D E U X APPLICATIONS NOUVELLES D E S RELATIONS E N T R E T R A N S F O R M ~ E S DE LAPLACE ET D E F O U R I E R :

TRANSFORMATIONS NON LINI~,AIRES D E S SIGNAUX ALI~IATOIRES, SIGNAUX ALI~,ATOIRES DE R E N O U V E L L E M E N T

pa r

Georges B O N N E T

Professeur ~ la Facult6 des Sciences *

SOMMAI~E. - - Pour commencer, le passage d'une transform& de Laplace h la trans/orm~e de Fourier d'une distri- bution temp~r~e est traduit, clans route sa gdn~ralitd, au moyen d'une rdgle que l'on s'efforce de rendre entid- rement syst~malique. La premiere application proposde a trait aux transformations non lindaires sans m~moire de s ignaux aldatoires ; la description des earacldrisliques de ces derni~res par une trans/orm~e de Fournier prise au sens des distributions s'avdre d'embl& bien plus profitable que la representation traditionnelle fondde sur la transformde de Laplace. L'dtude particulikre qui est faite du cas gaussien permet, d'abord de g~n~raliser, ensuite et surtout d'unifier dans une seule propriet~ fondamentale de d~rioation divers th~or~mes dtablis antd- rieurement par des auteurs sdpar~s et dans des cadres beaucoup plus restreints. La deuxidme application a dt~ choisie pour illuslrer t'int~rs d'une rdgle de passage direct de I'image de Laplace ?t celle de Fourier, duns des conditions o& l'original lui-m~me ne peut s atteint de manikre explicite : il s'agit des signaux-distributions al~atoires associds & des processus de renouoellement, pour lesquels la transformde de Laplace de la cooariance est ais~ment accessible d'apr~s la thdorie donna.e, alors m~me que l'expression de la cooariance ne semble pus susceptible d'une formulation simple. La rdgle de passage dvoqude permet par contre de d~crire la distribution spectrale dnerg~tique du signal directement depuis la lot des intervalles du processus g~ndrateur, en usanl de la fonction caract~ristique de ees derniers. Un appendice groupe les transformations non lindaires les plus

usuelles, en les ddcrioant par la paire : caractdristiques de transfert-transform~e de Fourier **

PLAN. - - I re p a r t i e . . 1 : Passage de la trans[orm~e de Laplace d eelle de Fourier d'une distribution 1.1. D~finitions et hgpothdses ; 1.2. Transformde de Fourier de la branche positive lorsque l'image de Laplace est une /onction born~e ; 1.3. Transform~e de Fourier de ta branche posilive clans le cas gdn~ral ; 1.4. Trans[ormde de Fourier globale. R~gle pratique et exemple. �9 2 e pa r t i e : APPLICATION A LA THt~ORIE DES SIGNAUX AL]~A- TOIHES. @ 2 : Premigre application : trans[ormations non lin~aires de signaux al~atoires 2.1. Description du cas unidimensionnel ; 2.2. Reprdsenlation par la transform~e bilat~rale de Laplace ; 2.3. Expression du moment de premier ordre par une transformde de Fourier ; 2.4. Moments d'ordre quelconque ; 2.5. Gdndratisation ?t des caractdristiques de trans[ert mullidimensionnelles ; 2.6. Transformations dans fes distributions d~riv~es des caract~ristiques de trans[ert ; 2.7. Signaux noyds darts des bruits gaussiens : thdordme gdn~ral ; 2.8. Covariance entree-sortie. 3 : Deuxi~me application : signuux ah~.trtoires de renouoel- / e r n e n t 3.1. Processus de renouvellemenl ; 3.4. Distribution spectrale dnergdtique du processus de distribution de renouvellement. �9 A p p e n d i e e Tableau de paires de Fourier ddcrivant des transformations non lint!aires

usuelles. �9 Bibliographic (21 r6f.).

C

E

u

\ P

o(~)

Is[ S*

Liste des symboles et notations.

t e n d vers ,

inclus dans ,

616merit de,

darts nn vo i s inage de,

imp l ique ,

que l que soit ,

coeff ic ient du b i n 6 m e h la pu i s sance m,

fonc t i on fac tor ie l le : ix ! = l~([z + 1),

res te de l ' o rd r e de g r a n d e u r de z,

m o d u l e de s,

con jugu6e c o m p l e x e de s,

( X -~ Y)(t) p r o d u i t de c o n v o l u t i o n ,

(I), H > f o r m e l in6aire (ou p r o d u i t sca la i re fonc- t ionne l ) ,

< p l y > arg s

A~ n , C+Um

C

~Icm

~(n) (x)

p r o d u i t seala i re en t r e v e e t e u r s ou b r a c k e t ,

a r g u m e n t de la v a r i a b l e c o m p l e x e s,

coeff icients des t e r m e s p r i n c i p a u x d ' u n e

s6rie de L a u r e n t ,

= 0,5772157.. . c o n s t a n t e d ' E u l e r - M a s -

cheroni ,

corps des n o m b r e s complexes ,

s y m b o l e de K r o n e c k e r ( = 1 si k m ;

= 0 si k ve m ) ,

d6riv6e d ' o rd r e n /> 0 de la d i s t r i b u t i o n

de Dirac ,

* Directeur du Centre d 'Etudes des ph6nom~nes al6atoires (CEPHAG) (associ6 au CNRS), 46, avenue F61ix-Viallet, 38-Grenoble.

** Recherches entrant dans le cadre du Groupe d'Etudes du Traitement du Signal (GRETSI).

- - 217 - -

,) , -/27 G. B O N N E T [ANNAI,,:S ... . S TI!]I,L . . . . . . . . . . . . . . . . . .

$(-U (x) fonction unit6 de Heaviside ; d6termi- 1.11. - - Nous d6finissons la ~ branche positive ,> de na t ion ~(-i)(0) = 112, la d is t r ibut ion par te produi t :

E n t x part ie enti6re du nombre r6el x, (1 a) H+(x) = H(x) 8(- i)(x) ,

E{X} esp6ranee math6mat ique de la variable al6atoire X, off ~(-~)(X) est la /onct ion anitd de Heaviside, assortie

de la d6terminat ion particuli6re : H(x) caract6rist ique de t ransfer t mul t id imen-

sionnelle d 'une t ransformat ion non 1 lin6aire, 8(-1)(0) = -2-"

h(v) t ransform6e de Fourier de la pr6c6dente, H+(x) est elle-m6me temp6r6e, de support born~

H(x) ~(s) original et image de Laplace, gauche. Nous d6finissons de m6me la (~ branche

H(x) ~ h(v)pa i re de transform6es de Fourier, ndgative ~, de support born6 h droite :

H+(x), resp. H_(x) branche positive (respect ivement (1 b) H_(x) t.q. H+(x) § H_(x) = H(x) Yx , n6gative) d 'une dis t r ibut ion,

H_(x) = H(x) ~(--1)(__ X), [h(v)]+, resp.[h(v)]_ transform6e de Fourier de la

branche positive (respect ivement n6ga- 1.12. - - La trans/ormde de Laplace de la branche tive), posit ive est d6finie, au sens des dis tr ibut ions, par une

He(x) = H*(-- x) d is t r ibut ion adjointe de H(x) forme lin6aire [semiliu6aire h gauche (*)], /~ savoir :

[ transform6e de Fourier de h*(v)], (2 a) ~+(s) -~ < e -s-x, H+ > ,

i.e. c'est-A-dire,

inf(p, q)

Im s

s

Log s

log e x

pf.

PP.

R +

R ~

Re s

resp.

8

sgn x

sup(p, q)

t.q.

i . P A S S A G E D E L A T I : t A N S F O I ~ V I ~ E D E L A P L A C E A C E L L E D E F O U I ~ I E R

D ' U N E D I S T B I B U T I O N

symbolis6e par : in f remum : p s i p < q; = q s i p > q,

part ie imaginaire de la variable corn- ~+(s) IX H+(x) ,

plexe s, off s ~ C et s* est conjugu6e cornplexe de s. Ici ~+(s)

espaee des fonctions (I)(t) tel que l(I)(t)lp a un sens et est une fonetion holomorphe pour Re s > 0, soit sommable sur R, puisque e - s x e s t h ddcroissanee rapide et ind6f iniment

fonction logari thme, d6rivable sur R+ lorsque Re s > 0 et que H+ est tempdrde par hypoth6se. L'origine est done l 'abseisse

logar i thme n6p6rieu, de ddfinition de B+(s).

d is t r ibut ion pseudo-fonction (ou part ie finie d ' une int6grale), 1.13. - - La transformde de Laplace de la branehe

n6gative est ddfinie de mdme par : part ie prineipale,

ensemble des nombres positifs, (2 b) ~_(s) = < e -s-x, H_ > ,

espace rdel n-dimensionnel , ou :

part ie r6elle de la variable complexe s, v~_(s) ] Z H_(x) ,

respect ivement , ~_(s) est done holomorphe pour Re s < 0. L 'ensemble

espace des fonctions cx>d6rivables ~ {~+(s), ~}_(s)} cousti tue la trans/ormde de Laplace ddcroissauce rapide, bilatdrale de la d is t r ibut ion H(t).

fonct ion (( signe de x )); d6 terminat ion 1.14. - - L 'hypoth~se faite pour commencer est que,

sgn 0 = 0, aussi bien vi+(s) que ~_(s) sont uni/ormes dans un supremum = p s i p > q ; = q sip < q. voisinage de ceux de leurs po in t s siuguliers qui sont

tel que. situ6s sur l'axe imaginaire Re s = 0. Ces points sin- guliers imaginaires sont done des p61es (ou 6ventuel- lement des points singuliers essentiels) A l 'exclusion de tou t point de b ranchement .

PREMII~RE PARTIE 1.15. - - D 'au t re part , en t a n t que dis t r ibut ion

tempdr6e, H(x) poss~de une trans/ormde de Fourier 6galement temp6r6e, not6e :

h(v) ~ H ( x ) ,

et d6finie sur l 'ensemble 8 des fonctions ind6f in iment

1 . 1 . D 6 f i n i t i o n s e t h y p o t h b s e s .

Soit H(x) une distribution tempdrde sur la variable r6elle x, avee comme cas part iculier une fonct ion

localement sommable et, t ou t au plus, de eroissance

leute h l ' infini .

(*) Nous nous conformons dans ee texte h la convention sur les produits scalaires traditionnelle en physique th6orique: si [ e t g sont deux fonctions de ~fl, k et [z deux nombres corn- plexes, on a < ~], ~g > = X*iz < 1, g > et < 9, ] > = < l, g > *. Par extension, les formes lin6aires eonsid6r6e6 seront dans toute la suite ~ lin6aires h droito �9 et ~ semi- lin6aires h gauche ,,.

2 1 8 - -

t. 25, n ',~ 5-0 , 1970]

derivables h d6croissance rapide par la relation

(Parseval) :

< O , H > = < q0, h > ,Vq0.~-~q) e 8 .

De meme, les branches positive et n6gative de H(t) possedent une t ransformee de Fourier, que l 'on note :

(3 a) Ih(v)]+ ~ H+(t) et [h(v)!_ ~ H_( t ) .

D'o/1 r~sulte, d 'aprbs (1 b) et la lin6arit6 de la t rans- formation :

(3 b) b ( v ) - - [ h ( ~ ) ] + -I [ h ( ~ ) ; _ .

Le probl~me pose est d ' about i r "h une r~gle de passage

direct de la t ransformee de Laplace bilat6rale {~+(s), v~_(s)} h celle de Fourier h(v) sans avoir h eonnai t re expliei tement l 'original H(x).

T R A N S F O n M ] : L I : ; D E F O U R I E R E T " I ' R A N S F O R M I ~ : E DI~; L A P L A C E 3/27

1.2. Transform6e de Fourier de la branche positive lorsque l'image de Laplace est une fonction born6e.

esx~+(s)ds, L+ : Re s > 0 ;

Im s d e - - oo h + cx3.

Considerons tou t d 'abord le cas particulier off

v]+(s) est born6 pour Re s > 0 et tend vers 0 comme

1list ~, lorsque s 1 - + ~ . Dans ces conditions, la formule d ' invers ion de Mellin-Fourier est applicable et redonne

l 'original H+(x), lequel est ici une fonction continue :

1 //+ (4) H + ( x ) - 2~i ~.

Posant alors :

(5) Re s = r h n s = 2 ~ v ,

on 6erit :

H+(x) e -sx = / ' + ~ ~ ~ > 0 . / - o v -

ce qui mont re que la fouction ~+(~ § i 27:v) est la t ransformee de Fourier de la fonction H + ( x ) e -~ au sens strict des fonctions sommables. La determi- na t ion de la transform6e de Fourier de H+(x) n6cessite cependant un passage h la l imite (et cela au sens des distr ibutions) pour ~ - - > 0 : c 'est l 'ob je t de la (( methode des limites ~) de J. Lavoine [1], qui fourni t un outil universel par t icul i6rement puissant . Cepen- dant , un tel proc6d6, reli6 h la not ion de pro'tie finie d 'une integrale, s 'avbre en general difficile h mani- puler ; nous nous proposons d 'e tabl i r une rbgle simple de passage syst6matique, d ' un domaine d 'appl ica t ion certes plus limit6, mais cependant suffisamment vaste pour englober la p lupar t des cas rencontres dans le domaine de la theorie des s ignaux (cette rbgle est d'ailleurs, comme nous le verrons, susceptible d 'etre ent ierement general]see). Le principe adopt6 consiste essentiellement ~ supprimer les difficult6s 6voquees en subs t i tuan t "~ ~+(s), bolomorphe pour (r > 0, une fonction ~(s) holomorphe pour Re s =

> 0 et aussi pour Re s = z = 0. Cette derni6re correspond ainsi h une t ransformee de Fourier 6gale

tou t s implement h Y,(2Mv). Le bu t sera alors a t t e in t en t r a i t a n t ~ par t la cont r ibu t ion des pdles imaginaires

de ~l+(s).

1.2.1. Contribution des p61es imaginaires .

D'apr6s les hypoth6ses faites jusqu 'h pr6sent, les seules singularit6s de ~+(s) sur l 'axe imaginaire (~ = 0 sont des p61es (ou des points singuliers essentiels). D~comptons t ous l e s pdles imaginaires. . , s k , sk+l ... Si Sk est un p61e d 'ordre Nit (fini ou non), la part ie principale de la serie de Lauren t de 7]+(s) dans un voisinage de sk s 'ecrit :

k, A+ (6) p.p. ~+(s) -- +

S - - S k

a? + . . . +

( s - sg)~

Ak.V k +

(s - - s~) "v~ �9 s ~ sk ,

oh les /t k'' sont des coefficients constants. D'apres (4), ~ +

la cont r ibut ion de cette quant i te fi l 'original H+(x) s 'exprime par :

J~k kn eSkX A+ x n-1 ~(-1)(x) �9

,,=, (n - - 1) !

Ceci nous condui t h considerer la fonction :

(7) Z(x)=H+(x) - y ] e s k x ~/c A~' xn-1 ~(-1) (x) , ,,:, (n - - 1) !

car, la sommat ion po r t an t sur tousles peles imaginaires sg de ~+(s), la t ransformee de Laplace ~ ( s ) I ~ Z(x) de cette fonction est alors dt!pourvue de singuIaritds

sur l'axe imaginaire :

N k A kn

(8) ~(s) = ~+(s) - - ,Y~ Y~ (s - - sk) ~ h ~ 1 7 6 1 7 6 Re s/> 0. n = l

1.2.2. Transforme.e de Fourier de Z(x).

I1 resulte de ce qui precbde que l 'on peut 6crire (z = 0) :

/ ~+co ~ Z ( x ) = e 27rl~x ~(2Mv)dv ,

i.e. la t ransformee de Fourier z(v) ~ Z(x) est ident ique h ~(2~:iv), saul 6ventuel lement sur un ensemble de mesure nulle. Ce qui, d 'apr6s (8) donne ] 'expression :

Nlc A kn

(9) z(v) =- ~(2Mv) = ~+ (27:iv) - - Z • "~+--+ x k ,,=, (2M) n

aprbs avoir pos6 :

(10) sk = 2 M v g , ~ v k ~ R ,

( V - - V k ) n '

1.2.3. Calcul direct de z(v).

Si nous par tons de l 'expression (7) de Z(x), la d6ter- ruinat ion de la t ransformee de Fourier z (v ) s ' ob t i en t di reetement en t e n a n t eompte de ce que :

e 2 7 ~ i V k X x n _ 1 ~--~ 1 (2~i) n-1 ~(n-1)(~_ ~k), n entier ~> 1

o/1 ~(n-1) est la d6riv6e de la d is t r ibut ion de Dirac. On

sait par ailleurs que :

1 1 ~(-a)(x) ~ -if- ~(~) -{- Pf" 2~ iv '

- - 219

4 / 2 7

ou pf. symbol ise une d i s t r ibu t ion (~ pseudo-lonction ~ [2]. D 'od r6sulte pa r le th6or~me de P lanchere l [avec [h(v)]+ ~-~ H+(x)] :

N~ A+ z ( v ) = [ h ( ~ ) ] + - - Z , , _ Z •

a("--l'(v--Vk)] * ['--~-~ a(V) ~- 27~--~ ])(V )"

On peu t d6velopper le p rodu i t de convolut ion en t e n a n t compte de ce que $(v) est l 'uni t6 de cet te alg6bre et de ce que :

1

( - - 1) n-1 (n - - 1) ! ( v - v,) ~

D'ofl le r6su l ta t : kn 1 NIr A+

(11) z (v )= [h(v)]+-- ~ - _ ..~,~, ( _ 2 n i ) n _ l ( n _ l ) ! •

Nk a*" 1 Z

~+ - - ~ (2ni)" ( v - - v~)

1.2.4. Dis t r ibut ion - t rans[orm~e de Fourier de / / + ( x ) .

La compara i son des dcux expressions 6quivalentes (9) et (11) de z(v) donne ainsi la t ransform6e de Four ie r de H+(t) :

(12) [h(v)]+ = pf. ~+(2vziv) + 1 Nk Agn

_ _ ~(n--~) ( v - vD, 2 ~ , ~ ( - - 2Td)n-i (n - - 1 ) !

Off B+(2cdv) est h p rendre au sens d ' une pseudo- fonction. Pour ob ten i r une r~gle d 'un emploi plus simple, on peu t modif ier ce t te expression en u t i l i san t d i r ec tement ta pa t t i e pr inc ipa le de =q+(2xi, 0 au tou r de ses p61es rdels vk = Sic/2 xi ; soit, si N~ est l ' o rd re

du p61e v~ :

c? (13) p.p. v~+(2~iv) - - + + ... +

v - v~ (v - v~)~ ckX k

-4- (~ _ v ~ ) N ~ . V ~ V~,

avee 6ventuel lement , N~ infini s ' il s ' ag i t d ' un po in t singulier essentiel. On a 6v idemment , en e o m p a r a n t avec (6) :

~" = (2xi) - n A~", C+

&off r6sulte la r6gle de passage H+(x)~--I ~}+(s)-~ [h(v)]+ ~ - H+(x),

(14) [h(v)]+ = pf. v)+(2=iv) +

~/~ ( - - 1)n -~ C k" ~(n-~) (v - - y D . ni Z Z ~+ ( n - - 1 ) t k n=l

G. B O N N E T I A N N A I , I ( S DES ' [ ' I " ; I , I : :CI I 'qMI;NI ; ' C I I ' P \ ~

fonet ion ho lomorphe pour Re s > 0. D ' a u t r e pa r t , d 'apr~s un th6or6me de L. Schwar tz [2], ~q+(s) est, lorsque Re s ~> ~ > 0, lc p rodu i t d ' une /onc t i on holo-

morphe bornde par un polyndme en s.

a) Si D est le degr6 de mul t ip l ie i t6 du po lyn6me de ma jo ra t ion , la fonct ion :

(15) r = ~+(s)/s D+~ ,

est ho lomorphe pour Re s > 0, born6e pour Re s /> r et d6croit comme 1][s[ ~ pour Re s ~ + cx). Elle r empl i t donc les condi t ions du w 1.2 pr6c6dent. Pa r suite, son original de Laplace F(x) Z I ~(s) est une fonct ion cont inue, de suppor t R + , a d m e t t a n t l 'or igine s = 0 pour abscisse de sommabi l i t6 . Alors, des formules similaires ~ (12) ou (14) p e r m e t t e n t de d6terminer la t ransform6e de Four i e r f(v) ~ F(x). Ainsi, compte tenu de (15), nous avons :

~q+(2 xiv) (16) f(v) = pf. (2~iv)u+ ~ +

Mk (__ 1)m-1 ~i ~ ~ B tzm ~(n-O ( v - - v~)

, .,=, (m - - 1) !

off les Vk sont les p6les rdels de :

~+(2 niv) (17) ~o (2 r : iv ) - (2~iv)u+ ~ ,

3 ik est leur ordre de mul t ip l ic i t6 (suppos6 fini pour l ' i n s tan t ) et les B ~m sont les coefficients de la s6rie de L a u re n t de q~(2xiv) au vois inage de vk :

Bkl Bk2 (18) p p . ~ ( 2 x i v ) - ( v - - v k ) + ( v - - v ~ ) 2 + "'" +

Bkik (v- -vDM* " v'-~ v~.

