve la preuve de (5.10). De ce r?sultat, on en d?duit facilement que

sup t2+l / |?(A,?,?0)|<rA' dX < oo. <K1 Jo 0<t<

Ce qui montre que la famille de mesures {e~xdpt(X)}o<t<\ est born?e. Le

th?or?me de Stone-Weierstrass permet alors d'affirmer que si/ est une fonction

continue sur R+ nulle ? l'infini, alors

roo

lim / f(X)e~x d/it(X) = 0. ô+ Jo

Ainsi si (p est une fonction continue ? support compact dans R+ alors on a

roo

lim / ip(X) dut(X) = 0. tô+ Jo

Le but est maintenant de montrer que ceci est valable pour la fonction car

act?ristique de l'intervalle [0,1]. Pour ceci, on introduit la fonction

On a donc

/6(A) = min(l,(l-^) )

roo

lim / fs(X)dtit(\) = 0.




Et pour 0 < t < 1, on a les majorations

j roo roo I rl+6

/ l[0,i](A) d?t(X)- / fs(X) dii,(X)\ <

/ d\n,\(X) \Jo Jo I J\

r?

<,* ' sup (1 +

A)^f ^(A)|f, -

i<A<V J\ (1 + A)f+1 t? '? r

7} (1 + A)i+1

Ce qui assure que limô+ fI+1 Jo ?(^> A A)) ?A = 0. D

Remarque. Si on sait que l'op?rateur (? + l)~a ?

(Co + l)~a est ? trace pour un r?el a E](n

? l)/2,n/2], alors cet asymptotique s'am?liore; la m?me preuve

fournit alors

j (i(X,C,Co)dX =

o(Aa+x).

Et donc on aura l'asymptotique:

(\(XXXm-o) dX = -/ jf?jT' +o(a?+1) ./O (47r)2 1 (5 +-?) v 7

La fonction ? est une g?n?ralisation de la fonction de comptage des valeurs

propres. Par exemple, si le spectre de C est discret, donc celui de Cm-o aussi, on a alors

-?(A, C, Cu-o) = NC(X) -

NCm_0(X),

o? on a not? Ne et NcM_0 les fonctions de comptage des valeurs propres des

op?rateurs C et Cm-o- Si la vari?t? est compacte, alors on a les asymtotiques de

Weyl, pour chaqu'une des fonctions de comptage. Et on obtient donc

en r r ? / vo1? a"/2 -?(A,L,Lm-0) ~?-?oo /;

(47r)"/2r(tt/2 + i)'

C'est cette version d?riv?e de l'asymptotique qui est l'analogue de la formule

asymptotique de Weyl pour la fonction de comptage de valeurs propres. Cepen dant cette version d?riv?e n'est pas valable en toute g?n?ralit?. On va n?anmoins

donner un cadre dans lequel celle ci est vrai. Si la fonction ?(A, C, Cm-o) est



338 GILLES CARR?N

une fonction ? variation born?e telle que, pour un r?el a ](n ?

l)/2, n/2], on ait

L ?T?^<00' alors on a l'asymptotique de Weyl:

(5.11) ^?^-'(^^?"M.

La preuve de ce fait consiste ? montrer que la fonction de d?calage spectral du

couple (?, ?o) v?rifie

aX9C9C0) =

o(Xa).

Ceci se fait gr?ce ? la formule suivante:

/ v roo

Tr (e-tC

- e-tC?)

= j

e~tX ??(A, ?, ?0) + ?(0+, ?, ?0).

L'asymptotique de Weyl (5.11) pour la fonction ?(X9C9Cmo) a ?t? obtenu

dans de nombreux cadres g?om?triques. Dans un cadre euclidien et pour le cou

ple laplacien euclidien A^? et A^n + V9 o? V est une fonction ? support compact, ceci est due ? V. Buslaev, Y. Colin de Verdi?re, L. Guillop? ([Bu],[CdV], [Gu]). Pour la cas du laplacien hors d'un obstacle, ceci a ?t? montr? sous certaines

hypoth?ses (obstacle convexe, ?toile ou sans trajectoire capt?e) par A. Majda, J.Ralston [M-R], A. Jensen, T. Kato [J-K], et ? V. Petkov, G. Popov [P-P]; R.