P a r a i l l eu rs , la r e l a t i o n (17) m o n t r e que ~ ( 2 x l v )

a les mdmes pdles que ~ + ( 2 x i v ) et , n6cessa i remen t ,

le p6 le v o = 0 ; de p lus , ees p6 les son t du mgme ordre de mull ip l ic i ld, sauf v o :

31~ = Nk si k va 0 et M 0 = N O + D + 2 .

b) Le passage de f(v) h la t ransform6e de Four ie r [h(v)]+ de la b ranche pos i t ive H+(x) s 'effectue faci- le inent si nous r emarquons que la re la t ion (15) donne :

B+(s) = sU+!q~(s) => H+(x) = (~r * F)(x),

et pa r sui te :

(1O) [h(v)]+ = (2xiv) '+2f(v) .

Cet te re la t ion , comptc t enu de (16), fourni t une premi6re composan te de [h(v)]+ sous la forme de la pseudo-fonct ion ~]+(2rdv). Nous sommes condui ts ensui te h 6tudier des te rmes du t y p e B km (27r D*2 ~(n-1)(v - - vk), ceci cn t r a i t a n t s6par6ment le p61e v 0 h l 'or igine et les au t res p61es r6els vk.

1 . 3 . T r a n s f o r m 6 e de F o u r i e r de l a b r a n c h e p o s i t i v e d a n s le c a s g 6 n 6 r a l .

Revenons au cas g6n6ral off H(x), e t pa r sui te sa b ranche pos i t ive H+(x), est une distribution tempdrde. D'une pa r t , l ' image de Lap lace ~)+(s) demeure une

1.3.1. P61es r~els v~ p o u r k ~ O.

a) Si nous tenons eompte de l ' express ion (16) de f(v), la con t r ibu t ion de son p61e vk(k :/= 0) h [h@)]+ = (27~iv) r ~ ' f(v) s ' expr ime p a r :

.Uk (-- 1)m-1 Bkm(27flV)~ -- Vk) (20) ~ i Z (m 1) '

111=t ~ �9 - - 220 - -

t, 25, n"* 5-~;, 1!~70 I

Or, un ealcul s imple p e r m e t d '6 tab l i r la propri6t~ su ivante de la d i s t r ibu t ion ~(ra-t)(v - - v~) :

(o/) (27~iv) D+23(m-a)(v- We) = ~ (--27~i)P •

(m-- l ) ! ( m - - l - - p ) ! (2~i~k) '+2-v ~ ( m - t - p ) ( , ~ __ We),

off P = inf(D + 2, m - - 1). Comme il est tou jours possible de p rendre un po lyn6me de ma jo ra t i on de degr6 D plus grand que sup(M/c), la sommat ion s 'effectuera en f a r de p = 0 ~ p = m - - 1 . P o r t a n t alors ee t te expression dans (20) et ef fectuant le ehangemen t d ' indiees m - * n + p, nous ob tenons la con t r ibu t ion h [h(v)]+ du p61e v/c, sous la forme :

M, UM~-. / D + 2 \ I (22) . i E ~ E (27fi)P[ )Bk,n+p(2~lv/c)t'+~-P [•

n = , L p=o k P / ( - - 1)n-I

( n - 1) !

b) I1 est facile d ' i n t e rp r6 te r la pa r t i e entre crochets de (22). Nous avons en etIet, d ' apr6s (17) :

~+(2~iv) = 9(2~iv)(2~iv) ~'+~

= ( 2 x i ) " + 2 9 ( 2 x i v ) [ ( v - - v ~ ) + v/c] ~'+2 ,

ce qui p e r m e t de relier les coefficients du d6veloppe- men t (13) de ~+(27~i~) aux coefficients, B/cm du d6ve loppement (18) de q~(27:iv) au tou r du p61e r6el commun v~. Compte tent, de ce que D > sup (M/c), nous obtenons ainsi :

M~--n / D + 2 (23) C ~" ~ ', ,~+ = ~ (2~:i)v B/c,n+v(2rdv/c)t'+~-v,

\ P p~t~

n = 1 ~ Nk = M/C.

Por tons enfin (23) dans (22), en nous souvenan t qne N/c = M/C pour k ~ 0 ; la con t r ibu t ion du p61e r~el v/c r 0 & [h(v)]+ s '6crit ainsi :

Nk 7:i ~ r?" ( - 1)n-~

"~+ (n 1) I 81~-~)(v - - v~).

Nous t rouvons donc, exp r im@ en fonct ion des coeffmients de d6ve loppement c ~'' de la [onction de croissance lente ~+(2xiv) la meme expression que dans la re la t ion (14) du w 1.2, laquelle a v a i t 6t6 6tablie pour une fonet ion ~+ bornde et sommable; de plus, ce t te ident i f ica t ion est va lab le pour chacun des p61es r6els ~k =/= 0 de ~+(2xiv) .

N.B. - - Le ra i sonnemen t pr6c6dent a 6t6 expose, darts un b u t de s implif icat ion, en supposan t que le degr6 du polyn6ine de ma jo ra t ion adopt6 6tai t supS- r ieur /~ l ' o rd re de nIult ipl ici t6 de chaque p61e de T(27ziv). On peu t mon t r e r que le m~me r6su l ta t est ob tenu lorsque cet te hypoth~se est 6cart6e ; ce qui p e r m e t d ' en 6tendre la val idi t6 ~ l ' ex is tenee 6ventuel le de points singuliers essentiels (N/c = oo).

1 .3 .2 . P 6 l e v o = 0.

Le p61e ~o : 0 est d ' o rd re N O + D + 2 pour 9(2=iv) e t d ' o rd re N o pour ~1+(2=i~). Pa r tons de la s6rie de Lau ren t de B+(2xiv) au tou r de l 'or igine :

N O C on +

t l : - ~

TRANSFORMI:iE DE FOURIER ET TRANSFORMI::E DE LAPLACE 5/27 I1 en r6sulte l ' express ion de la pa r t i e pr incipale

de 9 (2x iv ) -- ~}+(2xiv)(2~iv) 2D+2 �9

1 N 0 + D + 2 (~0,m D--2

P.P .9 (2x iv ) ~ - - , v ~ 0 . (27~i) D+2 m=t Vm

La con t r ibu t ion du p61e Vo= 0 ~ [h(~)]+ = (2 rciv)D+~f(v) est ainsi, en i n t rodu i s a n t ces coefficients de d~ve- l oppemen t dans une re la t ion ident ique ~ (14) :

N 0 + D + 2 C~m 1, 2 (__ t ) m _ l 7:i Y~ (27:iv) D+~SIm-ll (v) .

. . . . t (2 7~i) D+2 ( m - - 1 ) !

T e n a n t compte de la propri6t6 (21), laquelle se r6dui t pour v~ = 0 h :

= 0 , s i r e - - 1 < D + 2 ,

(27fi~)D+a~(m_l)(,j) =(__2~1)D+2 (m--l)! ~(m_D_3)(, A (m~D--3)! " " '

s i r e - - 1 >~D + 2 ,

nous obtenons , apr6s le changement &indices m - . n + D + 2, la con t r ibu t ion A [h(v)]+ :

~o ( - - 1)~-~ 7~i n:0E C~' (/ l - - 1) .I ~ ( n - 1 ) ( v ) '

(N O fini ou non). La re la t ion (14) se t rouve donc ent i~rement g6n6-

ralis6e au cas off l ' image de Laplace B+(s) est une fonct ion de croissance lente, ho lomorphe pour Re s > 0, c 'es t -~-dire au cas d 'un original H+(x) d i s t r i -bu t ion teinp6r6e de suppor t R+ .

1.4 . T r a n s f o r m 6 e de Four ier g loba le . Rbg le prat ique et e x e m p l e s .

1.4.1 B r a n c h e n~ga~ve .

Soit H_(x) = H(x) ~-1(__ x) la b ranche n6gat ive et B_(s) son image de Laplace (w 1.13). L a d i s t r ibu t ion temp6r6e r6fl6chie H _ ( - - x) a 6v idemment R+ pour suppor t et une re la t ion du m6me t y p e que (14) p e r m e t donc de passer de sa t ransform6e de Laplace ~(s) h

sa t ransform6e de Four ie r h(v).

a) I1 r6sulte d i rec tement de la d6finit ion (2 a et 2 b) que :

(24) H_(x) Z I ~_(s) =~ ~}_(s) = ~ ( - - s),

avec ~(s ) I---- H _ ( - - x) .

D ' a u t r e par t , la t r ans fo rma t ion de Four i e r d ' une fonct ion alP(x) E 8 est te l le que qb(x)~-~ 9(v) en t ra ine ~ ( - - x) ~ - 9 ( - - ~)- En u t i l i san t alors la re la t ion de Pa r seva l < (I), H_ > = < 9, [h]_ > , nous t rouvons pour la t ransform6e de Four ie r [h(v)]_ , de la dis- t r i bu t ion H_(x) :

(25) [h( , ) ]_ = h ( - - ~) avec h(~) ~ - H _ ( - - x ) .

b) Le passage de ~(s) ~ h (v ) am6ne ~ consid6rer les p6les rdels de ~ (2~ iv ) . Soit donc ~h un p61e r6el de ~]_(2xi~) et Mh son ordre de mul t ip l ic i t6 ; reeher- chons la pa r t i e pr ine ipa le de cet te derni~re fonct ion :

M h c h n I

(26) p.p. ~_(2~i~) = ~] (v-- ~ ) m ' ~ ~ W,. tn~l

- - 221

6 /27

A l o r s - va est un p f l e r6el pour ~(27: iv) ~_( - - 27dr) e t l a pa r t i e pr incipale s '6cri t :

~ (-- 1) C ~''_ p.p. ~ ( 2 r : i v ) = ~] ( v + v ~ m ' v .~ - - v~.

m = t

c) En u t i l i sau t le rOsultat (14), pour lequel ~ (2 ~iv) va jouer le role de ~+(2 niv) , nous ob tenons l ' expres- sion de h(v), qui comprend la pseudo-fonct ion pf. ~(2r une somme de d i s t r ibu t ions ponctuel les

~(m--1)(V -}- V]). Ensui te , vu que [h(v)]_ = h(-- v),

ef. (25) ; que ~ ( - - 27dr ) = ~_(2r: iv) , cf. (24) ; enfin que ~m-~(_ v + vt) = ( - - 1)m-a~(m-1)(v - - vl) ; nous en dOduisons d i r ee t emen t la transformOe de Four ie r reeherchOe :

(27) [h(v)]_ = pf. ~ } _ ( 2 r : i v ) -

Mh (-- l ) m - I 7~i Z Z ch-m ~ ( r a - - 1 ) (V - - V h ) .

~: , (m -- 1) !

d) Connaissant s6par6ment les transform6es de

Four ie r (14) et (27) des deux composantes de la transformOe de Lap lace bilatOrale de H(x), la t rans- formOe de Four ie r globale h(v) en rOsulte immddia te - men t pa r addi t ion , cf. (3 b). Nous rOsumerons t ou t ce qui prOcOde sous forme d 'une r~gle pratique, don t l ' emploi est pa r t i cu l i~ rement alsO.

1.4.2. R@gle pratique du passage de la trans- fortune de Laplace bilat~rale d la transform~e de Fourier.

1.421. -- Hypoth@ses. Soi l :

- - ~q+(s) lonclion holomorphe pour ~ = Re s > 0, bornOe en modu le pa r un polynOme pour

/> r > 0,

- - ~_(s) /onetion holomorphe pour ~ = Re s < 0, bornOe en module pa r un polynOme p o u r : ~ < r

- - ~+(s) e t ~_(s) ne poss~dent pas de po in t de b r a n c h e m e n t sur l ' axe imaginai re ~ = 0 (res- t r i c t ion levOe plus loin, au w 1.43).

Alors le couple {~+, ~]_} est la transformOe de Laplace bilatOrale d ' une distribution lempdrde H(x).

1.422. - - POles.

Soit C~" (resp. C~") les coefficients de la partie prineipale de ~l+(2rdv) [resp. ~_(2~iv)] , darts un vois inage d ' un pole re~l isol6 vk d 'o rdre Nk (resp. d 'o rd re M a ) ; a u t r e m e n t d i t :

kn Nk C+ (27 a) p.p. ~+(27:1v) = ~] ( V - - V k ) n , V -~ , V k ~ 1:{ ,

11=t

M h ch m (27b) p .p .~_(2r : iv ) = ~1 (v--va)r n- , v ~ va e R .

/ / l= l

1.423. - - TranslormOe de Fourier.

L a d i s t r ibu t ion de Four i e r de H(x) s ' expr ime pa r :

(28) h(v) = pf. [~+(2r + ~_(2~iv)] +

N~ (-- 1)~-~ ~" ~(n-~) (v -- vD - - n i ~ _ _ C+ (n--1) l

Ma (-- 1)m-: ~:i ~ ~ Ch_ " ~(~-1) (V- Vh) ,

,, ~ _ , (m -- I) I

G. B O N N E T I.~tNNhlh:~; DES 'FI::LI~ZCt~M'qI'NII:kllI~NS

= 1,424. - - Relations de sym~lrie.

In t roduisons la distribution ad]ointe Hi(x) d6finie eomme la transformOe de Four ie r de h*(v) et qui peu t aussi s '~erire :

Ht(x) : H*( - - x ) .

Plagons-nous dans le cas off :

( 29a ) H(x) = [___]Ht(x).

Le symbole [___] v a l a n t + 1 pour H hermitique (resp. - - 1 pour H antihermitique) ; l ' image de Four i e r est alors rdelle (resp. imaginaire).

Dans ces condi t ions , l 'on a :

H_(x) = [_+] H(*+x),

et il en r6sulte pour la t ransform6e de Laplace bi la- t6rale :

(29 b) ~_(s) = [_+] ~t+(s*),

e t r6c iproquement , (29 b) e n t r a i n a n t (29 a). Ceci 6tant , il va de soi que la seule connaissance de aq+(s) est suffisante pour d6crire en t i6 rement H(x), donc pour d6crire la t ransform6e de Four i e r h(v). De fait , nous avons pour v e R :

~_(2niv) = [ + ] ~+*(2n iv ) .

En par t icu l ie r , ~_ et ~+ on t tes mOmes pOles avoc les memes mult ip l ic i t6s et leurs coefficients de dOve-

_. _ ~ C ~''' , l oppemen t sont reliOs pa r C k" = [ + ~ _ + . I1 en rOsulte, en p o r t a n t dans (28) :

(30) h(v) 2 pf. ur = [Urn ~+(2niv)] - -

~'k (-- 1)~-1 2 ~ E E ,m C~" ~ ( ~ - - ~ ) ( V - - V D .

[-t~o ~+ J (n -- 1) , k n : l

1.4.3. Points de branchement de la trans[ormde de Laplace sur l'axe imaginaire.

L'effe t des poin ts de b r a n c h e m e n t de ~(s) situOs sur l ' axe imaginai re [sur l ' axe rOel pour ce qui concerne ~](27dv)] ne peu t 6tre t ra i t6 pa r une mOthode aussi simple. Il fau t alors recouri r h la (< m~thode des limites ,> d~jh 6voquOe [1], don t il est in t6ressant & a d a p t e r les conclusions h not re module.

1.431. - - Soit vk un po in t s ingulier rOel pour ~+(2 7:iv). Dans un in terva l le [a, b] de la droi te rOelle con tenan t le po in t singulier v~ et lui seul, on peu t 6crire, dans lous les cas pratiques :

(31) ~+(27:iv) = JE(v) +

~ I l, Z ~ Logq(v--uQ [(v__vk)x n -T ( ~ ) n ] v ,v~e[a,b] . q = 0 n = !

Log z e s t la tonction logarithme : )~n est un indice ent ier ou non, soumis h la res t r i c t ion ;kn :/: + 1, 2, 3 ... ; n e s t un indice entier positif ; JC(v) est une fonc- t ion ho lomorphe dans [a, b] ; b ien en tendu , cer ta ins des coefficients Bqn ou Ckq n p e u v e n t 6tre nuls. Alors, la con t r ibu t ion du vois inage du po in t v a h la t rans- form6e de Four ie r h(v) s ' expr ime pa r :

J~(v) + pf. 8(-1) ( v a - - v) Z Logq (ei '~lv-- v/c[) • qdl

- - 222 - -

I, 25, n"s 5-1;, 1970]

~ + ~ 1 -}- P f'~ (-1 '(V--Vk) q.~, LOgq(~l-~k)

( ' r 1 6 2 ~" + ( v - - ~ D n ] + n i Z C2" ( - 1 ) " ' - - x q=o (n - - l ) !

~(n-1) (V -- Vk) ,

ceci pour v, vk ~ [a, b], domaine dans lequel on

constate que la somme des trois premiers termes correspond h la pseudo-fonetion pf. v}+(2~iv).

1.432. - - Une formule similaire, obtenue en rem- plagant i par - - i, d6erit la cont r ibu t ion ~ la t rans- format ion de Fourier h(v) d ' u n point singulier sa

2XiVh de la transform6e de Laplace ~_(s) associ6e la branche n6gative H_(x). De ce fait, le passage de

la t ransform6e de Laplace {~)+(s), ~_(s)} h la t rans- form6e de Fourier h(v) est facile /~ obtenir :

a) On recherche les coefficients (~kqn (resp. C np'') de :

Logq(v--v/~) LogV(v--vh) , n, m = + 1, 2, 3 . . . . (v__vD n resp. (v_vn) m q = 0, 1, 2 . . . .

dans le d6veloppement de ~+(2xiv) Iresp. ~_(2xiv)] au tour de chacun de ses points singuliers r6els . . . r e ,

Ve+l ... (resp . . . . , vh, vh+l ...).

b) La transform6e de Fourier de H(x) s 'exprime par la relat ion :

(33 a) h(v) = pf. [~+(27riv) + ~_(2niv)] +

ni Z Z Z C~ 'n (--1)n-~ k q=O qqL 1 n=, ( 1 / - - 1 ) ~ ~(,~,--1) ( V - - ' C k ) - -

Pn (iT~)V ~_h (~hpm (--1)m-1

P = 0

c) Dans cette derni~re formule, il eouvient , comme nous l ' avons constat6 pr6c6demment, de prendre la d6terminat ion v = vk + [v - - ~ l ei~ h gauche de cha- que point de branchement et s implement ~ h sa droite. C'est ce que t r adu i t d'ailleurs le pr6fixe (, pf. ~) assoei6 h une (, part ie finie ~ d ' int6grale au sens de J. Hada- mard [31.