Melrose et D. Robert ont montr? le cas g?n?ral [Me], [R]. Signalons que dans

[J-K], les auteurs avaient montr? notre asymtotique dans le cas d'un obstacle

quelconque dans R". Le dernier r?sultat dans le cadre euclidien est due ? T.

Christiansen [C2] et L. Parnovski [P3], ils montrent que l'asymptotique de Weyl est vrai pour l'op?rateur de Laplace sur les fonctions sur les vari?t?s riemanni

ennes qui ont un voisinage de l'infini isom?trique ? un c?ne: [0, oo[ x Z, dr2+r2h) o? h est une m?trique riemannienne sur S. Le r?sultat de T. Christiansen est vrai

lorsque la g?om?trie est asymptote ? celle-ci.

Le cas des vari?t?s riemanniennes dont un voisinage de l'infini est cylindrique est due ? T. Christiansen et M. Zworski et L. Parnovski [C-Z], [PI]. Le cas des

surfaces hyperboliques ? l'infini et de volume fini est du ? W. M?ller [Mu 1]

et ? L. Parnoski [P2]. Enfin les cas des surfaces de g?om?trie finie est due ? L.

Guillop? et M. Zworski [G-Z].

Remarque. Pour finir cette partie, nous notons que notre m?thode permet de

traiter le cas o? on veut comparer l'op?rateur ? ? un op?rateur mod?le ?: si on

sait que l'op?rateur (?+ l)~(n-1)/2 -

(? + l)-^-1)/2 est ? trace, alors la fonction




de d?calage spectral du couple (L, Lm-o) v?rifie

fA - vol O A?+1

/ ?(X,C,CM-o) dX ~aôo -/ /A n r,n xOV JO (47r)2 1 (5 +?)

6. Scattering supersym?trique: le cas des formes diff?rentielles. Notre

but est d'expliquer ici comment les r?sultats de N. Borisov, W. M?ller et R.

Schrader se g?n?ralisent. Nous commen?ons par pr?ciser le cadre:

6.1. L'op?rateur de Gauss-Bonnet. Soit (Mn,g) une vari?t? riemannienne

compl?te, alors l'op?rateur de differentiation ext?rieure

d: C??(AprM) ?

C??(AP+XT*M)

a un adjoint formel

6: C??(AP+XT*M) ?

C??(APT*M),

qui est d?fini ? l'aide la formule d'int?gration par partie

/ (da,?) =

[ {a,6?), Va G C??(APT*M), ? G C??(AP+XT*M). Jm JM

L'op?rateur de Gauss-Bonnet est l'op?rateur

d + 6: C??(AT*Af)? C??(AT*Af),

il envoie une forme de degr? pair sur une forme de degr? impair et vice-versa; son carr? est le laplacien de Hodge-deRham. Selon [Ch], ces op?rateurs admettent

une unique extension auto-adjointe ? L2(A*T*M).

6.2. Les conditions aux bords. Soit il c M un domaine ? bord, <9f?

est suppos? compacte et lisse. Si on consid?re l'op?rateur de Gauss-Bonnet et

le laplacien de Hodge-deRham sur Q, ils admettent de nombreuses extensions

autoadjointes; nous ?tudions uniquement trois d'entre elles:

Ao qui est la r?alisation du laplacien de Hodge-deRham sur Q avec les

conditions de Dirichlet sur 9Q.

Les conditions relatives: on d?finit

V ((d + 6)Rd) = {a G L2(AT*M), (d + 6)a G L2, et i*a =

0},

o? /: dQ ?> ? est l'inclusion; alors

((d + 6)Rel,V((d + 6)Rel))



340 GILLES CARR?N

est un op?rateur autoadjoint. Et le carr? de cet op?rateur est not? ARei9 il corre

spond au laplacien de Hodge-deRham pour les conditions aux bords

{i*a = 0, /*(&*)

= 0}.