Un tel r6sul tat cout ient 6videmment la relat ion (28) dans les eas exclusifs de points de b ranchemen t logari thmiques, ~+(~k~ et C h~ s '6er ivant alors plus s implement C~" et Chm.

1.433. - - Relations de symdtrie. Cas off l 'original H(x) est hermi t ique ou antiher-

mi t ique :

i ~ ~- (2ni~) = [+_]~+*(2niv) , H(x) = [_+ ] H?(x) ckqn

_ [ + ] c ~ ~~ .

Par ailleurs v}_ et ~]+ ont les m6mes points singuliers avec des ensembles de multiplici t6s identiques. I1 en r6sulte que la connaissance de la t ransform6e de

Laplace de la branche positive est suffisante pour a t te indre la transform6e de Fourier h(v) tou t enti~re et l 'on a, d'apr~s (33 a) :

(33 b) h(~) R~ �9 : pf. 2[llm~+(2vnv)] - -

2= ,.. Z (-1), Z , 2 ~ 5 -~"~ -+ ' - , ' 1'=0 i1:1

n ~ + l ( _ l ) ~ - x ',, (:"('~"+'"1 - - ~ ( n - * ) (v - - v~)i

2r + 2 [t~m `% , X (n--l)' \ �9 /

TRANSFORM~E DE FOURIER ET TRANSFORM~E DE LAPLACE 7/27

avec R~ = Ent(Nk]2) . Ce qui cont ient la relat ion (30) x en la g6n6ralisant.

1.4.4. Exemple I : Interpolation linc~aire de dc~tecteurs o u expanseurs algc~briques.

Ce proc~d6 sera d6crit au w 4.7 h propos des t rans- formations non lin6aires. I1 a m i n e h eonsid6rer l ' approximat ion de fonetions y = [xlm ou encore

-- Ixl sgn x <m entier positif) par une fonetion form6e de segments de droite se raeeordant sur la courbe eonsid6r6e et den t la branche positive est d6erite par :

H+(x) = [(k + 1) m - k m ] ( x - k ) + k m ,

p o u r x ~ ( k , k + l ) ,

(Yk entier >/ 0). Cette derni~re est ainsi une fonct ion localement sommable et de croissance lente.

1 .441 . - - Trans]ormde de Laplacede la brancheposilive.

On simplifie g randement le calcul en r e m a r q u a n t que la ddrivde seconde de H+(x) est une d is t r ibut ion ponctuelle, soit :

+o~ O H~(x) = ~(x) + 2 E ~] k m - u q ~ ( x - k ) ,

I~=t q=, \ 2q )

avec Q --- Ent (m/2) . Puisque, d ' au t re part , ~(x - - k) ----I e -ks , on obt ient la t ransform6e de

Laplace de cette d~riv6e sous la forme d 'une s6rie enti6re de o-% uni form6ment convergente pour Re s > 0. Ce qui donne, pour la t ransform6e de Laplace de H+(x) elle-m6me :

H + ( x ) ~ l ~ + ( s ) = - ~ - 1 + 2 ~,~ ~ q: j \2q / \ - ~ s / eS~l

R e s > 0 ,

expression qui, au tour des singularit6s s = 2krd (ou ~ ---- k), se d6veloppe en s6rie de Lauren t au

moyen des nombres de Bernoulli . L 'exemple t ra i t6 pour le passage de ~+(s) h la transform6e de Fourier h(~) sera le cas m = 4.

1 . 4 4 2 . - - Cas m = 4. On a donc Q = 2 et :

1 [ 1 2 b ' 1 ] ~+(s) = - ~ - + ~ + 12 bs 2 es---- ]

1 = -~- [-- 2 coth s]2 + 3 coth a s]2] .

D'ofi r6sulte :

- - i D+(2=iv) -- 4 ~ v 2 [2 cotg~:v + 3 co tg%:v] .

Les singularit6s sent toutes des pdles, d'ordre 5

pour v = 0, d 'ordre 3 pour v = k entier positif ou n6gatif.

a) P61e v = 0. La s6rie de Lauren t est :

- -3i 1 i 1 i 1 ~+(2~iv) = 4n 5 7 + 4~ a v a 30~

d'ofl les coefficients de d6veloppement :

~+1 _ i ] 3 0 n ; C~ ---- i / 4 n 3 ; ~ --

+ O(v) ,

_ __ 3 i /4~ 5 .

- - 223

8/27 b) Pbles v = k, k = • 1, • 2, +_ 3...

La s6rie de Lauren t est, v ~ k 0 :

- - 3i 1 3i 1 ~+(2~iv)~-4r~5k2 (v_k )3 + 27:~k3 ( v - - k ) ~- +

4 ~ 3 k 2 7~ 2 k 4 (V - - k) + O(1 ) ,

et les coefficients de d6veloppement :

i ( 1 9 1 ) k~ C~ ~ - 4~ a - ~ - - x 2 ~-a ; C + = - - - -

3i 1 2~a k a ;

- - 3 i 1 k3 C+---- 47: ~ k 2 .

de l'interpolation 1.443. - - Transformde de Fourier de g = x 4.

H(x) est ici une fonction r~elle et paire, donc hermitique. On fait alors appel h la formule de pas- sage (30). Puisque ~}+(2niv) est imaginaire pure, la transform6e de Fourier h(v) se r~duit h une distribution

~n dans ponctueUe e t , en por t an t les coefficients C+ (30), nous t rouvons :

1 1 1 h(v) = 5~- ~(v) -- ~ 82(~) + ~ ~(~)(v) +

2n2 ~2 n~ k ~ 8 ( v - - k ) +

3 1 ~ ' ( v - - k ) + 3 1 ~ (~ ) (v - -k )~ A 7: a k a 4~a k 2 '

la sommation por t an t sur t o u s l e s indices entiers positifs et n~gatifs, sau/zdro.

1.444. - - Trans/orm~e de Fourier de l'interpolation de y = x ~ sgn x.

H(x) est ant ihermit ique et, puisque ~+(2~iv) est imaginaire, la formule (30) conduit h unc pseudo-

/onction, i~ savoir :

- - i b t v ) = p f . ~ [2 cotgT~v + 3 cotga~v] .

1.4.5. Exemple II : Transform~e de Fourier d e ~Oge (IXl ~- XO), X 0 > 0.

Cette fonction, loealement sommable et de crois- sance lente, appara i t ra au w 4.5 en t a n t que trans- formation non lindaire ddnommde , convertisseur logari thmique ,. L 'exemple choisi conduit ~ trai ter un point de b ranchement logarithmique.

1.451. - - Transjorm~e de Laplace de la branehe

positive.

lOge(X + x0) eat une primit ive de (x + x0)-l. On a donc, par changement de variables x + x 0 --)- t :

1 ~logexo + loge(x +Xo)~(-1) (x) ~ t - 7 _

e "xo dt �9 J :~o t

Si Re s ~ 0, l ' int6grale du second membre converge uniform6ment. Elle repr6sente alors le prolongement analyt ique la fonct ion ~ exponentielle intdgrale ~ El(-- x), [4]. On obt ient ainsi :

1 V ~*o ~+(s)---- s - -~ logexo--e Ei(--SXo) j , R e s > 0 , x , > 0 .

G. BONNET [ANNALES DES TI~L~COMMUI~ICAaIONS

Le prolongement Ei(-- z) est lui-m~me d6crit par :

+co (_z)k , arg z ff [ - -u , + ~:] E i ( - - z ) = C + L o g z + ~ k . k l

k=t

C = 0,5772157... est la constante d 'Euler ; la d~ter- minat ion de la fonction logari thme Log z s 'obt ient par continuit6 avec le logari thme n6p6rien pour arg z = 0, en prenant une coupure le long du demi-axe a r g z = ~ - - 0 .

1.452. - - Trans/orm~e de Fourier [h(~)]+ de la branche positive.

O n a :

~}+(2~iv)--2~ivl ~l~176176176 "

En util isant l 'exprcssion du prolongement analyt ique de l 'exponentielle int6grale, on constate que la seule singularit6 de ~+(2xiv) est un point de branchement situ6 en v = 0. On peut alors 6crire, J~(v) 6tant une fonction holomorphe dans tou t le plan :

e2~iXoV ~+(2~iv) = ~ ( v ) - - 27fly [C + Log 27~i + Log v ] .

Dans l '6criture du w 1.43 pr~c6dent, on obt ient l 'expression de v]+(27:iv) dans un voisinage de I 'origine sous la forme :

C~ l Log v ~+(2~iv) = JE(v) + + C i n - + , V ~ 0 ,

V V

avec les coefficients :

C ~ 1 = - - C + loge 27~ _ ~ 1 (~111 = - - 1 27fi 4 ' --+ 27~i

D'0fl il r6sulte, en uti l isant la formule (33 a), la transformde de Fourier [h(v)]+ de la branche positive H+(x) = loge(x + xo) 8(-1)(x), x o > 0 :

1 ~ioge xo--e2nl%v Ei(-- 2 7~ixov)~ - - [hCv)]+ = pf.

1 2 [C + loge27~] ~(v).

Ce r6sultat correspond h celui donn6 dans [1]. On peut en obtenir une expression plus maniable en uti- lisant les fonctions cosinus int6gral, Ci(0) et sinus integral, St(0), dont les valeurs sont donn6es dana des tables [5] :

f+~cost f + ~ cost Ci(0) -- - - pf. d, ~ - - / - d t = - - J lol [ d t - -

i ~ - ( 1 - - s g n 0 ) , 0 ~ R ,

St(0) ------ f + o o sin I d / = - - sgn 0 f + o o sin t J o t ./tOl --7- d t - -

7'g ~ - (1 - - s g n 0) ;

et, en tenan t compte de la propri6t6 [4] :

Ei(-- i0) = Ci(0) - - iSi(0),

soit f lnalement :

El(-- 2rdXoV ) = Ci(2xxo[v[) - - isgn v Si(2~xolv[).

1.453. - - Transform~e de Fourier de H(x)

= log ([*l + Xo), *o > 0.

- - 2 2 4 - -

t, 25, n ~ 5-~i, 1!}70]

L'or ig ina l H(x) est r6el et pai r , donc hermit ique , et l 'on fa i t appel ~ la formule (33 b), d'apr(~s laquelle le fac teur de ~(~) est 6gal i~ :

. . . . 001 7~ ) - - 2 n ~ m b . 2 R e C ~ l ~ - - ( C - I - l O g e 2 ~ : ) -

/

On ob t ien t d ' au t r e pa r t la pseudo-fonct ion pf. 2Be~+(2 ~i~) en d6composant l ' exponent ie l le int6- grale eomme indiqu6 ei-dessus. Ce qui donne en t ou t :

h(v) = pf. c~176 Si(2xx~ v[)--sin2~x~ vl Ci(27cx~ vl)

TBANSFORM~E DE FOURIER ET TRANSFORMEE DE LAPLACE 9/27 classes de caract~r is t iques H(x) pe uve n t 6tre 6tendues

des distributions tempdr~es. Les hypo theses sont pr~cis~es comme suit.

(C + loge2n) 8(v) .

D E U X I ~ M E P A N T I E

A P P L I C A T I O N A LA T H t ~ O R I E

DES S I G N A U X ALI~ATOII tES

2. P R E M I X . B E A P P L I C A T I O N : T R A N S F O B 1 V I A T I O N S N O N L I N ~ . A I R E S

DE SIGNAUX AL~.ATOIBES

2.1.1. Caract~risttques de transfert.

Devan t cor respondre /~ des disposit i fs phys iques , les H ; pour ra i en t 6tre l imit6es h des fonct ions r6elles, continues et born6es. I1 peu t 6trc ut i le cependan t d 'u t i l i ser des modules id6alis6s plus 61abor6s et nous prendrons pour caract6r is t iques de t r ans fe r t des fonct ions r6elles Hi(xm) localement sommables et &

croissance lente de la var iab le r6elle x m .

Ces derni~res poss~dent pa r suite des t ransform6es de Laplace bi la t6rales :q!~(Sm) [resp. ~q/_(Sm) ] holo- morphes pour Re Sm > 0 [resp. Re sm ~ 0] et t e n d a n t vers z6ro h l ' infini. On suppose pour l ' i n s t an t que ni ~ + , ni ~_ ne poss6dent de po in t de b r a n c h e m e n t sur l ' axe imaginaire . Leurs t ransform6es de Four i e r ex is ten t en t a n t que d is t r ibu t ions temp6r6es hl(vm) et la pseudo-fonct ion incluse dans chaque t ransform6e de Four ie r t end vers z6ro h l ' infini.

a) Consid6rons une app l ica t ion univoque x - - ~ y

de l ' espace euclidien I t M dans R J. Le po in t y : {Yl,

yu ... y j } est associ6 au po in t original x : {xi , xe... XM}

pa r une famille de J re la t ions fonct ionnelles :

Y; = H;(x l , x2 . . . . . rM) , ] = 1 ii J ~ 3 I ,

ou, en 6criture condens6e :

y = H ( x ) .

b) S i x est, h la da te t, l ' image duns t t M d 'un signal M - - d imensionnel r6el X(t), l ' app l i ca t ion pr6c6dente lui fa i l correspondre de mani~re un ivoque l ' image y d ' un signal J - - d imensionnel r6el Y(t) ; cela au mdme

instant t. On di ra alors que X(t) --* Y(t) est une trans-

formation non lindaire sans mdmoire ; cet te derni6re se t rouve ent i~rement d6crite pa r l ' ensemble : {H1, H 2 ... H j } de J fonct ions (g6n6ralis6es) d6nomm6es ~ caraeldristiques de lransfert ~) [6].

e) Le probl6me pos6, lorsque X(/) est un signal al6atoire, est de d6terminer les propri6t6s s ta t i s t iques de la t ransform6e Y(t) en connaissan t les propri6t6s s ta t i s t iques de l 'o r ig inal X(t) ainsi que les caraetdris-

tiques de translert. On no te ra t ou t de suite que ce probl~me se t rouve ipso [aeto l imit6 /~ la classe des s ignaux repr6sent6s pa r des fonctions aldatoires, en exc luan t les proeessus-d is t r ibu t ions : en effet, la not ion de p rodu i t de deux d i s t r ibu t ions n ' ex i s te pas et une op6rat ion aussi s imple que Y = X e, pa r exemple, ne saura i t s ' app l iquer ~ de tels processus.

2.1. Description du cas unidimensionnel.

Nous commencerons pa r t r a i t e r ici le cas 616mentaire oil les caract6r is t iques de t r ans fe r t sont des [onctions

d 'une seule variable, !t; = Hj(xm) ; nous 6tabl i rons dans ce cadre l ' cxpress ion dormant les momen t s de la t ransform~e Y. La g6n~ralisation h des caract~ris-

tiques mul t id imensiomtel les sera 6tablie au w 2.5 et nous rechercherons enfin dans quelles condi t ions les

2 . 1 . 2 . S i g n a l .

I1 est repr6sent6 pa r l ' ensemble de M fonctions

aldatoires r~elles Xm(t ) , qui fo rmen t le , vec teur * X(l). Le cas oh X(t) p rend un iquemen t des va leurs diserbtes se t r a i t e imm6d ia t e me n t et peu t donc 6tre 6cart6 a priori. Ainsi, la loi de X(t) sera d6crite pa r une densitd de probabilitd PK(X; t) re la t ive aux K var iab les al6atoires :

x/c = Xrnlc(tlc), (k = 1 ~ K ) ,

les da tes tk ainsi que leur nombre K 6rant choisis a r b i t r a i r e m e n t e t l ' indice ent ier mk d6cr ivant Fen- semble (1, M). L a densit6 P c ( x ; t) [ou P c ( x ) pour simplif ier] cst une fonct ion r6elle, non n~galive el &

variation bornde, don t l ' in t6grale sur I l K existe tou- jours et v a u t I (cf. A. Blauc-Lap ie r re et R. F o r t e t [7]).

2.1.3. Moments.

Nous supposons que le signal X poss6de des moments

de tous ordres, qui sont les p rodu i t s scalaires :

E{Xmx(tl)Xm2(t2) ... Xm~(tc)} = < Pc(X), xlx~ ... x c > , VK entier , posit if ,

(oh E signifie ~ esp6rance m a t h 6 m a t i q u e ~). Pour cela, il est n6cessaire et suffisant, que la densi t6 de probabi l i t6 P K soit une lonction & ddcroissance rapide.

a) Or, en t a n t que fonct ion sommable dans R s', P c ( x ) poss6de une t ransform6e de Four ie r pc(v) et il r6sulte de la propri6t6 pr6c6dente que pc(v) est une [onction inddf iniment dgrivable de la var iab le r~elle :

V : { V I ' ~2 "'" VC}

conjugu6e de x . 'De plus, PK(V) - - qui est hermitique - -

poss~de un m a x i m u m absolu h l 'or igine, avec pK(0) = 1 et t end vers z~ro ~ l ' inf ini au moius aussi r i t e que

( l / r ) K avec r 2 = Y~ v~ 2 . k=l J

- - 225 m

10/27

b) La connaissance pour tou t K de la densit6 de probabi l i t6 PK p e r m e t d ' exp r imer tous les mome n t s du signal t ransform6 Y(t). Ce sont les esp6rances ma th6mat iques de p rodu i t s qui, dans ce cadre uni- dimensionnel , sont form6s de termes :

Yr = Hl~[Xmk(t~)] = Hl~(x~), (]~ = 1 h J ) .

La ~ mdthode directe ~ d6crit ces momen t s pa r une forme lin6aire, soit :

(34) E{Yi~(tI)YI2(t2)... YtK(t~;)} = < PK(X),

Hil(Xl)Hjz(x2) ... HjK(XK) > , K >t 1 ,

et l ' express ion ci-dessus a tou jours un sens en t a n t qu'intdgrale convergente , vu que la densit6 PK est born6e h d6croissance r ap ide alors que les H l sont toutcs loca lement sommables h croissance l e n t e ; nous verrons plus loin que, sous cer ta ines condi t ions sur PK, elle peu t avo i r 6galement un sens en t a n t que /orme lindaire lorsque les H t sont des d is t r ibut ions . Le contenu du m o m e n t (34) appel le deux remarques .

- - Les K indices ]k, qui d6cr ivent l ' ensemble (1, J ) , p e u v e n t 6tre pris h volont6 tous diff6rents ou bien partiellement identiques.

- - I1 est inut i le d ' a lou rd i r l '6cr i ture pour englaber des m o m e n t s con t enan t les puissances d'une ou plusieurs composantes Y t . En effet [Ht(xm)] n e s t elle-m6me une carac t6r i s t ique de t r ans fe r t e t il sulIi t alors d ' a j o u t e r une nouvel le carac t6r is t ique H/+~(Xm) = [Hi(xm)] n au groupe ini t ia l pour faire ent rer ipso- facto le m o m e n t co r r e spondan t darts le cadre de l '6cr i ture (34) ci-dessus.

2.1.4 . Fonct ion caract~ristique. Elle est d6finie comme l 'esp6ranee m a t h 6 m a t i q u e :

(353) r = E(exp i < u[x > } , u ~ R t : ,

l ' a r g u m e n t 6 tan t le p r o d u i t sealaire :

< UlX > = UlX 1 -~ UgX2 ... "3V U K Z I r

La fonet ion carac t6r i s t ique est done repr6sent6e pa r la forme lin6aire :

(35 b) ~ ( u ) = < PK(X), e l < u l x > > ,

et se ram6ne ainsi h la transformde de Fourier pa r la re la t ion :

(36) pK(v) = r = ~0~* (2r~v), v e t l ~ ,

(r est he rmi t ique puisque P~ est r6elle). Pa r suite, T~(u) est born6e pa r l ' un i t6 et ind6f in iment d6r ivable ;

elle poss6de done un p ro longemen t ana ly t ique , holo- morphe ent ier dans un vois inage de Ilk, off elle t end vers z6ro h l ' inf ini au moins aussi r i t e que ( l / r ) h'.

2.2. R e p r 6 s e n t a t i o n par la t r a n s f o r m 6 e b i - l a t 6 r a l e de Laplace .

Les propri6t6s des t ransform6es de Lap lace ~l(s) des carac t6r is t iques de t r ans fe r t (w 2.11) p e r m e t t e n t de recouri r h la formule d ' invers ion de Mel l in-Four ier pour ob ten i r une nouvel le descr ip t ion de ces caraet6- r i s t iques de t ransfer t . En s u p p r i m a n t les indices pour

G. B O N N E T [kNNAtt:S DE,;S T~:LI:.t:O~;~II:NICA'rIo~S

simplifier, nous pa r tons de :

1 " 1 " (37 a) H(x) = ~[ . /L+ esx~]+(s)ds § 2~ni /L-esX:q-(s)ds "

a) Nous effectuons le changemen t de var iables complexes s - -> 2~ iv , ce qui donne :

(37 b) Y = H ( x ) = --I '+~ e 2~ivx ~+(2rziv) d v ~- t / - - c o - - i ~ +

f + ~ - - i ~

e 2glvx B_(27fiv) dv t / - - r

C'est la descr ip t ion de W. R. Be nne t t e t S. O. Rice [8] d 'une t r ans fo rma t ion non lin6aire sans m6moire. Les contours d ' in t6gra t ion sont des droi tes paral lbles h l ' axe r6el et l 'on p rend a+ > 0 (resp. ~_ < 0) t ou t en a d o p t a n t un module aussi pe t i t que l 'on veut , ceci parce que ~+(27:iv) est ho lomorphe pour Im v < 0 (resp. ~]_(2rziv) pour Im v > 0).

b) Cette descr ip t ion condui t d i r ec t emen t h l 'esp6- rance ma th6ma t ique de la t ransform6e E ( Y } = < P, Y > : en effet, les int6grales pr6c6dentes conver- gent un i form6ment pa r r a p p o r t h X, ce qui autor ise h app l iquer la r~gle de Fub in i en in t rodu i san t : E{exp(27~ivX)} dans leurs in t6grants ; comme nous savons que la fonct ion carac t6r i s t ique (35 a) est pro- longeable au voisinage de l ' axe r6el, nous obtenons :

(38) E{Y}---- f+~_lq+v,(2~v)B+(2~;iv ) dv -i-

S + ~ - i~ -

-I~_ 9,(2~:v) ~]_(2~:iv)dv.

Ce r6sultat constitue l'essentiel de la (( m6thode analytique ~, fond6e sur l'emploi de la fonction caractdristique ; applicable /~ des moments de tous ordres, ladite mdthode constitue un outil trbs puissant pour l'6tude des transformations non lin6aires sans mdmoire [6]. Son inconv6nient 6vident est de faire appe l h deux intdgrales pour une seule d imens ion; ceci r6sulte de l ' emploi de la t r ans fo rma t ion de Laplace , laquel le oblige h consid6rer s6par6ment les cont r ibu- t ions des branches pos i t ive et n6gat ive de la caract6- r i s t ique de t ransfer t . Or il est 6vident q u ' u n te l handi - cap d i spa ra i t r a i t si l 'on p o u v a i t faire appe l /t une t r ans fo rma t ion de Four ier , et nous allons voir qu ' i l est ef fec t ivement possible de pa rven i r p a r ce moyen

une repr6sen ta t ion plus directe et beaucoup plus maniable .

2.3. E x p r e s s i o n du m o m e n t de premier ordre par u n e t r a n s f o r m 6 e de Four ier .

Reprenons l ' express ion (27 a) de la p a t t i e pr ine ipa le de ~+(2reiv) au tou r d ' un pole rdel vk :

N k CkJ ' --+

pp. ~+(2~:iv)---- ~ ( v - - vk)~ p=l

De son c6t6, T1(2 ~v), ho lomorphe ent ie r au vois inage de v~ r~el, a d m e t un d~ve loppement de Tay lo r :

+oo (2 ~)q Tl(27~v) = ~ ~ ~(q)(2rcvk) (v - - v/c)q, v ~ vk .

q==0

- - 226 - -

t. 25, n ~ 5-6, 1970] T R A N S F O n M E E D E F O U R I E R E T

D'ofl r6sulte le rdsidu de %(2nv) v]+(2rd~) en vk :

N~ (2 7:)~-~ ~" _ %(n-~) (2 ~Vk) (39) R, + = Z C+ ( n - - l ) ~

I}=t

avec une formula t ion similaire pour le r~sidu 1~,, de q%(2 7:,). v}_(2Mv) en chacun des p61es r6els de v~_. Nous pouvons alors subst i tuer /~ l 'expression (38) une int6grale prise le long de l 'axe r6el (an sons d 'une pat t ie finie de J. Hadamard) h laquelle s ' a jou ten t les contr ibut ions des p61es r6els le long de demi-cercles

los e n j a m b a n t :

(40) E(Y} = p f . / _ ' + ~ % ( 2 n v ) [v~+(2ni,) +

v]_(27:iv)]dv + 7:i ~ ]R + - -7 : i ~]R~ ]r . �9 K m

Y(emarquons m a i n t e n a n t que, dans l 'expression des r6sidus, on peut 6crire :

(27:)n-1q)1 ( n - D (27:vk) = ( - - 1) n-* < %*(2~:v), ~("-'!

Alors, la comparaison avec l 'expression (28) dc la d is t r ibut ion h(v), transform~e de Fourier de la carac- t~rist ique de t ransfer t H(x), permet de ddcrire le premier m o m e n t (40) comme une formc lin6aire sur

la fonct ion caract6rist ique :

(41) E{Y} = < %*(2~v), h ( v ) > -= < p, h > ,

et cette description est en t i6rement 6quivalente h eelle (38), de Benne t t et Rice. On notera que l 'exis- tenee de (41) est assur6e par le fair que pf.I~+(27:iv + ~_(27:iv)]?~(2~v) dderolt h l ' inf ini plus vite que 1/v (of. w 2.1) et que, d ' au t re part , %(27:v) est indd- f in iment d6rivable.

2.4. M o m e n t s d'ordre que leonque .

T n A N S F O I ~ M t ~ E D E L A P L A C E 1 1 / 2 7

de Parseval, que l 'on a pos6e comme d6finition de la transformOe de Fourier d ' une d is t r ibut ion tempdr6e (w 1.1), s 'appl ique par hypoth~se h des formes lindaires sur des fonetions simultandment de d6croissance rapide et ind6f iniment ddrivables (espace 8) ; or, eette double propri6t~ n 'es t pas n6cessairement remplie par une densit6 de probabil i t6 ni par nne fonetion caraet6ris- t ique arbitraires.

2.4.2. Remarque 2.

L'expression (41), g6n6ralis6e par (42), 6quivaut 5 la propri6t6 :

lim < qh*(27:~), [~+(2M~ + r +

r v}_(27:i~ § z-) l > : < %*(27:v), h(v) > ,

ce que l 'on ob t ien t en effectuant los changements de variables ~ ~ ~ - - ia+ (resp. ~ ---> , - - iz_), avec r = 2 7:z+ (resp. z_ = 2 ~ _ ) dans les deux int6grales de (38), tou t en t e n a n t compte de l 'holomorphie de la fonction caract6rist ique ~ clans une bande con tenan t l 'axe r6el. Or une telle propri6t6, non plus, n '6 ta i t pas 6vidente a priori : elle correspond en effet h la ddfi-

n i t ion d 'une l i ini te au sens des dis t r ibut ions [2], h savoir :

h(v) = lim ~+(2M~ + a+) + l im v) (27:iv + z_) , ~ + - ~ 0 ~_--->0

limite qui, jus tement , est cello relat ive au passage de la t ransform@ de Laplace bilat6rale h la transfor- m6e de Fourier (voir w 1.2). Mais une telle d6finition n 'es t 6tablie que sur l 'ensemble des fonctions de l 'espace 8 ind6f in iment d~rivables et, s imul tan6ment , de ddcroissanee rapide. Or ee dernier earaet6re n 'es t pas n6cessairement celui d 'une fonetion caraet6ris- t ique arbitraire.

Le m6me ra i sonnement , transpos5 h u n m o m e n t d 'ordre K quelconque de la t ransform@, :

Yj.~(tk) = Hj~[Xmk(tk)] ,

condui t h la repr6sentat ion :

(42) E{YjI(tl)Yj2(t2) ... YjK(IK)}

= < q)K* (27: v), h h (Vl)hj2 (~2) "'" hJ K (v/~) > ,]k C (1,2... J ) .

Le cas part iculier le plus impor t an t concerne la covariance de la transform6e.

(43) Ftd(t~, 12) = E{Yi(/1)Yj(t~)}

= < q)2*(2:zvl, 2~2 ) , hi(vl)hj(v2) > , i, ] = 1 ou 2 .

2.4.1. Remarque 1.

L'expression gdn@ale (42) peut encore s'@rire, compte t enu de (34) et de (36) :

< PK(X), Hjl(X 1) .-. HjK(XK) >

= < PK(V), h/l(Vl) ... hjK(v/~) > .

Elle t r adu i t l '6galit6 de deux formes lin~aires dont

los termes sont deux h deux des paires de Fourier : telle quelle, c 'est donc une relation de Parseval, comme

nous l 'avions d6jh remarqu6 dans [6]. U n tel r6sul tat n '6 ta i t cependant pas 6vident a priori car la relat ion

2.4.3. Gdn~ralisation admettant des points de branchement.

Pla~ons-nous dans le cas off la t ransform6e de Laplace {~+(s), ~q_(s)} poss~de des points de branche- merit pour s imaginaire. Ecr ivons vk un poin t singulier rdel (p61e ou poin t de branchement ) de ~+(2Mv) ; nous adoptons, darts l ' in terval le [a, b I c on t e na n t vk, une expression de type (31) pour ~+ :

0 N (31) v}+(27:iv) = JC(v) -~- ~] Y~ Logq (v - - vk) •

q : 0 n : l

[ ( ~ _ v k ) x ~ + ( ~ _ vk)~ , v, ~e ~ [a, b?.

Ut i l i san t une extension du th6or~me de Cauchy due 5 J. Lavoine [91, nous pouvons alors remplaeer l ' int6- grale de ~%(27:1~) q~(27~v) sur un demi-cercle de dia- m6tre (a, b), situ6 en dessous de l 'axe rfel, par la quant i t6 :

z b 0 (--iT:)q

pf. %(27:v)~+(2Tfiv)dv +7:i Y, - - Rq_ q:0 q + l

off Rq+ es t le coefficient du terme en Logq(v- -vk) /~- -Vk de ~ ( 2 ~ v ) ~q+(27:iv) ; soit, puisque ~1 est holo-

morphe entier et admet donc un d6veloppement de Taylor :

- - 227

1 2 / 2 7

R q = ~ C *q" ( 2 x ) n - ~ q~l ('~-*) (2revk) ,=, ' ( n - - l ) !

~ c 'q" ( - 1)~-~ -= ~+ (n - - 1) ' < ~1"(2 nv), 8 ( n - a ) ( v - - v~) > .

/1=1

Le m 6 m e r a i s o n n e m e n t , r e la t i f h l ' i n t6g ra l e de

~_(2r f iv ) % ( 2 x v ) sur un demi -ce rc l e cen t r6 sur uu

p o i n t s ingul ier r6el de ~ _ ( 2 = i v ) e t si tu6 au-dessus

de l ' a x e r6el, c o m p l 6 t e ee r6su l ta t . I1 en d6coule alors,

en e o m p a r a n t a v e e l ' e x p r e s s i o n (33) de la d i s t r i b u t i o n

t r a n s f o r m 6 e de F o u r i e r h(v) , que la p ropr i~ t6 :

E (Y} = < ~**(27~v), h(v) > ,

d e m e u r e v a l a b l e dans le c ad re le p lus g6n6ral . Ce

r6su l t a t s ' 6 t end de m 6 m e fagon h la desc r ip t ion d ' u n

m o m e n t d ' o r d r e q u e l e o n q u e . D a n s ces cond i t ions , la

seule r e s t r i c t i o n qu i d e m e u r e eonee rne l ' e x i s t e n e e

m 6 m e de la t r a n s f o r m 6 e de F o u r i e r e t le sens de la

f o r m e l in6aire e i -dessus : h savo i r que la e a r ae t6 r i s t i que

de t r a n s f e r t H(x) do l t ~tre nne /unction a croissance lenle ( ~ la t r a n s f o r m 6 e de F o u r i e r ex i s te au sens des

d i s t r i bu t ions ) e t localement sommable ( ~ la t r ans fo r -

m6e de F o u r i e r t e n d ve r s z6ro h l ' inf ini) ,

2 .5 . G 6 n 6 r a l i s a t i o n ~ d e s c a r a c t 6 r i s t i q u e s d e t r a n s f e r t m u l t i d i m e n s i o n n e l l e s .

2.51. - - L a f o r m u l e (42), r e l a t i v e au m o m e n t g6n6-

ral is6 de t r a n s f o r m 6 e s issues de ea rac t6 r i s t i ques uni-

d imens ionne l l e s p r6 f igure en r a n t q u e cas p a r t i c u l i e r

les p ropr i6 t~s des ca r ac t6 r i s t i ques m u l t i d i m e n s i o n -

nelles. E n effet , le p r o d u i t F(x ) = Hh(Xl) ,.. H i n ( x g ) es t une f u n c t i o n de K v a r i a b l e s e t poss~de une t r ans -

fo rm6e de F o u r i e r f(v) = h h ( v 0 .., h j~(vK). L a for-

m u l e (42) s ' e x p r i m e a lors sous l a f o r m e :

E{F(X)} = < q~K*(2rzv) f (v) > .

2.52. - - E v o q u o n s un a u t r e cas pa r t i cu l i e r , celui

d ' u n e dens i t6 de p r o b a b i l i t 6 PM(x) inddfiniment d&i- oable. C o m m e ce t t e dens i t6 es t d6jh p a r h y p o t h ~ s e h d6cro issance r ap ide , elle a p p a r t i e n t h 8 e t sa t r ans -

fo rm6e de F o u r i e r p(v) = q)*(2r:v) es t 6 g a l e m e n t un

616ment de $ (le cas le p lus i m p o r t a n t es t celui de la

dens i t6 de Lap l ace -Gaus s ) . Alors , la r e l a t i on de

P a r s e v a l s ' a p p l i q u e h la c a r ae t6 r i s t i que n m l t i d i m e n -

s iounel le H ( x ) consid6r6e c o m m e d i s t r i b u t i o n t emp6r6e

sur Ra~; ce qui d o n n e ipso-/acto :

E{H(x)} = < P M ( X ) , H ( x ) > = < q ~ M * ( 2 r ~ v ) , h ( v ) > , V M .

Ce m 6 m e r 6 s u l t a t s ' 6 t end i m m 6 d i a t e m e n t fi un m o m e n t

d ' o r d r e q u e l c o n q u e . On r e m a r q u e de p lus que l a va l i -

di t6 de ce t t e exp re s s ion s '6 tend , lo r sque PM ~ 8, h une e a r a c t 6 r i s t i q u e de t r a n s f e r t qu i se ra i t v6 r i t ab le -

m e n t une distribution lempdrde, et non pas s e u l e m e n t

une func t i on de c ro i s sanee len te .

2,5.3. Cas gdndral.

H~(x) est une f u n c t i o n de M va r i ab l e s , ] o c a l e m e n t

s o m m a b l e sur R i e t de e ro i ssanee l en te '~ I ' inf ini .

G , BONNET [ANNALES DES TI~I,E, COMMUINICAT[ONS

L a dens i t6 de p robab i l i t 6 es t c o n f o r m e a u x h y p o t h d s e s

du w 2.1. D a n s ce cas, ta (( m 6 t h o d e a n a l y t i q u e ,) es t

d ' u n e e x t r e m e lou rdeur , o b l i g e a n t h cons id6rer s imul -

t a n 6 m e n t 2 ")~ t r ans fo rm6es de L a p l a c e p o u r c h a q u e

ca rac t6 r i s t i que de t r ans fe r t , qu i son t :

~j( S ) = ~ t e ~ < SlX > H fl x)~ (-1)( ~x)dx , [r ,'

- - O f f : [el = l e a , e2 ... CM] r ep r6sen t e F u n des 2 M arrangements possibles des n o m b r e s am = _ 1

pris par 9roupes de M (m = 1 h M) ;

- - ~<-l)(ex) = H 8(- l ! (emzm) symbo l i s e l e p r o d u i t

�9 de M func t ions un i t6 de H e a v i s i d e , o rdonn6es

s u i v a n t l ' a r r a n g e m e n t [el c o r r e s p o n d a n t ;

- - ~ 8IX ~ =SlX 1 "j- S2X 2 . . . -~- S M X M es t le p r o d u i t sca la i re des d e u x vec t eu r s .

L a fonc t i on ~I (s) es t h o l o m o r p h e p o u r : [el

sgn Re(sin) = era, (m = 1 h M ) ,

e t t e n d vers z6ro fi l ' inf ini . Alors en p o s a n t :

s ---- 27~iv + ~ a v e e v, tT ~ R u e t sgn~rm ---- r = 1 ~t31),

la f o r m u l e d ' i n v e r s i o n qu i g6n6ral ise (37 b) s ' e x p r i m e

p a r (*) :

F e < C r l x > e 2 r f i < ~ l x > (44) y j = H f l x ) = ~ I,~ x [eJ ,.e R M

~J (2n iv + ~) d r , [c]

la s u m m a t i o n p o r t a n t sur les 2 i a r r a n g e m e n t s [~].

U s a n t de la d6f in i t ion (35 a) de la f u n c t i o n ca rae t6 -

r i s t ique , on en d6du i t le p r e m i e r m o m e n t :

(45) E { Y I } = ~] f q~M(2nY-- ia) ~1 (27ziv + (7) d r , [c~ JB M [el

= ~. < q)M*(27~V-- i~) , ~J ( 2 x i v + ~ ) . [el [r

Une extension du raisonnement 6tabli au w 2.3 et g6n6ralis6 au w 2.43, r6git alors le passage ~ la ]imite

--+ 0. Ce faisant, on tient eompte de ee que qOM(27~V) est holomorphe dans un voisinage de I~ i , puis de ee que le produit q0M(27~V)~(2 7dr) d6erolt h l'infini plus v i t e que l [ r i . C o m m e , enf in , y~ ~Y ( s ) I : H i ( x )

[e] [c] en t r a ine , au sens des d i s t r i bu t i ons :

l ira ~ 72J ( 2 r d v + a ) = h(v) ~ H ( x ) , a-~O [r It]

il en d6coule le r6 su l t a t :

(46) E{Y} = E{H(X)} = < qgu*(2xv), h(v) > ,

[ X : {X 1, X 2 ... XM}] ,

[ H : {HI, H 2 . . . HM}],

l eque l g6n6ral ise (41) h M d imens ions . Ce t t e 6cr i ture ,

(*) Pour bien pr6ciser ces notations, reprenons le cas unidimensionnel du w 2,2 : M = 1 et le nombre d'arrange- ments est de 2, [~] = + 1 ou - - 1. I! y a alors deux int6grales portant sur H(x)3t-~l(x) ~ H+(z) [resp. H(x)8~-~)(--x)= H_(x)] lesquelles convergent pour sgn Re s = + 1, suit R e s > 0 [re.sp. sgn Re s = - - ! , R e s < 0] ; ce qui conduit h

= c+ > 0 [resp. ~ = ~_ < 0 . D'ofi la description (37a).