Les conditions absolues: on d?finit

V ((d + 6)Absl) = {a G L2(A7*M), (d + 6)a G L2, et int?a =

0},

o? n\ d?l ?> Til est le champ normal unitaire ext?rieur; alors

((d + 6)AbS9V((d + 6)Abs))

est un op?rateur autoadjoint. Et le carr? de cet op?rateur est not? A^, il corre

spond au laplacien de Hodge-deRham pour les conditions aux bords

{int?a = 0, int?(?/a)

= 0}.

6.3. Existence des op?rateurs d'ondes. Nous avons le r?sultat suivant qui un analogue de la premi?re partie du Th?or?me 2.2:

Th?or?me 6.1. Si v est un entier v > (n ?

l)/2, alors pour z G C ? R+, les

op?rateurs

(ARel -

zYv -

(A0 -

zT\ (AAbs -

zTv -

(A0 -

zT\ (AAbs -

zTu -

(ARel -

z)~u

sont ? trace.

La preuve de ce th?or?me se d?roule de la m?me fa?on que la preuve du Th?or?me

2.2. Comme dans cette preuve, nous notons GRei(z,x9y)9 GAbs(z,x9y) et Go(z,x9y) les noyaux de Schwartz des op?rateurs (ARei

? z)-1, (AAbs

? z)~l et (Ao

? z)-1.

Par exemple, GRel(z,x9y) G Hom(A7;*Q, A7;*Q) et si/ G L2(A7*Q), alors

(ARel -

z)~xf(x) = f GRel(z,x9y)f(y) dy. Jq

Il suffit de montrer que les deux premiers op?rateurs sont ? trace, puisque le

troisi?me est la diff?rence des deux premiers. Comme la preuve du Th?or?me

2.2, ceci repose sur les deux identit?s suivantes

G/fc/fo x9 y) -

G0(z, x9 y) = / GRei(z, x9 t)6t A 6tG0(z, t9 y) dt

GAbs(z,x9y)- G0(z,x9y) = -

GAbs(z,x9t)intntdtGo(zJ,y) dt9 Jtedn



DETERMINANT RELATIF ET LA FONCTION XI 341

o? nt G Tt?l est la normale unitaire ext?rieure ? dil en t et Qt G T*Q est la

1-forme diff?rentielle #,( ) = (nt,-). Ces formules sont des cons?quences de la

formule de Green:

(Au, v) ?

(u,Av) = / (u,intndv)

? (intnu, v) + (?u,intnv)

? (intnu,6v).

Jda

Comme dans 2.2, ces traces sont reli?es ? des d?terminants d'op?rateurs de

Dirichlet-to-Neumann.

6.4. Les op?rateurs Dirichlet-vers-Relatif et Dirichlet-vers-absolu. On

consid?re l'op?rateur suivant: ? a G C??(AT*dQl), on associe ? l'unique solution

du probl?me de Dirichlet:

((A-z)? = 0 surM-?Q

i*? = 0 sur dQ

intw/? = a sur dQ

{?eC??(AT*U)nL2

On pose alors

MRei(z)a =

-i*(6?).

L'op?rateur de Dirichlet-vers-Relatif MRei est alors un op?rateur pseudo diff?rentiel elliptique d'ordre 1 inversible. Et il v?rifie les m?mes propri?t?s

que l'op?rateur de Dirichlet-to-Neumann. Ces propri?t?s r?sultent du fait que

l'op?rateur Mr6] a pour noyau de Schwartz intnxGRei(z,x,y)9y A. C'est ? dire que

si a G C??(AT*dQ), alors

MRei(z)~xa(x) = / inlnxGRei(z,x,y)6y A a(y) dy.

JdQ.

En effet, si

u(x) = / GRei(z,x,y)(6y A (p(y)) dy

JdQ.

o? (p e Coc(AT*dQ?), alors u v?rifie les ?quations

( (A ?

z)u = 0 sur Q

u G C??(AT*??) H L2

i*u = 0 sur dQ.