- - 2 2 8 - -

I . 25, n "s 5-*;, 1970]

et sur tout sa facilit6 d 'emploi, sont 6videmment d 'une extreme simplicit6 en regard des 2 M termes

de (45) qui r6sul tent de la (~ m6thodc ana ly t ique )).

2.5.4. Moments d'ordre quelconque.

I1 s 'agit m a i h t e n a n t de d6terminer des moments

du type E{YhY& "'" YJK} po r t an t sur un nonlbre K arbi traire de transform6es, ceci dans le cadre de caract6ristiques de t ransfer t M-dimensionnelles agis-

sant sur le signal d 'entr6e X(t): {X~(t), X2(t ) ... XM(t)}.

a) Pr6cisons tou t d 'abord les notat ions. Chaque transform6e Yj(bc) r6sulte des M composantes de

X(tk) eonsid6r6es h l ' instant t~ commun , et la valeur choisie pour l ' indice Jk (de 1 ~ J) est li6e h tk (k de 1 h K). La caract6ristique de t ransfer t correspondante H& d6pend ainsi des 31 variables :

Xmlc = Xm(l~), m = 1 h 31 ,

et done du point (ou vecteur) de R M, not6 :

x~ : {x~k, x2~ ... XM~} ~ xk = X( tD.

On ~crit alors :

Y&(t~) = HJk(Xk) , ]k = 1 ~. J .

Symbolisons par :

Vk : {~)lk , ~2k --- 'qMk},

le point de I / i eonjugu6 de x~ dans la t ransformat ion de Fourier. La transform6e de Fourier de la caract6- r is t ique de t ransfer t H~k s'6crit ainsi :

h&(v~) ~ H&(x~) , ]~ = 1 5 d .

L 'ensemble des K vecteurs-colonne xx c o n s t r u e une matrice M x K d'616ments Xmk, not6e :

X: (X 1, X 2 ..., X K } ,

que l 'on peut consid6rer comme un poin t de l 'espace euclidien R M~ . Son poin t conjugu6 v correspond h

la matr ice M • K des Vmk :

v : {V 1, V 2, ..., VK}.

Ce qui permet d 'expr imer la fonction earact6rist ique assoei6e aux M K variables al6atoires Xm~ par :

q~MK(2~V) : E (exp2xi < v[ x > } : E {exp2~i ~ v~xk} k

= E{exp2xi 2 VmkXmk}" m,k

b) Un m o m e n t d 'ordre K quelconque s'6crit ainsi sous la forme :

E ( YJIY~2 "'" YtK} = E ( H h ( x l ) H J 2 ( X 2 ) "" HJK(XK)} �9

On notera bien que les indices ]~ correspondant h des indices k diff6rents (dates tk difi6rentes) peuven t ~tre, su ivan t le cas, 6gaux en partie.

Si nous posons JE(x) = Hh(Xl)Hj2(x2). . . IttK(XK) , cette quant i t6 repr6sente la earact6rist ique de t rans- fert d 'une t ransformat ion non lin6aire appliqu6e h la variable d 'entr6e x ~ R MK. La relat ion pr6e6dente (46)

s 'appl ique ainsi au premier m o m e n t E{JC(x)}, ident ique

au momen t rechereh~ ei-dessus, lequel prend l 'aspeet d 'une forme lin6aire dans 1t i u . Comme la transform~e

de Fourier de Jg(x) est 6gale h hh(Vl)h&(v~) ... hl~(vg) nous obtenons, avec les nota t ions adopt6es :

TRANSFORMI~E DE FOURIER ET TRANSFORMI~E DE LAPLACE 13/27 (47) �9 E { Y j 1 Y I ~ ... Y j K ) = <q)MK*(27~V),

hh(vl)h&(v2)..-hjK(v/~) > , ]'k = 1 h J , K entier ~> 1 .

Cette expression d ' un m o m e n t "h l 'aide de la fonct ion caract6ristique consti tue la r6ponse la plus g6n6rale possible au probl~me de la s ta t is t ique de sortie d 'une

t ransformat ion non lin6aire sans m~moire mult i -

dimensionnelle.

2.6. Transformations dans les distributions- d6riv6es des caract6ristiques de transfert.

Nous 6tablirons m a i n t e n a n t une extension de la relation g6n6rale (47) qui permet de consid6rer, sous

certaines conditions, des earact6ristiques de t ransfer t p r enan t la forme de dis t r ibut ions obtenues par d6ri-

r a t i o n de caract6rist iques-fonetions.

2.6.1. Processus-dis tr ibut ions associ~s aux dd- riv~es des caract~ristiques de transfert .

Rappelons-nous que la forme lin6aire dans (47) a

un sens paree que q0MK(27~V) d~eroit h l ' inf ini au moins aussi r i t e que ( l / r ) i u et que ehaqne hj(vg) tend vers z6ro h l ' infini. Supposons m a i n t e n a n t que la densit6 de probabil i t6 PKM(X) soit Dp fois c o n t i n u e m e n t

d6rivable ; la fonction earact6rist ique ~0MK(2XV) - - sa t ransform@ de Fourier - - d6croit alors h l ' inf ini au moins aussi vi te que ( l / r ) MK§ . Si, en outre, la ca-

ract6rist ique de t ransfer t H& (xk) est Die fois conti- nue me n t derivable, sa t ransform6e de Fourier hje(Vk) d6crolt h l ' infini plus r i t e que ( l [ r ) ' ] ~ . Consid6rons

alors une d6riv6e d 'ordre d ~< Dv + D& de la caract6- r ist ique de t ransfer t , prise 6ventuel lemeut au sens des

distributions si d > D j e : en toute g6n6ralit6, il s 'agi t d 'unc distribution le tup&& :

m / ~ ', dml~ M i i H&(xx) a v e e d : ~ dm~ , H&(a)(x~) = H bXmk : ' ,,,=t

h laquelle est associ6 comme signal t ransform6 le proeessus distribution aldatoire :

yjk(a)(tD = H&Ia) [x( tD] .

2.6.2. Processus moyen en sortie.

La d6finition du processus moyen, E(y&(d)(t)}, est donn6e en toute g6n6ralit6, pour une dis t r ibut ion

al6atoire [10], par l '6galit6 :

< tF(t), E{Yj(a)(t)} > = E { < tic(t), yfia)(t) > },

sur toute fonction tI~(0 ~ 8. I1 est ais6 de voir que cette d6finition revient iei h conserver l '6eri ture de

type (34) :

E{Yj(a)(tD} = < PM(Xk), Hj(d)(Xk) > ,

en la t e n a n t m a i n t e n a n t pour une /orme lindaire.

Cette expression a bien un sens pour toute d is t r ibut ion

H<d), puisque PM est 'h d6croissance rapide, ef. w 2.1

D 'au t re part , la transform6e de Laplace est donn6e

par :

Hlk(a) (xz) 8 (-1) (~Xk:) ~ 1 f i (Sink) dmk "~'ik($k) �9 [e]

- - 229

5

14/27

Alors, la r epresen ta t ion de t ype (44), adapt6e h la d i s t r ibu t ion temp6r6e Hta), dev ien t une lorme lin&ire sur la variable ve :

H~etal(xe) = ~ < exp { < ( ~ e - - 2r },

[i (r § 2nivmD~Jk(ae + 2nivD > .

I1 eu r6sulte pa r s imi l i tude avec le w 2.53, une seconde formula t ion du processus moyen associ6 h une t rans- format ion non lin6aire pa r la caract6r is t ique d6riv6e (m = 1 h M : j = 1 h d), h savoir :

(48 a) E I I , ~ x ~ H ~ ( x ~ )

= < q0M*(2~ZVk) , II (2~ivm/~)h~/~(v/e) > �9

Vu les ma jo ra t ions 6voqu6es plus hau l , ce t te expres- sion a un sens pour tou t ordre de d6r ivat ion d ~< D v +

Dje �9

2.63. - - L ' ex tens ion h u n moment d'ordre quelconque (au sens des processus-d is t r ibu t ions [10]) p o r t a n t sur les d6riv6es des caract6r is t iques de t r ans fe r t e s t

imm6dia te . Pour en 6tabl ir la formula t ion , on associe dans une expression du t y p e (47) les d6riv6es des caract6r is t iques de t r ans fe r t et leurs t ransform6es de Four ie r :

m ~ ~ dmk

YI :.,bXm----~k' H/k(X/c) ~ ~I (2~ivmD ame h~k(V/c ) .

C e q u i donne (m = l h M ; j k = l h J ; k = l h K ; K ~ > 1 ) :

b ' " a ~ H x H "x" H ~xr ") (48 b) E i I I ~[ bXm/~ 1~( 1)"" ]k I, /0"" JK ~ )!

n| ,k

~ ~MK*(27~V), H (27~ivm~) dm~ h~(v~) ... hl~ (VD ...

h ~ g ( X g ) > .

a) La val idi t6 de eet te re la t ion est l imit6e ~ un ordre de d6r ivat ion :

~,,dmle < Dp + ~ D j k . nt,k k

b) La densit6 de probabi l i t6 PMK(X) est pa r hypo- th~se une fonct ion fi d6eroissance rap ide ; si, de plus, elle est ind~finiment d~rivable (Dp = + oo), la fonct ion earae t6r is t ique dev ien t une fonet ion h d~croissance rapide. Alors, la re la t ion (48) est vraie pour tout ordre de ddrivation. Ceci est j u s t e m e n t le cas de la lot de Laplace-Gauss, ce qui va conduire /~ des pro- pri6t6s remarquables .

G. B O N N E T [ANN,~Lr.:S DES T~LECOMMUNICATIONS

2.7.1. Signal queiconque et bruit laplacien.

2.7111. - - Soit B(I) un bruit r6el de Laplace-Gauss . M-dimensionnel . Si l '6 tude por te sur un nombre K de dates tk , nous conservons le t ype d '@r i tu re du w 2.54. Les param~tres s ta t i s t iques descr ipt i fs de B(t) sont alors de deux sortes :

a) Au premier ordre, ~t, la malrice des esp~rances mathematiques. C'est une ma t r i ce M • K, d'616ments r6els (m = 1 h M, k = 1 h K ) :

11 : [l.mk = E(Xmk} = E{Xm(tl:)}, sci t ltt = E{X} ;

b) Au second ordre, r , le tenseur de covarianee cenlrde.

C'est un tenseur r6el et sym6t r ique dans l 'espaee- p rodu i t R MK Q R MK et don t les 616ments sont (m, n

1 h M ; k , l = 1 A K ) :

r : Fmlc,n! = E{XmkXnl} -- [J.mk~nl = Fnl,mt: ;

c) en par t ieul ier , les 616ments , d i agonaux ~ de r sont les variances des xmk :

~ m k , m k : ~2mk = Var Xmk ;

d) dans cet te 6criture, la fonct ion carac t6r i s t ique du b ru i t B(t) s ' expr ime (pour p = 2 ~ v ) pa r :

(49) q~Mg(27~V) = exp{2~i <V i l l i> - - 2r# < v l r l v > } ,

off in t e rv iennen t :

- - le p r o d u i t sealaire < vllx > = ~ Vmk~tmk, nl ,k

- - la forme quad ra t i que d6finie pos i t ive :

< v l r lv > = Z nl ,k ; l l , l

2.712. - - Soit S(t) un , signal ~ r6el M-d imens ionne l queleonque, aldaloire ou ddlerministe et :

lt~MK = E{exp 27~i < v[s > }

la fonct ion carac t6r is t ique cor respondante . Dans le cas off le signal est d6terminis te , ee t te derni~re se r6dui t ~ l ' exponent ie l le ; si le signal est al6atoire, on est tenu de supposer qu ' i l poss~de tous ses moments . Ainsi,~FMg est-elle une fonet ion born6e et ind6f ln iment d6rivable dans t o u s l e s eas.

2.713. - - Dans ees condi t ions, si l 'on suppose que le bruit B e s t ind~pendant du signal S, la fonet ion caraet6r is t ique assoei6e au m61ange X = S + B s ' expr ime s implement pa r :

(50) (I)MK(27~V) = ~FMK(27rV) OMK(27rV) �9

2.7. S i g n a u x n o y 6 s d a n a des b r u i t s g a u s s i e n s ; t h 6 o r b m e g 6 n 6 r a l .

Nous nous proposons d '6 t ab l i r une propri6t6 va lable dans le cadre le plus g6n6ral pour des momen t s d 'o rd re queleonque cons t ru i t s fi t r ave r s des earaet6r is t iques de t r ans fe r t d ' un hombre queleonque de dimensions. Cet te propri6t6 relie tou te d6riv6e par t ie l le d ' u n de ces momen t s h u n m o m e n t eons t ru i t h t r avers les d6riv6es par t ie l les des carae t6r is t iques , lorsque l ' ent r6e est un m61ange de signal et de b ru i t gaussien.

2.7.2. D~rivation des fonet/ons caract~ristiques.

L'express ion (49) de la eomposan te lap lae ienne t~M K

de la fonet ion earae t6r is t ique tMt~ mon t r e que TMK es t une fonet ion de 8 ( ind6f iniment d6r ivable et h d6eroissanee rapide) ; il en est alors de m6me pour la fonet ion earae t6r is t ique qbMK =tlrMK ~MK de X = S + B . Cette derni~re, eompte t enu de (49), poss~de de plus des propri6t6s de d6r iva t ion pa r r a p p o r t aux param~tres It e t r du b ru i t B qui, va lables quel que soit l ' en t ie r K et les indices dmlc ou dmlcnl, s ' exp r imen t ; symbol iquement pa r :

230 - -

t. 25, n ('* 5-6, 1970] T R A N S F O R M ] ~ E D E F O U R I E R E T

( 5 1 a ) 1~ r I '. - i O*MK (27~V) ,, 5~mk /

]f m

[I [[ (--2r:ivmg)~m~qb*M~r (2=V), (m = 1 ~ M, k = 1 ~ K),

k,1 m,n / ~ ' dmig,nlf~,MK (51 b) YI IT - - (2zcv)

brmk,nl

k,l m,n �9 + ~kl~mnl �9 ]dmk,n l = II I I (--27:iwn/c) (--2XlVn/)/ •

O*MK (27~V) ,

oh les symboles de Kronecker , ~k~, ~mn, t i ennen t compte de l ' influence des 616ments d i agonaux ~Zmk duns (49). Inversement , il est ais6 de mon t r e r que la fonct ion caract6r is t ique du m61ange add i t i f X = S + B d ' un signal a rb i t r a i re S et d ' uu b r u i t laplacien B, ind6pendan t de ce dernier, cons t i tue la seule solu- t ion possible du groupe d '6quat ions diff6rentielles (51).

2.7.3 . D~riv~rtion des m o m e n t s .

E t a n t donn6 que ~MK ~ 8, un m o m e n t d 'o rdre quelconque cons t ru i t sur les t ransform6es de X = $ + B duns un groupe de d6riv6es d 'o rdre 6galement quelconque des caraet6r is t iques de t rans fe r t , a tou- jours un sens. De plus, les caract6r is t iques de t rans fe r t elles-mfimes peuven t etre ici des distributions temp~rdes. Pour la meme raison - - O M K ~ $ - - une forme lin6aire de type (47) :

E { H I t ( x ~ ) H & ( x ~) ... HtK(XK)}

= < di)*MK(27eV) , htl(Vl)hl2(V~) ... htK(VK ) > ,

cons t ru i te sur les distributions tempdrdes hle(vk) est uniform~ment continue pa r r a p p o r t h (~MK et toutes ses d6riv6es ; on est donc en dro i t d ' exp r imer les d6ri- v~es par t ie l les de ce m o m e n t pa r r a p p o r t aux pa ra - m6tres It e t r du brui t , inclus duns OKM. Compte t enu du groupe (51), nons obtenons , pour ces d6riv6es par t ie l les :

1r rn ." ~ ~ dmk (52a) 1-[ l-I{ ~ ~Zm~/; E{H~t(xl) '"HI~(Xk)" 'H~Iz '(XK)}

k m -~ <(:I)*MK(2~V ) H rI (--2~ivml~) aml~ , hh(v, ) ... htk(V~) ...

h~g(V~) > ; k,I ( C~mk, nl

(52 b) 17 rI ~ r ~ , - ~ ) •

E { Ht~(xz) . . . Ht,e(Xk).. . Hi t (x / ) ... HIK(XK)}

= <O*MK(27~V) l'I 1 +~l~t~mn (--2~i~mk) X

2 I a"~"ni ( - - ~ivnt)} , h6(Vl). . , h tk(v , ) . . , hlt(Vt).,.hsK(VK)>.

2.7 .4 . T h ~ o r d m e f o n d a m e n t a l s u r les d~riv~es de m o m e n t s .

Appl iquons m a i n t e n a n t la convent ion d6jh 6voqu6e (w 1.12) a s t r e ignan t les formes lin6aires h 6tre semi- l in6aires ~ gauche et tenons compte de l ' express ion (48 b) d ' u n m o m e n t p o r t a n t sur les ddrivdes de carac- t~ristiques de translert ( laquelle est ici, rappelons- le , va lab le pour un ordre de d6r iva t ion quelconque).

TRANSPO:RM]~E D E L A P L A C E 15/27 Nous about issons ainsi aux propri6t6s sp6cifiques d ' un m61ange X = S + B de signal a rb i t r a i r e e t de b ru i t laplacien ind~pendan t : celles-ci nous p e r m e t t e n t d ' ident i f ie r les d6riv6es par t ie l les d ' un m o m e n t quel- conque au m o m e n t cons t ru i t sur les d6riv6es par t ie l les des caract6r is t iques de t ransfer t . Ce qui s '~cri t :

k m / ~ , dmk (53 a) H HI E{HI1(X1).. .HI~(Xk).. .HIK(XK)}

b ~mk

= E I [ I I HI ~ Xmk- a ~ k l H 6 ( x 0 . . . H j ~ ( x D . . . H )jK(xK) i,

k,l m,n / b '\ dmk,n 1 (53 b) II FI i~Pm~ , . : •

E{Hfi(x~) ... H j ~ ( x k ) . . . Hjz(xz) ... Hj~(XK)}

' - X = E 1-[ 1 + ~kl~mn bXmk bXnl /

HJl(Xl) Hjk(Xk) Htl(Xl) H~'K(XK) )

- - k, l = 1 fi K ; K a rb i t r a i re (hombre de da tes tD,

- - ] ~ p a r e o u r t a rb i t r a i r emen t l ' ensemble (1, J ) , J 6 tan t le hombre de caract6r is t iques de la t rans- fo rmat ion non lin6aire, cf. w 2.0,

- - m, n = 1 ~ M, dimension du signal et du bru i t ,

cf. w 2.0,

- - dmk, dmk,nt entiers posit ifs a rb i t ra i res , z~ro inclus,

- - x~ = {x~l, x ~ . . . . zm~, ... XMk} -- X ( t ~ ) .

2.7.5 . Cos par t i cuU ers .

Ces r6sul ta ts (53) g6n6ralisent ent i~rement , tout en les unif iant , t rois th6or6mes ant6r ieurs 6tabl is s6pa- r6ment :

a) pa r G. Bonne t [11], pour les d6r iva t ions re la t ives aux esp~rances matMmat iques ~tm~ et aux variances r = Prak,rak, lorsque : K = 1, J = 1, M = 1 e t duns le cadre d ' un signal superpos6 h u n b ru i t lapla- eien ;

b) pa r R. Pr ice [12] pour les d6r ivat ions re la t ives a u x cooariances Fmk,nt lorsque J = 1, M = 1 et pour un b ru i t laplaeien, sans signal superpos6 ;

c) pa r E. Lawrence MeMahon [13] pour la cova- riance Prnl~,nl lorsque : K = 2, J = 1, M = 2 et pour un b ru i t laplacien sans signal superpos6.

2.7.6 . M o m e n t s con tenan t des p u i s s a n c e s .

Remarquons que, si H j ( x ) est l 'une des J earact6ris- t iques de t r ans fe r t d 'une t r ans fo rmat ion non l in6aire H, la quan t i t6 [H (x)] ~ - - puissance enti~re ou non - - repr6sente el le-meme une caract6r is t ique de t r ans fe r t (sous r6serve que H~ soit une fonction). On peu t alors prolonger l ' ensemble des J caract6r is t iques

init iales en posan t :

H j + 1 (X) = [HJ(X)] a.

Ce qui fa i t que les re la t ions (53) s ' app l iquen t ipso [ucto h des momen t s eon tenan t des puissances de earacl~- ristiques de transfert.

- - 2 3 1 w

16/27 2.7 .7 . Cond i f f ons a u x U m i t e s .

L'utif isat ion des relations de d6rivation (53) s 'av~re

part icul i6rement fructueuse lorsque les caract6ris- tiques de t ransfer t HI(x) sent polynomiales [6]. I1 existe ainsi pour chacune d 'en t re elles un ordre de d6rivation au-delh duquel la caract6ristique d6riv6e se r6duit h une distribution ponctuelle. Le calcul direct

[au moyen de la densit6 de probabilit6, (34)] du momen t correspondant h des d6riv6es de ce type est alors imm6diat ; ce qui fait que les formules (53) pe rme t t en t de remonter par int6grat ion au moment recherche,

celui du premier membre. Pour y parvenir , il est nOcessaire d ' in t rodui re des conditions aux limiles ; ce

que l 'on obt ient de la maniOre suivante :

- - pour r - - ~ o et s d~terministe : toute dOrivOe de type :

b dm

.... ~ x m ~ H~'k(XD,

qui apparaR aux seconds membres de (53) devient ddterminisle (49), et vau t :

\\ dm fi H ~ ( s ~ + l i d ,

- - pour r - + r a ( tenseur de covariance r rOduit h ses seuls 61~ments d iagonaux (~2mk) et ~ dOterministe, les variables alOatoires x~ sent indOpendantes, (49)

et les seconds membres de (53) se rOduisent h des pro- duits de moments de premier ordre, du type :

/

Hjx(sx + flD i '

Ces moments peuven t par ailleurs ~tre d6termin6s s6par6ment en ut i l i sant fi cette fin les m~mes rela-

t ions (53). I1 r6sulte de cela que le probl~me se r6soud enti6re-

men t et de fa~on simple lorsque X = ~ + B est en fait la somme d ' u n signal ddterministe et d ' n n bruit laplacien iuddpendant ; alors (p + s) joue le rOle dOvolu

ci-dessus h It.

2.8. Covar iances entree-sort ie .

Consid6rons une composante d6termin6e Xm(/) du signal d 'entr6e X(t), M-dimensionnel et gaussien, lequel est t ransform6 en Y(I) par une caract6ristique de t ransfer t H(x~, x~, ... XM). Nous nous int~ressons

la covariance mutuel le entr6e-sortie relative ~ cette

composante, soit :

Fm\r(ta, t~) = E (Xm(t~)Y(t~)}.

L'hypoth6se f a r e est que X(I) est de Laplace-Gauss

et, de plus, centrd ; soit :

~tm(t) = E{Xm(0} = 0 , Vt ; Vm de 1 h M .

a) Cette covariance est un momen t particulier, qui entre dans le cadre pr6c6dent si nous consid6rons une t ransformat ion non lin6aire form6e des caract6ristiques

l ~ J ] ( x ] ) = Xm , (54)

t 1-Igx~) = H(x~, x~ ... X M ) .

G, BONNET [~,NAII~S DE~ TI5ILIiA:OMM[TNICAIIUNS

Nous pouvons alors met t re h profit la propri6t6 de d6rivation (53 b) en consid6rant :

Xm = 32ml = Xm(tl), ainsi que Xn ~ Xnz -- Xn(l~).

Prenons un ordre de d6rivation dml,n ~ ~ 1 et utili- sons les covariances mutuel les des composantes du

signal d 'entr6e :

\" t Finn( 1 ' t2) ~ Fml,n2 = E { i r a ( i x ) Xn(t~)}

La relat ion (53 b) donne, 6 tant donn6 (54) et puisque b

Xm = 1 : 5Xm

b) Nous disposons de M relations de ce type en faisant varier n de 1 ~ M. I1 en r6sulte, par int6grat ion :

I E (xmH(x~) } = N E H(X~) Fx n + ~(tl ts)

La fonction ~ inconnue, qui ne doit contenir aucun des PXran, est d6termin6e par la condit ion aux limites :

lim E(xmH(X2)} = [zmH(P2) ~ 0 , FX'-+o

ceci, parce que X est eentr6. D'ofl il r6sulte ~ - 0

eL l 'expression de la covariance entr6e-sortie :

(55) FmXrt'\q, t~) = ,=~E t - - H[X(t~)]~xn Pmn(1,t~) •

V m d e l / ~ M .

Ce r6sultat dOnontre que la eovarianee mutuel le entre l ' une des eomposantes du signal d 'entr6e et le signal de sortie d 'une t ransformat ion non lin6aire est, dans le eas laplaeien, une [orme lin~aire des eovariances mutuelles entre composantes du signal d'entrde.

c) La proposit ion ci-dessus cont ient comme cas particulier le th6or~me de J. Bussang [5, 6], 6tabli pour M = 1. On notera que, si le signal d 'entr6e est

stationnaire, les coefficients E l ~ . H(x~) de la forme

lin6aire se r6duisent ~ des eonstantes.

N .B . - - Un tableau de quelques t ransformat ions non lin6aires usuelles est dress6 en Appendiee, eha- pitre 4 ; il d6crit ees t ransformat ions par leurs caraetg- ristiques de t ransfer t et les transform6es de Fourier

de ees derni6res.

3. DEUXII~ME A P P L I G A T I O N : S I G N A U X ALI~.ATOIBES DE B E N O U V E L L E M E N T

Le choix de ce second exemple pr6sente un int6r~t part iculier : nous nous t rouvons dans un cas oh la th6orie about i t d i rec tement et de fa~on simple l 'expression de la transform6e de Laplace d ' une cer- ta ine quant i t6 qui est ici la covariance d ' u n signal. De plus, cette transform~e de Laplace ne nous est donn6e que sous un aspect formel. D'ofl l ' in t~ret du passage direct de la t ransform6e de Laplace ~ celle

- - 2 3 2

t. 25, u ''~ ,',-q;, t ! t7ol

de Four ie r , lequel c o n d u i t ipso lacto au spec t re ~ner-

g6 t ique du signal : eeci sans avo i r ~ c o n n a l t r e l 'o r ig ina l

--- la cova r i ance qui semble ici ~tre inaccess ib le

d ' u n e fagon expl ic i te .

" I ' n A N S F O R M ~ 2 E I ) E F O U R I E R E T T R A N S F O R M I S ; E I ) E L A I ' I , A C E

N(t)

!

3 . 1 . P r o c e s s u s d e r e n o u v e l l e m e n t [141 [151.

Sal t ( ~ ) une sui te o rdonnde d ' i n s t a n t s a l6atoi res

... gj , / J+ l -" a u x q u e l s se p r o d u i t un ce r t a in 6v6nement .

( ~ ) est n o m m 6 processus de renouvellement l o r sque les

in te rvaUes 0j = (tj+ 1 - - tj) son t des va r i ab l e s a l6a to i res

pos i t ives , i n d 6 p e n d a n t e s et de m 6 m e loi. Le processus

est a lors e n t i ~ r e m e n t dg t e rmin6 p a r la conna i s sance

de la f onc t i on de r6pa r t i t i on de ees in te rva l l e s ,

F(0) = Pr{0j < 0}, d o n t nous supposons qu ' e l l e possbde

an ma ins ses d e u x p remie r s m o m e n t s . D a n s ces condi-

t ions , la d6riv6e prise au seas des d i s t r i bu t ions :

(56) P ( O ) : ( F * 8 ' ) ( o ) , avec < l , P > - 1:(oo)-- t:(0)--1,

(d i s t r i bu t ion de probabi l i t6 ) est la s o m m e d ' u n e distr i -

b u t i o n ponc tue l l e pos i t i ve et d ' u n e fonc t ion pos i t i ve ,

l o c a l e m e n t s o m m a b l e , d6cro i ssan t ~ l ' in f in i p lus v i l e

que l / 0 a ; rou tes d e u x de s u p p o r t R + . E n t a u t que

d i s t r i bu t i on temp6r~e , P(0) poss~de une t r ans fo rm6e

de Fou r i e r , l aque t le es t ici pour le ma ins d e u x lois

c o n t i n u e m e n t d i f f6rent iable , est b o r n @ par 1 en m o d u l e

el , de plus, p e u t s '@ri re (u = 2rc , ) :

~(n) = < e - i ~ 0 , P > - n { e i ~ 0 } , u z R .

C'es t en fa i t la lonction coract~ristiqae des in te rva l les .

De son c6t6, la translorm~e tie Laplace ( fone t ion g6n6-

ra t r ice) :

P(O) ~1 < e - s * 0 , P > ~ q~(is) , s ~ C.

es t holomorphe, non s e u l e m e n t p o u r R e s > 0, mais

dgalement pour R e s = 0. El le es t de module in/drieur d 1 pour Re s > 0 e t t e n d vers z6ro ~ l ' inf ini .

Tro is quan t i t 6 s p r 6 s e n t e n t un iut6r~t dans le pro-

b l6me qui nous pr6occupe.

3.1 .1 . La p r o b a b i l i t ~ a p r i o r i pdt de t r o u v e r

un p o i n t t j de r ang / q u e l c o n q u e dans It, t + dl[.

EUe est c o n n u e pour 6tre i n v e r s e m e n t p ropo r -

t ionne l l e h la v a l e u r m o y e n n e ~x des i n t e rva l l e s [141

e t l a c o n s t a n t e p es t la densit~ de points a priori :

(57) 9 = l / i x , a v e c ix = E(0} = < 0, P > .

& 1 2 . La probabiUtd conditionnelle d~F(x) de

t r o u v e r un p o i n t tm dans Vtj + : , t j § : + d ' r[ ,

l o r s q u ' u n p o i n t an t6 r i eu r t j est c a n n a ; ce la que l que

sa l t le r a n g m i> ] (Fig. 1).

Ut i l i sons la d6riv6e, pr ise au sens des d i s t r i bu t ions ,

n o m m ~ e ~ densitd ~ de points conditionneUe ; c ' e s t la

d i s t r i b u t i o n positive de s u p p o r t R+ :

+(~) = ( a ' . R e ) ( . ) , ~ i> 0 .

L a t r a n s f o r m 6 e de L a p l a c e de ce t t e q u a u t i t 6

s ' a t t e i n t f a c i l e m e n t en u t i l i s an t la f o n c t i o n g6n6ra t r ice

~(is). E n effet :

a) lo r sque m = ] + k p o u r k donnd, l ' i n t e r v a l l e

( t j , tin) est la s o m m e de k in t e rva l l e s , 0j + 0j+l ... +

17/~7

H-

FI6. 1. - - R6alisation particuli6re d'un processus et fonction de description.

0 j+k -1 . C o m m e ces dern iers son t i n d 6 p e n d a n t s et

de m 6 m e loi, la f onc t i on g6n6ra t r ice conditionnelle pour ce t t e v a l e u r de k v a u t q~*(is) ;

b) en fai t , la p robab i l i t 6 recherch6e r6sul te de rou t e s

les va leu r s possibles de k /> 1, auxque l l e s son t associ6s

des 6v6nemen t s m u t u e l l e m e n t exclusifs . La t r ans -

form6e de L a p l a c e de la dens i t6 de po in t s cond i t ion - nelle v a u t done :

+ ~ Y~ q~k(is) .

k = l

Cet te s6rie c o n v e r g e p o u r Re s > 0, pu i sque , dans ces

condi t ions , nous s a r a n s que lcp(is)l < 1. P a r sui te :

q0(is) Re s > 0. (58) +(~) = t 1 - ~ ( i s ) '

Ce qui m o n t r e , cf. w 1.12, que la dens i t6 de po in t s

cond i t ionne l l e es t une distribution lempdrde sur I t+.

Ce t te express ion , d@r i t e pa r la f onc t i on carac t6r is -

t iclue des in te rva l l e s , s ' i den t i f i e h la so lu t ion c o n v e n -

t ionne l l e de l ' 6 q u a t i o n du r e n o u v e l l e m e n t [16] p u i s q u e

la t r ans Io rm6e de Lap]ace -S t i e l t j e s de ]a fonc t ion dc

r6pa r t i t i on F(0) n ' e s t au t r e que q~(is).

3.1 .3 . Fonction de description. La fonc t i on de

desc r ip t ion associ6e au processns p o n c t u e l ( ~ ) e s t

une fonc t i on en escal iers (Fig. 1) d o n t les accroisse-

m e n t s son t des sau t s de v a l e u r + 1 et d6finie pa r :

i N(t) = n o m b r e de po in t s darts [0, t[, p o u r t > fL

i - - N(I) = n o m b r e de po in t s darts [t, 0[, p o u r t < 0,

N(t) est done une mesure. In t6 ressons -nous alors

h ses acc ro i s semen t s dN(l) :

a) au premier attire, dN(t)

d ' o d il r6sul te , cf. w 3.11 :

( 5 8 a ) E {dN( / ) = l~ d l ;

b) au second ordre, dN(t) d N ( l - - T) = 1, si u ; m :

simultan6ment ! un tj ~ [t, t + d/l, et t u n t m E It - - = - - d'~, t - - z] ;

d'of i il r6sul te , cf. w 3.12 :

pdtdRe(Ix]) , si = r 0 , (5S b) H{dN(t)dN(t--=)}

p d t , si x = 0 .

- - 233

= l s i u n l j ~ [l,!-~. dl[ ,

= 0 si non ;

_3

18/97

3.2. Signaux de renouvollemont.

O. B O N N E T [ANNALES DES T~:LI~GOM,MU,NICA'I[ONS

3.3. Prooessus distribution do ronouvollement.

Associons aux ins tan t s t j du processus ( ~ ) le signal form6 par une superposi t ion de t ransla t6es :

(59) X(I) = ~ H(t - - t j ) , J

ou H(t) est une fonct ion ou une d i s t r ibu t ion tel le que la t ransform6e de Four i e r existe sous la forme d 'une [onetion cont inue h(v), t ou t au plus de eroissanee lente. H(t) est d6nomm6e [onction (gdndralis~e) de ponderation et X(t) est, dans la terminologie de H. Wold , un signal de couverture associ6 au proeessus de renouve l lement ( ~ ) ; pour simplif ier , nous d6nom- merons X(I) un signal de renouvellement. Ce t y p e de signal est, en tou te g6n6ralit6, une d i s t r ibu t ion al6a- toire s ta t ionnai re . I1 est facile d 'en d6terminer une in te rp r6 ta t ion in t6ressante en u t i l i san t la d i s t r ibu t ion d6riv6e de la fonet ion de descr ip t ion N(t), soit :

(60) Xo(t ) = (~' * N)(t) = ~ ( t - - tj). i

Nous avons alors, d 'apr6s (59) e t l a propri6t6 des d i s t r ibu t ions de Di rac :

(61) X(I) = (H . Xo)(t ).

Ainsi, t ou t signal de renouve l lement a p p a r a i t comme r6su l tan t du f i l t rage du processus distribution Xo(t ) dans un filtre l in6aire JC don t la r6ponse percussion- nelle est H(t), la fonct ion de pond6rat ion . Les hypo- theses fai tes sur H font que JC est un filtre stable, ce qui assure l ' ex is tence de X(I) [10]. La s ta t i s t ique d ' un signal de r enouve l l ement est alors tr6s facile h ~tabl ir : il suffit d 'u t i l i ser los propridt6s connues du t r a i t e m e n t lin~aire des s ignaux al6atoires, en l 'esp6ce et pour le second ordre, la (~ formule de la moyenne ~> e t l a (~ for- mule des iuterf6rences ~) [10]. Ce qui donne, dans une 6cri ture symbol ique of 1 E n ' es t pas n6cessairement une esp6rance m a t h 6 m a t i q u e :

a) Signal moyen.

(62 a) E{X} = < 1, H > E{Xo} = h(0) E{X0}.

b) Covariance propre.

Px( ' r ) = E { X ( t ) X * ( t - ~)}, (6criture symbol ique)

(62 b) I~x('r) = ( l ~ x o . H . Ht)(~) ,

oh F x o est Ia covar iance p ropre du processus distr i- bu t ion Xo(t ) et He(t) = H*( - - t) la d i s t r ibu t ion ad jo in te de H(I).

c) Distribution spectrale ~nerg~tique.

Transform6e de Four ie r de la covar ianee propre :

(62 c) Yx(v) = Ih(v)12YXo(V),

oh y.r0 -~- Fxo est la d i s t r ibu t ion spectrale ~nerg6tique

de Xo(t ). Ainsi la s t a t i s t ique d 'o rd re deux d ' u n signal de

renouve l lement queleonque se ram6ne t ou t s imptement h eelle du proeessus d i s t r ibu t ion de (1~), ce qui me t en lumi6re l ' impor t ance par t icul i6re de cet te not ion.

Nous reprenons la d6finit ion (60) de Xo(t), d6riv6e de la fonction de descr ip t ion N(t).

3.3.1. Signal moyen.

La d6finit ion du signal moyen E{Xo} associ~ h la d i s t r ibu t ion al6atoire X o est [10] :

< S, E(Xo) > = E { < S, X o > } , VS(t) E $ ,

off le second membre est l'espdrance mathdmatique, au sens str ict , d ' une var iable al~atoire eomplexe, alors que l '6cr i ture E{Xo} n ' e s t que symbol ique . On note ra que cet te d6finit ion g6n6rale peu t iei s '6 tendre h l ' espace C des fonctions /a d6croissance rap ide qui sont s imple- men t eonlinues. Or, du fa i t que N(t) est une mesure et que $ c C, la forme lin6aire cont inue < S, Xo > pout s ' expr imer pa r une int6grale de St ie l t jes sto- chast ique :

< S, X o > = / i i S * ( l ) d N ( l ) .

En nons r6f6rant h A. Blanc-Lap ie r re et R. F o r t e t [7], nous cons ta tons alors que les hypoth6ses fai tes per- m e t t e n t de pe rmu te r esp6ranee ma th~ma t ique e t int6grat ion.

D'ofi r6sulte, compte tenu de la va leur (58 a) de E{dN(0}, la condi t ion :

E{X o} > = p j i S * ( l ) d l = < S , p > , V S ~ 8 , < S,

(63) ~ E ( X d = p V t .

Ce signal moyen est bien un signal cons tan t , confor- m6ment au fa i t que X o est s ta t ionnai re .

3.3.2. Covariance propre.

Si nous nous repor tons h G. Bonne t [10] et I. M. Gelfand [17], la covar ianee- temps I~(t, t ') d ' un signal d i s t r ibu t ion aldatoire est d6finie, dans l ' espaee p rodu i t tensoriel t Q t', pa r :

< S(t)S*(t'), F(t , t') > = E { I < s , x o >12}, u ~ $ ,

oh le second membre est une esp6rance m a t h 6 m a t i q u e (forme corr61ative).

a) Dans le eas ac tue l off X o est stationnaire, la covar iance- temps est un iquemen t li6e h la diff6rence des da tes -r = t - - t ' e t se r6dui t h une d i s t r ibu t ion Fo(x ) sur R a avec, pour l a fo rme corr61ative, la propri6t6

(64) < S . S t , F o > = E { [ < S, Xo>12} ,Vs ( t ) ES,

off s t est l ' ad jo in te de S(t). On peu t alors [10] adop te r l '6cr i ture symbolique (covar iance propre) :

Fo(X) = E { xo(0Xo( t - z) }.