342 GILLES CARR?N

De plus, la formule de Green montre que ?i*(6u) = (p ainsi J\fRei(z)~l(p = int?w.

En effet, si T est la distribution v h-> fd?l{v9 9 A (/?), alors la distribution (ARei

?

z)~lT est dans L2 et elle est ?gale ? w, i.e.,

(ARel -

zTxT(v) = T ((ARel

- z)~l

v)=J (v9 u).

Mais la formule de Green montre que si v G V(ARe?) alors

((A-z)v9u) = - / (v,0 A6u)

JdQ.

Or ceci doit aussi valoir T(v). On montre de la m?me fa?on que si MAbs(z) est l'op?rateur qui ? a G

C??(Ar*<9Q) associe MAbs(z)a =

intnd?9 o? ? est la solution du probl?me de

Dirichlet

((A-z)? = 0 smM-d?l

i*? = a sur dQ

intw/3 = 0 sur <9?2

[?e c??(Ar*Q)nL2

Alors MAbs(z) est aussi un op?rateur pseudo-diff?rentiel elliptique d'ordre 1 in

versible. Et le noyau de Schwartz de l'op?rateur MAbs(z)~x est iîyGAbs(z,x9y)9

c'est ? dire que

JÂbs(z)~lf(x) = / i*i*GAbs(z,x9y)f(y) dy.

JdQ

Maintenant, la m?me preuve que le Th?or?me 2.2 montre que:

Th?or?me 6.2. Si v est un entier v > (n ?

l)/2, alors on a

(v -

1)! Tr [(ARel -

zYv -

(Ao -

z)~u] =

?; logdetA/?wfe),

(v -

1)! Tr [(AAbs -

zTv -

(Ao -

z)~u] = -?

logdet?fAbs(z).

Remarque. On pourrait ?noncer une formule analogue ? propos de l'op?rateur

(AAbs-z)-?-(ARel-z)-u:

(6.12)

(v -

1)! Tr [(AAbs -

z)-u -

(ARel -

z)'"]

dv dv =

-?log det J\fAbs(z) - ?

\ogdzt NRei(z). dzu dzu




6.5. Scattering supersym?trique. Nous rappelons d'abord ce que sont les

donn?es du scattering supersym?trique comme elles sont d?finies dans [B-M-S]. C'est la donn?e d'un couple d'op?rateurs auto-adjoint non-born?s (Q, Qo) agissant sur un espace de Hubert H telle que:

H est muni d'une involution r qui anticommute avec ? et Qo, i.e.

r2 = ldH Qt + tQ = 0, surV(Qo); ?oT + r?0

= 0, sur V(Q0).

Autrement dit si //? = Ker (r =f Id//) alors H = H+ 0 H~ et dans cette d?compo

sition, on a

-t T)-(i ?? Les op?rateurs d'ondes W?(Q2, Qq)

= s ? limt^?00 eltQ e~ltQoP0 existent et

sont complets, o? Po est le projecteur spectral de Qq correspondant ? son spectre absolument continu.

Ces op?rateurs d'ondes enlacent ? et Qo, i.e.

QW?(Q2, Q2o)P0 = W?(Q2, Ql)QoPo, sur V(Q0).

Dans [B-M-S], les auteurs obtiennent le crit?re suivant pour que le couple (Q, Qo) d?finissent des donn?es de scattering supersym?trique.

Proposition 6.3. Si les op?rateurs Qe~^ ?

Qoe~*?o sont ? trace pour tout

t > 0 ou si pour un r?el v les op?rateurs Q(Q2 ?

z)~u ?

?o(?o ?

z)~v sont ? trace

pour tout z G C ? R+, alors le couple (Q, Qo) d?finit des donn?es de scattering

super sym?trique.

6.6. L'indice de Witten. Soient (Q, Qo) des donn?es de scattering super

sym?trique. Lorsque cela a un sens, on peut d?finir l'indice de Witten

W(t) = Txr{e-tQl -e~tQl).