De nouveau, nous notons que la propr i6t6 (64) peu t s '6 tendre aux fonct ions de l ' espace (3 pr6cit6, ce qui f a r que nous sommes en dro i t d ' e x p r i m e r l < S, Xo>[2 p a r l ' in t6gra le de St ie l t jes :

Xo > ]2 = ]r S* ( t )S ( t - - x ) d N ( t ) d N ( t - "r). I< S,

234 - -

t. 25, n ''" 5-q;, | 970]

P a r p e r m u t a t i o n avec l ' e sp6rance m a t h 6 m a t i q u e et compte t e n u de l ' express ion (58 b) de E { d N ( t ) d N ( t - - z)} nous exp r imons a insi la forme cor re la t ive pa r :

< s . s ? , P o > = p j s �9 r)(llF([ T] )dl +

. / ; 1 lS(t)]2dl "

Nous r e m a r q u o n s que la seconde int6grale , qui repr6-

sente le carr6 de la no r lne de S, est aussi la trace de (S . S~)( 0 . D ' a u t r e pa r t , l ' emplo i de la densitd de

points conditionnelle du w 3.12 - - la d i s t r i b u t i o n d6riv6e ~(~) - - p e r m e t de consid6rer la p remiere

in t6gra le c o m m e u n e forme l in6aire , c o n t i n u e par r a p p o r t h la topologie dans 8 ; ce qui d o n n e , en m e t t a n t

p rof i t la d6f in i t ion m~me du p r o d u i t de convo-

l u t i on [2] :

< s . s * , r o > = p < s * s L ~ ( [ ~ [ ) > + p < s . s? , 8 > , u ~ 8 .

I1 en r6sul te la covar iance propre rechereh6e, sous la

forme donn6e pa r G. B o n n e t [18] :

(a5) r0( ) = + + ( I q ) ] b) Cet te express ion de F 0 en fonc t i on des deux

t ypes de densi t6s de po in t s de ( ~ ) m o n t r e que la cova r i ance p ropre est b ien u n e distribution tempdrde ; nous savons alors [10] que sa t r ans fo rm6e de F ou r i e r To(y) exis te sons le n o m de distribution spectrale dner- gdlique. I1 semble difficile, en tou te g6n6rali t6, de p a r v e n i r fi exp r imer la covar iance a u t r e m e n t que par l ' i n t e rm6d ia i r e ind i rec t des dens i t6s de poin ts . I1 sera i t p o u r t a n t i n t6 re s san t de r a m e n e r F o h la desc r ip t ion s t a t i s t i que f o n d a m e n t a l e du processus de renouve l - l emen t , c 'es t -~-di re h la d i s t r i b u t i o n de p robab i l i t6

P(0) des in te rva l l e s [ou, ce qui r e v i en t au m6me, h leur fonc t ion carac tSr i s t ique ~0(u)!. T o u t au plus, en r e p r e n a n t ee qui a 6t6 expos6 au w 3.12 c o n c e r n a n t la dens i t6 de po in t s cond i t ionne l l e ~;(z), p e n t - o n ob t en i r une descr ip t ion sous la forme d ' u n e sdrie des puissances de convolution :

Po(~) = ~(~) + ~ E [P([=[)l (*~) k = i

Encore fau t - i l no te r que la convergence de ce t te s6rie n ' e s t pas assur6e pou r x = 0.

c) Pa r cont re , la transform& de Laplace de la b r a n c h e pos i t ive F ~ de la cova r i ance p ropre s 'ex- p r ime sans difficult6s au m o y e n de la fonc t ion carac- t~r is t ique. E n effet, u t i l i sons la forme (58) de la t r ans fo rm6e de Lap lace de ~(~) et p o r t o n s dans (65) en u s a n t de la d ~ t e r m i n a t i o n ~(-*)(0) = 1[2 du w 1.1.1 ; nous avons i m m 6 d i a t e m e n t :

(66) Po(-O~(-1)(v) ~ 1 p + 1 - - qo(is)

p 1 + ~(is) -- R e s > 0 ,

2 1 - -q ) ( i s ) '

et, d ' apr~s ce qu i a 6t6 pr6cis6 au w 3.1, cet te t r ans - form6e de Lap lace y+(s) est holomorphe pour Re s > 0.

Nous p o u v o n s alors ut i l i ser la m 6 t h o d e de la p remi6re pa r t i e de cet ar t ic le (w 1.4.2) p o u r o b t e n i r directement

T H A N S F O R M t 2 ~ E D E F O U R I E R E T T R A N S F O R M E E D E L A P L A C E 1 ( } / 2 7

la t r ans fo rm6e de Four ie r To(v), d i s t r i b u t i o n spectra le 6ncrg6t ique dn processus Xo(l), et cela en ~v i t an t d ' avo i r h conna i t r e la covar iance F 0 dons sa fo rmu- l a t ion souhai tde.

3.4. Dis tr ibut ion spectrale 6nerg6t ique du pro- cessus dis tr ibut ion de r e n o u v e l l e m e n t .

La t rans fo r in6e de Laplace de la b r a n c h e pos i t ive de la cova r i ance Po est ho lomorphe pou r Re s > 0 ;

en out re , son express ion (66) m o n t r e qu 'e l le demcure born6e en m o d u l e par une c o n s t a n t e pou r Re s >/ z > 0 pu i sque , cf. w 3.1, q)(is) est e l le-m6me born~e pa r 1 dans le m~me domaine . Les cond i t ions du w 1.42 son t

donc remplies . De plus, F0(v), en t a n t que cova r i ance propre , est hermitique [10], ce que m o n t r e d 'a i l l eurs son express ion (65). De ce fait , nous u t i l i se rons la fo rmule de conver s ion (30) laquel le , dans u n tel cas, f ou rn i t la t r ans fo rm6e de Four ie r h pa r t i r de la b r a n c h e posi t ive .

3.4.1. Points singuliers r~els.

I1 c o n v i e n t donc de rechereher les po in t s s ingul iers r6els de :

1 + ~ ( - - 2 ~ v ) _= p 1 § q~*(2rr 2 1 - - ~ ( - - 2~v) 2 1 - - q~*(2Tcv) '

(~ est he rmi t ique ) . Or, cf. w 3.1, la fonc t ion caract6- r i s t ique est ho lomorphe sur l ' axe r@l, et les seules

s ingular i t~s ~ envisager son t donc les sohttious v rdelles de l ' 6 q u a t i o n :

( 6 7 a ) ~(2~v) -- i, ~ ~ R ,

ou encore de l ' 6 q u a t i o n :

(67 b) < e 2r:i~0, P > = 1 sons la e o n t r a i n t e

< 1, P > ---- 1 ; v G R ,

a) II y a dons t ous l e s cos ta so lu t ion v 0.

b) Si les in te rva l les du processus de r e n o u v e l l e m e n t (~]) son t des variables aldatoires continues, P(0) se r6du i t fi uue fonc t ion (densi t6 de p robabi l i t6 ) str ic- t e m e n t pos i t ive . Alors 467) m o n t r e qu ' i l ne p e u t y avoi r d ' a u t r e p o i n t s ingul ier r6el que v = 0.

c) Si les in te rva l l e s du processus (E) son t des variables al6atoires discr~tes, P(0) est une s o m m e de t r ans la t6es de la d i s t r i b u t i o n de Dirac :

p(O) = E p~8(O - %), tl

sous la c o n t r a i n t e ~ p n = 1 ; Pn > 0 V n . i!

L ' ~ q u a t i o n 467 b) poss~dera alors des so lu t ions r6elles ve au t res que v o = 0 si :

(68) ~0(2T:vk) = ~ Pn e27:l~k0~' = 1 . ii

Ce qui n~cessite, 6 t an t donn6 la c o u t r a i n t e ci-dessus, que :

(69) vk0n = ent ie r V n .

d) Si les in te rva l les son t des variables aldaloires

mi.rtes, on a ~ Pn < 1 et la c o n t r a i n t e d i spara l t . Il i1

- - 235 - -

2 0 / 2 7

ne peu t plus subsister alors que le seul po in t singulier h l 'origine.

3.4.2. S~ries de Laurent.

a) Point singulier ~ O. Les hypotheses du w 3.1 renden t la fonet ion carae t6r is t ique au moins deux fois ddrivable. On peu t done envisager un d6ve loppement au tour de l 'or igine l imit6 h l 'o rdre 2 ; ce qui donne, en p a r t a n t de (67 b) et compte tenu de ce que, (57),

E{O} = l i p :

(70) ~*(2r:,~) = 1 - - ( 2 ~ i / ~ ) v + O(v~).

D'ofl r6sulte la par t ie pr incipale de la s6rie de Lau re n t :

1 + q~*(2nv) ~2 - 2 1 --q~*(2nv) -- 2~:i~ -b 0 ( 1 ) , v ~ 0 .

Ze point ~ = 0 est done un p6le simple et il convient de por te r dans la formule de conversion (30) : N O = 1, C ~ = f~/2r~i ~ - 2r~ ImC ~ = ~2.

La con t r ibu t ion du p61e v = 0 h la d i s t r ibu t ion spectrale 6nerg6tique u est ainsi ~8(v).

Puisque, cf. (63), E{Xo} = ~, cet te quan t i t6 s ' in ter- pr6te comme la con t r ibu t ion du signal mogen h ce spectre de puissance ; ce qui correspond au fai t qu 'el le soit tou jours pr6sente, quelle que soit pa r ailleurs la loi des interval les .

b) Points singuliers dventuels. ~k =/= O. La loi des in terval les est en t i6 rement discr6te et nous supposons que la condi t ion (69) est rempl ie pour r e , done que exp(2rciv/c0n) = 1, Vl~. La fonct ion caraet6r is t ique prend la forme (68) et nous dcrivons, dans le vois inage

de v~ :

~*(27~V) = ~ Pn e--2~i'~kOn e--2~i('--vk)On 11

= E pn[1 - - 27~i0n ( v - - v~) + O f ( v - - vk)2]]. n

Or, l 'on a ici ~ Pn = 1, et ~ On Pn E{0} = l[t~. iI tl

D'ofl il r6sulte que :

27zi (71) r = 1 - - (v ~ Vk) + O [ ( u - - ue)s],

P

Ainsi, en c o m p a r a n t avec le d6ve loppement (70), nous cons ta tons que les points singuliers v~ sont tous des p6les simples, que N~ ---- 1 et que ~ 2rzi Im C~ = p2. D'ofl il r6sulte que chaque p61e r6el vk appor te , s ' il existe, une con t r ibu t ion f~28(~ - - vk). De plus, q0 6rant hermi t ique , h chaque p61e "~k correspond le p61e - - vk ct la con t r ibu t ion sym6tr ique pzS(v § vk).

3.4.3. Distribution spectrale ~nerg~tique.

I1 reste h po r t e r l ' express ion (66) de la t ransformde de Lap lace dans la formule de conversion (30) pour ob ten i r la derni~re con t r ibu t ion au spectre, eelle qui p rend la forrne d 'une pseudo-fonct ion. En r eg roupan t le tout , nous about issons au rdsu l ta t rechereh6, expri- m a n t la d i s t r ibu t ion speetra le dnerg6tique de Xo(t ) h pa r t i r de la seule fonet ion carae tdr is t ique des inter-

G . B O N N E T [ ) , x N kLE~ DES ']'LI,I:I,OMMI!NICA'I'PI~X~

valles de ( ~ ) , soit :

1 +r (72) Y ~ 1--q0(2rcv) -/- P2~(v) §

[p2 Y ~ ( ~ - - v k ) ] , ( v k ~ 0) . k

Le dernier te rme est plac6 en t re crochets pour rappe le r qu ' i l n ' i n t e rv ien t qu '6ven tue l lement , sous les deux condi t ions :

a) loi des interval les en t i6rement discr6te,

b) existence de solutions rdelles vk non nulles de l 'dquat ion :

~(2rr~k) = 1 , vkv r O E l ~ .

Ce r6sul ta t correspond h celui donn6 par l ' au t eu r dans [18].

3.4.4. $ignaux de renouvellement.

Revenons h u n signal de renouve l lement du t ype g6n6ral (59) :

X(t) = ~] H(t - - t j ) , avec H(t) ~ - h (v) . J

a) Son signal mogen, d6crit pa r (62 a) dev ien t , en app l iquan t (63) :

(73 a) E{X(/)} = ph(0) .

b) Sa distribution spectrale dnergdtique, d6crite pal" (62 c) devient , en a pp l i qua n t (71) :

2 l+qo(2~v) (73 b) Yx(,~)=pf.plh(v)l R e i ~ +p2]h(0)[28(v)+

[~ E lh(~k)T ~ ~(~ - - v~ ) ] . k

Cette expression a tou jours un sens dans la mesure off la t ransformde de Four ie r de la d i s t r ibu t ion H(t) est une fonet ion cont inue h(v), ce qui est l ' hypo thbse du w 3.2 (eas off la ponddra t ion H(t) est une fonct ion de s une d i s t r ibu t ion h suppor t born6, etc.).

Le probt~me de la s ta t i s t ique de second ordre des s ignaux de renouve l lement se t rouve ainsi en t ib rement rdsolu. Ce rdsul ta t , donnd dans [18], parach6ve celui de P. Mazzet t i [19], ma lheu reusemen t fauss6 pa r l 'oubl i de la con t r ibu t ion du signal moyen et de celles d 'dventuel les singulari t6s ; il le gdndralise en ou t re au domaine d 'une eouver ture pa r d i s t r ibu t ion . Le m~me t y p e de r a i sonnement peu t s ' app l iquer h des proeessus altern6s, h une couver ture pa r ponddra t ion H(t) aldatoire, h des processus eomposds, etc.

APPENDICE

�9 . T A B L E A U D E P A I R E S D E F O U R I E R D ] ~ R I V A N T D E S T R A N S F O R M A T I O N S

N O N L I N ~ A I R E S U S U E L L E S

N.B. - - Les transformations non lindaires dvoqudes ci-apr6s sont dderites, en grandeurs rdduites, par leurs caractdristiques de transfert H(x) et les transformdes de Fourier h(,J) de ces derni~res. Pour une utitisation situde dans un cadre plus prdcis, on tiendra eompte de la rdgle de ehangement de cariables :

H(x) ~-~ h(v),

: : :~aH(bxA-c)A-d~--~h e2=ivclbTdS(v), b, c eF t ,

- - 236

t. 25, Iv ,s 5-(;, 1!)71)1

4 . 1 . D 6 t e e t e u r s

au seui l x o >~ 0).

TI~ANSF()FIMI: iE D E F O U R I E R E T ' I ' R A N S F O R M E E D F L A P L A C E ~ 1 ] / ~ 7

s i m p l e a l t e r n a n c e (polaris6s

La descr ip t ion sera l imi tde aux dd tec teurs atgdbriques.

a) Carac tdr is t ique :

H(x) = (x - - Xo)~ ~ ( - 1 ) ( x - Xo), ~ /> 0 ,

avec : [z = 0, bascule de Schmid t ou dcr6teur ; ~ - - 1, pd tec teur l indaire ; y. = 3/2, diode de Ch i ld -Langmui r ; y. = 2, dd tec teur quad ra t i que , etc. (Fig. 2 a).

b) Ix non en t ie r :

[z! exp[- - i (~z A- 1) (r:]2) sgn 4] e_2~ ixuv . h(4) --pr. (2=14J)~+~

c) ~ ~ m, en t ie r (m = O, t , 2...) :

mIe--2TdXo ~ . ( - - l ) m ~ ( ' m ) x o m - v S ( p ) . h ( v ) = p f . (2vciv)m+l - 3 - ~ p = o P ~ (4) ,

cas par t ieu l ie r x o = 0 :

H(x) = xmS(-~)(x) ,

m ! 1 11(4) = pf (27~14)m+1 ~- 2(-- 27fi) m ~(m) (v)

4 . 2 . D 6 t e c t e u r s d o u b l e a l t e r n a n c e ( p o l a r i s 6 s

au seui l x o >~ 0) (F ig . 2 b ) .

a) Carac t6r i s t ique (alg6brique) :

H(x) = ( I x [ - X o ) ~ ( - 1 ) ( I x I - - x o ) , [z >~ O.

b) [z non en t i e r :

h(v) ~ pf. (2~141) ~+1 cos ( ~ + 1 ) ~ - s g n 4 + 2~XoV �9

c) ~ = 2 m , p a i r (m = O, 1, 2...) :

s in2nxov . ~ / 2 m \ x o 2 m - 2 ~ ( ~ - - - 8 (~v) ~4~ h(v) pf. - - 2i(2m) ! (27fiv)2m + 1 -t- v : . \ 2 p / (2n1)2 p , , ;

cas par t icu l ie r x o = 0 :

1 lI(x) = x ~m , h(4) - - ( _ 27fi)2m ~(2m) (4) .

d) [z = 2 m + 1, i m p a i r (m = 0, i , 2...) :

cos2=xo4 h ( v ) = p f . 2 ( 2 m - b i ) ! (27fiv)2m+~ p=o\ p / X

g C o 2 m + l - 2 p

(2 ni)2V

cas par t icu l ie r x o = 0 :

H ( x ) = Lxl 2 ~ + 1 ,

- - a ( ~ v ) ( 4 ) ;

2(2m+l)t h(v) = pf. (2niv)zm+2

"6-

[1=2 [1=1

|

I A x

Xo Xo+1

| 3

2

I . . . . . . . . 1_

0 --X 0

[1�84

[1=1

I / / x xo

Fro. 2. - - D6teeteurs simple (a) e t double (b) a l ternance polarls6s en Xo.

- - 2 3 7 - -

2 2 / 2 7

4.3 . Expameurm et c o m p r e ~ e u r s a u seu i t x o >~ 0) ( F i g . 3) (*) .

a) Ca rac t d r i s t i q ue (a lg6br ique) :

H(x) = sgn x ( I x l - Xo)~ ~o>,

G. B O N N E T [ANNALES DES TI~LI~CttMMUNICAT[ONS

( p o l a r i s ~ s cas p a r t i c u l i e r x o = 0 :

2 (2m) ! H(x) = x z~n sgn x , h(v) = pf. (27~iv)2m+ 1

~t > 1 0 . d) ~t = 2 m + 1, i m p a i r (m = 0, 1, 2...) :

--X o f '

H (x) ~ = 2

:~ Xo+l x

FIo. 3. - - E x p a n s e u r s et compresseurs polaris6s.

b) [z non entier :

h(v) = p f . - - 21 (2~x~[~-4-1 s m + ~I) - ~ sgnv -i- 27:Xo~ �9

e) ~t = 2 m , p a i r (m = 0, 1, 2...) :

cos 27~Xo~ h(v) ----- pf. 2 (2m) I (27:1~)2m+ 1 A-

p=o 2p + I (27~1) a~+l ~12~+1) (V) ;

(*) N . B . - - Les e x p a n s e u r s s o n t en gdn~ral compld tds p a r l ' a d d i t i o n d ' u n t e r m e y = x, de fa~on h a s su r e r u n c o m p o r - t e m e n t c o n v e n a b l e a u t o u r de l 'o r ig ine .

s in 2 7~XoV h(v) = p f . - 2i(2 m A- 1) ! (27zl,~)2m+z - -

p=o \ 2 p -f- (2rcl)~P +1 ~(9P+l)(v);

cas p a r t i c u l i e r x o = 0 : l

H(x) = x 2m+l , h(v) - - (--27~1) 2m+1 ~(~m+l) (v) .