Lorsque Qo (et donc Q) a un spectre discret, cette quantit? ne d?pend pas de t et

vaut l'indice relatif entre Q+ et Q^:

W(t) = ind ?+-ind ?j = dim Ker ?+-dim Ker ?"-dim Ker ?j+dim Ker g?\

Dans le cas o? le spectre de ?o n'est pas discret, W(t) est la r?gularisation ? la

Witten de l'indice relatif entre Q+ et Qq. De plus selon [G-S 1], si ?o (et donc

Q) est Fredholm alors

W(oc) = Hm W(t) = ind Q+ - ind ?j.



344 GILLES CARR?N

Ces indices r?gularis?s ? la Witten ont ?t? beaucoup ?tudi?s notamment en lien

avec la th?orie du scattering (supersym?trique) (cf. entre autres [B-G-G-S-S],

[B-M-S], [G-S 1], [B-B 1,2,3], [Mo 1,2],...).

6.7. Dans notre cadre. Nous ?tudions le couple ((d + 6)AbS9 (d + 6)Rei) sur

L2(AT*?2). L'espace L2(AT*i?) se d?compose par rapport ? la parit? du degr? des formes diff?rentielles:

L2(Ar*Q) = L2(A2T*Q) 0 L2(A2#+1T*Q).

Et l'involution est l'application r d?finit par ra = ( ?

iya si a G L2(ApT*?l). De la m?me fa?on que pr?c?demment, nous avons:

Proposition 6.4. 5/ v est un entier v > n/2, alors pour z G C ? R+, les

op?rateurs

(d + 6)Abs (AAbs -

z)~v -(d + 8)Rei (ARet -

z)~v

sont ? trace. Donc le couple ((d + 6)AbS9 (d + 6)Rei) d?finit des donn?es de scattering

supersym?trique.

Ceci se montre ? l'aide de la formule suivante:

(d + 6)ReiGRei(z, x9 y)-(d + 6)AbsGAbs(z, x9 y)

= (d + S)xGRei(z, x9 t)6t A 6tGAbs(z, t9 y) dt

JtedQ

+ (d + 6)xdtGRei(z, x9 t)6t A GAbs(z, t9 y) dt. JtedQ

Et nous avons le th?or?me suivant concernant l'indice de Witten:

Th?or?me 6.5. L'indice de Witten W(t) = Tr r(e~tA^s -

e~tAî) est ind?pen dant de t et il vaut

W(t) = x(?Q),

o? x(??) est la caract?ristique d'Euler du bord de Q.

Preuve. Ce r?sultat est une cons?quence directe du r?sultat de U. Bunke [B]

qui affirme que dans ce cas W(t) est ind?pendant de t9 et que si on scinde la trace

en

W(t) = WK(t) + Wn-K(t)

o? la premi?re trace est sur un voisinage compact K de <9Q et la seconde sur le

compl?mentaire de ce compact, alors pour une constante C > 0, on a

\WQ-K(t)\ =

0(e-c/t)




lorsque t ?> 0+. Ainsi

lim W(t) = lim WK(t), tô+ tô+

maintenant cette limite se calcule ? l'aide de l'asymptotique local de

TrAT*Q rê-t?Abs _e-tARel^^^

n

Lorsque ?2 est compact, ceci est bien connu; en effet chaqu'un des op?rateurs

(d + 6)Abs et (d + 6)Rei a un spectre discret et suivant le th?or?me de Hodge deRham pour les vari?t?s compactes ? bord, on sait que le noyau de (d + 6)Abs

agissant sur les /^-formes diff?rentielles est isomorphe aux p-i?me groupe de

cohomologie absolue de il et de m?me le noyau de (d + 8)Rei agissant sur les p formes diff?rentielles est isomorphe aux /?-i?me groupe de cohomologie relative

de Q (cf. [Co]). On a ainsi

ind (d + 6)+Abs = x(") et ind (d + 6)+Rel

= X(Q, d?l).

Et le th?or?me dans ce cas n'est autre que l'?galit?

(6.13) X(") = X(adQ) + x(<9Q).

Egalit? qui dans ce cas resuite de la suite exacte longue associ?e ? l'homomorph isme cobord:

... ?> Hp-X(d??) ?> HP(?1, dO) ?> Hp(??) ?> Hp(dQ)

? ... .

Ce th?or?me montre donc que si on r?gularise chaqu'un des termes de 6.13 ? la

Witten, cette ?galit? a encore lieu m?me si la vari?t? n'est pas compacte. Ceci

permet de relier les d?terminants relatifs de (Aa?s?z) et (ARei?z) aux d?terminants

de Maos et MRei. Gr?ce ? (6.12), la m?me preuve que pr?c?demment montre que sur L2(ApT*??), on a

dv dv dv ? log det (AAbs

- z, ARei

- z) = ?

log det MAbs(z) - ?

log det MRei(z).

Remarquons que ici Maos?z) est un op?rateur sur L2(ApT*dQ) alors que Mrei(z) est un op?rateur sur L2(Ap~lT*d?l). On peut d?finir les super-d?terminants:

D?finition 6.6.

n

detT(AAfe -

z, ARe? -

z) = JJ [ det (AAbs

- z, ?Rei

- z, L2(APT*Q.))](~lf

p=0



346 GILLES CARR?N

n-\

tetrNAbsiz) = Y[[dtt(AfAbs(zlL2(APrd?l))i-l)P. p=0

n-\

dztrNRd(z) = Y[[dtt(AfRel(z),L2(APrd?l))i-l)P. p=0

Suivant le Th?or?me 4.2, il existe un polyn?me ? coefficients r?els P9 de degr? inf?rieur ou ?gale ? (n

? l)/2, tel que

detr(AA?5 -

z, ARd -

z) = eP{z)detTArAbs(z)/detrAfRei(z)9 z G C -

R+.

Cependant le super-d?terminant relatif de (A^ ?

z, ARei ?

z) est d?fini ? l'aide de

la fonction zeta ?(s9z) =

/0?? etzW(t)f-xdt/T(s) =

( -

z)x(dQ). Ainsi, nous avons

le th?or?me:

Th?or?me 6.7. // existe un polyn?me P ? coefficients r?els de degr? inf?rieur ? (n

? l)/2 telle que

detTA/^(z) = (

- z)xm)ep{z)dztTNRd(z).

6.8. Scattering super-sym?trique par un obstacle. Nous pouvons ?videm

ment ?tudier de la m?me fa?on le couple form? par l'op?rateur de Gauss-Bonnet

sur une vari?t? riemannienne compl?te (Mn9g) et l'op?rateur de Gauss-Bonnet

au dehors d'un obstacle compact pour les conditions absolues sur le bord. Soit

donc (Mn9g) une vari?t? riemannienne compl?te et ? C M un domaine compact ? bord lisse; on consid?re alors l'op?rateur (d + 8) agissant sur L2(Ar*M), cet

op?rateur est auto-adjoint si son domaine est

V(d + 6) = {a G L2(A7*M), (d + 8)a G L2(Ar*M)}.

Et l'op?rateur (d + 8)Abs agissant sur L2(AT*(M ?

?))9 cet op?rateur est auto

adjoint si son domaine est

V ((d + 8)Abs) = {a G L2(AT*M)9 (d + 8)a G L2, et int?a = 0},

o? n: d? ? TM est le champ normal unitaire ext?rieur ? M ? ?. En utilisant

l'inclusion de L2(AT*(M -

?)) dans L2(AT*M)9 on consid?re abusivement que

(AAbs ?

z)-1 est un op?rateur sur L2(AT*M). On a alors le th?or?me suivant:

Th?or?me 6.8. Si v est un entier v > n/2, alors, pour z G C ? R+, les

op?rateurs

(A -

z)~v -

(AAbs -

zTv et (d + 8)(A -

z)"""1 -

(d + 8)Abs(AAbs -

z)'1"1




sont ? trace. Ainsi le couple ((d + 6), (d + 6)a?s) d?finit des donn?es de scattering

supersym?trique. De plus, l'indice de Witten est ind?pendant de t et il vaut la

caract?ristique d'Euler relative de ?, i.e.