4.4. L imi teurs .

a) L i m i t e u r h y p e r b o l i q u e (Fig. ~ a) :

H(x) = t h x , - - i7~

h(v) = pf. sh~-~ -v"

H (x)

1

J Fro. 4. - - L lmi t eu r s hype rbo l ique (a) e t l in~aire (b).

- - 238

t. 25, n o~ 5-6, 1970]

b) Limiteur exponentiel :

H(x) = (1 - - e-lx~) sgn x ,

t 4 ~iv h(v) = pf. 7fi~- + I + 47~sv ~

c) Limiteur lin6aire (Fig. 4 b) :

sin 27:v h(v) = pf. - - i 27~2~2

T R A N S F ( ) R M I : 2 E D E F O U R I E R E T T R A N S F O R M I ~ E D ~ L A P L A C E 23/27

terme correspond h la transformde de Fourier ( t ] - 2rd) ~'(v) de y = x, approximation de la conversion ; le second terme est ainsi reprdsentatif de l'erreur de quantification.

En consid6rant que pf.(~(v)/v) = - -~ ' (v) , ce qui pr6c6de peut aussi s'6crire :

h(v) : pf. 27~1v m _ - ~ _ ~ ( v - - m) ,

et la transformde de Fourier apparai t comme le produit d 'une ~( distr ibution peigne >~ par la pseudo-fonction t / 2 ~ i v .

4 .5 . C o n v e r t i s s e u r l o g a r i t h m i q u e ( t ra i t6 dans l ' exemple I I du w 1.45).

a) Unilatdral : H(x) : 1Oge (X -}- X0) ~(--1) (X), X o > 0 ,

h(v)= pf. 2 ~ l logexo--e2rci%v[Ci(27:VXoV)--iSi(27:xov) ] I - -

i - y (c + log~ 27:) 8(v),

off C est la constante d 'Euler et Ci(0) [resp. Si(0)] est la fonction cosinus intdgral (resp. sinus intdgral) d6termin6e (cf. w 1.45) par :

_ ~ l + ~ cos t dt i 7~ Ci(0) ---- ~ - - - - ~ (1 - - sgn 0) ,

~ ; ~ sin t Si(0) = - - sgn 0 - - dt - - (1 - - sgn 0)

I t - 2 - '

b) Bilatdral (Fig. 5) :

H(x) = loge (Ix I A- Xo), x o > 0 ,

h(v) = pf. c~176 Si(27~x~ v l ) - sin2T:x~ vl Ci(2~x~ vl) ~[vl

(C -{- loge 27~) 8(v).

4.6.2. Quantification limitde (Fig. 6).

Elle correspond ~ l 'approximation d 'un l imiteur lin6aire par un hombre fini 2 K de paliers identiques. On fait intervenir l'effet de saturat ion auodelfi d 'une certaine valeur de x, normalis6e h l 'unit6 [20].

H (x)

1+1

J i i i I I ! t

-(1+ 1 )

Fro. 6. - - Convertisseur analogique-num6rique (quantifica- tion limit6e K = 4).

H(x)

1

lag e X o

Fio. 5. - - Convertisseur logarithmique bilat6ral.

a) Caraet~ristique : 1 +K / k \

k = - - K

b) Trans/ormde de Fourier : - - i sin(2 + i/K)Tcv

h(v) ---- pf. 2 ~ K v sin(Tvv/K) '

- - la saturation [H(x)[ = i + l /2K est at teinte lorsque Ix I >/ 1, c f : fig. 6,

- - pour K -= + c~, on retrouve le limiteur lindaire du w a.a .

4 .6 . C o n v e r t i s s e u r a n a l o g i q u e n u m 6 r i q u e (quan- tification).

4.6.1. Quantification pdriodique.

Correspond h l 'approximat ion par paliers identiques de la fonction y = x, lorsque tout effet de saturat ion est repouss6 tr6s au-del~t de la plage de travail (sauts et pas normalis6s ~ l 'unit6).

a) Caracteristique : '1 +oo

H(x) = s g n x [1/2 + E n t IxI] =- 2 k =~_ ~s gn (x - -k ) "

b) Trans/orrnde de Fourier : i

h{v) = ~ ' ( v ) + 2=i m~o

la sommation portant sur tous les indices entiers m, positifs et n~gatifs, sau/z~ro. On remarque que le premier

4.6.3. Autre normalisation d'une quantification Umitde.

Si la normalisation porte sur le pas de la quantification, la saturat ion IH(x)l = K -b t / 2 est at teinte lorsque [x] /> K (on conserve le m~me hombre 2 K de pallets, soit un nombre 2 K + I de sauts normalisds h l 'unit6). On a main tenan t :

t ~ sgn (x - -k ) = K H , K 1> 0 , ~(x) = - y k=-~,

- - i sin(2 K + t)7~v =~ h{v) = K 2 h(Kv) = pf. 27~v sin 7~v '

pour K = + oo on retrouve la quantif ication p6rio- dique (h(v) a l e s propri6t6s limites du noyau de la seconde int6grale de Dirichlet) ;

1 pour K = 0, on retrouve l'dcr~tage ~ - sgn x

pf. 1/2 7:iv.

- - 2 3 9 - -

2 4 / 2 7

4 .7 . I n t e r p o l a t i o n l i n 6 a i r r d ' u n d 6 t o c t o u r o u o x p a n a o u r a l g 6 b r i q u o .

G. B O N N E T I,",:~NAi.i;S IriEs '|'I-;IAi.t;O'~T;II~XICA'IIONS

- - type I : Gi(x ) = 0 , /

- - type I I : ~ i i ( x ) = - - (2 (Ixl-,) ~ ( - ' ( I x l - t ) .

• I 0 I -

4.7.1. Interpolation du d~tecteur quadratique.

La caractdristique y = x ~ est interpolde par des seg- ments de droite dent les points de raccordement se s i tuent sur la parabole. Les abscisses de ces derniers sent dqui- distantes et ferment une subdivision p6riodique de la droite rdelle, avec un pas normal/s6 fi l 'unitd.

a) Caractdristique : +oo

H(x) = Z (Ix-ml-l"l), / l l= - -oo

E l l e a pour ddriv6e premi6re la quantif ication illimit~e de m~me pas et d 'ordonn6e doublde.

b) Trans[ormde de Fourier :

1 1 1 l h(v ) - - - (~"(v) + ~(v) - - ~o -~ - ( ~ ( v - n)

La sommation porte sur t o u s l e s indices entiers n positifs et n6gatifs, Sau/zdro. Le premier terme est la transformde de Fourier, (1/ - - 2x i )~"(v) , de y = x ~, approximation de l ' interpolation. La rate (l/6)~(v) (correspondant ~ une composante constante) peut ~tre supprim6e avantageu- sement en ut i l isant une caractdrlstique polarisde, H(x) = H(x) - - 116 ; ce qui est d 'une grande importance dans les probl6mes d 'est imation de variance [21]. Dans ces condi- tions, la somme des translatdes de Dirac reprdsente l 'erreur r6siduelle due ~ l'effet d ' interpolation.

En consid6rant que p f . ( - - l / 2 ~ V 2) ~(V) = ( - - t / 4 X 2) ~"(v), ce qui prdc6de peut aussi s'dcrire, pour la caractd- ristique polaris6e :

h(v)=Pf. 27~%~ X ~ ( v - - n ) n = - o o

produit de la distr ibution peigne et de la pseudo-fonction :

- - 1 ---" x sgnx Pf. 27~%~

e) pas q :]& 1. Approximation de y = x z - q~(x[q) z :

_ _ __ +o~ q2 Hq(x) = q~H(x/q) = q Z (l x - - mq[- Imql)-- y

hq(v) = q~h(qv) = pf. 2-~-~-~ __~_~<~--n/q).

4.7.2. Interpolation Umitde du d~tecteur qua- dratique [21] .

L'interpolat ion de la caract6ristique y = x ~ est r6alis6e au moyen de 2 M segments dans le domaine normal/s6 x ~ [ ~ 1, + 1] ; le pas est ainsi dgal fi I ]M. A l 'ext6rieur de ee domaine, on peut faire intervenir plusieurs lois de saturation, par exemple :

- - t y p e I : saturation lindaire. La caract6ristique est alors constitu6e, pour Ix] /> 1, par le prolongement du dernier segment d ' interpolation, de pente 2 - - I [ M . On suppose que tout effet de l imitation est repouss6 au-delh de la plage de travail (Fig. 7, type I). La ddrivde premi6re do la caract6ristique s'identifie dans ce cas fi la quantifi- cation limitde de la figure 6, en doublant l 'ordonnde et en posant K = M - - 1 ;

- - type l I : saturation par dcrdtage, au niveau y = 1, d6s lors que Ix[ 1> I (Fig. 7, type II).

t .72t . - - Caractgristique :

H(x) - - _ - ~ + G l ( x ) , M / > t , M m=-Ot-n \

FIG. 7. - - Interpolation lin6aire du dStecteur quadratique avec deux types de saturation (M = 4).

4.722. - - Trans/ormde de Fourier :

- - t s i n (2 - - I [M) x v h ( v ) = pf. 2~:% 2 M s i n ( x v [ M ) - - ( l - - l / M ) ~ ( v ) + g t ( ~ ) ,

- - type I : gi(v) = O,

- - t y p e I I : g i i ( v ) = pf. (2 - - -~ - t . ~ - \ xvx /

cos27~v

(2 - - t I M ) ~(~) ;

a) pour le type I, lorsque le pas d ' interpolat ion devient tr6s fin, on a :

sin 2xv lim hi(y ) = pf. - - - - ~ ( v ) "

M . . ~ o o 2 ~3 V 3 '

c'est la transformde de Fourier d 'une caract6ristique para- bolique y = x ~ pour x ~ [-- t , + l ] , prolongde par les branches lindaires (2Ix I - - l ) ~ ( - 1 ) ( I x ] - i ) ;

- - lorsque M = 1, on retrouve le ddtecteur lindaire : H(x) = Ixl; h(v) = pf. (-- t ] 2 x % 2 ) ;

b) pour le type II, lorsque le pas d ' interpolat ion devient tr6s fin [caract6ristique parabolique prolongde par : ~ - l ) ( [x I - - 1)1 :

aim hii(v ) = pf. [ c o s 2 ~ v s i n 2 x v J i - - > ~176 - 7~2V 2 2-7~3"~3 -}- ~('~) ;

lorsque M = t, on obtient le ddtecteur-limiteur lin~aire :

n(x) = I l l - ( I x l - 1) ~(-1)(tx I - ,),

h(v) \ - - - ~ - - v / + ~(v).

4.7.3. Interpolation lin~aire d'un expanseur ou d'un d~tecteur cubique.

La caract6ristique de l 'expanseur y = x 8 (resp. do ddtec- teur y = Ix] 3) est interpolde, au pas normalis~ 1, par des segments de droite se raccordant sur la courbe.

a) Branche positive de la caractdristique :

H+(x) = [(k + 1) a - k a ] ( x - k ) + k a ,

pour k = En t x ; s o i t x E (k, k + 1) , V k e n t i e r /> 0 .

- - 2 4 0

I. 25. u ''s 5-1;, 1!~70 l

b) Trans/orm~e de Fourier de l 'expansear cubique inter- pold :

- - i i , 3 i h(~) = s~-~ ~(3)(~) + ~ - ~ (v)-- ~---~ x

avec sommation sur t ous l e s indices n entiers, positifs et ndgatifs, sauf z6ro;

le premier terme est la transformde de Fourier de la caractdristique interpol6e y = zZ,

- - l e second terme, transform6e de Fourier de x[2 montre que l 'on obtient une meilleure approximation en uti l isant une caract6ristique :

H(x) = H(x) - - x / 2 ,

le troisi6me terme eonstitue dans ce cas l 'erreur rdsiduelle due h l'effet d ' interpolation.

c) Trans/ormde de Fourier du ddtecteur cubique interpold.

3 l t h ( v ) - ~:2v2 sin2~: v 2~2v 2 .

On a lim h(~) = (3/~rr a) - - (1]27:2v 2) ; ce qui fait que, ~---~0

pour la partie (( basse frdquence )) de son spectre, l ' in ter- polateur se comporte comme le ddteeteur y = Ix[ a q- Ix[. D'ofi la earactdristique optimale, H(x) = H(x) - - I x [ .

4.7.4. G~n(~ralisation : interpolation linc~aire du dc~tecteur ou expanseur alg~brique.

L'interpolat ion porte sur (m entier /> l) :

y = txl m, pour les ddtecteurs,

y = Ixl m sgn x, pour les expanseurs.

a) Branche positive de la caractdristique (pas normalis6

H+(x) = [(k q- t) m - k m ] ( x - - k) + k m ,

pour x e (k, k + 1) ; Vk entier /> 0 ,

i.e. k = En t x ;

la branche ndgative est H_(x) = H+(--x) pour un d6tecteur, H_(x) = - - H+(-- x) pour un expanseur.

b) Trans/ormde de Fourier.

Le calcul effectu6 dans l 'exemple I du w 1.a~ donne la transformde de Laplace ~}+(s) de la branehe positive de l ' interpolateur. On en d~duit :

- - pour m = 2 N pair :

~+(27~iv) = l ( - I)N 1 ,~ (/2]V~ (__~)q(21x)2q X (27~) 2'v+2 v z q=~ \ 2 q /

f cotg ~ v ,

- - pour m = 2 N -t- i impair :

- - I (-- 1) N 1 ~, / 2 N n L t \ ,l+(:~i'~) - a=2~ (2~)~"+~ r ,,":"=, \ :q ) ( - 1 ) q x

f 5 \\(1+2N-2q) (27~)2q [\"-~-Vf' cotg ~v.

La transformde de Fourier h(v) de la caract6ristique n 'est done pas susceptible d 'une formulation simple dans le c a s

g6n~ral (il faut faire appel aux nombres de Bernoulli). Nous retiendrons, du fair que ~q+(2~iv) est imaginaire pour m pair, et r~el pour m impair, que la transform~e de Fourier h(v) prend la forme d 'une distribution ponctueUe pour l ' interpolateur de x ~x ou de x 2x+~ ; elle est une pseudo- ]onetion pour l ' interpolateur de x ~N sgn x ou de x 2N+~ sgn x.

TRANSFORMI~E DE FOURIER ET TRANSFORM]~E DE LAPLACE 25/27 Nous 6tudions, en (d) et (e), son expression pour m = fi (N = 2).

c) Pas diffdrent de 1.

S'agissant d' interpoler, avec un pas q :/: 1, la parabole y = x m =- qm(x/q)m, on prendra la caract6ristique qmH+ (x/q). O'ofi : /

qmtt+ (x/q) Z_l qm+l"~r d) Interpolation du ddtecteur y = x 4 (cf. exemple I,

w 1 . ~ ) :

I 8(4) 1 ~ ( ~ ) ( v ) + l h(v) = ~ ( v ) - ~ - ~ - 8 ( v ) q-

3 1 k~o ~ a - - T k~ ~ - -~- 8'(v - - k) - -

- - ] e comportement en v = 0 montre que ]a partie principale de l'interpolateur est :

I

pp. H(x) = x ' + x ~ + ~ -5 - ,

- - il est done possible de compenser le terme parasite en modifiant la caractdristique par soustraction de l ' inter- polation de x 2 et ajout d 'une constante C. Comme l ' inter- polation d e - x 2 va elle-m~me introduire la constante - - 1/6, on prend C : 1 / 6 - - 1/15 ---- 1/10. D'ofi la carac- tdristique optimale :

H-(x) : 2k(2k + 1) (k + l) [ x - - k ] q- k 2(k s - l ) + ~ , 10

pour x E (k, k q- i), Y k X 0,

- - compte tenu de l 'expression (w 4.7t) de la transform~e de Fourier de l ' interpolat ion de x 2, on obtient, pour cet opt imum :

h-(v) 1 1 [ ~ _ 1 ~ , 2 ) ( v _ _ k ) + 12~) 4 ~(4){v) + ~ - k ~ o ~ -

3 ~, 9 l k--~ (v- -}) + -2- }~-~(v--k) �9

e) Interpolation de l 'expanseur y = x a sgn x (ibid.) :

h(v) = p f . ~ f 2 c o t g ~ v q - 2 c o t g 3 ~ v ] '

- - 3i cos~v i -=Pf. 2 ~ v 2 s in3~v + P f - 2---~v~ c o t g ~ v ;

- - on a, au tour de v ---- 0 :

- - 31 t i 1 i 1

h(v)-- 27~5 v5 • 27~ 3 V a 157~ V -~-O(y), ~ 0 ,

ce qui nous indique que la partie principale de l'interpo- ]ation est :

i pp. H(x) = x 4sgn x ~- x 2sgnx~- ~ sgnx ;

- - comme l'interpolation de x ~ sgn x s'effectue par une caractdristique impaire dont la transform6e de Fourier est pf. (1/2~2v 2) cotg ~:v, il en r6sulte que la caract~ristique optimale pour l ' interpolat ion de x 4 sgn x a pour branehe positive :

H+(x) = 2k(2k @ 1) (k ~- 1) I x - - k] ~- k2(k 2 - 1) -}--. 1 1 0 '

pour x ~ (k, k ~- 1), Vk /> 0. Elle est formde de segments de droite se raccordant aux points x : k, y = k2(k 2 - t) + 1]10 ;

- - la branche n6gative est H_(x) = - - H--+(- x ) ;

- - 2 4 1

26/27 o. BONNET [ANxAL~S l)lss T~'L~COt,'MU~IC.A . . . . . .

- - avec cet optimum, on obtient la transform~e de 4.8.7. Corr~lateur s o m m e - d i ~ d r e n c e lin~aire. Fourier :

H(~I , ~ ) = [z~ + ~1 - - I ~ - - ~1, -2~%2 sin37: v -b ~ " h(Vl, v~) = pf. 2 ~ v ~ [ ~ ( ~ - - ~) - - ~(v~ fi- va)] . L

4.8. Caract6r i s t iques de transfer t b i d i m e n -

s i o n n e l l e s : corr~lateurs .

Ces caract~ristiques sont ainsi nomm~es parce que le moment E{H(xx, x~)} fournit une estimation de la cova - fiance (pour certaines &entre elles, dans le cas gaussien settlement). Or, pour des signaux stationnaires, ce dernier moment porte souvent le nom de/onction de corrdlation tits].

On posera clans ce qui va suivre :

x~ = X~(tl), x~ = Xdt~).

4.8.8. Corr$lateur somme-dif[~rence d inter- polation iindaire

(pas q) : q +o~

H(xa, ~:,) = -~Zoo{[~x + x~-- kq{ - I x~ - - o:~ - - kq [ } ,

- - 1

8~: ~-.,~oN - ' ~ N V t - - q [N(v~- v ~ ) - ~(v, + vl)]

4.8.1. Corr~lateur analogique.

H(Xl, x~) = xlx~,

- - i h(v 1 , V,~) -- ~7~2 ~'(V1) ~'(V2) �9

Manuscrit recu le 21 avril 1969.

BIBLIOGRAPHIE

4.8.2. Corrdlateur d dcr~.tage.

H(x~, x2) = sgn(x~xs),

- - I h(va, v~) = pf.

7~2V1V2

4.8.3. Corrdlateur d relais.

H(x z, x~) = x~. sgn xs,

i h / ~ , ~ ) = pf. ~ (~1).

4.8.4. Corrdlateur d double quantification.

(pas f l et q2) :

4.8.5. Corr~lateur hybride d quantification.

( p a s q).

V+ I -I] H(x~, x~) = xl q + Ent sgn m a ,

- - q 8'(Vl) Z - ~ - ~ V,----S- " h(vx, vs) = 8'(vl)8'(v2) + ~ , ,~o ,,.

4.8.6. Corr~lateur s o m m e . d i l l , fence analo. ~q~e.

t H(xa, x~) = -~- [(x x + ah)2-- ix1-- x~) ~] = xlx~, (ef. tt.81).

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