W(t) = Tr r (e~tA -

e~tA^ = x(?, d?).

Ce th?or?me permet de relier les super-d?terminants de l'op?rateur Dirichlet-to

Neumann, de l'op?rateur Dirichlet-vers-absolu et de Ao (le laplacien de Hodge deRham sur ? pour les conditions de Dirichlet sur le bord):

Corollaire 6.9.

detT(A -

z, AAbs -

z) = (

- z)x(ado\

De plus, il existe un polyn?me P ? coefficients r?els de degr? inf?rieur ?(n? l)/2 tel que

(6.14) detTM(z)detT(Aa -z) = (- z)x{0?0)eP{z)deiTMAbs(z).

6.9. Liens avec les formes harmoniques L2. Lorsque le noyau L2 de AAbs est de dimension finie, alors celui du laplacien de Hodge-deRham aussi (cf. [L]), il est donc naturel de se demander si l'?galit?

Trr(e-tA -

e~tA^) =

Xl?M) -

Xl?M -

?)

est vrai; o? Xl?M) = Ep=o (

~ lîm (Ker A H L2(AprM)) et Xl?M

- ?) =

Ep=o (- l^dim (Ker AAbs^L2(ApT*(M-?))) sont les caract?ristiques d'Euler L2

de M et de M??. Cette ?galit? est vrai lorsque 0 n'est pas dans le spectre essentiel

de l'op?rateur de Gauss-Bonnet. Et selon [B-M-S], ceci est encore vrai sur M">2

ou une vari?t? riemannienne euclidienne ? l'infini de dimension sup?rieure ou

?gale ? trois.

Cependant ceci n'est pas vrai sur R2. En effet, le plan euclidien n'a pas de formes harmoniques L2 non-nulles et le plan priv? du disque P n'en a pas

qui satisfont aux conditions absolues, on a donc Xl2(^2) = 0 =

Xl2(^2 ~

I^)

Cependant, on a Tvr(e~tA -

e~tA^s) =

x(B,dB) = 1! Dans ce cas, la formule

(6.14) donne

detTMAbs(z) = ?CdetrAf(z)detr (a?

- z) /(

- z).

Maintenant, on a detTM(z) =

detr(Ag> -

z) = 1 puisque A07*E2 0 A2r*R2 et

A1!?"*M2 sont unitairement ?quivalent gr?ce ? une isom?trie qui entrelace les

parties paires et impaires de ces op?rateurs. On a donc l'existence d'une constante



348 GILLES CARR?N

r?elle strictement positive c telle que

Q dttTNAbs(z)

= ?. z

Nous allons maintenant expliquer d'o? vient cette singularit? en 1/z lorsque z

tend vers 0. AAbs n'a pas de valeurs propre L2, et on va voir que cette singularit?

provient des diff?rentes contributions des 4 ?tats r?sonnants d'?nergie nulle.

Pour une fonction/ G C??(S), il est facile de r?soudre le probl?me de Dirich

let

J(A-z)/ = 0 surR2-D

[f=f sur S

Si on d?veloppe / en s?rie de Fourier:

f(?) = Y.fkeike'; k

alors cette solution/ s'expriment en coordonn?es polaires

fir ffl-Vf HW (Ar) JM

k H|k| W

O? A2 = z, Im A > 0 et HL est la fonction de Hankel de premi?re esp?ce et d'indice \k\. On a ainsi

k H\k\ w

Lorsque C tend vers 0, les fonctions de Hanckel admettent des d?veloppements limit?s suivant (cf. [Le] page 101)

^(?--^(^'(( -^(DôcKi'to.Klx - W>2.

< +

2[?

H?(C) = 2/logC + C' + 0(|C|2log|C|).

H}(C) = --z + M/21ogC + C]+0(|C|2log|C|).

7TC, Z

Ainsi on a les d?veloppements limit?s

A?|Sr-'-2(??)+0('A'2)'siW?2




(6.15)

HJ'(A) Hi (A)

H?'(A) A

7T . =

_i_Â2logA + 0(|A|2),

1 + o

1

H?(A) log A V(log|A|)2

On en d?duit donc que lorsque z tend vers 0 on a:

C _/ 1 detA/?Uz) =

log(l/z) + 0

(log|z|)2

Puis pour les 1-formes: si a = adr + brdO = Adx + Bdy est solution de

l'?quation Aa = zcx alors les fonctions A et B sont solutions des ?quations AA = zA

et AB = zJB. Or en coordonn?es polaires, on a

fA\ /cos?> -sin 6^ (r,0) =

^.5/ \sin# cos? j (r,9).

Ainsi si on introduit la matrice

7 = 'o -r

.i o ,

alors X = I J

v?rifie l'?quation:

dr2 r dr r2

d2 d ?X-X-2J?X + zX = 0.

Maintenant si on d?veloppe X en s?ries de Fourier

X(r,d) = J2Mr)ekJ0, k

alors on obtient que chaque X^ v?rifie l'?quation suivante

rll , 1 v' (k+l)r n+-x'k+\z-^-^\xk=o.

On a ainsi

H?*+i|(Ar) Xk(r) = Wm**?



350 GILLES CARR?N

o? comme pr?c?demment z - A2, Im ? > 0. Si on s'int?resse ? Maos* al?rs la

fonction a est nulle sur le cercle. On a donc

??*?) = w

Si on pose Xk(l) = \ ] et si on d?veloppe b(l,9) en s?ries de Fourier

W

?(1,9) = bo + ^2 bn cos (nO) +

? cn sin (nO). n>0 n>0

Alors on obtient xn = ?x-n = cn/2 et jo = bo, yn = ?y-? =

bn/2. Ainsi la

solution du probl?me de Dirichlet: Aa - X2a avec a = a(r, 9)dr + b(r, 9)rd9 et

a(l, 9) = 0 est donn?e par

<r>0) = Ey

cos(^) [Qn+i -

Qn-i] + E y sin("0) [?"+i

- ?h-i] >

n>0 n>0

b(r, 9) = Qibo + ^|cos

(n9) [Qn+l + Q?-i] + E T

sin ("?) [?"+1 + Qn~^ ' n>0 n>0

O? on a not? ?? =

Uxn(Xr)/Hxn(X). Alors on a

MAbs(bd9) = -

Et Gr?ce aux d?veloppements limit?s (6.15), on a

?b+b or d0.

MAbs(X2)(d6) = [ttA2 log A +

0(A2)] dB,

1 +0((log|A)-2) MAbs(x2)( sede) =

MAbs(>?)(nri?d6) =

log A -1

log A + 0((log|A)-/)

(cos edd),

(sinod?),

-A/"Abs(A2)(cos(n0)d0) = [n

- 1 +0(|A|2)]

(cos(n0)d0) si n > 1,

A/kfo(A2)(sin(?6')i/6') = [n

- 1 + 0(|A|2)]

(sin(n?)d?) si n > 1.

Sur les 1-formes, on obtient pour une constante non-nulle C:

-1 ^2

detAWA2) = CA2logA log A [l + 0(l/log|AQ]

= C A2

log A [l + 0(l/log|A|)].




Finallement, la singularit? en z = 0 du d?terminant de MAbs(z) sur les 1-formes

provient de trois ?tats r?sonnants d'?nergie nulle

la forme dO qui contribue ? une singularit? en Cz log z,

Les formes d(x/r) ? dx et d(y/r)

? dy qui contribuent ? une singularit? en

C/ logz. Puis, la singularit? en z = 0, du d?terminant de MAbs(z) sur les fonctions,

provient de l'?tat r?sonnant d'?nergie nulle qui est la fonction constante, cette

fonction contribue ? une singularit? en C/ log z. Le quotient de ces d?terminants

pr?sente donc bien une singularit? en C/z.

d?partement de mathematiques, universit? de nantes, 44322 nantes cedex 3, France

E-mail: [email protected]

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Déterminant relatif et la fonction XI